ULA

�

�

�������������������������������������������

�

Un Esquema de Control Adaptativo Robusto para

Seguimiento de Sistemas No Lineales con Incertidumbre

�

�

Autor: Janeyra del C. Colls Ojeda

Profesor Tutor: Miguel Ríos Bolívar

Proyecto de Grado presentado ante la Ilustre Universidad de Los Andes cómo

requisito final para optar al título de Ingeniero de Sistemas

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

��������������� ������������

(Noviembre, 2000)

ULA

�

�

�

�

�

��������������������������

�

�

�

A mi tutor, Prof. Miguel Ríos Bolívar por haberme dado la oportunidad de

desarrollar este proyecto de grado, cumpliendo con mi último requisito para optar al título

de Ingeniero de Sistemas, además de poder expandir mis conocimientos en la especialidad

de control.

Al Prof. Pablo Lischinsky, por la receptividad ofrecida en la autorización para

utilizar el Laboratorio de Simulación Digital (115).

A Solben Godoy, siempre presente, su ayuda incondicional estuvo en todo

momento.

A Carlos Cadenas, los detalles hacen grandes logros, tu apoyo nunca falta.

A Alfredo Cruz, por su gran ayuda, siempre en el momento más oportuno.

A la Sra. Eduviges, del Departamento de Control por toda su paciencia, apoyo y

ayuda.

A mi Madre, Padre, Luddy y Ana Karina, por la paciencia, el amor, el apoyo y los

recursos para poder realizar este proyecto.

��������������

�

�

ULA

�

�

RREESSUUMM EENN

En este proyecto se presenta un esquema de control adaptativo robusto para sistemas

no lineales inciertos, vía linealización exacta. Usando este esbozo, se conocen los límites de

acotamiento de los estados y se logra el seguimiento de la salida adaptativa del sistema en

lazo cerrado, que es el objetivo principal.

Para el desarrollo del esquema, se consideran sistemas no lineales de una entrada y

una salida con incertidumbre. Basados en el Teorema de Frobenius, se define el grado

relativo y la transformación del sistema en la forma canónica normal. Se estiman los

estados y con ellos se diseña un observador de estado. Se obtiene la dinámica del error

normalizada y, con la función de Lyapunov, la ley adaptativa robusta es hallada.

Finalmente, con la función deseada para el seguimiento, se obtiene el control v.

Se desarrollan dos ejemplos, usando este esbozo; para probar su utilidad. Estos

ejemplos son sistemas no lineales que presentan tanto parámetros constantes desconocidos

como dinámicas no modeladas.

Los ejemplos son simulados mediante el programa Matlab y, de esta manera, se

obtienen los resultados de la ejecución del esquema de control diseñado.

Descriptores

1. Sistemas de Control Adaptativo – Investigaciones

2. Controladores Robusto Adaptativo – Investigación

3. Sistemas, No Lineales.

* TJ217

C6

ULA

�

�

TTAABBLL AA DDEE CCOONNTTEENNII DDOO

Introducción 1

CAPÍTULO I. MARCO TEÓRICO 4

Introducción 4

1.1 Sistemas No Lineales 5

1.2 Incertidumbre 7

1.3 Control Adaptativo 10

1.4 Control Robusto 13

1.5 Control Adaptativo Robusto 17

CAPÍTULO II. ESQUEMA DE CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO � 21

Introducción 21

2.1 Esquema de Linealización por Realimentación Exacta 22

CAPÍTULO III. APLICACIONES Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 30

Introducción 30

3.1 Ejemplo 1. “Control de un Robot Rígido” 31

ULA

�

�

Respuestas de las Simulaciones 42

Análisis de Resultados 52

3.2 Ejemplo 2. “Depósito con Regulación de Temperatura” 53

Respuestas de las Simulaciones 64

Análisis de Resultados 69

CAPÍTULO IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 70

REFERENCIAS 73

APÉNDICE A 77

A.1 Controlabilidad 77

A.2 Observabilidad 77

A.3 Condición de Controlabilidad Completa de Estado 78

A.4 Condición de Observabilidad Completa de Estado 79

A.5 Observadores de Estado 79

A.6 Observadores de Luenberger 80

A.7 Observadores de Orden Reducido 82

A.8 Forma Canónica Controlable o Controlador de Brunovsky 86

APÉNDICE B 87

B.1 Linealización Exacta 87

B.2 Pasos del Método del Control Calculado 87

ULA

�

�

B.3 Campo Vectorial 89

B.4 Derivada Direccional o Derivada de Lie 90

B.5 Corchete de Lie 91

B.6 Teorema de Frobenius 91

B.7 Transformación de Sistemas No Lineales a la Forma Canónica Controlable 92

B.8 Difeomorfismo 93

B.9 Linealización de Entrada Salida 93

B.10 Dinámica de los Ceros 94

B.11 Grado Relativo r 95

B.12 Caracterización de la Linealización Entrada Salida de un Sistema No Lineal 96

B.13 Forma Canónica Normal 98

ANEXO 1 101

Programas Realizados en Matlab

Robot Rígido. Observador 1

Robot Rígido. Observador 2

102

102

106

Programa Realizado en Matlab

Depósito con Regulación de Temperatura.

111

111

ULA

�

�

LL II SSTTAA DDEE FFII GGUURRAASS

�

����������������������������������������� �!����!�������� "�

��������� ������������������������������������ �

�������������������

������������ �� � �� ���� ����#�� ��� $��%#��� � � �� ��� ����#�� ��

� ��� !��

�

&'�

������(��#���� ����!��)����*����������� ��!����!����� &+�

������� ���,�-����*����������.�!����!���������� ��.�����#�� ���� &&�

���� ��� !��������������������� �� �.���������� ���� �� &"�

����������������!����%#��� �����#�� ����������� �� �.������� ���� � &/�

�������������������

��������� �� � �� ���� ����#�� ��� $��%#��� � � �� ��� ����#�� ��

� ��� !��

�

&0�

���������(��#���� ����!��)����*����������� ��!����!���� &1�

���������� ���,�-����*����������.�!����!���������� ��.�����#�� ��� &2�

�������� ��� !��������������������� �� �.���������� ���� �� "3�

ULA

�

�

������������������� ��!� ���%#��� � ����#�� � ��� ������� �� � .�

������ ���� �

"��

��������� ���������������� �������������������

�����������

�

����� ��� ����������#�� ���$��%#��� �� ���������#�� ��� ��� !� /&�

Seguimiento de la función deseada por la salida /"�

������ ���,�-����*����������.�!����!���������� ��.�����#�� ��� //�

� ��� !��������������������� �� �.���������� ���� �� /0�

����������������!����%#��� �����#�� ����������� �� �.������� ���� � /1�

��������%!������������!��� �� /2�

A-1 Observador dinámico de Estado 1��

�4�'���5��#������ ��� !����!�#����� �� ��67������ �� 1��

A- 3 Esquema de un Observador de orden reducido 1"�

�

�

�

�

�

�

�

�

ULA

�

�

II NNTTRROODDUUCCCCII OONN

Las investigaciones del control adaptativo robusto tienen una larga historia y una

intensa actividad:

Antecedentes

A principio de los años 50, el diseño de pilotos automáticos de aviones para altos

desempeños, motivó un intenso desarrollo del estudio de control adaptativo.

Los años 60 se convirtieron en el periodo más importante en el desarrollo de la

teoría de control y en particular el desarrollo del control adaptativo. Técnicas del espacio de

estado y teorías de estabilidad basadas en Lyapunov fueron introducidas. La identificación

de sistemas y la estimación de parámetros jugaron un papel crucial en la reformulación y el

rediseño del control adaptativo. En 1966, Parks y otros [5], encontraron un rediseño

establecido en las leyes adaptativas, basadas en el esquema del modelo de referencia del

control adaptativo que nació a finales de los 50, con aplicación del enfoque del modelo de

Lyapunov. Los avances de los 60 mejoraron la comprensión del control adaptativo y

contribuyeron a fortalecer y renovar el interés en este campo en los años 70.

En los 70, el esquema del modelo de referencia del control adaptativo, usando el

enfoque de diseño de Lyapunov, fue desarrollado y analizado. Los conceptos de pasividad e

hiperestabilidad, fueron usados para el crecimiento de una amplia clase de esquemas del

control adaptativo, con propiedades de estabilidad bien establecidas. Este éxito, llevó a

controversias que surgieron sobre la practicabilidad del control adaptativo.

ULA

�

�

El comportamiento no robusto del control adaptativo motivó muchas discusiones a

principio de los 80, en donde más ejemplos de inestabilidades fueron publicados,

demostrando la falta de robustez en presencia de las dinámicas no modeladas y de la

ausencia de límites de perturbación. A mediados de los 80 se propuso y analizó un nuevo

diseño basado en el control adaptativo robusto, este trabajo continuó durante todo el resto

de los años 80 y unificó varios modelos robustos bajo una estructura general.

Las investigaciones del control adaptativo robusto, a finales de los 80 y principio de

los 90, se realizaron sobre la ejecución de propiedades y los resultados extendidos para

cierta clase de sistemas no lineales con parámetros desconocidos y dinámicas no

modeladas. Estos esfuerzos llevaron a una nueva clase de modelo de referencia para el

diseño del control adaptativo robusto, motivados desde la teoría de sistemas no lineales

inciertos. [3]

Hoy en día, las exploraciones del control adaptativo robusto siguen generando

diferentes esquemas para el tratamiento de sistemas no lineales inciertos.

Los sistemas reales son, por lo general, de origen no lineal, de aquí la importancia

de su estudio para poder llegar a la solución de dichos sistemas.

Debido a la dificultad matemática aunada a estos sistemas no lineales, es necesario

realizar una linealización, que, en este caso, es la linealización exacta que nace del enfoque

geométrico. El presente proyecto se desarrolla en cuatro capítulos como sigue:

�� El capítulo I presenta la teoría para una mejor comprensión del control adaptativo

robusto y, de esta manera, poder ejecutar la ley de control para el seguimiento deseado.

ULA

�

�

Conceptos como: control adaptativo, control robusto, control adaptativo robusto,

incertidumbre, etc., son presentados de manera sencilla.

�� El capítulo II expone el esquema o la metodología que se utilizará para el diseño del

control adaptativo robusto, donde se considera un sistema no lineal incierto que se

linealiza exactamente llevándolo a la forma canónica normal y, a este sistema

equivalente, se le propone un control. Se estiman los estados desconocidos,

construyendo un observador de estado. Se diseña la ley adaptativa robusta y la ley de

actualización de parámetro usando una función de Lyapunov y, finalmente, se alcanza

el seguimiento de la salida adaptativa robusta por colocación de polos mediante la

entrada de control.

�� El capítulo III muestra el desarrollo de dos ejemplos para probar el esquema presentado

en el capítulo anterior. Se simulan en computadora bajo el programa Matlab y sobre las

ejecuciones se realiza el análisis.

�� Finalmente, en el capítulo IV se llega a las conclusiones y recomendaciones.

Se introducen dos apéndices con aspectos teóricos, que puede servir al lector para

recordar la teoría básica de control. El apéndice A presenta conceptos como:

controlabilidad, observabilidad, observadores, etc. El apéndice B se dedica exclusivamente

a los conceptos que envuelve la linealización exacta, que es la herramienta utilizada en el

esquema para obtener el sistema equivalente. Al final un Anexo con los programas de los

ejemplos en Matlab.

ULA

�

�

CCAAPPÍÍ TTUULL OO II

MM AARRCCOO TTEEÓÓRRII CCOO

Introducción

Se presenta a continuación la teoría que está íntimamente ligada con el desarrollo

del control adaptativo robusto. Tomando estos conceptos como base, en el capítulo

siguiente se desarrolla un esquema de diseño.

Esta teoría se considera indispensable para el diseño de diferentes esbozos de

modelos de referencia del control adaptativo robusto, se inicia definiendo los sistemas no

lineales, luego: seguimiento de funciones, incertidumbre, tipos de incertidumbre

(Paramétrica y No Paramétrica), control adaptativo, control robusto, robustez; para, al final,

unir estos conceptos y de esta forma obtener un concepto de control adaptativo robusto.

ULA

�

�

SISTEMAS NO LINEALES

Un sistema no lineal no admite la aplicación del principio de superposición. Por

tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando

cada una por separado y sumando los resultados. [4]

Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones

lineales, en la mayoría de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales.

Algunos ejemplos de curvas características para no linealidades aparecen en la

figura 1-1. [4]

������ �� ����� ��� ������� �� ���� �������� �� ������������

En general, los procedimientos para encontrar las soluciones a problemas que

involucran tales sistemas no lineales son muy complicados. Debido a la dificultad

matemática aunada a los sistemas no lineales, resulta necesario introducir los sistemas

“equivalentes” en lugar de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes sólo son

ULA

�

�

válidos para un rango limitado de operación. Una vez que se aproxima un sistema no lineal

mediante un modelo matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas lineales para

el análisis y diseño.

LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES

En la ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir

alrededor de un punto de equilibrio, y las señales pueden considerarse señales pequeñas

alrededor del equilibrio. Con estas condiciones, es posible aproximar el sistema no lineal

mediante un sistema lineal. Tal sistema lineal es equivalente al sistema no lineal

considerado, dentro de un rango de operación limitado. [4]

ULA

�

�

INCERTIDUMBRE

Los modelos matemáticos de sistemas prácticos contienen, generalmente,

incertidumbres que pueden surgir de un conocimiento impreciso de los parámetros y/o

perturbaciones, o de la escogencia a priori de una representación simplificada de la

dinámica del sistema. [6]

El término incertidumbre es referido a la diferencia o el error entre los modelos y la

realidad, y cualquier mecanismo usado para expresar estos errores será llamado una

representación de incertidumbre. Las representaciones de incertidumbre varían,

primordialmente, en términos del tipo de estructura que contienen. Esto refleja que tanto

nuestro conocimiento de los mecanismos físicos como nuestra habilidad de representar

estos mecanismos causan diferencias entre el modelo y la planta. [10]

TIPOS DE INCERTIDUMBRE

�

Incertidumbre Paramétrica (Estructurada)

Son las imprecisiones en la modelación, debido a incertidumbre en los términos

incluidos en el modelo matemático, es decir, se conoce la estructura del modelo pero se

desconocen los valores de parámetros. [6]

ULA

�

�

El conjunto de parámetros que son completa o parcialmente desconocidos, pueden

conformar un vector de parámetros inciertos:

� = � �p��� ,...,, 21

La dependencia de un modelo en espacio de estados, con respecto al vector de parámetros

desconocidos � , se escribe en la siguiente forma:

)(

)()()(1

xhy

uxgxfxfxp

iii

�

��� ��

��

Incertidumbre No Paramétrica (No Estructurada)

Son las imprecisiones en el orden del sistema, es decir, los errores genéricos que son

asociados con todo el modelo diseñado. [6]

Esta incertidumbre se caracteriza, generalmente, por un término funcional

desconocido en el modelo.

