La construcción observada en el dibujo se denominaEspiral de Teodoro, en honor de Teodoro de Cirene(filósofo y matemático, s. IV a.C.), que es una espiralformada por lados de triángulos rectángulos. Platónindicó que su maestro Teodoro fue el primero en probarque la raíz cuadrada de los enteros no cuadradosdesde 3 hasta 17 son irracionales (”inconmensurables”).Al llegar a 17 triángulos rectángulos de lados 1,√n ,√n+1, n=1, 2.....17 se tiene una vuelta completa.

Nikolai LobatchevskyMatemático ruso (1793-1856)

“No existe rama de la matemática,incluso la abstracta, que no pueda seraplicada a un fenómeno del mundo real”

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s

El mundo y los númerosFascículo

Números IV

Fotografía: Fabián Michelangelli

Importancia de la matemática

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

¿A qué se debe hoy en día la importancia de la matemáticaen la ciencia, la tecnología y otros sistemas?

Destacamos tres aspectos:• Comunicación.• Predicción.• Razonamiento.

Es un medio efectivo para la predicción. Esto se logra a través de los modelos matemáticos o "matematización"de situaciones reales, lo cual permite explicar el comportamiento de esas situaciones y predecir, con ciertaaproximación, cuestiones desconocidas.

Por ejemplo, si tenemos los siguientes datos de los censos de población de Venezuela.

Es un medio para la comunicación científica y tecnológica que suministra un lenguaje claro y conciso.

Un gráfico Una fórmula Un enunciado

v=πhr2La función P=f (h) que expresa lapresión atmosférica P en relación conla altitud h sobre el nivel del mar esdecreciente: a mayor altitud, lapresión del aire es menor.

¿Podremos encontrar alguna expre-sión matemática que responda aesos datos? (explicación).¿Será posible estimar la poblaciónen los años en los que no se realiza-ron censos, durante el período 1936-2001? (interpolación).¿Será posible estimar la poblacióndel año 2010, y en algunos añosfuturos, a partir de esos datos?(predicción).

Es un medio muy útil para aprender a razonar en forma lógica. Ésta ha sido tradicionalmente una de las consideracionesque se hacen para incluirla en el currículum escolar.

Para llevar a cabo esos cometidos la matemática ha evolucionado, ampliando teorías y creando otras. En los últimoscuarenta años se han creado y desarrollado teorías que hoy en día ocupan atención primordial de matemáticos ycientíficos, tanto por su propio desarrollo como por las aplicaciones que tienen: los fractales, el caos, la programación,la borrosidad, las ondículas, la criptografía, son nuevos desarrollos de la matemática.

En este fascículo mostramos la utilización de algunos contenidos matemáticos y su aplicación en otras áreas delconocimiento.

Bol

ívar

es

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

214.792

208.702

215.429

222.371

225.061

224.915

(Variación del precio de la canasta alimentaria, año 2001)

AÑO POBLACIÓN

1936 3 364 347

1941 3 850 771

1950 5 043 838

1961 7 523 999

1971 10 721 522

1981 14 516 735

1990 18 105 265

2001 23 542 649

5

1936 50 61 71 81 1990

10

15

41

Millones

Años2001

20

Medio litro deagua, un tercio delitro de leche, trescuartos de kilo de

azúcar. Lo entiendoporque he estudiado

matemática.

Necesitamosmatemática para

comprar, vender, hacercheques, cobrar en un

banco, llevar lascuentas.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

La matemática“La música es el placer queexperimentan los humanos al contarsin estar conscientes de estarcontando”

Gottfried LeibnizFilósofo y matemático alemán(1646-1716)

De la época de Kepler a la de New-ton y de la de Newton a Hartley todaslas cosas de la naturaleza, los inge-niosos misterios de la vida y laorganización y aun el intelecto y lascosas morales se hacen aparecerdentro del círculo mágico de laformulación matemática

Samuel Taylor ColeridgeEscritor y pensador británico (1772-1834)

Todos sabemos lo quees bailar y oír música, ytodos podemos bailar,conocer ciertos pasos yciertos acordes demúsica, e igualmentetodos sabemos algo dematemática y todossomos capaces deentenderla y asimilarlacon práctica y dedicacióncomo las bailarinas deballet.

