DINAMICA

VIBRACIONES MECANICAS

AMORTIGUADAS Y SIN AMORTIGUAMIENTO

4 -A

7 DE JUNIO DE 2010

INTEGRANTES:

CHIN UVALLE JOSE EFRAIN CUJ KUK SERGIO ANTONIO CANCHE CANCHE JOSE GUADALUPE EK CHAN IVAN JESUS

ÍNDICE CAPITULO 1.- GENERALIDADES ........................................................................................................... 3

1.1 introducción. ............................................................................................................................. 3

CAPITULO 2.- MARCO TEORICO .......................................................................................................... 5

2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO ................................................................................... 5

2.1.1 Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple ........................................ 5

2.1.2 Péndulo simple (solución aproximada) ............................................................................ 11

2.1.3 Péndulo simple (solución exacta) ..................................................................................... 13

2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rígidos ............................................................................... 15

2.1.5 Aplicación del principio de conservación de la energía ................................................... 17

2.1.6 Vibraciones forzadas ........................................................................................................ 19

2.2 vibraciones amortiguadas ....................................................................................................... 23

2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas ................................................................................... 23

2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas ............................................................................... 26

CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................................ 29

CAPITULO 4.- CONCLUSIONES ........................................................................................................... 37

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................... 38

3

CAPITULO 1.- GENERALIDADES

1.1 introducción.

Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que

oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en

máquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a

las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas

o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado. El análisis

de vibraciones se ha vuelto cada vez mas importante en los últimos años debido a

la tendencia actual para producir maquinas de más alta velocidad y estructuras

más ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continúe y que una

incluso mayor necesidad de análisis de vibraciones genere en el futuro.

El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado

textos completos. En consecuencia, este estudio de limitará a los tipos más

simples de vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de

cuerpos con un grado de libertad.

Una vibración mecánica se produce por lo general cuando un sistema se

desplaza de una posición bajo la acción de fuerzas restauradoras (Ya sea fuerzas

elásticas, como en el caso de una masa unida a un resorte, o fuerzas

gravitacionales, dodo en el caso de un péndulo). Pero el sistema por lo general

alcanza su posición original con cierta velocidad adquirida que lo lleva más allá de

esa posición. Puesto que el proceso puede repetirse de manera indefinida, el

sistema se mantiene moviéndose de un lado a otro de su posición de equilibrio. El

intervalo de tiempo requerido para que el sistema realice un ciclo de movimiento

completo recibe el nombre de periodo de la vibración. El número de ciclos por

unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo de un sistema

a partir de su posición de equilibrio de conoce como amplitud de la vibración.

Cuando el movimiento se mantiene únicamente por medio de fuerzas

restauradoras, se dice que la fricción es una vibración libre (secciones 2.2 a 2.6).

4

Cuando se aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento resultante de

describe como una vibración forzada. (Sección 2.7). Cuando es posible ignorar los

efectos de la fricción se afirma que las vibraciones son no amortiguadas. Sin

embargo, todas las vibraciones son en realidad amortiguadas hasta cierto grado.

Si una vibración libre sólo se amortigua de manera ligera, su amplitud decrece de

manera lenta hasta que, después de cierto tiempo, el movimiento se interrumpe.

Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquier vibración

verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posición original

(Sección 6.8). Una vibración forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando

se aplique la fuerza periódica que la produce. Sin embargo, la amplitud de la

vibración se ve afectada por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento

(Sección 6.9).

1.2 OBJETIVO GENERAL

Aprender y conocer los conceptos acerca sobre las vibraciones mecánicas

como son la vibraciones de amortiguamiento y las vibraciones sin amortiguamiento

y como poder aplicarlos en la vida cotidiana.

1.3 OBBJETIVO ESPESIFICO

1; Conocer los conceptos de amortiguaciones

2; Aprender sobre las formulas para poder realizar los ejercicios

3; Poder aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana

5

CAPITULO 2.- MARCO TEORICO

2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO

2.1.1 Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (figura

19.1a). Puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de su

centro de masa, a este cuerpo se le considerara como una partícula. Cuando la

partícula se encuentra en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son

su peso 𝑾 y la fuerza 𝑻 ejercida por el resorte, de magnitud 𝑇 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 , donde 𝛿𝑠𝑡

denota la elongación del resorte. Por consiguiente,

𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡

Supóngase ahora que la partícula se desplaza una distancia 𝑥𝑚 se

seleccionó más pequeña que 𝛿𝑠𝑡 , la partícula se moverá hacia arriba y hacia

debajo de su posición de equilibrio; se genero una vibración de amplitud 𝑥𝑚 .

Obsérvese que la vibración también se puede producir si se le imparte una cierta

velocidad inicial a la partícula, cuando esta se encuentra en su posición de

equilibrio 𝑥 = 0 o, mas generalmente, soltándola desde cualquier posición dada

𝑥 = 𝑥0 con una velocidad inicial dada 𝑣0.

Para analizar la vibración, considérese que la partícula está en una posición

𝑃 en un instante arbitrario 𝑡 (figura 19.1b). Si 𝑥 denota el desplazamiento 𝑂𝑃

medido desde la posición de equilibrio 𝑂 (positivo hacia abajo), se observa que las

fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso 𝑾 y la fuerza 𝑻 ejercida por el

resorte, que, en esta posición, tiene una magnitud 𝑇 = 𝑘(𝛿𝑠𝑡 + 𝑥). Recordando que

𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 , la magnitud de la fuerza resultante 𝑭 de las dos fuerzas (positiva hacia

abajo) es

𝐹 = 𝑊 − 𝑘 𝛿𝑠𝑡 + 𝑥 = −𝑘𝑥 (2.1)

6

a)

wEquilibrio

t=kstNo deformado

..ma=mx

-Xm

P

O

+Xm

X

+

FIGURA(19.1)B)

w

Equilibrio

T= (st + x)

=

7

Por lo tanto, la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partícula es

proporcional al desplazamiento 𝑂𝑃 medido a partir de la posición de equilibrio. De

acuerdo con la convención de signos, se observa que la dirección de 𝑭 siempre es

hacia la posición de equilibrio 𝑂. Si sustituye 𝐹 en la ecuación fundamental 𝐹 =

𝑚𝑎, y puesto que 𝑎 es la segunda derivada de ẍ de 𝑥 con respecto a 𝑡, se escribe

𝑚ẍ + 𝑘𝑥 = 0 (2.2)

Obsérvese que la misma convención de signos se debe usar para la

aceleración ẍ y para el desplazamiento 𝑥, es decir, positivos hacia abajo.