La magnitud de la incertidumbre se acota con cualquier función racional estable y

propia, que satisfaga: [7]

)()( xxf ���

La dependencia de un modelo en espacio de estados, con respecto a una dinámica no

modelada, se escribe de la siguiente forma:

)(

)()()(

xhy

xfuxgxfx

�

�����

ULA

�

�

La incertidumbre en el modelado surge a consecuencia de dos circunstancias

distintas. La primera está relacionada a la linealización, (todo sistema físico es por

naturaleza no lineal), y la segunda es el hecho de limitar el orden de las ecuaciones

diferenciales, por razones de computabilidad, y se denomina incertidumbre dinámica.

[7]

ULA

�

�

CONTROL ADAPTATIVO

Es un enfoque para el diseño de controladores para sistemas con incertidumbre. El

control adaptativo es empleado, generalmente, para plantas que contienen incertidumbre

paramétrica, sin información acerca de las cotas de variación de los parámetros. [6]

En el problema de diseño de controladores adaptativos no lineales se asume,

generalmente, que los parámetros desconocidos entran linealmente en las ecuaciones

dinámicas del sistema, y que todo el vector de estado está disponible para la realimentación.

La mayoría de los resultados de control no lineal adaptativo, han sido obtenidos para

plantas de la forma:

� �� �

�

��

����

p

i

p

iiiii uggff

1 100 )()()()( ��������

donde � n�� es el estado

u �� es el control de entrada

i� es el vector de parámetros desconocidos � �Tp

.21 ,...,, ���

ii gf , son campos vectoriales suaves en un entorno del origen, i = 1,...,p.

El vector de parámetros de control es ajustado usando una señal medida del sistema

),,( tyg �� ��

ULA

�

�

Un concepto importante asociado con el control de plantas con incertidumbre es el

siguiente:

CONDICIONES DE ACOPLAMIENTO

Decimos que un sistema satisface las condiciones de acoplamiento, si tanto la

incertidumbre como el control aparecen en la misma ecuación dinámica. El diseño de un

controlador adaptativo para un sistema acoplado es bastante directo. [6]

Por Ejemplo, dado un sistema de la forma:

)( 12

21

xux

xx

����

�

�

� )(ˆ

12211 xxkxku ������

donde �̂ es una estimación del parámetro desconocido. El sistema es transformado a:

� ��� ˆ)( ��� xWAxx�

con �

��

���

21

10

kkA , �

��

�

)(

0

1xW

�

Esta forma sugiere el diseño de una ley de actualización de parámetros, basada

en un resultado de control adaptativo lineal. Esta ley de actualización es:

PxxW T)(ˆ ���

donde 0�� TPP es seleccionada para satisfacer: IPAPA T ���

La estabilidad del equilibrio se establece chequeando la derivada de la función de

Lyapunov:

ULA

�

�

� �2�̂� ��� PxxV T

la cual es: 02��� xV� a lo largo de las soluciones del sistema en lazo cerrado. Desde

aquí, la linealización realimentada del sistema puede ser lograda para todo x y � . Las

características de estabilidad resultantes, son globales. [2]

Un concepto asociado con las condiciones de acoplamiento es el nivel de

incertidumbre, el cual indica, el número de integradores que separan la incertidumbre del

control.

Decimos que un sistema satisface las condiciones de acoplamiento extendidas

cuando el nivel de incertidumbre es uno, es decir la incertidumbre está separada del control

por un integrador solamente. La principal ventaja de los esquemas basados en las

condiciones de acoplamiento extendido, es la propiedad de que su estabilidad puede ser

establecida independientemente del tipo de no linealidades. [6]

Para sistemas con nivel de incertidumbre mayor o igual a dos, los esquemas

desarrollados para los sistemas que cumplen las condiciones de acoplamiento extendido, no

pueden aplicarse. El esquema backstepping adaptativo [6], removió este obstáculo

estructural y permitió que el diseño basado en Lyapunov se aplique a varias clases de

sistemas no lineales con incertidumbre no acoplada. [2]

ULA

�

�

CONTROL ROBUSTO

El control robusto es empleado, generalmente, para plantas que contienen

incertidumbre no paramétrica.

Frecuentemente, la incertidumbre de un parámetro iq puede describirse por sus

cotas inferior y superior, �iq y �

iq Escribimos:

� ���� iii qqq ,

este es llamado intervalo de parámetro.

La misión del un control robusto, es reducir los efectos de incertidumbres no

modeladas y de perturbaciones, que actúan sobre la planta.

En enfoques comunes de diseño de un controlador robusto se utiliza un modelo

linealizado. Es importante que este control se diseñe de forma tal, que las suposiciones

hechas en la linealización no sean violadas.

En el control robusto, los parámetros son tratados como valores constantes pero

desconocidos, de los cuales sólo se conocen las cotas inferior y superior.

CONSIDERACIONES DE DISEÑO PARA EL CONTROL ROBUSTO

�

ULA

�

�

Es un hecho bien conocido que la realimentación reduce el efecto de perturbaciones

y modera los errores de modelado, o los cambios de parámetros en el desempeño de un

sistema de control. Sin embargo, ante la presencia de perturbaciones y ruido en el

sensor, sí pretendemos diseñar sistemas de control de alto desempeño, deben incluirse las

siguientes consideraciones en los pasos del diseño, [4]:

1. Desempeño del seguimiento (reducir el error de seguimiento).

2. Rechazo a perturbaciones (reducir la salida y para una entrada de perturbación). El

grado de rechazo a perturbaciones se expresa mediante el cociente entre la función de

transferencia en lazo cerrado con la perturbación y la salida.

3. Sensibilidad ante los errores en el modelado (reducir la sensibilidad). La diferencia

entre la dinámica de la planta real y la dinámica de un modelo, se denomina error de

modelado. Los errores de modelado ocurren por alguna de las razones siguientes:

a. Características no consideradas de la planta.

b. Características de alta frecuencia de la planta no consideradas.

c. La precisión de los parámetros no es suficientemente buena

d. Las características de la planta cambian con el tiempo.

4. Margen de estabilidad (Establecer una estabilidad robusta). Una cuestión importante es

cómo afecta la estabilidad de los sistemas de control, los errores en el modelado. La

estabilidad del sistema de control con realimentación se determina mediante la

condición de sí la función de transferencia, en lazo abierto, satisface el requerimiento de

la condición de estabilidad de Nyquist.

5. Sensibilidad a ruido en el sensor (reducir la sensibilidad).

ULA

�

�

En el control robusto se agrega la hipótesis más realista de suponer desconocimiento

sobre la forma de la perturbación. Además tenemos el desconocimiento en la

representación matemática de la planta, es decir, incertidumbre y denotamos como � .

En particular se trabaja con un modelo nominal y una � desconocida pero acotada, de

modo que ambos (modelo e incertidumbre), generen una familia de infinitos modelos

matemáticos. La estabilidad del modelo central se llamará estabilidad nominal y la de la

familia de modelos estabilidad robusta. [7]

BASES SOBRE LAS QUE SE FUNDAMENTA LA TEORIA DE CONTROL

ROBUSTO

Se exponen a continuación tres puntos importantes

para el desarrollo de una teoría de control que tenga

como objetivo primordial la aplicación. [[77]]

Hipótesis Realistas

Esto es fundamental en la teoría robusta de control, ya que conecta simulación y

experimentación. En términos concretos, consiste en que las restricciones que se asumen

como hipótesis del problema sean lo más amplias posibles, lo que las hará mas realistas.

ULA

�

�

Conclusiones Fuertes

Deseamos obtener condiciones necesarias y suficientes, es decir condiciones

equivalentes que se puedan comprobar o implementar sobre lo que deseamos del sistema de

control: estabilidad y ejecución. Las condiciones fuertes (necesarias y suficientes) nos dicen

que cualquier controlador que las satisfaga asegura la estabilidad robusta.

Computabilidad

Las condiciones obtenidas del desarrollo teórico deben ser computables, del mismo

modo que el control debe ser representado matemáticamente en una computadora, de modo

de poder ser implementado en la fase final de experimentación.

ROBUSTEZ

Es asegurar la estabilidad a lazo cerrado, ante variaciones en el modelo de lazo

abierto. [7] La robustez está ligada al tipo de incertidumbre en el modelo.

ULA

�

�

CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO

Un control adaptativo es definido como robusto, si este garantiza límites de las

señales, en presencia de los efectos de clases razonables de dinámicas no modeladas y

perturbaciones. [[33]]

MODELO DE REFERENCIA DEL CONTROL ADAPTATIVO

ROBUSTO

En presencia de perturbaciones y/o dinámicas no modeladas, los

esquemas de control adaptativo pueden ser inestables. A estos esquemas se

les asegura robustez modificando las leyes del control adaptativo, con

condiciones necesarias y suficientes que garanticen la estabilidad robusta.

Para aquellos esquemas que no son normalizados, estas modificaciones

garantizan la existencia de una región de atracción en la cual, todas las

señales son limitadas y el error de seguimiento converge a cero, o valores

muy cercanos a cero. Para los esquemas con normalización, la región de

atracción se vuelve el espacio total. Esto se logra, suministrando una señal

normalizada especial, que se usa para limitar todos los términos anteriores

ULA

�

�

surgidos por el error de modelado. Esta limitación debe ser pequeña, en un

rango de frecuencia larga. [3]

Actualmente, se han desarrollado nuevos esquemas de diseño de controles

adaptativos robusto, no sólo para sistemas de una entrada y una salida, sino para sistemas

multivariables. Este y otros avances pueden ser vistos en [11] y [12].

ESQUEMAS NORMALIZADOS

Esta clase de esquemas domina la literatura del control adaptativo, debido a la

simplicidad de su diseño, así como a sus propiedades de robustez en presencia de los

errores del modelado.

Las leyes adaptativas, de este tipo de esquema, son manejadas con una señal de

error normalizada, que lentamente logra la adaptación y mejora la robustez, con respecto a

las incertidumbres de la planta. [3]

Por esta razón, las leyes adaptativas son referidas como leyes adaptativas robustas

normalizadas.

En el esquema de control adaptativo robusto del presente proyecto se utiliza la

normalización de la señal del error.

ESQUEMAS DE UN CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO

ULA

�

�

Cuando algunos de los parámetros de un modelo son desconocidos, el control u de

entrada no puede ser calculado y tampoco una estructura de control puede ser

implementada. Un enfoque, para el caso de parámetros desconocidos, es el uso de las

mismas leyes de control de un sistema con parámetros conocidos. [2] Reemplazando el

controlador de parámetros desconocidos, con sus estimados, obtenidos por medio de la

técnica de identificación de parámetros. Esta aproximación es llamada Equivalencia de

Certidumbre, y ha sido ampliamente usada en el diseño de esquemas de control adaptativo.

Existen dos clase de esquemas de control adaptativo para el controlador de parámetros

estimados, llamados:

�� Control Adaptativo Robusto Directo

�� Control Adaptativo Robusto Indirecto.

Control Adaptativo Robusto Directo

El control de entrada u apropiado, es obtenido con los siguientes pasos [2]:

Paso 1: Derivamos la ley de control que puede conseguir el objetivo del control, cuando la

planta presenta parámetros desconocidos. Este paso demuestra que hay suficiente

flexibilidad estructural en la planta en lazo cerrado, que nos permite hallar el objetivo de

control.

Paso 2: Usamos una ley de control igual como en el paso 1, pero reemplazamos los

parámetros del controlador por sus estimados, generados por la ley adaptativa. Este control

ULA

�

�

obtenido es llamado directo, por la simple razón de que el control de parámetros es hallado

directamente, sin una información explícita sobre los parámetros de la planta.

Paso 3: Analizamos que el esquema de control adaptativo obtenido en el paso 2 y

mostramos que el objetivo de control se logra.

Control Adaptativo Robusto Indirecto

En el control adaptativo robusto directo, el control para las plantas con parámetros

desconocidos se realiza por estimación directa. Un método alternativo, es la estimación de

parámetros de la planta en línea y usándolos para el cálculo del controlador en cada tiempo

t. [2] El esquema que se deriva con este método es conocido, normalmente, como control

adaptativo indirecto, porque la evaluación del controlador de parámetros es desarrollado

indirectamente con el modelo de la planta estimada.

Paso 1: Derivamos una ley de control que puede ser usada para obtener el objetivo de

control, como si la planta tuviera parámetros conocidos.

Paso 2: Proponemos una ley de control como en el paso 1, pero con un controlador de

parámetros calculado para cada tiempo t, con los parámetros estimados de la planta,

generados con la ley adaptativa.

Paso 3: Analizamos el esquema de control obtenido en el paso 2 y mostramos que el

objetivo de control se logra.

ULA

�

�

En la literatura sobre el control adaptativo, los esquemas indirectos más comunes

son: El esquema de control adaptativo por colocación de polos y el esquema de control

adaptativo cuadrático lineal (LQ), [2].

�

ULA

�

�

CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII

EESSQQUUEEMMAA DDEE CCOONNTTRROOLL AADDAAPPTTAATTIIVVOO RROOBBUUSSTTOO

�

Introducción

En este capítulo se muestra un esquema de control adaptativo robusto normalizado,

para el seguimiento de sistemas no lineales inciertos.

