Paper-2007 comunicaciones caóticas

8/3/2019 Paper-2007 comunicaciones caóticas

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Comunicaciones caóticas Caso de estudio: codificación/modulación dinámica

Mauricio Améstegui M.

Carrera de Ingeniería Electrónica

Facultad de

Ingeniería

Universidad Mayor de San Andrés

Agosto de 2007

Resumen En este artículo se proponen tres esquemas de comunicaciones caóticas, basados en métodos dinámicos

de codificación/modulación. En cada esquema se propone la estructura tanto del transmisor como del

receptor. El primer esquema considerado es el de enmascaramiento caótico, basado en el oscilador de

Chua que esparce el espectro de una señal de banda estrecha; el segundo es un esquema de

conmutación caótica basado en un oscilador lineal realimentado por una función de codificación no

lineal, cuyo efecto combinado produce un comportamiento caótico del mensaje que está siendo

transmitido. También se muestra cómo ambos esquemas, interconectados en cascada, pueden producir

una señal con mayor nivel de complejidad sobre el canal de comunicaciones. Para mostrar la efectividad

de los esquemas propuestos, se presentan resultados de simulación, así como la estimación de los

exponentes más grandes de Lyapunov.

1 Introducción Los sistemas caóticos han sido un punto focal de renovado interés por parte de muchos investigadores

en las

décadas

pasadas,

desde

el

trabajo

de

Lorenz

[1]

en

los

inicios

de

la

década

de

los

años

1960s

que

muestra la evidencia de caos en sistemas no lineales determinísticos, la introducción de medidas de

dispersión de las trayectorias caóticas, como los exponentes de Lyapunov [2], a mediados de la década

de los 1970s y trabajos posteriores de análisis de la dinámica de sistemas complejos y sus propiedades

[3],[4] y [5]. Estos sistemas no lineales se dan en numerosos sistemas naturales o bien hechos por el

hombre; se conoce que tienen una gran sensibilidad a las condiciones iniciales, lo que quiere decir que

dos trayectorias que empiezan en condiciones iniciales cercanas en una vecindad arbitraria evolucionan

drásticamente de manera diferente, volviéndose totalmente descorrelacionadas entre sí [5]. A primera

vista, las trayectorias caóticas se parecen mucho al ruido aleatorio y, aunque tienen características

similares en cuanto a su amplio espectro frecuencias, la diferencia fundamental radica en el

determinismo. El caos puede ser clasificado como determinístico pero impredecible, mientras que el

ruido no es ni determinístico ni predecible.

La impredecibilidad de las señales caóticas ha sido aprovechada en aplicaciones de transmisión de

información para comunicaciones seguras [6], donde el mensaje es empaquetado por un oscilador

caótico en el transmisor y luego es transmitido, a través del canal de comunicación, como una señal

caótica modulada o codificada [7] y [11]; en el receptor, la información se recupera usando



generalmente técnicas de sincronización. Estas ideas y conceptos han dado lugar al surgimiento de un

campo de aplicación denominado criptografía caótica [12], donde el énfasis se centra en cifradores

caóticos y diversos algoritmos de encriptación [8] [9] y [10].

Las comunicaciones caóticas se han convertido en una nueva área de investigación, cuyo origen

proviene del

estudio

de

sistemas

dinámicos

caóticos

en

disciplinas

como

matemáticas,

física

y diversas

ingenierías. Aunque el comportamiento caótico es complejo, se puede observar que existe caos en

sistemas dinámicos simples: el oscilador de Lorenz [1], sistemas dinámicos no lineales de bajo orden

[13],el oscilador RLD [14],generador de caos basado en un perceptrón [15],circuitos osciladores lineales

acoplados a diodos [16],movimiento de rebote de bolas (bouncing ball) [17] y partículas libres

interactuando con sistemas osciladores armónicos [18], entre muchos otros ejemplos. Las señales

caóticas se caracterizan por ser irregulares, no periódicas, descorrelacionadas, con un amplio ancho de

banda e impredecibles en periodos largos de tiempo. Estas propiedades satisfacen los requerimientos

de las señales aplicadas en los sistemas de comunicaciones, particularmente de aquellas requeridas en

los sistemas de comunicación de espectro esparcido [19], las comunicaciones multi‐usuario [20] y las

comunicaciones seguras

[9]

y [11].

2 Requerimientos de un sistema de comunicaciones 2.1 Requerimientos de eficiencia, seguridad y robustez Los sistemas de comunicación transportan un mensaje (por tanto, información) desde un transmisor

(fuente de la información) hasta un receptor (destinatario de la información). El transmisor y el receptor

están situados en diferentes localizaciones. Un medio físico (el canal) transporta el mensaje. Este

transporte tiene que ser logrado de una manera eficiente, segura y robusta. Estos tres requerimientos

se implementan en diferentes bloques de un esquema de comunicaciones [21].

Señales como sonido, imágenes o video son señales analógicas que contienen una alta cantidad de

redundancia. Lo mismo se tiene en información digitalmente almacenada en archivos no comprimidos

de texto, sonido o imágenes. La redundancia implica que un cierto porcentaje del mensaje transmitido

tiene un contenido innecesario. Su eliminación se realiza mediante un proceso llamado codificación de

fuente. Puesto que la codificación es un procedimiento digital, es aplicable a datos digitales y no está

presente en los esquemas puramente analógicos [21].

El medio físico a través del cual se supone que el mensaje llega al receptor es usualmente público y, por

tanto, accesible para muchos. Si el mensaje es secreto o privado uno puede evitar que intrusos que

interceptan el

canal

de

comunicaciones

reciban

el

mensaje.

La

solución

a este

problema

se

encuentra

en

la criptografía1 [22]. El mensaje es encriptado antes de su transmisión, haciendo que sea imposible un

descifrado no deseado o al menos sea difícil descifrar el mensaje fuente.

El medio físico, a través del cual la transmisión tiene que ser lograda, no será capaz de transmitir

directamente el mensaje dado (por ejemplo, un canal de radio en el rango de MHz no puede

1 Técnicas y procedimientos para enmascarar una determinada información de carácter confidencial.



directamente llevar una señal de voz que contiene frecuencias en el rango de KHz). De esta manera, el

mensaje se mapea a señales que puedan pasar por el canal físico dado. Este proceso es llamado

modulación. Más aún, el canal usualmente no proporciona un mapeo uno‐a‐uno entre la señal

transmitida y la señal en el lado del receptor ya que uno observa atenuación, filtraje, distorsiones no

lineales y señales de interferencia (ruido, señales de otras transmisiones) que corrompen la señal

recibida. Consecuentemente,

uno

tiene

que

transmitir

una

señal

que

sea

robusta

contra

distorsiones

en

el canal. Por un lado, esto se logra seleccionando un esquema de modulación apropiado. Por otro lado,

se puede añadir redundancia al mensaje transmitido de una forma controlada. Este incremento de

redundancia controlada se llama codificación de canal y se aplica a métodos de comunicación digitales

[21].

2.2 Esquema general de un sistema de comunicaciones Todas las operaciones ejecutadas en el transmisor (codificación de fuente, encriptación, codificación de

canal y modulación) tienen que ser invertidas en el receptor para poder recuperar el mensaje original.

La

Fig.

