Control Adaptativo

[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT

Jaime Martínez Verdú | Introducción al control adaptativo. 1

Introducción al control adaptativo. La técnica del Control Adaptativo surge a partir de 1950 con el fin de dar solución a

problemas de control en los que las características del sistema a controlar son variables o poco

conocidas.

El término control adaptativo posee diversos significados pero, en términos generales,

implica que un sistema mida las características dinámicas de una planta (función de

transferencia o ecuación de estado) en forma continua y automática, las compare con las

características dinámicas deseadas y utilice la diferencia entre ambas para variar los

parámetros ajustables del sistema (estos parámetros suelen ser las características del

controlador) o genera una señal actuante, de modo que se mantenga un desempeño óptimo;

por tanto es capaz de acomodarse a modificaciones no predecibles de un medio, sean esos

cambios internos o externos al sistema, un esquema general es mostrado en la figura

siguiente.

Ilustración 1. Esquema general de un control adaptativo.

Si la función de transferencia G(s) o la ecuación de estado de una planta está

identificada continuamente, las variaciones que puedan aparecer en la función de

transferencia o en la ecuación de estado de la planta son compensadas sólo con modificar los

parámetros ajustables del controlador. De este modo, se obtiene un diseño continuado del

sistema bajo diversas condiciones ambientales y de degeneración, cuyo comportamiento será

satisfactorio independientemente de la situación.



Tal método de adaptación es de gran utilidad para afrontar un problema en el cual la

planta se encuentre indefectiblemente expuesta a condiciones ambientales variables y de

envejecimiento, de manera que los parámetros de la planta variasen respecto al tiempo. Este

concepto es de gran interés para diseñadores de sistemas, ya que un sistema adaptativo,

además de aceptar modificaciones ambientales y por envejecimiento de los componentes,

admite errores de diseño de ingeniería o incertidumbre y es capaz de compensar las fallas de

componentes menores, incrementando así la confiabilidad del sistema.

A pesar de las utilidades del control adaptativo expuestas anteriormente, no son sólo

estas puesto que también se emplean para contrarrestar los aspectos negativos que induce el

carácter no lineal de los sistemas. Los problemas de control en los sistemas no lineales han

sido extensivamente estudiados en el pasado. No obstante, existe un gran interés en la

comprensión de la conducta de los sistemas no lineales en cuanto a la modelización e

identificación de la estructura y de los parámetros de tales sistemas cuando se diseña un

controlador adaptativo.

El Control adaptativo trata el problema de controlar la salida de la planta en presencia

de incertidumbres paramétricas o estructurales debidas a las no linealidades. En el control

adaptativo tradicional, para conseguir que un problema fuera tratable, la planta se suponía

lineal con parámetros desconocidos. Se escogía una estructura de controlador, y los

parámetros se ajustaban escogiendo una ley adaptativa, de modo que la salida de la planta

siguiera a la referencia asintóticamente.

En definitiva, las razones por las cuales se emplean técnicas de control donde el

controlador se adapta, es decir, los problemas a resolver empleando control adaptativo son:

Desconocimiento de cómo es exactamente la función de transferencia .

Somos incapaces de conocer los parámetros b o a, o éstas cambian con el tiempo.

Debido a:

o Cambio en las condiciones ambientales del sistema.

o Cambio en las propiedades de los componentes del sistema debido al

envejecimiento.

No linealidad de los sistemas físicos reales.

Clasificación de reguladores de Control Adaptativo Desde el principio de la tecnología de control adaptativo, se han propuesto dos clases

distintas de controladores adaptativos. Desde el principio de la tecnología adaptativa, se han

propuesto dos clases distintas de controladores adaptativos, directo e indirecto:

En el directo, los parámetros del controlador se ajustan directamente en base

a los datos de entrada-salida.

En el indirecto, los parámetros de la planta se estiman y se ajustan en base a

los datos de entrada-salida.

Existen una gran variedad de esquemas adaptativos dentro de estas dos clases, tales

como el Model Reference Adaptive Control (MRAC), Self-Tuning Adaptive Control (STAC), Self-

Organizing Fuzzy Logic (SOFLIC), Neural Networks (NN), y Neurofuzzy Adaptive Control (NAC).



Para los procesos cuyos parámetros varían lentamente en el tiempo, los controladores

adaptativos con realimentación pueden ser divididos en dos grandes grupos:

MIAS: Sistemas adaptativos con identificación de modelo (Model Identification

Adaptive System).

MRAS: Sistemas adaptativos con modelo de referencia (Model Reference

Adaptive System)

Los sistemas adaptativos con identificación de modelo (MIAS) determinan un modelo

del proceso las medidas de entrada-salida y métodos de identificación. Aquí los parámetros

son calculados de acuerdo con un método de diseño del controlador programado con

anterioridad. Esta clase de reguladores adaptativos también se denomina “self-tuning

regulators”.

