Universidad de ChileFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Departamento de Ingenierıa ElectricaEL7017-1 Control Adaptativo de Sistemas

Control Difuso AdaptativoEstable para Sistemas

CaoticosTema de Investigacion

Profesor:Manuel Darte

Profesora Auxiliar:Norelys Aguila

Alumno:Ismael Jaras

4 de diciembre de 2014

Indice

1. Introduccion 4

2. Marco Teorico 52.1. Sistemas Caoticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Sistemas Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Controlador Adaptable Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Construccion del Controlador Adaptable Difuso 93.1. Existencia del Controlador Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Generalizacion del Controlador Difuso . . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Ley de ajuste parametrico y construccion de uc(x

′|θ) . . . . . . . 11

4. Aplicacion a Sistema Caotico 144.1. Sistema Caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Construccion del Controlador Adaptable Difuso . . . . . . . . . . 154.3. Resultados y analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4. Mejoras propuestas al controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Conclusiones 28

2

Lista de figuras

1. Diagrama de la trayectoria del sistema de Lorenz . . . . . . . . . 52. Estructura de un Sistema de Logica Difusa [2] . . . . . . . . . . . 63. Estructura del controlador difuso [1] . . . . . . . . . . . . . . . . 134. Dinamica del sistema caotico propuesto frente a diferentes con-

diciones iniciales (u(t) = 0). 80[seg] simulacion . . . . . . . . . . 145. Conjutnos Difusos asociados a las variables de las presmisas . . . 166. Dinamica del sistema caotico con el controlador adaptable difuso

implementado (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion . . . . . 177. Evolucion del error entre el sistema caotico y el MR (x1(0) =

4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178. Evolucion de |x| (izq.), salida del controlador supervisor us(der.).

(x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion . . . . . . . . . . . . . 189. Dinamica del sistema caotico implementando el caso base, con

Mx = 3,5 (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion . . . . . . . . 1910. Evolucion de |x| (izq.), salida del controlador supervisor us(der.).

(x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion . . . . . . . . . . . . . 2011. Evolucion del error del sistema caotico frente al controlador con

distintas ganancias adaptivas (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] si-mulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

12. Dinamica del sistema caotico implementando el controlador casobase, para distintas condiciones iniciales. 60[seg] simulacion . . . 22

13. Evolucion del sistema caotico frente a ruido gausiano en x2, dondeσ2 = 0,5 y µ = 0 (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion . . . . 23

14. Evolucion del sistema caotico frente a ruido gausiano en x2, dondeσ2 = 15 > Mx y µ = 0 (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion 24

15. Evolucion del sistema caotico frente a perturbaciones en el parame-tro −0,1, donde A = b = 1. (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simu-lacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

16. Evolucion del sistema caotico frente a perturbaciones en el parame-tro −0,1, donde A = 1,b = 10. (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg]simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

17. Algoritmo de Clustering: Gustafson-Kessel [2] . . . . . . . . . . . 2618. Sistema difuso de dos reglas representado por una en red neuronal

neuro-difusa [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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1. Introduccion

Actualmente los sistemas basado en logica difusa han ganado bastante te-rreno gracias a la facilidad con que pueden ser implementados, aun cuando seconozca poco del sistema a modelar/controlar. Ademas, los sistemas difusosposeen una gran capacidad para modelar sistemas al ser aproximadores univer-sales. En este sentido parece interesante utilizar la logica difusa en conjunto condefiniciones clasica de control adaptable, para lidiar con sistemas caoticos.

El objetivo principal de este trabajo es estudiar los conceptos de sistemas difusosy controladores adaptables para ser utilizados en conjunto, como una estrate-gia de control para sistemas caoticos, ademas se implementa el controlador pararealizar simulaciones, y ası obtener resultados para un posterior analisis del con-trolador.

Para estudiar los sistemas difusos y su combinacion con controladores adapta-bles se recurrio a literatura existente en la librerıa virtual de papers del IEEEy algunos libros y apuntes relacionados con sistemas difusos. Ademas se hizouso del software MATLAB para la implementacion del sistema caotico y surespectivo controlador adaptable difuso.

En el presente informe se muestra que el controlador adaptable difuso utili-zado cumple el criterio de estabilidad en el sentido de Lyapunov. Ademas, elcontrolador tiene la capacidad de incluir directamente en la base de reglas co-nocimiento humano experto, este conjunto de reglar se construye para obteneruna accion de control en el instante inicial.

Finalmente, se implementa el controlador adaptable difuso a un sistema caoticoobteniendo un correcto desempeno. Ademas se propone para trabajos futurosobtener datos del controlador y el sistema a lazo cerrado, para utilizarlos poste-riormente con algun algoritmo de clasificacion que permita construir un mejorset de reglas inciales para el controlador y ası mejorar su desempeno.