El movimiento definido por la ecuación (2.2) se llama movimiento armónico

simple. Se caracteriza por el hecho de que la aceleración es proporcional al

desplazamiento y tiene dirección opuesta. Se puede verificar que cada una de las

funciones 𝑥1 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑘

𝑚 𝑡) y 𝑥2 = 𝑐𝑜𝑠 (

𝑘

𝑚 𝑡) satisface la ecuación (2.2). Estas

funciones, por consiguiente, constituyen dos soluciones particulares de la

ecuación diferencial (2.2). La solución general de la ecuación (2.2) se obtiene

multiplicando cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria

y sumando. Por tanto, la solución general se expresa como

𝑥 = 𝐶1𝑥1 + 𝐶2𝑥2 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑘

𝑚 𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠

𝑘

𝑚 𝑡 (2.3)

Se observa que 𝑥 es una función periódica del tiempo 𝑡 y, por tanto,

representa una vibración de la partícula 𝑃. El coeficiente de 𝑡 de la expresión

obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibración, y esta

denotada por 𝜔𝑛 . Se tiene

𝑭𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 = 𝝎𝒏 = 𝒌

𝒎 (2.4)

Si en la ecuación (6.3) se sustituye, 𝑘

𝑚, se escribe

𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 (2.5)

8

Esta es la solución general de la ecuación diferencial

ẍ + 𝝎𝒏𝟐𝒙 = 𝟎 (2.6)

La cual se puede obtener a partir de la ecuación (2.2) dividiendo ambos términos

entre 𝑚 y observando que 𝑘

𝑚= 𝜔𝑛

2. Diferenciando ambos miembros de la ecuación

(2.5) con respecto a 𝑡, se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y

la aceleración en el instante 𝑡:

𝑣 = ẋ = 𝐶1𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2 𝜔𝑛 sen𝜔𝑛 𝑡 (2.7)

𝑎 = ẍ = −𝐶1𝜔𝑛2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 − 𝐶2𝜔𝑛

2 cos𝜔𝑛𝑡 (2.8)

Los valores de las constantes 𝐶1 y 𝐶2 dependen de las condiciones iniciales

del movimiento. Por ejemplo, 𝐶1 = 0 si la partícula se desplaza de su posición de

equilibrio y se suelta en el instante 𝑡 = 0 sin la velocidad inicial, y 𝐶2 = 0 si la

particula se suelta de la posición 𝑂 en el instante 𝑡 = 0 con una cierta velocidad

inicial. En general, si se sustituye 𝑡 = 0 y los valores iniciales 𝑥0 y 𝑣0 del

desplazamiento y la velocidad en las ecuaciones (2.5) y (2.7), se encuentra que

𝐶1 =𝑣0

𝜔𝑛 y 𝐶2 = 𝑥0.

Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la

aceleración de una partícula se pueden escribir en una forma más compacta si se

observa que la ecuación (2.5) expresa que le desplazamiento 𝑥 = 𝑂𝑃 es la suma

de las componentes 𝑥 de los dos vectores 𝑪1 y 𝑪2, respectivamente, de magnitud

𝐶1 y 𝐶2, dirigidos como se muestra en la figura 19.2a. Conforme 𝑡 varia, los dos

vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj; también se observa que la

magnitud de su resultante 𝑂𝑄 es igual al desplazamiento máximo 𝑥𝑚 . El

movimiento armónico simple de 𝑃 a lo largo del eje 𝑥 se puede obtener, portanto,

proyectando en este eje el movimiento de un punto 𝑄 que describe un círculo

auxiliar de radio 𝑥𝑚 con una velocidad angular constante 𝜔𝑛 (lo cual explica el

nombre de frecuencia circular natural dado a 𝜔𝑛 ). Si 𝜙 denota el angulo formado

por los vectores 𝑂𝑄 y 𝑪1, entonces

9

𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝜙 (2.9)

La que conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, la velocidad y la

aceleración de 𝑷:

𝑥 = 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝜙 (2.10)

𝑣 = 𝑥 = 𝑥𝑚𝜔𝑛cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (2.11)

𝑎 = 𝑥 = −𝑥𝑚𝜔𝑛2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) (2.12)

La curva desplazamiento – tiempo está representada por una curva senoidal

(figura 19.2b); el valor máximo 𝑥𝑚 del desplazamiento se llama amplitud de la

vibración, y el ángulo 𝜙 que define la posición inicial de 𝑄 en el circulo se llama

ángulo de fase. En la figura 2.2 se observa que se describe un círculo completo

conforme el ángulo 𝜔𝑛𝑡 se incrementa 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. El valor correspondiente de 𝑡,

demostrado por 𝜏𝑛 , se llama periodo de la vibración libre, y se mide en segundos.

Por consiguiente,

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 = 𝜏𝑛 =2𝜋

𝜔𝑛 (2.13)

El término 𝑓𝑛 denota el número de ciclos descritos por unidad de tiempo, y se

conoce como la frecuencia natural de la vibración. Por tanto,

𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 = 𝑓𝑛 =1

𝜏𝑛=

𝜔𝑛

2𝜋 (2.14)

10

La unidad de frecuencia es una frecuencia de 1 ciclo por segundo, que

corresponde a un periodo de 1𝑠. En función de unidades base, la unidad de

frecuencia es, por tanto, 1/𝑠 o 𝑠−1. Se llama hertz (Hz) en el sistema SI de

unidades. De la ecuación (2.4) también se desprende que una frecuencia de 1𝑠−1

o 1 𝐻𝑧 correponde a una frecuencia circular de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 . En problemas que

implican velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto (rpm), se

tiene 1 𝑟𝑝𝑚 =1

60𝑠−1 =

1

60𝐻𝑧, o 1 𝑟𝑝𝑚 =

2𝜋

60 𝑟𝑎𝑑/𝑠 .

Puesto que 𝜔𝑛 se definió en la ecuación (2.4) en función de la constante 𝑘

del resorte y la masa 𝑚 de la partícula, se observa que el periodo y la frecuencia

son independientes de las condiciones iniciales y de la amplitud de la vibración.

Obsérvese que 𝜏𝑛 y 𝑓𝑛 dependen de la masa y no del peso de la partícula y, por

tanto, son independientes del valor de 𝑔.

Las curvas velocidad – tiempo y aceleración – tiempo se pueden

representar por medio de curvas senoidales del mismo periodo que en la curva

desplazamiento – tiempo, pero con diferentes ángulos fase. De acuerdo con las

ecuaciones (2.11) y (2.12), se observa que los valores máximos de las magnitudes

de la velocidad y la aceleración son

𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛2 (2.15)

Como el punto 𝑄 describe el círculo auxiliar, de radio 𝑥𝑚 , a la velocidad angular

constante 𝜔𝑛 , su velocidad y aceleración son iguales, respectivamente, a las

expresiones (2.15). De acuerdo con las ecuaciones (2.11) y (2.12), se ve, por

consiguiente, que la velocidad y aceleración de 𝑃 se pueden obtener en cualquier

instante proyectando en el eje 𝑥 vectores de magnitudes 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛 y 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛2

que representan, respectivamente, la velocidad y la aceleración de 𝑄 en el mismo

instante (figura 19.3).

11

nW t

Q

Xm

X

O

FIGURA(19.3)

0 2am=xm w

P

W t +

Q

n

Vm= XmWn

n

Los resultados obtenidos no se limitan a la solución del problema de una masa

conectada a un resorte. Se pueden usar para analizar el movimiento rectilíneo de

una partícula siempre que la resultante 𝑭 de las fuerzas que actúan sobre la

partícula sea proporcional al desplazamiento 𝑥 y dirigida hacia 𝑂. La ecuación

fundamental de movimiento 𝐹 = 𝑚𝑎 se puede escribir, entonces, en la forma de la

ecuación (2.6), la cual es característica de un movimiento armónico simple. Puesto

que el coeficiente de 𝑥 debe ser igual a 𝜔𝑛2, la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 del

movimiento se puede determinar con facilidad. Al sustituir el valor obtenido para

𝜔𝑛 en las ecuaciones (2.13) y (2.14), se obtienen entonces el periodo 𝜏𝑛 y la

frecuencia natural 𝑓𝑛 del movimiento.

2.1.2 Péndulo simple (solución aproximada) La mayoría de las vibraciones que se presentan en aplicaciones de

ingeniería se pueden representar mediante un movimiento armónico simple.