Los sistemas adaptativos con modelo de referencia (MRAS) intentan obtener una

respuesta en bucle cerrado próxima a la dada por el modelo de referencia para la señal de

entrada. Aquí una señal externa, por ejemplo la variable de referencia, es medida y la

diferencia entre las señales se forma usando las señales del bucle de control y del modelo de

referencia y cambiando los parámetros del controlador por medio de un método adaptativo.

(A)

(B)

(C)

Ilustración 2. Esquema de un MRAS (A) y de un MIAS (B y C).


Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 4

Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia Bajo este nombre se agrupan una serie de estrategias de control que tienen en común

como característica principal, el hacer uso explícito de un modelo del proceso, para obtener la

señal de control mediante la minimización de una cierta función de transferencia. En este

sentido forman parte de una familia más amplia, en la que se hace uso de un modelo del

proceso para diseñar el controlador: LQ, IMC, asignación de polos y ceros,...

Además de garantizar la operación estable de la planta, los controladores avanzados

de hoy en día han de satisfacer una serie de criterios adicionales u objetivos secundarios de

control: económicos, de seguridad, limitaciones físicas de los equipos, calidad del producto

final, regulaciones ambientales, preferencias humanas,... Muchos de estos modelos admiten

una representación matemática muy natural, bajo la forma de funciones objetivo dinámicas y

ligaduras dinámicas de tipo desigualdad.

Ventajas y características del Control Adaptativo MRAS El control adaptativo basado en modelo de referencia tiene las siguientes

características:

Uso explícito de un modelo para predecir las salidas futuras.

Cálculo de cierta secuencia que minimice cierta función objetivo.

El horizonte se va desplazando hacia el futuro, lo que implica la aplicación de la

primera señal de control calculada en cada paso.

Ventajas del control adaptativo basado en modelos sobre otros métodos:

Se puede aplicar con pocos conocimientos de control, porque los conceptos

son intuitivos y el sintonizado es relativamente sencillo.

Se puede utilizar para controlar una gran cantidad de procesos, tanto sencillos

como complejos; incluyendo sistemas con tiempos de retardo grandes y

sistemas de fase no mínima.

Se puede aplicar al caso multivariable.

El controlador resultante es una sencilla ley de control lineal.

Su extensión para tratar el caso con restricciones es conceptualmente sencilla

y puede ser incluida durante el diseño.

Es muy útil cuando las referencias futuras son conocidas.

Es una metodología abierta.

Diseño de reguladores de Control Adaptativo MRAS A partir de los cambios de pendiente del Bode podemos saber el número de polos y

ceros aproximadamente. Recordemos que el punto de funcionamiento o del sistema ya no es

válida la linearización del sistema por lo que hay que usar control adaptativo. Además, hemos

de recordar la necesidad de satisfacer las especificaciones técnicas: ts,Mp, ep. Supongamos un

ejemplo donde queremos que el sistema se comporte del siguiente modo:

Ecuación 1



Por tanto, la función de transferencia Gm(s) representa el modelo deseado o Modelo

de referencia y cumple que:

- La salida del modelo será la salida que deseamos. - El mecanismo de ajuste tendrá unos parámetros sin definir: es lo que se va a adaptar.

Ilustración 3. Esquema del control adaptativo MRAS.

Regla del MIT

Ilustración 4. Regla del MIT empleada en un control adaptativo MRAS.

o Funciona bien pero es “peligroso”.

o ABTE es para solucionarlo.

o Es más complicado de diseñar.



Ilustración 5. Comportamiento del error en un control adaptativo MRAS.

METODO DEL GRADIENTE

¿Cómo variar para min ?

Ecuación 2

Ecuación 3

Ecuación 4

Ilustración 6. Comportamiento del error empleando el método del gradiente.

DESARROLLO (UN PARÁMETRO)

Supongamos un modelo tal que éste sea el resultado de una ganancia de la planta

y que donde K desconocido. Supongamos que conocemos K:

Definamos donde realmente el parámetro K es un valor desconocido. A continuación, se determina la expresión del error, es decir, la diferencia entre la salida del modelo y la del sistema:

donde, y .

nos marca la velocidad de la pelota.

Si es muy grande, puede saltar de un lado a otro.

Si es muy pequeño, puede no darle tiempo a adaptarse.



Ecuación 5

Si aplicamos el operador derivada a la ecuación anterior tenemos que:

Ecuación 6

Si calculamos la derivada temporal del parámetro theta tenemos lo siguiente:

Ecuación 7

Redefinimos el parámetro gamma de modo que la ecuación obtenida, en realidad

debe quedar de este modo:

Ecuación 8

donde el valor de gamma prima es el siguiente:

Ecuación 9

Transformando las expresiones al dominio de Laplace tenemos que la Ley de

Adaptación en Laplace es:

Ecuación 10

Ilustración 7. Obtención de la Ley de Adaptación.