Un esquema de control adaptativo no lineal puede promover inestabilidades del

sistema y fenómenos de fluctuación de parámetros. Para eliminar estos problemas del

control adaptativo, éste se hace robusto. La mayor atención de este esbozo es encontrar la

solución al problema de lograr el seguimiento de la función deseada, por la salida, para

sistemas no lineales que presentan los dos tipos de incertidumbre: paramétrica (parámetros

constantes desconocidos), y no paramétrica (dinámicas no modeladas), con una

linealización realimentada de entrada-salida exacta.

�

ULA

�

�

2.1 ESQUEMA DE LINEALIZACION POR REALIMENTACION

EXACTA

En este trabajo consideramos sistemas no lineales de una entrada y una

salida con incertidumbre, de la forma:

)(

),(),(

xhy

uxgxfx

�

�� ��� (1)

donde 0),( ��xg

nx �� , es el vector de estados.

��u , es el control de entrada.

��y , es la salida.

p��� , es el vector de parámetros desconocidos.

)(xh es una función no lineal (campo suave) ���n .

f y g son campos vectoriales suaves.

Se asume que el vector de parámetros desconocidos es constante, es decir, �

aparece linealmente, mientras el campo vectorial f es afectado por la dinámica no modelada

( f� ).

Los campos vectoriales f y g quedan entonces:

ULA

�

�

�

�

�

�

�

���

p

iii

p

iii

xgxg

xfxfxf

1

1

)(),(

)()(),(

��

��

(2)

con i� los parámetros desconocidos constantes y ii gf , funciones no lineales de campos

suaves ���n , i = 1,...,p.

2.1.1 OBJETIVO

�

El objetivo principal es diseñar un control no lineal realimentado, para obligar a la

salida y(t) a seguir aproximadamente la señal deseada o de referencia )(tym y, además debe

satisfacer:

myi

my ��)( , i = 0,1,...,r (3)

donde 0�my� y r es el grado relativo.

La ley de control y la ley de actualización de parámetro deben diseñarse en un

dominio local de los estados x y los parámetros estimados. Con esta condición, el campo

vectorial f de la ecuación (2) queda como:

��

�p

iii xfxf

1

)(ˆ)ˆ,( ��

ULA

�

�

Además se supone que 0)( �� exf y 0)( �exh , donde ex es el punto de equilibrio

para el dominio local requerido. Entonces con �� ,ˆ y el Teorema de Frobenius, se define el

grado relativo y el difeomorfismo local para (1) en )()( exUU �� � � , como sigue:

Grado Relativo:

0)(

20,0)(

1

)ˆ,()ˆ,(

)ˆ,()ˆ,(

�

����

� xhLL

rixhLL

r

xfxg

i

xfxg

��

�� (4)

Difeomorfismo:

� �

T

nr

xz

i

xf

TrixhL

i

���

�

�

���

�

�

���

� ����

�

�,...,,...,1,)(,ˆ 1

)ˆ,(ˆ

1

)ˆ,(�����

(5)

Donde )()( xbL xa denota la derivada direccional o derivada de Lie de la función escalar

suave )(xb , respecto al campo vectorial suave )(xa , [VER APÉNDICE B]

Con los supuestos anteriores, la dinámica normal basada en (4) y (5) está dada

por el teorema siguiente:

TEOREMA 2.1

ULA

�

�

Si existe una región )()( exUU �� � � , tal que las propiedades (4) y (5) se satisfacen,

el sistema (1) realimentado de entrada-salida es linealizable exactamente, es decir:

1̂

),ˆ(

),ˆ,(ˆˆˆ

�

���

�����

�

�

��������

y

q

fxMWvBA ll

�

��

(6)

que no es otra que la forma canónica normal [VER APENDICE B]

Donde � �ll BA , adopta la forma canónica del controlador de Brunovsky [VER

APENDICE B]

�� ˆ��� , �

�

ˆ

ˆ

�

��M

� � TrwwwW .

21 ,...,,�

� �� �,)(ˆ)ˆ,(1

1

)ˆ,()(��

����p

j

i

xfxfjji xhLLxwj �

��� i = 1,...,r-1

� �� ���

�� ����p

j

r

xfxgr

xfxfjjr xhLuLxhLLuxwjj

1

1

)ˆ,()(1

)ˆ,()( )()(ˆ)ˆ,,(��

���

� � Trfx .

21 ,...,,),ˆ,( ����� ������

),(),ˆ,( 1

)ˆ,(xhLLfx k

xffk�

����

��� k = 1,...,r

� �),ˆ(ˆ),ˆ(ˆ

1��

��Bv

Au �� (7)

Donde ),(),ˆ(ˆ 1

)ˆ,()ˆ,(xhLLA r

xfxg

����

�� )(),ˆ(ˆ)ˆ,(

xhLB r

xf ��� �

DEMOSTRACION

ULA

�

�

Definiendo a ��

�p

iii xfxf

1

)(ˆ)ˆ,( �� y usando las condiciones de (4), el siguiente

resultado es obtenido por diferenciación de y con respecto a t:

� �� �����������

�

12

)()(ˆ)(ˆ)(

1)(

ˆ

)ˆ,(1

��

����

�

�

�

���� � xhLxhLxhL xf

p

jxfjjxf j

(8)

El siguiente paso, sin embargo, por ser )(ˆ t� una función de tiempo, 2�̂�

es

dependiente de )(ˆ t� y también de la dinámica no modelada f� , es decir:

� �� ��� ��� ��

�

�����

�

23

)(ˆˆ

ˆ)(ˆ)(ˆ

)ˆ,()(1

2)ˆ,()(

ˆ

2

)ˆ,(2

�

��

�

��

�

����

�

�

�

� ��

����� xhLLxhLLxhL

xfxf

p

jxfxfjjxf j

(9)

Continuando esta operación de diferenciación sobre r, obtenemos de

0)(1

)ˆ,()ˆ,(�� xhLL r

xfxg �� en (4) que:

��

� ����p

jjj

r

xfxg

r

xfr uxhLLxhL1

1

)ˆ,()ˆ,()ˆ,()ˆ()()(ˆ ���

���

�

� �)()( 1

)ˆ,()(1

)ˆ,()( xhLuLxhLL r

xfxgr

xfxf jj

�� ���

�� ��� ��

�

r

xhLL r

xfxfr

�

��

�

�

�

�

��

�

�� )(ˆ

ˆ

ˆ1

)ˆ,()( (10)

Definimos ),(),ˆ(ˆ 1

)ˆ,()ˆ,(xhLLA r

xfxg

����

�� )(),ˆ(ˆ)ˆ,(

xhLB r

xf ��� � y usando la

transformación de la entrada (7), la dinámica normal (6) es obtenida finalmente.

ULA

�

�

OBSERVACION

El nuevo sistema incierto �� satisface la suposición de que 0)( �� ex� , de aquí

0)( �� exf . Si existen dos constantes positivas 1k y 2k tal que �̂1kx � y

xkxfx 2))(,ˆ,( ��� �� para todo )(ˆ �� �U� .

��� ˆ))(,ˆ,( 212 kkxkxfx ���� (11)

Ya que �̂ es un vector de variables inobservables, incluyendo a �̂ , estimamos ahora

a �̂ con un observador de estado, con el nuevo estado estimado � : [VER APENDICE A]

)0(ˆ)0(

)ˆ(ˆˆ

��

�����

�

����� AMvBA ll

�� (12)

dondeA es la matriz compañera, [VER APENDICE A], con coeficientes constantes i� ,

i = 0,...,p escogidos de manera que 01

1 ... �� ��� �

�

rr

r SS sea un polinomio Hurwitz

(Todos los polos del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo).

Esto implica que la dinámica del error es:

������ WsAs� (13)

donde �� ˆ��s . Como la estabilidad de (13) no puede asegurarse, se debe presentar la

dinámica del error normalizada, con una señal normal dada por: 2

2 ˆ1 ���m de �̂ . La

dinámica normalizada del error será entonces:

ULA

�

�

������ WsAs� (14)

donde m

ss � ,

m

WW � y

m

��

��� . Entonces para diseñar la ley adaptativa robusta

que establece la estabilidad con respecto a �� , la función de Lyapunov siguiente es

usada:

22),(

1������

�TT sPssV (15)

TEOREMA 2.2

Si se usa la ley adaptativa robusta

�� ˆˆ LsPW T ������

(16)

donde 0�� TPP con maxP � , la ecuación de Lyapunov IAPPAT ��� , 0���� T

es la matriz de ganancia adaptativa de dimensión p y L es una matriz que tiene señales

escalares 0)( �twi en la diagonal, i = 1,...,p, todos los estados en (13) y (14) se hacen

estables.

DEMOSTRACION

La opción más simple de )(twi es:

,)( svtw ii � i = 1,...,p

Donde 0�iv es una constante de diseño. Entonces la primera derivada respecto al

tiempo de ),( �sV , a lo largo de las trayectorias de (14) está dada por:

ULA

�

�

���������� � �� 1

2

1 TTTT PsWPsssV �

� ���� TTmax vvss �������� 2

2

1 (18)

Esto implica que para � ���� ���� maxTv

vVV 2

10 , 0�V� es decir, � , �̂ , s

son globalmente exponencialmente estables.

El seguimiento de la salida adaptativa robusta es finalmente alcanzado por la

colocación de polos mediante el control:

)(...)( 10)1(

1)( ���� ������ �

� mrr

mrr

m yyyv (19)

Suponiendo que la dinámica de los ceros ),0( �q es exponencialmente localmente

estable.

Este es el esquema (metodología) usado en el presente proyecto, del cual

presentamos dos ejemplos o aplicaciones para dos tipos de sistemas en el capítulo siguiente.

ULA

�

�

�

CCAAPPÍÍ TTUULL OO II II II

AAPPLL II CCAACCII OONNEESS YY AANNAALL II SSII SS DDEE RREESSUULLTTAADDOOSS

�

Introducción

En este capítulo presentaremos dos ejemplos de sistemas no lineales inciertos, a los

cuales se les diseñará una ley de control adaptativo robusto. Utilizaremos el esquema

planteado en el capítulo anterior, tratando de esta manera de obligar a la salida de los

sistemas a seguir a la función deseada para cada uno de los ejemplos.

�

ULA

�

�

EJEMPLO 1. “CONTROL DE UN ROBOT RIGIDO”

Para mostrar la ejecución de un esquema de control no lineal realimentado, se

considera el siguiente sistema con una simple articulación de un robot rígido, con el

siguiente modelo en espacio de estado

1

12

21

1)cos(

xy

fuI

xx

xx

�

����

�

��

�

(1)

donde � es un parámetro desconocido. Se asume que su valor verdadero es 1. I es la

inercia del sistema. f� es la dinámica no modelada, correspondiente a

)cos()300cos(3.0 1xtf �� , que es causada por el parámetro de oscilación )300cos(3.0 t . El

objetivo del control es posicionar la articulación y(t) en una posición deseada:

� �42sen

4)(

��� ttym (2)

que es especificada por el movimiento del sistema robot.

Siguiendo los pasos del esquema descrito en el capítulo anterior hallamos la

solución.

ULA

�

�

3.1.1 PUNTO DE EQUILIBRIO

)cos(

02

1

XIU

X

XX

���

�

�

� �)cos(,0, XIXxe ���

3.1.2 CAMPOS VECTORIALES

�

�

��

���

fx

xxf

)cos(),(

1

2

��

��

���

�

Ixg 1

0),( � �

��

�

)cos(ˆ)ˆ,(1

2

x

xxf

��

�

��

���

ff

0

1)(

0)()(

xxh

xhxf ee

�

��� �

��

�

)cos(

0)(

1xxf

3.1.3 GRADO RELATIVO

�

0)(

20,0)(

1

)ˆ,()ˆ,(

)ˆ,()ˆ,(

�

����

� xhLL

rixhLL

r

xfxg

i

xfxg

��

��

Para i = 0

� � 01

0.01)ˆ,(

)()(

)ˆ,(��

��

�

�

��

Ixg

x

xhxhL

xg�

�

ULA

�

�

Para i = 1

)ˆ,()(

)( )ˆ,(

)ˆ,()ˆ,(�

�

��xg

x

xhLxhLL xf

xfxg �

��

� � 21

2

)ˆ,( )cos(ˆ.01)ˆ,()(

)( xx

xxf

x

xhxhL

xf��

��

�

�

��

��

�

Entonces

� � 01

10

.10)()ˆ,()ˆ,(

����

���

�

IIxhLL

xfxg ��

Como en i = 1, la condición da diferente de cero, decimos que el grado relativo es:

nrrri �������� 2111 , donde n es el grado del sistema.

3.1.4 FORMA CANONICA NORMAL

� Después de aplicar la transformación de entrada – salida linealizante obtenemos

�

1̂

),ˆ(

),ˆ,(ˆˆˆ

�

���

�����

�

�

��������

y

q

fxMWvBA ll

�

��

�

��

���

21

10

kkAl �

��

�

1

0lB

� � TwwW .21,�

� �� �,)(ˆ)ˆ,(1

1

)ˆ,()(��

����p

j

i

xfxfjji xhLLxwj �

��� i = 1

ULA

�

�

� � � � 0)cos(

0.01)(

)()ˆ()()ˆ()ˆ,(

11)(1 1

��

��

�

�

������

xxf

x

xhxhLxw xf �����

� �)()()ˆ()ˆ,,()ˆ,()()ˆ,()(2 11

xhLuLxhLLuxwxfxgxfxf ��

��� ����

��

��

�

�

��

�

���� )(

)()(

)()ˆ()ˆ,,( 1

)ˆ,(1

)ˆ,(2 xg

x

xhLuxf

x

xhLuxw xfxf ��

���

� � � � )cos()ˆ(0

0.10

)cos(

0.10)ˆ()ˆ,,( 1

12 xu

xuxw ����� ���

��

�

��

��

��

���

��

��

��

)cos(

0

1xW

� � Tfx .21,),ˆ,( ���� �����

2,1),(),ˆ,( 1

)ˆ,(���� �

�kxhLLfx k

xffk ���

� � 00

.01)(

)(),ˆ,(1 ��

��

���

�

�����

� ff

x

xhxhLfx f��

� � ff

fx

xhLfx xf

���

��

���

�

����

0.10

)(),ˆ,( )ˆ,(

2�

��

�

��

����

ffx

0),ˆ,( ��

0�iM , porque tanto 11ˆ x�� como 22

ˆ x�� no dependen de �̂ .

