Judit Muñoz, premiada en 2020

Fuente: Fundación BBVA

Jóvenes investigadoras galardonadascon el Premio Vicent Caselles

El papel de la mujer es cada día más relevante en el mundo matemático. Obviadasdurante mucho tiempo, actualmente se está haciendo más visible su papel en nuestraciencia.

En este artículo se presentan las mujeres galardonadas en el Premio Vicent Ca-selles que otorga desde 2015 la Fundación BBVA en colaboración con la RSME ajóvenes talentos matemáticos.

De los 30 premiados hasta el momento, 11 han sido mujeres. Os invitamos aconocerlas un poco mejor.

(Artículo completo en la página 15)

Año nuevo, ecuación de Pell nueva

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La ecuación de Pell es bien conoci-da en el ámbito matemático. Se tratade una ecuación diofántica de la for-ma x2-ny2 = 1. El problema consisteen la búsqueda de soluciones enteraspara x e y dado algún valor de n 2 Z.

La solución general es compleja yexcede los objetivos de este boletín.Sin embargo, Miguel Martínez Teruel,estudiante del grado en Matemáticas,nos plantea una solución sencilla a es-te problema contextualizado al añoque comenzamos, 2021.

(Artículo completo en la página 17)

Editorial: Ser o no serProbablemente el inicio del monólogo de Hamlet en la celebérrima obra de

Shakespeare sea una de las escenas más comunes en el imaginario colectivo:«To be or not to be, that is the question». Planteada en el entorno pan-démico en el que nos encontramos, el dilema existente entre la voluntad y larealidad se nos presenta a diario en el ámbito académico.

La situación actual nos está obligando a evitar al máximo posible el con-tacto social. Mientras no se consiga inmunizar a una parte importante de lapoblación estamos, de alguna forma, «condenados» al aislamiento. Por suerte,en esta generación disponemos de herramientas que nos permiten mitigar eseaislamiento. La informática y las redes han venido a paliar, al menos parcial-mente, las distancias interpersonales.

Pero, ¿es suficiente?, ¿qué consecuencias va a tener en la formación denuestros estudiantes?, no lo sabemos, el tiempo nos lo dirá.

El dilema está, como en el soliloquio de Hamlet, entre la voluntad y larealidad, cómo compaginar salud con formación. Aún sabiendo de la impor-tancia de la relación presencial enseñante–estudiante, ¿es posible ofrecer unaformación sólida en matemáticas sin la interacción directa entre el profesoradoy el alumnado? Esa es la cuestión.

Resumen

Actividad Matemática p. 2

Enseñanza Secundaria p. 8

Concurso de problemas p. 11

Divulgación Matemática p. 13

Territorio Estudiante p. 23

Correo electrónico:bmatema@ual.es

EDITORES

Juan José Moreno Balcázarbalcazar@ual.es

Isabel María Ortiz Rodrígueziortiz@ual.es

Fernando Reche Loritefreche@ual.es

ISSN 1988-5318Depósito Legal: AL 522-2011

BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL

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Volumen XIV. Número 2 28 de enero de 2021 k

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Actividad Matemática Volumen XIV. Número 2 2 / 25

Actividades matemáticas

Entrega del premio del BoletínEl 18 de diciembre fue entregado el premio del Concur-

so de Problemas, del número anterior del Boletín, a JuanFrancisco Cuevas Rodríguez del IES Campos de Níjar.Para ello, se organizó un acto online en el que los editoresdel Boletín, Juan J. Moreno Balcázar, Isabel Ortiz Ro-dríguez y Fernando Reche Lorite, actuaron desde la Uni-versidad y se impartió la charla Las matemáticas en lasseries de televisión.

El premiado con sus profesores

Los regalos fueron entregados por su profesora, Maríadel Mar Mateo. También asistieron al acto sus compañerosy la directiva del centro.

LVII Olimpiada Matemática Española

Logo

El 22 de enero se celebraron laspruebas de la Fase Local del Distri-to Universitario de Almería correspon-dientes a la LVII Olimpiada Mate-mática Española.

Esta competición que convoca laReal Sociedad Matemática Españo-la (RSME) va dirigida a estudiantes

de Bachillerato y, con carácter excepcional, a estudiantesde cursos inferiores de excelentes capacidades que vayanavalados por su profesorado.

En esta quincuagésimo séptima edición participaron 57

estudiantes de 13 institutos de la provincia.Esta edición se ha celebrado de forma virtual con cada

estudiante en su centro.

European Girls’ Mathematical Olympiad2021

logo

Las alumnas mejor clasificadasen las fases locales de la Olimpia-da Matemática Española, hastaun máximo de 15, podrán partici-par en febrero en la prueba de se-

lección del equipo español que representará a España enla décima edición de la Olimpiada Femenina Europea

(EGMO), que se celebrará del 9 al 15 de abril en Kutaisi(Georgia).

La European Girls’ Mathematical Olympiad es laúnica Olimpiada Internacional de Ciencias que se dirigeexclusivamente a las mujeres como participantes. Su obje-tivo es aumentar la proporción de estudiantes mujeres enlos equipos participantes de la Olimpiada Internacionalde Matemáticas.

Su primera edición tuvo lugar en 2012, si bien la par-ticipación de España comenzó en 2016.

Más información en egmo2021.atsu.edu.ge.

II Jornadas de Puertas Abiertas del Depar-tamento de Matemáticas

Los pasados 30 de noviembre y 1 de diciembre se cele-braron las segundas Jornadas de puertas abiertas del De-partamento de Matemáticas de la Universidad de Alme-ría.

Al igual que en la primera edición, la finalidad de es-tas jornadas fue la de realizar una puesta en común entreprofesores, investigadores y alumnos en relación a las acti-vidades de docencia, investigación, transferencia y divul-gación que se realizan en el Departamento.

Dentro de las actividades programadas se incluyerondiversas charlas correspondientes a los premios asociadosal plan de mejora del Departamento en sus diferentes mo-dalidades: calidad de la investigación, sexenios de investi-gación, pósteres docentes y pósteres de investigación.

Fotografía homenaje a nuestros compañeros jubilados

El acto, que se celebró en línea debido a la situaciónprovocada por la pandemia, tuvo un espacio reservado dehomenajes a nuestros compañeros recién jubilados: An-tonio Serafín Andújar Rodríguez, Florencio Castaño Igle-sias y Pedro Martínez González que participaron con tresemotivas charlas sobre su trayectoria profesional. Desde elBoletín aprovechamos para agradecerles toda la actividaddesarrollada y su dedicación durante todos estos años enel Departamento.

El programa completo de las jornadas puede verse enla página web del Departamento.

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Actividad Matemática Volumen XIV. Número 2 3 / 25

IX Simposio de Investigación en CienciasExperimentales

Como viene siendo habitual, y coincidiendo con la fes-tividad de san Alberto, la Facultad de Ciencias Experi-mentales de la Universidad de Almería celebró el pasa-do 13 de noviembre la novena edición del Simposio deInvestigación en Ciencias Experimentales, un foro deencuentro e intercambio de ideas entre jóvenes investiga-dores vinculados a las Facultades de Experimentales decualquier universidad andaluza.

En esta ocasión, la celebración se realizó de forma on-line pero ha mantenido el formato consolidado de edicio-nes anteriores, incluyendo comunicaciones tipo «flash» yconferencias plenarias impartidas por investigadores de lascuatro áreas a las que da cabida este encuentro: Biotec-nología y Procesos Bioindustriales, Ciencias Aplicadas yMedioambientales, Matemáticas y Química.

En esta edición se otorgaron 7 premios en metálico porvalor de 300 euros al mejor póster/presentación, así como4 premios en metálico por valor de 150 euros a las mejorescontribuciones tipo póster. Los premios estuvieron patro-cinados por empresas, centros de investigación de la UALy la Facultad.

Cartel anunciador de la actividad

La conferencia de san Alberto fue impartida por Alfre-do Corell, profesor de la Universidad de Valladolid, y setituló Con la inmunología no se juega, en ella explicó deforma amena cuáles son las principales líneas de defensade nuestro organismo.

Más información en www2.ual.es/isimpos.

Jornada virtual «Emprendimiento en Cien-cias Experimentales»

La Facultad de Ciencias Experimentales de la Univer-sidad de Almería y EmprendeUAL organizaron el pa-sado 11 de diciembre la jornada virtual Emprendimientoen Ciencias Experimentales con el propósito de acercary fomentar la cultura emprendedora entre los estudian-tes de Ciencias Experimentales, a través de experienciasprofesionales reales de 6 egresados.

La jornada contó con la asistencia de más de 80 es-tudiantes, quienes conocieron de primera mano las com-petencias necesarias para desarrollar proyectos, tanto deemprendimiento como de intraemprendimiento, una salidanatural en los diferentes grados de la Facultad.

El decano de la Facultad de Ciencias Experimenta-les, Juan José Moreno, junto al director de Empren-deUAL, Carlos Cano, y los 6 ponentes en un mo-mento de la Jornada

La jornada se desarrolló de forma muy dinámica conintervenciones por parte de los ponentes de 20 minutos yposterior turno de preguntas con las que resolvieron lasdudas de los participantes, a quienes motivaron para queden el salto al mundo empresarial.

En el ámbito de las Matemáticas participó Javier Suá-rez de la empresa RealTrack Systems con la que la UALmantiene una estrecha colaboración.

I Jornadas Científicas san Alberto de la Fa-cultad de Ciencias Experimentales

El 27 de noviembre se celebró esta Jornada con ponen-cias cortas correspondientes a los once premios otorgadospor la Facultad a los mejores artículos de investigación pu-blicados en el primer cuartil del Science Citation Index.

Desde el Boletín trasladamos nuestra felicitación a to-dos los premiados y en especial a los matemáticos queobtuvieron cuatro de los premios 1.

Un momento de la actividad

1Más información en news.ual.es/ciencia/la-facultad-de-ciencias-experimentales-de-la-ual-reinventa-la-celebracion-de-san-alberto.

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Actividad Matemática Volumen XIV. Número 2 4 / 25

Semana de la Ciencia 2020

Siguiendo la tradición de años anteriores, el Vicerrec-torado de Investigación e Innovación, a través de la OTRI(Oficina de Transferencia de Resultados de Investigación),organizó del 5 al 11 de noviembre la Semana de la Cien-cia 2020.

Debido a la situación sanitaria las actividades tuvieronun marcado carácter online pero manteniendo la línea lú-dica, divulgativa y didáctica que las ha caracterizado a lasediciones anteriores, encaminadas todas ellas a dar unamayor compresión de la ciencia y una mejor apreciacióndel impacto que tiene sobre la actividad cotidiana y lamejora de la calidad de vida.

Inauguración de la Semana de la Ciencia 2020

Las matemáticas estuvieron presentes mediante la ac-tividad Mates en todas partes y a través de las charlasLos modelos matemáticos en nuestra vida y Los da-tos en los medios de comunicación, que se impartierondentro del espacio Café con Ciencia.

Puede verse un resumen de las actividades en la páginaweb www.ual.es/semanadelaciencia.

Noche Europea de los investigadores 2020

El pasado 27 de noviembre la web de la FundaciónDescubre acercó la Ciencia a todos los ciudadanos que,en esta ocasión, sin fronteras físicas han podido disfrutarde la Ciencia que se realiza en cualquier rincón de Anda-lucía.

¡Cuenta con las mates!

El mayor evento de divulgación científica de Europacontó con una destacada participación de la comunidadcientífica de la Universidad de Almería, aportando 480

investigadores a través de 62 actividades programadas y

grabadas en vídeos de 5 minutos, a lo que hay que añadirlas más de 33 acciones previas que se realizaron vía strea-ming en medio centenar de institutos de la provincia.