EJERCICIO

A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando para

ello la siguiente función de transferencia:

Ecuación 11

Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos las

siguientes entradas:

- Entrada escalón (Step). - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Señal aleatoria (Random Number).

Deberemos verificar lo siguiente:

o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Valor óptimo. Por ejemplo,

Para en seno se inestabiliza la salida. Para no se consigue "cazar" el seno.

o Representar el parámetro o Valor óptimo de

Cuando tengamos que el sistema se estabiliza desconectamos el mecanismo de

adaptación y ponemos una cota que será justamente el valor final de los parámetros. Para ello

se ha empleado el siguiente código donde tenemos :

K=1;sistema=tf(K*[1],[1 0.5]);Km=3;modelo=tf(Km*[1],[1 0.5]);

gamma=1; gamma=0.4; gamma=0.1;

Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz de

dar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el color

azul representa la señal de salida y error procedente del modelo y el color verde representa la

señal de salida y error procedente del sistema regulado por un MRAC.

Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,1) los mejores resultados se

obtienen para la señal de entrada escalón y sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración

9. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada dentro de los

primeros 30 segundos para las entradas mencionadas, para las otras dos entradas tiene un mal

comportamiento puesto que ni durante 100 segundos es capaz de llegar a la salida deseada.

Por otro lado, para valores grandes de gamma (1) se obtienen los mejores resultados

del sistema para el escalón, la entrada de pulso y la señal aleatoria (Ilustración 11). En este

caso, se alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para

la entrada sinusoidal se obtiene que el regulador inestabiliza el sistema.

Buscando un valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados

aceptables para un parámetro gamma de 0.4, tal y como se muestra en la Ilustración 10,

donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya se alcanza la señal de salida

deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en régimen permanente del

parámetro theta de 3.



Ilustración 8. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada.

theta para una senoidal

theta para una random

theta para un step

theta para un pulse

Uniform RandomNumber

Step Sine Wave

S sistema para una senoidal

S sistema para una random

S sistema para un step

S sistema para un pulse

S sistema

S modelo para una senoidal

S modelo para una random

S modelo para un step

S modelo para un pulse

S modelo

PulseGenerator

Product42

Product41

Product32

Product31

Product22

Product21

Product12

Product11

sistema

LTI System4 PLANTA

modelo

LTI System4 MODELO

sistema

LTI System3 PLANTA

modelo

LTI System3 MODELO

sistema

LTI System2 PLANTA

modelo

LTI System2 MODELO

sistema

LTI System1 PLANTA

modelo

LTI System1 MODELO

sistema

LTI System PLANTA

modelo

LTI System MODELO

1s

Integrator3

1s

Integrator2

1s

Integrator1

1s

Integrator

-gamma

Gain4

-gamma

Gain3

-gamma

Gain2

-gamma

Gain1

Km/K

GANANCIA

Error para una senoidal

Error para una random

Error para un step

Error para un pulse

Comparación para una senoidal

Comparación para una random

Comparación para un step

Comparación para un pulse

Comp Theta-Error para una senoidal

Comp Theta-Error para una random

Comp Theta-Error para un step

Comp Theta-Error para un pulse



Ilustración 9. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,1.



Ilustración 11. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 1.



EJERCICIO



Ecuación 12



- Entrada escalón (Step). - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Señal aleatoria (Random Number).


o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Representar el parámetro o Valor óptimo de



se ha empleado el siguiente código donde tenemos :

K=1; sistema=tf(K*[1 0.7],conv(conv([1 0.5],[1 1.5]),[1 2]));

Km=3; modelo=tf(Km*[1 0.7],conv(conv([1 0.5],[1 1.5]),[1 2]));

gamma=0.75; gamma=0.5; gamma=0.3;

: Aparece una situación de inestabilidad.

: Para las señales pulse generator y random no hay buen comportamiento.

: Obtenemos un resultado aceptable para todas las señales.



azul representa la señal de salida y error procedente del modelo y el color verde representa la

señal de salida y error procedente del sistema regulado por un MRAC.


obtienen para la señal de entrada escalón y sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración

14. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada dentro de los

primeros 30 segundos para las entradas mencionadas, para las otras dos entradas tiene un mal


Por otro lado, para valores grandes de gamma (0,75) se obtienen los mejores resultados del

sistema para el escalón, la entrada de pulso y la señal aleatoria (Ilustración 12). En este caso,

se alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para las

entradas escalón y sinusoidal se obtiene que el regulador inestabiliza el sistema. Buscando un

valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados aceptables para un

parámetro gamma de 0,5, tal y como se muestra en la Ilustración 13, donde a partir del minuto

y medio de simulación ya se alcanza la señal de salida deseada. Se puede observar en todas las

gráficas el valor en régimen permanente del parámetro theta de 3.



