VARIABLES Y GRÁFICAS ESTADÍSTICAS

1 Se ha obtenido el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose:Peso (kg) Nº niños[2,5;3) 6[3;3,5) 23[3,5;4) 12[4;4,5) 9

Dibuja un histograma que represente estos datos.

Solución:

2 En el estudio de una variable x se obtuvo la siguiente distribución de frecuencias:x 5 7 9 10 13 14f 8 12 17 20 26 30

Haz una tabla de frecuencias completa.

Solución:x f h F H %5 8 8/113 8 8/113 7,087 12 12/113 20 20/113 10,629 17 17/113 37 37/113 15,0410 20 20/113 57 57/113 17,7013 26 26/113 83 83/113 23,0114 30 30/113 113 1 26,55Suma= 113 1 100

3 Los precios en €/kg de algunos productos son:40, 45, 50, 45, 55, 60, 45, 50, 65, 45, 50, 75, 65, 50, 55, 45, 60, 65, 70, 55, 60, 50, 45, 60, 65, 55, 45, 50, 50, 65.a) Realiza una tabla de frecuencias.b) Dibuja un diagrama de barras.c) Dibuja un diagrama de sectores.

Solución:a)

Precio f40 145 750 755 460 465 570 175 1

b)

c)

4 Los siguientes datos corresponden a la calificación de alumnos de 4º ESO A y B en Matemáticas:4º A: 6, 2, 4, 9, 5, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 6, 4, 2, 8, 3, 8, 9, 3, 6, 5, 7, 2, 4, 9.4º B: Notable, Insuficiente, Notable, Sobresaliente, Bien, Notable, Notable, Suficiente, Insuficiente, Bien, Insuficiente, Suficiente, Insuficiente, Suficiente, Bien, Notable, Bien, Insuficiente, Notable, Insuficiente, Bien, Insuficiente, Notable, Notable, Suficiente.a) Indica qué tipo de variable es en cada caso.b) Realiza una tabla de frecuencia para cada grupo.c) Representa cada uno utilizando el gráfico más adecuado.

Solución:a) Las notas de 4º A forman una variable cuantitativa discreta, y las de 4º B es una variable cualitativa.b)

Nota f2 43 34 45 26 37 28 39 4

Nota f

Insuficiente 7Suficiente 4Bien 5Notable 8Sobresaliente 1

c)

5 Dado el siguiente histograma relativo a las notas de los alumnos de una clase, responde:

a) ¿Cuántos alumnos tiene la clase?b) ¿Cuál es el porcentaje de suspensos?c) ¿Cuáles son las marcas de clase de la distribución?d) ¿Cuál es el porcentaje de alumnos con notas superiores o iguales a 7,5?

Solución:a) 5 + 10 + 10 + 5 = 30 alumnos.

b)

c)

d)

6 En Eurovisión se han obtenido los siguientes puntos en las cuatro primeras canciones:Canción 1ª 2ª 3ª 4ªPuntos 210 170 90 30

Representa estos datos en un diagrama de sectores.

Solución:

7 Durante el mes de julio se han obtenido las siguientes temperaturas:32, 33, 33, 34, 31, 29, 29, 29, 33, 32, 34, 28, 27, 27, 33, 32, 31, 30, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 31, 29, 30, 29, 30, 31, 32.¿Qué es más adecuado: considerar la variable continua o discreta? Haz una tabla de frecuencia y dibuja el gráfico que sea más adecuado.

Solución:La temperatura es una variable continua, aunque en este caso, al tener pocos datos diferentes, resulta más útil no agrupar los datos en clases, considerándola continua.

Tª Nº días27 228 129 730 731 432 433 434 2

8 Construye una tabla de frecuencia agrupando previamente los datos en intervalos y dibuja un histograma de la siguiente colección de pesos, extraída de una muestra de 20 personas:66, 59, 53, 57, 51, 58, 49, 59, 68, 65, 54, 56, 59, 66, 58, 61, 65, 62, 55, 68.

Solución:Peso x f h[49, 54) 51,5 3 3/20[54, 59) 56,5 6 3/10[59, 64) 61,5 5 1/4[64, 69) 66,5 6 3/10

Suma= 20 1

9 Construye una tabla de frecuencia agrupando previamente los datos en intervalos y dibuja un histograma de la siguiente colección de alturas, extraída de una muestra de 20 personas:1,63; 1,73; 1,73; 1,68; 1,59; 1,71; 1,58; 1,66; 1,81; 1,58; 1,72; 1,62; 1,77; 1,82; 1,68; 1,70; 1,61; 1,75; 1,69; 1,64.

Solución:Altura x f h[1,58; 1,63) 1,605 5 1/4[1,63; 1,68) 1,655 3 3/20[1,68; 1,73) 1,705 6 3/10[1,73; 1,78) 1,755 4 1/5[1,78; 1,83) 1,805 2 1/10

Suma= 20 1

10 En una muestra de 100 piezas se han encontrado 59 sin defectos, 12 con 1 defecto, 9 con 2 defectos, 7 con 3 defectos, 6 con 4 defectos, 5 con 5 defectos y 2 con 6 defectos. Representa estos datos mediante un diagrama de barras y un polígono de frecuencias.

Solución:

11 Se conoce que le 40% de una población son hijos únicos y el 25% tienen más de 2 hermanos. Si la población consta de 500 habitantes, elabora una tabla de frecuencia y dibuja el gráfico más adecuado.

Solución:El 40% de 500 es 200, y el 25% de 500 es 125. 500 - 200 - 125 = 175.

Nº hermanos f

1 2002 1753 125

12 En cierta empresa se distribuye su personal según la antigüedad en ella (expresada en años), de la siguiente manera:

Antigüedad 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44Nº empleados 14 18 24 22 26 20 16 10 6

Realiza una tabla con las marcas de clase, la frecuencia absoluta y la relativa. Dibuja un histograma.

