UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

“CONCEPCIONES Y ENSEÑANZA DEL CONCEPTO ECUACIÓN

LINEAL. UN ESTUDIO CON PROFESORES DE BACHILLERATO”

Elaborado por:

Mario Adrián Caballero Pérez

Asesora:

M.C. María Guadalupe Ordaz Arjona

Examen profesional para obtener el título de:

Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas

En la modalidad de:

Tesis Individual

Mérida, Yucatán, México

Agosto del 2010

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN I

CAPITULO 1

Problemática, objetivos y preguntas de investigación

1.1 Problemática 1

1.1.1 La matemática escolar y la enseñanza del álgebra 1

1.1.2 La ecuación en el nivel medio superior 2

1.1.3 Errores y dificultades asociadas al concepto ecuación 3

1.1.4 El profesor y sus concepciones 7

1.2 Preguntas de investigación y objetivos 8

CAPITULO 2

Antecedentes y marco de referencia

2.1 Antecedentes 10

2.2 Marco de referencia 12

2.2.1 El pensamiento del profesor 12

2.2.2 Creencias y concepciones 14

2.2.2.1 Concepciones sobre la ecuación lineal 16

2.2.2.2 Categorías de concepciones sobre la ecuación lineal 22

2.2.3 Práctica del profesor 24

CAPITULO 3

Aspectos metodológicos

3.1 La metodología cualitativa 29

3.2 La metodología del trabajo 30

3.2.1 Recolección de datos 30

CAPITULO 4

Resultados

4.1 Resultados de concepciones 35

4.2 Resultados del tratamiento 84

4.2.1 Resultados de libros 84

4.2.2 Tratamiento por profesor

4.3 Contraste 130

CONCLUSIONES 132

BIBLIOGRAFÍA 135

ANEXOS

Anexo 1 138

Anexo 2 139

Anexo 3 142

A Dios por darme la vida y

permitirme terminar

satisfactoriamente mis estudios de

licenciatura.

A mi asesora, la M.C. María

Guadalupe Ordaz Arjona, por su

comprensión, paciencia, tiempo y

sabias palabras en aquellos momentos

de tribulación; por valorar cada

ocurrencia y por su apoyo

incondicional.

A mis compañeros de licenciatura, en

especial a Rosario, Emmanuel, Mayté,

por brindarme su amistad, por

permitirme trabajar a su lado y por

todos aquellos momentos felices que

vivimos en estos cuatro años.

A mi familia, y en especial a mis

padres, por inculcarme desde

siempre, la importancia del estudio y

el esfuerzo, por su amor incondicional

y por creer en mí.

A mis profesores, que a lo largo de

estos cuatro años, han influido en mi

formación académica, profesional y

humana. En especial a: Eddie, Landy,

Lupita, Martha, Rocío y Pilar.

Agradezco a todas aquellas personas

que contribuyeron directa o

indirectamente con sus consejos,

pláticas, buenos momentos y

razonamientos lógicos que

simplemente me hicieron pensar.

AGRADECIMIENTOS

I

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo presentamos los resultados de una investigación llevada a cabo en el

estado de Yucatán, que consistió en realizar una caracterización de las concepciones de

profesores de bachillerato sobre el concepto ecuación lineal, y describir el tratamiento que

éstos profesores dan a dicho concepto, para posteriormente analizar el tipo de relación que

se da entre las concepciones y la práctica de los profesores.

Este proyecto surge a partir de la inquietud originada por los altos índices de reprobación

en matemáticas, principalmente en el área de álgebra, y es que parte esencial de la

matemática escolar es el Álgebra elemental, que estudia las estructuras, las relaciones y las

cantidades, y que permite hacer generalizaciones, y en consecuencia abstracciones.

En las escuelas Mexicanas el estudio del Álgebra gira alrededor de las ecuaciones y la

resolución de problemas; Por ejemplo, en la asignatura Matemáticas I de las Preparatorias

de la Universidad Autónoma de Yucatán (UADY), se tiene por objetivo, “Utilizar

procedimientos Algebraicos, que incluyan operaciones y ecuaciones, mediante la

resolución de ejercicios que involucren situaciones de la vida real”. Asimismo, las

ecuaciones son estudiadas durante prácticamente toda la vida escolar, desde primaria hasta

la universidad, sin embargo, se han documentado dificultades y errores en el aprendizaje

de este concepto. El manejo del signo igual, el uso de las propiedades simétricas de la

ecuación y el significado de las literales son de los errores más comunes entre los

educandos.

Aunque no es el único, un factor muy que se debe considerar, es el profesor, en particular

su discurso escolar, ya que puede propiciar en los alumnos algunos de los errores y

dificultades antes mencionados. Por ejemplo, durante la enseñanza en el aula, el profesor

suele definir una ecuación como una igualdad con una incógnita, lo cual acerca el concepto

al campo de la aritmética, ya que se está considerando como una cuenta de la cual se

desconoce un término. Esta visión, como menciona Sessa (2005), propicia en los

estudiantes la idea de que la ecuación consiste en un número que existe, pero es

desconocido, y que cumple con ciertas condiciones. Desde esta interpretación de la

ecuación, no es posible concebir la idea de ecuaciones con soluciones infinitas, o

ecuaciones sin solución. Por lo tanto, conviene indagar sobre las razones que causan que

II

los profesores de matemáticas aborden la enseñanza de la ecuación de una forma y no de

otra.

Consideramos que una de las razones más importantes son las concepciones de los

profesores, ya que como expresan García, Azcarate y Moreno (2006), las concepciones de

los profesores juegan un papel importante en el desarrollo de su actividad docente y

además, los profesores de matemáticas pueden concebir de manera distinta los conceptos

matemáticos, y durante la enseñanza de estos, los profesores pueden enfatizar en diferentes

aspectos, en algunos casos, de forma coherente con sus concepciones.

En particular, nos centramos en las concepciones sobre el concepto ecuación lineal, pues al

ser el primer acercamiento formal de los estudiantes al concepto ecuación, supone una base

fundamental para el entendimiento de este concepto. Así, en el presente trabajo queremos

identificar las concepciones sobre la ecuación lineal, y analizar la práctica del profesor,

para posteriormente, describir de qué forma las concepciones sobre la ecuación lineal

influyen en el tratamiento dado a este concepto.

Para el logro de estos objetivos establecimos un conjunto de categorías de las concepciones

sobre la ecuación lineal, considerando los elementos que componen a la ecuación lineal,

como son: las literales, el signo igual, y los métodos de resolución. La interiorización, y

organización de los significado atribuidos a cada uno de estos elementos, conforma la

concepción de ecuación lineal.

Asimismo, para describir el tratamiento que los profesores le dan a los conceptos

matemáticos, en particular el concepto ecuación lineal, optamos por emplear el modelo de

Contreras (1998), quien propone cuatro tendencias didácticas, cada una de éstas, manifiesta

una concepción distinta sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas ya que resalta

aspectos distintos y tiene fines diferentes.

Esta investigación se realizó en el estado de Yucatán, con profesores que laboran en

escuelas de nivel medio superior, en las que se incluyen el Colegio de Bachilleres del

Estado de Yucatán (COBAY), las Escuelas Preparatorias de la UADY, y el Colegio

Nacional de Educación Profesional Técnica (CONALEP).

Las concepciones sobre la ecuación lineal fueron identificadas por medio de una encuesta

y un cuestionario, en tanto que el tratamiento dado al concepto se identificó mediante una

III

revisión documental, que incluyó los apuntes de clases de un estudiante y los libros

empleados por el profesor. Adicionalmente se realizó una entrevista, que permitió

complementar la información tanto de las concepciones como del tratamiento.

El trabajo se encuentra organizado en cuatro capítulos:

En el capítulo 1 se expone la problemática tratada y la justificación del estudio, así

como los objetivos y las preguntas de investigación.

En el capítulo 2 se realiza una revisión de la literatura acerca de las concepciones y se

presenta el sustento teórico que orientará el trabajo.

En el capítulo 3 se describe la metodología empleada, así como la población de estudio

y los instrumentos utilizados para recabar la información necesaria.

En el capítulo 4 se exponen los resultados obtenidos, y el análisis de los mismos.

Finalmente se presentan las conclusiones y sugerencias derivadas de este estudio.

1

CAPÍTULO 1

PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS Y PREGUNTAS DE

INVESTIGACIÓN

1.1 Problemática

1.1.1 La matemática escolar y la enseñanza del álgebra

La matemática es una de las actividades humanas más antiguas, que a lo largo de los siglos

ha sido empleada con diversos propósitos. La civilización egipcia empleaba nociones

matemáticas en la construcción de sus monumentales pirámides y palacios, así como en

distribución de tierras y establecimiento de impuestos. Para los pitagóricos de la antigua

Grecia, las matemáticas tenían un carácter cercano a lo espiritual, por medio del cual

pretendían entender los misterios de la vida. Era este carácter espiritual, lo que hacía de la

matemática un conocimiento al alcance de unos cuantos privilegiados.

Debido al papel fundamental que la matemática tiene para la humanidad, desde hace más

de 3000 años, se le ha dado un importante lugar en la educación. La matemática, es un

lenguaje preciso que favorece un pensamiento lógico, abstracto y racional, que se espera

sea inculcado en los jóvenes, razón por la cual, la enseñanza y aprendizaje de la

matemática ha ganado entre la sociedad un elevado estatus.

Sin embargo, existen deficiencias en el aprendizaje de la matemática, las cuales se ven

reflejadas en los resultados de pruebas a nivel nacional e internacional; por ejemplo, en la

prueba ENLACE 2009, aplicada a estudiantes de nivel medio superior, se registro que solo

un 12.2% de participantes alcanzaron un buen desempeño en matemáticas, y tan solo un

3.4% logró una calificación excelente. En la prueba PISA del año 2003, en la que

participaron estudiantes de 15 años de edad, se reporta que en México 69.5% de los

estudiantes presenta bajo rendimiento en Matemáticas.

Según datos de Excale 2008, en Yucatán, el 58% de los alumnos de tercero de secundaria

tuvieron un desempeño por debajo del nivel básico, y a su vez, el Instituto Nacional para la

2

Evaluación de la Educación (INEE) dio a conocer en 2006 los índices de reprobación en el

ámbito nacional en los diferentes niveles educativos, revelando que en el estado de

Yucatán, el índice de reprobación en secundaria es del 28.5%, mientras que en el

bachillerato llega al 48.1%.

Estos resultados alarmantes han originado un creciente interés por la búsqueda de una

solución al deficiente desempeño en matemáticas, sin embargo, para ello primero se debe

comprender el problema, lo cual implica entender el por qué de la reprobación en

matemáticas, y los factores pudieran estar contribuyendo con ella.

Coincidimos con Serres (2007), en que parte esencial de la matemática escolar es el

Álgebra elemental, que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades, y que

permite hacer generalizaciones, y en consecuencia abstracciones. Asimismo, al hablar del

lenguaje matemático se hace referencia al uso de los símbolos y expresiones matemáticas

que permiten generalizar las propiedades o características de un objeto matemático. Por

estas y otras razones, la comprensión del álgebra y el desarrollo de destrezas de cálculo

algebraico, son consideradas un objetivo prioritario en la escolaridad de los jóvenes, ya que

sin estas habilidades, el desempeño exitoso de un estudiante en la universidad no será tarea

sencilla, ya que en los perfiles de ingreso se considera el manejo del álgebra como un

hecho.

1.1.2 La ecuación en el nivel medio superior

El aprendizaje de álgebra no es una labor sencilla, pues las mismas características que la

distinguen, hacen que su aprendizaje no sea sencillo. Los estudiantes se sienten más

cómodos y seguros, al trabajar con objetos concretos, como lo es en aritmética, pero en

álgebra, los objetos que se manejan son abstracciones que requieren de un esfuerzo

cognitivo significativo por parte del alumno. Coincidimos con Socas y Palarea, 1997,

citado en Serres 2007; en que el aprendizaje del álgebra supone un cambio en el

pensamiento del estudiante, siendo la dificultad para muchos principiantes la transición

desde lo que se puede considerar un modo informal de representación y resolución de

problemas, al modo formal.

En las escuelas Mexicanas el estudio del Álgebra gira alrededor de las ecuaciones y la

resolución de problemas, la Secretaria de Educación Pública contempla para el nivel medio

3

superior, en el programa de estudios de Matemáticas I, diez bloques temáticos, de los

cuales, cinco se enfocan en la resolución de ecuaciones. Asimismo, en la asignatura

Matemáticas I, de las Preparatorias de la Universidad Autónoma de Yucatán (UADY), se

tiene por objetivo, “Utilizar procedimientos Algebraicos, que incluyan operaciones y

ecuaciones, mediante la resolución de ejercicios que involucren situaciones de la vida

real”.

Así, en los diferentes programas educativos, como el de la UADY y SEP, la ecuación

desempeña un rol primordial en la enseñanza-aprendizaje del álgebra, y en general, en la

vida escolar de los alumnos, ya que además de incluirse en todos los currículos de álgebra

al nivel básico y medio superior, desempeña un papel central en temas de otras asignaturas.

En prácticamente todo el mundo, y en particular en México, son vistas por primera vez en

la primaria, en donde son consideradas como problemas del sumando faltante (Kieran y

Filloy, 1989) es decir, problemas en los que se le pide al alumno hallar el número que

completa una suma, como por ejemplo la siguiente: . Posteriormente, son

abordadas en segundo año de secundaria y primer año de bachillerato, y a la vez sirven de

herramienta para temas posteriores, como sistemas de ecuaciones y ecuación cuadrática.

En bachillerato son pieza clave en temas de otras asignaturas, como Geometría Analítica,

Física, Química, Precálculo y Cálculo. Más adelante en el nivel superior, las ecuaciones

son estudiadas en la mayoría de las disciplinas, tal es el caso de la Biología, Ingenierías,

Ciencias Computacionales, Economía y por supuesto Matemáticas. Adicionalmente, el

concepto ecuación pasa de ser sólo un conocimiento de los estudiantes, a un instrumento

por medio del cual puedan desempeñar sus labores profesionales.

1.1.3 Errores y dificultades asociadas al concepto ecuación

A pesar de que las ecuaciones son estudiadas durante prácticamente toda la vida escolar de

los estudiantes, se han documentado dificultades y errores en el aprendizaje de este

concepto. El manejo del signo igual, el uso de las propiedades simétricas de la ecuación y

el significado de las literales son de los errores más comunes entre los educandos.

Por ejemplo, la idea extendida entre los estudiantes de que el signo igual es la "señal de

hacer algo", implica que sea considerado como un operador, es decir, separa una cadena de

operaciones a realizar de un resultado a obtener, y no verlo como un símbolo de la

4

equivalencia entre los miembros izquierdo y derecho de una ecuación. Esto, lleva a los

estudiantes a utilizar de forma errónea las leyes simétricas y transitivas de la ecuación,

además de no encontrarle sentido a expresiones tales como , es decir, no

conciben que la incógnita pueda estar presente en ambos lados de la igualdad. Esta

dificultad ha sido observada en estudiantes de nivel superior, en un estudio realizado a 150

estudiantes de primer ciclo de universidad, durante el cual se observó que a pesar de tener

éxito al resolver un conjunto de ecuaciones, siguen considerando al signo de igual como un

operador y no como un símbolo de equivalencia (Mevarech y Yitschak, 1983, citado en

Kieran 1989).

Kieran, (1992) reporta que dos errores comunes que cometen los aprendices de álgebra

cuando se enfrentan al concepto ecuación se manifiestan en lo difícil que es para ellos

juzgar las expresiones equivalentes, por ejemplo, en el error "intercambio de sumandos", se

juzga que tiene la misma solución que , mientras que en en el

error "redistribución", se juzga que tiene la misma solución que

.

Otra dificultad a la que se enfrentan los alumnos que recién inician un curso de álgebra, se

refiere al significado que le atribuyen a las letras. Esto es, los alumnos consideran a las

letras como etiquetas, lo cual obstaculiza el significado de los términos variables en las

ecuaciones algebraicas. En este sentido, las variables, por ejemplo la “x”, son identificadas

como objeto. De ese modo, los alumnos entienden la expresión 5x como 5 manzanas, 5

peras, etc. En otros casos, como señala Caronia (2005), las letras son “forzadas” y tomadas

como variables, recurriendo a la sustitución por tanteo o la suposición de que pueden

reemplazar por “algo”, por ejemplo, al resolver la ecuación los alumnos

prueban valores diferentes como 2, 3, 4 y 5, hasta dar con la respuesta.

Estos errores entorno al concepto de ecuación pueden tener diversos orígenes. Algunos

autores los atribuyen a una dificultad asociada a la naturaleza misma del concepto, con la

que no solo se han enfrentado los alumnos de hoy día, sino incluso civilizaciones antiguas,

en las cuales se hacía uso de ecuaciones. Los egipcios, por ejemplo, resolvían ecuaciones

empleando el método de la “simple falsa posición" (Malisani, 1999), el cual consiste en

tomar un valor concreto para la incógnita, se prueba con ese valor y si la igualdad se

cumple, entonces ese valor es la solución, si no, mediante cálculos aritméticos se obtiene la

solución exacta. Podemos ver que esta forma de resolver las ecuaciones es similar a los

5

métodos de sustitución por tanteo que utilizan los estudiantes cuando no tienen un dominio

adecuado de los métodos de resolución. En este caso, al igual que los egipcios, no se da

ningún tipo de justificación, ni tampoco una formulación general del procedimiento, sino

que los estudiantes se limitan a resolver casos concretos.

Los cambios conceptuales que se dan durante la transición de la aritmética al álgebra,

inciden significativamente en la manifestación de errores en los estudiantes, y es que ellos

traen consigo las nociones y enfoques que usaban en aritmética, y que al iniciar un curso

de álgebra continúan empleando. Sin embargo, el álgebra no es simplemente una

generalización de la aritmética, no se puede aprender álgebra con simplemente hacer

explícito lo que estaba implícito en la aritmética. Se requiere un cambio en el pensamiento

del estudiante, que permita una transición de situaciones numéricas concretas, a

proposiciones más generales sobre números y operaciones. Pese a esto, los estudiantes

siguen usando los métodos y nociones que les funcionaban en aritmética; Un ejemplo de lo

dicho anteriormente, es el significado que para los estudiantes tienen las letras, en

aritmética, aparecen como unidades de medida (g y m, gramos y metros respectivamente),

o como indicadores de una cantidad a calcular (A y P, área y perímetro), en cambio en

álgebra, estas mismas letras pueden representar valores generalizados (número de gramos o

metros), o variables. El dejar de considerar a las letras como simples etiquetas, es un paso

muy difícil para los estudiantes, ya que durante todos sus estudios en primaria y parte de

secundaria, han trabajado de esa manera.

Otra postura es la de Charnay (1990) en la que se considera como fuente de los errores al

alumno, quien no sabe escuchar, observar y memorizar las explicaciones del maestro.

Adicional a esto, también sabemos que es frecuente ver que los alumnos desean saber

simplemente el algoritmo que permite resolver un ejercicio, sin interesarse en entender los

conceptos o ideas implicadas en el tema.

Pero hay otro factor de mucha importancia que se debe considerar, este es, el profesor, en

particular su discurso escolar, ya que puede propiciar en los alumnos algunos de los errores

mencionados; por ejemplo, durante la enseñanza en el aula, el profesor suele definir una

ecuación como una igualdad con una incógnita, lo cual acerca el concepto al campo de la

aritmética, ya que se está considerando como una cuenta de la cual se desconoce un

término. Esta visión, como menciona Sessa (2005), propicia en los estudiantes la idea de

que la ecuación consiste en un número que existe, pero es desconocido, y que cumple con

6

ciertas condiciones. Desde esta interpretación de la ecuación, no es posible concebir la

idea de ecuaciones con soluciones infinitas, o ecuaciones sin solución. Asimismo, cuando

el profesor realiza comentarios como: “si sumamos a ambos miembros el mismo número,

la igualdad se conserva”, propicia en el estudiante una idea errónea de solución, ya que en

realidad lo que se conserva es el conjunto solución.

Por otro lado, y como ya se mencionó anteriormente, la ecuación es empleada en otras

asignaturas, como geometría analítica, en donde la representación analítica de una línea

recta es precisamente una ecuación lineal. Aunque se trata del mismo concepto

matemático, los estudiantes sin embargo, conciben dos objetos distintos: uno asociado a la

ecuación en álgebra, y otro a la ecuación como recta. No hay una articulación que permita

al estudiante concebir que se trate del mismo objeto.

Coincidimos con Panizza, Sadovsky y Sessa (1996), en que el discurso escolar debería

fomentar una concepción de la ecuación que permita al estudiante comprender qué es una

ecuación, qué es la solución de una ecuación, y facilite la articulación de la idea de

ecuación en las distintas asignaturas, para lo cual será necesario que los alumnos vayan

construyendo distintas aproximaciones al concepto de ecuación

Según el grupo Azarquiel, citado en Serres, 2007; el primer paso para aprender Álgebra, y

en consecuencia ecuaciones, es adquirir el concepto de “variable”. No obstante, la forma

más convencional de introducir el Álgebra, es considerándolo como una generalización de

la Aritmética, que como ya se mencionó, propicia serias dificultades a los alumnos. Por

otro lado, al introducir las ecuaciones en la enseñanza del Álgebra, los alumnos se ven

enfrentados a las tareas de “poner en ecuación” un problema y “despejar la incógnita”, con

lo cual, la ecuación es vista más como un proceso y no como un objeto matemático, y por

consiguiente, como señala Sessa (2005), para muchos alumnos las ecuaciones “son cosas

que se despejan”, y dominar las reglas de esta técnica suele ser una fuente inagotable de

dificultades para ellos.

Otra característica del tratamiento de la ecuación en la escuela es que suelen plantearse al

alumno problemas para resolver usando ecuaciones, lo cuales no hacen necesario el uso de

esta herramienta y en consecuencia la ecuación es separada de un elemental principio de

necesidad (Sessa, 2005). Una razón por la cual se da esta situación son el tipo de

problemas que se le plantean al alumno, por ejemplo, muchos problemas verbales

7

planteados en clase podrían resolverse utilizando solamente recursos aritméticos, sin

recurrir necesariamente a las reglas algebraicas, por lo cual, el planteamiento algebraico de

una ecuación carece de significado para el alumno.

Se tiene entonces que en la escuela, a la ecuación se le da un tratamiento que propicia en

los estudiantes, por un lado, dificultades en el aprendizaje del Álgebra, y por otro, ideas

inadecuadas o incompletas de lo que es una ecuación. Conviene entonces indagar sobre las

razones que causan que los profesores de matemáticas aborden la enseñanza de la ecuación

de una forma y no de otra, considerando que una de las más importantes son las

concepciones de los profesores, ya que como expresan García, Azcarate y Moreno (2006),

las concepciones de los profesores juegan un papel importante en el desarrollo de su

actividad docente y consideramos, al igual que Mora (2008) que es importante determinar

cuáles son las concepciones de los profesores acerca de las matemáticas, porque esto

influye en la forma en que abordan el proceso de enseñanza aprendizaje de esta disciplina.

Asimismo, conocer las concepciones de los profesores sobre algún concepto matemático

especifico puede ayudar a explicar el tratamiento que los profesores dan a los conceptos

matemáticos en su práctica docentes, por lo tanto, al conocer la concepción que los

profesores tienen del concepto ecuación, será posible entender el proceso de enseñanza que

realizan en el aula, y aun mas, conocer qué concepción de ecuación están propiciando en

los alumnos.

1.1.4 El profesor y sus concepciones

Si bien, el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a ser considerado

como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno, es decir, un conjunto

de ideas que pueden ser verdaderas en algunas situaciones, pero que en otras no lo son, y

no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos. Pochulu (2005)

afirma que los errores no aparecen por azar, sino que surgen en un marco conceptual

consistente, basado sobre conocimientos adquiridos previamente, lo cual implica que todo

proceso de instrucción es potencialmente generador de errores.

Los profesores se van forjando una idea de lo que es la matemática, de lo que significa

hacer matemáticas y cómo transmitirla (Uicab, 2006). Esto propicia en el profesor una

visión particular acerca de la matemática, la cual trata de trasmitir a sus alumnos a través

8

de la enseñanza en el aula, repercutiendo en diferentes tipos de aprendizaje que pueden

enfatizar en aspectos distintos de la matemática. Por ejemplo, algunos profesores pueden

dar prioridad al aprendizaje de las reglas y definiciones, lo cual según Mora (2008)

repercute en un aprendizaje memorístico o, por el contrario, dar prioridad a un aprendizaje

que requiera del alumno un pensamiento creativo para construir su conocimiento.

Si se toma en consideración que en una misma escuela hay más de un maestro de

matemáticas, es razonable suponer que puedan existir diversas formas de concebir las

matemáticas, en particular el concepto de ecuación, lo cual implica que un mismo objeto

matemático puede ser enseñado por diferentes métodos, con diferentes fines, en diversas

circunstancias y con diferentes secuencias. En esta situación, la enseñanza de las

matemáticas pierde su importancia si el profesor no está preparado para enseñar. Se ha

constatado que hay profesores que se limitan a enseñar contenidos como los presenta un

libro de texto, ó enseñan con base en sus concepciones (Báez, Cantú y Gómez, 2007).

1.2 Preguntas de investigación y objetivos

Consideramos que estudiar las concepciones sobre un concepto matemático específico,

puede contribuir a explicar las razones que hacen que un profesor de matemáticas de un

tratamiento, y no otro a los conceptos matemáticos, y en consecuencia, se tendría una

forma de caracterizar la práctica docente en función de sus concepciones, dando así,

referencia sobre las concepciones que deberían ser modificadas en los profesores durante

cursos de actualización y formación, y de ese modo, contribuir a una enseñanza de la

ecuación lineal que propicie un aprendizaje enfocado en la compresión del concepto, y no

en la memorización de reglas.

