Xx-teoria Del Equilibrio General y Sus Limitaciones

7/25/2019 Xx-teoria Del Equilibrio General y Sus Limitaciones

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XX. Teora del Equilibrio General y sus limitaciones 552

XX. TEORA DEL EQUILIBRIO GENERAL Y SUS LIMITACIONES1

En este captulo analizaremos desarrollos recientes de la teora del equilibrio general que tienenorigen en la obra de Walras, comenzando con algunas aplicaciones en la esfera del comerciointernacional. Luego sern analizados los problemas de existencia, estabilidad y unicidad.Pondremos fin a este captulo desmenuzando el famoso teorema de Sonnenschein-Mantel-

Debreu, que, en cierta forma, representa un punto de referencia obligado en el camino iniciado porWalras en 1874.

1. El modelo de Heckscher-Ohlin

El modelo H-O es un modelo matemtico de equilibrio general del comercio internacional,desarrollado por Eli Heckscher y Bertil Ohlin. Ambos fueron economistas suecos de la Escuela deEstocolmo. El modelo est formulado siguiendo la teora de la ventaja comparativa de Ricardo ypermite predecir el patrn decomercio y produccin en basea la dotacin factorial de unaregin comercial. La prediccin

esencial es que un pasexportar aquellos productosque utilizan los factores deproduccin abundantes (ybaratos) e importar aquellosque utilicen los factores msescasos (y caros)2.

La dotacin relativa de factoresproductivos (como la tierradisponible, trabajo y capital)determinan segn este enfoque

la ventaja comparativa. LosEli Heckscher (1879-1952) Bertil Ohlin (1899-1979)

1V. Wontack Hong, International Trade: A Provisional Lecture Note; Elhanan Helpman and Assaf Razin, ATheory of International Trade Under Uncertainty, 1978, Ch. 7; Steven M. Suranovic, International TradeTheory and Policy, The Rybczynski Theorem; Wikipedia: The Heckscher-Ohlin Model, The Rybczynskitheorem, The Stolper-Samuelson Theorem; The Heckscher-Ohlin Theorem; The History of EconomicThought Website; Stolper, W.F. and P.A. Samuelson (1941). "Protection and Real Wages." Review ofEconomic Studies, 9; G. Debreu, Theory of Value, An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium, 1959Cowles Foundation for Research in Economics at Yale University; Michael D. Intriligator, Optimizacinmatemtica y Teora econmica, Prentice/Hall International, 1973; Herbert Scarf, Some Examples of GlobalInstability of the Competitive Equilibrium, International Economic Review, Sept. 1960; Herbert E. Scarf andJ.B. Shoven, Applied General Equilibrium Analysis, Edited by Herbert E. Scarf & John B. Shoven,

Cambridge University Press, 1984; K.J. Arrow F.H. Hahn, General Competitive Analysis, Holden-Day, 1971.Henderson J.M. y Quandt, R.E, Teora Microeconmica. P. Samuelson, Foundations of Economic Analysis,Enlarged Ed., 1983. Henderson, JM Quandt, RE Micro-Economic Theory, a Mathematical Approach.International Student Edition, London, McGraw Hill, 1971. 2nd Edition. Eugene Silberberg, The Structure ofEconomics A mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1990.2Bertil Ohlin public el libro Interregional and International Tradeen 1933. Aunque fue el nico en escribirlo,se acredita a Heckscher su co-autora del modelo, a raz de trabajos previos sobre el problema y porquemuchas de las ideas que aparecieron en su forma final provinieron de la tesis doctoral de Ohlin, supervisadapor Heckscher.


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pases tienen ventaja comparativa en los bienes cuyos factores productivos son localmenteabundantes en trminos relativos. El motivo es que en definitiva los precios de los bienes quedandeterminados por los precios de sus insumos, y los bienes que usen insumos localmenteabundantes sern ms baratos para su produccin que los que tienen como insumos recursoslocalmente escasos.

Esta proposicin tiene bastante sentido comn. Tomen por ejemplo a un pas que tiene capital ytierra abundantes pero en el cual el trabajo es escaso. Luego, tendr ventaja comparativa enbienes que requieran grandes cantidades de capital y tierra, pero poco trabajo, como por ejemplolos cereales. Como son los principales factores usados para producir cereal, eso significa que elcereal tambin tendr un precio relativamente bajo con lo cual ser un producto atractivo tantopara el consumo interno como para la exportacin. Por otro lado, en el ejemplo los bienes trabajo-intensivos sern muy caros como para ser producidos ya que el trabajo es escaso y su precioelevado. Por consiguiente, lo mejor que podra hacer ese pas sera importar este tipo de bienes.

En el modelo de ventaja comparativa de David Ricardo, el comercio est motivado en ltimainstancia por diferencias de productividad laboral debido al uso de distintas tecnologas. Encambio, el modelo H-O tiene idnticas tecnologas en los pases involucrados, en aras a la

simplicidad. Ricardo consider un nico factor productivo, y hubiera sido incapaz de producirventaja comparativa sin diferencias tecnolgicas entre los pases (todos ellos se hubierantransformado a la autarqua en varios estadios de desarrollo, sin ningn motivo para comerciar eluno con el otro). El modelo H-O suprimi las variaciones tecnolgicas pero introdujo a su vezdotaciones de capital variables, recreando en forma endgena la variabilidad de la productividadlaboral entre pases que Ricardo haba impuesto de manera exgena. Con cambios de la dotacinde capital (p.ej. infraestructura) y bienes que requieren diferentes proporciones factoriales, lateora de la ventaja comparativa de Ricardo, termina siendo la solucin de maximizacin debeneficios de los capitalistas dentro de las ecuaciones del modelo. (Como el modelo H-O suponeque el capital es de propiedad privada, las decisiones que enfrentan sus propietarios son entreinversiones en distintas tecnologas de produccin.)3.

Desde los aos 1930s el modelo ha sido ampliado por muchos economistas, aunque estosdesarrollos no cambian el rol fundamental de las proporciones variables de los factores, sino msbien introducen otras consideraciones ms realistas (tales como las tarifas) a efectos de aumentarel poder predictivo del modelo o de discutir opciones de poltica macroeconmica. Hubocontribuciones notables de Paul Samuelson4, Ronald Jones, y Jaroslav Vanek.

Los supuestos crticos del modelo H-O pueden ser resumidos as:

Como se dijo previamente, el modelo H-O difiere drsticamente del ricardiano al suponerque las funciones de produccin disponibles en cada pas son idnticas. Las funciones deproduccin simplemente convierten capital y trabajo en producto. En realidad, sera ineficienteutilizar la misma composicin de insumos en cualquier pas debido a la mayor disponibilidad de

3El modelo original H-O supona que la nica diferencia entre pases se deba a la abundancia relativa detrabajo y capital. Tambin trabajaba con dos pases y dos productos. Como tena dos factores homogneosde produccin a veces es denominado el modelo 2x2x2. Las proporciones factoriales son variables entrelos pases: los pases ms desarrollados tienen una relacin capital-trabajo ms alta que los que estn envas de desarrollo. Basndose en esta nica diferencia, Ohlin pudo discutir el nuevo mecanismo de ventajacomparativa. (Una tecnologa sera la correspondiente a una industria capital intensiva, y la otra a unaindustria trabajo intensiva.).4Paul A. Samuelson, International Trade and the Equalisation of Factor Prices, The Economic Journal, Vol.58, No. 230. (Jun., 1948).


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uno de ellos, pero, en principio sera posible. Otra forma de expresarlo es diciendo que laproductividad por habitante es la misma en ambos pases si tienen la misma tecnologa concantidades idnticas de capital. A veces los alumnos de comercio internacional descartan de planoal modelo H-O por este supuesto. Pero hay que entender que se trata de una simplificacindestinada a subrayar claramente el efecto de la disponibilidad factorial. (Lo cual significa que elmodelo H-O es una explicacin alternativa, ms que complementaria, del modelo de Ricardo.) En

la prctica ambos efectos van a tener lugar (diferencias tecnolgicas y de abundancia factorial).Adems de diferencias en ventajas naturales para producir uno u otro producto (digamos, vino enlugar de arroz) hay una multitud de otros factores como la infraestructura, la educacin, lacultura, el know-how de los pases que hacen que los pases sean tan dramticamentediferentes entre s, que la mera idea de hablar de tecnologas idnticas sea un discurso terico.Ohlin deca que el modelo H-O era un modelo de largo plazo, y que las condiciones de produccinindustrial son en todas partes las mismas en el largo plazo.

En el modelo simple de H-O, ambos pases producen ambos bienes con tecnologas conrendimientos constantes a escala. Con rendimientos crecientes, resultara ms eficiente que lospases se especialicen.

Para que comerciar sea interesante en este modelo, las funciones de produccin conrendimientos constantes a escala deben ser diferentes. Un ejemplo sera el siguiente:

Industria que usa tierras de cultivo: Yc=KL

Industria de la pesca: Yp=KL

Yces el producto total de los cultivos, Ypes el producto de la pesca, y K,Lson el capital y eltrabajo en ambos casos.

Suponiendo que las unidades de P(escado) y C(ultivos) tienen el mismo valor, el rendimientomarginal de una unidad adicional de capital es mayor en la pesquera. El pas que sea msabundante en tierras cultivables se beneficiar en desarrollar su flota pesquera a expensas desus granjas cultivables. Recprocamente, los trabajadores disponibles en el pas con trabajoms abundante pueden ser empleados de modo ms eficiente en tierras cultivables.

Dentro de cada pas, capital y trabajo pueden ser reinvertidos y re-empleados paraproducir productos diferentes. Como con el argumento de ventaja comparativa de Ricardo, esto noconlleva costos. Por ejemplo, si las dos tecnologas de produccin son la industria de cultivos y laindustria pesquera, se est suponiendo que los agricultores pueden pasar sin costos adesempearse como pescadores, y recprocamente.

Dentro de cada pas, tambin se supone que el capital puede desplazarse a cualquiertecnologa, de manera que cambie el mix industrial sin costos de ajuste entre ambos tipos deproduccin. Si las dos industrias son los cultivares y la pesquera, el supuesto es que las granjas yhaciendas pueden servendidas para pagar por la construccin de barcos pesqueros sin incurrir encostos de transaccin5.