0ˆ1̂

1 ��

��

�

�M 0

ˆ

ˆ2

2 ��

��

�

�M

ULA

�

�

El sistema es transformado a:

1

122112

21

ˆ

)cos()ˆ(ˆˆˆ

ˆˆ

�

�����

��

�

��������

�

y

fxvkk�

�

La Forma Canónica normal es:

1

12

21

ˆ

)ˆcos()ˆ()ˆcos(ˆˆ

ˆˆ

�

������

��

�

������

�

y

fv�

�

Transformación del Control de Entrada:

� �),ˆ(ˆ),ˆ(ˆ

1��

��Bv

Au ��

IxhLLA r

xfxg

1)(),ˆ(ˆ 1

)ˆ,()ˆ,(�� �

����

� � )cos(ˆ)cos(ˆ.10)ˆ,(

)()(),ˆ(ˆ

11

2)ˆ,(2

)ˆ,(x

x

xxf

x

xhLxhLB xf

xf�

����

�

���

��

�

�

���

� �)ˆcos(ˆ1���� vIu

ULA

�

�

3.1.5 OBSERVADORES

Esta parte del ejemplo se divide en dos casos, ya que se calculan dos observadores,

el primer caso lo llamaremos Observador 1, y es exactamente igual al propuesto en el

esquema. El segundo caso se llamará: Observador 2, y es el observador de orden completo

de Luenberger.

La diferencia entre ambos observadores radica en la matriz compañera a utilizar, en

el primer caso se utiliza la matriz compañera de controlabilidad, quedando el observador de

estado en función de los errores de estados que no vemos en la salida 2�̂ . El segundo caso,

el observador de Luenberger utiliza la matriz compañera de observabilidad y dicho

observador queda en función de los errores de estados que se ven en la salida 1̂� , caso que

es más lógico. Por esto se realizan los dos observadores para luego compararlos y juzgar

según sus respuestas en las simulaciones cual es mejor.

3.1.5.1 Observador 1

)0(ˆ)0(

)ˆ(ˆˆ

��

�����

�

����� AMvBA ll

��

�

��

�

00

10lA �

��

�

1

0lB 0�M �

��

���

21

10

��A

1

2221112

2221

)ˆ()ˆ(

)ˆ(ˆ

�

�������

����

�

�����

���

y

v�

�

221 ����

ULA

�

�

3.1.5.1.1 DINAMICA DEL ERROR

�

������ WsAs�

�

��

����

��

��

��

�

��

���

fs

ss

0

)ˆcos(

0.

22

10

12

1

��

Error Normalizado

��

���

���

��

���

�

���

���

�

�

��

���

mf

mms

ms

s0

)ˆcos(0

.22

101

2

1

��

donde 2

2 ˆ1 ���m , �� ˆ��s , 22

21

ˆˆ ��� ��

3.1.5.1.2 FUNCION DE LYAPUNOV

Usando

22),(

1������

�TT sPssV con

)ˆ(

11

��

�

���

��

T

�

��

2

)ˆ(

2),(

2����

sPssV

T

y )ˆ()ˆ(

22),( �

�

�� ���� �

�����

sPssPssV

TT

con la ecuación de Lyapunov IAPPAT ��� hallamos P:

�

��

�

���

��

���

��

��

��

�

��

�

�

10

01

22

10..

21

20

2221

1211

2221

1211

pp

pp

pp

pp

ULA

�

�

Tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas despejando e

igualando, obtenemos los valores de los ijp .

4

511 �p ,

4

112 �p ,

4

121 �p ,

8

322 �p

Llegamos así, a la matriz 0�P (Definida Positiva) y ��

��

�

��

83

41

41

45

TPP .

3.1.5.1.3 LEY ADAPTATIVA ROBUSTA

Encontramos la matriz que tiene señales escalares 0)( �twi en la diagonal:

������

������

�

�

pw

w

w

L

..00

.....

.....

0..0

0..0

2

1

22

21111 )( ssvsvtwL ���� 01 �v

La ley adaptativa robusta es:

�� ˆˆ LsPW T ������

��

���

������ ��

�� ˆ)ˆ(cos

8

3

4

)ˆ(cos.ˆ 2

22

112111 ssvs

s�

Como 1̂� es la salida y 1� el estimado y además )0()0(ˆ11 �� � suponemos:

01̂11 ��� ��s

Entonces

�

��

���� ��� ˆ)ˆ(cos

8

3.ˆ

2121 svs�

ULA

�

�

donde m

s 222

�̂� �� ,

m

)ˆcos()ˆ(cos 1

1

�� � , � es la ganancia adaptativa.

2ˆ1 ���m

3.1.5.1.4 EL CONTROL v

)(...)( 10)1(

1)(

���� ������ �

� mrr

mrr

m yyyv

� �42sen

4)(

��� ttym � �ttym sen

4)(

�� � �ttym cos

4)(

���

� � � � � � ��

���

����

�

���

��� 1021 cos

44sen

4cos

4�

��

�

tttv , 210 ����

� � � � � �1222

sen2

cos4

��

������ ttv

La entrada realimentada u es:

� � � � � � �

��

������� )ˆcos(ˆ2

2sen

2cos

4 112 ����

ttIu

�

�

3.1.5.2 Observador 2

)0(ˆ)0(

)ˆ(ˆˆ

��

�����

�

����� AMvBA ll

�������������������

�

��

�

00

10lA � � �

��

�

1

0lB � 0�M �� �

��

�

��

0

1

2

1

�

�A �

ULA

�

�

1

1122

2211121

)ˆ(

)ˆ()ˆ(ˆ

�

����

�������

�

���

�����

y

v�

�

� � 221 ���� �

3.1.5.2.1 DINAMICA DEL ERROR

������ WsAs� �

�

��

����

��

��

��

�

��

�

��

fs

ss

0

)ˆcos(

0.

0

1

12

1

2

1

��

�� ����

Error Normalizado

��

���

���

��

���

�

���

���

�

�

��

�

��

mf

mms

ms

s0

)ˆcos(0

.0

11

2

1

2

1�

�

�� ����

3.1.5.2.2 FUNCION DE LYAPUNOV

Con la ecuación de Lyapunov IAPPAT ��� , hallamos P.

�

��

�

���

��

�

��

��

��

��

�

��

��

10

01

0

1..

01 2

1

2221

1211

2221

121121

�

���

pp

pp

pp

pp

obtenemos

1

211 2

1

�

� ��p ,

2

112 ��p ,

2

121 ��p ,

21

221

22 2

1

��

�� ���p

����

����

�

���

��

��

21

221

1

2

2

1

2

12

1

2

1

��

��

�

�

TPP

ULA

�

�

Para que 0�P es necesario que:

02

1

1

2 ��

�

� y 0

4

1

2

1

2

1

21

221

1

2 �����

����

���

��

��

�

�

3.1.5.2.3 LEY ADAPTATIVA ROBUSTA

�� ˆˆ LsPW T ������

��

���

��

������� ��

��

���� ˆ)ˆ(cos

2

1

2

)ˆ(cos.ˆ 2

22

112121

22111 ssvs

s�

Usando la misma suposición anterior: 01̂11 ��� ��s

�

��

�

����� ��

��

��� ˆ)ˆ(cos

2

1.ˆ

212121

221 svs

�

3.1.5.2.4 EL CONTROL v

��

���

����

�

���

��� 1021 )cos(

44)sen(

4)cos(

4�

��

�

tttv 2011 , ���� ��

��

���

���

�

���

���� 12212 4

)sen(4

)cos()1(4

�

��

��

ttv

La entrada realimentada u es:

�

��

��

�

���

���

�

���

���� )ˆcos(ˆ

4)sen(

4)cos()1(

4 112212 ���

��

��

ttIu

ULA

�

�

Los resultados de las simulaciones se aprecian en las figuras siguientes:

RESPUESTAS DE LAS SIMULACIONES:

1. Para el Observador 1:

Estados con sus Estimados. Parámetro con su Estimado. Control.

En la siguiente figura se observa: en la parte superior se presentan los estados

verdaderos contra los estados estimados, se puede apreciar que son prácticamente iguales.

Abajo a la izquierda tenemos la respuesta del valor verdadero del parámetro desconocido y

el valor del parámetro estimado que en función del tiempo alcanza el valor verdadero.

Finalmente, aparece la ley de control diseñada (u) para conseguir el objetivo del proyecto.

ULA

�

�

Seguimiento de la Función Deseada por la Salida

En ésta gráfica se observa que la salida y(t) sigue el comportamiento de la función

que deseamos )(tym , este seguimiento como se ve no es inmediato, pero en un tiempo de

simulación igual a 70 segundos, vemos que prácticamente las funciones se acoplan o

simplemente la diferencia entre ellas tiende a cero.

Errores

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5

1

1.5

ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(1),(rojo)

t seg.

y

ULA

�

�

Función Deseada y la Salida (ym-y). Estados: (x(3) – x(1)) y (x(4) – x(2))

En esta gráfica se presentan los errores entre: la salida del sistema y la función

deseada, los estados y sus estimados. En todas se puede apreciar que tienden a cero en un

tiempo regular como se espera.

Control u. Respuestas en Transitorio y Estacionario

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)

erro

r

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1Error entre x(3)(estimado) y x(1)

e1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1Error entre x(4) (estimado) y x(2)

e2

ULA

�

�

En ésta figura presentamos el control en transitorio y en estacionario, gracias a éste

control conseguimos el comportamiento que deseamos del robot rígido, es decir sigue la

posición deseada.

Respuestas de �̂ en Transitorio y Estacionario.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05Control en Transitorio

u

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Control en Estacionario

t seg.

u

ULA

�

�

En la gráfica siguiente se ve el trabajo de la ley de actualización de parámetro, el tita

estimado en transitorio hasta un tiempo igual a 80 segundos y el estacionario, que es

cuando se aproxima a su valor verdadero.

2. Para el Observador 2:

Con el mismo orden anterior se presentan ahora las respuestas surgidas de la

simulación del segundo caso del problema del robot rígido.

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta de Tita Estimada en Transitorio

tita

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Respuesta de Tita Estimada en Estacionario

t seg.

tita

ULA

�

�

Estados con sus Estimados. Parámetro con su Estimado. Control.

En las gráficas siguientes se observa que los estados y sus estimados presentan una

mejor similitud. El parámetro estimado alcanza rápidamente el valor verdadero. El control

u tiene un comportamiento oscilante, y con él se logra el seguimiento.

Seguimiento de la Función Deseada por la Salida

ULA

�

�

En la figura siguiente se observa el seguimiento deseado, en éste caso vemos que se

cumple casi de inmediato el acoplamiento de las dos señales, (10 segundos

aproximadamente). Esto demuestra que el observador diseñado para éste caso trabaja mejor

que el anterior, pues la respuesta es más rápida.

Errores

Función Deseada y la Salida (ym-y). Estados: (x(3) – x(1)) y (x(4) – x(2))

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.5

1

1.5

2

2.5ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(1),(rojo)

t seg.

y

ULA

�

�

Aquí se aprecian los errores entre la función deseada y la salida y, también entre los

estados y sus estimados. Aquí los errores tienden rápidamente a cero, indicando que los

estimados reportados por el observador de estado fueron bien diseñados, mejor que en el

caso 1.

Control u. Respuestas en Transitorio y Estacionario

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)

erro

r

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1Error entre x(3)(estimado) y x(1)

e1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1Error entre x(4) (estimado) y x(2)

e2

ULA

�

�

En ésta figura se aprecia la respuesta del control diseñado tanto en transitorio como

en estacionario, con este control se logra el objetivo del esquema. El control sale de su

transitorio más rápido que en el primer caso como se puede observar.

Respuestas de �̂ en Transitorio y Estacionario.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05Control en Transitorio

u

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Control en Estacionario

t seg.

u

ULA

�

�

En ésta figura se muestra el comportamiento del parámetro estimado, el cual se

observa que llega a su estacionario en un tiempo mucho más corto que en el primer caso,

por otro lado las variaciones de la señal son menores en éste caso.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Respuesta de Tita Estimada en Transitorio

tita

20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2Respuesta de Tita Estimada en Estacionario

t seg.

tita

ULA

�

�

AANNAALL II SSII SS DDEE RREESSUULL TTAADDOOSS

Con las simulaciones realizadas con el Programa Matlab, se observa que con la ley

adaptativa robusta diseñada, la salida sigue la función deseada.

Para dichas simulaciones se tomaron los parámetros de diseño siguientes:

3

8,3.01 ���v , 01.0�I , 221 ����

Los parámetros 1� y 2� del Observador 2, se tomaron con el mismo valor de los

parámetros del Observador 1, para ver realmente si existía diferencia en el momento de

compararlos.

Los errores entre los estados y los estimados, con el Observador 2, tienden más

rápidamente a cero, al igual que el error entre la salida y la función deseada. Esto se debe a

que el seguimiento es más temprano en el Observador 2, aproximadamente 20 segundos, y

en el Observador 1, aproximadamente 70 segundos.

La ley de actualización de parámetro en el Observador 2 presenta menos variaciones

y toma más rápidamente el valor verdadero.

En conclusión el Observador 2 tiene mejor tiempo de ejecución que el Observador

1.

Los programas realizados en Matlab pueden ser vistos en el ANEXO 1.

ULA

�

�

3.2. EJEMPLO 2. “DEPOSITO CON REGULACION DE

TEMPERATURA”

�

�

�

�

Sea un depósito de base cuadrada con lados 0.5 metros de longitud interior, que es

alimentado con un caudal 1q de un líquido a temperatura constante de CT º301 � y tiene

una salida inferior, por la que fluye un caudal sq a la temperatura T, que se supone

homogénea para todo el líquido del depósito.[1]

El depósito tiene un calentador de tipo resistivo y representa las pérdidas caloríficas

que se suponen proporcionales a la diferencia de temperatura eTT � , y la superficie lateral.

La base está suficientemente aislada y se suponen despreciables las pérdidas por la

superficie del líquido.

