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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Fsica

Pelculas Gruesas de PZT como Transductores de Ultrasonido para ImgenesTrabajo de Tesis para optar por el ttulo de Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el rea Ciencias Fsicas por Sergio N. Gwirc

Directores de Tesis:

Dr. Carlos Negreira Casares Dr. Nstor Gaggioli

Lugar de Trabajo: Centro de Investigacin y Desarrollo en Telecomunicaciones, Electrnica e Informtica Instituto Nacional de Tecnologa Industrial Junio de 2009

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II

Resumen

Esta Tesis presenta una novedosa estructura en transductores de ultrasonido para imgenes, basada en la tecnologa de pelcula gruesa con la preparacin de una capa piezoelctrica de aproximadamente 150 m de espesor, usando impresin por serigrafa y aplicada sobre un sustrato inerte de almina. Se estudia la influencia que tienen las caractersticas de fabricacin comparados con el de una cermica piezoelctrica slida tradicional. Se desarroll un modelo electromecnico de funcionamiento de la pelcula piezoelctrica basada en PZT, el cual tiene en cuenta el grado de porosidad de la misma, la adicin de una pequea cantidad de vidrio y la adhesin al sustrato por una de sus caras, como parte integral del proceso que conlleva la preparacin con esta tecnologa. El modelo propuesto explica correctamente los bajos valores medidos de las constantes piezoelctricas y el comportamiento elstico de la pelcula, asignando a la porosidad estructural el papel preponderante de las caractersticas electroacsticas del transductor de ultrasonido. Se ha encontrado que: 1) La estructura obtenida de doble capa presenta dos resonancias en modo espesor, bastante cercanas una de otra, que nos permite utilizarla, alternativamente, en sistemas multifrecuencia o incrementar mucho su ancho de banda al utilizar un respaldo atenuador. Este respaldo se aplica aprovechando la estructura multicapa del transductor. 2) Debido a la porosidad, que disminuye su densidad y tambin la velocidad de propagacin de ondas longitudinales en el material, la impedancia acstica de la pelcula es la mitad que en la cermica slida equivalente. Esto permite que la transferencia de energa de la pelcula al medio de baja impedancia, como tejidos biomdicos o agua, sea mucho ms eficiente que en un PZT no poroso, III

y junto con la capa de almina que redirige la emisin hacia delante, se convierte al transductor en un elemento muy eficaz cuando es usado en arreglos bidimensionales de muchos elementos para la obtencin de imgenes de ultrasonidos en 3D. Al mismo tiempo el menor espesor utilizado para una dada frecuencia de resonancia, debido a la doble capa, representa que la impedancia elctrica es ms baja, lo que facilita su adaptacin al generador elctrico cuando se lo utiliza en pequeas reas individuales como en los arreglos mencionados. 3) El modo espesor de un disco no repite el clsico movimiento en forma de pistn de un PZT slido, debido a que sus bordes quedan fijos por el sustrato. A pesar de esto la visualizacin acustoptica revela que esta diferencia no perturba seriamente los frentes de onda en la emisin en modo pulsado.

Palabras clave: PZT poroso, piezoelectricidad, pelcula gruesa, transductor piezoelctrico, transductor de ultrasonido, imgenes por ultrasonido.

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Thick films of PZT as Ultrasound Transducers for Images

Abstract

This Thesis presents a novel structure in ultrasound transducers for images, based on thick film technology with the preparation of a piezoelectric layer of about 150 m in thickness, using screen printing and applied on an inert substrate of alumina. We study the influence that has the characteristics of manufacture, compared with the traditional piezoelectric bulk ceramic. An electromechanical model of operation for the piezoelectric layer based on PZT was developed, which bears in mind the degree of porosity of the film, the addition of a small amount of glass and the adhesion to the substrate by one of its faces, like integral part of the process that carries the preparation with this technology. The proposed model explains correctly the low measured values of the piezoelectric constants and the elastic behavior of the film, assigning to the structural porosity the preponderant role of the electro-acoustic characteristics of this ultrasound transducer. There has been found that: 1) The obtained structure of double layer has two resonances in thickness mode, close enough one of other, which allow us use it in multifrequency systems or to V

increase much its bandwidth when using it with a backing. This backing is applied taking advantage from the multilayer structure of the transducer. 2) Due to the porosity, which diminishes its density and also the speed of longitudinal waves in the material, the acoustic impedance of the film is the half that in the bulk ceramic. This allows that the transfer of energy of the film to means of low impedance, like biomedical tissues or water, should be much more efficient than in a PZT non porous, and together with the alumina layer that redirects the emission towards ahead, turns the transducer into a very effective element when is used in two-dimensional arrays of many elements for the obtaining of ultrasound images in 3D. At the same time the smaller thickness used for a given resonance frequency, due to the double layer, represents that the electrical impedance is lower, which facilitates its adaptation to the electrical generator when one uses it in small individual areas like in the mentioned arrays. 3) The thickness mode of a disc does not repeat the classic movement in form of piston of a solid PZT, due to the fact that its edges remain fixed by the substrate. In spite of this the acousto-optic visualization reveals that this difference does not disturb seriously the wave fronts in the pulsed emission regime.

Keywords: Porous PZT; piezoelectric; thick film; screen printing, ultrasoundtransducer; piezoelectric transducer; imaging ultrasound transducer.

VI

AgradecimientosAgradezco al Dr. Carlos Negreira Casares por su orientacin y apoyo permanente en la realizacin de esta Tesis. Tambin le agradezco su confianza y generosidad al darme la posibilidad de utilizar su laboratorio, sin lo cual este trabajo no hubiera sido posible. Al mismo tiempo quiero agradecer sinceramente al Dr. Nstor Gaggioli su amistad y ayuda desinteresada, desendole de todo corazn un pronto restablecimiento. Al Instituto Nacional de Tecnologa Industrial en su conjunto quiero expresarle mi gratitud por darme la posibilidad de crecer profesionalmente, concedindome tiempo y lugar para poder desarrollar esta Tesis. No quiero dejar de mencionar a la Universidad Nacional de La Matanza, en especial al Departamento de Ingeniera en el rea de Electrnica, que con su permanente inquietud por mejorar a su plantel de docencia e investigacin facilit mis viajes al Laboratorio de Acstica Sonora en Montevideo, donde se realiz gran parte del trabajo experimental de esta Tesis. Quiero tambin agradecer a Nicols Prez e Ismael Nez del LAU que siempre estuvieron dispuestos a ofrecerme una mano amiga y una discusin esclarecedora sobre los problemas que se presentaban en el laboratorio. Sin duda la mencin especial es para mi familia, mi esposa Mnica que me apoy desde un principio en esta etapa que ahora culmina, as como mis hijos Dbora, Romina y Damin, que sintieron y sufrieron mi falta de tiempo para dedicarles, y sin olvidarme de Javier y Marcela. Un especial agradecimiento a mis amigos a los que no olvid a pesar de mi intensa dedicacin a esta Tesis y en particular a Patricia y Ale con quienes compart mediodas con discusiones intensas pero gratificantes que me ayudaron a sobrellevar los imponderables del trabajo diario.

VII

VIII

ndice generalResumen Abstract Agradecimientos1. Introduccin

III V VII1

2. Transduccin piezoelctrica impulsiva2.1. Introduccin 2.2. Modelo simple unidimensional. ... 2.3. Ecuaciones constitutivas. ..

