UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN...
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS Función definida por partes. Un análisis histórico didáctico referente a su tratamiento escolar Elaborado por: Elma Guadalupe Yam Huh Asesor: M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa Examen profesional para obtener el título de: Licenciada en Enseñanza de las Matemáticas Modalidad: Tesis Individual Mérida, Yucatán, México Julio 2009
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Función definida por partes. Un análisis históricodidáctico referente a su tratamiento escolar
Elaborado por:
Elma Guadalupe Yam Huh
Asesor:
M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa
Examen profesional para obtener el título de:
Licenciada en Enseñanza de las Matemáticas
Modalidad: Tesis Individual
Mérida, Yucatán, México
Julio 2009
Agradecimientos
Agradezco a todos los profesores de la Facultad de Matemáticas que intervinieron en
mayor o menor medida en mi formación académica y profesional.
Especialmente, agradezco a Eddie, Martha, Landy y Lupita, quienes siempre
estuvieron dispuestos a escuchar, dar consejos y brindar su apoyo incondicional, por
lo que no influyeron sólo en mi formación académica y profesional, sino también en
mi formación personal, Muchas gracias por todo.
A Eddie mi asesor y amigo, le agradezco por su comprensión, consejos y sabiduría,
que siempre compartió con sus estudiantes y tesístas. Así como a mi amiga Lupita,
quien junto con Eddie me tuvieron paciencia ente mis inseguridades, gracias a
ambos, por no dejarme desfallecer ante las adversidades, por su apoyo incondicional
y confianza.
A mis compañeros de quienes sin duda adquirí algún aprendizaje a lo largo de la
carrera y de quienes me llevo un grato recuerdo.
Por sobre todo, quiero agradecer a mi familia, por su apoyo, sin el cual no hubiera
podido salir adelante, gracias por confiar en mí y apoyarme en mis decisiones.
Gracias por haberme permitido alcanzar éste logro profesional que es de ustedes.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN i
CAPÍTULO UNO
PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Antecedentes 1
1.1.1 Obstáculos epistemológicos 3
1.1.2 Obstáculos didácticos 5
1.1.3 Obstáculos ontogénicos 6
1.2 Problema de investigación 7
CAPÍTULO DOS
ANTECEDENTES
2.1 Introducción 10
2.2 Desarrollo histórico del concepto 10
2.3 Tratamiento escolar del concepto función 16
2.4 Obstáculos asociados al aprendizaje del concepto función 18
CAPÍTULO TRES
MARCO TEÓRICO
3.1. Perspectivas teóricas 21
3.2. Socioepistemología 22
3.3. Socioepistemología como marco teórico 24
3.3.1 Carácter epistemológico de la función definida por partes 25
3.3.2 Carácter didáctico de la función definida por partes 28
3.3.3 Carácter cognitivo de la función definida por partes 29
3.3.4 Lo sociocultural en la construcción de la función
definida por partes 32
3.3.5 Una mirada sistémica 33
CAPÍTULO CUATRO
METODOLOGÍA
4.1 Introducción 35
4.2 Análisis preliminar 36
4.2.1 Análisis epistemológico 36
4.2.2 Análisis Didáctico 39
4.2.3 Análisis cognitivo 51
4.3 Conclusiones 53
4.4 Segundo instrumento 54
CAPÍTULO CINCO
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
5.1 Primer Instrumento 58
5.1.1 Actividad 1 58
5.1.2 Actividad 2 69
5.2 Segundo Instrumento 73
5.2.1 Primera sección 74
5.2.2 Segunda sección 76
5.2.3 Tercera sección 77
5.2.4 Cuarta sección 79
CAPÍTULO SEIS
CONCLUSIONES 81
REFERENCIAS 84
i
INTRODUCCIÓN
Durante el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, ha sido evidente
e inevitable, la aparición de obstáculos en dicho proceso. Entendemos por obstáculo,
un conocimiento que fue aprendido en un momento determinado como adecuado,
pero aparece como incorrecto e inadecuado cuando se pretende la adquisición de un
nuevo conocimiento, de tal forma que obstaculiza dicha adquisición.
Por ejemplo, es ampliamente conocido por profesores de matemáticas e
investigadores en matemática educativa, la diversidad de obstáculos que se
presentan en estudiantes respecto a sus conocimientos y usos del concepto función.
Es por esto que nuestro trabajo, se implantó en el estudio del proceso de enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas, centrándose específicamente en el concepto
función definida por partes. Ya que cuando su aprendizaje resulta débil o
inadecuado, éste terminará convirtiéndose en un obstáculo para la adquisición de
nuevos conocimientos en el área del cálculo, como por ejemplo, continuidad,
derivada, límite, entre otros.
Consideramos en nuestro trabajo, que el estudio de las prácticas que permitieron la
construcción (histórica) conceptual de los conceptos, dará ideas de formas de
tratamiento escolar, que permitan una mejor adquisición de los conceptos, luego
entonces, si se pretende aplicar tales ideas dentro de un marco definido (el escenario
mediante el cual se realiza la enseñanza), resulta conveniente y necesario realizar un
estudio de tal escenario para lograr, clarificar el tipo de relación que se establece
entre la didáctica y la historia de la función definida por partes respecto a su actual
tratamiento escolar, con la finalidad de identificar elementos adecuados que permitan
aportar ideas sobre formas o alternativas de reconstrucción de significados1 de la
función definida por partes. 1 Los significados se constituyen en las mentes de las personas referente a un concepto u objeto
matemático según su experiencia. Dicho así, los significados no están en los objetos, conceptos o
definiciones, sino en las ideas que las personas se forman y anclan de éstos.
ii
A continuación presentamos un breve panorama de los contenidos de los capítulos
incluidos en nuestra investigación:
En nuestro primer capítulo, presentamos la problemática identificada que nos
permitió el planteamiento de nuestra pregunta de investigación.
En el segundo capítulo, se dan a conocer los antecedentes, específicamente del
tratamiento escolar, del desarrollo histórico y de los obstáculos asociados al
concepto función.
En el capítulo 3, define el marco teórico bajo el cual fue desarrollado nuestra
investigación, así como la especificación de porque bajo un marco y no otro.
En el capítulo 4, describimos de manera detallada la metodología realizada para la
obtención de nuestra tesis.
En el capítulo 5, presentamos a detalle los resultados obtenidos en la realización de
nuestra metodología, así como el análisis realizado.
Finalmente, en el capítulo 6 presentamos las conclusiones obtenidas en el desarrollo
de nuestra investigación.
0
CAPÍTULO UNO
PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1
1.1 Antecedentes
Es sabido que las matemáticas son el resultado de las actividades de una comunidad
que se ha desarrollado desde hace muchos siglos (Núñez, s. f.), lo que ocasiona que
al momento de llevarlas al sistema educativo no sean materia fácil para quienes las
enseñan y quienes desean aprenderlas. A los estudiantes de hoy en día se les
asigna una responsabilidad de aprender en unos cuantos años, conceptos cuya
constitución y elaboración como hoy en día se les conoce, fue necesario un largo
proceso de construcción (epistemología), en la que intervinieron grandes
matemáticos y un sin fin de problemas naturales y no tan naturales.
En consideración con los profesores, se debe reconocer que antes de ser docentes,
les precede una larga carrera como estudiantes, por lo que tienen una doble
responsabilidad para con sus estudiantes, ya que les corresponde tener un amplio
conocimiento de las matemáticas. Y no basta con no contar con la dificultad propia
de las matemáticas, ya que también es necesario que adquieran la habilidad para
comunicar ideas matemáticas a otros, capacidad para razonar matemáticamente y
familiaridad con el uso de diversas herramientas para aprender y hacer matemáticas
(González, 1999).
En general, el tratamiento que se da a las nociones o conceptos matemáticos en la
escuela, suele basarse en una epistemología artificial de los mismos. Es decir, se les
confiere de ciertos procesos, mecanismos, significados y sentidos que en muchas
ocasiones, sólo tienen o alcanzan legitimidad en razón de lo institucional y donde
tales epistemologías son diseñadas por los profesores de acuerdo a sus propias
consideraciones y conocimientos, así como a las restricciones que plantean el
funcionamiento “social” del sistema didáctico y del tiempo del mismo o para él
mismo.
Este tipo de hechos genera ciertos obstáculos en los aprendizajes matemáticos de
los estudiantes. No obstante, en la reproducción de estos obstáculos intervienen
más factores, los cuales son identificados de acuerdo al tipo de obstáculos que se
presenta.
2
Por ejemplo, es ampliamente conocido por profesores de matemáticas e
investigadores en matemática educativa, la diversidad de obstáculos que se
presentan en estudiantes respecto a sus conocimientos y usos del concepto función.
Los obstáculos presentes en los aprendizajes matemáticos, han sido clasificados de
acuerdo a aquello que le da origen (a su génesis), por lo que se identifican tres tipos
de obstáculos, a saber:
• Epistemológicos. Son los obstáculos que ciertos conceptos tienen para ser
aprendidos, es propio del concepto, por ejemplo la dificultad del concepto de
conceptuar el cero, los números relativos, etc., todos estos han sido
problemas históricos en cuanto a su desarrollo conceptual, son obstáculos que
también se pueden presentar en la enseñanza de la matemática (Barrantes,
2006).
• Didácticos. Son los que se adquieren o aparecen por el modo de enseñar o
por la elección de un tema o una axiomática en particular, en general, este tipo
de obstáculos son creados casi siempre por los mismos profesores en los
niveles escolares precedentes, cuando presentan modelos intuitivos que crean
falsas concepciones, a veces insuperables
• Ontogénicos. Son debidos a las características evolutivas del estudiante y, en
particular, a la madurez en el desarrollo de sus capacidades.
Cabe mencionar que los obstáculos que hemos mencionado son conocidos en el
campo de la matemática educativa como fenómenos didácticos ya que son sucesos
y hechos inesperados, los cuales surgen en la interrelación entre las variables del
sistema didáctico, profesor-saber, saber-alumno y profesor-alumno (representados
en un triangulo, Figura 1.1); sin embargo, en tales interrelaciones podemos encontrar
más fenómenos didácticos de los ya mencionados, debido a la naturaleza de su
definición.
3
Ahora, teniendo en cuenta los obstáculos que intervienen en el aprendizaje de las
matemáticas, nos centraremos en identificar los relativos a nuestro trabajo, las
relacionadas con el aprendizaje de la función definida por partes.
1.1.1 Obstáculos epistemológicos
En el análisis de la construcción histórica del concepto función, es posible encontrar
diferencias de opiniones entre los matemáticos de antaño respecto al significado y
representación de tal concepto.
La primera definición formal de función fue dada en 1748 por Euler en su libro
Introductio in analysin infinitorum,
“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de
cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades
constantes”
En Aparicio y Cantoral (2006) se hace referencia a que en cierta forma, esta
definición no considera a la función definida por partes, en el sentido moderno.
FIGURA 1.1 TRIÁNGULO DIDÁCTICO
SABER
SABER PROFESOR
4
Nótese incluso, que la frase “… una expresión analítica…”, hace suponer aun más lo
referido.
En el mismo libro en el cual Euler proporciona la definición de función antes
mencionada, presenta la definición de funciones continuas, discontinuas y mixtas.
Definiendo a una función continua como aquella que se expresaba mediante una
única expresión analítica, una función mixta se expresaba en términos de dos o más
expresiones analíticas. Una función discontinua incluía funciones mixtas; bajo tales
características, pareciera ser que estas definiciones dadas por Euler, fue debido al
análisis analítico de la función, a diferencia de la definición general de esta. Sin
embargo, esta clasificación de tipos de funciones presentaba problemas; el primero
de ellos fue señalada en 1780 cuando se demostró que una función mixta, dada por
distintas fórmulas, a veces podía darse mediante una sola fórmula. El ejemplo más
claro de una función de esta forma fue dado por Cauchy en 1844 cuando notó que la
función 0 0 podía expresarse mediante la fórmula √ . Por lo
tanto dividir las funciones en continuas y mixtas (de acuerdo a la definición de Euler),
no tenía sentido.
Fue más tarde, debido al problema de la cuerda vibrante que el concepto de función
se fortaleció. Al intentar dar solución a dicho problema, Lagrange obtuvo importantes
consecuencias para la formación del concepto de función, logrando que las funciones
definidas por partes fueran incluidas dentro de la definición de función.
Sin embargo, fue hasta el año 1837 que Dirichlet presentó la siguiente definición de
función:
“ es una función de una variable , definida en un intervalo , si a todo
valor de la variable en este intervalo corresponde un valor definido de la
variable . También es irrelevante en qué forma esta correspondencia se
establece”.
En donde se puede observar que esta definición, ya incluye a la función definida por
partes.
5
En la epistemología de la función definida por partes se puede observar que la
producción misma de este concepto no fue fácil, y ocasionó controversias entre
grandes matemáticos de antaño. Por lo que este hecho puede repetirse en los
estudiantes en la actualidad, generando de esta manera, un obstáculo
epistemológico en el aprendizaje de este tipo de función.
No obstante, este obstáculo epistemológico se presenta en algunos profesores, y
muchas veces no es superado por ellos mismos, durante su estado como
estudiantes, hecho Inquietante reportado en el trabajo de De la Rosa, (2003), donde
señala que se tiene muy arraigada la idea de funciones escritas con una sola
expresión, dejando de lado la idea de función definida por partes, acontecimiento que
se dio también en tiempos de Euler. Lo que nos permite reflexionar sobre la
importancia del conocimiento de los conceptos en la dimensión histórica.