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2. Marco Teorico

2.1. Sistemas Caoticos

Se dice que un sistema dinamico es caotico si presenta las siguientes carac-terısticas:

• Es sensible respecto a las condiciones iniciales.

• Es topologicamente transitivo.

• Sus puntos periodicos son densos en una region compacta del espacio fisico.

Es posible obtener ecuaciones para modelar el comportamiento de sistemascaoticos, pero la evolucion de estos esta fuertemente vinculada a las condicionesinciales, es decir, leves variaciones en las CI pueden desencadenar una respuestaradicalmente opuesta del sistema. Se observa entonces, que los sistemas caoticospresentan gran sensibilidad frente a condiciones inciales.

Uno de los ejemplos mas tipicos de sistemas caoticos es el clima atmosferico, deel podemos predecir su comportamiento y construir pronosticos basados en susecuaciones, datos pasados acerca de su comportamiento y condiciones inciales,sin embargo, al no ser exactos los metodos actuales para obtener las condicionesinciales, entonces los pronosticos se alejan rapidamente del comportamiento realdel sistema. En la Figura (1) se ilustra la evolucion del sistema de Lorenz, paraejemplificar el comportamiento de un sistema caotico.

Figura 1: Diagrama de la trayectoria del sistema de Lorenz

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2.2. Sistemas Difusos

En la Figura (2) se presenta la estructura general de un sistema difuso:

Figura 2: Estructura de un Sistema de Logica Difusa [2]

La forma general en la que se definen las reglas difusas (Rl) del estilo SI-ENTONCES es:

Rl: SI x es F l ENTONCES y es Gl

Donde:

x ∈ U ⊂ Rn es la variable antecedente, que representa la entrada al sistemadifuso.

y es la variable de las consecuencias, y para este caso se escoge y ∈ R,pero en general se puede escoger y ∈ Y ⊂ Rq .

En general x, y son variables linguıstica, es decir, son variables que tomanun valor cualitativo para describir una relacion particular en las reglas delsistema difuso. En este sentido, x ∈ =(X) e y ∈ =(Y ), donde =(D) es elconjunto de todos los conjuntos difusos en D.

Los conjuntos difusos F l definen regiones difusas en el espacio de los an-tecedentes.

Para obtener una mejor interpretacion del sistema difuso se reescriben las reglas,de esta forma se obtienen proposiciones con variables escalares:

Rl: SI x1 es F l1 y . . . y xn es F ln ENTONCES y es Gl

Donde:

x = [x1, ..., xn]T ∈ U ⊂ Rn e y ∈ R. Ademas, se asume que U = U1×· · ·×Un, donde Ui ⊂ R con i = 1, 2, .., n. En este sentido F li ∈ R representa elset de conjuntos difusos en Ui para las variables de las premisas, mientrasque Gl representa conjuntos difusos para las consecuencias en R.

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Cada regla l del sistema difuso define una implicancia que puede ser re-presentada como un conjunto difuso definido en el espacio U × R, esdecir, la implicancia de la regla puede ser interpretada como el mapeoF l1 × · · · × F ln → Gl.

El funcionamiento del sistema difuso se explica a continuacion considerando losbloques de la Figura (2):

1) La primera accion que realiza el sistema difuso es la fusificacion de lasvariables de entrada. De esta forma es posible darle a las variables de en-trada un valor difuso, asociado a los respectivos conjuntos definidos paralas premisas. Cabe mencionar que estos valores difusos pueden ser inter-pretados como caracterısticas cualitativas del sistema. En esta etapa seobtienen las funciones de pertenencia asociadas a cada variable (µF li (xi)),esto sera util mas adelante en el esquema difuso.

2) El bloque de inferencia difusa es capaz de obtener los conjuntos difusosde las salidas basandose en las funciones de pertenencia de los conjutosde las premisas y las reglas que han sido desarrolladas para el sistema.La inferencia consiste en definir un nivel de cumplimiento para cada regla(µRl(y)) en base al grado de activacion (µF li (xi)) de cada variable en laspremisas y, ademas se necesita alguna representacion para el operador con-juncion (el factor y...y en cada regla), para esto existen diversos metodosque permiten obtener la inferencia, pero para este trabajao se utilizara lainferencia basada en el producto, entonces para cada regla l se obtiene elgrado de activacion:

µRl(y) = supx∈U [µF l1(x1)µF l2(x2) · · ·µF ln(xn)µGl(y)]

Cabe mencionar que existen varios metodos que pueden ser implementadosen el bloque de inferencia para determinar las salidas del sistema frente acada regla.