En particular, nos centramos en el concepto ecuación lineal considerando, al igual que

Brousseau (1989), citado en Báez, Cantú, Gómez, 2007; que una determinada concepción

podría caracterizar la interpretación y toma de decisiones del profesor, y orientaría una

determinada selección de contenido o búsqueda de situaciones didácticas para la enseñanza

de este concepto. Asimismo, consideramos que al ser la ecuación lineal, el primer

acercamiento formal de los estudiantes al concepto ecuación, supone una base fundamental

para el entendimiento de este concepto.

Siendo así, nos preguntamos:

9

¿Qué concepción tienen los profesores sobre el concepto ecuación lineal?

¿Qué tratamiento dan los profesores a la ecuación lineal?

¿Cómo se relacionan las concepciones de los profesores sobre este concepto y el

tratamiento dado al mismo?

Con el propósito de responder a estas preguntas nos hemos planteado los siguientes

objetivos de investigación:

Caracterizar las concepciones que los profesores tienen de la ecuación lineal.

Caracterizar el tratamiento que los profesores dan a dicho concepto en su práctica

docente.

Describir el tipo de relación que se da entre las concepciones y la práctica de los

profesores.

10

CAPITULO 2

ANTECEDENTES Y MARCO DE REFERENCIA

2.1 Antecedentes

El interés por el estudio de las concepciones ha ido en aumento en los últimos años,

generando trabajos que tratan de explicar, desde diferentes perspectivas, las concepciones

del profesor de matemáticas. Canche (2010) distingue cuatro vertientes de las

investigaciones realizadas:

a) Recopilaciones de investigaciones sobre creencias y concepciones.

b) Investigaciones sobre creencias y concepciones acerca de las matemáticas y su

enseñanza aprendizaje.

c) Investigaciones enfocadas al cambio de concepciones.

d) Investigaciones sobre creencias y concepciones acerca de un concepto matemático

específico.

La mayor parte de los trabajos sobre creencias y concepciones de los profesores están

asociados a los primeros dos puntos, lo que ha conducido a que el estudio de las

concepciones sobre algún concepto matemático específico, haya sido explorado en menor

medida. Consideramos que el estudio de esta línea es necesario para poder pasar al cambio

de concepciones, respecto algún concepto específico.

Teniendo esto en cuenta, se realizó una revisión literaria acerca de los principales trabajos

sobre el estudio de las concepciones, tanto de la matemática y su enseñanza-aprendizaje,

como de aquellos que traten sobre algún concepto matemático especifico. En general, la

revisión literaria permitió identificar algunos resultados de interés para este trabajo y que

se detallan a continuación.

Dodera (2007), categoriza a un grupo de docentes en cuanto a sus concepciones acerca de

la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, encontrando que existen diferencias en los

profesores en cuanto a la forma de percibir la enseñanza de las matemáticas y en la

importancia que tienen los contenidos dentro de una clase de matemáticas. Esto da indicio

11

de que en el aula, cada profesor puede concebir de una manera distinta los conceptos

matemáticos, y durante su enseñanza pueden enfatizar en diferentes aspectos de dicho

concepto. Por ejemplo, en el caso de la ecuación lineal, mientras que un profesor da más

importancia a los métodos de solución, otro puede considerar más importante el

planteamiento de una ecuación para diferentes problemas.

Gil y Rico (2003), se centran en determinar las creencias y concepciones que sobre la

enseñanza de las matemáticas tienen los profesores, así como las acciones y conceptos en

las cuales se sustentan. Concluyen que aunque existen concepciones compartidas por todos

los profesores, hay otras en las que se presentan desacuerdos en los diferentes criterios para

establecer el contenido y las finalidades de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

García, Azcarate y Moreno (2006), dan a conocer las concepciones que tiene un grupo de

profesores sobre la derivada y la forma como es enseñada, concluyendo que las creencias y

concepciones juegan un papel importante en el desarrollo de la actividad docente. Aunque

este trabajo no afirma que las concepciones sobre un concepto matemático determinan la

práctica del docente hacia dicho concepto, se pone en evidencia el papel significativo que

las concepciones tienen sobre la actividad del profesor, en la medida en que éste considera

importante la enseñanza de diferentes aspectos relacionados con el concepto en cuestión.

Moreno y Azcarate (2003), caracterizan a los profesores con base en las creencias y

concepciones que tienen sobre la enseñanza de las ecuaciones diferenciales, analizando

también la coherencia de este conjunto de creencias y concepciones, con el tratamiento

que dan al concepto. Se pone en evidencia que las creencias y concepciones de los

profesores son variadas, y que algunas se mantienen coherentes al momento de enseñar el

concepto, pero otras parecen desvincularse de su práctica docente. También se concluye

que los métodos de enseñanza tradicional predominan en la enseñanza de las ecuaciones

diferenciales, debido en parte a la concepción de las matemáticas de los profesores, y en

particular de las ecuaciones diferenciales. Esta concepción es muy formalista, y

sobrevalora la manipulación simbólica frente al tratamiento numérico y gráfico de las

ecuaciones diferenciales. Es posible pensar entonces, que durante la enseñanza de la

ecuación lineal, la práctica del profesor este estrechamente relacionada con sus

concepciones, lo cual implicaría que esta concepción de la ecuación influirá en qué se

enseñara del concepto, y cómo debe llevarse a cabo esta enseñanza.

12

En el trabajo realizado por Canche, Farfán y Montiel (2009), se identifican las

concepciones que tienen un grupo de profesores sobre la función lineal, así como los

procesos de enseñanza-aprendizaje y evaluación efectuados. Se concluye que las

concepciones de los profesores pueden ser modificadas, pero además, pueden ser

orientadas hacia una misma dirección. Al mismo tiempo, se pone en evidencia que la

formación inicial de cada profesor, tiene una influencia significativa en las concepciones

que tienen sobre un concepto matemático específico.

En síntesis, tenemos que las concepciones juegan un papel importante en el desarrollo de la

actividad decente, y que los profesores de matemáticas pueden concebir de manera distinta

los conceptos matemáticos. Por otra parte, durante la enseñanza de los conceptos

matemáticos los profesores pueden enfatizar en diferentes aspectos, en algunos casos, de

forma coherente con sus concepciones. Asimismo, aunque los profesores presenten

concepciones distintas, estas pueden ser reorientadas hacia una misma dirección

2.2 Marco de referencia

2.2.1 El pensamiento del profesor

Tomando en cuenta que el profesor es un elemento clave del proceso enseñanza-

aprendizaje, entonces, se está haciendo referencia a un profesional reflexivo, que toma

decisiones racionales, y que da una respuesta personal a las cuestiones clave del currículo:

¿qué enseñar?, ¿cuándo enseñar?, ¿cómo enseñar?, y ¿qué, cómo y cuándo evaluar? Así

mismo, en su desempeño docente en el aula, cuenta con unos objetivos, que para

alcanzarlos, trabaja con unos contenidos específicos, para los cuales, selecciona una

determinada metodología y aplica unos criterios de evaluación (Rico, 1997, citado en Rico

y Gil, 2003).

La figura del profesor ha adquirido cada vez más, mayor importancia e interés para los

investigadores en aspectos relacionados al proceso educativo, razón por la cual, se han

desarrollado diferentes paradigmas de investigación que, con mayor o menor éxito, se han

asentado en el dominio científico (Moreno y Azcarate, 2003). Uno de estos paradigmas de

investigación pretende comprender los procesos mentales que hace que los profesores

actúen de una forma y no de otra. Desde los años 60´s se han venido realizando estudios

13

sobre el paradigma del pensamiento del profesor, dichos estudios se han enfocado

principalmente en tres aspectos clave (Báez, Cantú y Gómez, 2007):

La planificación que realiza el profesor de sus tareas.

Sus pensamientos y decisiones vinculados a sus interacciones con sus alumnos.

Sus teorías y creencias acerca de la enseñanza y otros aspectos del mundo en

general.

Este paradigma, tiene como finalidad estudiar los procesos de razonamiento, creencias y

concepciones de los profesores, que abarcan todo lo concerniente a la actividad de

razonamiento del profesor durante su práctica docente. De éste modo, “el pensamiento del

profesor permite mirar, cómo el profesor conceptualiza a las matemáticas, para

posteriormente, indagar sobre cómo las emplea en clase” (Partido, 2003; citado en Báez,

Cantú, Gómez, 2007).

El conocimiento del profesor no está aislado de la conducta que manifiesta en el aula, sino

por el contrario, está estrechamente ligado a la materia que enseña, a como está siendo

representada para los estudiantes, y a sus creencias y concepciones (Llinares, 1999). Es

decir, el conocimiento del profesor consiste en la interacción de diferentes elementos, entre

los cuales se encuentra la materia que enseña, o bien, el concepto matemático a enseñar, y

sus concepciones, y además, estos elementos, que forman parte del conocimiento del

profesor, se relacionan con su conducta en el aula, es decir, con su práctica docente.

La integración entre el conocimiento del profesor y el conocimiento del contenido

pedagógico, se hace evidente cuando el profesor habla acerca de su tarea profesional en

situaciones concretas. Es por ello, que al analizar el conocimiento del profesor, se debe

tomar en cuenta la "forma" en que la matemática es comunicada a los alumnos, por medio

de las tareas que el profesor elige, las características de la interacción didáctica en el aula,

los aspectos sobre los que se evalúa, etc., lo cual implica considerar las características de

los conceptos enseñados durante su enseñanza. Esta situación por tanto, hace explícita la

integración de diferentes componentes de conocimiento y "orientaciones" hacia el

contenido matemático, que a fin de cuentas, son las creencias y concepciones del profesor

(Llinares, 1999).

14

Retomando lo dicho anteriormente, el profesor de matemáticas es un sujeto reflexivo,

cuyas decisiones acerca de la enseñanza-aprendizaje de contenidos matemáticos, están de

cierto modo influenciadas por sus concepciones sobre dichos conceptos. Por lo tanto,

estudiar las concepciones acerca de los contenidos matemáticos, puede permitirnos

explicar el tratamiento didáctico que se le da a los conceptos en el discurso escolar del

profesor.

2.2.2 Creencias y concepciones

Algunas investigaciones (Rico, 2003; Mora, 2008; Moreno y Azcarate, 2003; García,

Azcarate y Moreno, 2006) abordan la cuestión sobre cómo los profesores de matemáticas

construyen y expresan sus creencias y concepciones sobre la enseñanza y aprendizaje de

las matemáticas. Dado que este trabajo se enmarca dentro de las concepciones del profesor

de matemáticas acerca de la enseñanza del concepto ecuación lineal, se hace necesario

definir qué entenderemos por concepción.

Las concepciones son un constructo que los investigadores han creado para referirse a

parte del conocimiento personal que los seres humanos poseen. Sin embargo, existen otras

expresiones que han aparecido en la literatura, en relación con el pensamiento de los

profesores, y que tienen en común su marcado carácter de conocimiento personal y a la vez

social, así como su gran importancia en los procesos de influencia educativa (Eisman y

Fernández, 1996), algunos ejemplos de estos términos son: representación social,

creencias, ideas, teorías personales, teorías intuitivas, etc. Sin embargo, los términos de

creencias y concepciones, sobresalen por su frecuente aparición en diversos estudios

(Llinares, 1999: Rico, 2003; Ponte, 1999; Mora, 2008; Moreno y Azcarate, 2003; García,

Azcarate y Moreno, 2006). Muchas veces la distinción de estos términos no es clara,

llegándose a usar incluso como sinónimos. Para alcanzar los objetivos de este trabajo,

conviene diferenciar ambos términos, ya que de ese modo la caracterización de las

concepciones sobre la ecuación lineal podrá ser realizada de una manera más clara y

efectiva.

El uso de diferente terminología, dependiendo de la naturaleza de cada investigación, ha

originado que en algunos casos los términos concepción y creencia se empleen como

sinónimos, mientras que en otros se usan con significados distintos. Así por ejemplo,

15

Thompson (1992) considera como sinónimos estos términos, pues señala que las

diferencias entre “creencias” y “concepciones” son tan pequeñas, que sugiere no emplear

tiempo en tratar de diferenciarlas. Por otra parte, Báez, Cantú y Gómez (2007) señalan que

estos términos son distintos, entendiendo por creencia toda acción o facultad de concebir

en la mente, y por concepción un firme asentimiento y conformidad con alguna cosa.

A pesar de existir hoy día dificultades al momento de definir dichos términos,

consideramos que la distinción entre creencias y concepciones es posible y necesaria, ya

que, como mencionan, García (2006) y Moreno (2005), citado por Zaldívar, 2006; “se hace

notar cómo las concepciones personales del profesorado, sus creencias, el tipo de

formación profesional y sus experiencias, resultan ser la base del proyecto educativo a

desarrollar en las aulas”.

En la vida cotidiana, se puede observar que la noción de creencia lleva impregnada la idea

de que se trata de un tipo inferior de conocimiento, muchas veces asociado al ámbito

religioso y afectivo (Ponte, 1999). Consideramos al igual que García, Azcarate y Moreno

(2006), que las creencias del profesor “son ideas poco elaboradas, generales o especificas,

las cuales forman parte del conocimiento que posee el docente, pero carecen de rigor para

mantenerlas, e influyen de manera directa en su desempeño. Las creencias sirven como

filtro para todo aquello que supone el proceso enseñanza-aprendizaje”.

En el caso de las concepciones del profesor, coincidimos con Moreno y Azcarate (2003),

quienes consideran que las concepciones del profesor son organizadores implícitos de los

conceptos, de naturaleza esencialmente cognitiva y que incluyen creencias, significados,

conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, preferencias, etc., que influyen en lo

que se percibe y en los procesos de razonamiento que se realizan. Consideramos además, al

igual que García, Azcarate y Moreno (2006), que las concepciones del profesor consisten

en la estructura que cada profesor de matemáticas da a sus conocimientos para

posteriormente enseñarlos o transmitirlos a sus estudiantes. En otras palabras, son

operadores que actúan en el proceso de transformación del conocimiento a la situación

didáctica, y en el propio control de la interacción alumno-situación (Carrillo y Contreras,

1995, citado en Báez, Cantú, y Gómez, 2007).

Tomando en cuenta lo anterior, las creencias pondrían de manifiesto cosas que se

consideran verdades en algún ámbito, siendo las concepciones las nociones principales que

16

describen ese ámbito, es decir, que las acciones efectuadas por el profesor dentro del aula,

y la elección de los contenidos a enseñar, así como la forma de enseñar, estarían

sustentadas por un conjunto de concepciones, como pueden ser las concepciones sobre el

concepto ecuación lineal. De esta manera, las concepciones forman un constructo más

general, que puede ser usado para estudiar aspectos en los que la persona no parece

sostener creencias sólidas (Ponte, 1999). De ahí se sigue, que las creencias del profesor se

basan más en lo empírico o intuitivo, mientras que la concepciones son producto del

razonamiento y entendimiento (García, Azcarate y Moreno, 2006).

2.2.2.1 Concepciones sobre la ecuación lineal

Considerando a las concepciones como la estructura que cada profesor de matemáticas da a

sus conocimientos para posteriormente enseñarlos o transmitirlos a sus estudiantes,

entonces una concepción sobre la ecuación lineal está conformada por la organización de

los significados que el profesor tiene de este concepto. Ahora bien, como se mencionó

anteriormente, el discurso escolar debería fomentar una concepción que permita al

estudiante comprender qué es una ecuación lineal, y facilite la articulación de la idea de

ecuación en las distintas asignaturas, para lo cual será necesario que los alumnos vayan

construyendo distintas aproximaciones al concepto de ecuación. Según Panizza, Sadovsky

y Sessa (1996), esto involucra la elaboración de los conceptos raíz, conjunto solución,

variable y ecuaciones equivalentes. Entonces, es a través de los significados atribuidos a

estos elementos, y de su interiorización, y organización, que un profesor se forja una

concepción sobre la ecuación lineal. Además de estos, nosotros consideramos otros

elementos que componen a la ecuación lineal, como son: las literales, el signo igual, y los

métodos de resolución. A continuación analizaremos los diferentes significados que

pueden ser atribuidos a los principales elementos de la ecuación lineal: el signo igual, las

literales, la raíz, los métodos de resolución, y a partir de ellos establecer un sistema de

categorías para realizar la caracterización de las concepciones sobre la ecuación lineal.

Significado del signo igual

Como todo símbolo matemático, el signo igual es la representación de un concepto o idea

matemática, sin embargo, el significado de este símbolo no es único. Molina y Castro

(2006) distinguen nueve significados distintos para el símbolo “=”:

17

1. Propuesta de actividad: Este significado se refiere al uso del signo igual en

expresiones incompletas que se utilizan en actividades de cálculo de operaciones o

simplificación de expresiones, o más concretamente un cálculo que no

necesariamente ha de abordarse en el formato de una igualdad.

2. Operador: Este significado hace referencia al uso del signo igual como un símbolo

que separa una cadena o secuencia de operaciones, que se sitúan a la izquierda del

signo igual, y su resultado, que se dispone a la derecha.

3. Expresión de una acción: Significado del signo igual como símbolo que separa una

cadena o secuencia de operaciones y su resultado, pudiéndose disponer ambos tanto

a izquierda como a derecha del signo igual (Ej. 24 = 12 + 12). En este caso, a

diferencia del significado operador, se reconoce la propiedad simétrica de la

igualdad.

4. Expresión de una equivalencia condicional: Este significado lo encontramos en el

contexto del álgebra, en situaciones en las que el signo igual expresa una

equivalencia sólo cierta para algunos valores de la variable, pudiendo no existir

ninguno.

5. Expresión de una equivalencia: Cuando el signo igual indica que las expresiones

que se disponen a ambos lados se refieren al mismo objeto matemático.

6. Definición de un objeto matemático: En este caso el signo igual se utiliza para

definir o asignar un nombre a un objeto matemático.

7. Expresión de una relación funcional o de dependencia: Este significado del signo

igual se refiere al uso de este símbolo para indicar cierta relación de dependencia

entre variables o parámetros. Por ejemplo en fórmulas del área de figuras

geométricas.

8. Indicador de cierta conexión o correspondencia: Este significado, algo impreciso,

del signo igual hace referencia a su uso entre objetos de distinta naturaleza o

ámbito, como por ejemplo entre imágenes o figuras y números, o entre expresiones

matemáticas y expresiones no matemáticas.

18

9. Aproximación: Este significado se refiere al uso del signo igual para relacionar una

expresión aritmética y una aproximación de su valor numérico. En estos casos el

signo igual puede ser reemplazado por el símbolo .

Por su parte, Kieran (1992) dice que en la escuela elemental, el signo igual se usa más para

anunciar un resultado que para expresar una relación simétrica y transitiva, es decir, el

signo igual es usado como un operador unidireccional y concebido como un separador

entre la secuencia de operaciones y el resultado. Esta forma de ver el signo igual se

asemeja a la propuesta por Molina y Castro, específicamente los significados 1, 2, y 3.

Los significados 4 y 5 propuestos por Molina y Castro hacen referencia al signo igual

como un símbolo de equivalencia, que en el caso de la ecuación lineal, y como señala

Kieran (1992), representa la equivalencia que se da entre los lados izquierdo y derecho, es

decir, entre ambos miembros de la ecuación. Asimismo, en las definiciones de los libros de

Álgebra, suele definirse el signo igual como una igualdad que expresa que dos cantidades o

expresiones algebraicas tienen el mismo valor.

En los significados del signo igual propuestos por Molina y Castro se incluyen significados

asociados al concepto de función. Así, el significado 6 hace referencia al signo igual para

definir un objeto matemático, al igual que se define una función en términos de una

ecuación, por ejemplo . El significado 7 habla sobre una relación de

dependencia entre variables, como ocurre en una función, pero también como ocurre en

una ecuación lineal con dos variables, por ejemplo . De esta forma, los

significados 5 y 6 engloban un uso del signo igual, que lo relaciona con el concepto

función, pero a la vez con el concepto de ecuación.

La relación entre variables a la que se refiere el significado 7 también se puede interpretar

al ámbito gráfico. Por ejemplo, los lugares geométricos, como la parábola, la elipse, la

hipérbola, y en particular la línea recta, consisten en puntos del plano que guardan una

relación de dependencia entre sí. En geometría analítica, esta relación es expresada de

forma algebraica por una ecuación, en el caso de la línea recta es representada por una

ecuación lineal. Por lo tanto, el significado que tiene el signo igual en este caso, es el de

indicar la relación que cumplen puntos del plano.

Hemos identificado cuatro significados del signo igual al trabajar con ecuaciones lineales:

19

Como un símbolo que separa una secuencia de operaciones de un resultado

(Separador).

Como un símbolo de la equivalencia entre los miembros de la ecuación.

Como una relación funcional entre variables, o bien, indica la condición que

cumple una función.

Como una relación entre los puntos del plano.

Significado de las literales

La posibilidad de representar con letras un conjunto de valores, y el hecho de poder

manejarlos de forma sencilla a través de las reglas algebraicas, dota al álgebra una gran

versatilidad y utilidad. Sin embargo, el significado que puede atribuirse a las literales es

variado, y algunos autores han propuesto clasificaciones para su significado. Küchemann

(1981), citado en Kieran, 1992; propone una clasificación de las interpretaciones de los

estudiantes sobre el significado de las letras, la cual consta de seis categorías:

Letra evaluada: Se le asigna a la letra un valor numérico arbitrario.

Letra no utilizada: Reconocen a la letra en una expresión, pero no se le asigna

ningún significado o valor numérico.

Letra como objeto: La letra representa la inicial de alguna palabra, o bien, algún

objeto específico, distinto a un número.

Letra como incógnita: El valor numérico de la letra es desconocido pero fijo, y

puede realizarse operaciones con ese valor.

Letra como número generalizado: La letra puede tomar diferentes valore, en lugar

de uno sólo.

Letra como variable: La letra representa un rango de valores no especificados, y

tiene una relación de dependencia con otro conjunto de valores.

Coincidimos con Panizza, Sadovsky y Sessa (1996) en que la concepción de ecuación

necesita de la noción de variable. Este significado de las literales corresponde a la sexta

categoría de Küchemann, sin embargo, este mismo reporta que la mayor parte de los

estudiantes conciben a las letras como incógnitas, y no como números generalizados o

variables (Kieran, 1992). Por su parte, Trigueros (1996) considera que la noción de

20

variable puede abordarse desde tres perspectivas: la variable como incógnita, como número

generalizado y como variable de una relación funcional. Vemos que esta clasificación de

Trigueros se relaciona con las tres últimas categorías de Küchemann, sobre las cuales nos

enfocaremos.

Sin embargo, haremos una distinción en las letras como variables, pues Küchemann

considera que tienen una relación de dependencia, lo cual se puede interpretar, al igual que

Trigueros, desde una perspectiva funcional, viendo a las letras como las variables de una

función. Pero también se puede interpretar, al igual que con el signo igual, como una

relación entre puntos del plano, o en este caso, una relación de dependencia entre los

valores de las abscisas de puntos, con sus ordenadas. Es decir, ver a las literales como una

representación de los puntos de un lugar geométrico.

De esta forma, identificamos cuatro significados de las literales asociados a la enseñanza

aprendizaje de las ecuaciones lineales:

Literales como incógnitas.

Literales como números generalizados.

Literales como variables de una relación funcional.

Literales como variables de una relación entre puntos del plano, o variables que

representan puntos del plano.

Significado de la raíz

Encontrar las raíces, o soluciones de ecuaciones ha sido una de las labores más antiguas de

la humanidad, ya que desde los antiguos babilonios y egipcios se han encontrado

problemas resueltos que corresponden a ecuaciones de grado uno y dos (Morales, 2002).

Hoy día, encontrar la raíz de una ecuación sigue siendo una labor importante, sin embargo,

el significado que tiene la raíz no es único.

Panizza, Sadovsky y Sessa (1996) reportan que la concepción de ecuación más frecuente

entre los alumnos corresponde a la de “una igualdad numérica con un número a

develar”. Bajo esta idea, el significado de la literal en una ecuación corresponde a la de

incógnita, pues consiste en un número desconocido, y la solución de la ecuación es

precisamente ese valor desconocido. En otras palabras, el significado de la raíz

21

corresponde al número que se desconoce en una ecuación, y el cual se pretende develar, o

hallar.

Otro significado de la raíz de una ecuación lineal la podemos hallar en los libros. Según el

libro, Álgebra, de editorial Patria, la raíz o solución de una ecuación “son los valores de

las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de

las incógnitas, convierten la ecuación en identidad”. Esta definición se refiere a las

literales como incógnitas, sin embargo, el significado que le atribuye se asemeja más al de

un número generalizado, pues dice que pueden ser sustituidos valores en las literales. Bajo

esta definición, la solución de una ecuación lineal corresponde al valor de la literal para el

cual la ecuación es una identidad, es decir, que la igualdad entre los miembros de la

ecuación es verdadera.

Anteriormente se mencionó que al igualar una función a cero se obtiene una ecuación. El

significado de la raíz de esta ecuación, esta entonces relacionado con la función, y

corresponde al valor del cero de la función. Por tanto, la raíz o solución de una ecuación

lineal se puede interpretar como el cero de una función lineal, es decir, el valor para el cual

la función lineal toma el valor 0. Sin embargo, también se puede igualar la función a un

número distinto de cero, y siempre se obtendrá una ecuación. Por tanto, la raíz consistiría

en el valor de la variable de una función, para un valor específico de la función.

Si ahora consideramos la ecuación lineal como un lugar geométrico, el significado de la

raíz será diferente, pues consistirá en aquellos puntos del plano que pertenecen al lugar

geométrico, o bien, en los valores de las abscisas y ordenadas de los puntos que pertenecen

a una línea recta.

Métodos de resolución

Los métodos para resolver ecuaciones, y en particular ecuaciones lineales, han cambiado a

lo largo de la historia. Los egipcios y babilonios por ejemplo, resolvían ecuaciones de

forma verbal, es decir, no recurrían al planteamiento algebraico de una ecuación, sino que

a través del lenguaje común expresaban las operaciones que requerían para resolver una

ecuación. En la antigua Grecia, Euclides recurría a construcciones geométricas para sus

demostraciones, las cuales incluían ecuaciones lineales, vistas como proporciones entre

segmentos. Hoy día, los métodos de resolución que se enseñan en la escuela corresponden

22

a operaciones algebraicas que no alteran, o modifican, la igualdad entre los miembros de la

ecuación. Sin embargo, el significado que para una persona tiene el resolver una ecuación,

puede ser distinto, según lo que para esa persona significa una ecuación, y su solución.