Utilicemos lamatemática para

contar 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 y 10. Diez dedos

tenemos en nuestrasdos manos.

Québueno que

aprendí matemáticaque es tan necesaria

para diseñar y construircasas y edificios.

Lamatemática es

una herramientafundamental en el

desarrollo de la cienciay la tecnología.

Elnúmero π

expresa la razónentre la longitud de la

circunferencia y sudiámetro.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Los números

El año 1492 no sólo fue prometedor para Cristóbal Colón sino que también lo fue para la comadecimal. En su libro Compendio del Ábaco, el cual trataba del uso práctico y comercial de la aritmética,Francisco Pellos usó un punto para ilustrar la división entre 10 y así introdujo una de las primerasapariciones de la coma decimal. Su aparición oficial en la matemática fue por el año 1600 en lostrabajos de Pitiscus, Napier, Stevin, Rudolff y Briggs.

Carlos MendozaArtista plástico caraqueño (1953- )

Triángulo

Para contar y enumerar utilizamos losnúmeros naturales. Algunos númerosnaturales son: 0, 1, 23, 453... Losnúmeros naturales tienen primerelemento, el 0, pero no tienen un últimoelemento, es decir, uno mayor quetodos los demás.

Humm... “Menos cinco” y está bajando. Losnúmeros enteros negativos como que notienen un elemento que sea el menor de todos.

¡Claro que es importante el cero!Piensa: ¿Cómo se escribiría elnúmero dos mil tres sin el cero?

La unión de los números naturales y los enteros negativos es el conjunto de los números enteros.

Observa en la recta numérica la representación de los números enteros y visualiza que entre dos números enterosconsecutivos no existe otro número entero:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7Enteros negativos Enteros positivos

En mi trabajo utilizomuchas fracciones:llaves de media, tuberíasde tres cuartos, motoresde una y media.

Grabado de la llegada de Colóna la isla de Guanahaní

Los números racionales se expresan como larazón de dos números enteros cuyo denominadores diferente de 0. Las fracciones representan alos números racionales. Entre dos númerosracionales existen infinitos números racionales.Si consideras dos numeros racionales a y b, a+bestá entre ellos.

Los números irracionales son números que no pueden serexpresados como razón de dos números enteros.Desde que se conoce la expresión a2 + b2 = c2, que relacionalas longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, sesabe de la existencia de números como √ 2, √ 3, √ 5. Estosson ejemplos de números irracionales.

La unión de los números racionales y de los números irracionales es el conjunto de los númerosreales. Cuando se representan los números enteros o los números racionales en la recta numérica,sobran muchísimos puntos. Cuando se representan los números reales no sobran puntos: a cadanúmero le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real.

2

Números y operaciones

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Propiedades de las operaciones

InteresanteLos números

primos son losbloques de

construcción de losnúmeros

compuestos.Observa tres

árboles de factoresdel número 30.

Aunque las ramas de los tres árboles de factores sondiferentes, los números primos en la fila inferior sonlos mismos, sin importar el orden en que aparecen.En cada árbol, el producto de 2, 3 y 5 en cualquierorden es 30. Esto sugirió a Euclides una propiedadmuy importante de los números y la incluyó en suobra Los elementos en el año 320 a.C.“Todo número compuesto puede ser expresado comoel producto de números primos en exactamente unaforma, sin importar el orden de los factores”.

30

5 6

2 35

30

3 10

2 5330

2 15

3 52

..

. . ..

. ..

Con números enteros esdiferente: se puedensumar, restar o muItiplicardos enteros y se obtieneun entero.

-4 x 3 205 - 374-713 + 250

Pero, cuando se dividendos números enteros nosiempre se obtiene unnúmero entero.

- 5 : 6 9 : 480 : 132

Cuando se suman o semultiplican dos númerosnaturales se obtiene otronúmero natural.

Pero, cuando se restan ose dividen dos númerosnaturales no siempre seobtiene un número natural.

1 + 3 107 x 2371 + 12

1 - 3 107 ÷ 2371 - 112

Los números racionales y los números reales admitenlas cuatro operaciones: la suma, la diferencia, el productoo el cociente de dos números racionales o reales es unnúmero racional o real, respectivamente. Bueno, siempreque no se divida entre cero.