1.1.2 Obstáculos didácticos
En el proceso enseñanza-aprendizaje de la función definida por partes, también
puede mirarse la presencia del obstáculo didáctico. Recuérdese que por obstáculo
didáctico se hace referencia a la elección del profesor de un tema a enseñar y/o la
manera de llevar a cabo su enseñanza. Por lo que para hacer mención de la
presencia de este obstáculo, se hace necesario centrarse en dicha elección del
profesor.
Se ha detectado que cuando el profesor pretende llevar a cabo su enseñanza del
concepto función, comienza con el tratamiento de funciones lineales con
comportamientos continuos y regulares.
O bien, cuando se enseña la graficación de funciones, se hace graficando
inicialmente las imágenes de los números enteros, a lo que le sigue la unión de estas
imágenes mediante una línea (contigua), lo que genera en los estudiantes la idea de
que toda función debe ser la que tenga todas las imágenes unidas, sin dejar “huecos”
entre una imagen y otra.
6
Este tratamiento empleado por la mayoría de los profesores, genera en los
estudiantes la concepción de que todas las funciones tienen el mismo
comportamiento, por lo que posteriormente, cuando los estudiantes interactúan con
funciones definidas por partes que presentan comportamientos no continuos ni
regulares o con “huecos”, se produce cierta negación o incomprensión a tal función.
Por ende, cuando los estudiantes se enfrentan a la representación gráfica de
funciones definidas por partes, que no tienen comportamientos contiguos, se les
dificulta reconocerlas como funciones, así lo reportan Ochoviet, Olavey y Testa
(2006).
Se puede decir entonces, que la elección del profesor en el tratamiento de un tema
puede ocasionar obstáculos en los estudiantes. Así, es importante que el profesor
disponga de elementos al momento de dotar de un particular tratamiento al concepto
función definida por partes que ayude al aprendizaje de la misma.
1.1.3 Obstáculos ontogénicos
En los trabajos desarrollados por Hitt (1994), Farfán y Hitt (1990), citados en Aparicio
y Cantoral (2006), se reporta que cuando se pide a profesores y estudiantes trazar
las graficas de funciones, estos tienden a trazar a aquellas funciones con la
propiedad de ser continuas. Dicho de otro modo, se puede decir que el “universo” de
representaciones y tipos de funciones que aparentemente logra estabilizarse en la
mente de estas personas, está asociado a la característica de contigüidad y
continuidad de las mismas. Este hecho es debido por un lado, al tratamiento
didáctico del concepto (obstáculo didáctico) y por otro, debido a que los seres
humanos perciben los fenómenos físicos, de manera global (Aparicio y Cantoral
(2006)) y con comportamientos contiguos y continuos, es decir, no parece natural
estudiar fenómenos con comportamientos que presentan saltos (Gráfica 1.1) o
desaparezcan en un intervalo (Gráfica 1.2).
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Otras lecturas, permitieron percatarnos de que hechos como el referido, en cierta
forma se corresponden con los presentados en tiempos pasados por algunos
pensadores matemáticos. Ejemplo de ello se presentó en la definición de función
dada por Euler, la cual permitía mirar que no se pensaba en la función definida por
partes.
Ante los aspectos señalados, consideramos que la enseñanza-aprendizaje del
concepto función definida por partes, presenta un problema de naturaleza didáctica y
epistemológica. Por lo que tomamos como pregunta de investigación:
¿Qué tipo de relación se establece entre la didáctica y la historia de la función
definida por partes respecto a su actual tratamiento escolar?
En consecuencia se asumió que un análisis didáctico-histórico sobre los elementos
que intervienen e intervinieron en el desarrollo y tratamiento escolar de la función
definida por partes, nos permitiría dar respuesta a nuestra pregunta de investigación,
así como alcanzar nuestro objetivo, el cual consiste en identificar elementos que
permitan aportar ideas sobre formas o alternativas de reconstrucción de significados,
escolares referente a la función definida por partes.
9
CAPÍTULO DOS
ANTECEDENTES
10
2.1 Introducción
En el proceso de enseñanza aprendizaje intervienen tres componentes esenciales,
los saberes, el profesor y el alumno. Cada uno de estos componentes tiene su propia
naturaleza y función, por lo que a pesar de ser de naturaleza diferente, los tres son
importantes en el proceso, ya que cuando alguno de ellos falla pone en riesgo el
buen funcionamiento del proceso.
Por un lado, el saber que lo que se enseña en las aulas de clase, son producto de
siglos de construcción en la que intervinieron diversos pensadores matemáticos de
diferentes épocas, y para su construcción fue necesario enfrentar diferentes
obstáculos relacionados en mayor medida con las actividades realizadas por los
pensadores matemáticos en el momento en que construían los conceptos. Hoy día
cuando los estudiantes reconstruyen en su cognición los conceptos matemáticos,
también se enfrentan a dificultades que en mayor o menor medida tienen que ser
superados, para poder incorporar los conceptos como suyos, o bien reconstruirlos en
su cognición.
Por otro lado, el profesor, como producto de las enseñanzas escolares, ha generado
su propia concepción de aprendizaje y de enseñanza, la cual, al no adaptarse a las
características cognitivas y de aprendizaje de los estudiantes, provoca una
desarticulación entre los componentes involucrados en el proceso de enseñanza-
aprendizaje.
2.2 Desarrollo histórico del concepto
La necesidad de modelar fenómenos, es posiblemente una de las necesidades que
provocó que el hombre generara conceptos relacionados con el concepto función,
por ejemplo, en el estudio del movimiento de los planetas realizado por Galileo se
observa cierta comprensión de una relación entre variables.
Pero se comienza a hablar de función de una manera más clara, gracias a la relación
que se estableció entre el algebra y la geometría, relacionando una gráfica con su
11
expresión analítica. Lo que tal vez favoreció que muchos matemáticos relacionaran
más tarde, a las funciones con comportamientos gráficos. Por ejemplo, Newton
consideró la curva , 0 como el lugar de intersección de dos líneas en
movimiento, una vertical y otra horizontal. La y representan el lugar de las líneas
horizontales y verticales respectivamente (Edwards, 1979).
Fue hasta 1692 cuando Leibniz utilizó por primera vez el término función para
referirse a cualquier cantidad que varía de un punto a otro en una “curva”, como la
longitud de la tangente, la normal, subtangente y de la ordenada. Así afirmaba “Una
tangente es una función de una curva”. No utilizaba el concepto de función de la
manera en que lo hacemos actualmente, para él una curva estaba formada por un
número infinito de tramos rectos infinitamente pequeños (Sastre, 2008).
Es de hacer notar que los objetos de estudio del Cálculo desarrollados por Newton y
Leibniz no fueron las funciones, sino las curvas. Se intentaban solucionar problemas
referidos a longitudes, áreas y tangentes relacionadas a curvas, como así también
encontrar la velocidad de puntos moviéndose a través de curvas.
Más tarde, durante el periodo moderno, que comenzó a finales del siglo XVI, las
funciones fueron equivalentes a expresiones analíticas. Y no fue hasta que
Descartes y Fermat decidieron darle un cambio a las cosas que, la aritmética y el
álgebra lograron superar su subordinación a la geometría, dando lugar a la
construcción de nuevas curvas consecuencia de nuevas ecuaciones algebraicas que
antes no eran consideradas por no ser posible dibujarlas con regla y compás (López
y Sosa 2007).
Euler fue el primero en dar una definición formal de función, en 1775 en su libro
introductio in analysin infinitorum, en el cual presenta a una función como:
“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de
cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades
constantes”
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trigonométrica. Esto rompió el “artículo de fe “del siglo XVIII, ya que vino a dejar claro
que dos funciones, dadas por diferentes expresiones analíticas, pueden coincidir en
un intervalo y ser diferentes fuera del mismo. Fourier puso las representaciones de
funciones por medio de expresiones analíticas (algebraicas) al mismo nivel que las
representaciones geométricas (curvas).
En 1829 Dirichlet estableció las condiciones suficientes para que lo planteado por
Fourier (toda función podía ser representada por una expansión en series) fuera
posible y definió función como: “y es una función de la variable x, definida en el
intervalo , si para todo valor de la variable x en ese intervalo, le
corresponde un valor determinado de la variable . Además, es irrelevante como se
establece esa correspondencia” (Sastre, 2008). La definición de función que
proporciona este matemático es la primera muestra constatada de la noción moderna
de función como correspondencia arbitraria entre dos conjuntos de números, sin
necesidad de que se encuentre dada por una expresión analítica (Bombal, s.f.).
Como ejemplo presentó la función que no está dada por una expresión analítica y
que a su vez no puede ser representada geométricamente, dicha función es la
siguiente:
A partir de los trabajos de este matemático el concepto de función adquiere un
significado independiente del concepto de expresión analítica, (Youscakevith, 1976,
citado en López, 2007).
Es gracias a la teoría de conjunto iniciada por Cantor (1845-1918) que se produce
una nueva evolución del concepto de función, definiéndola como “toda
correspondencia arbitraria que satisfaga la condición de unicidad entre conjunto
numéricos o no numéricos”.
16
2.3 Tratamiento escolar del concepto función
Los contenidos de saber que han sido designados como saberes a enseñar, en
general preexisten al movimiento que los designa como tales. Este saber sufre a
partir de esta designación un conjunto de transformaciones adaptativas que van a
hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza; de esta manera,
es que se crean las versiones didácticas de los saberes (Chevallard, 1997). El
trabajo que transforma de un objeto de saber a enseñar en un objeto de enseñanza,
es denominado transposición didáctica.
Aunque la transposición didáctica es realizada por diferentes organismos (como la
sociedad y las instituciones educativas), el proceso de enseñanza que realmente se
lleva a cabo en las aulas es organizado directamente por el profesor responsable, es
el quién decide qué y cómo serán aprendidos los conceptos. Por lo que los procesos
de aprendizaje escolar surgen de las prácticas de estudio organizadas por el
profesor, es decir el profesor realiza y lleva a cabo la transposición didáctica. En este
sentido, la enseñanza es diseño y ejecución de procesos didácticos (Cardelli, 2004).
Pero no basta con los conocimientos y concepciones del profesor con respecto a la
didáctica, ya que también requiere de un vasto conocimiento del saber a enseñar.
Cuando los profesores de matemáticas (responsables de la enseñanza de los
saberes), no cuentan con un claro conocimiento de los saberes a enseñar, aun con
sus concepciones didácticas, terminará por transmitir y generar en sus estudiantes
obstáculos, que impidan el aprendizaje de nuevos conceptos. Lo que propicia en
algunos casos la reprobación escolar de los estudiantes o dificultades en cursos
posteriores.
Generalmente, cuando los profesores no tienen un adecuado aprendizaje del
concepto a enseñar, terminan limitándose al uso de un libro de texto para enseñar un
tema, sin realizar la debida reflexión sobre la prudencia y coherencia de los
contenidos y tratamientos que dicho texto presenta.
17
Así es posible percatarse en la enseñanza del concepto función, que en los últimos
años ha tomado un enfoque estático, a pesar de que la variación fue el motor
principal de la génesis del concepto función y si bien posteriormente le fue otorgado
un enfoque estático con la finalidad de extender el concepto, este nuevo enfoque no
debe sustituir la naturaleza de variación del mismo.
De acuerdo a López y Sosa (2007), la forma usual de enseñar el concepto función,
es por medio de una secuencia muy marcada, comenzando por la presentación del
concepto por medio de conjuntos, la función como expresión algebraica y por último,
la función en el plano cartesiano. Sin embargo, no es clara la transición entre una
forma de representación y otra, pudiendo provocar algunas concepciones erróneas
en los estudiantes.
Cuando se presenta la función en su representación algebraica, suelen manejarse
las funciones lineales, las polinómicas, las trigonométricas, la exponencial, la
logarítmica y la raíz cuadrada. Se observa que estas funciones siguen un
comportamiento contiguo y que están definidas mediante una única regla de
correspondencia. Más tarde, al presentar a la función en su representación gráfica,
se sigue la misma linealidad que en la representación algebraica y para realizar la
graficación, primero se identifican y grafican las imágenes (ordenadas) de de
algunos valores de la variable (gráfica 4) a lo que sigue la unión, por medio de una
curva (gráfica 5), de las imágenes obtenidas de dicha función, y aunque al final del
tratamiento gráfico se incluya el trazo de funciones con comportamientos diferentes
al contiguo, se presenta como funciones especiales y sin mayor relevancia.
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(2006); Carlson y Oehrtman, (2005); López, (2007) y Thompson, (1994b).
Así encontramos que los estudiantes:
‐ Conciben a la función como un objeto (donde se tiene un valor de entrada y un
valor de salida) y no como un proceso donde a partir de valores de entrada se
obtienen valores de salida (Carlson y Oehrtman, 2005).
‐ Suelen considerar que las funciones son simplemente dos expresiones
separadas por un signo igual (Thompson, 1994b). Lo que impide diferenciar la
expresión algebraica de la función con una ecuación (Carlson y Oehrtman, 2005)
y de esta manera se oculta la naturaleza del concepto función, es decir deja de
lado el hecho de que la función representa la forma en que se relacionan dos
variables (López y Sosa 2007).
‐ La mayoría de los estudiantes consideran que todas las funciones deben ser
atribuidas a una única fórmula algebraica (Carlson y Oehrtman, 2005), por lo que
al enfrentarse a funciones definidas por partes no la reconocerán como una
función.