DESARROLLO (DOS PARÁMETROS)

Supongamos un modelo y un sistema tal que éste sea las funciones de transferencia

del modelo y de la planta :

Ecuación 13

Ecuación 14

donde los parámetros a y b son desconocidos. Definamos los parámetros y donde realmente los parámetros a y b son valores desconocidos. A

continuación, se determina la expresión del control, es decir, la diferencia entre la salida del modelo y la señal de entrada, aplicando asignación de polos:

Ecuación 15

Aplicaremos la regla del MIT:

Ecuación 16

Y la definición de error:

Ecuación 17

De la función de transferencia en bucle cerrado del sistema con el controlador:

Ecuación 18

De la Ecuación de control , se tiene el siguiente resultado:

Ecuación 19

Remodelando la expresión se tiene que la salida en función de la señal de entrada

responde a la siguiente expresión:

Ecuación 20

A continuación, se procede con el cálculo de las derivadas respecto a los dos

parámetros para el error, sabiendo que y :

Ecuación 21

Ecuación 22



Por otro lado, podemos obtener el valor de la derivada del primer parámetro theta

transformando la expresión del siguiente modo:

Ecuación 23

de donde Suponiendo que estamos cerca de la

situación de adaptación.

A continuación, se procede con el cálculo de las derivadas respecto al parámetro que

restaba:

Ecuación 24

Ecuación 25

Por otro lado, podemos obtener el valor de la derivada del segundo parámetro theta

transformando la expresión del siguiente modo:

Ecuación 26

Recapitulando, tenemos que:

Ecuación 27

Ecuación 28

Esto es lo mismo que:

Ecuación 29

Ecuación 30



EJERCICIO



Ecuación 31

Ecuación 32



- Senoidal (Sine Wave). Frec=0’5 Rad/s

A=1

- Pulsos (Pulse generator). Amp=2

10 20

20 s

o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Valor óptimo. Por ejemplo,

Para en seno se inestabiliza la salida. Para no se consigue "cazar" el seno.

o Representar el parámetro y o Valor óptimo de

Luego probamos con a muy distinto de o b muy distinto de .




se ha empleado el siguiente código donde tenemos y donde

realmente los parámetros a y b son valores desconocidos:

a=1;b=0.5;am=2;bm=2;

porasig_sistema=tf([b],[1 a]);porasig_modelo=tf([bm],[1 am]);

gamma=0.30;gamma=0.95;gamma=4.95;

gamma=9.95;gamma=19.95;gamma=99.95;



azul representa la señal de salida procedente del modelo y el verde aquella procedente del

sistema regulado. En las gráficas de la derecha el color azul y verde representan a los

parámetros y , respectivamente, y el color rojo al error procedente del sistema regulado

por un MRAC.




obtienen para la señal sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración 16. Se puede observar

cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada para la entrada mencionada, para las

otras dos entradas tiene un mal comportamiento puesto que ni durante 100 segundos es

capaz de llegar a la salida deseada.

Por otro lado, para valores grandes de gamma (19,95 y 99,95) se obtienen los mejores

resultados del sistema para el random, (Ilustración 20 e Ilustración 21). En este caso, se

alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para la

entrada sinusoidal se obtiene que el regulador no consigue estabilizar los parámetros.

Buscando un valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados

aceptables para un parámetro gamma de 9,95, tal y como se muestra en la Ilustración 19,

donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya se alcanza la señal de salida

deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en régimen permanente del

parámetro theta 1 de 4 y theta 2 de 2: y .

Ahora probamos con a muy distinto de o b muy distinto de .

Para ello se ha empleado el siguiente valor donde tenemos y

donde realmente los parámetros a y b son valores desconocidos: a = 10.

En definitiva, se obtiene que los resultados son peores puesto que el sistema necesita

más tiempo para ir a los valores del sistema puesto que ahora están más “lejos” y por lo tanto,

necesitamos más tiempo o mejor gamma.




sistema regulado. En las gráficas de la derecha el color azul y verde representan a los

parámetros y , respectivamente, y el color rojo al error procedente del sistema regulado

por un MRAC.


obtienen para la señal sinusoidal. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la

salida deseada para la entrada mencionada, para las otras dos entradas tiene un mal


El MRAS se basa en la idea de llevar el error e = Y –Ym a cero. Esto no implica

necesariamente que los parámetros del regulador sean los valores correctos. El caso cuando la

señal de entrada es cero es un contra ejemplo típico. Buscando un valor óptimo para todas las

entradas se han obtenido resultados aceptables para un parámetro gamma de 9,95, tal y como

se muestra en la Ilustración 19, donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya

se alcanza la señal de salida deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en

régimen permanente del parámetro theta 1 de 4 y theta 2 de 2: y

.