5Este trmino de costo de transaccin empieza a ser importante, por lo cual vale la pena anticiparnos unpoco al tratamiento que haremos posteriormente. El trmino parece haber sido acuado por Ronald Coase,que lo utiliz para desarrollar en esquema terico que predijera cundo una determinada tarea econmicaser realizada por una firma, y cundo por el mercado. Sin embargo, el trmino est virtualmente ausentede sus trabajos hasta entrada la dcada de los 1970s. Aunque Coase no acu el trmino, en realidaddiscuti los costos de usar el mecanismo de precios en su documento de 1937 The Nature of the Firm,en cuyo caso fue el primero en discutir el concepto de costos de transaccin. El trmino puede ser rastreadoen la literatura de economa monetaria de los 1950s, pero no parece haber sido acuado por nadie enparticular.


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Inmovilidad del capital entre pases. El modelo bsico H-O depende de que ladisponibilidad relativa de capital y trabajo difiera internacionalmente, pero si el capital fuera librede ser invertido en cualquier lugar, la competencia producira una idntica abundancia de capitalpor todo el mundo. (Esencialmente, el comercio libre de capital dara lugar a un nico poolmundial de inversin.) Diferencias en la abundancia de trabajo no daran lugar a diferencias de laabundancia factorial relativa (con relacin al capital mvil) porque la relacin capital/trabajo sera

la misma en todos lados. (Un pas grande recibira una inversin que sera el doble de la de unopequeo, por ejemplo, maximizando el rendimiento sobre la inversin del capitalista.) Cuando loscontroles a los capitales se reducen, el mundo empieza a diferir un poco del mundo quemodelizaron Heckscher y Ohlin. El capital tiende a ser mvil cuando:

Existen controles limitados de cambios, No existe un riesgo de expropiacin del capital, o Est permitida la Inversin Directa Extranjera entre pases, o a los extranjeros se les

permite invertir en operaciones comerciales de un pas por medio del mercado accionario o debonos corporativos.

Los movimientos del trabajo como los del capital no estn contemplados dentro delmodelo H-O, ya que esto involucrara una igualacin de la abundancia relativa de ambos factores.

Esta condicin es ms sostenible en el mundo moderno que el supuesto de que el capital estconfinado en un solo pas. El modelo original de 2x2x2 no pona barreras al comercio, no contena tarifas ni controles

de cambio (el capital era inmvil, pero era posible repatriar sin costos las ventas al exterior).Tambin careca de costos de transporte entre los pases, o de cualquier ahorro que favoreciera ala oferta local. Si ambos pases tienen distinta moneda, ello no afectara al modelo, ya que seravlida la Paridad del Poder Adquisitivo. Sin costos de transaccin o emisin monetaria se aplicarala ley del Precio nico6 para ambos bienes. Y los consumidores de cualquier pas pagaranexactamente el mismo precio por cada bien. En la poca de Ohlin este supuesto pareca unasimplificacin sin grandes consecuencias, pero los cambios econmicos y la investigacineconomtrica llevada a cabo desde los 1950s han demostrado que los precios locales de losbienes tienden a estar correlacionados con los ingresos al ser convertidos en precios monetarios

(aunque esto ya no es tan cierto de los bienes comercializables internacionalmente). Competencia interna perfecta. Ni el trabajo ni el capital pueden afectar los precios de

bienes o factores restringiendo la oferta; existe una situacin de competencia perfecta.

Los principales teoremas derivables del modelo son cuatro:

1.1 Teorema de Heckscher-Ohlin. La paradoja de Leontief.

Las exportaciones de un pas con abundancia de capital provendrn de las industrias Capitalintensivas, bienes que sern importados a su vez por los pases con abundancia de Trabajo, quea cambio exportarn bienes Trabajo-intensivos. Las presiones competitivas dentro del modelo H-Ohacen de esta prediccin una proposicin que se extrae directamente. Adems, se trata de una

hiptesis fcilmente docimable.

6Es decir, en un mercado eficiente todos los bienes idnticos deben tener el mismo precio. Esta ley estvinculada con el comercio libre y la globalizacin. Existe una teora segn la cual en algn momento todaslas reas del mundo obtendrn el mismo monto monetario de cualquier otra parte del mundo por igualtrabajo o igual calidad. La intuicin que est por detrs de su enunciado es que los vendedores acudirn enmasa para lograr el precio ms elevado que prevalezca, y los compradores para lograr el ms bajo. En unmercado eficiente la convergencia hacia un nico precio es instantnea.


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La paradoja de Leontief, presentada por Wassily Leontief en 1954, hall que los Estados Unidos,que segn cualquier criterio que sea utilizado es el pas del planeta en que el capital es msabundante, exportaba bienes trabajo-intensivos e importaba bienes capital-intensivos, encontradiccin aparente con este teorema. En 1971 Robert Baldwin demostr que lasimportaciones de USA eran 27% ms capital intensivas que segn los datos comerciales de 1962,utilizando una medicin similar a la usada por Leontief. En 1980 Leamer cuestion la metodologa

original de Leontief basndose en consideraciones de tipo de cambio real, pero reconoci que laparadoja an subsista en los datos (para otros aos que no fueran 1947). Una encuesta de 1999de la literatura economtrica que realiz Elhanan Helpman concluy que la paradoja persista,pero que algunos estudios sobre comercio no estadounidenses, en cambio, eran consistentes conla teora H-O. En 2005 Kwok & Yu utilizaron una metodologa actualizada para argumentar a favorde una menor paradoja (o cero paradoja) en las estadsticas del comercio de Estados Unidos,aunque la paradoja an parece persistir en otros pases desarrollados.

Para los economistas, la paradoja de Leontief puso en tela de juicio la validez del teorema H-O,que predice que los patrones de comercio estarn basados en la ventaja comparativa de lospases en ciertos factores de produccin (como el capital y el trabajo). Muchos economistas handejado de lado la teora H-O a favor de un modelo ms ricardiano en el que las diferencias

tecnolgicas son las que determinan la ventaja comparativa. Estos economistas argumentan queEstados Unidos tiene ms ventaja comparativa en trabajo altamente calificado que en capital. Estotambin podra ser visto como considerando al capital en forma ms amplia, a efectos de incluiral capital humano. Segn esta definicin, las exportaciones de USA seran muy capital (humano)-intensivas, y no particularmente intensivas en trabajo (no calificado).

Hay algunas explicaciones de la paradojaque restan importancia a la ventajacomparativa como determinante delcomercio. Por ejemplo, la hiptesis deLinder7afirma que la demanda desempeaun rol ms importante que la ventaja

comparativa como determinante delcomercio junto a la hiptesis de quepases que tengan demandas similaresser ms probable que comercien entre s.Por ejemplo, tanto los USA y Alemania sonpases desarrollados con una demandasignificativa de automviles, debido a locual tienen grandes industriasautomotrices. Pero en lugar de presentarseuna situacin con un pas que tenga unaindustria dominante con ventajacomparativa, ambos pases comercian

entre s autos de diferente tipo. En formasimilar, la Nueva Teora del Comercio8sostiene que las ventajas comparativas

7Staffan B. Linder, An Essay on Trade and Transformation, 1961.8Esta teora est asociada estrechamente con el premio Nobel Paul Krugmana principios de los 1970s;posteriormente, hacia 1976, el economista del MIT Victor Norman desarroll la teora que termin siendoconocida como la teora Helpman-Krugman. V. Avinash Dixit & Victor Norman, Theory of International Trade:

A Dual, General Equilibrium Approach, Cambridge University Press, 1980.
http://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Krugmanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Krugman


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pueden desarrollarse de manera independiente de las variaciones de las dotaciones factoriales(p.ej. en industrias con rendimientos crecientes a escala).

1.2 El Teorema de Rybczynski

Examinemos un poco ms de cerca la esfera de la produccin. Vamos a suponer que en la

economa hay solamente dos empresas, que emplean dos factores para producir dos productos(v. figura pg. 556). Las ecuaciones del mercado de factores v=B'x se transforman entonces en:

[1] L0=b1cQc + b1sQs[2] K0=b2cQc+ b2sQs

donde hemos puesto L0en lugar de v1y K0en lugar de v2, e indicamos con Qcla produccin del

primer bien (textiles) y Qsla de acero. Notando que la primera ecuacin puede ser escrita tambincomo

[3] Qs=(L0/b1s) - (b1c/b1s) Qc

esta ecuacin proporciona una primera lnea (en color rojo) en la figura adjunta.

Esta lnea representa todas las combinaciones de bienes que dan lugar a equilibrio en el mercadodel factor trabajo, dada L0(la oferta total del factor). Ntese que si se incrementa la oferta factorial,esta lnea se desplaza hacia arriba y a la derecha. Otro tanto podemos hacer con la segundaecuacin, lo que proporciona una segunda lnea (en color azul). Esta lnea representa todas lascombinaciones de bienes que dan lugar a equilibrio en el mercado del factor capital. Tambin, sise incrementa K0esta lnea se desplazar hacia arriba y a la derecha. Obviamente el equilibrio seobtiene cuando ambas igualdades se verifican, en la interseccin en el punto A. Este puntorepresenta, por consiguiente, un equilibrio en el mercado de factores.

Teorema de Rybczynski. En un modelo simple de dos sectores, si los precios se mantienen

constantes, un aumento de la oferta de un factor incrementar la produccin de aquel bien que esintensivo en ese factor y disminuir la produccin del bien restante. Basta notar para ello que, enla figura, la lnea del trabajo es msempinada que la lnea del capital. Por lotanto, la nueva interseccin pasa a estarubicada en el punto B. Cul es elsignificado de la inclinacin diferente delas rectas dibujadas? Suponer que elacero es "relativamente intensivo" entrabajo es afirmar que b1s/b2s>b1c/b2cqueimplica b1s/b1c>b2s/b2c. Este teoremaimplica que, en general, el aumento de la

dotacin de un factor en un pas darlugar a un aumento de la produccin deaquel bien que lo utiliza en formaintensiva, y a una disminucin de laproduccin de los bienes restantes.Helpman y Razin demuestran que esteteorema deja de ser vlido bajocondiciones de incertidumbre si no hay intercambio internacional de obligaciones financieras.Empero, todava puede ser vlido si los que se mantienen constantes son los precios de las


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acciones de las compaas, no los de los bienes. Este teorema ha sido til para explicar losefectos de la inmigracin y de la emigracin y de la inversin de capital del exterior.

1.3 El teorema de StolperSamuelson

Este teorema establece que, bajo condiciones de rendimientos constantes a escala y competencia

perfecta, un incremento del precio relativo de un bien conducir a incrementar el precio de aquelfactor utilizado ms intensivamente en la produccin de ese bien, y recprocamente, a la cada delprecio del otro factor.

