CAPÍTULO VIDEFORMACIONES DEBIDAS A LA FLEXIÓN

6.01) Relaciones Momento / Curvatura. Ecuaciones Diferenciales de la Curva Elástica

6.01.1) Introducción

Por acción de las cargas transversales, el eje geométrico de un elemento se flexiona a partir de su posición inicial.

Definición). Curva Elástica: Forma adoptada por el eje neutro longitudinal luego de aplicadas las cargas de flexión.

Generalmente las deflexiones son pequeñas comparadas con las dimensiones del elemento. Cada segmento (elemento de arco infinitesimal) de la Curva Elástica puede ser aproximado por un arco de circunferencia. El radio de este arco se denomina Radio de Curvatura (de la curva elástica).

Nota). Existe diferencia entre los ejes "y" y "u". El eje "y" ubica fibras materiales en la sección transversal. El eje "u" mide las flechas de la curva elástica.

6.01.2) Curvatura Elástica

Es conveniente determinar cuantitativamente la deformación del elemento debida a la flexión, esto es calcular la curvatura del eje geométrico. Consideremos un elemento en flexión pura positiva. Aislemos un elemento de "longitud unitaria". Se genera la deformación representada:

AA’=uA

A

A' A

uA: Flecha del punto A (Deflexión vertical del punto A)

A: Giro del punto A (Deflexión rotacional del punto A)

Curva Elástica

uO1

ρ1

X

El radio de curvatura es:ρ = EIZ / M

U: Mide “flechas” de la elásticaEje

deformado

Eje inicial

X

Y: ubica “fibras” en la sección transversal

Y

Y

Z

X

U

El valor de εx mide la deformación unitaria longitudinal y también el alargamiento de las fibras de longitud unitaria.

Las fibras longitudinales se transforman en arcos circulares concéntricos, de longitudes proporcionales a sus respectivos radios de curvatura.

Si ρ es el radio de curvatura del eje geométrico deformado, una fibra genérica separada del eje z la distancia y, sufre un alargamiento εx (puesto

que "1" es la longitud de referencia). Se verifica la relación:

1+ε x

1= ρ− y

ρ (ρ

< 0), de la cual obtenemos ε x=− y

ρ .Si el material es elástico de comportamiento lineal, entonces: x = E (- y/) (1).

Comparando la ecuación (1) con la Fórmula de la Flexión Elástica x = - M y / IZ, obtenemos - E y / = - M y / IZ, de donde:

1ρ= M

EI Z …(2)Ecuación que define la Curvatura Elástica debida a la flexión.

Definición): El producto EIZ se denomina Rigidez Flexional (tiene unidades de F-L2).

Definición): La ec. (2)

1ρ= M

EIZ , también mide el ángulo que giran dos secciones transversales separadas una longitud unitaria.

1

Línea

EJE NEUTRO

y<0

1

εXy

+

–

φ

11+εx

ρ–y

M M

1=

1ρ=ϕ= M

EI Z …(3)

1

Definición): El ángulo total de giro de una sección extrema del elemento,

respecto de la otra, se llama Ángulo Total de Giro: Φ=ϕL …(4)

dφ=M ( x )dx

EIZ

El ángulo total de giro entre dos secciones separadas una distancia L, en estos casos, será dado por la integral:

Φ=∫L

M ( x )EI Z

dx …(5)

La ecuación anterior también puede usarse para el caso de elementos con secciones variables, sometidos a flexión, en los cuales el momento, IZ, de inercia es variable.

Φ=∫L

M ( x )EI Z ( x )

dx …(5.1)

6.01.3) Ecuaciones Diferenciales de la Curva Elástica

La Curvatura Elástica:

1ρ= M

EI Z puede relacionarse con las flechas de la curva elástica.

Geométricamente, la curvatura es:

1ρ=

d2 ud2 x

[1+( dudx )

2]3 /2

Puesto que la curvatura elástica debe ser consistente con la curvatura geométrica, tenemos:

Nota: Si el momento flector, M, es variable a lo largo del eje geométrico M=M(x), entonces el ángulo de flexión correspondiente a dos secciones separa-das la distancia dx, es:

MM

L

d=dx

1ρ=dφ

dxPor la ec. (3):

MEI Z

=dφdx

V(x) V(x) + dV(x)

M(x) + dM(x)

M(x)

d

dx

y ELÁSTICA

uP (u, y)

MEI Z

=

d2ud2 x

[1+( dudx )

2]3/2

(1)Que constituye la ecuación diferencial de la curva elástica.

Para un caso particular: Conocida la relación:

MEI Z , por integración se

determinará la ecuación de la curva elástica u = u(x).

Para deformaciones infinitesimales, generalmente ≈0, con lo cual du/dx 0. Para estos casos, con suficiente aproximación puede considerarse:

MEI Z

=d2 udx2

(1.1)Para cada problema particular deben ser determinadas dos constantes de integración, mediante las denominadas Condiciones Iniciales (o Condiciones de Frontera).