1

muestra

una

estructura

general

a

la

que

responden

muchos

esquemas

de

comunicación.

Fig. 1 Estructura general de un esquema de comunicaciones [21]

2.3 Limitaciones del canal físico Cualquier canal físico dado impone severas limitaciones a la transmisión de señales. Un canal

físicamente proporciona un ancho de banda2 limitado; más aún, el ancho de banda puede estar

restringido, debido a las capacidades limitadas de los equipos usados en la transmisión y recepción o

debido a restricciones administrativas (por ejemplo, asignaciones de ancho de banda).

2 Volumen espectral disponible.



Los canales entregan a los receptores una versión distorsionada de la señal de origen debido a los

efectos de atenuación (desvanecimiento de la potencia de la señal recibida), propagación por múltiples

trayectos y retardos de comunicación; también son afectados por ruido proveniente de fuentes

naturales o del propio equipamiento, ruido térmico, así como también por interferencias producidas por

otras señales, denominadas señales interferentes3, que ingresan al canal que pueden enmascarar la

señal deseada.

Asimismo, muchos canales físicos son accesibles públicamente; esto es, cualquiera puede transmitir o

recibir señales sobre ellos. Por tanto, una parte esencial del diseño de los sistemas de comunicación, es

compartir los recursos limitados, lo cual se logra mediante la generación de señales ortogonales4

asignadas a cada usuario de un canal físico; dicha ortogonalidad asegura la separación de las señales

pertenecientes a diferentes usuarios transmitidas a través de un solo canal [23].

3 Potencial del caos en la comunicaciones La idea para explotar el caos en las aplicaciones de comunicaciones surgió cuando la investigación en

sistemas dinámicos complejos5 produjo un entendimiento más profundo del fenómeno de caos, lo que

impulsó a que científicos e ingenieros buscaran aplicaciones prácticas. Uno puede clasificar tres campos

de aplicación potencial que son consecuencia de tres aspectos diferentes del comportamiento del caos:

banda ancha, complejidad y ortogonalidad [21].

Las señales caóticas son inherentemente no periódicas y como tales poseen un espectro continuo. A

menudo el espectro muestra un contenido energético sobre un amplio rango de frecuencias; esto es, las

señales son de banda ancha. También es posible diseñar señales caóticas de acuerdo a propiedades

espectrales. En comunicaciones, las señales de banda ancha son usadas para superar las imperfecciones

del canal (desvanecimiento de frecuencias selectivas o perturbaciones de banda estrecha). De esta

manera, las

señales

caóticas

son

candidatas

para

ser

usadas

en

comunicaciones

de

espectro

esparcido6

[19] y [21].

Las señales caóticas tienen una estructura compleja y son muy irregulares. Un generador de caos

produce una trayectoria totalmente diferente si es ligeramente perturbado en sus condiciones iniciales.

Esto hace difícil adivinar la estructura del generador para predecir las señales sobre largos intervalos de

tiempo. Las señales altamente complejas y difíciles de predecir son clásicamente usadas en aplicaciones

criptográficas, lo que abre otros campos potenciales de aplicación del caos.

3 Existen

dos

tipos

de

señales

interferentes:

interferencia

cocanal,

producida

en

el

propio

canal

de

interés

ante

la

presencia de dos emisiones e interferencia de canal adyacente producida por una señal de potencia suficiente en

un canal próximo al de interés 4 Dos señales diferentes son ortogonales o no correlacionadas si su producto interno es cero. 5 Sistemas sensibles a condiciones iniciales cuyas características cualitativas, como el número de puntos de

equilibrio, pueden cambiar debido a variaciones paramétricas. 6 Comunicaciones donde una señal de datos de banda estrecha es esparcida en un amplio rango de frecuencias por

una señal de banda ancha utilizando técnicas de modulación, antes de su transmisión por el canal de

comunicaciones.



Las señales caóticas no son periódicas y, como tales, tienen un rápido desvanecimiento de la función de

auto‐correlación (producto interno de la señal por la misma señal) [21]. Las señales generadas por

diferentes generadores o por el mismo generador con diferentes condiciones iniciales pueden ser

asumidas como señales ortogonales o descorrelacionadas. La ortogonalidad puede ser explotada en

aplicaciones de comunicaciones multi‐usuario (acceso múltiple) [20], las cuales son un tercer campo de

aplicación potencial

del

caos.

En

particular,

la

generación

de

códigos

esparcidos

mediante

generadores

de caos para sistemas CDMA convencionales7 se ha convertido en un campo de aplicación exitoso,

donde la solución basada en caos puede efectuar dicha generación [21].

4 Métodos de comunicación caóticos y clásicos 4.1 Estructuras del transmisor La aplicación del caos a las comunicaciones de espectro esparcido considera al caos en el contexto de

codificación de canal y modulación. Los métodos caóticos propuestos son principalmente esquemas de

modulación. Sólo algunas ideas conciernen a la aplicación del caos en la codificación de canal. Como

consecuencia, aquí se considera que la codificación de canal y la modulación son una sola operación que

mapea una señal de mensaje a una señal de transmisión apropiada para un canal físico dado. Sin

embargo, también se aplican los métodos de clasificación de procedimientos clásicos de codificación y

modulación. Fusionando la codificación de canal y la modulación en una sola operación se encuentran

esquemas de codificación/modulación estáticos y esquemas de codificación/modulación dinámicos. Los

primeros codifican el mensaje sin tomar en cuenta una situación anterior, mientras que los segundos

codifican el mensaje guardando memoria de la codificación anterior.

4.1.1 Métodos estáticos de codificación/modulación En

los

métodos

estáticos

de

codificación/modulación

la

portadora

del

mensaje

es

proporcionada

por

una fuente de señal que es independiente del mensaje. La fuente puede ser un generador

determinístico con una dinámica simple (por ejemplo periódica), un generador determinístico con

dinámica compleja (caos, secuencias pseudo‐aleatorias) o aún un generador de un proceso aleatorio

(ruido).

Los esquemas estáticos clásicos están basados generalmente en métodos estándares de modulación por

amplitud (AM), modulación por frecuencia (FM) y modulación por fase (PM).

Una de las primeras propuestas para usar caos en comunicaciones es el enmascaramiento caótico [21],

que es aplicable tanto a mensajes analógicos como digitales. Aquí una señal caótica

es añadida a la

señal de mensaje fuente , formando la señal transmitida : (1)

7 CDMA (Code Division Multiple Access) o acceso al medio por división de código mediante la asignación de códigos

únicos y ortogonales a los usuarios tal que todos los usuarios transmiten en las mismas frecuencias y al mismo

tiempo, pero afectados por códigos diferentes.



La Fig. 2 muestra el esquema de enmascaramiento caótico implementado a partir de la ecuación

anterior.

me

m

x

Fig. 2 Esquema de enmascaramiento caótico

Es importante aclarar que este método no proporciona una señal apropiada para un canal físico dado

porque está acotado por el ancho de banda de ; por tanto, tiene que ser enviada a un modulador

antes de la transmisión.

