ARITMÉTICA

I. LÓGICA MATEMÁTICA

1. LÓGICA PROPOSICIONALEs el estudio de los métodos que aplican definiciones y leyes, con el propósito de determinar la validez o invalidez del razonamiento.

1.1. PROPOSICIÓN LÓGICAEs Aquella expresión u oración que se puede calificar o bien como verdadero (V) o bien como falso (F) y sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas se denotan con letras minúsculas, tales como: p,q,r,s,....etc.Ejemplo:

p : 3 + 5 = 7 ( F )

q : Lima es la capital del Perú. ( V )

r : El gato es un felino. ( V )

OBSERVACIÓN: No son proposiciones lógicas las oraciones:- Interrogativas. - Exclamativas.- Imperativas. - Desiderativas.- Dubitativas. - Exhortativas.

Ya que de ellas no se puede afirmar si son verdaderas o falsas

2. NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN

Consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una proposición. Si la proposición es “p” su negación se denota por “~p” :

Se lee:

No pEs falso que p

No es cierto que p

Ejemplo:

p: 28 es un número perfecto. ( V )

Su negación es:

~p: No es cierto que 28 sea un número perfecto. ( F )

3. CONECTIVOS LÓGICOSSon elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, llamada proposición compuesta o molecular.Ejemplo:

Los conectivos conocidos son:

3.1.DISYUNCIÓN INCLUSIVASe simboliza: “” , se lee: “o” )Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra “o”, para formar otra nueva proposición llamada disyunción de ambas.La disyunción de las proposiciones “p o q” se denota: p q .

p q p qV V VV F VF V VF F F

Ejemplo:p: 5 es mayor que 3 (V)

q: 5 es menor que 8 (F)

La disyunción de ambas será:

Su valor de verdad : V F V

3.2.CONJUNCIÓN(Se simboliza: “” , se lee: “y” )

Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra “y”, para formar otra nueva proposición llamada conjunción de ambas. La conjunción de las proposiciones “p y q” Se denota: p q .

p q p qV V VV F FF V FF F F

Ejemplo: p: 10 es mayor que 8 (V) q: 12 es menor que 14 (V)

La conjunción de ambas será:

Su valor de verdad V V V

3.3.CONDICIONAL(Se simboliza: “” , se lee: “entonces” )Si se tienen dos proposiciones “p” y “q” , enlazadas de la forma “si p entonces q”, se dicen que dichas proposiciones se llaman condicionales. y se les denota por: “p. q”.

p q p qV V VV F FF V VF F V

Ejemplo:p: 10 es mayor que 8 (V)q: 12 es menor que 10 (F)

La condicional de ambas será:

Su valor de verdad : V F F

3.4. BICONDICIONAL(Se simboliza: “” , se lee: “si y sólo si” )Si se tienen dos proposiciones “p” y “q” , enlazadas de la forma “p si y sólo si q”, se les denota por: “p. q”.

p q p qV V VV F FF V FF F V

Ejemplo:p: 10 es mayor que 8 (V)q: 12 es menor que 10 (F)

La condicional de ambas será:

Su valor de verdad: V F F

3.5. DISYUNCIÓN (EXCLUSIVA FUERTE)

(Se simboliza: “” , se lee: “o.......o.........” )Si se tienen dos proposiciones “p” y “q”, enlazadas de la forma “o p o q”, se les denota por: “p q”.

p q p qV V FV F VF V V

~pp

VF

FV

17 es un número primo y 14 es un número parp q

Conectivo lógico

4+5 es mayor que 7 o 3x3 es menor que 10

p q

Conectivo lógico

p q es verdadero (V) cuando por lo menos uno de ellos es verdadero.

p q es verdadero (V) cuando los dos son verdaderos.

5 es mayor que 3 o 5 es menor que 8

p q

10 es mayor que 8 y 12 es menor que 14

p q

p q es falsa (F) solamente cuando “p” es verdadera y “q” es falsa

Si: 10 es que 8 entonces 12 es que 10

p q

p q es verdadera (V) solamente cuando “p” y “q” 32 tienen el mismo valor de verdad.

10 es que 8 si y sólo si 12 es que 10

p q

ARITMÉTICA

F F F

p q es verdadera (V) solamente cuando

“p” y “q” tienen diferente valor de verdad.

