Universidad Nacional 'JORGE BASADRE GROHMANN' - Docencia en...

Universidad Nacional "JORGE BASADRE GROHMANN" 2012

| Cálculo numérico

1

INTRODUCCIÓN

Tanto la ciencia y la tecnología nos describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura.

Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones: La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior; simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema; no se adecuan al modelo concreto; o su aplicación resulta excesivamente compleja.

Para este tipos de casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numéricos. La importante del cálculo radica en que implica la mayoría de estos métodos hacen que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores, que mediante la programación nos permite la solución de problemas matemáticos. Para la realización de este trabajo se utilizó el programa MATLAB.



2

CAPITULO I:

CÁLCULO DE RAÍCES DE ECUACIONES

1. MÉTODO DE LA BISECCIÓN:

1.1. TEORÍA: En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. PROCEDIMIENTO:

Elija valores Iniciales para “a” y “b” de forma tal que lea función cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que :

𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) < 0

La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula:

𝑥𝑛 = (𝑎 + 𝑏) / 2

Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo se encuentra la raíz:

𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑛) < 0 Entonces 𝑏 = 𝑥𝑛

𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑛) > 0 Entonces 𝑎 = 𝑥𝑛

𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥𝑛) = 0 Entonces 𝑥𝑛 Es la Raíz

Calcule la nueva aproximación:

𝑥𝑛 + 1 = (𝑎 + 𝑏) / 2

Evaluar la aproximación relativa:

| (𝑥𝑛 + 1 − 𝑥𝑛) /𝑥𝑛 + 1 | < 𝐸

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_b%C3%BAsqueda_de_ra%C3%ADces

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)



3

No. (Falso) Repetir el paso 3, 4 y 5

Sí. (Verdadero) Entonces 𝒙𝒏+𝟏 Es la Raíz

1.2. DIAGRAMA DE FLUJO:

Inicio

f(x), a, b, E

F(a)*f(b)<0v

| b-a|>E

Xap=(a+b)/2

f(a)*f(Xap)=0V

a = b

F

f(a)*f(Xap)<0V

b = Xap

F

a = Xap

Xap

F

No existe la raíz

FIN

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Bisection_method.png



4

1.3. CÓDIGO DE PROGRAMA:

CÓDIGO EN EL BOTON CALCULAR:

f=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f); a=str2double(get(handles.edit2,'string')); b=str2double(get(handles.edit3,'string')); E=str2double(get(handles.edit4,'string')); if f(a)*f(b)< 0 while abs(b-a)>E x=(a+b)/2; if f(a)*f(x)==0 a=b; else if f(a)*f(x)<0 b=x; else a=x; end end set(handles.edit5,'string',x); end else set(handles.edit5,'string','No existe la raiz en el intervalo'); end

CÓDIGO EN EL BOTÓN GRAFICAR: function varargout = pushbutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f); ezplot(f), grid on

CÓDIGO EN EL BOTÓN SALIR:

function pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles) close



5

1.4. VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN:

2. MÉTODO DEL PUNTO FIJO:

2.1. TEORÍA:

Dada la ecuación 𝑓(𝑥) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, 𝑥 = 𝑔(𝑥), definida en la forma 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑥. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial 𝑥0 y calculamos una nueva aproximación 𝑥1 = 𝑔(𝑥0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores, {𝑥0, 𝑥1,…,𝑥𝑛} que si converge, tendrá como límite

la solución del problema.

En la figura se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x0 y calculamos 𝑦 = 𝑔(𝑥0). La intersección de esta



6

solución con la recta 𝑦 = 𝑥 nos dará un nuevo valor 𝑥1 más próximo a la solución final.

Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el método sólo podrá converger si la derivada 𝑔′(𝑥) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por 𝑦 = 𝑥. Un ejemplo de este caso se muestra en la figura. Esta condición, que a priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente. Para ello basta elegir la función 𝑔(𝑥) del siguiente modo:

𝑔(𝑥) = 𝑥+∝ 𝑓(𝑥)

De forma que tomando un valor de ∝ adecuado, siempre podemos hacer que 𝑔(𝑥) cumpla la condición de la derivada.

CONVERGENCIA:

El método de aproximaciones sucesivas converge si |𝑔 ′(𝑥)| < 1

Co

Convergencia Monótona Divergencia Monótona



7

𝟎 < 𝐠′(𝐱) < 𝟏 𝐠′(𝐱) > 𝟏



CÓDIGO EN EL BOTÓN CALCULAR:

function varargout = pushbutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=get(handles.edit15,'string'); g=inline(f) a=str2double(get(handles.edit9,'string')); E=str2double(get(handles.edit11,'string')); n=str2double(get(handles.edit17,'string'));

Inicio

f(x), g(x), X0, E

X1=g(X0)

|X0-X1| >E

X0 = X1

X1 = g(X0)

X1

FIN



8

x1=g(a) k=1; cadena1=sprintf('a = %8.6f valor inicial\n',a); while abs(x1-a)>E&k<n a=x1 x1=g(a) k=k+1 cadena2=sprintf('x%d = %8.6f\n',k-1,x1); cadena1=[cadena1,cadena2]; end

CÓDIGO EN EL BOTÓN GRAFICAR:

function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin) funcionf=get(handles.edit1,'string'); f=inline(funcionf); figure(1); ezplot(f),grid on






9

3. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON:

3.1. TEORÍA:

Este método parte de una aproximación inicial 𝑥0 y obtiene una aproximación mejor, 𝑥1, dada por la fórmula:

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)



10

Este método está definido por el denominador 𝑓 ’(𝑥𝑖) hace que geométricamente se base en una aproximación a una recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) trazada en el punto correspondiente a la aproximación presente, esto puede observarse en la figura:

3.2. DIAGRAMA DE FLUJO CON LA DERIVADA:

Inicio

f(x), f’(x), X0, E

X1 = X0 - f(X0)/f’(X0)

|X1-X0| >E

X0 = X1

X1 = X0 - f(X0) / f’(X0)

X1

FIN



11

3.3. CÓDIGO DE PROGRAMA: CÓDIGO EN EL BOTÓN CALCULAR:

function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=get(handles.edit1,'string'); g=get(handles.edit2,'string'); f=inline(f); g=inline(g); x=str2double(get(handles.edit3,'string')); E=str2double(get(handles.edit4,'string')); x1=x-f(x)/g(x); while abs (x1-x)>E x=x1; x1=x-f(x)/g(x); end set(handles.edit5,'string',x1);


function varargout = pushbutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f); ezplot(f), grid on