ULA

�

�

La temperatura exterior eT se supone constante e igual a 20ºC y la resistencia R del

calentador es de 0.24 � .

Con hx �1 y Tx �2 las variables de estado, tomando como parámetro

desconocido � que representa la constante de transmisión de calor de las paredes del

depósito, el control 1qu � , la salida 2xy � y la dinámica no modelada f� :

� �

2

1

22

2

1

2

111

xy

xSC

uxCSTxRVTCu

x

fS

xkux

Be

eLee

B

�

�����

���

�

�

����

�

donde � es el parámetro desconocido, y se asume que su valor verdadero es 260.41.

1k , eC , BS , 1T , eT , sq , � , LS , R y V son constantes conocidas.

f� es la dinámica no modelada, la cual está representada en éste caso por:

)10sen(01.0 tf ��

El objetivo del control es hacer llegar la temperatura )(ty a un valor deseado:

Transferir suavemente la temperatura desde un cierto valor inicial a otro valor final

deseado:

� ���

��

�

��

�

�

��

�

�

���

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

����

5

6

2

321

5

00 ...)(if

i

if

i

if

i

if

ifm tt

ttr

tt

ttr

tt

ttrr

tt

ttxxxty

donde 450 �x , 40�fx , 2521 �r , 10502 �r , 18003 �r , 15754 �r , 7005 �r , 1266 �r

Siguiendo la metodología del capítulo anterior obtenemos la solución.

ULA

�

�

3.2.1 PUNTO DE EQUILIBRIO

�

UU

UCS

STRVTCU

X

k

UX

eL

Lee

�

�

���

���

����

�

��

��2

1

2

2

11

���

�

�

���

�

�

��

���

����

� U

UCS

STRVTCU

k

Ux

eL

Lee

e ,,

2

12

1 ��

��

3.2.2 CAMPOS VECTORIALES

�

�

� �

�����

�����

�

��

���

�

1

2

2

11

),(

xSC

STxRV

fS

xk

xf

Be

Le

B

�

��

���

���

�

��

1

21 )(

1

),(

xS

xTS

xg

B

B�

� �

�����

�����

�

��

�

�

1

2

2

11

ˆ)ˆ,(

xSC

STxRV

S

xk

xf

Be

Le

B

�

��

�

��

���

0

ff

2)(

0)()(

xxh

xhxf ee

�

��� � �

��

��

�

���

1

2

0)(

xSC

STxxf

Be

Le

�

ULA

�

�

3.2.3 GRADO RELATIVO

�

0)(

20,0)(

1

)ˆ,()ˆ,(

)ˆ,()ˆ,(

�

����

� xhLL

rixhLL

r

xfxg

i

xfxg

��

��

Para i = 0

� � 0)(

)(

1

.10)ˆ,()(

)(1

21

1

21)ˆ,(�

��

���

���

�

���

��

xS

xT

xS

xTS

xgx

xhxhL

B

B

B

xg�

�

Como en 0�i , la condición da diferente de cero decimos que el grado relativo de

este sistema es: nrrri �������� 1101 . Esto nos indica que en la linealización de

este sistema existe una dinámica remanente, observemos:

3.2.4 FORMA CANONICA NORMAL

�

1̂

),ˆ(

),ˆ,(ˆˆˆ

�

���

�����

�

�

��������

y

q

fxMWvBA ll

�

��

1kAl �� pBl �

� � 1.

1 wwW T��

ULA

�

�

� �)()()ˆ()ˆ,,( )()(1 1xhuLxhLuxw xgxf ���� ���

�

��

�

��

�

���� 0

)()(

)()ˆ()ˆ,,( 11 x

xhuxf

x

xhuxw ���

� � � � � �

1

2

1

21 )ˆ(0

.10)ˆ()ˆ,,(xSC

STx

xSC

STxuxwBe

Le

Be

Le�

��

�

����

�����

��

�

��

��

�

�����

� �

1

2)ˆ(xSC

STxW

Be

Le

���

�����

� � 1.

1),ˆ,( ���� ������Tfx

1),(),ˆ,( 1

)ˆ,(���� �

�kxhLLfx k

xffk ���

� � 00

.10)(

)(),ˆ,(1 ��

��

���

�

�����

�

ff

x

xhxhLfx f��

0),ˆ,( ��� fx ��

0�M , porque �̂ no depende de �̂ .

Entonces:

� �

�

���

�����

ˆ

),ˆ(

)ˆ(ˆˆ1

21

�

�

������

y

q

xSC

STxpvk

Be

Le

�

�

FUNCION REMANENTE

De ))ˆ((),ˆ( 12)ˆ,(

������

����xf

Lq�

ULA

�

�

22

21

1

2 xx

xx

���

��

�

� ��

� �

���

�

�

���

�

����

�

��

��

�

�

��

�

���

�

�

1

22

2

1

2

211

1

2

xSC

uxCSTxRVTCu

xf

S

xk

S

u

x Be

eLee

BB �

�����

0)(1

1

21

2

2

1

2 ����

����

�

�

����

�

����

�

�

xS

xT

xSx BB

�� (1)

Proponemos una función que cumpla con (1):

21

2212 )( xxT ��� ��

Prueba

2211

1

2 )(2 xTxx

���

�� y 2

1212

2 )(2 xxTx

����

��

Sustituimos estas derivadas parciales en (1)

0)(

)(21

)(21

212121

2211 ���

�

����

�����

�

����

�

xS

xTxxT

SxTx

BB

La función 2� propuesta, cumple lo requerido.

Conociendo que:

)ˆ(

ˆ

1

1

2

�

�

�

��

�

Tx

x

hallamos��

ULA

�

�

� �� �

�����

�����

�

��

�

�����

���

1

2

2

11

21211

221)ˆ,( ˆ.)(2)(2)ˆ,(

)()(

xSC

STxRV

S

xk

xxTxxTxfx

xxL

Be

Le

B

xf

�

��

���

��

� �

��

��

�

�����

���

e

Le

B C

STxRV

xTxkS

xxT

�

��

2

2

2111121

ˆ)(

)(2�

Cambiamos variables

� ���

��

�

���

�

���

e

Le

B C

STRV

T

Tk

S �

��

�

����

ˆˆ

)ˆ(

)ˆ(22

1

14

1�

La Forma Canónica normal es:

� � � �

� � � �

�

�

���

�

��

�

����

�

����

�

��

��

��

ˆ

ˆ)ˆ(

ˆˆ

)ˆ(

)ˆ(2

ˆ)ˆ()ˆ(

ˆˆ)ˆ(ˆ

2

1

14

1

1

21

�

��

��

�

�

����

��

���

��

���

�����

��

��

y

C

ST

C

STRV

T

Tk

S

C

STvT

C

ST

CR

V

S

T

e

Le

e

Le

B

e

Le

e

Le

eB

�

�

Transformación del Control de Entrada:

� �),ˆ(ˆ),ˆ(ˆ

1��

��Bv

Au ��

ULA

�

�

1

211

)ˆ,()ˆ,(

)()(),ˆ(ˆ

xS

xTxhLLA

B

r

xfxg

��� �

����

� �� �

� �

1

2

1

2

1

2

2

11

)ˆ,(

ˆ

ˆ.10)ˆ,()(

)(),ˆ(ˆxSC

STx

xSCR

V

xSC

STxRV

S

xk

xfx

xhxhLB

Be

Le

Be

Be

Le

B

xf �

�

�

�

����

�

���

�����

�����

�

��

�

��

���

� �)ˆ(

ˆˆ

)ˆ()ˆ( 11

2

21 ��

��

���

�

�

��

��

��

TC

ST

TCR

Vv

T

Su

e

Le

e

B

3.2.5 OBSERVADORES

En esta parte del ejemplo se propone un observador de orden reducido, es decir, solo

se estima el estado que no se ve en la salida.

)( 11111

1 xxS

xk

S

ux

BB

���� ��

En la transformación del sistema será:

��

�

�

�

��

�

��

���

ˆ

)()ˆ()(

ˆ

11

1

1

41

��

��

�

�

��

�

��

��

���

��

y

TTTS

k

S

u

BB

�

�

donde �� es una función no lineal de la transformación de 1x� en �� .

ULA

�

�

El observador diseñado se realiza sobre el sistema original, debido a las no

linealidades presentes en las ecuaciones no permitiendo un despeje lineal de la

transformación del estado 1x en � .

3.2.6 DINAMICA DEL ERROR

�

������ WsAs�

� �1

1

ˆ)ˆ(

xSC

STss

Be

Le

�

����

������

Error Normalizado

� �� ���

�����

Be

Le

SCm

STTss

ˆˆ)ˆ( 1

1

�������

donde m

ss � ,

22 ˆ1 ���m

3.2.7 FUNCION DE LYAPUNOV

Usando

22),(

1������

�TT sPssV con

T

T

ss �

�����

���

)ˆ(

11

��

�

ULA

�

�

�

��

2

)ˆ(

2),(

22 ����

PssV y )ˆ(

)ˆ(),( �

�

�� ��� ��

��� sPssV

Hallamos P con la ecuación de Lyapunov IAPPAT ���

02

1

1

1

11

1

���

����

��

T

T

PP

PP

AA

�

��

�

3.2.8 LEY ADAPTATIVA ROBUSTA

Encontramos la matriz que tiene señales escalares 0)( �twi en la diagonal:

������

������

�

�

pw

w

w

L

..00

.....

.....

0..0

0..0

2

1

22

21111 )( ssvsvtwL ���� 01 �v

donde 01 �v y es una constante de diseño.

La ley adaptativa robusta es:

�� ˆˆ LsPW T ������

ULA

�

�

��

���

�

������ �

���

���� ˆ

2

)ˆ(cos)ˆ()ˆ(ˆ1

1

11 svSCm

sTST

Be

Le�

� es la ganancia adaptativa, m

s�� ˆ�

� , 2ˆ1 ���m

3.2.9 EL CONTROL v

)(...)( 10)1(

1)(

���� ������ �

� mrr

mrr

m yyyv

��

�

�

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

�

54325

126700157518001050252545if

i

if

i

if

i

if

i

if

i

if

im tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tty

� ���

�

�

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

5432

5

4

126700157518001050252)(

25if

i

if

i

if

i

if

i

if

i

if

im

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tty�

� ��� ˆ1 ��� mm yyv �

Los resultados de la simulación se aprecian en las figuras siguientes:

� � � � � � � �

���

�

���

�

�

�

��

�

�

�

5

4

4

3

3

2

2

5

)(630

)(2800

)(4725

)(3600

)(

110505

if

i

if

i

if

i

if

i

ifif

i

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tttt

tt

ULA

�

�

RESPUESTAS DE LAS SIMULACIONES

Estado con su Estimado. Estado. Parámetro con su Estimado. Control.

En la siguiente figura observamos: en la parte superior izquierda está el

estado 1x con su estimado, en la gráfica están sobrepuesta. Arriba a la derecha se presenta

el comportamiento del estado 2x . Abajo a la izquierda está el parámetro � y su estimado

�̂ vemos que éste alcanza el valor verdadero en un tiempo corto. Por último abajo a la

derecha se aprecia el comportamiento del control con valores mayores ó iguales a cero, que

es lo esperado.

0 20 40 60 80 100

2

2.5

3

x(1) vs x(1) Estim ado

X1

0 20 40 60 80 100

40

41

42

43

44

45

46x(2)

X2

0 20 40 60 80 100220

230

240

250

260

Tita vs Tita Estim ado

tita

go

rro

0 20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

Control

u

ULA

�

�

Seguimiento de la Función Deseada por la Salida

En la gráfica se aprecia el seguimiento total de la temperatura en un tiempo bastante

corto, lo que indica que el diseño del control logra el objetivo planteado.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10040

41

42

43

44

45

46ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(2),(magenta)

t seg.

y

ULA

�

�

Errores

Función Deseada y la Salida (ym-y). Parámetro ( �� ˆ� ). Estado (x(3) – x(1)).

En la siguientes figuras se observan los errores la función deseada y la salida, entre

el parámetro y su estimado, y entre el estado y el estimado, todos tienden rápidamente a

cero.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)

erro

r

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-40

-30

-20

-10

0

Error entre tita y tita estimado

e1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.02

0.04

0.06Error entre el Estado x(1) y el Estimado

t seg.

e2

ULA

�

�

Control u. Respuestas en Transitorio y Estacionario

En ésta figura se observa el comportamiento del control u tanto en transitorio cómo

en estacionario, en ella se puede apreciar que el control sólo toma valores positivos o

iguales a cero y su estacionario es alcanzado en corto tiempo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1Control en Transitorio

u

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02Control en Estacionario

t seg.

u

ULA

�

�

Respuestas de �̂ en Transitorio y Estacionario.

Aquí podemos ver la respuesta en transitorio y en estacionario del parámetro

estimado, en un tiempo de 0.4 segundos, aproximadamente, alcanza su valor verdadero

igual a 260.41.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

220

230

240

250

260

Respuesta Transitoria de tita estimado

tita

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

255

260

265

270Respuesta en Estacionario de tita estimado

t seg.

dtita

ULA

�

�

AANNAALL II SSII SS DDEE RREESSUULL TTAADDOOSS

En las simulaciones realizadas con el Programa Matlab, se prueba el objetivo

principal (Diseñar una ley adaptativa robusta para que la salida )(ty siga a la función

deseada).

Para las simulaciones se utilizaron los siguientes parámetros de diseño:

5�it , 95�ft , 356.01 �� ek , 25.0�BS , 6.1�LS , 20�eT , 301 �T ,

1000�� , 324.0

1

��

eCe , 24.0�R , 100�V , 5.5�� , 101 �� , 5.61 �v .

En las gráficas se puede observar:

El error entre � y �̂ tiende rápidamente a cero, al igual que el error entre el estado

1x y su estimado, y el error entre la salida y la señal deseada. Esto es debido a que el

seguimiento de la salida 2)( xty � es rápido.

El �̂ llega a su valor verdadero en un tiempo breve.

El control toma valores mayores e iguales a cero como es de esperar, ya que este

control representa el cauce de entrada 1q del líquido. Cuando en la salida 2x , que es la

temperatura del líquido, baja se aprecia que el cauce aumenta, para de esta manera

mantener aproximadamente constante dicha temperatura del líquido en el tanque.