Otro tipo de codificación/modulación caótica es CSK (Chaos Shift Keying),[21], que es un método de

modulación digital. Dependiendo del valor actual de un arreglo de símbolos de mensaje, la señal ; 1,2, de uno de los generadores de caos con diferentes características es transmitido tal

que:

si si si

(2)

Por ejemplo,

considere

un

mensaje

binario,

tal

que

2; considere dos osciladores caóticos distintos, como los descritos en [29]; el primero de ellos es el denominado mapa logístico, descrito por la siguiente

ecuación de recurrencia:

1 1 mientras que el segundo de ellos está descrito por:

1 1

12

12

El primer oscilador tiene un comportamiento caótico para valores de 3.9,4 siendo sensible a

condiciones iniciales en el intervalo 0.15,0.9; por su parte, el segundo oscilador tiene un

comportamiento caótico para valores de 2.75,3 y es sensible a condiciones iniciales en el

intervalo [‐1,1]. Observe que la salida del segundo oscilador se obtiene escalando su estado y

desplazándolo en magnitud con un valor de corrimiento, de manera que las magnitudes de ambos

osciladores estén en el rango [0,1].



La Fig. 3 muestra una señal digital codificada por el método CSK. La recuperación de la señal en el lado

del receptor se obtuvo realizando la operación de desencriptación, sin considerar ruido e interferencias

en el canal de transmisión.

Fig. 3 Mensaje fuente, señal transmitida y señal recuperada, mediante el método CSK, sin considerar

ruido e interferencias en el canal de transmisión.

Observe en la Fig. 3 que la señal transmitida no tiene correspondencia alguna con los unos o ceros del

mensaje fuente original; observe también que el mensaje transmitido tiene un mayor espectro en

frecuencia, es irregular e impredecible en largos periodos de tiempo.

Un

caso

especial

de

CSK

es

COOK

(chaotic

on‐

off

Keying),

[21],

que

usa

un

generador

de

caos

que

es

conmutado de on a off de acuerdo al símbolo de un mensaje binario a ser transmitido. De esta manera:

0 si si (3)

Un método que se encuentra en comunicaciones clásicas así como también en comunicaciones caóticas

es TR (Transmited Reference). Fue diseñado para ser usado como un receptor de correlación. La

referencia es transmitida en un canal separado (diferente hilo, banda de frecuencia o ranura de tiempo)

tal que no se necesita que sea reproducida en el receptor. Por su parte, en los métodos SR (Stored

Reference, por ejemplo PSK (Phase Shift Keying)), donde la referencia está localmente almacenada o es

generada en

el

receptor,

la

mitad

de

la

capacidad

de

transmisión

(la

transmisión

de

la

referencia)

no

es

utilizada en la transmisión de la información, logrando de esta manera duplicar la velocidad de

transmisión de bits utilizando los mismos recursos [21].

El esquema TR puede ser aplicado si la portadora del mensaje es una señal complicada que no puede ser

recreada fácilmente. En los inicios de las comunicaciones de espectro esparcido, los métodos TR fueron

estudiados con fuentes de ruido natural como generadores de señal. En comunicaciones caóticas, se

0 10 20 30 40-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



aprovecha el principio en CSK diferencial (DCSK), donde los dos canales son formados utilizando técnicas

de división de tiempo [21]. Para cada símbolo del mensaje se transmite primero la señal de referencia

seguida de la referencia modulada portadora del símbolo del mensaje. Para un mensaje binario con

duración de símbolo , la señal transmitida se convierte en:

si 2 12 2 si 2 12 1 ; 2 si 2 12 1 ;

(4)

para cualquier . 4.1.2 Métodos dinámicos de codificación/decodificación En los métodos dinámicos de codificación/modulación, el mapeo del mensaje a su portadora depende

de los

símbolos

pasados

del

mensaje.

Esta

dependencia

es

creada

mediante

dos

métodos:

el

primero

mediante la alimentación tanto del mensaje como de la portadora del mensaje a un sistema dinámico

que memoriza la prehistoria del mensaje y, el segundo, mediante la alimentación del mensaje a un

generador de la portadora tal que el propio generador memoriza la prehistoria del mensaje [21].

El primer método se vuelve un caso especial del segundo si se considera al sistema dinámico como parte

del generador de la portadora del mensaje. Ejemplos clásicos son esquemas que usan codificadores de

canal convolucionales y métodos de modulación diferencial.

Un ejemplo caótico del segundo método es la modulación caótica (CM), donde el mensaje modula algún

parámetro

del

generador

de

caos.

Para

un

transmisor

de

tiempo

continuo

las

ecuaciones

de

estado

son:

, (5‐a) , (5‐b)

donde es la derivada temporal de . Si el mensaje es binario el método se llama de

conmutación caótica (CS). La Fig. 4 muestra un ejemplo donde se modula el estado realimentado en un

generador de caos.

),( m xg

m

x

em

Fig. 4 Ejemplo de esquema CS [21]



Otro método, disponible en la literatura, codifica el mensaje fuente en una dinámica simbólica de un

generador de caos. La dinámica simbólica se obtiene si el espacio de estado del generador está

completamente particionado en subconjuntos disjuntos, a los cuales se le asignan los diferentes

símbolos del mensaje fuente [21]. La secuencia de símbolos correspondiente a una trayectoria en el

espacio de estado es la dinámica simbólica de esa trayectoria. Con el propósito de forzar el

comportamiento caótico

a una

secuencia

simbólica

particular,

se

utilizan

métodos

de

control

de

caos

que actúan sobre el generador.

4.2 Estructuras del receptor En comunicaciones caóticas, para la recepción y recuperación de un mensaje existen al menos tres

posibles métodos: uso de una señal de referencia como señal de sincronismo, métodos basados en el

análisis de la estadística de la señal recibida y técnicas basadas en el concepto de sistema inverso [21].

Generalmente, se usa una señal de referencia8 en los receptores de correlación y en los basados en el

método de enmascaramiento caótico por sustracción. Las referencias pueden ser proporcionadas

mediante un

generador

local

en

el

receptor,

sincronizado

con

el

generador

en

el

transmisor,

como

se

muestra en la Fig.54.

y

x x̂

Fig. 5 Transmisión de la señal de referencia

Los sistemas inversos proporcionan un método de recepción para los receptores de modulación caótica

(CM). En

un

sistema

inverso,

el

flujo

del

mensaje

a través

del

sistema

dinámico

en

el

transmisor

es

revertido a través de la implementación de la operación inversa de modulación, la cual consiste de un

estimador de estado (que obedece a ciertas condiciones de estabilidad del sistema que describe el error

de estimación) y una función de modulación inversa que recupera el mensaje a partir del mensaje

recibido del canal de comunicación. Una estructura ejemplo se muestra en la Fig. 6. Note que, para que

el sistema opere adecuadamente, se requiere una convergencia de (el estimado del estado del

oscilador localizado en el transmisor) a (el estado del oscilador localizado en el transmisor).

em

y

x̂

m̂

),ˆ(1

em xg

−

Fig. 6 Estructura inversa de un esquema CM [21]

8 Algunas veces referida como señal de sincronismo.



5 Enmascaramiento caótico con el oscilador de Chua 5.1 Esquema de comunicaciones Considere el sistema de comunicaciones basado en el esquema de enmascaramiento caótico que se

muestra en

al

Fig.