Muchas otras, aunque de diferente tipo, se pueden representar de una manera

aproximada mediante un movimiento armónico simple, siempre que su amplitud

12

permanezca pequeña. Considérese, por ejemplo, un péndulo simple, que consiste

en una plomada de masa 𝑚 que pende de una cuerda de longitud 𝑙, el cual puede

oscilar en un plano vertical (figura 19.4a). en un instante dado 𝑡, la cuerda forma

un

tman

=

ma

b)

T

FIGURA(19.4)

a)

W

L

angulo 𝜃 con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la plomada son su peso 𝑾

y la fuerza 𝑻 ejercida por la cuerda (figura 19.4b). al transformar el vector 𝑚𝒂 en

componentes tangencial y normal, con 𝑚𝒂𝒕 dirigido hacia la derecha, es decir, en

la dirección correspondientes a valores crecientes de 𝜃, y puesto que 𝑎𝑡 = 𝑙𝛼 = 𝑙𝜃 ,

se puede escribir

𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 : −𝑊 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑙𝜃

Como 𝑊 = 𝑚𝑔 y dividiendo entre 𝑚𝑙, se obtiene

𝜃 +𝑔

𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 (2.16)

En el caso de oscilaciones de pequeña amplitud, se pueden remplazar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 con

𝜃, expresando en radianes y, por tanto,

13

𝜃 +𝑔

𝑙𝜃 = 0 (2.17)

Si se compara con la ecuación (2.6) se ve que la ecuación diferencial (2.17) es la

de un movimiento armónico simple con una frecuencia circular natural 𝜔𝑛 igual a

(𝑔/𝑙) 1/2 . La solución general de la ecuación (2.17) se puede expresar, entonces,

como

𝜃 = 𝜃𝑚 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑛𝑡 + 𝜙)

Donde 𝜃𝑚 es la amplitud de las oscilaciones y 𝜙 es un ángulo fase. Con la

sustitución en la ecuación (2.13) del valor obtenido para 𝜔𝑛 , se obtiene la siguiente

expresión para el periodo de las oscilaciones pequeñas de un péndulo de longitud

𝑙:

𝜏𝑛 =2𝜋

𝜔𝑛= 2𝜋

𝑙

𝑔 (2.18)

2.1.3 Péndulo simple (solución exacta) La formula (2.18) es solo aproximada. Para obtener una expresión exacta para el

periodo de las oscilaciones de un péndulo simple, se tiene que regresar a la

ecuación (2.16). si se multiplica ambos términos por 2𝜃 y se integra desde un

posición inicial correspondiente a la deflexión máxima, es decir, 𝜃 = 𝜃𝑚 y 𝜃 = 0, se

puede escribir

𝑑𝜃

𝑑𝑡

2

=2𝑔

𝑙(cos𝜃 − cos𝜃𝑚 )

Si se remplazan cos 𝜃 con 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

2 y cos 𝜃𝑚 con una expresión similar, se

despeja 𝑑𝑡 y se integra a lo largo de un cuarto de periodo desde 𝑡 = 0, 𝜃 = 0 a

𝑡 = 𝜏𝑛/4, 𝜃 = 𝜃𝑚 se tiene

𝜏𝑛 = 2 𝑙

𝑔

𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑚2 − 𝑠𝑒𝑛2

𝜃2

𝜃𝑚

0

14

La integral del lado derecho se conoce como integral elíptica; no se puede

expresar en función de las funciones algebraicas o trigonométricas usuales. Sin

embargo, con

𝑠𝑒𝑛 𝜃

2 = 𝑠𝑒𝑛

𝜃𝑚2 𝑠𝑒𝑛 𝜙

Se puede escribir

𝜏𝑛 = 4 𝑙

𝑔

𝑑𝜙

1−𝑠𝑒𝑛 2 𝜃𝑚

2 𝑠𝑒𝑛 2𝜙

𝜋/2

0 (2.19)

Donde la integral obtenida, comúnmente denotada por 𝐾, puede calcularse

mediante un método numérico de integración. También se puede encontrar en

tabla de integrales elípticas para diferentes valores de 𝜃𝑚/2. Para compara el

resultado que se acaba de obtener con el de la sección anterior, se escribe la

ecuación (2.19) en la forma

𝜏𝑛 =2𝐾

𝜋 2𝜋

𝑙

𝑔 (2.20)

La formula (2.20) demuestra que el valor real del periodo de un péndulo simple se

obtiene multiplicando el valor aproximado dado en la ecuación (6.18) por el factor

de corrección 2𝐾/𝜋. En la tabla 2.1 se dan valores de corrección para diferentes

valores de la amplitud 𝜃𝑚 . Se observa que en cálculos comunes de ingeniería el

factor de corrección se puede omitir siempre que la amplitud no sobrepase de 10°.

Tabla 2.1. Factor de corrección para el periodo de un péndulo simple

𝜃𝑚 0° 10° 20° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

𝐾 1.571 1.574 1.598 1.686 1.854 2.157 2.157 2.768 ∞

2𝐾/𝜋 1.000 1.002 1.008 1.017 1.073 1.180 1.373 1.762 ∞

15

2.1.4 Vibraciones libres de cuerpos rígidos El análisis de las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos

rígidos que posee un grado único de libertad, es similar al análisis de las

vibraciones de una partícula. Se selecciona una variable apropiada, tal como una

distancia 𝑥 o un angulo 𝜃, para definir la posición del

cuerpo o un sistema de cuerpos, y se escribe una

ecuación que relaciona esta variable y su segunda

derivada con respecto a 𝑡. Si la ecuación obtenida es

de la misma forma que la ecuación (2.6), es decir, si

se tiene

𝑥 + 𝜔𝑛2𝑥 = 0 O

𝜃 + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (2.21)

La vibración considerada es un movimiento armónico

simple. El periodo y la frecuencia natural de la

vibración se obtienen, entonces, identificando 𝜔𝑛 y

sustituyendo su valor en las ecuaciones (2.13) y

(2.14).

En general, una manera simple de obtener

una de las ecuaciones (2.21) es expresar que el

sistema de las fuerzas externas es equivalente al

sistema de las fuerzas efectivas por medio de una

ecuación de diagramas de cuerpo libre para un valor

arbitrario de la variable y escribiendo la ecuación de

movimiento apropiada. Se recuerda que el objetivo

debe ser la determinación del coeficiente de la variable 𝑥 o 𝜃, no la determinación

de la variable misma o de la derivada 𝑥 o 𝜃 . Si este coeficiente se hace igual a 𝜔𝑛2

se obtienen la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 , con la cual se puede determinar 𝜏𝑛 y

𝑓𝑛 .

16

El método descrito se puede usar para analizar vibraciones que

verdaderamente están representadas por un movimiento armónico simple, o

vibraciones de pequeña amplitud que pueden estar representadas de manera

aproximada por un movimiento armónico simple. Como ejemplo, se determinara el

periodo de las pequeñas oscilaciones de una placa cuadrada de 2𝑏 por lado la

cual esta suspendida del punto medio 𝑂 de uno de sus lados (figura 19.5a). la

placa se considera en una posición arbitraria definida por el ángulo 𝜃 que la línea

𝑂𝐺 forma con la vertical, y se dibuja una ecuación de diagramas de cuerpo libre

para expresar que el peso 𝑾 de las placas y las componentes 𝑹𝒙 y 𝑹𝒚 de la

reacción en 𝑂 son equivalentes a los vectores 𝑚𝒂𝒕 y 𝑚𝒂𝒏 y al par 𝐼𝜶 (figura

19.5b). Como la velocidad angular y la aceleración angular de la placa son iguales,

respectivamente, a 𝜃 y 𝜃 , las magnitudes de los dos vectores son,

respectivamente, 𝑚𝑏𝜃 y 𝑚𝑏𝜃 2, mientras que el momento de par es 𝐼𝜃 . En

aplicaciones previas de este método, siempre que fue posible, se trato de suponer

el mimo sentido positivo para 𝜃 y 𝜃 para obtener una ecuación de la forma (2.21).

