Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate etaIkerketa Sailak onetsia (2018-VI-7)

Azala eta liburuaren diseinua:IturriMaketazioa:EreinAzaleko irudia eta ilustrazioak:Iván Landa© Lander Intxausti, Santiago Larrañaga© EREIN. Donostia 2018ISBN: 978-84-9109-268-1L.G.: SS-713/2018EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 10720018 DonostiaT 943 218 300 F 943 218 311e-mail: erein@erein.euswww.erein.eusInprimatzailea: GertuZubillaga industrialdea 920560 OñatiT 943 78 33 09 F 943 78 31 33e-mail: gertu@gertu.net

Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikaziopubliko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, le-geak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honenzatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, joCedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org91 702 19 70 / 93 272 04 47).

MATEMATIKA1DBH

Lander INTXAUSTI

Santiago LARRAÑAGA

Ikaslearentzako baliabide eta jarduera gehigarriak eskaintzen dituenonline Ereingo hezkuntza plataformarekin osatzen da ikasmaterialhau:

• Unitate bakoitzeko aplikazio-jarduera gehigarriak jasotzen ditu.

• Unitate bakoitzeko amaierako online testa.

• Problemen online lantegia: problemen ebazpena lantzekoberariazko baliabidea.

Pasahitz bat emango zaizu, osagarrizko online materialetara sartzeko.

Aurkibidea

1. Zenbakikuntza1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Zenbaki arruntak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Zenbaki osoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145. Berreketa eta erroketa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322. Zatigarritasuna1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343. Zatigarritasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463. Geometria planoan eta espazioan1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483. Geometriaren oinarrizko elementuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484. Irudi geometrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555. Gorputz geometrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774. Zenbaki arrazionalak: Zatikiak, zenbaki hamartarrak eta ehunekoak1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803. Zenbaki arrazionalaren kontzeptua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804. Zatikiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815. Zenbaki hamartarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936. Ehunekoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115. Perimetroa eta azalera. Simetria. Friso eta mosaikoak.1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143. Perimetroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144. Azalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175. Simetria eta mosaikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6. Estatistika deskribatzailea1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343. Estatistika deskribatzailearen oinarrizko kontzeptuak . . . . . . . . . . . . . . . . 1344. Estatistika-grafikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385. Neurri estatistikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457. Aljebra1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483. Aljebraren oinarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484. Ekuazioak eta identitateak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668. Funtzioak eta grafikoak1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683. Funtzioaren esanahia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684. Funtzioen adierazpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715. Funtzioen adierazpen grafikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726. Proportzionaltasuna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969. Probabilitatea1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003. Probabilitatearen oinarrizko kontzeptuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004. Probabilitatearen kalkulua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Ikasmaterial honen oinarrizko egiturasei ataletan dago antolatuta:

Sarrera: unitatearen oinarrizko testuinguruaaurkezten du, eta landuko diren edukiakegunerokotasunarekin lotzeko egoerak etaadibideak ematen ditu.

Zer ikasiko dut: unitatean landuko diren edukienoinarrizko zerrenda, problema-egoeratik sortutakobeharrizanei erantzuteko erabilgarriak.

Edukien eta aplikazio-jardueren atala: unitatearidagozkion eduki teoriko-praktikoak azaltzen dira,ikaslearentzako erabilgarriak eta aplikagarriak direnadibide eta aplikazio zuzeneko jarduerekin.

Problema-egoera: unitatean landuko diren edukiakzergatik diren interesgarriak eta beharrezkoakerakusten duen egoera, egunerokotasunarekin etaikaslearen esperientziarekin lotua. Aurrezagutzakaktibatzeko erabilgarria izateaz gain, unitatea landuahala proiektuen metodologiaren bidez ebatzdaiteke.

Jarduerak: unitatean zehar landutakoa modupraktikoan aplikatzeko jardueren multzoa.Trebakuntza-jarduerak eta problemak jasotzen diraatal honetan.

Autoebaluazioa eta unitate-amaierako testa: ikasle bakoitzak bere eskuratze-maila ebaluatu ahalizateko, edukien eskuratze-maila neurtzeko froga eta aplikazio-jardueretako trebetasun-mailaneurtzeko froga.

Zenbakikuntza

1

Eguneroko bizitzan mota askotako zenbakiak erabiltzen dira. Adibidez, zenba-

ketak egiteko, zenbaki arruntak erabiltzen dira; 0 azpitik dauden tenperaturak

adierazteko, berriz, zenbaki negatiboak erabiltzen dira. Zenbakiak erabiltzean,

informazio bat ematen edo jasotzen da, eta informazio hori ondo interpretatu

eta erabiltzeko, garrantzitsua da jakitea zer egoeratan erabiltzen den zenbaki

mota bakoitza. Gainera, zenbakiekin, gure inguruneko egoerak ezezik, gertae-

rak ere deskriba ditzakegu: zenbakien arteko eragiketak baliagarriak dira ho-

rretarako, eta horregatik, garrantzitsua da eragiketak, arauak eta propietateak

ezagutzea.

Zenbakizko zuzenean,

zeroa erreferentziatzat

harturik, zenbaki arruntak

eskuinerantz adierazten

dira; zerotik zenbat eta

eskuinerago eta urrunago

egon, orduan eta handiago

izango da zenbaki hori.

Zenbaki arruntenmultzoa ��ikurrarekinadierazten da.Multzo horiinfinitua da:�� = {1, 2, 3, 4, …}

2. Zer ikasiko dut unitate honetan?

• Zenbaki osoen motak bereizten eta zertarako erabiltzen diren.• Zenbaki horien arteko erlazio batzuk aztertzen.• Eguneroko bizitzan zenbaki horiek eta erlazio horiek zer-nolakoerabilgarritasuna duten.

Unitatea bukatzean, poster baten bitartez zenbaki osoen erabilera-ren adibideak erakustea izango da helburua. Zenbaki arrunten, ze-roaren eta zenbaki negatiboen erabileraren bi adibide gutxienezagertu beharko dira poster horretan. Poster guztiak egindakoan,zenbaki arrunten, zeroaren eta zenbaki negatiboen erabileraren adi-bide guztiak bilduko dira.