Solución:Antig. x f h[0,5) 2,5 14 7/78[5,10) 7,5 18 3/26[10,15) 12,5 24 2/13[15,20) 17,5 22 11/78[20,25) 22,5 26 1/6[25,30) 27,5 20 5/39[30,35) 32,5 16 4/39[35,40) 37,5 10 5/78[40,45) 42,5 6 1/26

Suma= 156

1

13 Haz una tabla de frecuencia y dibuja el gráfico más adecuado para organizar las alturas de 30 personas:156, 168, 167, 156, 167, 165, 174, 175, 181, 170, 177, 165, 169, 158, 161, 182, 179, 183, 182, 155, 160, 159, 165, 174, 177, 177, 187, 180, 170, 175, 180.

Solución:

Lo más conveniente es agrupar los datos en clases, por ejemplo de amplitud 5. Comenzaremos por 155 que es la altura más baja.

14 Dado el siguiente diagrama de sectores sobre gustos en el deporte realizado gracias a una encuesta a 2500 individuos, realiza una tabla de frecuencia que organice los resultados:

Solución:Para calcular las frecuencias se hace el tanto por ciento correspondiente de 2500.Deportefavorito

f

Fútbol 1000Baloncesto 625Tenis 375Ciclismo 250Otros 250

15 Durante un experimento se han obtenido los siguientes datos:6,3; 8,8; 7,9; 9,2; 8,6; 8,7; 8,3; 9,2; 7,7; 8,4; 8,6; 7; 6,6; 7,7; 7; 6; 9,4; 7,9; 5,2; 8,2; 7,7; 7,8; 4,1; 6,7; 6,8; 7,6; 4,6; 8,1; 7,5; 9,8; 8,1; 8,2; 8,1; 8,7; 7,8; 8,1; 7,7; 7,9; 7,4; 6,7.Clasifica los datos en 6 clases y elabora una tabla de frecuencias completa.

Solución:Clases f h F H %[4,5) 2 1/20 2 1/20 5[5,6) 1 1/40 3 3/40 2,5[6,7) 6 3/20 9 9/40 15

[7,8) 14 7/20 23 23/40 35[8,9) 13 13/40 36 9/10 32,5[9,10) 4 1/10 40 1 10Suma= 40 1 100

16 En un ejercicio de ortografía, el número de errores de 30 alumnos ha sido el siguiente:Nº errores 0 1 2 4 5 7Nº alumnos 3 6 4 7 6 4

a) Dibuja un diagrama de barras.b) Dibuja un diagrama de sectores.

Solución:a)

b)

17 Lanza al aire 4 monedas 40 veces y anota el número de veces que ha salido 0, 1, 2, 3 y 4 caras. Expresa el resultado en un diagrama de barras. ¿Qué observas?

Solución:Un resultado posible es:

Nº caras Nº veces0 31 112 243 10

4 2

Se observa que, a medida que aumenta el número de tiradas, se reparten de la siguiente manera: 1/16, 4/16, 6/16, 4/16 y 1/16.

18 Lanza 50 veces dos dados y anota el número de veces que la suma de sus puntuaciones ha sido 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Expresa los resultados en un diagrama de sectores. ¿Qué observas?

Solución:Un resultado posible es:

Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Nº veces 1 3 4 5 8 8 7 6 5 2 1

Se observa que, a medida que aumenta el número de tiradas, se reparten de la siguiente manera: 1/36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36, 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36.

19 La extensión en miles de km2 de los siguientes países es:Portugal: 92, España: 505, Francia: 551, Italia: 301, Suiza: 41, Bélgica: 30, Holanda: 32.Representa la extensión relativa de estos países en un diagrama de sectores.

Solución:

20 Expresa mediante un diagrama de barras y un diagrama de sectores las áreas de los continentes, expresadas a continuación en millones e km2:

Continente Europa África Oceanía Asia América AntártidaÁrea 10,5 30,3 8,9 44,3 42 13,2

Solución:

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

1 Si , calcula:

a) b) c)

Solución:a) 18 b) 17 c) 21

2 Calcula la media aritmética, la mediana y la moda de:a) 5, 3, 4, 7, 8, 10, 5, 5, 4, 3.b) 15, 13, 12, 11, 17, 15, 14, 12, 16, 20.

Solución:

a) ; Me = 5; Mo = 5.

b) ; Me = 14,5; Mo = 12 y 15.

3 Halla la media, la mediana, la moda, la varianza y el recorrido del siguiente conjunto de datos:

Inter. f[20, 22) 15[22, 24) 25[24, 26) 9[26, 28) 21[28, 30) 28[30, 32) 12

Solución:Se completa la tabla:

Inter. x f x·f x2·f[20, 22) 21 15 315 6615[22, 24) 23 25 575 13225[24, 26) 25 9 225 5625[26, 28) 27 21 567 15309[28, 30) 29 28 812 23548[30, 32) 31 12 372 11532

110 2866 75854

, Me = 27, Mo = 29, , Re = 32 - 20 = 12.

4 Dada la distribución 1, 3, 5, 4, 6, 8, 9, 4, 1, 7:a) Realiza una tabla de frecuencia.b) Calcula la media aritmética.c) Calcula la desviación típica.

Solución:a)

x f1 23 1

4 25 16 17 18 19 1

b)

c)

5 Un inversor compra 2000 acciones en 5 sesiones diferentes en la bolsa. El precio de compra en cada sesión se adjunta en la siguiente tabla:

Precio Nº acciones9 3008,7 6008,4 2008 5007,8 400

Calcula el precio de compra medio, la mediana y la moda.

