Universidad politécnica estatal del carchi

1

[Escriba texto] Página 1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS

AMBIENTALES

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Módulo

“ALGEBRA”

PRIMER NIVEL

PARALELO: “A”

Ing. Oscar René Lomas Reyes

AMANDA SUAREZ

2


Contenido INTRODUCCIÓN ...............................................................................Error! Bookmark not defined.

OBJETIVOS ................................................................................................................................. 3

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES .......................................Error! Bookmark not defined.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................. 7

EXPONENTES Y RADICALES ........................................................................................................ 8

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ................................................................................................... 10

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? ....................................................................................................... 11

Partes de una ecuación ........................................................................................................... 11

¡Exponente! ............................................................................................................................. 12

PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 12

FACTORIZACIÓN ...................................................................................................................... 15

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................. 16

INTRODUCCIÓN

El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea

números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El

término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe

que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”.

Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones,

estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este

marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división)

pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar

números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos

(incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su

resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes

propiedades que poseen las operaciones aritméticas.

Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una

operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).

http://definicion.de/signos

3


Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la multiplicación,

por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Recopilar la información otorgada por el docente referente al cronograma de estudio

en el módulo de algebra, para tener constancia del trabajo realizado en el transcurso

de todo el semestre y que esta información nos sirva como guía de estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Construir el portafolio estudiantil.

Comprender la información obtenida para adquirir nuevos conocimientos referentes a

cada uno de los temas.

Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea productivo.

4


SILABO

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN – ESCUELA

“Formar profesionales

humanistas, emprendedores y

competentes, poseedores de

conocimientos científicos y

tecnológicos; comprometida

con la investigación y la

solución de problemas del

entorno para contribuir con el

desarrollo y la integración

fronteriza”

La Escuela de Desarrollo Integral

Agropecuario contribuye al desarrollo

Provincial, Regional y Nacional, entregando

profesionales que participan en la producción,

transformación, investigación y dinamización

del sector agropecuario y agroindustrial,

vinculados con la comunidad, todo esto con

criterios de eficiencia y calidad

UPEC – VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad

Politécnica acreditada por su

calidad y posicionamiento

regional

Liderar a nivel regional el proceso de

formación y lograr la excelencia académica

generando profesionales competentes en

Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido

apoyo basado en el profesionalismo y

actualización de los docentes, en la

investigación, criticidad y creatividad de los

estudiantes, con una moderna infraestructura

que incorpore los últimos adelantos

tecnológicos, pedagógicos y que implique un

ejercicio profesional caracterizado por la

explotación racional de los recursos naturales,

producción limpia, principios de equidad,

participación, ancestralidad, que den

seguridad y consigan la soberanía alimentaria

5


CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y así

sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o números naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3…… forman el

conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que pueden

escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es aquél

que puede escribirse como donde p y q son enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto

que 2 = . De hecho todo entero es racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que terminan se

conocen como números irracionales. Los números y son ejemplos de números

irracionales. Junto, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de

los números reales.

Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se selecciona

un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del origen se

consideran positivas y las de la izquierda negativas

6


7


PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número son iguales

entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse o

multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse y

multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la multiplicación,

los números pueden agruparse en cualquier orden.

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que para todo

número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número real denotado

poa –a

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número da el mismo

resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los

productos.

8


EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a multiplicar

otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base.

Por ejemplo:

b es el valor base y -5 es el exponente

-2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima de un

número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.

n = índice

x = radicando

y = raíz

9


=signo radical

Leyes radicales

10


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones

aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios.

Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones

algebraicas en una sola expresión algebraica.

11


Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el

sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes.

Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio,

teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los productos

parciales con sus propios signos.

División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los

cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

X + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en

la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

PARTES DE UNA ECUACIÓN

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes

(¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

12


Una variable es un símbolo para un número que

todavía no conocemos. Normalmente es una letra

como x o y.

Un número solo se llama una constante.

Un coeficiente es un número que está multiplicando

a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un

coeficiente)

Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que

representa una operación (es decir, algo que quieres

hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable solo, o

números y variables multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los

términos están separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo

término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"

¡Exponente!

Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor

en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

PRODUCTOS NOTABLES

13


Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el

doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el

doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del

primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo

del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del

primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el

cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

14


(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno,

más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del

primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

15


FACTORIZACIÓN

Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto de

dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama factorización y nos permite

transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples.

Factorización por factor común.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se

le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de

un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del

polinomio entre el factor común.

Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al

producto de dos binomios conjugados.

Factorización de un cuadrado perfecto

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con

apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer término del

trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término y elevando este

binomio al cuadrado:

Factorización de una suma o diferencia de cubos

Se sabe que:

Factorización de cubos perfectos de binomios.

16


FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor común, pero pueden

ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como

más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA

Comenzamos con la siguiente situación:

17


ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:

Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.

Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:

Dode :

Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.

Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.

18


Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.

y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Ax = b,

dondeA es una matrizm por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:

el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobre determinado o que es incompatible)

el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado) el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible

indeterminado).

La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.

La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.

La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.

En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

19


Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1]

Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.

Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.

TRANSFORMACIONES LINEALES

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente.

Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_%28f%C3%ADsica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

20


Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas, las cuales

podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar una técnica llamada

superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de

gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo

puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para tener como resultado escalares.

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

21


Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde

el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo

aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el

coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n

= 2 se conoce como ecuación cuadrática

Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una

vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.

Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo

miembro quede 0. Obtenemos:

3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de

segundo grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual

es muy conveniente.

EJEMPLOS:

1.

2.

http://3.bp.blogspot.com/_GHnh3ILnSo4/StBJleWv7hI/AAAAAAAACas/VTO1f_7cL0c/s1600-h/0.1.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_GHnh3ILnSo4/StBJxYFwdVI/AAAAAAAACa0/LFFrtoso3m8/s1600-h/0.2.JPG

22


3.

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

INECUACIONES

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se

relacionan por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 <

7

≤ menor o igual

que

2x − 1 ≤

7

23


> mayor que 2x − 1 >

7

≥ mayor o igual

que

2x − 1 ≥

7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-∞, 4)

DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Para resolverlassesiguenlosmismospasosqueenlasecuacionesdeprimergradoconuna

incógnita:

Quitar paréntesis.

Quitar denominadores.

Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.

Despejar la incógnita.

En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las desigualdades: “Si se

multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo cambiael

sentido de la misma”.

24


La soluciónde una inecuación de este tipo puede ser:

Un conjuntode números reales quese suele expresar en forma de intervalo.

Cualquier número real.

Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.

La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que

se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se

cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución

será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

25


2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las siguientes

formas:

ax 2 + bx + c > 0

ax 2 + bx + c ≥ 0

ax 2 + bx + c < 0

ax 2 + bx + c ≤ 0

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números, una

variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella

misma, y un símbolo de desigualdad..

Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:

2x2−x<2x−1

Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático, característico de las

inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no estuviera, tendríamos una inecuación de

primer grado.

26


Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por una

serie de pasos a seguir.

Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de resolución de

ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:

Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen dadas por la

fórmula: x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac√2a

Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor de b2−4ac√ (para

más información consultar el tema de ecuaciones de segundo grado).

Método a seguir para la resolución:

Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los lados

de la inecuación, consiguiendo una expresión del tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los

valores b y c son números reales que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es

un valor positivo. En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda

la inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás

términos y el orden de la desigualdad).

Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la

inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.

Puede ser que tengamos tres opciones:

Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:

Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números cumplen la

inecuación.

Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la inecuación no tiene

solución.

Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje X, ya que la

ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor de a positivo, toda la gráfica se

encuentra por encima del eje X, con valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene

signo mayor que (o mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si

tiene signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.

Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:

ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0

⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1

27


Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos números es

positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.

Así que la solución de la inecuación serán los x que

Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾0, aparte de las mismas

soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y el resultado sería tener

como región solución toda la recta real.

Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución

Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos exigiendo que sea

negativo.

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾0, sí tendríamos una solución:

justamente la solución de la ecuación x1.

Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2, haremos el siguiente

procedimiento:

(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)

Si ax2+bx+c>0:

ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒

⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0

⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2

Y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las desigualdades x<x2 y x<x1.

