ANALISIS ENERGTICO DE SISTEMAS ABIERTOS

ANALISIS ENERGTICO DE SISTEMAS ABIERTOS

CONSERVACIN DE LA MASA PARA UN VOLUMEN DE CONTROL:

Aqu conoceremos el principio de conserva in de la masa para los volmenes de control. Modelo de flujo unidimensional.

DESARROLLO DEL BALANCE DE MATERIA:

m e = masa entrada (ingreso)

m s = masa salida

m v.c. = masa volumen de control

t = tiempo.

Ilustracin 1

(4.1a)

Ilustracin 2

En el esquema se muestra un sistema constituido por una cantidad fija de materia (m) que ocupa diferentes regiones del espacio en el tiempo (t) y en el tiempo posterior (t + t).

Durante el tiempo (t), la cantidad de masa bajo consideracin es la suma:

(m= m vc(t) + me)

Donde:

m v.c.(t) = masa contenida en el v.c.

me = masa contenida en la regin ( e ) adyacente al vc. ; (Como la fig 4.1a )

Vamos a estudiar la cantidad prefijada de materia (m) en el transcurso del tiempo.

En el intervalo de tiempo t toda la masa presente en la regin (e) atraviesa la frontera del v.c., mientras que algo de la masa, llammosla ms, inicialmente contenida en el v.c., sale para rellenar la regin (s) adyacente al v.c., como la figura (4.1b)

En el tiempo (t + t) la cantidad de masa bajo consideracin puede expresarse como:

(m = m vc (t +t ) + m s)

Igualando ambos trminos (aunque el sistema ocupara diferentes regiones del espacio en diferentes instantes de tiempo, siempre consiste en la misma cantidad de materia.)

m v.c. (t)+ me = m v.c. (t+t) + ms ; m v.c. (t+t) - m v.c. (t) = me ms

Masa que entra igual a la masa que sale.

Si lo expresamos por unidad de tiempo

m v.c. (t+t) - m v.c. (t) = me ms

t t t

Velocidad media de cambio masa que atraviesa la frontera

de masa en el v.c. durante t del v.c.; Valores medios de flujo msico en t.

A partir de aqu podemos obtener la velocidad instantnea: cuando t 0

.. ()

Expresa la velocidad de cambio de masa contenida en el v.c. en (t)

. (I)

; Para varias entradas y salidas.

Tambin:

(mv.c. = )

FORMAS DEL BALANCE DE MATERIA

Resulta conveniente expresar el balance de masa en trminos de las propiedades locales. Para ello, la masa total contenida en el vc en el instante t se relaciona con la densidad local como sigue:

m v.c.(t) =

C = velocidad

dA = diferencial de rea

t = intervalo de tiempo

Cn = componente relativa normal de la velocidad a dA en la direccin del flujo.

Cn t

c t

Volumen de

materia

da = dA

Esquema empleado para desarrollar la expresin del flujo

msico en trminos de las propiedades locales del fluido.

Aplicado a todas las entradas y salidas.

Cn = velocidad msica que expresa por unidad de rea.

Flujo Unidimensional

1) flujo es normal a las reas de la frontera por donde entra o abandona el V.C.

2) todas las propiedades intensivas, incluyendo velocidad y densidad son uniformes con la posicin (en valores medios globales) sobre cada rea de entrada o salida atravesada por el flujo en trminos de volumen especfico.

Donde flujo volumtrico o caudal.

De la ecuacin (I)

; Para todas las entradas y salidas flujo unidimensional. ve y vs = volumen especifico.

; Cuando t 0 en (). En un sistema estacionario sea que todas las propiedades son invariables con el tiempo.

CONSERVACIN DE LA ENERGA PARA UN V.C.

Balance de Energa para un V.C.

Nota: en el tiempo t pueden existir transferencias de energa por calor y trabajo.

El principio de conservacin de la energa para un V.C. puede introducirse usando la figura mostrada en la cual se muestra un sistema constituido por una cantidad prefijada de materia (m) que ocupa diferentes regiones en el instante (t) y en un instante posterior ( t + t).

En el tiempo t, la energa del sistema bajo consideracin es:

. (1)

Donde:

: es la suma de las energas interna, cintica y potencial de la masa contenida por el V.C. en el tiempo t.

y : : contabiliza la energa asociada con la masa me contenida en la regin e de entrada adyacente al V.C.

: de la energa especifica de la masa ( me )

En el intervalo de tiempo t toda la masa de la regin ( e ) cruza la frontera del V.C. mientras una cierta cantidad de masa m s inicialmente presente en el V.C. lo abandona para rellenar la regin S.

