Campo cuántico - X3

Hiro YamagataArtista plástico japonés (1948- )

Esta instalación, situada al lado del Museo Guggenheimde Bilbao (España), pretende hacer lo invisible no sólovisible sino extraordinario. Dos cubos construidos conpaneles holográficos y recubiertos de un revestimientoespecial que descompone la luz, reflejan y refractanlas frecuencias de luz visible generando, a modo deprisma, una visión del espectro lumínico. El resultadoes un espectáculo de luz brillante que danza entre loscubos. El complejo de luz y color siempre es diferente,haciendo las delicias del espectador con una miríadade visiones que va cambiando en función del ánguloo del momento.

Fotografía: Rogelio Chovet

Especialistas del áreaWalter BeyerAlberto CamardielInés Carrera de OrellanaAntonio DávilaMauricio J. Orellana ChacínSergio RivasSaulo RadaLuis Beltrán Salas

ColaboradoresLucila BlancoMarco FalcónMaría Elena GuerraJorge Salazar

ValidadoresLaura Galindo AcevedoHenry MartínezRafael SánchezAntonio Acosta

“El Mundo de la Matemática”, la colección de 23 fascículos que hoyiniciamos, da continuidad a un compromiso que han asumido FundaciónPolar, Empresas Polar y el diario Últimas Noticias, para contribuir a mejorarla formación de la población estudiantil y la actualización permanente delos docentes.

Un calificado equipo de especialistas ha colaborado en esta nueva colección,siguiendo los mismos criterios metodológicos que garantizaron el éxito de“Matemáticas para Todos”, editado en el primer semestre de este año ydirigido a la segunda y tercera etapa de la escuela básica. Los temas tratadosahora, orientados al ciclo diversificado y profesional (bachillerato), son máscomplejos, se incorpora el lenguaje formal de la matemática, es decir,símbolos y fórmulas, algoritmos y teoremas, se acompañan los contenidoscon abundantes imágenes y gráficos que facilitan la comprensión de losconceptos emitidos y, sobretodo, se encontrarán con múltiples aplicacionesde esta disciplina con la ciencia, la tecnología, la ingeniería, la economía,el arte, la música, etc.

Con los contenidos de “El Mundo de la Matemática” los lectores conoceránlas sucesiones numéricas, descubrirán la capacidad de los modelosmatemáticos para representar los fenómenos del mundo sensible, así comolas prácticas y útiles soluciones que aportan los sistemas de ecuaciones; seinteresarán por las múltiples aplicaciones del álgebra que nos ayudan aentender cómo se organizan los elementos de un Universo y serán atraídospor la potente herramienta de predicción que es la estadística, para luego,en una segunda etapa de esta colección, comprender y explorar el mundode las formas, sus propiedades, relaciones y, sobre todo, las aplicacionesde la trigonometría y la geometría en nuestras vidas y en todo lo que nosrodea.

El diario Últimas Noticias ha confiado nuevamente en este proyecto y juntoa Fundación Polar y Empresas Polar hace posible la publicación y difusión,a todos los rincones del país, de “El Mundo de la Matemática”. Al colocareste valioso material en las manos de las nuevas generaciones de venezolanos,esperamos que se convierta en una herramienta efectiva para abrir caminosseguros al porvenir.

Presentación

Andrew Wiles, el matemáticoque resolvió el último teoremade Fermat.

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¿Por qué el mundo de la matemática?La matemática es una ciencia con mucha vitaIidad que durante el siglo XX desarrollóy creó nuevas áreas de gran impacto en otras ciencias, en la tecnología, la ingeniería,la economía, la biología, las finanzas y el mundo en general.

Así, la investigación de operaciones, los fractaIes (la geometría de la naturaleza y suutilización en las artes), las ondículas (su uso para el reconocimiento de huellas -algoritrno adoptado por el FBI- y técnicas de compresion de imágenes fijas), laborrosidad (el control borroso y su aplicación en aparatos electrodomésticos derefrigeración, de aire acondicionado, en frenos, entre otros), los sistemas dinámicos,la teoría de la información, los códigos y la criptografía, la ecuación de Black-Scholesque permite calcular el valor de la opción de compra de acciones, la teoría de juegosy dentro de ésta la formulación de John Nash, utilizada en econometría, que Ie valióel premio Nobel (1994); el gran desarrollo de la probabilidad, la estadística y del análisisde datos, se encuentran entre los logros del siglo que recientemente finalizó.

