1 Zenbaki arruntak

Zibilizazio guztiek izan dute zenbakikuntza-sistemaren bat. Sistema horiek herri batzuetatik besteetara igaro dira, eta garatuz joan dira urteen joanean.

Zenbakikuntza-sistemek zenbakiak idazteko balio dute, bai-ta zenbakiok gogoratu eta transmititzeko ere. Baina era-

giketak egiteko ere balio behar dute. Hartu kontuan erromatar sistema (ezagun duzu), eta nola ibili behar izaten zuten batuke-tak egiteko. Adibidez, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. Zail sama-rra, ezta? Bada, pentsa biderketak egitea zer-nolako lana zen.

MaiakK.a. 2000 Erromatarrak

K.a. 100

BabiloniarrakK.a. 2000

EgiptoarrakK.a. 3500

Txinatarrak K.a. 3500

Hinduak K.a. 500

Arabiarrak K.o. 700

Guk darabilgun sistema hamartarra

Honela egiten zituzten biderketak hinduek

– Lauki bakoitzean lauki hori zehazten duten bi digi-tuen arteko biderketaren emaitza idatzi behar da. Adibidez, ilunduta dagoen laukian, 4 × 7 = 28.

– Lauki guztiak bete ondoren, zenbakiak goitik behera batu behar dira, eta zutabe bakoitzean digitu bat ida-tzi.

Honela egiten zituzten biderketak egiptoarrek Egiptoarrek, biderketak kalkulatzeko, ondoz ondoko bikoizketak egiten zituzten. Adibidez, 23 × 18 honela kalkulatzen zuten:

Zenbakiak bi zutabetan idazten zituzten, honako arau hauei jarraituz:– Lehenengo zutabean, 1 zenbakitik abiatu eta bikoizten

joaten ziren, biderketako lehen biderkagaia gaindituko zela ikusi arte (gure kasuan, muga 23 da).

– Bigarren zutabean, bigarren biderkagaiaren (gure adibi-dean, 18) ondoz ondoko bikoizketak egiten zituzten; lehenengo zutabean egindako bikoizketak adina.

– Gero, lehenengo zutabetik, batuketa eginda lehenengo biderkagaia lortzeko modua ematen zuten zenbakiak hartzen zituzten. Gure kasuan, 23 lortzeko:

1 + 2 + 4 + 16 = 23– Amaitzeko, lehenengo zutabeko batugai horiei biga-

rren zutabean zegozkien zenbakiak hartzen zituzten, eta batu egiten zituzten. Gure adibidean:

18 + 36 + 72 + 288 = 414Biderketaren emaitza eskuineko zutabean lortutako batura zen. Gure kasuan:

23 × 18 = 414

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8

2 Erabili metodo hori beheko biderketa hauek kalkulatzeko:

a) 208 × 34 b) 453 × 26

3 Biderkatzeko modu horiek gurearekin alderatuz, zein iruditzen zaizu eroso eta eragingarriagoa? Arrazoitu erantzuna.

1 Egin biderketa hauek egiptoarren erara:a) 17 × 41 b) 41 × 17

1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

10

Zenbaki arruntak (1, 2, 3, …) gauzak zenbatzeko beharretik sortu ziren. Gerora, eu-ren adierazpidea garatuz eta une kultural eta historiko bakoitzera egokituz joan da.Historiaurrean gizakiak dagoeneko erabiltzen zituen zenbatzeko teknikak: atzamarrekin konparazioak egingo zituzten; marrak irudikatuko zituzten zur edo buztin zati batean; aleak sartuko zituzten kordeletan; etab.Gizartea garatu ahala, zenbaki handiagoak erabiltzeko eta adierazteko modu praktikoagoak onartzeko beharra etorri zen. Ondorioz, hainbat kulturatan zenbakikuntza-sistemak agertu ziren.

Zenbaketak adierazteko ikurrek eta horiek erabiltzeko arauek zenbakikuntza-sistema eratzen dute.

Adibidez, antzinako egiptoarrek honako ikur hauek erabiltzen zituzten:

1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

makila heldulekua soka lorea atzamarra igela gizona

Zenbakiak idazteko araua oso erraza zen: ikurrak gehitzen (batzen) joan, kanti-tate jakin bat osatu arte. Aurreko ikurrek eta arau horrek eratzen zuten zenba-kikuntza-sistema egiptoarra.Ikurrak gehitzen eta horien balioak batzen doazen sistemei (adibidez, egiptoarre-nari) sistema batukor esaten zaie.

Erromatarren zenbakikuntza-sistema

Erromatarrek honako letra hauek erabiltzen zituzten ikur moduan:

Eta arauak hauek ziren:

Antzinako gizon honek 47 zenbakia idatzi du. Jakingo al zenuke ikur bakoitzaren balioa zein den esaten?

Hemen ageri dena 1 333 331 zenbakia da.

Hemen 1 778 zenbakia dago idatzita. arauak adibideak

i, x, c eta m letrak hiru bider jarraian idatz dai-tezke gehienez.

iii → 3 xx → 20 ccc → 300 mm → 2 000

i, x edo c letrak balio handiagoko beste letra baten ezkerrera badaude, euren balio kentzen diote beste horri.

iv → 4 ix → 9 xl → 40 xc → 90

Letra multzo baten gainean marra ageri bada, multzoaren balioa bider mila egin behar dela adierazten du.

—iv → 4 000 —ixcc → 9 200—m → 1 000 000

1 5 10 50 100 500 1 000

1 Zenbakikuntza-sistemak

11

Zenbakikuntza-sistema hamartarra

Gaur egun darabilgun zenbakikuntza-sistema hamartarra da. Hamar ikur edo zifra ditu:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Zenbakiak irakurri eta idazteko, arau hauei jarraitu behar zaie:• Unitate-ordenak zehazten dira: unitateak, hamarrekoak, ehunekoak…• Ordena bateko hamar unitatek gorantz hurrengo dagoen ordenako unitate bat

balio dute.• Zifrak edozein ordena osatzen ager daitezke.• Zifren balioa euren tokiaren araberakoa da. Horregatik, sistema mota honi

posizionala deitzen zaio.Ikus dezagun adibide bat:

Zenbakiak euren unitate-ordenen ara-bera eta zifra bakoitzaren posizio-ba-lioaren arabera deskonposa daitezke:

27 473

2 HM → 20 000 7 M → 7 000 4 E → 400 7 H → + 70 3 U → 3 27 473

Gogoan izan

MIL

IOIA

K

EHUN

MIL

AKOAK

HAMAR

MIL

AKOAK

MIL

AKOAK

EHUNE-

KOAK

HAMARRE-

KOAK

UNITATEAK

4 7 8 4 3 0 4

↓4 000 000 U

↓4 000 U

↓4 U

1. Idatzi zenbaki hauek egiptoarren zenbakikuntza-siste-man: 19, 65, 34 120 eta 2 523 083.

2. Sistema batukor batek ikur hauek darabiltza:

1 5 10 100Hori kontuan hartuz, idatzi 18, 382 eta 509 zenbakiak.

3. Idatzi kantitate hauek erromatarren zenbakikuntza-sistema erabiliz:

18 43 98 3 456

4. Idatzi zenbaki erromatar hauen balioa zenbakikuntza-sistema hamartarrean:

cxlix cccxxvii —vcccxxxi

5. Zer balio du 0 zifrak ehunekoen tokian? Eta milioien tokian?

6. Zenbaki baten eskuinera 0 gehituz gero, zenbat bider handiagoa egiten dugu zenbakiaren balioa? Eta ezkerrera gehituz gero?

7. Zer unitate-ordena betetzen du 5 zifrak zenbaki batean, 50 000 unitateko balioa duela jakinda?

8. Idatzi 23 456 zenbakia baino 300 hamar milako handiagoa den zenbakia.

9. Zer zenbaki arrunten deskonposizioa da hau?:2 000 000 + 300 000 + 7 000 + 30 + 7

10. Ordenatu matrikula hauek, zaharrenetik berrienera (lehenengo, letrak hartu behar dituzu kontuan eta, gero, zenbakiak):

3948 - FBG 3894 - FBG 4389 - GFB

11. Zenbaki batek bost zifra ditu, eta horien arteko batura 5 da. Bestalde, unitate eta milakoetako zifrak trukatuz gero, 999 unitate handiagoa den zenbakia lortuko dugu. Zer zenbaki da?

12. Egia ala gezurra?a) Egiptoarren zenbakikuntza-sisteman, ikurren ordena

aldatuz gero, zenbakiaren balioa ere aldatu egiten da.b) Sistema hamartarrean, zifrak lekuz aldatuz gero,

zenbakiaren balioa aldatu egiten da.c) Milako erdia 5 ehuneko dira.d) 6 zifrak balio berdina du 3 648 eta 3 468 zenbakietan.e) Mila milako milioi bat dira.

Pentsatu eta egin

12

Kantitate eta datu asko bederatzi zifra baino gehiagorekin adierazten dira: Lurrean bizi garenon kopurua (7 000 000 000), mende batek dituen segundoak (3 153 600 000), argi-urte baten kilometroak (9 460 800 000 000)…Zenbakikuntza-sistema hamartarrak guk nahi bezain kantitate handiak adieraz-teko modua ematen digu. Hona hemen 9 zifratik gorako zenbakietarako zenbait ordena, adibide eta guzti:

… bil

ioia

k

mil

a m

i-li

oik

oa

k

mil

ioik

oa

k

mil

ak

oa

k

e h u

1 3 8 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Unibertsoa orain dela hamahiru mila eta zortzie-hun milioi urte sortu zen.

Pertsona gazte baten bur-muinak ehun mila milioi neurona ditu.

Lurrak bilioi bat kilome-tro kubikoko edukiera du, gutxi gorabehera.

•1 milioi ↔ 1 zifraren atzean 6 zero.•1 bilioi ↔ Milioi bat milioi ↔ 1 zifraren atzean 12 zero.•1 trilioi ↔ Milioi bat bilioi ↔ 1 zifraren atzean 18 zero.

Ohikoa ez bada ere, mila milioikoei miliar ere esaten zaie.Izendatzeko, giga aurrizkia erabiltzen da:

1 000 000 000 byte = 1 gigabyte

Kontuan hartu

2 Zenbaki handiak

1. Idatzi nola irakurtzen diren orri hasierako datuak.a) Lurrean zenbat pertsona bizi garen.b) Mende batek zenbat segundo dituen.c) Argi-urte batek zenbat kilometro dituen.

2. Idatzi zifrak erabiliz.a) Hogeita zortzi milioi hirurehun eta berrogeita

hamar mila.b) Ehun eta berrogeita hiru milioi.c) Bi mila eta zazpiehun milioi.d) Hamasei giga.e) Bilioi bat eta erdi.f ) Hamabost milioi hirurehun eta berrogeita hamar

mila milioi.

3. Kopiatu koadernoan eta osatu.a) Mila milako … bat da.b) Mila milioi … bat da.c) Milioi bat milako … bat da.d) Milioi bat milioi … bat da.

4. Giza gorputzak zelula-kopuru izugarri handia du: hamar eta hirurogeita hamar milioi milioiko bitar-tean. Adierazi kantitate horiek bilioitan.

5. Nola irakurriko zenuke 1 zifraren atzean 16 zero dituen zenbakia?

6. Zientzialarien kalkuluen arabera, Lurreko itsaso eta ozeanoetan, guztira, hiru koatrilioi kilogramo ur dau-de. Zure ustez, zer da koatrilioi bat?

Pentsatu eta egin

13

Zenbakiek zifra asko dituztenean, ez dira errazak izaten gogoratzeko, ezta erosoak ere eragiketak egiteko. Beraz, horrelakoetan, erabiltzeko errazagoa den beste zenba-ki bat hartzen dugu haren lekuan, hurbileko balioa duena eta zeroz amaitzen dena.Adibidez:

Hurbilketak egiteko modu erabiliena, praktikoena ere badelako, biribiltzea da.

Zenbakiak unitate-ordena jakin batera biribiltzeko:

• Ordena horren eskuinera dauden zifren ordez, zeroak ipintzen dira.• Ordeztu den lehen zifra 5 edo handiagoa bada, unitate bat batzen zaio aurre-

ko zifrari.

Iaz 57 963 430

pertsonak

bisitatu zuten

erakusketa.

Iaz 58 milioi lagun joan ziren

erakusketara.

Zenbat milaka milioi euro izango dira,

gutxi gorabehera?

Estatuan 500 €-ko

86 800 000 bi-llete dabiltza.

3 Zenbaki arrunten hurbilketa

Ariketa ebatzia

Hurbildu 384 523 zenbakia ehun milakoetara, hamar mila-koetara eta milakoetara.

EHUN MILAKOAK

+1 EM 8 ≥ 5

3 8 4 5 2 3

4 0 0 0 0 0

HAMAR MILAKOAK

= HM 4 < 5

3 8 4 5 2 3

3 8 0 0 0 0

MILAKOAK

+1 M 5 ≥ 5

3 8 4 5 2 3

3 8 5 0 0 0

1. Biribildu zenbaki hauek milakoetara:

a) 24 963 b) 7 280

c) 40 274 d) 99 399

2. Hurbildu milioikoetara, biribilduz.

a) 24 356 000 b) 36 905 000

c) 274 825 048 d) 213 457 000

3. Egizu honelako taula bat koadernoan:

hurbilketak

zenbakia ehun milakoetara

hamar milakoetara

Osatu taula, honako zenbaki hauen biribiltzea eginez:

530 298 828 502 359 481 299 352 362

4. Hona hemen saltzen den etxe baten prezioaren zenbait hurbilketa:

138290 €Tel.: 23987688

SALGAI

100 000 €138 000 €138 300 €140 000 €

a) Zein dago benetako preziotik hurbilen?

b) Prezioa zehatz gogoratu ezean, zein iruditzen zaizu egokiena lagunartean esateko?

c) Zein da ehun milakoetara egindako biribiltzea?

5. Udalak kirol instalazioak berritzeko 149 637 €-ko aurrekontua bideratuko duela azaldu du.

Zer zifra esango zenuke, lagunartean egonda, datu hori emateko?

Pentsatu eta egin

Hurbilketa lantzeko ariketak.Webgunean

14

Badakizu zenbaki arruntak eragiketetan erabiltzen; hala ere, kontzeptu eta pro-pietate batzuk berrikustea komeni da.

Batuketa eta haren propietateak

Gogoan izan batzea lotzea, biltzea eta gehitzea dela.Adibidez, irudian ageri den futbol-zelaian zenbat ikusle dauden jakin nahi badugu, batuketa egin behar dugu:

11 576 + 9 006 = 20 582Batuketak propietate hauek betetzen ditu:

•Trukatze-propietatea: batugaien ordena aldatuta ere, batura ez da aldatzen. a + b = b + a•Elkartze-propietatea: batugaiak taldekatzeko moduak ez dio emaitzari era-

giten. (a + b) + c = a + (b + c)

Kenketa eta kenketa-batuketa erlazioa

Gogoratu kentzea gutxiagotzea, ezabatzea, zenbat falta den edo sobera zenbat dagoen bilatzea dela; hau da, aldea kalkulatzea.Adibidez, lehen aipatu dugun partidan zenbat aulki geratu diren libre jakiteko, kenketa egin behar dugu:

25 342 – 20 582 = 4 760Kontuan hartu, horrez gainera, 25 342 = 20 582 + 4 760 dela, eta 20 582 = = 25 342 – 4 760.

Kenketaren eta batuketaren arteko erlazioa: Kk – Ktz = Kd → Kk Ktz KdKtz Kk Kd–

= +=

)

Trukatze-propietatea34 + 16 = 16 + 34

50 50

Elkartze-propietatea(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17)

21 + 17 18 + 20 38 38

Adibideak

25 342 ← Kenkizuna (Kk ) – 20 582 ← Kentzailea (Ktz ) 4 760 ← Kendura (Kd )

Gogoan izan

AFOROA: 25 342 toki

Beteta dauden tokiak

Ekialdeko harmaila: 11 576

Mendebaldeko harmaila: 9 006

4 Oinarrizko eragiketak zenbaki arruntekin

1. Kalkulatu.a) 254 + 78 + 136 b) 340 + 255 – 429c) 1 526 – 831 + 63 d) 1 350 – 1 107 – 58

2. Estimatu erantzuna eta, gero, egiaztatu.Karmelek 167 € balio duen poltsa bat, 235 €-ko euritako bat eta 32 €-ko zapi bat erosi ditu. Zenbat diru gastatu du?a) 350 € inguru gastatu du.b) 450 € gastatu du, gutxi gorabehera.c) 550 € inguru gastatu du.

3. Bihurtu.a) Batuketa hau, kenketa: 48 + 12 = 60b) Kenketa hau, batuketa: 22 – 2 – 6 = 14

4. Anderrek 15 urte gehiago balitu, osaba Tomas baino 18 urte gazteagoa izango litzateke. Tomasek 51 urte dituela jakinda, zenbat urte ditu Anderrek?

5. Garbigailua bakarrik erosiz gero, 246 € geratuko zaiz- kit sobera. Baina telebista ere erosten badut, 204 € falta zaizkit. Gai al zara tresna horietakoren batek zenbat balio duen esateko?

Pentsatu eta egin

Batuketen eta kenketen buruzko kalkulua lantzeko ariketak.

Webgunean

15

Biderketa eta haren propietateak

Gogoan izan biderkatzea batugai berdinen batuketak modu laburtuan egiteko modua dela. Adibidez, aurreko orrialdean ageri den partidarako sarrera batek 35 € balio badu, 20 582 sarrera salduta, bildutako dirua hau izango da:

35 + 35 + 35 + … + 35 = 35 · 20 582 = 720 370 € 20 582 aldiz

Biderketak propietate hauek betetzen ditu:

•Trukatze-propietatea: biderkagaien ordena aldatuta ere, biderkadura ez da aldatzen.

a · b = b · a•Elkartze-propietatea: biderkagaiak taldekatzeko moduak ez dio biderketa-

ren emaitzari eragiten. (a · b) · c = a · (b · c)•Banatze-propietatea: zenbaki bat batuketa batekin (edo kenketa batekin)

biderkatzean, berdin da lehenengo batuketa egitea eta, gero, biderketa; edo lehenengo batugaietako bakoitza biderkatzea eta, gero, batuketa egitea.

a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c

Adibide honek banatze-propietatearen esanahia ulertzen lagunduko dizu:Lagun batzuek, ostegunean, partidarako 7 sarrera erosi zituzten; eta ostiralean, beste 3, baietza beranduago eman zutenentzat. Zenbat ordaindu zuten guztira?Bi modutan kalkula genezake zenbat kostatu zaizkien sarrerak:7 sarreraren prezioa + 3 sarreraren prezioa ↔ (7 + 3) sarreraren prezioa

35 · 7 + 35 · 3 = 35 · 10

16 × 55

8 × 2 × 5 × 11

88 × 10

880Elkartze-propietateak gaiak talde- katzeko modua ematen digu; eta trukatze-propietateak, ordenaz alda-tzeko modua.

Buruzko kalkulua

35 · 7 + 35 · 3 = 35 · (7 + 3) 245 + 105 35 · 10 350 350

6. Osatu koadernoan. 5

× 2

9 0 1 2 6 0

9 8×

2 8 7 4

6 9 9 3 4

7. Gogoan izan: bider 10, 100, 1 000... egitean, zero bat, bi, hiru... gehitzen dira.a) 19 · 10 b) 12 · 100 c) 15 · 1 000d) 140 · 10 e) 230 · 100 f ) 460 · 1 000

8. Adierazi berdintza aritmetikoa erabiliz:Berdina da zenbaki bat zortzirekin biderkatzea, edo lehe-nengo bider 10 egin eta, gero, zenbakiaren bikoitza kentzea.Zer propietate erabili duzu berdintza horretan?

9. Biderkatu buruz 9 eta 11rekin, adibideetan bezala.• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207

• 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253

a) 12 · 9 b) 25 · 9 c) 33 · 9 d) 12 · 11 e) 25 · 11 f ) 33 · 11

10. Gurpil batek 1 500 bira egiten ditu minutuko. Zenbat bira egiten ditu ordubetean?

11. Baserritar batek 200 muxikondo ditu, eta arbola bakoitzarekin bosna kiloko zazpi kaxa muxika bete-ko dituela uste du.Zenbat irabaziko du kilo bat muxika 2 €-an saltzen badu?

Pentsatu eta egin

Biderketak buruz nola kalkulatu lantzeko ariketak.

Webgunean

16

Zatiketa

Gogoan izan problema aritmetikoetan sarri ageri diren eta zatiketa bidez ebazten diren bi egoera hauek:• Parke bat 15 egunez ureztatzeko, 5 625 metro kubiko ur erabili dira. Zenbat

metro kubiko ur erabili dira eguneko?

5 6 2 5 151 1 2 375 0 7 5 0 0

⎯→ 5 625 : 15 = 375 m3 eguneko

Zatitzea osotasun bat zenbaiten artean zati berdinetan banatzea da, bakoitzari zer zati dagokion jakiteko.

• Parke bat ureztatzeko, 375 metro kubiko ur erabiltzen dira eguneko. Biltegian 5 625 metro kubiko ur badaude, zenbat egunez ureztatu ahal izango da parkea?

5 6 2 5 3751 8 7 5 15 0 0 0

⎯→ 5 675 : 375 = 15 egunez

Zatitzea osotasun bat tamaina jakin bateko zati berdinetan banatzea da, zenbat zati lor daitezkeen jakiteko.

Zatiketa zehatza eta zatiketa osoa

Aurreko adibidean, 5 625 metro kubiko urekin 15 egunez ureztatu daiteke parkea, eta ez da urik geratzen sobera.

5 6 2 5 3751 8 7 5 15 0 0 0

⎯→ 5 625 = 375 · 15 Zatiketa hau zehatza dela esaten dugu.

Baina biltegian 5 700 metro kubiko ur baleude, parkea 15 egunez ureztatu eta, gainera, ura sobera geratuko litzateke.

5 7 0 0 3751 9 5 0 15 0 7 5

⎯→ 5 700 = 375 · 15 + 75 Zatiketa hau osoa dela esaten dugu.

Zatiketak zehatzak edo osoak izan daitezke, hondarraren balioaren arabera.•Zatiketa zehatza (hondarra zero da).

Zk ztz 0 zd

⎯→ Zatikizuna, berdin zatitzailea bider zatidura. Zk = ztz · zd

•Zatiketa osoa (hondarra ez da zero). Zk ztz h zd

⎯→ Zatikizuna, berdin zatitzailea bider zatidura gehi hondarra.

Zk = ztz · zd + h

EGUNEKOA UREZTATZEKO URA

• Zatiketen buruzko kalkulua lantzeko ariketak.

• Zatiketak lantzeko ariketak.

Webgunean

17

Zatiketaren propietate bat

Aztertu zer gertatzen den zatiketa batean zatikizuna eta zatitzailea zenbaki bera-rekin biderkatzen ditugunean:3 zuhaixka ureztatzeko 24 litro ur erabiltzen ditugu. Zer gertatuko da bi bider zuhaixka gehiago baditugu, eta litro-kopurua ere bikoitza badugu? 24 litro 48 litro

24 30 8

48 60 8

Litro-kopuru bikoitza zuhaixka-kopuru bikoitzarekin zatitzean, ez da aldatzen bakoitzari dagokion ur-kantitatea.

Zatiketa batean zatikizuna eta zatitzailea zenbaki berarekin biderkatuz gero, zatidura ez da aldatzen.

12. Kalkulatu zatiketa hauetako zatidura eta hondarra:a) 96 : 13 b) 713 : 31 c) 5 309 : 7d) 7 029 : 26 e) 49 896 : 162 f ) 80 391 : 629

13. Egin zatiketa hauek buruz, atalka, adibidean bezala.

• 96 : 12 8

: 3 32 : 4

a) 60 : 12 b) 180 : 12 c) 300 : 12d) 75 : 15 e) 90 : 15 f ) 180 : 15g) 180 : 30 h) 240 : 30 i) 390 : 30

14. Egin eragiketak koadernoan, eskeman adierazten den bezala.

(36 : 12) : 3

:

36 : (12 : 3)

:

Zer ikusten duzu?

15. Kalkulatu eta konparatu emaitzak. Gero, egin go-goeta eta erantzun.a) (50 : 10) : 5 50 : (10 : 5)b) (36 : 6) : 2 36 : (6 : 2)Betetzen du zatiketak elkartze-propietatea?

16. Aurkitu zatiketa bakoitzean falta den gaia:zatikizuna 53 39 15

1 000 zatitzailea 12 38

17. Egia ala gezurra?a) Zatidurak zatitzailea baino handiagoa izan behar du.b) Hondarra zatitzailea baino txikiagoa da beti.c) Zatiketa zehatza bada, zatikizuna bider bi eginez

gero, zatidura bikoiztu egiten da.d) Zatikizuna eta zatitzailea 3rekin biderkatuz gero,

zatidura hirukoiztu egiten da.e) Zatiketak trukatze-propietatea betetzen du.

18. Ebatzi arkatza eta papera erabili gabe.a) 150 gramo mortadela hiru ogitartekotan banatu

behar dugu. Zenbat gramo jarriko dugu bakoitzean?b) 36 kilo sagar 3 otzaratan banatu behar ditugu.

Zenbat kilo sartuko dugu otzara bakoitzean?c) Autobidean, 240 kilometro hiru ordutan egin ditu-

gu. Zenbat kilometro egin dugu ordu bakoitzeko?d) Zenbat minutu dira 180 segundo?

19. Baserritar batek 1 274 arrautza batu ditu, 30 arrau-tzako azpiletan ontziratuko ditu eta, gero, 10 azpile-ko kaxak egingo ditu.Zenbat arrautza geratuko dira azpil osoa osatu ezinik?Zenbat azpil geratuko dira kutxa osatu ezinik?

Pentsatu eta egin

18

Eragiketen ordena

Eragiketa konbinatuak dituzten adierazpenak ebazteko, kontuan hartu behar dira matematikako hizkuntzaren arauak. Horien helburua adierazpen bakoitzak esanahi eta soluzio bakarrak izatea da.Aztertu adierazpen hauek zer ordenatan ebatzi ditugun. Zenbakiak eta eragike-tak berberak dira hiru adierazpenetan, baina emaitzak desberdinak dira.

48 : 3 + 5 – 2 · 3

16 + 5 – 6

21 – 6

15

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 8 – 6

6 – 6

0

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 3 · 3

16 + 9

25

Eragiketa konbinatuak dituzten adierazpenetan, ordena honetan egin behar ditugu eragiketak: • Lehenengo, parentesi artekoa. • Gero, biderketak eta zatiketak. • Azkenik, batuketak eta kenketak.

Behin-behineko langile batek, hil honetan, 7 orduko 12 lanegun egin ditu goizeko txandan; horrez gain, 5 egunetan, 6 orduz goizeko txandan aritu da eta 3 orduz gauekoan. Zenbat lanordu egin ditu guztira hil osoan?

Bi adierazpenen bidez ebatz dezakegu: 12 5 goizez gauez lanegunetan lanegunetan 12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 = 12 · 7 + 5 · (6 + 3) = = 84 + 30 + 15 = 129 = 84 + 5 · 9 = 84 + 45 = 129Soluzioa: 129 lanordu egin ditu guztira.

Problema ebatzia

Ikasi kalkulagailua erabiltzen

Sartu kalkulagailuan segida hau: 2 + 3 * 4 =Kontuz! Makina motaren arabera, pantailan bi soluzio ager daitezke: 20 edo 14.

{∫“≠} → Kalkulagailuak datuak sartu ahala egiten ditu eragiketak.(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20

{∫‘¢} → Kalkulagailuak eragiketen lehentasuna errespetatzen du (biderketak, lehenengo).

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Ikusten duzunez, kalkulagailu guztiek ez dute barne logika bera. Zeurea nolakoa den jakin behar duzu, eta kontuan hartu, kalkuluak egiten hasi baino lehen.

12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 84 + 30 + 15 129

12 · 7 + 5 · (6 + 3) 84 + 5 · 9 84 + 45 129

5 Eragiketa konbinatuen adierazpenak

Zergatik?

Idatzi bi zifrako zenbaki bat, a b .Idatzi zenbaki hori, baina zifren orde-na aldatuta, b a .Batu bi zenbakiak eta zatitu emaitza bi zifren arteko baturarekin, a + b.

( a b + b a ) : (a + b) = …?

Zer lortu duzu? Aztertu zergatik.

19

Ebatzi, lau eragiketako kalkulagailua erabilita.

a) 40 – 12 : 4 + 2 · 3

Teklen segida: 40 ≤ 12 / 4 µ 2 * 3 ≤ Ñ ⎯→ {∫∫∫∫∫∫¢«}b) (40 – 12) : 4 + 2 · 3

Teklen segida: 40 - 12 =/ 4 ≤ 2 * 3 ≤ Ñ ⎯→ {∫∫∫∫∫∫‘«}Egiaztatu.

Ariketa ebatzia

1. Egin eragiketak adibideetan bezala.• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4

• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4

a) 8 + 5 · 2 b) 13 – 4 · 3 c) 5 + 6 : 3 d) 15 – 10 : 5 e) 4 · 2 + 7 f ) 4 · 6 – 13 g) 15 : 3 + 10 h) 5 · 6 – 18

2. Ebatzi buruz eta konparatu emaitzak.a) 2 + 3 · 4 (2 + 3) · 4 b) 6 – 2 · 3 (6 – 2) · 3 c) 15 – 4 · 3 (15 – 4) · 3 d) 5 · 2 + 4 5 · (2 + 4) e) 2 · 15 – 10 2 · (15 – 10)

3. Kalkulatu, adibideko urratsak betez.• 4 · 5 – 3 · 4 – 2 = 20 – 12 – 2 = 8 – 2 = 6

a) 4 · 6 + 3 · 6 – 25 b) 3 · 5 – 12 + 3 · 6c) 6 · 3 – 4 – 7 d) 28 – 4 · 5 + 3e) 6 · 5 – 10 + 8 : 4 f ) 19 + 10 : 2 – 8 · 3g) 15 : 3 + 4 · 2 + 3 · 4 h) 4 · 7 – 4 · 2 – 3 · 5

4. Aztertu adibidea eta kalkulatu.• 4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5

a) 2 · (7 – 3) – 5 b) 3 · (10 – 7) + 4c) 4 + (7 – 5) · 3 d) 18 – 4 · (5 – 2)e) 8 – (9 + 6) : 3 f ) 22 : (7 + 4) + 3g) 5 · 2 + 4 · (7 – 5) h) 18 : 2 – 2 · (8 – 6)

5. Ebatzi eragiketak, azaldu pauso bakoitza eta aztertu eskuineko soluzioa zuzena den. Zurearekin bat ez badator, egin ariketa berriro.a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) ⎯→ 14b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 ⎯→ 2c) 21 : (3 + 4) + 6 ⎯→ 9d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 ⎯→ 7e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 ⎯→ 1f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2) ⎯→ 0h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)] ⎯→ 12

6. Idatzi enuntziatu hauetako bakoitza ebatziko duen adierazpena eta kalkulatu soluzioa.a) Furgoneta batek 8 kaxa banana, 20 kaxa laranja

eta 6 kaxa sagar daramatza. Bananaz beteriko kaxa bakoitzak 15 kiloko pisua du; eta laranjaz eta sa-garrez beterikoek, 8na kilokoa. Zenbat kilo fruta daramatza furgonetak?

b) Supermerkatu batek 20 sorta esne oso, 15 sorta gaingabetu eta 10 sorta erdigaingabetu eskatu di-tu. Sorta bakoitzean litroko sei kaxa daude. Zenbat kaxa eskatu ditu guztira?

c) Kafetegi batean 15 mahai, 55 eserleku eta 12 aulki daude. Zenbat hanka daude guztira?

(oharra: mahaiak eta eserlekuak 4 hankakoak dira, eta aulkiak, 3 hankakoak).

d) Baserritar batek 1 500 arrautza 10 unitateko kaxatan ontziratu ditu; beste horrenbeste arrautza, 6 unita-teko kaxatan; eta ekoizpen ekologikoko 300 arrau- tza ere, 6 unitateko kaxatan. Zenbat kaxa bete ditu?

Pentsatu eta egin

20

Ariketak eta problemak

Zenbakikuntza-sistemak

1. Idatzi Antzinako Egiptoko zenbaki hauek sistema hamartarrean:

2. Idatzi zenbaki hauetako bakoitza egiptoarren sis-tema batukorrean:

a) 48 b) 235 c) 2 130

3. Adierazi zenbaki erromatarretan.

a) 87 b) 425 c) 2 600 d) 54 528

4. Idatzi «berrogeita hamazazpi» zenbakia hiru zenbakikuntza-sistematan, gutxienez.

5. Zenbat zifra behar dituzu…

a) … bilioi bat idazteko?

b) … trilioi bat idazteko?

Zenbat zero idatzi behar duzu kasu bakoitzean?

6. Izar bat, A, bost-argi urtera dago; eta beste izar bat, B, bost bilioi kilometrora. Zein dago urrunago?

7. Kopiatu koadernoan eta osatu taula.

hurbilketak

zenbakia ehun milakoetara milioikoetara

2 830 55419 270 000

399 675 000

8. Egia ala gezurra?

a) Mila ehuneko milioi bat dira.

b) Mila ehun milako ehun milioi dira.

c) Giga bat mila milioi dira.

d) Ehun giga bilioi bat dira.

e) Milioi bat milioi bilioi bat dira.

Zenbakien erabilera

9. Kairoko egunkari batek argitaratu duenez, Egip-toko hiriburuan 16 794 464 bizilagun zeuden 2013ko ekainean. Zifra horri buruz galdetuko balizute, eta kopuru zehatza gogoratuko ez bazenu, zer erantzun-go zenuke?

10. Beheko taula honetan, 2008. urteko arrain-kon-tsumoari buruzko datu batzuk daude bilduta:

pisua (tonak)

prezioa (milaka €)

freskoa 441 696 1 087 368izoztua 445 115 781 169guztira 886 811 1 868 537

Osatu berriro taula, baina pisuaren datuak milioika kilo-tara hurbilduz, eta prezioarenak, ehun milioika eurotara.

11. Honako hau auto baten matrikula da:

9900-JMAa) Zein da hurrengo matrikulatu zuten autoaren

matrikula? Eta aurretik matrikulatu zutenarena?b) Zenbat auto matrikulatu ziren, horren ostean, letra

horiekin?c) Beste auto batek matrikula hau du:

0273-JMCBietako zein da zaharragoa?Zenbat auto matrikulatu dira bi horien artean?

12. Zenbaki hauek hondartza ondoko hotel bateko logelenak dira:

401 235 724 231a) Horietako bat korridorearen amaieran dago. Zein?b) Beste bat azkeneko solairuan dago. Zer zenbaki du?c) Zein daude altuera berean?

13. Iragarki batean, zu bizi zaren inguruko etxe bat saltzen dela ikusi duzu, 293 528 €-an. Handik egun batzuetara lagun bati kontatu diozu, baina ez duzu zenbakia zehatz gogoratzen. Honako adieraz-pen hauetako zein aukeratuko zenuke lagunari infor-mazioa emateko? Azaldu zergatik.— Ia hirurehun mila euro balio du.— Berrehun eta piko mila balio du.— Berrehun eta laurogeita hamar mila balio du.