theta32

theta31

theta22

theta21

theta12

theta11

Uniform Random

Number

1

s+am

Transfer Fcn5

1

s+am

Transfer Fcn4

1

s+am

Transfer Fcn3

1

s+am

Transfer Fcn2

1

s+am

Transfer Fcn1

1

s+am

Transfer Fcn

Sine Wave2

S sistema para un seno

S sistema para un RandomS sistema para un Pulse

S modelo para un seno

S modelo para un RandomS modelo para un Pulse

Pulse

Generator

Product9

Product8

Product7

Product6

Product17

Product16

Product15

Product14

Product13

Product12

Product11

Product10

porasig_sistema

LTI System9

porasig_modelo

LTI System8

porasig_sistema

LTI System13

porasig_modelo

LTI System12

porasig_sistema

LTI System11

porasig_modelo

LTI System10

1

s

Integrator8

1

s

Integrator7

1

s

Integrator6

1

s

Integrator5

1

s

Integrator4

1

s

Integrator3

gamma

Gain9

-gamma

Gain8

gamma

Gain7

-gamma

Gain6

gamma

Gain5

-gamma

Gain4

Error para un seno

Error para un Random

Error para un Pulse

Comparación para un seno

Comparación para un Random

Comparación para un Pulse

Comparación para theta-Error para un seno

Comparación para theta-Error para un randomComparación para theta-Error para un pulse



Diseño de reguladores MRAS basados en Teoría de la Estabilidad Una forma de lograr el ajuste de parámetros en un MRAS es intentar leyes de ajuste

tales que garanticen que el error vaya a cero.

El problema consiste en encontrar una ley de realimentación tal que e = y – ym tienda

a cero y que esta condición esté garantizada.

TEORÍA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV

En matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de los

sistemas dinámicos.

De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por una

función X(t) que se encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por

T, entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según Lyapunov.

De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y converge a Xo,

entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov.

2º TEOREMA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV

Lyapunov introdujo un método directo para investigar la estabilidad de una solución

particular de ecuaciones diferenciales no lineales.

El equilibrio x = 0 es estable si se puede encontrar una función real en el espacio de

estado cuyas curvas de nivel encierran el equilibrio tal que las derivadas de los variables de

estado siempre apunten al interior de las curvas de nivel.

Ilustración 28. Representación de las curvas de nivel que encierran el equilibrio.

Dada la ecuación diferencial en variables de estado:

Ecuación 33

donde x es vector de estado de dimensión n, f es una función tal que la solución existe

para todo t ≥ to. El punto de equilibrio es el origen y, aunque esto parezca restrictivo, se puede

lograr siempre cualquier punto del espacio con una sencilla transformación de coordenadas.



Si existe una función V que cumple:

1) Ecuación 34

2) es diferenciable en y

3) es definida positiva: Ecuación 35

Ecuación 36

Ecuación 37

Esto viene a decir que el sistema va a

tender a x=0 si se cumplen las

condiciones del 2º Teorema.

Una condición suficiente para garantizar que el equilibrio x = 0 es asintóticamente

estable es que la función:

Ecuación 38

, es decir debe ser definida negativa. En el caso del control adoptable solo se

exige que sea semidefinida negativa. Esto implica que se impone una condición

adicional sobre el sistema:

Lema (convergencia).

Si g es una función real de una variable real t, definida y uniformemente continua para

t > 0, y si el límite de la integral:

Ecuación 39

Cuando t tiende a infinitivo existe y es un número finito, entonces:

Ecuación 40

La condición suficiente de estabilidad del punto

de equilibrio x=0 es que sea definida

negativa.



DESARROLLO

Recordemos nuestro sistema:

SISTEMA

MODELO

Definamos los siguientes parámetros de modo que deseamos que el error tienda a

cero :

Ecuación 41

Ecuación 42

Ecuación 43

Asumiremos que la función definida antes como V es el error e. Calculamos:

Ecuación 44

Obtenemos el valor de la derivada del error del siguiente modo:

Ecuación 45

A partir de la función de transferencia obtenemos la derivada de la salida:

Ecuación 46

A partir de la función de transferencia obtenemos la derivada de la salida:



Se intenta que aparezca e

Sumo y resto

Ecuación 47

El siguiente paso consiste en encontrar una función V (función candidata de Lyapunov)

adecuada para el problema:

Ecuación 48

Cumple las tres primeras condiciones: ES CANDIDATA.

1- Si e = 0

e2=0 .

2- Si y existe.

3- Si 2 0

¿ es definida negativa?

Ecuación 49



Con esto se anulan los dos factores:

Ecuación 50

Ecuación 51

Obtenemos los siguientes resultados:

Ecuación 52

Ecuación 53

Ecuación 54

Se tiene que:

(Definida negativa) Ecuación 55

La función V será decreciente si el error es diferente de cero; y el error irá a cero.

Notemos sin embargo, que esto no significa que los parámetros y converjan a los valores

de equilibrio a menos que se impongan otras condiciones. La regla obtenida es similar a la

regla MIT, pero las derivadas de sensibilidad son remplazadas por otras señales.



