VECTORES 3D

7/18/2019 VECTORES 3D

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TEOREMA DE PITÁGORASEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras:CASO 1) Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

CASO 2) Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

CASO 3) Conociendo sus lados, averiguar si es rectánguloPara que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo.



DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO

Situamos ahora los puntos.

El cálculo de la distancia entre los puntos P y Q lo hacemos del mismo modo que si se tratara de un espacio en dosdimensiones, con la salvedad que ahora son tres las variables:

Halla la distancia entre los puntos

Sustituyendo:

Respuesta: 10,48 u.



DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANOCuando se trata de coordenadas de dos dimensiones no tenemos problemas:

La distancia es la hipotenusa y los catetos son:

La distancia:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASPara las Funciones Trigonométricas haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno,Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos siempre con la Calculadora.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras, las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizaránpara referirnos a los Ángulos del Triángulo.Empezaremos a ver cada una de las Funciones:1. Función Seno ( Sen): Nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es lasiguiente:

2. Función Coseno ( Cos): Describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:



3. Función Tangente (Tan): Representa la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es lasiguiente:

LA LEY DE LOS SENOSLa ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulocualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triánguloes constante. Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue:

Figura 1Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de losvalores conocidos.Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer ladoy la medida de los otros dos ángulos.Solución:

Calculemos el ángulo

Como los tres ángulos internos deben sumar 180O, podemos obtener el ángulo ,

Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos:



LA LEY DE LOS COSENOS

La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ellaenuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos edoble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema atriángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de losvalores conocidos.Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado.Solución:Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:

Componentes de un vector en el espacioSi las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son lascoordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un vector

Distancia entre dos puntos



Producto escalar

Expresión analítica del ángulo entre dos vectores

Vectores ortogonales

Proyección



Cosenos y Ángulos directores

Producto vectorial

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