Fue obtenido en 1941 por Paul Samuelson y Wolfgang Stolper dentro de la estructura del modelode H-O, pero subsiguientemente fue derivado en modelos menos restrictivos. El ejemplo deaplicacin figura en la figura adjunta, en la cual estn graficadas las igualdades precio=costo.Observen que estas igualdades no son las del sistema clsico: no se trata del costo de produccinque determina a los precios, sino que son los precios de los bienes los que determinan los costosde produccin. Esto es la esencia del principio de imputacin, de raigambre austraca, tal comofue pergeado por Carl Menger (1871) y Friedrich von Wieser (1889): El valor de los bienes demenor orden [e.d. las mercancas] no puede, por consiguiente, ser determinado por el valor de

bienes de orden superior [e.d. los factores] empleados en su produccin. Por el contrario, esevidente que el valor de los bienes de orden superior siempre es determinado sin excepcin por elvalor prospectivo de los bienes de orden inferior a cuya produccin contribuyeron. (C. Menger,1871).

En resumen, dados precios de los bienes P1y P2y una tecnologa representada por una matriz B,es posible calcular de inmediato los rendimientos factoriales necesarios w1* y w2*. Losrendimientos factoriales pueden ser imputados a partir de los precios de los bienes. stos a suvez surgen de la solucin del problema de maximizacin de la utilidad. El principio de imputacincapta la idea de que la demanda de bienes, actuando sobre una oferta fija de factores, terminaasignndole un valor a estos factores9.

El teorema de Stolper-Samuelson puede ser visualizado en la figura anterior (pg. 557) viendoque P1(que antes era el precio de los cultivos) tiene una lnea ms empinada que P 2(que antesera el precio del acero). Que sea ms empinada significa que b11/b21>b12/b22. Esto implicanecesariamente que x11/x21>x12/x22(xjies la cantidad del factorjusada en la industria i). Luego, laindustria x1es relativamente intensiva en el factor v1y la industria x2relativamente intensiva en elfactor 2. Ahora podemos enunciar el teorema:

Teorema de Stolper-Samuelson.En un modelo simple bisectorial, si se mantienen constantes losproductos, un aumento del precio relativo de un bien aumentar el precio del factor en el que esrelativamente ms intensivo y reducir el precio del factor en el que es relativamente menosintensivo. Como se observa en la mencionada figura, si se aumenta P2P2, la posicin deequilibrio se traslada de G a H. En este ltimo punto, w1* cay y w2* aument con respecto a G.

Recuerden que el bien 2 es relativamente intensivo en el factor 2. Jones & Scheinkman10

demostraron que bajo condiciones muy generales los ingresos de los factores cambiarn segn lopredicho por el teorema. Una vez ms, Helpman y Razin han demostrado que la proposicin no esvlida en contextos inciertos con ausencia de comercio internacional de acciones.

9 Pero al final de cuentas, en un sistema de equilibrio general, ambos tipos de precios se determinansimultneamente. No hay direccin de causalidad.10 Jones, R.W. and J. Scheinkman. 1977. "The Relevance of the Two-Sector Production Model in TradeTheory," Journal of Political Economy 85, (October).


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El modelo original H-O es un modelo bi-factorial con un mercado de trabajo especificado por unnico nmero. Desde entonces han sido publicados modelos ms sofisticados con mltiplesclases de productividad laboral que producen el efecto Stolper-Samuelson en cada clase laboral:los trabajadores no calificados que producen bienes comercializados en un pas de elevadacalificacin terminarn peor a consecuencia de un crecimiento del comercio internacional, porque

con relacin al mercado mundial del bien que produce, un trabajador de primera lnea de laproduccin mundial es un factor productivo menos abundante que el capital.

Derivacin del teorema. Consideren una economa con dos bienes que slo produce trigo yvestimenta usando como insumos intensivos tierra por parte del trigo, y trabajo por parte de lavestimenta, y supongan que el precio de cada producto es igual a su costo marginal. El precio dela vestimenta sera:

[4] Pc=ar +bw,

donde r es la renta pagada por el uso de la tierra, w el salario y los coeficientes a y b soncoeficientes de insumo-producto. Por su parte, el precio del trigo sera:

[5] Pw=cr +dw,

con una interpretacin anloga. Si la vestimenta sufre un incremento de su precio, para que [4]siga siendo vlida, al menos uno de los dos factores debe ser ms elevado, ya que loscoeficientes de insumo-producto no han sido afectados. Puede suponerse que ser el trabajo elque se elevar, porque es el insumo usado en forma intensiva en la produccin de vestimenta.Cuando aumenta el salario, la renta de la tierra caer para que [5] siga siendo vlida. Pero unacada de la renta tambin afectar a la ecuacin [4], ya que, para que siga siendo una igualdad, laelevacin del salario debe ser ms que proporcional que el aumento del precio de la vestimenta.

Por consiguiente, la elevacin del precio de un producto llevar a un aumento ms que

proporcional del precio del factor usado en forma ms intensiva, y a una cada del precio del factorusado menos intensivamente.

Habitualmente se supone que los pases ms adelantados son de abundancia relativamente msalta de capital que los pases en desarrollo. Luego, la apertura al comercio internacional libre digamos, en USA versus los pases en desarrollo trasladar la produccin de USA hacia el bienque resulta relativamente capital-intensivo. Esta produccin aumentar, mientras que una parteser exportada, en tanto que la produccin del otro producto se contraer, y una parte de suconsumo ser satisfecha mediante importaciones. Una transferencia de trabajo y de capital desdela industria trabajo intensiva expandir la expansin de la produccin de la industria capital-intensiva. Esto sucede porque la cantidad de capital suficiente para emplear a un trabajador entareas trabajo-intensivas es insuficiente para emplearlo en produccin capital-intensiva. La

industria en declive dejar disponible relativamente ms trabajo que el que puede ser absorbidopor la industria en expansin, por lo cual habr un exceso de oferta de trabajo en el mercadofactorial que dar lugar a una reduccin de su precio. Ello causar la reabsorcin de lo quehubiera sido un exceso de oferta de trabajo. Con salarios ms bajos, ambos sectores utilizarnms trabajo por unidad de capital. Por lo tanto, la productividad marginal fsica del trabajo caeren ambos sectores. En consecuencia, el comercio libre reduce necesariamente el precio del factorescaso en USA (que es el trabajo) expresado en trminos de cualquier bien. Si ello es as, elingreso real de los trabajadores debe caer, cualquiera sea el patrn de gastos de los trabajadorescomo consumidores.


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Luego, el teorema de Heckscher-Ohlin implica que la apertura de una economa al libre comerciointernacional debe reducir, tanto en trminos relativos como absolutos, el ingreso del factor escasode produccin. Como ste es igual al precio por la cantidad empleada del factor, y suponiendopleno empleo antes y despus de la apertura comercial, los ingresos totales factoriales sernproporcionales a sus precios unitarios. Por consiguiente, si el trabajo fuera el factor relativamente

ms abundante de los pases adelantados, se tiene que el comercio libre, si no hay unaredistribucin poltica apropiada del ingreso, reducir necesariamente la participacin de lostrabajadores en comparacin con los capitalistas. De aqu proviene la popular nocin existente enlos pases ms adelantados de que el estndar de vida de los trabajadores debe ser protegido dela competencia ruinosa del trabajo extranjero barato.

Ahora supongan que un pas est produciendo ambos bienes bajo condiciones de comercio libre,y que de pronto el gobierno decide imponer una tarifa a las importaciones. Esta tarifa va a afectarla distribucin factorial del ingreso. Sigamos el anlisis de Stolper y Samuelson suponiendo que latarifa a las importaciones aumenta el precio interno del bien competidor del importado conrespecto al bien exportado. En tales condiciones, si se dan las especifiaciones del modelo deHeckscher-Ohlin, al establecerse la tarifa de importacin se encarecer el factor relativamente

escaso con respecto al otro factor, y tambin en trminos de cualquiera de ambos bienes. Enotras palabras, una tarifa favorece al factor utilizado intensivamente en la industria del biencompetidor del importable. Como la tarifa aumenta el precio de este ltimo, la produccin de laindustria de bienes que compiten con el importable aumentar; otro tanto suceder con lademanda del factor usada intensivamente en este sector, cambiando la distribucin del ingreso asu favor.

Una tarifa reduce el ingreso nacional pero aumenta relativa y absolutamente la escasez delfactor de produccin del pas11. El librecambio en general aumenta el ingreso nacional de un paspero daa al factor escaso utilizado intensivamente en el sector competidor del importable. Elsupuesto de que slo hay dos bienes no es crtico. Los resultados se mantienen a nivel tericosiempre que clasifiquemos a los bienes de acuerdo con su intensidad factorial. Pero si

aumentamos el nmero de factores entramos en problemas; ni siquiera podemos definir en talcaso el concepto de intensidad factorial.

1.4 El teorema de igualacin del precio de los factores

El comercio libre y competitivo producir la convergencia de los precios factoriales conjuntamentecon el de los bienes comercializados. El teorema de IPF es la conclusin ms importante delmodelo H-O, pero es tambin el teorema que ha encontrado ms resistencia en su confrontacincon los datos empricos. Ni la tasa de rendimiento del capital, ni los salarios parecen converger enforma consistente entre pases que comercian a diferentes niveles de desarrollo.

Segn este teorema, no se trata de que el precio de cada uno de los factores se iguale con el del

pas con el que comercia: los que se igualan son los precios relativos factoriales. El factor que11 Como se reduce el ingreso nacional real agregado del pas que introdujo la tarifa, ustedes podranpreguntar si el factor escaso terminar con un pedazo ms grande de un ingreso nacional ms bajo y tal vezsufrir en trminos absolutos. Veamos por qu esto es imposible: como se ha producido una reasignacinde recursos, los mtodos de produccin terminarn siendo ms intensivos en el factor abundante en ambaslneas de produccin, y la productividad marginal del factor escaso aumentar en ambos sectores. Como lascantidades existentes de capital y trabajo estn plenamente empleadas, cualquiera sea el bien en el quemidan el retorno del factor escaso, su precio (unitario) tiene que aumentar, y recibir un mayor ingresodentro del total.


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reciba el precio ms reducido antes de que ambos pases se integren econmica y efectivamenteen un nico mercado tender a ser ms caro con relacin a los otros factores de la economa,mientras que aquellos que tengan el precio ms elevado tendern a ser ms baratos. Un ejemploque es citado con frecuencia acerca de la igualacin de los precios factoriales es el de lossalarios. Cuando dos pases suscriben un acuerdo de libre comercio, los salarios de tareasidnticas en ambos pases tienden a acercarse entre s. Por ejemplo, luego de que fuera firmado

el acuerdo del NAFTA (North American Free Trade Agreement), los salarios de los trabajadoresno calificados cayeron en forma gradual en los USA, mientras que en forma simultnea seelevaron gradualmente en Mxico. Otro tanto se ha dado recientemente en varios pases de laUnin Europea.