Notas)i) Si la rigidez flexional EIZ es constante, y asimismo es constante el

momento flector M, se comprueba que la "Curva Elástica Exacta" es un arco de circunferencia, mientras que la "Curva Elástica Aproximada" es un arco de parábola de segundo grado.

Integrando la ec. (1) obtenemos un arco de circunferencia como solución general.Integrando la ec. (1.1) obtenemos un arco de parábola como solución general.

Ecuación diferencial no aproximada:

MEI Z

=

d2 udx 2

[1+(du /dx ) 2]3/2=C

, haciendo

el cambio de variable du/dx = v, obtenemos

dvdx

(1+v2 )3/2=C

. Separando variables e integrando una vez, la variable v viene dada por

v=(Cx+K )

√1−(Cx+K )2 , siendo K una constante de integración. Integrando por segunda vez (con respecto a la variable u), obtenemos la solución general en la forma (u - uO)2+ (x - xO)2 = 1/C2, que corresponde a un arco de circunferencia.

Usando ahora la ecuación diferencial aproximada:

MEI Z

=d2 udx2

=C.

Integrando una vez obtenemos

dudx

= M xEI Z

+C1. Integrando por segunda

vez tenemos u=M x2

EI Z

+C1+C2, que corresponde a una parábola de

segundo grado.

ii) Teniendo en cuenta la relación diferencial

dM ( x )dx

=−V (X ), la ecuación

diferencial de la curva elástica puede reescribirse de varias maneras alternativas.

De la ec. (1.1) si la rigidez flexional EIZ es constante, obtenemos d3 udx3

= 1EI Z

dM ( x )dx ó equivalentemente

d3 udx3

=−1EI Z

V ( x )dx …(2). De la ec. (2),

d4 udx 4

=−1EI z

dV ( x )dx , si la rigidez flexional EIZ es constante. Recordando que

dV ( x )dx

=−q ( x ), la ecuación anterior se expresa:

d4 udx 4

= 1EI Z

q ( x ) …(3).

EJEMPLOS

1) Determinar ecuaciones para la pendiente y la deflexión vertical en cualquier punto de la viga representada. Considerar constante la rigidez flexional EIZ.

Integrando una vez: EI Z

dudx

=ω6

( L−x )3+C1

Como en x = 0 (empotramiento) no existe giro,

dudx

=0, la constante es

C1=−ωL3

6

Por tanto: EI Z

dudx

=ω (L−x )3

6−ωL3

6 …(**)

Integrando por segunda vez: EI z u=− ω

24¿¿

.Para x = 0, es u = 0 (extremo empotrado), luego C2 = ωL4/24. Finalmente, reemplazando en la ecuación (**) obtenemos la ecuación de

la curva elástica: EI Z u=− ω

24( L−x )4−ωL3

6x+ωL4

24 (***)

ω

ω

LA

L - x

V

Mx

Ecuación diferencial aproximada: d2 udx2

=M ( x )

EI Z …(*)

M ( x )=−ω

2(L−x )2

, reemplazando en (*), tenemos: d2 udx2

= 1EIZ

(−ω2 )(L−x )2

A partir de la ec. (**) se calculan los giros en cualquier punto de la elástica. A partir de la ec. (***) se calculan las flechas en cualquier punto de la elástica.

Así, para el extremo A:

De (**) obtenemos:

dudx

]x=L=1

EI Z[ ω

6(L−L )3−ωL3

6 ], es decir

θA=− ωL3

6 EI Z

De (***) obtenemos: uA=− ωL4

8 EI Z

2) Encontrar la ecuación de la curva elástica y la flecha en el extremo libre de la viga representada. Considerar constante la rigidez flexional EIZ.

Como existen dos tramos típicos, debemos integrar dos veces la ecuación diferencial (una vez para cada tramo típico).

Tramo AB: (0 ≤ x ≤ a) M(x) = Px – Pa

Tramo BC: (a ≤ x ≤ a + b) M(x) = 0

Notar que para ambos tramos la variable x se mide a partir del mismo origen (punto A).

Elásticas:

Tramo AB: EI Z

d2 udx2

=Px−Pa. Integrando dos veces:

EI z u=P6

x3− P2

ax2+C1 x+C2

Tramo BC: EI Z

d2 udx2

=Px−Pa. Integrando dos veces: EIZu = C3x + C4

Para determinar las cuatro constantes de integración, usamos las condiciones en el empotramiento y la característica de continuidad de la curva elástica.

Condiciones:En x = 0 debemos tener u = 0; u' = 0 (empotramiento en A). Luego se obtienen las constantes C1 = C2 = 0 (elástica del tramo AB).