3) El objetivo de la interfaz de defusificacion es obtener salidas con valo-res en R para el sistema, por medio de los conjuntos definidos para lasconsecuencias y la inferencia realizada en el paso anterior. Existen varıosmetodos para defusificar, pero el utilizado en este trabajo es el metodo delcentroide:

y(x) =

∑Ml=1 y

l(∏n

i=1 µF li (xi))

∑Ml=1

(∏ni=1 µF li (xi)

)Donde y(x)l representa la salida de la regla l, mientra y(x) es la salidafinal del sistema para el vector de entradas x.

Para encontrar informacion mas detallada de los sistemas difusos se sugiere lalectura de [2],[3].

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2.3. Controlador Adaptable Difuso

Para disenar controladores que permitan manipular sistemas con comporta-miento caotico se propone la estrategia difusa desarrollada en [1], las principalesventajas asociadas a esta estrategia, desde el punto de vista teorico se resumenen los siguientes puntos:

• A diferencia de los controladores convencionales, los controladores difu-sos permiten incorporar conocimiento humano del proceso en forma deinformacion linguıstica difusa, esta informacion es facil de implementar ensistemas difusos, pues la construccion del controlador involucra la crea-cion de reglas del estilo SI-ENTONCES, estas reglas permiten traducirel conocimiento humano en informacion util para el controlador. De estaforma, si en un sistema la informacion mas relevante proviene de humanosexpertos, entonces un diseno difuso del controlador parece mas adecuado.

• El controlador difuso propuesto, no necesita de un modelo del proceso acontrolar para implementarse. En este sentido el controlador es ventajoso,pues permite ser incorporado en sistemas caoticos cuando el modelo delsistema sea pobre o, mas aun, cuando este no exista.

• El control difuso proporciona controladores no lineales, es decir, permitegenerar cualquier funcion no lineal en la accion de control. Considerandoesto, es posible sintonizar los parametros del controlador y, en consecuen-cia, obtener la accion de control adecuado para algun sistema caotico.

El controlador difuso esta disenado para trabajar en situaciones donde existegran incerteza o variaciones desconocidas en los parametros de la planta y suestructura. Ademas, si el controlador difuso es dotado de algun algoritmo deadaptacion (que puede incluir conocimiento de expertos), se obtiene un con-trolador adaptativo difuso, y dadas las caracterısticas de no linearidad de loscontroladores difusos, y la capacidad del algoritmo de adaptacion de sintoni-zar correctamente el controlador, se opta por la estructura adaptiva-difusa paratratar con sistemas caoticos.

Dadas las caracterısticas de los sistemas difusos es posible disenar controla-dores adaptativos difusos directos o indirectos, en este sentido se deben notarlos siguientes casos:

• Si las reglas del controlador se utilizan para representar la planta, entoncesse tiene una estrategia de control indirecta. En este caso es posible aportarconocimiento acerca de la dinamica del proceso por medio de reglas SI-ENTONCES asociadas el comportamiento del sistema.

• Por otro lado, si las reglas del controlador difuso se basan en informa-cion linguıstica que sugiere cierta accion de control, entonces se tiene unaestrategia directa. En este escenario, es posible aportar conocimiento deexperto respecto del control de la planta por medio de reglas del estiloSI-ENTONCES.

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3. Construccion del Controlador Adaptable Di-fuso

Para la construccion del controlador adaptable difuso se utiliza el enfoquepropuesto en [1].

El objetivo de control es determinar un control difuso por retroalimentacionu = u(x′|θ) y leyes adaptativas que permitan ajustar los parametros θ, teniendolas siguientes consideraciones:

i) El sistema a lazo cerrado debe ser globalmente estable, es decir:

|x′(t)| 6Mx <∞, |θ(t)| 6Mθ <∞, |u(x|θ)(t)| 6Mu <∞

Donde Mx,Mθ,Mu son parametros definidos por el disenador.

ii) Se quiere el menor error de seguimiento (e ≡ ym− y) posible, mientras nose generen inconsistencias con (i).

Considerando el caso general para un sistema no lineal de orden n, en la forma

x(n) = f(x, x, ..., x(n−1)) + bu

y = x(1)

Donde f es una funcion continua, pero desconocida, b es una constante descono-cida, u e y son la entrada y salida del sistema, respectivamente. Ademas, se asu-me que se tiene acceso al vector de estados x′ = [x1, ..., xn]T = [x, x, ..., x(n−1)]T ∈Rn. Para obtener el controlador difuso, primero se muestra la existencia de talcontrolador, y luego se generaliza el concepto considerando el mecanısmo deadaptacion.