Solución:

Me = 8,4. Mo = 8,7

6 Calcula la varianza y la desviación típica de:

a) 12, 6, 7, 3, 15, 8, 9.b) 3, 4, 8, 7, 6, 2, 1.

Solución:

a) ; ;

b) ; ;

7 La temperatura que hemos tenido a lo largo de una semana ha sido:Día Mín. Máx.L 4 19M -2 18X -3 21J 1 22V 5 19S 0 12D 4 14

a) Halla la media de las temperaturas mínimas.b) Halla la media de las temperaturas máximas.c) Halla la media de las oscilaciones extremas diarias.

Solución:

a)

b)

c)

8 En un test efectuado a 9 alumnos hemos obtenido los siguientes resultados:

Respuestasexactas

NºAlum.

[30, 40) 2[40, 50) 8[50, 60) 20[60, 70) 29[70, 80) 14[80, 90) 10[90, 100) 7

Calcula la media, moda, la mediana y la varianza.

Solución:Completando la tabla:

Inter. x f x·f x2·f[30, 40) 35 2 70 2450[40, 50) 45 8 360 16200[50, 60) 55 20 1100 60500[60, 70) 65 29 1885 122525[70, 80) 75 14 1050 78750[80, 90) 85 10 850 72250[90, 100) 95 7 665 63175

90 5980 415850

; Mo = 65; Me = 65; .

9 Calcula media, la moda, la mediana, la varianza y la desviación típica, si es posible, de los siguientes datos:

a)

x f

Rojo 3

Verde 4

Azul 5

Amarillo 4

b)

x f

1º 5

2º 7

3º 8

4º 6

Solución:a) Sólo se puede calcular la moda al ser una variable cualitativa. Mo = Azul.b) Sólo se puede calcular la moda al ser una variable cualitativa. Mo = 3º.

10 Dada la siguiente serie, 3, 4, 8, 25, 40, calcula:

a) La media aritmética.b) La moda.c) La desviación media.d) La desviación típica.

Solución:

a)

b) Todos los datos son moda.

c)

d)

11 La distribución de los pesos de 81 pacientes de un hospital ha sido la siguiente:

kg f[50, 60) 18[60, 70) 20[70, 80) 15[80, 90) 17[90, 100) 10[100, 110) 1

Calcula la media y la varianza.

Solución:Completando la tabla:

Inter. x f x·f x2·f[50, 60) 55 18 990 54450[60, 70) 65 20 1300 84500[70, 80) 75 15 1125 84375[80, 90) 85 17 1445 122825[90, 100) 95 10 950 90250[100, 110) 105 1 105 11025

81 5915 447425

,

12 Abrevia agrupando en notación sumatoria:

a) 1 + 2 + 3 + 4 - (5 + 6)

b)

Solución:

a)

b)

13 Dada la siguiente serie, 8, 8, 8, 21, 35, calcula:

a) La media aritmética.b) La moda.c) La desviación media.d) La desviación típica.

Solución:

a)

b) Mo = 8

c)

d)

14 Abrevia agrupando en notación sumatoria:

a)

b)

Solución:

a)

b)

15 Dada la siguiente tabla, calcula:

x 51 54 57 60 63

f 5 13 20 18 27

a) Mediana, moda y media aritmética.

b) Varianza y desviación típica.

c) Desviación respecto a la media.

d) Recorrido.

Solución:Completando la tabla:

x f x·f x2·f51 5 255 1300554 13 702 3790857 20 1140 6498060 18 1080 6480063 27 1701 107163

83 4878 287856

a) Me = 60, Mo = 63,

b) ,

c)

d) Re = 63 - 51 = 12.

16 Desarrolla las siguientes notaciones:

a) b) c)

Solución:a) b)

c)

17 Desarrolla las siguientes notaciones:

a) b)

Solución:a)

b)

18 Las edades de un grupo de amigos: 12, 14, 15, 15, 16 y 18.

a) Halla la desviación respecto de la media de cada una de las edades.

b) Halla la desviación media de la serie.

Solución:

a) .

, , , , , .

b)

19 Si los números 1, 2, 3, 4 y 6 los multiplicas por 2, se obtiene 2, 4, 6, 8 y 12. Compara las medias aritméticas y las varianzas de ambas series. Compara el coeficiente de variación e interpreta el resultado.

Solución:

,

, .

Al multiplicar los datos por 2, la media queda multiplicada por 2 y la varianza por 4.

, . Son iguales porque la dispersión relativa es la misma. Se puede ver

simplemente como un cambio de escala.

20 Si a los números 1, 2, 3, 4 y 6 les sumamos 6, obtenemos 7, 8, 9, 10 y 12. Compara las medias aritméticas y las varianzas de ambas series.

Solución:

,

, .

Al sumar 6 a cada dato, la media también queda aumentada 6, y la varianza cambia. Se puede ver simplemente como una traslación, por lo que el punto de equilibrio se traslada también, pero la dispersión es la misma.

21 Una distribución tiene una media de 7 y una varianza de 196. ¿Es representativa la media?

Solución:La representatividad de los parámetros de centralización es menor cuanto mayor lo son los de dispersión, por lo que en este caso la media no es suficientemente representativa.

22 Cuatro grupos de enfermos de un hospital, formados por 15, 20, 10 y 12 pacientes, tiene una media de pesos de 75, 83, 80 y 91 kg respectivamente. Halla el peso medio de todos los pacientes.

Solución:

.

23 La media de una muestra es 4, y su varianza es 0,0144. ¿Qué se puede decir de la representatividad de la media?

Solución:La representatividad de los parámetros de centralización es mayor cuanto menor lo son los de dispersión, por lo que en este caso la media es muy representativa.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1 En un sorteo de la ONCE consideramos los sucesos:a) A={El número premiado acaba en 0}.b) B={El número premiado empieza por 4}.Calcula P(A B).

Solución:Se trata de sucesos compatibles, por tanto:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)= .

2 Lanzamos un dado cúbico, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea múltiplo de 2 ó de 3?

Solución:Se trata de sucesos compatibles, por tanto:

P(Múltiplo de 2 ó de 3) = P(múltiplo de 2) + P(múltiplo de 3) - P(múltiplo de 2 y de 3)= .

3 ¿Cuál es la probabilidad de que te toque el primer premio de lotería si compras 3 décimos diferentes?

Solución:Si hay 100000 posibles números, aplicando la regla de Laplace se tiene:

P(premio)= .

4 De una urna con 7 bolas blancas y 14 negras extraemos una. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?

Solución:Utilizando la regla de Laplace tenemos que:

P(blanca)= .

5 Lanzamos un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par?

Solución:Utilizando la regla de Laplace tenemos que:

P(Número par)= .

6 Tenemos una urna con 10 bolas blancas, 5 rojas y 5 negras. Extraemos una y consideramos los sucesos:a) A={Salir blanca}.b) B={Salir roja}.Calcula P( ) y P( ).

Solución:

P( ) = 1 - P(A) = 1- .

P( ) = 1 - P(B) = 1- .

7 Si abrimos un libro de 300 páginas por una página al azar, ¿cuál es la probabilidad de abrirlo por una página entre la 100 y la 200?

Solución:Como son sucesos equiprobables podemos utilizar la regla de Laplace:

P(abrirlo entre la 100 y la 200)= .

8 Se extrae una carta de una baraja española, ¿cuál es la probabilidad de que no sea una figura de oros?

Solución:Como sacar cualquier carta de la baraja es equiprobable aplicamos la regla de Laplace:

P(figura de oros)= .

9 Si jugamos a la lotería primitiva y consideramos los sucesos A={Acertar 1, 3 ó 4}, B={No acertar ninguna} y C={Acertar 2, 3 ó 4}. Comprueba si A y B son compatibles y halla y .

Solución:A y B son incompatibles, ya que no se pueden realizar a la vez.

={Acertar algún número}. ={No acertar ninguno o acertar 1, 5 ó 6}.

10 Si extraemos una carta de una baraja española, ¿cuál es la probabilidad de que sea o figura de bastos, o un oro o el rey de copas?

Solución:Como se trata de sucesos incompatibles, tenemos que:

P(figura de bastos, oros o rey de copas) = P(figura de bastos) + P(oro) + P(rey de copas) = .

11 Sea el experimento consistente en lanzar un dado cúbico y los sucesos A={1,2,3} y B={3,4}. Halla y .

Solución:={1,2,3,4}.

={3}.

12 Extraemos una carta de una baraja española y consideramos los sucesos:a) A={Sale figura}.b) B={Sale una espada}.Calcula P(A B).

Solución:Se trata de sucesos compatibles, por tanto:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)= .

13 Lanzamos 2 dados cúbicos y consideramos los sucesos A={Que salga el mismo resultado en los dos}, B={Que la primera tirada sea múltiplo de 3}, C={Que la segunda tirada sea un 5}. Halla A B, A B, B C y B C.

Solución:A B={Que salgan 2 números iguales o que el primero sea 3 ó 6}.A B={Sacar dos treses o dos seises}.B C={Que la primera tirada sea un 3 ó un 6 ó la segunda un 5}.B C={La primera tirada un 3 y la segunda un 5 o la primera tirada un 6 y la segunda un 5}.

14 Si lanzamos dos dados a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que salga el mismo resultado en los 2 dados?

Solución:Hay 36 posibles resultados equiprobables si suponemos el orden en que los lanzamos, y 6 son los casos favorables, por tanto:

P(2 tiradas iguales)= .

15 Se sortea una excursión en la que se han apuntado 39 personas. Si el que realiza el sorteo dice que le probabilidad de que

le toque ir a cualquiera que se haya apuntado es de , ¿cuántas personas irán a la excursión?

Solución:Utilizando la regla de Laplace tendríamos una ecuación de primer grado:

P(Ir a la excursión)= , de lo que se deduce que x=26.

16 Cuatro amigos se juntan para ir al cine y una vez que llegan no se ponen de acuerdo en cuál de las 7 películas que proyecta el cine quieren ver. Deciden sortearlo entre las 7 películas que son 2 comedias, 2 dramas, 2 de acción y 1 de ciencia ficción. ¿Cuál es la probabilidad de que vean una película que no sea de ciencia ficción?. ¿Y la de ver una

comedia?

Solución:Como son sucesos equiprobables utilizamos la regla de Laplace:

P(no sea de ciencia ficción)= .

P(ver una comedia)= .

17 Sacamos dos cartas de una baraja española y consideramos los sucesos A={Que sean del mismo palo}, B={Que la primera sea un oro}, C={Que la primera sea una figura}. Halla A B, A B, B C y B C.

Solución:A B={Que sean del mismo palo o la primera un oro}.A B={Sacar dos oros}.B C={Que la primera sea oro o figura}.B C={Que la primera sea una figura de oros}.

18 Extraemos una carta de una baraja española y consideramos los sucesos:a) A={Salir figura}.b) B={Salir oro}.Calcula P( ), P( ) y P( ).

Solución:

P( ) = 1 - P(A) = 1- .

P( ) = 1 - P(B) = 1- .

P( ) = 1 - P( ) = 1 - .

19 Lanzamos tres veces una moneda y consideramos los sucesos A={Que salga 3 veces el mismo resultado}, B={Que la primera tirada salga cara}, C={Que la primera tirada salga cruz}. Halla A B, A B, B C y B C.

