Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos y estrategias de control

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Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos

y estrategias de control

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Controlabilidad y observabilidadControlabilidad

• Sea el sistema de n estados y p entradas

con las matrices constantes y . La ecuación de estados, o el par (A, B), se dice controlable si para cualquier estado inicial y cualquier estado final , existe una entrada que transfiere el estado x de x0 a x1 en tiempo finito. En caso contrario, la ecuación (1.1), o el par (A, B), se dice no controlable.

BuAxx

nxnA nxpB

nxx 0)0( nx 1

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Controlabilidad y observabilidad Controlabilidad

• Se puede determinar si el sistema es controlable examinando la condición algebraica:

• La matriz A tiene dimensión nxn y B nx1. Para sistemas con múltiples entradas la matriz B es nxm, donde m es el número de entradas.

• Para un sistema de única entrada y única salida la matriz de controlabilidad Pc se describe en términos de A y B como:

que es una matriz de n x n, por lo tanto, si el determinante de Pc es distinto de cero, el sistema es controlable.

nBABAABBrango n 12

BABAABBP nc

12

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Controlabilidad y observabilidad Controlabilidad

• Ejemplo: sea el sistema

De donde se tiene que

El determinante de Pc = 1 ≠ 0, por lo que el sistema es controlable.

ux

aaa

tx

1

0

0

100

010

)(

210

uxy 0001

210

100

010

aaa

A

1

0

0

B

2

1

0

a

AB

)(

1

122

22

aa

aBA

)(1

10

100

1222

22

aaa

aBAABBPc

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Controlabilidad y observabilidad Test de controlabilidad

• Las siguientes afirmaciones son equivalentes:1. El par , es controlable2. La matriz de controlabilidad

es de rango n (rango fila pleno). 3. La matriz n x n

es no singular para todo t > 0.

pnnn BABA ,),,(

npnn CBABAABBC 12

t

tATtAt

ATAc deBBedeBBetW

TT

0

)()(

0

)(

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Controlabilidad y observabilidad Control de mínima energía

• El control que gasta mínima energía en llevar al sistema del estado x0 al estado x1 en el tiempo t1, en el sentido de que, para otro control ũ(t) que haga la misma transferencia, siempre se cumple que:

Se observa que la mínima energía de control es mayor cuanto mayor sea la distancia entre x0 y x1, y cuanto menor es el tiempo de transferencia t1.

2

10)(

12

1

10)(

11

1)(

0

1)(

11)()(

11

1

0

)(0

2

0

2

))(())(()(

))(()()()()(~

111

01

1

11

1

1

1

xxetWxxetWxex

xetWdeBBetWxexdudu

tAc

tAc

TtAT

xtAc

t

o

tATtAc

Tt

tATt

T

TT

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Controlabilidad y observabilidad Test PBH de controlabilidad

• Los test de Popov-Belevitch-Hautaus (PBH) tienen interpretaciones geométricas interesantes que sirven para analizar la controlabilidad en forma de Jordan. Hay dos tipos de test, de autovectores y de rango.1. Test de autovectores: El par (A,B) es no controlable si y solo si existe un autovector izquierdo de A tal que

2. Test PBH de rango: El par (A,B) es controlable si y solo si

nv 1

0vB

stodoparanBAsIrango

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Controlabilidad y observabilidad Test PBH de controlabilidad

• Controlabilidad y transformaciones de semejanza: teorema de la invarianza de la controlabilidad respecto a cambios de coordenadas.

La controlabilidad es una propiedad invariante con respecto a transformaciones de equivalencia (cambios de coordenadas).

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Controlabilidad y observabilidad Observabilidad

• Todos los polos de un sistema en lazo cerrado se pueden colocar arbitrariamente en el plano complejo si, y solo si, el sistema es observable y controlable. La observabilidad se refiere a la posibilidad de estimar una variable de estado.

• Según R. Dorf, un sistema es completamente observable si, y solo si, existe un tiempo finito T de forma que el estado inicial x(0) se pueda determinar a partir de la observación de la historia y(t) dado el control u(t).

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• Considerando el sistema de una entrada y una salida

donde C es un vector fila 1 x n y x es un vector columna n x 1. Este sistema es completamente observable cuando el determinante de la matriz de observabilidad Po es distinto de cero, donde

que es una matriz de n x n.

CxyeBuAxx

1n

o

CA

CA

C

P

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• Ejemplo: Considérese el sistema

Por lo tanto y Así se tiene que

el determinante de Po = 1 y el sistema es completamente observable. Obsérvese que la determinación de la observabilidad no utiliza las matrices B y D.

210

100

010

aaa

A 001C

010CA 1002 CA

100

010

001

oP

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• El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad. Trata de averiguar la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida. Consideremos el sistema lineal estacionario

Esta ecuación de estado (1.2) es observable si para cualquier estado inicial x(0) desconocido, existe un tiempo finito t1 tal que el conocimiento de la entrada u y la salida y sobre el intervalo [0,t1] es suficiente para determinar en forma única el estado inicial de x(0). En caso contrario el sistema es no observable.

BuAxx

DuCxy

pqnqpnnn DCBA ;;;

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Controlabilidad y observabilidad Variables de estado

• Para un sistema dado, existen infinidad de conjuntos posibles de variables de estado. Todos los conjuntos posibles han de estar constituidos por el mismo número de variables de estado y las variables definidas han de ser totalmente independientes. Variable independiente es aquella cuyo valor no puede ser expresado en función de las restantes variables; lo que implica que los valores iniciales de cada una de las variables de estado elegidas puedan ser asignados con entera libertad.

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• Ejemplo: en un sistema como el representado en la figura 3.1 podrían tomarse como variables de estado la velocidad ẏ(t) de la masa M y la fuerza en el muelle ky(t); no podría tomarse la fuerza en el muelle y el desplazamiento y(t) de la masa, ya que la primera es igual al segundo multiplicado por la constante K. Otra alternativa válida sería tomarse como variables de estado des sistema la velocidad ẏ(t) y el desplazamiento y(t) de la masa.

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• Métodos generales para la selección de las variables de estado de un sistema:

- Método de las variables físicas: la selección de las variables de estado se realiza basándose en los elementos almacenadores de energía existentes en el sistema.

- Método de las variables de fase.- Forma canónica de Jordan.

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• Sistemas lineales con parámetros variables: en un sistema cuyo comportamiento dinámico venga caracterizado por

Se puede representar esta ecuación diferencial por las ecuaciones de estado y de salida siguientes

Calculándose los coeficientes Bi(t) mediante

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• Obtención de la función de transferencia a partir de las ecuaciones de estado:– La función o matriz de transferencia de un sistema lineal e

invariante con el tiempo, puede obtenerse a partir de las ecuaciones de estado del sistema aplicando la transformada de Laplace.

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Bibliografía

• R. Dorf, R. Bishop: Sistemas de control moderno.• Apuntes ETSII. UNED

Enlaces de interés• http://iaci.unq.edu.ar/materias/control2/web/clases/Cap6.pdf • http://www.slideshare.net/IsRrItA/variables-de-estado • http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/

estado/node4.html#SECTION00631000000000000000

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