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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PIEDRAS NEGRAS INGENIERIA EN MECATRONICA MATERIA: Vibraciones Mecánicas TRABAJO: Investigación de la Unidad N° 2 “Vibraciones libres de sistemas de un grado de libertad.” PROFESOR: Ing. Cesar Rodríguez NOMBRE DEL ALUMNO: Orlando Bernal Muñoz 10430096

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INSTITUTO TECNOLGICO DE PIEDRAS NEGRAS

INGENIERIA EN MECATRONICAMATERIA: Vibraciones MecnicasTRABAJO:Investigacin de la Unidad N 2 Vibraciones libres de sistemas de un grado de libertad.PROFESOR: Ing. Cesar Rodrguez

NOMBRE DEL ALUMNO:Orlando Bernal Muoz 10430096

FECHA:29 de Abril del 2014

ndice2.1 Relaciones Constitutivas del Elemento Resorte, Inercia Amortiguador.32.2 Mtodo de las Fuerzas para el Anlisis de Sistemas Vibratorios.62.3 Mtodo de la Energa para Sistemas sin Amortiguamiento.112.4 Masa Efectiva142.5 Amortiguamiento Viscoso16Bibliografa16

2.1 Relaciones Constitutivas del Elemento Resorte, Inercia Amortiguador.

Por lo comn, un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energa potencial (resorte o elasticidad), un medio para conservar energa cintica (masa o inercia) y un medio por el cual la energa se pierde gradualmente (amortiguador).La vibracin de un sistema implica la transformacin de su energa potencial en energa cintica y de sta en energa potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su energa se disipa en cada ciclo de vibracin y se le debe reemplazar por una fuente externa para que se mantenga un estado de vibracin estable.Se dice que un sistema experimenta vibracin libre cuando oscila slo debido a una perturbacin inicial sin que ms adelante acten fuerzas externas. Un sistema de resorte y masa representa el sistema vibratorio ms simple posible. Se llama sistema de un solo grado de libertad, ya que una coordenada, x, es suciente para especicar la posicin de la masa en cualquier momento. No existe ninguna fuerza externa aplicada a la masa, de ah que el movimiento resultante de una perturbacin inicial ser una vibracin libre.Como no hay elemento alguno que disipe energa durante el movimiento de la msa, la amplitud del movimiento permanece constante con el tiempo; es un sistema no amortiguado. En la prctica, excepto en el vaco, la amplitud de vibracin libre se reduce gradualmente al paso del tiempo por la resistencia ofrecida por el medio circundante (digamos el aire). Se dice que tales vibraciones son amortiguadas. El estudio de vibracin libre de sistemas de un solo grado de libertad no amortiguados y amortiguados es fundamental para entender temas de vibracin ms avanzados.

Las relaciones o ecuaciones constitutivas son aquellas que representan las propiedades caractersticas de los materiales, y que los distinguen de otros. Un resorte es un elemento elstico que obedece la ley de Hooke, y se representa de acuerdo con la siguiente figura:

La ecuacin constitutiva que relaciona la fuerza F, la deflexin x y la constante elstica k se representa por:

En donde = fuerza elstica en el resorteK= constante elstica del resorte en N/m, lb/pulg, etc.El amortiguador es un elemento disipador de energa, y tiene como funcin principal la de limitar la amplitud de una vibracin. Su representacin es como sigue:

La ecuacin constitutiva para un amortiguador establece la relacin entre la fuerza, la constante de amortiguamiento c y la velocidad de deformacin , de acuerdo con:

En donde = fuerza del amortiguadorC = factor de amortiguamiento en N.s/m, lb.s/pulg, etc.La ecuacin constitutiva que establece la relacin entre la fuerza F, la masa m y la aceleracin se escribe por:

En donde = fuerza debido a la inerciaM = masa en kg o slugs = aceleracinEl caso general del sistema libre resorte, inercia y amortiguador se representa como sigue:

Las relaciones constitutivas del sistema anterior estn dadas por la ecuacin diferencial:

2.2 Mtodo de las Fuerzas para el Anlisis de Sistemas Vibratorios.Ecuacin de movimiento basada en la segunda ley de NewtonUtilizando la segunda ley del movimiento de Newton, consideraremos la derivacin de la ecuacin de movimiento. El procedimiento se resume como sigue:1) Seleccione una coordenada adecuada para describir la posicin de la masa o el cuerpo rgido en el sistema.2) Determine la conguracin de equilibrio esttico del sistema y mida el desplazamiento de la masa o el cuerpo rgido con respecto a su posicin de equilibrio esttico.3) Trace el diagrama de cuerpo libre de la masa o el cuerpo rgido cuando se le imparten un desplazamiento y velocidad positivos. Indique todas las fuerzas activas y reactivas que actan sobre la masa o cuerpo rgido.4) Aplique la segunda ley del movimiento de Newton a la masa o cuerpo rgido que presenta el diagrama de cuerpo libre:

Para un cuerpo rgido sometido a movimiento de rotacin, la ley de Newton da

Donde M es el momento resultante que acta en el cuerpo y y son el desplazamiento angular resultante y la aceleracin angular resultantes, respectivamente.Las ecuaciones anteriores representan la ecuacin del movimiento del sistema vibratorio.Aplicando este procedimiento a un sistema de un solo grado de libertad no amortiguado, cuando la masa se desplaza una distancia +x a partir de su posicin de equilibrio, la fuerza en el resorte es kx. La aplicacin de la ecuacin a la masa m da la ecuacin de movimiento:

O

Sistemas no amortiguados en traslacin.Para ste tipo de sistemas se utiliza la segunda ley de Newton para sistemas en traslacin:

Consideremos el siguiente sistema resorte-masa:

Aplicando la ecuacin anterior tenemos:, ya que del equilibrio esttico w=k.Ordenando la ecuacin resultante y dividindola entre la masa obtenemos

Si , entonces la ecuacin anterior se transforma en:x= 0 que es la ecuacin diferencial del movimientoResolviendo la ecuacin diferencial y aplicando las condiciones iniciales x(0) y (0) encontramos la respuesta del sistema vibratorio; esto es

En algunas ocasiones es conveniente usar un diagrama vectorial para representar visualmente el movimiento armnico, lo cual se indica a continuacin:

Si hacemos la ecuacin se transforma en

Siendo = ngulo de fase, , A =x (0).Clculo de la frecuencia natural a partir de la deformacin inicial.Esto se puede realizar fcilmente, sabiendo que w=k y w=mg, por lo que

Ejemplo. Un bloque de 25 kg est sostenido por el arreglo de resortes que se muestra en la figura. Si el bloque se mueve verticalmente hacia abajo desde su posicin de equilibrio y se suelta, determinar la velocidad mxima y la aceleracin mxima del bloque si la amplitud del movimiento es de 25 mm. Suponer 5 kN/m, = 20kN/m, = 2 kN/m.

Primero se determina la constante equivalente del arreglo de resortes:Los dos resortes en serie y tienen una constante equivalente

Los resortes con y quedan en paralelo, por lo que la constante equivalente del sistema es La ecuacin diferencial del movimiento es

La solucin general de la ecuacin diferencial es: Aplicando condiciones iniciales a la solucin general se obtiene:X=-0.025 cos15.492tDerivando de manera sucesiva se obtiene:

De las relaciones anteriores se tiene que

Sistemas no amortiguados en rotacin.Para este tipo de sistemas se utiliza la segunda ley de Newton para sistemas en rotacin

En donde (momento de inercia con respecto al punto 0) Momento de inercia con respecto al centro de gravedad del sistema

Lo anterior se representa en la siguiente figura:

Aplicando la ecuacin Se obtiene Para pequeas oscilaciones por la ecuacin se transforma en

Dividiendo por llegamos a la ecuacin

En donde La ecuacin diferencial obtenida es anloga a la que se obtuvo para los sistemas en traslacin, por lo que el criterio para determinar la frecuencia natural y resolver la ecuacin diferencial es exactamente el mismo.

2.3 Mtodo de la Energa para Sistemas sin Amortiguamiento.Principio de la conservacin de la energaSe dice que un sistema es conservador si no se pierde energa debido a la friccin o a miembros no elsticos que disipen energa. Si otras fuerzas externas no realizan trabajo en un sistema conservador (aparte de la gravedad u otras fuerzas potenciales), entonces la energa total del sistema permanece constante.Como la energa de un sistema vibratorio es parcialmente potencial y parcialmente cintica, la suma de estas dos energas permanece constante. La energa cintica T se almacena en la masa por efecto de su velocidad y la energa potencial U se almacena en el resorte a causa de su deformacin elstica. Por lo tanto el principio de conservacin de la energa se expresa como:T + U = constanteO

Las energas cintica y potencial resultan de:

Y

La sustitucin de las ecuaciones en la ecuacin principal da por resultado la ecuacin deseada:

Idntica a la ecuacin obtenida por el mtodo de fuerzas.