Si ax2+bx+c<0:

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒

⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0

⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2

28


y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las desigualdades x<x2 y x<x1.

Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya hemos

terminado.

Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado desigualdades estrictas

(menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento sirve para desigualdades del tipo

mayor o igual que y menor o igual que.

A continuación veremos un ejemplo de cada tipo:

x2+x+2>−1−x

Resolución:

x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:

x=−2±4−4 √2=−1

Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir, todos los

puntos menos −1.

x2+2<−1−2x

Resolución:

x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:

x=−2±4−4 √2=−1

Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.

−x(x−1)−x<−1

Resolución:

−x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1

29


Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las indicaciones)

es x<−1 y x>1.

PROGRAMACIÓN LINEAL

La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa.

En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las

funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales

en las variables de decisión

La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución

de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre

asuntos en los que interviene un gran número de variables.

El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador,

sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o propuestas de tiempo

para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate'.

Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se

considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos

matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo

Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía

en 1975 por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos.

La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular

recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más importantes

fue la aparición del método del simplex. Este método, desarrollado por G. B. Dantzig en

1947, consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el valor de la función

objetivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices

de la región factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función

objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte del

vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se llega a otro vértice.

El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo en cada

etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un vértice del que no

parta ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo aumente.

30


Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para

abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias

sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros

asociados a su utilización.

La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar

funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que

llamaremos restricciones.

Función objetivo

La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo,

que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones

lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤c2

... ... ...

anx + bny ≤cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

31


Solución factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina

un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones

factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles

básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se llama solución máxima (o

mínima según el caso).

Valor del programa lineal

32


El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del

programa lineal.

Pasos para resolver un problema de programación lineal

1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las

restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de

ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en

cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).

Ejemplo de programación lineal

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido

de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta

se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes

para que éstos consigan una venta máxima?

1Elección de las incógnitas.

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

2Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

3Restricciones

33


Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

Pantalones chaquetas disponible

algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos

restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del

plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

34


Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la

desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema

de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA

CINE-UNESCO

SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-UNESCO

Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.

35


CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio)

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

36


Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento

matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los f inanzas, la economía,

al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL

Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver

problemas del entorno.

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado

37


NIVELES DE LOGRO

PROCESO

COGNITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP

Identificar los términos básicos utilizados

durante el desarrollo del pensamiento lógico

matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO

ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados

para el desarrollo de pensamiento lógico

matemático.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les

permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el

uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para

el desarrollo del razonamiento lógico

matemático.



4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de

la matemática que permitan dar solución a los

problemas planteados



5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO

EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o





6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO

CREAR

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas del

entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo

QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o



3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios

para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN

GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

38


Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.

39


IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS

LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y

técnicas

HOR

AS

CLA

SE

COGNITIVOS

¿Qué TIENEquesaber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo

TIENEqueaplicar el

conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENEactuar

axiológicamente?

T

P

Identificar los términos

básicos utilizados durante el

desarrollo del pensamiento

lógico matemático.

Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

Utilizar organizadores gráficos

para identificar las clases de

números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos

para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes

propiedades en potenciación y

radicación

Hacer síntesis gráfica

Demostrar comprensión sobre los tipos

de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica

sobre la importancia de la matemática

básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima

para que pueda actuar de manera

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

2 4

40


fundamentales

Aplicaciones

Repasar los conocimientos

adquiridos y aplicarlos a la vida

del profesional Turístico

autónoma y eficiente

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

Diferenciar los conceptos

básicos utilizados para el

desarrollo de pensamiento


Expresiones algebraicas:

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con

Polinomios: adición, resta,

multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Aplicar operaciones mentales

Identificar los diferentes tipos

polinomios

Aplicar operaciones mentales en

la resolución de un sistema de

ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de

productos notables

Resolver ejercicios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los

ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los

demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral,

escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de

problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial

temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

11. Ejercicios de fijación.

2 4

41


CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

Demostrar la utilidad de las

matemáticas para el

desarrollo del razonamiento


Máximo común divisor de

polinomios.