Ejemplo:

p: 10 es mayor que 8 (V)q: 12 es menor que 10 (F)

La condicional de ambas será:

Su valor de verdad V F V

4. TABLA DE VERDADCasi siempre es necesario representar proposiciones compuestas que pueden a su vez tener como componentes otras proposiciones compuestas; en este caso es necesario el uso de signos de colección (paréntesis, corchetes, etc.)

A esta representación mediante variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de colección llamaremos fórmula proposicional. Así por ejemplo:

p [ ( ~p q ) ~q ]

Si en la fórmula anterior, se sabe que “p” es V y “q” es F, el valor de verdad lo obtenemos de la siguiente manera:

En otros casos es necesario determinar los valores de verdad de una fórmula para todas las combinaciones de los valores de verdad de las componentes, a este proceso se le denomina evaluar una fórmula en una tabla de verdad.

4.1. CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLAAntes de ver como se construye una tabla de verdad, tengamos lo siguiente:

OBSERVACIONES:

1.- Consideremos dos tipos de proposiciones: simples son aquellas que no contienen conectivos lógicos ni adverbio de negación y compuestas que son aquellas formadas por dos o más proposiciones unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación.

2.- El número posible de combinaciones de los valores de verdad de “n” proposiciones componentes es 2n Por ejemplo:

Si n =2 hay: 22 = 4 combinaciones

Si: n =3 hay: 23 = 8 Combinaciones

Ahora si veamos como se construye una tabla de verdad:

p q p [ ( ~ p q ) ~ q ) ]

V V

V F

F V

F F

4.2. RESULTADOS DE UNA TABLADe acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos que:

4.2.1. TAUTOLOGÍA.- Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos.

Ejemplo: La proposición “p ( p q )” es una tautología, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.

p q p ( p q )V V V V VV F V V VF V F V VF F F V F

4.2.2. CONTRADICCIÓN.- Cuando los valores del operador principal son todos falsos.

Ejemplo: La proposición “( p q ) ~ q” es una contradicción, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.

p q ( p q ) ~ qV V V F FV F F F VF V F F FF F F F V

4.2.3. CONTINGENCIA o CONSISTENCIA.-Cuando los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y por lo menos una falsedad.

Ejemplo: La proposición “( p q ) ~p” es una contingencia, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.

p q ( p q ) ~ pV V V F FV F V F FF V V V VF F F V V

5. ALGEBRA DE PROPOSICIONESSon equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.

5.1. PRINCIPALES LEYES:

LEY DE IDEMPOTENCIAp p pp p p

LEY CONMUTATIVAp q q pp q q p

LEY ASOCIATIVA(p q) r p (q r)(p q) r p (q r)

LEY DISTRIBUTIVAp (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)

LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN~ (~p) p

LEY DE IDENTIDADp V V ; p F pp V p ; p F F

LEYES DE COMPLEMENTOp ~p V p ~p F

LEY DEL CONDICIONALp q ~p q

LEY DEL BICONDICIONALp q (p q) (q p)p q (p q) (~p ~q)

p [ ( ~ p q ) ~ q ]

V

F F

F

V V

VV

V

F

p q

V V

V F

F V

F F

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

ARITMÉTICA

LEY DE ABSORCIÓNp (p q) pp (p q) pp (~p q) p qp (~p q) p q

LEY DE MORGAN~(p q) ~ p ~ q~(p q) ~ p ~ q

6. FUNCIÓN PROPOSICIONALEs aquel enunciado que contiene a una variable y que tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso para cierto valor de la variable. Las funciones proposicionales se pueden representar por; p(x); q(x); r(x); etc., donde “x” es la variable.

Ejemplos:p(x) : x-2 > 18q(x) : x2 + 4 = 16r(x) : “x” es un número primo.

Si en la función proposicional p(x) a “x” le damos diferentes valores tendremos:

Para: X = 10 p(10) : 10 – 2 > 18 8 > 18 (falso)Para: X = 23 p(23) : 23 – 2 > 18

21 > 18 (verdadero)

Como puede verse, dependiendo del valor de la variable podemos obtener resultados diferentes.

7. CUANTIFICADORES: UNIVERSAL Y EXISTENCIAL

7.1. CUANTIFICADOR UNIVERSALSi a una función proposicional, le anteponemos la expresión “para todo x”, estaremos indicando el sentido universal de dicha función proposicional, obteniéndose ahora una proposición lógica.