Por consiguiente, la aceleración angular 𝜃 se supondrá positiva en sentido

contrario al de las manecillas del reloj, aun cuando esta suposición es

obviamente irreal. Si se igualan los momento con respecto a 𝑂, se tiene

+↖ −𝑊 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑏𝜃 𝑏 + 𝐼𝜃

Como 𝐼 =1

12𝑚 2𝑏 2 + 2𝑏 2 =

2

3𝑚𝑏2 y 𝑊 = 𝑚𝑔, se obtiene

𝜃 + 3

5

𝑔

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 (2.22)

Para oscilaciones de pequeña amplitud, se puede remplazar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 por 𝜃,

expresado en radianes, y escribir

𝜃 + 3

5

𝑔

𝑏 𝜃 = 0 (2.23)

La comparación con (2.21) demuestra que la ecuación obtenida es la de un

movimiento armónico simple, y que la frecuencia circular natural 𝜔𝑛 de las

17

oscilaciones es igual a 3𝑔

5𝑏

1/2

. Al sustituir en (2.13), se halla que el periodo de las

oscilaciones es

𝜏𝑛 =2𝜋

𝜔𝑛= 2𝜋

5𝑏

3𝑔 (2.24)

El resultado obtenido es válido solo para oscilaciones de pequeña amplitud. Una

descripción más precisa del movimiento de la placa se obtiene comparando las

ecuaciones (2.16) y (2.22). Se observa que las dos ecuaciones son idénticas si se

selecciona 𝑙 igual 5𝑏/3. Esto significa que la placa oscilara como un péndulo

simple de longitud 𝑙 = 5𝑏/3, y los resultados de la sección 2.1.3 se pueden usar

para corregir el valor del periodo dado en (2.24). el punto A de la placa localizado

en la línea 𝑂𝐺 a una distancia 𝑙 = 5𝑏/3 de 𝑂, se define como el centro de

oscilación correspondiente a 𝑂 (figura 6.5a).

2.1.5 Aplicación del principio de conservación de la energía En secciones anteriores se vio que, cuando una partícula de masa 𝑚 se encuentra

en movimiento armonico simple, la resultante 𝑭 de las fuerzas ejercidas sobre ella

tiene una magnitud proporcional al desplazamiento 𝑥 medido a partir de la posición

de equilibrio 𝑂 y su dirección es hacia 𝑂; por consiguiente, 𝐹 = −𝑘𝑥. De acuerdo

con los temas anteriores, se ve que 𝑭 es una fuerza conservativa y que la energia

potencial correspondiente es 𝑉 =1

2𝑘𝑥2, donde 𝑉 se supone igual a cero en la

posición de equilibrio 𝑥 = 0. Como la velocidad de la partícula es igual a 𝑥 , su

energia cinética es 𝑇 =1

2𝑚𝑥 2, y se puede expresar que la energia total de la

partícula se conserva escribiendo.

𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1

2𝑚𝑥 2 +

1

2𝑘𝑥2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Si se divide entre 𝑚/2 y, de acuerdo con secciones anteriores, 𝑘/𝑚 = 𝜔𝑛2 donde

𝜔𝑛 , es la frecuencia circular natural de la vibración, se tiene

𝑥 2 + 𝜔𝑛2𝑥2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (2.25)

18

La ecuación (2.25) es característica de un movimiento armónico simple, puesto

que se puede obtener a partir de la ecuación (2.6) multiplicando ambos términos

por 2𝑥 e integrando.

El principio de conservación de la energía proporciona un método conveniente

para determinar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de

cuerpos rígidos que posee un solo grado de libertad, una vez que se establece

que el movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puede

estar representado por un movimiento armónico simple. Con la selección de una

variable apropiada, tal como una distancia 𝑥 o un angulo 𝜃, se consideran dos

posiciones particulares del sistema:

1. El desplazamiento del sistema es máximo; en tal caso, 𝑇1 = 0 y 𝑉1 se puede

expresar en función de la amplitud 𝑥𝑚 o 𝜃𝑚 (si se elige 𝑉 = 0 en la posición de

equilibrio).

2. El sistema pasa por su posición de equilibrio; en tal caso, 𝑉2 = 0 y 𝑇2 se

puede expresar en función de la velocidad máxima 𝑥 𝑚 o de la velocidad angular

máxima 𝜃 𝑚 .

Por tanto, se expresa que la energía total del sistema se conserva, es decir

𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2. De acuerdo con la sección (2.15), en un movimiento armonico

simple la velocidad máxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia

circular natural 𝜔𝑛 ; por consiguiente, se ve que la ecuación obtenida se puede

resolver para 𝜔𝑛 .

Como ejemplo, considérese otra vez la placa cuadrada de la sección (2.5).

En la posición de desplazamiento máximo (figura 6.6a), se tiene

𝑇1 = 0 𝑉1 = 𝑊 𝑏 − 𝑏 cos 𝜃𝑚 = 𝑊𝑏(1 − cos 𝜃𝑚 )

O, puesto que 1 − cos𝜃𝑚 = 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑚

2 ≈ 2

𝜃𝑚

2

2

= 𝜃𝑚2 /2 en el caso de

oscilaciones de pequeña amplitud,

𝑇1 = 0 𝑉1 =1

2𝑊𝑏𝜃𝑚

2 (2.26)

19

Cuando la placa pasa por su posición de equilibrio (figura 6.6b), su velocidad es

máxima, y se tiene

𝑇2 =1

2𝑚𝑣𝑚

2+

1

2𝐼𝜔𝑚

2 =1

2𝑚𝑏2𝜃 𝑚

2 +1

2𝐼𝜃 𝑚

2 𝑉2 = 0

O, de acuerdo con la sección anterior, como 𝐼 =2

3𝑚𝑏2,

𝑇2 =1

2

5

3𝑚𝑏2 𝜃 𝑚

2 𝑉2 = 0 (2.27)

Si se hacen sustituciones de (2.26) y (2.27) en 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2, y como la

velocidad máxima 𝜃 𝑚 es igual al producto 𝜃𝑚𝜔𝑛 , se puede escribir

1

2𝑊𝑏𝜃𝑚

2 =1

2

5

3𝑚𝑏2 𝜃𝑚

2 𝜔𝑛2 (2.28)

La cual da 𝜔𝑛2 = 3𝑔/5𝑏 y

𝜏𝑛 =2𝜋

𝜔𝑛= 2𝜋

5𝑏

3𝑔 (2.29)

Como previamente se obtuvo.

2.1.6 Vibraciones forzadas Desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería, las vibraciones más

importantes son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren

cuando un sistema se somete a una fuerza periódica o cuando esta elásticamente

conectado a un apoyo que tiene un movimiento alternante.