3.1. Existencia del Controlador Difuso

El sistema de la ecuacion (1) tiene asociado el vector de error e′ = [e, e, ..., e(n−1)]T ,luego si definimos el vector k = [kn, ..., k1]T ∈ Rn y consideramos conocidas lafuncion f y la constante b, entonces se puede definir la siguiente accion de con-trol:

u∗ =1

b

[− f(x′) + y(n)m + kT e′

](2)

al reemplazar la ecuacion (2) en la ecuacion (1), se obtiene:

e(n) + k1e(n−1) + ...+ kne = 0 (3)

La ecuacion (3) permite concluir que lımt→∞ e′(t) = 0. Como f, b son desco-nocidos, entonces no es posible aplicar directamente esta accion de control alsistema, de todas formas, esta accion ideal u∗ sirve de motivacion para encontrarla accion de control general a aplicar.

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3.2. Generalizacion del Controlador Difuso

Para el diseno de un controlador difuso, desconociendo f y b, se proponedividir el controlador en dos acciones de control; un controlador difuso uc(x

′|θ)(es un sistema difuso) y un controlador supervisor us(x) [1], El controlador finalse muestra en la ecuacion (4):

u = uc(x′|θ) + us(x) (4)

Si se sustituye la ecuacion (4) en la ecuacion (1), se obtiene:

x(n) = f(x′) + b[uc(x′|θ) + us(x)] (5)

y con la ecuacion (6) es posible obtener una expresion para la ecuacion del errordel sistema:

e′ = Λce′ + bc[u

∗ − uc(x′|θ)− us(x)] (6)

Donde,

Λc =

0 1 0 0 · · · 0 00 0 1 0 · · · 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 · · · 0 1−kn −kn−1 · · · · · · · · · · · · −k1

,bc =

00...0b

Para determinar la accion de control supervisora us es necesario estudiar lafuncion de Lyapunov Ve = 1

2e′TPe′, donde se escoge la matriz simetrica P de

manera que satisfaga la ecuacion de Lyapunov (7)

ΛTc P + PΛc = −Q < 0 (7)

La ecuacion (8) muestra Ve utilizando la matriz P que satisface la ecuacion (7):

Ve = −1

2e′TQe′ + |e′TPbc|(|u∗|+ |uc|)− e′TPbcus (8)

Entonces, el objetivo es disenar us de manera que se obtenga un sistema estable,para lograr esto, en [1] se define el siguiente controlador supervisor:

us(x′) = I1sgn(e′TPbc)

[|uc|+

1

bL(fU + |y(n)m |+ |kT e′|)

](9)

Donde se debe considerar:

• Se asume que es posible determinar una funcion fU (x′) y una constantebL tal que |f(x′)| ≤ fU (x′) y 0 < bL ≤ b

• El factor I1,

I1 =

{1 Si Ve > V ∗

0 Si no

10

• Al incorporar el controlador de la ecuacion (9) se obtiene

Ve ≤ −1

2e′TQe′ ≤ 0

Finalmente, con el controlador supervisor determinado en la ecuacion (9), sepuede concluir que el sistema tiene un error acotado, esto implica que x′ tambienes acotado. Ademas el rol del control supervisor, es mantener estable el sistemay conseguir una cota maxima para el error de control, de la estructura de us sepuede observar que este controlador solo actua cuando Ve > V ∗, es decir quesi el controlador uc(x

′|θ) mantiene al sistema con un error pequeno (Ve ≤ V ∗)entonces el control supervisor nunca entra en funcionamiento. En contraste, siVe > V ∗ entonces el controlador supervisor fuerza Ve ≤ V ∗.Observacion: Si se considera I1 = 1 para cualquier instante, entonces es posibleno solo asegurar la estabilidad del sistema, si no que ademas la convergenciadel error de control a cero. La I1 = 1 es poco conveniente en la implementaciondel controlado, pues en general la accion de control us es muy grande (us ∝sup(fU ))

3.3. Ley de ajuste parametrico y construccion de uc(x′|θ)

La ley de ajuste parametrico proviene del analisis de estabilidad segun Lya-punov, donde se deben considerar las siguientes definiciones:

• Es posible definir un vector de parametros optimos

θ∗ = argmin|θ|≤Mθ[sup|x′|≤Mx

|uc(x′|θ)− u∗|]

• Tambien se define el error mınimo de aproximacion w ≡ uc(x′|θ)− u∗

• El error parametrico φ ≡ θ∗ − θ

• ξ(x′) es la funcion difusa de base

Incorporando estas definiciones en la ecuacion (6) se obtiene la ecuacion(10):

e′ = Λce′ + bcφ

T ξ(x′)− bcus − bcw (10)

