XVI CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA GRÁFICA

UTILIZACIÓN DE SISTEMAS INFORMÁTICOS EN LA RE-PRESENTACIÓN GRÁFICA DE OBJETOS DE CUATRO DI-

MENSIONES

SALIDO REGUERA, Manuel (1); DOMÍNGUEZ SOMONTE, Manuel (2); BERNAL GUE-RRERO, Claudio (3)

(1)U.N.E.D., España, E.T.S. Ingenieros Industriales

Departamento de Ingeniería de Construcción y Fabricación Correo electrónico: msalido@iies.es

(2) U.N.E.D., España, E.T.S. Ingenieros Industriales

Departamento de Ingeniería de Construcción y Fabricación Correo electrónico: mdominguez@ind.unes.es

(3) U.N.E.D., España, E.T.S. Ingenieros Industriales

Departamento de Ingeniería de Construcción y Fabricación Correo electrónico: cbernal@ind.unes.es

RESUMEN

Tradicionalmente los objetos tridimensionales se han representado en dos dimensiones, si-guiendo las normas de la perspectiva para conseguir una representación que parezca lo más aproximada posible a la realidad, o mediante diversas vistas correspondientes a la proyección del objeto sobre diferentes planos, acompañadas de cotas, secciones, vistas de detalle, etc. que permitan reproducir exactamente el objeto dibujado. El salto cuantitativo que supone en los últimos programas informáticos prescindir del dibujo de las vistas planas del objeto, dibujar directamente el objeto tridimensional y de ahí deducir automáticamente las vistas permite predecir un salto proporcional en el tipo de objetos que puedan representarse gráficamente: si una serie de vistas planas acotadas definen de forma unívoca a un objeto tridimensional, no hay razones que impidan que un objeto de cuatro dimensiones no pueda ser reproducido unívocamente mediante una serie de vistas bi- o tridimensionales. La pantalla del ordenador permite utilizar el tiempo como cuarta variable, ligada mediante una relación o fórmula sencilla con la cuarta variable espacial, lo que hace accesibles a un observador tridimensional los objetos tetradimensionales. Las relaciónes que se establecen entre el universo euclídeo tetradimensional y el universo espacio-temporal de Einstein abren una interesante línea de investigación. Utilizaremos como ejemplo de objetos tetradimensionales los hipersólidos geométricos regulares obtenidos por yuxtaposición tetradimensional de los poliedros regulares tridimensionales. A finales del siglo XIX se estudiaron geométricamente los hiperpoliedros de

cuatro o más dimensiones por el matemático suizo Ludwig Schläfli, determinándose que son seis los hiperpoliedros de cuatro dimensiones, y sólo tres los de cinco o más dimensiones. Comenzando por los hiperpoliedros más sencillos determinaremos las vistas y secciones necesarias para una adecuada representación.

Palabras clave: Cuatro dimensiones. Espacio-temporalidad.

ABSTRACT

Three-dimensional objects have traditionally been represented on two-dimensional medium by applying the laws of perspective to achieve a resemblance to reality or by a number of projec-tions on different planes, sections and details, together with dimensions, that allow a faithful reproduction of the object. Modern computer design programs allow three-dimensional draw-ing of the object, and deduce from it the required two-dimensional views. This quantitative jump increases the types of objects that can be reproduced graphically: four-dimensional ob-jects can be represented by a number of two- or three-dimensional views, and the computer screen allows time to be introduced as a fourth variable, that can be linked to the fourth dimen-sional variable by a simple formula, allowing the representation of four-dimensional objects to three dimensional spectators. A promising line of investigation arises from the relationship thus established between the four dimensional Euclidean space and the Einstenian space-time universe. We will study as four dimensional objects the regular hyper-polyhedres that can be constructed by folding in the fourth dimension a number of equal regular polyhedres. The subject was first covered by the swiss mathematician Ludwig Schläfli at the end of the nineteenth century, determiming that there are six regular four dimensional hiper-polyhedra, or politopes, and only three on all other higher dimensions. Starting with the simplest ones, we will determine the views and sections required for an adequate graphic representation.

Key words: Four dimensions. Time-space.

1. Introducción Desde Descartes la Geometría Analítica trabaja en espacios n-dimensionales para resolver problemas en los que intervienen n variables. Sin embargo hasta ahora la representación gráfica quedaba limitada a tres dimensiones, adoptando determinadas convenciones para la representación de sólidos tridimensionales en un medio bidimen-sional como es el papel. Los programas de diseño asistido por ordenador permiten la construcción de pro-totipos virtuales de apariencia y textura similares a las del prototipo físico, que me-diante las operaciones de rotación y zoom puede ser observado en todos sus detalles, pueden ser desmontados en sus elementos componentes y someterse a ensayos físicos de tensiones y deformaciones aplicando el método de cálculo por elementos finitos.

