INSTITUCIÓN EDUCATIVA EXALUMNAS DE LA PRESENTACIÓNGUIA DE ACTIVIDADES GRADO OCTAVO

NOMBRE:_____________________________________________. GRADO:________________

INTRODUCCIÓNEl álgebra es una rama de las matemáticas que estudia todas las cantidades numéricas de una manera general en sus operaciones, representaciones y aplicaciones, por medio del uso de letras que las llamamos variables. Comprende básicamente tres partes: expresiones algebraicas, ecuaciones y polinomios.El estudio de las expresiones algebraicas te posibilitará conocer, caracterizar y operar elementos matemáticos simbólicos.Son expresiones algebraicas

x+5 y ; x2; √ x+ y ; x

2+5 x−6 , x−64 y etc.

Una expresión algebraica es una combinación de números, variables, operaciones matemáticas y signos de agrupación.En una expresión algebraica cada uno de las partes que están separadas por un signo más (+) o por un signo menos (-), se denomina término.Recordemos algunas expresiones algebraicas sobre áreas y volúmenes:

A=bh/2 A= x2 A =ab A = π x2 v = x3 v = π r2h

Cuando en una expresión algebraica aparecen radicales o cocientes, estos se consideran como un solo término

En la expresión x2 y−3 x3 z−2 x+1−√5x4 hay 5 términos: x

2 y ; 3 x3 z ; 2 x ; 1 ; √5 x4

En un término se distinguen los siguientes elementos:Parte numérica: es la parte que expresa valores fijos (coeficientes) Parte literal: son las letras o variables del término.Signo: puede ser positivo (+) o negativo ()Grado: máximo exponente de la variablea) −5 x

4: signo (), parte numérica: 5; parte literal: x ; grado: 4

b) x2 y3 : signo (+), parte numérica: 1; parte literal: xy ; grado: 5

Lenguaje algebraicoEl lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo aparecen números. El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico.Por ejemplo: “El doble de un número aumentado en 3” se escribe 2m + 3. Donde m es el número desconocido “La mitad de un número disminuida en 7” se escribe n/2 – 7. Donde n es el número desconocido.Completa el siguiente cuadroLenguaje común Lenguaje

algebraicoEl triple de un número

h

x

a

bx x

b

h

Un número aumentado en dos unidadesLa suma de dos númerosEl triple de un número más otro númeroEl 15% de un número CEl precio de y kilos de naranjas a $ 650/kgLa edad de una persona hace 3 añosLa suma de dos números consecutivosEl cuadrado de un número, aumentado en siete cuartos del mismo número Clasificación de las expresiones algebraicasDe acuerdo con el número de términos que tenga una expresión algebraica estas toman diferentes nombres:Monomio: expresión algebraica que costa de un solo término: Ejemplos, 5x2y, - 3mn3

Binomio: expresión algebraica que costa de dos términos: Ejemplos, 2x -3y, -4m3 + n2

Trinomio: expresión algebraica que costa de tres términos: Ejemplo, 3y2 – 5y + 3/4Polinomio: expresión algebraica que costa de dos o más términos: Ejemplo, 7m + 2m3

– 5 + 4m2

Valor numérico de una expresión algebraicaPara hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza cada variable por el valor que se le haya asignado y luego se efectúan las operaciones indicadas.Ejemplo:1). Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b = sustituimos las variables a y b3 3 - 2 2 - 5 3 + 4 2 - 6 3 + 3 2 = se realizan las operaciones 9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = se agrupan + y -9 + 6 + 8 - 4 - 15 - 18 = se suman positivos y se suman negativos 23 - 37 = - 14 finalmente se realiza la resta, 2). Calcula el valor numérico de la expresión algebraica x2+1 cuando x toma el valor 2.

x 2+1 x⃗=222+1=4+1=5 Determine el valor numérico de las siguientes expresiones, sustituyendo las

variables por los valores dados.1) 3 x+2 y si x=5e y=−92) 5 x2−3 y si x=−3e y=73) 2a−5b+3absi a=−1 y b=−2

4) 3a2 + b3 si a=5 y b=7

5) 3 x3−5 x2+2 x−7 si x=2

Calcula el valor numérico de las siguientes Expresiones Algebraicas., considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 4

a) 5a2 – 2bc – 3d b) 7a2c – 8d3 c) 2a2 – b3 – c3 – d5

d) d4 – d3 – d2 + d – 1 e) 3(a – b) + 2(c – d) f) c−d2

+ a+b7

g)

Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las variables respectivas.