12

1. Zenbakikuntza

1. Problema-egoera

3. Zenbaki arruntakGauza ugariz inguratuta bizi gara: pertsonak, eraikinak, kotxeak,zuhaitzak, animaliak… eta zenbatu egiten ditugu. Zergatik? Askotan,ez da zenbatzea behar; nahikoa dugu gauza asko edo soberan edo gu-txiegi dagoela esatearekin. Baina batzuetan, kopuru zehatzen be-harra dugu, konparazioak egin ahal izateko. Pentsatu erosketetan:zerbait erosi aurretik, diru nahikoa dugun jakin nahi dugu.Gizakiaren historian, hasieratik sortu zen kontatzeko beharra: zen-bat egun daramatza tribuko ehiza-taldeak kanpoan? Zenbat ilargibete behar dira uda pasatuko dugun lurraldera heltzeko? Zenbatoskol ditut trukerako? Fruituak, animaliak, trukerako objektuak…gauza baliotsuak ziren, eta garrantzitsua zen haien kopuru zehatzakjakitea eta adieraztea.Kopuru zehatz horiek adierazteko, zenbaki arruntak erabiltzen ditugu.

5 kotxe

Zenbaki arruntak zenbatzeko eta ordenatzeko erabiltzen dira.Multzo batean zenbat elementu dagoen izendatzeko, zenbaki kardi-nalak erabiltzen dira; segida baten elementu batek duen kokapenaadierazteko, berriz, zenbaki ordinalak.Munduko kulturek era askotako ikur eta arauak asmatu dituzte zen-baki arruntak adierazteko, eta, horrela, zenbakikuntza sistemaksortu dituzte. Adibidez, guk erabiltzen duguna, zenbakikuntzasistema hamartarra da: hamar zifra edo sinbolo ditu (0, 1, 2,…,9) eta hamarreko oinarria du (hamar banakok hamarreko multzobat osatzen dute; hamar hamarrekok ehuneko bat; hamar ehunekokmilako bat…)Zenbakikuntza-sistema erromatarra da beste sistema ezaguna. Bestesinbolo eta arau batzuk ditu, eta oraindik ere erabiltzen da zeinbatgauzetarako.Badago gaur egun izugarrizko garrantzia duen beste sistema bat: zen-bakikuntza-sistema bitarra. Gure telefono mugikorrek, tabletek, or-denagailuek eta bestelako gailu elektroniko ugarik sistema horrekinegiten dute lan. Bi ikur baino ez ditu erabiltzen, 0 eta 1, eta guretzakodeserosoa izan badaiteke ere, makinek oso modu errazean erabiltzendute.

13

1. Zenbakikuntza

3. kotxeaurdina da

Jean Lafitte pirata euskalduna XVIII. mendean jaio zen.

Zenbaki-sistema hamartarrean Zenbaki-sistema bitarrean0 0

1 1

5 0101

100 01100100

34.514 01000011011010010

1. Kokatu zenbaki hauek zenbakizko zuzenean:0, 10, 15, 20

Zer gertatzen da zenbakizko zuzenean eskuinerantzmugitu ahala?

2. Adierazi zenbaki kardinalak edo ordinalak erabili diren:

a) Hamabi urte ditut.

b) Atzoko lasterketan, 3. tokian heldu nintzen.

c) Errugbian, 15 jokalarik parte hartzen dute taldebakoitzean.

d) Menu horretan lau aukera daude bigarren plateraaukeratzeko.

3. a) Zenbat hamarreko ditu 45 zenbakiak? Eta 315 zenbakiak?

b) Zenbat ehuneko ditu 714 zenbakiak? Eta 1.034 zenbakiak?

c) Zenbat milako 13.511 zenbakiak? Eta 1.010.003 zenbakiak?

4. Zenbakikuntza-sistema hamartarrean, zenbaki batmodu honetara deskonposatu daiteke:

256 = 2 × 100 + 5 × 10 + 6 = 2 • 100 + 5 • 10 + 6

Nola adieraz daitezke zenbaki hauek beste modubatera?

a) 23 b) 127 c) 6.703 d)11.222 e) 2.307.002

5. Zenbakikuntza-sistema erromatarrean letra hauek

erabiltzen dira: I, V, X, L, C, D, eta M. Ezkerretik

eskuinera irakurriz, letren balioa handitu ahala, batu

egiten dira (LV = 55); letra batek balio handiagoko

letra bat badu eskuinean, letra horri berak duen

balioa kentzen dio (LIV = 54).

Idatzi zenbaki hauek sistema erromatarrean:

a) 11 c) 94

b) 87 d) 204 e) 3.333

Idatzi zenbaki hauek sistema hamartarrean:

f) XXXIV h) MCMXXIV

g) LIII i) MMXVIII

6. Osatu taula:

14

1. Zenbakikuntza

Zenbakikuntza-sistema Zenbakikuntza-sistemahamartarrean bitarrean

0 0

1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7

8

9

10

11

4. Zenbaki osoakAurreko atalean ikusi dugun bezala, zenbaki arruntek arazo bati eran-tzuna emateko balio dute, baina ez dira erabilgarriak 0 baino balio txi-kiago bat adierazi nahi denean. Zenbait egoeratan gertatzen denaadierazteko, zenbaki negatiboak erabiltzen dira.Zer-nolako egoerak dira horiek? Adibidez, zorrak adierazteko edoneurketa eskalak erabiltzeko.Zenbaki negatiboak zorretan

gaudela adierazten du.

Zenbakien ikurra zenbakizko zuzeneko kokapenarekin (zenbaki-puntua deituko diogu) edota mugimenduarekin dago lotuta. Zenba-kizko zuzenean, 0tik eskuinera mugitzen garenean, zenbaki positiboakditugu, eta 0tik ezkerrera mugitzen garenean, berriz, zenbaki negati-boak.

Zenbaki negatiboak. Zenbaki negatiboek itsas mailarenazpitik gaudela adierazten dute.

Egoera normalean ura izosten deneko tenperatura. Izozkailuko tenperatura.

