Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos

e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

Vibraciones caóticas en suelos Chaotic vibrations in soils

Roberto MAGAÑA1, Armando HERMOSILLO1 y Marcelo PÉREZ2

1 Instituto de Ingeniería, UNAM 2 Centro Tecnológico, FES Aragón

RESUMEN: En este artículo se presentan algunas situaciones de interés en geotecnia, en donde ocurren vibraciones que se puede considerar son de tipo caótico. Estas vibraciones pertenecen al campo de la dinámica no lineal (Teoría del Caos) debido principalmente a la naturaleza no lineal de los suelos. Por tanto, aquí se mencionan algunos de los fundamentos de la dinámica no lineal, así como se hace una breve discusión de algunos de los osciladores de un grado de libertad de comportamiento caótico. Por tanto el contenido de este artículo consta de a) una introducción a la dinámica no lineal, b) presentación de algunos osciladores caóticos y c) una reseña de algunos problemas de vibraciones caóticas en suelos. Finalmente se presentan conclusiones acerca de estos problemas caóticos prácticos de geotecnia, así como algunas recomendaciones para que la práctica de la geotecnia en México incluya estos conocimientos.

ABSTRACT: In this paper some interesting situations in geotechnics, in where chaotic vibrations appear, are presented. These vibrations belong to the field of nonlinear dynamics (chaos theory), due mainly to the nonlinear nature of soils. So, some fundamentals of nonlinear dynamics are presented and a brief discussion of some of the oscillators of one degree of freedom of chaotic behavior. Thus the content of this article consists of a) an introduction to nonlinear dynamics, b) presentation of some chaotic oscillators and c) a review of some problems of chaotic vibrations in soils. Finally, conclusions about these chaotic issues in geotechnical studies are presented, as well as some recommendations in order to this knowledge is included in geotechnical engineering applied in Mexico.

1 INTRODUCCIÓN

En este artículo se presentan algunas situaciones de interés en geotecnia, en donde ocurren vibraciones que se puede considerar son de tipo caótico. Estas vibraciones pertenecen al campo de la dinámica no lineal (Teoría del Caos) debido principalmente a la naturaleza no lineal de los suelos. Por tanto, aquí se mencionan algunos de los fundamentos de la dinámica no lineal, así como se hace una breve discusión de algunos de los osciladores de un grado de libertad de comportamiento caótico. Asimismo, a partir de una investigación bibliográfica se hace referencia a algunos artículos donde se describe el comportamiento dinámico que se presenta en algunas actividades de algunos trabajos de interés en geotecnia, como es el caso de la compactación, el hincado de pilotes y el problema de licuación de arenas. En todos ellos ya se están empleando los conceptos emanados de la teoría del caos y en donde los cálculos matemáticos involucrados exigen tomar ya toman en cuenta las herramientas matemáticas y numéricas apropiadas para tratar dichos problemas que han surgido de dicha teoría.

Por tanto el contenido de este artículo consta de a) una introducción a la dinámica no lineal, b) presentación de algunos osciladores caóticos y c) una reseña de algunos problemas de vibraciones caóticas en suelos. Finalmente se presentan conclusiones acerca de estos problemas caóticos prácticos de geotecnia, así como algunas recomendaciones para que la práctica de la geotecnia en México incluya estos conocimientos.

2 DINÁMICA CLÁSICA

2.1 Oscilador lineal con amortiguamiento no forzado

Considerando ahora la ecuación diferencial clásica de segundo orden, escrita en una forma estándar (ec. 1), con la representación del factor de amortiguamiento, es decir, la relación entre la atenuación real al amortiguamiento crítico en el que cesa el comportamiento oscilatorio.

Una solución analítica de esta ecuación diferencial lineal se presenta en lo que sigue: Para un amortiguamiento pequeño ( 1<ξ ), tenemos una onda senoidal amortiguada exponencialmente,

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mientras que para un amortiguamiento grande ( 1>ξ ) se tiene un decaimiento exponencial no oscilatorio.

