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UPFMacroeconomía 2008-09 SET 3 Diapositiva 1

MACROECONOMÍA UPF 2008-09

SET 3 de Diapositivas

Profesor Antonio Ciccone


III. CRECIMIENTO ECONOMICO CON

AHORRO ENDOGENO


1. La decisión de ahorro de las familias


1. “Teoría Keynesiana” del ahorro y el consumo

• Hasta ahora hemos supuesto una función de ahorro “keynesiana”

• donde s es la propensión marginal a ahorrar.

1. La función de consumo (ahorro) keynesiana


Por la RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

Esto implica una función de consumo “keynesiana”

Donde c es la propensión marginal a consumir.


2. Limitaciones

– Las familias miran solamente la renta CORRIENTE cuando deciden su nivel de consumo?

– No. Muchas familias piden prestado a los bancos para poder consumir más hoy, porque saben que serán capaces de devolver el préstamo en el futuro.

– Si la gente ahorra, presumiblemente lo hacen para consumir más en el futuro. Por lo tanto, el ahorro es una decisión que se toma “mirando hacia delante” (FORWARD-LOOKING) y que debe tener en cuenta lo que pase en el futuro.

CONCEPTUALESLa decisión de consumo se supone “mecánica” y “miope”:


Suponer que el ahorro es una función de la renta corriente contradice el uso que las familias hacen de sus ahorros

EMPÍRICAS

“Suavizar el consumo”

– Empíricamente, se observa que las familias suavizan el consumo. En otras palabras, la renta de las familias es generalmente más volátil que su consumo.

– Esto sugiere que las familias miran hacia delante y tratan de estabilizar su consumo (su estándar de vida) tanto como pueden.


tiempo

Ingreso familiar de un Agricultor

FIGURA 1: Suavizado del consumo en el tiempo: Un sendero temporal de la renta volátil


tiempo

FIGURA 2: Renta y consumo “keynesiano”

Ingreso familiar de un agricultor

Consumo de un agricultor (Teoría “Keynesiana”)


tiempo

FIGURA 3: Proceso de suavizado del Consumo

Ingreso familiar de un agricultor

Consumo de un agricultor (Observación empírica)


tiempo

Ingreso Familiar

Consumo suavizado

Ahorro para épocas de sequía

Desahorro para mantener los niveles de consumo

FIGURA 4: Ahorros y desahorros en modelos de consumo suavizado


INTERESANTEMENTE:

La Teoría Keynesiana del Consumo parece comportarse mejor a nivel agregado que a nivel de familias individuales. Por ejemplo:

– La teoría keynesiana sirve para describir la relación entre el consumo y la renta de un país en diferentes años.

– Esta teoría también sirve para describir la relación entre el consumo y la renta para diferentes países


RENTA

CONSUMOUN DILEMA?

NIVEL AGREGADO

NIVEL DE LA FAMILIAINDIVIDUAL

Alemania 1950O País 1



Sr A

Sra B

Sr CSra D


2. La teoría del ingreso permanente, del consumo y del ahorro

1. Idea básica y un modelo de dos períodos

Las familias toman las decisiones de consumo:

• MIRANDO HACIA DELANTE

• USANDO AHORROS Y PRÉSTAMOS de los bancos para mantener su nivel de vida lo más ESTABLE posible en el tiempo


Modelo formal más simple posible ( 2 PERIODOS)

Supuestos:• Las familias viven 2 períodos y tratan de maximizar la utilidad

INTERTEMPORAL

• Saben que obtendrán un ingreso LABORAL Lw[0] en el período 0 y Lw[1] en el perído 1

• Comienzan con RIQUEZA 0

• Pueden ahorrar y endeudarse con el sistema bancario a la tasa de interés r

( [0]) (1 ) ( [1])U C U C


PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN MATEMÁTICA:

Eligiendo C0 y C1

Sujeto a: S=Lw0-C0

C1=Lw1+(1+r)S

es el DESCUENTO aplicado a las utilidades futuras

Notar que S puede ser NEGATIVO (qué implica que la familia está pidiendo PRESTADO o DESAHORRANDO).