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

–5en aurkako elementua 5 da; –5en simetrikoa

5 da.

0tik distantzia berera dauden zenbakiei aurkako elementu edo ele-mentu simetriko esaten zaie:

l–5l = l+5l = 5

Zenbaki arruntek eta zenbaki oso negatiboek zenbaki osoen mul-tzoa osatzen dute. Zenbaki osoen multzoa �� ikurrarekin adieraz-ten da:�� = {…–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…}Beraz, �� multzoaren barruan dago �� multzoa. Honela adierazten da:

�� �� ��Normalean, zenbaki oso positiboak ikurrik gabe adierazten dira: +4 = 4 +11 = 11Batzuetan, �� adierazteko, ��+ erabiltzen da. Zenbaki arruntak zenbakioso positiboak dira. ��– zenbaki oso negatiboak adierazteko erabil-tzen da.Zenbaki osoen balio absolutua. Aurkako elementua/elementu simetrikoaZenbaki oso batek duen kokapenetik 0ra dagoen distantziari balioabsolutua esaten zaio.Balio absolutua honela adierazten da: l–6l = 6Zenbat eta handiagoa izan distantzia, hainbat eta handiagoa izangoda zenbakiaren balio absolutua.

15

1. Zenbakikuntza

0–6

Ikusten denez, –5 eta 5 zenbakien balio absolutua berdina da:l–5l = l5l = 5

0–5 5

Zenbakizko zuzenean,

zenbaki bat zerotik

zenbat eta urrunago

egon, balio absolutu

handiagoa izango du.

–6tik 0ra dagoendistantzia 6 unitate dira.

Aurkakoelementuenbatura 0 da.

7. Azaldu koadernoan zer esan nahi duen “–30°”-kotenperatura irakurketak. Azaldu zer gertatuko denigogailu batean “–4” botoia sakatzen badugu.

8. Kokatu zenbaki hauek zenbakizko zuzenean:

15 –1 –23 7 –7 29

9. Esan zenbaki bikote hauetan zein den handiena etazein txikiena “<” edo “>” ikurrak erabiliz.

a) 7 …… 13 d) 0 …… –1

b) –7 …… –13 e) 0 …… –35

c) 2 …… –3 f) –1200 …… 2

10. Adierazi “<”, “=” edo “>” ikurrak erabiliz zerzenbakik duen balio absolutu handiena:

a) –1 …… –2 d) 0 …… –11

b) –7 …… –13 e) 35 …… –35

c) –54 …… 45 f) –1.200 …… 1.200

–30 –15 0 15 30

Eragiketak zenbaki osoekinBatuketa eta kenketa zenbaki osoekinGogoratu batuketa eta kenketa adierazteko + eta – ikurrak erabiltzendirela. Orain, zenbaki batek + edo – ikurrak eraman ditzake, zenbakioso positiboa edo negatiboa izan baitaiteke. Ondorioz, jarraian dau-den ikurrak agertuko dira. Zer egin horrelakoetan? Hona hemen hain-bat egoera:Zenbaki positiboen eta negatiboen batuketaBi zenbakiren batuketa egitean, esanahia argi zegoen orain arte:

4 + 3 � ditugun 4 unitateri 3 unitate batzea da; 4tik abiatuta, 3 unitate zenbatzen ditugu eskuinerantz.Orain, ordea, ikurra duten zenbakiak batzerakoan, lau egoera aurkiditzakegu:(+4) + (+3) (+4) + (–3) (–4) + (+3) (–4) + (–3)Lehenengoa ezaguna da, bi zenbakiak positiboak baitira: (+4) + (+3) = 4 + 3 = 7Baina zer gertatzen da besteekin? Batuketa horiek egiteko, zenbakinegatiboen bi esanahiak hartu behar dira kontuan:• Kokapen bat dira zenbakizko zuzenean.• Zenbakizko zuzenean ezkerreranzko mugimendua dira.

(+4) + (–3) � ezkerrerantz 3 unitate mugitzea izango da 4 zenbaki-puntutik abiatuta.(–4) + (+3) � eskuinerantz 3 unitate mugitzea izango da –4 zenbaki-puntutik abiatuta.(–4) + (–3) � ezkerrerantz 3 unitate mugitzea izango da –4 zenbaki-puntutik abiatuta.Zenbaki positiboak ikurrik gabe adieraz daitezkeenez, horrela idatzikodira lau batuketa motak:4 + 3 4 + (–3) (–4) + 3 (–4) + (–3)

16

1. Zenbakikuntza

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

(+4) – (+5) � ezkerrerantz 5 unitate mugituko dira, +4 zenbaki-puntutik abiatuta.(–4) – (+5) � ezkerrerantz 5 unitate mugituko dira, –4 zenbaki-puntutik abiatuta.

Zenbaki positiboen eta negatiboen kenketa

17

1. Zenbakikuntza

Horren zergatia honako hau da:–(–5) edo (–5)en simetrikoa gauza bera dira.

(+4) – (–5) = 4 + 5 (–4) – (–5) = (–4) + 5

(+4) – (+5) = (+4) + (–5) (–4) – (+5) = (–4) + (–5)Kontuan hartu bi kasu hauetan zenbaki positibo bat kentzea bereaurkakoa gehitzearen berdina dela:

Bi zenbakiren kenketa egitean, esanahia argi zegoen orain arte:5 – 4 � ditugun 5 unitateri 4 unitate kentzea da; 5etik abiatuta, 4 unitate zenbatzen ditugu ezkerrerantz.

Orain, ordea, kenketak ikurra duten zenbakiekin egitean, lau egoeraagertuko dira:(+4) – (+5) (–4) – (+5) (+4) – (–5) (–4) – (–5)

Goazen horietako kasu bakoitza argitzera:

Baina zer gertatzen da beste bi kasuetan? Zer da (+4) – (–5) edo (–4) – (–5) egitea?Zer da zenbaki negatibo bat kentzea? Aurreko bi kasuetan bezala, zen-baki negatibo bat kentzea bere aurkakoa gehitzea da:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

GOGORATU!

Zenbaki batkentzea bereaurkakoa batzearenberdina da!

