viga fundacion elastica
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RSM/2009 1 VIGA SOBRE FUNDACION ELASTICA Consideremos una viga de largo infinito apoyada sobre todo su largo sobre una fundación elástica. Se aplica una carga puntual P en el origen de los ejes x,y,z. La carga provoca que la viga se deflecte, lo que a su vez desplaza la fundación elástica. Como resultado, una fuerza distribuida se desarrolla entre la viga y la fundación. Por lo tanto, relativa a la viga, la rigidez de la fundación produce una fuerza uniformemente distribuida q en la viga. Para esta deducción, la fuerza q se toma positiva cuando actúa hacia arriba. Cuando la deflexión de la viga es hacia abajo (positiva), el suelo es comprimido y empuja hacia arriba la viga (q positivo). Cuando la deflexión es hacia arriba (negativa), se produce tensión en el suelo.
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RSM/2009 1
VIGA SOBRE FUNDACION ELASTICA
Consideremos una viga de largo infinito
apoyada sobre todo su largo sobre una
fundación elástica. Se aplica una carga
puntual P en el origen de los ejes x,y,z. La
carga provoca que la viga se deflecte, lo
que a su vez desplaza la fundación
elástica. Como resultado, una fuerza
distribuida se desarrolla entre la viga y la
fundación. Por lo tanto, relativa a la viga, la
rigidez de la fundación produce una fuerza
uniformemente distribuida q en la viga.
Para esta deducción, la fuerza q se toma
positiva cuando actúa hacia arriba. Cuando
la deflexión de la viga es hacia abajo
(positiva), el suelo es comprimido y empuja
hacia arriba la viga (q positivo). Cuando la
deflexión es hacia arriba (negativa), se
produce tensión en el suelo.
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Consideremos el diagrama de cuerpo libre de un elemento de viga delimitado por dos secciones
transversales distanciadas en ∆z. Para el convenio de signos indicado, y pequeños desplazamientos
se obtienen las siguientes relaciones diferenciales:
Para una fundación elástica lineal, la carga distribuida q es proporcional a la deflexión de la viga: q =k y
Donde el coeficiente de resorte k puede escribirse como: k= b k0
En que b es el ancho uniforme de la viga y k0 es el módulo de la fundación (Westergaard's modulus)
cuyas dimensiones son [F/L3]. Cuando la viga descansa sobre una capa de suelo, el módulo de la
fundación puede ser altamente variable. A menudo en diseño de fundaciones de edificios, las
estimaciones iniciales del módulo k0 se basan en descripciones cualitativas del suelo o algún
conocimiento de la resistencia a compresión no confinada qu.
Tipo de suelo Rango de k0 [N/mm3]
Arena suelta 0.005 – 0.016
Arena media 0.010 – 0.080
Arena densa 0.063 – 0.126
Arena arcillosa (media) 0.031 – 0.080
Arena limosa (media) 0.024 – 0.048
Arcilla, qu < 0.2 N/mm2 0.012 – 0.024
Arcilla, 0.2 N/mm2<qu < 0.4 N/mm2 0.024 – 0.048
Arcilla, qu > 0.4 N/mm2 > 0.048
Valores de módulo de suelo para arenas y arcillas
La ecuación diferencial de la viga sobre fundación elástica está dada por:
Definiendo
La solución general puede expresarse como:
Esta ecuación representa la solución general para la respuesta de una viga de largo infinito sobre una
fundación elástica sometida a una carga puntual. Las constantes se determinan por las condiciones de
borde. Como las deflexión tiende a cero para valores grandes de z, las constantes C1 y C2 son cero, y
la ecuación anterior se reduce a:
Para determinar las dos constantes en el caso de una viga con carga puntual, usamos las siguientes
condiciones: a) la pendiente de la viga es cero bajo la carga debido a la simetría; b) la mitad de la carga P
debe ser soportada por la fundación elástica bajo la mitad de la longitud de la viga, especificada por
valores positivos de z. Se obtienen las relaciones:
en y
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
La condición de pendiente cero en z=0 en ecuación (5) implica C3=C4=C, por lo que la ec. (5) queda
como:
(7)
Sustituyendo (7) en (6) se obtiene: (8)
La ecuación para la deflexión de la viga queda como:
Esta ecuación es válida para valores positivos de z. para valores negativos, por simetría, y(-z)=y(z). La
pendiente, momento y corte se obtienen reemplazando ec. (9) en (1).