0,333 : 2 √ 4 - 3278 x 5,83

Todo número real no nulotiene un número inversoque también es real.

3 tiene a -3; -7 tiene a 7

√ 3 tiene a -√ 3

Todo número racional tieneun número opuesto quetambién es racional.

3 tiene a -3

tiene a -

Todo número entero tieneun número opuesto quetambién es entero.

3 tiene a -3-5 tiene a 5

Pero ningún númeronatural tiene opuesto.

si x es natural-x no es natural.

2 es naturalpero -2 no lo es.

4 tiene a .

tiene a 2

√3 tiene a .

Todo número real tiene unnúmero opuesto quetambién es real.

Todo número racional nonulo tiene un númeroinverso que también esracional.

tiene a .

- tiene a -n

Ningún número entero,excepto 1 y -1, tieneinverso.

Ningún número natural,excepto 1, tiene inverso: six es natural y diferente de1, entonces no es natural.2 es natural pero no loes.

34

34

12

34

43

1n

1x 1

2

14

13

N ú m e r o s R e a l e s

Números RacionalesN ú m e r o s E n t e r o s

Nú

m

e r o s N a t u

ra

le

s

1 2 3...23..103..

-4 -3-2

-1

-25

47

12 0,333

0,63

4-

-0,25

37 2 0,515115111....

4

π

5

3

3

0

....

Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

Números naturales especiales

Separemos el conjunto de los números enteros no negativos en dos conjuntos:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ....}

{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ....} {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,....}Números pares: Tienen la forma 2n,Siempre que n sea un número entero nonegativo. Ejemplo: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4.....

Números impares: Tienen la forma 2n+1,siempre que n sea un número entero nonegativo. Ejemplo: 9 = 2 x 4 + 1....

Los números naturales pueden representarse geométricamente de muchas formas. Observa una representación deellos con cuadrados:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Números primos y compuestosObserva una representación rectangular de algunos números:

Observa que números como 2, 3, 5 y 7 con esta representación rectangular tiene una sola forma: horizontal o vertical.Estos números reciben el nombre de números primos.Un número natural, mayor que 1, que admite exactamente dos factores se denomina número primo. Un número escompuesto si admite más de dos factores. El número 1 no es ni primo ni compuesto.

2 3 4 5 6 7 8 9

167Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

Matemática y petróleoEl petróleo es para Venezuela su principal producto de exportación y fuente

de ingreso de divisas. En los periódicos aparecen frecuentemente aspectos

sobre el tema petrolero en los cuales está presente la matemática.

Promedio al cierre US$ porde la semana (2001) barril

30 marzo 21,77

6 abril 21,19

20 abril 21,99

27 abril 21,32

Lo numérico

ALGUNOSASPECTOS

MAT

EM

ÁTI

CO

SR

EL

AC

ION

AD

OS

CO

NE

LPE

TRÓ

LEO

Gráficas y funciones

20

24

Pre

cio

en

dó

lare

s

30 marzo 6 abril 20 abril 27 abril

21,77

21,19

21,9921,32

Medidas

Un barril (unidadde medida delpetróleo)

Los grados API

Lo probabilístico

Estimar reservas

En Venezuela el comienzo de la explotación del petróleo fue hacia 1878 con la CompañíaNacional Minera Petrolia, en el estado Táchira, la que produjo inicialmente 15 barrilesdiarios para consumo doméstico. Esta iniciativa duró poco. La primera explotación aescala comercial se llevó a cabo en 1914 en el pozo Zumaque Nº 1, en el estado Zulia.