7.

y

x x̂

m em m̂

),( m xg ),ˆ(1

em xg

−

Fig. 7 Esquema de comunicaciones con enmascaramiento caótico

En el

lado

del

transmisor

el

sistema

está

conformado

por

una

fuente

de

mensajes

que

produce

el

mensaje , una función de codificación , que genera la entrada al canal 1 de comunicaciones y un oscilador caótico que genera el vector de variables de estado y la señal de referencia para el

sincronismo, la cual se envía por el canal 2 de comunicaciones. Se supone que la función de codificación

tiene inversa con respecto a . En el lado del receptor el sistema consiste de la función de decodificación , que recupera el mensaje a través de utilizando la estimación de generada por el estimador de estado . 5.2 Función de codificación El

mensaje

a ser

transmitido,

, es obtenido a partir

de

una

función

de

codificación

, arbitraria que tiene inversa con respecto a al mensaje fuente , suponiendo que el estado de un oscilador de

tercer orden (caso del oscilador de Chua) está acotado en todo tiempo. Un ejemplo de esta función

podría ser la siguiente:

, exp

(6)

donde es una constante positiva que evita la división por cero y 0 es una señal constante de

polarización. Observe que la función anterior tiene inversa con respecto a

, ya que:

, ln (7)

Note que 0 tal que ln siempre existe, por lo que cualquier mensaje puede

ser recuperado.

5.3 Oscilador de Chua El oscilador de Chua está descrito por la siguiente representación en el espacio de estado [24] y [25]:



(8)

donde

0.5 | | | | (9)

Con , , y parámetros constantes que satisfacen:

0; 0; 0 ∞ (10)

Este sistema genera un atractor caótico cuando se eligen los siguientes valores de sus parámetros: 1.27, 0.68, 10, 14.87 y 1. La Fig. 8 muestra la trayectoria de las variables de

estado en el cubo de fase9, así como el comportamiento de cada variable de estado en el tiempo,

cuando el sistema parte de la condición inicial

0 0.5 0.5 0.5.

Fig. 8 Trayectoria del oscilador de Chua: cubo de fase y variables de estado en el dominio del tiempo

Las ecuaciones del oscilador de Chua pueden reescribirse como:

9 Denominado así por ser una representación en tres dimensiones.

-4-3

-2-1

01 2

34

-1

-0.5

0

0.5

1

-5

0

5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5



(11)

donde las matrices y están dadas por:

01 1 10 0 y 100

(12)

Por conveniencia, la señal de referencia se puede definir como:

(13)

donde

1 0 0 (14)

El sistema anterior es completamente observable10 [26], lo que quiere decir que el estado es estimable a

partir

de

;

esto

se

puede

demostrar

verificando

que

la

matriz

de

observabilidad

tiene

rango

pleno

(esto

es, todos sus vectores fila o columna son linealmente independientes). Calculando la matriz de

observabilidad se obtiene:

1 0 0 0

(15)

donde claramente se ve que es de rango pleno, lo que significa que la matriz tiene inversa para 0 y el oscilador de Chua es completamente observable.

5.4 Estimador de estado La forma de la ecuación de estado anterior sugiere el uso de un estimador dado por:

(16)

donde es un vector constante de tres componentes que pondera al error de estimación de la señal de

referencia . El último término se introduce con el propósito de especificar el comportamiento del

error de estimación , en términos de los valores propios del sistema del error de estimación.

Por su parte, el comportamiento del error de estimación se obtiene sustrayendo la última ecuación de la

ecuación de estado del oscilador de Chua, lo que resulta en el siguiente sistema del error de estimación:

(17)

Puesto que el oscilador de Chua es completamente observable, entonces el vector se puede calcular

utilizando la fórmula de Ackerman dada por [27]:

10 En un sistema completamente observable el estado del sistema puede ser determinado a partir de las

observaciones de su salida.



001

(18)

donde

es el polinomio caracterísitico deseado de la matriz

y

es la inversa de la matriz

de observabilidad del oscilador de Chua, lo que produce que el error de observación tienda

asintóticamente a cero si las raíces de tienen parte real negativa. Puesto que el sistema del error

de estimación es de tercer orden, entonces es un polinomio de grado tres cuyas raíces tienen

parte real negativa. Eligiendo las tres raíces en – , con 0, el polinomio característico deseado se

puede escribir como:

3 3 (19)

El vector también se puede encontrar obteniendo el polinomio característico de e igualando

sus coeficientes con los coeficientes correspondientes del polinomio característico deseado. El

polinomio característico de

está dado por:

det 1 1 (20)

La igualación de coeficientes resulta en los siguientes valores de los componentes del vector : 3 1 3 3 1 1 3 1

(21)

Note que

cuanto

más

grande

sea

se

obtiene

una

mayor

velocidad

de

convergencia.

5.5 Función de decodificación La función de decodificación se obtiene revertiendo la función de codificación con respecto a , pero

utilizando el estimado del estado del oscilador de Chua. Esto es, el mensaje recuperado está dado

por:

, ln (22)

Asumiendo que

, entonces se tiene que

.

5.6 Resultados de simulación Para efectos de simulación, suponga que no existe ruido en los canales de transmisión y considere los

siguientes valores iniciales de las variables de estado del oscilador de Chua y de su estimador: 0 0.2 0.2 0.2; 0 0 0 0. Además considere que el polinomio característico

deseado del sistema de error de estimación tiene sus tres raíces en – 10 y que los parámetros y de la función de codificación están dados por 0.5 y 0.5, respectivamente.



La Fig. 9 muestra los cubos de fase del oscilador y de su estimador. Observe cómo el estimador se

sincroniza con el oscilador después del régimen transitorio.

Fig.9 Cubos de fase del oscilador de Chua y de su estimador. Ambos parten de diferentes condiciones

iniciales y se sincronizan después del transitorio

Por simplicidad en la presentación de los resultados, suponga que el mensaje fuente está dado por una

función senoidal del tiempo simple; esto es:

sin (23)

En los

hechos

puede

ser

cualquier

señal

acotada

analógica

o digital,

ya

que

la

señal

del

mensaje

fuente

no influye en el comportamiento del oscilador.

La Fig. 10 muestra el comportamiento en el tiempo de las variables de estado del oscilador junto con sus

correspondientes errores de estimación. Observe el comportamiento caótico de las variables de estado

y cómo los errores de estimación tienden rápidamente a cero.

La Fig. 11 muestra el mensaje fuente, la señal transmitida y la señal recuperada. Observe la naturaleza

irregular de la señal transmitida, con respecto a la señal fuente. También observe el error en el instante

inicial de la señal recuperada con respecto al mensaje fuente. Es importante mencionar que la rapidez

de la convergencia depende de la elección del parámetro

del estimador; si este valor es grande,

entonces la convergencia será más rápida.

-4

-20

2

4

-1

-0.5

0

0.5

1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Cubo de fase del oscilador

-4

-20

2

4

-1

-0.5

0

0.5

1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Cubo de fase del estimador



Fig. 10 Comportamiento en el tiempo de las variables de estado , y del estimador y sus correspondientes errores de estimación.