0 1max ( ) (1 ) ( )U C U C


FORMULACIÓN MATEMÁTICA

Maximizar UTILIDAD INTERTEMPORAL

Eligiendo C

Sujeto a:

RESTRICCIÓN PREUPUSTARIA INTERTEMPORAL

C1=Lw1+(1+r)S= Lw1+(1+r)(Lw0-C0)

0 1max ( ) (1 ) ( )U C U C


RESTRICCIÓN PREUPUSTARIA INTERTEMPORAL

También puede ser escrita como:

TEMINOLOGÍA IMPORTANTE:

INGRESO PERMANENTE (IP)

PRECIO DEL CONSUMO FUTURO CON RELACIÓN AL CONSUMO PRESENTE

2 21 11 1

C LwC Lw

r r

21 1

LwLw

r


C[0]

C[1]

Lw[0]

Lw[1]

GRÁFICAMENTE: NIVELES DE RENTA Y CONSUMO


C[0]

C[1]

Lw[0]

Lw[1]

1+r

LA RESTRICCIÓN PREUPUSTARIA INTERTEMPORAL


C[0]

C[1]

Lw[0]

Lw[1]

1+r

MAXIMIZACIÓN INTERTEMPORAL DE UTILIDAD


C[0]

C[1]

Lw[0]

Lw[1]

1+r

C[0]

C[1]


C[0]

C[1]

Lw[0]

Lw[1]

1+r

C[0]

C[1]

ENDEUDAMIENTO PARA CONSUMIR MÁS HOY

PRÉSTAMO

DEVOLUCIÓN


2. Solución de forma reducida en un caso simple

Suponiendo: TASA DE INTERÉS CERO: r = 0 DESCUENTO DE LA UTILIDAD FUTURA CERO: β=0

EL PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN QUEDA:

Con respecto a C

Sujeto a 0 1 0 1C C Lw Lw PI

0 1max ( ) ( )U C U C


CONDICIONES DE PRIMER ORDEN:

Las condiciones de primer orden pueden ser obtenidas de

Con respecto a C0

Donde hemos sustituido la restricción presupuestaria.

Derivando con respecto a C1 e igualando a cero:

O, lo que es lo mismo:

0 0max ( ) ( )U C U PI C

0 1

0 1

( ) ( )U C U C

C C

0 1'( ) '( )U C U C

C1

0 0

0 1

( ) ( )( 1) 0

U C U PI C

C C


IGUALAR LA UTILIDAD MARGINAL EN DIFERENTES MOMENTOS DEL TIEMPO

ESTO IMPLICA

“CONSUMO PERFECTAMENTE SUAVIZADO”

Usando la RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL nos queda el consumo como función de la RENTA PERMANENTE

0 1C C

2

IP

210

10

YY

CC


Lw[0]

C[0]

0.5*Lw[1]

0.5*Lw[0]+0.5*Lw[1]

"FUNCIÓN DE CONSUMO"


Lw[0]

C[0]

0.5*Lw[1]

0.5*Lw[0]+0.5*Lw[1]

INCREMENTO “TEMPORARIO” EN LA RENTA

INCREMENTO en laRenta del primer período

EFECTO DE UN INCREMENTO EN LA RENTA DEL PRIMER PERÍODO EN SOBRE C0


Lw[0]

C[0]

0.5*Lw[0]+0.5*Lw[1]

INCREMENTO “PERMANENTE” EN LA RENTA

INCREMENTO Lw[0]

INC

RE

ME

NT

O L

w[1

]

THE EFFECT OF AN INCREASE IN INITIAL AND FUTURE INCOME


DESCUENTO DE LA UTILIDAD FUTURA Y TASA DE INTERÉS

MAXIMIZACIÓN CON FACTOR DE DESCUENTO E INTERÉS

con respecto a C

Sujeto a:

RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL

1 10 01 1

C LwC Lw

r r

0 1max ( ) (1 ) ( )U C U C


CONDICIONES DE PRIMER ORDEN

“DESCUENTO TEMPORAL EFECTIVO”

CONSUMO CONSTANTE

En este caso los efectos del descuento de las utilidades futuras y de la tasa de interés se cancelan entre sí.