Investigadores del Departamento de Matemáticas dela UAL participaron mediante la actividad ¡Cuenta conlas matemáticas! y Matemáticas Amigas. Puedes verlos vídeos en Actividades en Almería - La Noche Europea

de los Investigadores (fundaciondescubre.es).

Premio al estudiante Carlos Mendes por sumedalla de bronce en las Olimpiadas Ma-temáticas

La Facultad de Ciencias Experimentales de la Univer-sidad de Almería ha querido premiar el esfuerzo y valíadel estudiante Carlos Mendes Góngora, matriculado en elGrado en Matemáticas en el curso 2020/21, por alzarse conla medalla de bronce en la última edición de la OlimpiadaMatemática de la RSME para estudiantes de bachillera-to.

El estudiante premiado, Carlos Mendes, acompañadopor el decano, el secretario de la Facultad de CienciasExperimentales, el coordinador del Grado en Mate-máticas y el coordinador del grupo de preparaciónpara el certamen olímpico

El reconocimiento se ha materializado con un orde-nador portátil. La Facultad de Ciencias Experimentalespretende estimular al resto de estudiantes de bachilleratopara que se conviertan en jóvenes talentos de cualquierade sus titulaciones.

I Encuentro virtual en Diseño Óptimo deExperimentos

El Grupo de investigación Análisis de datos de laUniversidad de Almería ha organizado en el mes de eneroel I Encuentro virtual en Diseño Óptimo de Experi-mentos.

Este encuentro ha surgido por el aplazamiento de laquinta edición del Congreso de Jóvenes Investigadoresen Diseño de Experimentos y Bioestadística, que estabaprevisto celebrar en Almería en junio de 2020. Se esperaque en octubre de este año se den las condiciones apropia-das para poder celebrar el congreso de forma presencial.

Los objetivos del encuentro han sido establecer un en-torno para compartir conocimiento en Diseño óptimo de

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Actividad Matemática Volumen XIV. Número 2 5 / 25

experimentos, dar a conocer el trabajo de los jóvenes in-vestigadores y potenciar la colaboración entre los partici-pantes.

Durante las tres jornadas que ha durado el encuentrohan asistido investigadores de diferentes universidades es-pañolas, italianas, de la Universidad Viña del Mar deChile, del Centro Nacional de Investigaciones Oncoló-gicas y del Hospital Ramón y Cajal.

I Concurso de Monólogos Matemáticos,MaThales Jaén 2020

La Sociedad Andaluza de Educación MatemáticaThales y la Federación Española de Sociedades de Pro-fesores de Matemáticas convocan el I Concurso de Mo-nólogos Matemáticos, MaThales Jaén 2020.

Se trata de un certamen de índole nacional cuyo obje-tivo principal es el de fomentar la divulgación de la cienciaidentificando, formando y dando a conocer nuevos talen-tos, nuevos portavoces de la ciencia a través de un formatoinnovador, el monólogo matemático.

El plazo de presentaciones cerró el 20 de diciembre yel 14 de marzo de 2021 se realizarán los actos de presen-tación. Más información en thales.cica.es.

Noticias matemáticas

#NoMoreMatildasLa Asociación de Mujeres Investigadoras y Tecnó-

logas AMIT ha lanzado la campaña NoMoreMatildas.

Cartel anunciador de la campaña

Esta campaña es una colaboración altruista de dosagencias de publicidad con AMIT, que ha revisado todoslos contenidos, y está dedicada a hacer visibles los logrosde las científicas y a ellas mismas.

El vídeo se puede ver en YouTube y en la webwww.nomorematildas.com.

Día Internacional de las Matemáticas 2021

Logo del Día Internacional de las Matemáticas

El próximo 14 de marzo se celebrará, en más de 100

países de todo el mundo, el Día Internacional de las Ma-temáticas, proclamado por la UNESCO en noviembre de2019.

El tema de este año es «Matemáticas para un mundomejor» con el que se enfatiza la importancia de las mate-máticas para mejorar la calidad de vida, en claro guiño alpapel que están desempeñando en la actual pandemia.

Los eventos programados para esta edición se centra-rán así en mostrar cómo las matemáticas son útiles paramejorar diferentes ámbitos de la vida y afrontar retosactuales: la crisis sanitaria, el cambio climático, la organi-zación de la sociedad, las redes de comunicación, etc.

Día Internacional de la Mujer y la Niña enla Ciencia

El 11 de febrero, Día Internacional de la Mujer yla Niña en la Ciencia, brinda a la Universidad de Al-mería la oportunidad de sensibilizar a la comunidad edu-cativa sobre un tema de gran interés, como es poner final desequilibrio de género en los campos de la ciencia, latecnología, la ingeniería y las matemáticas (áreas STEM).

Cartel anunciador de la conmemoración

Siguiendo la tradición de años anteriores, el Vicerrecto-rado de Estudiantes, Igualdad e Inclusión está organizan-do distintas actividades de divulgación y concienciaciónen los centros educativos de toda la provincia de Almería,que se desarrollarán de manera virtual durante el períodocomprendido entre el 11 de febrero y 8 de marzo.

Científicas e investigadoras de la Universidad de Alme-ría contarán su experiencia de vida con el fin de ayudar avisibilizar el trabajo de las mujeres científicas, crear rolesfemeninos en las áreas de conocimiento STEM, y promo-ver prácticas que favorezcan la igualdad de género en elámbito científico.

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Actividad Matemática Volumen XIV. Número 2 6 / 25

V Premio Julio PeláezLa Fundación Tatiana Pérez de Guzmán el Bueno

ha otorgado el V Premio Julio Peláez a las MujeresPioneras de la Física, la Química y las Matemáticas aMaría Josefa Yzuel y a Susana Marcos.

Con este reconocimiento ex aequo, la Fundación haquerido reconocer el talento de los mayores y resaltar laimportancia de la investigación para hacer frente a los pro-blemas de salud que amenazan a la sociedad, que se reflejaen aplicación de las premiadas a la óptica médica.

Maria Josefa Yzuel

María Josefa Yzuel, catedráticaemérita del Departamento de Físi-ca de la Universidad Autónoma deBarcelona, ha sido pionera en la in-corporación de la mujer al ámbito dela física en España y ha recibido estepremio por sus brillantes logros en elcampo de la óptica, como la mejora

de las imágenes diagnósticas en medicina.

Susana Marcos

Susana Marcos, profesora deinvestigación del CSIC, destacapor sus investigaciones en ópti-ca aplicada y el estudio del ojohumano con herramientas pro-cedentes de la astronomía. Hadesarrollado un simulador que

permite a pacientes de cataratas y presbicia experimen-tar el resultado de la implantación de lentes intraoculares,cirugía refractiva o adaptación de lentes de contacto antesde la operación. Entre los premios recibidos, cabe mencio-nar el premio Nacional de Investigación en 2019, el má-ximo galardón en investigación que concede el Gobiernoespañol.

Premios de Investigación Matemática Vi-cent Caselles

Cartel anunciador

La Fundación BBVA y la Real Sociedad MatemáticaEspañola (RSME) convocaron el pasado 14 de diciembrela séptima edición de los Premios de Investigación Ma-temática Vicent Caselles.

Estos premios nacieron en 2015 con el objetivo de reco-nocer y estimular la creatividad, la originalidad y el logroen el campo de las matemáticas de jóvenes investigadoresmenores de 30.

En esta convocatoria se concederá un máximo de seispremios, cada uno con la dotación de 2000 euros, todos

ellos en la modalidad de Investigación Matemática. El pla-zo de presentación de candidaturas estará abierto hastalas 14:00 horas del 1 de marzo 2.

Becas Leonardo a Investigadores y Creado-res Culturales Fundación BBVA

La Fundación BBVA lanzó el pasado 15 de diciembreuna nueva convocatoria de las Becas Leonardo a Inves-tigadores y Creadores Culturales.

Este programa de fomento de la ciencia y la culturaque la Fundación BBVA puso en marcha en el año 2014

tiene como objetivo principal apoyar de manera directael desarrollo de proyectos personales de investigadores ycreadores culturales de entre 30 y 45 años que, encontrán-dose en estadios intermedios de su carrera, desarrollen unaproducción científica, tecnológica o cultural altamente in-novadora.

Cartel anunciador

En esta convocatoria se concederán al menos 55 be-cas, dotadas cada una de ellas con un omáximo de 40 000

euros. El plazo de presentación de candidaturas estaráabierto hasta las 19:00 horas del 25 de febrero 3.

Premios Rei Jaume I 2021

Desde 7 de enero y hasta el 5 de abril se encuentraabierto el plazo para la propuesta de candidatos a los Pre-mios Rei Jaume I 2021.

Estos premios están dirigidos a las personas físicas quehayan contribuido al desarrollo de la ciencia básica en Es-paña y cuya investigación haya tenido un impacto de granrelevancia en cualquiera de los campos de la Física, la Quí-mica y las Matemáticas.

Los Premios Rei Jaume I se crearon en 1989 con elobjetivo de aunar, en estudios e investigación, a entidadescientíficas y empresariales para la promoción de la inves-tigación, el desarrollo científico y el emprendimiento enEspaña.

Sus seis galardones, dotados con 100 000 euros cadauno, los convierte en uno de los mejor remunerados delpaís 4.

2www.fbbva.es/premios/premios-investigacion-matematica-vicent-caselles-2021.3www.redleonardo.es/becas/becas-leonardo-investigadores-creadores-culturales-2021.4www.fprj.es/es/convocatoria.

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Actividad Matemática Volumen XIV. Número 2 7 / 25

Olimpiada matemática Thales 2021La SAEM Thales ha anunciado que la Olimpiada

Matemática Thales para el alumnado de 2.o de ESO secelebrará online el sábado 20 de marzo de 2021.

En breve publicarán las bases actualizadas a esta nuevacircunstancia y se comunicarán los plazos de inscripción.Más información en thales.cica.es.

Preguntas frecuentes

Si soy estudiante del Grado en Matemá-ticas, ¿cómo puedo iniciarme en tareas deinvestigación?

Para la iniciación en tareas de investigación relaciona-das con los estudios que se están cursando existen unasayudas del Ministerio de Educación y Formación Profe-sional llamadas Becas de colaboración de estudiantes enDepartamentos.

Estas ayudas se pueden obtener en un único curso aca-démico y están destinadas a estudiantes de grado que a lafecha de finalización del plazo de presentación de solici-tudes estén matriculados en todos los créditos restantespara completar el título y que hayan superado el 75% dela carga lectiva del grado.

Para la rama de Ciencias deben haber obtenido unanota media de los créditos superados de 7,70. Asimismo,pueden solicitar esta beca estudiantes del primer curso demásteres oficiales. Se debe presentar un proyecto de cola-boración dentro de alguna de las líneas de investigacióndel departamento solicitado. Este proyecto deberá veniravalado y valorado por el departamento.

Durante el curso académico 2020/21, tres becarios decolaboración disfrutan de estas ayudas en el Departamen-to de Matemáticas de la UAL.

¿Qué grupos de investigación de la UALtienen como responsables a profesores delDepartamento de Matemáticas?

Los grupos de investigación de la UAL están reconoci-dos por la Junta de Andalucía y sus líneas de investigaciónabarcan todos los sectores estratégicos del tejido produc-tivo.

En el área temática de Física, Química y Matemáti-cas los siguientes grupos de investigación están lideradosy compuestos por miembros del Departamento de Mate-máticas de la UAL: Análisis de datos (FQM244), Análisismatemático (FQM194), Categorías, computación y teoríade anillos (FQM211), Modelos aleatorios y diseño de expe-rimentos (FQM228), Teoría de aproximación y polinomiosortogonales (FQM229) y Teoría de cópulas y aplicaciones(FQM197).