También existen otros métodos, que aunque se basan de propiedades algebraicas, el

significado atribuido es distinto. Por ejemplo, la regla de tres, que consiste en el

planteamiento de una ecuación a partir de una proporción implica considerar a la ecuación

como una cuenta de la cual se desconoce un número, y resolver la ecuación significaría

hallar ese valor desconocido. Resolver una ecuación por métodos de resolución gráficos,

significaría hallar el punto de corte de una recta con el eje de las abscisas, o con otra recta.

O bien, desde un punto de vista funcional, resolver una ecuación significa hallar el valor de

la variable de una función para cierto valor de la función, por ejemplo, al igualar la función

a cero.

2.2.2.2 Categorías de las concepciones sobre la ecuación lineal

Sfard (1991), citado en Kieran, 1992; ha sugerido que las nociones matemáticas pueden

concebirse en dos formas fundamentalmente diferentes: Estructural (como objetos) y

Operacional (como procesos). La concepción Operacional se refiere a concebir los

conceptos matemáticos como procesos, es decir, no como un concepto sino como un

algoritmo, una secuencia, unas operaciones. En cambio, la concepción Estructural, implica

ver a los conceptos como objetos matemáticos, y ser capaz de referirse a ella como si fuese

algo real, una estructura estática, que existe en algún tiempo y lugar que cumple con

propiedades matemáticas.

Nosotros tomamos como base estas concepciones, y los diferentes significados atribuidos a

los elementos de la ecuación lineal (signo igual, literales, raíz) y definimos cuatro

categorías de concepciones sobre el concepto ecuación lineal, que nos sirvieron de

referencia para la caracterización de las concepciones.

Concepción Operacional: La ecuación lineal es vista como un algoritmo, un proceso, que

permite obtener un resultado que se desconoce. No se enfatiza en la estructura algebraica o

en los procedimientos de resolución, sino que se recurre a otros métodos que no son

propios del álgebra, como una regla de tres, o conocimientos de aritmética y geometría

básica. Un profesor tiene una concepción Operacional sobre la ecuación lineal, cuando

23

considera al signo “=” como un separador, a las literales como incógnitas y la raíz como el

valor desconocido que debe hallarse y resolver una ecuación significa hallar ese valor

desconocido.

Concepción Estructural: La idea de ecuación lineal se encuentra encasillada al álgebra, es

decir, se define por medio de las reglas, propiedades y procedimientos propios del álgebra.

Un profesor tiene una concepción Estructural cuando considera a las literales como

números generalizados, el signo “=” como un símbolo de equivalencia, a la raíz como el

valor que hace verdadera la igualdad y resolver una ecuación lineal significa hallar todas

sus soluciones mediante operaciones algebraicas que no alteren la igualdad.

Concepción Geométrica: Las propiedades algebraicas de la ecuación lineal son

consideradas, sin embargo, se busca relacionar la ecuación lineal con aspectos visuales y

gráficos, pues se considera a la ecuación como un lugar geométrico, haciendo referencia a

la solución de una ecuación lineal, como las intersecciones de una línea recta con los ejes

coordenados. Un profesor con una concepción geométrica considera a la ecuación lineal

como un lugar geométrico, a las literales como variables que representan coordenadas de

puntos del plano cartesiano, al signo “=” como aquel que indica la relación que cumplen

los puntos pertenecientes a un lugar geométrico, y a la raíz como el punto de corte de dos

rectas, de una recta con el eje de las abscisas, o como la abscisa de un punto especifico.

Concepción Funcional: Tener una concepción funcional, implica relacionar la ecuación

lineal con la función lineal, sin limitarse al aspecto algebraico, es decir, abarcando

características de las otras concepciones, como la representación gráfica, nociones

geométricas, de aritmética, etc. Asimismo, se considera a la ecuación lineal como una

herramienta que permite la resolución de problemas, y no sólo un conocimiento, o un

algoritmo. Un profesor tienen una concepción Funcional considera que el signo “=” indica

la condición que debe cumplir una función, las literales representan a las variables de una

función y la raíz corresponde a los ceros de la función, o al valor de la variable para un

valor especifico de la función.

A continuación se presenta una tabla en la que se resumen las concepciones mencionadas,

e incluyendo los diferentes significados de los elementos de la ecuación lineal que

corresponden a cada concepción.

24

INDICADORES OPERACIONAL ESTRUCTURALISTA FUNCIONAL GEOMÉTRICO

Definición de

ecuación lineal

La ecuación es una expresión en la que existe un valor desconocido, el cual debe ser hallado por medio de cualquier operación matemática.

La ecuación es un concepto matemático definido, cuyos elementos y técnicas de resolución son específicos

La ecuación es una herramienta que permite la resolución de problemas y que se relaciona estrechamente con el concepto de función.

Es un concepto matemático, cuya utilidad e importancia, radica en su versatilidad para ser representado en forma gráfica.

El papel del signo

igual

Es visto como un operador unidireccional Sirve para indica cuales son las operaciones que deben realizarse

Le da a la ecuación la característica de igualdad, es decir, ambos miembros de la ecuación tienen el mismo valor.

Indica las condiciones que se establecen en el problema que se pretende resolver.

Indica la condición que cumplen los puntos pertenecientes a un lugar geométrico en un sistema coordenado.

El significado de

las literales

Representan los valores que se desconocen, y que deben ser hallados.

Números generalizados, es decir, representan todos aquellos números que puedan ser sustituidos en la ecuación

Son las variables de una función lineal.

Es la abscisa de un punto (una literal)

Representan los puntos de un sistema coordenado (dos literales)

El significado de

la raíz o solución

Es el número cuyo valor era desconocido.

Es el valor que hace que la igualdad sea verdadera

El valor con el cual se da solución a un problema

Es el valor de la abscisa para el cual la ordenada es cero (una literal)

Son los puntos que pertenecen a un lugar geométrico (dos literales)

El significado de

resolver una

ecuación lineal

Efectuar procedimientos, no necesariamente algebraicos, con el fin de dar respuesta a la ecuación

Hallar todas las soluciones de la ecuación mediante operaciones algebraicas que no alteren la igualdad.

Hallar el valor de la variable de una función, que cumple con la condición indicada en un problema

Hallar el punto en que una grafica corta al eje X. (una literal)

Hallar el conjunto de puntos que pertenecen a un lugar geométrico. (dos literales)

Ecuaciones con

igual conjunto

solución

Son aquellas ecuaciones que al resolverlas tienen la misma solución. Para comprobar que dos ecuaciones tienen la misma solución se resuelven cada una por separado.

Son aquellas ecuaciones de las cuales se puede llegar de una a la otra mediante operaciones algebraicas, conservando el conjunto solución de ambas ecuaciones

Son aquellas ecuaciones que tienen las mismas raíces. Para verificar que las ecuaciones tienen la misma solución se hace referencia a las raíces de cada una.

Es cuando dos rectas se intersecan en el mismo punto. Se muestra el punto de intersección o se hace mención del mismo.

Tabla 1: Categorías de las concepciones sobre la ecuación lineal

2.2.3 Práctica del profesor

En este estudio nos interesa describir el tratamiento que los profesores le dan los conceptos

matemáticos, en particular el concepto ecuación lineal, dicho tratamiento forma parte de la

práctica del profesor, y consideramos que puede verse reflejado en la tendencia didáctica.

Por esta razón optamos por emplear el modelo didáctico de Contreras (1998), quien opina

que un individuo no puede caracterizarse dentro de un modelo específico de enseñanza, y

prefiere utilizar el término tendencia didáctica; lo cual puede entenderse como aquella

tendencia que implique más aspectos hacia un modelo didáctico. Esto es, que un solo

25

profesor, aunque haga uso de varios modelos teóricos para su práctica docente, se orienta

hacia uno en particular (Báez, Cantú y Gómez, 2007).

Las tendencias que Contreras propone son cuatro: tradicional, tecnológica, espontaneísta e

investigativa. Cada una manifiesta una concepción distinta sobre la enseñanza-aprendizaje

de las matemáticas, ya que resalta aspectos distintos y tiene fines diferentes.

La Tendencia Tradicional: Esta tendencia se caracteriza principalmente por la

actividad pasiva del estudiante, la implementación de la exposición magistral por

parte del profesor, los contenidos son rígidos y preestablecidos, la asignatura está

orientada hacia la adquisición de contenidos y el uso del libro de texto es el único

material curricular.

La Tendencia Tecnológica: Caracterizada por la simulación de los procesos de

construcción de los contenidos, el profesor se apoya en estrategias expositivas, el

sentido de la asignatura es informativo y práctico ya que permite su aplicación en

otras disciplinas.

La Tendencia Espontaneísta: Entre sus principales características destacan la

manipulación de modelos por parte del profesor, no interesan los conceptos sino los

procedimientos, está basada en la formación de actitudes positivas hacia el trabajo

escolar y en los intereses de los estudiantes.

La Tendencia Investigativa: Se caracteriza principalmente por la investigación, es

decir, se propone todo un proceso que conducirá al alumno hacia la adquisición de

los conocimientos y el fomento de actitudes positivas hacia la propia materia.

En cada una de las tendencias, Contreras propone treinta y cinco indicadores, que engloban

la metodología, el sentido de la asignatura, la concepción del aprendizaje, el papel del

alumno y del profesor, y la evaluación. De los treinta y cinco indicadores, hemos

considerado sólo aquellos que hacen referencia al tratamiento dado a los conceptos

matemáticos, así como los registros de representación de la ecuación lineal utilizados y el

tipo y objetivo de ejercicios propuestos por el profesor. Estos indicadores se detallan en la

Tabla 2 y son los siguientes:

26

Metodología: La metodología consiste en la programación seguida por el profesor

para lograr que el estudiante adquiera un aprendizaje, que puede incluir las

estrategias y métodos utilizados y el uso de los recursos y materiales utilizados.

Enfoque: Es la finalidad última de la enseñanza, consiste en lo que el profesor

espera que los estudiantes aprenda sobre el concepto matemático enseñado.

Procesos: Son las acciones que el profesor espera que realice el estudiante para

lograr un aprendizaje del concepto matemático, e incluye la forma de organizar

estas acciones.

Registros de representación: Consiste en todos los registros de representación a los

que recurre el profesor para realizar las explicaciones del concepto matemático, así

como de los ejemplos y ejercicios. Se considera además, que el profesor realice un

tránsito entre estos registros, es decir, que por medio de los diferentes registros, el

profesor presente diferentes aspectos de la ecuación lineal, y que además, haya una

articulación entre las ideas presentes en cada registro. Los registros de

representación que consideramos son los siguientes:

Algebraico: Consiste en la representación de la ecuación lineal mediante

símbolos y signos propios del lenguaje algebraico.

Numérico: Se representa el concepto de ecuación lineal mediante el uso de

números, y empleando operaciones aritméticas, o bien organizando un

conjunto de datos en una tabla.

Gráfico: La representación de la ecuación lineal está conformada por

puntos del plano cartesiano, que a su vez, pertenecen a la grafica de una

línea recta, la cual corresponde al lugar geométrico asociado a la ecuación

lineal.

Lenguaje común: Consiste en representar el concepto de ecuación lineal

mediante la utilización de palabras, articulando oraciones que emplean

símbolos algebraicos.

Ejercicios: Son las actividades que el profesor propone al alumno para realizar,

considerando el objetivo, o finalidad de estas actividades para el logro del

aprendizaje.

27

Tabla 2: Indicadores del tratamiento

INDICADORES TENDENCIA

TRADICIONAL

TENDENCIA

TECNOLÓGICA

TENDENCIA

ESPONTANEISTA

TENDENCIA

INVESTIGATIVA

Metodología Ejercitación repetitiva: El aprendizaje se da por la repetición constante de ejercicios cada vez más complicados

Ejercitación reproductiva: El aprendizaje se da por la asimilación de los procedimientos efectuados por el profesor en la resolución de ejercicios

Experimentación: Se realizan actividades experimentales, en las cuales se ponen en práctica métodos, recursos y conocimientos vistos en cursos anteriores.

Resolución de problemas: Se llega al aprendizaje por medio de la resolución de problemas para los cuales, el alumno no tiene una solución construida.

Enfoque

Formal – Memorístico: Hay una orientación a la adquisición de conceptos y reglas, enfatizando el nivel de abstracción del contenido a enseñar.

Conceptual: Se busca la comprensión de los conceptos, y su vinculación con situaciones reales.

Algorítmico: Se busca la adquisición de procedimientos para la resolución de situaciones reales

Constructivista: Se busca desarrollar, habilidades de razonamiento y comprensión, para que el estudiante construya su conocimiento apoyándose de las actividades guiadas, para después formalizar el concepto matemático.

Procesos

Deductivos: Se sigue un proceso deductivo, que implica seguir la estructura, definiciones, ejemplos, ejercicios.

Inductivos simulados: El aprendizaje comienza por procesos inductivos, que pueden incluir ejemplos o situaciones planteadas al alumno, pero solo se consolida a través de procesos deductivos.

Inductivos: El aprendizaje comienza con la participación del alumno en actividades que buscan la identificación de los conceptos.

Inducción-deducción: El aprendizaje comienza por la observación en problemas, de regularidades que permiten aflorar una conjetura; pero a ésta ha de seguir una comprobación razonable y una generalización adecuada.

Registros de

representación Algebraico Algebraico Gráfico

Lenguaje común Numérico Álgebra y geometría básica

Algebraico Gráfico Lenguaje común Numérico

Ejercicios Consolidación: Los ejercicios tienen la función de consolidar los conocimientos adquiridos.

Reforzamiento: Los ejercicios sirven para poner en práctica los conocimientos adquiridos.

Descubrimiento: Los ejercicios permiten al estudiante observar patrones y particularidades que lo lleven a identificar los conceptos en juego.

Descubrimiento y consolidación: Por medio de problemas planteados, el alumno reconocerá los conceptos implicados, para posteriormente formalizar estos conocimientos por medio de problemas más complicados.

28

Así, con base en los indicadores, diremos que un profesor tiene una tendencia Tradicional, si

la metodología que emplea se base en la ejercitación, es decir, que el aprendizaje se da por la

realización constante de ejercicios, con un enfoque en la memorización de definiciones y

reglas, usando un proceso de enseñanza deductivo, que implica iniciar éste con definiciones,

mostrar ejemplos y realizar ejercicios. Asimismo, el único registro de representación al que

recurre para la enseñanza de la ecuación lineal es el algebraico, y emplea ejercicios cuyo

objetivo es la consolidación de los métodos de resolución de las ecuaciones lineales.

Un profesor con tendencia Tecnológica emplea una metodología que consiste en la

asimilación por parte de alumno, de los procedimientos de resolución de ecuaciones lineales

efectuados por el profesor, enfocándose en la comprensión del concepto, planteándole

situaciones al alumno para inducir al aprendizaje, pero consolidando posteriormente ese

aprendizaje. Se recurre principalmente al registro algebraico, pero se busca relacionarlo con

otros registros, como el geométrico y el gráfico, de modo que el estudiante pues transitar el

concepto de ecuación lineal entre estos registros. Por otra parte, los ejercicios permiten al

alumno poner en práctica los conocimientos adquiridos.

Consideraremos que un profesor muestra un tendencia Espontaneísta, cuando usa una

metodología que consista en la realización de actividades que pongan en juego conocimientos

previos del alumno, y con énfasis en el aprendizaje de procedimientos y métodos para resolver

situaciones de la vida diaria, para lo cual, el alumno realiza actividades que permitan la

identificación de las características de estos procedimientos. Se emplean registros de

representación que incluyen el numérico y el verbal, además de álgebra y geometría básica.

Los ejercicios que utiliza el profesor tienen la finalidad de que el estudiante llegue a identificar

las características y propiedades de los conceptos en juego.

Un profesor con tendencia investigativa emplea una metodología basada en la resolución de

problemas, para los cuales el alumno no cuenta con una respuesta inmediata, enfocándose en

el desarrollo de habilidades de razonamiento y comprensión, a la cual le sigue una

comprobación y formalización. Los registros que utiliza el profesor son variados, e incluyen el

algebraico, gráfico, numérico, verbal, etc. Los ejercicios empleados tienen por objetivo que el

estudiante forme una conjetura y la compruebe.

29

CAPITULO 3

ASPECTOS METODOLÓGICOS

El objetivo de esta investigación es caracterizar las concepciones de los profesores sobre el

concepto ecuación lineal, así como el tratamiento dado a este concepto, y describir como se da

la relación entre las concepciones y el tratamiento. Por ello, se optó por realizar un estudio

cualitativo, de carácter descriptivo, ya que nos interesan las condiciones y relaciones

existentes entre las concepciones y el tratamiento dado al concepto ecuación lineal.

3.1 La metodología cualitativa

La investigación cualitativa tiene por objetivo la descripción de las cualidades de un

fenómeno, en tanto que su característica fundamental es su expreso planteamiento de ver los

acontecimientos, acciones, normas y valores, desde la perspectiva de la gente que está siendo

estudiada, es decir, “ver a través de los ojos de la gente que uno está estudiando”. Tal

perspectiva, envuelve claramente una propensión a usar la empatía con quienes están siendo

estudiados, pero también implica una capacidad de penetrar los contextos de significado con

los cuales ellos operan.

En el método cualitativo se parte de algunas observaciones del fenómeno estudiado, para

llegar a un concepto general sobre el mismo, tratando de identificar la naturaleza profunda de

las realidades, su sistema de relaciones, y su estructura dinámica, es decir, el énfasis es puesto

en la necesidad de interpretar lo que está pasando en términos del entendimiento del fenómeno

como un todo y del significado que tiene para sus participantes, se trata de obtener un

entendimiento lo más profundo posible. Para lograr esto, se deben elegir uno o varios métodos

de recolección de datos, que permitan recolectar la mayor cantidad de información posible,

para finalmente, centrar la atención en ciertos aspectos seleccionados con la ayuda de una

perspectiva teórica. Se trata de conectar la información con las cualidades del fenómeno.

30

Algunas ventajas de la investigación cualitativa es su diseño de investigación inductivo, y que

permite desarrollar conceptos, interpretaciones y comprensiones, partiendo de las

características de los datos, y no de la recolección misma, Asimismo, en la metodología

cualitativa el investigador considera no sólo el escenario, sino también a las personas desde

una perspectiva holística, es decir, las personas y los escenarios no son reducidos a variables,

sino considerados como un todo, para lo cual, se estudia a las personas dentro de su propia

realidad, apartando los prejuicios o creencias del investigador, de las interpretaciones del

fenómeno estudiado. Por otra parte, los métodos cualitativos no son tan rígidos como en otros

enfoques investigativos, sino por el contrario, son flexibles, siguiendo algunos lineamientos de

orientación en lugar de reglas fijas.

3.2 La metodología de trabajo

Esta investigación se realizó en el estado de Yucatán, con profesores que laboran en escuelas

de nivel medio superior, en las que se incluyen el Colegio de Bachilleres del Estado de

Yucatán (COBAY) planteles Santa Rosa y Xoclán, las Escuelas Preparatorias Uno y Dos de la

UADY, y el Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica (CONALEP) plantel Mérida

1. Los participantes son siete profesores de matemáticas, con formaciones iniciales variadas,

que incluyen uno de Ingeniería Civil, uno de Ingeniería Industrial, uno de Ingeniería en

Construcción, tres de la Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas y uno de la

Licenciatura en Educación. La elección de los profesores se hizo considerando sólo aquellos

que impartieron la asignatura de Matemáticas I durante el período Septiembre-Enero del curso

escolar 2009-2010. Esta asignatura corresponde a los tópicos de álgebra, en los que se

encuentra incluida la ecuación lineal.

3.2.1 Recolección de datos

Para caracterizar las concepciones sobre el concepto ecuación lineal y el tratamiento dado a

dicho concepto, se optó por utilizar instrumentos que permitieran recabar información acerca

de las concepciones y del tratamiento, así como contrastar los resultados obtenidos. Las

concepciones sobre la ecuación lineal fueron identificadas por medio de una encuesta y un

31

cuestionario, en tanto que el tratamiento dado al concepto se identificó mediante una revisión

documental, que incluyó los apuntes de clases de un estudiante y los libros empleados por el

profesor. Adicionalmente se realizó una entrevista, que permitió complementar la información

tanto de las concepciones como del tratamiento.

La encuesta

La encuesta tuvo por objetivo recabar información acerca de las concepciones de los

profesores sobre la ecuación lineal, y constó de seis preguntas de opción múltiple. El diseño de

las preguntas y las respuestas se realizó con base en los indicadores de las concepciones

presentados en la Tabla 1 (página 24). En las preguntas cada opción se relaciona con una

concepción distinta, así por ejemplo, si el profesor elige la primera opción, se le relacionará

con la concepción Operacional, si elige la segunda, se relacionará con la concepción

Estructural, la tercera con la Funcional y la cuarta con la Geométrica.

El cuestionario

Está conformado por tres ítems, en los que está implicado el concepto ecuación lineal. Estos

ejercicios se elaboraron con la finalidad de indagar sobre cómo el profesor hace uso del

concepto, y corroborarlo con lo reportado en la encuesta. Al mismo tiempo, por medio de

preguntas relacionadas a los ejercicios, se pretendía conocer la opinión de los profesores sobre

los ítems, si lo implementarían en su clase, lo cambios que harían, y las dificultades y ventajas

que considera tienen estos ejercicios para los alumnos. El análisis de estas respuestas nos

permitió conocer un poco más las concepciones de los profesores. Para la realización de esta

parte del cuestionario, se consideraron los criterios descritos en la Tabla 1, y también los

siguientes aspectos referentes a la ecuación lineal:

Registro de representación: Se consideraron tres registros, el algebraico, el gráfico, y

el tabular. Se indagará en qué registro trabaja preferentemente el profesor, si utiliza

más de uno y de qué forma los usa.

32

Contexto del problema: Consiste en el contexto con el cual se encuentra la situación

planteada en cada ítem, por ejemplo, física, economía, y matemáticas.

Revisión documental

Para identificar el tratamiento que se le da a la ecuación, no fue posible observar la clase de

los profesores, debido a que en el período académico en el cual se llevo a cabo esta

investigación, los cursos de Matemáticas I, que corresponden al área de álgebra, en los

bachilleratos seleccionados, no se ofertaban. Tomando en cuenta lo anterior, fue necesario

establecer otro método para identificar el tratamiento que los profesores le dan al concepto

ecuación lineal, por lo cual, optamos por realizar una revisión documental, que incluye los

libros que mayormente emplea el profesor en sus clases (ya sean establecidos por la

institución, o de su propia elección), y los apuntes de clase de al menos un alumno por cada

profesor (la libreta de los estudiantes). Para el análisis de estos documentos tomamos como

referencia los indicadores de las tendencias didácticas mostrados en la Tabla 2 (pagina 28), y

que a su vez, están basados del modelo de Contreras (1998).

La entrevista

La entrevista consta de catorce preguntas guía, cuatro hacen referencia a algunos aspectos de

la encuesta, como los supuestos que tuvo el profesor al responder las preguntas, y tres se

relacionan con el cuestionario, en cuanto a los procedimientos realizados en el cuestionario y

que se presten a confusión. Así, por medio de la entrevista, es posible contrastar lo que los

profesores dicen, con las respuestas plasmadas tanto en la encuesta como en el cuestionario.

Las otras siete preguntas tuvieron por objetivo indagar sobre el tratamiento que los profesores

dan a la ecuación, para lo cual, las preguntas se realizaron tomando en consideración los

indicadores del tratamiento antes mencionados: la metodología, el enfoque, el proceso de

enseñanza, los registros de representación y los ejercicios. De esta forma, la información sobre

el tratamiento recabada en la revisión documental seria contrastada con la información de la

entrevista.

33

La recolección de datos se efectuó de la siguiente manera: Primero se aplicaron la encuesta y

el cuestionario a los profesores participantes, para obtener así, información de las

concepciones que tienen sobre la ecuación lineal. En un segundo momento, se les solicito a

estos mismos profesores el nombre de los libros que utilizan con mayor frecuencia para su

clase del tema ecuación lineal, así como los apuntes de clase de uno de los estudiantes que

hayan cursado, con este mismo profesor, la asignatura de Matemáticas 1. Finalmente, se le

solicitó al profesor una cita para realizar la entrevista, en la cual se abarcaron aspectos tanto de

las concepciones, como del tratamiento, y de los instrumentos anteriores. El siguiente

diagrama muestra el proceso efectuado:

Figura 1

El análisis de la información obtenida se realizó en tres fases: En la primera se analizó la

información correspondiente a las concepciones del profesor, haciendo el análisis de los

instrumentos por cada uno de los profesores. En la segunda fase se analizó la información

correspondiente al tratamiento, y al igual que en la fase anterior, se realizó el análisis de los

instrumentos por cada uno de los profesores. Para realizar la caracterización de las

Concepciones del profesor sobre el

concepto ecuación lineal

Tratamiento otorgado al concepto

ecuación lineal

Apuntes de clase

Libros

Encuesta

Cuestionario

Entrevista

34

concepciones sobre la ecuación lineal, en nuestro marco de referencia se definieron cuatro

categorías de concepciones, tomando como referencia los diferentes significados y formas de

concebir los elementos de la ecuación, en tanto que la caracterización del tratamiento se

realizó considerando los indicadores de las tendencias didácticas presentadas en la Tabla 2.

Finalmente, al tener el análisis de las concepciones y del tratamiento, se procedió a describir el

tipo de relación que se da entre las concepciones de la ecuación lineal y el tratamiento dado a

dicho concepto.

35

CAPITULO 4

ANÁLISIS DE RESULTADOS

4.1 Resultados de Concepciones

La información correspondiente a las concepciones de los profesores sobre la ecuación lineal

fue recabada mediante la utilización de tres instrumentos: una encuesta, un cuestionario y una

entrevista. En este apartado se exponen los resultados obtenidos a partir de dichos

instrumentos, así como el análisis realizado con base en las categorías de concepciones y en

los indicadores de cada una: el signo “=”, las literales, la raíz, el significado de resolver una

ecuación lineal, y ecuaciones con la misma solución. Los resultados se organizan por profesor,

mostrando en cada uno el análisis correspondiente a cada uno de los instrumentos.