Notación:

Se lee: “para todo x, se cumple p(x) “

Ejemplo:Si tenemos una función proposicional:p(x) : x + 6 > 3(No es proposición lógica)y ahora le agregamos el cuantificador universal “”.

x : p(x)

x : x + 6 > 3( Si es proposición lógica )Tendremos una proposición lógica, cuyo valor es falso, por que no todos los valores de “x” cumplirán la proposición.

Ejemplo:Para x = -3, no se cumpleEntonces es falso que para todo “x”, se cumpla: x + 6 > 3.

7.2. CUANTIFICADOR EXISTENCIALSi a una función proposicional, le anteponemos la expresión “existe un x, tal que”, estaremos indicando el sentido existencial (que exista algún) de dicha función proposicional, obteniéndose ahora una proposición lógica.

Notación:

Se lee: “existe un x, tal que, se verifique p(x) “ “existe por lo menos un x, tal que, se verifique p(x) “

“al menos un x, verifica p(x) “

Ejemplo:Si tenemos una función proposicional:p(x) : x - 2 > 11 ( No es proposición lógica )

y ahora le agregamos el cuantificador existencial “”.x / p(x)

x / x - 2 > 11 ( Si es proposición lógica )

Para verificar que es una proposición lógica, podemos darnos cuenta que si x = 20, se cumple la desigualdad, ya hemos encontrado por lo menos un “x”, que verifique p(x) , por lo tanto es una proposición lógica, cuyo valor es verdadero.

Entonces es verdadero que existe un “x”, que verifique: x - 2 > 11.

8. CIRCUITOS LÓGICOS

Un circuito conmutador puede solamente estar en dos estados: cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar una proposición utilizando un circuito lógico:

Circuito Serie: Dos interruptores conectados en serie representan una conjunción.

Circuito Paralelo: Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción.

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01

- Resuelve ( 2 pts. c/u)

1).- Construir una tabla de verdad para (p) (p v q) q e indica de qué se trata:

a) Tautología b) Contradicciónc) Composición d) Contingencia

e) Equipotencia

2).- Construir una tabla de verdad para p (p) ( q)

e indica de qué se trata:

a) Tautología b) Contradicciónc) Composición d) Contingencia

e) Equipotencia

3).- Halla los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

I.- ( 2 + 5 = 7 ) ( 3 – 1 = 4 )II.- ( 3 + 5 = 8 ) ( 4 + 2 = 7 )III ( 4 – 0 = 0 ) ( 6 – 4 > 1 )

IV. ( 5 + 4 < 9 ) ( 2 + 5 = 8 )

a) VFFV b) FVVF c) VFVF0d) FFVV e) VFVV

4).- Dado el conjunto:

A = {3; 4; 5; 6}Halla los valores de verdad de cada proposición.

I.- x A: x + 3 > 4II.- x A/ x – 5 > 1III.- x A: x2 - 15 > 0

a) VVF b) FFF c) FVFd) VFF e) VFV

5).- Dadas las proposiciones lógicas: p : 51 es un número primo.q : es un número racional.r : 81 es un cuadrado perfecto.

Halla los valores de verdad de:I.- (~p q) (r p)II. ~(p q) (q ~r)

a) VV b) VF c) FVd) FF e) Faltan datos.

6).- Si la proposición compuesta: (p ~q) (~t s)

Es falsa, halla los valores de verdad de “p”, “q”, “t” y “s” respectivamente.

a) VVFF b) VFFF c) FFVVd) VFFV e) FFFV

7).- Si la siguiente proposición: (~p q) (~q r)

Es falsa, halla los valores de verdad de:I.- (~q p) (p ~r)II. (p ~r) (q ~p)

a) VV b) FV c) VFd) FF e) Faltan datos.

8).- Si la siguiente proposición: (~q p) (~p r)

Es verdadera, halla los valores de verdad de:I.- (q ~r) px : p(x) ó (x) [ p(x) ]

x / p(x) ó (x) ( p(x) )

p q < > p q

p

q

< > p q

ARITMÉTICA

II. (~p ~q) (p r)

a) FF b) VF c) VVd) FV e) Faltan datos.

