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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIER ´ IA, CIENCIAS F ´ ISICAS Y MATEM ´ ATICA CARRERA DE INGENIER ´ IA MATEM ´ ATICA Una demostraci´ on detallada del Teorema de Clasificaci´on de Superficies Compactas en R 2 Trabajo de Titulaci´on modalidad proyecto integrador, previo a la obtenci´on del T´ ıtulo de Ingeniero Matem´atico AUTOR: Cruz Dias Edwin Fernando TUTOR: Mat. Juan Carlos Garc´ ıa Navas, MSc. Quito, 2018
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERIA,CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICA
CARRERA DE INGENIERIA MATEMATICA
Una demostracion detallada del Teorema de Clasificacionde Superficies Compactas en R2
Trabajo de Titulacion modalidad proyecto integrador, previo ala obtencion del Tıtulo de Ingeniero Matematico
AUTOR: Cruz Dias Edwin Fernando
TUTOR: Mat. Juan Carlos Garcıa Navas, MSc.
Quito, 2018
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Edwin Fernando Cruz Dias en calidad de autor y titular de los derechos
morales y patrimoniales del trabajo de titulacion Una demostracion detalla-
da del Teorema de Clasificacion de Superficies Compactas en R2, modalidad
proyecto integrador, de conformidad con el Art. 114 del CODIGO ORGANICO
DE LA ECONOMIA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD
E INNOVACION, concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador una
licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la
obra, con fines estrictamente academicos. Conservo a mi favor todos los dere-
chos de autor sobre la obra, establecidos en la norma citada.
Ası mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice
la digitalizacion y publicacion de este trabajo de titulacion en el repositorio
virtual, de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Organica de
Educacion Superior.
El autor declara que la obra objeto de la presente autorizacion es original en
su forma de expresion y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo
la responsabilidad por cualquier reclamacion que pudiera presentarse por esta
causa y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.
———————————
Edwin Fernando Cruz Dias
C.C. 1725543654
ii
APROBACION DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulacion, presentado por EDWIN
FERNANDO CRUZ DIAS, para optar por el Grado de Ingeniero Matema-
tico; cuyo tıtulo es: UNA DEMOSTRACION DETALLA DEL TEO-
REMA DE CLASIFICACION DE SUPERFICIES COMPACTAS
EN R2, considero que dicho trabajo reune los requisitos y meritos suficientes
para ser sometido a la presentacion publica y evaluacion por parte del tribunal
examinador que se designe.
En la ciudad de Quito, a los 24 dıas del mes de abril de 2018.
—————————————
Mat. Juan Carlos Garcıa Navas, MSc.
DOCENTE-TUTOR
C.C. 1001714177
iii
DEDICATORIA
A mis padres
Zoila Dias y Fernando Cruz.
iv
AGRADECIMIENTO
Agradezco a Dios por darme muchas bendiciones.
Agradezco a mis padres, pilares fundamentales para culminar mis estudios.
A mi tutor, el Matematico Juan Carlos Garcıa quien ademas fue mi profesor
y amigo. Gracias por proponerme un tema afın a mis intereses profesionales y
por dedicar todo el tiempo posible para la culminacion de este proyecto.
Tambien a los revisores Ing. Jasmina Atarihuana y el Mat. Vicente Chicaiza.
Gracias por sus sugerencias, las cuales sirvieron para seguir enriqueciendo el
proyecto.
A mis amigas y amigos de la carrera de Ingenierıa Matematica, quienes me
apoyaron en esta ardua y grata travesıa que es estudiar matematicas.
Y a todos mis profesores de la carrera, gracias por todos sus conocimientos
brindados y por transmitirme el amor hacia las matematicas.
v
CONTENIDO
DERECHOS DE AUTOR ii
APROBACION DEL TUTOR iii
DEDICATORIA iv
AGRADECIMIENTO v
CONTENIDO vi
LISTA DE FIGURAS viii
RESUMEN xi
ABSTRACT xii
INTRODUCCION 1
1 DEFINICION DEL PROBLEMA 4
1.1 Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Justificacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 PRELIMINARES TOPOLOGICOS 6
2.1 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Topologıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
vi
3 SUPERFICIES 16
3.1 Variedades n-dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Variedades orientables y no orientables . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Representacion poligonal de una superficie . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Sumas conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Triangulacion de superficies compactas . . . . . . . . . . . . . . 36
4 CLASIFICACION DE SUPERFICIES COMPACTAS 49
4.1 Caracterıstica de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
CONCLUSIONES 84
BIBLIOGRAFIA 85
vii
LISTA DE FIGURAS
3.1 Banda de Mobius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Identificacion de S2, aa−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Identificacion de S2 por un cuadrado, aa−1bb−1. . . . . . . . . . 25
3.4 Identificacion del toro, aba−1b−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Identificacion de P 2(R) mediante un cuadrado, abab. . . . . . . 26
3.6 Identificacion de P 2(R) utilizando un polıgono de dos lados, aa. 26
3.7 Identificacion de la Botella de Klein, aba−1b. . . . . . . . . . . . 27
3.8 S2]T 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9 S2]T 2, a1a−11 a2b2a
−12 b−12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.10 T 2]P 2(R), a1b1a2a2a−11 b−11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.11 T 21 ]T
22 , a1b1a
−11 b−11 a2b2a
−12 b−12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.12 Bitoro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.13 T 21 ]T
22 ]T
23 , a1b1a
−11 b−11 a2b2a
−12 b−12 a3b3a
−13 b−13 . . . . . . . . . . . . . 34
3.14 P 21 (R)]P 2
2 (R), a1a1a2a2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.15 P 21 (R)]P 2
2 (R)]P 23 (R), a1a1a2a2a3a3. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.16 Grafos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.17 Subgrafos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.18 Grafos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.19 Grafos 2-conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.20 Diagrama isomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.21 Isomorfismo entre G1 y G2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.22 Isomorfismo entre G3 y G4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.23 Dos grafos no isomorfos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.24 Segmentos malos y muy malos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
viii
3.25 Segmentos malos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.26 Segmentos muy malos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.27 Construccion de Q′′3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 Tipos incorrectos de pegado de triangulos. . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Pegado de triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Triangulacion de S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Triangulacion de T 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Triangulacion de P 2(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Triangulacion botella de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Arista de primera especie y palabra es: aXa−1Y . . . . . . . . . 55
4.8 Arista de segunda especie y palabra es: aXaY . . . . . . . . . . 56
4.9 b−1f−1e−1gcc−1g−1dd−1eaa−1fb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.10 baa−1c−1X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.11 bc−1X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.12 Xcd−1Y c−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.15 aXaY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.18 aXa−1Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.19 abXa−1b−1Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.20 aXb−1Y a−1ZbW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.25 b−1aba−1XccY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ix
4.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
x
TITULO: Una demostracion detallada del Teorema de Clasificacion de Super-
ficies Compactas en R2.
Autor: Edwin Fernando Cruz Dias
Tutor: Mat. Juan Carlos Garcıa Navas, MSc.
RESUMEN
El teorema de clasificacion de superficies compactas en R2, enuncia que toda su-
perficie compacta es topologicamente equivalente exactamente a una superficie
representativa tambien llamada superficie en forma normal. Dichas superficies
representativas son la esfera, la suma conexa de toros, o la suma conexa de
planos proyectivos. La demostracion se desarrolla con ayuda de la representa-
cion poligonal de las superficies y la parte combinatoria utilizada en Seifert y
Threlfall [11]. Ademas, se prueba que toda superficie compacta es triangulable
utilizando teorıa de grafos planos, idea presentada en Thomassen [12].
PALABRAS CLAVE: SUPERFICIE COMPACTA / SUMA CONEXA
/ REPRESENTACION POLIGONAL / ESPACIO COCIENTE / HOMEO-
MORFISMO / CARACTERISTICA DE EULER.
xi
TITLE: A detailed demonstration of the Compact Surface Classification Theo-
rem in R2
Author: Edwin Fernando Cruz Dias
Tutor: Mat. Juan Carlos Garcıa Navas, MSc.
ABSTRACT
The compact surface classification theorem in R2, states that any compact sur-
face is topologically equivalent to exactly a representative surface also called
surface in normal form. These representative surfaces are the sphere, the co-
nnected sum of tori, or the connected sum of projective planes. The demonstra-
tion is developed with the help of the polygonal representation of the surfaces
and the combinatorial part used in Seifert and Threlfall [11]. Besides, it is
proved that all compact surfaces are triangulable by using planar graph theo-
ry; this idea was presented in Thomassen [12].
KEYWORDS: COMPACT SURFACE / CONNECTED SUM / POLYGO-
NAL REPRESENTATION / QUOTIENT SPACE / HOMEOMORPHISM /
CHARACTERISTICS OF EULER.
xii
INTRODUCCION
Si simplemente hace girar la rueda, es algebra;
pero si contiene una idea, es topologıa.
SOLOMON LEFSCHETZ
Durante mucho tiempo uno de los problemas mas importantes en topologıa ha
sido clasificar los espacios topologicos, es decir dados dos espacios topologicos
cualesquiera, poder saber si estos son o no homeomorfos. Demostrar que dos es-
pacios topologicos son homeomorfos es poder construir una aplicacion biyectiva
continua de uno en otro que ademas posea una inversa continua.
El problema enunciado parece sencillo pero una solucion general es compleja.
Por ejemplo, R y R2 no son homeomorfos. Como generalmente se trabaja es
restringir el problema a la clasificacion de ciertos espacios topologicos.
Una clase especial de espacio topologico es el concepto de superficie. Una
superficie se comporta localmente de manera similar, topologicamente hablando
que el espacio Euclidiano R2.
Hasta la obra de Riemann en la decada de 1850, las superficies fueron siempre
tratadas desde un punto de vista local (como superficies parametricas) y las
cuestiones topologicas nunca fueron consideradas. De hecho, la opinion de
que una superficie es un espacio topologico localmente homeomorfo al plano
euclidiano solo fue claramente articulado en la decada de 1930 por Alexander
y Whitney.
Despues de Riemann, parece ser que Mobius y Jordan fueron los primeros en
darse cuenta de que el principal problema acerca de la topologıa de superficies
compactas es encontrar invariantes (preferentemente numericas) para decidir
la equivalencia de las superficies, es decir, para decidir si dos superficies son
homeomorfas o no.
1
En el presente proyecto, se expondra una demostracion detallada del teorema
de clasificacion de superficies compactas en R2, de tal manera que sea una guıa
para el estudiante de matematicas con conocimientos adquiridos en un curso
de topologıa basica.
La demostracion se basara en el uso de los siguientes conceptos: orientabili-
dad, caracterıstica de Euler, sumas conexas, representacion de superficies por
polıgonos con aristas identificadas, tecnicas de cortar y pegar.
En la demostracion del teorema presentaremos los siguientes pasos:
1) Probar que toda superficie compacta es triangulable.
2) La superficie puede obtenerse como espacio cociente de un polıgono con
las aristas identificadas a pares.
3) Este polıgono puede ser transformado a una forma canonica en un numero
finito de transformaciones.
4) Demostrar que los tres representantes canonicos no son homeomorfos en-
tre sı.
El presente documento consta de cuatro capıtulos, conformados de la siguiente
manera.
En el Capıtulo 1, se formula el problema y se describen los objetivos del
proyecto.
En el Capıtulo 2, se introduce la notacion que se utilizara a lo largo del proyecto
y conceptos preliminares de topologıa tales como espacios conexos, topologıa
cociente.
En el Capıtulo 3, se define los conceptos de variedad n-dimensional, superficie,
suma conexa y se prueba a detalle que toda superficie compacta es triangulable
utilizando teorıa de grafos planos, dicho resultado se encuentra en Thomassen
[12].
En el Capıtulo 4, se prueba que cualquier superficie compacta puede ser re-
presentada por un polıgono con aristas identificadas a pares, y se demuestra
2
la parte combinatoria del teorema utilizando la idea propuesta en Seifert y
Threlfall [11] con mas detalles. Se define la caracterıstica de Euler, con la
cual podemos reducir el problema de clasificacion de superficies compactas a
determinar la orientabilidad y caracterıstica de Euler.
En la actualidad no se conoce algun teorema como el de clasificacion de su-
perficies en R2 para variedades 3-dimensional. Similarmente no se tiene un
resultado similar para variedades 4-dimensional.
Otras demostraciones del teorema de clasificacion de superficies compactas en
R2, utilizan una herramienta algebraica que comprende el uso del grupo fun-
damental y el Teorema de Seifert-Van Kampen.
3
CAPITULO 1
DEFINICION DEL PROBLEMA
1.1 Formulacion del problema
Estudiar a detalle el teorema de clasificacion de superficies compactas en R2
cuyo enunciado dice que: Toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera,
a una suma conexa de toros, o a una suma conexa de planos proyectivos.
1.2 Justificacion del problema
El problema de clasificacion de superficies compactas en R2 ha sido objeto
de estudio desde mediados del siglo XIX, por algunos matematicos que in-
tentaron dar una demostracion completa y rigurosa de este hecho. Mas pre-
cisamente, August Mobius en 1861 propuso una primera aproximacion a la
demostracion, considerada ası puesto que carecıa de herramientas tecnicas y
hasta de la definicion de superficie abstracta. Tuvo que pasar alrededor de
60 anos hasta que Brahana [1] en 1921 expuso una demostracion rigurosa uti-
lizando el supuesto que las superficies son triangulables. Finalmente, en 1925
T. Rado [10] demostro la parte restante del teorema probando que toda super-
ficie compacta es triangulable. El teorema de clasificacion de superficies com-
pactas en R2 clasifica superficies orientables o no orientables, y de cualquier
genero (numero de agujeros en la superficie). Un resultado similar en R3 es la
Conjetura de Poincare (Teorema de Poincare-Perelman) probada en 2002 por
Grigori Perelman, dicho resultado estudia variedades 3-dimensionales simple-
mente conexas (sin agujeros). Por lo anterior es conveniente exponer un estudio
detallado puesto que algunos escritos no dan todos los detalles o se trabaja con
4
otras tecnicas.
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo General
Demostrar el teorema de clasificacion de superficies compactas en R2 de manera
detallada mediante el uso de herramientas topologicas adquiridas en un curso
basico de topologıa.
1.3.2 Objetivos Especıficos
a) Probar que toda superficie compacta es triangulable.
b) Mostrar que si Tm y Pn es la suma conexa de m toros y n planos proyec-
tivos respectivamente, entonces las superficies S2, T1, T2,..., P1, P2,... son
topologicamente distintas.
5
CAPITULO 2
PRELIMINARES TOPOLOGICOS
En el presente capıtulo, se introduce brevemente la nocion de espacios conexos.
Ademas, se desarrolla la teorıa de topologıa cociente vista en Munkres [9] y se
demuestra a detalle algunos resultados que seran utilizados mas adelante.
A lo largo del presente trabajo se usa la siguiente notacion; Z+ = {1, 2, ...},
para n ∈ Z+, Rn es el conjunto de todas las n-uplas (x1, x2, ..., xn) de numeros
reales. Si x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn entonces considere la norma euclidiana para
Rn definida por,
|x| =√x21 + x22 + ...+ x2n.
Se define los siguientes subconjuntos de Rn, para todo n > 0;
En = {x ∈ Rn | |x| ≤ 1},
Un = {x ∈ Rn | |x| < 1},
Sn−1 = {x ∈ Rn | |x| = 1}.
Estos conjuntos se denominan, bola o disco cerrado n-dimensional, bola o disco
abierto n-dimensional, y esfera (n-1)-dimensional, respectivamente.
Un espacio topologico (X, τ) es un par, donde X es un conjunto y τ es una
topologıa en X. A menudo se considera como espacio topologico X, dejando
sobreentendida la topologıa τ .
6
2.1 Espacios conexos
Definicion 1. Sea X un espacio topologico. X se dice disconexo si existen dos
abiertos no vacıos y disjuntos U, V tal que,
X = U ∪ V.
En caso contrario se dice que X es conexo.
Sea X un espacio topologico, Y ⊂ X. Y se dice que es conexo, si es conexo
con la topologıa relativa.
Definicion 2. Sea X un espacio topologico. Una componente conexa A de X es
un subconjunto conexo que no es un subconjunto propio de ningun subconjunto
conexo de X.
Definicion 3. Sea I = [0, 1] ⊂ R, X un espacio topologico. Una trayectoria de
un punto a ∈ X hasta un punto b ∈ X es una funcion continua f : I −→ X
tal que f(0) = a y f(1) = b.