“20 euroko zorra barkatzea (kentzea) 20 euro gehiago edukitzea bezalakoa da”– (–20) = +2020 euro gutxiago zor ditut 20 euro gehiago ditut

Bizitza errealean ere, zenbaki negatibo bat kentzea bere aurkakoa ba-tzearen berdina da:

18

1. Zenbakikuntza

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 + 3 +3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 – 4 –4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(+4) + (–3)–3

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

(–4) + (+3)+3

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

(–4) + (–3)–3

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

(+4) – (+5) –5

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

(–4) – (+5)–5

Zenbaki positiboen eta negatiboen batuketa eta kenketa egitekoprozedura orokorra:1. Kenketa guztiak batuketa bihurtu2. Zenbaki positiboen batura kalkulatu3. Zenbaki negatiboen batura kalkulatu4. Aurreko bi emaitzen batura kalkulatu

Adibidez:(–4) – (+8) – (–5) + (+3) – (–6) – (+1)1. (–4) + (–8) + 5 + 3 + 6 + (–1)2. 5 + 3 + 6 = 143. (–4) + (–8) + (–1)4. 14 + (–13) = 1(–4) – (+8) – (–5) + (+3) – (–6) – (+1) = 1

ZER DA BERRIA?Batuketa eta kenketakegitean bezala,biderketa etazatiketetan zeinudunzenbakiak agertukozaizkigu. Zer eginhorrelakoetan?

Biderketa eta zatiketa zenbaki osoekin

19

1. Zenbakikuntza

11. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza, eta irudikatuesanahia zenbakizko zuzenean.

a) (–3) + 8 =

b) 5 + (–9) =

c) 2 – (+3) =

d) (–3) – (+2) + 7 =

12. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza:

a) (+5) + (+5) = 5 + 5 =

b) (+7) + (+6) = 7 + 6 =

c) (–3) + (+9) =

d) (–12) + (–7) =

e) –8 + (–3) = –8 – 3 =

f) –7 + (–6) =

g) 3 + (–9) = 3 – 9 =

h) –27 – 37 =

Biderketak zenbaki osoekinZenbaki oso positiboen biderketa eta horren esanahia argiak dira:3 • 4 hiru bider lau da; hau da, 4 + 4 + 4

Gogoratu nola irudikatu daitekeen hau: 3 • 4Baina, zer esanahi izan dezakete horrelako eragiketek?:–3 • 4 edo 3 • –4 edo (–3) • (–4)Hurrengo adibidea eredu moduan erabiliko dugu, biderketetan zen-baki oso negatiboak dituzten egoerak ulertzeko.

3 • 4

Tren bat dugu, eta bi noranzkotan mugitu daiteke,30 km/h-ko abiaduran.Trena mugitzen denean, honela adieraziko dugu haren abiadura:• eskuinerantz doanean, +30 km/h• ezkerrerantz doanean, –30 km/hTrenaren kokapena adierazteko, honela adieraziko dugu:• 60 km, abiatu den puntutik 60 km eskuinera dagoenean• –60 km, abiatu den puntutik 60 km ezkerrera dagoeneanBestalde, trenak egiten duen distantzia jakiteko, honela kalkulatzen dugu:Distantzia = abiadura • denbora

13. Aurkitu emaitza.

a) (–2) × (–4) =

b) 4 • (–3) : (–2) =

c) (–3) • (–2) =

d) [3 • (–2)] : 2 =

e) (–5) • (–1) =

f) 6 : (–2) =

Gezi zuzen jarraia:trenak egiten duena.Gezi kurbo etena:kalkulatu beharduguna.

GOGORATU!Zenbaki batezzatitzea edo berealderantzizkoazbiderkatzea gauzabera dela.

Biderketa ×zeinuarekin edohorrelako puntubatekin·irudikadaiteke.

10 : 2 = 10 • = 5 3 : 4 = = 3 • : = • 4—31—21—2 3—41—43—41—2

1. Trena geltokitik ateratzen da, eskuinerantz. Non egongo da bi ordubarru?Distantzia = (+30) • (+2) = +60 + • + = +

• + –+ + –– – +

20

1. Zenbakikuntza

–60 –30 G 30 60

2. Trena geltokitik pasatzen da, eskuinerantz. Non zegoen duela biordu?Distantzia = (+30) • (–2) = –60 + • – = ––60 –30 G 30 60

–60 –30 G 30 60

3. Trena geltokitik ateratzen da, ezkerrerantz. Non egongo da bi ordubarru?Distantzia = (–30) • (+2) = –60 – • + = ––60 –30 G 30 60

4. Trena geltokitik pasatzen da, ezkerrerantz. Non zegoen duela biordu?Distantzia = (–30) • (–2) = +60 – • – = +Lau biderketa kasu agertzen dira:• Bi zenbaki positiboren biderkadura zenbaki positibo bat da;• Zenbaki positibo baten eta zenbaki negatibo baten arteko bider-kadura zenbaki negatibo bat da;• Bi zenbaki negatiboren biderkadura zenbaki positibo bat da.Ikurdun zenbakiak biderkatzerakoan, zeinuen araua erabiliko dugu.Zatiketak zenbaki osoekinBadakigu zatiketak biderketa bezala adierazi daitezkeela, kontrakoeragiketak baitira:

Beraz, ikurdun zenbakiak zatitzerakoan ere, zeinuen araua erabi-liko dugu.2renalderantzizkoa 4renalderantzizkoa ren3—4alderantzizkoa

Aztertu ditzagun kasu hauek:

Zenbaki negatiboekinere parentesiakagertu daitezkeenez,eragiketakantolatzeko besteparentesi hauekerabiliko ditugu: [ ]

Eragiketa konposatuak. HierarkiaKasu batzuetan, batera agertuko dira batuketak, kenketak, biderke-tak eta zatiketak. Eragiketa-ordenak garrantzi handia du. Zein da zu-zena?