EJERCICIO



Ecuación 56

Ecuación 57



- Escalón. - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Random. - Repeating sequence.

o Comprobar si el sistema tarda menos tiempo en alcanzar la señal. Deberemos verificar lo siguiente:

a=1;b=0.5;am=2;bm=2;

porasig_sistema=tf([b],[1 a]);porasig_modelo=tf([bm],[1 am]);

gamma=2;gamma=10;gamma=20;




sistema regulado. En las gráficas inferiores aparecen los resultados para el nuevo método.

Se observa claramente que el nuevo método desarrollado es más rápido para todas las

entradas.




thetaL52

thetaL51

thetaL42

thetaL41

thetaL32

thetaL31

thetaL22

thetaL21

thetaL12

thetaL11

theta52

theta51

theta42

theta41

theta32

theta31

theta22

theta21

theta12

theta11

Uniform Random

Number

1

s+am

Transfer Fcn9

1

s+am

Transfer Fcn8

1

s+am

Transfer Fcn7

1

s+am

Transfer Fcn6

1

s+am

Transfer Fcn5

1

s+am

Transfer Fcn4

1

s+am

Transfer Fcn3

1

s+am

Transfer Fcn2

1

s+am

Transfer Fcn1

1

s+am

Transfer Fcn

Step1

Step

Sine Wave1

Sine Wave

S sistema9S sistema8

S sistema7

S sistema6S sistema5S sistema4

S sistema3

S sistema2

S sistema10

S sistema1

S modelo9S modelo8

S modelo7

S modelo6S modelo5S modelo4

S modelo3

S modelo2

S modelo10

S modelo1

Repeating

Sequence

Pulse

Generator

Product9

Product8

Product7

Product6 Product5

Product40

Product4

Product39

Product38

Product37

Product36

Product35

Product34

Product33

Product32

Product31

Product30

Product3

Product29

Product28

Product27

Product26

Product25

Product24

Product23

Product22

Product21

Product20

Product2

Product19

Product18

Product17

Product16

Product15

Product14

Product13

Product12

Product11

Product10 Product1

???

LTI System9

???

LTI System8

???

LTI System7

???

LTI System6

???

LTI System5

???

LTI System4

???

LTI System3

???

LTI System20

???

LTI System2

???

LTI System19

???

LTI System18

???

LTI System17

???

LTI System16

???

LTI System15

???

LTI System14

???

LTI System13

???

LTI System12

???

LTI System11

???

LTI System10

???

LTI System1

1

s

Integrator9

1

s

Integrator8

1

s

Integrator7

1

s

Integrator6

1

s

Integrator5

1

s

Integrator4

1

s

Integrator3

1

s

Integrator20

1

s

Integrator2

1

s

Integrator19

1

s

Integrator18

1

s

Integrator17

1

s

Integrator16

1

s

Integrator15

1

s

Integrator14

1

s

Integrator13

1

s

Integrator12

1

s

Integrator11

1

s

Integrator10

1

s

Integrator1

gamma

Gain9

-gamma

Gain8

gamma

Gain7

-gamma

Gain6

gamma

Gain5

-gamma

Gain4

-gamma

Gain3

gamma

Gain20

gamma

Gain2

-gamma

Gain19

gamma

Gain18

-gamma

Gain17

gamma

Gain16

-gamma

Gain15

gamma

Gain14

-gamma

Gain13

gamma

Gain12

gamma

Gain11

-gamma

Gain10

-gamma

Gain1

Error9Error8

Error7Error6

Error5Error4

Error3 Error2

Error10

Error1

Comparación9Comparación8


Comparación5Comparación4Comparación3 Comparación2

Comparación10

Comparación1



Ilustración 30. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 1.

thetaL52

thetaL51

thetaL42

thetaL41

thetaL32

thetaL31

thetaL22

thetaL21

thetaL12

thetaL11

theta52

theta51

theta42

theta41

theta32

theta31

theta22

theta21

theta12

theta11

Uniform Random

Number

1

s+am

Transfer Fcn9

1

s+am

Transfer Fcn8

1

s+am

Transfer Fcn7

1

s+am

Transfer Fcn6

1

s+am

Transfer Fcn5

1

s+am

Transfer Fcn4

1

s+am

Transfer Fcn3

1

s+am

Transfer Fcn2

1

s+am

Transfer Fcn1

1

s+am

Transfer Fcn

Step1

Step

Sine Wave1

Sine Wave


S sistema7


S sistema3

S sistema2

S sistema10

S sistema1

S modelo9S modelo8

S modelo7


S modelo3

S modelo2

S modelo10

S modelo1

Repeating

Sequence

Pulse

Generator

Product9

Product8

Product7

Product6 Product5

Product40

Product4

Product39

Product38

Product37

Product36

Product35

Product34

Product33

Product32

Product31

Product30

Product3

Product29

Product28

Product27

Product26

Product25

Product24

Product23

Product22

Product21

Product20

Product2

Product19

Product18

Product17

Product16

Product15

Product14

Product13

Product12

Product11

Product10 Product1

???