2.2 Oscilador no lineal con amortiguamiento no forzado Para concluir los casos de sistemas no forzados (libres), vemos ahora en un problema no lineal amortiguado, tipificado por el péndulo de la figura 1. Este es el péndulo de gran amplitud de nuestra discusión anterior, ahora con la modelación de la resistencia del aire por una ley realista que la considera proporcional al cuadrado de la velocidad. Está claro que una vez más los aspectos transitorios tienden asintóticamente al estado de equilibrio estable, lo que representa un atractor puntual en el espacio de fases.

Figura 1. Oscilador no lineal amortiguado no forzado (Thompson et. al., 1986)

Figura 2. Oscilador lineal amortiguado forzado (Thompson et. al., 1986)

2.3 Ecuación característica: Ondas y diagramas de fase Considere una masa m sujeta por un resorte elástico de rigidez k , y por un amortiguador que proporciona una fuerza viscosa lineal que se opone a

la velocidad, en este caso la ecuación de movimiento se puede escribir como:

0=++ kxxxm ξ (1)

Dividiendo la ecuación de movimiento (ec. 1) por la masa se coloca en la forma estándar conveniente,

0=++ cxxbx (2)

Suponiendo que la solución es tAex λ= , y sustituyendo esta relación en la ec. 2 resulta:

0)( 2 =++ tAecb λλλ (3)

Para una solución no trivial se tiene:

02 =++ cbλλ (4)

La naturaleza de la solución ahora dependerá de si las raíces de esta ecuación característica son reales o complejas.

Así, la forma de la solución depende de las raíces de la ecuación característica, que a su vez dependen del signo del discriminante D . Si D es positivo, tenemos dos raíces distintas, y la solución exponencial supone.

tt eAeAx 21

21λλ += (5)

donde 1A y 2A son constantes arbitrarias de integración que se determinan de las condiciones iniciales del movimiento.

Si D es negativo, tenemos dos raíces complejas

conjugadas IiRx ±=2,1 , que nos da soluciones de la forma:

)(Itsenex Rt= (6)

El oscilador por lo tanto, se vuelve inestable si alguna raíz adquiere una parte real positiva. La respuesta del oscilador, caracterizado por la naturaleza del punto de equilibrio (x = 0, z = 0), se resume en la figura 3, que muestra los bocetos de los diagramas de fase junto a los diagramas de Argand (Argand, 1799) correspondientes (R, I).

Figura 3. Diagramas de fase y estructuras de un oscilador lineal (Thompson et. al., 1986)

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Los puntos de equilibrio estable (de principal interés para nosotros) se encuentran en el cuadrante b> 0, c> 0. Es de recalcar como varían los tipos de movimiento en función de los parámetros de amortiguamiento y rigidez.

3 DINÁMICA NO LINEAL (CAÓTICA) 3.1 Atractores que compiten entre sí Considerando la competición entre más de un atractor fijo. La manera más fácil de idear un sistema con dos puntos de equilibrio fijos es considerar el movimiento de una masa en un campo potencial que exhibe dos mínimos.

3.2 Diagramas de fase Dos conjuntos típicos de trayectorias de fase son mostrados en la figura 4 debajo de la curva de energía potencial total correspondiente. El diagrama de fase superior muestra la gráfica patológica para un sistema no amortiguado obtenido poniendo

0=c , mientras diagrama inferior muestra el resultado para un sistema típico de disipativo con una pequeña cantidad de amortiguamiento positivo. En el sistema amortiguado, los movimientos que cruzan la barrera potencial son divididos repetidas veces en el espacio de fase de movimientos que se quedan de un lado a otro por separatrices, o de conexiones de puntos “silla”, o de situaciones doblemente asintóticas a la “silla” de punto fijó. Esta situación es semejante al péndulo, con la introducción de un ligero amortiguamiento, los dos centros neutralmente estables llegan a ser focos asintóticamente fijos. Los dos estados fijos del equilibrio (atractores) ahora compiten, así en una mitad simétrica del diagrama de fase (sombreado con puntos) lleva a un atractor, mientras la otra mitad (dejada en blanco) lleva al otro (ver figura 4).