PROFESORA A

i) Encuesta

En la encuesta, la profesora elige en su mayoría respuestas relacionadas con la concepción

Geométrica, de tal forma, que considera a la ecuación lineal como un lugar geométrico, a las

literales como variables que representan puntos del plano cartesiano, el símbolo “=” indica la

condición que cumplen esos puntos, siendo la solución de la ecuación las coordenadas de un

punto del plano, o bien, el valor de la abscisa de un punto específico.

36

ii) Cuestionario

Ítem 1

Inciso A

Figura 1

En el inciso A, el profesor emplea el símbolo “=”, como un símbolo de equivalencia, ya que

expresa la igualdad entre las expresiones correspondientes a los tiempos de los vehículos A y

B, y resuelve empleando métodos algebraicos que no alteran la igualdad planteada, como se

puede apreciar en la transposición de términos que hace la profesora. Las literales representan

la distancia que recorren los automóviles, y estas literales pueden ser sustituidas por diferentes

valores, por lo cual, corresponden a números generalizados. Además, la raíz de la ecuación

corresponde al tiempo en que las distancias recorridas son iguales, por tanto, representa el

valor para el cual, la igualdad se conserva. También se puede apreciar que antes de plantear

la ecuación de cada vehículo, la profesora recurre a una figura, en la cual compara por medio

de segmentos de recta las distancias recorridas por cada automóvil, y con base a ello, plantea

las ecuaciones que posteriormente resuelve. Por tanto, la concepción que muestra el profesor

en este inciso es Estructural.

37

Inciso B

Figura 2

En este inciso la profesora emplea la regla de tres para dar su respuesta, y utiliza el símbolo

“=” de forma implícita como un separador, ya que agrupa los datos proporcionados para

poder operar con ellos. La literal también es implícita, y representa el tiempo que corresponde

a cada automóvil, y por tanto, representa una incógnita. La raíz representa el valor

desconocido en la regla de tres, y que se obtuvo sin recurrir a operaciones algebraicas.

Concluimos entonces, que la concepción que la profesora muestra en este inciso es

Operacional.

Inciso C

Figura 3

En este inciso se le preguntó a la profesora si incluiría la gráfica en el planteamiento del

problema, sin embargo, la profesora responde nuevamente a lo planteado en el inciso A,

mostrando ahora un procedimiento distinto, pero a la vez, acorde a la situación mostrada en la

38

gráfica, ya que considera al automóvil A como referencia para el tiempo de inicio, a diferencia

del procedimiento mostrado en el inciso B, donde consideró el automóvil B como referencia

para el tiempo inicial, incluso la respuesta que da es distinta a la presentada anteriormente.

Asimismo, al preguntarle sobre cómo utilizó la gráfica, la profesora dice:

“como te piden el tiempo en que las distancias son iguales, vemos en el eje de las Y, dónde las

rectas se cortan, y luego para hallar el tiempo, buscamos el valor del eje X correspondiente al

punto de corte”

Vemos que la profesora considera a la literal como los valores del eje X, es decir, variables

que representan la abscisa de un punto, en tanto que para hallar la respuesta, la profesora

localizó primero el punto de corte de las dos rectas, a partir del cual halló el valor de su

abscisa, con lo cual, la raíz de la ecuación corresponde al valor de la abscisa de un punto

específico. El signo “=” relaciona el tiempo con la distancia, que corresponden a los valores de

los ejes coordenados, es decir, establece la relación entre las abscisas y ordenadas de los

puntos de un lugar geométrico (las dos rectas). Con respecto a si incluiría o no la gráfica en el

planteamiento del problema, la profesora dice:

“No, considero que la escala no ayuda, aunque sí se observa que en el punto de intersección

se corta en el tiempo

, que corresponde al tiempo del auto A, y a la distancia 90km.”

La profesora dice que no incluiría esta gráfica debido a la escala, lo cual deja abierta la

posibilidad de incluir una gráfica distinta que se ajuste a las especificaciones de la profesora.

Pero también recalca que la gráfica permite obtener el resultado por medio de la identificación

de la abscisa correspondiente al punto de corte de las dos rectas.

En conclusión, aunque la profesora resuelve los incisos por métodos algebraicos y por regla de

tres, el procedimiento usado en el inciso C recurre a métodos geométricos para resolver la

ecuación, por ejemplo hallar el punto de corte de dos rectas y localizar el valor de la abscisa de

un punto. Por otra parte, cuando se le preguntó cuál de los dos procedimientos (el del inciso A

y del inciso C) considera más adecuado, la profesora responde que ambos, ya que según ella,

la figura del inciso A y la gráfica del inciso C “son similares y proporcionan la misma

información”. En ambos procedimientos la profesora enfatiza en la representación auxiliar, los

39

segmentos en el inciso A, y la gráfica en el inciso C, y al decir que proporcionan la misma

información, vemos que la profesora considera la literal como los valores del eje X, a la raíz

de la ecuación como la abscisa de un punto específico, y al signo “=” como la relación que

cumplen las abscisas y ordenadas de los puntos de una recta. Por tanto, la concepción que

muestra la profesora en este inciso es Geométrica.

Ítem 2

Inciso A

Figura 4

En este inciso, la profesora considera el contexto inicial del problema, es decir, considera la

deuda inicial que tiene Carla al iniciar el cobro por sus trabajos, como se observa en la

realización de la tabla, donde la deuda inicial está presente en los valores negativos de la

ganancia, asociados a 1, 10 y 15 trabajos.

40

Inciso B

Figura 5

En el inciso B, emplea una división aritmética para dar la respuesta, por lo cual el signo “=” se

encuentra implícito y desempeña un papel de separador, pues separa la operación división, del

resultado que se obtiene, la literal también es implícita y desempeña el papel de incógnita, ya

que el procedimiento que efectúa el profesor tienen la finalidad de hallar un valor desconocido

por medio de operaciones distintas a las algebraicas, pues emplea una división aritmética. Por

tanto, la profesora muestra una concepción Operacional.

Inciso D

Figura 6

En este inciso, el signo “=” es remplazado por una desigualdad que representa la condición

que cumple la expresión correspondiente a la ganancia obtenida por cada trabajo realizado, es

decir, la ganancia sea mayor a $500. La literal que se maneja representa el número de trabajos

para los cuales la ganancia es mayor a $500, y como la ganancia depende del número de

trabajos realizados, entonces la literal es una variable. La solución de la desigualdad no es un

41

valor único, sino un conjunto de valores que dan solución al problema planteado, y resolver la

desigualdad implicó realizar operaciones algebraicas para que la desigualdad no se altere. Por

todo lo anterior, la concepción mostrada por la profesora es Funcional.

Inciso E

“Si, pero para contestar las preguntas no utilicé la tabla.”

La respuesta que da la profesora sólo nos indica que no empleó la tabla, pero no nos dice las

razones por las que no la utilizó, por lo que no hay suficiente información para caracterizarla

en una categoría de concepción.

Ítem 3

Figura 7

En el procedimiento que muestra la profesora, el símbolo “=” representa una equivalencia

entre la edad que tendrá Juan en 16 años, y el quíntuplo de la edad que tiene ahora. La literal

que maneja, representa un número generalizado, ya que pueden ser sustituidos valores en la

ecuación que se plantea, pero sólo uno hará verdadera la igualdad, el cual es la solución que

el profesor da. Por tanto, la concepción que muestra la profesora en este ítem es Estructural.

42

Ítem 4

“Depende del nivel, para estudiantes de primer año de bachillerato el #3. Para estudiantes de

Temas de Álgebra (tercer grado de bachillerato) el #1, el #2, en la parte de Geometría

Analítica (la línea recta) o Pre cálculo (Función lineal).”

Aquí la profesora afirma que la elección del ejercicio más apropiado depende del nivel al que

va dirigido. Así, para alumnos de primer semestre de bachillerato, considera que el ítem 3 es el

más apropiado, debido a que los otros ítems no se manejan en Matemáticas 1.

En la resolución de los ítems del cuestionario, la profesora plantea ecuaciones y utiliza

procedimientos algebraicos, sin embargo, para el planteamiento y resolución de las ecuaciones

del inciso C del Ítem 1, se apoya en procedimientos gráficos, como hallar el punto de corte de

dos rectas, y además muestra un procedimiento distinto al del inciso A, basado en el análisis

de la gráfica mostrada.

iii) Entrevista

La profesora dice que al responder las preguntas de la encuesta trató de relacionar sus

respuestas con las asignaturas de álgebra y geometría analítica, pero que al final optó por no

considerar el área de álgebra, ya que sólo se lo que se trabaja en primer semestre. Sin

embargo, cuando se le preguntó qué otras respuestas hubiera elegido, contestó que aquellas

que estén enfocadas a la geometría, ya que las considera las respuestas más completas.

Asimismo, consideró que las preguntas planteadas en la encuesta hacían referencia a una

ecuación lineal con dos incógnitas, y con base a ello dio sus respuestas, y agrega:

“No importa el número de literales, en una ecuación lineal el grado se conserva.”

Lo cual nos indica que considera el exponente de la literal como la característica que distingue

a una ecuación lineal, es decir, que se puede distinguir una ecuación lineal observando sus

propiedades algebraicas. Al preguntarle sobre el uso de la gráfica, ella explica:

43

“como te piden el tiempo en que las distancias son iguales, vemos en el eje de las Y, dónde las

rectas se cortan, y luego para hallar el tiempo, buscamos el valor del eje X correspondiente al

punto de corte”.

Con esto la profesora hace referencia a métodos que le permiten hallar la solución a partir de

la gráfica, como localizar el punto de corte de las rectas y el valor de la abscisa

correspondiente. Así, las literales son concebidas como variables que representan puntos en el

plano cartesiano, el símbolo “=” indica la condición que cumplen esos puntos, siendo la

solución las coordenadas de un punto del plano, o bien el valor de la abscisa de un punto

específico. Por otra parte, al cuestionarle sobre el uso de la tabla, la profesora dice:

“Sólo me ayudó para saber de qué manera establecer una regla de correspondencia, en el

inciso C, por ejemplo, no utilicé la tabla, sino que hallé el valor a partir de una división”.

Con esto, se puede apreciar que la profesora no utiliza la tabla para observar la variación de

los datos, sino únicamente para el establecimiento de la regla, es decir, de la ecuación.

Se puede observar que la profesora resalta elementos geométricos en la resolución de los

ejercicios y en las respuestas que plasma. Asimismo, considera que es mejor trabajar con

ecuaciones lineales de dos incógnitas, lo cual permite representar gráficamente la ecuación

lineal, y donde las literales representan variables y el símbolo “=” indica la relación entre los

puntos de un lugar geométrico.

iv) Conclusión

En síntesis, en la encuesta y la entrevista, la profesora considera a la ecuación como un lugar

geométrico, predominando el significado de las literales como el de variables que representan

puntos del plano cartesiano, el de raíz como la abscisa de un punto, en tanto que el símbolo

“=” indica la relación que se da entre estos puntos del plano. Estos mismos significados se

observan en el procedimiento mostrado en el inciso C del ítem 1. Por otra parte, en la

entrevista la profesora muestra una preferencia por métodos de resolución gráficos, lo cual se

ve reflejado en las respuestas que eligió en la encuesta, pues en su mayoría corresponde a la

concepción Geométrica, a pesar que en el cuestionario la profesora considera que el aspecto

44

geométrico de la ecuación lineal no corresponde a los objetivos de la asignatura de álgebra. De

lo anterior concluimos que la concepción sobre la ecuación lineal de la profesora A es

Geométrica.

PROFESOR B

i) Encuesta

En tres de las preguntas de la encuesta la profesora elige respuesta relacionadas con la

concepción Estructural, mientras que en las otras tres preguntas elige opciones de la

concepción Geométrica. De la respuestas asociadas a la concepción Estructural, la profesora

considera al símbolo “=” como un símbolo de equivalencia, es decir, representa la igualdad

existente entre los miembros de la ecuación, ve a las literales como números generalizados

que pueden ser sustituidos en la ecuación lineal y resolver la ecuación significa hallar el valor

que mantiene la igualdad en la ecuación. De las respuestas asociadas a la concepción

Geométrica, la profesora considera la ecuación lineal como un lugar geométrico, cuya

solución es el valor de la abscisa de un punto, y considera que dos ecuaciones lineales tienen

la misma solución cuando sus graficas pasan por el mismo punto.

ii) Cuestionario

Ítem 1

Inciso A

Figura 8

45

La profesora B plantea la ecuación correspondiente para la distancia de cada automóvil a partir

del despeje que realiza de la fórmula de física, y posteriormente iguala ambas ecuaciones. Así,

el símbolo “=” es utilizado como un símbolo de equivalencia entre las ecuaciones que

representan las distancias recorridas, y a su vez, la literal empleada corresponde a los valores

que puede tomar el tiempo según la distancia que se quiera calcular, por tanto, representa un

número generalizado. La solución viene siendo aquel valor que mantiene la igualdad entre las

ecuaciones correspondientes a las distancias recorridas por cada automóvil. La forma de

resolver la ecuación no se especifica, sin embargo, observando la estructura que siguió la

profesora, decimos que su procedimiento para resolver ecuaciones consistió en realizar

operaciones algebraicas, de tal forma que la igualdad planteada no se altere. Concluimos

entonces que la concepción mostrada por la profesora en este inciso es Estructural.

Inciso B

Figura 9

En el inciso A la profesora parte de una fórmula de física para plantear una proporción entre la

distancia recorrida y la velocidad de cada vehículo, de tal forma que el símbolo “=” separa los

datos proporcionados de las operaciones que realiza. La literal es el valor en la fórmula de

física que se desconoce, por lo que representa una incógnita. Resolver la ecuación no implicó

realizar operaciones algebraicas, sino realizar una simplificación aritmética de fracciones. Por

tanto, la concepción que muestra la profesora en este inciso es Operacional.

46

Inciso C

“Emplearía la gráfica trabajando con alumnos de 3° ó 6° semestre de bachillerato, no en el

caso de alumnos de 1° ó 2° semestres, en congruencia con los propósitos oficiales de los

programas actuales de Matemáticas y Física. Una vez que se establezcan de manera oficial en

los objetivos de las RIEMS podría cambiar el enfoque didáctico.”

En este inciso, la profesora no da evidencia del uso de la gráfica proporcionada, o de alguna

otra representación para la resolución del problema. Por otra parte, afirma que el uso de

representaciones gráficas no está contemplado en los objetivos oficiales del plan de estudio,

razón por la cual no la considera apropiada en el planteamiento del problema.

Ítem 2

Inciso A

Figura 10

En este inciso, la profesora considera el contexto inicial del problema, es decir, considera la

deuda inicial que tiene Carla al iniciar el cobro por sus trabajos, como se observa en la

realización de la tabla, donde la deuda inicial está presente en los valores negativos de la

ganancia, asociados a 1, 10 y 15 trabajos.

47

Un detalle importante, es que al llenar la tabla, la profesora planteó una función para describir

el comportamiento de los datos, la cual posteriormente, empleó en la resolución de los incisos

siguientes.

Inciso B

Figura 11

La profesora iguala a cero la función planteada en el inciso A, y resuelve la ecuación

resultante, de modo que el símbolo “=” indica la condición que cumple la función, es decir,

que la ganancia sea igual a cero. La literal empleada es la variable de la función, y representa

el número de trabajos realizados, mientras que la raíz es el cero de la función. En cuanto a la

resolución, consistió en hallar el valor de la variable que satisface la condición indicada en el

problema, es decir, cubrir la deuda. Por lo tanto, la profesora muestra en este inciso una

concepción Funcional.

Inciso D

Figura 12

En este inciso, el signo “=” es remplazado por una desigualdad que representa la condición

que cumple la expresión correspondiente a la ganancia obtenida por cada trabajo realizado, es

48

decir, la ganancia sea mayor a $500. La literal que se maneja representa el número de trabajos

para los cuales la ganancia es mayor a $500, y como la ganancia depende del número de

trabajos realizados, entonces la literal es una variable. La solución de la desigualdad no es un

valor único, sino un conjunto de valores que dan solución al problema planteado, y resolver la

desigualdad implicó realizar operaciones algebraicas para que la desigualdad no se altere. Por

todo lo anterior, la concepción mostrada por la profesora es Funcional.

Inciso E

“Si por que nos ayuda a razonar sobre la manera en que cambian las variables

involucradas.”

En cuanto a la tabla, la profesora afirma que ayuda a razonar sobre la variación presente en los

datos, esto se corrobora en los procedimientos efectuados en los incisos anteriores, ya que ahí

las literales se consideraban variables.

Ítem 3

Figura 13

En el procedimiento que muestra la profesora, el símbolo “=” representa una equivalencia

entre la edad que tendrá Juan en 16 años, y el quíntuplo de la edad que tiene ahora. La literal

que maneja, representa un número generalizado, ya que pueden ser sustituidos valores en la

49

ecuación que se plantea, pero sólo uno hará verdadera la igualdad, el cual es la solución que la

profesora da. Por tanto, la concepción que muestra la profesora en este ítem es Estructural.

Ítem 4

“Todo depende de a qué grupo de estudiantes vaya dirigido el tema de ECUACIONES

LINEALES. (…) El mejor problema depende del PROPÓSITO que se desee alcanzar y en

congruencia con el CONTENIDO TEMÁTICO a abordar en la respectiva asignatura.”

En cuanto al ítem más apropiado, la profesora explica que la elección depende de los objetivos

del programa, siendo su elección para primer semestre el ítem 3. De esta forma la profesora

hace referencia a los objetivos propios del álgebra, y que no se logran en los otros ítems

debido a que se abordan aspectos diferentes a los del álgebra escolar, como el aspecto

geométrico, de física y el uso de tablas.

Tenemos que la profesora resuelve los ítems del cuestionario de dos formas, en la primera

plantea una ecuación y la resuelve por métodos algebraicos, y en la otra, plantea una función,

y a través de esta función llega a la respuesta. La elección del procedimiento parece depender

del tipo de situación presentada, así, al mostrarle una tabla en la que es posible observar

variación entre los datos, la profesora opta por usar funciones. Pero en el caso donde no es

evidente esta variación, la profesora resuelve por medio de ecuaciones lineales.

iii) Entrevista

Al preguntarle sobre las consideraciones que tuvo al contestar la encuesta, la profesora dice:

“Al contestar la encuesta me quede pensando en un grado específico, y respondí viendo cada

pregunta y eligiendo la mejor respuesta, pensando en matemáticas uno, porque hasta después

lo conectamos con la parte de geometría analítica.”

De lo anterior, vemos que la profesora consideró sólo aquellas respuestas que iban acordes a lo

enseñado en matemáticas 1, y da como ejemplo geometría analítica, es decir, que para la

profesora, la ecuación lineal no se ve relacionada con geometría analítica hasta ver esa

asignatura en el tercer semestre de bachillerato. Por otra parte, la profesora dice haber

50

considerado sólo ecuaciones lineales de una incógnita, “ya que las ecuaciones de dos y tres

incógnitas se abordan hasta tercer año”, vemos nuevamente que las respuestas de la

profesora en la encuesta están basadas en lo que deben saber los alumnos en primer año. En

cuanto a la característica representativa de la ecuación lineal, la profesora dice:

“Los alumnos identifican las ecuaciones lineales porque las variables no tienen exponente.”

Es decir, que lo que distingue a una ecuación lineal son sus características algebraicas, el

exponente de grado uno que acompaña a la literal. Con respecto al uso de la gráfica en el ítem

uno, la profesora no la utilizó, ya que como afirma la profesora:

“la grafica es una ayuda en la resolución del problema, pero no es algo que se maneje en

primer año.”.

Observamos de nuevo que la profesora se basa en lo que se enseña en primer semestre para

dar su respuesta, incluso en la realización de los ítems del cuestionario. Ahora, al preguntarle

si utilizo la tabla para resolver el ítem 2, la profesora dice:

“La tabla solamente nos daría la indicación de que son más de 30 trabajos los que necesitan

realizar para obtener esta ganancia, pero de la tabla no podemos directamente contestar,

necesitamos la función lineal.”

Vemos que la profesora cambia el tipo de respuesta que había dado, ya que anteriormente dijo

responder con base en lo que se enseña en primer año, sin embargo, ahora introduce el

concepto de función, el cual no está contemplado en el plan de estudios de primer semestre.

Una explicación a lo anterior, es que la profesora no relaciona el ítem 1 con la ecuación, es

decir, que no considera que el ítem uno sea algo que se pueda resolver con los conocimientos

propios de primer semestre, por lo cual recurre al planteamiento de una función lineal. Por

tanto, la profesora ve como entidades separadas, tanto conceptual como académicamente, a la

ecuación lineal, la función lineal, y la gráfica de la línea recta.

Tenemos entonces que la profesora da prioridad a las características algebraicas de la ecuación

lineal, como el exponente de grado uno, considera solamente ecuaciones lineales con una

literal, la cual juega el papel de incógnita, considera de forma separada la ecuación lineal, la

51

función y la gráfica. Y en general, considera a la ecuación lineal de la forma en que se enseña

en primer semestre, es decir, solamente bajo un enfoque algebraico.

iv) Conclusión

En la encuesta la profesora elige respuestas de la concepción Estructural y Geométrica, sin

embargo en el cuestionario los procedimientos que efectúa corresponde, por una parte, a una

concepción Estructural, y por otra, a una Funcional. Vemos en ambos instrumentos que el

significado de las literales como números generalizados, y el símbolo “=” como símbolo de

equivalencia se mantiene constantes, al igual que el significado atribuido a resolver una

ecuación, el cual implica realizar operaciones algebraicas que no alteren la igualdad entre los

miembros de la ecuación. Sin embargo, en la entrevista se observó que la profesora concibe de

forma separada la ecuación lineal y la función lineal, y muestra una preferencia por las

características algebraicas de la ecuación. Por tanto, la concepción sobre la ecuación lineal de

la profesora B es Estructural.

PROFESORA C

i) Encuesta

La profesora elige en cuatro de las seis preguntas de la encuesta, una respuesta asociada a la

concepción Estructural, en las que considera que al símbolo “=” como un símbolo de

equivalencia entre los miembros de la ecuación, ve a las literales como números

generalizados, siendo la solución aquel valor que hace verdadera la igualdad, y por otra

parte, resolver una ecuación lineal implica realizar operaciones algebraicas que no alteren la

igualdad.

52

ii) Cuestionario

Ítem 1

Inciso A

Figura 14

Se observa que su procedimiento está basado en el planteamiento de una proporción entre las

distancias recorridas y el tiempo de cada vehículo, de tal forma, que el símbolo “=” separa las

operaciones que se realizan con la literal, del resultado que se obtiene al realizar estas

operaciones. La literal es el valor desconocido en la proporción, y por tanto representa una

incógnita, y resolver la ecuación consistió en el despeje de la incógnita, a partir de la

proporción planteada. Por tanto, la concepción que muestra la profesora en este inciso es

Operacional.

Inciso B

Figura 15

No se detalla el procedimiento empleado, pero se puede inferir que la profesora empleó una

regla de tres para hallar la respuesta, ya que la solución que da esta expresada en horas, tanto

en decimales como en fracción, por lo que al momento de hallar la solución se tenía una

fracción, que al simplificar, dio la cantidad que se muestra en horas. El signo “=” por tanto es

53

implícito, y tiene la función de separar las operaciones (división y multiplicación) del

resultado a obtener. Por otra parte, no se utilizan literales, sino que el valor desconocido se

encuentra implícito y el significado que se le da corresponde al de una incógnita, ya que es el

valor que se pretende hallar con la regla de tres. Considerando lo anterior, la concepción de la

profesora en este inciso es Operacional.

Inciso C

“A mi si me gustaría incluir la gráfica ya que sería una forma visual de ver el

comportamiento de los móviles y quedaría más clara la solución.”

El profesor dice que la gráfica ayuda a visualizar el comportamiento de los automóviles, pero

no da evidencia del uso de la gráfica, o de otra representación para la solución de los incisos, y

aunque dice que la gráfica le ayudaría para explicar la situación que se plantea, no podemos

afirmar que su concepción sea Geométrica.

Ítem 2

Inciso A

Figura 16

El contexto en el cual se encuentra el problema no es considerado por la profesora, ya que de

haberlo hecho los datos en la tabla presentarían valores negativos para 1, 10 y 15 trabajos.

54

Inciso B

Figura 17

La profesora no detalla el procedimiento efectuado para hallar la respuesta, pero inferimos que

lo obtuvo aproximando el valor por medio de los datos mostrados en la tabla, ya que en la

entrevista dijo haber realizado una división al ver los datos de la tabla. Siendo así, el papel del

símbolo “=” consiste en separar las operaciones, que en este caso corresponde al número de

trabajos, del resultado a obtener, la ganancia. Asimismo, el uso de literales es implícito, y

representa una incógnita, ya que bajo este proceder, la literal representa un número

desconocido que debe ser hallado, para dar una respuesta. Por tanto, en este inciso la profesora

muestra una concepción Operacional.

Inciso D

Figura 18

La profesora no detalla el procedimiento que realizó para llegar a la respuesta, pero

considerando que en el inciso C dio una regla para calcular la ganancia en función del número

de trabajos (Figura 19), consideramos que utilizó esta regla para hallar el valor solicitado,

sustituyendo el valor correspondiente a la ganancia y despejando la literal.

Figura 19

Siendo así, el símbolo “=” representaría un separador entre las operaciones realizadas, que

corresponde a la regla del inciso C, y el resultado a obtener, el valor indicado de la ganancia.

Asimismo, la literal representaría una incógnita, ya que consiste en aquel valor para el cual, la

ganancia es igual a $500. Por tanto, la concepción que muestra la profesora en este inciso es

Operacional.

55

Inciso E

“Si porque se ve cómo va aumentando la ganancia si aumenta el trabajo.”