LTI System9

???

LTI System8

???

LTI System7

???

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???

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???

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???

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???

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???

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???

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???

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???

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???

LTI System1

1

s

Integrator9

1

s

Integrator8

1

s

Integrator7

1

s

Integrator6

1

s

Integrator5

1

s

Integrator4

1

s

Integrator3

1

s

Integrator20

1

s

Integrator2

1

s

Integrator19

1

s

Integrator18

1

s

Integrator17

1

s

Integrator16

1

s

Integrator15

1

s

Integrator14

1

s

Integrator13

1

s

Integrator12

1

s

Integrator11

1

s

Integrator10

1

s

Integrator1

gamma

Gain9

-gamma

Gain8

gamma

Gain7

-gamma

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gamma

Gain5

-gamma

Gain4

-gamma

Gain3

gamma

Gain20

gamma

Gain2

-gamma

Gain19

gamma

Gain18

-gamma

Gain17

gamma

Gain16

-gamma

Gain15

gamma

Gain14

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gamma

Gain12

gamma

Gain11

-gamma

Gain10

-gamma

Gain1

Error9Error8

Error7Error6

Error5Error4

Error3 Error2

Error10

Error1




Comparación10

Comparación1



Ilustración 31. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 2.

thetaL52

thetaL51

thetaL42

thetaL41

thetaL32

thetaL31

thetaL22

thetaL21

thetaL12

thetaL11

theta52

theta51

theta42

theta41

theta32

theta31

theta22

theta21

theta12

theta11

Uniform Random

Number

1

s+am

Transfer Fcn9

1

s+am

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1

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1

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1

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1

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1

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1

s+am

Transfer Fcn1

1

s+am

Transfer Fcn

Step1

Step

Sine Wave1

Sine Wave


S sistema7


S sistema3

S sistema2

S sistema10

S sistema1

S modelo9S modelo8

S modelo7


S modelo3

S modelo2

S modelo10

S modelo1

Repeating

Sequence

Pulse

Generator

Product9

Product8

Product7

Product6 Product5

Product40

Product4

Product39

Product38

Product37

Product36

Product35

Product34

Product33

Product32

Product31

Product30

Product3

Product29

Product28

Product27

Product26

Product25

Product24

Product23

Product22

Product21

Product20

Product2

Product19

Product18

Product17

Product16

Product15

Product14

Product13

Product12

Product11

Product10 Product1

???

LTI System9

???

LTI System8

???

LTI System7

???

LTI System6

???

LTI System5

???

LTI System4

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LTI System3

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LTI System19

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???

LTI System1

1

s

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1

s

Integrator8

1

s

Integrator7

1

s

Integrator6

1

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Integrator5

1

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Integrator4

1

s

Integrator3

1

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Integrator20

1

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Integrator2

1

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Integrator19

1

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Integrator18

1

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Integrator13

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Integrator12

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Integrator11

1

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Integrator10

1

s

Integrator1

gamma

Gain9

-gamma

Gain8

gamma

Gain7

-gamma

Gain6

gamma

Gain5

-gamma

Gain4

-gamma

Gain3

gamma

Gain20

gamma

Gain2

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Gain19

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Gain18

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Gain17

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Gain16

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Gain15

gamma

Gain14

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Gain13

gamma

Gain12

gamma

Gain11

-gamma

Gain10

-gamma

Gain1

Error9Error8

Error7Error6

Error5Error4

Error3 Error2

Error10

Error1




Comparación10

Comparación1


Jaime Martínez Verdú | Referencias 48

Referencias 1. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall – 1984.

2. Bellman, R.: Adaptive Control Processes: A Guided Tour, Princeton University – 1961

3. Äström, K., Hägglung: Automatic Tuning of PID Controllers, ISA – 1988

4. Äström, K., Wittenmark: Adaptive Control, Prentice Hall – 1989

5. CAMACHO, E., BORDONS, C. Model Predictive Control. Springer-Verlag, 2007.

6. NARENDRA, K.S., ANNASWAMY, A.M. Stable Adaptive Systems. Prentice Hall, 1989.


Jaime Martínez Verdú | Tabla de contenidos 49

Tabla de contenidos Introducción al control adaptativo. ............................................................................................... 1

Clasificación de reguladores de Control Adaptativo .................................................... 2

Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia .................................................................. 4

Ventajas y características del Control Adaptativo MRAS ............................................. 4

Diseño de reguladores de Control Adaptativo MRAS .................................................. 4

Regla del MIT ............................................................................................................ 5

METODO DEL GRADIENTE ........................................................................................ 6

DESARROLLO (UN PARÁMETRO) .............................................................................. 6

EJERCICIO .................................................................................................................. 8

