ING. Lamina

J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-01

Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:

Datos:

= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b

= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00

Seccin de viga bc 30.00

Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular

ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00

Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij

Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas

Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos

Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado

CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij MjiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m

ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 1 1071.875 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 1 1715 -8.333 8.333

Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"

aab 1071.88 1071.88 -1.000

-1.00Factor de distribucin de un nudo

W2W1

W1W2L1L2

1. MOMENTO DE INERCIA ( I )

I = bh3/12

2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Mij = Wij. L2ij

3. FACTORES DE DISTRIBUCION

Cij = - Kij/ Ki

Ci = -1.000

Ki Ci

h

b

d

bba 1071.88 2786.88 -0.385

-1.000bc 1715.00 2786.88 -0.615 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

ccb 1715.00 1715.00 -1.000

-1.00 en el nudo es igual a -1.000.

14.654 -14.6540.000 -0.003 -0.004 0.0000.005 0.003 0.004 0.008

-0.005 -0.011 -0.017 -0.0080.021 0.011 0.017 0.034

-0.021 -0.042 -0.067 -0.0340.084 0.042 0.067 0.135

-0.084 -0.168 -0.269 -0.1350.337 0.168 0.269 0.538

-0.337 -0.673 -1.077 -0.53811.115 5.558 -3.808 -7.615-0.449 -0.897 -1.436 -0.718

-10.667 10.667 -8.333 8.333-1.000 -0.385 -0.615 -1.000

a b c

Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij

Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji

FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.

ab 2.00 8.00 8 -8 0.000 14.654 6.17 -9.83 bc 4.00 5.00 10 -10 -14.654 0.000 12.93 -7.07

4. DIAGRAMA DE ITERACIONES

5. FUERZAS CORTANTES

6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

2; 12.93

22; -7.07

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.17

12; 0.00

22; -9.83

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -14.65

11; 6.25

21; 0.001; 0.001; 0.00

11; 9.51

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)

Ubicacin del punto de inflexin del cortante

Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 6.17 2.00 3.08 3.08 1.00 0.00 12.93 4.00 3.23 11.23 0.00

Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.

X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.

Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 6.17 0.00 6.17 0.00 6.17 0.00 12.93 4.00 12.93 8.000.31 6.17 2.00 5.55 0.31 5.55 0.32 12.93 4.00 11.64 8.320.62 6.17 2.00 4.93 0.62 4.93 0.65 12.93 4.00 10.34 8.65

Dar valores entre: 0.93 6.17 2.00 4.32 0.93 4.32 0.97 12.93 4.00 9.05 8.971.23 6.17 2.00 3.70 1.23 3.70 1.29 12.93 4.00 7.76 9.29

X = 0.00 1.54 6.17 2.00 3.08 1.54 3.08 1.62 12.93 4.00 6.47 9.62X = 3.08 1.85 6.17 2.00 2.47 1.85 2.47 1.94 12.93 4.00 5.17 9.94

2.16 6.17 2.00 1.85 2.16 1.85 2.26 12.93 4.00 3.88 10.262.47 6.17 2.00 1.23 2.47 1.23 2.59 12.93 4.00 2.59 10.592.78 6.17 2.00 0.62 2.78 0.62 2.91 12.93 4.00 1.29 10.91

Vx=0, Punto de inflexin 3.08 6.17 2.00 0.00 3.08 0.00 3.23 12.93 4.00 0.00 11.233.58 6.17 2.00 -0.98 3.58 -0.98 3.41 12.93 4.00 -0.71 11.414.07 6.17 2.00 -1.97 4.07 -1.97 3.59 12.93 4.00 -1.41 11.59

Dar valores entre: 4.56 6.17 2.00 -2.95 4.56 -2.95 3.76 12.93 4.00 -2.12 11.765.05 6.17 2.00 -3.93 5.05 -3.93 3.94 12.93 4.00 -2.83 11.94

X = 3.08 5.54 6.17 2.00 -4.92 5.54 -4.92 4.12 12.93 4.00 -3.53 12.12X = 8.00 6.03 6.17 2.00 -5.90 6.03 -5.90 4.29 12.93 4.00 -4.24 12.29

6.53 6.17 2.00 -6.88 6.53 -6.88 4.47 12.93 4.00 -4.95 12.477.02 6.17 2.00 -7.87 7.02 -7.87 4.65 12.93 4.00 -5.66 12.657.51 6.17 2.00 -8.85 7.51 -8.85 4.82 12.93 4.00 -6.36 12.828.00 6.17 2.00 -9.83 8.00 -9.83 5.00 12.93 4.00 -7.07 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00

CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b

CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 0.00 0.00 6.17 0.00 0.00 0.000.31 0.00 2.00 6.17 1.81 0.31 1.810.62 0.00 2.00 6.17 3.42 0.62 3.420.93 0.00 2.00 6.17 4.85 0.93 4.851.23 0.00 2.00 6.17 6.09 1.23 6.091.54 0.00 2.00 6.17 7.13 1.54 7.131.85 0.00 2.00 6.17 7.99 1.85 7.992.16 0.00 2.00 6.17 8.66 2.16 8.662.47 0.00 2.00 6.17 9.13 2.47 9.132.78 0.00 2.00 6.17 9.42 2.78 9.423.08 0.00 2.00 6.17 9.51 3.08 9.513.58 0.00 2.00 6.17 9.27 3.58 9.274.07 0.00 2.00 6.17 8.55 4.07 8.554.56 0.00 2.00 6.17 7.34 4.56 7.345.05 0.00 2.00 6.17 5.65 5.05 5.655.54 0.00 2.00 6.17 3.47 5.54 3.476.03 0.00 2.00 6.17 0.81 6.03 0.81

Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)

6.53 0.00 2.00 6.17 -2.33 6.53 -2.337.02 0.00 2.00 6.17 -5.95 7.02 -5.957.51 0.00 2.00 6.17 -10.06 7.51 -10.068.00 0.00 2.00 6.17 -14.65 8.00 -14.65

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 6.17 2.00 0.00 6.17

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

0.00 0.00 6.17 0.00

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c

CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -14.65 4.00 12.93 -14.65 8.00 -14.650.32 -14.65 4.00 12.93 -10.68 8.32 -10.680.65 -14.65 4.00 12.93 -7.13 8.65 -7.130.97 -14.65 4.00 12.93 -3.99 8.97 -3.991.29 -14.65 4.00 12.93 -1.28 9.29 -1.281.62 -14.65 4.00 12.93 1.02 9.62 1.021.94 -14.65 4.00 12.93 2.90 9.94 2.902.26 -14.65 4.00 12.93 4.37 10.26 4.372.59 -14.65 4.00 12.93 5.41 10.59 5.412.91 -14.65 4.00 12.93 6.04 10.91 6.043.23 -14.65 4.00 12.93 6.25 11.23 6.253.41 -14.65 4.00 12.93 6.18 11.41 6.18

Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)

X=(( ^2+21. ))/ 1

3.59 -14.65 4.00 12.93 6.00 11.59 6.003.76 -14.65 4.00 12.93 5.68 11.76 5.683.94 -14.65 4.00 12.93 5.25 11.94 5.254.12 -14.65 4.00 12.93 4.69 12.12 4.694.29 -14.65 4.00 12.93 4.00 12.29 4.004.47 -14.65 4.00 12.93 3.19 12.47 3.194.65 -14.65 4.00 12.93 2.25 12.65 2.254.82 -14.65 4.00 12.93 1.19 12.82 1.195.00 -14.65 4.00 12.93 0.00 13.00 0.00

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -14.65 12.93 4.00 1.47 5.00

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

9.47 0.00 13.00 0.00

X' Vxm. Tn.

0.00 0.000.00 6.170.31 5.550.62 4.930.93 4.32

X=(( ^2+22. ))/ 2

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-15.00-10.00-5.000.005.00

10.0015.00

1.23 3.701.54 3.081.85 2.472.16 1.852.47 1.232.78 0.623.08 0.003.58 -0.984.07 -1.974.56 -2.955.05 -3.935.54 -4.926.03 -5.906.53 -6.887.02 -7.877.51 -8.858.00 -9.838.00 0.008.00 0.008.00 12.938.32 11.648.65 10.348.97 9.059.29 7.769.62 6.479.94 5.17

10.26 3.8810.59 2.5910.91 1.2911.23 0.0011.41 -0.7111.59 -1.4111.76 -2.1211.94 -2.8312.12 -3.5312.29 -4.2412.47 -4.9512.65 -5.6612.82 -6.3613.00 -7.0713.00 0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-15.00-10.00-5.000.005.00

10.0015.00

Lamina

MC-01

Dimensiones de la vigab hcm cm

30.00 70.0030.00 70.00

Vigas de seccion rectangular

Cij = - Kij/ Ki

Ci = -1.000

Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

14.654 -14.6540.000 -0.084 -0.135 0.0000.168 0.084 0.135 0.269

-0.168 -0.337 -0.538 -0.2690.673 0.337 0.538 1.077

-0.673 -1.346 -2.154 -1.07710.667 5.333 -4.167 -8.333

-10.667 10.667 -8.333 8.333-1.000 -0.385 -0.615 -1.000

a b c

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

2; 12.93

22; -7.07

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.17

12; 0.00

22; -9.83

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -14.65

11; 6.25

21; 0.001; 0.001; 0.00

11; 9.51

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

CoordenadasVxm.

0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2

3.08 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.23 m. 6.17 9.83 12.93 7.07 2.00 4.00

X' Vxm. Tn.

8.00 0.008.00 12.938.32 11.648.65 10.348.97 9.059.29 7.769.62 6.479.94 5.1710.26 3.8810.59 2.5910.91 1.29

Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi

Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2

Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2

11.23 0.0011.41 -0.7111.59 -1.4111.76 -2.1211.94 -2.8312.12 -3.5312.29 -4.2412.47 -4.9512.65 -5.6612.82 -6.3613.00 -7.0713.00 0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-15.00-10.00-5.000.005.00

10.0015.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-15.00-10.00-5.000.005.00

10.0015.00

ING. Lamina

J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-02

Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:

Datos:

= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b

= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00

Seccin de viga bc 30.00

Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular

ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00

Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij

Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas

Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos

Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado

Factor de reduccin 2 F=3/4 = 0.75 Extremo articulado

Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.

CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij MjiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m

ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 0.75 803.90625 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 0.75 1286.25 -8.333 8.333

Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"

W2W1

W1W2L1L2

1. MOMENTO DE INERCIA ( I )

I = bh3/12

2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Mij = Wij. L2ij

3. FACTORES DE DISTRIBUCION

Cij = - Kij/ Ki Ki Ci

h

b

d

aab 803.91 803.91 -1.000

-1.00Factor de distribucin de un nudo

bba 803.91 2090.16 -0.385

-1.000bc 1286.25 2090.16 -0.615 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

ccb 1286.25 1286.25 -1.000

-1.00 en el nudo es igual a -1.000.

14.654 -14.6540.000 0.000

-1.346 -2.15410.667 5.333 -4.167 -8.333

-10.667 10.667 -8.333 8.333-1.000 -0.385 -0.615 -1.000

a b c

Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij

Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji

FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.

ab 2.00 8.00 8 -8 0.000 14.654 6.17 -9.83 bc 4.00 5.00 10 -10 -14.654 0.000 12.93 -7.07

Ci = -1.000

4. DIAGRAMA DE ITERACIONES

5. FUERZAS CORTANTES

6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.93

22; -7.07

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.17

12; 0.00

22; -9.83

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)

Ubicacin del punto de inflexin del cortante

Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 6.17 2.00 3.08 3.08 1.00 0.00 12.93 4.00 3.23 11.23 0.00

Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.

X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.

Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 6.17 0.00 6.17 0.00 6.17 0.00 12.93 4.00 12.93 8.000.31 6.17 2.00 5.55 0.31 5.55 0.32 12.93 4.00 11.64 8.320.62 6.17 2.00 4.93 0.62 4.93 0.65 12.93 4.00 10.34 8.65

Dar valores entre: 0.93 6.17 2.00 4.32 0.93 4.32 0.97 12.93 4.00 9.05 8.971.23 6.17 2.00 3.70 1.23 3.70 1.29 12.93 4.00 7.76 9.29

X = 0.00 1.54 6.17 2.00 3.08 1.54 3.08 1.62 12.93 4.00 6.47 9.62X = 3.08 1.85 6.17 2.00 2.47 1.85 2.47 1.94 12.93 4.00 5.17 9.94

2.16 6.17 2.00 1.85 2.16 1.85 2.26 12.93 4.00 3.88 10.262.47 6.17 2.00 1.23 2.47 1.23 2.59 12.93 4.00 2.59 10.592.78 6.17 2.00 0.62 2.78 0.62 2.91 12.93 4.00 1.29 10.91

Vx=0, Punto de inflexin 3.08 6.17 2.00 0.00 3.08 0.00 3.23 12.93 4.00 0.00 11.233.58 6.17 2.00 -0.98 3.58 -0.98 3.41 12.93 4.00 -0.71 11.414.07 6.17 2.00 -1.97 4.07 -1.97 3.59 12.93 4.00 -1.41 11.59

Dar valores entre: 4.56 6.17 2.00 -2.95 4.56 -2.95 3.76 12.93 4.00 -2.12 11.765.05 6.17 2.00 -3.93 5.05 -3.93 3.94 12.93 4.00 -2.83 11.94

X = 3.08 5.54 6.17 2.00 -4.92 5.54 -4.92 4.12 12.93 4.00 -3.53 12.12X = 8.00 6.03 6.17 2.00 -5.90 6.03 -5.90 4.29 12.93 4.00 -4.24 12.29

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.93

22; -7.07

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.17

12; 0.00

22; -9.83

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -14.65

11; 6.2521; 0.001; 0.00

1; 0.00

11; 9.51

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

6.53 6.17 2.00 -6.88 6.53 -6.88 4.47 12.93 4.00 -4.95 12.477.02 6.17 2.00 -7.87 7.02 -7.87 4.65 12.93 4.00 -5.66 12.657.51 6.17 2.00 -8.85 7.51 -8.85 4.82 12.93 4.00 -6.36 12.828.00 6.17 2.00 -9.83 8.00 -9.83 5.00 12.93 4.00 -7.07 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00

CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b

CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 0.00 0.00 6.17 0.00 0.00 0.000.31 0.00 2.00 6.17 1.81 0.31 1.810.62 0.00 2.00 6.17 3.42 0.62 3.420.93 0.00 2.00 6.17 4.85 0.93 4.851.23 0.00 2.00 6.17 6.09 1.23 6.091.54 0.00 2.00 6.17 7.13 1.54 7.131.85 0.00 2.00 6.17 7.99 1.85 7.992.16 0.00 2.00 6.17 8.66 2.16 8.662.47 0.00 2.00 6.17 9.13 2.47 9.132.78 0.00 2.00 6.17 9.42 2.78 9.423.08 0.00 2.00 6.17 9.51 3.08 9.513.58 0.00 2.00 6.17 9.27 3.58 9.274.07 0.00 2.00 6.17 8.55 4.07 8.554.56 0.00 2.00 6.17 7.34 4.56 7.345.05 0.00 2.00 6.17 5.65 5.05 5.655.54 0.00 2.00 6.17 3.47 5.54 3.476.03 0.00 2.00 6.17 0.81 6.03 0.816.53 0.00 2.00 6.17 -2.33 6.53 -2.337.02 0.00 2.00 6.17 -5.95 7.02 -5.957.51 0.00 2.00 6.17 -10.06 7.51 -10.068.00 0.00 2.00 6.17 -14.65 8.00 -14.65

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 6.17 2.00 0.00 6.17

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

0.00 0.00 6.17 0.00

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c

CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -14.65 4.00 12.93 -14.65 8.00 -14.650.32 -14.65 4.00 12.93 -10.68 8.32 -10.680.65 -14.65 4.00 12.93 -7.13 8.65 -7.130.97 -14.65 4.00 12.93 -3.99 8.97 -3.991.29 -14.65 4.00 12.93 -1.28 9.29 -1.281.62 -14.65 4.00 12.93 1.02 9.62 1.021.94 -14.65 4.00 12.93 2.90 9.94 2.902.26 -14.65 4.00 12.93 4.37 10.26 4.372.59 -14.65 4.00 12.93 5.41 10.59 5.412.91 -14.65 4.00 12.93 6.04 10.91 6.043.23 -14.65 4.00 12.93 6.25 11.23 6.253.41 -14.65 4.00 12.93 6.18 11.41 6.183.59 -14.65 4.00 12.93 6.00 11.59 6.003.76 -14.65 4.00 12.93 5.68 11.76 5.683.94 -14.65 4.00 12.93 5.25 11.94 5.254.12 -14.65 4.00 12.93 4.69 12.12 4.694.29 -14.65 4.00 12.93 4.00 12.29 4.004.47 -14.65 4.00 12.93 3.19 12.47 3.194.65 -14.65 4.00 12.93 2.25 12.65 2.25

Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)

X=(( ^2+21. ))/ 1

4.82 -14.65 4.00 12.93 1.19 12.82 1.195.00 -14.65 4.00 12.93 0.00 13.00 0.00

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -14.65 12.93 4.00 1.47 5.00

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

9.47 0.00 13.00 0.00

X' Vxm. Tn.

0.00 0.000.00 6.170.31 5.550.62 4.930.93 4.321.23 3.701.54 3.081.85 2.472.16 1.852.47 1.232.78 0.623.08 0.00

X=(( ^2+22. ))/ 2

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-15.00-10.00-5.000.005.00

10.0015.00

3.58 -0.984.07 -1.974.56 -2.955.05 -3.935.54 -4.926.03 -5.906.53 -6.887.02 -7.877.51 -8.858.00 -9.838.00 0.008.00 0.008.00 12.938.32 11.648.65 10.348.97 9.059.29 7.769.62 6.479.94 5.17

10.26 3.8810.59 2.5910.91 1.2911.23 0.0011.41 -0.7111.59 -1.4111.76 -2.1211.94 -2.8312.12 -3.5312.29 -4.2412.47 -4.9512.65 -5.6612.82 -6.3613.00 -7.0713.00 0.00

Lamina

MC-02

Dimensiones de la vigab hcm cm

30.00 70.0030.00 70.00

Vigas de seccion rectangular ==

0.38 b + 16.000 0.60 b - 12.500

b = -3.590Mba = 14.6538

Mbc = -14.654

Mba = 3EI(b)/L1 + W1. L12/8 3EI(b)/L1 + W1. L12/8Mbc = 3EI(b)/L2 - W2. L22/8 3EI(b)/L2 - W2. L22/8

Cij = - Kij/ Ki

Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

14.654 -14.65414.654 -14.654 0.000 0.865 1.385

0.000 -0.673 -1.077 0.000 1.474 0.737 -2.98711.115 5.558 -3.808 -7.615 -1.474 -2.949 -4.718-0.449 -0.897 -1.436 -0.718 10.667 5.333

-10.667 10.667 -8.333 8.333 -10.667 10.667 -8.333-1.000 -0.385 -0.615 -1.000 -1.000 -0.385 -0.615

a b c a b

Ci = -1.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.93

22; -7.07

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.17

12; 0.00

22; -9.83

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

CoordenadasVxm.

0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2

3.08 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.23 m. 6.17 9.83 12.93 7.07 2.00 4.00

X' Vxm. Tn.

8.00 0.008.00 12.938.32 11.648.65 10.348.97 9.059.29 7.769.62 6.479.94 5.1710.26 3.8810.59 2.5910.91 1.2911.23 0.0011.41 -0.7111.59 -1.4111.76 -2.1211.94 -2.8312.12 -3.5312.29 -4.24

Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi

Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2

Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.93

22; -7.07

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.17

12; 0.00

22; -9.83

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -14.65

11; 6.2521; 0.001; 0.00

1; 0.00

11; 9.51

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

12.47 -4.9512.65 -5.6612.82 -6.3613.00 -7.0713.00 0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-15.00-10.00-5.000.005.00

10.0015.00

-14.6541.385 0.000

-2.987 -5.974-4.718 -2.359

-8.333 8.333-0.615 -1.000

c

ING. Lamina

J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-03

Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:

Datos:

= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b

= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00

Seccin de viga bc 30.00

Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular

ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00

Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij

Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas

Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos

Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado

Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.

CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij MjiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m

ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 1 1071.875 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 1 1715 -8.333 8.333

Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"

aab 1071.88 0.00 0.000

0.00Factor de distribucin de un nudo

W2W1

W1W2L1L2

1. MOMENTO DE INERCIA ( I )

I = bh3/12

2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Mij = Wij. L2ij

3. FACTORES DE DISTRIBUCION

Cij = - Kij/ Ki

Ci = -1.000

Ki Ci

h

b

d

bba 1071.88 2786.88 -0.385

-1.000bc 1715.00 2786.88 -0.615 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

ccb 1715.00 1715.00 -1.000

-1.00 en el nudo es igual a -1.000.

11.500 -11.500-10.250 0.001 0.001 0.000

0.000 -0.002 -0.0040.003 0.005 0.009 0.004

0.000 -0.014 -0.0280.017 0.035 0.055 0.028

0.000 -0.090 -0.1800.113 0.225 0.360 0.180

0.000 -0.586 -1.1720.732 1.464 2.343 1.172

0.000 -3.808 -7.615-0.449 -0.897 -1.436 -0.718

-10.667 10.667 -8.333 8.3330.000 -0.385 -0.615 -1.000

a b c

Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij

Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji

FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.

ab 2.00 8.00 8 -8 -10.250 11.500 7.84 -8.16 bc 4.00 5.00 10 -10 -11.500 0.000 12.30 -7.70

4. DIAGRAMA DE ITERACIONES

5. FUERZAS CORTANTES

6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15

20

2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -11.50

11; 7.41

21; 0.001; 0.00

1; -10.25

11; 5.13

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)

Ubicacin del punto de inflexin del cortante

Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 7.84 2.00 3.92 3.92 1.00 0.00 12.30 4.00 3.07 11.07 0.00

Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.

X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.

Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 7.84 0.00 7.84 0.00 7.84 0.00 12.30 4.00 12.30 8.000.39 7.84 2.00 7.06 0.39 7.06 0.31 12.30 4.00 11.07 8.310.78 7.84 2.00 6.28 0.78 6.28 0.61 12.30 4.00 9.84 8.61

Dar valores entre: 1.18 7.84 2.00 5.49 1.18 5.49 0.92 12.30 4.00 8.61 8.921.57 7.84 2.00 4.71 1.57 4.71 1.23 12.30 4.00 7.38 9.23

X = 0.00 1.96 7.84 2.00 3.92 1.96 3.92 1.54 12.30 4.00 6.15 9.54X = 3.92 2.35 7.84 2.00 3.14 2.35 3.14 1.84 12.30 4.00 4.92 9.84

2.75 7.84 2.00 2.35 2.75 2.35 2.15 12.30 4.00 3.69 10.153.14 7.84 2.00 1.57 3.14 1.57 2.46 12.30 4.00 2.46 10.463.53 7.84 2.00 0.78 3.53 0.78 2.77 12.30 4.00 1.23 10.77

Vx=0, Punto de inflexin 3.92 7.84 2.00 0.00 3.92 0.00 3.07 12.30 4.00 0.00 11.074.33 7.84 2.00 -0.82 4.33 -0.82 3.27 12.30 4.00 -0.77 11.274.74 7.84 2.00 -1.63 4.74 -1.63 3.46 12.30 4.00 -1.54 11.46

Dar valores entre: 5.15 7.84 2.00 -2.45 5.15 -2.45 3.65 12.30 4.00 -2.31 11.655.55 7.84 2.00 -3.26 5.55 -3.26 3.84 12.30 4.00 -3.08 11.84

X = 3.92 5.96 7.84 2.00 -4.08 5.96 -4.08 4.04 12.30 4.00 -3.85 12.04X = 8.00 6.37 7.84 2.00 -4.89 6.37 -4.89 4.23 12.30 4.00 -4.62 12.23

6.78 7.84 2.00 -5.71 6.78 -5.71 4.42 12.30 4.00 -5.39 12.427.18 7.84 2.00 -6.52 7.18 -6.52 4.61 12.30 4.00 -6.16 12.617.59 7.84 2.00 -7.34 7.59 -7.34 4.81 12.30 4.00 -6.93 12.818.00 7.84 2.00 -8.16 8.00 -8.16 5.00 12.30 4.00 -7.70 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00

CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b

CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -10.25 0.00 7.84 -10.25 0.00 -10.250.39 -10.25 2.00 7.84 -7.33 0.39 -7.330.78 -10.25 2.00 7.84 -4.71 0.78 -4.711.18 -10.25 2.00 7.84 -2.41 1.18 -2.411.57 -10.25 2.00 7.84 -0.41 1.57 -0.411.96 -10.25 2.00 7.84 1.29 1.96 1.292.35 -10.25 2.00 7.84 2.67 2.35 2.672.75 -10.25 2.00 7.84 3.75 2.75 3.753.14 -10.25 2.00 7.84 4.52 3.14 4.523.53 -10.25 2.00 7.84 4.98 3.53 4.983.92 -10.25 2.00 7.84 5.13 3.92 5.134.33 -10.25 2.00 7.84 4.96 4.33 4.964.74 -10.25 2.00 7.84 4.47 4.74 4.475.15 -10.25 2.00 7.84 3.63 5.15 3.635.55 -10.25 2.00 7.84 2.47 5.55 2.475.96 -10.25 2.00 7.84 0.97 5.96 0.976.37 -10.25 2.00 7.84 -0.86 6.37 -0.86

Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)

6.78 -10.25 2.00 7.84 -3.02 6.78 -3.027.18 -10.25 2.00 7.84 -5.51 7.18 -5.517.59 -10.25 2.00 7.84 -8.34 7.59 -8.348.00 -10.25 2.00 7.84 -11.50 8.00 -11.50

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 7.84 2.00 0.00 7.84

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

0.00 0.00 7.84 0.00

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c

CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -11.50 4.00 12.30 -11.50 8.00 -11.500.31 -11.50 4.00 12.30 -7.91 8.31 -7.910.61 -11.50 4.00 12.30 -4.69 8.61 -4.690.92 -11.50 4.00 12.30 -1.86 8.92 -1.861.23 -11.50 4.00 12.30 0.60 9.23 0.601.54 -11.50 4.00 12.30 2.68 9.54 2.681.84 -11.50 4.00 12.30 4.39 9.84 4.392.15 -11.50 4.00 12.30 5.71 10.15 5.712.46 -11.50 4.00 12.30 6.65 10.46 6.652.77 -11.50 4.00 12.30 7.22 10.77 7.223.07 -11.50 4.00 12.30 7.41 11.07 7.413.27 -11.50 4.00 12.30 7.34 11.27 7.34

Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)

X=(( ^2+21. ))/ 1

3.46 -11.50 4.00 12.30 7.11 11.46 7.113.65 -11.50 4.00 12.30 6.74 11.65 6.743.84 -11.50 4.00 12.30 6.23 11.84 6.234.04 -11.50 4.00 12.30 5.56 12.04 5.564.23 -11.50 4.00 12.30 4.74 12.23 4.744.42 -11.50 4.00 12.30 3.78 12.42 3.784.61 -11.50 4.00 12.30 2.67 12.61 2.674.81 -11.50 4.00 12.30 1.41 12.81 1.415.00 -11.50 4.00 12.30 0.00 13.00 0.00

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -11.50 12.30 4.00 1.15 5.00

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

9.15 0.00 13.00 0.00

X' Vxm. Tn.

0.00 0.000.00 7.840.39 7.060.78 6.281.18 5.49

X=(( ^2+22. ))/ 2

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

1.57 4.711.96 3.922.35 3.142.75 2.353.14 1.573.53 0.783.92 0.004.33 -0.824.74 -1.635.15 -2.455.55 -3.265.96 -4.086.37 -4.896.78 -5.717.18 -6.527.59 -7.348.00 -8.168.00 0.008.00 0.008.00 12.308.31 11.078.61 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.84 4.92

10.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.07 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.84 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.6212.42 -5.3912.61 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

Lamina

MC-03

Dimensiones de la vigab hcm cm

30.00 70.0030.00 70.00

Vigas de seccion rectangular

Cij = - Kij/ Ki

Ci = -1.000

Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15

20

2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -11.50

11; 7.41

21; 0.001; 0.00

1; -10.25

11; 5.13

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

CoordenadasVxm.

0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2

3.92 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.07 m. 7.84 8.16 12.30 7.70 2.00 4.00

X' Vxm. Tn.

8.00 0.008.00 12.308.31 11.078.61 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.84 4.9210.15 3.6910.46 2.4610.77 1.23

Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi

Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2

Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2

11.07 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.84 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.6212.42 -5.3912.61 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

ING. Lamina

J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-04

Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:

Datos:

= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b

= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00

Seccin de viga bc 30.00

Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular

ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00

Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij

Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas

Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos

Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado

Factor de reduccin 2 F=3/4 = 0.75 Extremo articulado

Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.

CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij MjiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m

ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 1 1071.875 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 0.75 1286.25 -8.333 8.333

Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"

W2W1

W1W2L1L2

1. MOMENTO DE INERCIA ( I )

I = bh3/12

2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Mij = Wij. L2ij

3. FACTORES DE DISTRIBUCION

Cij = - Kij/ Ki Ki Ci

h

b

d

aab 1071.88 0.00 0.000

0.00Factor de distribucin de un nudo

bba 1071.88 2358.13 -0.455

-1.000bc 1286.25 2358.13 -0.545 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

ccb 1286.25 1286.25 -1.000

-1.00 en el nudo es igual a -1.000.

11.500 -11.500-10.250 0.000

0.417 0.833 1.000-4.167 -8.333

-10.667 10.667 -8.333 8.3330.000 -0.455 -0.545 -1.000

a b c

Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij

Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji

FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.

ab 2.00 8.00 8 -8 -10.250 11.500 7.84 -8.16 bc 4.00 5.00 10 -10 -11.500 0.000 12.30 -7.70

Ci = -1.000

4. DIAGRAMA DE ITERACIONES

5. FUERZAS CORTANTES

6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)

Ubicacin del punto de inflexin del cortante

Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 7.84 2.00 3.92 3.92 1.00 0.00 12.30 4.00 3.08 11.08 0.00

Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.

X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.

Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 7.84 0.00 7.84 0.00 7.84 0.00 12.30 4.00 12.30 8.000.39 7.84 2.00 7.06 0.39 7.06 0.31 12.30 4.00 11.07 8.310.78 7.84 2.00 6.28 0.78 6.28 0.62 12.30 4.00 9.84 8.62

Dar valores entre: 1.18 7.84 2.00 5.49 1.18 5.49 0.92 12.30 4.00 8.61 8.921.57 7.84 2.00 4.71 1.57 4.71 1.23 12.30 4.00 7.38 9.23

X = 0.00 1.96 7.84 2.00 3.92 1.96 3.92 1.54 12.30 4.00 6.15 9.54X = 3.92 2.35 7.84 2.00 3.14 2.35 3.14 1.85 12.30 4.00 4.92 9.85

2.75 7.84 2.00 2.35 2.75 2.35 2.15 12.30 4.00 3.69 10.153.14 7.84 2.00 1.57 3.14 1.57 2.46 12.30 4.00 2.46 10.463.53 7.84 2.00 0.78 3.53 0.78 2.77 12.30 4.00 1.23 10.77

Vx=0, Punto de inflexin 3.92 7.84 2.00 0.00 3.92 0.00 3.08 12.30 4.00 0.00 11.084.33 7.84 2.00 -0.82 4.33 -0.82 3.27 12.30 4.00 -0.77 11.274.74 7.84 2.00 -1.63 4.74 -1.63 3.46 12.30 4.00 -1.54 11.46

Dar valores entre: 5.15 7.84 2.00 -2.45 5.15 -2.45 3.65 12.30 4.00 -2.31 11.655.55 7.84 2.00 -3.26 5.55 -3.26 3.85 12.30 4.00 -3.08 11.85

X = 3.92 5.96 7.84 2.00 -4.08 5.96 -4.08 4.04 12.30 4.00 -3.85 12.04X = 8.00 6.37 7.84 2.00 -4.89 6.37 -4.89 4.23 12.30 4.00 -4.62 12.23

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -11.50

11; 7.41

21; 0.001; 0.00

1; -10.25

11; 5.13

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

6.78 7.84 2.00 -5.71 6.78 -5.71 4.42 12.30 4.00 -5.39 12.427.18 7.84 2.00 -6.53 7.18 -6.53 4.62 12.30 4.00 -6.16 12.627.59 7.84 2.00 -7.34 7.59 -7.34 4.81 12.30 4.00 -6.93 12.818.00 7.84 2.00 -8.16 8.00 -8.16 5.00 12.30 4.00 -7.70 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00

CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b

CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -10.25 0.00 7.84 -10.25 0.00 -10.250.39 -10.25 2.00 7.84 -7.33 0.39 -7.330.78 -10.25 2.00 7.84 -4.71 0.78 -4.711.18 -10.25 2.00 7.84 -2.41 1.18 -2.411.57 -10.25 2.00 7.84 -0.41 1.57 -0.411.96 -10.25 2.00 7.84 1.29 1.96 1.292.35 -10.25 2.00 7.84 2.67 2.35 2.672.75 -10.25 2.00 7.84 3.75 2.75 3.753.14 -10.25 2.00 7.84 4.52 3.14 4.523.53 -10.25 2.00 7.84 4.98 3.53 4.983.92 -10.25 2.00 7.84 5.13 3.92 5.134.33 -10.25 2.00 7.84 4.96 4.33 4.964.74 -10.25 2.00 7.84 4.47 4.74 4.475.15 -10.25 2.00 7.84 3.63 5.15 3.635.55 -10.25 2.00 7.84 2.47 5.55 2.475.96 -10.25 2.00 7.84 0.97 5.96 0.976.37 -10.25 2.00 7.84 -0.86 6.37 -0.866.78 -10.25 2.00 7.84 -3.02 6.78 -3.027.18 -10.25 2.00 7.84 -5.51 7.18 -5.517.59 -10.25 2.00 7.84 -8.34 7.59 -8.348.00 -10.25 2.00 7.84 -11.50 8.00 -11.50

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 7.84 2.00 0.00 7.84

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

0.00 0.00 7.84 0.00

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c

CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -11.50 4.00 12.30 -11.50 8.00 -11.500.31 -11.50 4.00 12.30 -7.91 8.31 -7.910.62 -11.50 4.00 12.30 -4.69 8.62 -4.690.92 -11.50 4.00 12.30 -1.86 8.92 -1.861.23 -11.50 4.00 12.30 0.60 9.23 0.601.54 -11.50 4.00 12.30 2.68 9.54 2.681.85 -11.50 4.00 12.30 4.39 9.85 4.392.15 -11.50 4.00 12.30 5.71 10.15 5.712.46 -11.50 4.00 12.30 6.65 10.46 6.652.77 -11.50 4.00 12.30 7.22 10.77 7.223.08 -11.50 4.00 12.30 7.41 11.08 7.413.27 -11.50 4.00 12.30 7.34 11.27 7.343.46 -11.50 4.00 12.30 7.11 11.46 7.113.65 -11.50 4.00 12.30 6.74 11.65 6.743.85 -11.50 4.00 12.30 6.23 11.85 6.234.04 -11.50 4.00 12.30 5.56 12.04 5.564.23 -11.50 4.00 12.30 4.74 12.23 4.744.42 -11.50 4.00 12.30 3.78 12.42 3.784.62 -11.50 4.00 12.30 2.67 12.62 2.67

Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)

X=(( ^2+21. ))/ 1

4.81 -11.50 4.00 12.30 1.41 12.81 1.415.00 -11.50 4.00 12.30 0.00 13.00 0.00

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -11.50 12.30 4.00 1.15 5.00

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

9.15 0.00 13.00 0.00

X' Vxm. Tn.

0.00 0.000.00 7.840.39 7.060.78 6.281.18 5.491.57 4.711.96 3.922.35 3.142.75 2.353.14 1.573.53 0.783.92 0.00

X=(( ^2+22. ))/ 2

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

4.33 -0.824.74 -1.635.15 -2.455.55 -3.265.96 -4.086.37 -4.896.78 -5.717.18 -6.537.59 -7.348.00 -8.168.00 0.008.00 0.008.00 12.308.31 11.078.62 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.85 4.92

10.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.08 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.85 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.6212.42 -5.3912.62 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00

Lamina

MC-04

Dimensiones de la vigab hcm cm

30.00 70.0030.00 70.00

Vigas de seccion rectangular

0.50 b + 10.667 0.60 b - 12.500

b = 1.667Mba = 11.500

Mbc = -11.500

Mba = 2EI(2b)/L1 + W1. L12/12Mbc = 3EI(b)/L2 - W2. L22/8

Cij = - Kij/ Ki

Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

Ci = -1.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

CoordenadasVxm.

0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2

3.92 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.08 m. 7.84 8.16 12.30 7.70 2.00 4.00

X' Vxm. Tn.

8.00 0.008.00 12.308.31 11.078.62 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.85 4.9210.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.08 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.85 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.62

Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi

Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2

Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -11.50

11; 7.41

21; 0.001; 0.00

1; -10.25

11; 5.13

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

12.42 -5.3912.62 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

ING. Lamina

J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-05

Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:

Datos:

= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c = 4.00 Tn/m Tramo b

= 8.00 m. cmL1 L2 = 5.00 m. ab 30.00

Seccin de viga bc 30.00

Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular

ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00

Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij

Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas

Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos

Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado

Factor de reduccin 2 F=3/4 = 0.75 Extremo articulado

Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.

CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij Mji M'jiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m Tn-m

ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 1 1071.875 -10.667 10.667bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 0.75 1286.25 -8.333 8.333 -12.500

Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"

W2W1

W1W2L1L2

1. MOMENTO DE INERCIA ( I )

I = bh3/12

2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Mij = Wij. L2ij

3. FACTORES DE DISTRIBUCION

Cij = - Kij/ Ki Ki Ci

h

b

d

aab 1071.88 0.00 0.000

0.00Factor de distribucin de un nudo

bba 1071.88 2358.13 -0.455

-1.000bc 1286.25 2358.13 -0.545 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

ccb 1286.25 1286.25 -1.000

-1.00 en el nudo es igual a -1.000.

11.500 -11.500-10.250 0.000

0.417 0.833 1.000

-10.667 10.667 -12.5000.000 -0.455 -0.545 -1.000

a b c

Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij

Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji

FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.

ab 2.00 8.00 8 -8 -10.250 11.500 7.84 -8.16 bc 4.00 5.00 10 -10 -11.500 0.000 12.30 -7.70

Ci = -1.000

4. DIAGRAMA DE ITERACIONES

5. FUERZAS CORTANTES

6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)

Ubicacin del punto de inflexin del cortante

Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 7.84 2.00 3.92 3.92 1.00 0.00 12.30 4.00 3.08 11.08 0.00

Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.

X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.

Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 7.84 0.00 7.84 0.00 7.84 0.00 12.30 4.00 12.30 8.000.39 7.84 2.00 7.06 0.39 7.06 0.31 12.30 4.00 11.07 8.310.78 7.84 2.00 6.28 0.78 6.28 0.62 12.30 4.00 9.84 8.62

Dar valores entre: 1.18 7.84 2.00 5.49 1.18 5.49 0.92 12.30 4.00 8.61 8.921.57 7.84 2.00 4.71 1.57 4.71 1.23 12.30 4.00 7.38 9.23

X = 0.00 1.96 7.84 2.00 3.92 1.96 3.92 1.54 12.30 4.00 6.15 9.54X = 3.92 2.35 7.84 2.00 3.14 2.35 3.14 1.85 12.30 4.00 4.92 9.85

2.75 7.84 2.00 2.35 2.75 2.35 2.15 12.30 4.00 3.69 10.153.14 7.84 2.00 1.57 3.14 1.57 2.46 12.30 4.00 2.46 10.463.53 7.84 2.00 0.78 3.53 0.78 2.77 12.30 4.00 1.23 10.77

Vx=0, Punto de inflexin 3.92 7.84 2.00 0.00 3.92 0.00 3.08 12.30 4.00 0.00 11.084.33 7.84 2.00 -0.82 4.33 -0.82 3.27 12.30 4.00 -0.77 11.274.74 7.84 2.00 -1.63 4.74 -1.63 3.46 12.30 4.00 -1.54 11.46

Dar valores entre: 5.15 7.84 2.00 -2.45 5.15 -2.45 3.65 12.30 4.00 -2.31 11.655.55 7.84 2.00 -3.26 5.55 -3.26 3.85 12.30 4.00 -3.08 11.85

X = 3.92 5.96 7.84 2.00 -4.08 5.96 -4.08 4.04 12.30 4.00 -3.85 12.04X = 8.00 6.37 7.84 2.00 -4.89 6.37 -4.89 4.23 12.30 4.00 -4.62 12.23

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -11.50

11; 7.41

21; 0.001; 0.00

1; -10.25

11; 5.13

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

6.78 7.84 2.00 -5.71 6.78 -5.71 4.42 12.30 4.00 -5.39 12.427.18 7.84 2.00 -6.53 7.18 -6.53 4.62 12.30 4.00 -6.16 12.627.59 7.84 2.00 -7.34 7.59 -7.34 4.81 12.30 4.00 -6.93 12.818.00 7.84 2.00 -8.16 8.00 -8.16 5.00 12.30 4.00 -7.70 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00

CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b

CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -10.25 0.00 7.84 -10.25 0.00 -10.250.39 -10.25 2.00 7.84 -7.33 0.39 -7.330.78 -10.25 2.00 7.84 -4.71 0.78 -4.711.18 -10.25 2.00 7.84 -2.41 1.18 -2.411.57 -10.25 2.00 7.84 -0.41 1.57 -0.411.96 -10.25 2.00 7.84 1.29 1.96 1.292.35 -10.25 2.00 7.84 2.67 2.35 2.672.75 -10.25 2.00 7.84 3.75 2.75 3.753.14 -10.25 2.00 7.84 4.52 3.14 4.523.53 -10.25 2.00 7.84 4.98 3.53 4.983.92 -10.25 2.00 7.84 5.13 3.92 5.134.33 -10.25 2.00 7.84 4.96 4.33 4.964.74 -10.25 2.00 7.84 4.47 4.74 4.475.15 -10.25 2.00 7.84 3.63 5.15 3.635.55 -10.25 2.00 7.84 2.47 5.55 2.475.96 -10.25 2.00 7.84 0.97 5.96 0.976.37 -10.25 2.00 7.84 -0.86 6.37 -0.866.78 -10.25 2.00 7.84 -3.02 6.78 -3.027.18 -10.25 2.00 7.84 -5.51 7.18 -5.517.59 -10.25 2.00 7.84 -8.34 7.59 -8.348.00 -10.25 2.00 7.84 -11.50 8.00 -11.50

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 7.84 2.00 0.00 7.84

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

0.00 0.00 7.84 0.00

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c

CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -11.50 4.00 12.30 -11.50 8.00 -11.500.31 -11.50 4.00 12.30 -7.91 8.31 -7.910.62 -11.50 4.00 12.30 -4.69 8.62 -4.690.92 -11.50 4.00 12.30 -1.86 8.92 -1.861.23 -11.50 4.00 12.30 0.60 9.23 0.601.54 -11.50 4.00 12.30 2.68 9.54 2.681.85 -11.50 4.00 12.30 4.39 9.85 4.392.15 -11.50 4.00 12.30 5.71 10.15 5.712.46 -11.50 4.00 12.30 6.65 10.46 6.652.77 -11.50 4.00 12.30 7.22 10.77 7.223.08 -11.50 4.00 12.30 7.41 11.08 7.413.27 -11.50 4.00 12.30 7.34 11.27 7.343.46 -11.50 4.00 12.30 7.11 11.46 7.113.65 -11.50 4.00 12.30 6.74 11.65 6.743.85 -11.50 4.00 12.30 6.23 11.85 6.234.04 -11.50 4.00 12.30 5.56 12.04 5.564.23 -11.50 4.00 12.30 4.74 12.23 4.744.42 -11.50 4.00 12.30 3.78 12.42 3.784.62 -11.50 4.00 12.30 2.67 12.62 2.67

Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)

X=(( ^2+21. ))/ 1

4.81 -11.50 4.00 12.30 1.41 12.81 1.415.00 -11.50 4.00 12.30 0.00 13.00 0.00

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -11.50 12.30 4.00 1.15 5.00

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

9.15 0.00 13.00 0.00

X' Vxm. Tn.

0.00 0.000.00 7.840.39 7.060.78 6.281.18 5.491.57 4.711.96 3.922.35 3.142.75 2.353.14 1.573.53 0.783.92 0.00

X=(( ^2+22. ))/ 2

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

4.33 -0.824.74 -1.635.15 -2.455.55 -3.265.96 -4.086.37 -4.896.78 -5.717.18 -6.537.59 -7.348.00 -8.168.00 0.008.00 0.008.00 12.308.31 11.078.62 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.85 4.92

10.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.08 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.85 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.6212.42 -5.3912.62 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00

Lamina

MC-05

Dimensiones de la vigab hcm cm

30.00 70.0030.00 70.00

Vigas de seccion rectangular

0.50 b + 10.667 0.60 b - 12.500

b = 1.667Mba = 11.500

Mbc = -11.500

Mba = 2EI(2b)/L1 + W1. L12/12Mbc = 3EI(b)/L2 - W2. L22/8

Cij = - Kij/ Ki

Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

Ci = -1.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

CoordenadasVxm.

0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2

3.92 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m3.08 m. 7.84 8.16 12.30 7.70 2.00 4.00

X' Vxm. Tn.

8.00 0.008.00 12.308.31 11.078.62 9.848.92 8.619.23 7.389.54 6.159.85 4.9210.15 3.6910.46 2.4610.77 1.2311.08 0.0011.27 -0.7711.46 -1.5411.65 -2.3111.85 -3.0812.04 -3.8512.23 -4.62

Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi

Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2

Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-10

-5

0

5

10

15 2; 12.30

22; -7.70

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 7.84

12; 0.00

22; -8.16

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -11.50

11; 7.41

21; 0.001; 0.00

1; -10.25

11; 5.13

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

12.42 -5.3912.62 -6.1612.81 -6.9313.00 -7.7013.00 0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

ING. Lamina

J.R.T.G. METODO DE CROSS MC-06

Calcular los Cortantes y Momentos de la viga de seccin rectangular adjunta:Seccin de viga

Datos:

= 2.00 Tn/m Dimensiones de la vigaa b c d = 4.00 Tn/m Tramo b

= 2.00 Tn/m cmL1 L2 L3 = 8.00 m. ab 30.00

= 5.00 m. bc 30.00= 6.00 m. cd 30.00

Tramo b h I cm cm cm4 Momento de inercia Vigas de seccion rectangular

ab 30.00 70.00 857,500.00bc 30.00 70.00 857,500.00cd 30.00 70.00 857,500.00

Coeficiente de Rigidez Relatava modificada (K) K'ij = Fr.Kij

Momento de empotramiento Perfecto (Mij) Cargas distribuidas

Coeficiente de Rigidez Relativa (K) Kij = Iij/Lij Elementos con nudos rgidos

Factor de reduccin 1 F = 1.00 Extremo no articulado

Factor de reduccin 2 F=3/4 = 0.75 Extremo articulado

Nota :Se afectar al coeficiente de rigidez por cualquiera de los dos factores verificando si el extremo del tramo se encuentraarticulado o no articulado.

CUADRO DE RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Tramo W L I Kij Factor K'ij Mij Mji M'jiTn/m m. cm4 cm2 cm2 Tn-m Tn-m Tn-m

ab 2.00 8.00 857,500.00 1071.875 0.75 803.90625 -10.667 10.667 16.000bc 4.00 5.00 857,500.00 1715 1 1715 -8.333 8.333cd 2.00 6.00 857,500.00 1429.1667 0.75 1071.875 -6.000 6.000 -9.000

Nudo Tramo Kij Ciji ij cm2 cm2 Factor de distribucin de un extremo "ij"

W2W1 W3

W1W2W3L1L2L3

1. MOMENTO DE INERCIA ( I )

I = bh3/12

2. RIGIDECES RELATIVAS Y MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Mij = Wij. L2ij

3. FACTORES DE DISTRIBUCION

Cij = - Kij/ Ki Ki Ci

h

b

d

aab 803.91 803.91 -1.000

-1.000Factor de distribucin de un nudo

bba 803.91 2518.91 -0.319

-1.000bc 1715.00 2518.91 -0.681 Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

ccb 1715.00 2786.88 -0.615

-1.000 en el nudo es igual a -1.000.

cd 1071.88 2786.88 -0.385

c -1.000dc 1071.88 1071.88 -1.000

13.194 -13.194 7.594 -7.5940.000 0.000

-0.004 -0.0080.011 0.022 0.014

-0.034 -0.072 -0.0360.000 0.106 0.211 0.132 0.000

-0.322 -0.686 -0.3431.008 2.016 1.260

-2.447 -5.220 -2.61016.000 -8.333 8.333 -9.000

-1.000 -0.319 -0.681 -0.615 -0.385 -1.000

a b c d

Fuerza cortante del nudo i al nudo j Vij = +Vij-(Mij+Mji)/ Lij

Fuerza cortante del nudo j al nudo i Vji = -Vji-(Mji+Mij)/ Lji

FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo W L Vij Vji Mij Mji Vij VjiTn/m m. Tn. Tn. Tn-m. Tn-m. Tn. Tn.

ab 2.00 8.00 8 -8 0.000 13.194 6.35 -9.65 bc 4.00 5.00 10 -10 -13.194 7.594 11.12 -8.88 cd 2.00 6.00 6 -6 -7.594 0.000 7.27 -4.73

Ci = -1.000

4. DIAGRAMA DE ITERACIONES

5. FUERZAS CORTANTES

6. DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

152; 11.12

22; -8.88

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.35

12; 0.00

22; -9.65

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

Tramo a-b Vx = Vab- W1.(X)Tramo b-c Vx = Vbc- W2.(X)

Ubicacin del punto de inflexin del cortante

Ubicacin de "X" cuando Vx=0 Coordenadas Ubicacin de "X" cuando Vx=0 CoordenadasVx Vab W1 X X Vx Vx Vbc W2 X X VxTn. Tn. Tn/m m. m. m. Tn. Tn. Tn/m m. Tn/m m.0.00 6.35 2.00 3.18 3.18 1.00 0.00 11.12 4.00 2.78 10.78 0.00

Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo ab, luego obtenemos X=Si hacemos Vx = 0, localizamos el punto de inflexin del Cortante en el tramo bc, luego obtenemos X=En el punto de inflexin el cortante es cero y el momento flector ser el mximo del tramo analizado.

X Vab W1 Vx X' Vx X Vbc W2 Vx X'm. Tn. Tn/m Tn. m. Tn. m. Tn. Tn/m Tn. m.

Se inicia con X=0 , Vx=0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8.000.00 6.35 0.00 6.35 0.00 6.35 0.00 11.12 4.00 11.12 8.000.32 6.35 2.00 5.72 0.32 5.72 0.28 11.12 4.00 10.01 8.280.64 6.35 2.00 5.08 0.64 5.08 0.56 11.12 4.00 8.90 8.56

Dar valores entre: 0.95 6.35 2.00 4.45 0.95 4.45 0.83 11.12 4.00 7.78 8.831.27 6.35 2.00 3.81 1.27 3.81 1.11 11.12 4.00 6.67 9.11

X = 0.00 1.59 6.35 2.00 3.18 1.59 3.18 1.39 11.12 4.00 5.56 9.39X = 3.18 1.91 6.35 2.00 2.54 1.91 2.54 1.67 11.12 4.00 4.45 9.67

2.22 6.35 2.00 1.91 2.22 1.91 1.95 11.12 4.00 3.34 9.952.54 6.35 2.00 1.27 2.54 1.27 2.22 11.12 4.00 2.22 10.222.86 6.35 2.00 0.64 2.86 0.64 2.50 11.12 4.00 1.11 10.50

Vx=0, Punto de inflexin 3.18 6.35 2.00 0.00 3.18 0.00 2.78 11.12 4.00 0.00 10.783.66 6.35 2.00 -0.96 3.66 -0.96 3.00 11.12 4.00 -0.89 11.004.14 6.35 2.00 -1.93 4.14 -1.93 3.22 11.12 4.00 -1.78 11.22

Dar valores entre: 4.62 6.35 2.00 -2.89 4.62 -2.89 3.45 11.12 4.00 -2.66 11.455.11 6.35 2.00 -3.86 5.11 -3.86 3.67 11.12 4.00 -3.55 11.67

X = 3.18 5.59 6.35 2.00 -4.82 5.59 -4.82 3.89 11.12 4.00 -4.44 11.89X = 8.00 6.07 6.35 2.00 -5.79 6.07 -5.79 4.11 11.12 4.00 -5.33 12.11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

152; 11.12

22; -8.88

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.35

12; 0.00

22; -9.65

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -13.19

11; 2.26

21; -7.59

1; 0.001; 0.00

11; 10.08

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

6.55 6.35 2.00 -6.75 6.55 -6.75 4.33 11.12 4.00 -6.22 12.337.04 6.35 2.00 -7.72 7.04 -7.72 4.56 11.12 4.00 -7.10 12.567.52 6.35 2.00 -8.68 7.52 -8.68 4.78 11.12 4.00 -7.99 12.788.00 6.35 2.00 -9.65 8.00 -9.65 5.00 11.12 4.00 -8.88 13.008.00 0.00 8.00 0.00 5.00 0.00 0.00 0.00 13.00

CUADRO DE VALORES PARA LOS MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO a - b

CoordenadasX Mab W1 Vab Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 0.00 0.00 6.35 0.00 0.00 0.000.32 0.00 2.00 6.35 1.92 0.32 1.920.64 0.00 2.00 6.35 3.63 0.64 3.630.95 0.00 2.00 6.35 5.14 0.95 5.141.27 0.00 2.00 6.35 6.45 1.27 6.451.59 0.00 2.00 6.35 7.56 1.59 7.561.91 0.00 2.00 6.35 8.47 1.91 8.472.22 0.00 2.00 6.35 9.18 2.22 9.182.54 0.00 2.00 6.35 9.68 2.54 9.682.86 0.00 2.00 6.35 9.98 2.86 9.983.18 0.00 2.00 6.35 10.08 3.18 10.083.66 0.00 2.00 6.35 9.85 3.66 9.854.14 0.00 2.00 6.35 9.15 4.14 9.154.62 0.00 2.00 6.35 7.99 4.62 7.995.11 0.00 2.00 6.35 6.36 5.11 6.365.59 0.00 2.00 6.35 4.26 5.59 4.266.07 0.00 2.00 6.35 1.70 6.07 1.706.55 0.00 2.00 6.35 -1.32 6.55 -1.327.04 0.00 2.00 6.35 -4.81 7.04 -4.817.52 0.00 2.00 6.35 -8.77 7.52 -8.778.00 0.00 2.00 6.35 -13.19 8.00 -13.19

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

Mx = Mab+Vab.(X) -0.5W1(X2)

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mab Vab W1 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 0.00 6.35 2.00 0.00 6.35

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

0.00 0.00 6.35 0.00

VALORES DE MOMENTOS FLECTORES EN EL TRAMO b - c

CoordenadasX Mbc W2 Vbc Mx X Mxm. Tn-m Tn/m Tn. Tn-m m. Tn.

0.00 -13.19 4.00 11.12 -13.19 8.00 -13.190.28 -13.19 4.00 11.12 -10.26 8.28 -10.260.56 -13.19 4.00 11.12 -7.63 8.56 -7.630.83 -13.19 4.00 11.12 -5.31 8.83 -5.311.11 -13.19 4.00 11.12 -3.30 9.11 -3.301.39 -13.19 4.00 11.12 -1.60 9.39 -1.601.67 -13.19 4.00 11.12 -0.21 9.67 -0.211.95 -13.19 4.00 11.12 0.87 9.95 0.872.22 -13.19 4.00 11.12 1.64 10.22 1.642.50 -13.19 4.00 11.12 2.11 10.50 2.112.78 -13.19 4.00 11.12 2.26 10.78 2.263.00 -13.19 4.00 11.12 2.16 11.00 2.163.22 -13.19 4.00 11.12 1.87 11.22 1.873.45 -13.19 4.00 11.12 1.38 11.45 1.383.67 -13.19 4.00 11.12 0.69 11.67 0.693.89 -13.19 4.00 11.12 -0.20 11.89 -0.204.11 -13.19 4.00 11.12 -1.29 12.11 -1.294.33 -13.19 4.00 11.12 -2.57 12.33 -2.574.56 -13.19 4.00 11.12 -4.05 12.56 -4.05

Mx = Mbc+Vbc.(X) -0.5W2(X2)

X=(( ^2+21. ))/ 1

4.78 -13.19 4.00 11.12 -5.72 12.78 -5.725.00 -13.19 4.00 11.12 -7.59 13.00 -7.59

CUADRO DE VALORES DE LOS MOMENTOS MINIMOS

UBICACIN DE LA DISTANCIA (X) CUANDO M=0

Mx Mbc Vbc W2 XTn-m Tn-m Tn. Tn. m. m.0.00 -13.19 11.12 4.00 1.72 3.84

COORDENADAS FINALES

X Mx X Mxm. Tn. m. Tn.

9.72 0.00 11.84 0.00

X' Vxm. Tn.

0.00 0.000.00 6.350.32 5.720.64 5.080.95 4.451.27 3.811.59 3.181.91 2.542.22 1.912.54 1.272.86 0.643.18 0.00

X=(( ^2+22. ))/ 2

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-15.00-10.00-5.000.005.00

10.0015.00

3.66 -0.964.14 -1.934.62 -2.895.11 -3.865.59 -4.826.07 -5.796.55 -6.757.04 -7.727.52 -8.688.00 -9.658.00 0.008.00 0.008.00 11.128.28 10.018.56 8.908.83 7.789.11 6.679.39 5.569.67 4.459.95 3.34

10.22 2.2210.50 1.1110.78 0.0011.00 -0.8911.22 -1.7811.45 -2.6611.67 -3.5511.89 -4.4412.11 -5.3312.33 -6.2212.56 -7.1012.78 -7.9913.00 -8.8813.00 0.00

Lamina

MC-06

Seccin de viga

Dimensiones de la vigab hcm cm

30.00 70.0030.00 70.0030.00 70.00

Vigas de seccion rectangular

0.50 b + 10.667 0.60 b - 12.500

b = 1.667Mba = 11.500

Mbc = -11.500

Mba = 2EI(2b)/L1 + W1. L12/12Mbc = 3EI(b)/L2 - W2. L22/8

Cij = - Kij/ Ki

Nota :Debe cumplir que la sumatoria de factores de distribucin

Ci = -1.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

152; 11.12

22; -8.88

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.35

12; 0.00

22; -9.65

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

CUADRO DE VALORES PARA EL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES EN VIGAS

CoordenadasVxm.

0.00X Vab Vba Vbc Vcb W1 W2

3.18 m. m. Tn. Tn. Tn. Tn. Tn/m Tn/m2.78 m. 6.35 9.65 11.12 8.88 2.00 4.00

X' Vxm. Tn.

8.00 0.008.00 11.128.28 10.018.56 8.908.83 7.789.11 6.679.39 5.569.67 4.459.95 3.3410.22 2.2210.50 1.1110.78 0.0011.00 -0.8911.22 -1.7811.45 -2.6611.67 -3.5511.89 -4.4412.11 -5.33

Vij = Rij - Wi.(Xi) - Pi Mij = Rij - Wi.(Xi) - Pi

Mba = Vab.(X) - W1.(X)2/2

Mca = Vab.(L1+X) +(Vba+Vbc).(x) - W1.L1. (X+L1)2 - W2.(X)2/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-15

-10

-5

0

5

10

152; 11.12

22; -8.88

23; 0.001; 0.001; 0.00

2; 6.35

12; 0.00

22; -9.65

DIAGRAM A DE FUERZAS CORTANTES

V(Tn)

L(m.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

1; 0.00

1; -13.19

11; 2.26

21; -7.59

1; 0.001; 0.00

11; 10.08

DIAGRAM A DE M OM ENTOS FLECTORES

M(Tn-m)

L(m.)

12.33 -6.2212.56 -7.1012.78 -7.9913.00 -8.8813.00 0.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

-15.00-10.00-5.000.005.00

10.0015.00

V-1-aV-1-bV-2-aV-2-bV-2-cV-3-aHoja1