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FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

ESTTICA 2014-10

Ing. Brenda Snchez N.

VECTORES CARTESIANOS

Resulta ms fcil trabajar cuando los vectores se pueden expresar mediante sus componentes vectoriales perpendiculares.

Podemos tener un sistema de fuerzas coplanares, es decir que poseen solo 02 componentes X e Y.

Tambin se puede tener un sistema de fuerzas tridimensionales, cuando stas se pueden expresar en sus 03 componentes X, Y y Z

Vector UnitarioEs aquel que tiene una magnitud de 1 y se usa para sealar la direccin de un vector cualquiera, ya sea positiva o negativa

Si hablamos de un vector cualquiera A, el vector unitario estara representado por :

Donde :

Con esto estamos queriendo decir que A lo podemos expresar en trminos de su magnitud y su direccin, donde A define la magnitud de A(es un escalar) y uA (vector sin dimensin) es el que define la direccin y el sentido de A

Vectores unitarios cartesianosSe usan para indicar las direcciones de los ejes X, Y, Z. No olvidar que la direccin es a lo largo del eje, pero el sentido puede ser positivo o negativo y debe ser indicado mediante el signo + o

Por tanto un vector puede expresarse de la siguiente manera:

Si es coplanar Si est en el espacio

4RESULTANTE DE FUERZAS

Fuerzas coplanares:

Si tenemos varias fuerzas coplanares:

Descomponemos cada fuerza en sus Respectivas coordenadas

Se expresa cada una de ellas en Funcin de sus componentes unitarias

Se suman sus respectivascomponentes unitarias

Y se obtiene la resultante

Haciendo uso del teorema dePitgoras podemos encontrarLa magnitud de la resultante

Y con el uso de la trigonometraencontramos el ngulo con losejes

Fuerzas tridimensionales

El procedimiento para hallar la resultante es exactamente igual que con las fuerzas coplanares.

Una vez sumadas las componentes en cada direccin, se halla la resultante de la siguiente manera:

Y el ngulo que forma con los ejeas

Por ejemplo: hallemos la resultante de las fuerzas A y B

Si quisiramos hallar A + B, la resultante se expresara as:

Pero si quisiramos hallar A B, la resultante sera:

Cual fuer el caso, la fuerza resultante sera:

Vector posicin:Es un vector fijo que indica la localizacin en el espacio de un punto respecto a otro.

Si tenemos, por ejemplo, el punto P ubicado en una posicin P(x, y, z), el vector posicin r (que expresa la posicin de P respecto al origen de coordenadas), se extendera de O hasta P

El vector posicin r se expresara de laSiguiente forma (vase que se efecta laSuma de cabeza cola)

Ahora, si tuviramos que expresar la posicin de un punto respecto a otro, pero que no sea uno de ellos el origen de coordenadas, tendramos:

Queremos encontrar el vectorPosicin que va desde A hasta B

Si analizamos la suma vectorialCabeza cola, tendramos que:

Despejando r y expresndolo en forma vectorial, se tiene

Pudiendo expresarse tambin as:

Que corresponde a:

EJERCICIOS

PROBLEMA 1:

Se tienen 3 fuerzas que actan en el punto A. Hallar las componentes en X e Y de cada fuerza. Luego, calcule Ud. la magnitud de la resultante y su direccin.

PROBLEMA 2

Sobre le soporte mostrado, actan las fuerzas F1 y F2. Hallar la proyeccin de su resultante R sobre el eje b.

Aplicando el mtodo del paralelogramo se tiene:

Usando el teorema de coseno tenemos:

Con lo cual:

Segn el grfico podemos ver que podemos calcular la proyeccin perpendicular sobre el eje b as:

PROBLEMA 3:

Se tiene un poste al cual se le est aplicando una fuerza de 500 N en la direccin que se muestra.

Hallar las componentes de F, en funcin de los vectores unitarios i, j y expresar el resultado en componentes vectoriales y escalares.

Hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y

Hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y

a) Segn los datos consignados en el problema se tiene:

Segn esto las componentes escalares seran Fx = 250N y Fy = -433 N

Y las componentes vectoriales seran Fx = 250i N y Fy = -433j N

Segn el grfico, se aprecia que la fuerza F est en la direccin del eje x, por tanto, las componentes escalares en los eje x e y seran:

Fx = 500 N y Fy = 0 N

c) Como los ejes x e y no son perpendiculares, entonces hay que aplicar el mtodo del paralelogramo

Aplicando la ley de senos se tiene:

Por lo que sus componentes escalares en los eje pedidos seran:Fx = 1000NFy = 866 N

PROBLEMA 4

Determinar la magnitud y direccin de la resultante de las fuerzas que actan

Para la Fuerza 1 se tiene:

Para la F2 se tiene:

La fuerza resultante sera entonces:

Y su magnitud:

La direccin de la resultante sera, en funcin de los ngulos con los ejes, la siguiente:

PROBLEMA 5Hallar la Resultante de las siguientes fuerzas

PROBLEMA 6Determinar la magnitud y la posicin de F2 si la resultante est dirigida a lo largo del eje u positivo y tiene una magnitud de 50 lb

PROBLEMA 7