Mínimo común múltiplos

de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Resolver ejercicios con polinomios

sencillos y complejos

Aplicar procesos de resolución

adecuados para resolver

problemas.

Resolver ejercicios aplicando en

forma conjunta los máximos y los

mínimos

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Utilizar una actitud crítica y reflexiva

sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del

conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo

del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución

de funciones.

RAZONAR

1. Determinar las premisas.

2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos

3 6

Plantear alternativas mediante

la aplicación de la matemática

que permitan dar solución a

los problemas planteados

Ecuaciones lineales,

resolución

Sistemas lineales y

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su

clasificación

Elaborar modelos matemáticos en

la solución de problemas de la

Trabajar con eficiencia y eficacia

respetando los criterios en la resolución

de problemas.

Demostrar interés en el trabajo

individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y

EXPOSICION

PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el

3 6

42


clasificación.

Resolución de ecuaciones

lineales.

Aplicaciones

carrera

Implementar procesos de

resolución adecuados en

problemas reales.

fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones

propuestas valorando las iniciativas de

cada participante.

conocimiento. 4. Formulación de la

hipótesis. 5. Determinar los

procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)

Argumentar el planteamiento

que dará solución a los

problemas planteados.

Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a

cuadráticas

Resolución de ecuaciones

cuadráticas por factoreo.

Resolución por

completación de un

trinomio cuadrado.

Nombrar la definición de

ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas

las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre

expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con

polinomios incompletos.

Utilizar creatividad y capacidad de

análisis y síntesis respetando los

criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y

reflexivo cooperando en la obtención

de resultados

EXPOSICIÓN

PROBLEMICA

1. Determinar el

problema

2. Realizar el encuadre

del problema

3. Comunicar el

conocimiento

(conferencia ,video )

4. Formulación de la

hipótesis ( interacción

de las partes)

3 6

Construir expresiones

algebraicas que contribuyan a

la solución de problemas del

entorno.

Fórmula general para

resolver ecuaciones

cuadráticas.

Aplicaciones de la

ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general para la

resolución de ecuaciones

cuadráticas

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los

procedimientos para

resolver problemas.

2. Encontrar la solución

( fuentes ,argumentos,

búsqueda

,contradicciones)

3 6

43


V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO



COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de

complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el

logro)

INDICADORES DE LOGRO

DE INGENIERIA

descripción

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1°

PARCIA

L

2°

PARCIA

L

3°

PARCIA

L

SUPLETORI

O

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del

pensamiento lógico matemático.

FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

10%

10%

10%

10%

44


Pruebas

Portafolio

Reactivos

Documento

50%

10%


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

100%

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los problemas

planteados

PROCESAL Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

100%

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia

para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

45


Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas

del entorno.

FACTUAL.

CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

Interpretar información.

Modelar, simular sistemas

complejos.

Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

100%

ESCALA DE VALORACIÓN

Nivel ponderado de aspiración y

alcance

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

46


VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS



COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS

AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES

RECURSOS

PRODUCTO

T P

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del


Consulte información en el

internet y textos

especializados los

conceptos de números

reales, presentar en

organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de

la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números

reales.

2 4

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


Consulta sobre la definición

de un monomio y

polinomio.

Grado de un polinomio y su

ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identifica los tipos de polinomios 2 4


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

Distinguir plenamente

entre expresiones

racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales

e irracionales

3 6

47


Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los

problemas planteados

Dar solución a ecuaciones

de primer grado

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6

Argumentar el planteamiento que

dará solución a los problemas

planteados.

Identificar los tipos de

soluciones que pueden

presentarse en la solución

de expresiones

cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identificar los tipos de soluciones que pueden

presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3 6

Construir expresiones algebraicas

que contribuyan a la solución de

problemas del entorno.

3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3

48


VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:

Firma:

Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.

ENTREGADO: febrero 2014

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado

49


DEBERES

50


51


52


53


54


55


56


57


58


59


60


61


62


63


64


65


66


67


68


69


70


71


72


73


74


75


76


77


78


79


80


81


82


83


84


85


86


87


88


89


90


91


92


93


94


95


96


97


98


Universidad politécnica estatal del carchi

Technology

Transcript of Universidad politécnica estatal del carchi