Fig. 11 Mensaje fuente, señal transmitida y señal recuperada

0 5 10 15 20 25-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Estado x1 del oscilador

t seg

0 5 10 15 20 25-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


t seg

0 5 10 15 20 25-5

0

5


t seg

0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Error de estimación de x1

t seg

0 5 10 15 20 25-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


t seg

0 5 10 15 20 25-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2


t seg

0 5 10 15 20 25-1

-0.5

0

0.5

1

Mensaje fuente

t seg

0 5 10 15 20 250.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Mensaje transmitido

t seg

0 5 10 15 20 25-1

-0.5

0

0.5

1

Mensaje recibido

t seg



Si se cambian las condiciones iniciales del oscilador a 0 0.1 0.1 0.2, se obtiene la señal transmitida que se muestra en la Fig. 12. Observe cómo cambia la señal enviada cuando se transmite el

mismo mensaje fuente. Esta característica del esquema de comunicación es una característica deseable

en los sistemas de comunicaciones seguras.

Fig. 12 Señal transmitida al cambiar las condiciones iniciales del oscilador a 0 0.1 0.1 0.2. 5.7 Estimación del exponente más grande de Lyapunov La detección de la presencia de caos en sistemas dinámicos puede ser lograda calculando o estimando

los exponentes más grandes de Lyapunov, los cuales cuantifican la divergencia exponencial de las

trayectorias en el espacio de estado inicialmente cercanas y estiman la cantidad de caos del sistema. A

continuación se utiliza un método de estimación descrito en [28], para estimar el exponente más grande

de Lyapunov

de

la

señal

de

la

Fig.

12.

Considere la serie de tiempo dada por valores: , , , . Se denomina trayectoria reconstruida

al siguiente arreglo matricial:

donde

es el retardo de recontrucción;

es la dimensión empotrada en la serie de tiempo y el valor

1

es

el

número

de

estados

de

la

serie

de

tiempo.

La

determinación

del

valor

de

puede obtenerse, con una buena aproximación, igualándolo al retardo donde la función de

autocorrelación de la serie de tiempo cae a 1 de su valor inicial [28].

Defina el vector:

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6Mensaje transmitido

t seg



tal que la matriz

pueda ser representada por:

Sea un punto de referencia y ̂ su vecino más cercano. La cantidad ∆ | ̂ | se denomina separación temporal del vecino más cercano al punto de referencia y satisface la siguiente relación:

∆ periodo medio de donde se considera que el periodo medio es el recíproco de la frecuencia media del espectro de

potencia de la serie de tiempo.

Defina también la distancia desde

al vecino más cercano de la siguiente manera:

0 min∆ ∆, ∆ De la misma forma, defina la distancia entre el punto de referencia y el punto alejado tiempo

discreto del vecino más cercano de acuerdo a la siguiente expresión:

min∆ ∆, ∆ donde ∆ es la separación temporal entre y un punto separado a un tiempo discreto del vecino

más cercano.

Por último defina la función de estimación:

1 · 1 0

donde es el periodo de muestreo de la serie de tiempo.

Si converge a un valor constante cuando crece el valor de , dicho valor es conocido como el

exponente más grande de Lyapunov. Más aún, la serie de tiempo es caótica si se tiene un valor

0.

Para la estimación del exponente más grande de Lyapunov de la señal se utilizaron los siguiente

parámetros:

5000 0.005 20 30 ̂ 700



que resulta en 4430. Aplicando la función de estimación para los valores de separación temporal 100,125,,1500se obtuvo la gráfica que se muestra en la Fig. 13, , donde claramente se observa

una convergencia alrededor de

0.1

Fig. 13 Estimación del exponente más grande de Lyapunov de la señal de la Fig. 12.

6 Conmutación caótica con un oscilador lineal 6.1 Esquema de comunicaciones Considere el sistema de comunicaciones basado en el esquema de conmutación caótica que se muestra

en la Fig. 14.

y

x x̂

m em m̂

),( m xg ),ˆ(1

em xg

−

Fig. 14 Esquema de comunicaciones con conmutación caótica

En el lado del transmisor el sistema está conformado por una fuente de mensajes que produce el

mensaje , una función de codificación , que genera la señal de entrada al canal 1 de

comunicaciones , la cual también se alimenta a la entrada de un oscilador lineal que genera el

vector de variables de estado y la señal de referencia para el sincronismo, la cual se envía por el

canal 2 de comunicaciones. El conmutador caótico está compuesto por la conexión realimentada de la

0 500 1000 1500-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Estimación del coeficiente más grande de Lyapunov

Separación temporal desde vecino más cercano



función de codificación y el oscilador lineal. Se supone que la función de codificación tiene inversa con

respecto a . En el lado del receptor el sistema consiste de la función de decodificación , que recupera el mensaje a través de

utilizando la estimación

de

generada por el estimador de estado

,.

Note que,

a diferencia

del

esquema

de

enmascaramiento

caótico,

en

el

esquema

de

conmutación

caótica, el estimador de estado también opera sobre el mensaje transmitido . 6.2 Función de codificación El mensaje a ser transmitido , es obtenido a partir de una función de codificación , que tiene inversa con respecto a al mensaje fuente , suponiendo que el estado del oscilador está acotado en

todo tiempo. Sin embargo, a diferencia del enmascaramiento caótico, la función de codificación no es

arbitraria ya que la conexión realimentada de dicha función y el oscilador lineal debe resultar en un

sistema caótico. Un ejemplo de esta función podría ser la siguiente:

, (24)

donde es una señal constante de polarización y es constante de ponderación. Observe que la

función anterior tiene inversa con respecto a , ya que: , (25)

Note que el mensaje siempre puede ser recuperado.

6.3 Conmutador caótico El conmutador caótico propuesto en este reporte está descrito por las siguientes ecuaciones de estado:

(26)

donde

; 0 0; 0; 0 1 (27)

,

(28)

con 0; 0 y 0 parámetros constantes .

Note que el conmutador caótico es un oscilador lineal realimentado por una función no lineal de su

estado, la función de codificación, en la que se incluye la función en el tiempo del mensaje fuente,

ponderada por el factor .



El sistema que describe el conmutador caótico es completamente observable; su matriz de

observabilidad está dada por:

0 1

0 (29)

que es

una

matriz

cuadrada

de

rango

pleno

y,

por

tanto,

invertible

para

todo

0. 6.4 Estimador caótico La forma de la ecuación de estado anterior sugiere el uso del estimador de estado , dado por:

(30)

donde es un vector de dos componentes que pondera el error de estimación de la señal de referencia . El último término se introduce con el propósito de especificar el comportamiento del error de

estimación

, en términos de los valores propios del sistema del error de estimación.

El comportamiento del error de estimación se obtiene sustrayendo la última ecuación de la ecuación de

estado del conmutador caótico propuesto, lo que resulta en el siguiente sistema del error de estimación:

(31)

Puesto que el conmutador caótico es completamente observable, entonces el vector se puede calcular utilizando la fórmula de Ackerman dada por:

0

1 (32)

donde es el polinomio caracterísitico

deseado de

la

matriz

y es la inversa de la matriz de observabilidad del conmutador caótico, lo que produce que el error de observación tienda

asintóticamente a cero si las raíces de tienen parte real negativa. Puesto que el sistema del error

de estimación es de segundo orden, entonces es un polinomio de grado dos cuyas raíces tienen

parte real negativa.