‐ Considera a las representaciones gráficas de las funciones como
representaciones gráficas de cualquier ecuación (gráficas conocidas para los
estudiantes).
‐ Muestran resistencia a aceptar una gráfica con “huecos” como la gráfica de una
función, quizá, debido al universo de gráficas con las que los estudiantes han
tomado mayor contacto en sus actividades escolares: “las de trazo contiguo”
(Ochoviet, et. al., 2006). De esta manera, sólo reconocen a las gráficas con
comportamientos contiguos y continuos como funciones (Aparicio y cantoral,
2006).
20
CAPÍTULO TRES
MARCO TEÓRICO
21
3.1 Perspectivas teóricas
Toda investigación, requiere de un marco teórico para que dote a esta actividad de
un sistema coordinado y coherente de conceptos y proposiciones que permitan
abordar y dotar de una explicación al problema de investigación, ya que de este
dependerán los resultados.
Así, podemos encontrar investigaciones con enfoques hacia la Psicología,
Sociología, Historia, entre otras, de las cuales podría pensarse, que realizan estudios
iguales a los realizados por un matemático educativo. Sin embargo, existe una
característica que da originalidad a la forma de hacer investigación en matemática
educativa, la cual consiste en tomar en consideración a los fenómenos de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas bajo un enfoque sistémico, es decir, en
palabras de Ruiz (1998), el funcionamiento (global) de un hecho didáctico no puede
ser explicado por el estudio separado de cada uno de los componentes (alumno,
saber y profesor), sino que tiene en cuenta la complejidad de las interacciones entre
éstos (Aparicio, 2009).
Por tanto, la matemática educativa como ciencia, con un objeto propio de estudio y
diferenciado de otras ciencias, también requiere el uso de teorías propias, que
permitan el estudio sistémico de los actores principales (el profesor, alumno y el
saber, quienes conforman el sistema didáctico) que le dan sentido a los fenómenos
didácticos que ocurren en un salón de clase cuando un docente se propone enseñar
algún concepto o noción matemática.
Entre las teorías propias de la matemática educativa pueden mencionarse la de los
campos conceptuales (Vergnaud, 1991), que toma como centro de estudio al alumno
en relación a los conceptos matemáticos (psicología de los conceptos); las
representaciones semióticas (Duval, 1999), que estudia y explica las relaciones entre
alumno y el saber mediado por las relaciones que se establecen entre la semiosis y
la noesis; las situaciones didácticas (Brousseau, 1997), que toma como objeto
principal las interacciones de aula y el papel del profesor como agente didáctico y
autoridad en el proceso educativo; la transposición didáctica (Chevallard, 1998), que
22
se centra en una dimensión antropológica del saber matemático; entre otras teorías
que en mayor o menor medida centra su atención y explicación en el funcionamiento
del sistema didáctico.
3.2 Socioepistemología
En la búsqueda de la matemática educativa por explicar cómo se construye el
conocimiento matemático, se realiza un análisis sobre la naturaleza de las prácticas
sociales (dimensión social) y de su papel en la construcción y difusión institucional
del saber matemático, conformando el aspecto social del estudio de la construcción
del saber matemático (desarrollo histórico). Con esto, se establece un marco donde
esa dimensión social interactúa, de manera sistémica, con la dimensión didáctica,
epistemológica y cognitiva del saber para brindar una explicación más robusta acerca
de su construcción; al resultado de la conjunción de estas dimensiones se le ha
llamado aproximación socioepistemológica (Cantoral y Farfán 1998, Citado en
Buendía, 2006).
Lo que esta aproximación teórica pretende, no es sólo centrarse únicamente en
aspectos cognitivos, didácticos o epistemológicos, relacionados con la construcción
del objeto matemático, sino también toma en cuenta la propia práctica social que
conduce a la adquisición de dicho conocimiento, es decir, cuáles son esas prácticas
que realizan los individuos que le permiten o permitieron construir o constituir un
conocimiento matemático.
A diferencia de las teorías mencionadas con anterioridad, la socioepistemología
como aproximación teórica, permite el estudio sistémico de los componentes del
triángulo didáctico e incorpora el componente social, por lo que permite realizar en un
principio, un análisis individual de cada uno de estos elementos (cognitivo, didáctico,
epistemológico) con un enfoque en las prácticas, para posteriormente relacionar
dicho análisis de forma sistémica, tal que permita atender el problema de
investigación planteado por el matemático educativo.
23
“… la aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática
educativa busca construir una explicación sistémica de los fenómenos
didácticos en el campo de las matemáticas, no sólo discute el asunto de la
semiosis o el de la cognición de manera aislada, sino que busca intervenir en el
sistema didáctico en un sentido amplio, al tratar a los fenómenos de producción,
adquisición y de difusión del conocimiento matemático desde una perspectiva
múltiple, que incorpore al estudio de la epistemología del conocimiento, su
dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos
de institucionalización vía la enseñanza (Cantoral y Farfán, 2003)”
La investigación socioepistemológica reconoce que un objeto que emerge del saber
sabio solo puede llegar a tener existencia como tal dentro de su propio ámbito,
cuando su inserción a la ciencia lo hace como algo útil; su trascendencia social
deviene en el momento en que responde a ciertas prácticas sociales y constituye un
medio eficaz para resolver problemas de otras esferas (Apolo, 2002). De esta
manera, busca otorgar un estatus de constructor de conocimiento matemático al
sistema social y a sus actores (que no necesariamente pertenecen a la élite erudita),
admitiendo sus prácticas cotidianas y el saber que de ellas se deriva (Cantoral y
Farfán, 1998), así, no solo considera la práctica como aquella realizada por los
eruditos matemáticos en su interacción con los saberes, también considera las
prácticas habituales de la sociedad en la que se desarrolla.
Dicho así, la aproximación teórica que venimos citando, reformula las dimensiones
cognitiva, epistemológica y didáctica, al hacer el énfasis en el aspecto social y
concebir a las prácticas sociales como metáfora para explicar la construcción del
conocimiento, ya que se reconoce que el conocimiento se construye y reconstruye en
el contexto mismo de la actividad que lleva a cabo el individuo al hacer matemáticas
(Buendía, 2006). Asimismo, hay un reconocimiento a la complejidad del conocimiento
matemático y a su naturaleza social, pero principalmente se propone entender por
qué y cómo los grupos humanos tuvieron o tienen que hacer “ciertas actividades”
para construir ese sistema complejo de conceptos. Esas “ciertas actividades” son las
prácticas sociales que realizan los grupos humanos para construir conocimiento
24
(Cordero, 2005). Son estas prácticas quienes marcan la diferencia de esta
aproximación teórica con las demás perspectivas teóricas.
Al reformular las dimensiones cognitiva, didáctica y epistemológica, el foco de
atención por ejemplo, en la dimensión cognitiva en cómo construyen los saberes los
estudiantes junto con el profesor, la dimensión didáctica se centrará en las prácticas
que el profesor realice con la finalidad de que se construyan los saberes en el aula y
la dimensión epistemológica estudiará el desarrollo histórico de los saberes y las
prácticas con las que estuvo ligado a su construcción.
3.3 Socioepistemología como marco teórico
Dado que nuestro trabajo de investigación pretende clarificar el tipo de relación que
se establece entre la didáctica y la historia de la función definida por partes respecto
a su actual tratamiento escolar, con la finalidad de identificar elementos que permitan
aportar ideas sobre formas o alternativas de reconstrucción de significados de la
función definida por partes, es que consideramos que para el logro del nuestro
objetivo, tenemos que centrarnos en aquellas prácticas que permitan la construcción
o reconstrucción del concepto función definida por partes, ya que serán estas
prácticas las que permitirán aportar elementos de reconstrucción de significados.
Consideramos que para el alcance de nuestro objetivo, es necesario el análisis
cognitivo para entender la forma en que el estudiante piensa o procesa información
respecto a la noción de función definida por partes. Un análisis didáctico con el que
se pretendía caracterizar las prácticas realizadas por el profesor (el tratamiento
didáctico) mediante las cuales presenta la reconstrucción del concepto función y
función definida por partes, este análisis tendrá que ser comparado con el análisis
epistemológico, análisis que pretende dar cuenta de cuáles fueron las prácticas
involucradas en el desarrollo histórico del concepto en cuestión.
Por lo que consideramos oportuno enmarcar nuestra investigación en la
socioepistemología como aproximación teórica, que aparte de realizar un análisis
25
sistémico de los componentes del sistema didáctico, incluye el aspecto social que se
basa en las prácticas que permiten construir y reconstruir significados.
Se pretende dar cuenta de las relaciones en la construcción del saber y el
tratamiento didáctico escolar a fin de que estas puedan ser usadas para la
identificación de elementos que puedan ser considerados para la construcción del
concepto función definida por partes, por los estudiantes. Es así que el énfasis que la
socioepistemología pone en las prácticas nos permitirá identificar aquellos elementos
que nuestro trabajo pretende. Así, el saber matemático se problematiza y se
reconoce que antes de hablar sobre un saber matemático como un objeto acabado
no cuestionable “habrá que hacerlo sobre un complejo de prácticas de naturaleza
social que den sentido y significado al saber matemático” (Cantoral, 2004, citado en
Buendía, 2006).
3.3.1 Carácter epistemológico de la función definida por partes
Los conceptos matemáticos “viven” y son usados (valor práctico) durante largo
tiempo por una sociedad hasta que a través de los años, dicho concepto es
formalizado (valor teórico) e incluso, institucionalizado (Chi y Aparicio, 2007), es
decir, que el valor práctico, históricamente antecede al valor teórico.
“el último paso para concretar un concepto matemático es exactamente definirlo
en términos de estructuras en las cuales este interviene y de las prácticas que
satisface” (Brousseau, 1997).
Con base en lo ahora comentado, es que para reconstruir el concepto de función
definida por partes, proponemos que su tratamiento esté conformado en el estudio
de la continuidad y discontinuidad de funciones, o bien, en el estudio de
comportamientos gráficos y no gráficos. Dado que el concepto de función se ha
asociado a una expresión algebraica que además es “única”, convencionalmente
representada en forma geométrica por una curva formada por puntos de trazo
contiguo y se centra la atención, en la forma gráfica de las funciones (Aparicio y
Cantoral, 2006). Por lo que consideramos que el estudio de comportamientos
26
continuos, no continuos gráficos y no gráficos deben de estar presentes en la
construcción y reconstrucción de la función definida por partes. A continuación se
pretende dar cuenta de la razón de nuestra propuesta.
Antes de que se institucionalizara el concepto función como es conocido hoy en día,
ya se tenían las nociones de este concepto y era usado, incluso antes de que Euler1
proporcionara la primera definición formal de este concepto. Al respecto puede
mencionarse que durante la Edad Media (476-1492) se estudiaron fenómenos
naturales como el calor, la luz, el color, la densidad, la distancia y la velocidad media
de un movimiento uniformemente acelerado. Las ideas se desarrollaron alrededor de
cantidades variables independientes y dependientes, pero sin dar definiciones
específicas. Así, la evolución de la noción del concepto función se dio asociada al
estudio del cambio, en particular del movimiento. Una función se definía por una
descripción verbal de sus propiedades específicas, o mediante un gráfico, pero aún
no se usaban fórmulas (Sastre, 2008).
Por lo citado, puede notarse que la primera representación en la que se dio el
concepto función fué gráfica, así como también que se centró en estudios de
fenómenos naturales cuyo comportamiento era continuo, lo cual se justifica, ya que
como mencionan Aparicio y Cantoral (2006) los humanos perciben el cambio físico
en el estudio de fenómenos reales, en términos globales, lo que permite asumir que
ante el movimiento o cambio de los fenómenos de un estado a otro, éste, ha
recorrido todos los estados intermedios.
Más tarde en los trabajos de Newton y Leibniz, se nota la presencia de la función a
través de sus representaciones gráficas y analíticas. Por ejemplo, Newton considero
la curva , 0 como el lugar de intersección de dos líneas en movimiento, una
vertical y otra horizontal. La y representan el lugar de las líneas horizontales y
verticales respectivamente (Edwards, 1979), es decir, Newton representó el concepto
función en una gráfica para poder estudiar los comportamientos de fenómenos.
1 Euler, fue el primer matemático en proporcionar una definición formal del concepto función (Edwards, 1979).
27
Leibniz, siempre enfatizó el lado geométrico de las matemáticas, utilizó la palabra
función para función para denotar cualquier cantidad asociada con una curva, tal
como las coordenadas de un punto sobre una curva (Sastre, 2008), como la longitud
de la tangente, la normal, subtangente y de la ordenada. Así afirmaba “Una tangente
es una función de una curva”. No utilizaba el concepto de función de la manera en
que lo hacemos actualmente, para él una curva estaba formada por un número
infinito de tramos rectos infinitamente pequeños (Cantoral y Farfán, 2003), de aquí
puede observarse que también Leibniz estudiaba el comportamiento de la función,
apoyándose en sus representaciones gráficas, aún sin contar con una definición
exacta y clara del concepto función.
Posteriormente en los estudios realizados por Euler, podría decirse que éste
consideraba a la función como una expresión analítica, pues así lo explicita en la
primera definición2 formal de función dada por él. Pero, en la definición que dio de
funciones discontinuas, poco después de dar la definición de función, se hace
presente el énfasis en los comportamientos gráficos, ya que habla de curvas con
comportamientos confusos las cuales no podían ser expresadas mediante una sola
expresión algebraica. A lo que Cauchy demostró que estaba equivocado, ya que
expreso una función “discontinua” en términos de Euler en una sola expresión
analítica ( √ ).