3.3 Topología de diagramas de fase bidimensionales Cualitativamente, los sistemas dinámicos en un espacio de fase sólo pueden tener los dos tipos de comportamiento final descrito hasta ahora, los puntos de equilibrio y ciclos periódicos, (Poincare et al., 1999). Además, a menos que el sistema dinámico sea conservativo, los ciclos son ciclos de límite, ya sea atrayendo trayectorias cercanas, o separando zonas de captación de otro atractor. Los ejemplos más importantes de la dinámica no lineal en espacios tridimensionales de fase son los osciladores periódicamente forzados.

Figura 4. Trayectorias de fase amortiguadas y no amortiguadas para un oscilador no lineal con dos estados de equilibrio estable representando puntos atractores en competencia (Thompson et. al., 1986

3.4 Resonancia no lineal Los efectos no lineales surgen en sistemas mecánicos y estructurales cuando las deflexiones llegan a ser grandes. En la resonancia de una viga sujeta entre apoyos fijos, la rigidez lineal debido a un momento de flexión es por ejemplo aumentada por una fuerza no lineal restauradora de la forma 3bx debido a la tensión de membrana que se origina en amplitudes grandes. La fuerza restauradora total es entonces 3bxax+ , lo anterior para b positivo, se tendría entonces un resorte que se endurece: opuestamente con b negativo se diría que se tiene un resorte que se ablanda.

Considerando entonces el oscilador no lineal manejado descrito por la ecuación de Duffing:

ταηζη cos2 032 Fxxxx =+++ (7)

la cuál es igual a la ecuación linear vista anteriormente sólo con la adición del término 3x que representa el endurecimiento. Observar, sin embargo, que la amplitud de la fuerza no puede ser extraída, y por lo tanto ha sido escrito como 0F : la magnitud de esto es ahora un nuevo parámetro operativo que puede alterar apreciablemente los fenómenos dinámicos exhibidos por el oscilador.

Esta ecuación tiene una respuesta sumamente compleja, que aún todavía no se explora completamente. Se ha encontrado que existen resonancias entre la frecuencia fundamental y subarmónicas y recientemente se han detectado regímenes caóticos.

Una nueva característica de las resonancias sencillas es que los picos son curveados. Estos se curvean a la derecha para un resorte con endurecimiento, puesto que la frecuencia inherente del sistema aumenta con la amplitud en cambio para un resorte que se ablanda con la amplitud, el curveado es hacia la izquierda, ver Figura 5.

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Figura 5. Diagramas de fase de una ecuación de Duffing variacional suavizada en el plano de Van der Pol. Arriba, la respuesta de resonancia no lineal y diagramas de fase mostrando régimen de histéresis en la resonancia fundamental (Thompson et. al., 1986)

Ahora, si la respuesta bajo estudio tiene sólo una frecuencia predominante única (como quizás tenga en la ecuación de Duffing cercano a una condición de la resonancia) podemos inferir las trayectorias en la correspondiente tasa de evolución con el tiempo (Van der Pol, 1926). Es de resaltar la gran complejidad que pueden tener las trayectorias en un movimiento caótico como se vio en la figura 5.

En un oscilador no lineal impulsado, no están disponibles soluciones analíticas de forma cerrada y se tiene que recurrir inevitablemente a integraciones numéricas.

3.5 Diagrama de fases tridimensional de un atractor Shaw (Shaw, 1981) descubrió una simulación análoga al sistema de Van der Pol mediante las ecuaciones 8 que tienen un atractor caótico con una estructura topológica particularmente interesante. Las trayectorias finales del estado estable en el espacio de fase tridimensional ),,( tyx es ilustrado en la figura 6. Los planos (X, Y) son perpendiculares a la línea de vista, mientras el tiempo es medido en un eje que penetra hacia el fondo (es decir perpendicular al plano de la página). La escala de tiempo es medida por el ángulo t57.1=φ del término sinusoidal excitador, progresando de 0° en la orilla delantera de esta estructura tridimensional a 360° en la orilla de atrás. Desde que las ecuaciones en

cualquier ángulo 0φ son repetidas exactamente para πφ 20 + , se espera que una vez que los transitorios

hayan desaparecido gradualmente, la estructura formada por todas las trayectorias finales se repetirá idénticamente en cada ciclo completo de la fuerza excitadora.