77 8 12

2.4. Notacin convencional. . 15 2.5. Respuesta acstica y elctrica 17 2.5.1. Ondas elsticas en slidos..... 17 2.5.2. Ondas elsticas en medio piezoelctrico 2.5.3. Ecuaciones de propagacin. 19 20

2.5.4. Acoplamiento piezoelctrico unidimensional. ..... 24 2.5.5. Modelo del transductor. ... 27 2.6. Difraccin en la respuesta impulsiva.... 33 2.6.1. Respuesta impulsiva en emisin. 34 2.6.2. Respuesta impulsiva en recepcin... 39 2.6.3. Respuesta impulsiva en emisin recepcin. .. 41

3. Tecnologa de pelcula gruesa y cermicos piezoelctricos3.1. Introduccin. ....

4343

3.2. Proceso de fabricacin de cermicas piezoelctricas. . 45 3.2.1. Seleccin y Mezclado. 45 3.2.2. Calcinado y Molienda 3.2.3. Conformado..... 47 48

3.2.4. Sinterizado y Maquinado. ..... 49 3.2.5. Electrodos y Polarizacin. .. 50 IX

3.3. Tecnologa de Pelcula Gruesa.... 3.4. Pastas de Pelcula Gruesa 3.5. Substratos...

51 53 56

3.6. Mallas.. 58 3.7. Impresin.. 60 3.8. Secado y sinterizado. .. 62

4. Fabricacin de piezoelctricos de pelcula gruesa

63

4.1. Introduccin. .. 63 4.2. Eleccin de materiales. .. 64 4.3. Formulacin de la pasta. ... 67 4.4. Preparacin. 68 4.5. Serigrafa, secado y sinterizado. . 70 4.6. Polarizacin. ... 72 4.7. Caracterizacin geomtrica y estructural... 73 4.8. Parmetros elctricos piezoelctricos bsicos. ... 76 4.9. Modelo de comportamiento de una pelcula gruesa de PZT....... 85 4.9.1. Piezoelctrico libre. ..... 86 4.9.2. La frita de vidrio como componente. .. 89 4.9.3. La pelcula de PZT porosa. .... 91 4.9.4. Piezoelctrico fijo al substrato. .. 93 4.9.5. Resultados del modelo. .. 95 4.9.6. Simulacin usando parmetros calculados.. 99

5. Generacin y recepcin de ultrasonido con capa gruesa

105

5.1. Introduccin. . 105 5.2. Dinmica de vibracin: Espectroscopia Acstica de Superficie.... 106 5.3. Generacin y recepcin pulsada. .... 112 5.3.1. Resonancias en el transductor bicapa. . 112 5.3.2. Transductor de capa gruesa en rgimen pulsado... 115 5.3.3. Transductor de capa gruesa con respaldo atenuador. 121 5.4. Campo de Radiacin. ... 125 5.4.1. Medida acstica del campo de radiacin. .. 125 5.4.2. Campo de radiacin por schlieren........ 128 5.4.3. Imgenes de emisin con excitacin continua. 130

X

5.4.4. Emisin con excitacin pulsada: pulsos largos... 132 5.4.5. Excitacin por pulsos cortos: evolucin temporal del campo acstico... 136

6. Aplicaciones de transductores de capa gruesa

143

6.1. Introduccin.... 143 6.2. Otros transductores de pelcula gruesa. .... 144 6.3. Eco modo A de defecto en acero. .... 147 6.4. Imgenes por barrido mecnico. .. 148 6.5. Arreglos matriciales sobre almina. ... 151

7. ConclusionesA. Modelo de lnea de transmisin

153 159

A.1. Ecuaciones para una placa piezoelctrica...159 A.2. La impedancia elctrica..163 B. Modelo de transductores piezoelctricos multicapa

171

B.1. Introduccin..171 B.2. Material no piezoelctrico..172 B.3. Modelo para transductor piezoelctrico...173 B.4. Funciones de transferencia en emisin y recepcin176 C. Implementacin en matlab de modelo KLM D. Difraccin de luz por ondas sonoras D.1. D.2. Acoplamiento acusto-ptico Modelo schlieren para medir variaciones de fase.

177 181181 185

Publicaciones del autor

191

BibliografaXI

193

XII

Captulo 1 IntroduccinLas cermicas piezoelctricas (CP) se han establecido como el material ms apto para la fabricacin de dispositivos electromecnicos y particularmente para la generacin de ondas acsticas en la regin espectral del ultrasonido. Su eficiente capacidad de generar ultrasonido ha sido preponderante para que gran parte de sus aplicaciones se orientara a la determinacin de estructuras internas en cuerpos pticamente opacos, dado que el uso de radiaciones electromagnticas ms penetrantes, como los rayos X, slo muestran una proyeccin plana de las mismas. Las limitaciones de las CP estn impuestas principalmente por las prdidas en la conversin electromecnica y en las que se producen por la interaccin con el medio donde se intenta generar la onda de ultrasonido. Una buena respuesta, sin mltiples reflexiones, necesita que las impedancias del medio de propagacin y la placa del transductor sean lo ms parecidas posible. La optimizacin de su rendimiento requiere especial cuidado cuando se realizan estudios de piezas sumergidas en agua para mejorar el acoplamiento, ya que el agua tiene una baja impedancia acstica de 1,5 Mrayl comparado con los materiales piezoelctricos tpicos que es de 30 Mrayl. Esto requiere el uso de capas adaptadoras en el frente del transductor para lograr un ancho de banda satisfactorio. Problemas similares ocurren en aplicaciones mdicas, donde la impedancia acstica del tejido es tambin muy baja. En este caso, adems de las capas de adaptacin, las limitaciones fsicas impuestas por los materiales piezoelctricos son reducidas usando materiales compuestos que se fabrican insertando en una base, generalmente de epoxi, el material cermico ordenado 1

en forma peridica o al azar. Esta combinacin permite controlar, en un cierto grado, la impedancia acstica del transductor para acoplarlo al tejido biolgico que se desea estudiar. El aporte de este trabajo reside en la introduccin de la tecnologa de pelcula gruesa que presenta enormes ventajas en la realizacin de arreglos, comparada con la tecnologa tradicional. El empleo de serigrafa permite la automatizacin y al mismo tiempo una gama alta de posibilidades para realizar geometras arbitrarias de uno o varios elementos e imprimirlos en tamaos reducidos. La preparacin y el estudio de transductores de gran cantidad de elementos es la meta actual tanto en la tecnologa como en investigacin con imgenes de ultrasonido. La tecnologa de pelcula gruesa modifica la forma tradicional de preparar y ver al transductor de ultrasonido en general y los arreglos bidimensionales en especial. Una particularidad de esta tecnologa es la impresin por serigrafa usando mallas metlicas para aplicar pastas o pinturas sobre un sustrato inerte. Si bien los orgenes de la serigrafa en China usando mallas de seda son de muy larga data, fue retomada en la poca actual en los aos 50 del siglo XX para la fabricacin de circuitos electrnicos, estando hoy bien establecida. En relacin a pastas especficas con caractersticas piezoelctricas, se han desarrollado algunas slo con fines de investigacin, aunque la mayora tiene como objetivo densificar la pelcula con diversos fines y es prcticamente nula su aplicacin a la generacin y recepcin de ultrasonido para la obtencin de imgenes mdicas o la estructura interna de los materiales. La mayor parte de estos trabajos revelan que la actividad piezoelctrica de la pelcula obtenida se ve seriamente disminuida. Para aprovechar las ventajas antes mencionadas, es imperioso contar con un modelo de la pelcula que permita calcular los parmetros que la caracterizan de forma sencilla, a partir tanto de los materiales utilizados en su preparacin como de la estructura resultante del proceso de impresin y posterior sinterizado a temperaturas tpicas de esta tecnologa. En este trabajo se busca combinar los aspectos salientes de cada una de las tecnologas 2 anteriores para potenciar sus posibilidades de obtener

Captulo 1. Introduccin

transductores individuales y arreglos lineales y matriciales de distintas geometras que permitan la aplicacin de nuevas tcnicas de medicin y por lo tanto de procesamiento de imgenes. Para esto, en esta Tesis se presenta un modelo de funcionamiento de pelculas gruesas piezoelctricas basadas en PZT y preparadas mediante serigrafa, as como una nueva metodologa para la determinacin y evaluacin de las caractersticas electromecnicas y piezoelctricas de esas pelculas aplicadas a transductores de ultrasonido. El modelo considera el grado de porosidad de la pelcula asumindola como un material compuesto de conectividad 0-3, segn la notacin de Newnham, formado por poros cerrados y la mezcla PZT-Vidrio. Adems considera a la pelcula totalmente sujeta en el plano perpendicular a la direccin de polarizacin debido a la adhesin al sustrato, lo que habilita comparar algunos parmetros medidos con los calculados mediante el modelo. Usando las matrices elsticas y piezoelctricas que resultan, permite simular una geometra sencilla de simetra axial usando modelos electromecnicos unidimensionales y elementos finitos. Como consecuencia se obtiene que la porosidad de un 20% aproximadamente, disminuye la impedancia acstica del transductor a la mitad por un descenso en la densidad del material y en la velocidad de propagacin de ondas longitudinales. Tambin la impedancia elctrica es menor que en una cermica tradicional, debido al menor espesor de pelcula necesario para obtener una misma frecuencia de resonancia, lo que se corresponde con la inclusin del sustrato. La aplicacin del modelo permite determinar la influencia que tienen las caractersticas de fabricacin propias de la serigrafa en la tecnologa de pelcula gruesa para una determinada composicin y proceso de fabricacin, sobre la aplicacin de estas pelculas en transductores de ultrasonido. Este estudio est basado en caractersticas que son clave en los transductores tradicionales con PZT slida: a) Caractersticas elctricas, piezoelctricas y de acoplamiento electromecnico del material; b) Impedancia de entrada para el acoplamiento con la excitacin y recepcin de ondas ultrasnicas; c) Prdidas, rebotes y acoplamiento acstico con el medio, es decir uso eficiente de la energa para generar y recibir ondas de presin. La estructura de doble capa 3