Considérese en primer lugar el caso de un cuerpo de masa 𝑚 suspendido

de un resorte y sometido a una fuerza periódica 𝑷 de magnitud 𝑃 = 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡,

donde 𝜔𝑓 es la frecuencia circular de 𝑷 y se conoce como frecuencia circular

forzada del movimiento (figura 6.7). Esta fuerza puede ser una fuerza externa real

aplicada al cuerpo, o una fuerza centrifuga producida por la rotación de alguna

parte desbalanceada del cuerpo, medido a partir de su posición de equilibrio, se

escribe la ecuación de movimiento

+↓ 𝐹 = 𝑚𝑎: 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 + 𝑊 − 𝑘 𝛿𝑠𝑡 − 𝑥 = 𝑚𝑥

20

Como 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 , se tiene

𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 (2.30)

A continuación se considera el caso de un cuerpo de masa 𝑚 suspendido de un

resorte conectado a un apoyo móvil cuyo desplazamiento 𝛿 es igual a 𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

(figura 6.8). Si el desplazamiento 𝑥 del cuerpo se mide a partir de la posición de

equilibrio estático correspondiente a 𝜔𝑓𝑡 = 0, se halla que el alargamiento total del

resorte en el instante 𝑡 es 𝛿𝑠𝑡 + 𝑥 − 𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 . La ecuación de movimiento es, por

tanto,

+↓ 𝐹 = 𝑚𝑎: 𝑊 − 𝑘 𝛿𝑠𝑡 + 𝑥 − 𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 = 𝑚𝑥

Como 𝑊 = 𝑘𝛿𝑠𝑡 , se tiene

𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑘𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 (2.31)

Se ve que las ecuaciones (2.30) y (2.31) son de la misma forma y que una

solución de la primera ecuación satisfará la segunda si se hace 𝑃𝑚 = 𝑘𝛿𝑚 .

Una ecuación diferencial como la (2.30) o la (2.31), con el miembro del lado

derecho diferente de cero, se conoce como no homogénea. Su solución general

se obtiene agregando una solución particular de la ecuación dad a la solución

general de la ecuación homogénea correspondiente (con el miembro del lado

derecho igual a cero). Se puede obtener una solución particular de (6.30) o (6.31)

probando una solución de la forma

𝑥𝑝𝑎𝑟𝑡 = 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 (2.32)

Si se sustituye 𝑥𝑝𝑎𝑟𝑡 por 𝑥 en la ecuación (2.30), se obtiene

−𝑚𝜔𝑓2𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 + 𝑘𝑥𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 = 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

La que se puede resolver para la amplitud,

𝑥𝑚 =𝑃𝑚

𝑘 −𝑚𝜔𝑓2

21

Puesto que, de acuerdo con la ecuación (2.4), 𝑘

𝑚= 𝜔𝑛

2 donde 𝜔𝑛 es la frecuencia

circular natural del sistema, se puede escribir

𝑥𝑚 =𝑃𝑚 /𝑘

1−(𝜔𝑓/𝜔𝑛 )2 (2.33)

Si se sustituye de (2.32) en (2.31), se obtiene de la misma manera

𝑥𝑚 =𝛿𝑚

1−(𝜔𝑓/𝜔𝑛 )2 (2.33′)

La ecuación homogénea correspondiente a la (2.30) o (2.31) es la ecuación

(2.2), que define la vibración libre del cuerpo. Su solución general, llamada función

complementaria, se hallo en secciones anteriores:

𝑥𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 (2.34)

Si se asegura la solución particular (2.32) a la función complementaria (2.34), se

obtiene la solución general de las ecuaciones (6.30) y (6.31):

𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 + 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 (2.35)

Se ve que la vibración obtenida se compone de dos vibraciones

superpuestas. Los primeros dos términos de la ecuación (2.35) representan una

vibración libre del sistema. La frecuencia de esta vibración es la frecuencia natural

del sistema, la cual depende solo de la constante 𝑘 del resorte y de la masa 𝑚 del

cuerpo, y las constantes 𝐶1 y 𝐶2 se pueden determinar a partir de las condiciones

iniciales. Esta vibración libre también se llama vibración transitoria, puesto que en

la práctica real se ve amortiguada de inmediato por las fuerzas de fricción.

El último término de la ecuación (2.35) representa la vibración de estado

estable producida y mantenida por la fuerza aplicada o por el movimiento aplicado

del apoyo o soporte. Su frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta

fuerza o movimiento, y su amplitud 𝑥𝑚 , definida por la ecuación (2.33) o por la

ecuación (2.33’), depende de la razón de frecuencia 𝜔𝑓/𝜔𝑛 . La razón de la

amplitud 𝑥𝑚 de la vibración de estado estable a la deflexión estática 𝑃𝑚/𝑘

22

provocada por una fuerza 𝑃𝑚 , o a la amplitud 𝛿𝑚 del movimiento del apoyo, se

llama factor de amplificación. Con las ecuaciones (6.33) y (6.33’), se obtiene

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 =𝑥𝑚

𝑃𝑚 /𝑘=

𝑥𝑚

𝛿𝑚=

1

1− 𝜔𝑓/𝜔𝑛 2 (2.36)

La figura 6.9 es una grafica del factor de amplificación contra la razón de

frecuencia 𝜔𝑓/𝜔𝑛 . Se ve que cuando 𝜔𝑓 = 𝜔𝑓 , la amplitud de la vibración forzada

se vuelve infinita. Se dice que la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el

apoyo esta en resonancia con el sistema dado. En realidad, la amplitud de la

vibración permanece finita debido a fuerzas amortiguadoras; sin embargo, se debe

evitar una situación como esa, y la frecuencia forzada no debe ser seleccionada

muy cercana a la frecuencia natural del sistema. Asimismo, se ve que para

𝜔𝑓 < 𝜔𝑛 el coeficiente de 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 en la ecuación (2.35) es positivo, mientras que

para 𝜔𝑓 > 𝜔𝑛 este coeficiente es negativo. En el primer caso, la vibración forzada

está en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el apoyo,

mientras que en el segundo, esta 180° fuera de fase.

Por último, se observa que la velocidad y la aceleración en la vibración de

estado estable se pueden obtener diferenciando dos veces con respecto a 𝑡 el

último término de la ecuación (2.35). Expresiones similares a las de las

ecuaciones (2.15) de la sección (2.1) dan sus valores máximos, excepto que estas

expresiones ahora incluyen la amplitud y la frecuencia circular de la vibración

forzada:

𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑓 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑓2 (2.37)

23

2.2 vibraciones amortiguadas

2.2.1.- vibraciones libres amortiguadas Los sistemas vibratorios considerados en la primera parte de este capítulo se

supusieron libres de amortiguamiento. En realidad, todas las vibraciones son

amortiguadas hasta cierto grado por fuerzas de fricción. Estas fuerzas pueden ser

provocadas por fricción seca, o fricción de coulomb, entre cuerpos rígidos, por

fricción fluida cuando cuándo un cuerpo rígido se mueve en un fluido, o por

fricción interna entre las moléculas de un cuerpo aparentemente elástico.