En x = a, u y u' son únicas (condiciones de continuidad y derivabilidad). Obtenemos:

1EI Z

[ P6

x3+C1 x+C2−a2

Px2]x=a

= 1EI Z

[C3 x+C4 ]x=a (Continuidad en x = a)

1EI Z

[ P2

x2+C1−aPx ]x=a

= 1EI Z

[C3 ]x=a (Derivabilidad en x = a)

A BC

a b

P

Se plantean dos ecuaciones con dos incógnitas C3 y C4. Resolviendo el

sistema obtenemos: C3=−Pa2

2 , C4=

Pa3

6 . Por tanto, las elásticas son:

Tramo AB: u= 1

EI Z[ Px3

6− Pax2

2 ] Tramo BC:

u= 1EI Z

[− Pxa2

2+ Pa3

6 ]La flecha en el extremo libre es el valor de u cuando x = a + b (evaluado en la elástica del tramo BC). Obtenemos:

uc=1

EIZ[−Pa2( a+b )

2+ Pa3

6 ].

3) Usando la ecuación de la curva elástica pueden resolverse algunos problemas hiperestáticos en flexión.

La viga representada soporta una carga repartida uniforme ω0 = 10 lb/pie, y un momento concentrado M0 = 100 lb-pie. Calcular las reacciones externas y encontrar la ecuación de la curva elástica. Considerar constante la rigidez flexional EIZ; L=10'.

Sistema hiperestático externo (tres reacciones desconocidas y dos ecuaciones útiles del equilibrio).Momentos flectores: Tramo AB (0 ≤ x ≤ 5') M(x) = R1x – 5x2

Tramo BC (5' ≤ x ≤ 10') M(x) = R1x – 5x2 + 100

Ecuaciones diferenciales de la curva elástica: (notar que "x" se mide desde el punto A).

Tramo AB: EIZu" = R1x – 5x2 (1)Tramo BC: EIZu" = R1x – 5x2 + 100 (2) Integrando (1) y (2), obtenemos:

De (1): EI Z u '=

R1 x2

2−5 x3

3+C1

; EI Z u=

R1 x3

6−5 x4

12+C1 x+C2

(*)

De (2): EI Z u '=

R1 x2

2−5 x3

3+100 x+C3

; EI Z u=

R1 x3

6−5 x4

12+50 x2+C3 x+C4

(**)Incógnitas: R1, C1, C2, C3, C4

Condiciones:

En x = 5' u'AB = u'BC (Derivabilidad de la elástica)En x = 5' uAB = uBC (Continuidad de la elástica)

L/2L/2

ω0

M0

R2R1

MC

L/2L/2

ω0

M0

En x = 0 u = 0En x = L = 10' u = 0; u' = 0

Condiciones de borde

Reemplazando valores en las ecuaciones de condición, obtenemos el sistema:C2 = 0; C3 = –50R1+667; C4 = 333R1–7,510; C1 = 1,167–50R1; 5C1 = 83R1–2,920Resolviendo el sistema anterior, encontramos:

R1 = 26.3; C1 = –148; C2 = 0; C3 = –64.8; C4 = 1,247.9 (en lbs)Ecuaciones del equilibrio global:

R1 + R2 = 100

M c+100−102(10 )2+R1 (10)=0

De donde obtenemos:R1 = 73.7 lb; MC = 137 lb-pie

Curvas Elásticas: Reemplazando las constantes determinadas en las ecuaciones (*) y (**) y simplificando obtenemos:

Tramo AB: EI Z u=26 .3 x3

6−5 x 4

12−148 x

Tramo BC: EI Z u=26 .3 x3

6−5 x 4

12+50 x2−64 . 8 x+1247 . 9

4) La carga w es resistida por la fuerza repartida que se representa, fr, cuya magnitud es proporcional a la flecha de la curva elástica. Si la rigidez flexional EIz es constante, determinar la ecuación diferencial de la curva elástica.

La ecuación diferencial de la curva elástica es EI Z

d4 udx 4

=q (x ), donde: q(x)

= fr - ω; con la condición: fr = ku. Luego:

d4 udx 4

= kEI Z

u=− 1EI Z

senπxL

Haciendo el cambio de variable:

kEI Z

=λ2

, tenemos

d4 udx 4

−λ2 u=− 1EI Z

senπxL

Ecuación diferencial ordinaria, lineal, de cuarto orden, no homogénea con coeficientes constantes.

5) Determinar la flecha y la inclinación en el punto C de la viga representada. Considerar constante la rigidez flexional EIz.

L

ω=senπxL

fr

x

q

A B C

L/2 L/2

En la sección de empotramiento se generan dos reacciones una de fuerza vertical () y otra de momento ( ) cuyos valores son: R1 = qL/2; R2 = 3qL2/8.

Tramo AB: M ( x )=qLx

2−3 qL2

8 , elástica: EI Z u1= { { ital qLx } over {2} } - { {3 ital qL rSup { size 8{2} } } over {8} } } { ¿

Integrando dos veces obtenemos: EI Z u1=

qLx3

12−3 qL2 x2

16+C1 x+C2

…(*)Condiciones para determinar las constantes de integración: u1(0) = u1' (0) = 0.Imponiendo dichas condiciones, encontramos: C1 = C2 = 0. Luego, para

el tramo AB, la ecuación de la curva elástica es: EI Z u1=

qLx3

12−3 qx 2 L2

16 …(*.1)

Tramo BC: M ( x )=qLx

2−3 qL2

8−

q ( x−0 . 5 L )2

2

Elástica: EI Z u rSub { size 8{2} } = { { ital qLx} over {2} } - { {3 ital qL rSup { size 8{2} } } over {8} } - { {q \( x - 0 . 5L \) rSup { size 8{2} } } over {2} } } { ¿

. Integrando dos veces, encontramos:

EI Z u2=qLx3

12−3 qL2 x2

16−

q (x−0 .5 L)2

24+C3 x+C4

…(**)Condiciones para determinar las constantes de integración C3 y C4: Continuidad y derivabilidad en B: u1(L/2) = u2(L/2); u1'(L/2) = u2'(L/2).