12


3.5. SIN INGRESAR LA DERIVADA: f ’(x) DIAGRAMA DE FLUJO:

Inicio

f(x), X0, E

h = 0,00001;df = [f(X0+h) - f(X0)] / h

|X1-X0| >E

X0 = X1

h = 0,00001

X1

FIN

X1 = X0 - f(X0)/df

X1 = X0 - f(X0)/df



13



function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f); x=str2double(get(handles.edit3,'string')); E=str2double(get(handles.edit4,'string')); D=(f(x+0.0001)-f(x))/0.0001; x1=x-(f(x))/D; while abs (x1-x)>E x=x1; D=(f(x+0.0001)-f(x))/0.0001; x1=x-(f(x))/D; end set(handles.edit5,'string',x1);



4. MÉTODO DE LA SECANTE:

4.1. TEORÍA:



14

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de 𝑓(𝑥) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante.

El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −𝑓(𝑥𝑖)(𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖)

𝑓(𝑥𝑖−1) − 𝑓(𝑥𝑖)

En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente.




Inicio

f(x), X1, X0, E

|X1-X0| >E

X2 = X1 – [f(X1)*(X1-X0)] / [f(X1)-f(X0)]

X0 = X1X1 = X2

X2

FIN



15

function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=inline(get(handles.edit1,'string')); x0=str2double(get(handles.edit2,'string')); x1=str2double(get(handles.edit3,'string')); E=str2double(get(handles.edit4,'string')); while abs(x1-x0)>E x2=x1-(((x1-x0)*f(x1))/(f(x1)-f(x0))); x0=x1; x1=x2; end set(handles.edit5,'string',x2)




function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) close(secante)

4.4. VENTANA DE DISEÑO y APLICACION:



16

5. MÉTODO DE LIN:

5.1. TEORÍA:

Dada la ecuación 𝑃(𝑥) = 0 donde P tiene la forma:

𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥

𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛; 𝑎0 ≠ 0… (1)

Sea el factor cuadrático:

𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞… . (2) Con lo cual la ecuación anterior resulta:

𝑃(𝑥) = (𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)(𝑏0𝑥𝑛−2 + 𝑏1𝑥

𝑛−3 +⋯+ 𝑏𝑛−3𝑥 + 𝑏𝑛) + 𝑅𝑥 + 𝑆 Donde 𝑅𝑥 + 𝑆 es el residuo Polinomio reducido 𝑄(𝑥) = 𝑏0𝑥

𝑛−2 + 𝑏1𝑥𝑛−3 +⋯+ 𝑏𝑛−3𝑥 + 𝑏𝑛

Multiplicando 𝑃(𝑥)

𝐏(𝐱) = (𝐛𝟎𝐱

𝐧 + 𝐩𝐛𝟎𝐱𝐧−𝟏 + 𝐪𝐛𝟎𝐱

𝐧−𝟐) + (𝐛𝟏𝐱𝐧−𝟏 + 𝐩𝐛𝟏𝐱

𝐧−𝟐 + 𝐪𝐛𝟏𝐱𝐧−𝟑) + (𝐛𝟐𝐱

𝐧−𝟐 + 𝐩𝐛𝟐𝐱𝐧−𝟑 + 𝐪𝐛𝟐𝐱

𝐧−𝟒) + ⋯+ (𝐛𝐧−𝟑𝐱

𝟑 + 𝐩𝐛𝐧−𝟑𝐱𝟐 + 𝐪𝐛𝐧−𝟑𝐱) + (𝐛𝐧−𝟐𝐱

𝟐 + 𝐩𝐛𝐧−𝟐𝐱 + 𝐪𝐛𝐧−𝟐) + 𝐑𝐱 + 𝐒

Igualando coeficientes de la misma potencia 𝑎0 = 𝑏0 𝑏0 = 𝑎0 𝑎1 = 𝑝𝑏0 + 𝑏1 𝑏1 = 𝑎1 − 𝑝𝑏0 𝑎2 = 𝑞𝑏0 + 𝑝𝑏1 + 𝑏2 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑞𝑏0 − 𝑝𝑏1 𝑎3 = 𝑞𝑏1 + 𝑝𝑏2 + 𝑏3 𝑏3 = 𝑎3 − 𝑞𝑏1 − 𝑝𝑏2 …. ……. 𝑎𝑛−1 = 𝑞𝑏𝑛−3 + 𝑝𝑏𝑛−2 + 𝑅 𝑅 = 𝑎𝑛−1 − 𝑞𝑏𝑛−2 − 𝑝𝑏𝑛−3 𝑎𝑛 = 𝑞𝑏𝑛−2 + 𝑆 𝑆 = 𝑎𝑛 − 𝑞𝑏𝑛−2



17

En general: 𝑏𝑘 = 𝑎𝑘 − 𝑝𝑏𝑘−1 − 𝑞𝑏𝑘−2; 𝑘 = 0,1,2,3… . 𝑛 − 2 Los residuos están dados por:

𝑅 = 𝑎𝑛−1 − 𝑝𝑏𝑛−2 − 𝑞𝑏𝑛−3

𝑆 = 𝑎𝑛 − 𝑞𝑏𝑛−2

Para que 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 sea un factor cuadrático R y S tienen que ser cero.