El teorema, derivado simplemente del modelo H-O, establece que al igualarse los precios de losproductos en ocasin de desplazarse hacia el librecambio, los precios de los factores (capital ytrabajo) tambin se igualarn entre los pases. Los supuestos crticos de este resultado son quelos pases usen la misma tecnologa productiva y que los mercados sean perfectamentecompetitivos.

Teorema de igualacin de los precios factoriales. Como en un mercado perfectamente competitivo

el precio de un factor productivo depende del valor de su producto marginal, a medida queaumente la cantidad de trabajo en una industria caer su productividad marginal; a medida queaumente la cantidad de capital, tambin aumentar la productividad marginal del trabajo.Finalmente el valor de la productividad depender del precio del producto en el mercado. En unasituacin de autarqua, ambos pases enfrentarn precios diferentes de los productos. Estadiferencia de precios de por s ya es suficiente para dar lugar a un desvo de los salarios y larentabilidad entre los pases, porque incide sobre la productividad marginal. Adems, en unmodelo de proporciones variables la diferencia de salarios y rentas tambin tiene un efecto sobrela relacin capital-trabajo de cada industria, que a su vez incidir sobre los productos marginales.Todo ello implica que, por diversos motivos, los salarios y la rentabilidad del capital serndiferentes entre pases en una situacin de autarqua. Una vez que se permita el intercambio librede productos, los precios de los mismos tendern a igualarse. Y como ambos pases tienen las

mismas relaciones de productividad marginal se deduce que slo un conjunto de salarios yrentabilidades puede satisfacer estas relaciones a un conjunto dado de precios de los productos.Luego, el comercio libre ecualizar los precios de los bienes, los salarios y las rentas del capital.Como ambos pases enfrentan el mismo salario y tasa de rentabilidad tambin producirn cadabien usando la misma relacin capital-trabajo. Pero como tienen distintas dotaciones factoriales,producirn cantidades diferentes de los bienes.

Si hay movilidad perfecta de los factores productivos entre los pases, los precios factorialesdeberan ser los mismos por doquier. Pero an en un mundo en el cual los factores de produccinno se pueden trasladar entre pases, si los bienes pueden hacerlo, el comercio de bienes sersustituto de la movilidad factorial. Si no hubiera barreras comerciales, los precios de los bienesdeberan ser iguales en todos los pases a rengln seguido de la apertura comercial. El teorema

de igualacin de precios de los factores demuestra que el librecambio conduce a una ecualizacincompleta de los precios factoriales (o a una ecualizacin parcial acompaada por especializacincompleta de la produccin en un pas, por lo menos).

Examinemos la explicacin de sentido comn de este teorema. Si un pas tiene una ventajacomparativa en un bien trabajo-intensivo X, la apertura comercial implica un aumento del precio deX y por esa va una expansin de su produccin. A medida que se demanda ms X en el mercadode exportaciones, aumentar la demanda de factores productivos del sector X. Como X es trabajo-intensivo, la cantidad demandada de trabajo aumentar con relacin a la cantidad demandada de


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capital, y habr un exceso de demanda de trabajo en los mercados factoriales del pas. Porquepara aumentar la produccin de X, el pas debe trasladar factores de produccin desde la industriaY a la industria X. Pero Y era la industria capital-intensiva. La expansin de la industria X absorberelativamente ms trabajo que la cantidad desempleada en la industria Y en contraccin. Seproduce una cotizacin al alza del trabajo. Su precio relativo aumenta y disminuye el preciorelativo del capital. De resultas, los mtodos de produccin de ambos sectores se hacen ms

capital-intensivos y, por lo tanto, la productividad marginal del capital resulta menor y la del trabajomayor en ambos sectores.

De manera anloga, los productores del otro pas donde el capital es relativamente abundantecomienzan a producir ms del bien Y capital-intensivo a fin de exportarlo. A medida que seproduce ms Y se va requiriendo ms capital, cuyo precio va aumentando, etc. Por consiguiente,en el pas que estaba en autarqua con el trabajo relativamente barato, el salario aumentar, deforma relativa y absoluta, con el libre comercio. El teorema muestra que, si no hay especializacincompleta en ningn pas, el comercio libre conducir al aumento de los precios factoriales, queterminarn siendo idnticos, no slo en trminos relativos sino tambin absolutos.

1.5 Conclusiones generales sobre el modelo H-O

Heckscher y Ohlin consideraban al teorema de Igualacin de los Precios Factoriales como unxito economtrico, ya que el volumen importante de informacin acumulada hacia fines del sigloXIX y comienzos del XX coincida con la convergencia de precios de bienes y factores a lo largode todo el mundo. Pero los estudios economtricos ms modernos han mostrado que el modeloexhibe una escasa validacin emprica, por lo cual han sido propuestos diversos ajustes, entre loscuales el ms importante es el supuesto de que la tecnologa no es la misma por doquier, cambioque involucrara abandonar el modelo H-O puro.

Kevin H. O'Rourke y Jeffrey G. Williamson12 practicaron un anlisis economtrico de preciosfactoriales, precios de los bienes y dotaciones de recursos en el comercio intercontinental entre elsiglo XV y el siglo XX y hallaron que los patrones econmicos y comerciales del siglo XIX pueden

ser exitosamente modelados mediante el enfoque de H-O.

Ya nos hemos referido al test del modelo H-O practicado por Leontief para los USA en 1954, querefut el teorema principal de H-O, test conocido como paradoja de Leontief. Han surgido modelosde comercio alternativos y diversas explicaciones de la paradoja, siendo una de las msinteresantes la hiptesis de Linder, que sugiere que los bienes son comercializados sobre la basede similitudes de la demanda en lugar de diferencias del lado de la oferta (dotaciones factoriales).

2. Equilibrio General Competitivo

La concepcin moderna de equilibrio general est implcita en un modelo desarrollado en formaconjunta por Kenneth Arrow, Grard Debreu y Lionel McKenzie en los aos 1950. Grard Debreu

present su modelo en Theory of Value(1959) como un modelo axiomtico.

Seguiremos el tratamiento de Grard Debreu, quien en su prefacio seala que los objetivos de sumonografa son: (1) la explicacin de la formacin de los precios de los bienes resultantes de lainteraccin de los agentes en una economa de propiedad privada mediante mercados; (2) laexplicacin de la funcin de los precios en un estado ptimo de la economa. Seala que las

12 Kevin H. O'Rourke and Jeffrey G. Williamson, The Heckscher-Ohlin Model Between 1400 and 2000:When It Explained Factor Price Convergence, When It Did Not, and Why, 1999.


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primeras soluciones de estos problemas fueron dadas por L. Walras y V. Pareto, respectivamente,pero ninguno de los maestros de la escuela de Lausanne ni sus discpulos durante varias dcadasofreci un tratamiento demasiado riguroso de sus ideas.[...] Slo en 1935-36 A. Wald public elprimer anlisis riguroso del equilibrio. Un poco antes J. von Neumann haba comenzado adesarrollar, en diversos contextos, un instrumento matemtico que iba a jugar un papel esencialen esa rea, que recibi su forma definitiva de teorema de punto fijo de S. Kakutani. La utilidad de

este instrumento en economa fue demostrada en 1950 por J. Nash al demostrar que todo juegofinito de npersonas tiene un punto de equilibrio (un concepto que se remonta a A. Cournot). Conrespecto al segundo problema, el primer estudio riguroso, utilizando propiedades de los conjuntosconvexos, de la equivalencia entre un ptimo y un equilibrio con referencia a un sistema deprecios, fue realizado por T.C. Koopmans dentro del contexto del anlisis lineal de actividades dela eficiencia productiva.

Debreu encara su anlisis con los estndares de rigor de la escuela formalista de matemticacontempornea. El esfuerzo de rigurosidad sustituye los razonamientos y resultados incorrectospor los que son correctos. Pero adems tiene otras ventajas. Habitualmente conduce acomprender de modo ms profundo los problemas a que es aplicado, lo cual ha sucedido en elcaso actual. Tambin puede llevar a cambiar drsticamente los instrumentos matemticos usados.

En el rea que estamos por discutir se ha tratado de un cambio desde el clculo hacia los anlisisde convexidad y las propiedades topolgicas, transformacin que signific ganancias notables engeneralidad y sencillez de la teora. Pero a rengln seguido Debreu muestra su opinin sobre lainterpretacin dentro del mtodo axiomtico: La lealtad a la rigurosidad requiere la forma analticaaxiomtica aunque, en su sentido ms estricto, el mtodo quede totalmente desconectado de susinterpretaciones13.

2.1. Propiedades del sector productivo

En primer trmino vamos a repasar desde un punto de vista axiomtico los fundamentos delmodelo desde el lado de la produccin. Supondremos que los beneficios, que escribimos pyjparala empresa j-sima, constituyen una funcin de los precios, e indicaremos mediante yj

*(p) a la

funcin de oferta ptima. Esto excluye correspondencias de oferta con segmentos horizontales.

La oferta agregada del mercado ser escrita como y(p)=yj(p). El conjunto de posibilidades deproduccin agregado de la economa ser Y=Yj. Por el momento vamos a trabajar con unaeconoma que no presenta interacciones directas entre las actividades productivas (este temaser tratado cuando hablemos de externalidades).

13 De hecho, Debreu subraya que, para acentuar totalmente la falta de conexin, escribi todas las

definiciones, hiptesis y resultados principales en letra cursiva. Asimismo, cuando pasa de la discusininformal de las interpretaciones a la construccin formal de la teora lo hace a menudo utilizandoexpresiones como segn el lenguaje terico, por el bien de la teora, formalmente, etc. Esta dicotomapermite revelar los supuestos y la estructura lgica del anlisis. Un aspecto an ms importante es que estetipo de anlisis permite extensiones inmediatas sin modificar la teora slo reinterpretando los conceptos dela teora. Un ejemplo patente es la reinterpretacin de lo que es un bien: si distinguimos entre los bienes,stos pueden ser distinguidos entre s no solamente por sus propiedades fsicas, su localizacin y la fecha,sino tambin por el hecho de que ocurra un evento. Dice en el cap. 7: Esta nueva definicin de lo que es unbien nos permite obtener una teora de la incertidumbre libre de cualquier concepto probabilstico yformalmente idntica a la teora bajo certidumbre que hemos venido desarrollando.


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Bajo estas condiciones es vlido el siguiente lema que no demostraremos, ya que es inmediato: ymaximiza py sujeto a yY si y solamente si para todo j, yjmaximiza pyjsujeto a yjYj.