9).- Construir una tabla de verdad para p(p) e indica de qué se trata:

a) Tautología b) Contradicciónc) Composición d) Contingencia

e) Equipotencia

10).- Construir la tabla de verdad de: (~p q) (p ~q)

e indica de qué se trata:

a) Tautología b) Contradicciónc) Composición d) Contingenciae) Equipolencia

11).- Hallar la tabla de verdad de:

(pq)(pq) e indica de qué se trata:

a) Tautología b) Contradicciónc) Composición d) Contingencia

e) Equipotencia 12).- Construir la tabla de verdad de:

(p ~q) (~p q)Luego indica cuál de las proposiciones siguientes es verdadera.

I. Es una contingencia.II. Es una contradicción.III. Hay tres valores de verdad.IV. Hay dos valores de falsedad.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y IId) I y IV e) I y III

13).- Si la proposición: p(rs) es falsa, entonces se puede afirmar que :

I. “p” es necesariamente verdadera.

II. “r” es necesariamente verdadera.

III. “s” puede ser verdadera

a) sólo I b)sólo II c) I y III d) II y III e) sólo III

14).- Construir una tabla de verdad para (pq)p e indica de qué se trata:

a) Tautología b) Contradicciónc) Composición d) Contingenciae) Equipotencia

15).- ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I.- ( 3 + 7 10 ) ( 4 x 0 = 4 )II.- ( 12 + 5 <15 ) ( 5 > -10 )III ( 7 x 1 = 7 ) ( 12 9 + 3 )

a) I y II b) II y III c) Sólo Id) Sólo II e) Sólo III

16).- Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta: (~p q) (p q) y dar el resultado.

a) FFVV b) FVVV c) FVVFd) VVVF e) VVFF

17).- Al construir la tabla de verdad de: (p ~q) (p ~q)

El número de valores verdaderos en el resultado es:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

18).- Sabiendo que: (r q) ~p

Es falsa, halla los valores de verdad de:I.- (p r) (~q t)II. ~(~p q) (r q)

a) VV b) VF c) FVd) FF e) Faltan datos.

19).- La siguiente proposición compuesta: ~(q p) (p ~q) es una:

a) Tautología b) Contingencia c) Equivalencia d) Contradicción e) Equipotencia.

20).- ¿Cuál de las siguientes expresiones son funciones proposicionales? I.- p(x) : x2 + x > 4II.- q(x) : “x” es un número impar.III.- r(x) : 3x+ 7

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) I y II

21).- Dada la función proposicional: p(x) : x3 -2x > 0

Halla los valores de verdad para:X = -1 ; x = 2 ; x = 1

a) VVV b) VVF c) VFVd) FVV e) FVF

22).- Dadas las proposiciones : p : Lenin aprueba sus cursos q : Lenin va a la fiesta r : Lenin estudia para su examenSimbolizar :

“ Si Lenin va a la fiesta entonces no estudiará para su examen, pero no es el caso que vaya a la fiesta y aprueba sus cursos. De ahí que Lenin estudia para su examen”

a) (q r) (q q) r b) (qr) (qp) r c) (q r) (q p) r d) (q r) (qp) r

e) (q r) (qp) r 23).- Si los valores veritativos de “p”, :”q” y “r”

son V, F y V respectivamente, halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

I. p rII. q ~pIII. q ( r p)IV. r ~(p q)

a) VFFF b) VVFV c) VFVF d) VFVV e) FVFV

24).- Dado el conjunto: A = { -1; -2; 1; 2} y las proposiciones:

p(x) : x A: x2 > 1q(x) : x A/ 2x x2

Indica el valor de verdad de: ~p ~q

a) verdadero b) falsoc) contingencia d) tautología e) N.A

25).- Halla la expresión equivalente al circuito mostrado:

a) (p q) r b) (p q) ~r c) (p q) ~r d) (p q) re) (p q) ~r

26).- Halla la expresión equivalente al circuito mostrado:

a) p (r s) b) (p q) (r ~s)c) (p q) (r ~s)d) (p q) (r ~s)e) (p q) (r s)

27).- Halla el equivalente del circuito:

a) ~p b) ~q c) ~p ~qd) p ~q e) p

28).- Halla el equivalente del circuito:

a) p b) ~p c) qd) p q e) p q

29).- Simplifica a su mínima expresión: (p ~q) ~ p

p

q

~r

p

q

r ~s

~p

~p

~q

~p

q

p

ARITMÉTICA

a) ~p b) p qc) p d) ~q e) ~p ~q

30)).- Dadas las siguientes premisas: p: Rodrigo es abogado.q: Arturo es biólogo.r: Arturo es administrador.