suma un modo de resonancia en espesor que no existe en transductores cermicos slidos, lo cual puede utilizarse como una ventaja en la concrecin de transductores para imgenes con mayor profundidad de campo. La estructura de doble capa acta tambin sobre el funcionamiento del transdutor redirigiendo la energa hacia delante en medios en los que la impedancia acstica es baja, disminuyendo la prdida de energa respecto al transductor tradicional. Se implementa sobre ella un enfoque multicapa para la atenuacin de rebotes y aumento del ancho de banda mediante un respaldo atenuador. Esta Tesis est organizada en 7 captulos y 4 apndices. En el captulo 2 se discuten los principales elementos tericos que sern utilizados en su desarrollo. Estos conceptos son necesarios para describir tanto el modelo de funcionamiento basado en la composicin de la pelcula piezoelctrica como el de emisin y propagacin pulsada de ondas longitudinales en el medio en que se encuentra. Este tratamiento resulta necesario para el desarrollo del modelo de la pelcula que se encuentra en el captulo 4 y la interpretacin de los resultados de las mediciones que se desarrollan en los captulos 5 y 6. El captulo 3 contiene un breve desarrollo de las caractersticas generales de fabricacin de las CP slidas tradicionales. Tiene por cometido, adems, describir la tecnologa de pelcula gruesa, marcando las diferencias con el proceso tradicional. La descripcin que se realiza en este captulo es importante para entender los obstculos que presenta el proceso debido a la gran cantidad de parmetros a tener en cuenta para lograr una pelcula estable y con las caractersticas apropiadas para un transductor de ultrasonido. El captulo 4 contempla el proceso de preparacin de la pasta utilizada as como las modificaciones que ocurren en la misma hasta la obtencin de la pelcula sinterizada. Este captulo establece uno de los objetivos de esta tesis que es el de conocer las bases del funcionamiento de la pelcula de PZT de capa gruesa y por lo tanto de sus posibles limitaciones. EL captulo 5 contempla un anlisis detallado del funcionamiento del transductor como una entidad compuesta de dos capas, una piezoelctrica y la otra no piezoelctrica, con excitacin en forma continua y pulsada, ya que esta ltima constituye la forma ms usual de funcionamiento y la que presenta una 4

Captulo 1. Introduccin

mayor dificultad para aprovechar en forma ptima la conversin de energa elctrica en acstica. El captulo 6 muestra concretamente como este tipo de transductores proporciona imgenes de muy buena calidad, an en condiciones de mucho ruido de fondo debido a reflexiones indeseadas como es usual en la obtencin de imgenes en el cuerpo humano. Por otra parte se demuestra la gran variedad de aplicaciones en las que se puede emplear este desarrollo mostrando transductores realizados con diferentes sustratos y geometras.

5

6

Captulo 2

2.

Transduccin piezoelctrica impulsiva2.1 IntroduccinUn material piezoelctrico tiene la propiedad de que si es deformado por una presin mecnica externa, se producen cargas elctricas sobre su superficie y se lo conoce como efecto piezoelctrico directo. La

piezoelectricidad es un proceso fundamental de interaccin electromecnica y es tpica del acoplamiento lineal en la conversin de energa. Ms de una centuria ha transcurrido desde que Pierre Curie descubri el efecto piezoelctrico directo en 1880. El fenmeno inverso fue descubierto muy poco despus que el anterior, en 1881, que consiste en la aparicin de una deformacin del material cuando es sometido a un campo elctrico, si el mencionado material es colocado entre dos electrodos. El efecto piezoelctrico, que est ahora establecido como una rama de la fsica de cristales debido en gran parte a Woldemar Voigt quien trabaj inicialmente en esta rea, es un campo adecuado para aplicaciones de cristalografa, el estudio de la estructura cristalina y simetras. La piezoelectricidad tambin encuentra una amplia aplicacin en el campo de la ingeniera elctrica. Los materiales piezoelctricos han sido abundantemente utilizados como transductores electromecnicos, generadores ultrasnicos, filtros, sensores y actuadores. Tambin han sido usados para otros propsitos como motores, micro-electro-mecanismos (MEMs) [White y otros, 2004], etc. Se puede decir entonces, que la piezoelectricidad enlaza la ingeniera con la 7

ciencia. Una condicin esencial para que exista este efecto es que la celda cristalina no tenga centro de simetra, aunque esta condicin es necesaria pero no suficiente. El comportamiento de un elemento piezoelctrico real est, por lo tanto, relacionado con caractersticas mecnicas como la relacin entre la tensin que se le aplica y la deformacin resultante por un lado, sus caractersticas elctricas y la relacin que se establece entre ellas para dar el comportamiento electromecnico propio de un transductor. Por otra parte el medio en el que est inmerso afecta tanto su componente mecnica o acstica como generador de ondas como la elctrica, por lo cual es sumamente importante entender su comportamiento electro-acstico para caracterizarlo como generador y receptor de ondas de ultrasonido. Al mismo tiempo, como queremos estudiar el funcionamiento del transductor en un rgimen de pulsos breves, tenemos que considerar la geometra del transductor cuando se lo excita en forma pulsada ya que el mismo no es una fuente puntual y en el futuro nos interesarn las posibilidades que nos brindan las distintas geometras que podemos realizar para la fabricacin de arreglos bidimensionales y su aplicacin a la generacin de imgenes ultrasnicas.

2.2 Modelo simple unidimensionalEn los materiales que se polarizan elctricamente cuando se deforman, la ley de Hooke no describe totalmente la relacin entre la deformacin y el esfuerzo. Este comportamiento, el efecto piezoelctrico directo, se manifiesta en la aparicin de cargas de polarizacin en la superficie de un medio deformado que se neutralizan gradualmente por la acumulacin sobre la superficie de cargas libres procedentes de la atmsfera y por conduccin dentro del cristal. La piezoelectricidad es un fenmeno microscpico complejo, asociado a la simetra de las molculas que constituyen el material o las redes cristalinas, 8

Captulo 2. Transduccin piezoelctrica impulsiva

pero puede plantearse un modelo simple que da informacin cualitativa del fenmeno. Los tomos y molculas en un slido se apartan de sus posiciones de equilibrio cuando el medio se deforma. Este desplazamiento genera un momento dipolar y dependiendo de la simetra, el promedio por unidad de volumen puede ser distinto de cero. Entonces tenemos una polarizacin macroscpica resultante de la deformacin. El efecto piezoelctrico puede incluirse en las ecuaciones constitutivas de la siguiente manera: a la ley de Hooke se le adiciona un trmino dependiente del campo elctrico. Como este campo es un vector y el tensor de deformaciones es de rango dos, el trmino debe ser un tensor de rango tres al que llamamos e. Para la ecuacin constitutiva elctrica tenemos que el desplazamiento es la contraccin del tensor dielctrico con el campo elctrico, y para agregar un trmino proporcional a la deformacin de nuevo se necesita un tensor de rango tres, cuya contraccin con la deformacin es un vector. Este tensor es e. Planteamos un modelo en el cual suponemos una situacin unidimensional donde partculas cargadas estn ligadas por fuerzas elsticas. Esto es una manera simple de pensar el estado de equilibrio para una molcula. Suponemos que la carga total del sistema es nula, pero las cargas individuales estn distribuidas de manera no simtrica con respecto al centro de la molcula (Fig. 2.1). El sistema de referencia est centrado en la carga +. Bq K (B+C) q K Cq

-

+lB lFigura 2.1: Modelo unidimensional

-

lC

Para obtener la expresin del desplazamiento elctrico D cuando se deforma el sistema, aplicamos una fuerza F externa al mismo. Como suponemos las

9

constantes elsticas iguales, tenemos igual desplazamiento mecnico de cada extremo (Fig. 2.2). Bq F K (B+C) q K Cq

l

+lBl

-

F

lC l

Figura 2.2: Deformacin producida por una fuerza externa

Aqu se utiliza: q(B+C) n Carga total de la molcula Nmero de molculas por unidad de volumen