Definicion 4. Sea X un espacio topologico, B un subconjunto de X. Entonces,
B es un conjunto arco-conexo, si ∀a, b ∈ B existe una trayectoria f : I −→ X
de a en b que esta contenida en B, es decir f(I) ⊂ B.
Proposicion 1. Si B es un conjunto arco-conexo entonces B es conexo.
El recıproco de la proposicion 1, no siempre es verdadero pero se tiene el si-
guiente resultado.
Teorema 1. [7] Un subconjunto abierto y conexo del plano R2 es arco-conexo.
Definicion 5. Sea X un espacio topologico. Sea x ∈ X entonces la componente
arco-conexa de x, es el mayor subconjunto arco-conexo que contiene a x.
Las componentes arco-conexas estan incluidas en las componentes conexas.
7
2.2 Topologıa cociente
Definicion 6. Sean X, Y espacios topologicos. Sea p : X −→ Y una apli-
cacion sobreyectiva. La aplicacion p es una aplicacion cociente si cumple que
para U ⊂ Y , U es abierto en Y si, y solo si, p−1(U) es abierto en X; o de
manera equivalente, U es cerrado en Y si, y solo si, p−1(U) es cerrado en X.
La anterior definicion indica que la aplicacion p debe ser continua y ademas
proporciona una idea de como es la topologıa en el conjunto Y . Existen otras
definiciones de aplicacion cociente, para ello se introduce algunos conceptos
previos.
Definicion 7. Sea p : X −→ Y . Sea C ⊂ X, C se dice un conjunto satu-
rado respecto a la aplicacion p, si es igual a la imagen inversa completa de un
subconjunto de Y .
Por tanto, se dice que p es una aplicacion cociente si p es continua y p asocia
conjuntos abiertos saturados de X con conjuntos abiertos de Y (o conjuntos
cerrados saturados de X con conjuntos cerrados de Y ).
Por otro lado existen aplicaciones utiles como lo son: las aplicaciones abiertas
y cerradas.
Definicion 8. Sean X, Y espacios topologicos. Sea f : X −→ Y una apli-
cacion. Se dice que f es una aplicacion abierta si para cada conjunto abierto
U de X, f(U) es abierto en Y . Se dice que f es una aplicacion cerrada si para
cada conjunto cerrado G de X, f(G) es cerrado en Y .
Proposicion 2. Si p : X −→ Y es una aplicacion continua, sobreyectiva y
abierta (o a su vez cerrada) entonces p es una aplicacion cociente.
Demostracion. Sea V ⊂ Y , suponga p−1(V ) ⊂ X abierto. Luego, como
p (p−1(V )) ⊂ V y por ser p aplicacion sobreyectiva implica que V = p (p−1(V ))
ademas puesto que p es aplicacion abierta entonces V es abierto en Y .
La demostracion en el caso p es cerrada, se utiliza la misma idea.
A continuacion, se define el concepto de topologıa cociente.
8
Definicion 9. Sea X un espacio topologico. A un conjunto y p : X −→ A una
aplicacion sobreyectiva, entonces existe exactamente una topologıa τ definida
por:
τ = {U ⊂ A | p−1(U) es abierto en X},
sobre A tal que p es una aplicacion cociente. Y se denomina topologıa cociente
inducida por p.
Definicion 10. [9] Sea X un espacio topologico. Sea X∗ una particion de X
en subconjuntos disjuntos cuya union es X. Sea p : X −→ X∗, una aplicacion
sobreyectiva que lleva a cada punto de X al elemento de X∗ que lo contiene.
En la topologıa cociente inducida por p, el espacio X∗ se denomina espacio
cociente de X.
Si tenemos X∗, podemos definir una relacion de equivalencia en X tal que los
elementos de X∗ son clases de equivalencia. La topologıa de X∗ esta formada
por una coleccion de clases de equivalencias cuya union es un conjunto abierto
de X.
Observacion 1. Sea p : X −→ Y una aplicacion cociente. A un subespa-
cio de X entonces la restriccion de p definida por, q : A −→ p(A) no es
necesariamente una aplicacion cociente.
Demostracion. Sea X el subespacio [−1, 0] ∪ [2, 3] de R y sea Y el subespacio
[−1, 1] de R, p : X −→ Y definida por,
p(x) =
x , para x ∈ [−1, 0],
x− 2 , para x ∈ [2, 3].
Note que p es una aplicacion continua, sobreyectiva y cerrada por tanto p es
una aplicacion cociente. Se considera como A el subespacio [−1, 0)∪ [2, 3] de X
y se define q : A −→ Y , entonces q es una aplicacion continua y sobreyectiva
pero no es aplicacion cociente pues el conjunto [2, 3] es abierto en A y su imagen
al aplicar q no es abierta en Y .
9
La anterior proposicion muestra que la propiedad de ser una aplicacion cociente
no se hereda a subespacios cualesquiera.
Lema 1. Sean X, Y espacios topologicos. Sea p : X −→ Y una aplicacion,
A subespacio saturado de X con respecto a p. Sea q : A −→ p(A) obtenida al
restringir p. Entonces se cumple para V ⊂ p(A), U ⊂ X,
i) q−1(V ) = p−1(V ),
ii) p(U ∩ A) = p(U) ∩ p(A).
Demostracion. i). A es saturado con respecto a p, entonces p−1(p(A)) = A y
dado que V ⊂ p(A), se tiene p−1(V ) ⊂ A.
Se va a mostrar que p−1(V ) ⊂ q−1(V ).
Sea x ∈ p−1(V ) ⊂ A, entonces p(x) ∈ V y puesto que p(x) = q(x), ∀x ∈ A, se
tiene que q(x) ∈ V por lo tanto x ∈ q−1(V ).
De la misma forma se demuestra que q−1(V ) ⊂ p−1(V ).
ii). Utilizando propiedades de la imagen directa de dos conjuntos cualesquiera
se tiene que para U,A ⊂ X
p(U ∩ A) ⊂ p(U) ∩ p(A).
Falta mostrar que p(U) ∩ p(A) ⊂ p(U ∩ A).
Sea y ∈ p(U) ∩ p(A), es decir y ∈ p(U) ∧ y ∈ p(A), por tanto existen u ∈ U
y a ∈ A tal que p(u) = y = p(a). Por otro lado A es saturado, entonces
A contiene al conjunto formado por p−1(y), ası u ∈ A y u ∈ U por lo tanto
u ∈ U ∩ A, luego p(u) = y ∈ p(U ∩ A).
Teorema 2. [9] Sean X, Y espacios topologicos. Sea p : X −→ Y una apli-
cacion cociente, A subespacio saturado de X con respecto a p. Sea q : A −→
p(A) obtenida al restringir p.
1. Si A es abierto o cerrado en X, entonces q es una aplicacion cociente.
10
2. Si p es una aplicacion abierta o cerrada, entonces q es una aplicacion
cociente.
Demostracion. 1. Si A es abierto en X, entonces q es una aplicacion cociente.
Dado V ⊂ p(A), se supone q−1(V ) es abierto en A y se muestra que V es
abierto en p(A).
Por hipotesis A es abierto en X y q−1(V ) es abierto en A, entonces q−1(V ) es
abierto en X. Utilizando el lema 1, literal i) se sigue q−1(V ) = p−1(V ), ası
p−1(V ) es abierto en X. Dado que p es una aplicacion cociente se tiene que
V ⊂ p(A) es abierto en Y , por consiguiente V es abierto en p(A).
2. Si p es una aplicacion abierta, entonces q es una aplicacion cociente.
Se utiliza la misma idea que en la anterior parte, es decir dado V ⊂ p(A), se
supone que q−1(V ) es abierto en A y se muestra que V es abierto en p(A).
En efecto, q−1(V ) es abierto en A, y por el lema 1, literal i), q−1(V ) = p−1(V )
entonces p−1(V ) es abierto en A. Por lo tanto existe U abierto de X tal que
p−1(V ) = U ∩ A, y por el lema 1, literal ii) se cumple
V = p(p−1(V )) = p(U ∩ A) = p(U) ∩ p(A).
Por hipotesis p es una aplicacion abierta, entonces p(U) es abierto en Y. Por
lo tanto V es abierto en p(A).
Los casos A es cerrado en X entonces q es una aplicacion cociente, y p es una
aplicacion cerrada entonces q es una aplicacion cociente. Se realiza de igual
manera solo intercambiando la palabra abierto por cerrado.
Proposicion 3. Sean p : X −→ Y , q : Y −→ Z aplicaciones cocientes
entonces q ◦ p : X −→ Z es una aplicacion cociente.
Demostracion. Dado W ⊂ Z, afirmamos (q ◦ p)−1(W ) es abierto en X, y se
muestra que W es abierto en Z.
11
Puesto que (q◦p)−1(W ) = p−1(q−1(W )) es abierto en X y p aplicacion cociente
entonces q−1(W ) es abierto en Y , por otro lado q tambien es aplicacion cociente
entonces W es abierto en Z.
A continuacion se presenta una forma para construir funciones continuas sobre
un espacio cociente.
Teorema 3. [9] Sea p : X −→ Y una aplicacion cociente. Sea Z un espacio y
sea g : X −→ Z una aplicacion que es constante sobre cada conjunto p−1({y}),
para y ∈ Y . Entonces g induce una aplicacion f : Y −→ Z tal que f ◦ p = g.
La aplicacion inducida f es continua si, y solo si, g es continua; f es una
aplicacion cociente si, y solo si, g es una aplicacion cociente.
Demostracion. En efecto, puesto que g es una aplicacion constante sobre cada
conjunto p−1({y}), para y ∈ Y entonces el conjunto g (p−1({y})) es un conjunto
formado por un punto en Z, llamemos f(y) a este punto. Por tanto con ayuda
de g, se induce la aplicacion f definida por:
f : Y −→ Z, tal que para cada x ∈ X, f(p(x)) = g(x).
a) Se muestra que f es continua si, y solo si, g es continua.
En efecto, si f es continua entonces g = f ◦ p, es continua.
Para demostrar el reciproco suponemos que g es continua, es decir dado un
abierto W en Z, g−1(W ) es abierto en X. Por otro lado, note que g−1(W ) =
(f ◦ p)−1(W ) = p−1(f−1(W )), que es abierto en X.
Puesto que p es una aplicacion cociente, entonces f−1(W ) es abierto en Y , por
lo tanto f es continua.
b) Ahora, se muestra que f es una aplicacion cociente si, y solo si, g es una
aplicacion cociente.
Se supone f es una aplicacion cociente, entonces por la proposicion 3 se concluye
que g = f ◦ p es aplicacion cociente.
Recıprocamente, afirmamos g es una aplicacion cociente y puesto que g = f ◦p,
12
entonces f es una aplicacion sobreyectiva.
Sea W ⊂ Z, si f−1(W ) es abierto en Y vamos a mostrar que W es abierto en
Z.
En efecto, si p es una aplicacion cociente entonces p es una aplicacion continua
por tanto p−1(f−1(W )) es abierto en X, y dado que g−1(W ) = p−1(f−1(W )), se
concluye g−1(W ) es abierto en X y como g es una aplicacion cociente entonces
W es abierto en Z, por lo tanto f es aplicacion cociente.
Corolario 1. [9] Sea g : X −→ Z una aplicacion continua sobreyectiva. Sea
X∗ la siguiente coleccion de subconjuntos de X,
X∗ = {g−1({z}) | z ∈ Z}.
Dotemos a X∗ de la topologıa cociente.
a) La aplicacion g induce una aplicacion continua biyectiva f : X∗ −→ Z
que es un homeomorfismo si, solo si, g es una aplicacion cociente.
b) Si Z es de Hausdorff, tambien lo es X∗.
Demostracion. Por el teorema 3, tenemos que la aplicacion f es continua y
biyectiva.
a) Suponga que f es un homeomorfismo entonces f es una aplicacion abierta,
continua y sobreyectiva por tanto f es una aplicacion cociente, ademas p es
aplicacion cociente por la proposicion 3, luego g = f ◦ p es aplicacion cociente.
Recıprocamente, se tiene g es una aplicacion cociente y por teorema 3 entonces
f es una aplicacion cociente que ademas es biyectiva por lo tanto es un homeo-
morfismo.
b) Si Z es de Hausdorff se muestra que X∗ es de Hausdorff.
Sean x, y ∈ X∗, x 6= y como f es inyectiva entonces f(x) 6= f(y), por hipotesis
Z es de Hausdorff luego existen U, V abiertos de Z tal que U ∩ V = ∅ y
f(x) ∈ U , f(y) ∈ V luego se tiene
13
f−1(U) ∩ f−1(V ) = f−1(U ∩ V ) = f−1(∅) = ∅,
con x ∈ f−1(U), y ∈ f−1(V ) por lo tanto X∗ es de Hausdorff.
Proposicion 4. [4] Sea X un espacio topologico de Hausdorff. Sea Y el espacio
cociente del espacio topologico X determinado por la aplicacion sobreyectiva
f : X −→ Y . Si f es una aplicacion cerrada entonces Y es de Hausdorff.
Demostracion. En efecto, puesto que X es un espacio de Hausdorff luego los
puntos deX son conjuntos cerrados y como f es una aplicacion cerrada entonces
los puntos de Y que son imagenes de puntos de X tambien son cerrados. Ahora,
para y1, y2 ∈ Y , y1 6= y2 y dado que f es aplicacion cociente, los conjuntos
f−1(y1) y f−1(y2) son subconjuntos cerrados disjuntos de X. Ademas, puesto
que X es de Hausdorff para cada punto x ∈ f−1(y1) y cada punto a ∈ f−1(y2)
existen un par de conjuntos abiertos disjuntos Ux,a y Vx,a tales que x ∈ Ux,a y
a ∈ Vx,a.
Por otro lado ya que f−1(y2) es cerrado en X entonces f−1(y2) es compacto por
lo tanto, existe un subrecubrimiento finito de {Vx,a | a ∈ f−1(y2)} que cubre a
f−1(y2), sea {Vx,a | a ∈ A} con A un subconjunto finito de f−1(y2). Se define
los siguientes conjuntos abiertos disjuntos
Ux =⋂a∈A
Ux,a, Vx =⋃a∈A
Vx,a,
tal que x ∈ Ux y f−1(y2) ⊆ Vx. Note que, {Ux | x ∈ f−1(y1)} es un recubri-
miento de f−1(y1), como f−1(y1) es cerrado entonces es compacto por lo tanto
existe un subrecubrimiento finito {Ux | x ∈ B}, donde B es un conjunto finito
de f−1(y1). Por tanto los conjuntos
U =⋃x∈B
Ux, V =⋂x∈B
Vx,
son abiertos disjuntos tales que f−1(y1) ⊆ U y f−1(y2) ⊆ V . Como f es
cerrada, f(X − U) y f(X − V ) son subconjuntos cerrados de Y por lo tanto
14
W1 = Y − f(X − U) y W2 = Y − f(X − V ) son subconjuntos abiertos de Y
tales que y1 ∈ W1, y2 ∈ W2.
Por ultimo, se debe probar que W1 ∩W2 = ∅, para ello se supone lo contrario
es decir existe y ∈ W1 ∩W2, luego y /∈ f(X − U) y, y /∈ f(X − V ). Lo que
implica que f−1(y) ∩ (X − U) = ∅ y, f−1(y) ∩ (X − V ) = ∅ por lo tanto
f−1(y) ⊆ U ∩ V = ∅ que no es posible. Ası, se tiene que W1 ∩W2 = ∅.
15
CAPITULO 3
SUPERFICIES
En este capıtulo se estudia, definicion y ejemplos de variedades n-dimensionales
o tambien conocidas como variedades topologicas. Se define el concepto de
superficie, se estudia las sumas conexas de superficies compactas y se demuestra
que toda superficie compacta es triangulable utilizando teorıa de grafos.
3.1 Variedades n-dimensionales
Definicion 11. Sea n ∈ Z+. Sea X un espacio topologico. X se dice una
variedad n-dimensional, si X cumple con el axioma de separacion de Hausdorff,
y ademas ∀x ∈ X, ∃Vx, x ∈ Vx entorno abierto homeomorfo a la bola abierta
n-dimensional, Un = {x ∈ Rn | |x| < 1}.
Ejemplo 1. Rn es una variedad n-dimensional.
Demostracion. En efecto, el resultado se sigue puesto que Rn es Hausdorff y
ademas homeomorfo a cualquier abierto de Rn, en particular al abierto Un [6].
Es decir, al definir la siguiente aplicacion
f : Rn −→ Un
x 7−→ f(x) =x
|x|+ 1.
Se tiene que f es un homeomorfismo.
Ejemplo 2. Sn = {x ∈ Rn+1 | |x| = 1}, es una variedad n-dimensional.
Demostracion. Note que Sn utilizando la topologıa heredada de Rn+1 es un es-
pacio de Hausdorff, Ademas, sea p ∈ Sn sin perdida de generalidad suponemos
16
p = (0, 0, ..., 1). Considere la proyeccion estereografica definida por,
f : Sn − {p} −→ Rn
x 7−→ f(x) =
(x1
1− xn+1
, ...,xn
1− xn+1
).
Se observa que f esta bien definida ∀x ∈ Sn − {p}, ya que x 6= p entonces
xn+1 6= 1.
A continuacion, se muestra que f es un homeomorfismo.
· Se va a mostrar f es inyectiva.
Sean x, x ∈ Sn − {p}. Si f(x) = f(x) entonces,
(x1
1− xn+1
, ...,xn
1− xn+1
)=
(x1
1− xn+1
, ...,xn
1− xn+1
).
Ası, se sigue,
xi1− xn+1
=xi
1− xn+1
=⇒ 1− xn+1
1− xn+1
=xixi,
=⇒ xi =1− xn+1
1− xn+1
xi, ∀i = 1, ...n. (3.1)
Por otro lado como x ∈ Sn − {p}, se tiene
n+1∑i=1
x2i = 1 =⇒n∑i=1
x2i + x2n+1 = 1 =⇒n∑i=1
x2i = 1− x2n+1. (3.2)
Utilizando el mismo razonamiento para x ∈ Sn − {p},
n∑i=1
x2i = 1− x2n+1. (3.3)
En (3.3), reemplazando (3.1) y (3.2)
n∑i=1
x2i = 1− x2n+1 =⇒n∑i=1
(1− xn+1
1− xn+1
xi
)2
= 1− x2n+1,
17
=⇒(
1− xn+1
1− xn+1
)2 n∑i=1
x2i = 1− x2n+1,
=⇒(
1− xn+1
1− xn+1
)2
(1− x2n+1) = 1− x2n+1,
=⇒ 1− xn+1
1− xn+1
(1 + xn+1) = 1 + xn+1,
=⇒ xn+1 = xn+1.
Por tanto de (3.1), tenemos que xi = xi, ∀i = 1, ...n. Entonces x = x.
· Se muestra que f es sobreyectiva.
Por la definicion de f , para y = (y1, ..., yn) ∈ Rn y x ∈ Sn − {p}, se sigue
(y1, ..., yn) =
(x1
1− xn+1
, ...,xn
1− xn+1
)⇒ xi = yi (1−xn+1),∀i = 1, ...n. (3.4)
En (3.2), reemplazando (3.4)
n∑i=1
x2i = 1− x2n+1 =⇒n∑i=1
y2i (1− xn+1)2 = 1− x2n+1,
=⇒ (1− xn+1)2 |y|2 = 1− x2n+1,
=⇒ (1− |y|2)x2n+1 − 2|y|2 xn+1 + |y|2 − 1 = 0,
=⇒
xn+1 = 1 (↘↙),
xn+1 =|y|2 − 1
|y|2 + 1.
(3.5)
Sustituyendo (3.5), en (3.4)
xi = yi (1− xn+1) =⇒ xi = yi
(1− |y|
2 − 1
|y|2 + 1
),
=⇒ xi = yi
(2
|y|2 + 1
), ∀i = 1, ...n.
Por lo tanto, para cualquier y ∈ Rn existe x =2
|y|2 + 1y, talque f(x) = y.
· Se prueba f es continua.
18
Puesto que f : Sn − {p} −→ Rn, para demostrar que f es continua basta
mostrar que cada funcion coordenada fi = πi o f : Sn−{p} −→ R, ∀i = 1, ..., n
es continua [6].
Por la definicion de f , se tiene que
fi = πi o f : Sn − {p} −→ R
x 7−→ fi(x) =
(xi
1− xn+1
), ∀i = 1, ..., n.
Note que para cada i = 1, ..., n. fi es continua. Por tanto f es continua.
· Finalmente, se prueba que f−1 es continua.
Definimos,
f−1 : Rn −→ Sn − {p}
y 7−→ f−1(y) =
(2yi|y|2 + 1
, ...,2yn|y|2 + 1
,|y|2 − 1
|y|2 + 1
).
Utilizando el mismo procedimiento que antes se tiene que f−1 es continua.
Por lo tanto, se tiene que Sn − {p} y Rn son homeomorfos. Luego, si se elige
cualquier punto q ∈ Sn − {p} se tiene que Sn − {p} es un entorno abierto de
q homeomorfo a Rn. Ahora, si se elige el punto p, se puede repetir el mismo
proceso seleccionando q ∈ Sn, q 6= p tal que p ∈ Sn − {q} que es un entorno
abierto de p homeomorfo a Rn. En ambos casos el resultado se sigue ya que
Rn es homeomorfo a Un.
Ejemplo 3. Si Mn es una variedad n-dimensional, cualquier abierto de Mn
es tambien una variedad n-dimensional.
Demostracion. Sea A un abierto cualquiera de Mn. Como Mn es una variedad
n-dimensional luego Mn es un espacio de Hausdorff por lo tanto A es un espacio
de Hausdorff. Sea x ∈ A cualquiera, puesto que A ⊂ Mn, se tiene x posee un
entorno abierto Vx homeomorfo a Un. Sea f : Vx −→ Un el homeomorfismo,
se define Wx = A ∩ Vx que es abierto en Vx y entorno de x, entonces f(Wx) es
19
abierto en Un y f(x) ∈ f(Wx). Ası, existe una bola abierta B en Rn tal que
f(x) ∈ B ⊂ f(Wx), luego x ∈ f−1(B) por ser f continua se tiene que f−1(B)
es un entorno abierto de x en Wx entonces f−1(B) es un abierto en A. Ademas,
f := f |f−1(B) : f−1(B) −→ B es un homeomorfismo. Note que en Rn la bola
abierta B es homeomorfo a Un, se define g : B −→ Un al homeomorfismo.
Por lo tanto, el homeomorfismo deseado es ϕ := g ◦ f : f−1(B) −→ Un.
Ejemplo 4. Si M es una variedad m-dimensional y N es una variedad n-
dimensional, el espacio producto M ×N es una variedad (m+n)-dimensional.
Demostracion. Sea (x, y) ∈ M × N , entonces x ∈ M , y ∈ N . Puesto que, M
es una variedad m-dimensional es un espacio de Hausdorff y para x ∈M , ∃Vx,
x ∈ Vx entorno abierto de x, homeomorfo a Um. Por otro lado, como N es una
variedad n-dimensional es un espacio de Hausdorff y para y ∈ N , ∃Wy, y ∈ Wy
entorno abierto de y, homeomorfo a Un. Ademas, Rm × Rn es homeomorfo a
Rm+n. Ası, se tiene que para Um, Un
Um × Un ∼= Rm × Rn ∼= Rm+n ∼= Um+n.
Por tanto, Um × Un es homeomorfo a Um+n. Note que el producto de homeo-
morfismos es un homeomorfismo [5], y se tiene que
Vx ×Wy∼= Um × Un ∼= Um+n,
por lo tanto Vx ×Wy entorno abierto de (x, y) es homeomorfo a Um+n. Adi-
cionalmente, M,N son espacios de Hausdorff entonces M ×N es de Hausdorff
por lo tanto M ×N es una variedad (m+n)-dimensional.
Ejemplo 5. El Toro n-dimensional se define como el producto de n circunfe-
rencias:
T n = S1 × ...× S1︸ ︷︷ ︸n−veces
.
Demostracion. La prueba se realiza utilizando induccion.
Si k = 1, entonces T 1 = S1 es una variedad 1-dimensional por el ejemplo 2.
20
Si k = 2, entonces T 2 = S1 × S1 es variedad 2-dimensional por el ejemplo 4.
Se supone el resultado satisface para k = n, entonces T n = S1 × ...× S1︸ ︷︷ ︸n−veces
, es
una variedad n-dimensional y se prueba para k = n+ 1, se tiene que
T n+1 = S1 × ...× S1︸ ︷︷ ︸(n+1)−veces
,
= S1 × ...× S1︸ ︷︷ ︸n−veces
×S1,
= T n × T 1.
Utilizando la hipotesis de induccion y por el ejemplo 4 se tiene T n+1 es una
variedad (n+1)-dimensional.
Ejemplo 6. El espacio proyectivo real P n(R) se define por:
P n(R) = {{x,−x} : x ∈ Sn} .
Es el espacio cociente que resulta de identificar cada par de puntos diametral-
mente opuestos en Sn, es una variedad n-dimensional.
Demostracion. El plano proyectivo P n(R) puede ser visto como la accion del
grupo de orden 2, Z2 = {1,−1} sobre la esfera n-dimensional Sn. Sea π la
proyeccion canonica π : Sn −→ P n(R) = Sn/Z2, tal que para cada x ∈ Sn
se aplica en {x,−x} ∈ P n(R). Como π es sobreyectiva y Sn es un espacio
topologico se tiene que P n(R) tiene la topologıa cociente inducida por π, para
la cual π es una aplicacion cociente. Por otro lado, ya que π aplicacion cociente
entonces π es continua y sobreyectiva. Se necesita probar que π es aplicacion
abierta para eso se sigue la idea presentada en [4].
Si Z2, actua por la izquierda sobre Sn por ±1 · x = ±x, se tiene que Z2 actua
sobre Sn por biyecciones. Ademas, se tiene las aplicaciones
θ1 : Sn −→ Sn
x 7−→ 1 · x = x.
21
θ−1 : Sn −→ Sn
x 7−→ −1 · x = −x.
Donde θ1 y θ−1 son homeomorfismos en Sn, por lo tanto son abiertas.
Ahora, para cualquier A abierto en Sn, se analiza
π−1 (π(A)) = {x ∈ Sn : θ1A}︸ ︷︷ ︸abierto
∪{x ∈ Sn : θ−1A}︸ ︷︷ ︸abierto
.
Ası, se tiene que π−1 (π(A)) es abierto luego por ser π una aplicacion cociente
se sigue que π(A) es abierto en P n(R) por lo tanto π es una aplicacion abierta.
Por otro lado Sn es una variedad n-dimensional luego para x ∈ Sn, existe un
entorno Vx :={y ∈ Rn : |x− y| <
√2}
abierto de x que es homeomorfo a Un,
se designa como f : Vx −→ Un al homeomorfismo.
Como Vx es abierto y π aplicacion abierta entonces π(Vx) es un entorno abierto
de {x,−x} ∈ P n(R). Ademas, si se considera U ⊂ V x, x ∈ U una region
abierta suficientemente pequena de Sn, tal que π := π|U : U −→ π(U) es
biyectiva entonces se tiene que π es un homeomorfismo. Por lo tanto, π(U)
entorno abierto de {x,−x} ∈ P n(R) es homeomorfo a Un mediante el homeo-
morfismo g = f ◦ π−1 : π(U) −→ Un.
Ahora se muestra que P n(R) es de Hausdorff. Sea C un subconjunto cerrado
de Sn y θ1, θ−1 son homeomorfismos en Sn por lo tanto cerradas luego se tiene
π−1 (π(C)) = {x ∈ Sn : θ1C}︸ ︷︷ ︸cerrado
∪{x ∈ Sn : θ−1C}︸ ︷︷ ︸cerrado
.
Por lo tanto π−1 (π(C)) es cerrado y por ser π aplicacion cociente se tiene
que π(C) es cerrado lo que implica que π es una aplicacion cerrada. Por la
proposicion 4 se sigue que P n(R) es de Hausdorff.
Una variedad n-dimensional puede ser compacta, o no compacta, conexa o no
conexa pero si cumple dos propiedades: es localmente compacta y localmente
arco-conexa. Ademas, no se exige en la definicion que sea un espacio segundo
22
contable pero en este trabajo se va a asumir que todas las variedades cumplen
este hecho.
3.2 Variedades orientables y no orientables
Para analizar la orientabilidad en una variedad n-dimensional, primero se debe
dotar de una orientacion al espacio Euclidiano Rn, o a una pequena region
del mismo. Para ello es necesario distinguir entre dos clases de sistemas de
coordenadas y analizar el valor del determinante de la matriz cambio de base
asociada a los dos sistemas de coordenadas.
Si el determinante es un valor positivo, entonces se dice que los dos sistemas de
coordenadas en Rn son de la misma clase. Ası, por propiedades de determinante
la relacion ser de la misma clase es una relacion de equivalencia entre sistemas
de Rn que genera dos clases de equivalencia. Elegir una orientacion en Rn, es
elegir una de estas dos clases de equivalencia.
Una variedad X n-dimensional se dice orientable si para todo camino cerrado
en X preserva la orientacion, es decir al recorrer a lo largo del camino con una
orientacion cualquiera se regresa al punto de partida con la misma orientacion.
X se dice no orientable si por lo menos existe un camino que no preserva la
orientacion.
Un ejemplo de variedad 2-dimensional no orientable es la banda de Mobius.
Ademas, toda variedad es no orientable si posee un subconjunto homeomorfo
a la banda de Mobius.
Observacion 2. La banda de Mobius se construye de la siguiente manera, sea
X un espacio topologico definido como sigue:
X = {(x, y) ∈ R2 : −10 ≤ x ≤ 10,−1 < y < 1}.
Entonces se forma el espacio cociente de X identificando los puntos (10, y) y
(−10,−y) con −1 < y < 1 (figura 3.1).
23
Figura 3.1: Banda de Mobius.
Note que en la figura 3.1, se elige un punto p y una orientacion inicial A luego
si se comienza a recorrer por el camino marcado hasta dar una vuelta completa
al regresar al punto inicial p se obtiene una orientacion B contraria a la elegida
al inicio.
Como ejemplos de variedades orientables se tiene al espacio euclidiano Rn, la
esfera Sn, el toro T n. Por otro lado como variedades no orientables estan el
plano proyectivo P n(R) y la generalizacion en dimension n de la banda de
Mobius que resulta del producto de una banda de Mobius ordinaria y Un−2.
Observacion 3. A continuacion este trabajo se va a centrar especıficamente
en variedades 2-dimensional compactas.
3.3 Representacion poligonal de una superficie
Definicion 12. Una superficie es una variedad 2-dimensional conexa.
Algunos ejemplos de superficies son: la esfera S2, el toro T 2, el plano proyectivo
real P 2(R) el cual no puede ser inmerso en R3. Estas tres superficies tiene la
propiedad de ser compactas.
Se puede representar las superficies compactas antes mencionadas con ayuda de
polıgonos con un numero par de lados que tienen las siguientes caracterısticas:
1) Cada lado del polıgono tienen asociado una letra y una flecha.
24
2) Si dos lados del polıgono tienen la misma letra, indica que los lados se
pegan teniendo en cuenta el sentido de la flecha.
3) En el polıgono aparece cada letra dos veces.
Al pegar dos lados de un polıgono se genera un espacio cociente. Un polıgono
puede ser identificado por una palabra que consta de una combinacion de
letras asociadas a los lados del polıgono. Cada letra posee exponente +1 o −1
dependiendo si su flecha esta a favor o en contra del sentido elegido al recorrer
el borde del polıgono. Para escribir la palabra se puede comenzar en cualquier
vertice y elegir el sentido que mas convenga. A lo largo del presente trabajo el
sentido elegido como positivo en todas las figuras sera el de las agujas del reloj
salvo que se mencione lo contrario. Por otro lado, los vertices del polıgono se
describen enumerandolos. Si dos vertices tienen el mismo numero indica que
los vertices se pegan, es posible que todos los vertices del polıgono se peguen
en uno solo o el caso contrario, es decir que ningun vertice se pegue con otro.
La esfera S2 se representa como espacio cociente de un polıgono de dos lados,
(figura 3.2).
Figura 3.2: Identificacion de S2, aa−1.
Ademas, es posible representar la esfera S2 como el espacio cociente de un
cuadrado, (figura 3.3).
Figura 3.3: Identificacion de S2 por un cuadrado, aa−1bb−1.
25
El toro T 2, se lo puede describir como cualquier espacio topologico homeomorfo
al espacio cociente de un cuadrado, (figura 3.4).
Figura 3.4: Identificacion del toro, aba−1b−1.
Se dice plano proyectivo real P 2(R) al espacio cociente de la esfera S2 obtenida
por identificacion de cada par de puntos diametralmente opuestos. Tambien se
representa como espacio cociente de un cuadrado, (figura 3.5).
Figura 3.5: Identificacion de P 2(R) mediante un cuadrado, abab.
Existe otra manera de representar a un plano proyectivo real con ayuda de un
polıgono de dos lados (figura 3.6).
Figura 3.6: Identificacion de P 2(R) utilizando un polıgono de dos lados, aa.
Por ultimo, pero no menos importante tenemos la botella de Klein que se puede
obtener como el espacio cociente del cuadrado, (figura 3.7).
26
Figura 3.7: Identificacion de la Botella de Klein, aba−1b.
La representacion poligonal anterior para cada superficie ayuda a comprender
graficamente el procedimiento de sumas conexas de superficies.
3.4 Sumas conexas
Anteriormente se obtuvo una representacion canonica para la esfera S2, el toro
T 2, el plano proyectivo real P 2(R), ahora es posible generar varios ejemplos
de superficies compactas con ayuda de las sumas conexas, donde cada nueva
superficie tiene su representacion canonica correspondiente.
Definicion 13. [4] Sean S1 y S2 dos superficies compactas, D1 ⊂ S1 y D2 ⊂ S2
dos subconjuntos homeomorfos a E2. Sean h1 : D1 −→ E2, h2 : D2 −→ E2
los homeomorfismos. Entonces, la suma conexa S1]S2 se define por
[(S1 \
◦D1) ∪ (S2 \
◦D2)
]/ ∼
donde ∼ es una relacion de equivalencia que no es trivial solo en ∂(S1 \◦D1) ∪
∂(S2 \◦D2) = ∂D1 ∪ ∂D2 y esta dada por x ∼ h−12 (h1(x)), ∀x ∈ ∂D1. Ademas,
topologicamente hablando S1]S2 no depende de D1 y D2 escogidos, ni de los
homeomorfismos h1, h2.
Proposicion 5. Sean S1, S2, S3 superficies compactas disjuntas, entonces se
cumple que:
1) Si S1 es la esfera S2, entonces S1]S2 es homeomorfo a S2, por lo tanto
S2 es el elemento neutro de la suma conexa.
27
2) S1]S2 = S2]S1, la suma conexa es conmutativa.
3) S1](S2]S3) = (S1]S2)]S3, la suma conexa es asociativa.
Demostracion. Sean Di ⊂ Si subconjuntos homeomorfos a E2. Se define S ′i :=
Si \◦Di y hi : Di −→ E2, para i = 1, 2, 3 sus respectivos homeomorfismos.
1). Si S1 es una esfera S2 entonces S ′1 es un espacio homeomorfo al disco E2.
S1]S2 es el espacio cociente de S ′1∪S ′2 con la relacion x ∼ h−12 (h1(x)), ∀x ∈ ∂D1.
Ademas, los puntos de S ′1 se identifican con los puntos de◦D2, intuitivamente
hablando todos los puntos del conjunto S ′1 cubren el agujero dejado por D2 ⊂ S2
en su totalidad. Por lo tanto se obtiene un espacio homeomorfo a S2.
2). Por definicion de suma conexa se tiene que, S1]S2 es el espacio cociente de
S ′1 ∪ S ′2 con la relacion x ∼ h−12 (h1(x)), ∀x ∈ ∂D1. Por otro lado, S2]S1 es el
espacio cociente de S ′2 ∪ S ′1 con la relacion y ∼ h−11 (h2(y)), ∀y ∈ ∂D2.
Se observa que al considerar S2]S1 cambia el orden en que se realiza la com-
posicion de los homeomorfismos, es decir cambia el orden de partida desde
donde se comienza a hacer la identificacion de los puntos. Por tanto se con-
cluye que, S1]S2 = S2]S1.
3). Se considera a S2 como la superficie que sirve de enlace entre S1 y S3.
Sea D4 ⊂ S2 un subconjunto homeomorfo a E2, tal que D2 ∩ D4 = ∅. Sea
h4 : D4 −→ E2 un homeomorfismo.
Se tiene que S2]S3 es el espacio cociente de (S2 \◦D4) ∪ S ′3 con la relacion
y ∼ h−13 (h4(y)), ∀y ∈ ∂D4, se designa como V a la nueva superficie. En-
tonces, S1](S2]S3) es el espacio cociente de S ′1 ∪[V \
◦D2
]con la relacion
x ∼ h−12 (h1(x)), ∀x ∈ ∂D1.
Ahora, S1]S2 es el espacio cociente de S ′1 ∪ S ′2 con la relacion x ∼ h−12 (h1(x)),
∀x ∈ ∂D1, se designa como W a la nueva superficie. Luego (S1]S2)]S3 es el
espacio cociente de (W \◦D4) ∪ S ′3 con la relacion y ∼ h−13 (h4(y)), ∀y ∈ ∂D4.
Al realizar S2]S3, se obtiene una nueva superficie con un agujero D2 luego al
realizar la suma conexa con S1 da como resultado una superficie sin agujeros.
28
Por otro lado, S1]S2 es una superficie con un agujero D4 y al sumar con S3
se obtiene la misma superficie que S1](S2]S3). Note que, el anterior proceso
indica el orden en que se pegan las superficies S1 y S3 a la superficie S2.
La suma conexa cumple con tener un elemento neutro, ser conmutativa y aso-
ciativa. Pero el conjunto de clases de homeomorfia de superficies compactas no
es un grupo con esta operacion ya que no existe inverso. Por lo que solo forma
un semigrupo.
Sı S1 y S2 son dos superficies orientables entonces S1]S2 es orientable, si al-
guna de las dos superficies no es orientable entonces S1]S2 es una superficie no
orientable.
Ejemplo 7. Considere S1 = S2 y S2 = T 2. Entonces se realiza la suma conexa
S2]T 2.
Figura 3.8: S2]T 2.
29
Demostracion. En la figura 3.8 se describe la suma conexa de S2]T 2, si S2 y
T 2 son considerados como subespacios de R3. Puesto que S1 = S2 entonces
por la proposicion 5, literal 1) se concluye que S2]T 2 es homeomorfo a T 2.
Por otro lado es posible realizar la suma conexa de S2 y T 2, utilizando la repre-
sentacion poligonal de cada superficie. Para ello se considera la representacion
poligonal de S2 (figura 3.2) y T 2 (figura 3.4). Primero se recorta un agujero
circular en cada polıgono y se designa como c1 y c2 al borde de cada agujero
(figura 3.9 (a)). Luego, se obtienen dos nuevos polıgonos que resultan de repre-
sentar los complementarios de cada agujero. Cada polıgono posee un lado que
se designa como c1 y c2 respectivamente (figura 3.9 (b)). Finalmente se pega el
lado c1 con el lado c2 y se designa como c, es decir se unen los polıgonos por los
lados c1 y c2 por lo tanto se obtiene un nuevo polıgono que es la suma conexa
de S2 y T 2 (figura 3.9 (c)).
Figura 3.9: S2]T 2, a1a−11 a2b2a
−12 b−12 .
30
Ejemplo 8. Sea S1 = T 2 y S2 = P 2(R). Entonces se realiza la suma conexa
T 2]P 2(R).
Demostracion. Utilizando la representacion poligonal del toro T 2 (figura 3.4)
y del plano proyectivo P 2(R) (figura 3.6). Se recorta un agujero circular en
cada superficie como en la figura 3.10 (a). Al borde de cada agujero se le
denomina como c1 y c2 respectivamente. Luego se obtiene los complementos
de los agujeros en cada superficie, figura 3.10 (b). Por ultimo se pegan el lado
c1 con el lado c2 (figura 3.10 (c)).
Figura 3.10: T 2]P 2(R), a1b1a2a2a−11 b−11 .
A continuacion, se obtiene una representacion canonica para la suma conexa
de toros y planos proyectivos. Primero se considera T 21 y T 2
2 dos toros con la
31
representacion poligonal como en la figura 3.4. Para formar la suma conexa de
T 21 y T 2
2 se debe recortar un agujero circular en cada toro, luego a los bordes de
cada agujero se designa como c1 y c2 los cuales estan identificados como indican
las flechas (figura 3.11 (a)). De los anteriores polıgonos se puede representar los
complementarios de los agujeros en cada toro con ayuda de pentagonos (figura
3.11 (b)). Ahora se pegan los lados c1 con c2 y se obtiene el octogono (figura
3.11 (c)).
Figura 3.11: T 21 ]T
22 , a1b1a
−11 b−11 a2b2a
−12 b−12 .
La figura 3.11 muestra la suma conexa dos toros, es decir se ha obtenido la re-
presentacion poligonal de un bitoro, es posible verificar que el anterior polıgono
cumple este hecho. Ası, si en la figura 3.11 (c), se pegan los dos lados que tiene
32
la letra a1 y luego los dos lados a2 como en la figura 3.12 (a). Por lo tanto
los lados desaparecen figura 3.12 (b). Al pegar los dos lados b1 y luego los dos
lados b2 resulta la figura 3.12 (d) que representa al bitoro.
Figura 3.12: Bitoro.
El octogono con las aristas identificadas a pares es la forma canonica de la suma
conexa de dos toros. Por tanto, si se repite el proceso anterior para la suma
conexa de tres toros se obtiene un polıgono homeomorfo al espacio cociente del
dodecagono (figura 3.13).
Al realizar el proceso anterior n veces, resulta que la suma conexa de n toros
es homeomorfa al espacio cociente de un polıgono de 4n lados. Ademas, la
33
Figura 3.13: T 21 ]T
22 ]T
23 , a1b1a
−11 b−11 a2b2a
−12 b−12 a3b3a
−13 b−13 .
palabra que describe al polıgono tiene la siguiente estructura
a1b1a−11 b−11 a2b2a
−12 b−12 ... anbna
−1n b−1n .
Anteriormente se mostro la forma canonica de la suma conexa de toros. Ahora
se analiza la suma conexa de planos proyectivos para esto considere la repre-
sentacion de un plano proyectivo mediante un polıgono de dos lados (figura
3.6). El proceso se realiza de forma similar que la suma conexa de dos toros,
sean P 21 (R) y P 2
2 (R) dos planos proyectivos con agujeros circulares en cada uno
(figura 3.14 (a)). Luego, se representa los complementos de los agujeros en
cada polıgono por un triangulo (figura 3.14 (b)). Finalmente se pegan el lado
c1 con el lado c2 y como resultado se obtiene un cuadrado que representa la
suma conexa de dos planos proyectivos (figura 3.14 (c)).
Si el proceso se repite para la suma conexa de tres planos proyectivos se obtiene
como resultado el espacio cociente de un hexagono (figura 3.15).
Para cualquier entero positivo n, se obtiene una generalizacion de la suma
conexa de n planos proyectivos que es homeomorfa al espacio cociente de un
polıgono de 2n lados. La palabra que describe al polıgono tiene la siguiente
forma
a1a1a2a2 ... anan.
34
Figura 3.14: P 21 (R)]P 2
2 (R), a1a1a2a2.
Figura 3.15: P 21 (R)]P 2
2 (R)]P 23 (R), a1a1a2a2a3a3.
Por lo tanto se ha obtenido la representacion canonica por polıgonos y su pala-
bra asociada de todas las superficies enunciadas en el teorema de clasificacion
de superficies compactas en R2.
35
3.5 Triangulacion de superficies compactas
Para demostrar el teorema de clasificacion de superficies compactas en R2
primero se prueba que toda superficie compacta es triangulable. Es decir,
que se puede dividir la superficie en triangulos de tal forma que estos encajen
de manera exitosa en la misma. La primera prueba de este resultado fue dada
por T. Rado en 1925 en un trabajo de superficies de Riemann [10] cuya prueba
utiliza la forma fuerte del Teorema de la curva de Jordan.
Para demostrar que toda superficie compacta es triangulable, se utiliza la idea
de Thomassen [12] que usa teorıa de grafos y su prueba se basa en el uso de
la forma fuerte del Teorema de Jordan conocida como Teorema de Jordan-
Schonflies. A continuacion se enuncia algunos resultados previos.
Definicion 14. Sea X un espacio topologico y el intervalo [0, 1] ⊂ R. Un arco
en X es una aplicacion continua f : [0, 1] −→ X se dice que f(0) y f(1) son
los extremos del arco y que f une f(0) con f(1). La imagen f([0, 1]) se llama
una curva de X. Una curva es cerrada si f(0) = f(1), ademas si f es inyectiva
en el intervalo (0, 1) entonces se dice que la curva es una curva cerrada simple.
Teorema 4. (Jordan). [12] Sea C una curva cerrada simple en R2, entonces
R2 \ C tiene exactamente dos componentes conexas una acotada y la otra no,
ademas ambas componentes tienen a C como borde.
Teorema 5. (Jordan-Schonflies). [12] Sea C y C′
dos curvas cerradas
simples en R2. Si f : C −→ C′
es un homeomorfismo. Entonces f se puede
extender a un homeomorfismo del plano completo.
Sea V un conjunto entonces se denota [V ]2 el conjunto de los subconjuntos
{u, v} tal que u, v ∈ V y u 6= v.
Definicion 15. Sea A un conjunto. Un grafo G, es una terna (V,E, st) donde
V ⊂ A es un subconjunto finito cuyos puntos se llaman vertices, E ⊂ A, E 6= ∅
es un subconjunto finito cuyos elementos se llaman aristas, y st : E −→ [V ]2
una funcion que asigna a cada arista dos vertices {u, v} que se conocen como
extremos de la arista, figura 3.16.
36
Figura 3.16: Grafos.
A veces, se utilizara la notacion V = V (G), E = E(G).
Sea G = (V,E, st) un grafo, H = (VH , EH , stH) es un subgrafo de G si H es
un grafo con VH ⊆ V , EH ⊆ E y stH es la restriccion de st a EH .
A continuacion, en la figura 3.17 se muestra tres subgrafos del grafo de la figura
3.16 (b).
Figura 3.17: Subgrafos.
Un subgrafo importante es G r {v}, donde G = (V,E, st) es un grafo, v un
elemento cualquiera del conjunto de vertices V entonces Gr{v} es un grafo que
resulta al eliminar el vertice v y todas las aristas incidentes con v del conjunto
de aristas E.
Definicion 16. Un camino en un grafo G, es una sucesion de vertices y
aristas (v1, e1, v2, ..., vn−1, en−1, vn) con la propiedad de unir el vertice v1 con
vn, para i 6= j, 1 < i, j < n, vi 6= vj. Si v1 = vn entonces el camino se le conoce
como un ciclo.
Definicion 17. Un grafo G es conexo si para todo par de vertices en G existe
37
un camino que los une, figura 3.18. G se dice 2-conexo si por lo menos consta
de 3 vertices y ademas Gr {v} es conexo, ∀v ∈ V (G), figura 3.19.
Figura 3.18: Grafos conexos.
Figura 3.19: Grafos 2-conexos.
La figura 3.16 (c), muestra un ejemplo de un grafo no conexo puesto que no
existe un camino entre los vertices a y d. Por otro lado, tambien es un grafo no
2-conexo pues si quita el vertice d sigue existiendo vertices que no se pueden
conectar.
La figura 3.16 (b), es un grafo conexo que no es 2-conexo pues si se quita el
vertice f y sus aristas incidentes, no es posible encontrar un camino entre el
vertice c y e.
Por lo tanto, la coleccion de grafos 2-conexos esta contenida en la coleccion de
grafos conexos.
Definicion 18. Sea X un espacio topologico, un grafo G = (V,E, st) en X
es un grafo donde los vertices de G pueden ser representados por elementos de
X, ademas cada arista e ∈ E con extremos {u, v} es posible representarla con
38
una curva simple que une u y v. Todo punto de X no puede pertenecer a dos
aristas distintas a menos que sea un vertice comun con ambas. Un grafo plano
es una grafo en R2.
Si G es un grafo plano, se denota |G| el subconjunto de R2 formado por la
union de todos los vertices y aristas de G. |G| es un subconjunto compacto
de R2 y R2 r |G| es un conjunto abierto de R2, sus componentes arco-conexas
se llaman caras de G. Ademas, se denomina borde de una cara a su frontera
en R2. La cara no acotada es conocida como cara exterior, si G es 2-conexo
entonces la frontera de la cara exterior es conocida como el ciclo exterior.
Definicion 19. Un camino en R2, es un camino poligonal si su imagen es la
union de un numero finito de segmentos de lınea recta.
Definicion 20. Un isomorfismo entre dos grafos G1 = (V1, E1, st1) y G2 =
(V2, E2, st2), es una aplicacion f : G1 −→ G2, que es un par (fV , fE) tal
que fV : V1 −→ V2 y fE : E1 −→ E2 son biyecciones. Si e1 ∈ E1, luego
st1(e1) = {u,w}, con u,w ∈ [V1]2 entonces,
st2(fE(e1)) = {fV (u), fV (w)} .
Si e1 es incidente con los vertices u y w, entonces fE(e1) es incidente con los
vertices fV (u) y fV (w).
Figura 3.20: Diagrama isomorfismo.
A continuacion, se presenta dos ejemplos de grafos isomorfos y un ejemplo de
grafos no isomorfos.
Ejemplo 9. G1 y G2 son isomorfos mediante,
39
i) fV (a) = 1, fV (b) = 2, fV (c) = 3, fV (d) = 4, fV (e) = 5.
ii) fE(X1) = Y1, fE(X2) = Y3, fE(X3) = Y5, fE(X4) = Y4, fE(X5) = Y2.
iii) st2(fE(X1)) = {fV (a), fV (b)} ⇒ st2(Y1) = {1, 2},
st2(fE(X2)) = {fV (a), fV (e)} ⇒ st2(Y3) = {1, 5},
st2(fE(X3)) = {fV (b), fV (c)} ⇒ st2(Y5) = {2, 3},
st2(fE(X4)) = {fV (d), fV (e)} ⇒ st2(Y4) = {4, 5},
st2(fE(X5)) = {fV (c), fV (d)} ⇒ st2(Y2) = {3, 4}.
Figura 3.21: Isomorfismo entre G1 y G2.
Ejemplo 10. G3 y G4 son isomorfos mediante,
i) fV (a) = 3, fV (b) = 1, fV (c) = 4, fV (d) = 2.
ii) fE(X1) = Y3, fE(X2) = Y2, fE(X3) = Y4, fE(X4) = Y1.
iii) st2(fE(X1)) = {fV (a), fV (b)} ⇒ st2(Y3) = {3, 1},
st2(fE(X2)) = {fV (b), fV (d)} ⇒ st2(Y2) = {1, 2},
st2(fE(X3)) = {fV (c), fV (d)} ⇒ st2(Y4) = {4, 2},
st2(fE(X4)) = {fV (a), fV (c)} ⇒ st2(Y1) = {3, 4}.
Figura 3.22: Isomorfismo entre G3 y G4.
40
Ejemplo 11. G5 y G6 no son isomorfos pues,
i) fV (a) = 3, fV (b) = 1, fV (c) = 4, fV (d) = 2.
ii) fE(X1) = Y2, fE(X2) = Y4, fE(X3) = Y3, fE(X4) = Y5, fE(X5) = Y6, no
existe una arista X en G5 talque fE(X) = Y1.
Figura 3.23: Dos grafos no isomorfos.
Teorema 6. [2] Sea G un grafo plano 2-conexo, sea H un subgrafo 2-conexo de
G. Entonces existe un grafo plano G′ homeomorfo e isomorfo a G con V (G) =
V (G′) y una sucesion de grafos planos 2-conexos, G0 = H,G1, ..., Gn = G′
talque para i = 0, ..., n − 1, Gi+1 se obtiene de Gi anadiendo un camino poli-
gonal en G, el cual tiene solo sus extremos y ninguno de sus lados en Gi. El
homeomorfismo deja invariante H.
Teorema 7. [13] Sea G un grafo plano 2-conexo. Entonces el borde de cada
cara de G es un ciclo. Sea G′ otro grafo plano y g un homeomorfismo entre |G|
y |G′| que es ademas isomorfismo de grafos, y tal que el borde de cada cara de
G se aplica en el borde de alguna cara de G′, y el borde de la cara exterior de
G se aplica en el borde de la cara exterior de G′. Entonces g se puede extender
a un homeomorfismo del plano.
Lema 2. [2] Sean γi : [0, 1] −→ R2, i = 1, 2, 3, tres curvas cerradas simples
tal que γ3([0, 1]) ⊂ int(γ2([0, 1])). Un segmento malo de γ1, es todo segmento
P en γ1 tal que une dos puntos de γ2([0, 1]) y todos los puntos restantes de P
estan en int(γ2([0, 1])). Un segmento muy malo de γ1, es un segmento malo
de γ1 que interseca en algun punto con γ3([0, 1]). Entonces, existe un numero
finito de segmentos muy malos en γ1, figura 3.24.
41
Figura 3.24: Segmentos malos y muy malos.
Definicion 21. [8] Una triangulacion de una superficie compacta S consiste
en una familia finita de subconjuntos cerrados {T1, T2, ..., Tn} que cubren S, y
una familia de homeomorfismos ϕi : T′i −→ Ti, i = 1, ..., n, donde T
′i es un
triangulo del plano R2 (un subconjunto cerrado y acotado de R2). Los subcon-
juntos Ti se llaman ”triangulos”. Los subconjuntos de Ti que son imagen por
ϕi de vertices y aristas del triangulo T′i se llaman tambien ”vertices” y ”aris-
tas” respectivamente. Finalmente se impone la condicion de que dos triangulos
distintos Ti y Tj o son disjuntos, o tiene un solo vertice comun, o tienen toda
una arista comun.
A continuacion se muestra que toda superficie compacta S es triangulable.
Teorema 8. Toda superficie compacta es triangulable.
Demostracion. Se sigue la idea de Thomassen [12]. Una superficie S es una
variedad 2-dimensional, luego para cada p ∈ S existe un entorno abierto deno-
minado Vp, p ∈ Vp ⊂ S homeomorfo a la bola abierta U2 = {x ∈ R2 : |x| < 1}.
Puesto que, en R2 dos bolas abiertas cualesquiera son homeomorfas entonces U2
es homeomorfa a una bola abierta Dp en R2 asociada a p que sera seleccionada
de forma conveniente. Ası, se considera el homeomorfismo de Vp en Dp al que
se denota ψp : Dp −→ Vp.
42
Sean Q1(p) y Q2(p) dos cuadrilateros cualesquiera en Dp, tal que Q1(p) ⊂
int(Q2(p)) y p ∈ int(ψp(Q1(p))) ⊆ Vp. Puesto que int(ψp(Q1(p))) es abierto en
S, se tiene que {int(ψp(Q1(p)))}p∈S forma un recubrimiento abierto de S. Es
decir,
S ⊆⋃p∈S
int(ψp(Q1(p))).
Puesto que S es compacta se puede extraer un subrecubrimiento finito de tal
manera que ningun elemento del subrecubrimiento se encuentre contenido en
otro. Ası, sean {p1, p2, ..., pn} ∈ S, tales que pi ∈ int(ψpi(Q1(pi))), i = 1, ..., n
entonces,
S ⊆n⋃i=1
int(ψpi(Q1(pi))).
Por lo anterior para cada pi ∈ S, i = 1, ..., n existen ψpi : Dpi −→ Vpi ho-
meomorfismos y sus respectivos cuadrilateros tales que Q1(pi) ⊂ int(Q2(pi))
en Dpi .
En lo que sigue se va a construir un grafo en S. Primero se mantiene fijos
los Dpi , i = 1, ..., n luego se modifica segun sea necesario los homeomorfismos
ψpi , con 1 ≤ i ≤ n y se considera nuevos cuadrilateros Q1(pi) buscando que los
vertices del grafo en S, sean las intersecciones de ψpi(Q1(pi)), i = 1, ..., n. Ahora
se debe probar que el conjunto formado por las intersecciones de ψpi(Q1(pi)),
i = 1, ..., n en S tiene un numero finito de puntos.
Por otro lado, puesto que Dpi , i = 1, ..., n, son bolas abiertas en R2, es posible
trasladar o reubicar cada Dpi , i = 1, ..., n, de tal manera que sean disjuntas dos
a dos. Ası, las intersecciones ψpi(Q1(pi)), no se deben a puntos en comun en el
dominio de cada ψpi , i = 1, ..., n.
Se describe el proceso para elegir o construir cuadrilateros de tal manera que
sus intersecciones en S por los respectivos homeomorfismos sea una cantidad
finita de puntos. Primero se supone se han elegido k−1 cuadrilateros en R2, es
decir Q1(p1), Q1(p2), ..., Q1(pk−1) de tal manera que cualesquiera dos elementos
de Y = {ψp1(Q1(p1)), ψp2(Q1(p2)), ..., ψpk−1(Q1(pk−1))} tienen un numero finito
43
de puntos en comun sobre S. Luego, si al elegir el cuadrilatero Q1(pk) se tiene
que ψpk(Q1(pk)) posee infinitos puntos en comun con por lo menos un elemento
de Y , se utiliza la nocion de segmento malo, segmento muy malo con ayuda de
Q2(pk) y el lema 2 para formar un nuevo Q∗1(pk) ⊃ Q1(pk) tal que ψpk(Q∗1(pk))
tenga un numero finito de puntos en comun con los elementos de Y .
Un segmento malo se define como un segmento P de algun Q1(pj), con 1 ≤
j ≤ k − 1 tal que ψpj(P ) une dos puntos de ψpk(Q2(pk)) y que posee todos los
puntos restantes en int(ψpk(Q2(pk))). Un segmento malo P en Q1(pj) tiene una
imagen en Q2(pk) que es ψ−1pk (ψpj(P )) y se denomina segmento malo dentro de
Q2(pk) (figura 3.25).
Figura 3.25: Segmentos malos.
Sea Q3(pk) un cuadrado entre Q1(pk) y Q2(pk) lo que implica que Q1(pk) ⊂
int(Q3(pk)) y Q3(pk) ⊂ int(Q2(pk)), se dice que un segmento malo P en Q1(pj)
es muy malo si ψpj(P ) interseca con ψpk(Q3(pk)). Puede existir una canti-
dad infinita de segmentos malos, en cambio solo existe una cantidad finita de
segmentos muy malos por lema 2,(figura 3.26).
44
Figura 3.26: Segmentos muy malos.
Los segmentos muy malos ψ−1pk (ψpj(P )) dentro de Q2(pk) y junto con Q2(pk) for-
man un grafo denotado por Γ. El grafo Γ tiene como vertices el conjunto finito
V (Γ) formado por las esquinas de Q2(pk), las intersecciones de los segmentos
muy malos ψ−1pk (ψpj(P )) con dos lados diferentes de Q2(pk), las intersecciones
de los segmentos muy malos ψ−1pk (ψpj(P )) con un solo lado de Q2(pk) que tenga
en su imagen un vertice en el int(Q2(pk)) resultante del correspondiente vertice
del segmento muy malo P en Q1(pj) y las intersecciones entre ψ−1pk (ψpj(Pj)) y
ψ−1pk (ψpi(Pi)), donde Pj y Pi son los segmentos muy malos de Q1(pj) y Q1(pi)
respectivamente, con 1 ≤ i, j ≤ k− 1, i 6= j. Existe la posibilidad de tener seg-
mentos muy malos ψ−1pk (ψpj(P )) dentro de Q2(pk) tal que se intersecan con solo
un lado de Q2(pk), no tienen un vertice en su imagen y ademas no se intersecan
con ningun otro segmento muy malo dentro de Q2(pk), estos nuevos vertices
que resultan de la interseccion de los segmentos muy malos con un solo lado de
Q2(pk), no seran considerados puesto que es posible deformar continuamente
tales segmentos hasta obtener una parte del lado de Q2(pk) con el que se inter-
seca. Ademas, por la construccion de Γ todos los vertices estan conectados por
45
aristas, la cuales forman ciclos por lo tanto al eliminar cualquier vertice y sus
arista incidentes siempre es posible encontrar un camino que una dos vertices
cualesquiera lo que implica que Γ es 2-conexo.
Puesto que Γ es un grafo 2-conexo, si se considera como subgrafo a ∂(Q2(pk))
que tambien es 2-conexo es posible aplicar el teorema 6, de tal manera que
se redibuja Γ dentro de Q2(pk) y se obtiene un grafo Γ′ que es homeomorfo e
isomorfo a Γ con V (Γ) = V (Γ′), ademas todas las aristas de Γ′ son poligonales.
Por otro lado el borde de cada cara de Γ es un ciclo y Γ′ es un grafo isomorfo
y homeomorfo a Γ tal que el borde de cada cara de Γ se aplica en el borde de
alguna cara de Γ′ y el borde de la cara exterior de Γ se aplica en el borde de
la cara exterior de Γ′ por lo tanto es posible aplicar el teorema 7, entonces el
homeomorfismo entre los grafos Γ y Γ′ se puede extender a un homeomorfismo
en int(Q2(pk)), manteniendo Q2(pk) fijo y los segmentos muy malos ahora son
poligonales.
Mediante este homeomorfismo Q1(pk) y Q3(pk) que son dos caminos cerrados se
transforman en dos curvas cerradas simples Q′1 y Q′3 tal que int(Q′1) ⊂ int(Q′3)
y pk ∈ ψpk(Q′1). Se elige un curva cerrada poligonal simple Q′′3 en int(Q2(pk))
tal que Q′1 ⊂ int(Q′′3) y Q′′3 no interseca con los segmentos malos salvo los
segmentos muy malos en una cantidad finita dentro de Q2(pk). La existencia
de Q′′3, se comprueba de la siguiente manera. Para todo q ∈ Q′3, sea R(q) un
cuadrado con q como su centro tal que R(q) no interseca con Q′1 y corta en
una cantidad finita a los segmentos muy malos. Ahora consideramos el menor
recubrimiento finito (puesto que Q′3 es compacto) de Q′3 por cuadrados. La
union de esos cuadrados forman un grafo 2-conexo y su ciclo exterior se define
como Q′′3, figura 3.27.
La union de Γ′ y Q′′3 forman un grafo 2-conexo, si se considera el subgrafo
∂(Q2(pk)) que es 2-conexo se puede aplicar el teorema 6 para redibujar Q′′3,
talque Q′′3 es un cuadrilatero con Q′1 en su interior. Si se define Q∗1(pk) := Q′′3,
se obtiene que ψpk(Q∗1(pk)) tiene una cantidad finita de puntos en comun con
Y , debido a la forma de construccion de Q′′3. Por lo tanto se ha construido un
46
Figura 3.27: Construccion de Q′′3.
cuadrilatero adecuado que cumple lo requerido, en el caso que exista nueva-
mente un cuadrilatero en S que tenga interseccion infinita con sus anteriores,
se debe repetir el proceso descrito hasta que el conjunto de las intersecciones
de todos los cuadrilateros que recubren a S tenga cardinalidad finita.
Por lo tanto, por el proceso anterior es posible afirmar que solo existen una
cantidad finita de segmentos muy malos dentro de cada Q2(pk) los cuales son
curvas simples poligonales que forman un grafo plano 2-conexo. Si se considera
G =n⋃i=1
ψpi(Q1(pi)) el grafo en S, que posee como vertices las intersecciones de
ψpi(Q1(pi)), con 1 ≤ i ≤ k y sus aristas son segmentos de algun ψpi(Q1(pi)),
con 1 ≤ i ≤ k. Por otro lado cada region de S \ G es acotada por un ciclo C
en G, para cada ciclo C es posible construir un polıgono regular convexo C ′,
tal que las esquinas de C ′ son los vertices de C. Al realizar identificaciones
adecuadas en los lados de los polıgonos C ′ correspondientes a las caras de G
(pegar los polıgonos convexos C ′ por sus lados), se forma una superficie S ′ con
un grafo G′ cuyas aristas son los lados de C ′ y vertices son los vertices de C ′.
47
Los grafos G′ y G son isomorfos.
El isomorfismo entre G′ y G es posible extender a un homeomorfismo f , del
conjunto de puntos de G en S sobre el conjunto de puntos de G′ en S ′. En
particular, la restriccion de f al ciclo C es un homeomorfismo sobre C ′. Puesto
que C y C ′ son curvas cerradas simples por el teorema 5, f se puede extender a
un homeomorfismo de int(C) sobre int(C ′), lo cual muestra que las superficies
S y S ′ son homeomorfas. Si se divide los polıgonos convexos C ′ en triangulos
entonces diremos que G′ es una triangulacion de S ′, es decir S ′ es una superficie
triangulable y por lo anterior se concluye que S es una superficie triangulable.
48
CAPITULO 4
CLASIFICACION DE SUPERFICIES COMPACTAS
En el presente capıtulo se estudia que toda superficie compacta se puede mo-
delar por un polıgono con identificaciones en las aristas. Se describe el proceso
para transformar un polıgono con cierta identificacion de aristas cualquiera
a una forma representativa canonica. Todo esto, con el afan de dar una de-
mostracion completa del Teorema de clasificacion de superficies compactas en
R2, que precisa lo siguiente.
Teorema 9. [8] Toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera, a una
suma conexa de toros, o a una suma conexa de planos proyectivos.
Ademas, utilizando la caracterıstica de Euler es posible verificar que no existen
mas superficies topologicamente equivalentes a las estudiadas en el teorema 9.