¿Cuál es la expresión simbólica de:“Si Arturo es biólogo además Rodrigo no es abogado, entonces Arturo no es administrador”

a) (q p) ~r b) (q ~p) ~rc) (q p) r d) (q ~p) re) (q p) r

31).- De las siguientes proposiciones:

I.- 5 + 2 = 8, además: 4 < 5II.- 2 < -2, si y sólo si: 3 + 8 < 4 + 6III 6 . 0 = 0 en consecuencia: 4 . 1 = 1

Indica los valores de verdad respectivos.

a)VVF b) FFF c) FVF d) VFF e) VFV

32).- La siguiente proposición compuesta:

(p ~q) (p q) es una :

a) tautología b) contingencia c) contradicción d) equivalenciae) disyunción

33).- Construye las tablas e indica cuales son tautológicas:

I.- [(p q) q] ~pII.- [(p q) p] qIII [p (q ~q)] ~p

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas

34).- Si: (x y) es falso y (x y) es verdadero; determina los valores de “x” e “y”.

a) VF b) FV c) FF

d) VV e) F.D.

35).- Si: (s t) es verdadero; (r s) es falso; (p q) es falso; (q r) es verdadero. Determina los valores de: “p”, “q”, “r”, “s” y “t respectivamente.”

a) VFVFF b) VVVFFc) VFFFF d) FFVFFe) VFVVF

36).- La siguiente proposición:

( p ~q) (t r) es falsa, ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I.- ~p ~t, es falsa.II.- r (q t) es verdadera.III.- (p ~t) (r q), es verdadera.

a) Sólo I b) Sólo IIc) I y II d) I y IIIe) Todas

37).- Halla la expresión equivalente al circuito mostrado

a) (p ~q) (p q)b) (p ~q) (p q)c) (p ~q) (p q)d) (p ~q) (p ~q)e) (p ~q) (p q)

38).- Si las proposiciones: p ~q; q p

Son falsas, determina el valor de verdad de;

I.- (q p) ~(q ~p)II.- (q ~p) (q p)

a) VV b) VF c) FVd) FF e) N.A.

39).- Dado el conjunto: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } :

decir el valor de verdad de:I.- x A/ x2 – 9 = 0II.- x A/ x +3 > 7

III.- x A/ x + 5 < 4a) VVV b) VFV c) VVFd) VFF e) FFF

40).- Dadas las siguientes proposiciones:

p : Daniel es comerciante.q : Daniel es un próspero industrial.r : Daniel es ingeniero.Simboliza el enunciado:“Si no es el caso que Daniel sea un comerciante y un próspero industrial, entonces es ingeniero o no es comerciante”

a) ~(p q) (r p)b) (~p q) (r p)c) ~(p q) (r p)d) ~(p q) (r ~p)e) (~p ~q) (~r p)

41).- Indica el valor de verdad de:

I. (~p ~q) (p q)es una contradicción.

II. [(p q) (q r] (p r)es una tautología.

II.[p (p q)] (q r)es una contingencia.

a) VVV b) VVF c) VFFd) VFV e) FVV

42).- Construir una tabla de verdad para (pq) (qr) (pr)

e indica de qué se trata:

a) Tautología b) Contradicciónc) Composición d) Contingenciae) Equipotencia

CLAVES DE RESPUESTAS

1) a 2) b 3) e

4) d 5) d 6) b

7) b 8) a 9) d

10)d 11)b 12)e

13)c 14)a 15)b

16)c 17)c 18)a

19)b 20)e 21)b

22)b 23)c 24)b

25)c 26)b 27)a

28)d 29)a 30)b

31)c 32)b 33)e

34)b 35)a 36)c

37)e 38)d 39)c

40)d 41)a 42)a

II. TEORÍA DE CONJUNTOS

1. INTRODUCCIÓNSin duda alguna, la teoría de conjuntos, es uno de los grandes aportes al desarrollo de la matemática. No obstante que el concepto de conjunto nació junto con el concepto de agrupación en los albores de la humanidad, fue sistematizado por primera vez por George Cantor (1845 – 1918), desde entonces a pasado a formar el punto de partida del estudio formal de la matemática y las creencias que se sirven de ella.

p

~q

(pq)

ARITMÉTICA

2. CONCEPTOSe entiende por conjunto a toda agrupación de objetos reales o imaginarios, que tienen una o más características comunes, estos objetos reales o imaginarios son llamados elementos del conjunto de manera que un conjunto esta bien definido si es posible conocer todos sus elementos.