𝑅 = 𝑎𝑛−1 − 𝑝𝑏𝑛−2 − 𝑞𝑏𝑛−3 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝 =𝑎𝑛−1 − 𝑞𝑏𝑛−3

𝑏𝑛−2

𝑆 = 𝑎𝑛 − 𝑞𝑏𝑛−2 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑞 =𝑎𝑛𝑏𝑛−2

Se define:

Si ∆𝑝 =𝑅

𝑏𝑛−2 𝑦 ∆𝑞 =

𝑆

𝑏𝑛−2


Entonces

INICIO

LEERa(i); i=1,2,3...n

p, q, E, n

k=n:1:-1

b(n+1)=0b(n+2)=0

b(k)=a(k)-p*b(k+1)-q*b(k+2)

i=n:1:-1

c(n+1)=0; c(n+2)=0;

c(i)=b(i)-p*c(i+1)-q*b(i+2)

P=(b(1)*c(4)-b(2)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2);Q=(b(2)*c(2)-b(1)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2);

P>E & Q>E

p=p+P; q=q+Q;

k=n:1:-1

b(k)=a(k)-p*b(k+1)-q*b(k+2); b(n+1)=0; b(n+2)=0;

i=n:1: -1

c(i)=b(i)-p*c(i+1)-q*b(i+2); c(n+1)=0; c(n+2)=0;

P=(b(1)*c(4)-b(2)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2); Q=(b(2)*c(2)-b(1)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2

V

p=p+P;q=q+Q;

x1=(-p+sqrt(p^2-4*q))/2; x2=(-p-sqrt(p^2-4*q))/2;

ESCRIBIRX1, X2

FIN

V



18

5.3. CÓDIGO DE PROGRAMA: CÓDIGO EN EL BOTÓN CALCULAR:

function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) a=str2num(get(handles.edit1,'string')); p=str2double(get(handles.edit2,'string')); q=str2double(get(handles.edit3,'string')); E=str2double(get(handles.edit4,'string')); n=length(a); for k=n:-1:1 b(n+1)=0; b(n+2)=0; b(k)=a(k)-p*b(k+1)-q*b(k+2); end for i=n:-1:1 c(n+1)=0; c(n+2)=0; c(i)=b(i)-p*c(i+1)-q*b(i+2); end P=(b(1)*c(4)-b(2)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2); Q=(b(2)*c(2)-b(1)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2); while P>E & Q>E p=p+P; q=q+Q; for k=n:-1:1 b(k)=a(k)-p*b(k+1)-q*b(k+2); b(n+1)=0; b(n+2)=0; end for i=n:-1:1



19

c(i)=b(i)-p*c(i+1)-q*b(i+2); c(n+1)=0; c(n+2)=0; end P=(b(1)*c(4)-b(2)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2); Q=(b(2)*c(2)-b(1)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2); end p=p+P; q=q+Q; x1=(-p+sqrt(p^2-4*q))/2; x2=(-p-sqrt(p^2-4*q))/2; set(handles.edit5,'string',x1); set(handles.edit6,'string',x2);

CÓDIGO EN EL BOTÓN CALCULAR: function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) close


CAPITULO II



20

SISTEMA DE ECUACIÓN LINEAL

6. MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 6.1. TEORÍA:

Sea un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

{

𝑎11 𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3

……𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + 𝑎𝑛3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

Se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, x1, x2, ..., xn. Los elementos aij y bi son números reales fijados.

El sistema de ecuaciones se puede escribir, empleando una muy útil representación matricial, como:

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛)

(

𝑥1𝑥2𝑥3⋮𝑥𝑛)

=

(

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑛)

Es decir 𝐴 𝑋 = 𝐵

Donde A es la matriz de coeficientes, X es el vector incógnitas y B es el vector términos independientes.

PROCEDIMIENTO:

Crear la matriz cuyos elementos son los de la matriz A y el vector B. A es la matriz se le denomina la matriz aumentada.

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

||

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑛)

Matriz aumentada



21

Mediante transformaciones elementales de filas en la matriz aumentada, los elementos de la matriz de coeficientes A debe transformarse en la matriz identidad y los elementos que están en la posición del vector de términos independientes B, será la solución del sistema.

(

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

||

𝑏∗1𝑏∗2𝑏∗3⋮𝑏∗𝑛)

Matriz transformada

Y las raíces del sistema de ecuaciones son:

𝑥1 = 𝑏∗1 ; 𝑥2 = 𝑏∗2 ; 𝑥3 = 𝑏∗3; … ; 𝑥𝑛 = 𝑏∗𝑛

El proceso, requiere de 𝑛3

2+ 𝑛2 −

𝑛

2 multiplicaciones y

𝑛3

2−𝑛

2 sumas.


Inicio

Leer

n, aij

i = 0, n, 1

divisor = aii

j = 0, n+1, 1

aij = aij*divisor

k = 0, n, 1

i ~ = k

pivote = a(k, i)

j = 0, n, 1

akj = akj – pivote*aij

escribir

ai, n+1

FIN



22



function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin) A=str2num(get(handles.edit1,'string')); [m,n]=size(A); for i=1:m divisor=A(i,i); for j=i:n A(i,j)=A(i,j)/divisor; end for k=1:m if i~=k pivote = A(k,i); for j=i:n A(k,j)=A(k,j)- pivote*A(i,j); end end end end for i=1:m x(i)=A(i,n); end x=x'; t=1:m; t=t'; cadena=''; for t=1:m cad=sprintf('x%d=%6.2f',t,x(t));



23

cadena=[cadena;cad]; end set(handles.edit2,'string',cadena);

CÓDIGO EN EL BOTÓN SALIR: function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin) close


7. MÉTODO DE GAUSS SEIDEL

7.1. TEORÍA: Método iterativo que su utiliza para resolver sistema de ecuaciones de la forma:



24

{

𝑎11 𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3

……𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + 𝑎𝑛3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

Que matricialmente se puede escribir como A X=B, supongamos que 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2,3… . 𝑛 Despejamos los X

𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3 −⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛) 𝑎11⁄ 𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 − 𝑎23𝑥3 −⋯− 𝑎2𝑛𝑥𝑛) 𝑎22⁄ 𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31 𝑥1 − 𝑎32𝑥2 −⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛) 𝑎33⁄

…… El proceso se inicia dando un valor inicial para los puntos 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3… . 𝑛 se podría usar, por ejemplo la solución trivial 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0 si este fuera el caso se tendría que: 𝑥1 = 𝑏1 𝑎11⁄ 𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21 (𝑏1 𝑎11⁄ )) 𝑎22⁄

𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31 (𝑏1 𝑎11⁄ ) − 𝑎32 (𝑏2 − 𝑎21 (𝑏1 𝑎11⁄ )) 𝑎22⁄ ) 𝑎33⁄

….. Los 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 son los nuevos valores iníciales que serán utilizados en una segunda iteración. La convergencia puede definirse mediante

𝐸𝑥𝑖 = |𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖

𝑗−1

𝑥𝑖 𝑗| 100 < 𝑇

Dónde: 𝐸𝑥𝑖: Error relativo porcentual dela 𝑥𝑖 raíz

𝑗: Iteración actual 𝑗 − 1: Iteración anterior 𝑇: Tolerancia prefijada RE ARREGLO DE ECUACIONES El proceso de gauss - Seidel converge si la matriz coeficientes cada elemento de la diagonal es el mayor en valor absoluto que la suma de todos los demás elementos de la misma fila o columna .Es decir se asegura la convergencia sí.