Cabe mencionar que el algoritmo de adaptacion del controlador difuso es di-senado para garantizar estabilidad en el sistema desde el punto de Lyapunov,en el sentido de que todas las senales permanecen acotadas, por lo tanto sepropone la siguiente funcion candidata de Lyapunov:

V =1

2e′TPe′ +

b

2γφTφ. Donde, γ > 0 (11)

Incorporando entonces las propiedades de la matriz P , se obtiene la siguienteecuacion para V :

V = −1

2e′TQe′ +

b

γ[γe′T pnξ

′(x′) + φ]− e′TPbcus − e′TPbcw (12)

11

Asumiendo que φ = −θ

=

{γe′T pnξ

′(x′) Si |θ| < Mθ

γe′T pnξ′(x′)− γe′T pn θθ

T ξ′(x′)|θ|2 Si no

(13)

⇒ V ≤ 0

La demostracion de estabilidad es la que se propone en [1] y se recomiendarecurrir a ella para mayor detalles.

Para la construccion del controlador difuso uc(x′|θ), se propone la siguiente

estrategia:

i) definir mi conjuntos difusos, asociados a F li , cuyas funciones de pertenen-cia µ

Flii

cubran el espacio Ui de manera uniforme. Donde li = 1, 2, ..,mi

e i = 1, 2, .., n

ii) Construir la base de reglas para el controlador, este conjunto esta com-puesto por m1 ×m2 × · · · ×mn . Estas reglas se construyen considerandotodas las posibles combinaciones de los conjuntos F li , para una regla arbi-traria se tendrıa:

Rl: SI x1 es F l1 y . . . y xn es F ln ENTONCES uc es Gl

iii) Implementar el controlador difuso, para esto se traduce la regla recienenunciada y se obtiene:

Rl: SI x1 es F l1 y . . . y xn es F ln ENTONCES θ es Θl

Donde el vector θ representa la salida del sistema difuso, y en el vec-tor ξ′(x′) se encuentran los grado de activacion de cada regla ordenadoscorrectamente, entonces se obtiene la accion de control:

uc = θT ξ′(x′)

Ademas θ es el parametro ajustable del controlador, por lo tanto, lo quese esta haciendo es calibrar el valor de las acciones de control, a traves deθ en base al grado de activacion de cada regla.En este sentido, las reglas aportadas por humanos expertos pueden serincorporadas directamente en la contruccion de las reglas del controladormediante valores apropiado de θ y la respectiva definicion de los conjuntosdifusos para las variables de las premisas, esto aporta una buena apro-ximacion inicial para el control del sistema, y mejora la performance delcontrolador, en el sentido de que disminuye la velocidad de convergenciadel error entre el sistema caotico y el modelo de referencia.

12

* ξl(x′) es la funcion difusa de base para la regla l:

ξl(x′) =

(∏ni=1 µF li (xi)

)∑Ml=1

(∏ni=1 µF li (xi)

)Como se explico anteriormente, el conocimiento humano aportado al controla-dor mejora la convergencia del sistema, pues la informacion de expeto se utilizapara la accion de control incial, pero cabe destacar que no es necesario tener unconocimiento avanzado del sistema caotico a controlar para la contruccion deuc(x

′|θ), pues si no se sabe nada del sistema, entonces los parametros (θ) pue-de escogerse aleatoriamente mientras θ < Mθ, la ley de ajuste parametrica seencargara de proporcionar una accion de control correcta despues de un tiempo.

En la Figura (3) se presenta el esquema del controlador difuso propuesto en[1]

Figura 3: Estructura del controlador difuso [1]

13

4. Aplicacion a Sistema Caotico

4.1. Sistema Caotico

El sistema caotico utilizado para implementar el controlador es un sistemade oscilacion forzada, con su dinamica determinada por la ecuacion (14)

x1 = x2

x2 = −0,1x2 − x31 + 12cos(t) + u(t)(14)

En la Figura (4) se puede observar que el sistema caotico de la ecuacion (14)presenta gran sensibilidad frente a condiciones inciales y ademas sus puntos pe-riodicos son densos en una region compacta del espacio fisico, consistentementecon las definciones dadas en la seccion 2.1.

Figura 4: Dinamica del sistema caotico propuesto frente a diferentes condicionesiniciales (u(t) = 0). 80[seg] simulacion

14

4.2. Construccion del Controlador Adaptable Difuso

Teorema 1: djuswvcdfhbrtghb6

o34ng5

Para la construccion del controlador se deben considerar los siguiente parame-tros:

• k1 = 3 , k2 = 2, entonces kT = [k1, k2] = [3, 2]

• Ahora se debe utilizar la ecuacion de Lyapunov (7) para determinar lamatriz simpetrica P , considerando Q = diag(12, 12)(

0 −k21 −k1

)(p1 p2p2 p3

)+

(p1 p2p2 p3

)(

0 1−k2 −k1

)=

(−12 0

0 −12

)⇒ P =

(15 33 3

)• se escoge γ = 3

• Mx = 10, Mθ = 90

• fU = 12 + |x1|3 ≥ f y bL = 1 ≤ b = 1

• se utiliza para x1 la referencia ym1 = sen(t) y como x1 = x2, entoncesym2 = ym1 = cos(t), esta referencia equivale a la circunferencia unitariaen el diagrama de fases.