Lo geométrico

168 Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

Matemática y petróleoMedidas

InteresanteOtra medida utilizada en la industria petrolera es el índice de octanos u octanaje. Cuandovas a una estación de servicios, observas en la bomba de suministro de gasolina que haynúmeros 91 y 95, lo cual indica el octanaje de la gasolina. El octanaje es una medida decalidad, indicativa del poder antidetonante de la gasolina, y se refiere a comparar una determinadagasolina con una mezcla de dos hidrocarburos: el heptano (alta tendencia al pistoneo) y el iso-octano (baja tendencia al pistoneo), a los que se asignan respectivamente, los valores 0 y 100.Si una gasolina tiene 95% de iso-octano, se dice que su octanaje o índice de octanos es 95.Las gasolinas para los motores de los aviones tienen un octanaje que varía desde 100 hasta130.Tradicionalmente se ha agregado a la gasolina el tetraetilo de plomo para aumentar el octanaje,pero éste es un producto contaminante por lo que se expende la gasolina sin plomo o gasolina“ecológica”.

Cuando se inició la industria petrolera, hacia 1859, se utilizaban barriles de madera dedistintos tamaños usados originalmente para envasar cerveza, vinos y otros líquidos. Enbarriles también se transportaba el petróleo desde los sitios de su explotación, puesto queen esa época no había oleoducto; ni supertanqueros. Esto dio origen a una unidad demedición para el petróleo: el barril.

Un barril es una medida de capacidad, de símbolo bbl, utilizada especialmente para losproductos petroleros, y es equivalente a 42 galones, o sea, aproximadamente 159 l.

Los grados API (American Petroleum lnstitute) se refieren a una escala empírica para medirel peso específico de los crudos de petróleo. En la página web de PDVSA encontramos losiguiente para el petróleo venezolano a 60º F (15,555 ºC ≈ 15,6 ºC):

Lo geométrico

Las torres de petróleo (torres de perforación o cabrías) tienen forma depirámide cuadrangular y en su diseño un elemento estructural es el triángulo.Esto se debe a que el triángulo posee una característica especial, que engeneral otra forma no la tiene, es estable en el sentido de que si a unaestructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices,entonces la forma triangular permanece.Una pieza vital del taladro, que va en la torre de perforación, es el cuadranteque tiene sección cuadrada y encaja en la mesa rotatoria convirtiendo elmovimiento físico de rotación en uno de traslación de la tubería de perforación,parecido a los motores de dos tiempos, en los que se pasa de un movimientode traslación a uno de rotación.

Reto: ¿A cuánto equivale, en el Sistema Internacional SI, un galón y un barril? Escríbelos en m3 y dm3

Crudos Gravedad API

Livianos Desde 30 hasta 41,3

Medianos Desde 22,1 hasta 24,1

Pesados Desde l0,2 hasta 14,5

Etta CorradiDibujante italiana (1924- )Venezuela-Crisis Fortaleza

Lo numérico y lo gráficoMuchos son los datos que permanentemente se recopilanen relación con el petróleo, entre otros:

* Variación diaria del precio del barril de petróleo (enUS$) y promedios semanales, mensuales y anuales.

* Volumen de producción nacional, de la OPEP(Organización de Países Exportadores de Petróleo)y mundial.

* Estimación de reservas nacionales y de otros países.

* Consumo de derivados del petróleo, por ejemplo,gasolina, diesel, kerosén.

Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

En lo numérico, algunos de los aspectos a considerar son:

• COCIENTES DE PROPORCIONALIDAD.

Dividir cada precio por el siguiente para determinar en cuánto ha aumentadoo bajado el precio. Por ejemplo, 20,33 : 15,92 es aproximadamente 1,28; locual indica que el precio para el año 1990 fue, aproximadamente, una vez ycuarto del precio del año 1991. Esto puedes hacerlo con todos los datos yconstruir una tabla de cocientes de proporcionalidad.

Otra tabla se puede elaborar al dividir el precio de cada año por el del año anterior(los inversos de la tabla anterior).

• VARIACIONES NETAS AL PASAR DE UN AÑO AL SIGUIENTE.

Por ejemplo, 15,92 - 20,33 = -4,41 es la variación neta del período 1990-91. El signonegativo indica que hubo un retroceso (decremento) en el precio.

Esto puede expresarse en porcentaje, ya que 4,41 es el 21,69% de 20,33; lo queda la variación (pérdida) neta, en porcentaje, al pasar del año 1990 al año 1991.Aquí también puedes construir una tabla de porcentajes.