También hay miembros del Departamento que perte-necen a grupos de investigación de otras áreas en los que

se aplican las matemáticas a temáticas como la agricultu-ra, la economía o la informática.

Si soy Graduado en Matemáticas, ¿puedocontinuar con mi formación en la UAL?

Sí, la UAL oferta el Máster en Matemáticas que pro-porciona a los estudiantes una formación matemáticaavanzada de gran nivel, de carácter especializado y multi-disciplinar. Se trata de un Máster de carácter interuniver-sitario en el que participan las Universidades de Almería,Granada, Málaga, Jaén y Cádiz.

Ofrece la posibilidad de realizar tres tipos de especia-lidad: una orientada a iniciarse en la investigación, otraorientada a la docencia en matemáticas en Enseñanza Se-cundaria y una tercera orientada para los estudiantes queestén interesados en conocer las aplicaciones de las mate-máticas en la empresa.

Todas las asignaturas son optativas, a excepción de lasPrácticas externas y el Trabajo Fin de Máster, de maneraque también es posible combinar indistintamente asigna-turas de las tres especialidades para completar el programa(60 créditos) de 1 año de duración.

Este título da acceso al periodo de investigación deldoctorado en Matemáticas. Las materias ofertadas se re-conocen como el periodo de docencia del Doctorado.

Asimismo, la UAL oferta el Máster en Profesorado deEducación Secundaria con la especialidad en Matemáticas.La duración del programa es de 1 año (60 créditos). Estatitulación de postgrado aporta la formación pedagógica ydidáctica que habilita para el ejercicio de las profesionesde Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachi-llerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Esun requisito imprescindible para acceder a los cuerpos do-centes correspondientes.

Actualmente es posible cursar simultáneamente estosdos másteres a través del Doble Máster en Profesoradode Educación Secundaria y en Matemáticas. Para la ob-tención de este doble título la UAL ha proyectado unitinerario que hace factible la consecución de estos dostítulos de máster en un periodo de 3 semestres.

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Enseñanza Secundaria Volumen XIV. Número 2 8 / 25

ENSEÑANZA SECUNDARIA

Aprendizaje cooperativo en un centro dedifícil desempeño para la mejora delrendimiento académico y de laconvivenciaRocío Torres CamachoIES Santa María del Águila (El Ejido, Almería)

Aprendizaje cooperativo en grupos de trabajoEn el instituto de Santa María del Águila, durante los

cursos 18/19 y 19/20 se desarrollaron varias UnidadesDidácticas Integradas (UDIs) dentro de la formación engrupos de trabajo coordinados por el CEP de referencia.En dichos grupos participaron docentes de distintas ma-terias, y se enfocaron en el primer ciclo de la ESO.

El objetivo principal de estas UDIs fue preparar un ma-terial útil para años posteriores y que permitiese presentarparte de los contenidos de forma más atractiva. Como con-secuencia de esto, se pretendía ayudar al alumnado que,por motivos de diversa índole se encontraba descolgado, areconectar con el curso escolar, y permitir su integracióndentro del grupo, mejorando de esta forma el ambientedentro de clase y por tanto la convivencia en el aula.

Conforme fue pasando el tiempo, los participantes deeste proyecto nos dimos cuenta de un par de aspectos im-portantes:

Es demasiado ambicioso elaborar UDIs que impli-quen a varios departamentos en centros con una al-ta rotación del profesorado, ya que es complicadogarantizar su continuidad para años siguientes.

Es esencial abordar las UDIs desde un punto de vistametodológico, empleando estrategias de aprendizajecooperativo que se puedan llevar a cabo en el aula.

Puesta en práctica de una UDI: Somos escultoresComo ejemplo de UDI, presento la realizada por el de-

partamento de matemáticas, del cual formo parte. Esta,sirvió para presentar y desarrollar los temas de Geometríadel libro en una sola unidad. Se llevó a cabo en el últimotrimestre del curso, cuando el interés hacia la asignaturaempieza a caer en picado, y el alumnado más disrupti-vo hace que dar clase de una forma más tradicional seacomplicado.

En esta unidad, se combinaron explicaciones teóricascon actividades manipulativas y tareas que debían realizarorganizados en equipos, usando distintas técnicas colabo-rativas sencillas, como «Lápices al centro», «Estructura1-2-4» o «Uno por todos» (Pujolàs, 2003).

A lo largo de todo el curso ya se habían hecho activida-des puntuales, usando estas técnicas de trabajo en grupo.Esto facilitó su puesta en funcionamiento, pues ya estabanfamiliarizados con esta metodología.

La UDI se desarrolló durante un total de 14 sesiones,donde se trabajaron contenidos generales, así como otrosmás específicos del bloque de geometría:

Práctica de los procesos de matematización y mode-lización, en contextos de la realidad y en contextosmatemáticos.

Confianza en las propias capacidades para desarro-llar actitudes adecuadas y afrontar las dificultadespropias del trabajo científico.

Poliedros y cuerpos de revolución. Elementos carac-terísticos, clasificación. Áreas y volúmenes.

Propiedades, regularidades y relaciones de los polie-dros. Cálculo de longitudes, superficies y volúmenesdel mundo físico.

Para su posterior evaluación, se elaboró una rúbrica don-de se contemplaron tres criterios de evaluación, uno decarácter transversal y dos de geometría:

Desarrollar y cultivar las actitudes personales inhe-rentes al quehacer matemático.

Analizar distintos cuerpos geométricos e identificarsus elementos característicos.

Resolver problemas que conlleven el cálculo de lon-gitudes, superficies y volúmenes del mundo físico.

Lo más interesante del desarrollo de la UDI fue la rea-lización de un proyecto conjunto, donde cada clase debíarealizar un superhéroe, a base de cubos de distintos co-lores, que después sería exhibido en el hall del institutodurante la semana cultural a finales de mayo.

A través de estos cubos que iban fabricando con folios,se refrescaron e introdujeron nuevos conceptos relaciona-dos con área y volumen. Finalmente, se calculó el área y

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Enseñanza Secundaria Volumen XIV. Número 2 9 / 25

el volumen de los superhéroes realizados. Obviamente, serepasaron y se realizaron ejercicios con otras figuras geo-métricas, pero el cubo fue la base para desarrollar el restode contenidos.

Se realizaron un total de 4 superhéroes, y el mayor be-neficio que sacó el centro de la realización de este proyectoes que ciertos alumnos, que frecuentemente eran expulsa-dos al aula de reflexión por ser especialmente disruptivos,mostraron gran interés en participar en la realización deeste trabajo manipulativo, mostrando su faceta más cola-borativa y relajada.

Por lo tanto, uno de los objetivos fundamentales queera la mejora de la convivencia se logró más allá de lo es-

perado, puesto que la repercusión no se redujo al grupodonde se estaba llevando a cabo la UDI, sino que trascen-dió fuera de estas aulas.El futuro de esta línea de aprendizaje

Durante el presente curso escolar no se le ha dado con-tinuidad a este trabajo debido al cambio en el tipo deenseñanza por la situación de pandemia que estamos atra-vesando. Ahora mismo, el trabajo en equipo no parece serlo más apropiado pues hay que mantener la distancia so-cial entre el alumnado.

No obstante, para futuros cursos está la idea de po-der realizar este tipo de experiencias, donde sea necesariala colaboración de toda una clase, para la realización dealgún pequeño proyecto donde sea necesario el uso de he-rramientas digitales, aprovechando que el alumnado estáaprendiendo, a marchas forzadas, a hacer uso de ellas.

Referencias

[1] Pujolàs, P. (2003): Programa para enseñar a traba-jar en equipos cooperativos en la enseñanza Secunda-ria Obligatoria. Documento de trabajo. Laboratorio dePsicopedagogía. Universidad de Vic.

ENSEÑANZA BILINGÜE EN MATEMÁTICAS

Teaching Maths through ForeignLanguage Teaching StrategiesDaniel Prados TorrecillasResponsable Provincial de Plurilingüismo.Delegación Territorial de Educación y Deporte en Almería

The regulations for bilingual education in Andalusianschools are set off in the Orden of June 28, 2011. Thisbinding document states that all bilingual schools mustpromote the acquisition and development of their stu-dents’ linguistic competence by adopting the Content andLanguage Integrated Learning methodological approach(hence CLIL) and developing or adapting all the necessaryteaching materials. This means that, in bilingual program-mes, teaching through CLIL is compulsory for the partici-pant teachers, which in turn implies two small details: (1)teachers must know about CLIL and (2) they must knowhow to generate CLIL materials.

As regards the first detail, obvious though it may seem,not all the teachers that participate in a bilingual pro-gramme know about CLIL, or at least not enough. Thisis hardly surprising: learning the rudiments of this met-hodological approach should take at least a few sessionsin a properly well-structured in-service training course.Secondly, if they do not know enough about CLIL, theywill surely find it quite hard to adapt existing teachingmaterials so that they suit the principles of CLIL, let alo-

ne create them directly. Therefore, learning about CLILand how to make the most of it to generate suitable CLILmaterials requires time and devotion.

Nonetheless, the pur-pose of this section is notto make things difficult forMaths teachers in bilin-gual programmes, but tomake their work easier. Solet us assume that Maths

teachers do not have time for proper training. In that case,programme coordinators should be able to explain the par-ticipant teachers what is CLIL in a few words —namely,what is it that they must know first and foremost aboutCLIL— and give them some quick tips during their coor-dination time. Then it is up to them to go on searchingthe web for articles, videos and examples of activities, ifthey have time.

So what is CLIL? What is the most important thingabout CLIL that all Maths teachers participating in theprogramme should know? Quite simply, CLIL is an inte-grating approach that involves teaching a content subjectthrough a foreign language, so that the students learn boththe content and the target language (hence L2) at the sa-

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me time. To put it bluntly, it is like hitting two birdswith one stone. For a Maths teacher, this double focusmeans teaching Maths while indirectly teaching the L2(i.e. English, French or German) in a communicative way,by using foreign language teaching (hence FLT) strategiesand proposing activities that require the students’ activeuse of their communicative skills, much in the same wayas a foreign language teacher would do.

A Maths teacher is notusually familiar with suchFLT strategies, particu-larly in the first stages,so they need to rely onCLIL materials. As theseare scarce and do not nor-mally suit the contents ofthe unit they are teaching, they need to design new mate-rial or adapt what they have, which in turn can be time-consuming. Indeed, though it is a good idea to developCLIL materials (this is what the Orden above says theymust do), they do not usually have enough time to pro-duce quality materials for every lesson. Consequently, theparticipant teachers should be given certain guidelines inorder that they can develop their own FLT strategies anduse them systematically in their CLIL lessons.

In general terms, we may point out here 10 strategiesfor Maths teachers to start developing a systematic wayof teaching their subject as if it were a linguistic subject:

1. Give all directions (classroom language) in the L2.

2. Make yourself understood by your students: repeatkey words, pronounce them with emphasis, use bodylanguage and visual aids.

3. If necessary, translate a difficult word or concept in-to Spanish. It is a bilingual programme, so there isnothing wrong in using the L1 on occasion.

4. Teach in a natural way; don’t explain grammar. Ifyou want your students to become aware of a cer-tain grammatical structure, point it out or highlightit on the board, give several examples, allow yourstudents to infer the grammar rule behind withoutexplaining it.

5. Anticipate specific vocabulary or target expressionsbefore tackling a new unit, text or activity. Use lan-guage sidebars on the board, show flashcards, pin uppermanent posters on the walls.

6. Integrate all four language skills. Make sure everyMaths lesson contains activities in which your stu-dents have to listen, speak, read and write in theL2.

7. The students are at the centre of the teaching pro-cess, not the teacher, so allow them to participateactively. Ask them questions, but let them ask ques-tions, too.