14

Enunciamos los siguientes axiomas aplicables al sistema productivo:

1] 0Yjpara todoj(hiptesis de posibilidad de inaccin)

Este axioma expresa que es posible no producir nada sin utilizar ningn insumo. En otros trminos, lo quese pretende hacer es el anlisis de un sistema econmico en el largo plazo (cuando es posible estar afuerade la industria).

2] Yjes un conjunto cerrado y convexo para todos losj.

El hecho de que el conjunto de produccin Yjsea cerrado implica que es un conjunto continuo; e.d. si todoslos yj

qson factibles para el productor j, y yjqyj

0, entonces yj0 tambin es factible para el productor j. En

cuanto a la convexidad, sta ya ha sido estudiada. Recordemos que si yj1e yj

2son dos planes factibles parael productor j, la convexidad implica que el promedio ponderado de ambos, tyj

1+(1-t)yj

2 tambin resultafactible para todo nmero 0t1. Este axioma, junto con el axioma [1], implica que, si yjes factible, tambinlo ser tyj para todo t comprendido entre 0 y uno. En otros trminos, prevalecen los rendimientos no-

crecientes a escala. En palabras de Debreu, la hiptesis de convexidad es crucial porque desempea unrol en todas las demostraciones existentes de varios teoremas econmicos fundamentales...pero an as, esms dbil que [el axioma de rendimientos constantes a escala].

3] Y (-Y) es un subconjunto impropio de {0}. (hiptesis de irreversibilidad de los procesosproductivos).

Tengan en cuenta que una economa en la cual no tiene lugar ninguna actividad productiva se caracterizapor Y={0}, es decir, un conjunto productivo que consiste del nico punto 0. Luego, si la produccin yconinsumos y productos distintos de cero fuera factible, la produccin yno puede serlo. Este es un supuestotpico de economa, ya que los procesos productivos no pueden ser revertidos, dado que, en particular,producir lleva tiempo y que los bienes tienen fecha15. Si cada productor tiene un conjunto productivo que

14Este lema podra formalizar lo que pretenda el Secretario de Planificacin Yevsei Lieberman de la exURSS, en la dcada de los 1970s, cuando afirmaba que haba que implementar una reforma de laeconoma sovitica talqueresulte que lo que es rentable para una empresa sea til para todo el pas, y a lainversa: que lo que sea til para el pas sea rentable para la empresa. Apoyado por Khrushchev eimplementado en forma tentativa por los mismos lderes que terminaron deponindolo, el programa fueabandonado en forma precipitada por los lderes del Kremlin cuando se dieron cuenta de sus implicancias alargo plazo. Aunque las reformas de Lieberman hubieran colocado sobre una base slida y asegurado elcrecimiento econmico futuro de la economa sovitica, hubieran socavado de manera inevitable al sistemasovitico de control centralizado. Dada la opcin entre la prosperidad y el poder, la elite sovitica opt por elltimo llevando a la Unin Sovitica a un camino sin retorno, de ruina eventual. (Extraido de Center forIntelligence Studies, Vol. 20 N 3, Aug./Sep. 2007)15Este axioma est vinculado con la llamada Segunda ley de la termodinmica. Esta ley regula la direccinen la que deben llevarse a cabo los procesos termodinmicos y, por lo tanto, la imposibilidad de que ocurran

en el sentido contrario (por ejemplo, que una mancha de tinta dispersada en el agua pueda volver aconcentrarse en un pequeo volumen). Tambin establece, en algunos casos, la imposibilidad de convertircompletamente toda la energa de un tipo en otro sin prdidas. De esta forma, La Segunda ley imponerestricciones para las transferencias de energa que hipotticamente pudieran llevarse a cabo teniendo encuenta slo el Primer Principio (Tambin conocido como principio de conservacin de la energa para latermodinmica, establece que si se realiza trabajo sobre un sistema, o bien ste intercambia calor con otro,la energa interna del sistema cambiar. Visto de otra forma, esta ley permite definir calor como la energanecesaria que debe intercambiar el sistema para compensar las diferencias entre trabajo y energa interna.)La Segunda ley apoya todo su contenido aceptando la existencia de una magnitud fsica llamada entropatal que, para un sistema aislado (que no intercambia materia ni energa con su entorno), la variacin de la


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verifica esta propiedad, tambin ser verificada para todo el sistema econmico, cuyo conjunto productivo

Y=jYj.

4] Y R+ (hiptesis de libre disposicin de los excedentes).

Hemos denotado comoR+al conjunto de vectores de componentes no positivas, incluyendo naturalmente

al vector {0}. Exte axioma significa que resulta factible una produccin total con todas sus componentesnulas. Est estrechamente vinculado al siguiente, a saber que si un vector de produccin total es factible,tambin lo es uno que tenga productos no mayores e insumos no menores (en valor absoluto): Y(Y-R+).

Si estos axiomas son repasados, vern que hay tres fenmenos no alcanzados: (1) la existenciade economas y deseconomas externas (e.d. cuando el conjunto productivo de un productordepende de las producciones de otros productores, y/o del consumo de los consumidores temaque dejamos para ms adelante); (2) la presencia de rendimientos crecientes a escala; (3) laconducta de productores que no consideran a los precios como parmetros al elegir su produccin(tema tratado en los Cap. XV y XVII).

2.2. Axiomas de las funciones de demanda

Debemos tener en cuenta tambin a la oferta de trabajo y a los beneficios. Para ello definimos a lariqueza del consumidor i como:

mi= pi+ jij(pyj(p))

El coeficiente ij representa una participacin accionaria del individuo i en la empresa j. Pordefinicin, iij=1. El consumidor se supondr que maximiza una funcin de utilidad continua ui(xi)sujeto a su restriccin presupuestaria y a su conjunto accesibleXi.

max ui(xi) sujeto apxi=mi, xiXi

Supondremos que la solucin es una funcin de demanda xi(p). Este supuesto excluyecorrespondencias de demanda que tengan segmentos horizontales a determinados precios.

5]Xies un conjunto convexo, cerrado y acotado inferiormente.

QueXisea cerrado tiene que que ver con una hiptesis de continuidad, en forma similar a como se vio para

la produccin. Que est acotado inferiormente por la relacin significa que existe un punto ienXital que

ixipara todos losxique estn enXi. En otros trminos, tal queXi{i}+R+. La justificacin es simple. Si el

bien hes un insumo (como un bien consumido, digamos carnes rojas), xihtiene una cota inferior, cero. Si elbien hes un producto (como un cierto tipo de trabajo realizado), existir una cota superior dada, en valorabsoluto, por la cantidad de ese trabajo que el consumidor puede producir durante el correspondienteintervalo de tiempo elemental, cualesquiera sean los restantes insumos y productos.

entropa siempre debe ser mayor que cero. Debido a esta ley tambin se tiene que el flujo espontneo decalor siempre es unidireccional, desde los cuerpos con temperatura ms alta a aquellos con temperaturams baja. Cabe recordar que Paul Samuelson fue uno de los primeros economistas en generalizar y aplicarmtodos matemticos desarrollados para el estudio de la termodinmica a la economa. Como estudiantegraduado en la Universidad de Harvard, fue el nico protegido del erudito Edwin Bidwell Wilson, quien habasido l mismo el nico protegido del gran fsico de Yale Josiah Willard Gibbs. Gibbs, el fundador de latermodinmica qumica, fue tambin mentor del economista norteamericano Irving Fisher e influy sobreambos en sus ideas sobre el equilibrio de sistemas econmicos.


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6] Inexistencia de saciedad: no existe xi*tal que u(xi*)>u(xi)

7] Los conjuntos {xi; ui(xi)ui(xi)} y {xi; ui(xi

)ui(xi)} son cerrados y convexos.

Usando el lenguaje de las preferencias, el conjunto Xiresulta particionado en clases de indiferencia por larelacin de preferido o indiferente a. Al conjunto P(xi)= {xi; ui(xi)ui(xi

)} lo denominaremos conjunto de

preferencia de xi. Como suponemos que la funcin de utilidad es continua, los conjuntos de preferenciasern cerrados. Tambin sern convexos si el consumidor exhibe una tasa marginal de sustitucin nocreciente entre cada par de bienes. Es decir, si xi

1yxi2son dos puntos distintos de Xi, y tun nmero real

0


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Recordamos en primer trmino que todas las funciones de oferta y demanda son homogneas degrado 0 en los precios absolutos. A lo sumo, podremos determinar precios normalizadospi

=pi/(pi). Estos precios normalizados cumplen luego con la restriccin

[6] pi=1

y, por consiguiente, de aqu en ms asumiremos que trabajamos con los precios normalizadoseliminando el tilde de la notacin. Podemos tambin definir el simplexk-1 dimensionalSk-1={pR+

k;

pi=1}.

Ahora podemos definir un equilibrio general competitivo como un conjunto de precios y cantidades(p*,xi

*,yj*) tales que

[7] x(p*) y(p*) - 0

Teorema (Debreu) Bajo las condiciones [1] a [8] existe un EC17. Luego veremos una versinsimplificada de la demostracin (p. 568).

Ley de WalrasDemostraremos que, a partir del cumplimiento de las restricciones presupuestariasde los consumidores, debe verificarse la ley de Walras:

[8] p(x(p)-y(p)-)=0

Dem.) px(p)=ipxi(p) = ip(i+jijyj(p))= p+ p(y(p))

dado que iij=1.

Enunciamos sin demostracin los siguientes resultados que se obtienen sin dificultad a partir delas definiciones de equilibrio competitivo y la Ley de Walras:

[9]xj=yj+j(j=1, ..., k-1) implica quexk=yk+ksipk>0.[10] xj


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Teorema: (Bolzano, TVM) Sea f: [a, b] R una funcin continua, donde [a, b] es un subconjuntono vaco, compacto, y convexo de R y f(a)f(b) < 0, luego existe un x* [a, b] tal que f(x*)= 0.

Corolario: Sea f : [0, 1] [0, 1] una funcin continua. Luego, tiene un punto fijo, e.d. existex*[0, 1] tal que f(x*)=x*.

En la figura de la pgina anterior, el punto d, x=f(x) no constituye un punto fijo de la funcin. Lafuncin f cruza a la bisectriz de 45 en a, b y c, todos los cuales representan puntos fijos de f.

Definimos a continuacin el concepto de demanda excedente:

[11] z=x(p)-y(p)-= z(p)

que est definida para todo pSk-1. Tiene las caractersticas de ser continua, homognea degrado 0 y cumplir con la ley de Walras.

TeoremaExistep*tal que z(p*)0.

Dem.)

Lema preliminarDefinimos la funcin zh+(p)=Max{0,zh(p)}

Esta funcin resulta continua, no negativa y cumple con la condicin siguiente:

[12] z+(p).z(p)=0 z(p)0.