Lo gráfico. Algunos de éstos son:

GRÁFICO DE BARRAS VERTICALES

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

10

20

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 200010

30

20

25,91

16,04

10,57

16,32

18,39

14,84

13,2313,34

13,3414,91

20,33

15,92

GRÁFICO DE LÍNEAS

Estos gráficos se pueden “leer” y de ellos obtener conclusiones. Por ejemplo, en el gráfico de la derecha observamosclaramente “caídas bruscas” del precio en 1990-1991, 1997-1998 (se dice que la gráfica tiene pendiente negativabastante fuerte) y “aumentos considerables” en 1998-1999 y 1999-2000 (se dice que la gráfica tiene pendientepositiva bastante fuerte). Observa la fuerte inclinación, respecto a la horizontal, de esos segmentos. Estas conclusionestambién se deducen de las tablas de porcentajes. ¿Cómo interpretas el gráfico de la izquierda?

¿Qué hacer con todos estos datos?

Precio promedio anual del barril(cesta venezolana}

Año US$1990 20,331991 15,921992 14,911993 13,341994 13,231995 14,841996 18,391997 16,321998 10,571999 16,042000 25,91Fuente: Veneconomía, mayo 2001

E l m u n d o y l o s n ú m e r o s

FascículoM a t e m á t i c a p a r a t o d o s

Años

Pre

cio

pro

me

dio

de

l ba

rril

(US

$)

El total de crudo en reservas de Venezuela es, aproximadamente,221 millardos de barriles (221 x 109 bbl), de los que 76 millardosson reservas probadas y de éstos el 69% son de crudos pesadosy extrapesados. (Página Web de PDVSA, actualizada hasta noviembredel año 2000.)

Utilizando el cálculo de probabilidades se estiman lasreservas que hay de petróleo en el subsuelo, para lo cualse analiza estadísticamente la informacióngeológica y de ingeniería que se recogemediante instrumentos de medición.Hay las reservas probadas, lasprobables y las posibles. Estadenominación depende del gradode certidumbre que se tengasobre las estimaciones que sehacen. Así, las reservas posiblestienen un menor grado de certidumbreque las probables y éstas a su vezmenos que las probadas, clasificación esta últimadonde hay cifras "ciertas y precisas" obtenidas de losyacimientos detectados, con un margen de error muypequeño.

Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

Matemática y petróleo

En este caso no tenemos una variación de producciónen relación con el tiempo, sino una sola variable cuales los millones de barriles producidos que expresamosen porcentajes.Un gráfico adecuado para expresar esta situación esel de sectores circulares, denominado popularmentegráfico de torta.

Ahora presentamos otro tipo de gráfico apropiado para los datos que daremos.Considera los niveles de producción de los países pertenecientes a la OPEP para el mes deabril de 2001 (Fuente: El Nacional, 04/06/01)

País Millones Porcentajesde barriles sobre el total

Argelia 800 3,23Indonesia 1 214 4,90Irán 3 678 14,86Kuwait 2 000 8,08Libia 1 365 5,51Nigeria 2 063 8,33Qatar 674 2,72Arabia Saudita 7 909 31,95Emiratos Árabes Unidos 2 203 8,90Venezuela 2 851 11,52

TOTAL OPEP 24 757 100,00

No se incluyen las estadísticas de Irak debido a las sancionesimpuestas por la ONU.

Lo probabilístico

Argelia3,23% Indonesia

4,90%Irán14,86%

Libia5,51%

Kuwait8,08%

Nigeria8,33%Qatar

2,72%Arabia Saudita

31,95%

EmiratosÁrabesUnidos8,90%

Venezuela11,52%

Cuencas Petrolíferas de Venezuela

Cuenca deBarinas yApure

Cuenca Oriental yFaja Petrolífera delOrinoco

Cuenca deCarúpano

Cuenca TuyCariaco

Cuenca deFalcón

Cuenca deMaracaibo

Fundación POLAR • Matemática para todos • El mundo y los NÚMEROS 4

La Cartografía se ocupa de la confección y del levantamientode los mapas. En relación con los mapas surgen variaspreguntas.¿Qué es un mapa?¿Cómo se elaboran los mapas?¿Qué información se obtiene de los mapas?¿Qué vinculación tiene lamatemática conlos mapas?

