DERIVADAS PARCIALES

En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

1. Definición de derivadas parciales

Sea una función y . Se define la derivada parcial de

con respecto a su i-ésima variable en el punto , denotada por

, como el límite:

siempre y cuando exista dicho límite.

1.1. Observaciones:

a) Los son los vectores de la base canónica de . En particular los vectores de la base canónica de son: y

a) Derivadas parciales para una función de dos variables:

Si , entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a las variables x e y son las funciones y respectivamente, definidas mediante:

siempre y cuando existan los límites.

EJERCICIO 1: Determinar y para la función y deducir una forma práctica para calcular las derivadas parciales

EJERCICIO 2: Si , verificar que:

EJEMPLO 1:

Para la función encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el punto (1, ln2)

Solución

Como la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2) es

Como la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln2) es

1.2. Interpretación geométrica de la derivada parcial : Dada la función

a) Para , la función está representada geométricamente por la curva que se obtiene de intersecar la superficie dada por con el plano vertical . Luego:

Es decir representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

donde …..FIGURA 1

FIGURA 1

b) Para , la función está representada geométricamente por la curva que se obtiene de intersecar la superficie dada por con el plano vertical . Luego:

Es decir representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

donde …..FIGURA 2

 

FIGURA 2

EJEMPLO 2:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide y el plano , cuando .

Solución

En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con lo cual,  la recta es : ,  pero pasa por el punto y así

En la figura 1 se muestra la recta tangente y la parábola

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:

La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 3.

FIGURA 3

EJERCICIO 3: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide

y el plano , cuando .

1.3. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR:

En forma similar a como se define las derivadas de ordenes superiores para funciones en una variable,

tambien se puede obtener las derivadas parciales de ordenes superiores para funciones . Por

ejemplo para la función , podemos obtener de ellas sus derivadas parciales segundas

(derivadas parciales de segundo orden), las cuales son cuatro en total: Si , utilizamos la

siguiente notación :

La notación o significa que primero derivamos con respecto a y luego con respecto a ,

mientras que para calcular el orden se invierte.

EJEMPLO 3

Calcule las segundas derivadas parciales de

Solución

Las primeras derivadas parciales están dadas por :

Entonces tenemos que :

EJERCICIO 4: Compruebe que la función satisface la ecuación diferencial de Laplace en derivadas parciales:

1.4. Observación : note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo 3, son iguales. Esto no es

una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema,

descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 - 1765), da las condiciones

bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.

1.5. TEOREMA: 

   Teorema (igualdad de las derivadas mixtas)

 

Sea una función definida en el conjunto abierto : Si las funciones y son continuas en , entonces:

EJERCICIO 5: Si se dijera que existe una función cuyas derivadas parciales son y , ¿usted lo creería?

EJERCICIO 6: Si :

calcular: donde

EJERCICIO 7: Constate que la función satisface la ecuación del calor:

VECTOR GRADIENTE

1. DEFINICIÓN:

   Definición  (vector gradiente)

 

Sea la función definida en el conjunto abiento , se define el gradiente de (denotada por o ) como el vector:

Observación: si es una función en tres variables, su gradiente esta dado por:

EJEMPLO 4

Si , calcule .

Solución

El gradiente está dado por :

y evaluando

EJERCICIO 8: Hallar donde

2. PROPIEDADES DEL GRADIENTE:

Sea la función definida en el conjunto abiento :

a) La dirección de máximo crecimiento de en está dado por . El valor máximo de

dicho crecimiento es

b) La dirección de mínimo crecimiento de en está dado por . El valor mínimo de

dicho crecimiento es

EJERCICIO 10: La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica viene dado por:

Midiendose e en pulgadas. Desde el punto

a) ¿En qué dirección crece la temperatura más rapidamente?

b) ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

EJERCICIO 11: La temperatura en el punto en un trozo de metal viene dada por la fórmula

, ¿en qué dirección, a partir del punto , crece más rápidamente la temperatura.

PLANO TANGENTE

1. DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL:

Sea una función diferenciable en ( una función con derivadas parciales

continuas en o una función que geométricamente es una superficie que tiene un trazo suave, “sin puntas, vértices o esquinas” ).

1.1. La ecuación: …………( I )

define el PLANO TANGENTE a la superficie en el punto y con vector

normal , donde y

1.2. La ecuación: ………………………………( II )

Define a la RECTA NORMAL a la superficie en el punto y con vector

direccional ,

1.1.1. Observación: Como la función se define como: . Luego:

…………( III )

Reemplazando ( III ) en ( I ), la ecuación del plano tangente se puede escribir como:

Figura 1: Plano tangente y Recta normal

EJEMPLO 1 : Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto . SoluciónEl vector gradiente esta dado por

donde

En el punto , el vector normal es y la ecuación del plano tangente es:

simplificando

En la figura siguiente se muestra el paraboloide y el plano tangente.

 

Figura 3: Plano tangente

EJEMPLO 2: ¿En qué punto de la superficie , la recta normal es paralela al vector ?

Solución

Sea el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector , entonces su vector director también es paralelo a ; con lo cual, si , entonces:

Evaluando en : ……………………..( 1 )

Por otro lado, el punto está sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación. Es decir:

De (1) obtenemos el siguiente sistema:

Resolviéndolo obtenemos que:

Y así, el punto buscado es .

EJERCICIO 1: Hallar la ecución del Plano Tangente al Paraboloide elíptico en el

punto . Además hallar la Recta normal en dicho punto y graficar.

EJERCICIO 2: Halle el punto de la superficie donde el plano tangente es horizontal. Graficar