Arbogast fue otro de los matemáticos que basó su estudio de las funciones en sus
comportamientos gráficos, con base al cual proporcionó su clasificación de funciones
en continuas, discontinuas y contiguas.
Inclusive la problemática central, que permitió institucionalizar al concepto como
actualmente es conocido y aceptado, estuvo basada en el estudio del
comportamiento de la cuerda vibrante.
Ante tales evidencias se presenta de manera notable, en el desarrollo histórico que
llevó el concepto función a su institucionalización, la representación gráfica de las
funciones, basada en el estudio de su comportamiento (contiguo y discontigüo). Por 2 Para consultar la primera definición formal de Euler, ver capítulo 2.
28
lo que opinamos que para reconstruir el concepto función definida por partes, es
necesario que este mismo estudio (gráfico) esté presente en el tratamiento didáctico
de éste concepto.
3.3.2 Carácter didáctico de la función definida por partes
Consideramos que para la reconstrucción de saberes en el aula, es importante tomar
en cuenta aquellas prácticas que dieron origen a la construcción de los conceptos a
enseñar, no así sucede en los sistemas didácticos, donde se hace notar la evidencia
de cómo el discurso matemático escolar3 suele favorecer solamente algunos
aspectos de los conceptos matemáticos, dejando de lado elementos presentes en la
construcción social del conocimiento matemático (Arrieta, 2004). Es así, como la
forma de enseñar matemáticas se reduce a la elección de una estructura “tradicional”
muchas veces basados en libros de textos que no son del todo adecuados, lo que en
ocasiones provoca que los estudiantes no tengan una buena construcción de su
conocimiento.
El profesor enfrenta a sus alumnos a problemas rutinarios cuya solución es
simplemente un proceso algorítmico que no necesita de un razonamiento mayor y
que se aplica solo bajo ciertas circunstancias, en ocasiones muy específicas. Esto
lleva a que los alumnos no sean capaces de resolver problemas diferentes de los
que le fueron presentados en clase y en caso de intentar resolverlos procuren crear
las condiciones necesarias para que el método aprendido en el aula pueda ser
aplicado, es decir, los estudiantes aprenden los procedimientos del Cálculo en un
nivel puramente algorítmico, que es construido sobre imágenes conceptuales
escasas (López y Sosa, 2007).
Este método de enseñanza, ocasiona que los estudiantes presenten grandes
dificultades para hacerlos entrar en el campo del Cálculo (estudio de las funciones) y
3 Discursos que facilitan la representación en matemáticas alcanzando, consensos entre los actores sociales, formados ante el intento de difundir los saberes (Cantoral, Farfán, Lezama y Martínez, 2006).
29
para hacerlos alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos (Artigue,
1995).
Es por ello que reiteramos la importancia de tener en cuenta y poner en el contexto
educativo, aquellas prácticas que permitieron la construcción del concepto,
históricamente hablando, para propiciar mejor comprensión de éste.
Proponemos que en el tratamiento (escolar) del concepto función definida por partes,
el estudiante debe confrontar sus representaciones analíticas, gráficas y el
comportamiento (contiguo, discontigüo) de las funciones para construir en su
cognición la función definida por partes, como surgió en su desarrollo histórico. Lo
que no es provocado en el aula, si bien el profesor realiza la institucionalización de
las funciones polinómicas y trascendentales, mediante sus presentaciones gráfica y
analítica, no así sucede con la función definida por partes, ya que el profesor se
limita a “mostrar” la representación gráfica de esta función como un caso particular, y
es toda la información y tratamiento que se presta a este concepto.
Lo que hace entender por qué en cursos avanzados de Cálculo, los estudiantes
presentan serias dificultades para incorporar nuevos conceptos en su cognición. Así
lo reporta Zaldívar y Aparicio (2006): un buen número de dificultades en la vida
escolar preuniversitaria o universitaria de los estudiantes, están asociados al
entendimiento y manejo de los conceptos básicos y no tan básicos del Cálculo, los
cuales se hacen presentes de manera deficiente.
3.3.3 Carácter cognitivo de la función definida por partes
Duval (s. f.) reporta que la construcción de conceptos en la cognición de los
estudiantes implica una coordinación de registros de representación debiendo
realizar tres tipos de tareas:
1. Correspondiente a la aprehensión de las representaciones semióticas4, es decir,
identificar al concepto en sus representaciones, el concepto que confiere nuestra
4 Nos referimos a representaciones semióticas en el caso de la función, a los registros gráficos y algebraicos.
30
investigación es el de función definida por partes, siendo sus representaciones el
numérico, algebraico y gráfico.
2. Correspondiente al aprendizaje de los tratamientos propios de una cierta categoría
de registros, hace referencia a las operaciones o construcciones posibles a
realizar en un registro.
3. Correspondiente al modo de producción de representaciones complejas, lo cual se
refiere a confrontar un mismo concepto en dos o más registros, es decir, operar en
uno o varios registros a la vez y transitar de un registro a otro.
En el contexto escolar, ocurre que previo a que los estudiantes tomen por primera
vez cursos formales de Cálculo5, cursan la Aritmética, el Álgebra y la Geometría
analítica, cursos en los cuales los estudiantes se familiarizan con las
representaciones numérica, gráfica y algebraica, lo que es considerado como un
conocimiento previo que los estudiantes requieren conocer y manejar para llevar a
cabo satisfactoriamente las competencias que esta asignatura (el Cálculo) demanda
(Cantoral y Farfán, 2000), de esta manera vemos cómo en primera instancia el
sistema educativo pretende que los estudiantes manifiesten en cierto dominio de los
registros de representación (numérico, gráfico y algebraico) sin relacionarlos con el
concepto función, manifestándose la primera y segunda tareas propuestas por Duval
para que el estudiante construya conceptos en su cognición.
Posteriormente, se pretende que el estudiante relacione el concepto función con los
registros manejados con anterioridad, pero en ocasiones no se traza la línea de
cruce entre los cursos previos (en específico el Álgebra y la Geometría) y el Cálculo,
ya que la interacción con los registros (numérico, gráfico y analítico) suele ser
limitado a una simple ejemplificación. Como consecuencia son las dificultades que
los estudiantes presentan al discurrir sobre el concepto función, por ejemplo, el
considerar que toda expresión algebraica que presenta las literales, e representa
una función, de esta manera, por un lado consideran a la expresión 2 como 5 Al hablar de cursos formales de Cálculo, nos referimos al curso estipulado en un plan de estudios por la institución educativa.
31
una función, y por otro, no consideran a como tal, debido a la ausencia de la
literal . De igual modo consideran a toda representación gráfica como una función,
por ejemplo, consideran que la Gráfica 3.1 representa una de ellas.
No obstante, dejaremos esta problemática ya que ha sido atendida por otros
investigadores, por ejemplo por López y Sosa (2007) sugieren tratamientos
alternativos del concepto con especial énfasis en el aspecto discursivo para la
resolución de problemas y modelación de fenómenos.
Por lo que se observa que de alguna manera, se realizan las dos primeras tareas
propuestas por Duval, incluso podría considerarse que también la tercera tarea, ya
para que el estudiante pueda interactuar con el concepto función en su
representación gráfica, requiere del uso de una expresión algebraica, y luego
numérica para poder representar una función, aunque no siempre se dé el sentido
inverso.
Sin embargo, cuando señalamos que se realizan la tareas propuestas por Duval, nos
referimos que se aplican cuando se presentan las funciones polinómicas o
trascendentales, pero no a las funciones definidas por partes, ya que este tipo de
función ha sido dejado de lado y se presenta únicamente con uno o dos ejemplos,
por lo que el objetivo de nuestro trabajo pretende atender este aspecto,
centrándonos en la ejecución de la tercera tarea propuesta por Duval, confrontando
las concepciones gráficas y analíticas del estudiante.
f x
x
y
GRÁFICA 3.1
32
3.3.4 Lo sociocultural en la construcción de la función definida por
partes
Las actividades, las formas de pensar y de actuar de los seres humanos están
marcados por las creencias de la sociedad a la que pertenecen, así como la época
en la que esta se desarrolla. Sin embargo, hay actividades que aunque el ser
humano se encuentre en diferentes épocas o culturas siempre permanecen, como es
el caso de la alimentación, la vestimenta, entre otros. Si bien la forma de vestir de
una época a otra cambia, no así el hecho de tener que contar con una vestimenta,
por lo que se puede decir que no son las actividades en si las que cambian, sino la
forma en que estas se realizan.
Con respecto a la actividad de construir conocimiento (no necesariamente científico),
nos atrevemos a pensar que no cambia, ya que consideramos se construye a través
de la observación, reflexión de los sucesos, la confrontación de estos y la
argumentación. Lo que en si cambia son las prácticas involucradas en dicha
construcción, así podemos hablar de predicción, comparación, aproximación y
estimación (Aparicio, 2003).
Cuando nos referirnos a los conceptos (matemáticos) y hablamos de su construcción
en un tiempo diferente al cual surge y se institucionaliza, consideramos necesario
ejercer en cierta manera aquellas prácticas por las cuales tiene sentido conocer y
reconstruir los conceptos.
Relacionado, con lo ahora comentado, consideramos que de manera general los
conceptos matemáticos y en específico el concepto función, se institucionalizaron
gracias a la confrontación de conocimientos que del concepto se tenían por
diferentes matemáticos de la época o bien de la sociedad (matemática) en la que se
institucionalizó. Es decir que el concepto función se institucionalizó gracias a las
discusiones y confrontaciones de las nociones y (o) definiciones que iban surgiendo
con respecto a la función.
33
Así como sucedió con el concepto de función definida por partes, ya que se
institucionalizó gracias a la discusión generada alrededor de la solución del problema
de la cuerda vibrante y de la confrontación de las representaciones gráficas y
algebraicas que surgían a lo largo de la discusión, con las que ya eran concebidas y
aceptadas por los matemáticos.
3.3.5 Una mirada sistémica
La socioepistemología, como se había mencionado, incorpora en el estudio del
sistema didáctico el aspecto social, el cual es el resultado del análisis de la
naturaleza de las prácticas sociales y de su papel en la construcción y difusión
institucional del saber matemático (Buendía 2006).
Es así como esta aproximación teórica, permitirá por tanto, realizar un análisis
individual de cada uno de estos elementos pero sin dejar de considerarlos como un
sistema para que posteriormente (al análisis “individual”), se propongan los
elementos, tomados del análisis sistémico, que permitan la reconstrucción de
significados.
La intención de nuestro marco consiste en proponer la articulación entre el aspecto
social, cognitivo, didáctico y epistemológico, con la finalidad de que una
epistemología fundamentada en prácticas sociales en contraposición a una de
objetos matemáticos favorecerá el establecimiento de relaciones funcionales,
alejadas del utilitarismo, entre los diversos tópicos del saber matemático (Cordero
2003).
34
CAPÍTULO CUATRO
METODOLOGÍA
35
4.1 Introducción
Como ya se ha mencionado, nuestro trabajo se constituye a través del planteamiento
de la pregunta: ¿Qué tipo de relación se establece entre la didáctica y la historia de
la función definida por partes respecto a su actual tratamiento escolar?, con el
objetivo de identificar elementos que den idea de un mejor tratamiento escolar de la
función definida por partes. Para lo cual se enfatizó que debido a la naturaleza de
nuestra pregunta y objetivo, convenimos en desarrollar nuestro trabajo bajo el marco
de la socioepistemología como aproximación teórica. Ahora, presentaremos la
metodología seguida para el alcance del objetivo planteado.
En primera instancia, se prestó atención a la pregunta de investigación planteada,
con base en un análisis preliminar, el cual nos permitió establecer nuestro supuesto
sobre cuales debieran ser los elementos mencionados en nuestro objetivo. Es por
ello que el análisis preliminar lo seccionamos en tres subapartados que incluyen tres
tipos de análisis, uno de tres tipos: epistemológico, didáctico, y cognitivo.
• En el análisis de corte histórico, se buscó identificar elementos relacionados con
la construcción histórica del concepto función, esto se realizó a partir de
analizar cómo algunos matemáticos de antaño discurrían sobre el concepto
función, es decir, observamos las actividades asociadas a la construcción del
concepto y sobre aquello que permitía reconocer a la función de un modo u
otro, así como el reconocimiento de algunas funciones y el desconocimiento de
otras. Este análisis se realizó a través de la revisión de libros y artículos de
investigación.
• Con respecto al análisis didáctico, se realizó una revisión de libros de texto,
utilizados por los profesores de matemáticas, en los cuales basa su enseñanza
del concepto función y función definida por partes. Esto con la intención de
mirar el tratamiento y construcción escolar conferido a la función definida por
partes, para posteriormente identificar la relación que guarda con respecto al
desarrollo histórico de éste concepto.
36
• Para realizar el análisis cognitivo, se realizó y aplicó un instrumento, en el que
pretendíamos observar cómo los estudiantes discurren sobre el concepto
función definida por partes.
El análisis preliminar nos permitió establecer cuál sería nuestro supuesto de
investigación, por lo que el siguiente paso, consistió en el diseño y aplicación de un
instrumento, cuya finalidad consistió en validar o refutar nuestro supuesto planteado
a partir del análisis preliminar.