Pasamos ahora a la demostracin del teorema. Se define una funcin f: Sk-1Sk-1continua:

[13] (p)=h(ph+zh+(p))= 1+hzh

+(p) 1conf(p) = (p+z+(p))/(p) que est enSk-1.

Esta ltima funcin puede interpretarse como una funcin de ajuste de los precios, conp/t=f(p),ya que una zh

+positiva tiende a incrementar el precioph.

Por el teorema de Brouwer, existe unp*tal quep*=f(p*). Falta ahora demostrar que z(p*)0.

Es qu donde se recurre a la ley de Walras:

[14] 0= p* z(p*) = f(p*) z(p*) =[ p* + z+(p*)]/ (p*).z(p*) = z+(p*) z(p*) / (p*)

Por el lema preliminar, luego z+(p*)z(p*)=0 implicaz(p*)0. (QED)

3. Teora del equilibrio general

Como hemos visto, la Teora del Equilibrio General es una rama de la microeconoma terica,cuyo objetivo consiste en explicar la produccin, el consumo y los precios de una economa en suconjunto. Su enfoque es habitualmente del tipo denominado bottom-up approach, partiendo de losagentes y mercados individuales. La macroeconoma, por su parte, utiliza un enfoque msorientado al top-down approach en que se comienza analizando la conducta de grandesagregados de la economa.


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Como la macroeconoma moderna ha puesto nfasis en sus fundamentos microeconmicos, estadistincin ha quedado un poco borrosa. Muchos modelos macroeconmicos, sin embargo, tienenun mercado de bienes y servicios y estudian sus interacciones, con, por ejemplo, el mercadofinanciero. Los modelos de equilibrio general involucran generalmente una multiplicidad dediferentes mercados de bienes y servicios. Los modelos modernos de EG son complejos y

habitualmente requieren del uso de computadoras para obtener soluciones numricas.

En un sistema de mercados los precios y la produccin de todos los bienes, incluyendo el preciodel dinero y la tasa de inters, estn interrelacionados. Cambios del precio de un bien, por ejemplodel pan, puede afectar a otro precio, por ejemplo los salarios de los panaderos. Si los gustos delos panaderos difieren de los gustos de otra gente, la alteracin del salario de los panaderospodra afectar la demanda de pan, con un efecto consiguiente sobre el precio del pan. En teora,calcular el precio de equilibrio de un solo bien requiere un anlisis que tome en cuenta los millonesde bienes existentes18.

3.1 Historia de los modelos de EG

El primer intento de modelizar los precios para toda una economa fue hecho dentro de laeconoma neoclsica por Lon Walras. Los Elementos de Economa Pura de Walras contienenuna sucesin de modelos, cada uno ms complejo que el anterior, de una economa real (dosbienes, varios bienes, produccin, crecimiento, dinero). Algunos economistas como Eatwell yJaff19 piensan que Walras no tuvo xito ya que los ltimos modelos de esta serie soninconsistentes. An as, se piensa que Walras fue el primero en desarrollar un programa deinvestigacin que an contina en la actualidad.

Walras fue el primero en introducir una restriccin dentro de la teora del EG que an no ha sidosuperada, la del tanteo (ttonnementque implica, como un ciego, andar a tientas). El proceso detanteo es una herramienta para investigar la estabilidad de las situaciones de equilibrio. Losprecios son gritados, y los agentes registran cunto de cada bien desearan ofrecer (oferta) o

comprar (demanda). Ninguna transaccin ni produccin tiene lugar a los precios de desequilibrio.En su lugar, los precios de aquellos bienes con precios positivos y en exceso de oferta sonreducidos. Los precios de aquellos bienes en exceso de demanda son aumentados. Una preguntade ndole matemtica es bajo qu condiciones este proceso terminar en un equilibrio en que lademanda sea igual a a la oferta en aquellos bienes con precios positivos, y la demanda no excedaa la oferta para aquellos bienes con un precio cero. Walras no dio una respuesta definitiva a estacuestin, aunque su modelo plante los trminos fundamentales del problema y de su solucin.

3.2 Anlisis de equilibrio parcial

En los anlisis de equilibrio parcial la determinacin del precio de un bien se simplificaconcentrndose en el precio de un solo bien, y suponiendo que los precios de los restantes bienes

permanecen constantes. Esta aproximacin haba sido utilizada in extensopor Cournot y Jenkins.Este tipo de anlisis puede ser considerado ya como una forma pedaggica de les ventajas quepresenta la representacin grfica, ya como una primera aproximacin al anlisis de equilibrio

18Esto es en la prctica imposible, por lo cual se introducen en estos modelos hiptesis simplificadoras quetienden a reducir su tamao para tornarlos solubles.19Eatwell, John (1987). "Walras's Theory of Capital", The New Palgrave: A Dictionary of Economics (Editedby Eatwell, J., Milgate, M., and Newman, P.), London: Macmillan. William Jaff & Donald Anthony Walker,William Jaff's Essays on Walras, Cambridge University Press, 1983.


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general, en la cual se omiten las repercusiones sobre los restantes mercados. El anlisis deequilibrio parcial puede ser visto como un caso especial de anlisis de equilibrio general. Si existeun mercado de un bien se presupone que al menos debe haber algn otro bien aparte delcomerciado en el mercado, ya que un precio debe ser planteado como una relacin a la que losindividuos entregan algo a cambio del bien en cuestin. Si hubiera un nico bien no existira niintercambio ni mercado.

Si hay dos bienes, la demanda y la oferta estn determinadas por el cociente de precios entre 1 y2 es decir, el precio del bien 1 usando al bien 2 como numerario. Por la ley de Walras, elequilibrio del mercado 1 asegura el equilibrio en el mercado 2. En tal caso, el anlisis de equilibrioparcial del mercado 1, cuando hay dos bienes, es totalmente equivalente al anlisis de equilibriogeneral.

La teora de Marshall de la oferta y la demanda es un ejemplo de anlisis de equilibrio parcial.Este tipo de anlisis es adecuado si los efectos de primer orden de un cambio de, por ejemplo, lacurva de demanda, no trasladan la curva de oferta. Los economistas ingleses y norteamericanoscomenzaron a interesarse en la teora del EG a partir de que en los aos 1930s Piero Sraffademostrara que los economistas que seguan el enfoque de Marshall no tomaban en cuenta las

fuerzas que obran para que la curva de oferta de un bien de consumo tenga pendiente positiva. Siuna industria utiliza una pequea cantidad de un factor de produccin, un pequeo incremento dela produccin de esa industria no har elevar el precio de ese factor. En primera aproximacin, lasfirmas de la industria no experimentarn costos decrecientes ni las curvas de oferta de la industriatendrn pendiente positiva. Pero si una industria utiliza un monto apreciable de ese factor deproduccin, un aumento de la produccin de esa industria exhibir costos decrecientes (bajo lahiptesis de una reduccin del precio de ese insumo) o crecientes (bajo la hiptesis contraria).Luego, argument Sraffa, los efectos de primer orden del traslado de la demanda de la industriade origen incluyen una alteracin de la curva de oferta de sustitutos por los productos de esaindustria y traslaciones consiguientes en la curva de oferta original de la industria. La teora del EGest diseada para investigar tales interacciones entre los mercados.

3.3 Existencia y unicidad

Walras utiliz a menudo el recurso del recuento de ecuaciones y de incgnitas para demostrar laexistencia de un equilibrio. Aunque analiz los problemas relevantes y en la prctica lleg aresultados correctos (v. pgina 549), estos argumentos son inadecuados en sistemas deecuaciones no lineales y no implican que los precios y cantidades de equilibrio sean negativos, locual no tiene sentido. La mejora de la modelizacin tuvo que ver con el reemplazo de ciertasecuaciones por desigualdades y con el uso de tcnicas matemticas ms rigurosas.

Los verdaderos avances llegaron en los aos 1930s. Hubo dos corrientes distintas depensamiento, una de origen alemn, que trat fundamentalmente la existencia y unicidad delequilibrio, y otra en lengua inglesa, que se concentr en los problemas de estabilidad y de esttica

comparativa. La primera arranc con un examen muy completo de la simplificacin de Cassel20

delsistema de Walras, un trabajo interesante sin gran significacin en s mismo, pero cuyo estudioresult extraordinariamente fructfero. Cassel supuso la existencia de dos tipos de bienes: losbienes que intervienen como argumentos en las funciones de demanda de los consumidores, y losfactores utilizados para producirlos (no consider a los bienes intermedios). Cada bien eraproducido mediante factores con coeficientes de insumo-producto constantes. Las ofertasfactoriales eran supuestas como totalmente inelsticas. Si aijes la cantidad del factor iusada en la

20Cassel, G. (1924), The Theory of Social Economy, New York: Harcourt, Brace.


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produccin de una unidad del bien j, xj el producto total del bien j, y ri el precio del factor i, lacondicin de que la demanda resulta igual a la oferta factorial se lee como [A] jaijxj=vipara todo i,en tanto que la condicin de que todo bien sea producido con beneficio cero es [B] iaijri=pjparatodo j. El sistema se completaba con las ecuaciones que vinculaban a la demanda de los bienescon sus precios y con el ingreso total resultante de la venta de factores. Computando ecuacionese incgnitas, resultaba que haba tantas de unas como de otras. Pero en tres papers virtualmente

simultneos, Zeuthen, Neisser y von Stackelberg21mostraron de diferentes maneras que elproblema de existencia de un equilibrio significativo es bastante ms profundo que la igualdad deecuaciones y de incgnitas. Neisser observ que an con valores perfectamente plausibles de loscoeficientes de insumo-producto aijlos precios o cantidades que satisfacen a [A] como a [B] muybien podran ser negativos. Von Stackelberg observ que [A] constitua un sistema completo deecuaciones en los productos xj, dado que las ofertas factoriales vieran datos, pero que no habasupuesto alguno sobre la cantidad de factores o de bienes distintos. Si, en particular, la cantidadde bienes era menor que la de factores, las ecuaciones [A] no tendran solucin.

Zeuten reconsider el significado de las ecuaciones [A]. Observ que los economistas, por lomenos a partir de Carl Menger, haban reconocido que algunos factores (p.ej. el aire) son tanabundantes que no existira ningn precio para fijarles. Por lo tanto, no entraran dentro de la lista

de factores del sistema de Cassel. Pero Zeuthen argument que la divisin de factores entre libresy escasos no debera ser tomada a priori. Luego, todo lo que poda afirmarse era que el uso de unfactor no debera exceder a su oferta, pero si estuviera disponible en defecto debera serconsiderado como un factor libre. Simblicamente, [A] debera ser reemplazada por [A] jaijxjvi.Para la generacin siguiente de economistas familiarizados con la programacin lineal y susgeneralizaciones no es necesario abundar en lo que signific el paso dado. Las igualdades fueronreemplazadas por desigualdades y fue introducida la nocin vital de holgura complementaria decantidades y precios.