Cuando el sistema no est deformado, la polarizacin macroscpica Pe es no nula

Pe =

pV

i

=

n V [ B q lB C q lC ] V

Despus de la deformacin

Pe = n B q ( lB l ) C q ( lC l ) Entonces el cambio de polarizacin entre ambos estados de deformacin esPe = n [ Bql + Cql ] = n q ( C B ) l

Esta variacin en la polarizacin es la producida por la fuerza externa y es proporcional a la deformacin. Llamamos e al coeficiente de proporcionalidad entre ambos.

e = n q (C B ) l P = e l = eS l

El desplazamiento elctrico clsico en ausencia de deformacin es

10


D = o E + P P = S ESe modificar con el aumento de polarizacin como sigue

P = S E + P = S E + e S D = o E + S E + e SEsto nos brinda la nueva ecuacin constitutiva para este caso

D = E + eSAhora analizaremos lo que ocurre cuando se aplica un campo elctrico externo Bq F1 K (B+C) K Cq

(2.1)

-

+E

-

F2

Figura 2.3: Campo elctrico aplicado

Sobre los extremos aparecen fuerzas debidas al campo elctrico de manera similar al caso anterior. Como la tensin mecnica es la fuerza normal por unidad de superficie A, podemos escribir:

T1 =

qBE V nV = qBEnl =l A A qCE T2 = nV = qCEnl A T = T2 + T1 = q ( C B ) nl E = e E

Utilizando la ley de Hooke, la tensin total debe ser

T + T = c E S T = cE S e E

(2.2)

Obtenemos as la ecuacin constitutiva mecnica. Los coeficientes cE y S son la constante elstica a campo cero y la permitividad a deformacin cero.

11

Vemos en este modelo que la piezoelectricidad est asociada a la falta de simetra respecto al centro y que en este caso puede existir un momento dipolar an en ausencia de campo externo.

2.3 Ecuaciones constitutivasLa extensin tridimensional del coeficiente piezoelctrico e es un tensor de rango tres eijk. Las ecuaciones constitutivas que generalizan las (2.1) y (2.2) se escriben comoE Tij = cijkl S kl ekij Ek

Di = S ij E j + eijk S jk

(2.3)

Estas ecuaciones representan la aproximacin lineal al problema, que es vlida para pequeas deformaciones y campos. En el dominio lineal, se asume que los coeficientes eijk son constantes que vinculan las magnitudes elsticas con las elctricas y pueden expresarse teniendo en cuenta las ecuaciones (2.3) como derivadas parciales respecto del campo o el desplazamiento elctrico [Dieulesaint y otros, 1980].

D eijk = i S jk E T eijk = jk Ei SLos coeficientes de proporcionalidad de los dos efectos son del signo opuesto. El efecto piezoelctrico inverso parece ser una consecuencia termodinmica del efecto directo. Dado que los tensores Tij y Sij son simtricos, entonces el tensor eijk tambin lo es con respecto a sus dos ltimos ndices:

eijk = eikj

12


De las 27 constantes independientes del tensor de rango 3 sobreviven 18 debido a la simetra; el par (j, k) tiene slo 6 valores distintos (denotados por el ndice de acuerdo con la convencin del final del pargrafo). Para modificar el estado del piezoelctrico se debe realizar trabajo sobre l que involucra el trmino mecnico ms un trmino elctrico del trabajo, los cuales consideraremos en un proceso reversible.

WM = Tij dSij WE = Ei dDiEn una transformacin reversible la variacin de energa interna por unidad de volumen a temperatura absoluta es

dU = Q + WM + WE dU = d + Tij dSij + Ei dDiEn la ecuacin anterior es la entropa. La energa U es una funcin que depende de la entropa, la deformacin y el desplazamiento elctrico, que se han tomado como las variables independientes del problema. En gran parte de las aplicaciones tenemos control sobre el campo elctrico en lugar del desplazamiento elctrico, por lo que introducimos, mediante una

transformacin de Legendre, el potencial termodinmico para tener una funcin del campo elctrico

= U Ei Di d = d + Tij dSij Di dEiLas tensiones y el desplazamiento elctrico son las fuerzas generalizadas que se obtienen como derivadas parciales del potencial en esta ltima ecuacin, que es una diferencial exacta:

T jk = S jk , E

Di = Ei , S jk

Tomando las derivadas cruzadas que no dependen del orden de las variables, encontramos la ecuacin de Maxwell para este caso

13

Di 2 T jk = = S jk , E Ei , S Ei S jk D T eijk = i = jk S Ei , S jk , E

(2.4)

Esto muestra que, si una deformacin en el piezoelctrico a campo elctrico constante conduce a un desplazamiento elctrico, un campo elctrico aplicado al material mantenido rgido (deformacin constante) va a generar una tensin mecnica. Los coeficientes son iguales en los dos efectos piezoelctricos como se haba planteado en las ecuaciones constitutivas. Las derivadas anteriores son a entropa, campo elctrico o deformacin constantes. Si en vez de expresar la tensin mecnica y el desplazamiento elctrico en trminos de la deformacin y el campo elctrico como variables

independientes usamos por ejemplo el campo elctrico y la tensin mecnica como independientes, las ecuaciones de estado de un material piezoelctrico tienen una forma diferente. Para ello utilizamos el potencial termodinmico definido como: = T jk S jk = U Ei Di T jk S jk d = d S jk dT jk Di dEi S jk = T jk , E Di = Ei ,T

Como antes tomando las derivadas cruzadas obtenemos la ecuacin de Maxwell que usamos para definir las nuevas constantes piezoelctricas

2 D S jk i = dijk = = Ei T jk ,T Ei ,T Tij , E Utilizando la compliancia sE, a campo elctrico constante y la permitividad a tensin mecnica constante T se obtiene el nuevo conjunto de ecuaciones constitutivas [Ikeda, 1990] 14


S jk = dijk Ei + s E Tlm jklmT Di = ij E j + dijk T jk

(2.5)

El tensor de cuarto orden sijkl es el tensor de compliancia y describe la relacin lineal ms general entre los dos tensores de segundo rango, la deformacin Sij y la tensin Tij:

Sij = sijklTkl

2.4 Notacin convencionalUn tensor de cuarto rango tiene 81 componentes, pero debido a que Tij y Sij son tensores simtricos, las constantes de compliancia permanecen invariables por la permutacin de los ndices i y j o k y l. Teniendo en cuenta las simetras mencionadas retenemos 36 constantes de compliancia independientes: un par de ndices sin ordenar (i, j) toma slo 6 valores distintos, los cuales por convencin numeramos del 1 al 6 de la siguiente forma:

(11) 1 (23) = (32) 4

(22) 2 (31) = (13) 5

(33) 3 (12) = (21) 6

De esta manera las constantes de compliancia se enumeran con slo dos ndices y del 1 al 6, que pueden ser dispuestos en un arreglo matricial de 6x6:

s = sijkl , con (ij), (kl).Las mismas consideraciones son vlidas para el mdulo elstico cijkl . Esta notacin puede ser extendida a los tensores de tensin y deformacin, de modo que podemos escribir la ley de Hooke en la siguiente forma:

T = c S

, = 1, 2,...6.

15

Estamos usando la misma convencin para la tensin mecnica, es decir

T = Tij con (ij), y para que la ecuacin anterior describa adecuadamente laley de Hooke debemos considerar las constantes de deformacin como: s1 = s11 s2 = s22 s3 = s33 s4 = 2 s23 s5 = 2 s13 s6 = 2 s12

Con esta notacin, que tiene en cuenta la simetra, podemos escribir las ecuaciones constitutivas en forma tensorial de la siguiente forma:E S = di Ei + s T T Di = ij E j + di T

i, j = 1, 2,3 ( x, y, z ) , = 1,...6

(2.6)

3

Z

6

Eje de Polarizacin

2

Y

4 1 X

Figura 2.4: Esquema de la notacin utilizada

En la Fig. 2.4 se muestra un esquema de la notacin que se utiliza. Es posible obtener estas relaciones con otros conjuntos de variables, por ejemplo usando el campo elctrico E y la deformacin S como variables independientes, con la tensin T y el desplazamiento elctrico D como variables dependientes [Dieulesaint y otros, 1980].E T = ei Ei + c S S Di = ij E j + ei S

i, j = 1, 2,3 ( x, y , z ) , = 1,...6

(2.7)

En las ecuaciones anteriores e es conocida como contante piezoelctrica de tensin y relaciona el campo elctrico con la tensin mecnica en el material.