Solución:A B={Que salga 3 veces el mismo resultado o que la primera tirada salga cara}.A B={Sacar tres caras}.B C={cualquier tirada}= .B C= .

20 Si lanzamos un dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número primo?

Solución:Entre 1 y 12 hay 6 números primos, por tanto aplicando la regla de Laplace se tiene:

P(número primo)= .

21 Si suponemos que la probabilidad de nacer en cualquier mes del año es la misma, ¿cuál es la probabilidad de nacer en un mes que incluya la letra R?. ¿Y la de nacer en un mes que acabe por O?

Solución:Como hay 8 meses con R y 6 que acaben por O, utilizamos la regla de Laplace y tenemos que:

P(nacer en mes con R)= .

P(nacer en mes que acabe por O)= .

22 Tenemos una urna con 20 bolas numeradas del 1 al 20. Extraemos una bola y consideramos los sucesos:a) A={Salir múltiplo de 4}.b) B={Salir número primo}.c) C={Salir número impar}.Calcula P( ) y P( ).

Solución:A y B son sucesos incompatibles, por tanto:

P( ) =P(A) + P(B)= .

B y C también son sucesos compatibles, por tanto:

P( ) = P(B) + P(C) - P( )= .

23 Lanzamos un dado de 8 caras y consideramos los sucesos:a) A={Salir número menor o igual que 3}.b) B={Salir número par}.Calcula P( ), P( ) y P( ).

Solución:

P( ) = 1 - P(A) = 1- .

P( ) = 1 - P(B) = 1- .

P( ) = 1 - P( ) = 1 - .

24 Tenemos una urna con bolas blancas negras y rojas. Consideramos el experimento consistente en sacar 2 bolas de la urna. Sean los sucesos: A={sacar blanca y roja, blanca y negra, 2 rojas} B={sacar 2 blancas, 2 negras, 2 rojas} C={sacar blanca y roja, negra y roja}

Halla y y comprueba si son compatibles A y B, B y C.

Solución:={sacar 2 blancas, 2 negras, o roja y negra}.

={sacar 2 bolas de distinto color}. ={sacar blanca y negra o dos bolas del mismo color}.

A y B son compatibles ya que si saca 2 bolas se dan los 2 sucesos a la vez.

B y C son incompatibles.

25 Si consideramos el experimento consistente en la extracción de una carta de la baraja española y los sucesos:a) A={salir oro, salir bastos}b) B={salir copas, salir figura}c) C={salir espadas}

Halla y y comprueba si son compatibles A y B, A y .

Solución:={salir copas o espadas}.

={no salir ni copas ni figura}.={no salir espadas}.

A y B son compatibles ya que si sale una figura de oros o bastos se realizan los dos sucesos a la vez. A y son compatibles ya que si sale oros o bastos se realizan los dos sucesos a la vez.

26 Tenemos una urna con los nombres de los vecinos de un barrio. Extraemos dos nombres y sabemos que:

P( Uno sea un niño menor de 14 años y el otro una señora mayor de 50) = .

P( Alguno sea un niño menor de 12 años) = .

P( Alguno sea una señora mayor d 50 años) = .

Calcula P(Alguno sea un niño menor de 14 años o una señora mayor de 50 ).

Solución:Si consideramos al suceso A={Alguno sea un niño menor de 14 años} y B={Alguno sea una señora mayor de 50 años} y sabiendo que son sucesos compatibles y conociendo la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos compatibles, hay que despejar P(A B):

P(A B) = P(A) + P(B) - P( ) = .

27 Lanzamos un dado de 4 caras 2 veces y consideramos los sucesos A={Que salga lo mismo las 2 veces}, B={Que la primera sea múltiplo de 2}, C={Que la segunda sea un 3}. Halla los pares que forman A B, A B, B C y B C.

Solución:A B={(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.A B={(2,2),(4,4)}.B C={(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,1,),(4,2),(4,3),(4,4)}.B C={(2,3),(4,3)}.

28 Tenemos una urna con bolas blancas, rojas y negras. Extraemos dos bolas y sabemos que:

P( Alguna sea roja o negra) = .

P( Alguna sea roja) = .

P( Alguna sea negra) = .

Calcula P( Sacar una negra y otra roja).

Solución:Si consideramos al suceso A={Sacar alguna bola roja} y B={Sacar alguna bola negra} y sabiendo que son sucesos compatibles y conociendo la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos compatibles, hay que despejar P(A B):

P(A B) = P(A) + P(B) - P( ) = .

29 Tenemos una urna con papeletas numeradas del 1 al 100. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un número salga múltiplo de 3 ó de 5?. ¿Y si tuviéramos 1000 papeletas numeradas?

Solución:Como son sucesos compatibles, se tiene:

P(múltiplo de 3 ó de 5) = P(múltiplo de 3) + P(múltiplo de 5) - P(múltiplo de 15)= .

En el caso de 1000 papeletas sería:

P(múltiplo de 3 ó de 5) = P(múltiplo de 3) + P(múltiplo de 5) - P(múltiplo de 15)= .

30 Lanzamos un dado de 10 caras y consideramos los siguientes sucesos:a) A={Que salga múltiplo de 3}.b) B={Que salga par}.c) C={Que salga número menor o igual que 5}.Calcular P( ), P( ) y P( ).

Solución:A y B son sucesos incompatibles, por tanto:

P(A B) = P(A) + P(B) = .

Los otros dos casos son de sucesos compatibles, entonces:

.

.

31 lanzamos 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las caras sea 5?. ¿Y de que sea 11?

Solución:Para que los sucesos sean equiprobables tenemos que tener en cuenta el orden, y para que la suma sea 5 hay 4 casos favorables( 1-4, 2-3, 3-2, 4-1) y para que la suma sea 11 solo hay 2 casos favorables(5-6, 6-5), por tanto utilizando la regla de Laplace se tiene:

P(suma 5)= .