a) d=v i ·t+

at2

2 ; si vi = 8 m/seg , t = 4 seg , a = 3 m/seg2 (d : distancia q’ recorre un móvil) b) Ep = m·g·h ; si m = 0,8 hg , h = 15 m , g = 9,8 m/seg2 (Ep: energía potencial)

c) A=a

2√34 ; si a = 3,2 m (A : área de triángulo equilátero)

d) R=

r1 · r2r1+r2 ; si r1 = 4 ohm y r2 = 6 ohm (R : resistencia eléctrica total en

paralelo)

e) F=K·

q1 · q2r2 ; si k = 9·109

Nm2

c2 ; q1 = q2 = 4c y r = 10 m (F : fuerza atracción entre dos cargas)

TÉRMINOS SEMEJANTES.Se dice que dos o más Términos son Semejantes si tienen la misma parte literal y sus exponentes iguales, es decir, cuando tienen las mismas letras elevadas al mismo exponente. Los términos semejantes se diferencian sólo en los coeficientes.2a y a son semejantes, -2b y 8b son semejantes, -5a2b2 y -8a2b2 son semejantes. Pero si se tiene 3m, -5m2 y 6m3 NO son semejantes porque aunque tienen la misma parte literal, difieren en el exponente.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Reducir significa reunir en uno solo, varios términos. Para reducir términos semejantes, se suman algebraicamente los coeficientes y se coloca la misma parte variable 1¿3a+2a=5 a 2¿−5b−7b=−12b 3¿−a2−9a2=−10a2

4) −x5+ 4x3−5x+1−2x4−3x3+ x2+5 x−7=−x5−2 x4 +4 x3−3 x3+ x2−5 x+5x +1−7=

=−x5−2x4 +3x3 +x2−6

Reduce los términos semejantes en los siguientes ejercicios.1) 8x -3x+7x= 2) 3x +9y –2x –6y= 3) 7a 2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = 4) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = 5) 5m + 3mn – 7m + 4n – 3mn 6) x+2x= 7) 8a+9a= 8) 11b+9b= 9) −b−5b= 10) −8m−m=

11) −9m−7m= 12) 4 ax+5ax= 13) 12a+ 12a=

14) 35ab+ 1

10ab=

15) 13xy+ 1

6xy=

Reduce las siguientes expresiones

1) 7a - 9b + 6a - 4b =2) a + b – c – b – c + 2c – a =3) 5x – 11y – 9 + 20x – 1 – y =4) – 6m + 8n + 5 – m – n – 6m – 11 =5) – a + b + 2b – 2c + 3a + 2c – 3b =6) – 81x + 19y – 30z + 6y + 80x + x – 25y =7) 15a2 – 6ab – 8a2 + 20 – 5ab – 31 + a2 – ab =8) – 3a + 4b – 6a + 81b – 114b + 31a – a – b = Para cada figura determine su perímetro como expresión algebraica y de

acuerdo con el valor asignado a la variable halle su valor numérico. Si: x = 1 ¸ y = 4

Si: a =2 ; b = 4 y c =5 2a + c

3y – 2x

2x + y

3b + 2c b + a

2y

Si: m =5 y n = 2 3m – 2n

m + 2n

SIGNOS DE AGRUPACIÓNLos signos de agrupación se utilizan para clasificar y facilitar el manejo de las expresiones algebraicas: los signos de agrupación más utilizados son: ( ) paréntesis, [ corchetes, y {} llaves: para suprimir los signos de agrupación se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Si el signo de agrupación esta precedido del signo mas (+), todos los términos dentro del signo de agrupación conservan el mismo signo

2. Si el signo de agrupación esta precedido del signo menos (-), todos los términos dentro del signo de agrupación se les cambia el signo.

3. Cuando dentro de un signo de agrupación, están incluidos otros, la supresión de ellos se hace de adentro hacia afuera

4. Por último, se reducen los términos semejantes para simplificar la expresión dada.

Elimina paréntesis y reduce términos semejantes :1) 4 – (2a + 3) + (4a + 5) – (7 – 3a)2) 12 + (-5x + 1) – (-2x + 7) + (-3x) – (-6)3) -(x2 – y2) + 2x2 – 3y2 – (x2 – 2x2 – 3y2)4) --(a – 2b) – (a + 2b) – (-a – 3b)

5) 16a + -7 – (4a2 – 1) - -(5a + 1) + (-2a2 + 9) – 6a

6) 25x - --(-x – 6) – (-3x – 5) - 10 + -(2x + 1) + (-2x – 3) - 4

7) 2 - --(5x – 2y + 3) - (4x + 3y) + (5x + y)8) --(5a + 2) + (3a – 4) – (-a + 1) + (4a – 6)