21

1. Zenbakikuntza

= 15 : 5 - 6 = 15 : (–1)= –1515 : 3 + 2 – 6 = = 15 : 5 – 6 = 3 – 6 = –3= 5 + 2 – 6 = 7 – 6 = 1Emaitza aldatu egingo da eragiketen ordenaren arabera! Beraz, argidago ezinbestekoa izango dela nola egin behar den adostea. Horre-lako egoera baten aurrean, honako hau da araua:1. Biderketak eta zatiketak, batuketak eta kenketak baino lehenagoegiten dira.2. Parentesiak agertzen badira eragiketak antolatuz, orduan, pa-rentesi barrukoak egiten dira lehenengo.

• Adibidez: parentesiak agertzen dira15 : (3 + 2 – 6) = 15 : (–1) = –15• Adibidez: parentesirik gabe15 : 3 + 2 – 6 = 5 + 2 – 6 = 1

14. Aukeratu eragiketa hauen emaitza zuzena:

a) 4 × (–3) + 2 = …… –10 edo –4

b) (–2) × [(–3) + 3] = …… 9 edo 0

15. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza:

a) [4 + 2] × (–7) = b) (–5) × [(–13) – (–6)] =

16. Jarri parentesiak toki egokian, emaitzak zuzenak izandaitezen:

a) (–3) + 2 × (–5) = 5 b) 4 + 13 × 4 – 2 = 30

17. Lau 3 dituzu honela:

3 3 3 3

Lau eragiketa hauek aplikatuz, (+, –, ×, ÷), zeremaitza izango da ezinezkoa? (idatzi Bai edo Ez).Kontuan izan eragiketen hierarkia

9? 10? 11? 12?

?

Abiapuntua

Nola adierazten dugu? 6 × 5 56

Eragiketaren izena biderketa berreketa

6 × 5 56

Eragiketaren gaiak

Nola irakurtzen dugu?

5. Berreketa eta erroketaAtal honetan bi eragiketa mota landuko ditugu: berreketa eta erro-keta.BerreketaBiderketaren bitartez batuketa errepikatuak adieraz daitezke:

22

1. Zenbakikuntza

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 6 × 5Era berean, biderketa errepikatuak adierazteko, berreketak erabil dai-tezke: 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56

Batugai berdinak dituztenbatuketaren idazkera Idazkera baliokideabiderketa erabiliz

Biderkagai berdinak dituenbatuketaren idazkera Idazkera baliokideaberreketa erabiliz

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5batugai berdinak

5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5biderkagai berdinak

“sei aldiz bost” edo“sei bider bost”

“bost ber sei”

Batugai bera zenbat aldiz

errepikatzen den

Errepikatzen denbatugaia

Errepikatzen denbiderkagaia

Biderkagai berazenbat aldiz

errepikatzen denab BERRETZAILEA EDOESPONENTEA

BERREKETA

OINARRIA

18. Idatzi biderketa moduan biderketa hauek:

a) 24 =

b) 42 =

c) 35 =

d) 53 =

19. Idatzi berreketa moduan berreketa hauek:

a) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 =

b) 10 × 10 × 10 × 10 =

c) 3 × 3 × 3 × 3 × 6 × 6 × 6 =

d) 8 × 8 × 9 × 9 × 9 =

Berreketa bereziak

Karratu beteak: esponentea 2 denean, berreketa horiei karratubete esaten zaie.

52 : bost ber bi edo bost karratu esaten dugu.152 : hamabost ber bi edo hamabost karratu esaten dugu.

Zeinudun zenbaki baten karratua beti da positiboa:42 = 4 × 4 = 16 (–4)2 = (–4) × (–4) = 16

Kubo beteak: esponentea 3 denean, berreketa horiei kubo bete esa-ten zaie:

KONTUZ!

(–4)2 = 16

–(42) = –16

Berreketa horiei karratu deitzen diegu, haien adierazpen grafikoa ka-rratu bat delako!

3 x 3 x 3 33 273

33

23

1. Zenbakikuntza

12 1 x 1 111

22 2 x 2 42

2

33 3 x 3 93

3

44 4 x 4 164

4

1 x 1 x 1 13 143: lau ber hiru edo lau kubo esaten dugu

Berreketa horiei kubo esaten diegu, gra-fikoki kuboen bitartez adierazi daitez-keelako.1

11

2 x 2 x 2 22 82

22

Burdin pirita minerala.

20. Osatu taula hau lehenengo zenbaki arrunten karratu eta kuboekin:

Zenbaki arrunta Karratua Kuboa

1 12 = 13 =

2 22 = 23 =

3 32 = 33 =

4 42 = 43 =

5 52 = 53 =

6 62 = 63 =

7 72 = 73 =

8 82 = 83 =

9 92 = 93 =

10 102 = 103 =

11 112 = 113 =

12 122 = 123 =

Batuketa gisa Batuketa-biderketa gisa Berreketa gisa

4.580 = 4.000 + 500 + 80 = 4 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 = 4 × 103 + 5 × 102 + 8 × 101

470.000= 400.000 + 70.000 = (4 × 100.000) + (7 × 10.000) = 4 × 105 + 7 × 104

673,58 = 600 + 70 + 3 + + = (6 × 100) + (7 × 10) + 3 + + = 6 × 102 + 7 × 101 + 3 × 100+ +

EMo HMo Milioia EM HM Milakoak E H B

108 107 106 105 104 103 102 101 100

2 5

3 5 0 0 0 0

4 3 0 0 0 0 0 0

Oinarritzat 10 zenbakia duten berreketakGure zenbakikuntza-sistema hamartarra denez, oinarria 10 duten be-rreketen bitartez adieraz ditzakegu zenbakiak. Ikusi taula hau:

24

1. Zenbakikuntza

Milioia Milakoak Ehunekoak Hamarrekoak Batekoak

1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1

106 105 104 103 102 101 100Era horretara, edozein zenbaki deskonposa dezakegu osatzen duenzifra bakoitzaren posizio-balioaren arabera. Deskonposaketa hori hirueratara agertzen da taula honetan:

Oso zenbaki handiak erabiltzen edo entzuten ditugunean, zaila da zifraguztiak gogoratzea, eta, kasu horietan, garrantzitsuena zenbaki ho-rren tamainaz ohartzea da. Tamaina hori zenbaki baten magnitude-ordena da: zenbakiaren ezkerreko lehen zifraren posizio-balioakematen digu.

magnitude ordena:

25 101 hamarrekoa

350.000 105 ehun milakoa

43.000.000 107 hamarreko milioikoa

magnitude ordena:

0,03 ehunena

0,005 milarena

Zenbakiak oso txikiak direnean, berdin jokatuko dugu.B Hamarrenak Ehunenak Milarenak

100

0, 0 3

0, 0 0 5

Ehunmilakoak

Hamarmilakoak

5—108—–100

5—108—–100

5—108—–100

1—101–—100

1——1000

1–—100

1——1000

52 = 25 � bost ber bi = 5 hogeita bosten erro karratua bost da.53 = 125 � bost ber hiru = 5 ehun eta hogeita bosten erro kubikoa bost da.54 = 625 � bost ber lau = 5 seiehun eta hogeita bosten laugarren erroa bost da.