Aunque aún no desarrollada comercialmente, la representación holográfica tridimen-sional es perfectamente posible. El ordenador puede trabajar en espacios de más de tres dimensiones sin ninguna dificultad; la limitación viene dada por los dispositivos de salida que, obviamente, han de adaptarse a las limitaciones del observador tridimensional. La representación de objetos tetradimensionales se hace posible recurriendo a un cambio de variable, del tipo w = kt, que ligue la cuarta dimensión geométrica con el tiempo. De esta forma representamos la intersección del objeto tetradimensional en movimiento ante un ob-servador tridimensional estático. Seleccionamos para el estudio los objetos tetradimensionales más sencillos: los hipersólidos geométricos regulares construíbles plegando en la cuarta dimensión un conjunto de poliedros regulares iguales. Estos objetos quedan completamente defini-dos mediante las coordenadas cartesianas de cuatro dimensiones de sus vértices y la determinación de las aristas que enlazan dichos vértices. Además de determinar núme-ro de caras, longitudes, superficies y volúmenes, podemos calcular el número de po-liedros componentes, y una nueva magnitud, el hipervolumen, de dimensión l4. El estudio de estos objetos lo realizó el matemático suizo Ludwig Schläfli (1814-1895). Las relaciones que así se establecen entre el universo euclídeo tetradimensional y el universo espacio-temporal de Einstein abren una interesante línea de investigación sobre cuál de ellos es el más adecuado para la explicación de las leyes físicas.

2.- Sistema de coordenadas rectangulares de cuatro dimensiones

En un sistema de coordenadas rectangulares de cuatro dimensiones x, y, z, w la posición de un punto A queda unívocamente definida por sus cuatro coordenadas (xa, ya, za, wa), y puede representarse gráficamente mediante dos proyecciones, sobre los ejes XY (quedando definidas xa e ya) y sobre los ejes ZW (quedando definidas za y wa). Si un punto queda definido mediante sus dos proyecciones, todos los puntos de un objeto, (siempre que sean identificables) quedan definidos mediante esas dos proyec-ciones. En principio la representación gráfica de un objeto de cuatro dimensiones no es más complicada que la de uno de tres dimensiones y únicamente las limitaciones de nuestros sentidos e inteligencia, acostumbrados a operar en un espacio tridimensional, nos lo hacen parecer así. Además de las proyecciones sobre los ejes XY y ZW propo-nemos el uso de una representación que denominaremos tetraisométrica, sobre los cuatro ejes XYZW dispuestos según indica la figura 3. La posición de cada punto ven-drá representada por el vector suma del producto de cada coordenada por el vector unitario en la dirección del eje de coordenadas correspondiente.

. Figura 1 Figura 2 Figura 3

Al resolver problemas matemáticos que incluyan ecuaciones de dos o tres va-riables, la representación gráfica de las mismas ayuda a comprender mejor las solu-ciones y a desarrollar intuiciones que permiten enfocar y resolver más fácilmente pro-blemas similares. Esta ayuda no se consideraba posible cuando el número de variables era superior a tres, y muchos problemas usuales implican la resolución de sistemas de ecuaciones con cuatro variables. La representación gráfica de objetos de cuatro dimen-siones podría resultar de interés práctico, además de su indudable interés teórico.

El ordenador no tiene las limitaciones de nuestros sentidos y opera en espacios n-dimensionales con total normalidad. Los programas de representación gráfica per-miten obtener en pantalla representaciones de objetos tridimensionales que pueden girarse, desplazarse, ampliarse o reducirse a voluntad, y es posible generar automáti-camente las vistas bidimensionales necesarias que sirvan como planos de construcción de dicho objeto. Si adoptamos la convención de representar la cuarta dimensión me-diante una gama de colores dispondríamos de una primera posibilidad de representar superficies tetradimensionales adecuada para la representación gráfica de numerosos problemas. Una sencilla modificación a los programas permitiría asimismo generarlas proyecciones bidimensionales necesarias para la completa definición del objeto sobre el papel.

Hiper-poliedros o politopos

Para ilustrar la representación gráfica de objetos de cuatro dimensiones vamos a tomar como modelos los hiper-poliedros (o politopos) de cuatro dimensiones más sencillos. Ante la imposibilidad de imaginar físicamente este tipo de objetos, la analo-gía del paso de dos a tres dimensiones, de polígonos a poliedros regulares, nos propor-ciona un camino para entender sus propiedades. Desde mediados del siglo XIX, gra-cias a los trabajos del matemático suizo Ludwig Schlafli, sabemos que hay seis hiper-poliedros regulares de cuatro dimensiones, y sólo tres en sistemas n-dimensionales, siendo n superior a cuatro. El hiper-poliedro regular más sencillo es el hiper-tetraedro, formado al añadir un nue-vo vértice al tetraedro en la dirección del eje W y unirlo con los otros cuatro vértices mediante aristas de la misma longitud que las originales, con lo que tenemos un cuer-po de cinco vértices, diez aristas y diez caras triangulares que puede representarse

gráficamente mediante sus proyecciones sobre los ejes XY y sobre los ZW, como se indica en la figura. En cuatro dimensiones no tiene sentido (salvo que establezcamos reglas convencionales al respecto) hablar de partes vistas u ocultas de las figuras. El hiper-tetraedro puede desplegarse y está formado por cinco tetraedros.