A

C

B

D

21

EragiketakBatuketak eta kenketak

14. Kalkulatu.a) 6 070 + 893 + 527 b) 651 + 283 – 459c) 831 – 392 – 76 d) 1 648 – 725 – 263

15. Kopiatu koadernoan, kalkulatu eta osatu.a) 48 + … = 163 b) … + 256 = 359c) 628 – … = 199 d) … – 284 = 196

16. Kalkulatu buruz.a) 5 + 7 – 3 – 4 b) 18 – 4 – 5 – 6c) 10 – 6 + 3 – 7 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5e) 12 + 13 + 8 – 23 f ) 40 – 18 – 12 – 6

17. Kalkulatu.a) 47 – (35 – 28) b) 52 – (36 – 27)c) 128 – (86 – 45 – 12) d) 237 – (152 + 48 – 14)e) 348 – (148 – 86 + 29) f ) 235 – (340 – 152 – 84)

18. Kalkulatu.a) 5 – [7 – (2 + 3)]b) 3 + [8 – (4 + 3)]c) 2 + [6 + (13 – 7)]d) 7 – [12 – (2 + 5)]e) 20 – [15 – (11 – 9)]f ) 15 – [17 – (8 + 4)]Egiaztatu emaitzak:a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10

Biderketak eta zatiketak

19. Biderkatu.a) 16 · 10 b) 128 · 10 c) 60 · 10d) 17 · 100 e) 85 · 100 f ) 120 · 100g) 22 · 1 000 h) 134 · 1 000 i) 140 · 1 000

20. Kalkulatu zatidura eta hondarra kasu hauetako bakoitzean:a) 2 647 : 8 b) 1 345 : 29c) 9 045 : 45 d) 7 482 : 174e) 7 971 : 2 657 f ) 27 178 : 254

21. Kopiatu koadernoan eta osatu.

8 5 6 3 6

8 2 14 9 5 7 6

22. Kopiatu koadernoan, kalkulatu eta osatu.

a) 123 · … = 5 904 b) … · 86 = 1 548

c) … : 57 = 26 d) 1 862 : … = 133

23. Kalkulatu buruz.

a) 3 · (10 : 5) b) (4 · 6) : 8

c) 20 : (2 · 5) d) (30 : 5) · 3

e) 10 : (40 : 8) f ) (40 : 8) : 5

24. Kalkulatu buruz; kontuan izan berdina dela zati 5 egitea, edo lehenengo zati 10 eta, gero, bider 2 egitea.

• 90 : 5 18

: 10 9 · 2

a) 60 : 5 b) 80 : 5 c) 120 : 5

d) 140 : 5 e) 170 : 5 f ) 200 : 5

g) 210 : 5 h) 340 : 5 i) 420 : 5

25. Kopiatu koadernoan, kalkulatu eta osatu.

6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60

................. = 5 · 9 – 5 · 6 = ....

(10 – 8) · 4 = ...................... = ....

................. = 7 · 12 – 2 · 12 = ....

Zer propietate erabili duzu?

26. Ebatzi buruz.

a) Bidoi batean 5 litro ur sartzen dira. Zenbat bidoi beteko ditugu 100 litro urekin?

b) Kilo bat almendrak 12 € balio du. Zenbat balio du 5 kiloko poltsa batek?

c) Kaxa bat freskagarritan 24 botila daude. Zenbat botila daude 10 kaxatan?

d) Autoaren lau gurpilak aldatzea 360 euro kostatu zaigu. Zenbat balio du gurpil bakoitzak?

22

Ariketak eta problemak27. Egia ala gezurra?

a) Zenbaki bat bider hiru eginda eta zenbaki horri bikoitza batuta emaitza bera lortzen dugu.

b) Hiru bider hamabost eta hamabost bider hiru gau-za bera dira.

c) Berdina da hamarrekin biderkatzea edo bostekin bitan biderkatzea.

d) Berdina da bider hamar egitea edo, lehenengo, bi-der bost eta, gero, bider bi egitea.

e) Trukatze-propietatea zenbaki bikoitien kasuan bakarrik betetzen da.

28. Ikertu: Zatiketa batean, zatikizuna eta zatitzailea zenbaki berarekin biderkatuz gero, zatidu-ra ez da aldatzen. Baina zer gertatzen zaio hondarrari?

Eragiketa konbinatuak

29. Egin eragiketak.a) 2 · (4 + 6) b) 2 · 4 + 6c) 8 : (7 – 5) d) 5 · 7 – 5e) (5 + 6) · 4 f ) 5 + 6 : 3g) (19 – 7) : 2 h) 18 – 7 · 2

30. Kalkulatu.a) 8 + 7 – 3 · 4 b) 8 : 4 + 7 – 3c) 15 – 2 · 3 – 5 d) 10 – 12 : 6 – 4e) 22 – 6 · 3 + 5 f ) 8 + 10 : 5 – 10g) 36 – 8 · 4 – 1 h) 11 – 2 – 9 : 3i) 4 · 7 – 13 – 2 · 6 j) 15 : 3 + 7 + 4 : 2k) 5 · 4 + 12 – 6 · 4 l) 12 : 4 – 1 – 6 : 3m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 n) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7ñ) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8 o) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2

31. Idatzi, kasu hauetako bakoitzean, balantzan ageri den pisua emango duen adierazpen bat:

32. Kalkulatu.a) 30 – 4 · (5 + 2)b) 5 + 3 · (8 – 6)c) 5 · (11 – 3) + 7d) 3 · (2 + 5) – 13e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4)f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2)h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)Egiaztatu soluzioak:a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11

Interpretatu, deskribatu, adierazi

33. Lotu enuntziatuetako bakoitza beheko bi adieraz- penekin: I. Autobusean 50 pertsona zihoazen. Lehenengo

geltokian 16 jaitsi dira eta 4 igo. II. Musika-eskolan 50 ikasle daude izena emanda,

baina gaur 4 ikaslek huts egin dute eta beste 16 kontzertu batera joan dira.

III. Elederrek 16 €-ko kamiseta eta 4 €-ko txapela erosi ditu, eta 50 €-ko billete batekin ordaindu du.

IV. Hotelean 50 bezerok hartu dute gauean ostatu. Gaur, 16 bezero berri datoz eta 4 badoaz.

a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4c) 50 – (16 + 4) d) 50 – (16 – 4)e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

34. Beheko zer adierazpenekin kalkula genezake segi-da honetako hamabosgarren gaia?:

1 - 5 - 9 - 13 - 17 - 21 - …1 + 15 · 4 1 + 14 · 4 15 · 4 – 3 16 · 4 – 3

35. Beheko zer adierazpen aritmetikok ema-ten digute problema honen soluzioa?:Supermerkatuan 24 kilo sagar 2 €/kg-an saldu dira gaur goizean; 12 meloi, 4 euroan bakoitza; eta 13 ana-na, 2 euroan bakoitza. Zenbat diru sartu da kutxan fruta horiek guztiak salduta?a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2 b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4 d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

A B

23

36. Matematikako irakasleak puntuen bidez saritzen du agindutako lana.

A: 1 puntu eragiketa errazen ariketa bakoitzeko.

B: 2 puntu eragiketa zailagoen ariketa bakoitzeko.

C: 3 puntu teoriari buruzko ariketa bakoitzeko.

D: 3 puntu problema bakoitzeko.

Taula honetan, lanak eman dituztenen datuak daude:

a b C d

leire 5 4 6markos 3 4 4 5ane 2 2 9

Eragiketak eta datuak konbinatuz, idatzi ikasle bakoitzak zenbat puntu bildu dituen kalkulatzeko adierazpen bat.

37. Irakurri problemaren enuntziatua eta aztertu ebaz- pena. Gero, azaldu eragiketa bakoitzaren esanahia eta zer lortu den emaitza partzial bakoitzean.

Etxalde batean zaldiak, behiak eta oiloak daude. Guztira, 714 hanka, 168 adar eta 137 moko zenbatu ditugu. Zenbat zaldi daude etxaldean?

Ebazpena

1. 168 : 2 = 84 2. 84 · 4 = 336

3. 137 · 2 = 274 4. 336 + 274 = 610

5. 714 – 610 = 104 6. 104 : 4 = 26

Ikasi problemak ebazten

Zer erosi du? Zenbat ordaindu du? Zer egin du gero?Zer saldu du eta zer preziotan? Zer galdetzen dizute?