25

|𝑎𝑖𝑖| > ∑𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1𝑗≠𝑖

ó |𝑎𝑖𝑖| > ∑𝑎𝑗𝑖

𝑛

𝑖=1𝑗≠𝑖


Inicio

LeerN, m, aij, bi, vi

k = 1, m, 1

i = 1, n, 1

Xi = Vi

i = 1, n, 1

S = 0

j = 1, n, 1

j ~ = 1

S = S + aij * Xj

vi = (bi-S) / aii

Xi = vi

i = 1, n, 1

escribir

vi

FIN



26


CÓDIGO EN EL BOTÓN CALCULAR: function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin) maxite=str2double(get(handles.edit1,'string')); v=str2num(get(handles.edit2,'string')); a=str2num(get(handles.edit3,'string')); b=str2num(get(handles.edit4,'string')); [n,n]=size(a); cad1=''; for k=1:maxite for i=1:n x(i)=v(i); end for i=1:n s=0; for j=1:n if j~=i s=s+a(i,j)*x(j); end end v(i)=(b(i)-s)/a(i,i); x(i)=v(i); end



27

for t=1:n cad2=sprintf('x%d=%10.8f ',t,x(t)); cad1=[cad1,cad2]; end cad2=sprintf('\n',t); cad1=[cad1,cad2]; end set(handles.edit5,'string',cad1);

CÓDIGO EN EL BOTÓN SALIR: function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin) close(gauusseidel)




28

INTERPOLACIÓN

8. INTERPOLACIÓN LINEAL:

8.1. TEORÍA:

Nos centraremos ahora en el problema de obtener, a partir de una tabla de parejas (𝑥, 𝑓(𝑥)) definida en un cierto intervalo [𝑎, 𝑏], el valor de la función para cualquier x perteneciente a dicho intervalo.

Supongamos que disponemos de las siguientes parejas de datos:

x x0 x1 x2 … xn

y y0 y1 y2 … 𝑦𝑛

El objetivo es encontrar una función continua lo más sencilla posible tal que:

(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 (0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛)

Se dice entonces que la función 𝑓(𝑥) definida por la ecuación es una función de interpolación de los datos representados en la tabla.

Existen muchas formas de definir las funciones de interpolación, lo que da origen a un gran número de métodos (polinomios de interpolación de Newton, interpolación de Lagrange, interpolación de Hermite, etc). Sin embargo, nos centraremos exclusivamente en dos funciones de interpolación:

Los polinomios de interpolación de Lagrange. Las funciones de interpolación splines. Estas funciones son especialmente

importantes debido a su idoneidad en los cálculos realizados con ordenador.


Inicio

Leer

X, ai, bi, n

i = 1, n-1, 1

ai <= X <= a(i+1)

y = b(i)+(((X+a(i))*(b(i))) / (a(i+1)-a(i)))

i = n

Escribiry

FIN



29



function varargout = togglebutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin) a=str2num(get(handles.edit1,'string')); b=str2num(get(handles.edit2,'string')); x=str2double(get(handles.edit3,'string')); n=length(a); for i=1:n-1 if x>=a(i) & x<=a(i+1) y = b(i)+(((x-a(i))*(b(i+1)-b(i)))/(a(i+1)-a(i))); i=n; end end set(handles.edit4,'string',y);


function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin) close(interpolacionlineal)



30


INTERPOLACIÓN POLINÓMICA

9. POLINOMIO DE LAGRANGE:

9.1. TEORÍA:

Si 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son 𝑛 + 1 puntos distintos y 𝑓(𝑥) es una funcion cuyos valores estan dados en esos puntos entonces existe un único polinomio P de grado a lo mas de grado n con la propiedad que 𝑓(𝑥𝑘) = 𝑃(𝑥𝑘) para cada k=0, 1,2,…n. Este polinomio está dado por:

𝑃(𝑥) = ∑𝑓(𝑥𝑘) 𝐿𝑛,𝑘(𝑥) 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒

𝑛

𝑘=0

Dónde:

𝐿𝑛,𝑘(𝑥) =∏𝑥 − 𝑥𝑖𝑥𝑘 − 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=0𝑖≠𝑘

Para un polinomio lineal la aproximación es:

𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥0)𝐿1,0(𝑥) + 𝑓(𝑥1)𝐿1,1(𝑥)

Dónde:



31

𝐿1,0(𝑥) =𝑥 − 𝑥1𝑥0 − 𝑥1

; 𝐿1,1(𝑥) =𝑥 − 𝑥0𝑥1 − 𝑥0

Entonces:

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1𝑥0 − 𝑥1

)𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0𝑥1 − 𝑥0

) 𝑓(𝑥1)

Para un polinomio de segundo grado está dado por:

𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥0)𝐿2,0(𝑥) + 𝑓(𝑥1)𝐿2,1(𝑥) + 𝑓(𝑥2)𝐿2,2(𝑥)

Dónde:

𝐿1,0(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1𝑥0 − 𝑥1

) (𝑥 − 𝑥2𝑥0 − 𝑥2

)

𝐿2,1(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0𝑥1 − 𝑥0

) (𝑥 − 𝑥2𝑥1 − 𝑥2

)

𝐿2,2(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0𝑥2 − 𝑥0

) (𝑥 − 𝑥1𝑥2 − 𝑥1

)

Entonces el polinomio para segundo grado es:

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1𝑥0 − 𝑥1

) (𝑥 − 𝑥2𝑥0 − 𝑥2

) 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0𝑥1 − 𝑥0

) (𝑥 − 𝑥2𝑥1 − 𝑥2

) 𝑓(𝑥1) + (𝑥 − 𝑥0𝑥2 − 𝑥0

) (𝑥 − 𝑥1𝑥2 − 𝑥1

) 𝑓(𝑥2)

Donde x es el valor a interpolar.