• Como se explico anteriormente, el conocimiento experto puede ser incor-porado incialmente en las reglas difusas para mejorar su desempeno, perono es necesario. De esta manera, se escoge el valor inicial del vector θ comoun arreglo donde cada elemnto se determina aleatoriamente con un valorentre [0, 1]

• Los conjuntos difusos para x1, x2 son los mismos y se muestran en laFigura (5)

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Figura 5: Conjutnos Difusos asociados a las variables de las presmisas

Entonces con todos los parametros (γ, P, k1, k2, etc) definidos, se implementaesta configuracion del controlador para el sistema caotico. A este primer con-trolador se le llama caso base, en la Figura (6) es posible observar la dinamicadel sistema en el diagrama de fase.

Para observar con mas detalle como se comporta el sistema, en el sentido delobjetivo de control, es decir, que el sistema caotico logre seguir al modelo dereferencia, se ilustra la evolucion del error para ambas variables del sistema enla Figura (7).

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Figura 6: Dinamica del sistema caotico con el controlador adaptable difuso im-plementado (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

Figura 7: Evolucion del error entre el sistema caotico y el MR (x1(0) = 4, x2(0) =2). 60[seg] simulacion

Se observa entonces que el controlador disenado es capaz de manipular elsistema caotico de manera correcta, para estudiar con mas detalle las carac-terısticas del controlador se pronone la subseccion 4.3.

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4.3. Resultados y analisis

i) Control Difuso: Como se menciono anteriormente, el controlador adap-table difuso, se compone por un sistema difuso y un control supervisor,este ultimo es el encargado de mantener las variables del sistema dentro decierto rango (|x| ≤ Mx), esto quiere decir que el sistema difuso es capazde controlar el sistema por si solo, mientras las variables se encuentrendentro del rango Mx definido por el disenador. Para mostrar este hecho sealude a la Figura (8) que muestra como se comporta la norma del vectorde estados en el tiempo, y la accion del control supervisor asociada.

Figura 8: Evolucion de |x| (izq.), salida del controlador supervisor us(der.).(x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

De la Figura (8) se observa que el vector de estados x′ siempre cumple conla condicion de que su norma es menor que Mx, por lo tanto, el controladossupervisor us nunca actua, pero de todas formas se logra manipular elsistema para que siga a la referencia (Figura (7)), esto quiere decir quesolo con la actuacion del sistema difuso se obtiene un correcto desempenodel controlador.

ii) Control Supervisor: Para mostrar el funcionamiento del controladorsupervisor se implementa el mismo controlador que para el caso base, perose redefine el espacio admisible para las variables antecedentes (Mx = 3,5).La Figura (9) muestra el evolucion del sistema frente a este nuevo lımitepara x′, mientras que en la Figura (10) se aprecia la accion de control gene-rada por el controlador supervisor. Cabe destacar que el control supervisorsolo funciona inicialmente, mientras x′ esta fuera del espacio definido por

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Mx, y en este pequeno intervalo alcanza un valor de us ∼ −4,5×10307, poresta razon no se escoge I1 = 1, como se explica en la observacion realizadaen la subseccion 3.2.

Figura 9: Dinamica del sistema caotico implementando el caso base, con Mx =3,5 (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

De las Figuras (9) y (10) se desprende, que una vez que el vector x′ entraen la zona determinada por Mx siempre premanece dentro, es decir elcontrolador supervisor cumple bien su objetivo, que es el de mantener lasvariables de las premisas dentro del rango definido por el disenador.

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Figura 10: Evolucion de |x| (izq.), salida del controlador supervisor us(der.).(x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

iii) Ganancia Adaptativa: En la Figura (11) se muestra la respuesta delsistema caotico frente a la implementacion del controlador adaptable difu-so, con distintas ganancias adaptivas (γ). Se desprende de esta prueba, quela ganancia adaptiva tiene un rol analogo al que tiene la ganancia adap-tativa en el controlador adaptables clasicos, esto tiene sentido al recordarla ecuacion (13):

θ =

{γe′T pnξ

′(x′) Si |θ| < Mθ

γe′T pnξ′(x′)− γe′T pn θθ

T ξ′(x′)|θ|2 Si no

De esta ecuacion se puede interpretar que valores mas grandes de γ per-miten dar pasos mas largos en la busqueda del vector θ∗, por lo tanto,el sistema es capaz de obtener mas rapidamente valores de θ mas cer-canos a θ∗, y en consecuecia disminuye significativamente el tiempo deconvergencia e′(t)→ 0.

