ADOLFO CHAPUZ BENITEZ PRESENTA: MÉTODO DE...

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ADOLFO CHAPUZ BENITEZ PRESENTA:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA parte I

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Sobre el autor.

Adolfo Chapuz Benítez

Lic. En Matemáticas en la Universidad Juárez Autónoma De Tabasco

Profesor desde el año 1999 de matemáticas en el Instituto Tecnológico Superior De Comalcalco en

Tabasco, México

http://www.comoaprendomatematicas.com

Dedico este trabajo primeramente a Cristo Jesús, a Él sea toda lo gloria, toda la honra y toda la

alabanza. Él es el camino, y la verdad, y la vida Juan 14:6

A mi esposa Guillermina, a mis hijas Dulce y Regina, por quienes me esfuerzo para que tengan una

vida llena de bendiciones.

A mis padres Felipe y Valentina. Los mejores.

A mis hermanos: Nena, Mini, Sandra, Richard, Marbe e Ingrid. Inigualables.

A todos mis alumnos. De todo corazón.

Esto es para todos.

http://www.comoaprendomatematicas.com/

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Contenido:

1.- Ejemplo General De la Forma 22 ax

2.- Ejemplo General De la Forma 22 ax

3.- Ejemplo General De la Forma 22 xa

4.- Cinco ejemplos diversos

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Introducción.

Uno de los métodos de integración clásicos es el llamado Método De Sustitución

Trigonométrica.

Este se usa para calcular integrales que involucran expresiones del tipo:

donde a es una constante.

Para cada una de estas expresiones existe una sustitución específica que nos ayuda a

que la raíz cuadrada involucrada desaparezca y la integral que se quiera calcular sea

más fácil de encontrar.

Además de la sustitución, se le asocia un triángulo que nos va a servir para poder

regresar a nuestra variable original.

Las sustituciones las usamos de acuerdo a la siguiente tabla:

TIPO DE EXPRESION SUSTITUCIÓN

ADECUADA

22 ax

tanax dadx 2sec

22 ax

secax dadx tansec

22 xa

asenx dadx cos

Antes de empezar con nuestros ejemplos, debo decirte que necesitamos de algunas

integrales que vamos a suponer que ya calculamos, éstas se pueden consultar en los

ejercicios vistos en la sección de Integrales trigonométricas. Estas integrales son las

siguientes:

222222 , xaaxax

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I.- cd tanseclnsec

II.- cd cotcsclncsc

III.- cd tansecln2

1tansec

2

1sec3

IV.- cd seclntan

I.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA 22 ax

1.- dxax 22

Desarrollo: En este caso queremos calcular la integral en forma general porque

vamos a trabajar para cualquier valor de a y usamos el primer tipo de sustitución

porque es una SUMA de cuadrados.

tanax

dadx 2sec

Aquí aprovechamos igual para observar como la raíz cuadrada se cancela de manera

automática. De hecho este mismo procedimiento es el que debes aplicar cada vez que

quieras resolver una integral de este tipo. Así que pon mucha atención, porque no será

necesario repetirlo, sino simplemente aplicar el resultado ya obtenido.

Simplificamos 22 ax :

secsec

sec1tantantan

22

22222222222

aa

aaaaaaax

Conclusión: sec22 aax

2sec

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Ahora, calculamos la integral:

caa

ca

da

daadxax

tansecln2

tansec2

tansecln2

1tansec

2

1

sec

secsec

22

2

32

222

caa

dxax tansecln2

tansec2

2222

Resultado previo.

Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable

original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución

tanax .

De aquí, obtenemos adyacente

opuesto

a

xtan , con esto construimos nuestro triángulo

rectángulo:

x

a

22 ax

Cateto adyacente

Cateto opuesto

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Observando el triángulo, tenemos que:

a

xtan , 22

cosax

a

y

a

ax 22

sec

. Ahora sólo basta sustituir en la

integral anterior.

ca

xaxaaxx

ca

xaxa

a

axxa

ca

x

a

axa

a

x

a

axa

caa

dxax

22222

222

2

222

222222

2222

ln22

ln22

ln22

tansecln2

tansec2

Por lo tanto, tenemos que:

ca

xaxaaxxdxax

2222222 ln

22

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II.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA 22 ax

Desarrollo:

secax

dadx tansec

Simplificamos 22 ax :

tantan

tan1secsecsec

22

22222222222

aa

aaaaaaax

Conclusión: tan22 aax

2tan

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Ahora, calculamos la integral, sustituyendo lo que acabamos de obtener:

caa

caaa

caa

dada

da

da

daadxax

tansecln2

tansec2

tanseclntansecln2

tansec2

tanseclntansecln2

1tansec

2

1

secsec

sec1sec

sectan

tansectan

22

222

22

232

22

22

22

Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de

caa

dxax tansecln2

tansec2

2222

Resultado previo.