La profesora hace referencia a la variabilidad de los datos, y también a la relación que existe

entre las dos variables, aunque estas afirmaciones no se evidencian en los incisos del ítem 2.

Ítem 3

Figura 20

En el procedimiento que muestra la profesora, el símbolo “=” representa una equivalencia

entre la edad que tendrá Juan en 16 años, y el quíntuplo de la edad que tiene ahora. La literal

que maneja, representa un número generalizado, ya que puede sustituir valores en la ecuación

que se plantea, pero sólo uno hará verdadera la igualdad. Por tanto, la concepción de la

profesora en este ítem es Estructural.

Ítem 4

“El último problema porque esta mas relacionado con el álgebra.”

El ítem que selecciona como el más adecuado es el 3, ya que es más apegado al álgebra, lo

cual se refiere a la matemática necesaria para la enseñanza de las ecuaciones lineales, es decir

que este apegado lo más posible al matemática formal y a las reglas del álgebra. En la

entrevista además, dice no haber escogido los otros ítems debido a que no corresponden a lo

manejado en álgebra.

En síntesis, se observa en la resolución mostrada en el inciso A del ítem 1, y en el ítem 3, que

la profesora emplea el símbolo “=” para indicar la equivalencia que hay entre los miembros

de la ecuación, donde las literales representan números generalizados, siendo la solución de la

56

ecuación aquel valor que hace verdadera la igualdad. Por otra parte, en la mayoría de los

ítems del cuestionario la profesora no detalla el procedimiento empleado, por lo cual inferimos

que da prioridad a encontrar la solución y no al procedimiento efectuado, es decir, que ve a la

ecuación como un algoritmo para hallar una respuesta.

iii) Entrevista

Entre los aspectos considerados por la profesora C al responder la encuesta se encuentran los

conocimientos que ella tiene de la ecuación, pero también de las definiciones plasmadas en los

libros. Esto se refleja en la respuesta que da cuando se le cuestiona por cuáles otras respuestas

hubiera elegido: “elegiría aquellas que se presentan en la teoría”, es decir, en los libros. Por

otra parte, cuando se le pregunta si consideró si la ecuación lineal era de una o dos incógnitas,

la profesora dice que:

“dependiendo del texto que te dan, tú tienes que ver si son dos o una, hay gente que trabaja

con una y lo hace bien, pero yo tengo que trabajar con dos, se me hace más fácil”

Con lo anterior la profesora expresa su preferencia, primero en trabajar con ecuaciones

lineales de dos incógnitas, y segundo, en las literales como la característica más representativa

de la ecuación lineal. En cuanto al uso de la gráfica del ítem 1 del cuestionario, la profesora

dice:

“cuando me pedían el tiempo, halle la intersección y luego ya algebraicamente vi que si daba

la respuesta”

Es decir, que aunque se basó de métodos gráficos para hallar la solución, tuvo que recurrir a

un planteamiento algebraico para validar su respuesta. Por otra parte, al cuestionarle sobre el

uso de la tabla, ella nos dice: “hice la tabla, pero no lo relacione con lo demás”. Es decir, no

vinculó la variación que se mostraba en la tabla con las respuestas que le pedían en cada

inciso.

Vemos una inclinación de la profesora por los aspectos teóricos presentes en los libros, y

también en la resolución de una ecuación lineal para la validación de su respuesta, por lo cual

57

considera la ecuación lineal como un concepto fijo y definido por reglas algebraicas, es decir,

muestra una concepción Estructural en sus respuestas.

iv) Conclusión

Tanto en la encuesta como el cuestionario la profesora considera a las literales como números

generalizados, al símbolo “=” como un símbolo de la equivalencia entre los miembros de la

ecuación y a la solución como el valor que hace verdadera a la igualdad. Por otra parte,

aunque en la encuesta y el cuestionario la profesora considera a la ecuación lineal como

algoritmo para encontrar un valor desconocido, en la entrevista se pudo observar una

preferencia por la estructura algebraica de la ecuación que se presenta en los libros, y también

por el uso de ecuaciones y métodos algebraicos para resolver los ítems del cuestionario. Por

tanto, la concepción de la profesora C sobre la ecuación lineal es Estructural.

PROFESOR D

i) Encuesta

En la encuesta, el profesor elige cinco respuestas asociadas a la concepción Estructural, de

modo que considera a la ecuación lineal como un concepto fijo y determinado por reglas

algebraicas, donde el símbolo “=” indica la equivalencia que se da entre los miembros de la

ecuación, las literales representan números generalizados, siendo la solución el valor que hace

verdadera la igualdad y considera que resolver una ecuación lineal implica realizar

operaciones algebraicas que no alteren la igualdad.

58

ii) Cuestionario

Ítem 1

Inciso A

Figura 21

Aquí, el profesor plantea una ecuación, la cual se deriva de igualar las ecuaciones

correspondientes a las distancias recorridas por cada automóvil, y luego resuelve por métodos

algebraicos. El símbolo “=” representa la equivalencia que debe haber en las distancias

recorridas, y por tanto, entre las ecuaciones de cada automóvil, la literal que utiliza, representa

los tiempos en que cada automóvil recorre cierta distancia, por tanto, la literal es un numero

generalizado, y a la vez, la solución es el valor de la literal que mantiene la igualdad entre las

expresiones indicadas. Resolver la ecuación consistió en realizar operaciones algebraicas, las

cuales no alteran la igualdad entre las expresiones. Por tanto, la concepción que muestra el

profesor es Estructural.

Inciso B

Figura 22

En el inciso B, el profesor plantea una regla de tres, a partir de la cual establece una

proporción entre la distancia recorrida y la velocidad de cada vehículo, de tal forma que el

símbolo “=” separa los datos proporcionados de las operaciones que se realizan. La literal es

59

el valor que se desconoce en la regla de tres, por lo que representa una incógnita. Resolver la

ecuación no implicó realizar operaciones algebraicas, sino realizar una simplificación

aritmética de fracciones. Por tanto, la concepción que muestra el profesor en este inciso es

Operacional.

Inciso C

“No en este caso porque podría confundir los valores negativos del tiempo.”

En cuanto al planteamiento gráfico, no considera apropiado el uso de la gráfica, ya que los

valores negativos no forman parte del contexto del problema.

Ítem 2

Inciso A

Figura 23

El contexto en el cual se encuentra el problema no es considerado por el profesor, ya que de

haberlo hecho los datos en la tabla presentaría valores negativos para 1, 10 y 15 trabajos.

Inciso B

Figura 24

El procedimiento empleado en este inciso consiste en el planteamiento de una ecuación lineal,

en la cual, el símbolo “=” es un separador entre la operación realizada a la literal y la

cantidad indicada en el enunciado, es decir, de la deuda que se tiene. La literal es un número

60

fijo y desconocido, con el cual se obtiene el valor deseado, por tanto representa una incógnita.

Resolver esta ecuación significó despejar la incógnita, es decir realizar las operaciones

contrarias a las realizadas en la literal para hallar el valor desconocido. Por tanto, la

concepción que muestra el profesor en este inciso es Operacional.

Inciso D

Figura 25

En el procedimiento mostrado en este inciso, el símbolo “=” representa la equivalencia que se

da entre el número de trabajos y la ganancia que se obtiene, mientras que la literal son los

trabajos que se realizan, y por tanto, representa un número generalizado. La solución de la

ecuación, es el valor para el cual, la expresión correspondiente al número de trabajos es

equivalente a la ganancia, es decir, el valor que hace verdadera la igualdad. Por tanto, la

concepción que muestra el profesor es Estructural.

Inciso E

“Sí, les da una visión de la relación entre el números de trabajos y las ganancias.”

El profesor explica que el uso de la tabla ayuda a visualizar la relación entre la ganancia y el

número de trabajos, lo cual hace referencia a la variación que hay en los datos de la situación

planteada y la relación que se establece entre la ganancia y el número de trabajos.

61

Ítem 3

Figura 26

En el procedimiento que muestra el profesor en este inciso, el símbolo “=” representa una

equivalencia entre la edad que tendrá Juan en 16 años, y el quíntuplo de la edad que tiene

ahora. La literal que maneja representa un número generalizado, ya que pueden ser sustituidos

valores en la ecuación que se plantea, pero solo uno hará verdadera la igualdad. Por tanto, la

concepción del profesor en este ítem es Estructural.

Ítem 4

“El 2 y el 3, en ese orden, porque el 2 los induce a plantear la ecuación; el 3 ya es un poco

mayor su dificultad.”

El profesor E elige los ítems 2 y 3 como los más adecuados para los estudiantes, y hace

referencia al nivel de dificultad, es decir, a la estructura algebraica presente en el ítem 3, la

cual presenta un nivel de dificultad apropiado para su aprendizaje.

En conclusión, considerando los procedimientos efectuados por el profesor en los Ítem 1, 2, y

3, observamos que concibe al símbolo “=” como un símbolo de la equivalencia que hay entre

los miembros de la ecuación lineal, emplea literales como números generalizados, siendo la

solución el valor que hace verdadera a la igualdad, considera además, que resolver una

ecuación lineal significa realizar operaciones algebraicas que no alteren la igualdad del la

ecuación. Por otra parte, en el ítem 4 hace referencia a que la estructura algebraica mostrada a

los alumnos debe ser de un nivel de dificultad lo suficientemente elevado para lograr el

aprendizaje, lo cual nos indica que considera a la ecuación lineal como un concepto fijo y

determinado por reglas algebraicas.

62

iii) Entrevista

Al preguntarle sobre las consideraciones que tuvo al responder la encuesta, el profesor dice lo

siguiente:

“En el enfoque y el tipo de conceptos que manejamos aquí en primer semestre, porque hay

algunos conceptos, como el de funciones que no lo manejamos de esa forma.”

Viendo lo anterior, el profesor concibe a la ecuación y a la función con dos conceptos que no

se relacionan, aunque esto último se debe en parte al programa de estudios con el que labora el

profesor. También se aprecia que considera a la ecuación lineal de la misma forma en que es

vista en primer semestre, es decir, bajo un enfoque puramente algebraico, lo cual concuerda

con lo que dice sobre el uso de la gráfica en el ítem 1: “no había visto la gráfica, resolví la

ecuación sin verla”. Con esto, el profesor da a entender que el uso de la gráfica no fue

necesario, y que se centro únicamente en el planteamiento y resolución algebraica de la

ecuación correspondiente. Algo similar responde sobre el uso de la tabla, pues dice que no se

fijó mucho en ella y planteó directamente la ecuación para responder a los demás incisos. Sin

embargo añade:

“A los muchachos si les puede ayudar (la tabla), sobre todo cuando están iniciando en el

concepto de relaciones para hacer la ecuación, para que vayan visualizando las relaciones

que hay, y puedan hacer el planteamiento de la ecuación.”

Aunque el profesor muestra interés en el uso de la tabla para introducir el concepto de

ecuación, esto solo se queda a nivel de opinión, pues no podemos afirmar que sea así como

inicia sus clases, ya que en el análisis de la libreta no se observó el uso de tablas numéricas.

Concluimos que para el profesor, la idea de ecuación lineal es la misma que la presentada en el

curso de matemáticas de primer semestre, es decir, está basada en aspectos algebraicos,

separada de nociones gráficas, y funcionales, y también vemos una preferencia por métodos de

resolución algebraicos.

iv) Conclusión

63

En conclusión, vemos que en la encuesta y el cuestionario el profesor considera que el símbolo

“=” indica la equivalencia que se da entre los miembros de la ecuación lineal, las literales

representan números generalizados, siendo la solución el valor que hace verdadera la

igualdad, y además, resolver una ecuación lineal implica realizar operaciones algebraicas que

no alteren la igualdad. También observamos por medio de la encuesta y la entrevista, que el

profesor concibe a la ecuación lineal como un concepto fijo y determinado por reglas

algebraicas, y muestra una preferencia por realizar métodos algebraicos para resolver los

ítems del cuestionario. Por tanto, la concepción que tiene el profesor D sobre la ecuación

lineal es Estructural.

PROFESOR E

i) Encuesta

En tres de las preguntas de la encuesta, el profesor elige respuestas asociadas a la concepción

Estructural, de modo que considera a la ecuación lineal como un concepto fijo y determinado

por reglas algebraicas, donde el símbolo “=” indica la equivalencia que se da entre los

miembros de la ecuación, siendo la solución de la ecuación el valor que hace verdadera la

igualdad. Pero en las otras tres preguntas, elige respuestas asociadas a la concepción

Operacional, de tal forma, que las literales representa incógnitas, cuyo valor debe ser hallado

empleando procedimientos que no necesariamente involucren reglas algebraicas, y considera

además, que dos ecuaciones lineales tienen la misma solución cuando al resolver cada una, el

resultado es el mismo.

ii) Cuestionario

Ítem 1

Inciso A

Figura 27

64

El profesor no detalla el procedimiento empleado para hallar la respuesta, sin embargo en la

entrevisto dijo haber construido una gráfica para hallar la solución, pero que después planteó y

resolvió una ecuación. No obstante, no dio más detalles acerca de la resolución de esta

ecuación.

Inciso B

Figura 28

No se detalla completamente el procedimiento empleado, pero se puede inferir que empleó

una regla de tres para hallar la respuesta, ya que por una parte, fue el procedimiento más usual

que utilizo en el cuestionario, y por otra, la solución esta expresada como una fracción de

hora, por lo que al momento de hallar la solución tenía un cociente, que al simplificar dio esa

cantidad. Considerando lo anterior, el signo “=” está implícito, y tiene la función de separar

las operaciones (división y multiplicación) del resultado a obtener. Por otra parte, no se

utilizan literales, sino que el valor desconocido se encuentra implícito y el significado que se

le da corresponde al de incógnita, ya que es el valor que se pretende hallar con la regla de tres.

Considerando lo anterior, la concepción de la profesora en este inciso es Operacional.

Inciso C

“Si por que facilita su comprensión y resolución.”

Aunque el profesor dice que la gráfica facilita la resolución, en los incisos del ítem 1 no da

evidencia del uso de la gráfica proporcionada, o de otro apoyo gráfico o geométrico.

65

Ítem 2

Inciso A

Figura 29

El contexto en el cual se encuentra el problema no es considerado por el profesor E, ya que de

haberlo hecho los datos en la tabla presentaría valores negativos para 1, 10 y 15 trabajos.

Inciso B

Figura 30

El no detalla el procedimiento efectuado para hallar la respuesta, pero en la entrevista dijo

haber planteado una función, y a partir de esta utilizó una regla de tres para hallar la solución.

Siendo así, el papel del símbolo “=” consiste en separar las operaciones, que en este caso

corresponde al número de trabajos, del resultado a obtener, la ganancia. Asimismo, el uso de

literales es implícito, y representa una incógnita, ya que bajo este proceder, la literal

representa un número desconocido que debe ser hallado, para dar una respuesta.

Inciso D

Figura 31

66

En este inciso, el profesor no detalla el procedimiento realizado para llegar a la respuesta, pero

considerando que en el inciso C dio una regla para calcular la ganancia en función del número

de trabajos (Figura 32), consideramos que utilizó esta regla para hallar el valor solicitado,

sustituyendo la ganancia indicada y despejando el número de trabajos.

Figura 32

Siendo así, el símbolo “=” representaría un separador entre las operaciones realizadas, que

corresponde a la regla del inciso C, y el resultado a obtener, el valor indicado de la ganancia.

Asimismo, la literal representaría una incógnita, ya que consiste en aquel valor fijo y

desconocido, para el cual la ganancia es igual a $500. Por tanto, la concepción que muestra el

profesor en este inciso es Operacional.

Inciso E

“Si porque se puede obtener la regla con mayor facilidad.”

El profesor hace énfasis en la obtención de la regla, haciendo referencia a la regla de tres, lo

cual nos indica que concibe a la ecuación como un algoritmo que sirve para obtener valores

desconocidos, lo cual corresponde a una concepción Operacional.

Ítem 3

Figura 33

67

En el procedimiento que muestra el profesor, el símbolo “=” representa una equivalencia entre

la edad que tendrá Juan en 16 años, y el quíntuplo de la edad que tiene ahora. La literal que

maneja representa un número generalizado, ya que pueden ser sustituidos distintos valores en

la ecuación que se plantea, pero solo uno hará verdadera la igualdad, el cual es la solución que

el profesor da. Así, el profesor muestra una concepción Estructural.

Ítem 4

“El No 3, porque en este problema se plantea el uso del lenguaje algebraico y la resolución

algebraica de una ecuación.”

En cuanto al ejercicio más apropiado, el profesor dice el número 3, porque resalta el aspecto

formal de la matemática (lenguaje algebraico) y los métodos y reglas algebraicos. En la

entrevista dijo no haber elegido los otros ítems debido a que no corresponden a los criterios de

evaluación de Matemáticas 1, asignatura en la que se aborda ecuación lineal.

En conclusión, tenemos que el profesor E parece emplear la regla de tres en alguno incisos de

los ítems 1 y 2, y además, en el inciso A del ítem 1 y los incisos B y D del ítem 2, da prioridad

al resultado, y no al procedimiento empleado para llegar a él. De esta forma, el papel del

símbolo “=” consiste en separar las operaciones del resultado que se quiere obtener.

Asimismo, la literal representa una incógnita, pues consiste en el número desconocido que

debe ser hallado para dar una respuesta. También tenemos que en el ítem 3, plantea una

ecuación lineal y la resuelve por métodos algebraicos, mientras que en el ítem 4 resalta el

aspecto formal de la matemática (lenguaje algebraico) y la resolución algebraica de

ecuaciones.

iii) Entrevista

Al preguntarle al profesor sobre las consideraciones que tuvo al responder la encuesta, el dice

que se basó en los conceptos básicos, y que no se fue más allá porque prefiere trabajar con lo

más sencillo, lo cual se confirma cuando responde que “buscaría otra posible respuesta que

también sea sencilla”, cuando se le pregunta cuál otra opción hubiera elegido. Por otra parte,

68

el profesor consideró únicamente una ecuación lineal con una incógnita, y además, considera

que la característica representativa de la ecuación lineal es:

“el hecho de tener una incógnita, y a la vez, considerar que la ecuación lineal su gráfica es

una línea recta”.

Es decir, que lo más sobresaliente de la ecuación lineal, es el valor desconocido. Al

preguntarle sobre el uso de la gráfica en el ítem 1 del cuestionario, el profesor dice que:

“la gráfica es uno de los elementos indispensables para la interpretación de ciertos

problemas, no todos los problemas pueden representarse por una gráfica, pero los que hayan

necesidad yo creo que los muchachos deben de trazar gráficas”

También menciona que al resolver el ítem 1 del cuestionario construyó una gráfica sin ver la

presentada en el cuestionario, pero también aclara que luego de hallar la respuesta resolvió

algebraicamente para comprobar su respuesta. En cuanto al uso de la tabla, el profesor dice

que le sirvió para “establecer una función, y en base a la función, una regla de tres”. Por

tanto, aunque utilizó los datos de la tabla para plantear una función lineal, finalmente resolvió

por medio de una regla de tres, y no usando la función.

Podemos observar que el profesor no emplea la expresión algebraica de la ecuación lineal, ya

que recurre a otros métodos como graficación y regla de tres, sin embargo, el uso de gráficos,

según lo dicho por el profesor, es para la validación del resultado obtenido. Por otra parte,

considera las literales como incógnitas, ya que son los valores desconocidos de la ecuación

que deben ser hallados.

iv) Conclusión

En síntesis, observamos que en la entrevista, la encuesta y el cuestionario, el profesor

considera a las literales como incógnitas, considera que resolver una ecuación lineal no

necesariamente involucra métodos algebraicos. Esto último se ve de forma clara en la

entrevista, donde le profesor dice usar gráficas y regla de tres para resolver los ítems del

cuestionario, aunque aclara que las gráficas la utiliza para la verificación del resultado. Por

otra parte, aunque en la encuesta y el cuestionario el profesor enfatiza en las reglas algebraicas

69

de la ecuación lineal, en la entrevista vemos que prefiere manejar los conceptos más sencillos,

y consideramos que con esta afirmación el profesor hace referencia al uso de la regla de tres,

ya que es el método que el profesor parece utilizar con mas frecuencias en los ítems del

cuestionario. Por tanto, la concepción de la ecuación lineal del profesor E es Operacional.

PROFESORA F

i) Encuesta

En tres preguntas de la encuesta, la profesora elige respuestas asociadas a la concepción

Estructural, de modo que considera a la ecuación lineal como un concepto fijo y determinado

por reglas algebraicas, donde el símbolo “=” indica la equivalencia que se da entre los

miembros de la ecuación, siendo la solución el valor que hace verdadera la igualdad. En otras

dos preguntas, elige respuestas asociadas a la concepción Geométrica, de tal forma, que

considera que resolver una ecuación lineal significa hallar el punto donde la gráfica de dos

rectas se cortan, y que dos ecuaciones lineales tienen la misma solución cuando sus graficas

se intersecan en el mismo punto.

ii) Cuestionario

Ítem 1

Inciso A

Figura 34

En el inciso A, la profesora utiliza proporciones para hallar la respuesta, de manera que

compara las velocidades de cada vehículo con la intención de hallar el tiempo en que las

70

distancias recorridas son iguales. De esta forma, el signo “=” es utilizado de manera implícita,

y sirve para separar el tiempo evaluado, de la distancia que se obtiene al efectuar las

operaciones adecuadas, es decir, que el signo “=” sirve para separar las operaciones a realizar

del resultado a obtener. Aunque no emplea literales en su procedimiento, el tiempo, que es el

valor solicitado, representa un número generalizado, ya que es sustituido para hallar la

distancia que corresponde a ese tiempo. La solución hallada representa aquel valor que se

desconocía, mientras que el procedimiento efectuado por la profesora consistía en hallar un

valor desconocido. En cuanto al significado de resolver una ecuación lineal, este consistió en

realizar operaciones sin recurrir a expresiones algebraicas. Asimismo, al realizar su

procedimiento con ambos vehículos, se está considerando que dos ecuaciones lineales tienen

la misma solución cuando al resolverlas se obtienen el mismo resultado. Por tanto, la

concepción que la profesora muestra en el inciso A es Operacional.

Inciso B

Figura 35

En este incisO el procedimiento efectuado por la profesora se deriva de una fórmula de física,

sin embargo, la forma de emplear esta fórmula es por medio de una proporción, ya que el

despeje de la variable tiempo la realiza luego de sustituir los datos proporcionados, de tal

forma, que el símbolo “=” separa los datos proporcionados de las operaciones que se

realizan. La literal es el valor de la fórmula de física que se desconoce, por lo que representa

una incógnita. Resolver la ecuación no implicó realizar operaciones algebraicas, sino realizar

71

una simplificación aritmética de fracciones. Por tanto, la concepción que muestra la profesora

en este inciso es Operacional.

Inciso C

“No porque no corresponde a la tabular del inciso A).”

Consideramos que la profesora realizó un análisis de la gráfica que se le proporcionó, pero al

encontrar que este análisis es distinto al que realiza en el inciso A, opta por no emplear la

gráfica, ya que al parecer tiene mayor confianza en el procedimiento que empleó, el cual fue

de tipo Operacional.

Ítem 2

Inciso A

Figura 36

El contexto en el cual se encuentra el problema no es considerado por la profesora F, ya que

de haberlo hecho los datos en la tabla presentaría valores negativos para 1, 10 y 15 trabajos.

Inciso B

Figura 37

72

La respuesta que da la profesora es 20, que corresponde al primer valor en la tabla que

presenta una ganancia mayor a la deuda. De esto inferimos que su concepción tiene una

orientación a lo Operacional, ya que la profesora se basó en la tabla, y no en una ecuación para

dar la respuesta. Siendo así, el papel del símbolo “=” consiste en separar las operaciones, que

en este caso corresponde al número de trabajos, del resultado a obtener, la ganancia.

Asimismo, el uso de literales es implícito, y representa una incógnita, ya que bajo este

proceder, la literal representa un número desconocido que debe ser hallado, para dar una

respuesta. Considerando lo anterior, la profesora muestra en este inciso una concepción

Operacional.

Inciso D

Figura 38

El profesor no detalla el procedimiento que realizó para llegar a la respuesta, pero inferimos

utilizó la los datos que se presentan en la tabla para aproximar el número de trabajos

necesarios para alcanzar los $500 indicados. Siendo así, el papel del símbolo “=” consiste en

separar las operaciones que realizan con el número de trabajos, del resultado a obtener, que

corresponde a la ganancia. Asimismo, el uso de literales es implícito, y representa una

incógnita, ya que bajo este proceder, la literal representa un número desconocido que debe ser

hallado, pues se requiere para dar una respuesta.

Figura 39

73

Consideramos que se baso de la tabla y no de la regla que se le pidió en el inciso C (Figura

39), ya que al resolver el inciso de esta forma, el resultado sería distinto al presentado por la

profesora. Por tanto, la concepción que muestra la profesora en el inciso D es Operacional.

Ítem 3

Figura 40

En el procedimiento que se muestra, el símbolo “=” representa una equivalencia entre la edad

que tendrá Juan en 16 años, y el quíntuplo de la edad que tiene ahora. La literal que maneja,

representa un número generalizado, ya que pueden ser sustituidos distintos valores en la

ecuación que se plantea, pero solo uno hará verdadera la igualdad, el cual es la solución que el

profesor da. Por tanto, la concepción que muestra el profesor es Estructural.

Ítem 4

“El 2 porque es mas aplicativo a la vida cotidiana y laboral”

En la elección del ejercicio más adecuado, la profesora considera que es el número 2, ya

permite vincular la matemática con situaciones de la vida diaria, y según la profesor no eligió

los otros dos debido a que “son un poco ajenos a la realidad del estudiante”

Tenemos que en el ítem 3, el procedimiento empleado por la profesora corresponde a una

concepción Estructural, no obstante, emplea la tabla para aproximar la solución del inciso B y

D del ítem 2, y además da prioridad al resultado y no al procedimiento efectuado. Por otra

parte, considerando el procedimiento utilizado en el ítem 1, vemos que la profesora utiliza el

símbolo “=” para separar las operaciones que se realizan a la literal, del resultado que se

desea obtener, las literales representan incógnitas cuyo valor es fijo pero desconocido, y

74

resolver una ecuación lineal implica realizar operaciones que no son necesariamente basadas

en reglas algebraicas.

iii) Entrevista

La profesora dice que para responder a la encuesta se basó en la experiencia que tiene y en la

teoría que se presenta en los libros, y así “tener un lenguaje más apropiado, y que me entienda

mejor el alumno.” Sin embargo, hay una preferencia en la profesora por la teoría que

presentan los libros, lo cual se observa en la siguiente afirmación que da al preguntarle sobre

qué otras opciones hubiera elegido:

“Si me voy a lo general puede ser una respuesta, y si me voy a los especifico seria otra, (…) y

finalmente me decidí por lo mas general.”