)57.1(25.0)1.0(107.0 2

tsenxyyxyx

+−=

−+=

(8)

Figura 6. Atractor caótico de del sistema Van der Pol de velocidad forzada en el espacio de fases tridimensional

),,( tyx (Thompson et. al., 1986)

4 OSCILADORES CAÓTICOS

Con el propósito de lograr una comprensión mejor de los fenómenos caóticos, se elaboró un programa capaz de generar resultados semejantes a los obtenidos por otros investigadores en el campo de la dinámica no lineal (Magaña 2011). En este caso se logró dicho objetivo y el programa desarrollado es capaz de simular el comportamiento de osciladores lineales y no lineales. En este último caso se presentaron dos ejemplos de osciladores caóticos, el de Duffing y el de Van der Pol, dados por las ecuaciones 11 y 12 respectivamente.

)(tfKxxCxm =++ (9)

iiii fChmKhx

ChmmChx

ChmKhmx

++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

= −+ 22

22

224 2

1

2

1 (10)

)cos(5.73 txxCxm =++ (11)

)()1( 2 tAsenKxxxxm ωµ =+−+ (12)

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4.1 Sistema Caótico Duffing Este sistema describe un movimiento caótico, el cual está gobernado por la ecuación diferencial (ec. 11) y para la cual 0)( ≠tf . Para este sistema, las condiciones iniciales son 0.3)0( =y y 0.4)0( =y , con valores de 0.1=m , 05.0=C y 0.1=K . La evolución en el tiempo de dicho sistema se presenta en la figura 7, correspondiente a la gráfica, xt − que representa la historia de aceleraciones. En las figura 8 se presenta el diagrama de fases xx − . En la figura 9, se presenta el espectro de respuesta correspondiente al acelerograma de la figura 7.

Figura 7. Gráfica xt −

Figura 8. Diagrama de fases xx −

Figura 9. Espectro de respuesta

4.2 Oscilador Van Der Pol Este sistema describe un movimiento caótico, el cual está gobernado por la ecuación diferencial (ec. 12) y para la cual 0)( ≠tf . Para este sistema, las

condiciones iniciales son 0.2)0( =y y 0.4)0( =y , con valores de 0.1=m , 53.8=µ , 0.1=K , 2.1=A y

10/2πω = . La evolución en el tiempo de dicho sistema se presenta en la Figura 10, correspondiente a la gráfica xt − que representa la historia de movimiento. En la Figura 11 se presenta el diagrama de fases xx − . En la Figura 12, se presenta el espectro de respuesta correspondiente a la historia de la Figura 10.

Figura 10. Gráfica xt −

Figura 11. Diagrama de fases xx −

Figura 12. Espectro de respuesta

De los resultados mostrados en las figuras anteriores se pueden hacer los siguientes comentarios:

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En síntesis, en ambos osciladores caóticos los espectros son de banda ancha aunque diferentes. El que existan varios picos revela que un oscilador caótico de un grado de libertad presenta este comportamiento notable, que se aleja de las interpretaciones clásicas de resonancia. Esto en sí es una característica básica del caos.

Esta situación da origen a considerar que muchos problemas dinámicos de la geotecnia tengan realmente comportamiento caótico, como se ha podido verificar en muchas situaciones, a manera de ejemplos, en este trabajo se mencionan tres casos: a) en la compactación, b) en el hincado de pilotes y c) en la licuación de arenas.

5 COMPACTACIÓN

Las vibraciones dinámicas no lineales originadas por equipos de compactación de suelo se toman como dato para los sistemas de control de retroalimentación, en los sistemas de compactación inteligente (Anderegg et al., 2006). De acuerdo con la compactación alcanzada por el suelo, se varían los parámetros del suelo empleados en el modelo de manera continua. El rodillo vibratorio mide permanentemente la rigidez del terreno. Los datos (obtenidos con GPS) de rigidez están directamente relacionados a la prueba placa para obtener la resistencia al corte. En la práctica, la compactación inteligente asegura que el trabajo de compactación se complete en un número mínimo de pasadas, de esta manera se controla la energía de compactación la cual se ajusta automáticamente mientras se mide la rigidez del suelo.