60.000 6 x 104ZIFRA

ESANGURATSUENA

15.378.365 ≈ 1,5 × 107

21. Idatzi zenbaki hauek 10en berreketak erabiliz:

a) 100.000 = b) 70.000 = 7 × c) 503.000 = 5 ×……+ 3 ×

25

1. ZenbakikuntzaZenbaki bat idazkera zientifikoan idazten dugunean, haren magni-tude-ordena azpimarratzen dugu:Askotan, zenbaki handien hurbilketekin egiten dugu lan. Idazkerazientifikoa erabiliz, magnitude-ordena adierazten duen zifra esangu-ratsuenaren ondoren dezimal bat, bi edo hiru erabiltzen dira:

ZIFRA ESANGURATSUENA

15.378.365 ≈ 15 × 106KONTUZ! HAU EZ DA IDAZKERA ZIENTIFIKOA

ErroketaBatuketa eta kenketa alderantzizko eragiketak dira:5 + 3 –3 = 5 5 + 3 = 8 � 8 – 3 = 5 Biderketa eta zatiketa ere alderantzizko eragiketak dira:7 × 3 : 3 = 7 7 × 3 = 21 � 21 : 3 = 7Berreketaren alderantzizko eragiketari erroketa deritzo.ERROA

ERROTZAILEA

ERROKIZUNA

= 5

12525

22. Berreketaren eta erroketaren artean dagoen erlazioakontuak izanik, osatu:

= 5 zeren eta 52 = 25

a) = zeren eta

b) = zeren eta

c) = zeren eta

d) = zeren eta

ADI!

Errotzailerikagertzen ezdenean, errokarratua izango da!

Erroketetan:= ? Tartekatuz: < < < 3Badakit 7 zenbakia 2 eta 3 artean dagoela= ? Hurbilduz: < 20 <Badakit 573 zenbakia 20 baino handiagoa dela;batzuetan hau jakitea nahikoa da.

Hurbilketa-kalkulua berreketa eta erroketekinOro har, berreketa edo erroketak kalkulatzeko, kalkulagailua erabi-liko dugu. Hala ere, kalkulagailuarekin ondo egiten dugula ziurtatzeko,buruz egingo dugun hurbilketa-kalkulua erabiliko dugu.Berreketetan:(2,3)2 = ? Tartekatuz: 22 < (2,3)2 < 32 4 < (2,3)2 < 9 Badakit (2,3)2 zenbakia 4 eta 9ren artean dagoela.(85)3 = ? Hurbilduz: (85)3 < (100)3 (85)3 < 1.000.000Badakit (85)3 zenbakia 1.000.000 baino txikiagoa dela; batzuetan hau jakitea nahikoa da.Berreketekin lan egitean, bada garrantzizko beste gauza bat kontuanhartu beharrekoa. Azter ezazu kalkulagailuarekin:

26

1. Zenbakikuntza

Oinarria 1 baino handiagoa bada, emaitza oinarriabaino handiagoa izango da:

23.

Konparatu emaitza eta oinarria. Zer gertatzen da?

Oinarria 1 baino txikiagoa bada, emaitza oinarriabaino txikiagoa izango da:

24.

Konparatu emaitza eta oinarria. Zer gertatzen da?

Aukeratu 1 bainohandiagoa denzenbaki bat

Kalkulatu zurezenbakiaren karratua

Kalkulatu zurezenbakiaren

kuboa

Aukeratu 0 eta 1zenbakien arteandagoen zenbaki bat

Kalkulatu zurezenbakiarenkarratua

Kalkulatu zurezenbakiaren

kuboa

25. Ikusi erroketetan zer gertatzen den 1 baino txikiagoakedo handiagoak diren errokizunekin. Erabilikalkulagailua.

Errokizuna 1 baino handiagoa bada, emaitzaerrokizuna baino txikiagoa izango da:

a) Konparatu emaitza eta errokizuna. Zer gertatzen da?

Errokizuna 1 baino txikiagoa bada, emaitzaerrokizuna baino handiagoa izango da.

b) Konparatu emaitza eta errokizuna. Zer gertatzen da?

Aukeratu 1 baino handiagoaden errokizun bat

Kalkulatu zure zenbakiarenerro karratua

Aukeratu 0 eta 1 zenbakienartean dagoen zenbaki bat

Kalkulatu zure zenbakiarenerro karratua

a) 34 • 35 =

b) (23)2 =

c) 23 • 22 =

d) =

e) 42 • 52 =

f) (103)3 =

g) 63 • 33 =

h) =29— 23

53— 51

GOGORATU!

biderketa •ikurrarekin ereadieraz daitekeela.

Berreketen eta erroketen arteko eragiketak: propietateakEragiketen propietateak ezagutuz gero, errazagoak dira kalkuluak.Berreketaren kasuan, honako hauek erabiliko ditugu:• Oinarri berdina duten berreketak biderkatzen direnean, esponen-teak batu egiten dira:35 × 32 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 37 35 × 32 = 35+222 × 24 = 2× 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 22 × 24 = 22+4• Oinarri berdina duten berreketak zatitzen ditugunean, esponenteenarteko kenketa egiten da:43 45 : 42 = 45–2 = 43

22 26 : 24 = 26–4 = 22• Esponentea 0 denean, berreketaren emaitza 1 da.