Poltsatan zenbat kilo sartu dituen jakitea komeni zaizu?

Azkenik…

Kalkula dezakezu zenbat poltsa betetzen dituen?

Eta zenbat poltsa betetzen di-tuen jakinda, zenbat diru bil-duko duen kalkula dezakezu?

— Bai. Erositako kiloak kalkulatu, eta baztertutakoak kenduko ditut:Erositakoak: 150 zaku × 30 kilo = 4 500 kiloPoltsaratutakoak: 4 500 – 300 = 4 200 kg

— Neuk amaituko dut! Lortutako irabaziak hauek dira:Bildutako dirua – Gastuak: 3 360 – 2 000 = 1 360 €

Soluzioa: Dendaren jabeak 1 360 euroko irabaziak izan ditu.

— Erraza da: dituen kiloak poltsa bakarrean daudenekin zatitu:Honenbeste poltsa: 4 200 : 5 = 840 poltsa

— Jakina. 840 poltsa, 4 euroan salduz bakoitza, honenbeste da:Bildutako dirua: 840 × 4 = 3 360 €

Denda baten jabeak 30na kg-ko 150 zaku patata erosi ditu, 2 000 €-an. Ero-sitakoa aztertzean, 300 kg baztertu ditu, eta gainerakoak 5 kg-ko poltsatan banandu ditu. Poltsa bakoitza 4 €-an saldu badu, zenbateko irabaziak izan ditu?

Ziurtatu enuntziatua ulertu duzula.

Pentsatu zer bide hartuko duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

23

24

Ariketak eta problemak

Ebatzi problemak38. Banaketa-kamioi batek 15 kaxa laranjazko freskagarri

eta 12 kaxa limoizko freskagarri daramatza. Zenbat botila daramatza guztira, kaxa bakoitzean 24 daudela jakinda?

39. Smith familian, Jonathan aitak 1 940 dolar kobratzen ditu hilean. Jakinda Jon semeak baino 720  dolar gehiago irabazten dituela, Cathy alabak baino 880 dolar gehiago, eta Chaterine emazteak bai-no 280 dolar gutxiago, zenbateko diru-sarrerak ditu familia horrek, guztira, hilean?

40. Autobus bat aireporturantz abiatu da barruan 54 turista daramatzala, baina bidean matxura izan du. Hegazkinak ez duenez itxaroten, bidaiariak lauko tal-detan taxiz eramatea erabaki du arduradunak. Zenbat taxi beharko dituzte?

41. Laukizuzen itxurako landa itxi bat daukagu, 150  m × 300 m neurrikoa, eta makalak landatuko ditugu. Hesiekiko paralelo diren ilara eta zutabetan jarriko ditugu, hegaletatik eta bata bestetik 5 metroko distantzia utziz. Zenbat makal landatuko ditugu?

42. Herri batean bi mila bizilagun daude, baina hurrengo hamar urteetan biztanleria % 50 handituko omen da. Hori betetzen bada, zenbat bizilagun egon-go dira hamar urte barru?

43. Automobil fabrika batek 15 660 auto egin ditu guztira urtarril, otsail eta martxoan. Zenbat auto egi-ten ditu, batez beste, egun bakoitzeko?

44. Arrantza-ontzi batek 1 300 kg legatz harrapatu, eta 9 100 €-ko irabazia lortu du. Zenbateko irabazia lortuko du portu horretara kalitate bereko 1 750 kg legatz ekarri dituen beste ontzi batek?

45. Herri turistiko bateko ostalaritza sektorean, 12 845 pertsona kontratatu dituzte hilabete honetan. Bostetik hiru emakumeak dira. Zenbat emakume kontratatu dituzte ostalaritzan lan egiteko?

46. Erkidego batean erregistratu diren 8 300 sozietateetatik, ehuneko hiru irabazi asmorik gabeko erakundeak dira (GKEak). Zenbat GKE daude erre-gistratuta erkidego horretan?

47. 8 400 biztanleko herri batean, bostetik lauk lan egiteko adina dute; eta horietatik, zazpitik bost daude lanean. Zenbat herritar daude lanean?

48. Finantza-sozietate batek hasierako kapita-la 25 000 akziotan zatikatuta dauka, eta 375 000 euroko irabaziak banatzen ditu. Zer dibidendu dagoz- kio 1 530 akzio dituen inbertitzaile bati?

49. Mendizale bat martxa onean doa, 75 pauso ema-nez minutuko, eta pauso bakoitzean 84 cm egiten ditu. Helmuga irteeratik 4 km-ra du, eta ordubete bai-no lehenago heltzeko asmoa du. Lortuko du? Zergatik?

50. Etxetresna elektrikoak egiten dituen lantegi batean, egunean 250 garbigailu egiten dituzte, eta bakoitza egitea 208 € kostatzen da, batez beste. Zenbateko irabazia lortuko dute, hilabeteko pro-dukzioa bi milioi euroan salduz gero handizkari bati?

51. Kosmek ahate eta antzara etxaldea du. Gaur 21 animalia saldu ditu, 350 euroan guztira.Jakizu antzarak baino bi aldiz ahate gehiago saldu duela, eta antzara batek ahate batek hiru halako balio duela.Zenbat balio du ahate batek? Eta antzara batek?

52. Autobia batetik doan automobil batek 78 segun-do behar izan ditu 90 km/h-ko abiadura-muga duen 2 km-ko tartea egiteko. Zure ustez, baimendutakoa baino abiadura handiagoan joan da? Zergatik?

53. Hazten ari den telefonia mugikorreko konpai-nia batek zortziehun eta berrogeita hamar mila dei kudeatu ditu eguneko amaitu berri den hiruhileko honetan. Hurrengo hiruhilekoan milioi bat deira iris-tea espero dute; eta datozen bi urteetan ere, kantita-te bera igotzea hiruhileko guztietan. Aurreikuspenak betez gero, zenbat dei kudeatuko dituzte egunean bi urte barru?

54. Andoni, Bea, Karmele eta Dabid zinemara sartu dira. Zenbat modutan eser daitezke eurei dagozkien aulkietan?

Egizu, lehenengo, problema errazago bat: Zenbat mo-dutan eseri ahal izango dira Andonik 1. eserlekua hartu badu?

25

55. Zero eta bat zifrak bakarrik erabilita, hiru zifrako lau zenbaki desberdin idatz daitezke:

110101

01

1000

1

0 1111

1

3.2.1.

Lau zifrako zenbat zenbaki daude zero eta bat zifrez bakarrik osatuta? Eta bost zifrako zenbat?

56. Jatetxe bateko kartan, lehenengorako bost pla-ter, bigarrenerako hiru eta postrerako bi eskaintzen dira. Zenbat modutan aukeratu ahal izango du menua multzo bakoitzetik plater bat hartzen duen bezeroak?

57. Erlezain batek 187 erlauntz ditu eta urtean bi uztarako produkzioa ematen diote. Uzta bakoi-tzean 9 kilo ezti ateratzen ditu, batez beste, erlauntz bakoitzetik. Eztia kilo erdiko ontzietan sartu eta sei ontziko kaxak saltzen ditu gero, 18 euroan bakoitza. Zenbateko irabaziak ematen dizkiote erleek urtean?

58. Grafiko honetan, hiruhileko batean fabrikaturiko 30 690 automobilak koloreka sailkatuta ageri dira.

GRISA ZURIA BERDEA URDINA GORRIA BESTE BATZUK

Zenbat automobil gorri fabrikatu dira epe horretan?