Cabe mencionar que de acuerdo a las características de nuestra investigación,
centramos nuestra atención en variables tanto del tipo cualitativo como cuantitativo,
con respecto al primer tipo de variables consideramos la noción de los estudiantes
con respecto al concepto función y función definida por partes. Con respecto a las
segundas variables, de tipo cuantitativo, consideramos al tipo de funciones
apropiadas para nuestra investigación, por ejemplo, funciones con comportamientos
continuos y discontigüos.
En los subapartados siguientes se presentará de manera detallada el análisis
realizado.
4.2 Análisis preliminar
4.2.1 Análisis epistemológico
Para la realización de éste análisis se consultaron fuentes que contuviesen
información relacionada al desarrollo histórico del concepto función. En los párrafos
siguientes presentamos los datos de las fuentes y un extracto del desarrollo histórico
del concepto que nos permitió observar la práctica involucrada en su construcción
histórica.
Fuentes
The Historical Development of the calculus, Edwards, Ch. (1979) New York, USA:
Springer-Verlag.
37
Historia del concepto de función, Escandón, C. (2007).
Desarrollo conceptual del Cálculo. Cantoral, R. y Farfán, R. (2003).
Una perspectiva histórica de las series de Fourier: de las Ecuaciones de ondas y
del calor a los operadores compactos y autoadjuntos. Cañada, A., (2000).
Extracto
En el siglo XVII, el principal objeto de estudio fué el análisis infinitesimal geométrico
de las curvas. Las variables asociadas con una curva particular fueron
exclusivamente cantidades geométricas (abscisas, ordenadas, subtángentes,
subnormales, etc.), Las relaciones entre estas cantidades frecuentemente eran
descritas por ecuaciones. En particular, las variables asociadas con una curva no
fueron vistas generalmente como variables independientes asociados con una única
variable dependiente.
Fue el trabajo de Newton el que marcó una excepción particular de los desarrollos de
su época (siglo XVII), ya que sus fluxiones fueron desarrolladas en la geometría de
variables, las cuales fueron estimadas como funciones de tiempo. De esta manera,
Newton ubicó el rol de las variables dependientes como cambios causados por la
variable tiempo. Newton estaba centrado en la práctica relacionada esencialmente en
lo geométrico, lo que consideraba como características funcionales.
Más tarde, Leibniz introdujo el mundo de la función dentro de las matemáticas
precisamente como un término asignado a varias cantidades geométricas asociadas
con una curva. Él incrementó el énfasis en las fórmulas y ecuaciones relacionadas
con las funciones de una curva
Fue el trabajo de Euler (en el Siglo XVIII), el primero donde el concepto función jugó
un papel explícito y central, esto fue a través de la identificación de las funciones
como curvas, siendo éste el principal objeto de estudio que permitió la aritmetización
de la geometría. Con base a la identificación de la función como curva la cual tenía
que estar asociada a una expresión analítica, Euler definió función como sigue:
38
“Una función de cantidad variable es una expresión analítica, compuesta de
cualquier manera de las cantidades variables y de números o cantidades
constantes”.
En los tiempos de Euler, se admitía que cada función daba lugar a una gráfica, pero
no recíprocamente, es decir, si la gráfica expresada tenía diferentes expresiones en
distintos intervalos, entonces no se trataba de una función. Por lo que en 1747,
D’Alembert, consideraba que una función debería de tener uunnaa fórmula concreta o
expresión analítica. Idea refutada por Euler, quien argumentó que debían de
reconocerse como funciones, aquellas que hoy en día se conocen como definidas
por partes, a las cuales se refería como funciones mixtas (expresadas por más de
una expresión algebraica) o irregulares y discontinuas, por que le correspondía
diferentes funciones continuas en diferentes intervalos, y consideraba que una
función discontinua es aquella cuya gráfica puede ser trazada con un libre
movimiento de la mano, tal que no se genere una continuidad de la forma
(permanencia de una sola forma).
Se observa que al hablar de continuidad, Euler y Arbogast centraban su atención en
los comportamientos gráficos de la función. Muestra de ello es que en 1791,
Arbogast escribió que la ley de continuidad consiste en que:
“Una cantidad no puede pasar por un estado a otro sin pasar a través de todos
los estados intermediarios, los cuales están sujetos a una misma ley. Una
función algebraica es considerada como continua por que los diferentes valores
de estas funciones ddeeppeennddeenn ddee llaa mmiissmmaa mmaanneerraa eenn eessaass vvaarriiaabblleess; y supone
que las variables aumentan continuamente, la función recibirá variaciones
correspondientes; pero no pasará de un valor a otro sin pasar por los valores
intermedios. Así la ordenada de una curva algebraica, cuando la abscisa
varía, nnoo ppuueeddee ppaassaarr bbrruussccaammeennttee ddee uunn vvaalloorr aa oottrroo, no puede haber ssaallttooss
ddee uunnaa oorrddeennaaddaa a otra desde diferentes formas de asignar cantidades; pero
todos los valores sucesivos de y deben estar conectados por uunnaa ssoollaa lleeyy la
cual marca las extremidades de las ordenadas formando una curva continua”.
39
Y estableció que la continuidad se rompe cuando:
‐ La función cambia de forma, es decir, la ley de la cual la función dependen las
variables, cambia. Una curva formada por diferentes porciones de formas es
de este tipo (rompe con la continuidad de la forma).
‐ La ley de continuidad también se romperá si las partes de la curva no están
unidos, a este tipo de curvas les llamo discontigüas.
El extracto presentado, nos permitió observar que la discusión generada sobre la
representación gráfica, algebraica y el comportamiento (continuidad, contigüidad y
discontinuidad) de la función fueron los elementos que permitieron la construcción
histórica del concepto función.
4.2.2 Análisis Didáctico
La mayoría de los profesores de matemáticas basan el tratamiento escolar que dan a
un concepto matemático, en el tratamiento empleado en un libro de texto. Es por esto
que para realizar el análisis didáctico del concepto función definida por partes,
convenimos en realizar el análisis didáctico basándonos en los libros de texto. De los
cuales consideramos tres: “Precálculo, Matemáticas 4”, “Cálculo de una variable,
trascendentes tempranas” y “Cálculo diferencial e integral”.
• Precálculo, Matemáticas 4. Ávila, Quijano y Trejo (2004) El concepto función se introduce a partir de una actividad en la que se pretende dar a
conocer los elementos básicos de la función, la actividad consiste en armar dos
diagramas de flechas, tal que en el primero se establece una relación lineal (figura
4.1) y en el segundo una doble relación (figura 4.2), y se solicita al estudiante que
identifique cuál es la diferencia entre los diagramas, para luego señalar que justo el
diagrama donde la relación en la que a un elemento del conjunto de los nombres le
corresponde un único valor del conjunto de los números (tiempos), es conocido en
matemáticas como función.
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41
intención de que el alumno comience a interactuar con la representación numérica
del concepto.
También se mencionan algunos ejemplos de función en la vida diaria como: “el
precio de los artículos están en función de su precio”, “las ganancias del dinero
depositado en un banco está en función de la tasa de interés que paga”, entre otros.
Se mencionan algunas aplicaciones como por ejemplo: “Supongamos que en el
proyecto de urbanización de un fraccionamiento, el ayuntamiento de la ciudad dio su
aprobación con la restricción de que al trazar los terrenos el fondo sea el doble del
frente. Bajo esta condición, las diferentes áreas de los lotes del fraccionamiento
estarán dadas por 2 entonces 2 . Así, si el frente de un terreno es de
8 metros, su área será de 2 8 2 64 128 .
Luego se proporciona otra definición de función como un conjunto de parejas
ordenadas:
“Una función es un conjunto de parejas ordenadas con la propiedad de que no
hay dos parejas ordenadas cuyas primeras componentes sean iguales y las
segundas diferentes”.
Y se prosigue a representar a las parejas ordenadas en el plano cartesiano, de esta
manera es que se introduce al estudiante para visualizar al concepto función en su
representación gráfica. Enunciando que dichas gráficas son de mucha utilidad para
describir el comportamiento de la variable dependiente cuando cambia la variable
independiente.
Para la representación gráfica de la función, se parte de la graficación de doce
parejas ordenadas ejemplificadas, por lo que se señala que para obtener una
información más clara de cómo cambia la variable dependiente (temperatura) cuando
cambia la variable independiente (meses-tiempo), es necesario obtener “más
puntos”, pero aunque se obtenga más información, considerando el tiempo como
días, no será suficiente, a lo que se afirma que “sólo conociendo la relación de
temperatura ( ) con el tiempo ( ), en forma de eeccuuaacciióónn se obtendría mayor
42
información“. De igual forma, se estableció que tanto el dominio como el rango de las
funciones consideradas en el “texto”, pertenecen al conjunto de los números reales,
por lo que las parejas coordenadas constarán de un número infinito, de tal forma que
se cubrirán todos los espacios entre los “puntos” ubicados en el plano cartesiano se
van eliminando, hasta quedar un “trazo continuo”.
Ante lo presentado en el texto, queremos resaltar el hecho de que se presenta la
representación gráfica del concepto función como un trazo contigüo, y si bien se
aclara que se trabajaran funciones con dominio y rango definidos en los reales, la
afirmación presentada conducirá al estudiante a unir la gráfica generada por la
función , cuyo dominio no son todos los reales, también consideramos que por
tratarse de la introducción del estudiante en el campo del concepto función, tenderá a
considerar los comportamientos continuos como una característica de toda función.
Siguiendo con el planteamiento relacionado con la graficación, se comenta que para
graficar una línea recta de la forma , dos puntos son suficientes; sin
embargo, para gráficas más complicadas es necesario encontrar el mayor número
posible de puntos y proceder a conectarlos con una “línea suave”. También se indica
que el “trabajo” de “hacer” la gráfica de una “ecuación” puede reducirse
considerablemente por medio de ciertas pruebas preliminares, entre las cuales están:
la intersección de la gráfica con los ejes x e y, el criterio de simetría, las regiones
excluidas y las asíntotas, pruebas que posteriormente son explicadas.
Del párrafo anterior, queremos hacer énfasis en el discurso empleado. Por un lado, la
expresión “conectar los puntos con una línea suave”, puede ocasionar que los
estudiantes no consideren a representaciones gráficas, como la gráfica 4.1, como
función ya que su comportamiento no obedece al de una línea suave, es decir, puede
generarse en el estudiante la noción de que toda representación gráfica de las
funciones obedece a un comportamiento continuo y suave. Por otro lado, se puede
observar la presencia de la palabra “ecuación” para referirse a la expresión
algebraica del concepto, lo que podría considerarse como una de las causas del
hecho que el estudiante llegue a considerar a expresiones como 13 como
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44
analizado su dominio, se menciona que es posible definirla usando “fórmulas”
diferentes para 0 y 0, y se indica que esta manera de definir una función se
conoce como función definida por partes o por intervalos.
Nos llamó la atención, la manera indistinta en la que se utilizan ciertas expresiones
como ecuación y fórmula, que si bien son entendidas como reglas de
correspondencia (de acuerdo a la definición de función planteada), al no especificar
qué se está entendiendo por cada una de ellas, es entonces cuando el estudiante le
otorga ciertos significados muchas veces inapropiados, como por ejemplo, afiliar
cualquier fórmula o ecuación como una función, sin serlo realmente.
Luego, es con el planteamiento de un ejemplo que da inicio el tratamiento de la
función definida por partes, en él, se pretende mirar la importancia y uso de ésta
función, el ejemplo se presenta de manera gráfica y para su estudio se divide en
segmentos que conservan la misma forma para definir su expresión algebraica.
Seguidamente se presentan ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios sin resolver
relacionados con la graficación de ciertas funciones definidas por partes. Es de esta
manera que se concluye el tratamiento otorgado a este concepto.
Se observó que el concepto de función definida por partes se presenta de manera
apartada y rápida, a diferencia de los demás conceptos relacionados con la función.
Y el foco de atención en ésta función, se encontró en la representación algebraica y
como consecuencia en su representación gráfica.
• Cálculo de una variable, trascendentes tempranas. Stewart, J. (2003) Comienza el tratamiento de la función mediante un preliminar donde se indica que la
forma más natural y convencional de representar muchas funciones es la
representación gráfica. Y se señala que en el capítulo se pretende “preparar el
camino para el cálculo al analizar las ideas básicas de las funciones, sus gráficas y
las maneras de transformarlas y combinarlas” y se hará hincapié en que puede ser
representada de cuatro formas: mediante ecuación, gráficas, una tabla y verbal.
45
Se indica que las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra, y se
presentan cuatro situaciones para clarificar la dependencia de las cantidades, una de
las situaciones presentadas fue:
“El costo para enviar por correo una carta de primera clase depende de su
peso . Aun cuando no existe una fórmula sencilla que relacione con , la
oficina de correos tiene una regla para determinar cuando se conoce ”.
Posterior a las situaciones presentadas se describe que en cada una de las
situaciones, se presenta una regla por la cual dado un número ( ), se asigna otro
número ( ). Y en cada caso, se dice que el segundo número es función del primero,
estableciendo en este caso a la función como “dependencia”. Para después dar la
definición de función estática y conjuntista, como sigue:
“Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto
exactamente un elemento, llamado , de un conjunto ”.
En ésta visón, los conjuntos y elementos están dados, y luego, la dependencia es
artificial, ficticia, ya que no se establece con claridad la función de ésta.