Se observa que la profesora prefiere trabajar con aspectos generales de la ecuación lineal, los

cuales son presentados comúnmente en los libros. Cuándo se le preguntó si había considerado

ecuaciones lineales con dos incógnitas, la profesora dijo: “Bueno, son ecuaciones lineales con

una incógnita.”, con lo cual deja entender que en ningún momento consideró esa posibilidad,

y que por tanto se siente más cómoda trabajando con ecuaciones lineales con una incógnita.

Por otra parte, al cuestionarle a la profesora sobre la característica que distingue a una

ecuación lineal, ella dice:

“Su resultado gráfico, es lo más común, porque un alumno puede ver al graficar, si su

ecuación es correcta o no.”

Se observa que la profesora tiene en consideración el aspecto gráfico, y también que lo

relaciona con la solución de una ecuación, sin embargo, llama la atención el énfasis que la

profesora hace en la comprobación de la respuesta, más que en la ayuda que la gráfica pueda

brindar al planteamiento de la ecuación o en hallar la solución. Es decir, la profesora da

prioridad no tanto al método que se utilice, sino al resultado que se obtenga, el cual debe ser

correcto, con lo cual, la ecuación es un método para hallar valores desconocidos, y la gráfica

una ayuda para la comprobación de la respuesta. Lo anterior queda confirmado en la respuesta

que la profesora da sobre el uso de la gráfica del ítem 1 del cuestionario:

75

“Por lo general cuando estas resolviendo un ejercicio, la respuesta correcta la puedes

visualizar en una gráfica.”

Aunque también indica que no utilizó la gráfica proporcionada debido a que “no era el caso”,

es decir, que no era necesario el uso de la gráfica. Con respecto al uso de la tabla, la profesora

responde lo siguiente:

“Si, al hacer la tabla primero, te queda perfectamente descrita la lógica de toda la

matemática, y al momento de contestar los otros incisos es donde puedes plantear ya una

ecuación, en base a la tabla. En el inciso D, aquí es donde me dice, ganar al menos $500, por

medio de la tabla le pude dar un seguimiento hasta llegar a 61 trabajos, cuando aquí llega a

30, puedo hacer un cálculo.”

Vemos aquí dos ideas expresadas, primero, la del uso de la tabla para el planteamiento de una

ecuación lineal, y otra, el uso de la tabla para un estimación del resultado. La profesora optó

por la segunda en la resolución del ítem, con lo cual la profesora pretende hallar un número

desconocido, una incógnita, para lo cual se apoya en la tabla, de tal forma, que el símbolo “=”

separa el resultado de las operaciones que la profesora realiza con los datos de la tabla.

Tenemos entonces que la profesora se basa en su experiencia para contestar la encuesta,

aunque más en lo escrito en los libros, da prioridad a la comprobación de la solución hallada,

es decir ve a las literales como incógnitas, y a la solución como el valor desconocido, por lo

que comprobar que ése valor es el correcto es parte fundamental de la resolución de una

ecuación. También observamos que recurre a métodos no propios del álgebra para hallar la

solución a los ítems.

iv) Conclusión

Aunque en la encuesta la profesora elige respuestas asociadas a la concepción Estructural, en

el cuestionario y en la entrevista podemos observar que maneja con significado diferente a los

elementos de la ecuación lineal. Así, considera al símbolo “=” como un separador, es decir,

separa las operaciones realizadas a la literal del resultado que se espera obtener, las literales

representan incógnitas, cuyo valor es fijo y desconocido, y resolver una ecuación implica

realizar operaciones que pueden ser distintas a las algebraicas. Por otra parte, en el

76

cuestionario y la entrevista, la profesora enfatiza en el resultado que se debe obtener, y no al

procedimiento utilizado, razón por la cual, considera el uso de tablas y gráficas para la

comprobación del resultado. Por tanto, la concepción sobre la ecuación lineal de la profesora

F es Operacional.

PROFESOR G

i) Encuesta

En las preguntas de la encuesta el profesor elige en su mayoría respuestas relacionadas con la

concepción Geométrica, de tal forma, que considera la ecuación lineal como un lugar

geométrico, a las literales como variables que representan puntos en el plano cartesiano, el

símbolo “=” indica la condición que cumplen esos puntos, siendo la solución las coordenadas

de un punto del plano, o bien el valor de la abscisa de un punto especifico, y además, dos

ecuaciones lineales tienen la misma solución cuando la gráfica de las rectas correspondientes

se intersecan en el mismo punto, o tienen la misma abscisa para un valor determinado de la

ordenada.

ii) Cuestionario

Ítem 1

Inciso A

Figura 61

77

Aquí el profesor plantea un sistema de ecuaciones lineales, y luego procede a resolver por el

método de suma y resta. Posiblemente el profesor haya optado por un sistema de ecuaciones

debido al inciso C, en donde se muestra la gráfica de las rectas asociadas a la distancia

recorrida por cada automóvil. De ser así, la literal empleada seria una variable, que

corresponde a los valores de la abscisa es la gráfica, y las distancias recorridas por los

vehículos A y B las ordenadas de cada recta. El símbolo “=” indicaría la relación que se

presenta entre la distancia recorrida y el tiempo, es decir, la relación entre la abscisa y la

ordenada. La solución del sistema correspondería al tiempo para el cual, las distancias

recorridas por cada automóvil es la misma, lo que en la gráfica representa el punto de corte de

las dos rectas. Por tanto, la concepción que muestra el profesor G es Geométrica.

Inciso B

Figura 62

El profesor no termina de resolver este inciso, sin embargo, podemos observar que halla el

valor de la literal (tiempo de A), que cumple con la condición indicada en el enunciado (haber

recorrido 45 Km), por otra parte, toma la misma ecuación planteada en el inciso A, de tal

forma que se hace referencia al valor de la abscisa cuando la ordenada es 45 km, con lo cual,

el símbolo “=” señala la condición entre el tiempo y la distancia.

Inciso C

“En general, el uso de incógnitas con la física (velocidades) complica la definición de

distancia y tiempo al igualar las distancias y tiempos.”

Al preguntarle si incluiría la gráfica, el profesor explica la dificultad que tuvo al trabajar con

variables de física, no menciona sin embargo a la gráfica, es decir, no habla a favor o en contra

78

del uso de la gráfica. No obstante, se podría considerar que el profesor se apoyo en la gráfica

para resolver los incisos del ítem 1, y de esa forma ayudarse para definir los parámetros de

distancia y tiempo que menciona, es decir, para el planteamiento de las ecuaciones y del

sistema de ecuaciones utilizados.

Ítem 2

Inciso A

Figura 63

El contexto en el cual se encuentra el problema no es considerado por el profesor G, ya que de

haberlo hecho los datos en la tabla presentaría valores negativos para 1, 10 y 15 trabajos.

Inciso B

Figura 64

En este inciso el profesor da primero una aproximación de la respuesta, que corresponde al

valor de la tabla a partir del cual la ganancia comienza a ser mayor que la deuda. Sin embargo,

luego da el valor exacto por medio de una división aritmética. En ambos procedimientos, el

papel del símbolo “=” consiste en separar las operaciones, que en este caso corresponde al

número de trabajos, del resultado a obtener, la ganancia. Asimismo, el uso de literales es

implícito, y representa una incógnita, ya que bajo este proceder, la literal representa un

79

número desconocido que debe ser hallado, para dar una respuesta. Por tanto, la concepción

que muestra el profesor en este inciso es Operacional.

Inciso D

Figura 65

El profesor afirma que la respuesta puede deducirse de algunos valores de la tabla, y señala la

operación aritmética con la que se obtendría el resultado, sin embargo la respuesta la da a

partir de una ecuación que plantea y resuelve despejando la literal. De esta forma, se está

utilizando a la ecuación para comprobar los resultados obtenidos por otros procedimientos.

Siendo así, el símbolo “=” separa la operación que se realiza a la literal, de la cantidad que se

indica, es decir de la deuda que se tiene. La literal viene siendo un número fijo y desconocido,

con el cual se obtiene el valor deseado, por tanto representa una incógnita. Resolver esta

ecuación, significó despejar la incógnita, es decir realizar las operaciones contrarias a las que

se realizan en la literal para hallar el valor desconocido. Por tanto, la concepción que muestra

en este inciso es Operacional.

Inciso E

“Al menos por dos razones, primero determinar el patrón o secuencia de los datos y la

ecuación. Segundo, comprobar o calcular por operaciones aritméticas las incógnitas.”

El profesor al decir que la tabla permite determina un patrón o secuencia, hace referencia a la

obtención de una regla para el cálculo de los valores desconocidos, y también dice que la tabla

permite calcular, o comprobar, por operaciones aritméticas el resultado, es decir que no es

necesario el uso de métodos algebraicos para resolver el ítem.

80

Ítem 3

Figura 66

En el procedimiento que muestra el profesor, el símbolo “=” representa una equivalencia entre

la edad que tendrá Juan en 16 años, y el quíntuplo de la edad que tiene ahora. La literal que

maneja representa un número generalizado, ya que pueden ser sustituidos valores en la

ecuación que se plantea, pero sólo uno hará verdadera la igualdad, el cual es la solución que el

profesor da, sin embargo, no especifica el procedimiento que realizó para hallar la respuesta.

Tenemos entonces, que la concepción que muestra el profesor es Estructural.

Ítem 4

“El segundo, si hablamos de ecuaciones lineales presenta ó propone un razonamiento

adecuado para su definición. Además, permite contextualizar la matemática. Sin embargo, la

primera y tercera no induce a un razonamiento hacia la noción de ecuación lineal.”

Lo dicho por el profesor en este ítem resalta la estructura matemática de la ecuación, ya que

habla de su definición y la inducción a la idea de ecuación lineal. Llama la atención que no

elija el ítem 1 porque no induce a la idea de ecuación, lo cual puede deberse al contexto en el

cual se plantea la situación del ítem 1, que involucra conceptos de física como las velocidades

de vehículos. Esto nos sugiere que el profesor no eligió el ítem 1 debido a que este es más

apegado a la física, y no al álgebra.

Se observa que el profesor G emplea procedimientos distintos según la situación que se le

presente, así, en ítem 1 emplea razonamientos geométricos, al considerar un sistema de

ecuaciones y el punto de intersección de las rectas mostradas en la gráfica del inciso C,

mientras que en el ítem 2, usa la aritmética y los datos proporcionados en la tabla para tener

81

una primera idea de la solución, pero plantea ecuaciones para justificar su respuesta. Vemos

además que en el inciso C del ítem 1, el profesor expresa la dificultad de definir los

parámetros para resolver el ítem, debido al uso de conceptos de física, como velocidades y

tiempo, considerando lo anterior, inferimos que el profesor se baso de la gráfica para plantear

el sistema de ecuaciones lineales del inciso A, por lo cual considera las literales como

variables que representan puntos en el plano cartesiano, el símbolo “=” indicaría la condición

que cumplen esos puntos, siendo la solución las coordenadas de un punto del plano, o bien el

valor de la abscisa de un punto específico.

iii) Entrevista

Al preguntarle sobre los aspectos que consideró al contestar la encuesta, el profesor dice:

“En criterios personales, no son textuales de los libros, (…) para mí la ecuación es algo mas

y me casa mucho con lo que tu propones en la opción numero 4, a eso voy, cuando yo conteste

la encuesta estaba pensando en mi no en los estudiantes.”

Es decir, que la respuesta que dio el profesor es fruto del razonamiento y de los conocimientos

que el profesor posee, es decir, su concepción sobre la ecuación lineal. En lo referente a la

característica más representativa de la ecuación lineal, el profesor dice:

“Te refieres a la diferencia entre los demás lugares geométricos, (…) yo lo haría de dos

maneras, uno vamos a decir sus reglas algebraicas por ejemplo exponente uno, la otra que yo

podría decir es la interpretativa, ó sea, lo que significa la ecuación lineal, en este caso para

mí significa una razón de cambio.”

En el párrafo anterior observamos el énfasis que el profesor da a la interpretación gráfica de la

ecuación lineal, ya que empieza por comparar lugares geométricos, pero también menciona la

razón de cambio, lo cual inferimos se refiere a la pendiente de las rectas que representan las

ecuaciones lineales, ya que anteriormente relacionó la ecuación lineal con su representación

gráfica. Al preguntarle sobre el uso de la gráfica para resolver el ítem 1 del cuestionario, el

profesor dice:

82

“Para ese ejercicio yo no la emplearía, porque habría un poco de confusión entre la

trayectoria del automóvil y la relación entre los datos, ó sea, no es lo mismo la relación entre

los datos y la trayectoria del vehículo, (…) lo que intentamos relacionar en una ecuación

lineal son los datos, no representar el movimiento visible de los objetos, por eso yo no

utilizaría este gráfica.”

Con esto el profesor enfatiza en el uso de las gráficas para mostrar la relación entre variables,

aspecto que vuelve a mencionar cuando se le pregunta por el uso de la tabla:

“Para reconocer algún patrón, una regla, una consecución de datos, (…) la tabla nos permite

dar una descripción discreta de lo que posiblemente podría ser la verdadera relación, que es

la ecuación lineal.”

Tenemos entonces que el profesor relaciona la ecuación lineal con lugares geométricos, en

particular, con la gráfica de la línea recta, y también ve a la ecuación como una relación entre

variables, es decir, como una razón de cambio.

iv) Conclusión

Se observa por lo contestado en la encuesta, y en los procedimientos efectuados en el

cuestionario, que el profesor concibe a la ecuación lineal como un lugar geométrico, en el cual

las literales son consideradas variables que representan puntos del plano, y el símbolo “=” es

el que indica la relación que se da entre estos puntos y la solución de la ecuación lineal es

concebida como un punto del plano, o bien, la abscisa de un punto determinado. Lo dicho

anteriormente se refleja en las respuestas que plantea en la entrevista, donde enfatiza en la

relación entre variables que la gráfica permite observar. Por tanto, la concepción sobre la

ecuación lineal del profesor G es Geométrica.

En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos sobre concepciones, de tal forma,

que se colocará la letra inicial de la concepción identificada en cada instrumento e indicador,

es decir, si la letra es una O, corresponde a la concepción Operacional, si aparece una E,

corresponde a la concepción Estructural, una F para la concepción Funcional, y por último,

una G para la concepción Geométrica.

83

Tabla 3: Resultados de Concepciones

Significado de ecuación lineal

Significado del símbolo “=”

Significado de las literales

Significado de la solución

Significado de resolver una

ecuación lineal CONCEPCIÓN

En

cu

est

a

Cu

est

ion

ari

o

En

trev

ista

En

cues

ta

Cues

tion

ario

En

trev

ista

En

cues

ta

Cues

tion

ario

En

trev

ista

En

cues

ta

Cues

tion

ario

En

trev

ista

En

cues

ta

Cues

tion

ario

En

trev

ista

A G G G G G G G G G G G G G E G Geométrica

B G E E E F E E F O G E O E E E Estructural

C O O E E E E E E O E E O E O E Estructural

D E E E E E E E E E E E E E E E Estructural

E E O O E O O O O O E O O O O O Operacional

F E O E E O O O O O E O O G O O Operacional

G G E G G G G G G G G G E E E E Geométrica

Ind

icad

ore

s

Profesor

84

4.2 Resultados Tratamiento

La información correspondiente al tratamiento otorgado a la ecuación lineal fue recaba

mediante la utilización de tres instrumentos: apuntes de clase de un alumno, los libros

utilizados por el profesor y una entrevista. En este apartado se exponen los resultados

obtenidos a partir de dichos instrumentos, así como el análisis realizado con base en las

tendencias didácticas y en los indicadores de cada una: la metodología, el enfoque, los

procesos de enseñanza, los registros de representación y los ejercicios. Primeramente se

exponen los resultados del análisis de los libros, y a continuación los resultados por profesor,

mostrando en cada uno el análisis correspondiente a cada instrumento.

4.2.1 Resultados de los libros

A continuación se presentan los resultados sobre el tratamiento dado a la ecuación lineal,

obtenidos a partir del análisis de los libros utilizados por los profesores para la enseñanza del

concepto ecuación lineal, este análisis se basó en los indicadores de las tendencias didácticas:

metodología, enfoque, proceso de enseñanza, registros de representación y ejercicios.

Asimismo, en la siguiente tabla se detalla el nombre y los autores de los libros analisados, así

como la clave utilizada para referirse a cada uno.

Clave Descripción

Libro 1 Nombre: Matemáticas 1

Autor: Peraza, José; Pinzón, José; Salazar, Joaquín

Libro 2 Nombre: Guía didáctica de las matemáticas 1

Autor:

Libro 3 Nombre: Algebra

Autor: Baldor, Aurelio

Tabla 4: Asignación de nombre clave los libros

85

LIBRO 1

Figura 67

Figura 68

El capítulo dedicado a las ecuaciones comienza con una actividad propuesta al estudiante

(Figura 67), con la cual se pretende llegar a la noción de ecuación equilibrando el peso de una

balanza, para después establecer de forma algebraica la ecuación correspondiente (Figura 68).

Por medio de esta actividad, el alumno puede desarrollar habilidades de razonamiento, ya que

se encuentra ante un problema para el cual no tiene una solución construida, sino que a través

de la reflexión se llega a la noción de equilibrio, que posteriormente se formaliza.

Figura 69

Figura 70

86

Luego, el autor menciona sobre valores desconocidos en una ecuación, a los cuales hace

referencia como sinónimo de variables (Figura 69), ya también da una definición para

ecuación lineal (Figura 70). Observamos que esta definición no es presentada al inicio, sino

después de trabajar con la noción de ecuación por medio del equilibrio de la balanza.

Figura 71

Después, el autor dedica una sección de ejercicios a la ecuación, siendo algunos sobre la

ecuación lineal (Figura 71). Es de destacar que estos ejercicios no son de resolver la ecuación

correspondiente, sino que algunos tienen por objetivo identificar los elementos de la ecuación,

determinar si la expresión mostrada es o no ecuación, entre otros.

Figura 72

87

Posteriormente, el autor retoma la actividad planteada al inicio del capítulo (Figura 72) para

mostrar el procedimiento para resolver ecuaciones lineales enteras, haciendo énfasis en la

transposición de términos y en la conservación de la igualdad.

Figura 73

Más adelante, el autor muestra un esquema donde propone un proceso para resolver problemas

utilizando las matemáticas, explica cada paso y luego lo relaciona con la resolución de

ecuaciones (Figura 73). También hace énfasis en la utilidad de la traducción de enunciados a

expresiones matemáticas, y muestra un ejemplo donde se aplica el proceso propuesto por el

autor.

Figura 74

Luego, el autor aborda ecuaciones lineales con dos incógnitas por medio de un problema

(Figura 74), con el cual va construyendo la idea de solución de este tipo de ecuaciones, para

después mostrar la forma de resolver estas ecuaciones.

88

Tenemos entonces que la metodología que sigue el libro se basa en la resolución de

problemas, ya que cada apartado del capítulo comienza con un problema inicial, para el cual el

alumno no tiene un método establecido para resolver, y a partir del cual se van desarrollando

los conceptos necesarios para la solución del problema. Al mismo tiempo, estas actividades

permiten desarrollar en el estudiante habilidades de razonamiento y comprensión, que le

permitan encontrar la respuesta buscada. En el enfoque de enseñanza, se busca la

identificación de las características de la ecuación lineal, para después formalizar estas

nociones por medio de la explicación del autor. El registro de representación que maneja el

autor es principalmente algebraico, aunque también maneja el numérico y visual en ciertos

momentos, logrando transitar entre uno y otro por medio del planteamiento de las ecuaciones

y la interpretación de la solución. Por otra parte, el aprendizaje no recae únicamente en los

ejercicios, sino que estos desempeñan el papel de descubrimiento y consolidación, ya que

primero sirven para identificar características de la ecuación, y después para formalizar el

aprendizaje realizado.

LIBRO 2

Figura 75

Al inicio del capítulo dedicado a la ecuación, se plantean preguntas al estudiante en las que se

relacionan algunos conocimientos previos, como la solución de ecuaciones, su relación con

funciones, entre otras (Figura 75). Estas preguntas permiten al estudiante recordar nociones

vistas anteriormente, antes de entrar al tema en cuestión.

89

Figura 76

Después, el autor define algunos términos, como igualdad y ecuación (Figura 76). De esta

forma, se prepara al alumno para el estudio de las ecuaciones mostrándole la teoría, luego de

haber recordado al inicio del capítulo algunos conceptos.

Figura 77

Luego, se muestran ejemplos de ecuaciones lineales, en los que se detallan los pasos a seguir

en su resolución (Figura 77). Llama la atención que incluso se presenta el ejemplo en una

tabla, indicando el paso ejecutado con palabras y también con símbolos algebraicos, siendo

que no necesariamente se debe resolver una ecuación en un orden específico. Es decir, el autor

da mucha importancia al procedimiento que se efectúa, el cual debe estar detallado y seguir las

reglas del álgebra antes mencionadas.

90

Figura 78

Posteriormente, el autor dedica una sección a los ejercicios (Figura 78), en los cuales indica

que servirán para resolver ecuaciones, con lo cual da a entender que el aprendizaje de las

ecuaciones lineales se da únicamente por medio de la repetición de ejercicios.

Figura 79

Después de los ejercicios, el profesor comienza una nueva sección que tiene por objetivo

explicar la relación entre una ecuación lineal y una función lineal, para lo cual se apoya en un

problema contextualizado (Figura 79).

91

Figura 80

Asimismo, define una función en términos de una ecuación lineal con dos incógnitas, y

explica la notación a utilizar, tanto en funciones lineales, como ecuaciones lineales (Figura

81). Es de destacar, que aunque el autor relaciona los conceptos de ecuación y función, esta

relación se queda en el aspecto algebraico y no aborda más allá de la notación. Incluso los

ejercicios que se proponen después no involucran el planteamiento de funciones, sino que

incluyen únicamente la resolución de ecuaciones lineales.

La metodología que sigue el libro se basa en la realización de ejercicios, ya que a pesar de

tener actividades introductorias, el aprendizaje del alumno sólo se logra por medio de los

ejercicios, como lo indica el autor en la sección de ejercicios (Figura 79). En cuanto al

enfoque, este es Formal – Memorístico, ya que se enfatiza en los términos que utilizan, como

igualdad, literal, raíz, y también en los procedimientos de resolución de ecuaciones, como se

observa en la descripción de los pasos necesarios para resolver las ecuaciones de los ejemplos.

Por otra parte, el proceso de enseñanza empleado es inductivo, ya que el autor comienza con

definiciones, muestra ejemplos y propone ejercicios, en ese orden. En cuanto a los registros de

representación, solo se recurre al algebraico, por lo que no hay un tránsito entre diferentes

registros.

92

LIBRO 3

Figura 81

Figura 82

El autor empieza el capítulo correspondiente a la ecuación lineal definiendo que es una

ecuación (Figura 81), y otros términos como incógnita, raíz, literal, etc. También define lo qué

es el grado de una ecuación, y menciona que las ecuaciones de grado son llamadas ecuaciones

lineales (Figura 82). Como se observa, el autor comienza definiendo los términos con los que

ira trabajando a lo largo del capítulo.

93

Figura 83

Figura 84

Después, el autor enlista las reglas que son validas al momento de resolver una ecuación

(Figura 83), también hace énfasis en la transposición de términos, y da una lista de pasos para

resolver ecuaciones (Figura 84). Observamos que el autor da mucho peso a las reglas y

procedimientos para resolver ecuaciones, así como anteriormente le dio mucho peso a las

definiciones de términos a manejar.

Figura 85

94

Luego el autor dedica varias secciones a los ejercicios, casi todos en un contexto

intramatemático (Figura 85). También dedica algunas secciones a la resolución de ecuaciones

enteras, fraccionarias y literales, en los que sigue una estructura similar a la presentada

anteriormente.

En la metodología se distingue una inclinación a la repetición de ejercicios, pues se dedican

varias secciones de estos a lo largo del capítulo, con la finalidad de consolidar los

procedimientos de resolución mostrados anteriormente. También se nota un enfoque Formal –

Memorístico, debido a que se enfatiza mucho en las definiciones de los conceptos y en las

reglas validas para resolver ecuaciones. El proceso de enseñanza es del tipo deductivo, ya que

se comienza con definir términos, se muestran ejemplos y luego se resuelven ejercicios. En

cuanto a los registros de representación, el autor solo emplea el algebraico, tanto en las

explicaciones como los ejercicios, por lo que no logra transitar entre diferentes registros

4.2.2 Tratamiento por profesor

PROFESOR A

i) Apuntes de clase

La profesora comienza la enseñanza de la ecuación lineal con una incógnita ejemplificando la

resolución de algunos problemas contextualizados (Figura 86), y después marca ejercicios de

corte matemático para que el estudiante realice por su cuenta (Figura 87), con lo cual, se

pretende que el estudiante reproduzca los procedimientos efectuados por la profesora. En

cuanto a los registros de representación utilizados, se recurre únicamente al algebraico para la

explicación de los ejemplos, al igual que en los ejercicios y problemas propuestos.

95

Figura 86

Figura 87

La profesora sigue una metodología similar en el caso de ecuaciones lineales de dos

incógnitas, ya que presenta ejemplos contextualizados, donde enfatiza en el procedimiento de

resolución (Figura 88), pero a diferencia de ecuaciones lineales con una incógnita, los

ejercicios que deja al estudiante incluyen problemas contextualizados (Figura 89).