Durante este intervalo pueden desarrollarse transferencias de energa a/o desde el sistema bajo consideracin en forma de calor trabajo.

..(2)

Observando que la masa y la energa contenidas en el V.C. pueden haber cambiado en el considerado y que las me y ms no son necesariamente iguales ni tampoco lo son sus energa especificas.

Nota: para el caso me y ms se han supuesto uniformes

Aunque la m total bajo consideracin ocupa diferentes regiones del espacio en tiempos distintos, se trata de al misma cantidad de materia.

Entonces: Puede aplicarse el balance de energa para un sistema cerrado.

----- (3) ; aplicando primera ley

U

Reemplazando en esta ecuacin las ecuaciones (1) y (2)

Reordenando:

Dividiendo entre t:

Se considera cuando t0

donde : ; es la velocidad instantnea con que cambia la energa contenida en el V.C.

Conforme t0 ; las fronteras del sistema y del V.C. tienden a coincidir y por lo tanto el calor y el trabajo transferido al sistema es tambin el transferido al V.C. en el limite.

Son flujos de energa transferida mediante calor y trabajo que cruzan la frontera del V.C. en el instante t.

Finalmente:

: son los flujos de materia

; Son la energa especfica de la materia que fluye a la entrada y salida del V.C.

(3)

Esta ecuacin muestra que adems de calor y trabajo, existe otra forma de energa que puede trasferirse a travs de al frontera de un V.C. mediante la energa pero acompaa a la masa que entra o sale del mismo.

Para flujo unidimensional

Si no existe transferencia de masa

Se evala como sistema cerrado.

TRABAJO PARA UN VOLUMEN DE CONTROL

En el V.C siempre se intercambia W a travs de las partes de su frontera atravesados por flujos de materia.

Consideraciones:

W asociado con la presin del fluido cuya masa se introduce en las entradas y se evacua en las salidas.

WVC. Incluye todos los otros efectos del trabajo, como los asociados con ejes relativos, desplazamiento de la frontera, efectos elctricos, magnticos y de tensin superficial.

Luego:

PS = Presin

AS = rea

CS = Velocidad

P C son uniformes con la posesin a lo largo y ancho del rea en que se desarrolla el flujo.

* De igual forma para la entrada (Pe Ae)Ce

Como:

m =

la ecuacin anterior se puede expresar:

FORMAS DEL BALANCE DE ENERGA PARA VC

Reemplazando la ecuacin: 5 en la ecuacin 3

Pero: u + P v = h : por simplificacin del balance de energa

.. (6)

.. (7)

Forma ms general del principio de conservacin de la energa para V.C.

EVC(t), que representa la energa total contenida en el volumen de control en el instante (t) debe escribirse como una integral de volumen.

EVC(t) = ;donde: e = energa

Luego: se puede expresar: la transferencia de energa asociada a los flujos.

ANLISIS DE V.C. EN ESTADO ESTACIONARIO (FEES)

(Proceso de Estado Estable y Flujo estable)

Se aplica a varios equipos de inters como son toberas, turbinas, compresores e intercambiadores de calor, etc.

Para situacin estacionaria no son aplicables en los periodos de operacin de arranque y parada de dichos equipos.

BALANCE DE MATERIA Y ENERGA EN ESTADO ESTACIONARIO

La condicin de la masa contenida en el V.C y la frontera no varia con el tiempo.

Los flujos de masa y los flujos de energa trasferida mediante calor y trabajo son tambin constantes en el tiempo.

No puede producirse una acumulacin de masa dentro del V.C.

El principio de conservacin de la materia toma la forma

Adems en estado estacionario:

la ecuacin (7) la podemos escribir

Y tambin:

Flujo de energa entrante = flujo de energa saliente.

PROCESO DE ESTADO UNIFORME Y FLUJO UNIFORME (FEUS)

Suposiciones:

1. El V.C. permanece cte. Con relacin al marco coordenado.

2. El estado de la masa que cruza el V.C. es cte. Con el tiempo y uniforme sobre las reas de la superficie de control donde ocurro el flujo.

3. El estado de la masa dentro del V.C. podr cambiar con el tiempo, pero en cualquier instante el estado es uniforme en todo el V.C.

de la ecuacin de continuidad.

1.-

Podemos escribirla:

2.-

Donde la suma; incluye todas las reas de la superficie de control donde ocurre el flujo.