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Figura 11: Evolucion del error del sistema caotico frente al controlador condistintas ganancias adaptivas (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

iv) Condiciones iniciales: Se debe considerar que los sistemas caoticospresentan importantes cambios en su comportamiento frente a pequenasvariaciones en las condiciones iniciales, por lo tanto, se procede a probar elcontrolador frente a distintos puntos de partida para observar su desem-peno.

La Figura (12) muestra la implementecion del controlador caso base fren-te al mismo set de condiciones iniciales expuestas en la Figura (4). de laFigura (12) se desprende que el controlador adaptable difuso presenta uncorrecto desempeno frente a distintas condiciones iniciales, de esta forma,se concluye que el controlador es robusto frente a cambios en la condicionesiniciales, lo que es bastante importante respecto de los sistemas caoticos,pues esto presentan particular sensibilidad a las CIs.

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Figura 12: Dinamica del sistema caotico implementando el controlador casobase, para distintas condiciones iniciales. 60[seg] simulacion

v) Ruido: Para estudiar el desempeno del controlador frente a pertubacio-nes, se incorporo ruido en la salida del sistema, frente a esta prueba cabemencionar tres puntos:

1) El sistema es mas robusto frente a preturbaciones en la variable x1 sila varianza del error (σ2) incorporado es menor que 1, esto es bastanteintuitivo al recordar la ecuacion del sistema caotico (14):

x1 = x2x2 = −0,1x2 − x31 + 12cos(t) + u(t)

De estas se puede apreciar que ambas variables estan acopladas, en-tonces si el ruido afecta directamente a x1, luego este error repercuteen x2 con un valor ∝ (σ2)3 6 σ2 si σ2 ∈ [0, 1]. En contraste, si σ2 > 1,entonces el error asociado a x1 afecta a x2 con un valor ∝ (σ2)3 > σ2,y de esta forma el error asociado a x1 termina siendo mas influyenteen la dinamica del sistema caotico, para este caso.

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2) Frente a ruidos pequenos (σ2 . 0,5) El sistema caotico logra oscilaren torno a la referencia, pero se obtiene un error permanente, loanterior se ilustra en la Figura (13):

Figura 13: Evolucion del sistema caotico frente a ruido gausiano en x2, dondeσ2 = 0,5 y µ = 0 (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

3) El sistema es robusto frente al ruido, en el sentido que este no es capazde desestabilizar el sistema, aun si el ruido tiene σ2 > Mx, pero sies lo suficientemente grande hay que tener cuidado en la eleccion delos conjuntos difusos (ver Figura (14)). Se debe garantizar que losvalores que toman las variables de las premisas esten cubiertas porlos conjuntos difusos disenados.

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Figura 14: Evolucion del sistema caotico frente a ruido gausiano en x2, dondeσ2 = 15 > Mx y µ = 0 (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

vi) Variaciones Parametricas: Para observar el desempeno del controladorfrente a variaciones parametricas en el sistema caotico se implemento lasiguiente variacion al parametro −0,1 de la ecuacion (14):

a(t) = −0,1 +Asen(b)

Donde b tiene unidades radseg .

Frente a esta prueba se observa, al igual que en el caso del control adapta-ble clasico, que pequenas variaciones (variaciones lentas) son posibles decompensar por el controlador, como ilustra la Figura (15).

En contraste, si las variaciones son muy amplias (rapidas) no es posi-ble asegurar que el e(t) → 0 cuando t → ∞, pues el ajuste parametricono es lo suficientemente veloz como para absorver las variaciones dentrodel sistema caotico, como se muestra en la Figura (16). De todas formascabe destacar que aun cuando las variaciones parametricas del sistemasean radicales, aun ası el sistema permanece estables, gracias a la acciondel controlador supervisor us.

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Figura 15: Evolucion del sistema caotico frente a perturbaciones en el parametro−0,1, donde A = b = 1. (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

Figura 16: Evolucion del sistema caotico frente a perturbaciones en el parametro−0,1, donde A = 1,b = 10. (x1(0) = 4, x2(0) = 2). 60[seg] simulacion

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4.4. Mejoras propuestas al controlador

Considerando la propiedad del controlador adaptable difuso de incorporarreglas difusas directamente en el, se proponen dos mejoras al controlador ex-puesto, para mejorar su desempeno:

1) Reglas basada en Clustering Difuso: El objetivo de esta mejora, esutilizar datos a lazo cerrado del sistema y, de esta manera, obtener con-juntos difusos que puedan ser traducidos en reglas, estas reglas puedenser implementadas posteriormente, y de esta manera, se puede mejorar eldesempeno del controlador al disponer de un mejor set de reglas inciales.