Reemplazando estas condiciones en la ecuación (**), obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo dicho sistema, encontramos: C3 = C4 = 0.

Ecuaciones de la curva elástica:

u( x )= 1EI Z

( qLx3

12−3 qL2 x2

16); (0 ≤ x ≤ L/2)

u( x )= 1EI Z

[ qLx3

12−3 qL2 x2

16−

q ( x−0 .5 L )4

24 ]; (L/2 ≤ x ≤ L)

Calculando u2' (L), obtenemos el giro en el punto C: θC=− 7 qL3

48 EI Z . Calculando el valor u2(L), obtenemos la flecha en el punto C:

uC=−41 qL4

384 EI Z .

6) Para la viga representada, determinar la ecuación de la curva elástica, el giro y la flecha en la articulación C. La rigidez flexional del tramo ABC es EIZ y la del tramo CD es 2EIZ.

Para los tres tramos la variable x se medirá desde el punto A.

Tramo AB: (0 ≤ x ≤ 24'); M(x) = Px/3; Elástica: EI Z u1= { { ital Px } over {3} } } {¿

. Integrando

tenemos: EI Z u1=

Px 3

18+A1 x+A2

Tramo BC: (24 ≤ x ≤ 36); M ( x )= Px

3−P( x−24 )

. Elástica: EI Z u2 =24 P - { {2 ital Px } over {3} } } {¿

Integrando, tenemos: EI Z u2=12 Px2−Px3

9+B1 x+B2

Tramo CD: (36' ≤ x ≤ 48'); M ( x )=24 P−2 Px

3 . Elástica: 2 EI Z u3 =24 P - { {2 ital Px } over {3} } . } {¿

Integrando tenemos: EI Z u3=6 Px2− Px3

18+C1 x+C2

.Necesitamos considerar seis condiciones para determinar las seis constantes de integración.

Condiciones en los apoyos: u1(0) = 0; u3'(48) = 0; u3(48) = 0Condición de derivabilidad: u1'(24) = u2'(24)Condiciones de continuidad: u1(24) = u2(24); u2(36) = u3(36)

Imponiendo las condiciones indicadas, planteamos un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas.

Resolviendo simultáneamente este sistema, obtenemos:

A1 = -208P/3; A2 = 0; B1 = -1,072 P/3; B2 = 2,304 P; C1 = -192 P; C2 = 1,536P

Reemplazando las constantes de integración en las ecuaciones de la curva elástica (por tramos), encontramos:

u1 (x )=Px3

18 EI Z

−208 Px3 EI Z

0≤x≤24

u2 ( x )=12 Px2

EI Z

−Px3

9 EI Z

−1072 Px3 EI Z

+2304 PEI Z

24≤x≤36

u3 ( x )=6 Px2

EI Z

−Px3

18 EI Z

−192 PxEI Z

+1536 PEI Z

36≤x≤48

La flecha en el punto C es uc = u3(36) uc = -192P/EIZ.

2EIZEIZ

Articulación: M=0P

A B C D

24' 12' 12'

DA

CB

A

P/3 2P/3

8P

P

Como en el punto C existe una articulación, en la elástica se presentará un punto no derivable (con derivadas laterales diferentes). Por lo tanto

el giro en el punto C será: φC=|u2 ' (36)−u3 ' (36 )|=152 P

3 EI Z

7) La viga ABC tiene rigidez flexional constante EIZ. Determinar la deflexión de la articulación B y el ángulo de rotación en el apoyo A.

Por equilibrio determinamos la fuerza de reacción vertical en el apoyo A: F = 2P/3Sea δB la deflexión en el extremo libre del voladizo BC.

EI Z u=qx4

24+ Px3

9+Ax+B

. Las constantes de integración A y B se determinan a partir de las condiciones: u'(L) = 0; u(L) = 0. Se obtienen:

A=−qL3

6−PL2

3 ; B=qL4

8+2 PL3

9La ecuación de la curva elástica (tramo BC) es:

u( x )= 1EI Z

[ qx4

24+ Px3

9−( qL3

6+ PL2

3)x+ qL4

8+ 2 PL3

9]

La flecha en el punto B es uB = u(0) uB=

1EI Z

( qL4

8+ 2 PL3

9)

Punto no derivable (derivadas laterales

Punto derivable

C

u321

u21

u1

P

A B C D

qP

A B C

La/32a/3

q2P/3

B C

x

El momento flector en la sección ubicada a la distancia x del punto B, es:

M ( x )=−qx 2

2−2 Px

3Ecuación diferencial de la elástica (tramo

BC): EI Z u = { { ital qx rSup { size 8{2} } } over {2} } + { {2 ital Px } over {3} } . } { ¿

Integrándola tenemos:

θAθ2

θ1

uB

B1

A B

El ángulo de giro θA tiene dos componentes: El ángulo BAB1 producido por la flecha uB y un ángulo adicional ocasionado por la flexión de la viga AB:

θA = θ1 + θ2 …(*)Como las deformaciones son infinitesimales, tenemos:

θ1=uB

a= qL4

8 aEI Z

+ 2 PL3

9 aEI Z …(**)El ángulo θ2 corresponde a la rotación del extremo A de la viga AB, según se indica:

Reemplazando (**) en (***) y en (*), obtenemos:

θA=qL4

8 aEI Z

+ 2 PL3

9 aEI Z

+ 4 Pa2

81 EI Z

8) En la viga doblemente empotrada AB, el empotramiento B ha sufrido un desplazamiento vertical D. Calcular los momentos y las fuerzas que se desarrollan en los apoyos. Considerar constante la rigidez flexional EIZ.

Condiciones en el apoyo A: u'(0) = 0; u(0) = 0. Obtenemos C1 = C2 = 0.

Luego, la ecuación de la curva elástica es: u( x )= 1

EI Z

(−M A x2

2−

RA x3

6).

Condiciones en el apoyo B: u'(L) = 0, por lo tanto M A+

RA L

2=0

…(*)También: u(L) = -Δ (recordar la ubicación de los ejes). Luego tenemos:

EI Z (−Δ)=−M A L2

2−

RA L3

6 …(**).

Resolviendo (*) y (**) obtenemos: M A=−

6 EI Z

L2Δ

; RA=

12 EI Z

L3Δ

9) Determinar la flecha en el extremo libre de la viga representada, originada por el peso propio. Peso total: Q; Módulo de Elasticidad: E.

2P/3

PA B

a/32a/3

Determinando el ángulo de rotación del apoyo móvil, encontramos:

θ2=4 Pa2

81 EI Z …(***)

MB

RB

RA

MA

A B

L; EIZ

Δ

B'

Equilibrio: M + MA + RAx = 0 M = -MA - RAxElástica: EIZu" = – MA – RAx. Integrando dos veces, tenemos:

EI Z u=−M A x2

2−

RA x3

6+C1 x+C2

M

V

RA

MA

x

Sea w el peso unitario

w= QbLt

2 . Consideremos una porción de longitud x (medida a partir del vértice).

El volumen del elemento variable de altura x, es V= w v x t / 2. De la semejanza de triángulos se obtiene v = b x / L. Con lo cual, el peso es P = w b t x2 / 2 L.

El momento flector en la sección ubicada a la distancia x, es:

M ( x )=−wbt x3

6 L

Ecuación diferencial de la curva elástica: Eu = { {M \( x \) } over {I rSub { size 8{Z} } \( x \) } } } {¿

, puesto que las secciones transversales son de anchura variable (v). El momento de

inercia es I Z=

bxt 3

12 L . Reemplazando en la ecuación (*) obtenemos:

Eu = - { {2 ital wx rSup { size 8{2} } } over {t rSup { size 8{2} } } } } {¿. Integrando dos veces, obtenemos: u= 1

E(−wx4

6 t 2+C1 x+C2 )

. Determinamos las constantes de integración con las condiciones siguientes u' (L) = 0; u(L) = 0 (apoyo empotrado). Obtenemos los

valores: C1=

2 wL3

3 t 2 y

C2=−3 wL4

6 t2, con los cuales la ecuación de la curva

elástica es:

u( x )= 1E(−wx4

6 t2+ 2 wL3 x

3 t 2−wL4

2 t 2)

b

L

t

2x/3x/3

wbt2 L

x2

M

v

M

z

x

t

La flecha en el extremo libre es u(0 )=− wL 4

2 Et 2. Como el máximo momento

de inercia es IZmáx = bt3/12 (que se presenta en la sección del empotramiento) y el peso total de la viga es Q = Lbtw/2, la flecha puede

escribirse u(0 )=− QL 3

12 EI Zmáx .

10) En la viga representada, determinar el valor absoluto de la máxima deflexión vertical. Considerar E el módulo de elasticidad del material de la viga.

Momentos flectores. Tramo AB: M(x) = Px/2 en el intervalo 0 ≤ x ≤ a.

Tramo BC: M ( x )=Pa− Px

2 en el intervalo a ≤ x ≤ 2a.El Momento de inercia es IZ=bh3/12, constante para el tramo AB. El momento de inercia en el tramo BC es variable.

Elásticas:

Tramo AB: EI Z u = { {6 ital Px } over { ital Ebh rSup { size 8{3} } } } } { ¿

. Integrando obtenemos u( x )= Px 3

Ebh3+C1 x+C2

Condición u(0) = 0 (apoyo articulado simple). Se obtiene C2 = 0.