Estos problemas, y los ejemplos mostrados tienen la finalidad de consolidar los

procedimientos mostrados en los ejemplos, y en los cuales, únicamente se utiliza la

96

representación algebraica. Asimismo, se observa que tanto en ecuaciones lineales de una

incógnita y en sistema de ecuaciones lineales, la enseñanza comienza por medio de ejemplos

contextualizados, que tienen la finalidad de inducir al aprendizaje del concepto, para déspues,

consolidar el aprendizaje a través de la resolución de los ejercicios.

Figura 88

Figura 89

97

Tenemos entonces, que la profesora emplea una metodología en la cual, el aprendizaje se da

por medio de la asimilación de los procedimientos de resolución mostrados por el profesor,

con un enfoque conceptual, que consiste en vincular la resolución de ecuaciones lineales con

situaciones de la vida diaria. Se recurre a un proceso de enseñanza inductivo, que consiste en

mostrar ejemplos de ecuaciones lineales aplicados a la vida diaria, para introducir al estudiante

en el estudio de la ecuación lineal, y consolidar su aprendizaje por medio de la resolución de

problemas. La profesora sólo maneja el registro algebraico, por lo que no transita entre

diferentes registros, y por otra parte, los ejercicios tienen la finalidad de poner en práctica los

procedimientos mostrados y consolidar este aprendizaje.

ii) Libro

En cuanto a los libros utilizados por la profesora, ella dice basarse principalmente de los libros

1 y 3. El tratamiento dado a la ecuación lineal en cada uno es estos libros es distinto, así, en el

libro 1 se sigue una metodología enfocada en la resolución de problemas, cuenta con un

enfoque constructivista, basado en el desarrollo de habilidades de razonamiento, sigue un

proceso de enseñanza inductivo – deductivo, emplea los registros algebraico, numérico y

visual en la introducción y desarrollo del concepto, y los ejercicios y ejemplos planteados

tienen una función de descubrimiento y consolidación. Por otra parte, en el libro 2, la

metodología está basada en la realización de ejercicios, el enfoque usado es formal y

memorístico, sigue un proceso de enseñanza deductivo, recurre únicamente al registro

algebraico y emplea los ejercicios con el propósito de consolidar el aprendizaje.

iii) Entrevista

La metodología que la profesora utiliza es de descubrimiento, ya que plantea problemas al

estudiante, el cual no conoce un método específico para hallar la solución, por lo cual se

pretende utilizar métodos que no necesariamente sean algebraicos, siendo la ecuación una de

las opciones para resolver ese problema. También se observa que sigue un proceso de

enseñanza inductivo – deductivo, ya que como ella dice:

98

“Los alumnos saben resolver ecuaciones lineales, por eso las atacamos mediante un

problema, ponemos el problema, traducimos, planteamos la ecuación, y de último resolvemos,

(…) los ejercicios luego van al final, como un reforzador”

Es decir luego del proceso inductivo con los problemas iniciales, sigue un proceso deductivo

mediante la resolución de ejercicios. En cuanto al enfoque, la profesora se centra

principalmente en lo conceptual, lo cual se ve reflejado cuando dice:

“si llegan a plantear una ecuación, que bueno, porque entonces se darán cuenta de por qué

usar ecuaciones lineales para resolver ese problema”.

En los registros de representación que la profesora utiliza, se recurre únicamente al algebraico:

“ya que lo gráfico es en segundo año”. En cuanto a los ejercicios, la profesora dice emplear el

mismo del cuestionario que considera adecuado, ya que tienen el nivel necesario para los

estudiantes, sin embargo en el análisis de los apuntes de clase no se percibe el uso de

ejercicios que involucran edades. Por otra parte, al preguntarle sobre los criterios de elección

para los ejercicios de su clase, dice: “que estos ejercicios sean alguno de los vistos en clase”.

Así, lo ejercicios que la profesora plantea son de reforzamiento, ya que permiten poner en

práctica los conocimientos vistos en clase.

Tenemos entonces que la metodología que sigue la profesora es de descubrimiento, con un

enfoque conceptual y siguiendo un proceso de enseñanza inductivo – deductivo, es decir, la

enseñanza comienza por medio del planteamiento de una situación, a lo cual le sigue un

proceso de consolidación. También vemos que los ejercicios son de reforzamiento, y que solo

se emplea el registro algebraico.

iv) Conclusión

En el análisis de los apuntes de clase y en la entrevista se observa que el enfoque utilizado es

conceptual, pues consiste en vincular la resolución de ecuaciones lineales con situaciones de

la vida diaria. El proceso de enseñanza es inductivo deductivo, pues comienza por el

planteamiento de una situación, a lo que le sigue una consolidación del aprendizaje por medio

de los ejercicios, lo cuales son de reforzamiento, pues sirven para poner en práctica los

procedimientos de resolución vistos en clase. En cuanto a la metodología, esta difiere entre lo

99

observado en la libreta, y en la entrevista, aunque en el análisis del libro 1, la metodología

coincide con la expresada por la profesora en la entrevista, y la cual consiste en el

descubrimiento, es decir, en la resolución de problemas en los que el alumno no cuente con un

método de resolución específico. Por otra parte, el único registro de representación utilizado

por la profesora es el algebraico, como se observa en la libreta y la entrevista, además del

libro 3. Considerando lo anterior, concluimos que el tratamiento dado a la ecuación lineal

por la profesora A corresponde a la tendencia Tecnológica.

PROFESOR B

i) Apuntes de clase

Figura 90

La profesora empieza indicandoles a los alumnos los distintos tipos de ecuación que verán en

el curso, y mostrándoles un ejemplo de cómo resolver una ecuación lineal con una incógnita

(Figura 90). En este ejemplo se utiliza el registro algebraico, y se enfatiza en el procedimiento

requerido para la resolución de ecuaciones lineales.

100

Figura 91

Posteriormente muestra otros ejemplos, en los que se muestra cómo resolver ecuaciones

lineales, pero partiendo ahora de fórmulas de física (Figura 91), con lo cual, se busca vincular

conocimientos previos de los alumnos con el concepto que se enseña. Sólo se recurre al

registro algebraico para la explicación de estos ejemplos, cuya intención es que el estudiante

identifique la ecuación lineal por medio del uso de las fórmulas de física.

Después, el profesor propone ejercicios al alumno para que resuelva, con la intención de

consolidar los procedimientos de resolución mostrados en los ejemplos anteriores

(Figura927). En estos, se recurre principalmente al registro algebraico, aunque en algunos se

relaciona con la representación geométrica de algunas figuras (Figura 93). Asimismo, los

ejercicios presentan diferentes contextos, con la intención de inducir al alumno a identificar el

uso de la ecuación lineal en la resolución de problemas reales (Figura 92).

Figura 92

101

Figura 93

Cuando la profesora aborda sistemas de ecuaciones lineales, no comienza con una definición,

sino con ejemplos contextualizados en los que se recurre al registro algebraico (Figura 94),

con lo cual se busca que el estudiante asimile el procedimiento efectuado por la profesora y lo

reproduzca en los ejercicios que se proponen, para llegar a la consolidación de este

aprendizaje.

Figura 94

En síntesis, la profesora emplea una metodología que pretende lograr el aprendizaje a través

de la resolución de ejercicios cada vez mas complejos, e inicia la enseñanza de ecuaciones

lineales con una incógnita a partir de fórmulas de física con la intención de introducir el

concepto y ejemplificar su resolución, sin embargo, en sistemas de ecuaciones lineales no

sigue esta metodología, sino que, luego de algunos ejemplos, propone ejercicios cada vez mas

complicados. En el enfoque empleado, hay una inclinación por el aprendizaje de las reglas y

procedimientos para la resolución de ecuaciones, ya que desde el principio se enfatiza cuales

102

son los métodos de resolución a utilizar, y que casos existen. Se sigue un proceso de

enseñanza deductivo, ya que se comienza mostrando algunos ejemplos, y déspues se dejan

ejercicios para que el alumno resuelva. Se utilizan dos registros de representación en los

ejercicios y problemas, el algebraico y geométrico, pero sólo se emplea el registro algebraico

para la explicación del concepto, por lo que no hay un tránsito entre estos registros. En cuanto

a los ejercicios, estos permiten consolidar los procedimientos de resolución, a través de los

diferentes problemas propuestos, y de los contextos implicados.

ii) Libro

En cuanto a los libros utilizados por la profesora, ella dice basarse principalmente de los libro

1 y 3. El tratamiento dado a la ecuación lineal en cada uno es estos libros es distinto, así, en el

libro 1 se sigue una metodología enfocada en la resolución de problemas, cuenta con un

enfoque constructivista, basado en el desarrollo de habilidades de razonamiento, sigue un

proceso de enseñanza inductivo – deductivo, emplea los registros algebraico, numérico y

visual en la introducción y desarrollo del concepto, y los ejercicios y ejemplos planteados

tienen una función de descubrimiento y consolidación. Por otra parte, en el libro 2, la

metodología está basada en la realización de ejercicios, el enfoque usado es formal y

memorístico, sigue un proceso de enseñanza deductivo, recurre únicamente al registro

algebraico y emplea los ejercicios con el propósito de consolidar el aprendizaje.

iii) Entrevista

Sobre la forma de iniciar sus clases, la profesora dice:

“Trato de ejemplificar las propiedades algebraicas, leyes de los exponentes y de los radicales,

o sea, yo siempre retrocedo y les ayudo a razonar desde la parte aritmética, ya que buscamos

cómo agrupar y desagrupar para hallar la igualdad. (…), a mí me gusta relacionarlo con

física, con fórmulas básicas, ya que en realidad tenemos una ecuación.”

Vemos que la profesora muestra un enfoque Formal en la enseñanza de la ecuación lineal, ya

que enfatiza en las reglas de la aritmética, que posteriormente sirven para la resolución de

ecuaciones. Pero también parece contradecirse, pues anteriormente, dijo que al responder la

103

encuesta se basó únicamente en lo que se enseña en el curso de Matemáticas 1, y ahora dice

que emplea fórmulas de física para la enseñanza de la ecuación lineal, lo cual corresponde a

un curso distinto. Sin embargo, en el análisis de los apuntes de clase, la profesora recurre a

fórmulas de física, por lo cual, aunque en la encuesta y cuestionario dijo basarse sólo en lo

visto en primer semestre, en sus clases relaciona la ecuación con física. Por otra parte, la

metodología que sigue la profesora se basa en la repetición de ejercicios, ya que a través de

estos, el alumno llega a la noción de igualdad. Al preguntarle sobre el objetivo de los

ejercicios, la profesora dice:

“Que sepan identificar que datos son conocidos, puedan traducir del lenguaje común al

algebraico, y representar esa relación como una ecuación.”

De lo anterior podemos ver que los ejercicios sirven para descubrir las propiedades y

conceptos implicados en los ejemplos que la profesora muestra a los alumnos, y por lo tanto,

también se deduce que el proceso de enseñanza utilizado es inductivo. En cuanto a los

registros de representación, la profesora expresa que no utiliza ninguno diferente al algebraico,

ya que “los demás registros como el grafico se abordan a partir de tercer semestre.”

Tenemos entonces, que la metodología seguida por la profesora está basada en la resolución

de ejercicios, mientras el enfoque que da a la enseñanza es Formal, con un enfoque en la

memorización de reglas, y se recurre únicamente al registro algebraico. Por otra parte, el

proceso de enseñanza utilizado es inductivo, y los ejercicios tienen la función de descubrir

propiedades de la ecuación lineal.

iv) Conclusión

Observamos que tanto en el análisis de los apuntes de clase, como en las respuestas

proporcionadas en la entrevista, la profesora sigue una metodología basada en la resolución de

ejercicios, con un enfoque en la memorización de reglas, y recurre únicamente al registro

algebraico. Además, el proceso de enseñanza utilizado es inductivo, y los ejercicios tienen la

función de descubrir propiedades de la ecuación lineal. Por tanto, concluimos que el

tratamiento dado a la ecuación lineal por la profesora B corresponde a la tendencia

Tradicional.

104

PROFESORA C

i) Apuntes de clase

Figura 95

La enseñanza comienza enlistando los tipos de ecuación que se verán en el curso, así como los

diferentes casos existentes para cada tipo de ecuación. Se muestran dos ejemplos que

corresponden a ecuaciones lineales con una incógnita, empleando únicamente el registro

algebraico y detallando el proceso de resolución para cada uno (Figura 95). Luego, se

proponen ejercicios a los estudiantes para que resuelvan, los cuales aumentan en complejidad,

y tienen la finalidad de consolidar los procedimientos de resolucion vistos en clase. Al igual

que en la explicación de ecuación lineal, únicamente se recurre al registro algebraico.

Figura 96

105

Déspues se abordan sistema de ecuaciones lineales, para lo cual se muestran ejemplos en

donde sólo se utiliza el registro algebraico y se enfatiza en los métodos de resolución a

emplear (Figura 96). Se proponen ejercicios de mayor complejidad a los estudiantes para

consolidar el aprendizaje de los métodos de resolución.

Por tanto, en la metodología empleada se pretende que el aprendizaje del concepto se de por

medio de la resolución constante de ejercicios, los cuales aumentan en dificultad. Se utiliza un

enfoque que enfatiza en las reglas y procedimientos para la resolución de ecuaciones lineales,

tanto al principio cuando se detalla los casos existentes y se muestra un ejemplo de resolución,

como al abordar sistemas de ecuaciones. Sólo se recurre al registro algebraico en la

explicación del concepto, y se sigue un proceso de enseñanza deductivo, el cual no comienza

con una definición, pero si con ejemplos que muestran la resolución de ecuación lineales, y

sistemas de ecuaciones lineales, para déspues continuar con ejercicios, cuya finalidad es

consolidar el aprendizaje de los métodos de resolución.

i) Libro

En cuanto a los libros utilizados, la profesora dice basarse principalmente de los libro 1 y 3. El

tratamiento dado a la ecuación lineal en cada uno es estos libros es distinto, así, en el libro 1 se

sigue una metodología enfocada en la resolución de problemas, cuenta con un enfoque

constructivista, basado en el desarrollo de habilidades de razonamiento, sigue un proceso de

enseñanza inductivo – deductivo, emplea los registros algebraico, numérico y visual en la

introducción y desarrollo del concepto, y los ejercicios y ejemplos planteados tienen una

función de descubrimiento y consolidación. Por otra parte, en el libro 2, la metodología está

basada en la realización de ejercicios, el enfoque usado es formal y memorístico, sigue un

proceso de enseñanza deductivo, recurre únicamente al registro algebraico y emplea los

ejercicios con el propósito de consolidar el aprendizaje.

ii) Entrevista

En cuanto al proceso de enseñanza utilizado, la profesora dice que:

106

“van llegando a una definición, luego sacamos el libro y van checando lo que dicen”, (…),

luego vienen los ejercicios de aplicación”

Es decir, que sigue una estructura de definición, ejemplos ejercicios. Por otra parte, la

profesora dice que:

“primero trabajamos en binas, para que ya ellos vayan dejando bien claro lo que es el

concepto, después viene el trabajo por equipo, donde ya ellos deben mostrar su resolución,

con las reglas y los pasos”

Lo cual refleja una metodología basada en la repetición constante de ejercicios. El enfoque

que la profesora utiliza está basado en lo formal y memorístico, ya que en la enseñanza se

centra en:

“los signos de la ecuación lineal, en sus literales comunes, en su jerarquía de las operaciones,

(…), siendo los alumnos capaces de mostrar su resolución, con las reglas y los pasos”.

En los ejercicios que la profesora plantea se recurre únicamente al registro algebraico, y estos

ejercicios coinciden con el elegido como más adecuado del cuestionario, ya que “el tipo de

ejercicio de la edad es lo más común que pueden relacionar los alumnos, lo pueden palpar”,

y por otro lado, al preguntarle sobre los criterios para elegir los ejercicios, la profesora dice:

“En algo que este en mi programa, la jerarquía de operaciones, los signos de agrupación, que

todo eso ya lo hayan visto los estudiantes”.

Por tanto, el objetivo que tienen los ejercicios es de consolidación, es decir, formalizar los

conocimientos y procedimientos vistos en la clase.

Tenemos entonces que la metodología seguida por la profesora es de ejercitación, en tanto que

el enfoque que da a la enseñanza es formal – memorístico. Por otra parte, el proceso de

enseñanza que emplea es deductivo, usando ejercicios de consolidación, y recurriendo

únicamente al registro algebraico.

107

iii) Conclusión

Observamos que tanto en el análisis de los apuntes de clase, como en las respuestas

proporcionadas en la entrevista, la profesora sigue una metodología basada en la resolución de

ejercicios, con un enfoque en la memorización de reglas, y recurre únicamente al registro

algebraico. Además, el proceso de enseñanza utilizado es deductivo, y los ejercicios tienen la

función de consolidar el aprendizaje de la ecuación lineal. Las características descritas

anteriormente, también se observan en el análisis realizado al libro 3, por lo cual concluimos

que el tratamiento dado a la ecuación lineal por la profesora C corresponde a la tendencia

Tradicional.

PROFESOR D

i) Apuntes de clase

El profesor comienza con un ejemplo de sistemas de ecuaciones lieneales, con el propósito de

mostrar el planteamiento de una ecuación a apartir de un enunciado, para lo cual recurre al

registro numerico, que luego vincula con el algebraico, para establecer la ecuación

correspondiente (Figura 97). Luego muestra lo que el llama principio fundamental (Figura 98),

que consiste en la manera de despejar la literal de una ecuación lineal para hallar su solución,

y posteriormente propone ejercicios para que el estudiante resuelva.

Figura 97

108

Figura 98

Luego, aborda sistemas de ecuaciones lineales por medio de un ejemplo con el que muestra el

planteamiento del sistema (Figura 99), y otro ejemplo en donde detalla los pasos necesarios

para resolver el sistema (Figura 100). Posteriormente, deja al estudiante ejercicios para

resolver, lo cuales aumenta en conplejidad, y en los que se recurre unicamente al registro

algebraico.

Figura 99

Figura 100

109

La metodología que el profesor utiliza es diferente al tratar ecuaciones lineales con una

incógnita, y sistemas ecuaciones. En ecuaciones lineales con una incógnita, el profesor busca

que el estudiante reproduzca los procedimientos de resolución efectuados en clase, ya que

hace énfasis en el principio fundamental que menciona. Pero al tratar sistemas de ecuaciones,

pretende que el estudiante llegue al aprendizaje de los métodos de resolución por medio de los

ejercicios que propone, los cuales, aumentan complejidad. Aunque finalmente, el objetivo es

mostrar al estudiante el principio fundamental para que tenga una herramienta para la

resolucion de ejercicios, por lo tanto la metodología del profesor esta basada en la realización

de ejercicios, con un nivel creciente de dificultad. Asimismo, en ecuaciones lineales de una

incógnita, se transita entre dos registros, el numérico y el algebraico, sin embargo en sistemas

de ecuaciones lineales sólo se recurre al registro algebraico. En cuanto al enfoque utilizado, se

enfatiza desde el incio de la enseñanza en los procedimientos para la resolución de ecuaciones

lineales, y en los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se sigue un

proceso deductivo, ya que se comienza con ejemplos, y se continua con ejercicios que tienen

por objetivo que el alumno consolide el aprendizaje de los métodos de resolución.

ii) Libro

En cuanto a los libros utilizados, el profesor, dice basarse principalmente de los libros 1 y 3. El

tratamiento dado a la ecuación lineal en cada uno es estos libros es distinto, así, en el libro 1 se

sigue una metodología enfocada en la resolución de problemas, cuenta con un enfoque

constructivista, basado en el desarrollo de habilidades de razonamiento, sigue un proceso de

enseñanza inductivo – deductivo, emplea los registros algebraico, numérico y visual en la

introducción y desarrollo del concepto, y los ejercicios y ejemplos planteados tienen una

función de descubrimiento y consolidación. Por otra parte, en el libro 2, la metodología está

basada en la realización de ejercicios, el enfoque usado es formal y memorístico, sigue un

proceso de enseñanza deductivo, recurre únicamente al registro algebraico y emplea los

ejercicios con el propósito de consolidar el aprendizaje.

110

iii) Entrevista

La metodología que sigue el profesor puede ser deducida de la siguiente afirmación que hace

con respecto al objetivo de los ejercicios que pone en clase:

“El poder resolver las actividades, tareas, (…) con los ejercicios, ellos van detectando sus

errores, se les pide que entreguen una carga de tarea, y que en los ejercicios donde fallaron

los repitan hasta que lo logren hacer correctamente, ósea que los corrijan para que se den

cuenta de sus errores.”

Así, vemos que la metodología esta basa en la realización de ejercicios, pues considera que el

estudiante aprenderá tras realizar una cantidad adecuada de ejercicios, y también podemos ver

que el objetivo de estos ejercicios, es precisamente el de consolidar el aprendizaje. El enfoque

que se da a la enseñanza de la ecuación puede ser deducido cuando el profesor dice:

“Se les aplica un diagnóstico para poder ver qué nivel tienen, y se sacan los ejercicios

conforme vaya adquiriendo la habilidad y cambiándoles los ejercicios.”

Vemos que el profesor enfatiza en el nivel de los ejercicios, es decir, se da prioridad al nivel

de abstracción del contenido que se enseña, por lo cual el enfoque es formal. Por otra parte, el

profesor dice que les define ecuación lineal al inicio de las clases, y aunque no expresa si

muestra ejemplos, concluimos que el proceso de enseñanza utilizado es deductivo, pues

primero les define el concepto, y luego marca ejercicios para resolver.

Tenemos entonces, que la metodología seguida por el profesor es de ejercitación, el enfoque

es formal y utiliza un proceso de enseñanza deductivo. Además, emplea los ejercicios para

consolidar el aprendizaje.

iv) Conclusión

En el análisis de los apuntes de clase y en las respuestas proporcionadas en la entrevista,

observamos que el profesor sigue una metodología basada en la resolución de ejercicios, con

un enfoque en la memorización de reglas, y recurre únicamente al registro algebraico.

Además, el proceso de enseñanza utilizado es deductivo, y los ejercicios tienen la función de

consolidar el aprendizaje de ecuaciones lineales. Las características descritas anteriormente,

111

también se observan en el análisis realizado al libro 3, por lo cual concluimos que el

tratamiento dado a la ecuación lineal por el profesor D corresponde a la tendencia

Tradicional.

PROFESOR E

i) Apuntes de clase

Figura 101

El profesor comienza la enseñanza con ejercicios en los que se plantean ecuaciones lineales

con una incógnita (Figura 101), y que buscan consolidar el aprendizaje de la resolución de

ecuaciones mediante la repetición de ejercicios. No se da una explicación del concepto, y se

recurre únicamente al registro algebraico.

112

Figura 102

Después, propone problemas contextualizados, cuyo objetivo es que el estudiante ponga en

práctica los procedimientos realizado anteriormente, y pueda de esta forma resolver

problemas de la vida diaria (Figura 102).

Figura 103

Al abordar sistemas de ecuaciones lineales, el profesor comienza con un ejemplo en el cual,

enfatiza en los procedimientos y reglas para la resolución del sistema (Figura 103). Utiliza

únicamente el registro algebraico para la explicación de los ejemplos, y propone ejercicios de

complejidad creciente al estudiante, para que consolide el aprendizaje de los métodos de

resolución.

113

Asi, en la metodología empleada se pretende llegar al aprendizaje por medio de la resolución

de ejercicios que aumentan de dificultad, mientras que en el enfoque empleado, se enfatiza en

la memorización de reglas y procedimientos para la resolución de ecuaciones lineales, lo cual

se observa al indicar la transposición de terminos, y los métodos de resolucion para sistemas

de ecuaciones. Aunque no se da una definición de ecuación lineal, el proceso que sigue el

profesor en la enseñanza del concepto es deductivo, pues consiste en presentar un ejemplo, y

posteriormente proponer ejercicios al alumno, los cuales tienen la finalidad de consolidar las

reglas y procedimientos requeridos para la resolución de ecuaciones lineales. En cuanto a los

registros de representación utilizados para la explicación del concepto, únicamente se observa

el algebraico, no obstante, en los problemas planteados se recurre al uso del lenguaje común,

aunque sólo para el planteamiento del enunciado, es decir, se pretende que el alumno traduzca

del lenguaje común al lengualge algebraico.

ii) Libro

El profesor dice basarse principalmente de los libros 1 y 3 para la enseñanza de la ecuación

lineal. El tratamiento dado a la ecuación lineal en cada uno es estos libros es distinto, así, en el

libro 1 se sigue una metodología enfocada en la resolución de problemas, cuenta con un

enfoque constructivista, basado en el desarrollo de habilidades de razonamiento, sigue un

proceso de enseñanza inductivo – deductivo, emplea los registros algebraico, numérico y

visual en la introducción y desarrollo del concepto, y los ejercicios y ejemplos planteados

tienen una función de descubrimiento y consolidación. Por otra parte, en el libro 2, la

metodología está basada en la realización de ejercicios, el enfoque usado es formal y

memorístico, sigue un proceso de enseñanza deductivo, recurre únicamente al registro

algebraico y emplea los ejercicios con el propósito de consolidar el aprendizaje.

iii) Entrevista

La metodología que utiliza el profesor está basada en la repetición constante de ejercicios,

como el mismo profesor lo indica:

114

“al inicio se eligen los ejercicios más accesibles, más fáciles como para que cuando ellos

resuelven por si solos una ecuación se siente motivados, entonces si ya resolviste este, vamos

a plantearte este otro, con un poquito más de dificultad, pero si ya pudiste hazlo, te doy otro, y

así ya lograste dominar los ejercicios”.

En cuanto al proceso de enseñanza, se sigue una estructura de definición, ejemplos, ejercicios,

lo cual se deduce de la siguiente explicación del profesor:

“empezamos con recordar que es una igualdad, de ahí seguimos con ver qué pasa si el

término de una igualdad se desconoce, (…) luego se le presentan varios ejemplos con algunas

ecuaciones, (…) y algunos ejercicios algebraicos en clase donde se les planteen todas las

posibilidades de las ecuaciones por haber”.