Eligiendo las dos raíces de en –, con 0, el polinomio característico deseado se puede

escribir como:

2 (33)

lo que resulta en las siguientes expresiones para los componentes de : 2 (34)

Note que cuanto más grande sea mayor será la velocidad de convergencia de la estimación.



6.5 Función de decodificación La función de decodificación se obtiene revertiendo la función de codificación con respecto a , pero

utilizando el estimado del estado del conmutador caótico. Esto es, el mensaje recuperado está

dado por:

, (35)

Asumiendo que , entonces se tiene que . 6.6 Resultados de simulación Para efectos de simulación, suponga que no existe ruido en los canales de transmisión y considere que

el valor de del oscilador lineal está dado por 2 y que los siguientes valores iniciales de las

variables de estado del conmutador caótico y de su estimador son:

0 0.1 0.5; 0 0 0. Además considere que el polinomio característico

deseado del

sistema

de

error

de

estimación

tiene sus tres raíces en – 10 y que los parámetros y de la función de codificación están dados

respectivamente por 0.1 y 0.6. Suponga que el mensaje fuente está dado por la salida del generador de secuencias binarias pseudo‐

aleatorias que se muestra en la Fig. 15, compuesto por un registro de corrimiento de 6 bits y una

realimentación a través de una operación OR‐exclusiva de los bits y . En los hechos es deseable que

el mensaje tenga una alta entropía de símbolos.

1r 2r 3r 4r 5r 6r

m

Fig. 15 Generador de secuencias binarias pseudo‐aleatorias para la generación del mensaje fuente.

La Fig. 16 muestra los planos de fase del conmutador caótico y de su estimador. Observe cómo el

estimador se sincroniza con el conmutador caótico después del régimen transitorio.



Fig. 16 Planos de fase del conmutador caótico y de su estimador. Ambos parten de diferentes

condiciones iniciales.

La Fig.

17

muestra

el

comportamiento

en

el

tiempo

de

las

variables

de

estado

del

oscilador

junto

con

sus

correspondientes errores de estimación. Observe el comportamiento caótico de las variables de estado

y cómo los errores de estimación tienden a cero.

Fig.17 Comportamiento en el tiempo de las variables de estado y del estimador y sus correspondientes errores de estimación.

-0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Plano de fase del oscilador

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Plano de fase del estimador

0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

1.5


t seg0 10 20 30 40 50

-1

-0.5

0

0.5

1


t seg

0 10 20 30 40 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


t seg0 10 20 30 40 50

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


t seg



La Fig. 18 muestra el mensaje fuente, la señal transmitida y la señal recuperada. Observe la naturaleza

irregular de la señal transmitida, con respecto a la señal fuente. También observe el error en el instante

inicial de la señal recuperada con respecto al mensaje fuente.

Fig. 18 Mensaje fuente, señal transmitida y señal recuperada

Si se cambian las condiciones iniciales del oscilador a

0 0.1 0.3, se obtiene la señal

transmitida que se muestra en la Fig. 19. Observe c{omo cambia la señal enviada cuando se transmite el

mismo mensaje.

Fig. 19 Señal transmitida al cambiar las condiciones iniciales del oscilador a 0 0.1 0.3.

0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

1.5

Mensaje fuente

t seg

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Mensaje transmitido

t seg

0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

1.5

Mensaje recibido

t seg

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Mensaje transmitido

t seg



Es importante notar que en las simulaciones efectuadas, el rango de condiciones iniciales que producen

el comportamiento caótico está restringido a una pequeña región en el plano de fase; para la variable de

estado este rango está en el intervalo [‐0.5,1.5] y para la variable de estado el rango está en el

intervalo [‐1,1]. Fuera de este rango el sistema puede volverse periódico o bien inestable.

7 Conmutación caótica con enmascaramiento caótico Puesto que el esquema propuesto de conmutación caótica requiere que el mensaje fuente tenga una

alta entropía de símbolos, puede ser combinado con el esquema de enmascaramiento caótico como se

muestra en la Fig. 20. El propósito es incrementar la irregularidad de la señal transmitida cuando la

entropía de símbolos del mensaje fuente no sea lo suficientemente alta.

Generador de caos Canal 2Estimador de

estado delgenerador de caos

x x̂

Canal 1

m

),( 12 em zg ),̂(

2

1

2 em zg

−

Oscilador lineal Estimador deestado deloscilador lineal

Canal 3

x x̂

m̂

),(1 m xg ),̂(1

1

1 em xg

−

z y

1em

2em

x y

Fig. 20

Esquema

de

conmutación

caótica

reforzado

con

enmascaramiento

caótico.

Note cómo la salida del conmutador caótico se puede enmascarar con la señal proveniente de un

oscilador caótico. También note que se requieren dos señales de referencia; la señal es la referencia

para la estimación del estado del oscilador lineal, mientras que la señal es la referencia para la estimación del estado del oscilador caótico.

8 Conclusiones En este reporte se proponen tres esquemas de comunicaciones caóticas basados en métodos dinámicos

de codificación/modulación. El primer esquema, basado en el concepto de enmascaramiento caótico,

utiliza el oscilador de Chua como generador de la señal caótica de enmascaramiento; el segundo

esquema está basado en el concepto de conmutación caótica, utiliza un oscilador lineal realimentado

por una función de codificación no lineal cuya salida depende del mensaje que está siendo transmitido

y, el tercer esquema es una conexión de un esquema de conmutación caótica en cascada con un

esquema de enmascaramiento caótico. El esquema de enmascaramiento caótico permite enmascarar

cualquier mensaje fuente a ser transmitido, mientras que el esquema de conmutación caótica requiere

que el mensaje fuente tenga una alta entropía de símbolos para lograr que el mensaje transmitido tenga



un comportamiento caótico (comportamiento irregular o impredecible) a lo largo del tiempo. Este

requerimiento puede ser relajado si se utiliza un esquema de conmutación caótica en cascada con un

esquema de enmascaramiento caótico. Las simulaciones realizadas muestran la factibilidad de

implementar estos tres esquemas.

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Anexos Encriptación caótica por el método CSK %Encriptación caótia de mensajes %Mauricio Améstegui M. %3 de agosto de 2007

clear all close all

%Parámetros de los osciladores caóticos

%a1 en el intervalo de [3.9,4] %(Reomendable 4) a1=input('Dar a1: '); %a2 en el intervalo de [2.75,3] %(Recomendable 3) a2=input('Dar a2: '); N=500; h=0.1; t=0;

%Mensaje fuente (señal binaria pseudoaleatoria) m0=0; kk=0; ts=0; t0=0; %Registro de corrimiento inicial r=[0 1 0 1 0 0]; for ii=1:N

t(ii)=t0;

t0=ii*h; kk=kk+1; if kk>10

if (r(5)==1&r(6)==0)|(r(5)==0&r(6)==1) sm=1;

else sm=0;

end r(6)=r(5);r(5)=r(4);r(4)=r(3);r(3)=r(2);r(2)=r(1);r(1)=sm; kk=0;

end m0(ii)=r(6);

end

%Condición inicial del generador caótico 1 en el intervalo de [0.15,0.9] x0=0.8; x1(1)=x0;

%Generador caótico 1 (mapa logístico) for ii=2:N

x1(ii)=a1*x0*(1-x0); x0=x1(ii);

end



%condición inicial del generador caótico 2 en el intervalo de [-1,1] y0=0.0271; y1(1)=y0;