INICIO

Leery(i), x(i) a, x

S = 0

K = 1, n, 1

N = 1D = 1

i = 1, n, 1

i ~ = k

N = N(x-x(i))D = D(x(k)-x(i))

L = N/D

S = S+L(x)*Y(k)

EscribirY0

FIN



32



function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) f=inline(get(handles.edit2,'string')); x=str2double(get(handles.edit3,'string')); n=length(X); s=0; for k=1:1:n NUM=1; DEN=1; for i=1:1:n if i~=k NUM=NUM*(x-X(i)); DEN=DEN*(X(k)-X(i)); end L(k)=NUM/DEN; end reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) s=s+(L(k)*f(X(k))); end set(handles.edit4,'string',s);


function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) f=inline(get(handles.edit2,'string')); ezplot(f),grid on



33


function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin) close(polinomiolagrange)


AJUSTES POLINOMIALES



34

10. REGRESIÓN POLINOMIAL :

10.1. TEORÍA:

Supongamos que se conocen los datos (𝑥o, 𝑦o), (𝑥1, 𝑦1),… . . (𝑥n, 𝑦n) con 𝑥0, 𝑥1, … . . , 𝑥𝑛 números reales distintos, y se desea encontrar un polinomio:

𝑃𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑥

𝑚, 𝑐𝑜𝑛 𝑚 < 𝑛 Tal que:

Sea mínima. El grado m del polinomio 𝑝m(𝑥) se puede escoger previamente con base en algún resultado teórico, alguna expectativa o por la aplicación que se le pretenda dar al polinomio. En cualquier caso estamos “libres” de elegir el grado que parezca mejor. En muchos casos el grado será uno y el polinomio obtenido se llamará la recta que mejor se ajusta o la recta de mínimos cuadrados para la tabla de datos. Volviendo a la función 𝑆(𝑎0, 𝑎1, … . . , 𝑎m), una condición necesaria para la existencia de un mínimo relativo de esta función es que las derivadas parciales de 𝑆(𝑎0, 𝑎1, … . . , 𝑎m) con respecto a 𝑎j, 𝑗 = 0, 1, 2, … ,𝑚 sean cero. Resultan entonces las siguientes m+1 ecuaciones lineales en las incógnitas 𝑎0, 𝑎1, … . . , 𝑎m:

2n

0k

k

m

km

2

k2k10

2n

0k

kkmm10 yxa,.....,xaxaayxp)a,.....,a,S(a

0xyxa.....xaxaa2a

S

............

0xyxa.....xaxaa2a

S

..........

0xyxa.....xaxaa2a

S

0xyxa.....xaxaa2a

S

0yxa.....xaxaa2a

S

m

kk

m

km

2

k2k10

n

0km

j

kk

m

km

2

k2k10

n

0kj

2

kk

m

km

2

k2k10

n

0k2

kk

m

km

2

k2k10

n

0k1

k

m

km

2

k2k10

n

0k0



35

Si en las ecuaciones anteriores cancelamos el 2, desarrollamos los paréntesis y usamos que

Obtenemos:

Este es un SEL de m+1 ecuaciones lineales en las m+1 incógnitas a0, a1, ….., am, que se llama Sistema de Ecuaciones Normales. Este sistema de ecuaciones normales se puede escribir en forma simplificada como sigue:

Estas ecuaciones se pueden reproducir a partir de:

Multiplicando a ambos lados por 𝑥𝑗𝑖 , 𝑗 = 0, 1, … ,𝑚,

0

n

0k

0 a1na

n

0k

k

m

km

n

0k

mm

k2

n

0k

m2

k1

n

0k

m1

k0

n

0k

m

k

n

0k

k

j

km

n

0k

jm

k2

n

0k

j2

k1

n

0k

j1

k0

n

0k

j

k

n

0k

k

2

km

n

0k

2m

k2

n

0k

4

k1

n

0k

3

k0

n

0k

2

k

n

0k

kkm

n

0k

1m

k2

n

0k

3

k1

n

0k

2

k0

n

0k

k

n

0k

km

n

0k

m

k2

n

0k

2

k1

n

0k

k0

yxax.....axaxax

:::

yxax.....axaxax

.......

.

yxax.....axaxax

yxax.....axaxax

yax.....axaxa1n

m0,1,....,.jconyxxan

0k

k

j

k

n

0k

ji

k

m

0i

i

k

m

km

2

k2k10km yxa,.....,xaxaaxp

k

j

k

jm

km

j2

k2

j1

k1

j

k0

j

kk

j

k

m

km

j

k

2

k2

j

kk1

j

k0

yxxa,.....,xaxaxa

xyxxa,.....,xxaxxaxa



36

Sumando sobre k


m.,0,1,2,....jconyxxa.....xaxaxam

0k

k

j

k

m

0k

jm

km

n

0k

j2

k2

n

0k

j1

k1

n

0k

j

k0

Inicio

Leerm, x, y

A11 = 0A12 = 0A22 = mB1 = 0B2 = 0

i = 1, m, 1

A11 = A11 + [(X(i))^2]A12 = A12 + X(i)

A22 = A12B1 = B1 + [X(i)*Y(i)]

B2 = B2 + Y(i)

a = ((B1*A22)-(B2*A12) / ((A11*A22)-(A12-A21));b = ((B2*A11)-(B1-A21)) / (A11*A22)-(A12*A21));

escribira, b

FIN



37


CÓDIGO EN EL BOTÓN ACEPTAR:

function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) m=str2double(get(handles.edit1,'string')); x=str2num(get(handles.edit2,'string')); y=str2num(get(handles.edit3,'string')); A11=0; A12=0; A22=m; B1=0; B2=0; for i=1:m A11=A11+((x(i))^2); A12=A12+x(i); A21=A12; B1=B1+(x(i)*y(i)); B2=B2+y(i); end a=((B1*A22)-(B2*A12))/((A11*A22)-(A12*A21)); b=((B2*A11)-(B1*A21))/((A11*A22)-(A12*A21)); ard=sprintf('y = %6.4fx + %6.4f',a,b); set(handles.edit4,'string',ard);


function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) figure(1); xx=min(x)-1:0.2:max(x)+1; yy=a*xx+b; ezplot(x,y,'or',xx,yy),grid on