(9)
5
Como podemos aplicar lo que ya sabemos de métodos energéticos y elementos finitos en el análisis
de este tipo de problemas?
Para ello derivaremos, a través del principio de Energía Potencial Mínima una matriz de rigidez para
una viga apoyada sobre un medio elástico, la cual será luego implementada en una rutina de análisis
de vigas y marcos, y estudiaremos la convergencia a la solución teórica.
mi , θimj , θj
Vi Vj
E, I, A
x, u
y, v
k [N/mm2]
∫∫∫ −++=LLL
fvdxdxvkaxialdxvEI00
2
0
2
2
1)''(
2
1π
El funcional de energía potencial se puede escribir como:
Notar que aparece un término extra, el cual viene del trabajo hecho por la fundación elástica sobre la
viga deflectada. Si k es el coeficiente de rigidez del suelo o fundación, la fuerza restituyente del suelo
sobre un elemento diferencial de viga de largo dx es:
El trabajo hecho por esta fuerza es:kvdxvkdxF =⋅=
dxkvvkvdxW2
21
21 =⋅=
Asumiendo que EI es constante a través del largo del elemento, e ignorando los términos axiales, ya
que en un análisis lineal su contribución queda desacoplada de los términos del flexión, se tiene:
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∫∫∫ δ−δ+δ=δπL
0
L
0
L
0
VdxfVdxVkdx''V''VEI
[ ]
θ
θ=
2
2
2
1
1
1
4321
V
U
V
U
NN0NN0)x(V
⇒ U''N''V =
UNV δ=δ
U''N''V δ=δ
⇒ ∫∫∫ δ−δ+δ=δπL
0
L
0
L
0
UdxfNdx)UN)(NU(kdx)U''N)(U''N(EI
∫∫∫ δ−δ+δ=δπL
0
L
0
TTL
0
TTUdxfNNUdxNUkUdx''N''NUEI
elasticafundacion a debidoflexion a debido
0
elasticafundacion a debido
0
flexion a debido
0
''''
KKK
UdxfNUNdxNUkUdxNNUEIL
K
L
TT
K
L
TT
+=
−
+
= ∫∫∫ δδδδπ
434214434421
;
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Utilizando los polinomios de interpolación de Hermite, el primer término de esta ecuación corresponde
a la matriz de rigidez regular:
−
−−−
−
−
−
−
=
L
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EA
L
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EAL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EA
L
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EA
K
460
6120
00
260
6120
00
260
6120
00
460
6120
00
2
23
2
23
2
23
2
23
flexion a debido
−
−
−−
−
−
=
105210
110
210
11
35
130
000
140420
130
420
13
70
90
000140420
130
420
13
70
90
000
105210
110
210
11
35
130
000
32
2
32
2
32
2
32
2
elasticafundacion a debido
LL
LL
LL
LL
LL
LL
LL
LL
kK
El segundo término, luego de desarrollar las integrales, queda como:
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Se puede implementar esta matriz en una rutina de análisis de marcos planos. Porejemplo, para los siguientes valores numéricos:
Dividiendo la viga en dos elementos se obtiene:
P=100000; k=5000; E=29000000; I=100; L=480 in (largo total)
=0.02562288
En el centro, para x=0, la solución teórica para deflexión y momento dan:v= 0.2562288 inM=975690.34 lb-in
Momento en el centro: M= 1378948 lb-in
El error en la estimación de la deflexión máxima es de un 70.1%, y de 29.2 % en el cálculo del momento.???? Muy mala solucion. Es necesario discretizar más el modelode elementos finitos.
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