Figura 4 Figura 5 Figura 6 El siguiente hiper-poliedro es el hiper-cubo, de 16 vértices, 32 aristas y 24 caras cua-dradas, derivado del cubo, definiendo para cada vértice, en el caso del cubo unitario, un nuevo vértice con las mismas coordenadas, excepto con w = 1 en lugar de w = 0. El hiper-cubo puede desplegarse en ocho cubos

Figura 7 Figura 8

Figura 9 El tercer hiper-poliedro que estudiaremos es el hiper-octaedro, de 8 vértices, 24 aris-tas, 32 caras triangulares y desplegable en 16 tetraedros.

Figura 10 Figura 11 Figura 12 El cuarto hiper-poliedro tiene 24 vértices, 96 aristas, 96 caras triangulares y puede desplegarse en 24 octaedros.

Figura 13 Figura 14

Figura 15

El quinto hiper-poliedro tiene 120 vértices, 720 aristas, 1200 caras triangulares y pue-de desplegarse en 600 tetraedros.

Figura 16

El sexto y último hiper-poliedro tiene 600 vértices, 1.200 aristas, 720 caras pentagona-les y puede desplegarse en 120 dodecaedros.

Figura 17

3.- Distancia entre dos puntos Definimos como distancia SAB entre dos puntos A y B la integral:

SAB = (1) ∫A

Bds

a lo largo de la línea geodésica que une a A con B. Por definición, en valor absoluto:

SAB = S± BA (2) En un espacio euclideo tetradimensional la distancia entre dos puntos A (xa, ya, za, wa) y B (xb, yb, zb, wc) viene dada por la longitud de la recta que los une, según la expre-sión:

S2AB = (xa-xb)2 + (ya-yb)2 + (za-zb)2 + (wa-wb)2 (3)

En un espacio de Riemann positivo-definido con la métrica

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2 (4)

se aplicaría la ecuación (1) integrando sobre la línea geodésica que une A con B. Si consideramos constante la velocidad de la luz c, ds2 = c2dt2 , con lo que (4) se convier-te en:

c2dt2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2 (5)

dw2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2 (6) En su teoría de la relatividad restringida Einstein concibió un universo tetradimensio-nal con dimensiones (x, y, z, t) en el que las dimensiones geométricas (x, y, z) y el tiempo t cumplían la métrica (no positivo-definida) del espacio de Minkowsky:

dσ2 = c2dt2 – dx2 – dy2 – dz2 (7)

en la que c representa la velocidad de la luz, considerada constante. La distancia entre dos puntos A (xa, ya, za, ta) y B (xb, yb, zb, tb) se calcularía mediante la integral (1) apli-cando la métrica (7). En particular, si tomamos A como origen y estudiamos la trayec-toria de todos los rayos de luz que pasan por A (no necesariamente rectos) se cumplirá para todos ellos dx2 + dy2 + dz2 = c2dt2 , y ds2 = 0 para toda trayectoria de un rayo de luz (8)

Integrando (8) obtenemos que para toda trayectoria de la luz S = 0, es decir que, como sabíamos, las trayectorias de los rayos de luz forman geodésicas nulas. El sentido geométrico de estas relaciones es que la intersección de la superficie SA = 0 con el universo (x, y, z, t) define dos universos tridimensionales, el universo visible desde A y el universo desde el que A es visible, para los que la distancia de todo punto al A es nula según la métrica de Minkowsky. La semejanza entre las ecuaciones (6) y (7) sugiere que (7) sería la ecuación que dduciría un observador tridimensional inmerso en un universo tetradimensional, y dσ2

dw

e- = o 2 representaría la distancia (medida en la cuarta dimensión geométrica) al univers

observable.

4.- Bibliografía Blanchoff, Thomas F., Beyond the Third Dimension, Scientific American Library, Nueva York, 1996. Hughston, L.P. y Tod, K.P., An Introduction to General Relativity, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 1990. Ludvigsen, Malcom, General Relativity; A Geometric Approach, Cambridge Universi-ty press, Cambridge, 1999. Rucker, Rudolf v.B., Geometry, Relativity and the Fourth Dimension, Dover Publica-tions, Nueva York, 1977 Schläfli, Ludwig, Theorie der Vielfachen Kontinuität, Georg & Co., Basilea, 1901.. Schouten, J.A., Tensor Analysis for Physicists, Dover Publications, nueva York, 1989. Taibo, Ángel, Geometría Descriptiva y sus Aplicaciones, Tipografía Blass, Madrid, 1943.