Antes de definir los elementos del concepto función, se establece que “comúnmente”
se consideran funciones para los cuales los conjuntos y están conformados por
números reales. Se prosigue con la definición de dominio como el conjunto , la
imagen como el conjunto de todos los valores posibles de , conforme “varía” en
todo el dominio . Y se señala que un símbolo que representa un número arbitrario
en el dominio de una función se llama variable independiente y que el símbolo que
representa un número en la imagen de se llama variable dependiente.
Nuevamente, observamos que a pesar de presentar una definición estática de
función, se tiende a representar a los elementos de su dominio y de su rango como
variables.
Después, con la intención de esclarecer la idea de función como correspondencia y
de sus elementos, al igual que en el libro anterior, se presenta la ilustración de
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48
Posteriormente se menciona que se tienen cuatro maneras posibles para representar
a una función, las cuales son la verbal, numérica, visual y algebraica. Y se recurre a
las situaciones que se presentaron al inicio para ejemplificar estas representaciones,
por ejemplo:
“La función esta descrita en palabras: es el costo de enviar por correo una
carta de primera clase con peso . La regla que en 1996 aplicaba el U. S.
Postal Service es la siguiente: el costo es de 32 centavos de dólar hasta por
una onza, más 23 centavos por cada onza sucesiva, hasta 11 onzas. La tabla
de valores es la representación más conveniente para esta función, aunque es
posible trazar su gráfica”.
Inmediatamente después de presentar las situaciones con el “nuevo” enfoque, se
presentan una serie de ejemplos donde se interactúa con las representaciones de la
función y sus elementos.
Antes de continuar con otro tema, se aclara que no todas las gráficas son
representaciones de funciones, y que indica que una gráfica representa una función
si y solo si ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez, y se
muestra ilustraciones que ejemplifican lo enunciado.
A continuación, se inicia el tratamiento de la función definida por partes, partiendo de
ejemplos en los cuales “las funciones están definidas por fórmulas diferentes en
diferentes partes de su dominio”, y se interactúa con sus representaciones gráficas,
algebraicas y sus imágenes. Se presenta la representación algebraica y se solicita
obtener imágenes de ciertos valores y la representación gráfica respectiva, en un
ejemplo más se presenta la representación gráfica y se solicita la expresión
algebraica. Por lo que se analiza la función dada algebraicamente, su dominio y su
comportamiento respectivo, para presentarlo gráficamente. Para el caso contrario,
(gráfico-algebraico) se procede análogamente.
49
En la resolución de los ejemplos, se menciona que dado que la función es una regla,
para este tipo de funciones, “la regla consiste en primero considerar el valor de la
entrada ” y dependiendo del valor que tome entonces se aplica la fórmula que le
corresponda.
Sucesivamente, se describe la simetría de funciones, funciones crecientes y
decrecientes, las cuales son ejemplificadas mediante funciones de comportamiento
continuo y que son expresadas mediante una única regla de correspondencia o
fórmula. Por lo que se provoca un desvinculo entre el tema recién tratado (función
definida por partes) con el actual, hecho que podría conducir al alumno a pensar que
el nuevo tema no presenta relación alguna con la función definida por partes.
• Cálculo diferencial e integral. Ayres, F. y Mendelson, E. (1994) En éste libro se comienza indicando que la función es una asignación, para cada
valor de la variable en un cierto conjunto, exactamente un valor a una variable .
Tal definición es una composición de la definición conjuntista con la definición como
variable. Por lo que nombran a la variable como variable dependiente, a la variable
como variable independiente, al dominio como “conjunto en el que se pueden
escoger los valores de ” y al conjunto de “los valores correspondientes a ” como
recorrido de la función.
El siguiente tratamiento del concepto se basa en ejemplos. El primero de ellos indica
que:
“La eeccuuaacciióónn 10, con variable independiente , asocia un valor de
con cada valor de . La función se puede calcular con la fórmula 10. El
dominio es el conjunto de todos los reales”.
En este ejemplo, se presenta la función implícitamente (“ecuación”) a partir de la cual
se presenta de manera explícita (“fórmula”); pero debido al lenguaje empleado,
podría generar la noción de que una ecuación es aquella expresión en la cual las
variables se presentan de un mismo lado de la igualdad y que para poder hablar de
50
función, es necesario que de un lado de la igualdad se encuentre únicamente la
variable (dependiente).
Luego, con la intención de ejemplificar el hecho de que a cada variable
independiente de una función sólo le puede corresponder una variable dependiente,
se considera la misma ecuación, pero en este caso, se toma a como la variable
independiente, y como consecuencia, se considera como la variable dependiente,
de tal forma que se estarán asignando dos valores de a una misma , por lo que se
tendrá que ya no se estará tratando de una función, si no de dos, las que se
expresan como: 10 y 10 , y se señala que en este caso, el
dominio para ambas funciones será el conjunto de todas las , tal que 10,
puesto que de otra manera, no existiría en los reales el número 10 .
Posteriormente, se señala que si una función se denota por el símbolo , la
expresión , denota el valor obtenido cuando se calcula en un número del
dominio de y que a menudo una función se define dando la fórmula para un
valor arbitrario. Se presenta un ejemplo relacionado con el ejemplo discutido. De esta
manera se indica que tanto 10 como 10 definen una misma
función.
En el siguiente ejemplo, se presta atención nuevamente al dominio de una función.
Posteriormente, se menciona que el gráfico de una función es el gráfico de la
ecuación .
En un tercer ejemplo, se presenta la función valor absoluto de forma gráfica y se
discute sobre su comportamiento gráfico, su dominio y su recorrido.
Se finaliza con “una función está definida sobre (o en) un conjunto si lo está en
cada punto de ese conjunto”. Es decir que una función “recorre” todos los puntos de
su dominio.
El tratamiento del concepto función, aparentemente finaliza, pero se da comienzo a
problemas resueltos, en los cuales se pretende identificar algunos puntos del
51
recorrido y dominio de ciertas funciones, se interactúa con las representaciones
algebraicas y gráficas de las funciones.
En uno de los problemas resueltos se dio una función como sigue:
5 1 10 1 2
15 2 3 15 3 4
Y se solicitaba el dominio y recorrido de la función a partir de las expresiones dadas
y de la representación gráfica que también se proporcionaba.
Las representaciones algebraicas proporcionadas, podría generar la noción de que
en realidad se trata de cuatro funciones en lugar de que se esté refiriendo a una
única función. Se puede observar que el tratamiento de la función definida por partes,
se encuentra ausente a excepción del problema donde sin hacerse explícito, se
interactúa con una función de este tipo.
4.2.3 Análisis cognitivo
Para la realización de este análisis se diseñó un instrumento, el cual estuvo
conformado por dos actividades. En la primera actividad presentamos cuatro grupos
compuestos de 3 gráficas de funciones cada uno. Las gráficas correspondientes al
primer grupo, eran polinómicas (un ejemplo de este tipo es la gráfica 4.6) y de
comportamiento continuo, por consiguiente conocidas por los estudiantes. Las
gráficas correspondientes al segundo gráfico, tenían comportamiento continuo, pero
el trazo de la gráfica no obedecía a un comportamiento regular, un ejemplo de este
tipo de gráficas, lo representa la gráfica 4.7). El tercer grupo, se encontraba
conformado por gráficas que presentaban “saltos”, presentamos como ejemplo la
gráfica 4.8. Y por último se presentan gráficas las cuales son representadas
mediante puntos, un ejemplo, es la gráfica 4.9.
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53
Esta pregunta, tenía como intención indagar sobre la aplicabilidad que el
estudiante otorga al concepto función (especialmente a la función definida por
partes) y el análisis utilizado para determinar cierto fenómeno.
En la segunda actividad, se presentó una animación diseñada en el software
Sketchpad 4.05 de Geometría dinámica, el cual representaba el nado de un delfín
que se desplazaba de de forma regular dentro y fuera del agua; y se presentaron 8
gráficas, para las cuales, se solicita a los estudiantes que:
‐ con base en argumentos, identificaran cuál de las gráficas, representa el nado
del delfín en el agua con respecto al tiempo.
‐ De acuerdo a la gráfica escogida, determinen cuál sería su representación
algebraica.
Con esta actividad, se pretendía observar que si a partir de un fenómeno planteado,
el estudiante identifica que el comportamiento de la gráfica solicitada correspondía al
de una función definida por partes y cómo consideraba el alumno que tendría que ser
la expresión algebraica de esta función.
Al término de las actividades, con la intención de indagar de manera explícita sobre
la noción de función definida por partes, preguntamos a los estudiantes: ¿Cómo
explicarían qué es una función definida por partes a alguien que por primera vez va a
conocer las funciones?
En el siguiente capítulo, se presentaran los resultados y los análisis obtenidos a partir
de la aplicación de éste instrumento.
4. 3 Conclusiones
Por ahora, se ha presentado la metodología mediante la cual desarrollamos nuestro
análisis didáctico, epistemológico y cognitivo. En este apartado, se presentará el
análisis sistemático de estos tres elementos.
54
Se pudo observar que tanto en la construcción histórica del concepto, como en el
tratamiento didáctica de hoy en día, se presenta el estudio del concepto función, con
un énfasis en sus representaciones algebraicas y gráficas. Lo que se deduce debido
a que, por un lado, la construcción histórica del concepto de función definida por
partes, estuvo centrado en el estudio de los comportamientos gráficos (continuidad,
discontigüidad y discontinuidad), a partir de los cuales se obtienen sus expresiones
algebraicas, considerando que una representación gráfica, que presente curvas con
comportamientos irregulares, era sinónimo de función definida por partes. Por otro
lado, el tratamiento didáctico del concepto, se declara “cumplido” al presentar
algunos ejemplos gráficos y algebraicos “especiales (como el valor absoluto)” de la
función definida por partes, es decir les basta con presentar algunas
representaciones gráficas con comportamientos “diferentes7” y sus expresiones
algebraicas, para referirse a una función definida por partes.
Por lo que, dado a que el concepto función se construye (histórica y escolarmente), a
través del análisis de sus representaciones algebraico y gráfico, consideramos que al
confrontar los conocimientos de los estudiantes con respecto a su conocimiento de
las representaciones gráficas y analíticas que tienen del concepto función, podría
favorecer el aprendizaje del concepto función definida por partes en los estudiantes.
Es así que formulamos nuestra hipótesis como sigue: la noción de función definida
por partes debe estar inmersa en un tratamiento escolar asociado al estudio de la
continuidad y discontinuidad de funciones, o bien, en el estudio de comportamientos
gráficos de las funciones.
4.4 Segundo instrumento
Considerando la necesidad de validar o refutar nuestra hipótesis, es que se realizó el
diseño y aplicación de un segundo instrumento. A continuación se presentará la
estructura del instrumento y las consideraciones tomadas para su elaboración.
7 Irregulares.
55
El instrumento se divide en cuatro secciones. De los cuales, la primera sección
pretende identificar cómo asocia el estudiante una representación gráfica con su
expresión algebraica, es decir, si la representa mediante una única expresión
algebraica simple o compuesta8. Por lo que se presentan seis gráficas de funciones
(Figura 4.3) de las cuales sólo la primera difiere de ser una función definida por
partes. Y se solicita al estudiante que para cada una de las representaciones gráficas
presentadas determinen la expresión funcional que consideren le corresponde, esta
primera sección, pretende reafirmar que en la cognición del estudiante la noción
función definida por partes se asocia a comportamientos gráficos.
La segunda sección, se realizó mediante la intervención del investigador, quien
aplicó dos reactivos a los estudiantes, con la intención de indagar de manera
8 Nos referimos a expresión algebraica simple, a aquella que se expresa mediante una sola formula, como
5 sin . Y a una expresión funcional compuesta a aquella que se expresa mediante dos o más
fórmulas como 0 0.
FIGURA 4.3
56
explícita, sobre la noción de los estudiantes con respecto a la función definida por
partes. Los reactivos correspondientes fueron:
‐ Escriban ¿Cuál o cuáles de las gráficas mostradas consideran corresponde a
una función definida por partes? ¿Por qué?
‐ Con sus propias palabras y de manera individual, escriban qué es para ustedes
una función definida por partes.
De acuerdo a nuestro análisis preliminar, en ésta sección se esperaba que la
definición que los estudiantes proporcionaran, estaría basada en representaciones
gráficas (con comportamientos irregulares), consecuentemente, la tercera sección
pretendía confrontar ésta noción presente. Por lo que, se presentaron cuatro
representaciones gráficas con comportamientos no “regulares” pero que eran
representadas por una expresión algebraica simple y se solicitó a los estudiantes que
indicarán cuál de las gráficas representaba una función definida por partes.
Posteriormente, en la última sección, se presentó a los estudiantes las expresiones
algebraicas de las gráficas representadas, en este momento se pretendía que
ocurriera una “confrontación” cognitiva en los estudiantes, quienes (de acuerdo a
nuestro análisis cognitivo, que se presentará a detalle en el siguiente capítulo)
asocian una función definida por partes con curvas de comportamiento irregular, pero
nosotros les presentamos gráficas con comportamiento irregular y que son
representadas mediante una única expresión algebraica, por lo que se esperaba que
con dicha “confrontación”, los estudiantes reestructurarán su noción de función
definida por partes. En consecuencia, se les preguntó si cambiarían la definición de
función definida por partes proporcionada anteriormente y se esperaba que si la
definición proporcionada estaba en función de comportamientos gráficos únicamente,
presentarán de forma escrita un cambio cognitivo, con respecto a su noción de
función definida por partes. Es en este momento donde el centro de validación o
refutación de nuestro supuesto se hace más presente.