10.4. VENTANA DE DISEÑO Y APLICACION:



38

CAPITULO - III

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

11. REGLA DEL TRAPECIO:

11.1. TEORÍA:

Este método resulta de sustituir la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) por un polinomio de primer grado 𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 en [𝑎, 𝑏] = [𝑥0, 𝑥1] al polinomio 𝑃(𝑥) se le puede representar mediante un polinomio 𝑃(𝑥) se le puede representar mediante un polinomio de Lagrange, es decir:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 =𝑥1

𝑥0

∫ [(𝑥 − 𝑥1)

(𝑥0 − 𝑥1)𝑓(𝑥0) +

(𝑥 − 𝑥0)

(𝑥1 − 𝑥0)𝑓(𝑥1)]

𝑥1

𝑥0

𝑑𝑥

Resolviendo:


𝑎

ℎ

2[𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥1)], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ = 𝑥1 − 𝑥0

Generalizando:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +𝑏

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +⋯+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑥1

𝑥0

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑛

𝑥𝑛−1

𝑥2

𝑥1

𝑥1

𝑥0

Aplicando la regla del trapecio a c/u de las integrales se tiene:



39

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑛→∞

∑𝑓(𝑥𝑛)∆

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑎

𝑥𝑘


11.3. CÓDIGO DE PROGRAMA: CÓDIGO EN EL BOTÓN ACEPTAR:

function varargout = pushbutton4_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=inline(get(handles.edit1,'string')); a=str2num(get(handles.edit2,'string'));

Inicio

Leerf(X), a, b, n

h = (a+b) / n

S = f(a) - f(b)

i = 1, n-1, 1

Xi = a +i*h

S = S +2*f(Xi)

AREA = S*h/2

EscribirAREA

FIN



40

b=str2num(get(handles.edit3,'string')); n=str2double(get(handles.edit4,'string')); h=(b-a)/n; s=f(a)+f(b); for i=2:n x(i)=a+(i-1)*h; s=s+2*f(x(i)); end I=s*(h/2); set(handles.edit5,'string',I);


function varargout = pushbutton5_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=inline(get(handles.edit1,'string')); a=str2num(get(handles.edit2,'string')); b=str2num(get(handles.edit3,'string')); n=str2double(get(handles.edit4,'string')); h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=f(x(i)); end x=[x,b,a,a]; y=[y,0,0,f(a)]; fill(x,y,[0.8 0.8 0.9]) for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=f(x(i)); end hold on ezplot(f,[min(x):0.2:max(x)]) plot(x,y,'og') plot(x,y,'g')


function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin) close(trapecio)

11.4. VENTANA DE DISEÑO Y APLICACION:



41

12. REGLA DE SIMPSON 1/3:

12.1. TEORÍA:

La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye la función y=f(x) por un polinomio de segundo grado es decir:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈𝑏

𝑎

∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏

𝑎

𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2

En el intervalo [𝑎, 𝑏] = [𝑥0, 𝑥2] al polinomio 𝑃(𝑥) se le puede representar por un polinomio de LaGrange de segundo orden Es decir:


𝑎

∫ [𝑓(𝑥0)𝐿2,0(𝑥) + 𝑓(𝑥1)𝐿2,1(𝑥) + 𝑓(𝑥2)𝐿2,2(𝑥)]𝑑𝑥𝑏

𝑎


𝑎

∫ [(𝑥 − 𝑥1𝑥0 − 𝑥1

) (𝑥 − 𝑥2𝑥0 − 𝑥2

) 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0𝑥1 − 𝑥0

) (𝑥 − 𝑥2𝑥1 − 𝑥2

) 𝑓(𝑥1) + (𝑥 − 𝑥0𝑥2 − 𝑥0

) (𝑥 − 𝑥1𝑥2 − 𝑥1

) 𝑓(𝑥2)] 𝑑𝑥𝑥1

𝑥0

Resolviendo la integral se obtiene:


𝑎

ℎ

3[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ =

𝑥2 − 𝑥02

GENERALIZANDO PARA ''n'' INTERVALOS Los intervalos se toman de dos en dos:


𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥2

𝑥0

+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥4

𝑥2

+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥6

𝑥4

+⋯+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥𝑛

𝑥𝑛−2

Aplicando la regla de Simpson de 1/3 para cada integral de tiene:



42


𝑎

ℎ

3[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + 4𝑓(𝑥3) + 2𝑓(𝑥4) + ⋯+ 2𝑓(𝑥𝑛−2) + 4𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)]

Dónde:

ℎ =𝑏 − 𝑎

𝑛=𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛

; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2

𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ; 𝑖 = 1,2,3…𝑛


Inicio

Leerf(X), a, b, n

h = (a+b) / n

i = 0, n, 1

Xi = a +h

n par

S = 0

i = 2, n, 1

S = S +f(Xi-2) + 4f(Xi+1) + f(Xi)

I = S*h/3

EscribirAREA

FIN



43


CÓDIGO EN EL BOTÓN CALCULAR: function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=inline(get(handles.edit1,'string')); a=str2double(get(handles.edit2,'string')); b=str2double(get(handles.edit3,'string')); n=str2double(get(handles.edit4,'string')); h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end if rem(n,2)==0 s=0; for i=3:2:n+1 s=s+f(x(i-2))+4*f(x(i-1))+f(x(i)) end I=(h/3)*s set(handles.edit5,'string',I); end


function varargout = pushbutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=inline(get(handles.edit1,'string')); a=str2double(get(handles.edit2,'string')); b=str2double(get(handles.edit3,'string')); n=str2double(get(handles.edit4,'string')); h=(b-a)/n; s=f(a)+f(b); for i=1:n+1 x(i)=a+((i-1)*h); y(i)=f(x(i)); end x=[x,b,a,a]; y=[y,0,0,f(a)]; fill(x,y,[0.8 0.4 0.9]) for i=1:n+1 x(i)=a+((i-1)*h); y(i)=f(x(i)); line([x(i),x(i)],[0,f(x(i))]); end hold on



44

ezplot(f,[min(x):0.2:max(x)])

CÓDIGO EN EL BOTÓN SALIR: function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin) close(sinpson1/3)


13. REGLA DE SIMPSON DE 3/8: 13.1. TEORÍA:

La regla de Simpson de 3/8 resulta cuando se sustituye la función 𝑦 =𝑓(𝑥) por un polinomio de tercer grado es decir:


𝑎

∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏

𝑎

𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥

3

En el intervalo [𝑎, 𝑏] = [𝑥0, 𝑥2] al polinomio 𝑃(𝑥) se le puede representar por un polinomio de LaGrange de tercer orden. Es decir:



45


𝑎

∫ [𝑓(𝑥0)𝐿3,0(𝑥) + 𝑓(𝑥1)𝐿3,1(𝑥) + 𝑓(𝑥2)𝐿3,2(𝑥) + 𝑓(𝑥3)𝐿3,3(𝑥)]𝑑𝑥𝑏=𝑥3

𝑎=𝑥0

Resolviendo la integral se obtiene:

∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 ≈𝐛

𝐚

𝟑𝐡

𝟖[𝐟(𝐱𝟎) + 𝟑𝐟(𝐱𝟏) + 𝟑𝐟(𝐱𝟐) + 𝐟(𝐱𝟑)], 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐡 =

𝐱𝟐 − 𝐱𝟎𝟑




function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin)

Inicio

Leerf(X), a, b, n

S = 0

h = (a+b) / n

n = 3

i = 3, n, 3

S = S +3/8*h* [f(Xi-3) + 3f(Xi-1) + 3f(Xi-1)+f(Xi)

EscribirS

Escribir« n debe ser múltiplo de

tres

FIN



46

f=inline(get(handles.edit1,'string')) a=str2double(get(handles.edit2,'string')) b=str2double(get(handles.edit3,'string')) n=str2double(get(handles.edit4,'string')) h=(b-a)/n for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h end if rem(n,3)==0 s=0 for i=3:n+1:3 s=s+f(x(i-2))+3*f(x(i-1))+3*f(x(i))+f(x(i-1)) end I=((3*h)/8)*s; set(handles.edit5,'string',I) end


function varargout = pushbutton4_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=inline(get(handles.edit1,'string')) a=str2double(get(handles.edit2,'string')) b=str2double(get(handles.edit3,'string')) n=str2double(get(handles.edit4,'string')) h=(b-a)/n; s=f(a)+f(b) for i=1:n+1 x(i)=a+((i-1)*h) y(i)=f(x(i)); end x=[x,b,a,a] y=[y,0,0,f(a)] fill(x,y,[0.6 0.8 0.4]) for i=1:n+1 x(i)=a+((i-1)*h) y(i)=f(x(i)); line([x(i),x(i)],[0,f(x(i))]) end hold on ezplot(f,[min(x):0.2:max(x)]);




47



14. INTEGRALES MÚLTIPLES

14.1. TEORÍA: Para el cálculo de integrales de funciones de varia variables se pueden usar las reglas ya estudiadas como la regla del trapecio, regla de Simpson 1/3 y 3/8 son útiles para resolver integrales dobles y triples. En esta ocasión usaremos Simpson de 1/3 para el cálculo de una integral doble de la forma:

∫ ∫𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴.

𝑅

Dónde: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑⁄ } 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑐 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑑⁄ }

Para aproximar la solución de la integral



48

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔2(𝑥)

𝑔1(𝑥)

𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Utilizando la regla de Simpson 1/3

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ1 =𝑥2 − 𝑥02

; ℎ2 =𝑔2(𝑥) − 𝑔1(𝑥)

2

Por lo tanto:

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔2(𝑥)

𝑔1(𝑥)

𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= ∫ 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥𝑥2

𝑥0

=ℎ13[𝑤(𝑥0) + 4𝑤(𝑥1) + 𝑤(𝑥2)]

Dónde:

𝑤(𝑥) =ℎ23[𝑓(𝑥, 𝑔1(𝑥)) + 4𝑓(𝑥, 𝑔1(𝑥) + ℎ2(𝑥)) + 𝑓(𝑥, 𝑔2(𝑥))]

14.2. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

LEERf(x,y), g1(x), g2(x), a, b

h=(b-a)/2x0=as=0

i=1:3

h2=(g2(x0)-g1(x0))/2 w(i)=(h2/3)*(f((x0),g1(x0))+4*f(x0,g1(x0)+h2)+f(x0,g2(x0)))

x0=x0+h

I=(h/3)*(w(1)+4*w(2)+w(3))

ESCRIBIRI

FIN



49



function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) f=inline(get(handles.edit1,'string'),'x','y'); g1=inline(get(handles.edit2,'string')); g2=inline(get(handles.edit3,'string')); a=str2double(get(handles.edit4,'string')); b=str2double(get(handles.edit5,'string')); h=(b-a)/2; x0=a; s=0; for i=1:3 h2=(g2(x0)-g1(x0))/2; w(i)=(h2/3)*(f((x0),g1(x0))+4*f(x0,g1(x0)+h2)+f(x0,g2(x0))); x0=x0+h; end I=(h/3)*(w(1)+4*w(2)+w(3)); set(handles.edit6,'string',I);


function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton3 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) f=get(handles.edit1,'string'); f1=inline(f,'x','y'); ezmesh(f1);



50

grid on




CAPITULO - IV

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

15. METODO DE EULER:

15.1. TEORÍA:



51

Este método consiste en dividir el intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos de

longitud 'h'; ℎ =(𝑏−𝑎)

𝑛 ,de manera que se obtiene los n+ 1 puntos 𝑥0, 𝑥1,

𝑥2, . ., 𝑥𝑛 = 𝑥𝑓 donde 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ; 𝑖 = 1,2,3…𝑛 la condición inicial

𝑦(𝑥0) = 𝑦0 representada por el punto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0) por donde pasa la curva solución, donde :

𝑑𝑦

𝑑𝑥|(𝑥0,𝑦0)

= 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

FORMULA DE EULER

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) , 𝑖 = 1,2,3…𝑛

Es decir, se genera una sucesión de aproximación:

𝑦1 = 𝑦0 + ℎ 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝑦2 = 𝑦1 + ℎ 𝑓(𝑥1, 𝑦1)

𝑦3 = 𝑦2 + ℎ 𝑓(𝑥2, 𝑦2)

…

𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + ℎ 𝑓(𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1)

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:M%C3%A9todo_de_Euler.jpg



52




function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin)

Inicio

Leerf(X, Y), a, b, n, 0

h = (a+b) / n

i = 1, n, 1

Y1 = Y0 + h0*f(x)