Matemática y mapas

Gerhard MercatorMatemático y geógrafo flamenco (1512-1594)

Mercator fue el autor, en 1569, de un mapamundi para uso delos navegantes. Una de las proyecciones utilizadas paraelaborar mapas recibe el nombre de Mercator en honor a estecientífico.

Algunos temas que se estudian referidos a las

relaciones de la matemática con los mapas son:

• Las proyecciones (para elaborar mapas).

• Las coordenadas geográficas (latitud y longitud).

• Los husos horarios.

• Mediciones sobre aspectos terrestres.

• Las escalas.

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Matemática y mapasMartin Waldssemüller

Cosmógrafo alemán (¿1475-1521?)Primer mapa con el nombre de América

Las proyecciones representan un objeto o figura del espacio en un plano. Esdecir, lo tridimensional se representa sobre una superficie plana que esbidimensional.

En una proyección central de una figura del espacio sobre un plano a partir deun punto C, llamado foco o centro de la proyeccion, se determinan los puntosproyectados P', en el plano, uniendo C con los puntos P de la figura.

Dos de las proyecciones utilizadas para elaborarmapas son la proyección gnomónica (gnómica)y la proyección estereográfica. La imagen planadel globo terrestre o de una parte de él, siempretiene algunas deformaciones (distorsiones) conlas distancias, ángulos y áreas.

Plano sobre el que se proyecta

Meridianos y paralelos

Foco de proyección

C

C’

C

C’

El centro C deproyección es el

centro de la Tierraen la proyección

gnomónica.

El centro C deproyección es unpolo de la Tierra enla proyecciónestereográfica.

Estas circunferencias son lasproyecciones de los paralelos

Estos segmentos (radios) sonlas proyecciones de los

meridianos

Proyección estereográfica(Es bastante utilizada para hacermapas de las regiones polares)Proyección del Ecuador E

E’

N

E

S

InteresanteAdemás de mapas se habla de cartas y planos. Esto no es más que una clasificación demapas atendiendo a la superficie representada. Las cartas o mapas corográficos, sonmapas que abarcan extensiones no tan grandes como las de un estado o distrito. Los planosson aquellos mapas que representan extensiones pequeñas de las superficies de la Tierra,como las de una ciudad o un municipio: un plano de Caracas, un plano del municipio Baruta.

P

P’

H

H’

C

Los paralelos en la superficieesférica se transforman en paralelos

en la superficie cilíndrica.Los meridianos en la superficie esférica se

transforman en segmentos sobre la superficiecilíndrica.Al desenrollar la superficie cilíndrica sobre un plano,queda un reticulado con rectas perpendiculares.

173Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Juan de la CosaNavegante y cartógrafo español (?-1510)Mapa del continente americano, año 1500

La proyección de Mercator se hace de otramanera. Es un tipo de proyección cilíndrica:pensemos en enrollar alrededor del globo unasuperficie cilíndrica y luego, al desenrollarlaresulta un cuadriculado en donde los paralelosy los meridianos están representados por rectasperpendiculares entre sí. Debido a las distorsionesse hacen ciertas modificaciones. La denominadaproyección de Mercator Transversal es,actualmente, una de las más utilizadas en elmundo y se refiere a cilindros circunscritos a laesfera terrestre en donde el eje del cilindro noes coaxial con el eje del planeta.

0º

-30º

-60º

60º

30º

0º

-30º

60º

30º

Proyección de Mercator(Esta proyección es muyutilizada para la navegaciónmarítima y aérea)

0.93 cm = 200 km

Escala gráfica

Cualquier información que se transmite en un mapa requierede una escala adecuada. En los casos de mapas donde senecesita medir distancias, como los que incluyen las víasde comunicación, hay dos tipos de escalas que se utilizan:la escala numérica y la escala gráfica.

En la escala gráfica de este mapa se tiene que AB = 0,93cm, que equivale a 200 km de longitud real en línea recta.Por ejemplo, de Caracas hasta Santiago de Cuba medimos6,56 cm, lo cual dice que la distancia real entre esas dosciudades se resuelve de la siguiente forma:

0,93 cm 200 km6,56 cm X

Por lo que X = = 1 410,75 km

Reto: Determina la distancia entre Caracas y San Juan (Puerto Rico) utilizando la escala gráfica en el mapa anterior.