Así que la compactación inteligente en el sector de movimiento de tierras permite llevar a cabo un trabajo de compactación en un tiempo muy corto y de manera verificable. La vinculación de los datos de la medida de la rigidez del suelo durante la compactación controlado con los datos obtenidos con el sistema GPS permite la visualización gráfica del proceso que se está llevando a cabo, proporcionándole al operador de la máquina una ayuda sencilla y muy eficaz para trabajar.

Los compactadores dinámicos con parámetros que se ajustan automáticamente a la condición de la forma de la subrasante, son la base para el trabajo de la compactación inteligente (Anderegg et al., 2004). Los compactadores de suelo originan vibraciones dinámicas no lineales (caóticas), y las características típicas de estas vibraciones se toman como base para el sistema de control de realimentación para la compactación inteligente. Con el modelo de la máquina y el suelo como punto de partida, la pérdida periódica de contacto entre el tambor y el subsuelo se considera como el principal efecto no lineal. Esta no-linealidad da lugar a fenómenos periódicos y sub-armónicos, y puede dar lugar a efectos dinámicos inestables. El

comportamiento de las máquinas entonces puede ser investigado con la ayuda de la teoría del caos.

En el artículo (Mooney et al., 2010) se describe la compactación inteligente, que es un nuevo método para lograr (y documentar) los requisitos de compactación requeridos, a través del monitoreo continuo de las vibraciones de compactación del rodillo y de la evaluación de las propiedades mecánicas del suelo (por ejemplo, la rigidez, el módulo), La continua modificación y adaptación de la amplitud de la vibración y de la frecuencia del rodillo sirven para asegurar una compactación óptima, y la supervisión continua mediante un sistema de posicionamiento global integrado (GPS), con lo que se logra el registro de la zona compactada. La implementación de este sistema tiene el potencial para mejorar la eficacia de la infraestructura, reducir los costos, reducir la duración de la construcción, y mejorar la seguridad.

Resultados de la investigación en Europa y en Estados Unidos han demostrado que el módulo de la rigidez del suelo se puede evaluar a través de monitoreo de la vibración del tambor del rodillo del compactador. y que la vigilancia continua, mediante la retroalimentación y el ajuste automático del equipo de compactación puede mejorar significativamente la calidad del proceso de compactación.

6 HINCADO DE PILOTES

En el artículo (Pavlovskaia et al., 2003) se describe la investigación actual sobre el modelado matemático de un sistema de tierra de vibro-impacto. Debido a la complejidad estructural de tales sistemas, se investigó en primera instancia la respuesta dinámica de un oscilador de impacto idealizado. El modelo se compone de una masa (armónicamente excitada) simulando la parte penetrante del equipo para pilotear y un deslizador visco-elástico, que representa la resistencia del suelo. El modelo ha sido formulado matemáticamente, y se desarrollaron las ecuaciones del movimiento. Un análisis dinámico típico no lineal revela un comportamiento complejo que va desde movimiento periódico hasta un movimiento caótico. Se encontró que la máxima evolución coincide con el final del régimen de periódico.

Matemáticamente los sistemas de vibro-impacto pueden ser clasificados como sistemas de movimiento con discontinuidades dependientes. Como puede verse de lo anterior, se ha llevado a cabo una cantidad considerable de investigación centrándose tanto en estudios fundamentales como en aplicaciones prácticas.

El método más reciente que se aplica para la instalación de pilotes mediante vibración considera la no linealidad del proceso (Warrington, 1992). Estos métodos buscan resolver efectivamente las

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ecuaciones de movimiento del sistema de vibración a través de la integración numérica. Estos métodos se dividen en dos categorías: 1) los métodos que toman en cuenta la masa y rigidez del sistema de manera distribuida (técnicas de ecuación de onda), y 2) aquellos que no lo hacen (las técnicas de cuerpo rígido). Debido a su construcción y operación, los martillos de vibración-impacto son por naturaleza más complejos de analizar que los simplemente vibratorios, y se tienen por tanto más problemas analíticos.