EJERCICIO ................................................................................................................ 13

DESARROLLO (DOS PARÁMETROS) ........................................................................ 17

EJERCICIO ................................................................................................................ 19

Diseño de reguladores MRAS basados en Teoría de la Estabilidad ........................... 34

TEORÍA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV ........................................................... 34

2º TEOREMA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV ................................................... 34

DESARROLLO .......................................................................................................... 36

EJERCICIO ................................................................................................................ 39

Referencias .................................................................................................................................. 48

Tabla de contenidos .................................................................................................................... 49

Tabla de ilustraciones .................................................................................................................. 50

Tabla de ecuaciones .................................................................................................................... 51


Jaime Martínez Verdú | Tabla de ilustraciones 50

Tabla de ilustraciones Ilustración 1. Esquema general de un control adaptativo. ........................................................... 1

Ilustración 2. Esquema de un MRAS (A) y de un MIAS (B y C). ..................................................... 3

Ilustración 3. Esquema del control adaptativo MRAS. .................................................................. 5

Ilustración 4. Regla del MIT empleada en un control adaptativo MRAS. ..................................... 5

Ilustración 5. Comportamiento del error en un control adaptativo MRAS. ................................. 6

Ilustración 6. Comportamiento del error empleando el método del gradiente. .......................... 6

Ilustración 7. Obtención de la Ley de Adaptación......................................................................... 7

Ilustración 8. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ........... 9

Ilustración 9. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,1. .................... 10

Ilustración 10. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,4. .................. 11

Ilustración 11. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 1. ..................... 12

Ilustración 12. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,75. ................ 14



Ilustración 15. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ....... 21





Ilustración 20. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95. .............. 26








Ilustración 28. Representación de las curvas de nivel que encierran el equilibrio. .................... 34

Ilustración 29. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ....... 40

Ilustración 30. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 1. . 41

Ilustración 31. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 2. . 42

Ilustración 32. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 2. ..................... 43

Ilustración 33. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. ................... 44





Jaime Martínez Verdú | Tabla de ecuaciones 51

Tabla de ecuaciones Ecuación 1 ........................................................................... 4

Ecuación 2 ......................................................................... 6

Ecuación 3 ..................................................................................................... 6

Ecuación 4 ...................................................................................... 6

Ecuación 5 ....................................................................................... 7

Ecuación 6 ............................................................................................. 7

Ecuación 7 ................................................................................. 7

Ecuación 8 ......................................................................................... 7

Ecuación 9 ................................................................................................. 7

Ecuación 10 ....................................................................................... 7

Ecuación 11 ........................................................................................... 8

Ecuación 12 .......................................................... 13

Ecuación 13 ............................................................................................ 17

Ecuación 14 ................................................................................. 17

Ecuación 15 .......................................................................... 17

Ecuación 16 ................................................................................ 17

Ecuación 17............................................................................................. 17

Ecuación 18 ................................................................................ 17

Ecuación 19 .............................................................. 17

Ecuación 20 ................................................................. 17

Ecuación 21 .................................................................. 17

Ecuación 22 .................................................................. 17

Ecuación 23 ................................................................. 18

Ecuación 24 .................................................................. 18

Ecuación 25 ...................................................... 18

Ecuación 26 ..................................................................... 18

Ecuación 27 ....................................................................... 18

Ecuación 28 ....................................................................... 18

Ecuación 29 ........................................................................ 18

Ecuación 30 ........................................................................ 18

Ecuación 31 ......................................................................................... 19

Ecuación 32 ........................................................................................ 19

Ecuación 33 ................................................................................ 34

1) Ecuación 34 .................................................................................... 35

3) es definida positiva: Ecuación 35 ..................................................................... 35

Ecuación 36 .................................................................................... 35

Ecuación 37 ................................................................................................. 35

Ecuación 38 ..................................... 35

Ecuación 39 ................................................................................................. 35

Ecuación 40 .................................................................................... 35

Ecuación 41 ....................................................................................... 36

Ecuación 42 ............................................................................................... 36

Ecuación 43 ........................................................................................ 36

Ecuación 44 ................................................................................................ 36


Jaime Martínez Verdú | Tabla de ecuaciones 52

Ecuación 45 ...................................................... 36

Ecuación 46 .................................................................................... 36

Ecuación 47 ................................ 37

Ecuación 48 ............ 37

Ecuación 49 .. 37

Ecuación 50 .............................................................................................. 38

Ecuación 51 ................................................................................................ 38

Ecuación 52 ......................................................................................... 38

Ecuación 53 .......................................................................................... 38

Ecuación 54 ............................................................................................. 38

(Definida negativa) Ecuación 55 .................................................. 38

Ecuación 56 ......................................................................................... 39

Ecuación 57 ........................................................................................ 39

Control Adaptativo

Documents

Transcript of Control Adaptativo