57
CAPÍTULO CINCO
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
58
5.1 Primer instrumento
Este instrumento se realizó y aplicó con la finalidad de estudiar las concepciones que
tienen los estudiantes respecto al concepto función y función definida por partes; así
como mirar la identificación de la aplicabilidad que otorgan los estudiantes a éste
concepto.
Se aplicó a cuatro estudiantes (tres mujeres y un hombre), con la edad de 18 años y
que se encontraban cursando el segundo semestre de la Licenciatura en Enseñanza
de las Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán, quienes han adquirido
una primera noción de función, dado que han cursado la asignatura de Precálculo y
se encontraban inscritos al curso de Cálculo I.
En el desarrollo de la primera parte (Actividad 1) “experimentación”, únicamente
utilizamos la hoja de la actividad y de la resolución de las mismas. En la segunda
parte (Actividad 2), utilizamos la hoja de actividad correspondiente y computadora
para proyectar una animación diseñada en el software Sketchpad 4.05 de Geometría
dinámica. Cabe mencionar que las actividades fueron resueltas de manera grupal.
Utilizaremos la expresión o código “EL” cuando nos refiramos a las respuestas
proporcionadas por los estudiantes, donde la letra “L” es la inicial del nombre del
estudiante que proporcionó la respuesta; en este caso, haremos referencia a la
respuesta proporcionada por la estudiante Liliane.
5.1.1 Actividad 1
Primer reactivo
Con el primer reactivo se obtuvo información sobre el tipo de ideas que están
presentes en los estudiantes respecto a la función, la cual consiste en la
identificación de función como “regla de correspondencia”. Ante estas ideas,
reconocieron que todas las gráficas podrían ser expresadas mediante una expresión
funcional (algebraica), la cual, dependiendo del comportamiento gráfico, tendría que
ser dividida en intervalos o bien, se trataría de dominio restringido para obtener cierto
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63
En el segundo reactivo, detectamos que dado que reconocen que las gráficas
representan funciones, entonces les posible afirmar que “debe” de existir algún
fenómeno que se represente en tales gráficas, pero no distinguen qué tipo de
fenómenos podrían ser éstos.
A continuación presentamos las respuestas de los estudiantes al segundo reactivo y
el análisis realizado. Debido a que las gráficas correspondientes a cada grupo ya
fueron presentadas en el apartado anterior, serán omitidos en éste.
Cabe mencionar que nuestro análisis no estará enfocado en, si el fenómeno
propuesto por los estudiantes es correcto o no, ya que nuestro centro de atención
estará en el análisis empleado por los estudiantes para aplicar cierto fenómeno,
específicamente para los grupos dos, tres y cuatro.
El reactivo correspondiente es:
i. ¿Creen que exista un fenómeno que sea descrito por las gráficas?, en caso
afirmativo, describan cómo tendría que ser ese fenómeno.
Grupo 1
EL:
Gráfica A. Sí, ese fenómeno podría ser de forma constante, como el movimiento
y la velocidad de un objeto con respecto al tiempo.
Gráfica B. Sí, ese fenómeno debe ser con un comportamiento que desciende
hasta 0 y luego aumenta como las ganancias de alguna empresa.
Gráfica C. Podría ser el comportamiento de una pelota con respecto a su
aceleración
EA:
Gráfica A... ….…….no proporcionó respuesta…
64
Gráfica B. Porque puede salir en un tipo de empresa, representando la
ganancia o la mercancía que posee pero en algún momento se le gasta y
empieza a comprar más de ésta.
Gráfica C. El comportamiento de una pelota en cuanto a su aceleración.
EC:
Gráfica A. Representa un movimiento rectilíneo en un plano cartesiano, ya que
es constante.
Gráfica B. Representaría un comportamiento financiero de alguna empresa al
decrecer y llegar a un punto 0 y volver a caer.
Gráfica C. El comportamiento de una pelota en cuanto a su aceleración
ER:
Gráfica A. Representa un movimiento rectilíneo uniforme
Gráfica B. Podría representar las ganancias de una empresa.
Gráfica C. Podría representar el comportamiento de una pelota con respecto a
su aceleración.
Se pudo observar, que el estudiante describe su fenómeno de acuerdo al
comportamiento gráfico que observa, aplicando algunos ejemplos que comúnmente
son presentados escolarmente, por ejemplo, el comportamiento de una pelota y el
movimiento rectilíneo uniforme
Grupo 2
EL:
Gráfica A. Sería la velocidad de un objeto en reposo que en un tiempo dado se
mueve a velocidad constante.
65
Gráfica B. Podría ser la secuencia del movimiento del agua.
Gráfica C. La distancia recorrida en un tiempo dado. Las tres funciones
deberían de cumplir que sea por partes ya que no se puede expresar el
comportamiento de la gráfica en uunnaa ssoollaa ffuunncciióónn.
EA:
Gráfica A. Sería la velocidad de una persona cuando está caminando desde un
punto 0, donde después de eso empezó a correr.
Gráfica B... ….…….no proporcionó respuesta.
Gráfica C….... ……..no proporcionó respuesta.
EC:
Gráfica A. Una velocidad que al inicio se comporte constante y que hasta llegar
a un punto aumente repentinamente.
Gráfica B. La frecuencia ondulatoria del movimiento del agua.
Gráfica C. La distancia recorrida en cuanto a un tiempo dado.
ER:
Gráfica A. La velocidad de un objeto en un intervalo donde es constante y en un
punto donde después se incrementa constantemente.
Gráfica B. La frecuencia de las ondas en el agua.
Gráfica C. La distancia recorrida de una persona en un tiempo dado.
Cuando los estudiantes hicieron referencia al comportamiento del agua,
mencionaron que no era regular, ya que pueden presentarse olas de diferentes
magnitudes, por lo que podría ser representado por la Gráfica B, Grupo 2.
66
De nuevo se observa que los estudiantes prestan atención a los cambios de
comportamientos gráficos, y tratan de describir fenómenos que puedan tener
comportamientos cambiantes como los de la gráfica.
Prestemos atención a la respuesta proporcionada por EL con respecto a la Gráfica C,
quien en primer momento señala que “cada una de las funciones” debe cumplir que
este definida por partes, es decir, da a entender que a cada una de las gráficas le
corresponde una función. Pero seguidamente, señala que no se puede expresar el
“comportamiento de la gráfica” en “una sola función”. Al respecto, concluimos que
dado a que el estudiante observa comportamientos irregulares en la gráfica que no
pueden ser definidos por una sola expresión algebraica (de acuerdo a su concepción
de función), entonces afirma que las gráficas no representan una sola función.
Grupo 3
EL:
Gráfica A. Sí, podríamos encontrar una función que cumplan el comportamiento
de la gráfica y deben cumplir que den saltos en determinados puntos…. O sea
que no sean continuas.
Gráfica B. Sí, podríamos encontrar una función que cumplan el comportamiento
de la gráfica y deben cumplir que den saltos en determinados puntos…. O sea
que no sean continuas.
Gráfica C. Sí, podríamos encontrar una función que cumplan el comportamiento
de la gráfica y deben cumplir que den saltos en determinados puntos…. O sea
que no sean continuas.
EA:
Gráfica A. Sí, podríamos encontrar funciones pero encontrar una función el cual
este dando el comportamiento de algún fenómeno, es casi imposible.
67
Gráfica B. Sí, podríamos encontrar funciones pero encontrar una función el cual
este dando el comportamiento de algún fenómeno, es casi imposible.
Gráfica C. Sí, podríamos encontrar funciones pero encontrar una función el cual
este dando el comportamiento de algún fenómeno, es casi imposible.
EC:
Gráfica A. Sí, se podría encontrar funciones que cumplan o qquuee ssee ppaarreezzccaann aa
llaass ggrrááffiiccaass, pero, tal vez describir un comportamiento físico y/o de la vida
cotidiana será bastante complicado.
Gráfica B. Sí, se podría encontrar funciones que cumplan o que se parezcan a
las gráficas, pero, tal vez describir un comportamiento físico y/o de la vida
cotidiana será bastante complicado.
Gráfica C. Sí, se podría encontrar funciones que cumplan o que se parezcan a
las gráficas, pero, tal vez describir un comportamiento físico y/o de la vida
cotidiana será bastante complicado.
ER:
Gráfica A. Sí, podríamos encontrar funciones que se describan con sus
gráficas, pero describir un fenómeno que lo cumpla, no es tan obvio.
Gráfica B. Sí, podríamos encontrar funciones que se describan con sus
gráficas, pero describir un fenómeno que lo cumpla, no es tan obvio.
Gráfica C. Sí, podríamos encontrar funciones que se describan con sus
gráficas, pero describir un fenómeno que lo cumpla, no es tan obvio.
Se observa que para el análisis de las gráficas del grupo 3, los estudiantes dan a
entender que si sería posible encontrar una expresión algebraica que describa los
comportamientos gráficos presentados, pero que para determinar un fenómeno que
lo describa no es sencillo, incluso, un estudiante comenta que sería “casi imposible”.
68
Un caso particular fue la respuesta de EL, quien describe cómo tendrían que ser los
fenómenos par que puedan representarse por las gráficas mostradas, afirmando que
deben de tener saltos en determinados puntos, por lo que mencionó que los
fenómenos deben ser “no continuos”, esta respuesta del estudiante nos llama la
atención, ya que pareciera ser que repite las mismas nociones de “no continuidad”
presentadas por matemáticos de antaño como Euler y Arbogast.
Otro aspecto que nos llamó la atención, es el discurso empleado por los estudiantes,
“podríamos encontrar ffuunncciioonneess”, permite teorizar que el estudiante no identifica la
diferencia entre el concepto función y se representación misma, es por ello que se
refieren a función como su expresión algebraica o gráfica (como lo señala la
respuesta de EC).
Grupo 4
EL:
Gráfica A. Sería que nos dé el valor de algo en determinados valores que
cumplan el mismo comportamiento.
Gráfica B. Tal vez sí exista pero no es algo tan evidente.
Gráfica C. Tal vez sí exista pero no es algo tan evidente.
EA:
Gráfica A. ------------
Gráfica B. Puede expresarse como comportamientos pero esto no implica que
podamos dar un comportamiento que este expresado por la gráfica.
Gráfica C. Puede expresarse como comportamientos pero esto no implica que
podamos dar un comportamiento que este expresado por la gráfica.
EC:
69
Gráfica A. Un comportamiento lineal pero solo con “determinados puntos”.
Gráfica B. No podríamos dar un comportamiento físico evidente que cumpla la
gráfica.
Gráfica C. No podríamos dar un comportamiento físico evidente que cumpla la
gráfica.
ER:
Gráfica A. Describe el comportamiento del movimiento de un objeto de
determinados tiempos.
Gráfica B. Es posible que exista un comportamiento físico que cumpla las
funciones de las gráficas. Pero este no es evidente.
Gráfica C. Es posible que exista un comportamiento físico que cumpla las
funciones de las gráficas. Pero este no es evidente.
Las respuestas, dan evidencia de que los estudiantes reconocen que dado que las
gráficas representan funciones, entonces tiene que haber un fenómeno que sea
descrito mediante las gráficas, pero que no resulta evidente para ellos. Para este
grupo de gráficas, fue solo para el caso de la Gráfica A que los estudiantes
describen cómo sería el fenómeno representado, identificando un comportamiento
lineal en determinados puntos (o tiempos).
5.1.2 Actividad 2
La aplicación de ésta actividad, requirió de la presentación de una animación, en la
cual se representa el nado de un delfín dentro y fuera del agua.
Prime
En un
que d
respe
respu
por lo
1.
5.
1
3
er reactivo
n primer rea
determinara
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esta. Segu
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o
activo, se p
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mpo y se
uidamente,
tes.
2.
6.
presentó a
as gráficas
les solicita
presentam
los estudia
representa
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os las gráfi
3.
7.
2
4
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aba el nado
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gráficas y s
o del Delfín
rán argume
espuestas
4.
8.
se les solic
en el agua
entos sobr
proporcion
70
citaba
a con
re su
adas
71
EL: La 8 es la gráfica correspondiente, porque representa el nado del delfín con
respecto al nivel del mar cuando el delfín está en el agua.
EA: Pensamos que el movimiento representado es el de la gráfica 8. Porque
pensamos que al pedirnos representar el movimiento, éste dice qué distancia
hay de la orilla del mar hasta el delfín, pero no tomamos el tiempo cuando está
sobre el mar.
EC: La gráfica 8 representa la situación, ya que describe la distancia con
respecto a la superficie o al límite del nivel del agua y conforme el delfín se
acerca al nivel del agua, la distancia disminuye y así sucesivamente.
ER: La gráfica que describe mejor el comportamiento es la gráfica 8. Porque
pusimos el nivel en el que el Delfín se encuentra en el agua. Cuando nada en el
agua, se encuentra bajo el nivel del mar, por lo tanto la gráfica queda bajo el
eje y por momentos no se encuentra en el agua.
Se puede observar que los estudiantes identificaron la característica particular del
nado del delfín, es decir, que sólo presenta curvas en el tiempo que permaneció en el
agua, y que en caso de que se encontrara fuera del agua, no se obtienen
representaciones gráficas.
Segundo reactivo
El segundo reactivo, solicitaba que de acuerdo a la gráfica escogida, ¿determinen
cual es su expresión funcional?, las respuestas obtenidas fueron las siguientes:
EL:
0
Este estudiante marcó en la gráfica que le fue proporcionada los puntos
correspondientes donde la gráfica “cambia” su comportamiento y se puede observar
72
que por la forma en que expresa la función, no reconoce en el comportamiento
gráfico a una sola función, si no por el contrario, identifica a cuatro funciones con
dominio acotado.
EA:
0, 00,
Ante esta respuesta, pareciera ser que la gráfica solicitada, describe el
comportamiento de y que considera a como la gráfica del nado del delfín
en todo su trayecto, dentro y fuera del agua; recordemos que decidió escoger la
Gráfica 8 debido a que consideró las imágenes como la distancia entre la orilla del
mar (superficie) y el delfín (el cual consideró como negativo), si el estudiante
aplicó el razonamiento ahora descrito, entonces, su expresión funcional se
presentaría defectuoso por el hecho de que cuando 0, simplemente no
tiene imágenes o representación gráfica , mientras que éste estudiante
supone que la gráfica toma el comportamiento de la función constante igual a
cero. Este análisis permite observar que el estudiante empleó un doble análisis
gráfico de la función para determinar la expresión algebraica de la representación
gráfica número ocho.
EC:
Al no conocer las funciones y los puntos donde se intersecan con los ejes o
cualquier otro punto, lo denotaremos como:
, 0, ,
ER:
Tomamos los puntos en donde la función se comporta de manera distinta.
73
, 0, ,
Se puede observar en las dos últimas respuestas, la presencia de la noción de
función como fórmula, ya que en lugar de considerar algún tipo de expresión
algebraica (que puede ser considerada como fórmula) en la expresión de , se
colocan funciones, a saber , y , lo que da evidencia de que los
estudiantes suelen asociar a fórmulas o expresiones algebraicas con una función,
en la mayoría de las ocasiones sin el debido análisis. La expresión algebraica
proporcionada por los estudiantes, también permite suponer que realmente no
visualizan en la representación gráfica dada por partes, a una función, más bien,
en este caso identifican cuatro funciones definidas en ciertos intervalos.
Por último, para cerrar con la aplicación de este primer instrumento, se preguntó a
los estudiantes, ¿cómo explicarías qué es una función definida por partes a alguien
que por primera vez va a conocer las funciones?, por lo que presentaron de manera
consensada que lo explicarían como sigue:
“Existen funciones que respetan una regla, pero también existen otras funciones
que en intervalos toman diferentes comportamientos, la gráfica se comporta de
diferentes maneras”.
La explicación presentada por los estudiantes a modo de conclusión, nos deja ver
que están asociando el concepto de función definida por partes a funciones cuyas
gráficas se comportan de “diferentes maneras”, es decir, que siguen un
comportamiento irregular. Es así como su noción de función, está estrechamente
relacionada con su representación gráfica o con comportamientos gráficos
irregulares.
5.2 Segundo Instrumento
De acuerdo a nuestro análisis epistemológico, didáctico y cognitivo, es que nuestro
supuesto de investigación, consideramos que la noción de función definida por partes
debe
contin
gráfic
Para
aplica
de la
Unive
previo
Unive
Para
simbo
estare
5.2.1
En es
repres
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EV:
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GRÁF
GRÁ
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nuidad y dis
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validar o r
ado a dos e
Computac
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GRÁFICA
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74
de la
entos
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de la
entos
nivel
misma
, nos
e las
en le
75
Gráfica B: 4 0| 4| 0
Gráfica C: No pude determinar la función pero sí existe
Gráfica D: 1 01 0
Gráfica E: Sí existe la función, es por partes.
Gráfica F:
ER:
Gráfica A:
Gráfica B: 4 0| 4| 0
Gráfica C: Sí existe, es la unión de parábolas
Gráfica D: 1 01 0
Gráfica E: Existe y es por partes.
Gráfica F:
EJ:
Gráfica A:
Gráfica B: 4 0| 4| 0
Gráfica C: Sí existe la función, pero no la pude dar.
Gráfica D: 1 01 0
Gráfica E: Existe y es por partes.
76
Gráfica F:
Los estudiantes, identificaron entre las representaciones gráficas, funciones que
representaron mediante una expresión algebraica aun con comportamiento
discontigüo como es el caso de la Gráfica F, suponemos que este hecho se dio
debido a la gama de funciones que el estudiante conoce (de acuerdo a su nivel
educativo).
5.2.2 Segunda sección
En esta sección, se solicitó al estudiante, atendiera dos reactivos, el primero de ellos
es:
Reactivo 1. Escriban ¿cuál o cuáles de las gráficas mostradas consideran
corresponde a una función definida por partes? ¿Por qué?
Reactivo 2.Con sus propias palabras y de manera individual, escriban qué es para
ustedes una función definida por partes.
Las respuestas proporcionadas al reactivo uno fueron:
EV: Las gráficas B, C, D y E, son funciones definidas por partes, porque la
gráfica no sigue la misma función.
ER: La Gráfica B, por el cambio que tiene y no puede seguir una misma función.
La Gráfica C, porque no sigue una secuencia con una misma función. La
Gráfica D, porque tiene un salto de punto y la Gráfica E, porque tiene un salto
que pueda ser otra función.
EJ: La Gráfica B, C, D y E; porque la gráfica no sigue una misma función.
Los criterios considerados por los estudiantes para identificar a una función definida
por partes, consistió en su análisis gráfico, explicando que ésta no sigue una misma
función, lo que interpretamos, es que se referían a que no seguía un mismo
comportamiento gráfico. Esto nos permite confirmar que un elemento que permanece
77
en los estudiantes para hablar de función definida por partes es el comportamiento
gráfico.
Reactivo 2. Con sus propias palabras y de manera individual, escriban qué es para
ustedes una función definida por partes.
Las respuestas proporcionadas fueron:
EV: Es una función que al momento de representarla en forma de una gráfica,
ésta no sigue una trayectoria única, sino que hay variaciones.
ER: Una función definida por partes, es en la cual no basta una función para
representar la gráfica, ya que son de magnitudes diferentes y no se puede
representar de la misma forma. Por ello necesita más funciones para
representarse y no solo una
EJ: Una función definida por partes es la función la cual está definida por una
función diferente según el intervalo.
Se puede observar que como hemos mencionado, los estudiantes basan su
definición de función definidas por partes en comportamientos gráficos irregulares y
que no pueden ser expresadas mediante una sola “función”, a decir con sus propias
palabras.
5.2.3 Tercera sección
Se presentaron cuatro gráficas a los estudiantes y se los solicitó que indiquen si las
gráficas representan o no una función definida por partes, y que proporcionaran un
argumento.
Las gráficas presentadas fueron:
EV:
•
•
•
•
ER:
•
•
•
•
EJ
•
•
:
La Gráfica
La Gráfica
La Gráfica
La Gráfica
:
La Gráfica
La Gráfica
La Gráfica
otra con p
La Gráfica
La Gráfic
mediante
La Gráfic
mediante
iv.
i.
a i. No es p
a ii. No es p
a iii. Sí es p
a iv. Si, es
a i. no es po
a ii. No es p
a iii. Es por
positiva.
a iv. Es por
ca i. no es
.
a ii. No es
y
por partes, e
por partes,
por partes y
por partes.
or partes, y
por partes,
r partes, so
r partes, un
una funci
s una func
x
es de la for
ya que se e
ya que son
Son dos va
ya que se e
ya que se e
on dos raíce
a y dos
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ción definid
ii.
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expresa me
dos raíces
alores abso
expresa me
expresa me
es dos raíc
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a por parte
a por part
está definid
ediante
.
oluto y una
diante .
ediante
ces, una co
soluto.
es, ya que
es, ya que
y
do.
potencia.
on negativa
e se expre
e se expre
x
78
a y
sa
sa
79
• La Gráfica iii. Sí representa una función definida por partes, ya que se
expresa mediante dos raíces.
• La Gráfica iv. Si, ya que son dos valores absolutos y una .
Esta sección nos permitió observar que la noción de función definida por partes de
los estudiantes, antes planteada, permanece sólo hasta que se presentan
funciones conocidas por los estudiantes (aunque presenten comportamientos
irregulares) y vuelve a aparecer dicha noción cuando se enfrentan a funciones
desconocidas.
5.2.4 Cuarta sección
En realidad las gráficas presentadas a los estudiantes, en la sección anterior, no
correspondían al de una función definida por partes, aunque presentaran
comportamientos irregulares, ya que se expresaban mediante una sola expresión
algebraica. Por lo que posterior a que los estudiantes hayan realizado lo solicitado en
la sección tres, se les informó que en realidad las representaciones gráficas que les
fueron presentadas estaban definidas mediante una sola expresión algebraica. Por lo
que se les propuso cambiar su definición de función definida por partes que ellos
habían presentado anteriormente, si lo consideraban necesario.
Como respuesta se obtuvo que no consideraran necesario cambiar su definición
proporcionada, incluso EJ, expresó “yo no di mi definición de acuerdo a las gráficas,
así que no cambiaré mi definición”. Esta expresión permitió observar que si bien
anteriormente, EJ en el reactivo uno de la segunda sección expresó “La Gráfica B, C,
D y E son funciones definidas por partes porque la ggrrááffiiccaa no sigue una misma
función”, a través de estudiar gráficas de funciones con comportamientos irregulares
que obedecían a una misma única y simple expresión algebraica, dejó de considerar
que los comportamientos gráficos irregulares, conducen a una función definida por
partes.
80
CAPÍTULO SEIS
CONCLUSIONES
81
El objetivo de nuestro trabajo consistió en identificar elementos que nos permitan
aportar ideas sobre formas de tratamientos o alternativas de construcción de
significados escolares referentes al concepto función definida por partes. Teniendo en cuenta que una revisión sobre el desarrollo histórico-epistemológico de
los conceptos matemáticos, favorece identificar el tipo de actividades y prácticas que
dotaron de sentido y significado a dichos conceptos matemáticos, y dado que es el
aula en donde tradicionalmente se establece una relación de aprendizaje de las
personas hacia los conceptos y de persona a persona, es que en este trabajo se
partió del interés por aprender la relación que guarda el desarrollo histórico del
concepto función definida por partes con su actual tratamiento escolar, en un sentido
particular, la didáctica escolar.
Bajo la consideración de que los conceptos y nociones matemáticas se han
desarrollado en cierta época y cultura, bajo ciertas prácticas y situaciones
específicas, el trabajo se desarrollo en el marco de la socioepistemología como
aproximación teórica, ya que ésta se orienta hacia la realización de un análisis
sistémico de las componentes del triángulo didáctico (profesor, alumno y saber) e
incluye el componente socio-cultural.
Fue así que el análisis socioepistemológico realizado respecto al concepto función y
particularmente función definida por partes, deja ver que las nociones desarrolladas
tanto histórica, como didáctica y cognitivamente asociadas a dicho concepto, están
relacionadas con el análisis de cierta irregularidad de comportamientos gráficos que
determinan algunos tipos de funciones (conocidas y no conocidas por una
comunidad específica).
La evidencia de corte histórico-epistemológico y la del tipo empírico obtenida en el
desarrollo de este estudio, nos permite decir que, el desarrollo y tratamiento escolar
de la noción, función definida por partes, debe de estar en un trabajo asociado al
estudio y tratamiento de la contigüidad gráfica, continuidad y discontinuidad de
funciones, o bien, en el estudio sistemático de formas de comportamiento gráfico de
las funciones.
82
En efecto de los datos y resultados obtenidos en el capítulo anterior, se puede decir
que:
• Los estudiantes basan su definición de función definidas por partes en
comportamientos gráficos irregulares, los cuales, a decir con sus propias
palabras, no pueden ser representadas mediante una sola expresión
algebraica.
• A partir de centrar y fortalecer la atención en la función definida por partes
como un resultado de comportamientos gráficos irregulares y confrontando
posteriormente, esta noción de función, rompiendo con la noción
preestablecida, se reconstruye la noción de función definida por partes.
• El conocimiento de la relación entre cierto tipo de funciones (funciones
definidas por partes) y su aspecto gráfico, no favorece un análisis profundo por
parte de los estudiantes con respecto a otro tipo de relaciones funcionales-
gráficas.
En síntesis, observamos que el análisis de comportamientos gráficos de funciones
por parte de los estudiantes, los lleva a realizar reflexiones semejantes a los
realizados por algunos pensadores matemáticos de antaño, cuando una situación
exige confrontar conocimientos establecidos (aceptados por la comunidad) con
aquellos en proceso de construcción. Por ejemplo, reflexiones manifestadas por el
estudiante : “puede expresarse como comportamientos, pero esto no implica que
podamos dar un comportamiento que este expresado por la gráfica” o el estudiante
: “es posible que exista un comportamiento físico que cumpla las funciones de las
gráficas, pero este no es evidente“.
Así, es claro que los significados no están en los conceptos o en sus definiciones,
menos aún, en su ejemplificación. También es claro, que para los estudiantes, no
basta poseer un conocimiento básico sobre la caracterización algebraica de la
función definida por partes y su relación con su aspecto gráfico para reconstruir
significados o identificar nuevos tipos de relaciones algebraicas-gráficas, se requiere
83
pues, de una confrontación entre las nociones establecidas y aquellas que han o son
necesarias establecer, a fin de avanzar en el proceso de construcción de
conocimiento matemático. Particularmente, aquel que se suscita en las aulas de
clase, producto de su interacción didáctica.
84
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