Un tipo de amortiguamiento de especial interés es el amortiguamiento viscoso

provocado por la fricción fluida a velocidad baja y moderada. El amortiguamiento

viscoso caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricción es directamente

proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento. Como ejemplo

considérese un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de constante k,

suponiendo que el cuerpo está conectado al embolo de un amortiguador (figura

19.10). La magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre el embolo por el fluido

circundante es igual s c𝒙 , donde la constante c, expresa a en N*s/m o lb*s/ft

(conocida como coeficiente de amortiguamiento viscoso), depende de las

propiedades físicas del fluido y de la construcción del amortiguador. La ecuación

de movimiento es

+↓ ⅀𝑭 = 𝒎𝒂: 𝑾− 𝒌 𝜹𝒔𝒕 + 𝑿 − 𝒄𝑿 = 𝒎𝑿

Como 𝑊 = 𝒌𝜹𝒔𝒕, se puede escribir

𝒎𝒙 + 𝒄𝒙 + 𝒌𝒙 = 𝟎 (2.38)

Como la sustitución de 𝑥 = 𝑒ℷ𝑡 en la ecuación (2.38) y dividiéndola entre 𝑒ℷ𝑡 , se

obtiene la ecuación característica

𝒎ℷ𝟐 + 𝒄ℷ + 𝒌 = 𝟎 (2.39)

Y se obtienen las raíces

24

ℷ = −𝒌

𝒎± (

𝒄

𝟐𝒎)𝟐 −

𝒌

𝒎 (2.40)

Si se define el coeficiente de amortiguamiento critico 𝒄𝒄 como el valor de c hace

que el radical de la ecuación (6.40) sea cero, se puede escribir

(𝒄𝒄

𝟐𝒎)𝟐 −

𝒌

𝒎= 𝟎 𝒄𝒄 = 𝟐𝒎

𝒌

𝒎= 𝟐𝒎𝝎𝐧 (2.41)

Donde 𝝎𝐧 es la frecuencia circular natural del sistema sin amortiguamiento. Se

distinguen tres casos diferentes de amortiguamiento, según sea el valor del

coeficiente c.

1.- Sobre amortiguamiento: c˃𝒄𝒄. Las raíces ℷ𝟏 𝒚ℷ𝟐 de la ecuación

característica (19.3) son reales y distintas, y la solución general de la ecuación

diferencial (19.38) es

𝑿 = 𝒄𝟏𝒆ℷ𝟏𝒕 + 𝒄𝟐𝒆

ℷ𝟐𝒕 (2.42)

Esta solución corresponde a un movimiento no vibratorio. Como ℷ𝟏 𝒚ℷ𝟐 son

negativas, x tiende a cero conforme t se incrementa de manera indefinida. Sin

embargo, el sistema realmente recobra su posición de equilibrio después de

un tiempo finito.

2.- amortiguamiento crítico: c=𝒄𝒄. la ecuación característica tiene una doble

raíz ℷ = −𝒄𝒄

𝟐𝐦= −𝝎𝒄, y al solución general de la ecuación (6.38) es

𝑿 = (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐𝒕)𝒆−𝝎𝒏𝐭 (2.43)

De nuevo, el movimiento obtenido es no vibratorio. Los sistemas críticamente

amortiguados son de especial interés en las aplicaciones de ingeniería, puesto

que recobran su posición de equilibrio en el tiempo más corto posible sin

oscilación

3.- sub amortiguamiento: c<𝒄𝒄.Las raíces de la ecuación (2.39) son complejas y

conjugadas, y la solución general de la ecuación (2.38) es de la forma

25

𝑿 = 𝒆−(𝒄

𝟐𝒎)𝒕(𝒄𝟏𝐬𝐞𝐧𝝎𝒅𝐭 − 𝒄𝟐𝐜𝐨𝐬𝝎𝒅𝐭) (2.44)

Donde 𝝎𝒅 está definida por la relación

𝝎𝒅𝟐 =

𝒌

𝒎− (

𝒄

𝟐𝒎)𝟐

Si se sustituye 𝒌

𝒎= 𝝎𝒅

𝟐 y se recuerda la ecuación (2.41), se escribe

𝝎𝒅 = 𝝎𝒏 𝟏 − (𝐜

𝒄𝒄)𝟐 (2.45)

Donde la constante c/𝒄𝒄 se conoce como factor de amortiguamiento.

Aun cuando el movimiento en realidad se repite, la constante 𝝎𝒅 se designa

comúnmente como frecuencia circular de la vibración amortiguada. Una

sustitución similar a la utilizada en la sección 2.2 permite escribir la solución

general de la sección (19.38) en la forma

𝑿 = 𝑿𝟎𝐞−

𝐜

𝟐𝐦 𝐭𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒅𝐭 + ∅) (2.46)

El movimiento definido por la ecuación (19.46) es vibratorio con amplitud

decreciente (figura 19.11), y el intervalo de tiempo 𝒕𝒅 =𝟐𝛑

𝝎𝒅 que separa dos

puntos suspensivos donde la curva definida por la ecuación (19.46) toca una

de las curvas limitantes mostradas en la figura 19.11.

De acuerdo con la ecuación con la ecuación (2.45), se observa que 𝝎𝒅 < 𝝎𝒏

y, por tanto, que 𝒕𝒅 es mayor que el periodo de vibración 𝒕𝒏 del sistema no

amortiguado correspondiente.

26

Figura (19.11)

2.2.2.- vibraciones forzadas amortiguadas

Si el sistema considerado en la sección anterior se somete a una fuerza periódica

P de magnitud 𝑷 = 𝒑𝒎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒇𝐭, la ecuación de movimiento se transforma en

𝒎𝒙 + 𝒄𝒙 + 𝒌𝒙 = 𝒑𝒎𝐬𝐞𝐧𝝎𝒇𝐭 (2.47)

La solución general de la ecuación (19.479) se obtiene al agregar una solución

particular de ésta a la función complementaria o solución general de la ecuación

homogénea (19.38). La función complementaria está dada por las ecuaciones

27

(19.42), (19.43) o (19.44), según sea el tipo de amortiguamiento considerado.

Representa un movimiento transitorio que finalmente es amortiguado.

El interés en está sección se centra en la vibración de estado estable

representada por una solución particular de la ecuación (6.47) de la forma.

𝒙𝒑𝒂𝒓𝒕 = 𝒙𝒎𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒇𝐭 − 𝛗) (2.48)

Al sustituir 𝒙𝒑𝒂𝒓𝒕 por x en la ecuación (6.47), se obtiene

−𝒎𝝎𝒇𝟐𝒙𝒎𝐬𝐞𝐧 𝝎𝒇𝐭 − 𝛗 + 𝐜𝝎𝒇𝒙𝒎𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒇𝐭 − 𝛗 + 𝐤𝒙𝒎𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒇𝐭 −𝛗)

= 𝐩𝒎𝐬𝐞𝐧𝝎𝒇𝐭

Si se hace 𝝎𝒇𝐭 − 𝛗 sucesivamente igual a 0 y a 𝜋/2 , se escribe

𝒄𝝎𝒇𝒙𝒎 = 𝐩𝒎𝐬𝐞𝐧𝛗 (2.49)

𝒌 −𝒎𝝎𝒇𝟐 𝒙𝒎 = 𝐩𝒎𝐜𝐨𝐬𝛗 (2.50)

Si ambos miembros de las ecuaciones (19.49) y (19.50) se elevan al cuadrado y

se suman, se obtiene

(𝒌 −𝒎𝝎𝒇𝟐)𝟐 + (𝒄𝝎𝒇)𝟐 𝒙𝒎

𝟐 = 𝐏𝟐𝒎 (2.51)

Al resolver la ecuación (19.51) para 𝒙𝒎 y dividiendo las ecuaciones (2.49) y (2.50)

miembro a miembro, se obtiene, respectivamente

𝒙𝒎 =𝑷𝒎

(𝑘 −𝒎𝝎𝒇𝟐)𝟐 + (𝒄𝝎𝒇

𝟐)𝟐

𝑡𝑎𝑛𝜑 =𝒄𝝎𝒇

𝑘 − 𝒄𝝎𝒇𝟐

(2.52)

De acuerdo con la ecuación (2.4), como 𝑘

𝑚= 𝝎𝒏

𝟐 donde 𝝎𝒏 es la frecuencia

circular de la vibración libre no amortiguada, y de acuerdo con la (2.41),2𝑚𝝎𝒏 = 𝒄𝒄

