Geometría Analítica Tridimensional

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  • 8/17/2019 Geometría Analítica Tridimensional

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    Geometría analítica tridimensional

    Vectores en el espacio

    Componentes de un vector en el espacio

    Módulo de un vector

    Distancia entre dos puntos

    Vector unitario

    Suma de vectores

    Producto de un número real por un vector

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    Vectores linealmente dependientes

    Vectores linealmente independientes

    Producto escalar

    Expresión analítica del módulo de un vector

    Expresión analítica del ángulo de dos vectores

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    Vectores ortogonales

    Proyección

    Cosenos directores

    Producto vectorial

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    rea del paralelogramo

    rea de un triángulo

    Producto mixto

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    Volumen del paralelepípedo

    Volumen de un tetraedro

    Puntos

    Coordenadas del punto medio de un segmento

    Coordenadas del !aricentro de un triángulo

    Puntos alineados

    "res o más puntos esán alineados  si están en

    una misma recta, y por tanto el rango de los

    vectores  determinados por el los es #.

    Puntos coplanarios

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    Dos o más vectores son coplanarios  si

    son linealmente depend ientes , y por tanto

    suscomponentes  son proporcionales  y su  rango es $.

    Dos o más puntos  son coplanarios , si

    los vectores  determinados por ellos también soncoplanarios .

    %ectas en el espacio

    Ecuación vectorial de la recta

    Ecuaciones param&tricas de la recta

    Ecuaciones continuas de la recta

    Ecuaciones implícitas de la recta

    El plano

    http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.htmlhttp://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html

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    Ecuación vectorial del plano

    Ecuaciones param&tricas del plano

    Ecuación general o implícita del plano

    Ecuación canónica o segmentaria del plano

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    ngulos

    ngulo entre dos rectas

    Dos rectas  son perpendiculares  si vectores

    directores  son ortogonales .

    ngulo entre dos planos

    Dos planos son perpendiculares  si vectores

    directores  son ortogonales .

    ngulo entre recta y plano

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    Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector

    director de la recta y el vector normal del plano tienen la

    misma dirección y, por tanto, sus componentes son

    proporcionales.

    Distancias

    Distancia entre un punto y una recta

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    Distancia entre rectas paralelas

    Distancia entre rectas 'ue se cru(an

    Sean y las determinacione s lineales de las

    rectas r y s.

    Distancia de un punto a un plano

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    Distancia entre planos paralelos

    Pro!lemas de vectores

    #) Hallar dos vectores de módulo la unidad y

    ortogonales  a (2, −2, 3 y (3, −3 , 2.

    http://www.geoan.com/analitica/vectores/problemas_vectores.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/vectores/problemas_vectores.html

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    $) Hallar un vector perpendicular a

    y , y !ue sea unitario .

    *)Dados los vectores y ,

    "allar el producto y comprobar !ue este vector es

    orto#onal a y a . Hallar el vector y compararlo con

    .

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    +) $onsiderar la si#uiente %i#ura&

    Se pide&

    # $oordenadas de D para !ue '$D seaun paralelogramo .

    $ rea  de este paralelogramo .

    )or ser la %i#ura un paralelo#ramo, los vectores

    y son e'uipolentes .

    http://www.vitutor.com/geo/vec/a_2.htmlhttp://www.vitutor.com/geo/vec/a_2.html

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    ,) Dados los puntos '(*, +, *, (*, *, * y $(*, , a,

    se pide&

    # Hallar para !ué valores del parámetro a están

    alineados.

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    $ Hallar si e-isten valores de a para los cuales ', y $

    son tres vértices de un paralelo#ramo de área 3 y, en caso

    a%irmativo, calcularlos.

    # Hallar para !ué valores del parámetro a están

    alineados.

    Si ', y $ están alineados los vectores y tienen

    la misma dirección , por lo !ue son linealmente

    dependientes  y tienen sus componentes proporcionales .

    $ Hallar si e-isten valores de a para los cuales ', y $

    son tres vértices de un paralelo#ramo de área 3 y, en caso

    a%irmativo, calcularlos.

    l módulo del producto vectorial  de los vectores

    y es i#ual al área del paralelogramo   construido

    sobre y .

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    -) Sean '(−3, /, +, (3, , 3 y $(−*, 2, * los tres

    vértices de un trián#ulo. Se pide&

    # $alcular el coseno de cada uno de los tres án#ulos del

    trián#ulo.

    $ $alcular el área del trián#ulo.

    # $alcular el coseno de cada uno de los tres án#ulos del

    trián#ulo.

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    $ $alcular el área del trián#ulo.