P(suma 11)= .

32 En una excursión van 20 españoles ( 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños) y 17 franceses (5 hombres, 9 mujeres y 3 niños)Elegimos una persona al azar y consideramos los siguientes sucesos:a) A={Que sea un niño}.b) B={Que sea español}.Calcula P(A), P(B), P( ) y P( ).

Solución:Son sucesos compatibles, por tanto:

P(A) = .

P(B) = .

P( ) = P(A) + P(B) - P( ) = .

.

33 ¿Cuál es la probabilidad de que salga un caballo al extraer una carta de una baraja española?. ¿Y si a la baraja le quitamos antes el palo de oros?. ¿Y si le quitamos los 4 reyes?

Solución:Con toda la baraja:

P(salga caballo)= .

Si le quitamos el palo de oros:

P(salga caballo)= .

Y si le quitamos los 4 reyes:

P(salga caballo)= .

34 Tenemos una urna con 12 bolas blancas, 3 rojas, 7 azules y 5 verdes. Calcula la probabilidad de :a) Extraer una bola blanca.b) Extraer una bola que no sea roja.c) Extraer una bola blanca o azul.

Solución:Se trata de sucesos equiprobables, por tanto usamos la regla de Laplace:

P(blanca)= .

P(no roja)= .

P(blanca o azul)= .

35 Extraemos una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de que:a) Sea figura pero no de oros.b) Sea copa pero no figura.c) Sea oro o basto.d) No sea figura de espadas ni sea oro.

Solución:Como se trata de sucesos equiprobables utilizamos la regla de Laplace:

P(figura pero no oros)= .

P(sea copa pero no figura)= .

P(oro o basto)= .

P8no figura de espadas ni oro)= .

36 En una clase hay 14 alumnos( 5 rubios y 9 morenos) y 17 alumnas( 9 rubias y 8 morenas). Si metemos los nombres de todos en una urna y sacamos uno, calcula las probabilidades siguientes:a) Que salga una chica.b) Que salga una persona rubia.c) Que salga un chico moreno.d) Que salga un chico moreno o una chica rubia.

Solución:Como son sucesos equiprobables utilizamos la regla de Laplace:

P(chica)= .

P(persona rubia)= .

P(chico moreno)= .

P(chico moreno o chica rubia)= .

37 Consideramos el experimento consistente en la extracción de dos cartas de una baraja española, devolviendo la primera antes de extraer la segunda, y los sucesos:a) A={Que la primera sea un oro}.b) B={Que la segunda sea figura}.c) C={Que la segunda sea un basto}.Calcular P( ) y P( ).

Solución:Son sucesos compatibles por tanto:

P(A B)=P(A) + P(B) - P(A B)= .

P( )=P(A) + P( ) - P( )= .

38 Tenemos una urna con 15 bolas blancas numeradas del 1 al 15 y 10 bolas azules numeradas del 1 al 10. Extraemos una bola y consideramos los sucesos:a) A={Que salga número primo}.b) B={Que salga una bola azul}.c) C={Que salga número par}.Calcula P(A B), P(A B) y P(A ).

Solución:Como son sucesos compatibles nos queda que:

P(A B)= .

.

.

EXPERIMENTOS COMPUESTOS

1 En una clase que tiene 20 alumnos y 15 alumnas se forma un grupo al azar de 3 personas para hacer una determinada tarea. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo lo formen 3 chicas?

Solución:Hay que tener en cuenta quien sale porque afecta a las probabilidades de los siguientes:

P(3 chicas)=P(chica)·P(2ª chica/1ª chica)·P(3ª chica/ 1ª y 2ª chicas)=

2 En una bolsa hay 10 bolas blancas y 8 negras. Extraemos una bola de la bolsa, la devolvemos y extraemos otra. Halla la probabilidad de que las 2 sean negras.

Solución:Se trata de extracciones con devolución, es decir, que el resultado de la primera extracción no afecta al de la segunda:

P(2 negras)=P(negra)·P(negra)= .

3 De una baraja española se extraen simultáneamente 2 cartas. Calcular la probabilidad de que las 2 sean figuras.

Solución:Llamamos A y B a los siguientes sucesos: A={La primera carta sea figura} y B={La segunda carta sea figura}, y tendríamos que:

P(A y B)=P(A)·P(B/A)= .

4 Sacamos una carta de una baraja española, la volvemos a colocar en la baraja y sacamos otra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos figuras?

Solución:

La probabilidad de sacar un oro de una baraja española es de , por tanto:

P(obtener sacar dos oros)=

5 Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos números pares?

Solución:

La probabilidad de que en cada dado salga un número par es de , por tanto:

P(obtener 2 números pares) =

6 Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el valor 4 en los dos dados?

Solución:

La probabilidad de que en cada dado salga un 4 es de , por tanto:

P(obtener un 4 en los dos dados) =

7 De una baraja española sacamos una carta, la devolvemos y sacamos otra. Calcula la probabilidad de que las 2 sean espadas.

Solución:Como se trata de extracciones con devolución, el resultado de la primera no afecta a la segunda:

P(2 espadas)= .

8 De una urna con 8 bolas blancas y 4 rojas sacamos 2 bolas. Halla la probabilidad de que la segunda sea blanca sabiendo que la primera fue negra si:a) Si devolvemos la primera bola antes de sacar la segunda.b) Sin devolución.

Solución:a) Con devolución, el resultado de la 1ª extracción no afecta a la segunda, por tanto:

P(2ª bola blanca/ 1ª bola negra)= .

b) Sin devolución nos quedan solo 11 bolas, de las que 8 son blancas:

P(2ª bola blanca/ 1ª bola negra)= .