16


2.5 Respuesta acstica y elctricaEl comportamiento completo de un elemento piezoelctrico real podemos describirlo a partir de las Ec. (2.7), para lo cual debemos contar con los valores de todos los parmetros mecnicos, elctricos y piezoelctricos que intervienen en ella. La medicin de todos ellos rara vez es posible por lo que generalmente se apela a relevar un conjunto reducido de las mismas en un material con un cierto grado de simetra o con una dimensionalidad reducida, para el cual el nmero de constantes que intervienen sea lo bastante pequeo como para medirlos y comparar los resultados tericos con los experimentales. En este caso, ya que los materiales que utilizaremos no son monocristalinos, nos orientamos a trabajar con estructuras que se adapten a las condiciones que requiere un modelo unidimensional y cuando la situacin lo requiere agregamos que la muestra sobre la que se mide tenga simetra axial. Debido a esto, en el trabajo experimental, generalmente utilizamos placas de espesor uniforme y suponemos que las dimensiones laterales de la placa son suficientemente grandes con respecto al espesor para habilitarnos a considerar su comportamiento elstico y piezoelctrico como un problema

unidimensional sin demasiado desacierto. En esta seccin abordaremos algunos temas tericos como el de propagacin de ondas en medios piezoelctricos y no piezoelctricos para poder tratar a continuacin modelos de funcionamiento del transductor en una dimensin, que utilizaremos en el anlisis de sus propiedades como generador y receptor de ondas ultrasnicas. El desarrollo final de los clculos para los modelos que se utilizan estn expuestos en los apndices A y B para evitar que la presentacin principal sea demasiado extensa.

2.5.1 Ondas elsticas en slidosEn este anlisis se considera que el desplazamiento ui en un punto del medio depende de la posicin y del tiempo 17

u i = u i [x k , t ]La ecuacin de movimiento para un punto del medio continuo se obtiene a partir de la ley de Newton, se aplica a un pequeo volumen del slido V y se har especfica por unidad de volumen. La fuerza por unidad de volumen proyectada en la direccin i puede escribirse como

T ji x j

+ X i = f i , donde Xi son las fuerzas de volumen

Podemos despreciar las fuerzas de volumen Xi frente a la derivada de la tensin porque las variaciones de volumen involucradas son muy pequeas.

2ui T ji = t 2 x j

(2.8)

En la ecuacin anterior, es la densidad de equilibrio constante del medio fluido. Ahora sustituimos el tensor de tensiones con la ley de HookeT ji = cijkl Slk Slk = ul xk2

(2.9)

ui ul = cijkl 2 t x j xk2

La solucin de estas ecuaciones da la propagacin de ondas en cada direccin i. Esta solucin representa el caso ms general de propagacin en un medio anisotrpico. Por analoga a la ecuacin de ondas en el caso homogneo se probarn soluciones de la forma

t {n} { x} ui ( x, t ) = u f v o i

Se indica con {n} el versor en la direccin de propagacin. Se obtiene la velocidad de fase y la polarizacin de la onda uio derivando y sustituyendo en la ecuacin de ondas

v 2 uio = cijkl n j nk uio18


Definimos el tensor de Christoffel como

il = cijkl n j nkSustituyendo esta definicin en la ecuacin anterior

(2.10)

il u io = v 2 u ioEsta ecuacin nos muestra que existen tres polarizaciones posibles para la onda, que son los vectores propios del tensor de Christoffel. A cada vector propio le corresponde un valor propio v 2 .r Resumiendo, una onda plana que se propaga en la direccin n tiene en el

caso ms general tres polarizaciones diferentes, las cuales no necesariamente son longitudinales o transversales, y pueden tener diferentes velocidades segn la polarizacin. Puede demostrarse que el tensor de Christoffel es simtrico, sus valores propios son reales y positivos, lo que implica que las velocidades de fase son reales y las polarizaciones son mutuamente ortogonales [Dieulesaint y otros, 1980]. En general, el vector desplazamiento de las distintas polarizaciones no es perpendicular o tangente a la direccin de propagacin {n}. La polarizacin con {u} ms cercano a {n} se llama casi-longitudinal, las otras son llamadas casi-transversales. Usualmente estas ltimas se propagan ms lentamente.

2.5.2 Ondas elsticas en medio piezoelctricoEn un material piezoelctrico, la interrelacin de las magnitudes elctricas y mecnicas implica un acoplamiento entre ondas mecnicas y

electromagnticas. La ecuacin para la tensin introduce el campo elctrico en las ecuaciones de la dinmica y la ecuacin del desplazamiento elctrico introduce la deformacin mecnica en las ecuaciones de Maxwell. En principio, el problema de propagacin de onda no puede ser tratado si no se resuelve simultneamente las ecuaciones de Newton y de Maxwell. Las soluciones son ondas mixtas elasto-electromagnticas, es decir ondas elsticas 19

de velocidad V con un campo elctrico asociado y ondas electromagnticas (de velocidad v 105 V) con una deformacin mecnica asociada. Para el primer tipo de onda, el campo magntico creado por el campo elctrico movindose au r uuu rur B una velocidad V puede ser despreciado. Debido a que: E = tur u r ur E es derivado de un potencial escalar : E = Ek = . x k

0 , el campo

La energa electromagntica involucrada es despreciable comparada con la energa elstica. Para el segundo tipo de onda (la onda EM con deformacin elstica asociada), la energa elstica es mucho ms pequea que la energa electromagntica. De esta manera, an en un material fuertemente piezoelctrico, la interaccin entre las ondas elsticas y las electromagnticas es dbil ya que sus velocidades son muy diferentes (v/V 104 a 105). Por lo tanto, los dos tipos de propagacin pueden ser considerados en forma independiente. Nos concentraremos en la propagacin de las ondas elsticas, asumiendo que el campo elctrico puede ser considerado como esttico con respecto al fenmeno de propagacin electromagntico (aproximacin cuasi-esttica). Nuestro objetivo es establecer una ecuacin de autovalores para ondas planas, de forma similar a la ecuacin de Christoffel para ondas de volumen en un medio ilimitado.

2.5.3 Ecuaciones de propagacinE La ecuacin para la tensin: Tij = cijkl Skl ekij Ek se transforma insertando

expresiones para la deformacin S kl = Ek = : xk

1 uk ul + y el campo elctrico 2 xl xk

20


E Tij = cijkl

ul + ekij xk xk

La ecuacin dinmica

2 ui Tij = se transforma en: t 2 x j

2 ui 2ul 2 E = cijkl + ekij t 2 x j xk x j xk

(2.11)

Adems, el desplazamiento elctrico sin cargas libres debe obedecer la ecuacin de Poisson para un aisladorD j x j =0:

D j = e jkl Skl + S Ek = e jkl jk

ul S jk xk xk

(2.12)

e jkl

2ul 2 S =0 jk x j xk x j xk

(2.13)

La ecuacin de propagacin para el desplazamiento ui se obtiene eliminando el potencial elctrico entre (2.11) y (2.13). En el caso de una onda plana propagndose en la direccin nj, el desplazamiento y el potencial, ui y estn dados por, nj xj ui = o ui F t V nj xj = 0 F t V

(2.14)

El campo elctrico es longitudinal en este caso:Ej = n j = 0 F ' x j V

En la ecuacin anterior F es la derivada de F. Insertando 2 ui o = ui F '', t 2 n j nk 2 ul = 2 o ul F '', V x j xk n j nk 2 = 2 0 F '' V x j xk

en (2.11) y

(2.13). Definimos adems las proyecciones sobre las direcciones nj y nk

21

E il = cijk l n j nk

i = ekij n j nk = n j nkS jk

(2.15)

Logramos ecuaciones independientes del tiempo que nos permiten determinar la polarizacin de la onda V 2 o ui = il o ul + i 0

(2.16) l ul 0 = 0o

Podemos tambin eliminar el potencial elctrico 0 combinando ambas ecuaciones y obtenemos:

V 2 o ui = il + i l o ul

(2.17)

Las polarizaciones de ondas elsticas planas o ui se obtienen, como en los materiales no piezoelctricos, buscando los autovectores de un tensor de segundo rango:

il = il +

i l

(2.18)