1 = 32–2 = 3053–3 = 1 = 53–3 = 50

• Oinarri bera ez duten baina esponente bera duten berreketak bi-derkatzen ditugunean, oinarriak biderkatzen dira esponenteari eu-tsiz:34 × 24 = (3 × 3 × 3 × 3) × (2 × 2 × 2 × 2)= (3 × 2) × (3 × 2) ×(3 × 2) × (3 × 2) = (3 × 2)4 = 64• Berreketa baten berreketa badugu, esponenteak biderkatzen dira:

(32)4 = 32× 32 × 32 × 32 = (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) = 38(32)4 = (3 × 3)4 = 34 × 34 = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) = 38

27

1. Zenbakikuntza

26. Adieraz itzazu kalkulu hauek berreketa bakar bat erabiliz:

Erroketaren kasuan ere, zenbait propietate erabilgarri aztertuko di-tugu.• Bi erro karraturen biderkadura = errokizunen biderkaduraren errokarratua.• Bi erro karraturen zatidura = errokizunen zatiduraren erro karratua.• Erroketa berreketaren aurkako eragiketa dela jakitea oso erabilga-rria izango da. Horri esker, eta aurreko propietateak erabiliz, erro-kizunaren adierazpen errazagoak lortuko ditugu:

• Erro karratu baten karratua egiterakoan, emaitza errokizunarenberdina da:Aurreko propietateak aplikatuz hemen

28

1. Zenbakikuntza

6. Jarduerak28. Aurkitu 3, 4 eta 7 zifrak erabiliz osa daitezkeen hiru

zifrako zenbaki guztiak, eta ordenatu, txikienetikhandienera.

29. Idatzi baldintza hauek betetzen dituen zenbaki arruntbat:• 17 baino handiagoa da• 50 baino txikiagoa da• bere zifrak biderkatuz gero, emaitza 21 da

30. Hiru zifrako zenbat zenbaki daude gurezenbakikuntza-sisteman?

31. Kalkulatu emaitzak:

a) (+4) + (–5) = e) (+4) – (+3) =

b) (–4) + (–5) = f) (–4) – (–3) =

c) (–4) + (+5) = g) (+4) – (–3) =

d) (+4) + (+5) = h) (–4) – (+3) =

32. Jarri dagokion ikurra emaitza zuzena izateko:

a) (+7) – ( 2) = (+9) c) (+7) – ( 2) = (+5)

b) (–4) – ( 3) = (–1) d) (–4) – ( 3) = (–7)

27. Sinplifikatu erroketa hauen errokizuna, adibidearijarraituz:

27 =

48 =

162 =

33. Kalkulatu emaitzak:

a) (–3) × (–5) = i) 12 : (–2) =

b) (–4) • [(–1) + (–2)] = j) (–7 + 5 – 2) : (–1 + 3) =

c) (–5) • (2+3) • (–2) = k) =

d) 3 · (–4) + 3 • (–5) = l) 0,5 – [0,2 • (–10)] =

e) [3 • (–2)] – [3 • (–4)] = m) –7 – =

f) (6 – 3 + 2 – 5) • (–2) =

g) 5 • [(–3) + 8] =

h) (–5) • [4–7] =

34. Zenbaki batek hainbat adierazpen izan ditzake. Esanhonako adierazpenak zenbaki berdinarenak (=) edozenbaki ezberdinenak diren (≠):

a) 25 52 f) 23 × 22 26

b) 23 81 g) 103ren bikoitza 203

c) 2 × 2 × 2 32 h) 104ren erdia 102

d) 102 × 103 105 i) 103ren bikoitza 106

e) 2 × 23 62 j) 104ren erdia 54

35. Aurkitu eragiketa hauen emaitzak:

a) 103 + 102 = e) 24 + 22 =

b) 103 – 102 = f) 24 – 22 =

c) 103 × 102 = g) 24 × 22 =

d) 103 : 102 = h) 24 : 22 =

36. Erabil ezazu berreketa bakar bat emaitzaadierazteko:

a) 5 × 52 × 53 × 54 = b) 3 × 32× 33× 34=

37. Eragiketa guztietan 2 zenbakia agertzen da. Ordenaitzazu txikitik handira (1etik 5era). Kalkulagailuaerabil dezakezu.

a) 2 × 2 × 2 d) (2 × 2)2

b) 2 + 22 e) 222

c) 222

38. Kalkulagailuaren laguntzaz, identifikatu karratubeteak, kubo beteak edo ez bata ez bestea ez

direnak hurrengo zenbakien artean. Adierazi zer

zenbakiren karratua edo kuboa diren, hala badira.

Adibidez: 324 karratu betea, 182

a) 3.660 g) 8.000

b) 150 h) 552

c) 2.744 i) 1.444

d) 125 j) 729

e) 5.625 k) 1.000.000

f) 1.331

39. Begiratu aurreko ariketan lortutako karratuak. Erabilihurrengo karratuak aurkitzeko. Kalkulagailua erabil

dezakezu laguntza moduan.

a) (0,1)2 = f) (0,05)2 =

b) (0,5)2 = g) (1,1)2 =

c) (0,2)2 = h) (0,11)2 =

d) (0,6)2 = i) (1,2)2 =

e) (0,01)2 = j) (0,12)2 =

40. Pentsatu prozedura honetan. Hartu folio bat etaerdibitu; bi zatiak elkarren gainean jarri, eta berriro

erdibituko duzu; demagun 10 aldiz errepikatzen

duzula. Zenbat paper puska izango dituzu

bukaeran?

41. Karratu bete batzuen batura beste karratu bete batda. Egiaztatu kalkulagailuaren laguntzaz:

a) 32 + 42 = c) 92 + 122 =

b) 62 + 82 = d) 122 + 162 =

Jarri arreta adibideetan, eta erraz aurkituko dituzu

beste bi adibide.

42. 1 cm-ko aldea duten 35 kubo dituzu. Kubo handiago

bat eraiki nahi duzu kubo horiekin. 1 cm-ko zenbat

kubo erabiliko dituzu ahalik eta kuborik handiena

eraikitzeko?

a) 4 cm-ko aldea duen kubo bat eraikitzeko, zenbat

kubo gehiago beharko dituzu?

b) Zenbat kubo beharko dira guztira 10 cm-ko aldea

duen kubo bat eraikitzeko?