8. Let students work in groups, so they solve word pro-blems and carry out other activities together, as ateam.

9. Bring the outside world in the classroom. If you haveICT means, use audio-visual content that is availa-ble on the web or tell your students to watch it athome. Set a few previous comprehension questionsand there you have it!

10. Set task-based activities and small projects that re-quire the use of the L2. Tell your students to explainmathematical concepts or give presentations to theirpeers.

In the next issues we will try to offer deeper expla-nations and specific examples of these strategies. For thetime being, the following examples may be enough to getthe picture:

1. Use such classroom expressions as “listen carefully,turn to page 27, put away your calculators, let’swork in pairs now . . . ” systematically.

2. Put special emphasis on the diphthong in binaryand binomial.

3. Mathematical terms are usually very similar in bothSpanish and L2, so there is no need to translateequation or prime number. However, you may needto give the precise translation into Spanish of suchterms as power or set, since these words have severalpossible translations.

4. Point out the structure of conditional sentenceswhen they come up in a Maths problem by just cir-cling the word “if” and underlining the verb phrases.

5. When teaching fractions, you can show an exam-ple on the board, isolate the terms numerator anddenominator, make sure the students pronouncethem correctly with the classic listen-and-repeat,and then have them match the terms to their defi-nitions.

6. A lesson on, say, integer numbers should contain so-me form of oral interaction between the teacher andthe students, e.g. through a brainstorming activityto introduce numbers, operations and symbols; liste-ning to the teacher and/or a video, reading a text onintegers that may contain a fill-in-the-gaps activityand/or true-false or multiple choice comprehensionquestions, and practising with written exercises.

7. Have your students write their own word problemsand present them to their peers, so they listen andtry to find the solution.

8. You may wish to set a group of three to five studentsand assign specific roles, so they work as a team tomake up a word problem.

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Concurso de problemas Volumen XIV. Número 2 11 / 25

9. Tell your students to watch this video about frac-tions:youtu.be/HBN568uvxi4 and answer this ques-tion: What do the values of fractions depend on?

10. Students can prepare a PPT slideshow about geo-metrical objects and give a presentation to the class,which may contain two or three questions to checktheir peers’ comprehension.

At this point, it is important to count on the program-me coordinator’s advice and support, alongside that of the

foreign language teachers. Therefore, to these kick-off tipsI would add yet another one: seek their advice; ask themhow they would teach a certain content or topic from alinguistic, communicative perspective. The aim is not tospend hours preparing one-off activities, since we cannotspend that amount of time for every lesson, but rather beefficient and develop a regular, permanent, systematic wayof teaching Maths that meets the principles of CLIL andtherefore the demands of the bilingual programme. Afterall, every teacher is a language teacher.

Las últimas clases de don Andrés

A punto ya de jubilarse, conservaba su pasión por ladocencia y había desarrollado aun más su caracterís-tico tono paternal:

«Como podéis observar, mis queridos estudiantes,la ecuación x2 + y2 + z2 = 1 representa una esfe-ra de radio 1 centrada en el origen. De hecho, lassoluciones de tal ecuación son los puntos del es-pacio euclídeo tridimensional que se encuentran adistancia 1 del punto (0, 0, 0). De forma análoga,la ecuación z = 0 puede identificarse con el planoXY, pues las soluciones de esta última ecuaciónson los puntos de la forma (t, s, 0), siendo t y s

números reales cualesquiera. Puesto que las solu-ciones del sistema

(x2 + y2 + z2 = 1

z = 0

son los puntos que pertenecen, simultáneamente,a la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y al plano z = 0, ca-be decir que el sistema mencionado representa laintersección de ambas superficies. Se trata, en es-te caso, de una circunferencia situada en el planoXY, de radio 1, centrada en el origen.Os propongo un ejercicio que admite una respues-ta que os dejará plenamente satisfechos. Os animoa resolver el sistema

(y2 - x2 - 2yz+ z2 = 0

y2 - x2 - 2xz = 0

En términos geométricos, acabo de invitaros adescubrir la intersección de la superficie y2-x2-2yz+ z2 = 0 con la superficie y2 - x2 - 2xz = 0»

Os rogamos que aceptéis, en esta ocasión, la propues-ta que hizo don Andrés a sus estudiantes en la claseque hemos rememorado.

Concurso de problemas

Envía tu solución a bmatema@ual.es

Problema propuesto

Si nos envías tu solución a este problema pue-

des obtener un estupendo reloj inteligente

(smartwatch) y un regalo relacionado con lasmatemáticas.¡La solución más elegante u original tiene pre-mio!Para participar, solo tienes que mandar tusolución a la dirección de correo electrónicobmatema@ual.es hasta el 15 de abril.Puedes escanear el papel en el que la hayas ela-borado y enviarla a dicha dirección de correoelectrónico.Las bases de este concurso pueden consultarseen la página web del Boletín.

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Concurso de problemas Volumen XIV. Número 2 12 / 25

Resultado del concurso del número anterior

Ismael Vergara Víctor Hasu

En este número del Boletín, el jurado ha decido otorgardos premios, ya que el problema propuesto se dividía endos apartados diferentes.

El primero se otorga a Ismael Vergara García, alumnode 4.o de ESO del IES Las Marinas por su solución alapartado del ángulo de tiro y el segundo a Víctor Ha-su García, estudiante de 2.o de Bachillerato del IES ElPalmeral de Vera, por la solución del apartado de divisi-bilidad.

Ana y Juan comparten gustos por las matemáticasy el fútbol. Además, Ana juega en la división feme-nina de la UD Almería. Justo antes de empezar unpartido televisado de la UD Almería están intentan-do probar un criterio de divisibilidad por el númeroprimo 31. Nada más empezar el partido, Lazo, ju-gador del Almería, realiza un disparo a puerta rasojusto desde la esquina derecha del área grande. Anase pregunta: ¿qué ángulo de disparo tiene?, ¿lo sa-brías tú?

Las dimensiones del Estadio de los Juegos del Medi-terráneo son 105 ⇥ 68 metros. El resto de datos deun campo de fútbol lo puedes encontra fácilmenteen Internet.

Por cierto, entre Ana y Juan probaron en el descan-so del partido un criterio de divisibilidad por el 31que dice «Un número es divisible por 31 si al se-parar la cifra de las unidades, multiplicarla por3 y restar a las cifras restantes, el resultado esmúltiplo de 31». Por ejemplo, el 341 es divisible por31 ya que 34- 3 · 1 = 31 que claramente es divisiblepor 31. ¿Sabrías probar este criterio?

Problema propuesto en el número anterior

Solución de Ismael Vergara a la primera parte:

El esquema en el terreno de juego, considerando las di-mensiones del campo de fútbol de la situación requeridaen el problema es el siguiente:

7,32 5,5 11

16,5

23,82

↵

�

�16,5

Ahora realicemos los cáculos. En primer lugar calcula-remos �:

tan� =23,82

16,5) � = tan-1 23,82

16,5,

por lo que � ⇡ 55,29�.Después calculamos ↵ actuando de la misma forma:

tan↵ =16,5

16,5) ↵ = tan-1 1,

por lo que ↵ = 45�.El ángulo � es la diferencia de los anteriores, es de-

cir, � = � - ↵, por lo que el ángulo de disparo es� = 55, 29- 45 = 10, 29�.

Solución de Víctor Hasu a la segunda parte:

Consideremos la siguiente notación:

X = 10B+ a,

donde X es un número que descomponemos de esa forma,es decir, a es el dígito que representa las unidades de X yB es el número formado por los dígitos de X en su ordenoriginal eliminando el dígito de las unidades.

Por poner un ejemplo, para el número 341, tendríamosque B = 34 y a = 1, por lo que 341 = 10 · 34+ 1.

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 13 / 25

Consideremos que B - 3a es divisible por 31, por loque existe un k tal que B- 3a = 31k.

Ahora, multipliquemos por 10, es decir,

10B- 30a = 10 · 31k.

Si sumamos y restamos a en la parte izquierda de la

igualdad, tenemos que

10B- 30a+ a- a = 310k,

10B- 31a+ a = 310k.

Entonces, X = 10B + a = 310k + 31a = 31(10k + a),por lo que X es múltiplo de 31.

HISTORIA Y SUS PERSONAJES

Andrei N. KolmogórovUn matemático excepcional

Fernando Reche LoriteUniversidad de Almería

Algunos resultados matemáticos han quedado en elimaginario popular ligados a un determinado «apellido».Probablemente si hacemos una pequeña encuesta en la ca-lle, pocas personas desconocerán la existencia del teoremade Pitágoras aunque no recuerden su formulación exacta.

A. N. Kolmogórov

Algo parecido nos podemosencontrar cuando hablamos de losaxiomas de Kolmogórov. Todoaquel que haya recibido un cur-so básico de probabilidad seguroque tiene en mente —aunque solosea el nombre— de estos famosostres axiomas.

En algunos casos estos «apelli-dos» no corresponden exactamen-te a quienes elaboraron directa-mente esos resultados, hecho que

no sucede con la figura cuya biografía se pretende glosarbrevemente en este artículo: Andrei Nikoláyevich Kolmo-górov.

Kolmogórov nació el 25 de abril 5 de 1903 en la loca-lidad rusa de Tambov y falleció el 20 de octubre de 1987

en Moscú.Su madre murió durante el parto y fue criado por sus

tías que regentaban una escuela, por lo que Andrei fueeducado con entusiasmo por estas, que fomentaron en elniño la curiosidad y la dedicación al trabajo. En 1910 sutía se trasladó a Moscú donde Kolmogórov continuó suformación en un instituto privado.

La vida de Kolmógorov no fue fácil, perdió el contac-to con su padre —desaparecido en el frente en 1919— ytuvo que compatibilizar los estudios con el trabajo en laconstrucción de la vía ferroviaria Kazan–Ekateringurg.

En 1920 Kolmogórov se matricula en la Universidadde Moscú en la facultad de Física y Matemáticas. Simul-táneamente, participó como estudiante en un seminariosobre historia antigua rusa, elaborando un informe cien-tífico sobre los registros de la propiedad, lo que es unabuena muestra de la amplitud de sus inquietudes. Se gra-

dúa en 1925, habiendo publicado 8 artículos de investiga-ción durante su época de estudiante, hecho nada común,y completa su doctorado en 1929.

Kolmogórov es conocido por el gran público por suscontribuciones en el campo de la Probabilidad, pero fuemucho más que eso. Realizó contribuciones extraordina-rias en muchos campos de las matemáticas que podríamossintentizar —de forma no exhaustiva— en los siguientesepígrafes extraídos de [1]:

a) Teoría de funciones, estudiando el comportamien-to de series de Fourier, y lógica —intuicionismo yformalismo—.

b) Fundamentos de la probabilidad, con soluciones par-ciales hasta la aparición de su obra Grundbegrif-fe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Fundamen-tos de la Teoría de la Probabilidad), en donde apa-recen sus famosos axiomas.

c) Aplicaciones de la estadística y la probabilidad en elcampo de la genética —con una defensa abierta delmendelismo en una época en la que los científicosdefensores de esta teoría fueron ferozmente purga-dos por el estalinismo— y en la modelización de lasturbulencias.

d) Sistemas dinámicos y la teoría KAM (Komogórov–Arnold–Moser) donde aborda el problema de los n

cuerpos.

e) Teoría de la información y complejidad donde enlazaalgoritmo y aleatoriedad.

Preparando una charla en1973. Foto de Terrence L.Fine

A partir de los años 60 Kol-mogórov tuvo una especial im-plicación en la enseñanza delas matemáticas, participandoen el diseño de los programas deaprendizaje de esta materia enla Unión Soviética, publicando yrevisando textos docentes y co-laborando en revistas de divul-gación con numerosos artículos.