9 De una baraja española extraemos dos cartas a la vez. Calcula la probabilidad de que las 2 sean figuras.

Solución:Como se trata de extracciones sin devolución el resultado de la primera extracción afecta a la segunda:

P(2 figuras)= .

10 Sacamos una carta de una baraja española, la volvemos a colocar en la baraja y sacamos otra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos oros?

Solución:

La probabilidad de sacar un oro de una baraja española es de , por tanto:

P(obtener sacar dos oros)=

11 Si sabemos que la probabilidad de que sucedan A y B es de 0.375 y P(B/A)=0,75. ¿Cuál es la probabilidad de que suceda A?

Solución:

Como P(B/A)= , entonces:

P(A )= .

12 En una bolsa hay 9 bolas rojas y 15 azules. Extraemos simultáneamente 2 bolas de la bolsa. Halla la probabilidad de que las 2 sean azules.

Solución:Se trata de extracciones sin devolución:

P(2 azules)= .

13 De una bola con 4 bolas blancas y 3 negras extraemos 2 bolas sin devolución de la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea blanca condicionado a que la primera fue negra?

Solución:

Llamamos A={La primera bola sea negra} y B={La segunda bola sea blanca} y teniendo en cuenta que P(A)= y P(A

y B)= :

P(B/A)= .

14 Extraemos 3 cartas sin devolución de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera carta sea un basto sabiendo que la primera fue un basto y la segunda un oro?

Solución:Si la primera carta que sale es un basto nos quedan 9 bastos y 39 cartas, y si la segunda es un oro nos quedan 9 bastos y 38

cartas, entonces:

P(3ª bastos/1ª bastos,2ª oros)= .

15 Sacamos dos cartas de una baraja española. ¿Qué probabilidad hay de obtener una figura de espadas y una de bastos?

Solución:Hay dos formas de sacar una figura de espadas y una de bastos: sacar primero la de espadas o sacar primero la de bastos, es decir: P(sacar figura de espadas y bastos) = P(sacar primero figura de espadas y luego de bastos) + P(sacar primero figura de bastos y

luego de espadas)=

16 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 con un dado sabiendo que ha salido 4 veces el 6 en las últimas 4 tiradas?

Solución:Como el dado no tiene memoria, es decir, que cada tirada es independiente de las anteriores, tenemos que:

P(6/salió 6 en las últimas 4 tiradas)=P(6)= .

17 Tenemos una urna con 15 bolas de colores: 8 rojas, 3 amarillas y 4 azules. Vamos a colorear una bandera con tres franjas horizontales de arriba abajo con el color de 3 bolas extraídas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de pintar la bandera de España con y sin devolución de cada bola después de cada extracción?

Solución:

P(bandera de España)=P(rojo)·(amarillo / rojo)·P(rojo / rojo, amarillo)= .

18 Vamos a visitar a un amigo y sabemos el portal y el piso en el que vive pero no la letra. Si cada piso tiene 4 letras, ¿cuál es la probabilidad de que llamemos en la puerta correcta en la segunda en la que llamamos?

Solución:Lo calculamos como la probabilidad de equivocarnos en la primera y acertar en la segunda condicionado a que fallamos en la primera. Sea A={No acertar en la 1ª llamada} y B={Acertar en la segunda llamada}.

P(A y B)=P(A) · P(B/A)= .

19 ¿Cuál es la probabilidad de que en un sorteo de la ONCE salga un número capicúa?

Solución:El número de la ONCE tiene 5 dígitos, con lo cual para ser capicúa tienen que coincidir la penúltima cifra con la segunda y la

última con la primera. Independientemente del valor de la segunda cifra, la probabilidad de que la penúltima sea igual es de ,

y la probabilidad de que la última sea igual que la primera es de , entonces:

P(número capicúa) =

20 Si tiramos 2 dados y sabemos que uno salió 3 y la suma es par, ¿cuál es la probabilidad de que en el otro saliese otro 3?

Solución:Como sabemos que en un dado salió un 3 y la suma es par, en el otro solo puede haber salido 1, 3 ò 5, por tanta:

P(tres/1º dado 3 y suma par)=1/3.

21 En una urna con 15 bolas: 4 negras, 8 rojas y 3 azules realizamos dos extracciones sin reemplazamiento. ¿Qué probabilidad hay de sacar una bola azul y otra roja?

Solución:Hay dos formas de sacar una bola azul y una roja: sacar primero la roja o sacar primero la azul, es decir:

P(sacar bola azul y roja) = P(sacar primero azul y luego roja) + P(sacar primero roja y luego azul)= =

22 Tenemos una bolsa de caramelos con 10 de sabor a fresa, 7 de menta y 5 de limón. Si sacamos 3 caramelos, ¿cuál es la probabilidad de que sacar 2 de menta y 1 de fresa?

Solución:Se trata de extracciones sin devolución, por tanto una extracción afecta a la siguiente:

P(2 menta y 1 fresa)=P(menta,menta,fresa)+P(fresa,menta,menta)+P(menta,fresa,menta)= .

23 En una urna hay 9 bolas con letras: 5 con la letra O y 4 con la R. Se extraen 3 bolas seguidas y se escribe la letra que pone en cada bola. Halla la probabilidad de obtener la palabra ORO en los siguientes casos:a) Devolviendo a la urna la bola extraída después de cada extracción.b) Sin devolverla.

Solución:a) Con devolución, una extracción no afecta a las siguientes:

P(ORO)=P(O)·P(R)·P(O)= .

b) Sin devolución hay que tener en cuenta las extracciones anteriores:

P(ORO)=P(O)·P(R/O)·O(O/O,R)= .