0 1'( ) (1 )(1 ) '( )U C r U C


CONSUMO CRECIENTE EN EL TIEMPO:

Si (1-β)(1+r) > 1, el consumo crecerá en el tiempo.

En este caso el efecto positivo de la tasa de interés más que compensa el descuento sobre la utilidad futura

CONSUMO DECRECIENTE EN EL TIEMPO:

Si (1-β)(1+r) < 1, el consumo se reducirá en el tiempo.

En este caso el descuento sobre la utilidad futura más que compensa el efecto positivo de la tasa de interés


C[0]

C[1]

Lw[0]

Lw[1]

1+r

C[0]

C[1]

AUMENTO EN LA TASA DE INTERÉS

TASA DE INTERÉS ALTA

TASA DE INTERÉS BAJA


EJEMPLO

Supongamos la siguiente función de utilidad:

con

Las condiciones de primer orden son:

O

1/ 1/0 1(1 )(1 )C r C

1

0

(1 )(1 )C

rC


3. El caso de 3 y más períodos

-- Timing-- Restricción Presupuestaria Intertemporal-- Condiciones de optimalidad-- Consistencia temporal


TIMING

t=0 t=1

Q[0]

w[0]L w[1]L w[2]L

C[1] C[2]

RIQUEZAINICIAL

t=2

-Interés r[0]-Descuento sobrela utilidad

C[0]

ESTAMOS AQUÍ

- Interés r[1]-Descuento sobrela utilidad


VALOR PRESENTE DE LA RENTA Y EL CONSUMO

0 1 20

0 0 1 0 1 21 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

Lw Lw LwQ

r r r r r r

0 1 2

0 0 1 0 1 21 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

C C Cr r r r r r

- RENTA PERMANENTE

-VALOR PRESENTEDEL CONSUMO

t=0 t=1

Q[0] w[0]L w[1]L w[2]L

C[0] C[1] C[2]

t=2

ESTAMOS AQUÍ

InterésDescuento

InterésDescuento

InterésDescuento



0 1 20

0 0 1 0 1 2

0 1 2

0 0 1 0 1 2

1 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

1 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

Lw Lw LwQ

r r r r r r

C C C

r r r r r r


RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA Y EVOLUCIÓN DE LA RIQUEZA

t=0 t=1 t=2

Q[0] w[0]L w[1]L w[2]L

C[1] C[2] C[3]

1 0 0 0 0(1 )Q r Q Lw C

2 1 1 1 1(1 )Q r Q Lw C

3 2 2 2 2(1 )Q r Q Lw C

C[0]



1 1 1 1(1 )t t t t tQ r Q Lw C

dado está 0Q

período último el es T Si

0período delFin T Q


0 1 20

0 0 1 0 1 21 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

Lw Lw LwQ

r r r r r r

EL VALOR PRESENTE DEL SUPERÁVIT PRESUPUESTARIO

= RENTA PERMANENTE menos VALOR PRESENTE DEL CONSUMO

0 1 2

0 0 1 0 1 21 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

C C C

r r r r r r

= VALOR PRESENTE DE LA RIQUEZA AL FINAL DE LA VIDA

)1)(1)(1( 210 rrr

Q alPeríodoFinT


MAXIMIZAR ENTRE PERÍODOS ADYACENTES

1 1'( ) (1 )(1 ) '( )t t tU C r U C

SOLUCIÓN ÓPTIMA AL PROBLEMA DEL CONSUMIDOR

MÁS RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA CON IGUALDAD

0)1)(1)(1( 210

rrr

Q alPeríodoFinT


HORIZONTE INFINITO

= VALOR AL MOMENTO CERO (VALOR PRESENTE) DE 1 EURO PAGADO AL FINAL DEL PERÍODO t

)1(...)1()1(

1

10 Tt rrr

VP



Esta condición implica que no puede haber juegos del tipo PONZI

1 1 1 1(1 )t t t t tQ r Q Lw C

dado 0Q

0lim 0

FdPTT

TQVP

FdP: Fin del Período


Tiempo T

0

QUÉ PASA SI: 0lim 0

bQVP FdPTT

T

FdPTTQVP0


SE PUEDE INCREMENTAR EL CONSUMO DEL MOMENTO 0

EL PLAN DE CONSUMO NO ES ÓPTIMO!

