UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURAFacultad de Ciencias

Escuela Profesional de Matemática

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«ENFOQUE MATEMATICO PARA LAS MEDIDAS DE RIESGO VaR Y CVaR»

TESIS QUE PRESENTAN:

Br. LUIS VALENTIN PURIZACA ROSILLOBr. LUIS JHOAN ALDANA PURIZACA

ASESOR:

Mg. JOSE VALENTIN PURIZACA MARTINEZ

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PRESENTACIÓN

En el presente trabajo de investigación utilizaremos las herramientas matemáticas que nos permitan dar un enfoque matemático a las medidas de riesgo VaR y CVaR para luego aplicarlas en un caso real y concreto para su respectivo análisis.

Medida de Riesgo• VaR• CVaR

Axiomas de Coherencia

Métodos Estimación• Paramétrico• No Paramétrico

IGBVL

Teoría de Riesgo Aplicación

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OBJETIVOS

I. Objetivo General

Elaborar un enfoque matemático para las medidas de riesgo VaR y CvaR para luego aplicarlas al IGBVL

II. Objetivos Específicos

Definir los conceptos básicos de Teoría de la Medida y Probabilidad.

Estudiar los principales temas de estadística relacionados con las medidas de riesgo (VaR y CVaR).

Construir las ideas principales en el calculo de las medidas de riesgo financiero ( VaR y CVaR).

Analizar las medidas alternativas que cumplen con un conjunto de condiciones mínimas tal que pueden ser llamadas medidas coherente de riesgo.

Definir las medidas de riesgo: VaR y CVaR así como su aplicación al IGBVL para cada caso.

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HIPOTESIS

Las medidas de riesgo VaR y CVaR se les puede dar un enfoque matemático así como aplicar al IGBVL bajo las condiciones de invarianza por translación, subaditividad, positivamente homogénea, monotonocidad.

Pérdidas

Fre

cue

nci

a

99.57%

VaR ES

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TEORÍA DE RIESGO

I. Medida de Riesgo

P)F,,(LM 0

(X)X

RM:

Representemos los riesgos financieros por el conjunto de variables aleatorias, asumiremos que M es un cono convexo. Una medida de riesgo es un mapeo de M en R.

0(X) 0(X) SiRequerimiento

de capitalNo

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MEDIDA DE RIESGO COHERENTE

MEDIDA DE

RIESGO COHERENTE

INVARIANCIA POR

TRANSLACIÓNSUBADITIVIDAD

POSITIVAMENTE HOMOGENEA

MONOTONICIDAD

7

AXIOMAS DE COHERENCIA

I. Invariancia por translación

quetenemosRmtodoyMX mXmX

II. Subaditividad YXYXquetenemosMYX ,

III. Monotonicidad YXYXMYX ,/,

IV. Positivamente Homogénea

XXquetenemostodoyMX 0

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Value-at-Risk (VaR)

Dado un intervalo de confianza ).1,0( El VaR de nuestro portafolio

a un determinado nivel de confianza es dado por el menor número l tal

que la probabilidad que las pérdidas L excedan l no es mayor que )1(

LFRlínf

lLPRlínfVaR

:

1:

9

Expected Shortfall

Para una pérdida L con |)(| LE y función de distribución

LF elExpected Shortfall con un nivel de confianza

)1,0( es definido

1

11

duFqES Lu

donde )()( uFFq LLu es la función quantil de .LF El expected

shortfall es por lo tanto relacionado al VaR

1

11

duLVaRES

10

VaR vs ES

Value-at-Risk Expected Shortfall

• Fácil interpretación e implementación

• No es una medida de riesgo coherente: Falla en la

subaditividad

• Medida de riesgo coherente: Permite una adecuada asignación de capital

• Difícil interpretación.

Ventajas

Desventajas

Pérdidas

Fre

cue

nci

a

99.57%

VaR

ES

11

APLICACIÓN: Métodos de Estimación

Modelos No Paramétricos Modelos Paramétricos

• Los modelos más generales son los modelos no paramétricos los cuales basan sus posibles escenarios de distribución de rendimientos en función de la data histórica.

•Los modelos paramétricos son la forma más simple de calcular ambas medidas de riesgo: VaR y ES. Estos modelos asumen de antemano una distribución de rendimientos conocida que en la mayoría de casos suele ser una distribución normal.

Definición

• No se realiza ningún supuesto

• Condicionado a la historia.

• Fácil implementación

• Supuestos no testeados

Ventajas

Desventajas

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APLICACIÓN: Caso IGBVL

Utilizamos el IGBVL ya que resume el comportamiento bursátil del mercado peruano es decir refleja la tendencia promedio de los rendimientos alcanzados de las acciones más significativas de la negociación bursátil.

El periodo de análisis: Enero 2000 hasta diciembre 2012 con frecuencia diaria

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APLICACIÓN: Caso IGBVL

Trabajaremos con los retornos aritméticos.

Se pueden apreciar periodos de alta volatilidad debido a la alta fluctuación de las condiciones de mercado.