Hay una gran riqueza matemática en los mapas y lo importantees explorarla, estudiarla y aplicarla.

Reto:Las ciudades de Filadelfia (Estados Unidos) y Lima (Perú) están situadas en el mismo meridiano y sus latitudes sonrespectivamente, 40° Norte y 14° Sur. Sabiendo que los meridianos miden 39 920,70 km (de polo a polo). ¿Cuál es ladistancia entre esas dos ciudades medida a lo largo de ese meridiano común?

0,93(6,56 x 200)

174 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

En ocasiones es provechoso desarrollar actividades de matemática que puedan integrardiversas áreas del conocimiento, tanto matemáticos como de otros campos, así comosituaciones de la vida cotidiana de cada quien.A continuación se presentan situaciones basadas en hechos muy conectados con larealidad tanto de estudiantes como de maestros, que permiten plantear actividades deaula en las cuales esta integración es posible.Muchas más situaciones como éstas puedes encontrar en el sitio de Internethttp://www.figurethis.org.

¿Qué vaso de cotufas debería comprar, si ambos cuestan lomismo?Esta es una tienda en la que tienen una manera muy singular de vender las cotufas.

En lugar de tener sus envases, al cliente le dan una hoja de papel tamaño carta y le dicenque haga el envase cilíndrico de la forma que prefiera.La tienda provee las tapas, sin importar la forma que el cliente genere con el papel.

¿Cuál de las formas será la que carga mayor cantidad de cotufas?1. MaterialesPara el docente• Láminas de rotafolio.• Tiza y pizarrón como recurso alternativo

si no se puede contar con un rotafolio.• Envases cilíndricos con tapas, ya hechos

a partir de hojas de papel.

Para el estudiante• Hojas de papel tamaño carta.• Goma de pegar.• Granos o piedritas.• Lápiz.• Cuaderno cuadriculado para resolver

los ejercicios.

22 cm

28 c

m

2. OrganizaciónOrganice a los estudiantes en grupos de tres o cuatro.

3. EstimaciónExaminen a simple vista ¿cuál parece tener la mayor capacidad?Haga una lista de las razones que ellos expresan para justificar su escogencia.Llévelos a que se den cuenta que no es fácil si no se tienen los envases.Es posible que los niños ofrezcan como razones para llegar a una conclusión que el primer envase es más anchopero menos alto que el segundo.El segundo envase es más alto que el primero, pero menos ancho que éste.

4. Verificación con material concretoSi cuenta con las hojas de papel construya dos envases como los mostrados y provéalos con una base.Llene uno de ellos con arena, cotufas o granos. Vierta el contenido en el otro. Observe cuál es el que tiene mayorcapacidad.Si tienen los envases, abra una discusión cualitativa e informaI en la cual los estudiantes expongan las razones porlas cuales la capacidad es distinta entre ellos.LIévelos a concluir que lo que determina cuál envase carga más, es el volumen. A mayor volumen, mayor cantidad decotufas.

5. Cálculo de volúmenesProponga una actividad en la que se calculen los volúmenes de los dos cilindros.Para los cilindros, tenemos entonces que voIumen es el producto del área del círculo de la base multiplicado por laaltura.La fórmula usual para calcular el área del círculo es πxR2.Sin embargo, no se tiene la longitud del radio de los círculos de ninguno de los envases.Lleve a los estudiantes a darse cuenta de que la longitud de la circunferencia es la longitud del lado que estamoshaciendo curvo.Si se recuerda que la longitud del diámetro multiplicado por π es igual a la longitud L de la circunferencia, esto permitecalcular los radios mediante la fórmula R = L : 2π.El volumen de los cilindros entonces es igual a V= πR2 x H.Haga que noten que los números obtenidos son consistentes con las conclusiones que obtuvieron mediante la verificacióndirecta con los envases, en la segunda actividad.

Ventana didácticaEstrategias sugeridas al docente

Resultados

Información actualizada

175Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Tengo que pensarloEl alambreUn pedazo de alambre puede ser doblado en partes igualescomo se muestra.Si la longitud de cada segmento es un número entero decentímetros, ¿cuál es la mínima longitud posible delalambre?