512 de abril en el calendario vigente en Rusia en ese momento, ya que adoptó el calendario gregoriano en 1918.

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 14 / 25

Aunque los útimos años de su vida se vio afectado porel Parkinson, no dejó de estar activo hasta su muerte. Du-rante su vida recibió multitud de premios y reconocimien-tos, tanto en su país como en el extranjero.

Su legado ha sido enorme y me gustaría acabar estabrevísima reseña sobre su figura con unas palabras su-yas [2]:

«De los profesores de matemáticas, tantoen la escuela media como en la superior, sedebe exigir no sólo un conocimiento profun-do de su ciencia. Enseñar bien matemáticassólo puede hacerlo aquel que las ame conpasión y las comprenda como una cienciaviva, en desarrollo»

Referencias

[1] M. García Piqueras (2017). Kolmogórov. La dualidadentre el caos y la determinación. Colección «Geniosde las matemáticas», RBA.

[2] C. Sánchez Fernández y C. Valdés Castro (2003). Kol-mogórov. El zar de azar. Colección «La matemáticay sus personales», Nívola.

[3] MacTutor History of Mathematics Archive 6.

MATEMÁTICAS Y OTRAS CIENCIAS

La seguridad: ¿una cuestión de azar?Juan Antonio López RamosUniversidad de Almería

¿Cuántas veces a lo largo de los últimos tiempos esta-mos escuchando casi a diario el concepto de ciberseguridaden diversos contextos? La razón es bien clara: nuestra vi-da es cada vez más dependiente de procesos y sistemascibernéticos y, de la seguridad de estos, depende que nonos enfrentemos a problemas que pueden afectar a muydiversas cuestiones y que van desde tener seguro nuestrodinero en el banco, a que podamos encender la luz en casa.

Pues bien, uno de los conceptos más importantes einvolucrados en la seguridad de nuestros sistemas de co-municación es la aleatoriedad. Pero, ¿qué es eso de la alea-toriedad?

Julio César

Es probable que el lector haya es-cuchado alguna vez la expresión «Lasuerte está echada», expresión tradu-cida del latín y que fue pronunciadapor Julio César en el momento de de-clarar la guerra al senado de Roma en-trando en Italia al mando de un ejérci-to y que realmente, en latín se escribecomo «Alea jacta est», cuya traduc-ción sería algo así como «El dado está

lanzado».La etimología de la palabra aleatorio está, por tanto,

ligada al azar y no a la suerte. Permítame un breve incisoen este punto el lector para hacer mención a Julio Césarcomo padre del conocido como criptosistema de César,y que consiste en aplicar una biyección al abecedario paraescribir un texto de forma ininteligible mediante la susti-tución de unas letras por otras, con lo que podemos decirque Julio César fue un adelantado también en temas deciberseguridad, dado que protegía sus informes o cartas deesta forma tan inteligente para aquel tiempo.

Pero volviendo al tema de la aleatoriedad, ¿qué papeljuega esta dentro de la ciberseguridad? Veamos solo unpar de ejemplos. Cada día es más habitual el uso de la ad-ministración electrónica, para lo que necesitamos el DNIelectrónico. Este DNI electrónico contiene un algoritmo defirma cuya seguridad, es decir, la imposibilidad de falsifi-car dicha firma y, por tanto, la identidad de una persona,se basa en el uso de números primos aleatorios.

Otro ejemplo del uso de la aleatoriedad se encuentraen el acceso a una conexión segura, como en el caso de unacompra a través de uno de los numerosos portales a travésde los que acabamos de realizar la adquisición de algúnregalo de Navidad. El protocolo de conexión contiene, co-mo una de sus partes fundamentales, el uso de númerosaleatorios.

Números aleatorios

¿Pero cómo puede una máquina, como un ordenador,cuya tecnología se basa en el uso de fórmulas, crear al-go que no responda a una fórmula concreta y, por tanto,pueda ser considerado aleatorio? La respuesta es que losnúmeros que se generan parecen aleatorios, pero en reali-dad se crean mediante fórmulas matemáticas.

Algunos de los tipos de métodos, utilizados por ejem-plo por IBM, son conocidos como métodos congruenciales.

Este tipo de métodos, a partir de una semilla o núme-6mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kolmogorov/ .

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 15 / 25

ro inicial , que denotamos por X(0), consiste en crear unasucesión X(n + 1) ⌘ aX(n) + b (mod m), donde a y b

son números enteros, siendo U(n) = X(n)m una sucesión de

números obtenidos entre 0 y 1.Existen resultados matemáticos que permiten asegu-

rar, en función de la elección de los parámetros m, a y b,que los números obtenidos verifican unas propiedades quepermiten afirmar que dichos números parecen aleatorios,es decir, son lo que se llaman números pseudoaleatorios.

Por ejemplo, si el máximo común divisor de a y m es1; si m es divisible por 4, entonces el resto de dividir apor 4 es 1 y si , además, el resto de dividir a por cualquierfactor primo de m es 1, entonces puede asegurarse que elperiodo de repetición de la sucesión de números aleatorioses lo máximo posible.

Sin embargo, los métodos matemáticos nos son sufi-cientes para asegurarnos la seguridad de nuestros sistemasde ciberseguridad. Tal y como dice uno de los padres de laCriptografía moderna, Adi Shamir, «La Criptografía nose rompe, pero se sobrepasa».

Llevar estos métodos a la práctica puede dejar abiertaspuertas, que no lo deberían estar. En el caso precisamente

del protocolo de conexión segura, el uso de números aleato-rios permite la generación de cierta clave secreta utilizadaen un momento determinado de la comunicación.

Logotipo de la NSA

Un «fallo» (o no tal fallo)en la implementación del mé-todo, permitió a la NSA 7 du-rante años ser capaz de acce-der al estado del generador denúmeros aleatorios de cual-quier ordenador, es decir, aun valor de la sucesión X(n)en un momento determinado,lo que, unido al hecho de co-

nocer los factores a, b y m, hace posible reconstruir lasucesión completa y, por tanto, cualquier clave secreta uti-lizada en cualquier momento de la conexión o, lo que eslo mismo, espiar dicha comunicación y acceder a toda lainformación intercambiada.

De este modo, nuestra seguridad no depende solo delhecho de unas matemáticas bien fundamentadas, sino tam-bién de un uso de ellas no dejado al azar.

MUJERES Y MATEMÁTICAS

Jóvenes investigadoras galardonadas conel Premio Vicent Caselles de MatemáticasJuan Núñez ValdésUniversidad de Sevilla

Isabel María Ortiz RodríguezUniversidad de Almería

Es de todos conocido que no existe el premio Nobelen Matemáticas y que, en su lugar, el máximo galardónque puede recibir un matemático es la Medalla Fields. Sinembargo, hay muchos otros premios, también muy impor-tantes y considerados, que pueden ser alcanzados por losmatemáticos en base a sus estudios, trabajos y la relevan-cia de sus descubrimientos, como, por ejemplo, el premioAbel.

Vicent Caselles

Actualmente, se concedenen España dos premios rele-vantes en Matemáticas, pa-trocinados por la Real So-ciedad Matemática Españo-la (RSME) junto a otras en-tidades: el Premio José LuisRubio de Francia y los Pre-mios de Investigación Ma-temática Vicent Caselles. Aeste último vamos a dedicar

este artículo.Los Premios Vicent Caselles están dirigidos a jóvenes

investigadores en matemáticas, menores de 30 años, espa-ñoles o que hayan realizado su trabajo de investigación enuna universidad o centro científico de España. Estos pre-mios se iniciaron en 2015, fruto de la colaboración entrela Fundación BBVA y la RSME, para el impulso y la di-fusión del conocimiento científico. Se conceden 6 premiospor convocatoria.

El nombre de estos premios se puso en memoria deVicent Caselles Costa, nacido en Gata de Gorgos (Alican-te) en 1960. Vicent se licenció en Matemáticas en 1982

y se doctoró en 1985 por la Universidad de Valencia.Tras realizar estancias postdoctorales en Italia, Alemaniay Francia, fue Profesor Titular en la Universidad de lasIslas Baleares y en la Universidad Pompeu Fabra, don-de obtuvo la cátedra en 2002. En 2012, un año antes desu fallecimiento, obtuvo el mayor reconocimiento europeoen investigación, un ERC Advanced Grant [2].

Ganadores del Premio Vicent CasellesA continuación, enumeramos los ganadores de este pre-

mio en cada una de las ediciones convocadas, las mujeresaparecen en negrita:

2015: Alejandro Castro Castilla, Jezabel Curbe-lo Hernández, Javier Fresán Leal, Rafael GraneroBelinchón, Luis Hernández Corbato y Xavier RosOtón.

7La Agencia Nacional de Seguridad de los Estados Unidos, responsable de la monitorización, recopilación y procesamiento de la infor-mación, así como la protección de las redes de comunicaciones y sistemas de comunicación en Estados Unidos.

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 16 / 25

2016: Roger Casals, Francesc Castellà, Leonardo Co-lombo, José Manuel Conde Alonso, Martín LópezGarcía y Jesús Yepes Nicolás.

2017: Óscar Domínguez Bonilla, Javier Gómez Se-rrano, Angelo Lucia, María Medina, Marina Mu-rillo, Beatriz Sinova y Félix del Teso.

2018: David Beltrán, David Gómez Castro, DavidGonzález Álvaro, Vanesa Guerrero Lozano, Ál-varo del Pino y Carolina Vallejo Rodríguez.

2019: Daniel Álvarez Gavela, María ÁngelesGarcía-Ferrero, Xabier García Martínez, UmbertoMartínez Peñas, Carlos Mudarra Díaz-Malaguilla yMarithania Silvero Casanova.

2020: Diego Alonso Orán, Alessandro Audrito, Ru-bén Campoy García, María Cumplido Cabello,Ujué Etayo y Judit Muñoz Matute.

La convocatoria 2021 está abierta desde mediados dediciembre de 2020 hasta finales de febrero de 2021 [3].

Mujeres que han sido galardonadas con el PremioVicent Caselles

Entre los 30 premiados, hay 11 mujeres, de las cualesvamos a dar una breve biografía y las razones por las queconsiguieron el galardón [3].

Jezabel Curbelo

Jezabel Curbelo Hernán-dez (Los Realejos, Tenerife,1987) es licenciada en Matemá-ticas por la Universidad de LaLaguna y doctora por la Uni-versidad Autónoma de Madriden 2014. Su investigación consis-te en el estudio de modelos ma-temáticos que describen fenóme-nos geofísicos, concretamente enel análisis numérico de problemas de convección con vis-cosidad dependiente de la temperatura.

María Medina

María Medina (Madrid,1987) se licenció y doctoró enMatemáticas por la Universi-dad Autónoma de Madrid. In-vestiga en ecuaciones en deriva-das parciales no lineales. Ha sidoprofesora voluntaria en asocia-ciones que tienen programas pa-ra adolescentes de entornos con-flictivos y en el Proyecto Es-cuelab, destinado a fomentar la

ciencia entre niños de entornos con pocos recursos.

Marina Murillo

Marina Murillo (Cádiz,1987) es licenciada en Matemáti-cas por la Universidad de Cá-diz (primer premio nacional alRendimiento Académico Univer-sitario) y doctora por la Univer-sidad Politécnica de Valencia.Investiga en Topología y Teoríade Operadores, con aplicación ala mejora de la comunicación en-tre dispositivos móviles. También ha publicado en didác-tica de las Matemáticas.

Beatriz Sinova

Beatriz Sinova (Luanco, As-turias, 1987) se licenció en Matemá-ticas en la Universidad de Ovie-do (premio Extraordinario de Li-cenciatura).