Ese dinamismo de la matemática, al igual que el crecimientoexplosivo de la ciencia y la tecnología, genera un problemaclave para los ciudadanos de cualquier país, cual es lanecesidad que éstos tienen de estar informados de algunosaspectos centrales que les atañen en cuanto al desarrollo delas ciencias, entre éstas la matemática, puesto que repercutende alguna forma en el progreso de sus propios países y enla sociedad en general.

La evolución y el vigor de la matemática no se detienen. Porel contrario, se plantean nuevos desafíos y se resuelvenproblemas antiguos y recientes. Aunada a su estrecha relacióncon la informática, favoreciéndose mutuamente, lo que permiterealizar numerosos cálculos con gran rapidez y precisión e,igualmente, hacer representaciones gráficas en dos y tresdimensiones.

Además de la variedad de teorías y áreas desarrolladas durante el siglo XX, se hacenecesario señalar que ya han sido resueltos la mayor parte de los 23 problemasplanteados por Hilbert, uno de los grandes matemáticos del siglo pasado, en suconferencia (París, agosto 1900), "Los problemas futuros de la matemática", pronunciadadurante la celebración del II Congreso Intemacional de Matemáticos. Estos problemasconstituyeron un motor interno al espectacular progreso matemático en el siglo querecién feneció. Otros grandes problemas no contemplados en esa lista, por ejemploel denominado "Último teorema de Fermat", que tardó mas de tres siglos para suresolución, fue finalmente resuelto en 1994 por el matemático británico Andrew Wiles,lo cual fue noticia de primera plana en muchos diarios del mundo: para cualquier enteron > 2 no existe solución en números enteros de la ecuación xn + yn = zn.

"¿Quién de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondidoel futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximosavances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior enlos siglos futuros? ¿Cuáles seran las metas particulares que tratarán dealcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generacionesfuturas? ¿Qué nuevos metodos y nuevos hechos nos depararán los siglospor venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático?

David Hilbert (alemán,1862-1943)en su famosa conferencia de 1900.

Proof: Las matemáticashecha emocionesObra escrita por elnorteamericano David Auburn(1971- ) ganadora de lospremios Pulitzer, Tony y el Dramadesk (2001) a la mejor obrateatral.

Una mente brillantepelícula ganadora de 4 premiosOscar en 2002, dirigida por RonHoward basada en el libro deSylvia Nasar.

La vida de Nash fue llevada ala pantaIla en la película “Unamente brillante" (basada en laobra de Sylvia Nassar y con elrol estelar del actor RussellCrowe), siendo esta la películamás conocida en Venezuelapero no la única que hay eneste ramo, así como existendiversas obras de teatro yobras literarias vinculadas conla matemática o losmatemáticos.

Visión interna de undodecaedro de Poincaré.

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En el centenario (mayo 2000) del enunciado de esos 23 problemas de Hilbert, y nuevamente en París, el Clay MathematicsInstitute (CMI), con sede en Cambridge-Massachusetts, EEUU, anunció que recompensaría con un millón de doláres lasolución de cada uno de siete grandes problemas matemáticos que consideran de relevancia en este siglo. De estos sieteproblemas, uno de ellos denominado la "Conjetura de Poincaré" (1904), viene de ser resuelto (noviembre 2002) por elmatemático ruso Gregory Perelman, quien así se convierte en el primer millonario, en dólares, por la solución de un talproblema. De los seis restantes, resulta de gran importancia en la mecánica de fluidos el referido a la ecuación de Navier-Stokes en tres dimensiones espaciales. La solución de tal problema implicaría un avance fundamental en la comprensióndel fenómeno de la turbulencia y esto podría, casi seguramente, conducir a progresos en ingeniería náutica y aeronáutica.

Otro de los desafíos en esa lista de problemas, importante en la informática, es el denominado problema ¿P=NP? referidoa buscar cuáles problemas son accesibles en el sentido de que se puedan concebir algoritmos que corran en un tiemporazonable (polinomial). Basta decir que los criptosistemas de la informatica y de los bancos se basan sobre la hipótesisP­NP.

Algunos matemáticos colocan una lista más larga de desafíos para este siglo, entre los que mencionamos al ganador dela medalla Fields (1966), Stephen Smale (estadounidense, 1930- ), quien indicó dieciocho problemas (1998), cuatro deellos idénticos a los del Instituto Clay, señalando a la ecuación de Navier-Stokes y al ¿P=NP? como dos de los másimportantes problemas de la matemática contemporánea.

EI mundo de la matemática presentado en estos fascículos, reflejaciertos contenidos que están presentes en los programas de laeducación media diversificada y profesional, así como en el primersemestre universitario. A éstos se agregan otros temas no contempladosen esos programas, pero con la confianza de que en un futuro próximoserán incorporados a los mismos, puesto que se refieren a aspectosde actualidad, de su forma de enseñarlos y de sus relaciones condiversas áreas del conocimiento.

Los fascículos están conformados mediante distintas secciones enla que se presentan desarrollos conceptuales, sabías que (reseñashistóricas), interesante, orientaciones metodológicas (sugerencias paralos docentes), tengo que pensarlo y bibliografía. Además algunassecciones eventuales como matemáticas recreativas y ayer y hoy.

También se hacen conexiones de los temas desarrollados con las artes plásticas, la música,la tecnología, la arquitectura e ingeniería, la economía, el petróleo e, incluso, aspectosvinculados con la salud, como el Sida, o la lactancia materna, utilizando contenidos clásicosde la matemática y otros más novedosos, que usualmente no están contemplados en losactuales programas de estudio.

Esperamos que la forma de presentación de la matemática en los fascículos de EI mundode la matemática, donde mostramos algunos de los desarrollos actuales que impregnansu dinamismo, contribuya a acrecentar el caudal cultural de los ciudadanos, sirva como uncanal para el mejoramiento de la enseñanza-aprendizaje por parte de los estudiantes ydocentes y que, además, permita contrarrestar ciertas percepciones que el público tiene deesta ciencia, en el sentido de promover visiones positivas de su desarrollo y de su importanciapara el mundo en que nos desenvolvemos.

Landon Clay, hombrede negocios y

empresario de Boston,fundó el Clay

Mathematics Instituteen 1998 con el fin de

promover lamatemática.

Figureight KnotComplement

Imagen corporatica del CMIde Helaman Ferguson,matemático y escultor

norteamericano que basasus obras en fórmulas

matemáticas.

Stephen Smalematemático y minerólogoestadounidense (1930- ).

Medalla Fields 1966.

Museo del LouvreParis, Francia.

Recurrencias de PoincaréTrabajo realizado por los alumnos dela Escuela Normal Superior de Lyon

(Francia).

Afiche invitando a laconferencia realizada en SanPetersburgo (Rusia) Ecuacionesy otros tópicos Navier-Stokesen el 2002.

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Tablilla egipcia.Museo del Louvre (Francia).

Catedral de Nuestra Señora deParís (Francia).

CaotizadorMuseo de Ciencia y Tecnología deLa Villette (Francia).

Los temas de El mundo de la matemáticaSucesiones y modelos matemáticosA excepción de ciertas nociones de sucesiones y de las progresiones aritméticas ygeométricas, los contenidos contemplados en los fascículos relacionados con estostemas no son objeto de estudio de los programas instruccionales de educación mediadiversificada y profesional, y tangencialmente se incluyen algunas referencias de éstosen el primer año universitario. Sin embargo, la modelación matemática ha cobrado uninterés creciente en muchos países desde hace unas tres décadas, y ello ha penetradoen la enseñanza de los últimos años de la educación secundaria y universitaria. Aquíse trata de formular y estudiar modelos matemáticos con sucesiones (modelos discretos)y algunos modelos continuos sin el uso del cálculo infinitesimal.

Ya en el fascículo “El mundo y los números” de la colección “Matemática para todos”,se destacaron tres aspectos concernientes a la importancia de la matemática en laciencia, la tecnología y otros sistemas. Estos son: comunicación, razonamiento ypredicción. En cuanto al tercero de ellos, la predicción, se formuló lo siguiente:

“La matemática es un medio efectivo para la predicción. Esto se logra a través de losmodelos matemáticos o matematización de situaciones reales, lo cual permite explicarel comportamiento de esas situaciones y predecir, con cierta aproximación, cuestionesdesconocidas”.

De allí la necesidad de la inclusión del tema de los modelos matemáticos. A esto sesuma la importancia creciente de los algoritmos en la matemática aplicada y lainformática.

Los fascículos correspondientes a estos temas contendrán lo siguiente:

• Sucesiones numéricas. Situaciones conducentes a plantear sucesiones. Gráficos desucesiones. Características y clasificación de sucesiones. Iteración y recursión. Sucesionesen progresión aritmética y sucesiones en progresión geométrica. Crecimiento odecrecimiento lineal y exponencial.