La reuniónSeis personas están sentadas alrededor de una mesarectangular, tal como se muestra en la figura. ¿Quién esel anfitrión?, si se sabe que:• Las seis personas son tres mujeres: Luisa, María y

Dora; y tres hombres: Eduardo, José y Luis.• Luisa está sentada enfrente de María o Eduardo.• José está sentado inmediatamente a la izquierda de

Dora.• Luis está sentado inmediatamente a la izquierda de

una mujer e inmediatamente a la derecha de otra mujer.• El anfitrión que ofrece la comida es la única persona

que está sentada enfrente de un hombre y a la izquierdade una mujer.¿Quién es el anfitrión?

Los dadosSabiendo que la suma de los números que aparecen en lascaras opuestas de un dado es constante. ¿Cuánto vale lasuma de los números contenidos en las tres caras posterioresy las tres laterales que no se ven en el dibujo?

BibliografíaArocha Reyes, José Luis (1991). La escala en el mapa y en la aerofoto. Ediciones de la Biblioteca de la UniversidadCentral de Venezuela. Caracas, Venezuela.

Baena R., Julián y otros (1996). La esfera. Colección Educación Matemática en Secundaria. Editorial Síntesis,Madrid, España.

Martínez, Aníbal R. (2000). Diccionario del petróleo venezolano. Colección Libros de El Nacional. Caracas,Venezuela.

Montiel Ortega, Leonardo (1999). Guía para estudiantes sobre petróleo y gas. Editorial Arte. Caracas, Venezuela.

NCTM -National Council of Teachers Mathematics- (2000). Principles and Standars for School Mathematics. EE.UU.

La mínima longitud del alambre es 6 cm.

La anfitriona es Dora.

La suma de las caras posteriores no visibles es 1+4+5+6+4+2 = 22.

José Rafael León R.

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*El doctor José R. León es un reconocidoespecialista en las áreas de Estadística,

Teoría de Probabilidades y ProcesosAleatorios. Es profesor titular de la

Escuela de Matemáticas de la UniversidadCentral de Venezuela y actualmente esCoordinador de Estudios de Postgradode la UCV y Representante Profesoralante el Consejo Universitario. Ha sido

profesor invitado en diversas ocasionesen universidades francesas, españolas y

de América Latina.Es miembro del Sistema de Promoción

al Investigador en su máximo nivel (NivelIV). Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza

Fleury” de Fundación Polar en el año1997.

Fotografía: Carlos Rivodó

Uno de los temas que interesa actualmente al Dr. León es la utilización de procesosaleatorios para realizar modelos de la superficie del mar. La Teoría de Procesos Aleatorioses un área que ha tenido un impresionante desarrollo en los últimos 50 años y se ocupadel estudio de funciones que dependen del azar, por ejemplo, la evolución de cantidadesque varían en el tiempo pero que lo hacen de manera aleatoria. Un caso interesante esel de la superficie del mar. Si pensamos en una boya fija en un lugar de la superficiemarina, su altura varía a lo largo del tiempo y no podemos predecir con exactitud la alturade la boya en un instante dado del futuro. La evolución de la altura de la boya en eltiempo es un ejemplo de una función que depende del azar.

Más complicado, pero también más interesante, es considerar una parte de la superficiedel mar en lugar de considerar un punto (que corresponde a una boya), es decir, consideraruna superficie aleatoria. Esto permite estudiar la evolución de las olas en el tiempo. Elestudio de modelos teóricos de superficies aleatorias permite analizar diversas propiedadesde las olas y su evolución, que son de interés, por ejemplo, en el diseño de barcos yplataformas marinas.

Usando registros tomados con arreglos de boyas o por satélite, es posible medir la energíadel mar en distintas direcciones a través de lo que se conoce como el espectro direccionalde la superficie. Teniendo en cuenta que esta es una de las informaciones disponiblesde manera rutinaria por los observatorios marinos, es de especial interés poder deducir,a partir de estos espectros de energía, propiedades de la superficie correspondiente,para lo cual es fundamental el estudio de los modelos teóricos de la superficie del mar.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.