Realizó la tesis entre la Uni-versidad de Oviedo y la Univer-sidad de Gante (Bélgica). Investi-ga en Estadística, en datos difusos(fuzzy).

Vanesa Guerrero

Vanesa Guerrero Lozano(Guadalcanal, Sevilla, 1989) segraduó en Matemáticas en 2012

en la Universidad de Sevilla,Máster en Matemáticas Avanza-das (2013) y doctora en Matemá-ticas (2017). Trabaja en el desa-rrollo de herramientas para elanálisis de grandes conjuntos dedatos, aplicando técnicas de op-timización matemática. Tambiénrecibió en 2018 el Premio Ramiro Melendreras para jó-venes investigadores, de la Sociedad de Estadística e In-vestigación Operativa (SEIO).

Carolina Vallejo

Carolina Vallejo Rodríguez (Ali-cante, 1988) es licenciada en Matemáti-cas y Máster en Investigación Matemáti-ca por la Universidad de Valencia. Tra-baja en la Teoría de Representaciones, haresuelto en algunos casos la conjetura deMcKay y sus generalizaciones, que ocu-pan un papel central en el estudio de los

problemas globales-locales.

M. Ángeles García

María Ángeles García-Ferrero(León, 1991) es licenciada en Físicaspor la Universidad de Valladolid ydoctora en Matemáticas por la Uni-versidad Complutense de Madrid.Investiga en problemas geométricos enecuaciones en derivadas parciales y enel desarrollo de teoremas de aproxima-ción global. También recibió el Pre-

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 17 / 25

mio José Luis Rubio de Francia en 2019, siendo la se-gunda mujer en obtener este galardón, tras María Pe Pe-reira en 2012.

Marithania Silvero

Marithania Silvero Casa-nova (Huelva, 1989) es licencia-da y doctora en Matemáticas porla Universidad de Sevilla.

Su investigación se enmarcaen la topología, y más concre-tamente en la teoría de nudos,habiendo refutado una conjeturade L. H. Kauffman, que databade 1983.

Maria Cumplido

María Cumplido Cabello(Córdoba, 1992) es graduada enMatemáticas por la Universidadde Sevilla y doctora en Mate-máticas por las Universidades deSevilla y Rennes I (Francia).Su campo de investigación sonlas trenzas y su generalizaciónalgebraica, habiendo resuelto unproblema de 20 años de antigüedad referido a los gruposde Artin-Tits.

Ujué Etayo

Ujué Etayo (Pamplona,1992) es Graduada en Matemá-ticas por la Universidad de Va-lladolid y doctora en Ciencia yTecnología por la Universidadde Cantabria. Su tesis docto-ral versó sobre cómo distribuirde forma óptima un conjunto depuntos en una esfera, problemaque tiene muchas aplicaciones endiversos campos. Resolvió, juntocon otros investigadores, un pro-

blema propuesto por Smale y Shub sobre la estabilidad depolinomios.

Judit Muñoz

Judit Muñoz Matute (Ba-rakaldo, 1991) estudió Matemá-ticas en la Universidad del PaísVasco, en la que también hizo unmáster en Modelización e Inves-tigación Matemática, Estadísti-ca y Computación. Trabaja enmétodos numéricos en Ecuacio-nes Diferenciales Parciales, conaplicaciones, por ejemplo, a la si-mulación de diferentes procesosfísicos en ingeniería, para sabercómo se van a comportar en el aire las ondas acústicas,o para la simulación en el diseño de ciertos materiales desubmarinos.Una reflexión de los autores

Finalizamos aquí esta colaboración sobre el papel queha jugado la mujer en los Premios Vicent Caselles deMatemáticas con un cierto halo de esperanza y sobre todode alegría y confianza por lo que se refiere al reconocimien-to del trabajo de las mujeres en el futuro.

Y también nos queda una sensación de sano orgullo porla representación andaluza, cuatro de las once mujeres ga-lardonadas, tres de la Universidad de Sevilla y una de laUniversidad de Cádiz. Ojalá sigan estos resultados, paralas mujeres en general y para las andaluzas en particular,o incluso puedan mejorarse en los años venideros.

Referencias

[1] Núñez Valdés, J. (2019). Las mujeres y los Premiosde Matemáticas, Revista Pensamiento MatemáticoIX:1, 113–147.

[2] Soler, J. (2013). Vicente Caselles, Matemático. DiarioEl País, 06/09/2013 8.

[3] Página web de la Real Sociedad Matemática Españo-la 9.

PASATIEMPOS Y CURIOSIDADES

Año nuevo, ecuación de Pell nuevaMiguel Martínez TeruelEstudiante del Grado en Matemáticas de la UAL

No hay nada como empezar el año despertando un po-co esas neuronas que todavía siguen de vacaciones con unbonito problema matemático. Para ello, presentamos laecuación de Pell, que tiene la siguiente forma:

x2 - ny2 = 1,

donde x e y son nuestras variables y n es un número en-

tero. Esta es una ecuación diofántica, es decir, nos preo-cupamos solo en estudiar las soluciones de esta ecuaciónpara las cuales x e y sean números enteros.

Como propósito de año nuevo, vamos a dar un métodopara resolver este tipo de ecuaciones para el caso concreton = 2021. Esto es, encontrar las soluciones enteras de laecuación

x2 - 2021y2 = 1.

8https://elpais.com/sociedad/2013/09/06/actualidad/1378421989_761712.html.9http://www.rsme.es.

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 18 / 25

Primero, recordemos el concepto de fracción continua.Dada z 2 R, el objetivo es expresar este número de lasiguiente forma:

z = a0 +1

a1 +1

a2+1

a3+···

,

donde a0 es un número entero y ai con i 2 {1, 2, ...} sonnúmeros naturales.

Las fracciones continuas van a ser clave para resolveresta ecuación. De hecho, el primer paso será calcular lafracción continua de

p2021 (de forma general habrá que

calcular la fracción continua depn). Para ello, nótese que

442 = 1936 < 2021 < 452 = 2025.

Por tanto,p2021 = 44+

1

k

para cierto k > 1. Ya tenemos el valor a0 = 44. Vamosa intentar obtener los demás coeficientes manipulando elvalor k. Comenzamos despejándolo:

p2021 = 44+

1

k)

p2021- 44 =

1

k) k =

1p2021- 44

.

Una vez hecho esto, racionalizamos la fracción que he-mos obtenido.

k =1p

2021- 44

p2021+ 44p2021+ 44

=

p2021+ 44

2021- 442

=

p2021+ 44

85.

Ahora bien, teniendo en cuenta quep2021 = 44 + 1

k ,se tiene que

k =

p2021+ 44

85)

85k =p2021+ 44 )

85k = 44+1

k+ 44 ) 85k = 88+

1

k.

Ahora transformamos esta igualdad buscando la formade fracción continua.

85k = 88+1

k)

k =88

85+

1

85k)

k = 1+3

85+

1

85k= 1+

3k+ 1

85k= 1+

185k3k+1

.

Por tanto, a1 = 1. Para seguir obteniendo los coefi-cientes, habrá que tomar la fracción

85k

3k+ 1,

sustituir k = 1 + 185k

3k+1

y buscar la expresión de una frac-ción continua.

Este proceso es correcto, pero puede resultar un pococostoso si se quiere hacer a mano. Por tanto, mostramosun método alternativo y equivalente pero que resulta másllevadero sin necesidad de hacer uso de un programa in-formático. Lo único que necesitamos es la parte entera dep2021 que ya ha sido calculada previamente:

p2021 = 44+ (

p2021- 44) = 44 +

11p

2021-44

.

Ahora hacemos lo mismo con el denominador que nosha quedado. Denotamos por R el acto de racionalizar ycon {} denotamos las operaciones intermedias:

1p2021- 44

R=

p2021+ 44

85

=

8>>><

>>>:

44+4485 ⇡ 1,03...

8585 +

p2021+x85 =

p2021+44

85

x = -41

9>>>=

>>>;

= 1 +185p

2021-41

.

Seguimos con el denominador que nos ha quedado yasí sucesivamente:

85p2021- 41

R=

p2021+ 41

4

=

8>>><

>>>:

44+414 ⇡ 21,2...

21·44 +

p2021+x

4 =p2021+41

4

x = -43

9>>>=

>>>;

= 21 +14p

2021-43

,

4p2021- 43

R=

p2021+ 43

43

=

8>>><

>>>:

44+4343 ⇡ 2,02...

2·4343 +

p2021+x43 =

p2021+43

43

x = -43

9>>>=

>>>;

= 2 +143p

2021-43

,

43p2021- 43

R=

p2021+ 43

4

=

8>>><

>>>:

44+434 ⇡ 21,7...

21·44 +

p2021+x

4 =p2021+43

4

x = -41

9>>>=

>>>;

= 21 +14p

2021-41

,

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 19 / 25

4p2021- 41

R=

p2021+ 41

85

=

8>>><

>>>:

44+4185 = 1

8585 +

p2021+x85 =

p2021+41

85

x = -44

9>>>=

>>>;

= 1 +185p

2021-44

,

85p2021- 44

R=

p2021+ 44

= 88 + (p2021- 44).

Nótese que al llegar ap2021-44, que es la parte deci-

mal dep2021, tenemos que los coeficientes de la fracción

continua se repetirán con el periodo 1, 21, 2, 21, 1, 88. Deforma compacta, lo expresamos de la siguiente forma:

p2021 = [44, 1, 21, 2, 21, 1, 88].

Una vez que tenemos la fracción continua dep2021, si

tomamos un número finito de coeficientes de esta, lo quetenemos es una aproximación de

p2021. Es decir,

p2021 ⇡ 44,

p2021 ⇡ 44+

1

1= 45,

p2021 ⇡ 44+

1

1+ 121

=989

22.

Y así podríamos continuar. Cuantos más coeficientestomemos, más exacta será nuestra aproximación. Pues

bien, teniendo el periodo 1, 21, 2, 21, 1, 88, nos tomamosla aproximación que aporta tomar todos los coeficientesdel periodo excepto el último. Es decir,

p2021 ⇡ 44+

1

1+ 121+ 1

2+ 1

21+ 11

=45495

1012.

Estimado lector o lectora, lo crea o no, x = 45495 ey = 1012 es solución de la ecuación

x2 - 2021y2 = 1.

Efectivamente, sustituyendo, tenemos que

2069795025- 2069795024 = 1.

Sé que ahora mismo puede estar sorprendido, pero estaes la punta del iceberg. Pues si tomamos el valor

↵ = 45495+ 1012p2021,

le podemos asegurar que la ecuación x2 - 2021y2 = 1

tiene infinitas soluciones y las obtenemos de ±↵m conm 2 Z. Es decir, dado un número entero m, calculamos↵m, que podrá ser expresado de la forma a + b

p2021.

Entonces, x = ±a e y = ±b es solución de la ecuaciónx2 - 2021y2 = 1. Es por esto que la solución x = 45495 ey = 1012 recibe el nombre de solución fundamental.

De esta manera, hemos completado el propósito de añonuevo que nos habíamos propuesto al principio. Final-mente, y como divertimento, le proponemos calcular ↵2

y comprobar que efectivamente nos da otra solución de laecuación de Pell.

CULTURA Y MATEMÁTICAS

Curvas de flores y demás historiasJosé Luis Rodríguez BlancasUniversidad de Almería

Me encantaría iniciar esta breve nota con el taller quenos presentó Debora Pereiro el pasado mes de julio de2020, sobre modelado de flores en Geogebra 10.

Flores modeladas con Geogebra. Crédito: Debora Pereiro

Para ello necesitó recordar parametrizaciones de algu-nas curvas y superficies, tanto en el plano como en el es-pacio, y generar la flor a partir de uno de sus pétalos,gracias a la simetría rotacional presente en cada caso. Enalgunas flores, hay que tener en cuenta el ángulo áureo,que nos define la distribución de los pétalos (véase porejemplo [3]).