3. NOTACIÓNGeneralmente se denota a los conjuntos con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por signos de colección (llaves, corchetes), etc. Ejm:

Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n):

Nos indica el número de elementos diferentes que tiene el conjunto considerado. Ejm:

4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOSLos conjuntos se pueden determinar de dos maneras:

Por Extensión o Forma Tabular:Cuando se indican a todos y a cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo:

* OBSERVACIÓN: El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él.

Por comprensión o Forma Constructiva:Cuando se define al conjunto enunciando las propiedades comunes que caracterizan a los elementos de dicho conjunto. Ejemplo:

Se lee: x tal que x es una vocal

Se lee: x tal que x pertenece a los números naturales menores que 6

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Relación de Pertenencia ()Un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es un agregado de dicho conjunto. La relación de pertenencia vincula cada elemento con el conjunto.

* s es un elemento del conjunto E s pertenece a E s E* t es un elemento del conjunto A t pertenece a A t A* o no es elemento del conjunto E o no pertenece a E o E* m no es elemento del conjunto A m no

pertenece a A m A

b) Relación de Inclusión ( ):Se dice que A está incluido en el conjunto B (A B), cuando todo elemento de A pertenece a B.Gráficamente:

Ejemplo:Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}B = {1; 2; 3} Se observa :B A: Conjunto B incluido en conjunto A.

c) Igualdad de Conjuntos:Dos conjuntos A y B son iguales , si A y B tienen los mismo elementos.

Ejemplo:Si: A = {1,3,5,7,9} y B = {x/x N x impar <10} A = B

6. CLASES DE CONJUNTO

a) Conjunto Vacío Es aquel conjunto que no posee elementos; también se le llama conjunto nulo.Notación: o { }.

Ejemplo:B = {x/x N 5<x<6} B = { } y n(B) = 0

b) Conjunto Unitario Es cuando tiene un solo elemento; también se le llama conjunto Singlentón

Ejemplo:

A = {x/x N 8 x 10} B = {satélites de la tierra}

c) Conjunto Finito Es cuando se pueden enumerar o contar sus elementos en su totalidad.

Ejemplo:

A = {x/x N x 99}

B = {los países de América del Sur}

d) Conjunto Infinito Es cuando sus elementos no se pueden determinar en su totalidad.

Ejemplo:

A = {x/x N x 5}B = {las estrellas del universo}

e) Conjunto Universal Es el conjunto que dentro del cual están todos los demás conjuntos, teniendo una referencia se representa por el símbolo U.

f) Conjunto Potencia Esta formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se simboliza por “P”.

Notación: P(A), se lee potencia del conjunto A.

A = {a, b, c}P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c};}

Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la formula: 2n, de donde “n” es el número de elementos del conjunto.Número de subconjuntos = 2n = 23 = 8

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Unión o Reunión () Dado los conjuntos A y B se llama conjunto unión al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o B o en ambos.Notación: A B.

SS

Se lee: “A unión B”

Ejemplo:

SÍMBOLO SIGNIFICADO

“Pertenece a”

“No Pertenece a”

A B = x / x A x B

A B A B.1

.2

.3.4

.5.6

.7

EA

*g

*s*i

*m*a*t

*a *i

*o

ARITMÉTICA

Sean los conjuntos:A = 2; 4, 7, 9B = 1, 7, 4, 12, 18

El conjunto A B = 1, 2, 4, 7, 9, 12,18Gráficamente:

b) Intersección () Dados los conjuntos A y B se llaman conjunto intersección , al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B, es decir que sean comunes a ambos conjuntos.

Notación: A B

A B = {x/x A x B}

Se lee: “A intersección B”

Ejemplo:A = {2, 4, 6, 9, 12}B = {3, 6, 9, 4, 20, 23} Conjunto A B = {4, 6, 9}Gráficamente:

c) Diferencia ( – ) Dados los conjuntos A y B se llama conjunto diferencia (A – B) al conjunto formado únicamente por los elementos que pertenecen a A pero no a B.