Un algoritmo que puede ser utilizado para generar la clasificacion de losdatos y obtener conjuntos difusos, es el algoritmo de Gustafson-Kessel; estealgoritmo presenta la capacidad de obtener conjuntos difusos con distintasformas y orientaciones (ver Figura (17)). Para encontrar mas informacionsobre tecnicas de clustering difuso se sugiere [2].

Figura 17: Algoritmo de Clustering: Gustafson-Kessel [2]

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2) Modelo Neuro-Difuso: Es posible representar sistemas difusos des-critos en la forma de reglas, por redes neuronales. Este tipo de sistemases llamado ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System, ver Figura(18)). El objetivo de proyectar el sistema difuso, en una red neuronal esutilizar la topologia de la red en conjunto con tecnicas de optimizacion(Back-propagation, por ejemplo) para modificar la estrutura de los con-juntos difusos de las premisas, en funcion de alguna figura de merito quese utilice como criterio para entrenar la red neuronal. De esta forma, esposible mejorar el desempeno de la red por medio de una optimizacion delos conjuntos difusos de las premisas.

Cabe mencionar que esta mejora podrıa ser implementada en conjuntocon alguna ley de ajuste para los parametros, si estas se modifican pa-ra poder garantizar estabilidad en el sistema. Tambıen podrıa escogerseun set de consecuencias inicialmente y obtener leyes de ajuste para losconjuntos difusos, mientras estos puedan ser implementados por medio dela configuracion neuro-difusa y, ademas permitan asegurar estabilidad delsistema. mas informacion sobre sistemas neuro-difusos en [2].

Figura 18: Sistema difuso de dos reglas representado por una en red neuronalneuro-difusa [2]

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5. Conclusiones

A lo largo de este trabajo se han estudiado los sistemas caoticos y tecnicasadaptable-difusas. Cabe destacar que el controlador implementado, fue disenadoconsiderando definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov, por lo tanto,el sistema en su conjunto es estable.

El controlador adaptable difuso, esta compuesto por dos controladores:

• Un controlador supervisor us: Este se encarga de mantener las variablesde las premisas dentro de una region definida por el disenador. Ademasuc es el que permite asegurar la estabilidad global del sistema.

• Un controlador difuso uc(x′|θ): Este controlador es el que incorpora una

ley parametrica, que es disenada considerando la estabilidad segun Lya-punov. El ajuste parametrico puede ser interpretada como el ajuste de lasconsecuencias de cada regla para obtener un buen desempeno del contro-lador.Cabe destacar que la construccion del controlador uc(x

′|θ), en base a re-glas difusas, tiene la capacidad de incorporar el conocimiento de expertodirectamente traduciendolo a reglas en el sistema difuso.

Ademas se ha implementado el controlador adaptable difuso al caso de un sis-tema caotico para realizar un analisis sobre sus resultados. En cuanto a esto,se observa que las ganancias adaptivas tiene un rol analogo al que presentanen la teorica clasica del control adaptable, al igual que la respuesta frente avariaciones parametricas y al ruido. Ademas se observa que el controlador esrobusto frente a variaciones iniciales, lo que es de particular importancia paralos sistemas caoticos.

Se propone para trabajos futuros la construccion de reglas para el controla-dor difuso en base a datos que se obtienen de su funcionamiento (sin reglas) yun algoritmo de clustering difuso, de esta forma es posible mejorar el desempenodel controlador, pues es posible brindarle un set de parametros inciales asociadoa cada regla que permiten incrementar la velocidad de convergencia del controly, en este sentido, mejorar su desempeno.

Ademas es posible proyectar el sistema difuso asociado al controlador, en unsistema neuro-difuso (modelo ANFIS), y ası utilizar los datos del funcionamien-to del controlador para optimizar los conjuntos difusos asociados a las premisas,a traves de algun algoritmo de optimizacion y las propiedades de las redes neu-ronales.

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Referencias

[1] Li-Xin Wang, Stable Adaptive Fuzzy Control of Nonlinear Systems, Member,IEEE.

[2] Robert Babuska, Fuzzy Modeling for Control.

[3] Doris Saez, Apunte de control avanzado de sistemas, FCFM, Universidad deChile.

[4] Jie Wen, Chang-Sheng Jiang, Adaptive fuzzy control for a class of chaoticsystems with nonaffine inputs, IEEE.

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