Y es que las flores han sido motivo de admiración yestudio, además de la botánica y del arte, también en Fí-sica y Matemáticas. La comprensión de los fenómenos dela naturaleza y sus elementos ha inspirado el avance de laciencia, aunque no siempre de manera acertada, cuandohablamos de curvas. Basta recordar que el sistema geo-céntrico de Ptolomeo hacía uso de las epitrocoides parapredecir las órbitas planetarias (basándose en los epiciclosde Apolonio de Perga en el siglo iii a. C. y que desarrollódespués Hiparco de Nicea en el siglo ii a.C).

10www.geogebra.org/m/ddfnv7j6.

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 20 / 25

El matemático Guido Grandi (1671–1742), difusor delos resultados del cálculo inventado por Leibniz (1646–1716) en Italia, recogió en su libro titulado Flores Geo-metrici publicado en 1728, diferentes tipos de curvas quemodelan las flores. Entre ellas, las conocidas como «cle-lias», llamadas así en honor a la condesa Clelia Borromeo,y que tienen como ecuación:

x = a sin(m✓) cos(✓),y = a sin(m✓) sin(✓),z = a cos(m✓).

Las clelias pueden ser consideradas «espirales» de Ar-químedes esféricas, al variar uno de los parámetros pro-porcionalmente respecto al otro.

Applet sobre clelias realizado por José Manuel Arranzwww.geogebra.org/m/juVkqBEz

También pueden manejarse en realidad virtual en Neo-trie VR 11.

Por cierto, el título de condesa de Borromeo le es otor-gado a Clelia por casarse con el conde Giovanni BenedettoBorromeo, de la familia en cuyo escudo de armas aparecenlos anillos de Borromeo, tres anillos entrelazados de modoque al quitar uno los otros dos se sueltan.

Seguro que ahora tenéis ganas de rescatar el espirógrafodel armario. Podréis dibujar a mano preciosas epitrocoi-des al rodar una ruleta dentada por fuera de otra fija, ehipotrocoides si la rodamos por dentro.

Os recomiendo el libro interactivo [2] donde encontra-réis estas y muchas otras curvas y superficies. Es hipnoti-zador observar cómo se generan automáticamente los di-seños de este artista minimalista austriaco 12.

La tierra podría dibujar también, ¿verdad?, y si no quese lo digan a Foucault, que con el péndulo propuesto en1958 mostró evidencia clara de la rotación de la tierra, aldejar este el rastro de una preciosa rosa polar en el suelo.

Ilustración del péndulo de Focault dibujan-do una rosa polar. Fuente: Wikipedia

Referencias

[1] Grandi, Guido. Flores geometrici ex Rhodonearum,et cloeliarum Curvarum descriptione resultantes.Florentiae, Typ. Regiae Celsitudinis, 1728 13.

[2] Rivera Berrío, J.G., (2018) Curvas y superficies pa-ramétricas, Interactivo, Editorial Pascual Navarro 14.

[3] Leonardo Pissano Fibonacci. El número áureo. Mate-máticas en la vida cotidiana 15.

11Véase a partir del minuto 32:22 en el video que aparece en www2.ual.es/neotrie/conferencia-en-el-atcm-2020.12www.instagram.com/speechless.drawing .13Accesible en archive.org/details/bub_gb_UBqguM3wdwQC/page/n61/mode/2up.14Accesible en proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Curvas_y_Superficies_Parametricas/indexb.html.15Accesible en ucua.ujaen.es/jnavas/mayores/fibonacci.pdf .© http://boletinmatematico.ual.es - Creado con paperTEX ISSN 1988-5318

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 21 / 25

Citas Matemáticas

«Hay muchas matemáticas que son ahora la base dela tecnología actual y que cuando se hicieron en sumomento no servían para nada. En matemática pura,haces las cosas porque te parecen interesantes».

María Cumplido (1992),matemática española galar-donada con el Premio de In-vestigación Matemática Vi-cent Caselles 2020.

«La matemática, como una expresión de la mentehumana, refleja la voluntad activa, la razón contem-plativa y el deseo de perfección estética. Sus elementosbásicos son: lógica e intuición, análisis y construcción,generalidad y particularidad».

Richard Courant (1888–1972),matemático alemán.

Acertijos

Cultura mediterráneaAlmazara de Íllar, 12 de marzo de 1564. Mateo Arra-

mi, morisco del valle del Andarax, se dispone a retirar suproducción de aceite en dos tipos de tinajas, de 3 y 5 arro-bas 16 de capacidad. Si ha obtenido un total de 54 arrobasy ha completado 14 tinajas, ¿cuántas hay de cada clase?(En el próximo número aparecerá la solución.)

Solución al acertijo del número anterior

Se trataba de adivinar, razonablemente, la letra quedebe figurar tras las siguientes:

U T C S N O T Q

Como puede apreciarse, la sucesión anterior contie-ne las iniciales de los primeros impares (UNO, TRES,CINCO, SIETE, NUEVE, ONCE, TRECE, QUINCE). Deacuerdo con ello, la siguiente letra es la D (DIECISIETE).

Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática

Apocalipsis matemático.Eduardo Sáenz de Cabezón.

Ficha TécnicaEditorial: Plan B.200 páginas.ISBN: 978-84-17809-04-1.Año: 2020.

En este número del Boletín vamos a reseñar dos obras

de divulgación con enfoques totalmente contrapuestos.Esta primera, cuyo autor —sobradamente conocido portodos— Eduardo Sáenz de Cabezón presenta un texto muydirecto, con un estilo coloquial dirigido a un público ju-venil, y una segunda, en la que el académico e historiadorde la ciencia, José Manuel Sánchez Ron, elabora un paseoenciclopédico por la historia de la ciencia en nuestro país.Vayamos por partes.

Apocalipsis Matemático es un libro desenfadado, enel que el autor trata los temas que han despertado un ma-yor interés de entre los vídeos que ha publicado en su canalde YouTube Derivando.

En este texto, el lector puede encontrar numerosascuestiones matemáticas más que interesantes: aspectos re-lacionados con la teoría de números, la base en la quese fundamenta el algoritmo de búsqueda de Google, las

16La arroba es una antigua unidad de masa y volumen prácticamente en desuso. Su valor no es el mismo en todas las regiones. Comomedida de masa, equivale (generalmente) a 11,5 kg y, como medida de volumen, cabe distinguir entre las arrobas de aceite (algo más de12 litros y medio) y las arrobas de vino (poco más de 16 litros).

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Divulgación Matemática Volumen XIV. Número 2 22 / 25

relaciones en la redes sociales, problemas abiertos en ma-temáticas no resueltos aún, el cero, el infinito, etc.

Todo ello, tal y como he comentado al principio deesta reseña, con el estilo al que nos tiene acostumbradosEduardo: directo, ameno y divertido, sin descuidar en nin-gún momento el rigor.

Los temas se tratan de forma que sean accesibles algran público sin demasiado aparataje matemático, lo queno quiere decir que se traten cuestiones triviales, ya quealgunas de los problemas que se presentan poseen una cier-ta profundidad matemática, aunque se abordan obviandolas dificultades formales.

En resumen, una obra recomendable para quien quieraconocer aspectos de las matemáticas no muy usuales —yen algunos casos, de una cierta complejidad— sin necesi-dad de tener una formación profunda en la materia.

Fernando Reche LoriteUniversidad de Almería

El país de los sueños perdidos. Historia dela ciencia en España.José Manuel Sánchez Ron.

Ficha TécnicaEditorial: Taurus.1150 páginas.ISBN: 978-84-306-1927-1.Año: 2015.

Esta segunda obra, tal y como he comentado anterior-mente, es un enfoque totalmente diferente de la divulga-ción —lo que no quiere decir que sea ni mejor ni peor—.

De alguna forma, podríamos decir que se trata de la «caraacadémica» de la divulgación científica.

Para comenzar, he de decir que es una obra impresio-nante, excepcionalmente documentada, sobre el desarrollode la ciencia en nuestro país desde el siglo vii hasta finalesdel xx.

Aunque en la sección abordamos textos relacionadoscon la matemáticas, tal y como ilustra el título, este textoes mucho más amplio, pues aborda la evolución en Espa-ña de muchas disciplinas científicas: matemáticas, física,química, astronomía, ciencias naturales, etc. Sin embargo,dada la magnitud de la obra, me parece que es un textoimprescindible para entender y comprender muchas de lascuestiones actuales sobre el desarrollo científico en nuestropaís.

En cuanto a las matemáticas —aunque aparecen de for-ma transversal en algunos de los periodos tratados—, sededican dos capítulos específicos: la matemática decimo-nónica y el papel de Echegaray —de quien el autor publicóuna excelente biografía— y el dedicado a Julio Rey Pastory su influencia en el desarrollo de las matemáticas en elsiglo xx.

A mí, particularmente, me ha resultado muy curiosoel capítulo dedicado al papel de la ciencia y de los cientí-ficos en la colonización de América así como los dedicadosa la creación del CSIC y los avatares de la ciencia y latecnología en el periodo de la dictadura franquista.

El texto está redactado de una forma muy cuidada yelegante —José Manuel Sánchez Ron ocupa el sillón G dela Real Academia Española—, posee una extensa biblio-grafía y la edición, a pesar de su voluminosidad, es exce-lente. Una obra imprescindible para difrute y consulta detoda persona interesada en la ciencia española.

Fernando Reche LoriteUniversidad de Almería

Páginas web de interés

Mathematics Genealogy ProjectEsta magnífica página web del Department of Mathe-

matics de la North Dakota State University, en cola-boración con la American Mathematical Society, es enrealidad un proyecto que pretende construir un árbol ge-nealógico de cualquier matemático con el título de doctor.

Igual que se construye un árbol genealógico de unapersona con sus padres, abuelos, bisabuelos, etc. lo mismohace este proyecto, pero con un matemático o matemáticay ahora los padres son los directores de tesis y, por tanto,los abuelos son los directores de los directores de la tesisdel sujeto para el que se está construyendo el árbol. Deesta manera se puede establecer el parentesco que nos une

a los matemáticos.

Si te gusta la historia de las matemáticas y sus persona-jes, disfrutarás con esta web que junto a la de la Universityof St Andrews (MacTutor History of Mathematics 17), dela que hice una reseña en este Boletín (Volumen VIII, nú-mero 2), nos permite adentrarnos de una forma lúdica enel apasionante mundo de la vida de los matemáticos.

Por otro lado, nos permite bichear, expresado de formacoloquial, en nuestros ancestros matemáticos. No pondréningún ejemplo concreto pues estoy seguro de que el lectorpreferirá pasar un rato divertido averiguando quiénes sonsus antepasados o los de algún colega. Pero no me puedoresistir a dar alguna información.

17mathshistory.st-andrews.ac.uk.

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Territorio Estudiante Volumen XIV. Número 2 23 / 25

genealogy.math.ndsu.nodak.edu

Si tomamos la lista de los miembros del Departamentode Matemáticas de la Universidad de Almería podemosencontrar a descendientes en línea de parentesco recta 18

de Weierstrass, Liouville, Laplace, Lagrange, Gauss, Eu-ler, Tonelli, Arzelà, Rey Pastor, Vigil, Klein, Lipschitz,

Dirichlet, Poisson, Fourier, Leibniz, Johann Bernoulli, etc.Seguro que hay muchos más y el lector disfrutará encon-trándolos.

Como curiosidad Weierstrass tiene 36 838 descendien-tes, de acuerdo a la web y en la fecha de escribir estareseña, y dirigió a 46 estudiantes, Euler tuvo sólo 6 estu-diantes pero tiene 126 858 descendientes gracias al prolíficoLagrange, Rey Pastor tuvo 14 estudiantes y 1312 descen-dientes, Tonelli tuvo 6 estudiantes y 632 descendientes, yasí podríamos seguir.