29

1. Zenbakikuntza

o) =(0,25) • (2 – 10)—————— -0,5

n) =3 • (2 – 5)———— – (7 – 4)

7 – 11——— – 2

2 – 3——— 5 – 10

Mila milioien klasea Milioien klasea Milakoen klasea Batekoen klasea

E H B E H B E H B E H B

3 × 104

105 × 106

23 × 103

75× 108

Esan zein den zenbaki horien magnitude ordena:

a ) 3 × 104 = c) 23 × 103 =

b ) 105 × 106 = d) 75× 108 =

45. Zenbat zifra dituzte zenbaki hauek?

a) 103 e) 106

b) 2 × 103 f) 13 × 103

c) 12,6 × 104 g) 7,3 × 103

d) h)

46. Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan edoidazkera arruntean. Ondoren, ordenatu handitik (1) txikira (6).

47. Mugatu bi zenbaki osoren artean berreketa etaerroketa hauen balioa. Gero, kalkulagailuarekin,kalkulatu balioak bi zifra hamartarretara biribilduz.

< (6,3)2 < (6,3)2 ≈

< (3,3)2 < (3,3)2 ≈

< (0,75)2 < (0,75)2 ≈

< < ≈

< < ≈

< < ≈

48. Berreketen propietateak oso argi ez dituen norbaitekegin ditu eragiketa hauek. Esan zein diren zuzenak (Z)eta zein okerrak (O).

a) 52 • 54 = 56 d) 25 • 25 = 45

b) 32 • 42 = 122 e) (32)3 = 36

c) 25 • 25 = 210 f) 38 : 35 = 33

49. Kalkulagailua erabili gabe, saiatu kalkulu hauek egiten:

a) d)

b) e)

c)

50. Adierazi kalkulu hauek erro bakar batez. Eredu batduzu eginda.

a) e)

b) f)

c) g)

1— 10

5—— 1000

43. Deskonposa itzazu zenbaki hauek adierazten zaizun eran:a) 70.960 batuketa gisa b) 93.124 batuketa-biderketa gisa c) 600.187 berreketa gisa

44. Idatzi zenbaki hauek zenbakikuntza-taulan, zifra guztiekin.

30

1. Zenbakikuntza

Idazkera arrunta Idazkera zientifikoa Ordena

500.000

9 × 104

880.000.000

7,5 × 106

3.750.000.000

3,02 × 107

11 11

0,75 0,75

30 30

2 • 72 =

400 : 100 =

5 • 20 =

Egin ikasitakoari buruzko gogoeta. Jarri, atal bakoitzean, puntuazioa zureburuari, 0tik 10era.

1. Badakit zenbaki arruntak/osoko positiboak zertarako erabiltzen diren.

2. Badakit zenbaki negatiboak zer egoeratan erabiltzen diren deskribatzen.

3. Badakit zenbaki positiboak eta negatiboak zenbakizko zuzenean kokatzen.

4. Badakit zenbaki oso baten balio absolutua zein den.

5. Badakit zenbaki oso baten aurkako elementua/elementu simetrikoazein den.

6. Badakit zenbaki osoekin batuketak, kenketak, biderketak eta kenketak egiten.

7. Eragiketa ezberdinak batera agertzen direnean, badakit zein ordenetan egin behar ditudan.

8. Badakit berreketek eta erroketek zer adierazten duten eta nola kalkulatu.

9. Badakit berreketa eta erroketen emaitzak hurbiltzen kalkulagailua erabiligabe.

10. Badakit berreketa eta erroketen emaitza zehatzak kalkulagailuarekinkalkulatzen.

11. Badakit berreketa eta erroketak dituzten eragiketetan propietate bereziakerabiltzen.

12. Badakit zenbaki bat berreketa gisa deskonposatzen

13. Badakit zenbaki baten magnitude ordena zein den esaten.

Guztia kontuan izanda, nire buruari kalifikazio hau jarriko nioke. 10 da goreneko kalifikazioa.

31

1. Zenbakikuntza

ZER IKASI DUT? AUTOEBALUAZIOA

UNITATE-AMAIERAKO TESTA

1. Aurkitu 1, 5 eta 9 zifrak erabiliz osatu daitezkeen zenbaki guztiak,

eta ordenatu txikienetik handienera. Zein da handienaren eta txikienaren

arteko diferentzia? (3 p.)

2. Kalkulatu emaitzak: (4 p.)

a) (–7) + (+3) = e) (–7) × (+3) =

b) (+7) + (+3) = f) (+7) × (+3) =

c) (+7) – (+3) = g) (–9) : (+3) =

d) (–7) – (–3) = h) (–9) : (–3) =

3. Kalkulatu emaitzak: (4 p.)

a) 3 • (–3) + 3 • (–6) = d) [5 • (–1)] – [1 • (–3)] = g) (6 – 4 + 3 - 5) • (–7) =

b) 3 • [(–2) + 8] = e) (–4) • [2–7] = h) 12 : (–4) =

c) (–7 + 9 – 3) : (–2 + 5) = f) = i) 0,5 – [0,5 • (–10)] =

4. Aurkitu eragiketa hauen emaitza: (4 p.)

a) 23 + 22 = d) 26 : 22 =

b) 23 – 22 = e) 102 × 102 =

c) 24 × 23 = f) 104 : 102 =

5. Deskonposa itzazu zenbaki hauek adierazten zaizun eran: (3 p.)

a) 13.034 batuketa gisa

b) 77.377 batuketa-biderketa gisa

c) 123.456 berreketa gisa

6. Zein da zenbaki hauen magnitude ordena? (2 p.)

a) 23.476 b) 1.678.003

7. Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan: (3 p.)

a) 300 b) 23.000 c) 70.000.000

8. Sinplifikatu errokizuna: (2 p.)

a) b)

(7–15)(–2)

100 =36 =

32

1. Zenbakikuntza

KALIFIKAZIOA: