Universidad de Pamplona TallerFacultad de Ciencias BasicasDepartamento de Matemáticas Tema:Algebra Lineal Independencia lineal

1. Independecia Lineal.

De�niciónUn conjunto de vectores indexado {v1; :::vp} en Rn es linealmente independiente si la ecuación vectorialx1v1 + x2v2 + :::+ xpvp = 0tiene unicamente la solución trivial. El conjunto {v1; :::; vp} es linealmente dependiente si existenpesos c1; :::; cp;no todos iguales a cero, tales quec1v1 + c2v2 + :::+ cpvp = 0

tengamos en cuenta que la ecuación de independencia o dependencia asocia un sistema de ecuacionesdel la forma Ax = b, con la caracteristica que el vector b es cero, Ax = 0.

Solución trivial se re�ere que todos los escalares que encontremos al desarrollar el procedimiento deforma escalonada o reducida tendra por valor cero.

Ejemplo 1

Sean v1 =

24123

35 ; v2 =24456

35 ; v3 =24210

35a. Determine si el conjunto fv1; v2; v3g es linealmente independiente.b. Si es posible, encuentre una relación de dependencia lineal entre v1; v2; v3:

Solución

a. asocie una matriz aumenta a un sistema homogeneo, los vectores costituyen la matriz de coe�cientesy junto a vector 0.241 4 2 02 5 1 03 6 0 0

35reducir a forma escalonada. f2 ! f2 � 2f1f3 ! f3 � 3f1

241 4 2 00 �3 �3 00 �6 �6 0

35 f3 ! f3 � 2f2

241 4 2 00 �3 �3 00 0 0 0

35 ;x3 es libre, para valores diferentes de cero genera una solución no trivial, indicandonos que v1; v2; v3 sonlinealmente dependientes.

b. Para determinar la relacion de dependencia lineal entre v1; v2; v3:de la solución mediante sustituciónregresiva o llevar a la forma escalonada reducida

x3 2 R x1 + 4x2 + 2x3 = 0�3x2 � 3x3 = 0 x1 + 4 (�x3) + 2x3 = 0�3x2 = 3x3 x1 � 4x3 + 2x3 = 0�3x2 = 3x3 x1 = 2x3x2 = �x3Solucion general SG (2x3; �x3; x3)si x3 = 5 la solución (2(5);�(5); 5) = (10;�5; 5)obtendriamos una posible relación 10v1 � 5v2 + 5v3 = 0recordar tenemos una in�nidad de dependencia lineal entre v1; v2; v3:

Las columnas de una matriz A son linealmente independientes si, y sólo si, la ecuación Ax = 0tiene únicamente la solución trivial.

Ejemplo 2

Determine si las columnas de A =

240 1 41 2 �15 8 0

35son linealmente independientes.Dado Ax = 0;a la matriz dada adicionado el el vector b = 0;formando la matriz aumentada240 1 4 01 2 �1 05 8 0 0

35, llevarla a forma escalonada f1 � f2

241 2 �1 00 1 4 05 8 0 0

35 f3 ! f3 � 5f1

241 2 �1 00 1 4 00 �2 5 0

35 f3 ! f3 + 2f2

241 2 �1 00 1 4 00 0 13 0

35 :podemos observar que no hay variables libre, las entradas tienen columna pivote e indicaría que haysolución única que corresponde a la trivial.

13x3 = 0 x1 + 2x2 � x3 = 0x3 = 0 x1 + 2 (0) + 2(0) = 0x2 + 4x3 = 0 x1 = 0x2 + 4(0) = 0x2 = 0

solucion general SG (0; 0; 0)

solución trivial, las columnas de A son linealmente independietes:

Ejemplo 3

Determine si los siguientes conjunto de vectores son linealmente independiente.

a. v1 =�31

�; v2 =

�62

�;observe las entradas,que puede escribirse en función del otro

v1 =1

2v2;O 2v1 = v2;lo que muestra que uno depende de otro lo que nos indica que los vectores

serian linealmente dependientes. para veri�carlo podriamos solucionar el sistema o bucar los pesosigualando las entradas.

av1 = v2

a

�31

�=

�62

��3a1a

�=

�62

��3a = 6a = 2

�=

�a = 2a = 2

�:

Un conjunto de dos vectores fv1; v2g es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores esmúltiplo del otro. El conjunto es linealmente independiente si, y sólo si, ninguno de los vectores esmúltiplo del otro.

b. v1 =�32

�; v2 =

�62

�; no es facil observar que los vectores son linealmente independiente o dependi-

ente, por el criterio anterior uno de los vectores no es multiplo de otro�3 6 02 2 0

�reducir a forma escalonada f1 ! 1=3f1

�1 2 02 2 0

�f2 ! f2 � 2f1

2

�1 2 00 �2 0

� �2x2 = 0 x1 + 2 (0) = 0x2 = 0 x1 = 0x1 + 2x2 = 0

solución general SG (0; 0)

solución trivial los vectores son linealmente independientes.

En términos geométricos, dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si,

ambos están sobre la misma línea que pasa por el origen. La �gura muestran los

vectores del ejemplo 2.

Teorema. Caracterización de los conjuntos linealmente dependientesUn conjunto indexado S = fv1;:::; vpg de dos o más vectores es linealmente dependiente si, sólo si,al menos uno de los vectores presentes en S es una combinación lineal de los otros de hecho, si Ses linealmente dependiente y v1 6= 0;entonces algún vj(con j > 1) es una combinación lineal de losvectores precedetes, v1;:::; vj�1

Ejemplo 4

Sea u =

24310

35 y v =

24160

35 :Describa el conjunto generado por u y v y explique por qué el vector w estáen Gen fu; vg si, sólo si, fu; v; wg es linealmente dependiente.miremos si son linealmente independientes o no.243 1 01 6 00 0 0

35 f1 � f2

241 6 03 1 00 0 0

35 f2 ! f2 � 3f1

241 6 00 �17 00 0 0

35�17x2 = 0 x1 + 6 (0) = 0x2 = 0 x1 = 0x1 + 6x2 = 0

solucion general SG (0; 0 ) :

solucion trivial los vectores son linealmente independientes. x1, x2 y x3 = 0243 1 a1 6 b0 0 c

35 f1 � f2

241 6 b3 1 a0 0 c

35 f2 ! f2 � 3f1

241 6 b0 �17 a� 3b0 0 c

35 f2 ! 1�17f2241 6 b

0 1 3b�a17

0 0 c

35 f1 ! f1 � 6f2

241 0 6a�b17

0 1 3b�a17

0 0 c

35x1 =

6a� b17

x2 =a� 3b�17 solución general SG

�6a� b17

;3b� a17

�:

observemos la matriz escalonada reducida para que el sistema sea consistente c = 0;lo que nos indicaque genera un plano en R3; el plano x1; x2 y su x3 = 0 .

3

Para que w este en Gen fu; vg es una combinacion lineal de u y v, entonces fu; v; wg es linealmentedependiente por Teorema. Caracterización de los conjuntos linealmente dependientes, algúnvector en fu; v; wg es una combinación lineal. u; v son linealmente independientes el vector w es el quese puede escribir cmo una combinación lineal de u y v.

geometricamente podemos ilustrar las situaciones de la siguente manera.

Teorema.Si un conjunto contiene más vectores que entradas en cada vector, entonces es linealmente .dependiente esto es , cualquier conjunto fv1;:::; vpg en R3es linealmente dependiente si p > n

Teorema.Si un conjunto S = fv1;:::; vpg en Rncontiene el vector cero , entonces es linealmente dependiente.

Ejemplo 5

a. Los vectores�21

�;

�41

�;

��22

�son linealmente dependientes.

solución 1

escribimos la matriz de aumentada�2 4 �2 01 1 2 0

�reducimos a forma escalonada f1 � f2

�1 1 2 02 4 �2 0

�f2 ! f2 � 2f1

�1 1 2 00 2 �6 0

�como x3 2 R es una variable, los vectores son linealmente dependientes.

solución 2

Por Teorema. Si un conjunto contiene más vectores que entradas en cada vector, entonces es lineal-mente dependiente.

p = 3; n = 2;como es mayor el numero de vectores que componentes los vectores son linealmentedependientes.

b. Los vectores

24235

35 ;24000

35 ;24118

35 son linealmente dependientes.solución 1

escribimos la matriz de aumentada

242 0 1 03 0 1 05 0 8 0

35reducimos a forma escalonada f1 ! 1=2 f1

241 0 1=2 03 0 1 05 0 8 0

35 f2 ! f2 � 3f1f2 ! f2 � 5f1

241 0 1=2 00 0 �1=2 00 0 11=2 0

35 f1 ! �2 f1

241 0 1=2 00 0 1 00 0 11=2 0

35

4

f3 ! f3 � 11=2f2

241 0 1=2 00 0 1 00 0 0 0

35como la matriz tiene variable libres x3 2 R;los vectores son linealmente dependientessolución 2

Por Teorema. Si un conjunto S = fv1;:::; vpg en Rncontiene el vector cero , entonces es linealmentedependiente.

Ejercicios

(a) ¿para cuáles valores de h está v3 en Genfv1; v2g?, y (b) ¿para qué valores de h es fv1; v2;v3glinealmente dependiente? Justi�que cada una de sus respuestas.

v1 =

24 1�5�3

35 ; v2 =24�2106

35 ; v3 =24 2�9h

35(b) Determine si las columnas de la matriz dada forman un conjunto linealmente independiente.

Justi�que cada una de sus respuestas.2664�4 �3 00 �1 41 0 35 4 6

3775(c) Deben resolverse sin realizar operaciones de �la. [Sugerencia: Escriba Ax = 0 como una ecuación

vectorial.].

Dada A =

26642 3 5�5 1 �4�3 �1 �41 0 1

3775 ;observe que la tercera columna es la suma de las dos primeras colum-nas. Encuentre una solución no trivial de Ax = 0:

(d) Describa las posibles formas escalonadas de la matriz.A es una matriz de 4 x 3, A = [a1 a2 a3] ;tal que fa1 a2g es linealmente independiente y a3 noestá en Gen fa1 a2g :

(e) El enunciado es verdadero (en todos los casos) o bien falso (para al menos un ejemplo). Si laa�rmación es falsa, proporcione un ejemplo especí�co donde muestre que el enunciado no siemprees cierto. Tal ejemplo se llama contraejemplo del enunciado. Si la a�rmación es cierta, formuleuna justi�cación. (Un ejemplo especí�co no puede explicar por qué una a�rmación siempre escierta. Se tendra que trabajar más aquí)

Si v1; :::; v4 están en R4 y v3 no es una combinación lineal de v1; v2; v4; entonces fv1; v2; v3; v4g eslinealmente independiente.

5