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASPara sumar o restar expresiones algebraicas inicialmente se suprimen los signos de agrupación y luego se reducen los términos semejantes para obtener la mínima expresión.Ejemplos:Sumar (3x3 – 2x2 + 5x + 3) + (-3x – 4x2 -1). Primero se suprimen paréntesis 3x3 -2x2 + 5x + 3 – 3x – 4x2 – 1 Se agrupan términos semejantes 3x3 – 2x2 - 4x2 + 5x -3x +3 – 1 Se reducen términos semejantes 3x3 – 6x2 + 2x + 2 Solución

Restar (-2x + 5y + 8) – (-3y + 7x + 5) Primero se suprimen paréntesis -2x + 5y + 8 + 3y – 7x – 5 Se agrupan términos semejantes -2x – 7x + 5y + 3y + 8 – 5 Se reducen términos semejantes -9x + 8y + 3 Solución

A) Resuelve las siguientes operaciones1) (5m – 3mn + 6n) + (mn – 7m + 3n)2) (2x3+ 9x2- 5x + 1) – (6x2+ 7x3- 8x – 5)3) – (2ab – 4bc +2ac) + (7ab – ac + 9bc)

4) (3x2

2 + 5x3 - 14 ) – (2 x2 -

x5 - 1)

5) ( x2

3 + 2 xy - 3 y2) – (- 2 x2 + 5xy4 - 9 y

2

2)

B) Efectúa los siguientes ejercicios.1) De - 3a restar - 12a2) De 5ab restar 2a – 3ab3) De 3m – 2n restar 6n – 5m 4) De 6 x3 - 4 x restar 2 x2 - 4 x

5) De x4 - xy5 + 2 y3 restar 2 x−xy + 5 y2

C) Resuelve las siguientes operaciones1) De la suma de 2x + 7y con x – 5z restar 5x – y + 2z2) De la resta de a + 2b -7c con 3a + 5b - c sumar 5a – 2b + 4c3) De la suma de 2x - 3y + z con x + y – 3z sumar - 6x + 5z – 3y4) De la resta a – b con b – c restar a + b + c

5) De la suma de x2

4 - x7 con x2 - 3 restar 2x

2

3 + 2 x + 54

D) Resuelve los siguientes problemas

1) Andrés vende globos en el bazar anual que realizan en su colegio. Si la expresión 9 x2 + 25 x, representa en pesos el dinero obtenido por él en la venta, y la expresión 4 x2 + 7 x el gasto en la elaboración de los globos.Determine la expresión algebraica que representa su ganancia. Si x = 1200 cuál es su ganancia.

2) El perímetro de la siguiente figura, está dada por la expresión 10mn + 6m – 8n, si uno de sus lados mide lo que se indica en la figura, 4mn + m – 3n

¿?

Determine la expresión que representa la medida del otro lado 3) Jorge quiere remodelar la cocina de su casa, y para ello decide que se construya un

mesón en el centro de la cocina y cubrir el área del piso con baldosas.

La expresión 5 y2+4 y representa el área original de la cocina, y 2 y2+10 es el área que debe ocupar la base del mesón; encuentre la expresión algebraica que expresa el área del piso que se debe cubrir con baldosas. Si y = 2 mt. Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm. de lado serán necesarias para cubrir ésta área.

Este es un diagrama de un jardín rectangular.El área blanca es un pasillo rectangular que mide 1 metro de ancho.Determine la expresión algebraica que muestra el área de la parte sombreada del jardín en m2.

PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar dos o más expresiones algebraicas, primero se multiplican los coeficientes, teniendo en cuenta la ley de los signos a continuación se multiplica la parte literal teniendo en cuenta la ley de los exponentesRecuerde que: xm. xn = xm + n producto de potencias de igual base

5 y2+4 y

2 y2+10

(xm)n = xm.n potencia de una potencia. (a + b).(c + d) = a.(c + d) + b.(c + d) = a.c +a.d +b.c +b.d propiedad distributivaEjemplos: 2x2.(- 5x3) = - 10x2+3 = - 10x5

-3m2n .(-mn3 + 7n) = 3m2+1n1+3 – 21m2n1+1 = 3m3n4 – 21m2n2

(2x2 + 3).(3x – 5) = 2x2.(3x – 5) + 3 .(3x – 5) = 6x3 – 10x2 + 9x – 15.

