8 - Viga Sobre Fundacion Elastica (1)

de 17

Viga sobre fundación elástica

1. Introducción

En el análisis convencional de vigas se supone que la viga está unida a la sustentación en una

serie de puntos de apoyo discretos, y que todo el tramo de viga situado entre los apoyos

puede deformarse libremente en dirección lateral, sin sufrir interacción exterior alguna, y

estando sometido únicamente a las cargas exteriores, que son de magnitud conocida.

Existe sin embargo otra situación distinta, en la que la viga está apoyada en toda su longitud

en algún medio material deformable que interacciona con ella, ejerciendo una fuerza de

reacción lateral sobre la viga y oponiéndose en cierta medida a su deformación lateral. En

consecuencia la deformación y las solicitaciones en la viga son diferentes de las que habría si

estuviese libre lateralmente.

A esta forma de trabajo en que la viga está en contacto con un medio material deformable se

le llama viga sobre fundación elástica. Ya este nombre indica que para el medio material en

que se apoya la viga se supone un comportamiento elástico, es decir que una vez eliminadas

las cargas el medio de apoyo recupera su estado de deformación inicial nula. Esto es

suficientemente aproximado para las aplicaciones prácticas en ingeniería, aunque hay otros

modelos de comportamiento de la fundación más complejos.

Otra forma de interpretar las vigas en fundación elástica es suponer una viga apoyada sobre

una familia de muelles discretos, y que la distancia entre éstos se hace infinitamente pequeña,

con lo que la viga queda apoyada sobre los muelles de una manera continua.

1.1 Comportamiento del terreno

Como ya se ha indicado el comportamiento del terreno se supone elástico, es decir que

recupera su estado inicial cuando se eliminan las cargas, aunque existen modelos distintos

para caracterizar esta respuesta elástica.

Se supone también que el terreno responde de manera bidireccional, es decir que la reacción

del terreno se produce tanto si la viga se acerca a él como si se aleja. Esto no es cierto si la

viga está simplemente apoyada, y requiere que la viga esté muy bien unida al terreno o

enterrada en él. En todo caso el error introducido por esta suposición es pequeño en las

de 17

aplicaciones prácticas, en las que la naturaleza de las cargas siempre tiende a acercar la viga

al terreno. Además, estudiar el problema considerando un terreno con comportamiento

unidireccional es extraordinariamente complejo.

1.2 Modelo Lineal

En este modelo se supone que el terreno tiene un comportamiento lineal: la deformación

vertical v que se produce en el terreno es proporcional a la presión p ejercida sobre él (figura

11.2). Se denomina coeficiente de balasto del terreno Kt a la constante de proporcionalidad

entre la presión aplicada y la deformación:

t

pK =

v (1)

El coeficiente de balasto del terreno representa por lo tanto la presión que hay que aplicar

sobre el terreno para imponerle una deformación de valor unidad. Sus unidades son F/L3 y

habitualmente se utilizan kg/cm3.

Los valores de Kt dependen fuertemente de la naturaleza del terreno. La tabla siguiente

contiene algunos valores típicos.

Se define el coeficiente de balasto de la viga k como: k = b Kt, donde b es el ancho de la viga

en contacto con el suelo. Las unidades de k, son F/L2.

2. Ecuación diferencial que gobierna el problema.

Consideremos la viga con el criterio de signos indicado en la figura, recordemos que en este

caso:

de 17

dvθ =

dx (2)

2.1 Hipótesis:

1) Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son

pequeños e iguales a los del eje baricéntrico de la viga.

2) El desplazamiento lateral (según el eje y de la figura) es nulo.

3) Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen

planas y normales a la deformada de dicho eje, después de la deformación.

dv

B B = u = -A B -AB = -ydx

θ = θ (3)

2.2 Campo de desplazamientos

De las hipótesis anteriores se concluye que el campo de desplazamientos de un punto

genérico de coordenadas (x,y,z) de la viga es:

u(x,y,z) = -yθ(x)

v(x,y,z) = v(x)

w(x,y,z) = 0

(4)

de 17

Podemos calcular las componentes de los tensores de deformaciones y tensiones como: 2

2

2

2

, 0

, 0

x y z xy xz yz

x x y z xy xz yz

dθ(x) d v(x)= = -y -y

d v(x)- y

duε ε ε

dx dx dx

Eε Edx

(5)

2.3 Energía Potencial

La energía potencial de la viga columna, es igual a la diferencia entre su energía de

deformación y el trabajo de las fuerzas externas. extΠ=U-W (6)

A partir de estos resultados, podemos calcular la energía de deformación de la viga como:

2 2 2

0 0 0

2 2 2

0 0

1 1

2 2 2

2 2

L L L

x x x

L L

z

1U = ε dAdx Eε dAdx E dAdx

1 1E dAdx EI dx

= = v y =

= v y = v

(7)

La energía potencial de la fundación elástica es:

2

0 0

2

0

1 1

2 2

1

2

L L

k

L

k k

dxf(x) = -kv(x), W = f(x)v(x) = - kv (x)dx,

= -W = kv (x)dx

(8)

Por lo cual, la energía potencial total es:

1) Trabajo de la carga transversal q:

de 17

L

ext

q

0

W = q(x) v(x) dx (9)

2) Trabajo de los momentos extremos AM y BM :

ext

M A BW =M v (0) -M v (L) (10)

3) Trabajo de las fuerzas extremas AQ y BQ ext

R A BW = -Q (0) v(0)+Q (L) v(L) (11)

Sustituyendo las formulas anteriores en la ecuación (2), se obtiene la expresión de la energía

potencial de la viga:

1

2

L L L2 2

z

0 0 0

A B A B

1EI v dx + kv (x)dx - qvdx -

2

-M v (0)+M v (L)+Q (0)v(0) -Q (L)v(L)

(12)

2.4 Ecuaciones de Euler Lagrange.

Utilizando las ecuaciones de Euler Lagrange, desarrolladas por el cálculo de variaciones se

tienen que se deben verificar las siguientes ecuaciones:

1) ecuación de campo:

C1) 0,IV

zEI v +kv -q 0 x L (13)

y 2) una de las condiciones de borde siguientes en los extremos A y B :

B1) zEI v M (14)

B2) zEI v Q (15)

2.5 Resumiendo

Las ecuaciones que gobiernan el problema son:

Ecuación de campo:

0,IV

zEI v +kv -q 0 x L

Condiciones de contorno en los dos extremos de la viga:

1) z-EI v =M

2) z-EI v = Q

de 17

Observación

La ecuación de campo que gobierna el problema se puede hallar también con aplicando las

ecuaciones de equilibrio a un diferencial de viga.

)(2

2

kvqdx

dQ

dx

Md

EI

M

dx

vd2

2

04

4

qkvdx

vdEI

q

M M+dM

Q Q+dQ

kv

2.6 Solución de la ecuación homogénea

La ecuación homogénea que gobierna el problema será:

44:

IV

z

IV

z

kv + 4 v 0

4EI

kLlamando = v + 4 v 0

4EIβ β

(17)

Buscando soluciones de la forma:

4

1

2λx 4 4

3

4

βx βx -βx -βx

λ = 1+i

λ = 1- iv = e λ +4β =0 λ = -4 β

λ = -1+i

λ = -1- i

v(x) = Ae cosβx e senβx Ce cosβx e senβxB D

(18)

A esta solución hay que agregarle una solución particular que se determinará para cada

problema particular.

Para simplificar los cálculos se consideran modelos aproximados como los de las vigas

infinita y finita que vamos a estudiar a continuación:

2.7 Solución particular para carga uniformemente distribuida

Cuando q es constante se buscan soluciones particulares de forma polinómica que satisfaga la

siguiente ecuación:

qkvEIviv

de 17

Para cualquier polinomio de grado 3 o menor se cumple que 0ivv , por lo que la ecuación

de campo se reduce a qkv , entonces k

qv part .