El programa realizado en Matlab puede ser visto en el ANEXO1

ULA

�

�

CCAAPPÍÍ TTUULL OO II VV..

CCOONNCCLL UUSSII OONNEESS YY RREECCOOMM EENNDDAACCII OONNEESS

Los procedimientos para encontrar el diseño de un control adaptativo robusto, que

siga la salida de los sistemas no lineales con incertidumbre tanto paramétrica como no

paramétrica, son muy complicados. El esquema presentado en el capítulo II, linealiza

exactamente los sistemas no lineales, con grado relativo igual o distinto al grado del

sistema, y sobre el sistema linealizado diseña el control requerido, siempre bajo las

condiciones de la teoría de control moderna.

Con todas las suposiciones que presenta el esquema, se logró el seguimiento

deseado y la estabilidad del sistema.

En los ejemplos desarrollados en el capítulo III, se ve en forma detallada el

desarrollo de las fórmulas dadas en el capítulo II. Siguiendo paso a paso el esquema, se

obtuvo la ley de actualización de parámetro y la ley de control robusto.

En cada una de las simulaciones se pudo apreciar la robustez de la ley de control

adaptativo, y tomando buenos parámetros de diseño se observó el seguimiento de la función

deseada, por la salida )(ty del sistema, en un tiempo corto.

ULA

�

�

Cabe destacar, que en el ejemplo físico del robot rígido, se realizó dos observadores

de estado diferentes:

El primer caso, se llamó observador 1, que no es otro que el de la fórmula presente en el

esquema, que toma como la matriz compañera )(A , a la matriz compañera de

controlabilidad.

El segundo caso, llamado observador 2, se trato con un observador de Luenberger, [VER

APENDICE A], que toma como matriz compañera )(A , a la matriz compañera de

observabilidad.

Para ambos casos el seguimiento es obtenido, pero con el observador 2, se logró en

un tiempo más corto, lo que lo hace mejor.

En el siguiente ejemplo: Depósito con Regulación de Temperatura, el observador de

estado diseñado es un observador de orden reducido, [VER APENDICE A]. El grado relativo

(r) es menor al grado del sistema (n), por ello presentó una diferencia clara con el ejemplo

del robot rígido. Otra diferencia que se destacó, es que de éste ejemplo se debe hallar la

función remanente o dinámica de los ceros.

Además en el diseño del observador por medio de la fórmula del esquema, el

sistema presentó no linealidades en la transformación y el despeje directo no pudo ser

realizado.

Debido a lo anteriormente expuesto, cabe las siguientes recomendaciones:

ULA

�

�

RECOMENDACIONES:

En el momento del diseño del observador, no sólo se deben realizar por la fórmula

del esquema, sino, que deben ser probados por el diseño de observadores de estado básicos

de Luenberger, aún más, si existen no linealidades en las transformaciones del sistema.

Además, para lograr el seguimiento en un tiempo breve, se debe utilizar la matriz

compañera de observabilidad en el diseño del observador.

Se sabe que el objetivo de todo modelo de referencia de control, es encontrar una

ley de control realimentada que cambie la estructura y la dinámica de la planta, tal que, las

propiedades de entrada-salida sean exactamente igual a las del modelo de referencia. En el

control adaptativo robusto, el modelo de la planta presenta parámetros desconocidos y

dinámicas no modeladas, entonces, además de que se debe lograr el objetivo de todo

modelo de control, se deben limitar los errores con una señal normalizada para de ésta

manera garantizar la robustez y la disminución de los errores del modelado.

Todas estas consideraciones o reglas se tomaron en cuenta en el presente proyecto y

se lograron comprobar con el control adaptativo robusto, presentado en el esquema, y

viendo su desempeño en las simulaciones. �

ULA

�

�

RREEFFEERREENNCCII AASS

[1] Barrientos, Antonio; Sanz, Ricardo; Matia, Fernando; Gambao, Ernesto. “Control de

Sistemas Continuos”. Problemas Resueltos. McGraw Hill, 1996. Pagina 87.

[2] Kokotovic, Petar V. (Ed.) by University of California. Lecture Notes in Control and

Information Sciences, “Foundations of Adaptive Control” Edited by M. Thoma and

A. Wyner. Printing Mercedes-Druck, Berlín, 1991.

[3] Levine, William S. (Ed), The Control Handbook CRC PRESS, IEEE PRESS, 1996

“Model Reference Adaptive Control” by Petros Ioannou. University of Southern

California, EE-Systems, MC-2562. Los Angeles, CA.

[4] Ogata, Katsuhiko. “Ingeniería de Control Moderna”, University of Minnesota, Tercera

Edición. Publicada por Prentice-hall Hispanoamericana, C.A., México. Edición en

Español, 1998.

ULA

�

�

[5] Parks, P.C., “Lyapunov Redesign of Model Reference Adaptive Control Systems”,

IEEE Trans. Autom. Control, 11, 362-367,1966.

[6] Ríos Bolívar, Miguel. “Guía de Control Adaptativo Utilizando la Técnica de

Backstepping”. Universidad de Los Andes. Postgrado en Ingeniería de Control y

Automatización, Mérida, Venezuela, 1998.

[7] Sánchez Peña, Ricardo S. “Introducción a la Teoría de Control Robusto”. Editada y

Publicada por la Asociación Argentina de Control Automático, 1992.

[8] Sira Ramírez, Hebertt. “Control de Sistemas No Lineales Mediante Linealización

Aproximada”. Universidad de Los Andes. Facultad de Ingeniería. Escuela de

Ingeniería de Sistemas. Mérida Venezuela. Serie de Cuadernos de Ingeniería de

Control, 1-94.

[9] Sira Ramírez, Hebertt. “Control de Sistemas No Lineales Mediante Linealización

Exacta”. Universidad de Los Andes. Facultad de Ingeniería. Escuela de Ingeniería de

Sistemas. Mérida Venezuela. Serie de Cuadernos de Ingeniería de Control, 3-94.

[10] Zhou, Kemin; Doyle, John C. and Glover, Keith. “Robust and Optimal Control”

Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458, USA, 1996.

ULA

�

�

[11] http://www.usc.edu/dept/ee/catt/99papers/

ieeeacn.pdf: Elias B. Kosmatopooulos y Petros A. Ioannou “Robust Switching

Adaptive Control of Multi-Input Nonlinear Systems”

large_scale.pdf: Elias B. Kosmatopooulos y Petros A. Ioannou “Robust Multivariable

Adaptive Control with Application to a Large Space Segmented Telescope”

[12] Ioannou, Petros. University of Southem California, Los Angeles. Email

ioannou@rcf.usc.edu.

�

�

ULA

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

������� �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

ULA

�

�

�

AAPPEENNDDII CCEE AA

A.1 CONTROLABILIDAD

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo 0t , si se puede llevar de cualquier

estado inicial )( 0tx a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones,

en un intervalo de tiempo finito. [4]

A.2 OBSERVABILIDAD

Se dice que un sistema es observable en el tiempo 0t si, con el sistema en el estado

)( 0tx , es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un

intervalo de tiempo finito. [4]

Estos conceptos fueron introducidos por Kalman y juegan un papel importante en el

diseño de los sistemas de control en el espacio de estados.

ULA

�

�

Estas condiciones determinan la existencia de una solución completa, para un

problema de diseño de un sistema de control.

A.3 CONDICION DE CONTROLABILIDAD COMPLETA DE

ESTADO

Dado el sistema

BuAxx ��

donde xes el vector de estado (dimensión n)

u señal de control (escalar)

A matriz de nn�

B matriz de 1n

Es completamente controlable si y sólo si los vectores BABAABB n 12 ,...,,, � son

linealmente independientes, o la matriz controlabilidad nnC�

[4]:

� �Tn BAABBC.1....... �� es de rango igual a n.

ULA

�

�

A.4 CONDICION DE OBSERVABILIDAD COMPLETA DE

ESTADO

Dado el sistema

DuCxy

BuAxx

��

���

donde xes el vector de estado (dimensión n)

u vector de control (dimensión r ó escalar)

y vector de salida (dimensión n)

A matriz de nn�

B matriz de rn� ó 1n

C matriz de nm�

D matriz de rm� ó 1m

Es completamente observable si y sólo si los vectores *1**** ,...,, CACAC n� son

linealmente independientes, o la matriz de observabilidad nmnO�

[4]:

� �*1**** ........ CACACO n�� es de rango igual a n.

A.5 OBSERVADORES DE ESTADO

ULA

�

�

Al no tener disponibles todas las variables de estado

para la realimentación de un sistema de control,

necesitamos estimar las variables de estado que no estén

disponibles. La estimación de semejantes variables de

estado, por lo general, se denomina observación.[4]

Los observadores de estado pueden diseñarse si y sólo si, se satisface la condición

de observabilidad.

La observación, se realiza tratando de inferir un valor estimado del vector de los

estados, a partir de nuestro conocimiento del sistema, de nuestra disponibilidad de valores

de la salida y del conocimiento inequívoco de los valores del control que estamos

suministrando al sistema. [8]

A.6 OBSERVADORES DE LUENBERGER

Considere el sistema lineal:

��

���

Cxy

BuAxx

�

���

donde �x es el vector de estado (dimensión n)

ULA

�

�

�u vector de control (dimensión r ó escalar)

�y vector de salida (dimensión n)

Sólo tenemos disponible la salida del sistema. Debemos tratar de reconstruir el

estado x a partir del conocimiento del sistema, es decir; A, B y C, de nuestras mediciones

realizadas sobre la salida y , y del innegable conocimiento que tenemos del valor del

control. [8]

El observador realizará la siguiente función representada en el diagrama de bloques

de la figura A-1.

������ ��� ���������� ������ � �� ������

La propuesta para controlar el sistema está basada en el siguiente diagrama de

bloques, figura A-2:

ULA

�

�

������ � � ��!���� �� ������ "����������� �� ����������

Debemos garantizar que el error de reconstrucción, es asintóticamente estable a

cero.

Definimos al error de observación, como la diferencia entre el valor real del vector

de estado del sistema linealizado, y el valor estimado de tal vector de estado:

��� xxe ˆ�� y � � �� � eCAe ���

Las ecuaciones del observador son:

� �

��

����� �

xCy

yyBuxAx

ˆˆ

ˆˆˆ

�

�����

El vector de parámetros � , juega un papel de realimentador del error de estimación,

en cuanto a su reflejo en los valores de salida. Para seleccionar el mejor � se deben realizar

pruebas de simulación, a fin de evaluar el desempeño general del sistema resultante.

ULA

�

�

A.7 OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO

Si la variable de salida está representada por una o más variables de estado,

podemos entonces utilizar las mediciones directamente en la elaboración de la ley de

control lineal. [8]

Un observador tiene, en principio, la misma dimensión que la planta del sistema. Si

algunas variables de estado ya son conocidas, no hace falta reconstruirlas. [4]

Si sólo un número inferior de estados debe ser reconstruido, el observador debería

tener dimensión igual al número de variables que deseamos reconstruir, es decir, proponer

un observador de orden reducido.

Suponga que el vector de estado x es un vector de dimensión n, y que el vector de

salida y es un vector de dimensión m medible. Dado que las m variables de salida son

combinaciones lineales de las variables de estado, no necesitan estimarse n variables de

estado, sino sólo m-n variables de estado. Así el observador de orden reducido se vuelve un

observador de (n-m)-ésimo orden.

Considere el sistema

Cxy

BuAxx

�

���

En donde el vector de estado x, se divide en dos partes ax (un escalar) ybx (un

vector de dimensión (n-1)). Aquí la variable de estado ax es igual a la salida y, y por tanto,

se mide directamente, y bx es la parte que no se puede medir del vector de estado. De este

modo, el estado dividido y las ecuaciones de salida se vuelven:

ULA

�

�

� � �

��

�

�

��

��

��

�

��

��

��

b

a

b

a

b

a

bbba

abaa

b

a

x

xy

uB

B

x

x

AA

AA

x

x

.01

..�

�

en donde aaA es un escalar

abA matriz de )1(1 �� n

baA matriz de 1)1( ��n

bbA matriz de )1()1( ��� nn

aB escalar

bB matriz de 1)1( ��n .

Ecuación de salida para el observador de orden reducido:

babaaaaa xAuBxAx ����

Ecuación de estado para el observador de orden reducido:

uBxAxAx bbbbabab ����

)(~)(~ uBxAxkuBxAxAkAx aaaaaebabababebbb ������� ��

como no conocemos la derivada de ax entonces:

� � uBkByAkAkAkAykxAkAxkx aebaaebaeabebbebabebbaeb )()()~)((~���������� �

� (1)

ULA

�

�

Defina

�

�~~~ ����

����

aebeb

aebeb

xkxykx

xkxykx

Entonces la ecuación (1) del observador se convierte en:

� � uBkByAkAkAkAAkA aebaaebaeabebbabebb )()(~)(~ �������� ���

Ecuación del error del observador:

eAkAe

xxe

xxAkAxx

abebb

bb

bbabebbbb

)(

~~)~)((~

��

����

����

�

��

��

������ �#� ��!���� �� �� ���������� �� ����� "��� ����

ULA

�

�

�

A.8 FORMA CANONICA CONTROLABLE O CONTROLADOR DE

BRUNOVSKY, [6]

Txz

BuAxx

�

��� nz ��

vBzATBvzTBkATz

vkxu

cc �����

���1)(�

donde

������

�

�

������

�

�

����

�

�1210 ...

1...000

.......

0...100

0...010

n

c

kkkk

A Matriz compañera de controlabilidad

���������

�

�

���������

�

�

�

1

.

.

.

.

0

0

cB

ULA

�

�

AAPPEENNDDII CCEE BB

�

B.1 LINEALIZACION EXACTA

La linealización exacta es un esquema basado en la utilización de los conceptos

básicos nacidos de la geometría diferencial, para el análisis y diseño de los sistemas de

control. [9]

B.2 PASOS DEL METODO DEL CONTROL CALCULADO

1. Observar si las no linealidades aparecen solamente en la ecuación donde se encuentra la

variable de control.