, donde 𝒄𝒄 es el coeficiente de amortiguamiento crítico del sistema, se escribe

28

𝑿𝒎

𝑷𝒎/𝒌=

𝑿𝒎

𝜹𝒎=

1

1−(𝝎𝒇/𝝎𝒏)𝟐 2

+ (2𝑐

𝒄𝒄)(𝝎𝒇/𝝎𝒏)

2 (2.53)

𝑡𝑎𝑛𝜑 =

2𝑐

𝒄𝒄)(𝝎𝒇/𝝎𝒏

1−(𝝎𝒇/𝝎𝒏)𝟐 (2.45)

La formula (19.53) expresa el factor de amplificación en función de la razón de

frecuencia 𝜔𝑓/𝜔𝑛 y del factor de amortiguación𝐶/𝐶𝑐 . Se puede usar para

determinar la amplitud de la vibración de estado estable producida por una fuerza

aplicada de magnitud 𝑃 = 𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑓𝑡 o por el movimiento del apoyo aplicado𝛿 =

𝛿𝑚𝑠𝑒𝑛𝜔𝑓𝑡. La fórmula (19.54) define, en función de los mismos parámetros, la

diferencia de fase φ entre la fuerza aplicada o el movimiento del apoyo aplicado y

la vibración de estado estable resultante del sistema amortiguado. En la figura

19.12, el factor de amplificación se grafico contra la razón de frecuencias para

varios valores del factor de amortiguamiento. Se observa que la amplitud de una

vibración forzada se puede mantener pequeña seleccionando un coeficiente

grande de amortiguamiento viscoso c , o manteniendo alejadas las frecuencias

natural y forzada.

29

CAPITULO 3.-EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMA RESUELTO 3.1

Un bloque de 50 Kg se desplaza entre guías verticales, como se muestra. Se tira

del bloque 40 mm hacia debajo de su posición de equilibrio y se suelta. Para cada

una de las disposiciones de los resortes, determínese el periodo de vibración, la

velocidad y aceleración máximas del bloque.

SOLUCION

a. Resortes dispuestos en paralelo. En primer lugar, se determina la

constante 𝑘 de un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo

de la magnitud de la fuerza P requerida para producir una deflexión dada 𝛿. Como

con una deflexión 𝛿 laas magnitudes de las fuerzas ejercidas por los resortes son,

respectivamente, 𝑘1𝛿 y 𝑘2𝛿, se tiene

𝑃 = 𝑘1𝛿 + 𝑘2𝛿 = (𝑘1 + 𝑘2)𝛿

La constante 𝑘 del resorte equivalente es

𝑘 =𝑃

𝛿= 𝑘1 + 𝑘2 = 4

𝑘𝑁

𝑚+ 6

𝑘𝑁

𝑚= 10

𝑘𝑁

𝑚= 104

𝑁

𝑚

Periodo de vibración: Como 𝑚 = 50 𝐾𝑔, la ecuación (6.4) da

30

𝜔𝑛2 =

𝑘

𝑚=

104𝑁

𝑚

50 𝐾𝑔 𝜔𝑛 = 14.14 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜏𝑛 = 2𝜋/𝜔𝑛 𝜏𝑛 = 0.444 𝑠

Velocidad máxima: 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛 = 0.040 𝑚 (14.14𝑟𝑎𝑑

𝑠)

𝑣𝑚 = 0.566 𝑚/𝑠 𝒗𝑚 = 0.566𝑚

𝑠↕

Aceleración máxima: 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛2 = (0.040 𝑚)(14.14

𝑟𝑎𝑑

𝑠)2

𝑎𝑚 = 8.00 𝑚/𝑠2 𝑎𝑚 = 8.00 𝑚/𝑠2 ↕

b. Resortes unidos en serie. En primer lugar, se determina la constante 𝑘 de

un solo resorte equivalente a los dos resortes mediante el cálculo del alargamiento

total 𝛿 de los resortes sometidos a una carga estática dada 𝑷. Para facilitar el

cálculo, se utiliza una carga estática de magnitud 𝑃 = 12 𝑘𝑁.

𝛿 = 𝛿1 + 𝛿2 =𝑃

𝑘1+

𝑃

𝑘2=

12 𝑘𝑁

4 𝑘𝑁/𝑚+

12 𝑘𝑁

6 𝑘𝑁/𝑚= 5 𝑚

𝑘 =𝑃

𝛿=

12 𝑘𝑁

5 𝑚= 2.4

𝑘𝑁

𝑚= 2400

𝑁

𝑚

Periodo de vibración: 𝜔𝑛2 =

𝑘

𝑚=

2400 𝑁/𝑚

50 𝑘𝑔 𝜔𝑛 = 6.93 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜏𝑛 = 2𝜋/𝜔𝑛 𝝉𝑛 = 0.907 𝑠

Velocidad máxima: 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛 = 0.040 𝑚 (6.93𝑟𝑎𝑑

𝑠)

𝑣𝑚 = 0.277 𝑚/𝑠 𝒗𝑛 = 0.277 𝑚/𝑠 ↕

Aceleración máxima: 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚𝜔𝑛2 = 0.040 𝑚 (6.93

𝑟𝑎𝑑

𝑠)2

𝑎𝑚 = 1.920 𝑚/𝑠2 𝒂𝑚 = 1.920 𝑚/𝑠2 ↕

31

PROBLEMA RESUELTO 3.2

Un cilindro de peso 𝑊 y radio 𝑟 esta suspendido por una cuerda que le da la

vuelta, como se muestra. Un extremo de la cuerda está atado directamente a un

soporte rígido, mientras que el otro está atado a un resorte de constante 𝑘.

Determínese el periodo y la frecuencia natural de las vibraciones del cilindro.

SOLUCION

Cinemática del movimiento. El desplazamiento lineal y la aceleración del

cilindro se expresan en función del desplazamiento angular 𝜃. Si el sentido

positivo se selecciona como en el sentido de las manecillas del reloj y se miden los

desplazamientos a partir de la posición de equilibrio, se escribe

𝑥 = 𝑟𝜃 𝛿 = 2𝑥 = 2𝑟𝜃

𝜶 = 𝜃 ↙ 𝑎 = 𝑟𝛼 = 𝑟𝜃 𝑎 = 𝑟𝜃 (1)

32

Ecuaciones de movimiento. El sistema de fuerzas externas que actúa

sobre el cilindro se compone del peso 𝑾 y de las fuerzas 𝑻𝟏 y 𝑻𝟐 ejercidas por la

cuerda. Se dice que este sistema es equivalente al sistema de fuerzas efectivas (o

inerciales) representando por el vector 𝑚𝒂 aplicado en 𝐺 y al par 𝐼𝜶.

+↙ 𝑀𝐴 = (𝑀𝐴)𝑒𝑓𝑓 𝑊𝑟 − 𝑇2 2𝑟 = 𝑚𝑎𝑟 + 𝐼𝛼 (2)

Cuando el cilindro está en su posición de equilibrio, la tensión en la cuerda es

𝑇0 =1

2𝑊. Se observa que, para un desplazamiento angular 𝜃, la magnitud de 𝑻𝟐

es

𝑇2 = 𝑇0 + 𝑘𝛿 =1

2𝑊 + 𝑘𝛿 =

1

2𝑊 + 𝑘(2𝑟𝜃) (3)

Después de sustituir de (1) y (3) en (2), y puesto que 𝐼 =1

2𝑚𝑟2, se puede escribir

𝑊𝑟 − 1

2𝑊 + 2𝑘𝑟𝜃 2𝑟 = 𝑚 𝑟𝜃 𝑟 +

1

2𝑚𝑟2𝜃

𝜃 +8

3

𝑘

𝑚𝜃 = 0

Se ve que el movimiento es armónico simple y, por consiguiente,

𝜔𝑛2 =

8

3

𝑘

𝑚 𝜔𝑛 =

8

3

𝑘

𝑚

𝜏𝑛 =2𝜋

𝜔𝑛 𝜏𝑛 = 2𝜋

3

8

𝑚

𝑘

𝑓𝑛 =𝜔𝑛

2𝜋 𝑓𝑛 =

1

2𝜋

8

3

𝑘

𝑚

33

PROBLEMA RESUELTO 3.3

Determínese el periodo de las pequeñas oscilaciones de un cilindro de radio 𝑟 el

cual rueda sin resbalarse dentro de una superficie curva de radio 𝑅.