PARA LA OPTIMALIDAD ES NECESARIO QUE:

0lim 0

FdPTT

TQVP


CONSISTENCIA TEMPORAL DE LOS PLANES DE CONSUMO DE LA FAMILIA


PLANES DE CONSUMO EN EL MOMENTO 0

t=0 t=1

Q[0] w[0]L w[1]L w[2]L

C[0] C[1] C[2]

t=2

ESTAMOS AQUÍ

InterésDescuento

Interés Descuento

Interés Descuento

t=0 t=1

Q[0] Q(1) w[1]L w[2]L

C[1] C[2]

t=2

ESTAMOS AQUÍ

PLANES DE CONSUMO EN EL MOMENTO 1 (SIN NUEVA INFO)

InterésDescuento

InterésDescuento


***** CONSISTENCIA TEMPORAL *****

t=0 t=1

Q[0] w[0]L w[1]L w[2]L

C[0] C[1] C[2]

t=2

ESTAMOS AQUÍ

t=0 t=1

Q(1) w[1]L w[2]L

C[1] C[2]

t=2

ESTAMOS AQUÍ

InterésDescuento

InterésDescuento

InterésDescuento

InterésDescuento

InterésDescuento

PLANES DE CONSUMO EN EL MOMENTO 1 (SIN NUEVA INFO)


3. Consumo y ahorro óptimos en tiempo continuo1. Horizonte Infinito

sujeto a

= VALOR AL MOMENTO 0 (VALOR PRESENTE) DE 1 EURO PAGADO EN EL MOMENTO t

0max ( )t

te U C dt

dtLwVPQdtCVP tttt

0

00

0

0

Tdttr

tt eCVP 0)(

0


2. Restricción Presupuestaria Intertemporal

1 1 1 1(1 )t t t t tQ r Q Lw C

(1 )t t t t t tQ r Q r Lw C

1 1 1 1(1 )t t t t tQ r Q Lw C

Riqueza en tiempo discreto

1 1 1 1 1t t t t t tQ Q r Q Lw C

Riqueza en tiempo continuo


La Restricción Presupuestaria Intertemporal en tiempo continuo se satisface con igualdad si

(1 )t t t t t tQ r Q r Lw C

dado 0Q

0lim 0 tt

tQVP


3. Interpretación de y rr es la tasa de interés que se recibe entre dos períodos de

tiempo muy cercanos

es la tasa de descuento aplicada POR UNIDAD DE TIEMPO entre dos períodos de tiempo muy cercanos

PARA VER QUE r es la tasa de descuento aplicada POR UNIDAD DE TIEMPO entre dos períodos de tiempo muy cercanos:

1) Note que el descuento de utilidad entre el período 0 y t es:


2) Por lo que el descuento de utilidad por unidad de tiempo es:

3) Qué pasa si tomamos límite para cuando t0?

Aplicando la regla de L’Hopital:


4. Condiciones de Primer Orden

donde:es la TASA DE PREFERENCIA

INTERTEMPORAL y mide la impaciencia de la gente por consumir

es la ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN INTERTEMPORAL, y mide cuánto aumenta el consumo futuro ante un incremento en la tasa de interés (cuánto la gente “responde” a la tasa de interés)


Tiempo

SENDERO ÓPTIMO DE CONSUMO r =

C(t)

C(0)

CONSUMO CONSTANTE EN EL TIEMPO


Tiempo

SENDERO ÓPTIMO DE CONSUMO r >

C(t)

C(0)

CONSUMO CRECIENTE EN EL TIEMPO


Tiempo

SENDERO ÓPTIMO DE CONSUMO r <

C(t)C(0)

CONSUMO DECRECIENTE EN EL TIEMPO


5. Solución de forma reducida en un caso especial

SUPONIENDO

(Los consumidores tienen un HORIZONTE INFINITO)

La SOLUCIÓN SE CARACTERIZARÍA POR

LA GENTE QUIERE MANTENER EL CONSUMO CONSTANTE EN EL TIEMPO (CASO DE SUAVIZADO PERFECTO DEL CONSUMO)


LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL

SIN riqueza inicial

ENTONCES

PERMANENTERENTA ][0

dttLwert

PERMANENTERENTA ][

r

tC

PERMANENTERENTA ][ rtC


6. Condiciones de primer orden en tiempo continuo

• MAXIMIZACIÓN ENTRE DOS PERÍODOS SEPARADOS POR UN TIEMPO x

• sujeto a

= GASTO TOTAL EN LOS DOS PERÍODOS


Supongamos la siguiente función de utilidad:

con


CONDICIONES DE PRIMER ORDEN para dos períodos

Usando la función de utilidad


REESCRIBIENDO:

Restando 1 de ambos lados


DIVIDIENDO POR x (EL TIEMO ENTRE DOS PERÍODOS) OBTENEMOS EL CRECIMIENTO DEL CONSUMO POR UNIDAD DE TIEMPO

Qué pasa cuando los dos períodos de tiempo son cada vez más cercanos (x0)?


• Aplicando la regla de L’Hopital


ENTONCES, a medida que los dos períodos se vuelven más y más cercanos

Qué es lo que queríamos demostrar


RESUMIENDO

PREGUNTA: Qué caracteriza el sendero de consumo óptimo que resuelve:

sujeto a

1 1/

0 0max ( )

1 1/t t t

tC

e U C dt e dt

dtLwVPQdtCVP tttt

0

00

0

0


ˆ ( )tt t

t

CC r

C

RESPUESTA:

y

o (1 )t t t t t tQ r Q r Lw C

0lim 0 tt

tQVP

dtLwVPQdtCVP tttt

0

00

0

0


2. El Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans


Ahora integraremos la familia que elige óptimamente su consumo para un horizonte de tiempo infinito con el Modelo de Solow. El resultado será lo que habitualmente se conoce como MODELO DE CASS-KOOPMANS.

El MODELO DE CASS-KOOPMANS es exactamente como el MODELO DE SOLOW con la diferencia que las familias ya NO se comportan “mecánicamente” sino que ahora eligen el consumo y el ahorro de forma de resolver el siguiente problema:

sujeto a

donde

1. Crecimiento de equilibrio con familias de horizonte infinito

0max ( [ ])te U C t dt

LdttwVPQdttCVP tt ][]0[][0

0

0

0

dttr

t

T

eVP

0)(

0


Para no complicar demasiado las cosas vamos a simplificar el modelo asumiendo:

1. No hay cambio tecnológico (i.e. a=0 en el Modelo de Solow)

2. No hay crecimiento poblacional (i.e. n=0 en el Modelo de Solow)


QUÉ PODEMOS MANTENER DEL MODELO DE SOLOW

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CON RENDIMIENTOS CONSTANTES

E(1)

E(2)

ECUACIÓN DE ACUMULACIÓN DEL CAPITAL

E(3)

1. Tecnología y el Mercado de Capital

)('),(

kfK

LKFPMK


EQUILIBRIO DEL MERCADO DE CAPITAL

E(4)

E(5) ][])[('][ trtkftPMK


LO QUE NO PODEMOS MANTENER ES:

EN SU LUGAR:

E(6)

E(7) RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA INTERTEMPORAL

donde c[t] es CONSUMO por PERSONA

2. Comportamiento de las familias


INTENTAREMOS CARACTERIZAR EL EQUILIBRIO DE ESTA ECONOMÍA EN TÉRMINOS DE LA EVOLUCIÓN DE c y k.

REDUCIREMOS las ecuaciones anteriores a un SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN DOS DIMENSIONES donde:

CAMBIO en el CONSUMO c=FUNCIÓN DE k y cCAMBIO en el CAPITAL k=FUNCIÓN DE k y c

(E6) y (E5) implican

E(8)

3. Sistema de equilibrio Dinámico


(E3) y (E4) implican

Recuerden que NO hay crecimiento poblacional, por lo que:

E(9)


ENTONCES, NOS QUEDAN DOS ECUACIONES [E(8) y E(9)]:

y


Estas ecuaciones pueden ser analizadas en un DIAGRAMA DE FASES

Comenzamos con la ecuación de acumulación de capital

PRIMERO: Encontrar la ISOCLINE, los puntos en los que las combinaciones (c, k) son tales que

INTERPRETACIÓN: el capital por trabajador NO crece si la economía consume todo el producto neto de la depreciación del capital. En ese caso, la inversión es justo la necesaria para cubrir la depreciación del capital.