24 Extraemos tres cartas a la vez de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que sacar dos reyes y un as?

Solución:Hay tres posibilidades, que el as sea la primera en salir, la segunda o la tercera, y como se trata de extracciones sin devolución el resultado de una extracción afecta a las siguientes:

P(2 reyes y un as) = P(as,rey,rey)+P(rey,as,rey)+P(rey,rey,as) = .

25 Sacamos de una baraja 5 cartas sin devolución. ¿Cuál es la probabilidad de que la 5ª carta salga copas sabiendo que ninguna de las otras 4 fue copas?. ¿Y sabiendo que las otras 4 fueron copas?

Solución:

P(5ª carta copas/ las otras 4 fueron copas)= .

P(5ª carta copas/las otras 4 no fueron copas)= .

26 En una urna hay 12 bolas con letras: 5 con la letra O y 7 con la S. Se extraen 3 bolas seguidas sin devolver las bolas a la urna después de cada extracción y se escribe la letra que pone en cada bola. Halla la probabilidad de obtener la palabra OSO y la palabra SOS.

Solución:

P(OSO)=P(O)·P(O/S)·P(O/O,S)= .

P(SOS)=P(S)·P(O/S)·P(S/S,O)= .

27 Tenemos 12 cartas de una baraja española: todos los oros, el rey de copas y el caballo de espadas. Si sacamos una carta, ¿cuál es la probabilidad de que sea un oro sabiendo que ha sido figura?

Solución:Sabemos que ha sido figura, por tanto es una figura de oros, o el rey de copas o el caballo de espadas:

P(oro/figura)= .

28 Una empresa fabrica televisores de 2 tipos: A y B. Los del tipo 1 duran 5 años el 80% y 6 años el 20%. Los del tipo 2 duran 5 años el 40% y 6 años el 60%. Si compramos un televisor sin saber de que tipo es y nos dura 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo 1?

Solución:La probabilidad de que dure 5 años es 0,5·0,8+0,5·0,4=0,6. La probabilidad de que sea del tipo 1 y dure 5 años es 0,5·0,8=0,4.Llamamos A={dura 5 años} y B={Es del tipo 1}:

P(A/B)= .

29 Sacamos 2 cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que la 2ª sea un oro sabiendo que la 1ª fue una figura?. ¿Y la probabilidad de que la 2ª sea una figura sabiendo que la primera fue un oro?

Solución:Son sucesos independientes, por tanto, si solo conocemos ese dato, la probabilidad no se ve afectada:

P(2ª un oro/1ª figura)= .

P(2ª figura/1ª oro)= .

30 En un sorteo de la lotería primitiva que estamos viendo en directo, ¿cuál es la probabilidad de acertar los 6 números sabiendo que los 2 primeros los hemos acertado?: ¿Y la de acertar los 6 si sabemos que los 4 primeros los hemos acertado?. ¿Y si los 5 primeros los hemos acertado?

Solución:

P(6 aciertos/ los 2 primeros bien)= .

P(6 aciertos/ los 4 primeros bien)= .

P(6 aciertos/ los 5 primeros bien)= .

31 Tenemos en una urna 7 bolas y en cada una está escrita una letra: en 3 la letra O y en 4 la S. Sacamos una bola y escribimos la letra y repetimos el proceso varias veces. ¿Cuál es la probabilidad de que sacando 3 bolas sin devolverlas a la urna se obtenga la palabra OSO?. ¿Y de que sacando 4 bolas sin devolverlas a la urna se obtenga la palabra SOSO?

Solución:Las probabilidades de escribir las palabras OSO y SOSO son el producto de las probabilidades de que salga cada una de esas letras en esas posiciones:

P(OSO)= .

P(SOSO)= .

32 En una promoción de 2 restaurantes sortean viajes entre los que van a cenar a ellos en primavera. En el primer restaurante sortean 8 viajes a Londres y 4 a París y en el segundo 5 viajes a Londres y 7 a París. A Marcos, que ha cenado en los dos restaurantes le dejan un mensaje en el contestador diciendo que le ha tocado un viaje a París. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo restaurante?

Solución:Sean A={Le toca el viaje a París} y B={Le toque en el segundo restaurante}. En este caso quedaría:

P(B/A)= .

33 Cuatro amigos van al cine, compran 4 entradas juntas y se las reparten entre ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que a Juan le toque estar sentado al lado de María sabiendo que a él le tocó uno de los extremos?. ¿Y sabiendo que le tocó uno de los dos de el medio?

Solución:Si a él le tocó en uno de los extremos, solo a uno de los otros 3 le corresponderá estar sentado a su lado:

P(Juan al lado de María/Juan en el extremo)= .

Si a él no le tocó en un extremo, habrá dos personas sentadas a su lado:

P(Juan al lado de María/Juan no está en el extremo)= .

34 Sacamos 3 cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de obtener exactamente 2 bastos:a) Con devolución de cada carta antes de la siguiente extracción.b) Sin devolución.

Solución:Hay que tener en cuenta en que posición sale la carta que no es bastos.

a) Con devolución el resultado de una extracción no afecta a la siguiente:

P(exactamente 2 bastos)=P(basto,basto,no basto)+P(basto,no basto,basto)+P(no basto,basto,basto)= .

b) Sin devolución, el resultado de una extracción afecta a la siguiente:

P(exactamente 2 bastos)=P(basto,basto,no basto)+P(basto,no basto,basto)+P(no basto,basto,basto)= .

35 Tenemos una bolsa con 15 letras: 3 R, 8 T y 4 O. Si extraemos 4 letras, calcula la probabilidad de que formen la palabra TORO en el orden en que salen:a) Con devolución de cada letra antes de la siguiente extracción.

b) Sin devolución.

Solución:Si hay devolución el resultado de una extracción no afecta a las siguientes, pero si no hay devolución si.

a) Con devolución.

P(T,O,R,O)= .

b) Sin devolución.

P(T,O,R,O)= .