Como ya hemos mencionado en el cap. II, Karl Schlesinger, el banquero alemn y economistaamateur lleg a la misma conclusin en forma independiente. Pero fue an ms all, al tomarconciencia de que reemplazando las igualdades por desigualdades tambin se resolvan los

problemas planteados por Neisser y von Stackelberg. Schlesinger22

repar en la complejidadmatemtica del problema, y, a pedido suyo, Oskar Morgenstern lo puso en contacto con el jovenmatemtico Abraham Wald. El resultado de su colaboracin fue el primer tratamiento riguroso delequilibrio general competitivo. En un documento escrito en alemn en 1936 y traducido al inglsen 195123demostr la existencia de equilibrio competitivo en un conjunto de modelos alternativos,que incluan al modelo de Cassel y a un modelo de intercambio puro. Defini a un equilibriocompetitivo en el sentido de Zeuthen. Sus papers eran de una profundidad matemticainabordable, no slo por el uso de instrumentos sofisticados sino por la complejidad delargumento. A medida que fueron siendo conocidos por los economistas, probablemente sirvieronno slo para inhibirlos por las dificultades que presentaban, sino tambin para estimularlos pararealizar investigaciones ulteriores.

Una lnea vinculada de investigacin fue la teora de los juegos de John von Neumann (1928;1944 con Oskar Morgenstern) que presenta una relacin paradjica con la teora del equilibrio

21 Zeuthen, F., (1932), Das Prinzip der Knappheit, technische Kombination und konomische Qulitat,Seitschrift fr Nationalkonomie, 4; Neisser, H. (1932), Lohnhhe und Beschftigungsgrad im Markt-gleichgewich, Weltwirtschaftliches Archiv, 36; von Stackelberg, H. (1933), Zwei Kritische bemerkungen surpreistheorie Gistav Cassels, Zeitschift fr Nationalkonomie, 4.22 Schlesinger, K. (1933-34), ber die Produktionsgleichungen der konomische Wertlehre, Ergebnisseeines mathematischen Kolloquiums, 6.23Wald, A. (1951), On some systems of equations of mathematical economics, Econometrica, 19.


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econmico. La TJ se ha desarrollado a partir de diversas nociones generales de equilibrio, quebien podran reemplazar la nocin de equilibrio competitivo, bien incluirla como caso especial. Lanocin de ncleo de un juego (v. pg. 459) es idntica a la de curva de contrato de Edgeworth yha sido aplicada a determinadas situaciones de mercado por Shubik 24. El principal estmulo de laTJ a la teora del equilibrio (TE) ha sido mediante el uso de instrumentos matemticosdesarrollados por la primera y aplicados por la ltima mediante interpretaciones completamente

diferentes. El propio von Neumann hizo la primera aplicacin en su celebrado documento sobrecrecimiento econmico equilibrado25. En su modelo, no hay demanda, sino solamente produccin.Los mercados de cada perodo deben estar en equilibrio en el sentido de Zeuthen, pero ademsse introduce un segundo sentido de equilibrio, que es el de equilibrio estacionario. Para que hayaun equilibrio estacionario, la configuracin de equilibrio debe ser la misma perodo a perodo. A finde demostrar la existencia de equilibrio, von Neumann demostr que un cierto cociente de formasbilineales tiene un punto de ensilladura, generalizando el teorema que demostraba la existencia deequilibrio en un juego de dos personas de suma cero. Pero mientras que en TJ las variables delproblema son probabilidades (de elegir entre distintas estrategias alternativas), en la TE unconjunto de variables eran precios y otro conjunto eran los niveles de operacin de las actividadesproductivas. A partir de una versin simplificada del teorema de von Neumann dada poco despuspor el matemtico Kakutani, el teorema de Kakutani se convirti en la herramienta bsica de todos

los trabajos que le siguieron. Desde entonces, se percibi que eran posibles teoremas deexistencia y de mayor sencillez y generalidad que los de Wald.

Los primeros documentos fueron los de McKenzie y Arrow y Debreu, seguidos por los deHukukane Nikaid e Hirofumi Uzawa, Debreu y McKenzie. La revisin ms completa de lascondiciones de existencia est en la obra de Debreu que venimos de comentar, quien desarrolltambin la versin ms general26.

3.4 Estabilidad y esttica comparativa

La literatura anglo-americana despus de los aos treinta contempl un anlisis intenso de laesttica comparativa y de la estabilidad del equilibrio general competitivo, vinculado al anlisis de

las condiciones de segundo orden de maximizacin de los beneficios por las empresas y de lautilidad por los consumidores. Los economistas ms significativos fueron John R. Hicks, HaroldHotelling, Paul Samuelson y R.G.D. Allen. Es conveniente comenzar analizando la estabilidaddesde el punto del multimercado, para pasar luego a la estabilidad de un mercado aislado.

3.4.1 Estabilidad del mercado

Suponiendo que existe un equilibrio, queda pendiente de tratamiento el problema de cmo sealcanza efectivamente. El clculo centralizado del equilibrio basndose en datos fundamentalescomo preferencias, tecnologa, recursos, precios del comercio exterior y otros no es concebible enrazn de las inmensas exigencias en materia de clculo y de datos requeridos. Una alternativa esel clculo iterativo descentralizado de un equilibrio, que conduce a trayectorias temporales de

cantidades y precios. Si estas trayectorias terminan eventualmente alcanzando valores deequilibrio, entonces el proceso dinmico subyacente es estable.

24Martin Shubik, The Edgeworth, Cournot and Walrasian Cores of an Economy, October 2003, CowlesFoundation Discussion Paper N 1439.25von Neumann, J. (1945), A model of general economic equilibrium, Review of Economic Studies, 13.26McKenzie, L. (1954), On equilibrium in Grahams model of world trade and other competitive systems,Econometrica, 22; Arrow K.J. and Debreu G. (1954), Existence of equilibrium for a competitive economy,Econometrica, 22. Nikaid, H. (1956) On the classical multilateral exchange problem, Metroeconomica, 8.Debreu, G. New concepts and techniques for equilibrium (1962), International Economic Review, 5.


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Denominandox=(x1,x2, ..., xn)a un vector columna de n bienes, servicios o factores productivos, yp=(p1, p2, ...,pn)al vector de precios correspondientes, supongan que existe un equilibrio en p*.Diremos que el equilibrio es localmente estable si se logra arribar al mismo, partiendo de unconjunto de precios suficientemente prximos al punto de equilibrio. Si p( t) es el vector de preciosen el momento t, luego el equilibrio p* es localmente estable si se cumple que:

[15] limtp(t)=p* dado p(t0) p*0 si Ej(p)>027

dpj/dt=pj


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supone que las funciones fj(.)son continuas, homogneas de grado cero en todos los precios, yno negativas si los precios son nulos:

fj(.)0 cuandopj=0,

lo que implica que los precios no pueden hacerse negativos. En el caso particular del sistema de

tanteo lineal puede escribirse:

[19] pj=kjEj(p)=Ej(p)

ya que las constantes kjpueden hacerse iguales a la unidad redefiniendo la unidad de medida decada precio.

El anlisis de la estabilidad local del punto de equilibrio est basado en aproximar localmente latasa de variacin de los precios p(t) =(p1(t), ..., pn(t)). Un punto de equilibrio p* es un vector deprecios que no cambia a travs del tiempo: p=0 en p=p*. El equilibrio requiere que el exceso dedemanda de cada bien sea nulo: Ej(p*)=0 (j=1, ..., n). En el proceso de tanteo lineal p= E(p) =(E1(p), ..., En(p)) con un equilibrio en p* desarrollamos en torno a p*mediante una serie de Taylor:

[20] p= E(p*) + (E/p)p=p*(p p*) + ...

donde (E/p)p=p*es la matriz jacobiana de las derivadas parciales [Ei/pj] calculada en el puntode equilibrio. Al ser p* un equilibrio, se tiene que:

[21] E(p*)= 0.

Definiendo =p p*la condicin [19] es equivalente, prescindiendo de los trminos de orden mselevado, a:

[22] * = [E/p(p*)] .

La condicin necesaria y suficiente para que este sistema de ecuaciones diferenciales sea estable(con lo cual tiende a 0) es que todas las races caractersticas de la matriz jacobiana tenganpartes reales negativas28. Esta condicin queda garantizada si todos los bienes de la economason sustitutos brutos, es decir que un incremento del precio de algn bien manteniendoconstantes a los restantes precios aumenta el exceso de demanda de cualquier otro bien, esdecir si:

[23] Ei/pj(p) >0 para todo p, ij29.

3.4.3 Anlisis de estabilidad de equilibrio parcial: Walras vs Marshall

Asumimos para simplificar que el precio y la cantidad de equilibrio son determinados por laigualdad de la demanda y la oferta. Empero, la existencia de equilibrio no implica que seralcanzado. Para ello, introducimos una perturbacin dentro del sistema, y definimos al equilibrio

28 En lgebra lineal, un escalar es llamado una raz caracterstica o eigenvalue de una transformacinlineal A si existe un vector x tal que Ax=x. Al vector x se lo denomina un vector propio o eigenvector.29 Hay que considerar que sta es una condicin muy fuerte, ya que la existencia de bienescomplementarios es un hecho frecuente (automviles y combustible, electricidad y electro-domsticos, etc.).


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como estable si la perturbacin resulta en un regreso al equilibrio, y como inestable si ello nosucede. Como es usual, definimos a la demanda excedente como la funcin:

[24] E(p) = D(p) S(p)

funciones que han sido includas en el grfico siguiente. Al precio p0existe un exceso de demanda

positivo, pero negativo al preciop1. Las condiciones de estabilidad se derivan de los supuestossobre la conducta de los compradores y los vendedores en el mercado. La condicin walrasianase basa en el supuesto de que los compradores tienden a elevar sus cotizaciones si se presentaun exceso de demanda positivo, y que los vendedores tienden a bajar sus precios si hallan unexceso de demanda negativo. Si este postulado es correcto, un mercado ser estable si unaumento del precio disminuye el exceso de demada, es decir:

dE(p)[25] = E(p) = D(p) S(p)


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Obsrvese que, por aplicacin de la regla de la funcin inversa, sgn D(p)=sgn D-1(q)y que sgnS(p) = sgn S-1(q). Vamos a ver un importante resultado, consistente en que estas dos reglasdinmicas no dan siempre el mismo resultado:

Si divido ambos miembros de [27] por el producto D-1(q)S-1(q)>0obtengo:

1 1

[29] -0)S-1(q) D-1(q)

La regla de la funcin inversa establece que D-1(q)D(p)=1; S-1(q)S(p)=1. Si sustitumos en [29]:

[30] S(p) D(p)


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los bienes son sustitutos brutos o si las funciones de exceso de demanda cumplen el axioma dbilde la preferencia revelada (que, segn vimos, Walras intuy claramente) entonces la estabilidadglobal del sistema queda asegurada. Pero este axioma a nivel de un mercado con varios agenteses mucho ms fuerte que para un individuo.