En el capıtulo anterior, se mostro que se puede triangular cualquier superficie
compacta. Por lo tanto una superficie triangulada puede interpretarse como
una cantidad finita de triangulos pegados por sus aristas con ciertas carac-
terısticas, es decir no se admite que dos triangulos distintos tengan los mismos
vertices. La figura 4.1, muestra las formas incorrectas de pegado de triangulos.
Figura 4.1: Tipos incorrectos de pegado de triangulos.
Puesto que existe una cantidad finita de triangulos, es factible describir una
superficie enumerando todos los triangulos y los 3 vertices que componen a cada
triangulo. Ademas, toda triangulacion cumple con las siguientes condiciones:
49
1) Dos triangulos T1 y T2, o bien son disjuntos, tienen un vertice comun o
tienen toda una arista comun.
2) Cada arista es exactamente de dos triangulos, no es posible la situacion
como en la figura 4.2 (a).
3) Sea v un vertice de una triangulacion. Entonces es posible ordenar el
conjunto de todos los triangulos que tiene el vertice v de manera cıclica,
es decir T0, T1, T2, .. ., Tn−1, Tn = T0, para 0 ≤ i ≤ n− 1, tal que Ti y Ti+1
tienen una arista comun, figura 4.2 (b).
Figura 4.2: Pegado de triangulos.
A continuacion, se muestra ejemplos de triangulaciones dados por Gallier [3].
Ejemplo 12. Si se utiliza la representacion poligonal de S2 por un cuadrado.
Se tiene, una triangulacion de la esfera S2 como en la figura 4.3.
Figura 4.3: Triangulacion de S2.
50
Ejemplo 13. La figura 4.4 describe una triangulacion de T 2 utilizando la iden-
tificacion mediante un cuadrado.
Figura 4.4: Triangulacion de T 2.
Ejemplo 14. En la figura 4.5 se muestra una triangulacion del plano proyectivo
P 2(R) utilizando la identificacion mediante un cuadrado.
Figura 4.5: Triangulacion de P 2(R).
Ejemplo 15. La botella de Klein tiene una triangulacion como se muestra en
la figura 4.6.
Ahora, se muestra que dada una superficie compacta S cualquiera, esta es
homeomorfa a un polıgono con cierta identificacion de sus aristas, para ello se
demuestra algunos resultados previos.
51
Figura 4.6: Triangulacion botella de Klein.
Lema 3. Sea S una superficie compacta triangulable. Sea n el numero de
triangulos existentes en la triangulacion. Entonces es posible enumerar los
triangulos de la siguiente forma, T1, T2, ..., Tn tal que cumplan la siguiente
propiedad, si i ∈ {2, ..., n}, el triangulo Ti tiene una arista ei comun con uno,
al menos, de los triangulos T1, T2, ..., Ti−1.
Demostracion. Se supone lo contrario, es decir que no se puede enumerar todos
los triangulos con la anterior propiedad. Luego, se define el conjunto H donde
sus elementos son triangulos que cumplen la siguiente condicion, sin perdida de
generalidad se toma T1 a cualquier triangulo, luego T2 a cualquier triangulo que
tenga una arista comun con T1, se denomina como T3 al triangulo que tenga
una arista comun con T1 o T2 y ası sucesivamente. Se designa G al conjunto de
triangulos que no cumplan la anterior condicion, si G 6= ∅ entonces cualquier
elemento de G no tendrıa ningun vertice o arista en comun con los elementos de
H. Por lo tanto G y H son disjuntos, no vacıos y ademas son conjuntos cerrados
puesto que son uniones finitas de conjuntos cerrados. Note que, S = H ∪ G,
es decir H y G forman una particion de S. Esto es una contradiccion con el
supuesto que S es una superficie ya que por definicion S debe ser conexa.
Un ejemplo de la numeracion propuesta en el lema 3 se puede observar en la
figura 4.6.
52
Lema 4. Sean E1 y E2 dos conjuntos disjuntos homeomorfos a E2. Entonces
al pegar dichos conjuntos por segmentos comunes en sus fronteras se obtiene
un nuevo conjunto homeomorfo a E2.
Demostracion. Sean A1 y A2 subconjuntos cerrados en el borde de E1 y E2
respectivamente, los cuales son homeomorfos al intervalo cerrado [0, 1], sean
g1 : A1 −→ [0, 1], g2 : A2 −→ [0, 1] dichos homeomorfismos, por tanto se
define el homeomorfismo g = g−12 ◦ g1 : A1 −→ A2. Luego, se forma el espacio
cociente de E1 ∪ E2 identificando los puntos que se corresponden mediante g.
Note, que si x ∈ (E1∪E2)\ (A1∪A2), g(x) = id(x) = x, es decir forma la clase
unitaria de {x}, y para x ∈ A1, x ∼ g(x), si x ∈ A2, x ∼ g−1(x) luego forma
la clase {x, g(x)}. La superficie resultante es homeomorfa a E2 pues al pegar
puntos de A1 con A2, forman puntos del interior de la nueva superficie.
Proposicion 6. [8] Toda superficie compacta S es homeomorfa al espacio co-
ciente obtenido de un polıgono con un numero par de lados identificados dos a
dos.
Demostracion. Para demostrar se utiliza la idea presentada en Massey [8].
Puesto que, S es una superficie compacta por el teorema 8 entonces es trian-
gulable, para cada triangulo Ti, i = 1, ..., n de la triangulacion de S, existe un
triangulo T′i de R2 (cerrado y acotado) y un homeomorfismo ϕi : T
′i −→ Ti.
Dado que, los triangulos T′1, T
′2, ..., T
′n son elementos de R2, se puede trasladar
o reubicar cada triangulo de tal manera que sean disjuntos dos a dos. Por otro
lado, se define,
T′=
n⋃i=1
T′
i .
Note que cada T′i , i = 1, ..., n, es cerrado y acotado en R2 entonces se tiene que
T′
es cerrado y acotado por ser union finita de cerrados y acotados por lo tanto
T′
es compacto en R2.
Ahora, considere ϕ : T′ −→ S definida por ϕ|T ′i = ϕi, ϕ esta bien definida
puesto que los T′i , i = 1, ..., n, son disjuntos dos a dos entonces si tomamos
x ∈ T ′ luego x ∈ T ′i , para algun i ∈ {1, ..., n} y se obtiene su respectiva imagen
53
unica aplicando el homeomorfismo ϕi asociado. Puesto que cada T′i , i = 1, ..., n
es cerrado en R2 y cada ϕi es un homeomorfismo por tanto es continua entonces
por el Lema de Pegado se tiene que ϕ es una aplicacion continua. Ademas, ϕ
es sobreyectiva pues para cada Ti en S existe su correspondiente T′i en R2
mediante ϕi.
Como T′
es compacto, S es de Hausdorff y ϕ es continua entonces ϕ es una
aplicacion cerrada, el resultado se sigue puesto que si se toma un cerrado G
cualquiera en T′
compacto, resulta que G es compacto y ademas ϕ es continua
por tanto ϕ(G) es compacto en S y tambien como S es Hausdorff se concluye
que ϕ(G) es cerrado. Luego, por la proposicion 2, ϕ es una aplicacion cociente
por lo tanto S tiene la topologıa cociente inducida por ϕ.
La construccion del polıgono que se necesita es un espacio cociente de T′.
Primero por el lema 3 para el triangulo Ti, 2 ≤ i ≤ n, ei es una arista de Ti y
del triangulo Tj con 1 ≤ j ≤ i, por lo tanto el conjunto ϕ−1(ei) posee una arista
del triangulo T′i y una arista del triangulo T
′j . Luego se pegan las dos aristas
de los triangulos T′i y T
′j , identificando aquellos puntos que se aplican por ϕ
en un mismo punto de ei. Se realiza dichas identificaciones para cada una de
las aristas de los triangulos Ti, i ∈ {2, ..., n} restantes. Se denomina como D
al espacio cociente obtenido por el anterior proceso, las identificaciones para
formar el espacio cociente D de T′
es posible hacerlas todas a la vez, o bien
una por una, comenzando con la identificacion para e2 arista de T2, luego la
identificacion para e3 arista de T3, ası sucesivamente.
Por otro lado, D es un espacio compacto ya que es la union finita de conjuntos
compactos. Por otro lado la aplicacion ϕ : T′ −→ S, induce una aplicacion
continua sobreyectiva ψ : D −→ S, puesto que D es compacto y S es Hausdorff
entonces ψ es una aplicacion cerrada y por la proposicion 2, ψ es una aplicacion
cociente entonces S tiene la topologıa cociente inducida por ψ.
La demostracion que D es homeomorfo al disco cerrado E2, se realiza de la
siguiente manera: como T′1 y T
′2 son triangulos homeomorfos a un disco cerrado
entonces el espacio cociente T′1∪T
′2 obtenido al identificar los puntos ϕ−1(e2) es
54
homeomorfo a un disco por el lema 4. Ahora se construye el espacio cociente de
la union de este disco y T′3 con la identificaciones correspondientes a la arista
e3 y por el lema 4 se obtiene un nuevo disco, se repite el proceso con las arista
e4 de T′4 y ası sucesivamente se aplica el proceso hasta el triangulo T
′n.
Por tanto S es obtenido a partir de D identificando ciertos pares de aristas del
borde de D.
A continuacion, se detalla algunos conceptos que se utilizaran mas adelante.
Por la proposicion 6, toda superficie compacta S tiene una representacion me-
diante un polıgono con un numero par de lados identificados dos a dos. Por
tanto, es posible describir dicho polıgono ası como en el capıtulo anterior uti-
lizando una combinacion de letras, cada letra tiene asociada una flecha que
indica la manera de pegar dichas aristas. Recuerde que al elegir la direccion
a recorrer por el borde del polıgono, si la fecha aparece a favor o en contra
de la direccion seleccionada, el exponente de la letra tendra signo +1 o −1
respectivamente. Dicha combinacion se conoce como la palabra que identifica
el polıgono. Ademas, cada letra aparece dos veces en la palabra.
Ahora, se define a que se considera como aristas de primera y segunda especie,
se dice que un determinado par de aristas es de primera especie si la letra
que las identifica aparece con exponente intercambiado de signo en la palabra
(figura 4.7), caso contrario se considera como aristas de segunda especie
cuando la letra aparece con exponente del mismo signo en la palabra (figura
4.8).
Figura 4.7: Arista de primera especie y palabra es: aXa−1Y .
55
Figura 4.8: Arista de segunda especie y palabra es: aXaY .
Ademas, los vertices de un polıgono se identifican al pegar las aristas, se dice
que dos vertices son equivalentes si estan identificados entonces los vertices
que se identifican forman una clase de equivalencia. Las clases de equivalencia
pueden tener uno, dos, tres, o varios elementos.
Observacion 4. Para el polıgono de la figura 4.9, tenemos ocho clases de
equivalencia las cuales constan de los siguientes vertices.
a) [1], [6], [9], [12], cuatro clases de equivalencia con un solo elemento.
b) [2]=[14], [5]=[7], dos clases de equivalencia con dos elementos.
c) [3]=[11]=[13], [4]=[8]=[10], dos clases de equivalencia con tres elemen-
tos.
Figura 4.9: b−1f−1e−1gcc−1g−1dd−1eaa−1fb.
En el polıgono de la figura 4.9, para escribir la palabra que lo identifica se
56
comienza desde el vertice 1. Para describir la palabra, no importa desde que
vertice se inicie.
Puesto que toda superficie se la puede ver como el espacio cociente de un
polıgono con cierta identificacion en sus aristas, entonces es posible describir a
dicha superficie utilizando la palabra asociada al polıgono. A continuacion, se
describe un algoritmo para reducir la palabra de un polıgono cualquiera a una
de las palabras correspondientes a las superficies mencionadas en el teorema 9.
Dichas palabras son:
• Esfera S2 : aa−1.
• Toro T 2 : aba−1b−1.
• Plano proyectivo real P 2(R) : aa.
• Suma conexa de n toros : a1b1a−11 b−11 a2b2a
−12 b−12 ... anbna
−1n b−1n .
• Suma conexa de n planos proyectivos : a1a1a2a2 ... anan.
Algoritmo combinatorio para reducir la palabra de un polıgono cual-
quiera
Las reglas para transformar la palabra que representa a una superficie en otra
palabra diferente de la misma superficie son homeomorfismos. Es decir, estas
reglas transforman el cociente de un polıgono en otro homeomorfo.
El algoritmo combinatorio tiene los siguientes pasos:
1) Eliminar aristas adyacentes de primera especie.
2) Hacer que todos los vertices pertenezcan a la misma clase.
3) Hacer que todas las aristas de segunda especie sean adyacentes.
4) Hacer consecutivas las aristas de primera especie.
5) Intercambiar dos pares de aristas de primera especie y un par de segunda
especie por tres pares consecutivos de segunda especie.
57
Si en un polıgono sus aristas estan identificadas con las letras X, Y van a re-
presentar dos conjuntos de aristas cualesquiera, que no son relevantes al aplicar
un paso determinado.
Primer paso. Eliminar aristas adyacentes de primera especie.
Para aplicar el proceso se necesita que el polıgono tenga al menos cuatro aristas.
Dicho proceso se realiza de la siguiente manera.
1) Suponga se tiene un polıgono como en la figura 4.10, donde las aristas b
y c no se pegan.
Figura 4.10: baa−1c−1X.
2) Si se pegan las aristas de primera especie adyacentes identificadas con a
como en la figura 4.11, se obtiene un nuevo polıgono que tiene dos aristas
menos que el polıgono inicial.
Figura 4.11: bc−1X.
El proceso anterior se realiza hasta eliminar todas las aristas de primera especie
adyacentes existentes en el polıgono, al aplicar el proceso de manera repetitiva
se reduce un numero par de aristas. En el caso que el polıgono se reduzca hasta
58
que posea dos aristas, la palabra final puede ser de la forma: aa−1 o aa, que
representan una esfera o un plano proyectivo respectivamente. En cambio si el
polıgono no se reduce hasta tener solo dos aristas se sigue al siguiente paso.
Segundo paso. Hacer que todos los vertices pertenezcan a la misma clase de
equivalencia.
El procedimiento tiene como objetivo transformar al polıgono obtenido des-
pues de haber eliminado todas las aristas adyacentes de primera especie a otro
polıgono tal que todos los vertices pertenezcan a una sola clase de equivalencia.
Observacion 5. Un ejemplo de polıgono donde todos sus vertices estan iden-
tificados en una sola clase de equivalencia se observa en la figura 3.15 que
representa la suma conexa de tres planos proyectivos.
Para aplicar este paso se supone que el polıgono tiene por lo menos dos clases
de equivalencias distintas. Por lo tanto existen dos vertices adyacentes que
conforman la misma arista tales que no son equivalentes, se designa como A y B
a estos vertices. Suponer que los vertices A, B no son equivalentes implica que
las aristas c y d no estan identificadas. Por la proposicion 6 existen en el borde
restante del polıgono dos aristas que se identifican con c y d respectivamente,
dicha situacion se muestra en la figura 4.12.
Figura 4.12: Xcd−1Y c−1.
El proceso tiene como proposito reducir vertices en la clase de equivalencia de
A y aumentar vertices en la clase de equivalencia de B. Para ello se procede
de la siguiente manera.
1) Se realiza un corte a lo largo de la lınea e, desde el vertice B hasta el
vertice diferente de A que posee la arista c (figura 4.13 (a)). Despues,
59
de haber realizado el corte al polıgono inicial se separa en dos polıgonos
que tienen sus respectivas palabras que los identifican (figura 4.13 (b)).
Ademas, se incrementa una nueva arista en cada polıgono, las cuales se
identifican con la letra e.
(a) Xcd−1Y c−1. (b) Xe−1Y c−1 , ecd−1.
Figura 4.13:
La forma de trazar la lınea e, tiene relacion con la clase de equivalencia
que se desea aumentar sus vertices, en este caso se necesita aumentar
vertices en la clase de equivalencia de B y por tanto la lınea inicia en el
vertice B y se traza hasta formar un triangulo, el sentido elegido para la
flecha no es de relevancia y se puede elegir cualquier de los dos sentidos.
2) Luego, se pegan las dos aristas identificadas con c, por lo tanto se debe
girar y trasladar el polıgono que tiene como palabra ecd−1, figura 4.14
(a). Dando como resultado el nuevo polıgono que se muestra en la figura
4.14 (b). Note que, al pegar dichas aristas el polıgono vuelve a tener la
misma cantidad de aristas que al inicio del segundo paso.
(a) ecd−1 , Xe−1Y c−1. (b) eXe−1Y d−1.