= VLos autovalores

2

= V 2

dan las velocidades de fase para la

correspondiente direccin. Las polarizaciones de las tres ondas planas son siempre mutuamente ortogonales ya que el tensor il es simtrico. El efecto de la piezoelectricidad sobre la velocidad de propagacin puede verse expresado en el cambio de los coeficientes de rigidez. El tensor de Christoffel puede escribirse, exactamente como para un material no piezoelctrico, de la forma:

il = cijk l n j nkDonde

22


E cijk l = cijk l +

(e

pij

n p ) ( eqkj nq )

S n j nk jk

(2.19)

El trmino

cijk l

no representa constantes elsticas verdaderas porque estn

definidas slo para ondas planas y dependen de la direccin de propagacin [Dieulesaint & Royer, 1980]. Hasta aqu el desarrollo es totalmente general, pero es evidente que los tensores elsticos y piezoelctricos involucran el conocimiento de un gran nmero de parmetros que es conveniente reducir utilizando la simetra cristalina del material especfico con que se est trabajando. Los materiales cermicos que fabricaremos, como veremos en el captulo 3, no son monocristalinos. Por este motivo la direccin de polarizacin es generalmente la elegida como eje z. Cualquier otro par de ejes perpendiculares entre s y al eje z pueden ser elegidos como x e y, pues el material es istropo en cualquier plano perpendicular al eje de polarizacin. Al elegir una geometra con simetra axial para la cermica slida o la capa gruesa (en forma de cilindro o disco) y la direccin de polarizacin paralela a su eje de simetra, utilizamos un sistema invariante frente a rotaciones alrededor de ese eje. Una observacin similar podemos hacer en relacin a las propiedades de simetra piezoelctrica y elasto-elctricas de cristales hexagonales del tipo 6 mm que tienen un eje de rotacin de orden 6, y tambin son invariantes ante cualquier rotacin alrededor de ese eje. Adicionalmente, este tipo de simetra cristalina tiene un plano especular perpendicular al eje de orden 6 que pasa por el centro de la celda. Este plano, a su vez, es equivalente a la isotropa en el plano perpendicular a la direccin de polarizacin que encontramos en las cermicas piezoelctricas con simetra axial [Dieulesaint & Royer, 1980]. En virtud de esta equivalencia entre las simetras de ambos sistemas, usamos para describir las propiedades elsticas, elctricas y piezoelctricas de la cermica piezoelctrica los tensores de la clase cristalina 6mm.

23

2.5.4 Acoplamiento piezoelctrico unidimensional.Los transductores de ultrasonido reales son diseados de tal manera que un proceso de transduccin electromecnico particular tiene preferencia sobre todos los que son posibles, es decir que una constante piezoelctrica particular es la decisiva. Esto se logra dando la forma y orientacin apropiada al cuerpo del transductor y por una adecuada aplicacin de los electrodos. Sin embargo, no se puede excluir completamente que otros procesos de transduccin, indeseables en este caso, tambin tengan lugar. A pesar de ello pueden considerarse como efectos secundarios y son despreciados en las discusiones siguientes que consideran el caso de una placa o disco con electrodos en sus caras opuestas. En esta situacin siempre vamos a suponer que las dimensiones laterales de la placa son suficientemente grandes con respecto al espesor para habilitarnos a considerar su comportamiento elstico y piezoelctrico como un problema unidimensional sin demasiado desacierto. Como veremos en 5.2 el modo fundamental de vibracin de la placa piezoelctrica libre, llamado modo espesor, se logra para un valor de la longitud de onda igual a dos veces el espesor, y sus armnicos son mltiplos impares de este valor [Kino, 1987]. Existen diversas formas de definir los coeficientes de acoplamiento electromecnico k, una de las ms directas es

U elastica c E S 2 U int eraccion e E S U electrica E 2 U 2 int eraccion e2 = k = U elastica U electrica c E S2

Siendo el campo elctrico un vector y la deformacin un tensor, el coeficiente k depende de la direccin considerada. Intuitivamente el coeficiente de acoplamiento da una idea de la intensidad del efecto

24


piezoelctrico. Es decir que para utilizar el material como transductor electro mecnico debe tener el mayor k posible [Ikeda, 1990]. Consideramos ahora la propagacin de ondas en un medio piezoelctrico unidimensional. El medio es infinito, no hay carga libre en el medio y D es en la direccin z. Como el problema unidimensional slo depende de z tenemos:

D =0 z

Dz = cte

Todava D puede depender del tiempo. De modo que la corriente de desplazamiento total en el medio es

D = iD tEsta corriente debe ser uniforme o cero. En un transductor piezoelctrico con electrodos en cada cara, la corriente de desplazamiento atraviesa el medio al igual que en un condensador. En un medio infinito esperamos que esta corriente de desplazamiento sea cero; por lo tanto D = 0 en el medio. Por otra parte consideramos una placa de material piezoelctrico de espesor determinado, en el que todas sus dimensiones transversales son muy grandes comparadas con ese espesor. Cuando los electrodos ubicados sobre sus caras laterales estn a circuito abierto, el desplazamiento elctrico D es muy cercano a cero tambin en este caso. Tomando como referencia las ecuaciones (2.7) podemos escribirD = S E + eS D=0 E= eS

S

En la ecuacin anterior, S es la constante dielctrica del material de la placa con deformacin constante, es decir que la misma est sujeta de tal forma que su espesor es forzado a permanecer constante. Sustituyendo en la segunda ecuacin constitutiva

25

T = c E S eE eS T = c E S e S e2 T = c E 1 + E S c S = cDS

Aqu c E es una constante elstica, que describe la relacin entre la tensin elstica T y la deformacin en la placa si la intensidad del campo elctrico E se mantiene constante, por ejemplo igual a cero. De esta forma el medio piezoelctrico tiene una constante elstica efectiva cD llamada constante elstica rgida o rigidizada (suele usarse la palabra stiffened en la bibliografa). Utilizando la definicin de coeficiente de acoplamiento kc D = c E (1 + k 2 ) k2 = e2 c E S

(2.20)

Esto significa que la rigidez mecnica del material de la placa tambin depende de las conexiones elctricas de los electrodos y es menor cuando los electrodos estn en cortocircuito que si estos estn abiertos. Adems como la constante piezoelctrica e est realmente especificada por dos ndices, lo mismo es vlido para el factor de acoplamiento al caracterizar la clase de interaccin electromecnica. Entonces, para una placa piezoelctrica operada en su modo espesor, el factor de acoplamiento hablando estrictamente debiera ser notado como k11 o k33. Consideraremos ahora las propiedades de un medio finito con seccin transversal infinita o la placa equivalente con dimensiones transversales mucho mayores que su espesor. En este caso D debe ser finito y podemos definir una constante dielctrica efectiva en el medio. Ya se ha visto que si la deformacin S es cero la constante a considerar es:

S =

D E

26


De igual forma podemos encontrar la constante T libre de tensiones suponiendo que estas son cero sobre la placa:

T = c E S eE ; T = 0 S = D = S E + eS D = S (1 + k 2 ) E

e E cE e E cE(2.21)

D = SE +e

T = S (1 + k 2 )

Por lo tanto la constante dielctrica en ausencia de tensiones es ms grande que la de la placa que tiene limitados o impedidos los cambios en espesor.

2.5.5 Modelo del transductorConsideramos un transductor uniforme o un resonador con seccin transversal cuya dimensin principal es de varias longitudes de onda, y electrodos de rea A como se muestra en la Fig. 2.5. Dado que los electrodos son superficies equipotenciales, es razonable que Ex = Ey =0. Con esta simetra el transductor est diseado para vibrar

longitudinalmente en espesor y suponemos que no hay movimiento en la direccin x o la y. En este caso los parmetros S, E, D, v, u y T tienen componentes solo en la direccin z, perpendicular a la superficie del transductor. El transductor se trata como un sistema de tres puertos, uno elctrico y dos mecnicos (Fig. 2.5). Utilizamos la analoga de identificar la tensin mecnica T con el voltaje elctrico V, y la velocidad de partcula v como anloga a la corriente [Kino, 1987] , que se desarrolla con mayor detalle en el apndice A.