Notación: A – B

A – B = {x/x A x B}

Se lee: “A diferencia B”Ejemplo:Sean los conjuntos:A = {23, 19, 26, 25, 30} B = {1,9,26,23,20,18}El conjunto A – B = {19, 25, 30}

* Observación: A – B B – A

d) Diferencia Simétrica ( ) Dado los conjuntos A y B , se llama conjunto diferencia simétrica a aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto (A B) pero no al conjunto (A B).Notación: A B

A B = {x/x (A B ) (A B)}

Ejemplo:Sean los conjuntos:A = {2, 13, 19, 28, 30}B = {1,13, 19, 20, 29, 32}

El conjunto:A B = {1,2,20, 28, 29, 30, 32}Gráficamente:

Complemento de un Conjunto (A’ )

Siendo A un subconjunto cualquiera del conjunto universal U. El complemento de A Con respecto a U se define como el conjunto de elementos de U que no pertenece a A.Notación: A` Se lee: el complemento de A.

A’ = {x/x U x A}

Ejemplo:A = {4, 8, 10}U = {x/x N 2 < x < 12}

El conjunto: A’ = {3,5,6,7,9,11}

Gráficamente:

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Si el conjunto “A” es unitario. Halla “a.b”

A= {a + b ; 12 ; 3b-2a+1}

Solución:Todos los elementos = 12

a + b = 12 3b – 2a + 1 = 12 3b – 2a = 11

Resolviendo:a = 5b = 7

Rpta : a . b = 35

2.- Cuántos subconjuntos tiene:

A = {x2 + 1/ x Z ; -3 x < 5}Solución:

x {-3 , -2; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

(x2 + 1) {10; 5; 2; 1; 2; 5; 10; 17}

A = {10; 5; 2; 1 ; 17}Rpta : N° Sub-conj =2n(A) = 25 = 32

3.- De un total de 51 personas 30 gustan del cine y 18 sólo del cine, 22 del teatro. ¿A cuántos no les gusta ni el cine ni el teatro?

Solución:

Rpta : 11

4.- De un grupo de 70 personas: 32 hablan inglés; 26 español; 37 francés, 6 inglés y español; 9 español y francés; 12 inglés y francés. ¿Cuántos hablan sólo un idioma? Si hay 2 personas que hablan los 3 idiomas?

Solución :

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02

- Resuelve ( 2 pts. c/u)

1).- Si los conjunto A y B son unitarios. Halla “b - a” A = { 2a + b; 13 } B = { b + 2; 3a - b }

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4

2).- Si los conjuntos:

A = {2x + 3y ; 10} B = {29 ; x + y}Son iguales. Calcula (y-x)

a) 10 b) 8 c) 7

A B

U

.2

.9

.4

.7

.1

.12.18

U

A B

.2

.12

.4

.6.3

.23.20.9

U

A B

.2.28

.30

.13

.19

.1

.29

.32

.30

A B

U

.4

.8.10

.11

.3

.5

.6 .7

.9

A

U

A B

.25

.30

.26.1

.18

.20.23.19 . 9

C(30) T(22)

10 12 18

11

Total(51)

C(32) E(26)

13 4 16

F(37)

Total (70)

210 7

18

ARITMÉTICA

d) 11 e) 4

3).-Dado el conjunto: A = {1; 2;{ 3 }; 4; { 5} }

Indica cuántos son verdaderos:1 A ( ) 2 A ( ){4} A ( ) {3} A ( )2;4 A ( ) {4} A ( ){5} A ( ) A ( )

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4).- Dado el conjunto A = {2; 3; 4; 5}

¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

I. xA / (2x + 1), es número primo.II. xA ; 3x < 18III. xA / , es número entero.IV. xA ; 4x, no es múltiplo de 4.

a) I, II y III b) II y III c) III y IV d) I y II e) II y IV

5).- Dado el Conjunto: E = {9; 99; 999; 9999; 99999}Determinarlo por comprensión:

a) {10x – 1 / x N N x < 6} b) {10x + 9 / x N x <6}c) {10x – 1 / x N 0 < x < 6} d) {10x – 1 / x Z x < 6}e) T.A.