Figura 4.14:
60
Al realizar este paso se puede tener nuevamente aristas adyacentes de primera
especie realizamos el primer paso y despues se repite el segundo paso para
reducir el numero de vertices en la clase de equivalencia de A. Se debe seguir
alternando el primer y segundo paso hasta eliminar completamente la clase de
equivalencia de A. En el caso que exista otra clase de equivalencia realizamos
el proceso anterior para reducir el numero de vertices de dicha clase hasta
eliminarla. El proceso se aplica sucesivamente hasta reducir el numero de
clases de equivalencia y obtener un polıgono con una sola clase de equivalencia
donde todos los vertices esten identificados a uno solo.
Tercer paso. Hacer que todas las aristas de segunda especie sean adyacentes.
Despues de haber aplicado el primer y segundo paso al polıgono, suponga se
tiene la situacion como en la figura 4.15.
Figura 4.15: aXaY .
Se describe el metodo para que todas las aristas de segunda especie sean adya-
centes.
1) Se realiza un corte a lo largo de la lınea b, que une los puntos finales
de las aristas asignadas con la letra a, el sentido elegido no es relevante,
figura 4.16 (a). Luego, al realizar el corte se separan en dos polıgonos
con una palabra que los identifica a cada uno, figura 4.16 (b). Note que,
se incrementa una nueva arista en cada polıgono que se identifica con la
letra b.
61
(a) aXaY . (b) abY , Xab−1.
Figura 4.16:
2) Luego para pegar las aristas identificadas por a, se debe reflejar y trasla-
dar el polıgono que tiene como palabra Xab−1, figura 4.17 (a). Al pegar
las aristas, el polıgono resultante tiene la misma cantidad de aristas que al
inicio, figura 4.17 (b). Ası, se obtiene un polıgono con aristas de segunda
especie adyacentes.
(a) Xba−1 , abY . (b) XbbY .
Figura 4.17:
Este proceso se aplica de manera recurrente hasta que todos los pares de aristas
de segunda especie sean adyacentes. Ademas, el tercer paso cumple con las
siguientes propiedades.
• No aumenta el numero de clases de vertices equivalentes puesto que en
la figura 4.15 los dos vertices iniciales de las dos aristas designadas por a
se identifican ası como los dos vertices finales, luego al cortar por la lınea
b en la figura 4.16 (a), el vertice inicial de b se identifican con el vertice
62
final de b y por tanto al pegar por a, figura 4.17 (b), los tres vertices de
las dos aristas designadas por b pertenecen a la misma clase.
• Tampoco es necesario verificar el primer paso debido a que todos los
vertices pertenecen a una sola clase de equivalencia y al pegar por a el
polıgono que se refleja cambia de exponente en las letras de su respectiva
palabra, figura 4.17 (a). De tal manera que no forman pares consecutivos
de primera especie con aristas de Y.
En el caso que no exista aristas de primera especie obtendremos un polıgono
cuya palabra es de la forma:
a1a1a2a2...anan,
que representa la suma conexa de n planos proyectivos.
En cambio, si despues de haber realizado el tercer paso existe al menos un par
de aristas de primera especie que no es adyacente, se tiene el siguiente Lema.
Lema 5. Si existe un par de aristas de primera especie que no son adyacentes,
entonces por lo menos existe otro par de aristas de primera especie tal que los
dos pares se separan entre sı.
Demostracion. Para demostrar esto se supone lo contrario es decir, no existe
otro segundo par de aristas de primera especie por lo tanto el polıgono se repre-
senta por la palabra aXa−1Y , figura 4.18, donde las letras X y Y representan
dos conjuntos de aristas que tiene como elementos, pares de aristas de segunda
especie.
Figura 4.18: aXa−1Y .
63
Note que ninguna arista de X puede estar identificada con una arista de Y ,
y viceversa pues cada par de aristas es adyacente por el tercer paso. Ası, los
vertices iniciales de a y a−1 se identifican con solo vertices en Y, y los vertices
finales se identifican con vertices en X entonces existen dos clases de vertices
equivalentes lo que es una contradiccion con el segundo paso puesto que el
polıgono debe tener solo una clase de vertices equivalentes.
Lema 6. Por el lema 5, siempre existen dos pares de aristas de primera especie
que se separan entre sı, luego todos los vertices pertenecen a la misma clase de
equivalencia.
Demostracion. Esto se puede comprobar con ayuda de la figura 4.19 donde la
clase de equivalencia de [1] = [5] = [3] , [2] = [4] = [6]. Ademas, puesto que
todos los vertices de X estan identificados entre sı, se tiene [3] = [4] y lo mismo
pasa con los vertices de Y lo que implica que [1] = [6]. Por lo tanto todos los
vertices pertenecen a la misma clase.
Figura 4.19: abXa−1b−1Y .
Cuarto paso. Hacer consecutivas las aristas de primera especie.
Anteriormente por el lema 5 se mostro que existen dos pares de aristas de
primera especie que se separan entre sı, la figura 4.20 describe tal situacion.
64
Figura 4.20: aXb−1Y a−1ZbW .
Se describe el metodo a seguir para que estos pares de aristas aparezcan de
forma consecutiva en el borde del polıgono.
1) Primero se realiza un corte a lo largo de la lınea c, que une los pun-
tos finales de las aristas asignadas con la letra a, el sentido elegido no
es relevante, figura 4.21 (a). Luego, al realizar el corte se separan en
dos polıgonos con una palabra que los identifica a cada uno, figura 4.21
(b). Note que, se incrementa una nueva arista en cada polıgono que se
identifica con la letra c.
(a) aXb−1Y a−1ZbW . (b) Xb−1Y c, ac−1a−1ZbW .
Figura 4.21:
2) Para pegar las aristas identificadas por b, se debe trasladar el polıgono
que tiene como palabra Xb−1Y c, figura 4.22 (a). Al pegar las aristas, el
polıgono resultante tiene la misma cantidad de aristas que al inicio, figura
4.22 (b).
65
(a) ac−1a−1ZbW , Xb−1Y c. (b) ac−1a−1ZY cXW .
Figura 4.22:
3) Luego se realiza un corte a lo largo de la lınea d, que une el final de la
arista c, con el final de la arista c−1, el sentido elegido no es relevante,
figura 4.23 (a). Despues, al realizar el corte se separan en dos polıgonos
con una palabra que los identifica a cada uno, figura 4.23 (b). Note que,
se incrementa una nueva arista en cada polıgono que se identifica con la
letra d. Ademas, se considera como U al conjunto de aristas formado
por la union de W y X, de la misma forma se designa por V al conjunto
formado por la union de Z y Y .
(a) ac−1a−1V cU . (b) ad−1U , dc−1a−1V c.
Figura 4.23:
4) Se desea pegar las aristas identificadas por a, entonces se debe trasladar y
girar el polıgono que tiene como palabra ad−1U , figura 4.24 (a). Al pegar
las aristas, el polıgono resultante tiene la misma cantidad de aristas antes
de cortar por d, figura 4.24 (b).
66
(a) ad−1U, dc−1a−1V c. (b) cdc−1d−1UV .
Figura 4.24:
El proceso se repite hasta que todos los pares de primera especie formen grupos
consecutivos de 4 aristas.
En caso que no existan pares de segunda especie, la palabra que representa al
polıgono tendra la siguiente combinacion:
a1b1a−11 b−11 a2b2a
−12 b−12 ...anbna
−1n b−1n ,
que representa la suma conexa de n toros.
Sı despues de todo el proceso existen simultaneamente pares de primera y
segunda especie entonces se utiliza el siguiente resultado para resolver este
problema.
Quinto paso.
Proposicion 7. [11] Para cualquier par de aristas de segunda especie adya-
cente y un grupo de 4 aristas formado por dos pares de primera especie que
separan entre sı, es posible reemplazar por tres pares consecutivos de segunda
especie adyacentes.
Demostracion. Para demostrar este resultado se utiliza el mismo procedimiento
que en Seifert y Threlfall [11]. La situacion mencionada anteriormente se puede
ilustrar como en la figura 4.25, donde las lıneas punteadas significan que pueden
o no existir mas combinaciones de aristas de primera y segunda especie.
67
Figura 4.25: b−1aba−1XccY .
La demostracion consta de los siguientes pasos.
1) Se realiza un corte a lo largo de la lınea d, de acuerdo al sentido que se
observa en la figura 4.26 (a). Luego, al realizar el corte se separan en
dos polıgonos con una palabra que los identifica a cada uno, figura 4.26
(b). Note que, se incrementa una nueva arista en cada polıgono que se
identifica con la letra d.
(a) aXb−1Y a−1ZbW . (b) ba−1Xcd, ad−1cY b−1.
Figura 4.26:
2) Se desea pegar las aristas identificadas por c, entonces se debe trasladar,
girar y reflejar el polıgono que tiene como palabra ad−1cY b−1, figura 4.27
(a). Al pegar las aristas, el polıgono resultante tiene la misma cantidad
de aristas antes de cortar por d, figura 4.27 (b). Note que al pegar por c,
se obtiene un polıgono con tres pares de aristas de segunda especie que
no son adyacentes. En los pasos que siguen se tiene como objetivo hacer
que los tres pares de aristas de segunda especie sean adyacentes.
68
(a) ba−1Xcd, c−1da−1bY . (b) ba−1Xda−1bY d.
Figura 4.27:
3) Ahora, se realiza un corte a lo largo de la lınea a1, que une el final de las
aristas asignadas con la letra b, de acuerdo al sentido que se muestra en
la figura 4.28 (a). Luego, al realizar el corte se separan en dos polıgonos
con una palabra que los identifica a cada uno, figura 4.28 (b). Ademas,
se incrementa una nueva arista en cada polıgono que se identifica con la
letra a1.
(a) ba−1Xda−1bY d. (b) a1a−1Xda−1b, dba−1
1 Y .
Figura 4.28:
4) Para pegar las aristas identificadas por b, se debe trasladar, girar y reflejar
el polıgono que tiene como palabra dba−11 Y , figura 4.29 (a). Al pegar las
aristas, el polıgono resultante tiene la misma cantidad de aristas antes de
cortar por a1, figura 4.29 (b). Se pude comprobar contando las letras que
interviene en la palabra ya que cada una representa una arista.
69
(a) a1a−1Xda−1b, a1b
−1d−1Y . (b) a1a1a−1Xda−1d−1Y .
Figura 4.29:
5) Luego, se corta a lo largo de la lınea a2, que une el final de las aristas
designadas por a−1, de acuerdo al sentido que se observa en la figura 4.30
(a). Note que, al realizar el corte se separan en dos polıgonos con una
palabra que los identifica a cada uno, figura 4.30 (b). Ası como antes
se incrementa una nueva arista en cada polıgono que se identifica con la
letra a2.
(a) a1a1a−1Xda−1d−1Y . (b) a−1Xda−1
2 , a1a1a2a−1d−1Y .
Figura 4.30:
6) Puesto que se requiere pegar las aristas identificadas por a, entonces
se debe trasladar, girar y reflejar el polıgono que tiene como palabra
a−1Xda−12 , figura 4.31 (a). Al pegar las aristas, el polıgono resultante
tiene la misma cantidad de aristas antes de cortar por a2, figura 4.31 (b).
70
(a) aa2d−1X, a1a1a2a
−1d−1Y . (b) a1a1a2a2d−1Xd−1Y .
Figura 4.31:
7) Finalmente se corta a lo largo de la lınea a3 que une el final de las aristas
asignadas con la letra d−1, teniendo en cuenta el sentido que se muestra en
la figura 4.32 (a). Luego, al realizar el corte se separan en dos polıgonos
con una palabra que los identifica a cada uno, figura 4.32 (b). Observe
que se incrementa una nueva arista en cada polıgono y se identifica con
la letra a3.
(a) a1a1a2a2d−1Xd−1Y . (b) a1a1a2a2a3d
−1Y, a−13 d−1X.
Figura 4.32:
8) Por ultimo se pegan las aristas identificadas por d, entonces se debe
trasladar, girar y reflejar el polıgono que tiene como palabra a−13 d−1X,
figura 4.33 (a). Al pegar las aristas, el polıgono resultante tiene la misma
cantidad de aristas antes de cortar por a3, figura 4.33 (b).
71
(a) a1a1a2a2a3d−1Y , da3X. (b) a1a1a2a2a3a3XY .
Figura 4.33:
En caso que las lıneas punteadas de la figura 4.25, no representen ninguna
arista se las puede omitir y por tanto se obtiene que la suma conexa de un
plano proyectivo y un toro (figura 3.10) es homeomorfa a la suma conexa de
tres planos proyectivos (figura 3.15). Ası, si despues de haber realizado los
cuatro pasos del algoritmo combinatorio se tiene m pares de segunda especie
adyacentes y n cuaternas, cada cuaterna formada por dos pares de aristas de
primera especie que se separan entre sı. Por la proposicion 7 significa que
tenemos la suma conexa de m planos proyectivos y n toros la cual es homeo-
morfa a la suma conexa de m+2n planos proyectivos, por lo tanto el algoritmo
combinatorio terminarıa.
A continuacion, se demuestra el teorema de clasificacion de superficies com-
pactas en R2, con ayuda de los resultados antes obtenidos.
Teorema 9. [8] Toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera, a una
suma conexa de toros, o a una suma conexa de planos proyectivos.
Demostracion. Sea S una superficie compacta por el teorema 8 es triangu-
lable. Luego, por la proposicion 6 la superficie S es homeomorfa al espacio
cociente obtenido de un polıgono con un numero par de lados identificados dos
a dos. Dicho polıgono tiene asociado una palabra que describe completamente
al polıgono. Por ultimo, si se aplica el algoritmo combinatorio la palabra se re-
72
duce a una de las combinaciones posibles para las superficies enunciadas en el
teorema 9.
Note que es posible el inverso de la proposicion 7, pues si tenemos tres pares
de aristas de segunda especie se puede reemplazar por un par de aristas de
segunda especie y dos pares de aristas de primera especie que se separan entre
sı. Por tanto se formula el siguiente teorema.
Teorema 10. [8] Toda superficie compacta orientable es homeomorfa a una
esfera o a la suma conexa de n toros. Toda superficie compacta no orientable
es homeomorfa a la suma conexa de una superficie compacta orientable con un
plano proyectivo, o bien con una botella de Klein.
4.1 Caracterıstica de Euler
Anteriormente se mostro que toda superficie compacta es homeomorfa a una
esfera, o a una suma conexa de toros, o a una suma conexa de planos proyec-
tivos. Ahora se debe comprobar que las superficies no son homeomorfas entre
sı, es decir que dado n,m ∈ Z+, m 6= n, la suma conexa de n toros no es
homeomorfa a la suma conexa de m toros para ello se introduce el concepto de
caracterıstica de Euler.
Sea M una superficie con una triangulacion dada por T = {T1, ..., Tt}.
a) v, numero total de vertices de M ,
b) e, numero total de aristas de M ,
c) t, numero total de triangulos.
Entonces, la caracterıstica de Euler de M esta dada por,
χ(M,T ) = v − e+ t.
A menudo se considera como caracterıstica de Euler de M por χ(M), dejando
sobreentendida la triangulacion T .
73
La caracterıstica de Euler de una superficie M , no depende de la triangulacion
elegida sino solamente de M . Para probar esto se enuncia algunos resultados
previos.
Definicion 22. Sea M una superficie compacta. Sea T la coleccion de todas
las triangulaciones posibles de M . Sean Tα, Tβ ∈ T donde,
Tα = {Tα1 , Tα2 , ..., Tαn} ,
Tβ = {Tβ1 , Tβ2 , ..., Tβm} .
Si para cada j = 1, ..., n se tiene que,
Tαj=⋃i∈I
Tβi ,
para algun I ⊂ {1, ...,m}, se dice que Tα es menor que Tβ. Y se denota por
Tα < Tβ.
Si P es un polıgono en el plano R2, entonces el polıgono P separa en dos regiones
abiertas conexas a R2. La primera es el interior de P que es homeomorfa a U2
y se denota por Pin y la otra region es el exterior de P y se denota por Pex.
Definicion 23. Sea P un polıgono. Una diagonal de P es un segmento recto
que une dos vertices distintos en el polıgono P y esta contenido en Pin.
Observacion 6. En todo polıgono P que posee mas de tres vertices es posible
trazar una diagonal.
Proposicion 8. Un polıgono P cualquiera tiene por lo menos una triangu-
lacion.
Demostracion. La prueba se realiza utilizando induccion sobre el numero n de
vertices en P .
Si, n = 3 no hay nada que probar puesto que P es un triangulo.