%Generador caótico 2

for ii=2:N y1(ii)=a2*y0*(1-y0^2); y0=y1(ii);

end

%Construcción de la señal a transmitir s1=0; s2=0;

for ii=1:N if m0(ii)==0

s1(ii)=x1(ii); else

s1(ii)=0; end if m0(ii)==1

s2(ii)=0.5*y1(ii)+0.5; else

s2(ii)=0; end

end

s=s1+s2;

%Recunstrucción de la señal recibida sr=0;

for ii=1:N if abs(s(ii)-x1(ii))<eps sr(ii)=0;

else sr(ii)=1;

end end

figure subplot(2,2,1),plot(t,m0,'LineWidth',2); axis ([0 t(N) -0.2 1.2]); subplot(2,2,2),plot(t,s,t,m0,'LineWidth',2); subplot(2,2,3),plot(t,sr,'LineWidth',2); axis ([0 t(N) -0.2 1.2]);

Programa en Matlab de enmascaramiento caótico %Codificación/modulación caótica %Enmascaramiento caótico con el oscilador de Chua %Mauricio Améstegui %26 de junio de 2007 clear all close all



%Oscilador de Chua

%Parámetros p=10;q=14.87;r=0;a=-1.27;b=-0.68;E=1;sig=10; %Ecuación de estado de la parte lineal

A=[-p p 0;1 -1 1;0 -q -r]; B=[-p;0;0]; C=[1 0 0]; D=[0]; S=ss(A,B,C,D); %Condición inicial del oscilador de Chua x0=[0.1 0.1 -0.2];

%Estimador de estado

%Parámetros del estimador de estado l1=3*sig-p-1-r; l2=(3*sig*sig-r-(p+l1)*(1+r)-q)/p+1;

l3=(sig*sig*sig-r*(p+l1)-p*(l2-1)*r-q*(p+l1))/p; L=[l1;l2;l3]; %Estimador de estado Ao=A; Bo=[B L]; Co=C; Do=D; So=ss(Ao,Bo,Co,Do); %Condición inicial del estimador xo0=[0 0 0];

%Parámetros de la función de codificación w1=0.5; w2=0.5;

%Iniciaalización de variables de entrada

%Entrada a la parte lineal del oscilador u0=0; %Entrada al estimador de estado uo0(1)=0; uo0(2)=0;

%Inicialización del mensaje

%Mensaje fuente

m0=0; %Mensaje enviado me=0;

%Inicialización de parámetros de simulación

%Tiempo inicial t0=0; %Tiempo de simulación ts=0;



ts(1)=t0; %Número de iteraciones N=5000; %Peridodo de simulación h=0.005;

%Simulación del oscilador

warning off for ii=1:N

%Referencia del oscilador yos(ii)=x0(1); %Estado del oscilador x1os(ii)=x0(1); x2os(ii)=x0(2); x3os(ii)=x0(3); %Actualización de tiempo ts(ii)=t0; t1=h*ii; %Mensaje fuente m0(ii)=sin(t1); %Mensaje transmitido me(ii)=exp(-(m0(ii)+x0(1))/(x0(1)*x0(1)+x0(2)*x0(2)+x0(3)*x0(3)+w1))+w2; %Simulación del oscilador u1=b*x0(1)+0.5*(a-b)*(abs(x0(1)+E)-abs(x0(1)-E)); [y,t,x]=lsim(S,[u0 u1],[t0 t1],x0); %Actualización de variables x0(1)=x(2,1); x0(2)=x(2,2); x0(3)=x(2,3); u0=u1; t0=t1;

end

'Termino01'


t0=0; ts=0; ts(1)=t0;

%Mensaje decodificado inicial

m1=0;

for ii=1:N %Salida del estimador yob(ii)=xo0(1); %Estado estimado x1ob(ii)=xo0(1); x2ob(ii)=xo0(2); x3ob(ii)=xo0(3); %Actualización de tiempo ts(ii)=t0; t1=h*ii;



%Mensaje decodificado aux=-(xo0(1)*xo0(1)+xo0(2)*xo0(2)+xo0(3)*xo0(3)+w1); m1(ii)=aux*log(me(ii)-w2)-x1os(ii); %Entradas al estimador uo1(1)=b*x1os(ii)+0.5*(a-b)*(abs(x1os(ii)+E)-abs(x1os(ii)-E)); uo1(2)=x1os(ii)-yob(ii); u=[uo0(1) uo0(2);uo1(1) uo1(2)]; %Simulación del estimador [y,t,x]=lsim(So,u,[t0 t1],xo0); xo0(1)=x(2,1); xo0(2)=x(2,2); xo0(3)=x(2,3); uo0=uo1; t0=t1;

end warning on 'Terminó 02'

%Resultados gráficos

figure %Cubo de fase del oscilador subplot(1,2,1),plot3(x1os,x2os,x3os,'LineWidth',2);grid title('Cubo de fase del oscilador','FontWeight','bold'); %Plano de fase del estimador subplot(1,2,2),plot3(x1ob,x2ob,x3ob,'LineWidth',2);grid title('Cubo de fase del estimador','FontWeight','bold');

figure %Estado x1 del oscilador subplot(2,3,1),plot(ts,x1os,'LineWidth',2);grid title('Estado x1 del oscilador','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold');

%Estado x2 del oscilador subplot(2,3,2),plot(ts,x2os,'LineWidth',2);grid title('Estado x2 del oscilador','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Estado x3 del oscilador subplot(2,3,3),plot(ts,x3os,'LineWidth',2);grid title('Estado x3 del oscilador','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Error de estimación del estado x1 subplot(2,3,4),plot(ts,x1os-x1ob,'LineWidth',2);grid title('Error de estimación de x1','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Error de estimación del estado x2 subplot(2,3,5),plot(ts,x2os-x2ob,'LineWidth',2);grid title('Error de estimación de x2','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Error de estimación del estado x3 subplot(2,3,6),plot(ts,x3os-x3ob,'LineWidth',2);grid title('Error de estimación de x3','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold');

figure %Mensaje fuente



subplot(2,2,1),plot(ts,m0,'LineWidth',2);grid title('Mensaje fuente','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Mensaje transmitido subplot(2,2,2),plot(ts,me,'LineWidth',2);grid title('Mensaje transmitido','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Mensaje recibido subplot(2,2,3),plot(ts,m1,'LineWidth',2);grid title('Mensaje recibido','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold');

figure %Mensaje transmitido plot(ts,me,'LineWidth',2);grid title('Mensaje transmitido','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold');

Programa en Matlab de conmutación caótica %Codificación/modulación caótica %Conmutación caótica con un oscilador lineal %Mauricio Améstegui %30 de junio de 2007 clear all close all

%Oscilador de Chua

%Parámetros w=2;sig=10; %Ecuación de estado de la parte lineal A=[0 w;-w 0];

B=[0;w]; C=[0 1]; D=[0]; S=ss(A,B,C,D); %Condición inicial del oscilador de Chua x0=[-0.1 0.1];

%Estimador de estado

%Parámetros del estimador de estado l1=-sig^2/w+w; l2=2*sig; L=[l1;l2]; %Estimador de estado Ao=A; Bo=[B L]; Co=C; Do=D; So=ss(Ao,Bo,Co,Do); %Condición inicial del estimador xo0=[0 0];