Elástica: u( x )= Px 3

Ebh3+C1 x

0 ≤ x ≤ a

Tramo BC: u \( x \) = { { ital Pa - 0 . 5 ital Px} over { { { ital Eb \( 2a - x \) h rSup { size 8{3} } } over { 12 a} } } } = { {6 ital aP} over { ital Ebh rSup { size 8{3} } } } } {¿

. Integrando, u( x )=3 aPx 2

Ebh3+C3 x+C4

.Condición u(2a) = 0 (apoyo simple), de donde obtenemos

C4=−12 Pa3

Ebh3−2 aC 3

. Por lo tanto la ecuación de la curva elástica (en el

tramo BC) es u( x )=3 aPx 2

Ebh3+C3 x−12 Pa3

Ebh3−2 aC 3

a ≤ x ≤ 2aOtras condiciones:

a

CB

P

b

h

a

A

a

x

h

a

Por semejanza de triángulos

obtenemos: t=

b(2 a−x )a .

Luego el momento de inercia (variable) es:

I Z=t h3

12=

b(2 a− x )h3

12 a

Continuidad de la elástica. En x = a se requiere:

[ Px3

Ebh3+

2 C1 x

2]x=a=[ 3 aPx2

Ebh3+C3 x−12 Pa3

Ebh3−

4 aC3

2]x=a

Simplificando

obtenemos: C1+C3=−10 Pa2

Ebh3 …(*). También en x = a la curva

elástica es derivable, luego: ( 3 Px 2

6 Ebh3+C1)x=a=( 6 aPx2

Ebh3+C3 )x=a

De donde

C3−C1=−3 aP2

Ebh3 …(**). Resolviendo las ecuaciones (*) y (**),

obtenemos las constantes C1 y C3: C1=− 7 Pa2

2 Ebh3;

C3=−13 Pa2

2 Ebh3.

La curva elástica queda definida por las ecuaciones:

u( x )= Px 3

Ebh3−7 Pa2 x

2 Ebh3 0 ≤ x ≤ a (Tramo AB).

u( x )=3 aPx 2

Ebh3−13 Pa2 x

2 Ebh3+ Pa3

Ebh3 a ≤ x ≤ 2a (Tramo BC).

Flecha máxima, haciendo

dudx

=0 en cada una de las funciones

anteriores.

Tramo AB: Obtenemos x=√ 7 a

6∉ [0 , a ]

Tramo BC: Obtenemos x=13 a

12∈ [a , 2a ]

. Por tanto la flecha máxima se produce en el tramo BC, en x= 13a/12. Evaluado u(13a/12),

obtenemos: |uMAX|=

121 Pa3

48 Ebh3, valor que puede escribirse

121 Pa3

576 EI Zmáx , donde IZmáx = bh3/12

11) Usando la ecuación diferencial de la curva elástica pueden solucionarse algunos problemas de flexión combinada con carga axial (flexo-compresión).

Encontrar la ecuación de la curva elástica en la viga representada. Considerar constante la rigidez flexional EIZ.

Elemento en flexo-compresión

Se requiere un análisis de segundo orden, para incluir el efecto de la carga axial P. El momento flector en la sección ubicada a la distancia x

u

Lx

P

w0

del apoyo articulado simple, es M ( x )=

wo Lx

2−

wo x2

2+P|u|

. Como u < 0, la

ecuación del momento flector es M ( x )=

wo Lx

2−

wo x2

2−Pu

. Con esto, la

ecuación diferencial de la curva elástica es EI Z u = { {w rSub { size 8{o} } ital Lx } over {2} } - { {w rSub { size 8{o} } x rSup { size 8{2} } } over {2} } - ital Pu } {¿

.

Ecuación diferencial que puede ser escrita como:

d2 u

dx2+ P

EI z

u=w o x (L−x )

2 EI Z

.

La solución general de esta ecuación diferencial lineal de segundo orden, con coeficientes constantes y no homogénea, es

u=C1 sen ( √ PEI Z

) x+C2 cos(√ PEI Z

)x+wo(Lx−x2 )

2 P+

wo EI Z

P2 …(*)

Para encontrar las constantes C1 y C2, usamos las condiciones u(0) = 0; u(L) = 0. Obtenemos las ecuaciones:

0=C2+wo EIZ

P2 y

0=C1 sen (√ PEI Z

)L+C2 cos( √ PEI Z

)L+wo EI Z

P2

Resolviendo el sistema anterior se obtienen

C2=−wo EI Z

P2 y

C1=1

sen (√ PEI Z

)L

wo EI Z

P2 [cos(√ PEI Z

)−1].

Reemplazando en la ecuación (*) tendremos la ecuación de la curva elástica.