Calcula el producto de los siguientes monomios.a. 12b3 • 3b =b. –5z • 8z2 =c. 8a3b • 9a2b2 =Resuelve las multiplicaciones de monomios por polinomios.5x(4x2 + 2) = 5x • 4x2 + 5x • 2 = 20x3 + 10xa. ab3.(b + 12a3b +a) =b. –9z.(8z + z2 + 5z3) =d. 5b3c2.(10b2c + b3c) = Multiplica las expresiones y reduce los términos semejantes si es posible.(3x + 5y)(x – y) = 3x(x – y) + 5y(x – y) = 3x2 – 3xy + 5xy – 5y2

= 3x2 + 2xy – 5y2

a. (x– 1 ) ( x – 3 ) =b. (m – 1)(3 – m2) =c. (1 + b)(1 – b) =d. (2a3 + 4c2) (2a3 – 4c2)e. (x + 3)(x – 6) =f. (2y – 4)(2y + 6) =g. (3x – 4) (3x + 4) =

Resuelve las siguientes operaciones

1) (5mn) (-2mnp)2) (2 x3) (6 x2)3) (-2ab ) (7ab – ac + 9bc)

4) (3x2

2) (2 x2 -

x5 - 13)

5) (2 xy) (- 2 x2 + 5xy4 - 9 y2

2)

6) (x – 3 ) (x – 6 )7) (2a + 3b) (5a – 2b)8) (3m – 2n) (6n – 5m)9) (6 x3 - 4 x) (2 x2 - 4 x)

10) ( x4 - y5 ) (2 x + 5 y2 )

11) (2x + 7y) ( x – 5z)12) (a + 2b -7c) ( 3a + 5b)13) (2x - 3y + z) ( x + y – 3z)14) (a – b) (b – c) (a + b + c)

15) ( x2

4 - x7 - 3) ( 2x

2

3 + 2 x + 54 )

16) ( m + 4 ) ( m – 4 )

17) ( n + 3 ) ( n + 3 )18) ( 3a – 2 ) ( 3a – 2 )19) ( 4y – 3z ) ( 4y + 3z )20) ( 2 x3 + 3 ) ( 2 x3 + 3 )21) ( x – 4 ) ( x – 5 )22) ( y + 12 ) ( y + 5 ) ( y – 2 )23) ( m – 7 ) ( m + 3 ) ( m + 1 )24) ( b + 4 ) ( b – 13 ) ( b – 2 )25) ( x – 4y ) ( x + 4y)Resuelva las siguientes situaciones problemáticas.

1) Determine perímetro y el área de la siguiente región. 4m + 3n

2m – n

2) Halle perímetro y el área del cuadrado

3x + 2y

3) Determine el área y el volumen de la siguiente figura.

2m – 3

4) En la siguiente figura determine el área sombreada, si la base del rectángulo

mayor es 4x + 3, y su altura es 3x + 1, mientras que la base del rectángulo menor es 2x + 3, y su altura es x + 2

5) Determine el área y el volumen del cilindroX - 2

PRODUCTOS NOTABLES

Se denomina producto notable a las expresiones que involucran operaciones matemáticas cuyos resultados pueden ser escritos por simple inspección o de forma directa, es decir aplicando reglas fijas que agilizan la obtención del resultado.

1. Producto de dos binomios que tienen un término en común El producto de dos binomios (x + a) y (x + b) es un trinomio El primer término es el cuadrado del término en común El segundo término tiene por coeficiente la suma o la resta de los términos no

comunes y por parte literal el término en común El tercer término es igual al producto de los términos no comunes

2. Cuadrado de la suma de dos términos: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

3. Cuadrado de la diferencia de dos términos: El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

4. Suma por diferencia de un binomioEl producto de una suma por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término

5. Cubo de la suma de Un binomioEl cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de primer término, más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más el cubo el segundo término.

6. Cubo de la diferencia de Un binomioEl cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de primer término, menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo el segundo término.

3x

(a+b )2=(a+b )⋅(a+b )=a2+2 .a .b+a .b

(a−b )2= (a−b )⋅(a−b )=a2−2 .a .b+a .b

(a−b )⋅(a+b )=a2−b2

(a+b)3=(a+b ) (a+b )⋅(a+b )=a3+3 .a2 .b+3a .b2+b3

( x+a )⋅( x+b )=x2+ (a+b ) x+a .b

Aplica las fórmulas de productos notables para resolver los siguientes ejercicios.

.a. (x - 3)2 b. (2m – n).(2m + n) c. (2a + 3)3 d. (y – 7).(y + 4)

e. (4x + 5)2 f. (x + 2).(x + 5) g. (b – 4)3 h. (3n + 1).(3n – 1)

i. (x – 2y)3 j. (3x – 5).(3x – 1) k. (n – 1)2 l. (2y2 + 11).(2y2 – 11)

Determine el área de las siguientes figuras aplicando en cada caso las fórmulas de productos notables

(a−b)3= (a−b ) (a−b )⋅(a−b )=a3−3 .a2 .b+3 a.b2−b3