SOLUCION

Si 𝜃 denota el angulo que la línea 𝑂𝐺 forma con la vertical, y puesto que el cilindro

rueda sin resbalarse, se puede aplicar el principio de conservación de la energia

entre la posición 1, donde 𝜃 = 𝜃𝑚 , y la posición 2, donde 𝜃 = 0.

Posición 1

Energia cinética. Como la velocidad del cilindro es cero, 𝑇1 = 0

Energia potencial. Si se selecciona un plano de referencia como se

muestra y 𝑊 denota el peso del cilindro, se tiene

𝑉1 = 𝑊𝑕 = 𝑊 𝑅 − 𝑟 (1 − cos𝜃)

Por tratarse de pequeñas oscilaciones 1 − cos 𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝜃

2 ≈ 𝜃2/2; por

consiguiente,

𝑉1 = 𝑊 𝑅 − 𝑟 𝜃𝑚2 /2

34

Posición 2. Si 𝜃 𝑚 denota la velocidad angular de la línea 𝑂𝐺 cuando el

cilindro pasa por la posición 2, y se observa que le punto C es el centro de

rotación instantáneo del cilindro, se escribe

𝑣𝑚 = (𝑅 − 𝑟)𝜃 𝑚 𝜔𝑚 =𝑣𝑚

𝑟=

𝑅−𝑟

𝑟𝜃 𝑚

Energia cinética

𝑇2 =1

2𝑚𝑣𝑚

2+

1

2𝐼𝜔𝑚

2

𝑇2 =1

2𝑚(𝑅 − 𝑟)2𝜃 𝑚

2 +1

2

1

2𝑚𝑟2

𝑅 − 𝑟

𝑟

2

𝜃 𝑚2

𝑇2 =3

4𝑚(𝑅 − 𝑟)2𝜃 𝑚

2

Energia potencial

𝑉2 = 0

Conservación de la energia

𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2

0 + 𝑊 𝑅 − 𝑟 𝜃𝑚

2

2=

3

4𝑚 𝑅 − 𝑟 2𝜃 𝑚

2 + 0

Como 𝜃𝑚 = 𝜃𝑚𝜔𝑛 y 𝑊 = 𝑚𝑔, se escribe

𝑚𝑔 𝑅 − 𝑟 𝜃𝑚

2

2=

3

4𝑚 𝑅 − 𝑟 2(𝜃𝑚𝜔𝑛 )2 𝜔𝑛

2 =2

3

𝑔

𝑅−𝑟

𝜏𝑛 =2𝜋

𝜔𝑛 𝜏𝑛 = 2𝜋

3

2 𝑅−𝑟

𝑔

35

PROBLEMA RESUELTO 3.4

Un motor de 350 lb esta sostenido por cuatro resortes con constante de 750 lb/in.

Cada uno. El desbalanceo del rotor equivale a un peso de 1 oz localizado a 6 in.

Del eje de rotación. Si el motor está restringido a moverse verticalmente,

determínese a) la velocidad en rpm a la que ocurrirá la resonancia, b) la amplitud

de la vibración del motor a 1200 rpm.

SOLUCION

a. Velocidad de resonancia. La velocidad de resonancia es igual a la

frecuencia circular natural 𝜔𝑛 (en rpm) de la vibración libre del motor. La masa de

este y la constante equivalente de los resortes de sustentación son

𝑚 =350 𝑙𝑏

32.2 𝑝𝑖𝑒/𝑠2= 10.87 𝑙𝑏 ∗ 𝑠2/´𝑝𝑖𝑒

𝑘 = 4 750𝑙𝑏

𝑖𝑛 = 3000

𝑙𝑏

𝑝𝑖𝑒= 36000

𝑙𝑏

𝑝𝑖𝑒

𝜔𝑛 = 𝑘

𝑚=

36000

10.87= 57.5

𝑟𝑎𝑑

𝑖𝑛= 549 𝑟𝑝𝑚

36

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 549 𝑟𝑝𝑚

b. Amplitud de la vibración a 1200 rpm. La velocidad angular del motor y la

masa equivalente al peso de 1 oz son

𝜔 = 1200 𝑟𝑝𝑚 = 125.7 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑚 = 1 𝑜𝑧 1 𝑙𝑏

16 𝑜𝑧

1

32.2 𝑝𝑖𝑒/𝑠2= 00.001941 𝑙𝑏 ∗ 𝑠2/𝑝𝑖𝑒

La magnitud de la fuerza centrifuga provocada por el desbalanceo del rotor es

𝑃𝑚 = 𝑚𝑎𝑛 = 𝑚𝑟𝜔2 = 0.001941 𝑙𝑏 ∗ 𝑠

𝑝𝑖𝑒

6

12𝑝𝑖𝑒 125.7

𝑟𝑎𝑑

𝑠

2

= 15.33 𝑙𝑏

La deflexión estática que una carga constante 𝑃𝑚 provocaría es

𝑃𝑚𝑘

=15.33 𝑙𝑏

3000 𝑙𝑏/𝑖𝑛= 0.00511 𝑖𝑛

La frecuencia circular forzada 𝜔𝑓 del movimiento es la velocidad angular del motor,

𝜔𝑓 = 𝜔 = 125.7 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Si sustituyen los valores de𝑃𝑚/𝑘, 𝜔𝑓 y 𝜔𝑛 en la ecuación (2.33), se obtiene

𝑥𝑚 =𝑃𝑚/𝑘

1 − (𝜔𝑓/𝜔𝑛)2=

0.00511 𝑖𝑛

1 − (125.7/57.5)2= −0.001352 𝑖𝑛

𝑥𝑚 = 0.001352 𝑖𝑛 (𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒)

Nota. Como 𝜔𝑓 > 𝜔𝑛 , la vibración esta 180° fuera de fase con la fuerza centrifuga

debida al desbalanceo del rotor. Por ejemplo, cuando la masa desbalanceada esta

directamente debajo del eje de rotación, la posición del motor es 𝑥𝑚 = 0.001352 𝑖𝑛

sobre la posición de equilibrio.

37

CAPITULO 4.- CONCLUSIONES

2.3 resultados obtenidos

Los resultados obtenidos sobre estos temas son el haber conocido sobre los

conceptos acerca de las vibraciones, se aprendió acerca de las formulas que

se utilizan para resolver los problemas planteados y saber donde poder

utilizarlo en la vida cotidiana.

2.4 Conclusiones

Para poder concluir con el tema de vibraciones con amortiguamiento y

vibraciones sin amortiguamiento, se debe saber que estos temas se

encuentran al nuestro alrededor como las estructuras las maquinas entre otras,

y como ya se sabe sobre los temas de vibraciones se puede saber si las

estructuras están bien diseñadas o las pueden corregir de algún modo que no

le cueste tanto, por ello es importante aprender bien los conceptos.

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BIBLIOGRAFIA

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