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Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de , solo debemos

regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para

esta sustitución secax .


hipotenusa

a

xsec , con esto construimos nuestro triángulo

rectángulo:


a

xsec ,

a

ax

adyacente

opuesto 22

tan

. Ahora sólo basta sustituir en

caa

dxax tansecln2

tansec2

2222

,

x

a

22 ax

Cateto adyacente

Cateto opuesto

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ca

axxaaxx

ca

ax

a

xa

a

ax

a

xadxax

22222

22222222

ln22

1

ln22

Conclusión:

ca

axxaaxxdxax

2222222 ln

22

1

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III.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA 22 xa

Desarrollo:

asenx

dadx cos

Simplificamos 22 xa :

coscos

cos1

22

22222222222

aa

asenasenaaasenaxa

Conclusión: cos22 axa

Ahora calculamos la integral:

2cos

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csenaa

csenaa

csenaa

csenaa

dada

da

da

daadxxa

cos22

cos242

242

22

1

22

)2cos(2

1

2

1

)2cos(2

1

2

1

cos

coscos

22

22

22

22

22

2

22

22

Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de

Resultado previo.



esta sustitución asenx .

De aquí, obtenemos hipotenusa

opuesto

a

xsen

, con esto construimos nuestro triángulo

rectángulo:

csenaa

dxxa cos22

2222

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22 xa


a

xsen

,

a

xsen 1

a

xa

Hipotenusa

adyacente 22

cos

. Ahora sólo basta sustituir en:

cxax

a

xsen

a

ca

xa

a

xa

a

xsen

adxxa

2212

2221

222

22

22

Y finalmente tenemos:

cxax

a

xsen

adxxa

221

222

22

x a

Cateto adyacente

Cateto opuesto

csenaa

dxxa cos22

2222

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Ejemplos diversos:

NOTA: EN ESTOS EJEMPLOS VAMOS A USAR LAS SIGUENTES EXPRESIONES

QUE HEMOS OBTENIDO ANTERIORMENTE PARA AHORRAR UN POCO DE

ESPACIO Y TIEMPO EN LAS EXPLICACIONES.

cos.3

tan.2

sec.1

22

22

22

axa

aax

aax

1.- dx

x

x

32

Desarrollo:

Primero identificamos el valor de :a

332 aa .

tan3x y ddx 2sec3 .Entonces recordemos que hemos obtenido con

anterioridad la siguiente expresión: sec22 aax , así que sólo vamos a sustituir

el valor de :a

Tenemos que sec332 x y debemos sustituir en la integral.

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dd

dd

d

d

d

d

ddxx

x

csc3sectan3

tan

sec3

tan

sectan3

tan

secsectan3

tan

sec1tan3

tan

secsec3

tan

sec3

sec3tan3

sec33

2

2

2

2

3

22

cddxx

x

cotcscln3sectan3

32

Simplificamos el integrando de la primera integral:

dsendu

u

sensen

cos

coscos

1

cossectan

2

csc

1

cos

cos

cos

cos1

tan

sec

sensensen

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Ahora usamos cambio de variable.

c

cu

cu

cduu

cu

dudx

x

x

cotcscln3cos

3

cotcscln33

cotcscln31

3

cotcscln33

cotcscln333

1

2

2

2

cdxx

x

cotcscln3

cos

332

Resultado previo.

Ahora regresamos a la variable x, nos basamos en la sustitución con que empezamos

adyacente

opuestoxx

3tantan3 :

x

3

32 x

Cateto adyacente

Cateto opuesto

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3tan

x ,

x

3cot

32

x

xsen ,

x

x 3csc

2 .