12) Encontrar la ecuación de la curva elástica para la viga que se representa, cuya rigidez flexional EIz es constante. (Elemento con carga axial excéntrica).

x

w0L/2

u M

P

V

P

eP P

u

x

Ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea, cuya solución general tiene la forma:

u=C1 sen ( √ PEI Z

) x+C2 cos(√ PEI Z

)x−e …(*)

Para determinar las constantes C1 y C2 usaremos las condiciones u(0) = 0 y u(L) = 0. Reemplazando en (*), encontramos:

C2 = e;

C1=e sen (√P /EI Z

L2 )

cos(√P/EI ZL2 ) . Con lo cual, la ecuación de la curva elástica

es:

u( x )=e [cos(√P/EI Z (L2−x ))

cos(√P/EI ZL2 )

−1]. Notar que la flecha máxima y el

máximo momento flector se presentan en x = L/2.

Nota) Observar los resultados siguientes: La flecha máxima se presenta en x = L/2, siendo

uMÁX=e [sec(√PEI Z

L2 )−1]

El máximo momento flector es M MÁX=−P(e+uMÁX )=−Pe sec(√P

EI Z

L2 )

que también se presenta en x = L/2. Si la sección es rectangular, el esfuerzo normal máximo de

compresión, es:

σ máx=−PA [1+ ceA

I Z

sec (√P /EI Z L/2 )]. Recordando que IZ/A = 2 ( es el radio

de giro del área de la sección transversal), puede escribirse:

σ máx=−PA [1+ ce

ρ2sec(√P /EA

L2 ρ )]

, denominada Fórmula de la Secante (para el estudio de columnas cargadas excéntricamente).

Ecuación de momento flector:M(x) = – P(e+u)

Ecuación de la curva elástica:EIZu''= – P(e+u)

Ecuación que puede escribirse como

d2 udx2

+ PEI Z

u=− PEI Z

ex

u

≈e

≈e+u

M P

P

σ máx=−PA−

M máx(−c )I Z

σ máx=−PA+

M máx (c )I Z

(compresión)

Reemplazando el Mmáx por su expresión correspondiente, obtenemos

z

y

Fibras más comprimid

as

-c

Nota) Usando el desarrollo en series de potencias de Mc Laurin, es posible obtener la ecuación de la curva elástica sin resolver directamente las integraciones requeridas. Alrededor del punto x = x0 = 0 la ecuación de la curva elástica puede aproximarse por:

u( x )=u(0 )+u' (0 )x+u \( 0 \) x rSup { size 8{2} } } over {2`!} } + { {u ' ' ' \( 0 \) x rSup { size 8{3} } } over {3`!} } + { {u ' ' ' ' \( 0 \) x rSup { size 8{4} } } over {4`!} } + . . . . . . . . + { {n rSup { size 8{n} } \( 0 \) x rSup { size 8{n} } } over {n`!} } + . . . . . . . . } {¿¿¿Los coeficientes u''0), u'''(0), u''''(0), etc, pueden hallarse a partir de las diversas formas de la ecuación diferencial de la curva elástica.

u \( x \) = { {M \( x \) } over { ital EI rSub { size 8{Z} } } } } {¿

u \( 0 \) = { {M \( 0 \) } over { ital EI rSub { size 8{Z} } } } } {¿, supuesto EIZ constante.

u '''( x )=M ' ( x )

EI Z u '''( x )=

−V ( x )EI Z

u '''(0 )=−V (0)

EIZ

u ''''( x )=M ''( x )

EI Z

=q (x )EI Z

u ''''(0)=q (0 )EI Z , etc.

Luego la ecuación de la curva elástica tiene la forma:

u( x )=u(0 )+u' (0 )x+M (0 )

EI Z

x2

2!+−V (0 )

EI Z

x3

3 !+

q (0 )EIZ

x4

4 !+

q '(0 )EI Z

x5

5 !+. . .

…(*)

Para las condiciones de carga más frecuentes, los coeficientes son nulos desde un cierto orden de derivada en adelante y el desarrollo se reduce a la suma de algunos términos.

Ejemplo1) Hallar la ecuación de la curva elástica. Considerar EIZ constante.

Reacciones en A: RA = q0L/2; MA = q0L2/6. La fuerza cortante y el momento flector en x = 0, son M(0) = –q0L2/6 y V(0) = –q0L/2, de acuerdo al convenio de signos establecido.

En x = 0 la función de carga es q(0) = –q0. También q'(x) = q0/L, de donde q'(0)=q0/L. Los demás coeficientes q''(0), q'''(0), q''''(0), etc., son todos nulos. Reemplazando los coeficientes determinados en la ecuación (*) y simplificando tenemos:

Usaremos el desarrollo en serie de potencias de Mc Laurin, ec (*).Coeficientes: u(0)=0; u’(0)=0, condiciones de empotramiento en A.

A

q0

B

L

MA

RA

q0

B

L

A la distancia x del apoyo A, la carga repartida de variación lineal, está dada

por: q=

q0

L(L−x )

. Recordando el convenio de signos de la función de carga, tenemos

q ( x )=−q0

L(L−x )

.

u( x )=q0

EI Z(−L2

6x2

2 !+ L

2x3

3 !− x4

4 !+ x5

5 ! )Nota)Otros casos de interés que pueden analizarse mediante la determinación de curvas elásticas son (i) Elementos en flexo-compresión y (ii) Vigas sobre fundación elástica.

Definición) Viga/columna (elemento en flexo-compresión): cuerpo prismático que soporta, simultáneamente, carga transversal y carga axial.

Es estos sistemas notamos que el momento flector que se desarrolla por efectos de la carga axial depende de la flecha, u, del eje neutro longitudinal. Las condiciones de equilibrio deben satisfacerse en la condición deformada (análisis de segundo orden).

Consideremos un elemento de longitud dx, ubicado a la distancia x (seleccionada convenientemente).

Sea R la resultante de las fuerzas distribuidas en el tramo de longitud Δx, aplicando uno de los Teoremas del Valor Medio del Cálculo Integral, tenemos:

R= ∫x

x+Δx

w( x )dx=Δx w( ξ ) con x < ξ < x + Δx

Sea Δu el cambio de elevación experimentado por el eje neutro, en la longitud de referencia Δx.

x

uw=w(x)

x

Δx

x

uw=w(x)

Ecuaciones de equilibrio:

∑ FV=0 V + dV

dxΔx+ ∫

x

x+Δx

w( x )dx−V =0. Usando un teorema del valor medio

para integrales, y llevando al límite para Δx 0, obtenemos:

dVdx

+w( x )=0

(i)

∑M 0=0 M+ dM

dxΔx−M+(V + dV

dxΔx ) Δx

2+V

Δx2+PΔu+w (ξ )Δx α (Δx)=0

. Simplificando y llevando al límite Δx 0 cuando obtenemos: dMdx

+V +Pdudx

=0 (ii)

Si la deflexión es provocada fundamentalmente por el momento flector, puede expresarse:ddx

(EI zd2 udx2

)+V +Pdudx

=0, puesto que

EIzd2 udx 2

=M ( x )

Aceptando que la fuerza axial P es independiente de x, al derivar una vez respecto de x, encontramos:

d2

dx2(EI Z

d2 udx 2

)+ dVdx

+Pd2udx2

=0 (iii). Reemplazando (i) en (iii) y simplificando

tenemos:

d2

dx2(EI Z

d2 udx 2

)+Pd2 udx2

=w ( x ), Ecuación Diferencial del Sistema

Viga/columna.

Si además la rigidez flexional EIZ permanece constante, tenemos

d4 udx 4

+ PEI z

d2 udx2

= 1EI Z

w ( x ). Ecuación diferencial ordinaria, lineal, de cuarto

orden, no homogénea y con coeficientes constantes.

Definición) Viga sobre fundación elástica es una viga apoyada en toda su extensión sobre un medio elástico o fundación, de tal manera que la reacción en cada punto es proporcional al descenso (flecha) de la viga deflectada.

w = w(x)

<0 , 1>Δx

Δu

P

V+(dV/dx)ΔxV

P O(Δx)

R

M

M+(dM/dx)Δx

Δx/2

Si las deformaciones no sobrepasan ciertos límites, la hipótesis de proporcionalidad entre reacciones externas y desplazamientos (Hipótesis de Winkler) se verifica muy satisfactoriamente en todos los casos más frecuentes de cimentaciones.

Módulo de Balasto (K): Representa la reacción de la fundación en un área unitaria (cm2) cuando el descenso es una unidad (cm). El módulo K se mide en Unidades de fuerza por Unidades de volumen (kg/cm3).

Curva elástica: La reacción sobre una unidad de longitud (cm) cuando el descenso es una unidad (cm) es β = Kb. Por tanto, cuando el descenso sea u, la reacción repartida será r = βu. Si la viga está sometida a una carga repartida dirigida hacia abajo, de intensidad q, la fuerza total repartida por unidad de longitud es q – r = q – βu. Si la viga es prismática y homogénea (EIZ constante) la ecuación diferencial de la curva elástica, será

EI Zd4 udx 4

=q−βu. Luego

EI Zd4 udx 4

+βu=q (1). Ecuación diferencial lineal, de

cuarto orden, no homogénea. Su solución contienen dos partes: la solución de la ecuación homogénea y la solución particular.

Ecuación diferencial homogénea:

d4 udx 4

+ βuEI Z

=0. Cuya solución general tiene

la forma:u( x )=C1 eαx sen αx+C2 eαx cos αx+C3 e−αx sen αx+C4 e−αx cos αx …(*)Donde las constantes C1, C2, C3 y C4 se determinarán mediante las

condiciones de frontera. El parámetro está dado por

β2 EI Z

=4 α 4

. Una solución particular de la ecuación (1) para el caso q = q0 (constante) es u = q0/b.

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial (1), es:

u( x )=q0

β+eαx (C1 sen αx+C2 cos αx )+e−βx(C3 sen αx+C4 cos αx )

.Conocida la ecuación de la curva elástica, pueden calcularse ángulos de giro, momentos flectores, fuerzas cortantes y reacciones de la fundación.

u

q0

b

x

Φ=dudx

M ( x )=−EI Zd2 u

dx2

V (X )=−EI Zd3 udx3

r=βu

x

u

(Signo – porque se han considerado flechas positivas ).