Se supone el resultado es verdadero para n, es decir todo polıgono de n vertices
tiene una triangulacion.
Ahora, se considera un polıgono P con n + 1 vertices. Por la observacion
74
6 se tiene que el polıgono P tiene una diagonal que esta contenida en Pin
dicha diagonal divide al polıgono en dos polıgonos que tienen un numero de
vertices menor o igual a n. Por la hipotesis de induccion cada uno de los dos
polıgonos tiene una triangulacion. La union de las dos triangulaciones es una
triangulacion para el polıgono P y por lo tanto se tiene el resultado.
Proposicion 9. Sean Tα, Tβ dos triangulaciones de M . Entonces existe una
triangulacion T ∈ T , tal que Tα < T y Tβ < T .
Demostracion. Se analiza el caso Tα < Tβ, entonces se tiene que T = Tβ.
Ahora, si se supone que no se cumple ninguno de los dos casos Tα < Tβ y
Tβ < Tα. Entonces al superponer Tα sobre Tβ se obtiene una nueva subdivision
de M , denominada por Q que tiene los siguientes elementos:
a) Los vertices de Q son; los vertices de Tα, los vertices de Tβ y las interse-
cciones entre los lados de Tα con los lados de Tβ.
b) Los lados de Q son; los subconjuntos conexos de los lados de Tα o Tβ tales
que contienen exactamente dos vertices de Q.
c) Las caras de Q son; las clausuras de las componentes conexas formadas
por los interiores de las intersecciones de los triangulos de Tα con Tβ.
Note que, toda cara de Q esta contenida en algun triangulo de Tα o Tβ, entonces
la imagen inversa de la cara por el homeomorfismo asociado a dicho triangulo
es un polıgono. Por la proposicion 8, el polıgono tiene una triangulacion por
lo tanto la cara es triangulable. Ası, la union de los triangulos de cada cara de
Q, es una triangulacion de M . Lo que finaliza la demostracion.
Lema 7. Sea N una subdivision de M . Una subdivision se define como una
descomposicion de M por un numero finito de polıgonos que no necesariamente
son triangulos, tales polıgonos o son disjuntos; o su interseccion entre dos
cualesquiera es por sus lados completos o solo por los vertices. Sean v, l, p el
numero de vertices, lados y polıgonos respectivamente en N . La caracterıstica
de Euler de M esta dada por
75
χ(M,N) = v − l + p.
Entonces la caracterıstica de Euler de M es invariante bajo las siguientes ope-
raciones:
i) Si en un vertice solamente concurren dos lados de N , entonces es posible
fusionar los dos lados en uno eliminando dicho vertice.
ii) Si dos polıgonos tiene un lado en comun, entonces se puede fusionar
las dos regiones interiores en una sola region suprimiendo dicho lado en
comun.
Demostracion. Para el caso i), si se fusionan dos lados eliminado un vertice
entonces el numero de vertices reduce en uno, y el numero de lados tambien se
reduce en uno. Ası, se tiene que,
χ(M,N) = (v − 1)− (l − 1) + p = v − l + p.
Se concluye que el valor de la caracterıstica de Euler no cambia.
Para el caso ii), si se fusionan las dos regiones interiores de dos polıgonos
suprimiendo un lado en comun, se reduce el numero de lados en uno y tambien
el numero de polıgonos luego se sigue,
χ(M,N) = v − (l − 1) + (p− 1) = v − l + p.
Al igual que antes la caracterıstica de Euler no varıa.
Proposicion 10. Sean Tα, Tβ dos triangulaciones de M tales que Tα < Tβ,
entonces χ(M,Tα) = χ(M,Tβ).
Demostracion. Sean Tα = {A1, A2, ..., An}, Tβ = {B1, B2, ..., Bm} dos triangu-
laciones de M tales que Tα < Tβ.
Sea Ai, i ∈ {1, ..., n} un triangulo de Tα, como Tα < Tβ se tiene que,
76
Ai =⋃j∈I
Bj,
donde Bj, es un triangulo de Tβ, y I ⊂ {1, ...,m}. Se define como vertices
interiores de Ai, a los vertices de Bj, j ∈ I que se estan en el interior de Ai. Se
denomina como vertices del borde de Ai, a los vertices de Bj, j ∈ I que estan
en el borde de Ai excepto los de Ai. Se define la multiplicidad de un vertice
interior v de Ai, como el numero de lados de los Bj que son incidentes con v.
Ahora, mediante el siguiente proceso se va a eliminar vertices y lados de los
Bj, j ∈ I hasta tener solo vertices y lados de Ai.
1) Se elige el vertice interior de Ai con menor multiplicidad, en el caso que
todos los vertices interiores de Ai tenga la misma multiplicidad se escoge
cualquiera y se le denomina como v0.
2) Se elimina cualquier lado incidente con el vertice v0, entonces existen dos
posibilidades:
a) Si el vertice v0 tiene multiplicidad dos entonces se fusiona los dos la-
dos en uno eliminando el vertice v0, luego se fusionan las dos regiones
interiores en una sola suprimiendo dicho nuevo lado. De manera
siguiente, se busca si hay otros vertices interiores de Ai con multi-
plicidad dos y se aplica el mismo proceso descrito para v0 a cada
uno de ellos.
b) Si el vertice v0 no tiene multiplicidad dos se elimina cualquier lado
incidente con v0 y de nuevo se tiene las dos posibilidades. El proceso
se repite hasta que algun momento v0 tenga multiplicidad dos y luego
sera eliminado junto con su lado incidente.
3) Se repite el paso (1) hasta eliminar todos los vertices interiores de Ai.
4) Luego, se elimina los lados de Bj, j ∈ B cuyos vertices estan en el borde
de Ai.
El proceso anterior se repite para cada Ai, i = 1, ..., n de Tα y por ultimo se
77
elimina los vertices del borde de Ai, i = 1, ..., n. Ası, mediante una cantidad
finita de pasos es posible pasar de la triangulacion Tβ a la triangulacion Tα.
Ademas, por el lema 7 todos los pasos aplicados anteriormente no modificaron
el valor de la caracterıstica de Euler y se tiene que,
χ(M,Tα) = χ(M,Tβ).
Proposicion 11. Sean Tα, Tβ dos triangulaciones de M , entonces χ(M,Tα) =
χ(M,Tβ).
Demostracion. Por la proposicion 9, existe una triangulacion T tal que Tα < T
y Tβ < T . Entonces por la proposicion 10, se tiene que χ(M,Tα) = χ(M,T ) y
χ(M,Tβ) = χ(M,T ), por lo tanto se concluye que,
χ(M,Tα) = χ(M,Tβ).
A continuacion, se menciona la caracterıstica de Euler de las superficies mas
comunes.
a) Esfera, χ(S2) = 2,
b) Toro, χ(T 2) = 0,
c) Plano proyectivo, χ(P 2(R)) = 1.
Existe una manera de relacionar la caracterıstica de Euler con la suma conexa
de superficies.
Proposicion 12. Sean S1 y S2 dos superficies compactas. La caracterıstica de
Euler de la suma conexa de S1]S2 esta dada por,
χ(S1]S2) = χ(S1) + χ(S2)− 2.
Demostracion. Sean T, T′
triangulaciones de las superficies S1 y S2 respectiva-
mente. Se elige un triangulo T1 en S1 y un triangulo T′1 en S2 los cuales son
homeomorfos a discos cerrados que pueden ser utilizados como los discos que
se quitan en la definicion de suma conexa.
78
Los triangulos sobrantes en T, T′
forman una triangulacion para S1]S2. Se
analiza v, e, t para S1]S2.
a) v(S1]S2) = v(S1) + v(S2) − 3, pues los tres vertices de T1 se identifican
con los tres vertices de T′1,
b) e(S1]S2) = e(S1) + e(S2)− 3, pues los tres lados de T1 se identifican con
los tres lados de T′1,
c) t(S1]S2) = t(S1)− 1 + t(S2)− 1, pues se quita un triangulo a cada trian-
gulacion.
Entonces,
χ(S1]S2) = v(S1]S2)− e(S1]S2) + t(S1]S2),
= v(S1) + v(S2)− 3− e(S1)− e(S2) + 3 + t(S1)− 1 + t(S2)− 1,
= v(S1)− e(S1) + t(S1) + v(S2)− e(S2) + t(S2)− 2,
= χ(S1) + χ(S2)− 2.
Proposicion 13. La caracterıstica de Euler, cumple con lo siguiente:
a) Suma conexa de n toros 2− 2n.
b) Suma conexa de n planos proyectivos 2− n.
Demostracion. La prueba se realiza utilizando induccion sobre n, y con ayuda
de la proposicion 12.
a). Puesto que χ(T 2) = 0, si n = 2 se tiene que,
χ(T 2]T 2) = 0 + 0− 2 = 2− 2 · 2
Se supone que se cumple para n es decir,
χ (T 2]...]T 2)︸ ︷︷ ︸n−veces
= 2− 2n.
79
Ahora se analiza el caso para n+ 1 entonces,
χ (T 2]...]T 2)︸ ︷︷ ︸(n+1)−veces
= χ (T 2]...]T 2)︸ ︷︷ ︸n−veces
+χ(T 2)− 2,
= 2− 2n+ 0− 2,
= 2− 2(n+ 1).
b). Como χ(P 2(R)) = 1, entonces si n = 2,
χ(P 2(R)]P 2(R)) = 1 + 1− 2 = 2− 2.
Se considera el resultado verdadero para n,
χ (P 2(R)]...]P 2(R))︸ ︷︷ ︸n−veces
= 2− n.
Se estudia el caso para n+ 1,
χ (P 2(R)]...]P 2(R))︸ ︷︷ ︸(n+1)−veces
= χ (P 2(R)]...]P 2(R))︸ ︷︷ ︸n−veces
+χ(P 2(R))− 2,
= 2− n+ 1− 2,
= 2− (n+ 1).
Note que la caracterıstica de Euler de una superficie orientable siempre es par,
mientras tanto la de una superficie no orientable puede que sea par o impar.
Con ayuda de la caracterıstica de Euler es posible clasificar a las superficies.
Por otro lado, el siguiente resultado ayuda a comprobar que las superficies
estudiadas en el teorema 9, no son homeomorfas entre sı.
Teorema 11. Dos superficies compactas son homeomorfas si y solo si tienen
la misma caracterıstica de Euler y las dos superficies son orientables o no
orientables.
80
Note que, si n,m ∈ Z+, m 6= n, por la proposicion 13 se tiene que la carac-
terıstica de Euler para la suma conexa de n toros es 2 − 2n y para la suma
conexa de m toros es 2−2m por lo tanto por el teorema 11, dichas superficies no
son homeomorfas. Utilizando el mismo razonamiento al considerar diferentes
sumas conexas de planos proyectivos se prueba que no son homeomorfas entre
sı. Por ultimo, se considera el caso donde para cualquier numero de planos
proyectivos su suma conexa es una superficie no orientable y la suma conexa
de toros es una superficie orientable entonces por el teorema 11 se concluye que
no son homeomorfas.
Sea S una superficie compacta es posible definir lo que se conoce como genero
de la superficie S, la cual tiene una relacion con la caracterıstica de Euler por
lo tanto.
a) g =1
2(2− χ(S)), donde S es orientable,
b) g = 2− χ(S), donde S no es orientable.
Intuitivamente el genero de una superficie es el numero maximo de curvas
cerradas simples que se puede dibujar en la misma, con la propiedad que estas
curvas no se intersecan y no separan la superficie. La esfera tiene genero cero
pues si se corta siguiendo una curva cerrada simple, sea cual sea esta siempre
se obtendra dos conjuntos disjuntos. El toro es de genero 1 ya que si se realiza
un corte a lo largo de los meridianos vamos a obtener que sigue en una sola
pieza. De la misma manera, se puede ver que el plano proyectivo tiene genero
1, la botella de Klein tiene genero 2, el bitoro tiene genero 2.
Conjetura de Poincare
De la misma manera como para superficies compactas se necesita encontrar in-
variantes topologicos que permitan distinguir entre variedades 3-dimensionales
tales invariantes deben ser analogos a los considerados en el teorema 11 en di-
mension 3. Con el pasar del tiempo muchos matematicos expertos en diversas
areas tales como: Geometrıa diferencial, Ecuaciones diferenciales, Topologıa,
81
etc., han intentado resolver este problema.
No existe hasta la actualidad una respuesta completa a dicho problema. En
cambio, se centraron en un cierto tipo de variedades 3-dimensionales por lo
cual intentaron resolver la Conjetura de Poincare propuesta por el matematico
frances Henri Poincare (1854-1912). Mas precisamente, el enunciado dice lo
siguiente:
Toda variedad 3-dimensional, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a
S3
Existieron muchos intentos fallidos hasta que el matematico ruso Grigori Perel-
man dio una comprobacion de la Conjetura de Poincare como un caso parti-
cular de una conjetura mas general denominada Conjetura de Geometrizacion
de Thurston probada por Perelman en dos artıculos publicados en arXiv, el
primero publicado el 11 de noviembre de 2002 titulado como The entropy for-
mula for the Ricci flow and its geometric applications de 39 paginas y el se-
gundo publicado el 10 de marzo de 2003 titulado como Ricci flow with surgery
on three-manifolds de 22 paginas, dicho artıculo completaba algunos detalles
del primer artıculo en la demostracion. Paso mucho tiempo para que la comu-
nidad cientıfica de el visto bueno a su demostracion, hasta que en 2006 a Grigori
Perelman se le otorgo la Medalla Fields reconociendo sus logros alcanzados al
demostrar uno de los problemas considerados como problemas del milenio. Se
debe recalcar que Perelman rechazo la Medalla Fields.
A continuacion, se presenta una idea de la demostracion de Perelman.
Ası pues, se parte de una variedad tridimensional, compacta, orientable cual-
quiera y se busca garantizar la existencia de algun tipo de transformacion con-
tinua que nos permita deformarla en una hiperesfera. Perelman demostro que
la transformacion conocida en matematicas como “el flujo de Ricci” permite
hacer esto posible. El flujo de Ricci es un termino geometrico que describe la
trayectoria del calor a traves de un objeto, esto es, describe como se difunde
el calor en el interior de un objeto y fue inicialmente presentado por Richard
Hamilton.
82
Supongamos que tenemos un objeto tridimensional y lo calentamos. Para des-
cribir matematicamente la difusion de la ola de calor a traves del interior del
objeto, introducimos en este una metrica (que es una trama de planos), y
describimos el efecto del calor en ella. La sucesion de imagenes matematicas
que recogen el comportamiento del flujo de calor en la metrica es lo que se
conoce con el nombre de flujo de Ricci.
La principal caracterıstica del flujo de Ricci (el calor) es deformar una va-
riedad hacia la forma esferica, sin embargo si la variedad tiene lo se conoce
como singularidades (esquinas, puas, cicatrices, etc.), pueden surgir problemas.
Perelman demostro que, si a una variedad tridimensional compacta y orientable
se le somete al flujo de Ricci, esta se deforma y se convierte en una sucesion
de bolas unidas entre sı por filamentos. Perelman se dio cuenta que el flujo
de Ricci no puede atravesar los filamentos, es decir se queda atascado, ası que
Perelman los sustituye por cilindros (tubitos) por los que sı puede pasar el
flujo de Ricci. Para realizar dicha sustitucion utiliza un proceso de cirugıa,
primero corta los filamentos de las esferas, lo que deja con una coleccion de
esferas tridimensionales sueltas. Luego, recompone la variedad conectado de
nuevo las esferas entre sı, pero esta vez no con filamentos sino con cilindros.
Finalmente, demuestra que la variedad que ha obtenido es topologicamente
equivalente tanto a la primera variedad como a la hiperesfera. Ası pues, todas
ellas son topologicamente equivalentes la una a la otra, con lo que la Conjetura
de Poincare queda demostrada como cierta.
83
CONCLUSIONES
• Para saber si dos superficies compactas son topologicamente equivalentes
por el teorema 11, basta analizar la orientabilidad y la caracterıstica de
Euler de dichas superficies. Por lo tanto, dichos invariantes son capaces
de clasificar todas las superficies compactas posibles.
• Un resultado precursor en dimension 2 a la conjetura de Poincare es el
siguiente:
Toda variedad 2-dimensional, cerrada y simplemente conexa es homeo-
morfa a S2.
Este resultado fue probado en el siglo XIX, con ayuda de los numeros de
Betti una herramienta sofisticada para la epoca. Ahora, gracias al grupo
fundamental introducido por Poincare y al Teorema de clasificacion de
superficie compactas en R2 es posible dar otro tipo de demostracion.
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BIBLIOGRAFIA
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