3

3sec,

3

3cos

2

2

x

x Ahora sólo basta sustituir en la integral anterior.

cx

xx

cx

xx

cxx

x

cdxx

x

33ln33

33ln3

3

33

33ln3sec3

cotcscln3cos

33

22

22

2

2

cx

xxdx

x

x

33ln33

3 22

2

Conclusión.

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2.- dx

x

x

252

Desarrollo:

Aquí usamos sec5x y ddx tansec5 al sustituir estas expresiones nos

ayudan a simplificar la parte que tiene el radical.

tan5252 x.Entonces tenemos lo siguiente:

c

dd

d

d

ddxx

x

5tan5

5sec5

1sec5

tan5

tansec5sec5

tan525

2

2

2

2

cdxx

x

5tan5

252

Resultado previo.

Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable

original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución con la

que iniciamos sec5x .

2

2

tan1sec

tan1sec

2

2

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hipotenusax

5sec , con esto construimos nuestro triángulo

rectángulo:


5sec

x , )

5sec(

xarc

5

25tan

2

x

adyacente

opuesto . Ahora sólo basta sustituir en

cdxx

x

5tan5

252

cx

arcx

x

cdxx

x

)5

sec(525

5

5tan525

2

2

Conclusión:

cxarcx

xdx

x

x

)5/sec(5

255

25 22

x

5

252 x

Cateto adyacente

Cateto opuesto

22


3.-

dxx

x

216

Desarrollo: 4,162 aa

senx 4

ddx cos4

Hemos obtenido previamente que: cos22 axa

Así que cos416 2 x .

c

dsend

dsen

send

sen

dsen

sen

dsen

dsen

dxx

x

cos4cotcscln4

4csc4

41

4

14

cos4

cos44

cos416

2

2

2

2

cdxx

x

cos4cotcscln4

16 2

Resultado previo.

23




esta sustitución senx 4 .

De aquí, obtenemos hipotenusa

opuestoxsen

4

, con esto construimos nuestro triángulo

rectángulo:

216 x


4

xsen

, xsen

41csc

4

16cos

2x

Hipotenusa

adyacente

216tan

x

x

adyacente

opuesto

x

x216cot

x 4

Cateto adyacente

Cateto opuesto

24


Ahora sólo basta sustituir en:

cdxx

x

cos4cotcscln4

16 2

cxx

x

cx

x

x

xdx

x

x

22

222

16164

ln4

4

164

164ln4

16

Conclusión:

cxx

xdx

x

x

222

16164

ln416

25


Ejemplo 4.- dx

x

x

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Primero hacemos un cambio de variable: xdxduxu 2,2 y transformamos nuestra

integral original en términos de u .

2224 32

1

3

2

2

1

3 u

du

x

xdxdx

x

x

En este punto es donde aplicamos la sustitución trigonométrica.

Desarrollo: 3,32 aa

senu 3

ddu cos3 y cos33 2 u

c

d

d

u

du

u

du

x

xdxdx

x

x

2

1

2

1

cos3

cos3

2

1

32

1

32

1

3

2

2

1

3

2

2224

26


cdxx

x

2

1

3 4

Resultado previo.

Ahora vamos a regresar a la variable original x:

senu 3 3

usen

3

uarcsen

Pero como 2xu , entonces

3

2xarcsen , por lo tanto:

cx

arcsendxx

x

32

1

3

2

4

Conclusión.

27


Ejemplo 5.-

dxx

x

1002

2

Desarrollo:

10,1002 aa

22 sec100sec10 xx

ddx tansec10

Además: tan101002 x

c

d

ddxx

x

tansecln2

1tansec

2

1100

sec100

tansec10tan10

sec100

100

3

2

2

2

cdxx

x

tansecln

2

100tansec

2

100

1002

2

Resultado previo.

Solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo

es válido para esta sustitución con la que iniciamos sec10x .

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hipotenusax

10sec , con esto construimos nuestro triángulo

rectángulo:


10sec

x ,

10

100tan

2

x

adyacente

opuesto . Ahora sólo basta sustituir en

cdxx

x

tansecln50tansec50

1002

2

cxx

xx

cxxxx

dxx

x

10

100ln50100

2

1

10

100

10ln50

10

100

1050

100

22

22

2

2

Conclusión cxx

xxdxx

x

10

100ln50100

2

1

100

22

2

2

x

10

1002 x

Cateto adyacente

Cateto opuesto

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