Se trabajará con el software estadístico R 2.13.1.

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APLICACIÓN: Caso IGBVL

Análisis estadístico gráfico: Histogramas y qqplots.

Gran concentración alrededor de un valor, quantiles no coinciden con los de una distribución normal.

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APLICACIÓN: Var y ES al 99%

APLICACIÓN: Var 95% y VaR 99%

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APLICACIÓN: ES 95% y ES 99%

APLICACIÓN: ES 95% y VaR 99%

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CONCLUSIONES

La importancia de los axiomas de coherencia para poder establecer una adecuada medida de riesgo así como el avance matemático en el campo de las finanzas especialmente en riesgos.

El VaR como medida de riesgo tiende a subestimar el riesgo ante la presencia de eventos extremos o de colas anchas sin embargo tiene una aceptación en la industria debido a su fácil interpretación e implementación.

El CVaR como alternativa para medir el riesgo de un portafolio es una medida adecuada ya que cumple con los axiomas de coherencia de manera principal el de subaditividad.

Se demostró de manera practica a través de la aplicación con el IGBVL que el CVaR es un medida de riesgo mas conservadora que el VaR, dado que el CVaR solo considera las perdidas en la cola.

ANEXOS

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INVARIANCIA POR TRANSLACIÓN

quetenemosRmtodoyMX

mXmX

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SUBADITIVIDAD

YXYXquetenemosMYX ,

Riesgo puede ser reducido por diversificación (principio en economía y finanzas)

Si no se cumple, las instituciones tendrían incentivos a separarse legalmente en varias subsidiarias.

Si se cumple se puede realizar una correcta asignación de capital.

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MONOTONICIDAD

YXYXMYX ,/,

Posiciones o portafolios más riesgosos requieren más capital o tienen más pérdidas.

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POSITIVAMENTE HOMOGENEA

XXquetenemostodoyMX 0

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RETORNOS

Sea el retorno del portafolio definido por tt rrr 1 donde

son los valores del portafolio en el tiempo t y t+1.tt rr ,1

1

t

tg r

rLnR

1

1

t

tta r

rrR ag RLnR 1

Tasa de Retorno

Geométrica

Tasa de Retorno

Aritmética

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN

Sea un espacio probabilístico, un espacio medible y

una variable aleatoria. La distribución de X se define por la función: . es una función de probabilidad definida en que cumple

ADR

PF ,, ,E

EX :1 XPPX

XP ,E

11 PEXPEPX

En el caso particular de que ,es decir cuando X es un vector aleatorio denotaremos:

Para el caso d=1 tenemos la distribución de la variable aleatoria X denotada por es una función definida sobre .

Si entonces:La función de distribución de X, es la función definida sobre R

ADR

dd RRE ,,

dX RXPXPBP ,][][ 1

XP R

][

]1,0[:

XPBP

RP

X

X

x, xXPxXPPX ,.XF

][,

]1,0[:

xXPxxFx

RP

X

X

α- teal mean

Definición: Sea ; se define por:

Ahora Expect Shortfall se puede definir:

Sea

ADR

][XE meantail

xXPxXEXTMx xX

}{11

xXESES

)...(0][,1

0][,11

}{1][

][}{

}{

}{ IxXPsi

xXPsi

xXxXP

xXPxX

xX

xX

Podemos verificar que:

En efecto demostraremos (2) para el caso

ADR

)2...(1,01 }{

xX

xX

xXP

xFq

xFxF

xF

xXP

xXPxXxX

1

11 }{

La segunda igualdad se define por: luego la pertenencia se da por:

La expresión (1) también cumple:

En efecto tenemos:

ADR

xFxFxXPx ,

XFXFqXF

xXE

qE

xX

xX

}{1

}{

1

1

qq xX

q

qxX xXP

xFqEE

11 }{

Por linealidad de esperanza tenemos:

Debido a la definición de tenemos que el segundo término de la ecuación (3) es igual a 0, por lo nos quedaría

En el caso de que la función indicadora de la ecuación (3)se hace ambos términos, entonces tenemos:

ADR

)3...(11

qq xXq

qxX xXP

xFqEE

qxX1 qxX

qxXPE qxX q1

qxX

q

q

q

q

xFEq

xFEq

xXP

xFqE

11

1

1

Pues . Tenemos que el valor esperado es q .

ADR

qqqq xXPxXPExXPxFE

Subaditividad del ES

Dada dos variables aleatorias X y Y con se cumple para cualquier .

Demostración:

Definamos , por (1) tenemos

ADR

XEyXE

YESXESYXES 1,0

YXZ

0

1111

1111

111

yx

YyEx

YXE

YXZE

ZESYESXES

yYzZxXzZ

yYzZxXzZ

zZzZzZ

En la desigualdad empleamos lo siguiente:

Lo cual es como consecuencia de la propiedad 1

ADR

)4...(

,011

,011

xXsi

xXsi

xXzZ

xXzZ