7 LICUACIÓN

Muchas observaciones han demostrado que después de la licuefacción se tiene una mayor movilidad debido a una cierta forma de fluidización parcial que conduce a movimientos rápidos en distancias más largas de lo que podría esperarse (Davies et al., 1997). Estos fenómenos pueden ser explicados por una reducción en la fuerza de fricción debido a velocidades cada vez mayores. En la (referencia presente) se investiga un modelo simple para este efecto. El modelo produce una rica variedad de respuestas velocidad-fuerza, incluida la atenuación de la fuerza a altas velocidades. El objetivo en dicha referencia es construir un modelo numérico simple para el flujo de una masa grande saturada y para evaluar el efecto de la velocidad en la fuerza media de rozamiento en la interfaz entre el flujo y su medio de soporte. Existe la motivación por la necesidad de tener una descripción racional para el comportamiento de los flujos en la licuefacción. Bajo ciertas condiciones estos pueden alcanzar potencialmente altas velocidades. Pete Quinn (Quinn, 2012) estuvo tratando de encontrar una aplicación de las nociones de geometría fractal en relación con la geotecnia, buscando una conexión significativa. Y encontró una línea de investigación productiva. Al estar leyendo el libro de Manfred Schroeder, "Fractales, Caos, las leyes de poder", donde tiene un capítulo sobre la filtración. Considero dos aspectos importantes a partir de su discusión acerca de la filtración: Uno de ellos es que los fenómenos de percolación, se producen cerca de alguna "densidad crítica", y se rigen por leyes de potencia en el espacio y el tiempo, y por otra parte que los exponentes de las leyes de potencia son independientes de los procesos físicos, dependiendo sólo de la geometría espacial del problema y el número de grados de libertad.

El comportamiento del sistema cerca de la densidad crítica es muy diferente que el "comportamiento típico" (más allá de los aspectos de la densidad crítica del sistema) se convierte en claramente fractal cerca de la densidad crítica, teniéndose la ausencia de una escala característica,

y por tanto en un comportamiento que depende de la escala.

Sabemos que a partir de simulaciones con computadora relacionadas con los fenómenos de percolación que a medida que aumenta la densidad, la interconexión entre las partículas en la matriz se incrementará, y en algún momento los grupos interconectados de partículas desarrollarán una forma fractal, con la auto-afinidad en todas las escalas (de partícula a escala del modelo) la densidad en la matriz del suelo se ha interconectado en una geometría fractal, y entonces el comportamiento será caótico. La transmisión de esfuerzos y deformaciones a través de la matriz de suelo fractal no será instantánea, sino más bien se producirá con el tiempo, de manera tal que no se puede determinar con precisión a partir del estado inicial.

8 CONCLUSIONES 8.1 Conclusiones generales • En los problemas de dinámica no lineal la curva

de la función de amplificación, sufre un encorvamiento hacia la izquierda o derecha según diferentes no linealidades, como se ve por ejemplo en la figura 14. Esto provoca que para una cierta frecuencia se tengan dos valores diferentes de amplificación.

• Por la presencia de atractores múltiples se presenta el fenómeno de bifurcación, en el que a partir de un punto se tienen dos posibles trayectorias de evolución del movimiento. Además se pueden tener a lo largo de la historia de movimiento diferentes puntos de bifurcación generándose una especie de árboles con las posibles trayectorias.

• Un mismo procedimiento numérico puede conducir a comportamientos dinámicos diferentes, al variar los parámetros del modelo simultáneamente con la historia de movimiento.

• En un oscilador caótico aunque la entrada sea periódica la salida es irregular (pareciendo aleatoria), pero tiene patrones de comportamiento.

• Los espectros de respuesta tienen varios picos, aunque el oscilador sea de un grado de libertad (es decir son de banda ancha).

