CÁLCULO DIFERENCIAL
LEYES DERIVADA
3.3 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTIMICA
3.3.1 Derivada de la función logarítmica
Derivada de y = lnx
Por medio de la definición de la derivada de una función f(x) como el siguiente límite:
puede mostrarse que
Y aplicando la regla de la cadena,
Ejemplo. Diferenciar y = ln (x2+1).
Solución. Sea u = x2 + 1 →
Ejemplo. Diferenciar y = x2ln(4x+2).
Solución. Empleando la regla del producto:
Derivadas de funciones logarítmicas con base b
Ejemplo1.
Recuerde que lne = 1
Ejemplo2:
CÁLCULO DIFERENCIAL
LEYES DERIVADA
En algunos casos para derivar funciones logarítmicas es necesario aplicar previamente una o varias de las propiedades de los logaritmos. Dichas propiedades se enuncian a continuación:
Logaritmo de una potencia:
Ejemplo1
Ejemplo2:
Apliquemos la propiedad número uno:
Ahora sí, procedemos a derivar:
Logaritmo de un producto:
Logaritmo de un cociente:
Ejemplo1:
Aplicamos la propiedad del producto:
Aplicamos la propiedad número uno:
Por último derivamos:
CÁLCULO DIFERENCIAL
LEYES DERIVADA
Ejemplo2:
Aplicamos la propiedad del cociente:
Ahora si derivamos:
3.3.2 Derivadas de funciones exponenciales
Derivada de la función exponencial natural
Daremos por mostrado que
Ejemplo. Derivar . Sea u = x3-2x+5
Solución.
Ejemplo. Sea
Solución. Primero usamos la regla de la derivada del cociente de dos funciones.
Diferenciación de funciones exponenciales con base a
Sea y = au, con a > 0, a ≠ 1. Entonces,
Ejemplo1
CÁLCULO DIFERENCIAL
LEYES DERIVADA
Ejemplo 2
Ejemplo 3
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