Mtodo de la energa para sistemas no amortiguados.El mtodo de la energa es un mtodo simple y directo para resolver problemas vibratorios. Se lleva a cabo mediante un balance de energa, aplicando el principio de la conservacin de la energa. Sabiendo que la energa mecnica permanece constante en cualquier punto se tiene que

En donde , EC = energa cintica, EP = energa potencialSi la energa total permanece constante entonces

Con sta ecuacin encontramos rpidamente la ecuacin diferencial del movimiento y la frecuencia natural correspondiente.Principio de Rayleigh.Este principio es una forma alterna del mtodo de la energa con el cual se obtiene una buena aproximacin de las frecuencias naturales sin necesidad de generar la ecuacin diferencial del movimiento. Este mtodo considera los pasos siguientes: a).- Se supone un movimiento armnico.Traslacin: Rotacin: b).- Se determina .c).- Se sustituyen los movimientos armnicos en las expresiones anteriores.d).- Igualando y reduciendo se encuentra el valor de .Problema 2.3.- Una placa delgada rectangular es flexionada hasta darle la forma cilndrica semicircular que se muestra en la figura. Hallar el perodo de oscilacin si se deja balancear en una superficie horizontal.

Solucin: De la figura se tiene:Centro de masa: Momento de inercia: Desplazamiento del centro de masa: Velocidad del centro de masa:

2.4 Masa EfectivaEn un sistema masa-muelle no slo la masa suspendida del extremo libre del resorte inuye en el movimiento, sino que tambin lo hace la masa del muelle. No obstante, como no todos los puntos del muelle se mueven a la misma velocidad que la masa suspendida, es incorrecto sumar la masa del muelle a la masa suspendida. La masa efectiva del muelle es aquella masa que al ser sumada a la masa suspendida permite predecir correctamente el comportamiento del sistema.Muelle idealLa masa efectiva del muelle en un sistema masa-muelle ideal es independiente de si la direccin del sistema es horizontal, vertical u oblicua, permaneciendo siempre como de la masa del muelle. Esto puede ser demostrado del siguiente modo:Llamemos m a la masa del muelle y M a la masa suspensa del muelle.Tomemos un segmento innitesimalmente delgado del muelle que se encuentre a una distancia y del extremo jo del muelle. Su longitud ser dy; su masa, dm; y su velocidad, u.

Donde L es la longitud del muelle.Ahora consideremos la energa cintica total del muelle:

Pero la velocidad de cada posicin del muelle es directamente proporcional a su longitud

Luego

Si comparamos con la frmula original de la energa cintica podemos concluir que, efectivamente, la masa efectiva del muelle en este caso es:

Masa efectiva. Es una masa equivalente de un sistema concentrada en un punto.El procedimiento para determinar la masa efectiva es mediante el clculo de la energa cintica adicional de la masa distribuida (suponiendo el movimiento de sta masa distribuida). Esta energa se determina mediante la expresin

Ejemplo. Determine la masa efectiva en el punto n del sistema mostrado en la figura, y determine su frecuencia natural.

Figura (a) Figura (b)Solucin:De la figura (b) se tiene que Energa cintica del sistema:

2.5 Amortiguamiento ViscosoLa fuerza de amortiguamiento viscoso F es proporcional a la velocidad o v y se expresa como:

Donde c es la constante de amortiguamiento o coeciente de amortiguamiento viscoso y el signo indica que la fuerza de amortiguamiento se opone a la direccin de la velocidad. Si para un sistema de un grado de libertad con un amortiguador viscos x se mide a partir de la posicin de equilibrio de la masa m, la aplicacin de la ley de Newton da por resultado la ecuacin de movimiento:

O

La ecuacin caracterstica de la ecuacin tiene las races:

Por lo tanto, la solucin general de la ecuacin es la combinacin lineal:

Donde son constantes arbitrarias que se tienen que determinar a partir de las condiciones iniciales del sistema.

Bibliografa