Integrando:

3.-

La masa que sale de V.C. durante el tiempo t es:

4.-

Y la masa que entra al V.C. durante el tiempo t es:

5.-

Por lo tanto podemos escribir la ecuacin de continuidad relativa al proceso FEUS

6. -

Al escribir la 1era ley para FEUS (Proceso Estado Uniforme y Flujo Uniforme)

Consideramos que:

7.-

Con el supuesto anterior podemos escribir:

Luego: la ecuacin 7 queda:

8.-

Integrando en el tiempo t obtenemos:

DISPOSITIVOS DE ESTRANGULAMIENTO

Normalmente se produce la reduccin significativa de la presin. Por lo comn la resistencia al flujo se realiza por medio de una vlvula parcialmente abierta o de un tapn poroso.

RESUMEN DEECUACIONES PARA FEES Y FEUS

FEES:

FEUS:

C

A

m

r

=

o

u

C

A

m

=

o

u

o

m

C

A

=

s

m

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m

dt

dm

o

o

vc

-

=

(

)

(

)

=

=

-

+

=

salida

y

entrada

la

a

Evaluados

especifi

Volumenes

v

y

v

masisos

flujos

m

y

m

donde

v

P

m

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P

m

W

W

e

s

e

s

e

e

e

S

S

s

VC

.

cos

:

)

5

..(

..........

o

o

o

o

o

o

&

+

+

+

-

+

+

+

+

-

=

S

S

S

S

s

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e

e

e

e

e

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VC

VC

gZ

C

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P

m

gZ

C

v

P

m

W

Q

dt

dEvC

2

)

2

(

2

2

m

m

o

o

o

o

.

.

.

frontera

la

de

traves

a

calor

de

ia

tranferenc

de

velocidad

la

con

coincide

este

que

enfatizar

para

Q

a

aade

se

C

V

o

+

+

-

+

+

+

-

=

S

S

s

s

e

e

e

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VC

VC

gZ

C

h

m

gZ

C

h

m

W

Q

dt

dEvc

2

)

2

(

2

2

+

+

-

+

+

S

+

-

=

S

S

s

s

e

e

e

e

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VC

VC

gZ

C

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m

gZ

C

h

m

W

Q

dt

dEvc

2

)

2

(

2

2

o

o

o

o

dv

gz

C

dv

e

V

V

+

+

=

2

2

m

r

r

(

)

+

+

S

-

+

+

S

+

-

=

=

A

S

s

e

A

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VC

VC

V

dA

Cn

gz

C

h

dA

Cn

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C

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W

Q

dv

e

dt

d

dt

dE

r

r

r

)

2

(

)

)

2

(

2

2

o

o

gz

C

e

+

+

=

2

2

m

0

=

dt

dmvc

=

S

S

e

e

m

m

o

o

-

=

s

o

e

o

vc

ms

e

m

dt

dm

0

=

dt

dEvc

)

2

(

)

2

(

0

2

2

s

s

s

s

s

e

e

e

e

e

VC

VC

gz

C

h

m

gz

C

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m

W

Q

+

+

S

-

+

+

S

+

-

=

o

o

o

o

)

2

(

)

2

(

2

2

s

s

s

s

s

VC

e

e

e

e

e

VC

gz

C

h

m

W

gz

C

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Q

+

+

S

+

=

+

+

S

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o

o

o

o

=

-

A

r

V

dA

Cos

V

dv

dt

d

0

a

r

r

=

-

+

0

i

e

m

m

dt

dmvc

o

o

(

)

.

.

1

2

0

)

(

c

v

t

m

m

dt

dt

dmvc

-

=

=

e

t

e

m

dt

m

0

o

(

)

=

i

t

i

m

dt

m

0

-

=

).

(

tan

)

(

tan

)

(

t

te

ins

el

en

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del

sale

que

total

msico

Flujo

t

te

ins

el

en

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al

entra

que

total

msico

Flujo

t

insante

el

en

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el

en

contenida

masa

la

de

cambio

de

Velocidad

(

)

-

=

-

i

e

c

v

m

m

m

m

.

.

1

2

.

.

cos

)

2

(

2

c

v

W

dA

Vr

gz

C

h

dv

e

dt

d

Qvc

A

V

o

+

+

+

+

=

a

r

r

(

)

.

2

)

(

.

2

.

.

c

v

C

V

e

gz

C

m

dt

d

m

dt

d

dv

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dt

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+

+

=

=

m

r

+

+

-

+

+

=

+

+

gz

V

h

m

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C

h

m

dA

Vr

gz

C

h

i

i

i

e

e

e

A

2

2

cos

)

2

(

2

2

2

o

o

a

r

(

)

c

v

e

e

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i

i

i

gz

C

m

dt

d

gz

C

h

m

vc

W

gz

C

h

m

vc

Q

.