27

V3

I3

v1 = v(-l/2) F1 = AT(-l/2)

v2 = -v(l/2) F2 = -AT(l/2)

Figura 2.5: Modelo de tres puertos

Las magnitudes son positivas en la direccin del eje z. Esto significa que las condiciones de borde en los puertos acsticos son

l F1 = A T 2 l v1 = v 2

l F2 = A T 2 l v2 = v 2

Consideramos la propagacin de una onda monocromtica de frecuencia . Todas las magnitudes pueden expresarse como un mdulo dependiente de la posicin que oscila en forma sinusoidal con el tiempo

v ( z , t ) = v ( z ) e j t T ( z , t ) = T ( z ) e j t S ( z , t ) = S ( z ) e j t D ( z , t ) = D ( z ) e j tLa ecuacin de onda (2.8) se reduce para el caso unidimensional

2ui T ji 2 = t x j

v T = t z =

(2.22)

j v ( z )

dT ( z ) dz

28


A partir de la relacin entre deformacin y desplazamiento

Slk =

S ( z , t ) v ( z , t ) = t z dv j S ( z ) = dz

ul xk

(2.23)

Para el clculo de la corriente I3 se considera positiva entrante al transductor, por eso el cambio de signo con respecto a la ecuacin de continuidad

u r J + =0 t u r r J n ds + t

( D n ds ) = 0

ur r

La corriente total que atraviesa el transductor es I 3 = j A D y el voltaje a travs del mismo esta dado porl

V3 =

l

E dz2

2

Podemos eliminar E de las ecuaciones como en 2.5.4 obteniendo la ecuacin constitutiva en funcin de D y con el coeficiente cD que como antes significa a desplazamiento cero:T = c E S eE D = S E + eS D=0E = e S

(2.24)= hS

S

En (2.24) h se conoce como constante de transmisin, definida como h =

e

S

T = cE S e h S D = ( S h + e ) S T = cD S h D e2 c D = c E 1 + E S c 2 E = c (1 + k ) 29

A partir de las relaciones anteriores deducimos la ecuacin diferencial para v(z), considerando que el campo D es constante con z

j S ( z ) =

dv dz

d 2v dS = j 2 dz dz dT dS = cD dz dz

T = cD S h D

dT dS dD = cD h dz dz dz

d 2v j dT = D 2 dz c dz

;

j v ( z )

=

dT ( z ) dz

d 2v 2 + D v(z) = 0 dz 2 c

(2.25)

Las soluciones para T y v son ondas que se propagan en ambas direcciones. El ndice F indica la direccin positiva y B la negativa del eje z

v ( z ) = v F e j z + v B e j z T ( z ) = TF e j z + TB e j z h DSe definen los siguientes parmetros1,

= D c Zo = c D TF = Z o vF

1/2

=

V

Co =

S A

(2.26)

l TB = Z o vB

La velocidad V es la velocidad de propagacin en un medio piezoelctrico en condiciones de cortocircuito. Siempre es ms grande que la equivalente en un medio no piezoelctrico V, o en un medio piezoelctrico con E=0, y estn relacionadas a travs del acoplamiento electromecnico V = V (1 + k 2 ) 1 / 2 . En cermicas piezoelctricas como el PZT, o en un cristal como el niobato de litio, k2 puede ser tan grande como 0,5. Usando las condiciones de borde para este caso la velocidad puede expresarse como [Auld, 1990]

1

Se utiliza como nmero de onda para evitar la confusin con el coeficiente de acoplamiento

30


v2 sen z + l + v1 sen l z 2 2 v( z) = sen [ l ]

(

)

(

)

(2.27)

Las expresiones anteriores pueden ordenarse en forma matricial para dar la relacin entre voltajes y corrientes generalizados

A Z cot l ( ) o F1 1 F2 = j A Z o sin ( l ) V3 h

A Z o sin 1 ( l ) A Z o cot ( l ) h

h h 1

v1 v2 (2.28)

I3 Co

Estas ecuaciones tienen la forma de una red de tres puertos como se ha dicho y el circuito equivalente que resulta puede verse en la Fig. 2.6, conocido como equivalente de Mason. Definiendo las impedancias caractersticas para el caso de I3 = 0 resulta

Z11 = Z 22 = j A Zo cot ( l ) l Z11 Z12 = Z 22 Z12 = j A Zo tan 2 1 Z12 = Z 21 = j A Zo sin ( l )

v1 Z11- Z12 Z22 - Z12

v2

Z12

-Co

F1

N: 1 Co V3

F2

Figura 2.6: Circuito equivalente de Mason

En este modelo los puertos mecnicos son simtricos y hemos considerado el transductor descargado, o sea sus caras estn libres [Ferrari y otros, 2001]. El voltaje del puerto elctrico depende de dos trminos 31

V3 =

I j ( v1 + v2 ) + 3 j j Co

(2.29)

El segundo trmino en (2.29) es debido a la capacidad Co entre los electrodos y el otro es proporcional al movimiento v1+v2. La rama elctrica se acopla al sistema mecnico mediante un transformador ideal de relacin de vueltas N

N = h CoComo el espesor l de la placa del transductor en la (2.28) es arbitrario, puede ser reducido a un diferencial de longitud. En este lmite se puede ver que la parte mecnica en forma de T formada por Z11- Z12, Z22- Z12 y Z12 en la Fig. 2.6 se reduce a una lnea de transmisin diferencial de longitud l. La lnea de trasmisin, de impedancia ZC, como se muestra en la Fig. 2.7, puede ser vista como un cable coaxial cuya malla exterior est conectada a un transformador [Redwood, 1961], [Sherrit y otros, 1999].

v1

ZC

v2

hCo:1

-Co

I3

F1Co

F2V3

Figura 2.7: Circuito equivalente derivado del modelo de Mason

En el circuito de la Fig. 2.7 es Z C = Z 0 A y la relacin de transformacin

N = h C0 =

e C0

S

=

e A . En el Apndice A se desarrolla con ms detalle el l

modelo de lnea de transmisin y tambin el clculo de la impedancia equivalente vista desde los terminales del transductor.

32


2.6 Difraccin en la respuesta impulsivaEn la evaluacin de un transductor de ultrasonido, necesariamente debe tratarse con situaciones en las que el mismo se excita mediante pulsos elctricos y por lo tanto tambin debe recibir pulsos de presin y convertirlos a una seal elctrica. Este tipo de rgimen de funcionamiento se ve determinado en gran medida por las dimensiones finitas del transductor ya que generalmente el mismo ests lejos de poder ser considerado como una fuente puntual de ondas de ultrasonido. El modo ms simple de diagnstico usando ultrasonido es el barrido en modo A, que consiste en generar un pulso en el medio de estudio e inmediatamente relevar la seal completa de retorno debida a las reflexiones que ocurren con cada cambio en la densidad acstica del medio, considerando la velocidad de propagacin aproximadamente constante. Esto significa que el tiempo de vuelo del pulso, desde el transductor a un reflector y de regreso al transductor, puede ser usado como una medida de la distancia a la que se encuentra ese reflector a lo largo del recorrido del haz de ultrasonido. Si se mueve el haz de ultrasonido, confinando este movimiento a un plano (barrido plano), se puede generar la imagen de un corte de las estructuras que generaron el eco en un plano que las intersecta. Este barrido, que extiende el modo A de diagnstico a un plano, se conoce como modo B o ecografa B. Dentro del estudio de los procedimientos de focalizacin adaptados a la ecografa B para la generacin de imgenes ultrasnicas, donde las seales de irradiacin son necesariamente breves para poder beneficiarse de una decodificacin natural suficientemente precisa de la coordenada z del blanco, los fenmenos transitorios se vuelven preponderantes. El problema de la determinacin de la respuesta ecogrfica se divisa en varias partes: evaluacin de la reparticin de la presin acstica p(r,t) generada en la apertura de emisin para una excitacin elctrica cualquiera, determinacin de la respuesta elctrica de la pupila de recepcin de la seal acstica reflejada por un blanco casi puntual y, en un estado posterior, evaluacin global de la respuesta

33

ecogrfica en emisin recepcin combinando la eleccin de una abertura de emisin independiente del procedimiento de decodificacin utilizado en la recepcin [Hunt y otros, 1983]. Como aclaracin vale la pena decir que la pupila de recepcin se entiende como la regin o rea efectiva del transductor que es sensible a la seal de presin que llega a l para su conversin a seal elctrica.

