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RESISTENCIA DE MATERIALES II

2.- Inestabilidad elstica.

Una estructura podr desplomarse cuando uno de sus miembros mas importantes

no es capas de conservar su forma bajo la accin de una determinada carga, incluso cuandoel material no falle por fractura.Una aplicacin de lo dicho anteriormente es un poste largo y delgado o una

columna, sometido a una fuerza de compresin, dirigida hacia abajo. A cierta carga crtica,la columna se pandear, esto es, de pronto se dobla perdiendo su forma recta original.Cuando esto ocurre, si la carga permanece aplicada, la columna se colapsar totalmente. Enla figura 24 se muestra una columna cargada, la que es relativamente mas larga de suseccin transversal rectangular delgada.

Para evitar el pandeo se debe tener la capacidad de especificar el material, laforma y el tamao apropiado para la seccin transversal de la columna de una longituddeterminada, sometida a compresin, de modo que permanezca recta bajo las cargasesperadas.

Figura 24.- Columna delgada sometida a compresin.

El modo de fallo en columnas es diferente de los anlisis de esfuerzos decompresin en que se supone que los miembros fallan por cedencia del material, lo que escierto en el caso de miembros cortos.

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La inestabilidad elstica corresponde a la falla por pandeo de una columna altaesbelta. En lugar de aplastar o desmembrar el material, la columna se deflexiona de maneradrstica a una cierta carga crtica para luego desplomarse repentinamente.

Al irse incrementando gradualmente la carga, aplicada directamente hacia abajo,se alcanza la carga crtica cuando la columna comienza a flexionarse. Normalmente, se

puede retirar la carga sin que provoque un dao permanente puesto que no hay cedencia.

Figura 25.- Diferentes tipos de sujecin de una columna.

Visto de esta forma, una columna falla por pandeo a un esfuerzo menor que la

resistencia a la cadencia del material en la columna. El objetivo de los mtodos de anlisisde columnas es predecir la carga o el nivel de esfuerzo al cual una columna se volverinestable y se pandear.

2.1.- Razn de esbeltez.

Se define la columna como un miembro esbelto relativamente largo cargado acompresin. Esta descripcin, planteada en trminos relativos, carece de exactitud y no estil para hacer un anlisis.

En la medida de la esbeltez de una columna se ha de tener en cuenta la longitud, elperfil de la seccin transversal, las dimensiones de la columna y la manera en que se

sujetan los extremos de la columna en las estructuras que generan las cargas y lasreacciones en la columna.Generalmente la medida de la esbeltez utilizada para evaluar cuantitativamente

sta es la Razn de Esbeltez:

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SR = K*L/rmin (24)

Donde cada uno de estos trminos se explica a continuacin.Longitud real, L.En una columna simple con la carga aplicada en un extremo y la reaccin creada

en el otro, la longitud real es entre sus extremos. Pero en componentes de estructurascargadas a compresin que disponen de medios de sujecin lateral que impidan que sepandee, la longitud real se considera entre los puntos de restriccin. De sta forma cada unade las partes se considera como una columna aparte.

Factor de fijacin de los extremos, K.El factor de fijacin de los extremos mide el grado de limitacin contra rotacin

de cada extremo. En general se consideran tres tipos clsicos de conexiones de losextremos:

.- El extremo de pasador.

.- El extremo fijo.

.- El extremo libre.En la figura 25 se muestra las combinaciones de estos tipos de sujecin, donde se

indican los valores tericos y valores usados en situaciones prcticas.La columna con extremos fijados con pasador, como se indica en la figura 25 a,

ellos estn posibilitados de rotar. Cuando este tipo de columna es cargado se pandea yadopta la forma de una curva uniforme entre sus extremos. ste es el caso bsico de pandeode columna y el valor de K = 1.0. Se debe tener cuidado al aplicar factores de aplicacin apasadores cilndricos debido a que stos permiten la libre rotacin con respecto al eje destos pero crea resistencia en el plano perpendicular a su eje. La rotula permite rotacin enel espacio.

La columna con extremos fijos cuando se carga, stos impiden perfectamente larotacin de ella. En la medida que la columna tiende a pandearse, la curva de deflexin deleje de la columna se aproxima al extremo fijo, como se indica en la figura 25 b, sta searquea hacia fuera a la mitad pero indican dos puntos de inflexin donde se invierte ladireccin de la curvatura cerca de los extremos. En este caso el factor de fijacin K = 0,5que indica que la columna acta como si fuera la mitad de la carga de lo que realmente es.Las columnas con extremos fijos son mucho mas rgidas que las con extremos con pasadory por lo tanto capaces de soportar cargas mayores antes de pandearse. Como es muy difcilque la conexin a la columna sea rgida y firme y que la estructura a la que se transfierenlas cargas tambin lo sean, en la practica se usa el valor de K = 0,65.

La columna con extremo libre puede girar y tambin trasladarse, pero como puedemoverse en cualquier direccin, ste es el peor caso de fijacin de una columna. El nicomodo prctico de usar una columna con un extremo libre es tener el extremo opuesto fijo,como se indica en la figura 25 c. ste tipo de columna se conoce como astabandera debidoa que el extremo fijo se comporta como el hasta, de una bandera, insertada profundamenteen un orificio de ajuste apretado, mientras el otro extremo libre puede moverse en cualquierdireccin. Conocida como la condicin de extremo libre, el valor terico de k = 2,0 y suvalor prctico es de K = 2, 10.

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La columna con sus extremos combinados con uno fijo y el otro con pasador,como se muestra en la figura 25 d, se puede apreciar que la curva de deflexin se aproximaal extremo fijo con una pendiente cero mientras que el extremo de pasador gira libremente.El valor de K = 0,7 se aplica en este caso de fijacin mientras que en la prctica serecomienda usar K = 0,8.

Longitud efectiva, Le.Es la expresin que combina la longitud real con el factor de fijacin de los

extremos, esto es:

Le= K*L

Radio de giro, r.La medida de esbeltez de la seccin transversal de la columna es su radio de jiro,

r, definida como:

r = (I/A)DondeI: es el momento de inercia de la seccin transversal de la columna con respecto a

uno de sus ejes principales.A: es el rea de seccin transversal de la columna.Como el rea, A, y el momento de inercia, I, son propiedades geomtricas de la

seccin transversal, entonces el radio de giro, r, tambin lo es. En las tablas 5 a la 8 semuestran varios perfiles donde se indican los momentos de inercia, el rea y el radio de girode stos.

Se debe tener especial cuidado en el calculo del radio de giro, r, pues depende del

momento de inercia, I, y ste depende del eje con respecto al cual se va a calcular. Asentonces, para una seccin transversal que no es simtrica, se debe elegir el radio de giromnimo, porque ste es el eje de la seccin transversal con respecto al cual la columnaprobablemente se pandear.

En la figura 26 se muestra una columna cargada cuya seccin transversal esrectangular y tiene las dimensiones h y t, donde h > t. Se puede verificar en forma prcticausando una regla que al cargarla axialmente a compresin, con poca o ninguna restriccinen los extremos, sta se pandear siempre con respecto al eje que pasa por la dimensinmnima.

Para este caso los radios de giro con respecto a los ejes x e y sern:

rx= h / 12

ry= t / 12

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Figura 26.- Pandeo de una columna rectangular, respecto de su eje que pasa por ladimensin mnima.

Como para ste caso t< h, entonces el radio mnimo ser:

rmin= ry= t / 12

En el caso de secciones transversales simtricas, el valor de r es el mnimo conrespecto a cualquier eje principal.

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2.2.- Razn de esbeltez de transicin.

Se debe tener un mtodo cuantitativo para poder definir cuando una columna seconsidera como larga o corta. Para tal determinacin se usa el concepto de razn detransicin de transicin el que depender no de la geometra de la columna sino que del

material de que est construida.

Cc= (2*2*E/Sy)

Donde

E: es el modulo de elasticidad del material con el que est construida la columna.Sy: es la resistencia a la fluencia o cadencia del material de la columnaEn la tablas 1 y 2, se tienen diferentes propiedades de materiales ms comunes de

los cuales algunos se emplean para la fabricacin de columnas.Se debe observar el siguiente criterio para la definicin de columna larga y

columna corta:

a.- Si la razn de esbeltez efectiva, SR, es mayor que la razn de esbeltez detransicin, Cc, entonces la columna se considera larga y para su anlisis se debe usar elcriterio de Euler para la determinacin de la carga que soportara antes de pandearse.

b.- Si la razn de esbeltez efectiva, SR, es menor que la razn de esbeltez detransicin, Cc, entonces la columna se considera corta y para su anlisis se debe usar elcriterio de J. B. Johnson para la determinacin de la carga que soportara antes de pandearse.

Cuando se va a analizar una columna en particular para determinar la carga que

soportar, se deber calcular la razn de esbeltez de transicin y la razn de esbeltezefectiva de tal forma de decidir cual ser el criterio a usar para el clculo de dicha carga.

2.3.- Criterio de Euler para columnas largas.

El criterio de Euler para columnas largas, para determinar la carga crtica quesoportar la columna antes de iniciarse el pandeo, aplicable para casos en que la razn deesbeltez efectiva es mayor que la razn de esbeltez critica, es:

Pcr= (2*E*A)/(Le/r)

2

Pero si se reemplaza la ecuacin 26 en sta se obtiene una expresin ms simple

Pcr= (2*E*I)/Le

2

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Tabla N 5.- Centroides y momentos inercia de figuras simples.

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Tabla N 6.- Propiedades de perfiles C.

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Tabla N 7.- Propiedades de perfiles I.

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Tabla N 8.- Propiedades de perfiles ngulo.

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2.4.- Criterio de J. B. Johnson para columnas cortas.

El criterio de J. B. Johnson para columnas cortas, para determinar la carga crticaque soportar la columna antes de iniciarse el pandeo, aplicable para casos en que la raznde esbeltez efectiva es menor que la razn de esbeltez critica, es:

Pcr= A*Sy*[1(Sy*( Ler)2)/(4*2*E)]

sta ecuacin es formada por un conjunto de ecuaciones parablicas, y concuerdaperfectamente con el comportamiento de columnas de acero de maquinarias tpicas.

El criterio de Jonson da el mismo resultado que el criterio de Euler para obtener lacarga crtica a la razn de esbeltez de transicin Cc. Entonces en el caso de columnas muycortas, la carga crtica se aproxima a la pronosticada por la ecuacin de esfuerzo decompresin directo, = P/A. Luego se puede decir que la ecuacin de Jonson se aplicamejor a columnas de longitud indeterminada.

2.5.- Factores de diseo para columna y carga permisible.

Debido a que las columnas fallan por pandeo y por cadencia del material losmtodos descritos anteriormente se debern complementar con un factor de diseo antes dedisear una columna.

As entonces, la carga permisible en una columna se calcula dividiendo la cargade pandeo obtenida con la formula de Euler o de Johnson por un factor de diseo N:

Pa= Pcr/N

DondePa: es la carga de permisible.Pcr: es la carga crtica.N: es el factor de diseo.

El diseador es el responsable de seleccionar el factor de diseo para cada caso amenos que en un determinado proyecto se deba cumplir con algn estndar mnimo. Entodo caso los factores que se deben considerar para elegir un factor de diseo son similaresa los utilizados para determinar factores de diseo aplicados a esfuerzos. Un factorcomnmente aplicado en diseo mecnico es N = 3, debido a la incertidumbre con respectoa las propiedad del material, la fijacin de los extremos, lo recto de la columna, o la

posibilidad de que la carga se aplique con algo de excentricidad y no a lo largo del eje de lacolumna.

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