2

2

2

2

2

2

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

m

o

o

o

o

(

)

.

.

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

c

v

gz

C

m

gz

C

m

gz

C

h

m

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W

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C

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mi

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Q

e

e

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i

i

i

+

+

-

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

m

m

o

o

o

o

i

i

s

s

vc

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ep

ec

h

m

ep

ec

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W

Q

).

(

).

(

+

+

-

+

+

+

=

o

+

+

-

-

+

+

+

+

-

+

+

+

=

i

i

s

s

vc

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eh

ec

h

m

ec

ep

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m

ep

ec

u

m

ep

ec

u

m

W

Q

)

(

)

(

)

(

).

(

1

1

2

2

-

s

e

ms

me

v

dv

r

v

m

v

m

r

r

=

=

0

:

)

(

int

D

D

D

D

=

D

D

t

cuando

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entre

dividiendo

t

dA

t

cn

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tiempo

de

ervalo

el

durante

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atravieza

que

masa

de

Cantidad

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=

=

A

o

dA

cn

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dA

cn

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atravieza

que

masa

de

teo

ins

flujo

r

r

tan

(

)

(

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-

=

e

s

s

e

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dA

Cn

dA

Cn

dv

dt

d

r

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m

AC

m

.

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=

v

AC

m

=

=

v

AC

m

V

v

v

m

=

=

seg

m

seg

m

m

C

A

v

3

2

.

=

=

=

-

=

e

s

s

e

VC

v

Cs

As

v

Ce

Ae

dt

dm

0

=

dt

dm

vc

=

s

s

e

m

e

m

)

2

(

2

)

(

)

(

e

e

e

e

t

VC

t

gZ

C

u

m

E

E

+

+

+

=

e

t

VC

E

)

(

)

2

(

2

e

e

e

e

gZ

C

u

m

+

+

)

(

)

(

)

(

2

s

s

s

s

gZ

C

u

m

t

t

Evc

t

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E

+

+

+

D

+

=

D

+

t

D

W

Q

t

E

t

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E

-

=

-

D

+

)

(

)

(

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Q

u

-

=

D

W

Q

gZ

Cs

u

m

E

gZ

Cs

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t

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E

e

s

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VC

s

s

s

VC

-

=

+

+

+

-

+

+

+

D

+

2

2

)

(

2

)

(

2

+

+

-

+

+

+

-

=

-

D

+

s

s

s

e

s

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t

VC

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gZ

Cs

u

m

gZ

Cs

u

m

W

Q

E

t

t

E

2

2

)

(

2

2

)

(

t

gZ

C

u

m

t

gZ

C

u

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W

t

Q

t

E

t

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E

s

s

s

s

e

e

e

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VC

VC

D

+

+

-

D

+

+

+

D

-

D

=

D

-

D

+

2

2

)

(

2

2

)

(

dt

dE

t

E

E

VC

t

VC

t

t

VC

t

=

D

-

D

+

D

)

(

)

(

0

lim

dt

dm

t

t

vc

=

D

D

+

D

vc(t)

m

-

t)

(t

vc

m

0

lim

dt

dE

VC

D

=

D

Q

t

Q

t

0

lim

D

=

D

W

t

W

t

0

lim

:

:

W

Q

+

+

=

D

+

+

D

e

e

e

e

e

e

e

e

t

gZ

C

u

m

t

gZ

C

u

m

2

2

lim

2

2

0

+

+

=

D

+

+

D

s

s

s

s

s

s

s

s

t

gZ

C

u

m

t

gZ

C

u

m

2

2

lim

2

2

0

s

e

m

y

m

e

e

e

gZ

C

u

+

+

2

2

s

s

s

gZ

C

u

+

+

2

2

+

+

-

+

+

+

-

=

s

s

s

s

e

e

e

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VC

gZ

C

u

m

gZ

C

u

m

W

Q

dt

dE

2

2

2

2

s

m

t

ms

o

t

e

m

t

me

o

t

o

o

=

D

D

=

D

D

lim

lim

-

=

W

Q

dt

dE

VC

0

2

2

=

+

+

gZ

C

u

m

(

)

S

S

S

C

A

P

=

salidas

las

en

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el

desde

o

por trabaj

energica

de

ncia

transfere

de

Velocidad

(

)

(

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-

+

=

positivo

salida

W

y

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entrada

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signos

de

convencion

Por

C

A

P

C

A

P

W

W

e

e

e

S

S

S

VC

)

4

........(

..........

o

o