Por ejemplo, consideren el cuadrado de la distancia (en el espacio eucldeo) entre el vector precio

y el vector precio de equilibrio:

[31] D(t) = j=1nj

2(t) = j=1n(pj(t) pj

*)2=(p(t) p*) (p(t) p*)

Derivo con respecto al tiempo para obtener:

[32] D(t) =2(p(t) p*) p(t) = [por la ecuacin 31] = 2(p(t) p*) E(p(t)).

Como la ley de Walras implica que p(t)E(p(t))= 0, se tiene que

[33] D(t) = -2p*E(p(t)).

El axioma dbil de la preferencia revelada expresa que

[34] p1E(p1) p1E(p2) implica que p2E(p1) > p2E(p2).

Tomando p1=p y p2= p* se cumple la primera desigualdad. La segunda desigualdad implica:

[35] p* E(p) > p* E(p*) = 0 (esto ltimo por la ley de Walras),

y, si supongo que pp*, reemplazo en [33]:

[36] D(t) = - 2p* E(p)


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Scarf introdujo en 1960 un conjunto de ejemplos de economas sin produccin que se caracterizanpor su inestabilidad global, concluyendo que resulta claro que la inestabilidad es un fenmenocomn. Uno de ellos es el siguiente.

La economa consiste de tres consumidores cuyas funciones de utilidad son obtenidas mediante

una permutacin cclica de los bienes y las dotaciones. Esto significa que las funciones de excesode demanda del primer consumidor son representadas por

x1(p1,p2,p3), x2(p1,p2,p3), x3(p1,p2,p3)

y que las funciones de exceso de demanda del segundo consumidor vienen dadas por

x3(p2,p3,p1), x1(p2,p3,p1), x2(p2,p3,p1)

y las del tercero por

x2(p3,p1,p2), x2(p3,p1,p2), x1(p3,p1,p2).

Se supone que estas funciones son continuas y diferenciables. Las funciones de exceso dedemanda del mercado se obtienen mediante la suma de las demandas individuales, con lo cual:

[38] f1(p1,p2,p3)= x1(p1,p2,p3)+ x3(p2,p3,p1)+ x2(p3,p1,p2),f2(p1,p2,p3)= x2(p1,p2,p3)+ x1(p2,p3,p1)+ x2(p3,p1,p2)f3(p1,p2,p3)= x3(p1,p2,p3)+ x2(p2,p3,p1)+ x1(p3,p1,p2).

Las ecuaciones diferenciales del anlisis de estabilidad son las mismas que hemos visto en [19], asaber dpi/dt=fi(p1,p2,p3)cuando los precios son todos no negativos. La ley de Walras (pixi0paracada consumidor, con su consecuencia pifi0) implica que d(pi

2)/dt=0, de manera que elmovimiento de los precios siempre tendr lugar en la superficie de la esfera con centro en el

origen que pasa a travs del vector inicial de precios. Supongamos que hemos seleccionadoprecios iniciales tales que pi2=3. Un vector de precios de equilibrio significa la interseccin de

este rayo de equilibrio con esa esfera.

Lema 1. El vector de precios (1,1,1) es un precio de equilibrio.

Dem) Inmediata, tan pronto aplicamos la ley de Walras a las ecuaciones [31] y fijamos todos losprecios iguales a 1.

Unicidad del equilibrio

La condicin siguiente asegura que este equilibrio es nico:

Lema 2. El vector de precios de equilibrio (1,1,1) es nico (fuera de una constante multiplicativa) si

A=f1/p20

en todo punto del ortante p10, p20, p30.


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Lema 3. Dadas las condiciones del Lema 2 para precios p1/p3>, p2/p1> , p3/p2> (donde esun nmero positivo pequeo) no existen otros puntos de equilibrio de ese conjunto diferentes a(1,1,1) y sus mltiplos.

Lema 4. Si C=f1/p1 es positiva en el punto (1,1,1), este punto de equilibrio es localmenteinestable en el sentido de que existe una regin (en la esfera pi23 alrededor del punto (1,1,1))

tal que cualquier punto de esta regin que no sea el de equilibrio se alejar del punto (1,1,1).

Veamos algunos ejemplos de funciones de exceso de demanda derivables a partir de una funcinde utilidad, que satisfacen las hiptesis de los Lemas 2 y 4. Ello nos permitir disponer deejemplos con un nico punto de equilibrio que es localmente inestable32. Supngase que lafuncin de utilidad del primer consumidor es del siguiente tipo:

U(x1,x2,x3)= - [(1a+1/x1

a)+ (2a+1/x2

a)+( 3a+1/x3

a)].

(donde (1, 2, 3) es un vector no negativo arbitrario, y aes una constante positiva). La dotacininicial del primer consumidor es (I1,I2,I3). Como antes, permutamos para los consumidoressegundo y tercero su funcin de utilidad as como su dotacin inicial.

Veremos que existe inestabilidad global siempre que a>1, (1, 2, 3)est prxima a (b,1,0)con b>(a+1)/(a-1)e (I1,I2,I3)prximo a (1,0,0). Examinamos en primer trmino el caso (1, 2, 3)=(b,1,0),(I1,I2,I3)=(1,0,0) con b>(a+1)/(a-1). El procedimiento tpico de maximizacin de utilidad conduce alas siguientes funciones de demanda excedente para el consumidor 1:

[39] x1= [(bp1a/(1+a))/(bp1

a/(1+a)+ p2a/(1+a))] 1,

x2=[1/p21/(1+a)] [p1/(bp1

a/(1+a)+p2a/(1+a)]

x3= 0.

Verificaremos en primer trmino que se cumplen las condiciones del Lema 2. Tenemos:

A=x1(p1,p2,p3)/ p20.

En consecuencia, el sistema de funciones de demanda de mercado [31] tiene un equilibrio nicodado por (1,1,1). Al efecto de demostrar que es inestable, computamos

C=f1/p1

en (1,1,1). Esto es:

C=[ab (b+1)-a]/(b+1)2(a+1).

C>0si b>(a+1)/(a-1). Por el Lema 4 se concluye que dada esta relacin entre ay bel nico puntode equilibrio tambin ser localmente inestable.

32Implica que existir inestabilidad global? Scarf puntualiza que esto es una cuestin de definicin dadoque el problema es que se torna posible que uno de los precios se haga cero. En tal caso se debe tenercuidado, porque la ecuacin diferencial del tanteo dpi/dt=fi(p1,p2,p3) deja de describir el movimiento de losprecios.


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Scarf tambin muestra que en este ejemplo los precios se mantendrn alejados de la frontera delortante positivo, como consecuencia del siguiente resultado:

Lema 5. Dado =Min(p2/p1,p3/p2,p1/p3) existe una pequea constante K>0, tal que si 0.

Todas estas observaciones en conjunto nos muestran que el sistema de funciones de demandadefinido por [32] da lugar a la inestabilidad global del mecanismo de ajuste de precios. Este lemapuede ser representado geomtricamente.

La figura siguiente muestra la superficie pi2=3. La regin sombreada es el conjunto de puntos en

los que se verifica

Min(p2/p1,p3/p2,p1/p3)K,

para valores pequeos de K. Lo que afirma ellema 5 es que una trayectoria de precios quearranque en esta regin (si K es

suficientemente bajo) nunca se escapar deesta regin. El nico punto de equilibrio de estaregin ser (1,1,1).

3.5 Esttica comparativa

Un modelo econmico implica la existencia denrelaciones funcionales consistentes entre s eindependientes entre diversas variablesx=(x1,...xn) y parmetros =( 1, ..., m) que,escritas en forma implcita, pueden serrepresentadas de la siguiente manera:

[40] f1(x1,...,xn; 1, , m)=0,f2(x1,...,xn; 1, , m)=0,....fn(x1,...,xn; 1, , m)=0.

De manera ms compacta: f(x;)=0 donde x=(x1,...,xn), =( 1,..., m) y f es la funcin deargumento vectorial con valor vectorial correspondiente: f:Rn+mRn. Observen que, como reglamnemotcnica, el ndice de la funcin aparece como suprandice, en tanto que los ndices devariables y parmetros aparecen como subndices.

Aunque la existencia de un nmero de ecuaciones igual al de incgnitas no es suficiente de por s

para que cualquier solucin de [40] tenga sentido (podra tener soluciones sin sentido econmico,como nmeros negativos de precios o de produccin, o soluciones en el campo de los nmeroscomplejos, situaciones que no vamos a admitir por el momento) si las ecuaciones poseendeterminadas caractersticas esencialmente dadas por el teorema de la funcin implcita puede considerarse que determinan un conjunto nico de valores de las incgnitas x0 paracualquier valor preasignado de los parmetros 0. Supondremos que el sistema [40] puede serexpresado explcitamente como:

[41] xi=gi(1, ..., m) (i=1, ,n).
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_Funci%C3%B3n_Impl%C3%ADcitahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_Funci%C3%B3n_Impl%C3%ADcita


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Denominaremos, siguiendo a la econometra, sistema estructural al sistema [40], y sistemareducido a la solucin explcita [41], que tambin escribiremos en forma compacta x=g()siendog:RmRn.El objetivo de la esttica comparativa es mostrar matemticamente cmo pueden serderivadas las tasas de cambio de las incgnitas con respecto a cualquiera de los parmetros (p.ej.1). Usaremos la notacin siguiente:

xi0/1=g

i(0, ..., m)/1=g1i(1

0, ... m0).

Con esta notacin representamos a la tasa de variacin (o derivada) de la variable i-sima conrelacin al parmetro 1, mateniendo a los parmetros restantes constantes. Estas derivadasparciales son evaluadas para un conjunto dado de los parmetros, y por consiguiente de lasvariables x endgenas correspondiente. Para una posicin inicial (1

0, 20,..., m

0)y las variablesendgenas correspondientes (x1

0,x20, ...,xn

0)en

Xx-teoria Del Equilibrio General y Sus Limitaciones

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