• Modelos matemáticos construidos con sucesiones de números (modelos discretos).Modelos matemáticos continuos, estáticos y dinámicos.

En los contenidos de estos fascículos se enfatizarán las vinculaciones (conexiones)con las ciencias y la tecnología a través de los modelos matemáticos.

Límite cuadrado.M. Escher (1898-1972).

Día lluvioso en París.Albert Marquet (1875-1947).

Ventanas simultáneasRobert Delaunay.

Estrella de mar.

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ÁlgebraRama de la matemática cuyo objetivo durante varios siglos fue el estudio de lasecuaciones algebraicas (ecuaciones polinómicas), los sistemas de ecuaciones y lossistemas lineales. Para esto último se cuenta hoy en día con el estudio de las matricescomo parte del álgebra lineal, herramienta fundamental de la matemática actual y porsus numerosas aplicaciones a la física, la investigación de operaciones, el cálculonumérico, la economía, ... .

Los temas de álgebra se desarrollarán según:

• La notación algebraica. Situaciones que envuelven variables. Las ecuaciones polinómicasde grado uno y dos. Su interpretación geométrica. Situaciones conducentes a plantearecuaciones polinómicas. Ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que tres y lainterpretación geométrica de las raíces reales. Algunos sistemas sencillos de ecuacionespolinómicas. Algunas inecuaciones sencillas. Los polinomios con coeficientes reales ysus operaciones.Se darán ciertas indicaciones sobre los números complejos en relación con lasraíces de las ecuaciones polinómicas.

• Coordenadas en un plano y en el espacio. Problemas que conducen a formular elespacio de las n-uplas de números reales. El espacio Rn. La geometría con coordenadas.Algunos sistemas lineales sencillos m • n, 1 ≤ m, n ≤ 3 y sus interpretaciones geométricas.

Los contenidos de estos fascículos se vincularán con diferentes expresiones científicasy tecnológicas: investigación de operaciones, códigos, resolución de ecuaciones, artey sistemas de ecuaciones consecuencia del estudio de fenómenos físicos o de tópicosde ingeniería.

Retrato de familiaHenri Matisse (1869-1954).

Puente autopistaCaracas-La Guaira.

PartenónAtenas, Grecia.

Trayectoria prevista por eltelescopio Hubble para atravesarlos anillos de Saturno.

Oficina del Instituto Postal deVenezuela (IPOSTEL) en laesquina de Carmelitas, Caracas.

Grabado de madera “MargaritaPhilosophica” (1503)Gregor Reish.

Show acrobático,Palo Negro, estado Aragua.

Andrey Nikolaevich KolmogorovMatemático ruso (1903-87).

Pirámide de GaltonMuseo de Ciencia y Tecnología de

La Villette (Francia).

Estadística y gráficosEn la colección de “Matemática para todos” (encartada en el diario Últimas Noticiasen 2004), se escribieron dos fascículos referidos a estadística-probabilidades y gráficos.Aquí se trata de gráficos de funciones, de gráficos estadísticos y de las medidas deposición y medidas de dispersión.

Los gráficos de funciones complementan lo que se verá en los fascículos de geometría(curvas y superficies), y los gráficos estadísticos así como las medidas de posición yde dispersión, dan continuidad a lo planteado en “Matemática para todos”.

El estudio del cambio y del movimiento está estrechamente vinculado a las funcionesy sus tasas de cambio (tasas de variación), llegando en la educación superior al estudiode las tasas de cambio puntuales o instantáneas (derivadas).

Dichos temas se desarrollarán así.

• Funciones reales de una variable real. Diversas formas de dar una función. Analizarfunciones dadas por gráficos y dadas por ecuaciones. Tasas de variación o de cambiode funciones. Analizar cambios a partir de gráficos y a partir de tablas de datos. Curvasen el plano. Funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y potenciales.Escalas.

• Estadística y gráficos. Histogramas y polígonos de frecuencias. Nube de puntos y ajustede los mismos. Situaciones que conducen a plantear las medidas de posición y lasmedidas de dispersión. La curva de la campana. Cajas.

Los contenidos de estos fascículos se prestan para las vinculaciones con las cienciasy la tecnología: construcciones civiles (ingeniería y arquitectura), física, química,biología, poblaciones, aspectos sociales, de salud y económicos, entre otros.

Torres de Parque Central,Caracas.

Terremoto de 1812Martín Tovar y Tovar.

Mangos en San BernardinoManuel Cabré.

De revolutionibusNicolás Copérnico.