VIGA DISEÑO

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ANALISIS DE VIGA MEDIANTE ANALISIS ESTATICO POR ELEMENTOS FINITOS GERMAN EDUARDO VEGA PATIÑO JUAN CARLOS PARRA QUIROGA ING. OTTO CARO UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA

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ANALISIS DE VIGA MEDIANTE ANALISIS ESTATICO POR ELEMENTOS FINITOS

GERMAN EDUARDO VEGA PATIÑO

JUAN CARLOS PARRA QUIROGA

ING. OTTO CARO

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIAFACULTAD SECCIONAL DUITAMA

ESCUELA INGENIERÍA ELECTROMECÁNICADISEÑO MECANICO I

DUITAMA 2014

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1. INTRODUCCION

El método de los elementos finitos, es un método numérico para la solución de problemas de ingeniería, hoy comúnmente empleado para la resolución de problemas que involucran un alto grado de complejidad, de matemáticas aplicadas así como las fisicomatemáticas, ya que la gran mayoría de problemas que se presentan en esta área, comúnmente involucran geometrías complejas, cargas no distribuidas y determinación de propiedades de materiales, por lo que generalmente no es posible obtener la solución analítica directamente de expresiones matemáticas.

El método de los elementos finitos está pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a problemas de la ingeniería como lo son el análisis de estructuras, problemas de transferencia de calor, flujo de fluidos, transporte de masa así como el cálculo de potencial electromagnético.

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2. OBJETIVOS

Dadas unas condiciones de carga y apoyo de una vida, aplicar los conceptos adquiridos en la materia Diseño Mecánico I para obtener los cálculos requeridos, y mediante los conceptos adquiridos en la visita al Instituto De Metrológica y Diseño del SENA-Bogotá, analizarlos y compararlos con los datos obtenidos mediante del análisis estático por elementos finitos.

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3. PROBLEMA

Una viga está apoyada y cargada como se muestra en la figura:

Figura 1. Viga

I. Determinar las reacciones en los apoyos, el cortante máximo, el momento máximo, pendiente máxima, esfuerzo máximo y deflexión máxima.

II. Hallar el factor de seguridad estático si la viga es de material dúctil con un Sy = 300 MPa y si la viga es de material frágil con un Su = 150 MPa.

Tabla 1. Datos de la Viga

Parámetro Valora 0.18mb 0.4ml 0.5mFb 950NW 450N .mI 1.17∗10−8

c 1.00∗10−2

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4. DESARROLLO DEL PROBLEMA

Ecuaciones

q=Ra ¿x−0>¿−1−Fb¿ x−a>¿−1−w ¿ x−a>¿0+Rb ¿ x−b>¿−1+Rc ¿ x−l>¿−1¿¿¿¿¿

q=Ra ¿x−0>¿−1−950¿ x−0.18>¿−1−450¿x−0.18>¿0+Rb ¿ x−0.4>¿−1+Rc ¿ x−0.5>¿−1¿¿¿¿¿

V=Ra ¿ x−0>¿0−950¿ x−0.18>¿0−450¿ x−0.18>¿1+Rb ¿ x−0.4>¿0+Rc ¿x−0.5>¿0+C 1¿¿¿¿¿

M=Ra ¿ x−0>¿1−950¿ x−0.18>¿1−4502

¿ x−0.18>¿2+Rb ¿ x−0.4>¿1+Rc ¿ x−0.5>¿1+C 1x+C2¿¿¿¿¿

dydxEI=Ra

2¿x−0>¿2−950

2¿ x−0.18>¿2−450

6¿x−0.18>¿3+ Rb

2¿ x−0.4>¿2+ Rc

2¿ x−0.5>¿2+C1

2x2+C2x+C 3¿¿¿¿¿

yEI= Ra6

¿ x−0>¿3−9506

¿ x−0.18>¿3−45024

¿ x−0.18>¿4+ Rb6

¿ x−0.4>¿3+ Rc6

¿ x−0.5>¿3+C16x3+C 2

2x2+C 3x+C 4¿¿¿¿¿

C1=0 yC 2=0

Para x = 0; y = 0

0=Ra6

¿ 0−0>¿3−9506

¿0−0.18>¿3−45024

¿0−0.18>¿4+ Rb6

¿0−0.4>¿3+Rc6

¿0−0.5>¿3+C3∗0+C 4¿¿¿¿¿

C 4=0

Para x = 0.4; y = 0

0=Ra6

¿ 0.4−0>¿3−9506

¿0.4−0.18>¿3−45024

¿0.4−0.18>¿4+Rb6

¿0.4−0.4>¿3+ Rc6

¿0.4−0.5>¿3+C3∗0.4¿¿¿¿¿

0.4∗C 3=−4375

Ra+1.729856333(1)

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Para x = 0.5; y = 0

0=Ra6

¿ 0.5−0>¿3−9506

¿ 0.5−0.18>¿3−45024

¿0.5−0.18>¿4+ Rb6

¿0.5−0.4>¿3+ Rc6

¿0.5−0.5>¿3+C3∗0.5¿¿¿¿¿

0.5∗C3=−148Ra− 1

6000Rb+5.384875667(2)

Para x = 0.5; M = 0

M=Ra ¿0.5−0>¿1−950¿0.5−0.18>¿1−4502

¿0.5−0.18>¿2+Rb ¿0.5−0.4>¿1+Rc ¿0.5−0.5>¿1¿¿¿¿¿

0=0.5 Ra+0.1Rb−327.04(3)

Para x = 0.5; V = 0

0=Ra¿0.5−0>¿0−950¿0.5−0.18>¿0−450¿0.5−0.18>¿1+Rb¿0.5−0.4>¿0+Rc ¿0.5−0.5>¿0¿¿¿¿¿

0=Ra+Rb+Rc−1094 (4 )

Resolviendo el sistema de ecuaciones simultaneas (1), (2), (3) y (4) se obtiene

Tabla 2. Respuestas Analíticas

Incógnita Respuesta AnalíticaRa 401.62328805801NRb 1262.2835597099NRc −589.90684776794NC3 −6.3853135190606N∗m2

Cortante máximo

V max=Ra ¿0.4−0>¿0−950¿0.4−0.18>¿0−450¿0.4−0.18>¿1+Rb ¿0.4−0.4>¿0 ¿¿¿¿

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V max=401.62328805801−950−450¿0.4−0.18>¿1¿

V max=−647.3767119N

Momento máximo

Mmax=Ra¿0.18−0>¿1−950¿0.18−0.18>¿1−4502

¿0.18−0.18>¿2¿¿¿

Mmax=401.62328805801¿0.18−0>¿1 ¿

Mmax=72.29219185N∗m

Pendiente máxima

dydx max

EI= Ra2

¿0−0>¿2−9502

¿0−0.18>¿2−4506

¿0−0.18>¿3+ Rb2

¿0−0.4>¿2+Rc2

¿0−0.5>¿2+C 3¿¿¿¿¿

dydx max

EI=C 3=−6.3853135190606N∗m2

dydx max

=−0.002598825201

Deflexión máxima

ymax EI=Ra6

¿0.18−0>¿3−9506

¿0.18−0.18>¿3− 45024

¿0.18−0.18>¿4+Rb6

¿0.18−0.4>¿3+ Rc6

¿0.18−0.5>¿3+C3∗0.18+C 4¿¿¿¿¿

ymax EI=Ra6

¿0.18−0>¿3+C3∗0.18+C 4¿

ymax EI=401.62328805801

6¿0.18−0>¿3−6.3853135190606∗0.18¿

ymax EI=−0.7589785974N∗m3

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ymax=−0.000308904598m

Esfuerzo admisible

σ adm=Mmax∗cI

σ adm=72.29219185∗1∗10−2

1.17∗10−8

σ adm=61.78819816MPa

Material dúctil

Teoría de Von Mises

σ '=61.78819816MPa

n= syσ '

= 300MPa61.78819816MPa

n=4,85 Teoría del esfuerzo cortante máximo

Sy2n

=σ1−σ32

Como σ 3=0

n= syσ '

= 300MPa61.78819816MPa

n=4,85

Teoría de Mohr-Coulomb

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σ1S t

−σ3Sc

=1n

Como σ 3=0

n= syσ '

= 300MPa61.78819816MPa

n=4,85

Materiales frágiles Sut = 150Mpa

Teoría de Coulomb Mohr

σ A=Sutn

n=Sutσ A

= 150MPa72.29219185MPa

=2.07

n=2.07

Teoría de Mohr modificado

σ A=Sutn

n=Sutσ A

= 150MPa72.29219185MPa

=2.07

n=2.07

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A continuación se mostraran las gráficas y los cálculos de datos mediante el uso del software Algor 2011 y xvigas.

Figura 2. Simulación y valores para el Esfuerzo Máximo Cortante.

Figura 3. Simulación y valores para la Deflexión Máxima.

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Figura 4. Simulación y valores para el Momento Máximo.

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Figura 5. Grafica para los cortantes

Figura 6. Grafica para los Momentos Flectores.

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Figura 7. Grafica de Deflexiones.

Tabla 3. Datos Obtenidos Mediante Simulación en ALGOR

Parámetro ValorMomento Máximo 72,48983Cortante Máximo 646,389Deflexión Máxima 0,0003140405

Tabla 4. Tabla de comparación de los datos calculados y simulados

Parámetro Valor Analítico Valor SimulaciónMomento Máximo 72.29219185N∗m 72,48983 N∗mCortante Máximo −647.3767119N -646,389 NDeflexión Máxima −0.000308904598m -0,0003140405m

Ra 401.62328805801N -Rb 1262.2835597099N -Rc −589.90684776794N -C3 −6.3853135190606N∗m2 -

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5. CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES

En los cálculos realizados analíticamente y mediante computadora se observa que los factores de seguridad tanto para material dúctil como para material frágil son muy altos, llegando a ser excesivos si se comparan con estándares de seguridad en la industria actual.

Dado que los factores de seguridad son tan altos, se puede esperar que la viga analizada sea empleada en trabajos críticos, donde entren en juego la integridad humana y de equipos o estructuras de elevados costos.

Como se observa en la tabla 4 los resultados obtenidos analíticamente y mediante simulación presentan una pequeña diferencia o desviación que puede ser causada por la omisión o inclusión de cifras decimales, factores o parámetros como la gravedad, la temperatura, la densidad y demás que en este caso el programa ALGOR si tiene en cuenta, mientras los cálculos analíticos no.

Estos factores de seguridad también indican que hay que revisar las cargas a las que la viga va a estar sometida la viga, ya que para estas cargas aplicadas la viga esta sobredimensionada elevando costos innecesariamente.

Mediante el uso de software podemos generar cálculos más rápidos y de mayor complejidad, los cuales serían tediosos y propensos al error para el ingeniero, por la complejidad que estos reflejan a medida que las geometrías, fuerzas y parámetros involucrados en el problema aumentan su complejidad.

Se observa que el programa es de gran ayuda para el cálculo y diseño de todo tipo de piezas, ensambles, y demás trabajos en las diferentes áreas de la ingeniería, pero que sin el adecuado conocimiento por parte del ingeniero, los datos arrojados por dicho programa no tendrán ninguna valides y por lo tanto ninguna utilidad.

Al tratar de comparar los cálculos analíticos con los simulados, hicieron falta varios valores simulados, la causa por los cuales no se incluyeron es que para poder hacer un análisis más específico en zonas de interés por la presencia de esfuerzos, momentos o cargas grandes, el conocimiento adquirido en el manejo del software

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no lo permite, pues el nivel alcanzado en el curso en de análisis estático por elementos finitos no llego al módulo que nos permitiera realizar dichos cálculos.

La práctica realizada en el Instituto de Metrológica y Diseño del SENA, es pertinente y de mucha importancia para nuestra formación como ingenieros electromecánicos ya que nos permite tener y manejar nuevas herramientas que con un adecuado uso nos llevaran a un buen desempeño como futuros ingenieros y nos dará más competitividad laboral.

Como una observación cabe anotar que para un mayor y mejor aprendizaje de estas herramientas es necesario que el estudiante tenga algunas bases previas en el manejo de software como los AutoCad, Solid Edge, Inventor y demás programas de modelamiento y simulación disponibles en la UPTC que permitan profundizar y alcanzar módulos mas avanzados en el transcurso del curso.