• Son de esperarse efectos caóticos en el diseño inelástico de estructuras. Asimismo, estos existirán en la interacción suelo-estructura debido a la no linealidad del suelo.

8.2 Conclusiones sobre compactación Las vibraciones dinámicas no lineales originadas por equipos de compactación de suelo se toman como dato para los sistemas de control de retroalimentación, en los sistemas de compactación inteligente (Anderegg et al., 2006). De acuerdo con

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la compactación alcanzada por el suelo, se varían los parámetros del suelo empleados en el modelo de manera continua. Así que la compactación inteligente en el sector de movimiento de tierras permite llevar a cabo un trabajo de compactación en un tiempo muy corto y de manera verificable. El análisis de los resultados obtenidos reveló que comúnmente la heterogeneidad observada en el suelo da lugar a una respuesta transitoria que puede tener una influencia significativa en el comportamiento de las vibraciones.

Los compactadores de suelo originan vibraciones dinámicas no lineales (caóticas), y las características típicas de estas vibraciones se toman como base para el sistema de control de realimentación para la compactación inteligente.

Los sistemas de control de realimentación para rodillos están basados en los resultados de la teoría de las oscilaciones no lineales, y permiten óptimos rendimiento gracias a un ajuste continuo de la compactación.

8.3 Conclusiones sobre hincado de pilotes La investigación actual sobre el modelado matemático de un sistema de tierra de vibro-impacto. El modelo ha sido formulado matemáticamente, y se desarrollaron las ecuaciones del movimiento. Un análisis dinámico típico no lineal revela un comportamiento complejo que va desde movimiento periódico hasta un movimiento caótico. El método más reciente que se aplica para la instalación de pilotes mediante vibración considera la no linealidad del proceso. Estos métodos buscan resolver efectivamente las ecuaciones de movimiento del sistema de vibración a través de la integración numérica.

8.4 Conclusiones sobre licuación. Muchas observaciones han demostrado que después de la licuación se tiene una mayor movilidad debido a una cierta forma de fluidización parcial que conduce a movimientos rápidos en distancias más largas de lo que podría esperarse. En la referencia (Daves et al., 1997) se investiga un modelo simple para este efecto. El modelo produce una rica variedad de respuestas velocidad-fuerza, incluida la disminución de la fuerza a altas velocidades.

REFERENCIAS

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Soil Compactors”. GeoCongress 2006: Geotechnical Engineering in the Information Technology Age. Feb 26 - Mar 1, 2006, Atlanta, GA

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Davies R.O. and Bolton M.D. (1997) Strength of post-liquefaction flows - a speculative velocity-dependent model, Proceedings 9th International Conference of the International Association for Computer Methods and Advances in Geomechanics, Wuhan, China.

Magaña (2011), “Conceptos físico matemáticos del caos para ingeniería sísmica”, Memorias del XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, celebrado en Aguascalientes, AGS., en Octubre de 2011.

Mooney M. A., Rinehart R. V., Facas N. W., Musimbi Odon M., White David J. and Vennapusa Pavana K. R. (2010). “Intelligent Soil Compaction Systems”, National cooperative High way Research Program, Transportation Research Board, Washington, D.C. 2010

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Quinn Pete (2012). “Collapse, bifurcation, liquefaction, progressive failure… percolation phenomena in geotechnique?”. http://petequinnramblings.wordpress.com/2012/02/06/collapse-bifurcation-liquefaction-progressive-failure-percolation-phenomena-in-geotechnique/

Shaw, R. (1981). Strange attractors, chaotic behavior, and information flow. Z. Naturf., 36a, 80-112

Thompson, J.M.T., and Stewart, H. B. (1986). Nonlinear Dynamics and Chaos. Ed. John Wiley and Sons: Chichester.

Van der Pol, B. (1926). On relaxation-oscillations. Phil. Mag. (7), 2, 978-992.

Warrington Don C. (1992). “Vibratory and impact-vibration pile driving equipment” Vulcan Iron Works Inc. 1989-1992 Don C. Warrington