2.8 Modelo de viga semi-infinita

El modelo de la viga semi-infinita, cuando se puede aplicar, simplifica notoriamente los

cálculos analíticos debido a que las constantes a determinar se reducen a solamente dos, por

este motivo vamos a presentarlo a continuación junto con la deducción de su rango de

validez.

El campo de desplazamiento viene dado por la ecuación (18), para que el desplazamiento sea

acotado cuando x →∞, debe ser A=B=0, y la solución será de la forma:

-βx -βxv(x) = Ce cosβx e senβxD (19)

Falta determinar las constantes C y D, para facilitar el desarrollo vamos a definir cuatro

funciones:

1 2

3 4

1 3 4 2 3 4 3 1 2 4 1 2

31 2 43 4 2 1

,

1 1, , ,

2 2

, , 2 , 2 ,

-x -x

-x -x

f (x) = e cos x, f (x) = e sen x,

f (x) = e cos x +sen x f (x) = e cos x - sen x

Se verifica que :

f = f f f = - f - f f f f f f f

ff f ff f f f

dd d d

dx dx dx dx

(20)

Utilizando éstas funciones, se puede escribir:

1 2

3 4

2

2 12 2 2

3

4 33

2 2

2 2

z

z

v(x) = Cf βx f βx

dv(x) = Cβf βx βf βx

dx

d v C(x) = -EI f βx f βx

dx β β

d v C(x) = -EI f βx f βx

dx β β

D

θ D

k DkM

k DkQ

(21)

En la gráfica adjunta, está representada la variación de las funciones f1, f2, f3 y f4 en función

de la variable χ=βx

de 17

De la gráfica anterior se deduce que los puntos situados a una distancia x del punto de

aplicación de las cargas, tal que χ =βx sea mayor que 4, no serán afectados por el efecto de

dichas cargas.

Este resultado de amortiguamiento de los efectos de las cargas, es una propiedad

característica del modelo de viga semi-infinita.

2.8.1 Aplicación: viga semi-infinita cargada en su extremo.

La solución será la dada por las ecuaciones (21), falta determinar las constantes C y D. 2

2

2

2

2

2 2

2 2

o o

o o o

β=

β

C β β= C

β β

DkM D M

k

k DkP P M

k k

(22)

de 17

2.8.2 Aplicación: viga infinita con una carga concentrada.

Este problema, se puede resolver utilizando su simetría:

Por simetría se verifica:

2 0v(x) = v(-x), (x) = - (-x) (0) = - (0) (0)θ θ θ θ θ (23)

Imponiendo la condición del giro en la viga semi-infinita de la derecha, podemos determinar

Mo, y estamos en el caso estudiado en el numeral 2.7.1

1 2

2 2

0

1 2

2

3 4

2 1

4 3

2 2 2 1

2

,

2

2

o o o o o

o

o

o

o

o

v(x) = Cf βx f βx

β β β(0) = 0

β

β βC

βv(x) = f βx f βx

β(x) = f βx f βx

(x) = f βx f βxβ

(x) = f βx f βx

D

θ M P M M Pk k k

P D Pk k

Pk

θ Pk

1M P

1Q P

(24)

La solución del problema se puede graficar como:

de 17

La deformada es una función oscilante de amplitud decreciente, por lo que se pude observar

que la viga se levanta en una serie de tramos. Cuando el terreno no es bidireccional, el error

cometido es del orden del 4%.

2.8.3 Aplicación: viga infinita con dos cargas puntuales iguales.

La solución de este problema se puede hallar utilizando la solución de la aplicación anterior

2.7.2 y el principio de superposición:

v(x) = vA(x) + vB(x-7,5)

de 17

2.8.4 Aplicación: viga semi-infinita con carga en el tramo.

La solución de este problema se puede hallar superponiendo los siguientes tres casos:

2.9 Viga finita.

En este caso es conveniente escribir la solución general del problema homogéneo a partir de

funciones en seno, coseno, seno hiperbólico y coseno hiperbólico como se plantea a

continuación:

1 2 3 4

1 2

3 4

.

. .

v(x) = Ag (βx) g (βx) Cg (βx) g (βx), donde

g (x) = cosh x.cos x, g (x) = senh x sen x

g (x) = cosh x sen x, g (x) = senh x cos x

B D

(25)

Observar que la elección de estas funciones fue hecha porque g1 y g2 son funciones pares,

mientras que g3 y g4 son funciones impares, por lo que en problemas simétricos o

de 17

antisimétricos si tomamos los ejes coordenadas en el centro de la viga, las constantes a

determinar se reducen a dos.

Las derivadas de estas funciones satisfacen las relaciones:

31 2 44 3 4 3 1 2 1 2

22 2 2

31 2 42 1 4 32 2 2 2

, , ,

2 , 2 , 2 , 2

gg g gg g g g g g g - g

gg g gg g g g

dd d d

dx dx dx dx

dd d d

dx dx dx dx

(26)

Utilizando éstas relaciones se puede escribir la solución general:

1 2 3 4

4 3 4 3

1 2

2 1 4 32 2 2 2

4 3 4 3

1

2 2 2 2

2 2

2

v(x) = Ag (βx) g (βx) Cg (βx) g (βx)

(x) = Aβ g (βx) g (βx) β g (βx) g (βx)

C+ βg (βx) C- βg (βx)

Ak k Ck kM(x) = g (βx) g (βx) g (βx)+ g (βx)

β β β β

Ak k(x) = g (βx) g (βx) β g (βx) - g (βx)

β β

kC- g (β

β

B D

θ B

D D

B D

BQ

D 22

kx) C+ g (βx)

βD

(27)

3. Matriz de Rigidez de una viga sobre fundación elástica

Consideremos una viga finita, Igualando los valores en el nodo 1 con el desplazamiento, giro,

momento flector y cortante se tiene:

I

II

I

I I

M

Q Q

2

= v(0) = A

(0) =β Cβ

k=M(0) = - B

2β

k 2β= Q(0) = -C -C

2β k

= θ D D+C

D D

(28)

Sustituyendo los valores de A, B, C, D hallados en la ecuación (24):

1 2 3 4 4 3

2

4 3 4 3 1 2

2 1 4 3 3 42 32 2

2

II I I

I I I I

II I I

I

M Q

M Q

M Q

2

3

2β βv(x) = g (βx) g (βx) g (βx)+g (βx) g (βx) - g (βx)

k 2β k

2β 2β(x) = β g (βx) g (βx) g (βx) g (βx) g (βx) g (βx)

k k

k k 1M(x) = g (βx) g (βx) g (βx) - g (βx) g (βx)+g (βx)

β 4β β

k(x) =

β

θ

Q 2

4 3 4 3 1 22

1

2 2I I IM Q

kg (βx) g (βx) β g (βx) - g (βx) g (βx) g (βx)

β

(29)

de 17

Trabajando con las funciones de Krilov que se definen a partir de nuestras funciones g como:

3 42

3 43 4

,2

,2 4

1 1

2

g (βx) g (βx)F (βx) = g (βx), F (βx) =

g (βx) g (βx)g (βx)F (βx) = F (βx) =

(30)

La ecuación (24), se escribe como:

1 3 2 4

2

4 2 1 3

3 1 4 22 3

2

2 4 1 32

14

2

2

3

4β 4βv(x) = F (βx) F (βx) F (βx) F (βx)

k β k

4β 4β(x) = -4 βF (βx) F (βx) F (βx) F (βx)

k k

k k 1M(x) = F (βx) F (βx) F (βx) F (βx)

β β β

k k(x) = F (βx) - β F (βx) F (βx) F (βx)

β β

II I I

I I I I

II I I

II I I

M Q

M Q

M Q

M Q

θ

Q

(31)

La ecuación de rigidez:

1 11 12 13 14 1

1 22 23 24 1

2 33 34 2

2 44 2

Q k k k k

M k k kF K U

Q k k

M k

(32)

muestra que cuando se toma 1 1 2 2 1 111, 0, 0, 0 Q k ,

1 12 2 13 2 14M k , Q k . M k . Si para x=L, sustituimos estos valores en la ecuación (25)

podemos conocer las entradas de la primer fila de la matriz de Rigidez.

1 4 11 3 12

4 3 11 2 12

14 3 2 11 1 122

2

13 2 1 11 4 12

2

14

2

kg (βL) F (βL)k βF (βL)k

4β

k- F (βL) F (βL)k βF (βL)kβ

k 1k = F (βL) F (βL)k +F (βL)k

β β

kk = F (βL) F (βL)k β F (βL)k

β

(33)

Resolviendo el sistema de las dos primeras ecuaciones se tiene:

de 17

1 4 11 3 12

2

4 3 11 2 12

4 3 2 111 2

3 2 4

2

3 1 412 2 2

3 2 4

2

2

kF (βL) F (βL)k βF (βL)k

4β

k- F (βL) βF (βL)k β F (βL)k

2F (βL)F (βL)+F (βL)F (βL)kk

4β F (βL) -F (βL)F (βL)

F (βL)F (βL)+ F (βL)kk

4β F (βL) -F (βL)F (βL)

(34)

Conociendo estos valores podemos calcular los dos restantes.

Análogamente, para θ1=1, se tiene:

3 4 4 322 123

2 2

24 22 1 4 3 3 4 123

2

23 22 4 3 1 12 22

1

2

1

2 2

g (βL)+g (βL) g (βL) - g (βL)kk = k

4β g (βL) 2β g (βL)

k 1k = k g (βL) g (βL) - g (βL) g (βL)+g (βL) k

4β β

kk =β k g (βL) - g (βL) g (βL)k g (βL)

β

(35)

Estos valores se calculan en función de los que conocemos

Para δ2=1, se tiene:

34 23 1 13 3 4

2

33 23 4 3 1 13

2

1

2

1k = k g (βx) k g (βx)+g (βx)

β

k =β k g (βx) - g (βx) g (βx)k

(36)

Estos valores se calculan en función de los que conocemos

Para θ2=1, se tiene:

44 24 1 14 3 42

1k = k g (βx) k g (βx)+g (βx)

β (37)

Con lo cual quedan determinados todos los términos de la matriz de rigidez de la viga sobre

fundación elástica.

En la gráfica siguiente se representa la variación de los coeficientes

de 17

Se concluye que:

1) Si βL=0, la matriz de rigidez coincide con la matriz de rigidez de la viga clásica.

2) Si βL<1, todas las entradas de la matriz de rigidez están próximos a los de la viga

convencional, ya que los coeficientes aij son cercanos a uno. Para estos problemas

consideraremos en modelo de viga corta donde aproximamos la viga sobre fundación elástica

por una viga clásica.

3) Si βL>8, los términos de rigidez cruzada son despreciables y se puede utilizar el modelo de

viga infinita ya que se reproduce el efecto de amortiguamiento de las cargas característico de

la viga infinita.

4) Si 1< βL<8, se debe modelar como una viga finita.

En la práctica tomando un valor de 5 en lugar de 8, y de 0,6 en lugar de 1 se tienen resultados

aceptables.

La expresión de la ecuación de rigidez con la convención de signos representada en la figura

es la que se escribe a continuación:

de 17

3.1 Matriz de Rigidez aproximada.

Considerando λ=βL pequeño, se pueden sustituir las funciones que aparecen en la matriz de

rigidez exacta por sus desarrollos de Taylor y despreciar los infinitésimos de mayor grado.

Las entradas de la matriz de rigidez son entonces:

Observemos que como λ debe ser pequeño se deben tomar varios elementos para que el

resultado obtenido converja a la solución del problema.

de 17

3.2 Viga apoyada en un gran número de apoyos elásticos equidistantes.

Hasta ahora consideramos a la viga en fundación elástica de modo continuo, pero los

resultados obtenidos se pueden aplicar a casos en que la viga está apoyada en un gran número

de apoyos elásticos equidistantes.

Como ejemplo, podemos considerar el caso de la viga horizontal AB representada en la

figura, la cual sirve de apoyo a un sistema de vigas verticales equidistante, cargada

uniformemente por una carga de q kg/cm.

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