2. Definir una variable auxiliar v igual a la ecuación donde aparecen las no linealidades y

el control. El sistema que se obtiene es exactamente lineal.

3. Proponer una ley de realimentación lineal de los estados, cuyas trayectorias (del sistema

controlado) se estabilizan asintóticamente al punto de equilibrio deseado.

4. Hallamos el control u no lineal igualando los dos términos de v, (el deseado y el usado

como variable auxiliar), y se despeja u.

ULA

�

�

Los sistemas no lineales de la forma canónica controlable [9]:

uxxxgxxxfx

xx

xx

xx

nnn

nn

),...,,(),...,,(

.

.

.

2121

1

32

21

��

�

�

�

�

�

�

�

�

son exactamente linealizables mediante una redefinición de la variable de control en

términos del estado y una entrada auxiliar externa:

uxxxgxxxfv nn ),...,,(),...,,( 2121 ��

Esta puede ser sintetizada como una ley de control que realimenta linealmente las

variables de estado:

nnnn xaxaxaxav �������� 112211 ...

Comparando ambas v, obtenemos la ley de control que linealiza en forma exacta al

sistema no lineal.

),...,,(

),...,,(...

21

21112211

n

nnnnn

xxxg

xxxfxaxaxaxau

������ ��

La linealización exacta será valida y útil en dos casos:

1. Es valida en todo el ambiente del espacio de estado donde se cumple que:

0),...,,( 21 �nxxxg

ULA

�

�

2. Es útil en la medida en que el sistema lineal en lazo cerrado sea asintóticamente estable

a cero. Porque la estabilidad de este sistema lineal, esta determinada por la ubicación de

las raíces del polinomio característico:

121 ...)( aSaSaSSP n

nn ����� �

Se supone que el polinomio es Hurwitz, es decir, tiene todas sus raíces en el

semiplano izquierdo del plano complejo.

B.3 CAMPO VECTORIAL

Un campo vectorial suave, (campo vectorial infinitamente diferenciable), arbitrario

)(xf representa, en cada punto del espacio n-dimensional de coordenadas x, una dirección

unívocamente especificada por el valor de sus componentes en cada punto.

El campo vectorial )(xf , en una ecuación diferencial autónoma, representa en cada

punto x del espacio, un vector tangente a la trayectoria solución de la ecuación )(xfx �� .

Las soluciones de esta ecuación, están constituidas por las curvas de nivel de la función

escalar )(xh , donde el gradiente de )(xh es un vector, que representa la dirección de

máximo crecimiento de la función misma, dentro del plano donde toma valores su

argumento. [9]

ULA

�

�

B.4 DERIVADA DIRECCIONAL O DERIVADA DE LIE

Se define la derivada direccional de la función

escalar )(xh , respecto al campo vectorial )(xf como:

)()()(

)()( xhxfx

xhxhL Xf

���

��

donde )(xh es una función escalar suave (permite infinitas diferenciaciones respecto a la

componente x).

)(xf es un campo vectorial suave.

La derivada de Lie de )(xh con respecto a )(xf mide en cada punto x del espacio,

la velocidad de variación instantánea, de la función )(xh con respecto a la solución de la

ecuación diferencial xxfdt

dx��� )( que pasa por ese punto x. [9]

El cálculo de la derivada de Lie de una función escalar )(xh , con respecto al campo

vectorial )(xf , y luego el resultado evaluarlo respecto a otro campo vectorial )(xg es:

)()(

)( )()()( xg

x

xhLxhLL xf

xfxg�

��

)()( )()()()( xhLLxhLL xgxfxfxg �

ULA

�

�

B.5 CORCHETE DE LIE

Es un campo vectorial suave para el cual se cumple que [9]:

0)()( )()()()( �� xhLLxhLL xfxgxgxf

� � )()(

)()(

)()( )()( xgx

xhLxf

x

xhLxgxfad xfxg

fg�

��

�

���

B.6 TEOREMA DE FROBENIUS

Base teórica de la teoría de control no lineal moderna. [9]

El conjunto formado por los campos )(xf y )(xg son involutivos, si y sólo si, se

cumple que:

� � � �� �)()()()()( xgfxgxfrangoxgxfrango �

Se afirma que la distribución que contiene a f y g es integrable, si y sólo si, la

distribución es involutiva.

El teorema de Frobenius, nos permite asegurar que existe solución )(xh , para el

sistema de ecuación en derivadas parciales, representado en:

� �)(....)()()()(

321 xfxfxfxfx

xhk

�

�

ULA

�

�

si y sólo si, el conjunto de campos vectoriales )(1 xf , )(2 xf ,..., )(xfk es un conjunto

linealmente independiente e involutivo.

B.7 TRANSFORMACION DE SISTEMAS NO LINEALES A LA

FORMA CANONICA CONTROLABLE

Existe una función )(xh que genera una transformación, válida alrededor de un

punto x del espacio, que reduce al sistema [9]:

uxgxfx )()( ���

a la forma canónica controlable, si y sólo si, se satisfacen las siguientes condiciones:

1. El conjunto de vectores:

� �122 ....,,,, �� nfg

nfgfgfg adadadadg

es linealmente independiente alrededor de x.

2. El subconjunto de campos vectoriales:

� �122 ....,,,, �� nfg

nfgfgfg adadadadg

es localmente involutivo.

La transformación linealizante esta dado por:

!

��������

��������

�

���

� )(

.

.

.

)(

)(

)(

1)(

)(

xhL

xhL

xh

xz

nxf

xf

difeomorfismo

ULA

�

�

B.8 DIFEOMORFISMO

Es una transformación, )(xz �� , que tiene una matriz jacobiana no singular, y

dicha transformación, representa una transformación invertible que además es

diferenciable. [9]

B.9 LINEALIZACION DE ENTRADA SALIDA

Es la transformación de los sistemas no lineales a sistemas lineales en forma exacta,

que involucra transformaciones del espacio de estado y transformaciones del espacio de los

controles. [9]

Esta involucra, la existencia de la función generadora de la transformación del

sistema a la forma canónica controlable.

Si queremos linealizar el sistema en su comportamiento de entrada-salida, la función

generadora candidata estaría constituida por la función de salida. Entonces resultará que no

siempre podemos cumplir con la exigencia de tener sólo la n-ésima derivada de la salida,

dependiente del control.

Si linealizamos solamente el comportamiento entrada-salida del sistema, la

dinámica lineal que induzcamos en esta relación, será en general de orden menor que el

orden del sistema original. La salida sería también función generadora de la linealización

ULA

�

�

entrada-estado, pero suponemos que el control aparece en una expresión anterior a la

n-ésima derivada de la salida. Si u aparece en la derivada de orden r de la salida, nos queda

flotando una dinámica adicional de orden n-r que debemos determinar con toda precisión.

B.10 DINAMICA DE LOS CEROS

La dinámica autónoma representa, una dinámica remanente del sistema cuando el

error de salida cy ��� se encuentra ya, en su valor de equilibrio de cero. Esta dinámica

representa la evolución de un estado con significado real. El sistema autónomo no causa

adicionalmente, efecto alguno sobre la variable de salida ni sobre el error de salida. Esto

quiere decir que, en condiciones de lazo cerrado, la variable � se encuentra desacoplada

del comportamiento entrada-salida del sistema y, por tanto, no puede ser evaluada sobre la

base del conocimiento de la salida, esto hace que la realimentación propuesta haga la

variable � completamente inobservable. [9]

SISTEMA GLOBAL DE FASE MINIMA

Si el punto de equilibrio es único y resulta ser globalmente asintóticamente estable

al origen.

Polos y ceros se encuentran en el semiplano

izquierdo. [9]

ULA

�

�

SISTEMA LOCAL DE FASE NO MINIMA

Si algún punto de equilibrio es inestable.

Al menos un cero en el semiplano derecho. [9]

B.11 GRADO RELATIVO r

La diferencia de grados entre el polinomio en el numerador y el polinomio en el

denominador es de orden r, decimos que tiene una entrada u de grado relativo igual a r, por

tanto, se dice que el sistema es de grado relativo r, que es adjudicable a la única entrada del

sistema [9]:

0)()ˆ,()ˆ,(

�xhLL i

xfxg �� para todo x en un entorno de 0x y para todo 1�� ri y

0)(1

)ˆ,()ˆ,(�� xhLL r

xfxg ��

En una interpretación más sencilla, el grado relativo r es considerado el menor

orden de la derivada de la salida que es afectada directamente por la entrada u. [6]

ULA

�

�

B.12 CARACTERIZACION DE LA LINEALIZACION ENTRADA

SALIDA DE UN SISTEMA NO LINEAL

Sea el sistema [9]

)(

)()(

xhy

uxgxfx

�

���

Las r-1 primeras derivada no dependen de u

)()(

.

.

)()(

)(

)1()(

)1()1(

)(

xhLxhy

xhLxhy

xhy

rxf

rr

xf

��� ��

��

�

��

Además la r-ésima derivada depende del control

uxhLLxhLy rxfxg

rxf

r )()( 1)()()(

)( ��� con 0)(1 �� xhLL rfg

El control que logra la linealización:

ULA

�

�

)(

)()(...)()(1

)()(

0)(11

)(1)(

xhLL

xhmxhLmxhLmxhLu

rxfxg

xfr

xfrr

xf

�

�

������

�

donde los coeficientes se escogen de tal manera que, el polinomio característico dado por:

011

1 ...)( mSmSmSSP rr

r ����� �

�

tenga todas sus raíces en el semiplano izquierdo.

El sistema toma la forma:

�����������

�����������

�

����

��

�

�

rn

rxf

xf

xhL

xhL

xh

x

�

��

�

.

.

)(.

.)(

)(

)(

1

1)(

)(

Las coordenadas (Funciones arbitrarias rn���� ,...,, 21 ) deben escogerse de tal

manera que satisfagan la condición de rango siguiente:

nxhL

xhL

xh

xrango

rn

rxf

xf

�

�����������

�����������

�

�

�

�

�

�

�

.

.

)(.

.)(

)(

1

1)(

)(

ULA

�

�

El sistema transformado se conoce con el nombre de sistema en forma canónica.

B.13 FORMA CANONICA NORMAL

� � � �

1

111

11)()(

1)(

32

21

),(),(

),(),(

.),(),(

�

�����

�����

�����

��

��

�

��

��

����

�

�

���

���

y

uWq

uWq

uhLLhL

rnrnrn

rxfxg

rxfr

�

�

�

�

�

�

�

(1)

Donde )),((),( 1����� ��� jfj Lq rnj �� ,...,1

)),((),( 1����� ��� jgj LW rnj �� ,...,1

Podemos hacer

� � � � 1021111

)()(1

)( ....),(),( ������� mmmuhLLhL rrr

xfxgr

xf ��������

���

entonces el control será [9]:

� �� �),(

...),(11

)()(

102111

)(

��

�����

��

�

�

�

�������

hLL

mmmhLu

rxfxg

rrr

xf

ULA

�

�

No obstante, si las funciones )),(()),...,(( 111 ������ ��

��� nr son escogidas de tal

forma que 0)( �xL jg� entonces (1) es modificada para obtener la forma normal [4]:

1

11

32

21

)(

)(

)()(

�

��

��

���

��

��

�

�

�

��

�

�

��

y

q

q

uba

nn

rr

r

�

�

�

�

�

�

�

donde � �),()( 1��� ��� hLa r

f

� �),()( 11��� �� �� hLLb r

fg

� �),()( 1���� ��� jfj Lq , njr ���1

Considere un sistema no lineal con grado relativo, en algún punto 0x , igual a la

dimensión del espacio de estado, es decir, nr � . En este caso la forma canónica normal

viene dada por:

ULA

�

�

1

32

21

)(

)()(

�

��

���

��

��

�

�

��

�

�

y

q

uba

nn

r

�

�

�

�

�

La función )(�b es diferente de cero en el punto )( 00 x�� � y en una vecindad de

este. Escogiendo la siguiente ley de realimentación de estado:

� �vab

u ��� )()(

1�

�

donde v es una nueva entrada. El sistema de lazo cerrado resulta ser:

1

1

32

21

�

�

��

��

��

�

�

�

�

�

�

y

vn

nn

�

�

�

�

�

el cual corresponde a un sistema lineal controlable (con un mapa de entrada-salida lineal).

Acciones de control adicionales pueden imponerse al sistema lineal obtenido.