La web también nos enlaza a biografías en MacTutory, en su caso, a los datos de las personas en MathSci-Net 19. Otra información reseñable es el título de la tesis,el año de la defensa y la universidad donde se llevó a cabo.Por cierto, si eres doctor o doctora en Matemáticas y noapareces en la web puedes darte de alta a través de unformulario.

Reseña de Juan José Moreno BalcázarUniversidad de Almería

TERRITORIO ESTUDIANTE

Matemáticas ocultas tras el virusAlberto Díaz LópezCelia Barbero NavarroDelia Sola MolinaEstudiantes del Grado en Matemáticas de la UAL

Continuamente escuchamos datos sobre el coronavirusque difícilmente toda la población llega a comprender. Elanumerismo tiene un papel muy importante, convirtiendouna sociedad en un blanco fácilmente manipulable. ¿De-bemos creernos todo lo que vemos? ¿Son ciertos los datosy estadísticas que difunden los medios? ¿Qué papel jueganlas matemáticas en esta pandemia?

Nuestro objetivo es conocer el virus desde el punto devista de las matemáticas y ser capaces de asimilar la infor-mación de nuestro alrededor de forma rigurosa. Tambiénveremos el papel fundamental que desempeñan las mate-máticas en el tratamiento de datos.

Por un lado, en cuanto al análisis de datos, esta pan-demia mundial se muestra, día a día, a través de números,su evolución se mide con gráficos, los afectados se reflejanen cifras y las incertidumbres en hipótesis matemáticas.La diferencia con las matemáticas que conocemos es queestos no son simples cálculos, detrás de cada número hayuna historia.

El recuento diario de infectados, hospitalizados, falle-cidos y curados por la COVID-19 son números que puedenleerse de dos maneras: como cifras absolutas (con las quesabemos cuánta gente hay en cada uno de los escenarios)o como parte de una tendencia. Así podríamos calcular elincremento de los casos diarios, pero para esto se necesitatiempo.

Para entender la evolución de la enfermedad en nues-tro país existen muchos tipos de indicadores, entre ellosestá la tasa de crecimiento de la epidemia (el incrementoporcentual de casos) o el número reproductivo básico (elpromedio de casos secundarios causados por una personainfectada).

Todo esto forma parte de las matemáticas que nos ayu-dan a entender el presente y el futuro de la COVID-19.Pues, disponemos de información «en tiempo real» sobrela evolución de los afectados y tenemos modelos matemá-ticos que nos permiten predecir qué puede pasar de aquía unos días.

Pero en esta situación es donde necesitamos informa-ción epidemiológica correcta para poder dar resultados fia-bles. Sin embargo, las incógnitas sobre la enfermedad y elcaos en los datos dificultan la elaboración de los modelosmatemáticos para predecir la evolución de la enfermedad.

Los modelos predictivos se intentan construir a pesarde estas limitaciones que existen. Y es que, hoy por hoy,no se sabe con absoluta certeza qué tiempo pasa desdeque una persona se contagia hasta que empieza a mostrarsíntomas de la enfermedad. O durante cuánto tiempo unapersona afectada puede transmitir el virus (incluso si hadejado de tener síntomas).

Las predicciones basadas solo en el conocimiento dela enfermedad suelen ser poco realistas, pero sirven paraestudiar la influencia de las medidas de control. Por otrolado, también se trabaja con simulaciones basadas en da-tos reales de la epidemia para predecir su comportamiento

18es.wikipedia.org/wiki/Línea_de_parentesco.19mathscinet.ams.org/mathscinet.

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pasado y futuro. Estas son más realistas, pero hay que te-ner muchísimo cuidado al interpretarlas.

Cuantas más variables se introduzcan en el estudio ymás se intente alargar el plazo de las predicciones, mayores el margen de error. De ahí que algunos pronósticos amuy largo plazo acaben dando resultados poco reales.

Como todo estudio muestral, siempre debemos tomartodos los datos en la misma situación y circunstancias pa-ra que los resultados obtenidos en estos métodos sean lomás certeros posibles.

Por otro lado, veamos un ejemplo más práctico de co-mo las matemáticas podrían ayudar en algo tan concretocomo en la adaptación personal de cada hisopo nasofarín-geo (utilizado para detectar la COVID-19).

Gracias a un estudio del Instituto de Micro Tecnolo-gía y Tecnología de Dispositivos Médicos de la Univer-sidad Técnica de Múnich, Alemania, se han desarrolladohisopos nasofaríngeos específicos para cada individuo, pa-ra así minimizar el dolor que pueden llegar a causar.

Para ello, se mide la longitud del meato nasal inferior,que llamaremos l, y el diámetro de este que lo denomina-remos d, ya que será por este conducto por donde pase elhisopo.

Se llegó a la conclusión de que para que la varilla causa-ra el menor daño posible y recogiese la muestra suficiente,el diámetro de la cabeza debía ser d, y su longitud de0,25l. Además, el diámetro y la longitud del cuello eran 1

mm y 0,5l y el cuerpo debía tener un diámetro d, para noatorarse en la apertura de las fosas nasales.

El punto de rotura se parte para enviar la muestra allaboratorio, es por esto por lo que la distancia entre lapunta de la cabeza de la varilla y el punto de rotura es l,para evitar que la varilla se rompa dentro de la nariz.

Este es un caso en el que podemos ver una aplicaciónmás cercana, sencilla y, a su vez, útil de las matemáti-cas. De esta forma vemos que las matemáticas pueden serde gran utilidad tanto en temas de salud como en otrosámbitos.

Sin embargo, no debemos dejar de lado que todavía,hoy en día, encontramos situaciones en las que se le siguedando un mal uso a las matemáticas, en concreto en estapandemia.

Por ejemplo, en Chile se obtuvo un recuento de losfallecidos mal expresado: se estaban contabilizando a losfallecidos por COVID-19 como «recuperados». Se especi-ficó que los «recuperados» eran las personas que habíancumplido 14 días desde el diagnóstico o que desgraciada-mente habían fallecido.

Puede sonar extraño, pero contar a los muertos como«recuperados» forma parte del modelo matemático que seencuentra en la base de la mayoría de los simuladores usa-dos para mostrar cómo la enfermedad provocada por elnuevo coronavirus se esparce por el mundo.

Otras personas en vez de «recuperados» prefieren decir«pacientes que han dejado de ser contagiosos». Pero claro,una persona de la calle que escucha el término recuperadonunca pensaría que puede haber una connotación negativadetrás.

Otro error que se comete y que puede hacer que loscálculos fallen es el hecho de tomar datos de forma dife-rente, es decir, que cada espacio muestral cambie.

Un claro ejemplo es que cada comunidad autónoma,región o país está recogiendo los datos de manera diferen-te y, por lo tanto, el resultado no es igual, pero se tiene encuenta como si fuera el mismo.

Para contabilizar las muertes en Alemania solo se tie-nen en cuenta los fallecidos por el virus sin patologías pre-vias. Sin embargo, en España se contabilizan el total depacientes fallecidos con un diagnóstico positivo. En Fran-cia, a la hora de ver los positivos, solo se registran loshospitalizados, mientras que aquí se tienen en cuenta eltotal de personas que han dado positivo en un test.

Esta diversidad de criterios complica todavía más elestudio de esta situación. Por esto, muchos métodos noson lo suficientemente eficaces, o, mejor dicho, válidos.

Si hay que sacar una lección en claro de todo esto esque, sobre todo en momentos de crisis, es imprescindibletener datos claros y fiables sobre lo que está pasando parapoder desarrollar herramientas de control.

Así pues, las matemáticas vuelven a sorprendernos enotro aspecto en el que no pensábamos que podrían serútiles; pues la gran verdad es que son importantes en casitodo, llegando a desempeñar un papel fundamental en lalucha contra la COVID-19. Sin embargo, en ocasiones, unuso incorrecto de ellas puede generar confusiones llegandoincluso a dificultar los estudios y el tratamiento de datos.

Démosles a las matemáticas un buen uso, ¡las necesi-tamos!

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Referencias

[1] Ana Pais (2020). Modelos matemáticos de coronavi-rus: por qué el más popular para predecir la curva delcovid-19 considera a los muertos como «recuperados».BBC NEWS 20.

[2] Valentina Raffio (2020). Los números para entender

cómo evoluciona la pandemia de coronavirus. El Pe-riódico 21.

[3] Y. Sun, A. Mercader y T. C. Lueth (2020) Designof 3D-printable nasopharyngeal swabs in MatLab forCOVID-19 testing. Infinite Science Publishing 22.

Responsables de las secciones

2 Actividad Matemática en la UAL

Actividades organizadas : Helena MartínezPuertas (hmartinez@ual.es) y Sergio MartínezPuertas (spuertas@ual.es).

Entrevistas e investigación : Juan José MorenoBalcázar (balcazar@ual.es) y Fernando RecheLorite (freche@ual.es).

Foro abierto y preguntas frecuentes : InmaculadaLópez García (milopez@ual.es).

2 De la Enseñanza Media a la EnseñanzaUniversitaria

Experiencias docentes : David Crespo Casteleiro(davidcasteleiro@hotmail.com), Nuria PardoVidal (penuria@gmail.com) y Aurora SánchezGordo (aurosanchezg@gmail.com).

Enseñanza bilingüe : Daniel Prados Torrecillas(plurilinguismo.dpal.ced@juntadeandalucia.es).

2 Divulgación Matemática

La Historia y sus personajes : Enrique de AmoArtero (edeamo@ual.es), Florencio CastañoIglesias (fci@ual.es) y Blas Torrecillas Jover(btorreci@ual.es).

Concurso de problemas : Alicia María JuanGonzález (ajuan@ual.es), Juan Carlos NavarroPascual (jcnav@ual.es) y Miguel Ángel SánchezGranero (misanche@ual.es).

Las Matemáticas aplicadas en otros campos :Manuel Gámez Cámara (mgamez@ual.es), Juan

Antonio López Ramos (jlopez@ual.es), FranciscoLuzón Martínez (fluzon@ual.es) y AntonioSalmerón Cerdán (asalmero@ual.es).

Mujeres y matemáticas : Isabel María OrtizRodríguez (iortiz@ual.es) y Maribel RamírezÁlvarez (mramirez@ual.es).

Cultura y matemáticas : José Luis RodríguezBlancas (jlrodri@ual.es) y José Ramón SánchezGarcía (jramon_sg@hotmail.com).

Lecturas recomendadas sobre divulgaciónmatemática : Antonio Morales Campoy(amorales@ual.es) y Fernando Reche Lorite(freche@ual.es).

Páginas web de interés : José Carmona Tapia(jcarmona@ual.es) y José Escoriza López(jescoriz@ual.es).

Citas matemáticas : Alicia María Juan González(ajuan@ual.es) y Fernando Reche Lorite(freche@ual.es).

Pasatiempos y curiosidades : Juan RamónGarcía Rozas (jrgrozas@ual.es) y José AntonioRodríguez Lallena (jarodrig@ual.es).

Acertijos : Juan Carlos Navarro Pascual(jcnav@ual.es).

2 Territorio Estudiante: Celia Barbero Navarro(celiabarnav3.cbn@gmail.com), Alberto Díaz Lopez(adl151@inlumine.ual.es) y Delia Sola Molina(deliasola2000@gmail.com).

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20www.bbc.com/mundo/noticias-52455414.21www.elperiodico.com/es/ciencia/20200413/numeros-entender-coronavirus-covid19-matematicas-modelos-predictivos-7924021.22journals.infinite-science.de/index.php/ammm/article/view/462/201.

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