2. Crecimiento de equilibrio y optimalidad


k

c k-ISOCLINE: EL CAPITAL ESTÁ CONSTANTE

k-ISOCLINE


k

c

k-ISOCLINE: EL CAPITAL ESTÁ CONSTANE

CAMBIOS EN k EN EL DIAGRAMA DE FASES


Continuamos con la ecuación de consumo óptimo

PRIMERO: Encontrar la ISOCLINE, es decir, las combinaciones (c, k) tales que

o


k

c c-ISOCLINE: EL CONSUMO PERMANECE CONSTANTE

k*Es el k tal que f’(k)=r+δ

c-ISOCLINE

0


k

c

CAMBIOS EN c en el DIAGRAMA DE FASES

0 k*Es el k tal que f’(k)=r+δ

c-ISOCLINE: EL CONSUMO PERMANECE CONSTANTE


k

c

k-ISOCLINE: CAPITAL CONSTANTE

c-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE

k*

JUNTANTO LOS CAMBIOS en k y c

0


k

c



k*0


Todas esas trayectorias satisfacen (por construcción):

-Maximización del consumidor período a período-Equilibrio en el mercado de capital

Pero NO necesariamente satisfacen restricciones como:

-Stock de capital no negativo k[t]>=0-Restricción Presupuestaria Intertemporal con IGUALDAD


k

c



k*k(0)

TRAYECTORIAS que violan la condición de Stock de capital no negativo (se consume demasiado en el comienzo)

0


k

c



k*k(0)

TRAYECTORIAS que no satisfacen la restricción presupuestaria con igualdad (se consume demasiado poco en el comienzo)

0

k_barra


Q(t)=K(t) o q(t)=k(t)

(1) Riqueza=Capital

(2) Restricción presupuestaria intertemporal con igualdad

0limlim 00 tt

ttt

tkVPqVP

t dr

t eVP 00


k

c

f(k)-k


k*k(0)

TRAYECTORIAS QUE NO SATISFACEN LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA CON IGUALDAD

f’(k)-=r=0

TASA DE INTERÉS NEGATIVAINTERÉS POSITIVO

k_barra


tiempo tTASA DE INTERÉS NEGATIVA

)_(*limlim 00 barrakVPqVP tt

ttt

t dr

t eVP 00


k

cc-ISOCLINE: CONSUMO CONSTANTE

k*k(0)

TRAYECTORIAS QUE NO SATISFACEN LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA CON IGUALDAD

0

k_barra

NO SE ESTÁ GASTANDO TODA LA RENA PERMANENTE!!!!!!!


k

c



k*k(0)

TRAYECTORIA DE EQUILIBRIO (“PUNTO DE SILLA”)

0


( )t t t tk f k c k

( )t t t t t tk r k Lw c k

t t t t tk r k Lw c

LA TRAYECTORIA DE PUNTO DE SIILLA (SADDLE PATH) SATISFACE LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

Equilibrio del mercado de capital

Renta por trabajador=Renta laboral + Renta de Capital:

Por lo tanto:

t t t t tq r q Lw c t tk q


Además:

Como:

Dado que la tasa de interés>0 para k<=k*

0limlimlim *000

kVPkVPqVP t

ttt

ttt

t

0limlim 00

t dr

tt

teVP


OPTIMALIDAD

-- Qué debería hacer el Planificador Social?

-- Planificador Social: dictador benevolente que elige la asignación de recursos que maximiza el bienestar de las Familias sujeto a los recursos disponibles


Tasa Marginal de Sustitución=Tasa Marginal de Transformación (TMS=TMT)

Restricción de Recursos


k

c



k*0


k

c



k*k(0)

TRAYECTORIA ÓPTIMA (“PUNTO DE SILLA”)

0

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