�

�

�

�

�

ULA

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�� � �

�

ULA

�

�

LL OOSS PPRROOGGRRAAMM AASS RREEAALL II ZZAADDOOSS EENN MM AATTLL AABB

1. Robot Rígido: Observador 1.

%Función para el sistema de robot rígido, con control adaptativo

%robusto usando observador 1.

function xdot=otro(t,x);

tita=1;

I=0.01;

omeg=8/3;

v2=0.3; deltaf=0.3*cos(300*t)*cos(x(1));

m=sqrt(1+(x(1)-x(3))^2+(x(2)-x(4))^2);

v=-(pi/4)*cos(t)+(pi/2)*sin(t)-(2*(x(3)+x(4)))+(pi/2);

%control

uc=(I*(v-x(5)*cos(x(1))));

u=uc;

%ecuaciones de estado

xdot(1)=x(2);

xdot(2)=(u/I)+tita*cos(x(1))+deltaf;

xdot(3)=x(4);

xdot(4)=v+(-2*(x(3)-x(1))-2*(x(4)-x(2)));

xdot(5)=-omeg*((3/8)*((x(4)-x(2))/m)*(cos(x(1))/m)+ v2*(x(4)-x(2)/m)*x(5));

ULA

�

�

xdot=[xdot(1);xdot(2);xdot(3);xdot(4);xdot(5)];

%PROGRAMA ROBOT RIGIDO CON CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO

USANDO OBSERVADOR 1

clear all

t0=0; tf=100; x0=[0 0 0 0 0]';

tita=1; v2=0.3; omeg=(8/3);

I=0.01;tspan=[t0,tf];

[t,x]=ode23('otro',tspan,x0);

ym=(pi/4)*sin(t-pi/2)+(pi/4);

%ley de control

for j=1:length(t),

deltaf(j)=0.3*cos(300*t(j))*cos(x(j,1));

m(j)=sqrt(1+(x(j,1)-x(j,3))^2+(x(j,2)-x(j,4))^2);

v(j)=-(pi/4)*cos(t(j))+(pi/2)*sin(t(j))-(2*x(j,3)+x(j,4))+pi/2;

uc(j)=(I*(v(j)-(x(j,5)*cos(x(j,1)))));

end

clf

figure(1);

subplot(2,2,1), plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,3),'g'); grid

title('x(1) vs x(1) estimado')

ylabel('x(1)')

ULA

�

�

axis([0 100 -0.1 2])

subplot(2,2,2), plot(t,x(:,2),'b',t,x(:,4),'m'); grid

title('x(2) vs x(2) estimado')

ylabel('x(2)')

axis([0 100 -1.6 1.6])

subplot(2,2,3), plot(t,x(:,5),'b',t,tita,'r'); grid

title('Ley de Actualización de Parámetro')

ylabel('titagorro')

axis([0 100 -0.1 2])

subplot(2,2,4), plot(t,u,'r'); grid

title('Control')

ylabel('u')

axis([0 100 -0.1 0.1])

figure(2);

plot(t,x(:,1),'r',t,ym,'b');grid

title('ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(1),(rojo)')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('y')

axis([0 100 -0.5 1.9])

figure(3);

subplot(3,1,1),plot(t,x(:,1)-ym,'r');grid

title('Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)')

ULA

�

�

ylabel('error')

axis([0 100 -1 1])

subplot(3,1,2),plot(t,x(:,3)-x(:,1),'r');grid

title('Error entre x(3)(estimado) y x(1)')

ylabel('e1')

axis([0 100 -1 1])

subplot(3,1,3),plot(t,x(:,4)-x(:,2),'r');grid

title('Error entre x(4) (estimado) y x(2)')

ylabel('e2')

axis([0 100 -1 1])

figure(4);

subplot(2,1,1), plot(t,u,'r');grid

title('Control en Transitorio')

ylabel ('u')

axis([0 20 -0.05 0.05])

subplot(2,1,2), plot(t,u,'r');grid

title('Control en Estacionario')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('u')

axis([0.8 100 -0.2 0.2])

figure(5);

subplot(2,1,1), plot(t,x(:,5),'r');grid

ULA

�

�

title('Respuesta de Tita Estimada en Transitorio')

ylabel ('tita')

axis([0 80 0 1])

subplot(2,1,2), plot(t,x(:,5),'r');grid

title('Respuesta de Tita Estimada en Estacionario')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('tita')

axis([80 100 -1 2])

2. Robot Rígido Observador 2

%Función para el sistema de robot rígido, con control adaptativo

%robusto usando observador 2.

function xdot=robotico(t,x);

tita=1;

I=0.01;

n1=2; n2=2;

omeg=8/3;

v2=0.3;

deltaf=0.3*cos(300*t)*cos(x(1));

m=sqrt(1+(x(1)-x(3))^2+(x(2)-x(4))^2);

v=(1-n2)*(pi/4)*cos(t)+(n1*((pi/4)*sin(t)-x(4)))+(n2*((pi/4)-x(3)));

%control

uc=(I*(v-x(5)*cos(x(1))));

u=uc;

ULA

�

�

%ecuaciones de estado

xdot(1)=x(2);

xdot(2)=(u/I)+tita*cos(x(1))+deltaf;

xdot(3)=x(4)+n1*(x(1)-x(3));

xdot(4)=v+n2*(x(1)-x(3));

xdot(5)=-omeg*((((n1^2)+n2+1)/(2*n1*n2))*(cos(x(1))/m)*((x(4)-x(2))/m)+v2*((x(4)-

x(2))/m)*x(5));

xdot=[xdot(1);xdot(2);xdot(3);xdot(4);xdot(5)];

%PROGRAMA ROBOT RIGIDO CON CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO

USANDO OBSERVADOR 2

clear all

t0=0; tf=100; x0=[0 0 0 0 0]';

tita=1; v2=0.3; omeg=8/3;

I=0.01; tspan=[t0,tf];

n1=2; n2=2;

[t,x]=ode23('robotico',tspan,x0);

ym=(pi/4)*sin(t-pi/2)+(pi/4);

%ley de control

for j=1:length(t),

deltaf(j)=0.3*cos(300*t(j))*cos(x(j,1));

m(j)=sqrt(1+(x(j,1)-x(j,3))^2+(x(j,2)-x(j,4))^2);

v(j)=(1-n2)*(pi/4)*cos(t(j))+(n1*((pi/4)*sin(t(j))-x(j,4)))+(n2*((pi/4)-...

x(j,3)));

uc(j)=(I*(v(j)-(x(j,5)*cos(x(j,1)))));

u=uc;

end

clf

ULA

�

�

figure(1);

subplot(2,2,1), plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,3),'g'); grid

title('x(1) vs x(1) estimado')

ylabel('x(1)')

axis([0 100 -0.5 2.5])

subplot(2,2,2), plot(t,x(:,2),'b',t,x(:,4),'m'); grid

title('x(2) vs x(2) estimado')

ylabel('x(2)')

axis([0 100 -1.6 1.6])

subplot(2,2,3), plot(t,x(:,5),'b',t,tita,'r'); grid

title('Ley de Actualización de Parámetro')

ylabel('titagorro')

axis([0 100 -0.1 1.5])

subplot(2,2,4), plot(t,u,'r'); grid

title('Control')

ylabel('u')

axis([0 100 -0.05 0.05])

figure(2);

plot(t,x(:,1),'r',t,ym,'b');grid

title('ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(1),(rojo)')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('y')

axis([0 100 -0.1 2.5])

figure(3);

subplot(3,1,1),plot(t,x(:,1)-ym,'r');grid

title('Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)')

ylabel('error')

axis([0 100 -1 1])

subplot(3,1,2),plot(t,x(:,3)-x(:,1),'r');grid

ULA

�

�

title('Error entre x(3)(estimado) y x(1)')

ylabel('e1')

axis([0 100 -1 1])

subplot(3,1,3),plot(t,x(:,4)-x(:,2),'r');grid

title('Error entre x(4) (estimado) y x(2)')

ylabel('e2')

axis([0 100 -1 1])

figure(4);

subplot(2,1,1), plot(t,u,'r');grid

title('Control en Transitorio')

ylabel ('u')

axis([0 20 -0.05 0.05])

subplot(2,1,2), plot(t,u,'r');grid

title('Control en Estacionario')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('u')

axis([0.8 100 -0.2 0.2])

figure(5);

subplot(2,1,1), plot(t,x(:,5),'r');grid

title('Respuesta de Tita Estimada en Transitorio')

ylabel ('tita')

axis([0 20 0.1 2])

subplot(2,1,2), plot(t,x(:,5),'r');grid

title('Respuesta de Tita Estimada en Estacionario')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('tita')

axis([20 100 0 2])

�

�

ULA

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

EELL PPRROOGGRRAAMM AA RREEAALL II ZZAADDOO EENN MM AATTLL AABB

Depósito con Regulación de Temperatura

%Función para el sistema de Depósito con Regulación de Temperatura, con control adaptativo robusto usando

OBSERVADOR REDUCIDO. function xdot=dep1(t,x);

tif=95;tin=5;

tita=260.41;

k1=0.56e-3;

ULA

�

�

Sb=0.25; Sl=1.6; qs=0.5e-3;

Te=20; T1=30; ro=1000;

Ce=1/(0.24e-3); R=0.24; Vol=100;

deltaf=0.01*sin(10*t);

omeg=5.5; n1=10; v1=6.5;

m=sqrt(1+(x(3)-x(1))^2);

v=-25*(t-tin)^4*(252-1050*(t-tin)/(tif-tin)+1800*(t-tin)^2/((tif-...

tin)^2)-1575*(t-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t-tin)^4/((tif-tin)^4)-...

126*(t-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5)-5*(t-tin)^5*(-1050*1/...

(tif-tin)+3600*(t-tin)/((tif-tin)^2)-4725*(t-tin)^2/((tif-tin)^3)+...

2800*(t-tin)^3/((tif-tin)^4)-630*(t-tin)^4/((tif-tin)^5))/((tif-...

tin)^5)+n1*(45-5*(t-tin)^5*(252-1050*(t-tin)/(tif-tin)+1800*(t-...

tin)^2/((tif-tin)^2)-1575*(t-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t-tin)^4/...

((tif-tin)^4)-126*(t-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5)-x(2));

%control

uc=((Sb*x(1))/(T1-x(2)))*(v-(Vol^2/(R*ro*Ce*Sb*x(1)))+x(4)*(((x(2)-Te)*Sl)/...

(ro*Ce*Sb*x(1))));

u=uc;

%ecuaciones de estado

xdot(1)=-k1*(sqrt(x(1))/Sb)+(u/Sb)+deltaf;

xdot(2)=(Vol^2/(R*ro*Ce*Sb*x(1)))-(tita*(x(2)-Te)*Sl)/(ro*Ce*Sb*x(1))+...

((T1-x(2))*u)/(Sb*x(1));

xdot(3)=(u/Sb)-(k1*sqrt(x(3))/Sb)-n1*(x(3)-x(1));

xdot(4)=-omeg*((x(3)-x(1))/m)*(-(x(2)-Te)*Sl/(2*n1*ro*Ce*Sb*x(1)*m)+v1*x(4));

xdot=[xdot(1);xdot(2);xdot(3);xdot(4)];

%PROGRAMA: DEPOSITO CON REGULACIÓN DE TEMPERATURA CON

CONTROL ADAPTATIVO ROBUSTO USANDO OBSERVADOR REDUCIDO.

omeg=5.5, n1=10, v1=0.5

ULA

�

�

clear all

tif=95; tin=5;

t0=0; tf=100; x0=[2.04842445 45.8 2 218.38]';

tspan=[t0,tf];

tita=260.41;

k1=0.56e-3;

Sb=0.25; Sl=1.6; qs=0.5e-3;

Te=20; T1=30; ro=1000;

Ce=1/(0.24e-3); R=0.24; Vol=100;

omeg=5.5; n1=10; v1=6.5;

[t,x]=ode23('dep1',tspan,x0);

%ley de control

for j=1:length(t),

ym(j)=45-5*(t(j)-tin)^5*(252-1050*(t(j)-tin)/(tif-tin)+1800*(t(j)-...

tin)^2/((tif-tin)^2)-1575*(t(j)-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t(j)-...

tin)^4/((tif-tin)^4)-126*(t(j)-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5);

deltaf(j)=0.01*sin(10*t(j));

m(j)=sqrt(1+(x(j,3)-x(j,1))^2);

v(j)=-25*(t(j)-tin)^4*(252-1050*(t(j)-tin)/(tif-tin)+1800*(t(j)-...

tin)^2/((tif-tin)^2)-1575*(t(j)-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t(j)-...

tin)^4/((tif-tin)^4)-126*(t(j)-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin) .̂..

5)-5*(t(j)-tin)^5*(-1050*1/(tif-tin)+3600*(t(j)-tin)/((tif-tin) .̂..

2)-4725*(t(j)-tin)^2/((tif-tin)^3)+2800*(t(j)-tin)^3/((tif-tin) .̂..

4)-630*(t(j)-tin)^4/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5)+n1*(45-5*(t(j)-...

tin)^5*(252-1050*(t(j)-tin)/(tif-tin)+1800*(t(j)-tin)^2/((tif-...

tin)^2)-1575*(t(j)-tin)^3/((tif-tin)^3)+700*(t(j)-tin)^4/((tif-...

tin)^4)-126*(t(j)-tin)^5/((tif-tin)^5))/((tif-tin)^5)-x(j,2));

uc=((Sb*x(j,1))/(T1-x(j,2)))*(v-(Vol^2/(R*ro*Ce*Sb*x(j,1)))+x(j,4)*...

(((x(j,2)-Te)*Sl)/(ro*Ce*Sb*x(j,1))));

ULA

�

�

u=uc;

end

clf

figure(1);

subplot(2,2,1), plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,3),'y'); grid

title('X1')

%xlabel('t seg.')

ylabel('x(1) vs x(1) estimado')

axis([0 100 1.8 3.2])

subplot(2,2,2), plot(t,x(:,2),'b'); grid

title('x(2) ')

%xlabel('t seg.')

ylabel('X2')

axis([0 100 39.5 46])

subplot(2,2,3), plot(t,x(:,4),'g',t,tita,'r'); grid

title('Ley de actualización de parámetro')

%xlabel('t seg.')

ylabel('titagorro')

axis([0 100 218.38 265])

subplot(2,2,4), plot(t,u,'r'); grid

title('Control')

%xlabel('t seg.')

ylabel('u')

axis([0 100 -0.1 0.7])

figure(2);

plot(t,x(:,2),'.r',t,ym,'b');grid

title('ym(t),(azul). CONTRA y(t)=x(2),(rojo)')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('y')

ULA

�

�

axis([0 100 40 46])

figure(3);

subplot(3,1,1), plot(t,x(:,2)-ym','r');grid

title('Error entre la Deseada (ym) y la Salida (y)')

ylabel ('error')

axis([0 100 -1 1])

subplot(3,1,2), plot(t,x(:,4)-tita,'r');grid

title('Error entre tita y tita estimada')

ylabel ('e1')

axis([0 100 -42 5])

subplot(3,1,3), plot(t,x(:,1)-x(:,3),'r');grid

title('Error entre el Estado x(1) y el Estimado')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('e2')

axis([0 100 -0.01 0.06])

figure(4);

subplot(2,1,1), plot(t,u,'r');grid

title('Control en Transitorio')

ylabel ('u')

axis([0 0.8 -0.01 1])

subplot(2,1,2), plot(t,u,'r');grid

title('Control en Estacionario')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('u')

axis([0.8 100 -0.01 0.02])

figure(5);

subplot(2,1,1), plot(t,x(:,4),'r');grid

title('Respuesta Transitoria de tita estimado')

ylabel ('tita')

ULA

�

�

axis([0 0.8 218.3 262])

subplot(2,1,2), plot(t,x(:,4),'r');grid

title('Respuesta en Estacionario de tita estimado')

xlabel ('t seg.')

ylabel ('dtita')

axis([0.9 100 253 270])