2.6.1 Respuesta impulsiva en la emisinEn el rgimen impulsivo o pulsado, el conocimiento del campo acstico de irradiacin se complica porque las variables acsticas, que son funcin del tiempo y del espacio ya no son separables, como en el caso monocromtico, bajo la forma de un producto de una funcin espacial por otra funcin que no depende ms que del tiempo. De aqu en adelante es necesario, para definir el campo acstico en cada zona de inters, reemplazar la informacin nica de amplitud (y adicionalmente de fase) por una informacin temporal ligada a la posicin del punto que es mucho ms compleja [Morse & Ingard, 1968]. uu r Para evaluar la presin acstica p M , t en todos los puntos del

(

)

uu r semiespacio z>0 a partir de la distribucin de velocidades normales Vn M , t a

(

)

la superficie de emisin So (situada en el plano z=0), consideramos que esta superficie emisora, que puede estar constituida tanto por un nico transductor como por un conjunto de ellos, est encastrada en una pared rgida y estacionaria de velocidad normal nula. Buscando entonces determinar la uu r presin p M , t partimos de la teora clsica del sonido en un fluido istropo,

(

)

homogneo y perfectamente elstico, que relaciona la presin en el medio con una funcin potencial, el potencial de velocidades , el cual puede expresarse por [Kinsler y otros, 1999]:

uu r r uu p M ,t = M ,t t

(

)

(

)

(2.30)

34


En la ecuacin anterior es la densidad de equilibrio del medio, mientras uu r que el potencial de velocidades M , t est relacionado con la velocidad de

(

)

u uu r r las partculas del medio V M , t mediante:

(

)

u uu r r ur uu r V M , t = M , t

(

)

(

)

(2.31)

En la condicin mencionada antes de tener una superficie de irradiacin plana, uniformemente excitada y de rea S0 ubicada en un plano rgido con uu r z=0, el potencial M , t est dado por la integral de superficie de Rayleigh

(

)

[Fink & Cardoso, 1984]:uu r M ,t =

(

) So

Vn M 0 , t r c dso 2 r

uuuu r

(2.32)

Esta situacin, en la que todas las porciones de una superficie S0 vibran con la misma amplitud, se la conoce como modo pistn. Tomando como referencia uu r la Fig. 2.8, r es la distancia que separa el punto campo M del punto fuente uuu r M 0 , y c es la velocidad del sonido. La velocidad del pistn est en la direccin uuu r normal al plano de fuente y es descripta por la funcin Vn M 0 , t .

(

)

Z

uu r Mr

uu r M0O0

Figura 2.8: Geometra utilizada en la ecuacin (2.32)

Cuando consideramos una fuente puntual excitada por un pulso de uuu r velocidad infinitamente breve ubicado en M 1 , escribimos 35

uuu r uuu uuu r r Vn M 0 , t = M 0 M 1 v ( t )

(

) (

)

(2.33)

En la ecuacin anterior, v ( t ) es obviamente la componente de la velocidad normal que depende del tiempo. Usando las propiedades de la funcin la ecuacin (2.32) se transforma en:

M , t = v t 1 2 r1 , c

(

uu r

)

r

uuu uuu r r r1 = M M 1

(2.34)

Esta ecuacin representa una ondita hemisfrica viajando desde la fuente uuu r M 1 , por lo que (2.32) es una expresin del principio de Huygens [Godman, 1996]. En un sistema lineal, invariante en el tiempo, la ecuacin (2.34) se puede uu r considerar que describe un sistema cuya entrada es v ( t ) y su salida M , t .

(

)

Cuando examinamos fuentes pulsadas planas que vibran en un solo modo, generalmente el modo espesor del transductor, la funcin de la velocidad uuu r normal Vn M 0 , t es separable:

(

)

uuu r uuu r Vn M 0 , t = O M 0 v ( t )

(

)

( )

(2.35)

Con esta condicin, que es vlida en una gran cantidad de aplicaciones y en particular en los transductores que estamos estudiando, recuperamos una parte de la simplicidad del formalismo monocromtico que mencionbamos en el prrafo inicial. Podemos reemplazar Vn en la ecuacin (2.32) de la siguiente manera usando las propiedades de la funcin delta:uuur uuur uuur r V M , t r = O M v t r = O M v ( to ) ( t c to ) dto c c 0 0 0 n

(

) ( )(

)

( )

Si esta relacin la incluimos en la (2.32) e intercambiamos el orden de integracin, queda como resultado lo siguiente:uuur uu r O ( M 0 ) ( t r to ) c M , t = v ( to ) dso dto 2 r

(

)

(2.36)

36


uu r Ahora podemos definir una funcin h M , t de la siguiente forma:

(

)

hE M , t =

(

uu r

)

O ( M 0 ) ( t r c ) dso 2 ruuur

(2.37)

Esta definicin nos proporciona el medio de escribir el potencial de uu r velocidades como un producto de convolucin de h M , t y la velocidad del

(

)

pistn v ( t )

M , t = v ( t ) hE M , t

(

uu r

)

(

uu r

)

(2.38)

uu r uu r Entonces, hE M , t es el potencial de velocidades en el punto M que resulta

(

)

de una excitacin impulsiva de la velocidad de la fuente. Tambin relaciona el campo acstico con la geometra de la fuente radiante [Hunt, y otros, 1983]. Esta respuesta se la conoce como respuesta impulsiva de difraccin y es conveniente remarcar el hecho de que el conocimiento del comportamiento en emisin y recepcin de cada apertura est enteramente determinado por el uu r conocimiento de hE M , t .

(

)

Esta funcin nos da la posibilidad de encontrar, como caso particular, el potencial de velocidades o la distribucin de presiones de onda continua. Para una excitacin monocromtica de la velocidad v ( t ) expresada como

vo exp ( j 2 f 0 t ) donde f 0 es la frecuencia y vo la amplitud de la velocidad de la

cara frontal de la apertura, se obtiene:

M , t = vo ei 2 f

(

uu r

)

0t

+

uu r ei 2 f0 t ' h M , t ' dt '

(

)

(2.39)

Es una funcin sinusoidal cuya amplitud es proporcional a la transformada temporal uu r uu r de Fourier H M , f de h M , t . Esta funcin de transferencia relaciona la velocidad

(

)

(

)

monocromtica de excitacin con el potencial de velocidades. A partir de (2.37) podemos escribir:

37

uu r uuu exp j 2 f r c r H M , f = O M 0 dso 2 r

(

)

( )

(

)

(2.40)

uu r Adicionalmente la presin p M , t

(

)

se obtiene a partir del potencial de

uu r velocidades, derivando el producto de convolucin entre h M , t y la velocidad v ( t ) ,

(

)

usando las propiedades de la convolucinuuu r uu r O( M0 )( tr to ) c p M,t = v( to ) dsodto = v t r to 2r c t t

( )

(

) (

uuur O M0 ( to )

)

2r

dsodto =

v t r c to t

(

)

uuu r uu r v( t) O( M0)(to) 2r dsodto = h M,t t

( )(2.41)

uu r uu r v (t ) p M ,t = h M ,t t

(

)

(

)

Ahora supongamos que se aplica al transductor, para excitarlo, una seal elctrica El ( t ) . La funcin de transferencia electroacstica del transductor para la emisin es iE ( t ) , y en consecuencia podemos expresar la componente temporal de la velocidad de la superficie emisora como la convolucin de la excitacin electroacstica del transductor: uu r v ( t ) = El ( t ) iE ( t ) . Por lo tanto la presin p M , t se expresa de la manera elctrica con la respuesta

(

)

siguiente:

uu r uu r dE ( t ) p M ,t = l iE ( t ) hE M , t dt

(

)

(

)( )

(2.42)

uu r Recordemos aqu que la funcin impulso para la emisin hE M , t es unafuncin cuya evaluacin permite recuperar, como caso particular, la respuesta uu r f M a una excitacin monocromtica de frecuencia f. Reemplazando v ( t )

( )

por vo exp ( j 2 f t ) en (2.38) se obtiene: 38


M , t e j 2 f t hE M , t e j 2 f t f M

(

uu r

)

(

uu r

)

( )

uu r

(2.43)

( ) es proporcional a la uu r uu r transformada de Fourier (TF) H ( M , f ) de h ( M , t ) , tomada en la frecuencia uu r f. Recobramos as el formalismo de la respuesta monocromtica ( M ) y se uu r constata que h ( M , t ) se puede escribir bajo la forma de una transformada deE E f E

uu r Es una funcin sinusoidal cuya amplitud f M

Fourier inversa respecto al tiempo:

uu r uu r hE M , t = TF 1 f M

(

)

( )

(2.44)

2.6.2 Respuesta impulsiva en la recepcinEl estudio de la respuesta impulsiva se extiende a la recepcin de seales acsticas u ondas de presin, reflejadas por un pequeo dispersor rgido (dimetro

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