6).-Halla el conjunto “C” por extensión y determina cuántos subconjuntos tiene: C={x2+1/xN; -3 x 4}

a) 20 b) 30 c) 32 d) 64 e) 16

7).- Si los conjuntos P y Q son iguales: P={a2+2a; b3-b}

Q={15 ; 2a }

Halla “a.b”, siendo a y b naturales.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

8).- Dado el conjunto: A = {x2 + 1/xZ -3 x 4}; determínalo por

extensión y luego indica verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes premisas:

I. n(A) = 5..............................................( )

II. “A” tiene 16 subconjuntos.................( )

III.“A” tiene 31 subconjuntos propios....( )

a) VVV b) FFV c) VFF d) VVF e) VFV

9).- Si el siguiente conjunto C, C = {a+b, 8, 2a – 2b+4}; es unitario

Halla a3+b4

a) 145 b) 397 c) 80 d) 108 e) 206

10).- Si los conjuntos: A = {x-y ; 12}

B = {x-2y ; -3}

Son iguales, además: C = {a+2 ; 3b+7}, es unitario.Calcula : x2 + y2 + 2a - 6b

a) 546 b)581 c)662 d) 559 e)613

11).- ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto?

M = { 2; 3; {2}; 3; 2; {2}; {3} }

a) 127 b) 63 c) 15 d) 7 e) 31

12).- Si “A” es unitario, halla “x2 + y”.

A = { x + y; 20; x – y + 10 }

a) 230 b) 130 c) 235 d) 144 e) 152

13).- Dados los conjuntos unitarios :A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc}

Donde: b > c

Calcula : a –2b + 3c

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 6

14).- Dados los conjuntos unitarios:

P={x+y ;8} Q={y+z ; 10}S={x+z ;12}

Calcula: (x+y+z)

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

15).- Si : A = {1; 3; 5; 7; 9; 12} B = {3; 9; 8; 10; 11}

Entonces indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas(F).

I. 8 (A B)II. 12 (A B)III. n(AB) = 11IV. (AB) - (AB) = {1; 5; 7; 8;10; 11}

a) FVFF b) FFFF c) VVVV d) VVFF e) FVVV

16).- Si los conjuntos A y B son iguales:

A = {n2+1; -6} B = {2-m; 10}Halla “m+n”

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

17).- Si los conjuntos:

A = {2x + 3y ; 10} B = {29 ; x + y}

Son iguales. Calcula : (y-x)

a) 10 b) 8 c) 7 d) 11 e) 4

18).- Si los conjuntos:

G = {2a ;6} B = {4 ; 4b}

Son unitarios. ¿cuántos elementos tiene:

A = {3a – 1; 7b; 2a + 1; ab; a + b}?

a) 1 b) 4 c) 7 d) 3 e) 5

19).- Si el conjunto: R = {2p-r ; 18 ; p+r}Es unitario, halla: (p/ r)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1,5 e) 2,5

20).- Si a y b son números enteros y

{a2+9, b+2} = {-9, 10}

Halla el menor valor de “a+b”

a) 10 b) 11 c) -12 d) 12 e) –10

21).- Si A = {1, 2, 3, 4 }, B = {2, 4, 6}, C = {2,4,3};

E = {(A – B) (A – C) –(B – C) (B – A)}

Dar el número de elementos de E.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

22).- Dados los conjuntos A={xN / 2 < x < 6}, B = {x2 + 1 / x N 1 < x < 4} y

C = {x - 2 / x N 4 < x < 6}.

¿Cuántos elementos tiene la operación:(BA)–(AC)?

a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 6

23).- Halla el cardinal del conjunto A, sabiendo que tiene 2048 subconjuntos.

a) 10 b) 11 c) 8 d) 9 e) 12

24).- Si: n (A U B) = 30n (A–B)=12 y

n (B–A) = 8

ARITMÉTICA

Halla: 5[n(A) ] – 4[n(B)]

a) 38 b) 60 c) 48 d) 70 e) 100

25).- Si: A y B son dos conjuntos finitos tales que:

n (A)=163 ; n(B)=158 ; n (AB) = 83Halla: n (A B)

a) 238 b) 321 c) 404 d) 400 e) 200

26).- Si: A y B son conjuntos tales que:

n(A U B) = 33;

n(A - B) =7;

n(B - A) = 15

Halla: n (A) + n (B)a) 38 b) 45 c) 40 d) 44 e) 48

27).- Indica el número de elementos del conjunto

a) 3 b) 5 c)10 d) 4 e) 16

CLAVES DE RESPUESTAS

1) a 2) b 3) e 4) a

5) c 6) c 7) d 8) e

9) e 10)d 11)c 12)a

13)b 14)b 15)b 16)b

17)b 18)b 19)b 20)c

21)c 22)a 23)b 24)a

25)a 26)d 27)d