Y0 = Y1

X1 = X0 + h

X0 = x1

EscribirY0

FIN



53

f1=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f1,'x','y'); x0=str2double(get(handles.edit2,'string')); y0=str2double(get(handles.edit3,'string')); n=str2double(get(handles.edit4,'string')); b=str2double(get(handles.edit5,'string')); h=(b-x0)/n; for i=1:n y0=y0+h*f(x0,y0); x0=x0+h; end set(handles.edit6,'string',y0);

CÓDIGO EN EL BOTÓN ITERACIONES:

function varargout = pushbutton6_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f1=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f1,'x','y'); x(1)=str2double(get(handles.edit2,'string')); y(1)=str2double(get(handles.edit3,'string')); n=str2double(get(handles.edit4,'string')); b=str2double(get(handles.edit5,'string')); h=(b-x(1))/n; cad1=sprintf('Iter. x %d. %8.4f %8.4f\n',1,x(1),y(1)); for i=1:n y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)); x(i+1)=x(i)+h; cad2=sprintf('%d. %8.4f %8.4f\n',i+1,x(i+1),y(i+1)); cad1=[cad1,cad2]; end set(handles.edit7,'string',cad1);


function varargout = pushbutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f1=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f1,'x','y'); ezmesh(f);



54

grid on

CÓDIGO EN EL BOTÓN SALIR: function pushbutton7_Callback(hObject, eventdata, handles) close


16. METODO RUNGE – KUTTA DE CUARTO ORDEN :

16.1. TEORÍA:

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Este método puede ser usado para resolver un número grande de ecuaciones diferenciales.

Dada la ecuación diferencial ordinaria 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) con condiciones

iniciales 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 entonces por el segundo teorema fundamenta del cálculo se tiene:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/1900

http://es.wikipedia.org/wiki/C._Runge

http://es.wikipedia.org/wiki/M._W._Kutta



55

∫ 𝑦′𝑑𝑥 = 𝑦(𝑥𝑛+1

𝑥𝑛

𝑥𝑛+1) − 𝑦(𝑥𝑛)

Para aplicar la regla de Simpson de 1/3 a [𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1] se le dividió en dos intervalos es decir: Entonces

∫ 𝑦′𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑥𝑛

ℎ/2

3[𝑦′(𝑥𝑛) + 4𝑦

′ (𝑥𝑛 +ℎ

2) + 𝑦′(𝑥𝑛+1)]

Al término 4𝑦′ (𝑥𝑛 +ℎ

2) se le expresa como: 2𝑦′ (𝑥𝑛 +

ℎ

2) + 2𝑦′ (𝑥𝑛 +

ℎ

2)

para aproximar la pendiente de 𝑦′ (𝑥𝑛 +ℎ

2) en el punto promedio (𝑥𝑛 +

ℎ

2)

𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛) +ℎ

6[𝑦′(𝑥𝑛) + 2𝑦

′ (𝑥𝑛 +ℎ

2) + 2𝑦′ (𝑥𝑛 +

ℎ

2) + 𝑦′(𝑥𝑛+1)]

Pero 𝑦′ = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

Por EULER se tiene que: 𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛) + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) Hacemos cambios de variables: Hagamos 𝑘1 = 𝑦

′(𝑥𝑛) entonces 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

Hagamos 𝑘2 = 𝑦′ (𝑥𝑛 +ℎ

2) entonces 𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 +

ℎ

2, 𝑦(𝑥𝑛 +

ℎ

2)) por

euler : 𝑦 (𝑥𝑛 +ℎ

2) = 𝑦(𝑥𝑛) +

ℎ

2𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) entonces

𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 +ℎ

2, 𝑦𝑛 +

ℎ

2𝑘1)

Hagamos 𝑘3 = 𝑦′ (𝑥𝑛 +

ℎ

2) entonces 𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑛 +

ℎ

2, 𝑦(𝑥𝑛 +

ℎ

2)) por

euler 𝑦 (𝑥𝑛 +ℎ

2) = 𝑦(𝑥𝑛) +

ℎ

2𝑦′(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) entonces:

𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑛 +ℎ

2, 𝑦𝑛 +

ℎ

2𝑘2)

Hagamos 𝑘4 = 𝑦′(𝑥𝑛 + 1) entonces 𝑘4 = 𝑓 (𝑥𝑛 +

ℎ

2, 𝑦(𝑥𝑛 +

ℎ

2)) por euler

𝑦(𝑥𝑛 + 1) = 𝑦(𝑥𝑛) + ℎ𝑦′ (𝑥𝑛 +

ℎ

2) entonces:

𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑛 + 1, 𝑦0 + ℎ𝑘3) Por lo tanto:

𝑦(𝑥𝑛 + 1) = 𝑦𝑛 +ℎ

6[𝑘1 + 2𝑘2 + 3𝑘3 + 𝑘4]

Dónde:

ℎ =𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛

𝑚; 𝑚 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠.



56




function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f1=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f1,'x','y'); a=str2double(get(handles.edit2,'string')); b=str2double(get(handles.edit3,'string')); n=str2double(get(handles.edit4,'string'));

Inicio

Leerf(X), Xo, Yo, b, n

h = (a+b) / n

i = 1, n, 1

K1 = f(Xo, Yo)K2 = f(Xo+h/2, Yo+h/2*K1)K3 = f(Xo+h/2, Yo+h/2*K2)

K4 = f(Xo+h, Yo+h*K3)

Y1 = Yo – (h/6)*(K1+ 2*K2+2*K3+K4)

X1 = Xo +h

Xo = X1Yo = Y1

EscribirYo

FIN



57

y0=str2double(get(handles.edit5,'string')); x0=a; h=(b-a)/n; for i=1:n k1=f(x0,y0); k2=f(x0+h/2,y0+(h/2)*k1); k3=f(x0+h/2,y0+(h/2)*k2); k4=f(x0+h,y0+h*k3); y1=y0+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; x1=x0+h; x0=x1; y0=y1; end set (handles.edit6,'string',y1);


function pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles) f1=get(handles.edit1,'string'); f=inline(f1,'x','y'); ezmesh(f); grid on


function varargout = pushbutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin) close(kutta1)


Universidad Nacional 'JORGE BASADRE GROHMANN' - Docencia en...

Documents

Transcript of Universidad Nacional 'JORGE BASADRE GROHMANN' - Docencia en...