%Parámetros de la función de codificación a=0.1; b=0.6;

%Iniciaalización de variables de entrada

%Entrada a la parte lineal del oscilador u0=0; %Entrada al estimador de estado uo0(1)=0; uo0(2)=0;


%Tiempo inicial t0=0; %Tiempo de simulación ts=0; %Número de iteraciones

N=5000; %Peridodo de simulación h=0.005;

%Inicialización del mensaje

%Mensaje fuente (señal binaria pseudoaleatoria) m0=0; kk=0; %Registro de corrimiento inicial r=[0 1 0 1 0 0]; for ii=1:N

ts(ii)=t0;

t0=ii*h; kk=kk+1; if kk>250

if (r(5)==1&r(6)==0)|(r(5)==0&r(6)==1) sm=1;

else sm=0;

end r(6)=r(5);r(5)=r(4);r(4)=r(3);r(3)=r(2);r(2)=r(1);r(1)=sm; kk=0;

end m0(ii)=r(6);

end %Mensaje enviado

me=0; 'Terminó conformar señal'

%Simulación del oscilador

warning off t0=0; for ii=1:N



%Referencia del oscilador yos(ii)=x0(1); %Estado del oscilador x1os(ii)=x0(1); x2os(ii)=x0(2); %Actualización de tiempo t1=h*ii; %Mensaje transmitido me(ii)=b*m0(ii)*(x0(1)^2+a)*(cos(x0(1)^2)^2+a)+sin(x0(2)^2); %Simulación del oscilador u1=me(ii); [y,t,x]=lsim(S,[u0 u1],[t0 t1],x0); %Actualización de variables x0(1)=x(2,1); x0(2)=x(2,2); u0=u1; t0=t1;

end

'Terminó 02'


t0=0;

%Mensaje decodificado inicial

m1=0;

for ii=1:N %Salida del estimador yob(ii)=xo0(2);

%Estado estimado x1ob(ii)=xo0(1); x2ob(ii)=xo0(2); %Actualización de tiempo t1=h*ii; %Mensaje decodificado m1(ii)=(me(ii)-

sin(x2ob(ii)^2))/(b*(x1ob(ii)^2+a)*((cos(x1ob(ii)^2)^2+a))); %Entradas al estimador uo1(1)=me(ii); uo1(2)=x2os(ii)-yob(ii); u=[uo0(1) uo0(2);uo1(1) uo1(2)]; %Simulación del estimador [y,t,x]=lsim(So,u,[t0 t1],xo0);

xo0(1)=x(2,1); xo0(2)=x(2,2); uo0=uo1; t0=t1;

end warning on 'Terminó 03'

%Resultados gráficos



figure %Plano de fase del oscilador subplot(1,2,1),plot(x1os,x2os,'LineWidth',2);grid title('Plano de fase del oscilador','FontWeight','bold'); %Plano de fase del estimador subplot(1,2,2),plot(x1ob,x2ob,'LineWidth',2);grid

title('Plano de fase del estimador','FontWeight','bold');

figure %Estado x1 del oscilador subplot(2,2,1),plot(ts,x1os,'LineWidth',2);grid title('Estado x1 del oscilador','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Estado x2 del oscilador subplot(2,2,2),plot(ts,x2os,'LineWidth',2);grid title('Estado x2 del oscilador','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Estado x3 del oscilador %Error de estimación del estado x1 subplot(2,2,3),plot(ts,x1os-x1ob,'LineWidth',2);grid title('Error de estimación de x1','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Error de estimación del estado x2 subplot(2,2,4),plot(ts,x2os-x2ob,'LineWidth',2);grid title('Error de estimación de x2','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold');

figure %Mensaje fuente subplot(2,2,1),plot(ts,m0,'LineWidth',2);grid title('Mensaje fuente','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold');

%Mensaje transmitido subplot(2,2,2),plot(ts,me,'LineWidth',2);grid title('Mensaje transmitido','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold'); %Mensaje recibido subplot(2,2,3),plot(ts,m1,'LineWidth',2);grid title('Mensaje recibido','FontWeight','bold'); xlabel('t seg','FontWeight','bold');

figure %Mensaje transmitido plot(ts,me,'LineWidth',2);grid title('Mensaje transmitido','FontWeight','bold');

xlabel('t seg','FontWeight','bold');

Programa en Matlab de la estimación del exponente de Lyapunov de una serie de tiempo caótica %Estimación del exponente más grande de Lyapunov de una serie de tiempo %caótica %Mauricio AmésteguiM. %25 de julio de 2007



clear all;

%Carga de la serie de tiempo load me1;

%Periodo de muestreo de la serie de tiempo h=0.005;

%Tamaño de la serie de tiempo (me) Nme=size(me); N=Nme(2);

%parámetros de la función de estimación m=20; %dimensión empotrada J=30; %retardo de reconstrucción jh=700; %separación temporal con el vecino más cercano M=N-(m-1)*J; %Número de estados de la trayectoria reconstruida

%Trayectoria reconstruida de la serie de tiempo for jj=1:M

for ii=1:m x(ii,jj)=me(jj+(ii-1)*J);

end end

%Cálculo de la distancia desde el punto de referencia al vecino más cercano %Cálculo para M puntos de referencia d0=0; for jj=1:M

if jj-jh>0&jj+jh<M+1 xd0=norm(x(:,jj)-x(:,jj-jh));

xd1=norm(x(:,jj)-x(:,jj+jh)); d0(jj)=min([xd0 xd1]); end if jj-jh<1

xd1=norm(x(:,jj)-x(:,jj+jh)); d0(jj)=xd1;

end if jj+jh>M

xd0=norm(x(:,jj)-x(:,jj-jh)); d0(jj)=xd0;

end end

%Cálculo dela distancia entre el punto de referencia y el punto alejado ii %tiempo discreto del vecino más cercano di=0; kk=1; for ii=100:25:1500

for jj=1:M if jj-jh-ii>0&jj+jh+ii<M+1

xd0=norm(x(:,jj)-x(:,jj-jh-ii)); xd1=norm(x(:,jj)-x(:,jj+jh+ii)); di(kk,jj)=min([xd0 xd1]);



end if jj-jh-ii<1

xd1=norm(x(:,jj)-x(:,jj+jh+ii)); di(kk,jj)=xd1;

end if jj+jh+ii>M

xd0=norm(x(:,jj)-x(:,jj-jh-ii)); di(kk,jj)=xd0;

end end kk=kk+1;

end

%Cálculo de la función de estimación del exponente más grande de Lyapunov kk=1; lb=0; for ii=100:25:1500

aux=0; for jj=1:M-ii

aux =aux+log(di(kk,jj)/d0(jj))/(ii*h*(M-ii));

end lb(kk)=aux; kk=kk+1;

end

%Resultados gráficos de la estimación del exponente más grande de Lyapunov kk=100:25:1500; plot(kk,lb,'LineWidth',2);grid title('Estimación del coeficiente más grande de

Lyapunov','FontWeight','bold'); xlabel('Separación temporal desde vecino más cercano','FontWeight','bold');

Paper-2007 comunicaciones caóticas

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