    Pro!lemas de distancias. áreas y volúmenes

    #) Hallar el área del trián#ulo cuyos vértices son los

    puntos '(*, *, *, (3, 2, * y $(−*, 3, 2.

    http://www.geoan.com/analitica/distancias/problemas_distancias.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/distancias/problemas_distancias.html

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    $) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son los

    puntos '(+,+,+, (2, *, 3, $(−*, 3, * y D(/, 2, *.

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    *) Dada la recta y el

    plano , "allar la ecuación de la recta s,

    proyección orto#onal de r sobre π.

    0a recta s es la intersección del plano π con el plano

    πp !ue contiene a la recta r y es perpendicular a π.

    l plano π p !ueda determinado por el punto '(2, −*, +,

    el vector (2, *, * y el vector normal, (*, *, *, del plano

    perpendicular π.

    +) $alcular la distancia entre las rectas&

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    ,) Hallar el simétrico del punto '(3, 2, * respecto del

    plano .

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    n primer lu#ar calculamos r, !ue es la recta !ue pasa

    por ' y es perpendicular a π.

    Hallamos el punto de intersección de la recta r y el plano

    π.

    1eniendo en cuenta las  coordenadas del punto medio

    de un segmento , podemos "allar el e-tremo '.

    http://www.geoan.com/analitica/recta/punto_medio.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/punto_medio.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/punto_medio.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/punto_medio.html

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    -) $alcular el área del trián#ulo cuyos vértices son los

    puntos de intersección del plano con los ees

    coordenados.

    /) Dado el plano de ecuación y el punto

    '(*, *, *, "allar las coordenadas del pie de la perpendicular

    tra4ada desde ' a ese plano (o sea, la proyección orto#onal

    de ' sobre él.

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    l pie de la perpendicular es el punto de intersección

    entre el plano y la recta.

    0) Determinar la ecuación del plano π !ue está a de distancia del

    ori#en y es paralelo a a!uel !ue t iene por ecuación .

    1) Hallar la distancia entre el punto '(3, 2, 5 y la

    recta6del primer octante.

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    #2) Sabiendo !ue los lados de un cuadrado están en las

    rectas&

    calcular su área.

    Determinación lineal de la recta r.

    Determinación lineal de la recta s.

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    0a distancia de la r a la recta s es i#ual a la distancia del

    punto a la re cta r.

    l lado del cuadrado es i#ual a la distancia entre las

    rectas r y s.

    E3ercicios de la recta

    #)Dados los puntos '(2, , −3 y (3, 3, −2, "allar los

    puntos de la recta ' !ue tienen al menos una coordenada

    nula.

    http://www.geoan.com/analitica/recta/ejercicios_recta.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/ejercicios_recta.html

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    $)Determinar la ecuación de la recta !ue pasa por el

    punto '(*, −*, + y corta a las rectas&

    0a recta pedida es la intersección de los dos planos !ue

    pasan por ' y contienen a las rectas r y s.

    )lano !ue contiene a ' y r.

    )lano !ue contiene a ' y s.

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    0a recta perdida es&

    *)Hallar la ecuación de la recta  !ue pasa por el punto(7, 2, 3 y lleva la dirección del vector .

    +)Hallar una ecuación continua de la recta !ue es

    paralela a los planos& - − 3y 8 4 9 + y 2- − y 8 34 − : 9 +, y

    pasa por el punto (2, −*, :.

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    l vector director de la recta es perpendicular a los

    vectores normales de cada plano.

    E3ercicios del plano

    #)Hallar las ecuaciones de los e3es coordenados y de

    los planos coordenados .

    http://www.geoan.com/analitica/recta/ejercicios_plano.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/ejercicios_plano.html

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    $)Hallar la ecuación del plano  !ue contiene a las

    rectas&

     

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    *)Hallar la ecuación del plano  !ue contiene al punto

    '(2, :, * y a la recta de ecuación&

    +)Hallar las coordenadas del punto com;n al plano - 8

    2y − 4 − 2 9 + y a la recta determinada por el punto (*, −3,

    2 y el vector .

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    ,)Hallar la ecuación se#mentaria del plano !ue pasa por

    los puntos '(2, +, +, (+, /, + y $(+, +, 5.

    -)Sea π un plano !ue pasa por )(*, 2, * y corta a los

    semiees coordenados positivos en los puntos ', y $.

    Sabiendo !ue el trián#ulo '$ es e!uilátero, "allar las

    ecuaciones de π.

    $omo el trián#ulo es e!uilátero, los tres se#mentos son

    i#uales.

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    /)Hallar la ecuación impl

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