59. Barnealdeko herri bateko bizilagunen oporraldiei buruzko estatistika egiteko, galdeketa egin eta datu hauek bildu dira:— % 56 hondartzara joan da.— % 47k gurasoen herrian egin ditu egun batzuk.— % 23 bai hondartzara bai gurasoen herrira joan da.Bizilagunen zer ehuneko ez da egon ez hondartzan ez gurasoen herrian?

60. Gorka eta Fernando etxe berean bizi dira eta ikaste-txe berera doaz. Gorkak 20 minutuan egiten du etxetik ikastetxerako bidea bakarrik doanean. Fernandok, be-rriz, 30 minutu behar ditu bide hori egiteko.Gaur, Fernando Gorka baino bost minutu lehenago abiatu da ikastetxerantz. Zenbat denbora beharko du Gorkak Fernando harrapatzeko?

«+» problemak

61. Lau lagun binaka jarri eta pisatu dira, bikote posible guztiak eginez. Gero, lortu dituzten emaitzak idatzi dituzte, desordenan:

83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kgHandienak 46 kg dituela jakinda, zenbat pisatzen du lagun bakoitzak?

62. Motoziklismoko sari nagusia jokatzen ari dira Gesaltza Aintzirako zirkuituan.Moto berdea txarto irten da eta 1 minutu eta 46 segundoan egiten ari da buelta bakoitza. Moto gorria ondo irten da, baina 1 minutu eta 48 segundoan ari da.Une honetan moto gorria igaro da kontrol-lerrotik, eta moto berdea, 3 segundo geroago.Zenbat denbora beharko du moto berdeak gorriari itzulia kentzeko?

63. DBHko lehenengo mailan matrikulatu diren ikasleei buruz honako hau dakigu:— 44 jantokian gelditzen dira, 58 autobusez doaz,

eta 47 eskolaz kanpoko ekintzetan dabiltza.— 24 jantokira eta eskolaz kanpoko ekintzetara doaz.— 23k jantokia eta autobusa erabiltzen dute; 25 au-

tobusez joan eta EKEetan dabiltza.— 11k hiru zerbitzuak erabiltzen dituzte; 17k, bat ere ez.Zenbat ikasle daude matrikulatuta DBHko lehenen-go mailan?

Lagungarri izan-go zaizu hone-lako grafikoa?

DBH 1.

JANTOKIA AUTOBUSA

EKE

64. Martinak hau egin du lehenengo 7 zenba-ki arrunten arteko batura kalkulatzeko.

:

1 2 3 4 5 6 77 6 5 4 3 2 18 8 8 8 8 8 8

8 7 5656 2 28

·+ + + + + ++ + + + + + +

+ + + + + +

==4

Jakingo al zenuke batetik ehunera bitarteko zenba-kien arteko batura kalkulatzen?

26

Matematika lantegia

Abakoak kultura askotan erabili izan dituzte historian zehar; adibidez, greziarrek, feniziarrek, erromatarrek eta txinatarrek.

Denetan indartsuena txinatar abakoa da. Eskuineko irudian 13 900 zenbakia ageri da adierazita, esaterako. Ikusten duzu zenbakia?

• Zer zenbaki dago adierazita abako haue-tako bakoitzean?

Pentsatu eta atera ondorioak

eta ikasiizan ekimena

IkertuDeszifratu zer mugimendu egin behar den abakoan 326 + 15 batuketa egiteko.

• Eredu horri jarraituz, irudikatu eragiketa hauen mugimenduak ere:a) 341 – 15 b) 563 + 361

26

Lortu informazioa eta ikertuGeometriadun zenbakiak•1, 3, 6 eta 10 zenbakiak triangelu-itxura hartzen duten pun-

tu banaketen bidez adieraz daitezke, eskuinean ikus dezake-zunez. Hori dela eta, zenbaki triangeluar esaten zaie. Zein izango dira hurrengo hirurak? Irudikatu.

•Zenbaki karratuak ere badaude. Zure ustez, zein dira lehe-nengo laurak? 100 zenbakia karratua da? Zergatik?

•Zer zenbaki lotzen duzu eskuineko irudiarekin? Gai zara mota horretako besteren bat irudikatzeko?Goian ikusi ditugunak zenbaki triangeluarrak eta zenbaki karratuak izan badira, nola esango zenieke azken horiei?

3 6 101

Matematika-lantegia

27

1. Osatu koadernoan honako taula hau:

zenbakikuntza-sistemak

egiptoarra erromatarra hamartarra

mmcdxlviii4 528

Esan sistema bakoitza zer den, batukorra ala posizio-nala. Zein da aldea?

2. Aztertu kantitate hauek:• Brasilek 8 514 877 km2-ko hedadura du.• Ibai honen emaria 209 487 m3/s-ko da.• Leirek seiehun eta laurogeita bost mila laurehun eta

hogeita zazpi euroko saria irabazi du.• Australiak hogeita bi milioi seiehun eta laurogeita

zazpi mila laurehun eta hogeita zazpi biztanle ditu.a) Idatzi letren bidez zenbakitan adierazita dauden

kantitateak, eta zenbaki bidez letretan eman di-renak.

b) Biribildu hamar milakoetara.c) Biribildu informazioa, arrazoizkoa izateko ego-

kien iruditzen zaizun unitate-ordenara, eta adie-razi zer ordenatara biribildu duzun.

3. Kalkulatu.a) 1 528 + 35 + 482 b) 4 321 + 189 – 1 387c) 324 · 28 d) 3 611 : 157

4. Kopiatu koadernoan eta kalkulatu falta diren gaiak.a) 154 · = 462 b) : 27 = 98c) 30 275 : = 35 d) 1 508 = · 125 + 8

5. Kopiatu koadernoan eta bete hutsuneak.a) 18 · = 180 b) · 100 = 27 000c) 4 000 : = 40 d) : 10 = 38

6. Egin honako eragiketa konbinatu hauek:a) 12 + 3 · 5 – 2 b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2c) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]

7. 50, 20 eta 10 zentimoko txanpon piloa daukazu. Zenbat modutan osatu ahal izango duzu euro bat? Arrazoitu erantzuna.

8. Nekazari batek sagarrondoak ditu bi lur-arlotan: 165 sagarrondo batean, eta 213 bestean. Zuhaitz bakoi-tzeko, batez beste, 35 kg sagar batzea espero du. Uzta batu ondoren, 10 kg-ko kaxatan sailkatu, eta kaxa bakoitzeko 3 € ordaintzen dizkion biltegi bati sal-duko dizkio. Bere usteak betez gero, zenbateko iraba-zia emango dio aurtengo uztak?

Autoebaluazioa

Egin gogoeta, saiatu eta izan antolatua•100 eta 200 arteko zenbaki bakoiti guztiak idazten

badituzu, zenbat aldiz erabiliko duzu 6 zifra?

•Bi zifrako zenbat zenbaki palindromo daude? Eta hiru zifrako zenbat?

•Zenbat aldiz erabiliko duzu 5 zifra hiru zifrako zenbaki palindromo guztiak idazteko?

•Hiru zifrako zenbat zenbaki idatz daitezke 1, 2 eta 3 zifrak bakarrik erabilita?

•Idatzi 1etik 9ra arteko zenbaki guztiak, lauki bakoi-tzean bat, baina lerrokatuta dauden hirukote guztien batura 15 izan behar dela kontuan hartuz.

Trebatu problemak ebazten

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean