VIGA CONJUGADA

Viga Conjugada

FUNDAMENTO TEÓRICO

Capítulo 2

RESISTENCIA DE MATERIALES I Viga Conjugada

Desarrollado por Otto Mohr en 1868. Este método consiste en cambiar el problema de encontrar las pendientes y deflexiones causadas en una viga con un sistema de cargas aplicadas, solo se tiene que averiguar las fuerzas cortantes y momentos de una viga ficcticia o conjugada, cargadacon el momento Diagrama de momento flector reducido( M ).

EIEs decir que una viga conjugada que corresponde a una viga real, es una viga ficcticia de lamisma longitud, externamente apoyada e internamente conectada, cargada con el digrama M

EIde la real, entonces el cortante y momento en cualquier punto de la conjugada corresponden alapendiente y deflexion en la viga real

1.Demostración del teorema del teorema de la viga conjugada

1. Teorema 1.-La pendiente de la elastica en cualquier seccion de la viga real es igual a la fuerza cortante en la misma seccion dela viga conjugada correspondiente.

θ = V

iga real, es igual al momento en la misma seccion de la

y = M

2.1.2. Teorema 2.-La deflexion de cualquier punto de la v viga conjugada

Figura 2.1: viga real y su elástica

En la figura (a) se tiene una viga simplemente apoyada sometida a cargas, las cuales le producen las deformaciones que se indican. Esta viga la llamaremos la viga real. Para la viga de la figura(a) consideramos que CD es elástico y que AC y DB son rigidos.

Ingeniería civil Pag. 6


por efecto de las cargas la figura(a) toma la forma de la figura (b) en la que se tiene:

dθA + dθB = dθ

...(1)

tandθA = dθA =

x

∆

∆ = xdθA

...(2)

tandθB = dθB = l −

x

∆

∆ = (l − x)dθB

...(3)

de (2) y (3)

xdθA = (l − x)dθB

(l − x)dθA =dθB

x ...(4)

dθB = (l − x) dθA

x...(5)

(5) en (1)

dθA + (l − x) dθA = dθ

x

dθA

=(l − x)

l dθ

...(6)

(4) en (1)

dθB = l dθ

x...(7)

se sabe que dθ = M x dx, reemplazando en (6) y (7) EI

dθA

=(l − x) Mx

dxl EI ...(8)

dθB = l E I dx

x Mx

...(9)


RESISTENCIA DE MATERIALES IViga Conjugada

Figura 2.2: Fuerza cortante y Momento flexionante en la viga conjugada

Si consideramos que C y D van aumentando hasta ser elastico toda la viga, se tiene:

θA

=

{ l (l − x) Mx0 l EI d

x...(10)

θB

=

{ l x Mx0 l EI dx ...(11)

de la figura (c) se sabe que dA = M x dx, que viene a ser la carga en la viga conjugada, en la EIcual sus reacciones

dr1 = E I dx

Mx (l − x) l ...(12)

dr2 = E I dx

l

Mx

x ...(13)

si toda la viga es elastica la viga conjugada estara cargada completamente, como se muestra en la figura (c); luego las reacciones r1 y r2 serán

{ l

r1 = dr1 =0{ l

r2 = dr2 =0

{ l (l − x) Mx0 l EI d

x...(14)

{ l x Mx0 l EI d

x...(15)

comparando (14) y (15) con (10) y (11)

θA =r1

θB =r2



De la figura (d) en el triangulo AST

θA = θC + θAC θC = θA

− θAC

pero θAC = areaA1C1 y reemplazando θA , la expresion queda

θC = r1 − areaA1C1

...(teorema 1)

flechaCC1 :

CC1 = C11C − C1C11

triángulo rectangulo ACC11

θA = tanθA

=C11

CAC = C11

Cx

pero

C11C = xθA = r1xC1C11 = tC 1 /A = xg

areaA1C1

luego, finalmente queda

yC =r1x − xg

areaA1C1

...(teorema 2)

2. Relación de apoyos

1. Apoyo simpleSe presenta rotación pero no defelxión, en la viga conjugada habrá corntante pero no momento y se deja como un apoyo simple.

2. empotramientoNo hay giro ni deflexion en la viga real, en la viga conjugada no hay momento ni cortante, esto se logra con un extremo libre.



2.2.3. extremo libreTiene rotación y deflexión en la viga real, en la viga conjugada con un empotramiento se obt

iene

V y M .

E2l .e2x.4tr. emAopLoyiborien:tTerieionre rotación y deflexión en la viga real, en la viga conjugada con un emTipenoetrraomtacieiónntoysdeeoflebxtiióennepeVroylaMp.endiente es la misma a cada lado del apoyo, en la viga

conjugada se presenta por una articulación.Un apoyo inter ior : En la viga real no hay deflexión pero la pendiente es la misma a cada la2d.o2.d5e. l aUponyao,aernticlaulvaicgiaócnonjugada se representa por una articulación.

En la viga real se representa en la cual hay deflexión y pendiente discontinua, se representa porUunnaapaorytoiceun llaacviiógna coennjulgaadva idgeaberheaablersMe ryecparmesbeiontaabruepntolean claucaolrthanatye Vd,esfelerxepiórensenytapendientedpisocrounntianpuoyao, isneterrieopr.resenta por un apoyo en la viga conjugada y debe haber M y cambio abPrauraputon menayeolrceonrtetannditme iVen.to se presenta una tabla con la relación de apoyos de una viga real y

una viga conjugada.

Apuntes de Análisis de Estructuras 1 80

La viga conjugada puede ser inestable bajo la acción de la carga M/E1, en todos los casos es determinada, pues una indeterminada requiere una viga real inestable.

UnInmgeonmieerníato

ciMvil(+) e

a enla viga real. Un V(+) en la conjugada corresponde a θ (+) en la real.

Figura 2.3: Tabla de relación de apoyos de una viga real y su conjuga

+)Poagh. a1c0ia arribn la viga conjugada, corresponde a una deflexión

y(


3.Procedimiento para transformar una viga real a una viga conjugada

1. Convención de signos para la fuerza cortante y el momento flector1. Fuerza cortante y momento flector positivo

1 Construya el diagrama M para la viga real.EI

2 Determine la viga conjugada.

3 Aplique el M como carga a la viga conjugada; en las secciones donde los momentos losEI

M son negativos la carga sera de tracción en la viga, y cuando M sea positivo la cargaEI EIen la viga conjugada sera de compresión.

4 Calcule las reacciones en los apoyos de la viga conjugada (equilibrio y compatibilidad).

5 Para calcular θ en la viga real calcule V en la viga conjugada y para calcular f lecha en la viga real calcule M en la viga conjugada .

2.3.2. ConvenciónSi V es (+) =⇒ θ es antihorario (-) Si V es (-) =⇒ θ es horario (+)Si M es (+) =⇒ f lecha es hacia abajo (-) Si M es (-) =⇒ f lecha es hacia arriba (+)2.3.3. Ejemplos:


Pr ocedimRiEenStIoSTENCIA DE MATERIALES I

Viga Conjugada

Apuntes de Análisis de Estructuras I

Pontificia Universidad Javeriana Javier Fajardo

81

1. Construya el diagrama M/EI para la viga real2. Determine la viga conjugada3. Aplique el diagrama M/EI como carga a la viga conjugada, las ordenadas (+)

se aplican como carga hacia arriba y (-) hacia abajo.4. Calcule las reacciones en los apoyos de la viga conjugada (equilibrio y

compatibilidad).5. Para calcular θ en la viga real calcule V en la conjugada y para

calcular y(Deflexión) en una viga real, se debe calcular M en la conjugada.


Viga Conjugada

PROBLEMAS APLICATIVOS

Capítulo 3


3.0.4. Problema 01.-Determinar la pendiente y la flecha en el extremo libre de la viga en voladizo, mostrada en la figura.

Solución:Primero convertimos la viga real en viga conjugada y lo sometemos ante el diagrama M/EI de la viga real, tal como se muestra en la figura. Una vez más, se puede notar, que la dirección de las flechas de la carga M/EI va hacia el eje horizontal de la viga en forma perpendicular a la misma. Luego, aplicamos el primer teorema y determinamos la pendiente en A

1 WL2 θA = RA = 3 L( 2E I )

WL3

θA = 6EI



como RA es positivo entonces,

WL3

θA = 6EI...(tiene sentido antihorario)

Posteriormente, aplicamos el segundo teorema y determinamos la flecha en A.

WL33L f A =

MA = ( 6E I )( 4 )WL4

f A = 8EI

como f A es positivoWL4

f A = 8EI...(f A es hacia abajo )

3.0.5. Problema 02.-La viga mostrada se encuentra sometida por un momento, siendo así; calcular el giro en los apoyos y la desviación en C.(EI = cte)

Solución:Del D.C.L dela viga tenemos Calculamos el D.M.F

D.M.F y D.M.R


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