Por otra parte, el profesor dice que:

“hay muchos problemas de la vida, que a través de los años nos vamos dando cuenta, el

manejo de dinero, de áreas, tantas situaciones de la vida que pueden ser resueltas por una

ecuación, y si llegas a dominar una ecuación pues, se te hace más fácil”

De lo anterior, se deduce que el enfoque que le da a la enseñanza de la ecuación lineal es

algorítmico, ya que posterior a la enseñanza del concepto, se busca la adquisición de

procedimientos y estrategias para resolver situaciones de la vida diaria.

En cuanto a los registros de representación, el profesor dice hacer uso principalmente de dos,

el algebraico y el geométrico, ya que muchos de los problemas pueden ser representados

geométricamente, pero también dice que:

“debemos acostumbrar al muchacho a que sepa traducir del lenguaje común al lenguaje

algebraico”.

Por tanto, se deduce que también emplea el lenguaje común como registro de representación,

lo cual se observa en el análisis de los apuntes de clase, ya que usa el lenguaje común en el

planteamiento de los problemas, con la intención de que el estudiante haga la traducción al

lenguaje algebraico, y luego interprete la solución, logrando así el tránsito entre estos dos

registros. Sin embargo, en los apuntes de clase no se aprecia el uso del registro geométrico,

115

como señala el profesor, sólo se observa el uso del lenguaje común y el registro algebraico,

por lo que no podemos asegurar que use representaciones geométricas para la enseñanza de la

ecuación lineal. Por otro lado, el profesor comenta que los ejercicios tiene la finalidad de

ayudar al estudiante a resolver problemas por medio del planteamiento de la ecuación y la

interpretación del resultado, logrando así, reforzar los conocimientos sobre la ecuación lineal.

iv) Conclusión

En el análisis de los apuntes de clase y en las respuestas proporcionadas en la entrevista,

observamos que el profesor sigue una metodología basada en la resolución de ejercicios, con

un proceso de enseñanza deductivo, en el que se inicia con definiciones, se muestran ejemplos

y luego se marcan ejercicios. Las características descritas anteriormente, también se observan

en el análisis realizado al libro 3. Por otra parte, lo dicho por el profesor en la entrevista nos

sugiere que usa un enfoque basado en la adquisición de procedimientos para la resolución de

situaciones de la vida diaria, sin embargo, en el análisis de los apuntes de clase y del libro 3,

vemos que el enfoque que utiliza el profesor está basado en la memorización de reglas para la

resolución de ecuaciones lineales, y también se observa en estos dos análisis que los ejercicios

que utiliza el profesor se tienen por objetivo consolidar el aprendizaje del alumno. En cuanto a

los registros, podemos observar del análisis de los apuntes de clase y de la entrevista que el

profesor emplea el lenguaje común y el algebraico para la enseñanza de la ecuación lineal. De

lo anterior, concluimos que el tratamiento dado a la ecuación lineal por el profesor E

corresponde a la tendencia Tradicional.

PROFESORA F

i) Apuntes de clase

La profesora F comienza la enseñanza definiendo que es una razón y una proporción, y dando

ejemplos de ambos (Figura 104 y 105), para lo cual hace uso del registro numérico, el cual

vincula con el algebraico para el establecimiento de ecuaciones. Asimismo, se busca vincular

la ecuación lineal con conocimientos previos, como son las proporciones y razones.

116

Figura 104

Figura 105

Támbien propone ejercicios al estudiante, en los que se manejan distintos contextos y que

tienen la finalidad de mostrar al estudiante particularidades a partir de las cuales llegue a la

comprension del concepto de ecuación lineal (Figura 106).

117

Figura 106

Luego, la profesora define que es una función, para lo cual muestra un ejemplo en el que

utiliza una representacion que denomida sagital (Figura 107), para despues mostrar la gráfica

de la función lineal que se obtiene al graficar puntos en el plano, que corresponden a algunos

valores de la función (Figura 108).

Figura 107

118

Figura 108

Déspues, muestra otro ejemplo (Figura 109), en el cual pretende mostrar particularidades

presentes en el contradominio de la función lineal, y que se relacionan con la ecuación lineal,

y con la representación gráfica de la función, y de ese modo, llegar al establecimiento de

ecuaciones lineales.

Figura 109

Mas adelante, la profesora da la instrucción de gráficar dos ecuaciones lineales con dos

incongnitas, y de marcar el punto de intersección (Figura 110), para lo cual se apoya en la

construcción de una tabla, con las valores correspondientes a cada literal. Llama la atención

que pida hallar el punto de intersección antes de abordar sistemas de ecuaciones, lo cual

prepara al estudiante para su estudio, ya que se busca la comprensión de la solución de un

sistema.

119

Figura 110

Posteriormente, se define qué es un sistema de ecuaciones, especificando los métodos de

resolución a utilizar (Figura 111), y marcando ejercicios al estudiantes, que tienen la finalidad

de poner en práctica los métodos de resolución vistos.

Figura 11

Tenemos así, que la metodología empleada por la profesoar para la enseñanza de la ecuación

lineal consiste en partir de los conocimientos previos, como son las proporciones y funciones,

en tanto que el enfoque empleado es de resolución de problemas, ya que propone problemas al

alumno en lo cuales se manejan distintos contextos, con la finalidad de desarrollar estrategias

120

de resolución a situaciones reales. Por otra parte, el proceso de enseñanza utilizado es

inductivo, ya que en los ejemplos que se presentan, el alumno tiene la oportunidad de

identificar la ecuación lineal a partir del uso de proporciones para la resolución de los

ejemplos, y támbien de los ejercicios. Asimismo, la ecuación puede ser identificada por el

alumno en la sección que la profesora dedica a la función lineal, específicamente en la

representación gráfica, y cuando encuentra el contradominio de la función. Támbien se busca

inducir a la idea de solución de un sistema de ecuaciones lineales por medio de la

representación gráfica de dos funciones lineales. Los registros de representación usados por la

profesora son el algebraico, presente en la mayoria de los ejercicios y problemas, el gráfico,

cuando explica la función lineal y sistemas de ecuaciones, numérico, en la realización de

tablas para las funciones y en la resolución de los problemas propuestos, y uno que la

profesora denomina sagital, que consiste en la representación del dominio y contradominio de

una función por medio de ovalos, y uniendo los elementos con unas flechas. Estos registros

son vinculados en la enseñanza, logrando que el estudiante transite entre ellos. En cuanto a los

ejercicios, estos son de descubrimiento, ya que permiten a los estudiantes observar

particularidades en los problemas que resuelven por medio de proporciones, para

posteriormente llegar al concepto de ecuación lineal. Esto támbien se observa cuando abordan

función lineal, ya que los ejemplos permiten llegar al concepto de ecuación, ya sea de forma

gráfica, o bien, cuando hallan el contradominio de las funciones, al igual que cuando abordan

sistemas de ecuaciones, donde la representación gráfica perimite llegar a la comprensión de la

solución de un sistema.

ii) Libro

En cuanto a los libros utilizados por la profesora, ella dice basarse principalmente del libro 3,

el cual presenta un tratamiento de la ecuación lineal que consiste en una metodología basada

en la realización de ejercicios, el enfoque usado es formal y memorístico, sigue un proceso de

enseñanza deductivo, recurre únicamente al registro algebraico y emplea los ejercicios con el

propósito de consolidar el aprendizaje.

121

iii) Entrevista

Al preguntarle a la profesora cómo da la clase de ecuaciones lineales, ella dice:

“Yo les digo, si tengo $50 y quiero comprar mi desayuno, voy a gastar en una torta $15 pesos

y en un refresco $5, ¿Cuánto me quedaría para mi segundo recreo? Esa simple suma, resta,

se les plantea en forma de ecuación, cuanto tengo, cuanto gasto, cuanto me queda.”

Con lo cual podemos ver que la profesora emplea una metodología de experimentación, ya

que se realizan actividades en las cuales se ponen en práctica conocimientos anteriores, como

es el caso de las sumas y restas. Esta metodología también se ve reflejada cuando la profesora

dice:

“para el caso de la ecuación lineal, lo mejor es darles un ejemplo de la vida cotidiana, los vas

conduciendo a lo que es una ecuación, y luego, dar la definición de lo que es la ecuación,

finalmente es una igualdad.”

También se observa en lo anterior que el proceso de enseñanza utilizado es inductivo, ya que

se busca la participación del alumno en actividades para la identificación de los conceptos, y

por otra parte, el enfoque de la clase está orientado a la resolución de situaciones reales por

medio de la ecuación lineal. En cuanto a los registros de representación que utiliza, la

profesora dice lo siguiente:

“La gráfica, me voy mucho a la resolución algebraica y luego a la gráfica, para que

visualicen lo que es correcto, es decir, que les tiene que salir una línea.”

Con esto vemos que la profesora busca relacionar los registros gráfico y algebraico por medio

de la visualización de la ecuación como una línea recta. Por otra parte, al cuestionarle por el

objetivo de los ejercicios que trabaja, dice lo siguiente:

“Que ellos sepan que las ecuaciones lineales se utilizan en la vida cotidiana, y otro que

trabajen por sí mismo y que traten de llegar a la respuesta, y comprobar que esa respuesta

sea correcta.”

122

Observamos en lo anterior, que lo ejercicios tienen un propósito de reforzamiento, ya que

sirven a los estudiantes para practicar y resolver problemas que además se vinculan con

situaciones de la vida real.

Tenemos entonces que la profesora sigue una metodología de experimentación, con un

enfoque a la resolución de problemas y que sigue un proceso de enseñanza inductivo, pero

también que lo registros de representación utilizados son el gráfico y algebraico, y que los

ejercicios que propone son de reforzamiento.

iv) Conclusión

Del análisis de los apuntes de clase y de las respuesta proporcionadas en la entrevistas,

observamos que la metodología seguida por la profesora es de experimentación, lo que implica

que se recurre a los conocimientos previos para el aprendizaje, se sigue un proceso de

enseñanza inductivo, identificando particularidades de la ecuaciones lineal, como el

significado del símbolo “=” o de las literales, y se utiliza un enfoque algorítmico, es decir,

posterior a la enseñanza del concepto se busca el aprendizaje de estrategias de resolución a

problemas de la vida diaria. En cuanto a los registros de representación, en el libro que usa la

profesora sólo se recurre al registro algebraico, en tanto que en la entrevista la profesora dice

utilizar, además del algebraico, el registro grafico. Sin embargo, en el análisis de la libreta,

además de estos dos, también se recurre al numérico. Por otra parte, en la entrevista la

profesora dice emplear ejercicios con el objetivo de reforzar el aprendizaje de los estudiantes,

pero en la libreta, además de reforzar el aprendizaje, permiten al estudiante identificar

características de la ecuación lineal, como el significado del símbolo “=” o de las literales.

Considerando todo lo anterior, concluimos que el tratamiento dado a la ecuación lineal por

la profesora F corresponde a la tendencia Espontaneista.

123

PROFESOR G

i) Apuntes de clase

Figura 112

El profesor comienza mostrando ejemplos de cómo resolver algunas ecuaciones, y luego

describe las caracteristicas que se observaron al resolverlas (Figura 112). De esta forma, el

profesor muestra a los alumnos la diferencia que hay entre una ecuación de primer grado, y

una cuadrática, esto lo hace antes de definir que es una ecuación.

Figura 113

Mas adelante, menciona la diferencia entre variables e incógnitas, relacionandolo con el

número de soluciones de una ecuación (Figura 113), sin embargo, no relaciona de forma

explicita el nùmero de literales y las soluciones, y tampoco hace mención de las ecuaciones sin

solución.

124

Figura 114

Posteriormente, el profesor da una definición de ecuación, pero támbien propone al estudiante

investigar qué es una ecuación (Figura 114), y muestra ejemplos de algunas ecuaciones

lineales, para déspues proponer ejercicios para que el estudiante pràctique los procedimientos

de resolución vistos en clase.

Figura 115

Déspues de los ejercicios, el profesor aborda sistemas de ecuaciones lineales, para lo cual da

una definición y menciona cómo identificar si las literales son incógnitas o variables a partir

del número de ecuaciones y literales (Figura 115).

125

Figura 116

Figura 117

Luego, muestra un ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones, y menciona los métodos

de resolución, ejemplifica cada uno, y propone ejercicios al estudiante para prácticar los

métodos de resolución (Figura 116). Uno de los métodos que muestra el profesor es el gráfico,

transitando de esta forma entre los registros algebraico, y el gráfico, hallando el punto de corte

de dos rectas en el plano cartesiano (Figura 117).

La metodología empleada por el profesor consiste en mostrar ejemplos para que el alumno

observe la forma de resolver ecuaciones lineales, en sistemas de ecuaciones lineales, incluso

detalla los pasos necesarios para resolver el sistema, con lo cual se busca que el alumno

asimile los procesos de resolución empleados en clase. En cuanto al enfoque, este se centra en

las reglas y procedimientos requeridos para la resolución de ecuaciones lienales. El proceso

utilizado es inductivo, ya que el profesor comienza mostrando ejemplos de ecuaciones

126

lineales, y explicandoles las caracteristicas que se observan en los ejemplos. Asimismo, les

pide investigar que es una ecuación, para inducirlos al concepto. Sin embargo, el aprendizaje

se consolida a través de la resolución de los ejercicios propuestos, es decir, que tras el proceso

inductivo inicial, sigue un proceso deductivo. Se observa la utilización del registro gráfico en

algunos ejercicios, y en la explicación de lo métodos de resolución de un sistema de

ecuaciones lineales, logrando un tránsito del registro algebraico al gráfico. En cuanto a los

ejercicios, estos permiten poner en práctica los procedimientos de resolución empleados por

el profesor.

ii) Libro

En cuanto a los libros utilizados, el profesor dice basarse principalmente del libro 2 y 3. El

tratamiento dado a la ecuación lineal en cada uno es estos libros es distinto, así, en el libro 2 se

sigue una metodología basada en la resolución de ejercicios, con un enfoque que enfatiza en

la memorización de reglas para la resolución de ecuaciones lineales, con proceso de enseñanza

deductivo. Se recurre únicamente al registro algebraico y utiliza ejercicios con el objetivo de

consolidar el aprendizaje de los alumnos. Por otra parte, en el libro 3, la metodología está

basada en la realización de ejercicios, el enfoque usado es formal y memorístico, sigue un

proceso de enseñanza deductivo, recurre únicamente al registro algebraico y emplea los

ejercicios con el propósito de consolidar el aprendizaje.

iii) Entrevista

Al preguntarle sobre la forma en que aborda el concepto de ecuación lineal, el profesor dice lo

siguiente:

“Normalmente nosotros vemos el concepto de ecuación antes que ecuación lineal, entonces

vemos este tipo de ejercicios como, por ejemplo el ,3 el de los años, calculamos cuántos años

tiene no sé qué y esa es una ecuación lineal. Después pasamos a la parte gráfica, a mí me

gusta trabajar primero con ellos gráficamente para que se vayan relacionando, tanto con las

gráficas como con la tabla, entonces ya después plantear una situación en la que puedan

utilizar esas ideas, o sea, defino, doy herramientas y luego veo aplicación.”

127

Vemos que el proceso de enseñanza utilizado es inductivo - deductivo, ya que la enseñanza de

la ecuación lineal comienza con definiciones, pero a esta le siguen actividades para trabajar la

ecuación lineal por medio de las gráficas y tablas, para después formalizar por medio de

ejercicios de aplicación. En cuanto al enfoque, este es conceptual, ya que busca la

comprensión de los conceptos implicados en la resolución de ecuaciones lineales, como lo

expresa el profesor al decir:

“Le doy más tiempo a la parte matemática, que ellos comprendan bien los conceptos, (…) por

ejemplo, te doy la tabla y reconóceme la relación y su respectiva interpretación en la

gráfica.”

La metodología que usa el profesor se deduce de la siguiente afirmación:

“Normalmente intento diseñar algunas actividades que me sirvan para introducir el concepto,

incluso si es un concepto matemático y no le voy a dar aplicación, intento hacer una actividad

inductiva para que ellos vayan percibiendo lo que les quiero mostrar.”

Es decir, que la metodología es de ejercitación reproductiva, ya que pretende que el estudiante

asimile y reproduzca los procedimientos que el profesor muestra en sus actividades. Como ya

se mencionó, el profesor hace uso de tablas y gráficas para la enseñanza, con lo cual, además

del registro algebraico, utiliza el numérico y gráfico, y con base en lo dicho por el profesor,

podemos ver que logra un tránsito entre estos registros.

En cuanto a los ejercicios, el profesor dice lo siguiente:

“Dado el tiempo que le dedico a la parte grafica y tabular, el objetivo sería más como un

refuerzo de la parte matemática, más que a la parte aplicativa.”

De lo anterior, se concluye que los ejercicios tienen la finalidad de reforzar los procedimientos

de resolución de ecuaciones lineales vistos en clase, lo cual también se puede observar en el

comentario que hace sobre los ítems del cuestionario que presenta en su clase:

“Cuando veo la parte de ecuación lineal, ya no utilizo ese tipo de ejercicios (El ítem 3), utilizo

el de la tabla para que vea la relación entre X y Y. “

128

Es decir, que emplea ejercicios similares al ítem 3 para reforzar en el estudiante la idea de

relación entre las variables de una ecuación lineal.

Tenemos entonces que la metodología empleada es de ejercitación reproductiva, el enfoque

dado a la enseñanza es conceptual, los procesos de enseñanza son inductivos – deductivos, los

registros de representación en los que transita el profesor durante la enseñanza de ecuaciones

lineales son principalmente gráficos y algebraicos, y finalmente, lo ejercicios tienen como

finalidad reforzar el aprendizaje.

iv) Conclusión

En el análisis de las libretas y en la entrevista se observa que el proceso de enseñanza es

inductivo y deductivo, pues comienza por el planteamiento de una situación, a lo que le sigue

una consolidación del aprendizaje por medio de los ejercicios, lo cuales son de reforzamiento,

pues sirven para poner en práctica los procedimientos de resolución vistos en clase, la

metodología consiste en la asimilación por parte del estudiante de los procedimientos de

resolución mostrados por el profesor, y utiliza principalmente dos registros de representación,

el algebraico y el gráfico. Considerando lo anterior, concluimos que el tratamiento dado a la

ecuación lineal por el profesor G corresponde a la tendencia Tecnológica.

En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos sobre el tratamiento, de tal forma,

que se colocará la abreviatura de la tendencia que corresponde cada indicador e instrumento,

así, si se escribe Tr, corresponde a la tendencia Tradicional, si es Te, corresponde a la

tendencia Tecnológica, E para la tendencia Espontaneista y una I para la tendencia

Investigativa.

129

Tabla 5: Resultados del Tratamiento

METODOLOGÍA PROCESO ENFOQUE REGISTRO EJERCICIOS TRATAMIENTO

Lib

reta

Lib

ro 1

Lib

ro 2

En

trev

ista

Lib

reta

Lib

ro 1

Lib

ro 2

En

trev

ista

Lib

reta

Lib

ro 1

Lib

ro 2

En

trev

ista

Lib

reta

Lib

ro 1

Lib

ro 2

En

trev

ista

Lib

reta

Lib

ro 1

Lib

ro 2

En

trev

ista

A Te I Tr I Te I Tr Te Te I Tr Te Tr I Tr Tr Te I Tr Te Tecnológico

B Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr E Tradicional

C Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tradicional

D Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tradicional

E Tr I Tr Tr Tr I Tr Tr Tr I Tr E E I Tr E Tr I Tr Te Tradicional

F E Tr __ E E Tr __ E E Tr __ E I Tr __ Te E Tr __ Te Espontaneista

G Te Tr Tr Te Te Tr Tr Te Tr Tr Tr Te Te Tr Tr Te Te Tr Tr Te Tecnológico

Ind

icad

ore

s

Profesor

130

4.3 Contraste de resultados

Una vez realizada la caracterización de las concepciones que los profesores tienen de la

ecuación lineal, y del tratamiento que le dan estos profesores a dicho concepto, procedemos a

realizar el contraste entre las concepciones y tratamiento, para lo cual, exponemos los

resultados de los análisis realizados en la siguiente tabla:

PROFESOR CONCEPCIÓN TRATAMIENTO

A Geométrica Tecnológico

B Estructural Tradicional

C Estructural Tradicional

D Estructural Tradicional

E Operacional Tradicional

F Operacional Espontaneista

G Geométrica Tecnológico

Tabla 5: Comparación Concepción - Tratamiento

Se observa que la concepción de la ecuación lineal que predomina en los profesores estudiados

es la Estructural, ya que está presente en tres de los profesores, en tanto que la concepción

Geométrica y Operacional se presenta cada una en dos profesores. En cuanto al tratamiento,

hay una inclinación hacia la tendencia Tradicional, la cual está presente en cuatro de los

profesores estudiados, mientras que la tendencia Tecnológica se presenta en tan sólo dos

profesores, y únicamente un profesor presentó una tendencia Espontaneista.

131

Podemos observar que los tres profesores con una concepción Estructural de la ecuación

lineal, dan un tratamiento a dicho concepto que corresponde a la tendencia Tradicional, lo

cual parece indicar que profesores con una concepción Estructural dan un tratamiento

Tradicional a la ecuación lineal. De igual forma, los dos profesores que presentaron una

concepción Geométrica, dan un tratamiento a la ecuación lineal que corresponde a la

tendencia Tecnológica. Sin embargo, en el caso de la concepción Operacional, no se ve una

clara relación con alguna de las tendencias, puesto que el profesor F presenta una tendencia

Tradicional, en tanto que la profesora G presenta una tendencia Espontaneista, por lo cual el

tratamiento que dan a la ecuación lineal es distinto.

Llama la atención, que tanto la concepción Funcional, como la tendencia Investigativa, no se

presentaron en ninguno de los profesores estudiados, lo cual parece indicar una relación entre

la concepción Funcional y la tendencia Investigativa.

132

CONCLUSIONES

El objetivo de esta investigación fue por una parte, identificar las concepciones que los

profesores tienen sobre la ecuación lineal, también, describir cual es el tratamiento dado a

dicho concepto, y finalmente, analizar el tipo de relación que se da entre las concepciones

sobre la ecuación lineal, y el tratamiento otorgado a dicho concepto.

En cuanto a la concepciones, se identificó que la concepción predominante en los profesores

estudiados es la Estructural, lo cual implica que la ecuación lineal sea concebida como un

concepto matemático definido, cuyos elementos y técnicas de resolución son específicos del

álgebra, el signo igual da a la ecuación la característica de igualdad, es decir, que los

miembros a la derecha e izquierda de la igualdad pueden entenderse como partes de la

ecuación, y que estas deben ser iguales. Las literales son vistas como números generalizados,

es decir, representan todos aquellos números que puedan ser sustituidos en la ecuación, donde

la raíz de la ecuación lineal representa el valor que hace que la igualdad sea verdadera.

El tratamiento otorgado a la ecuación lineal que predomina entre los profesores estudiados

corresponde al de la tendencia Tradicional, lo que quiere decir que se utiliza una metodología

basada en la repetición de ejercicios, con enfoque hacia la memorización de reglas y

definiciones, y con un proceso de enseñanza deductivo, el cual consiste en iniciar con la

definición del concepto, presentar ejemplos de ecuaciones lineales y proponer ejercicios al

estudiante, con la finalidad de consolidar los conocimientos obtenidos en clase.

Se observó que las concepciones Estructural y Geométrica se relacionan con la tendencia

Tradicional y Tecnológica respectivamente, de manera que profesores con una concepción

Estructural, dan una tratamiento a la ecuación lineal que corresponde a la Tendencia

Tradicional. Y análogamente, profesores con una concepción Geométrica presentan un

tratamiento que se relaciona con la tendencia Tecnológica.

El tratamiento otorgado a la ecuación lineal que corresponde a la tendencia Investigativa, no

se encontró presente, de forma predominante, en ninguno de los profesores estudiados, lo cual

consideramos es necesario de llevar a cabo, pues con esta tendencia se abarca de manera

133

amplia y precisa, las características y elementos de la ecuación lineal, logrando un aprendizaje

más completo al no limitarse a la resolución de ejercicios, ni al uso del registro algebraico, ya

que se profundiza en la compresión del concepto, y a la vez, en la formalización de sus

características algebraicas.

Llama la atención que la concepción Funcional no se encontró presente en los profesores

estudiados, puesto que en ella se logra una articulación entre los diferentes registros de

representación de la ecuación lineal, y se considera el uso variables, el cual es un elemento

esencial para el aprendizaje del álgebra. Sin embargo, aunque no fue predominante, en algunos

profesores se observó que en cuanto al significado atribuido a las literales, estas eran

concebidas como variables de una relación funcional, en incluso se hacía mención de la

relación de dependencia entre las variables,

La entrevista permitió observar que la mayor parte de los profesores conciben de forma

separada, conceptual y académicamente, conceptos como función y ecuación.

La representación gráfica es concebida por los profesores como un elemento ajeno a la

enseñanza de la ecuación lineal. Sin embargo, los mismos profesores consideran importante la

inclusión de graficas en la enseñanza de la ecuación lineal, ya que proporciona una alternativa

para el aprendizaje y la comprensión del concepto.

En los profesores estudiados, no se distingue una relación significativa entre las características

de los libros utilizados, y el tratamiento otorgado que cada profesor dio a la ecuación lineal.

Es decir, que aunque se basaron en los libros para la enseñanza de la ecuación lineal, este uso

no fue predominante en el tratamiento que daban a dicho concepto. Esto puede deberse a que

la mayoría de los libros usados por los profesores corresponden a los libros de texto oficiales

para el bachillerato en el que laboran, por lo cual, la elección del libro no se basa en la

preferencia del profesor por el tratamiento que presenta dicho libro.

Se observa que las concepciones sobre la ecuación lineal se relacionan, e influyen en la

práctica docente, específicamente en elementos que conforman el tratamiento dado a los

conceptos, como es la metodología, el enfoque, los procesos de enseñanza, los registros de

representación y el tipo y objetivo de ejercicios empleados.

134

Debido a que la práctica del profesor influye en el aprendizaje del estudiante, es necesario

implementar programas de actualización y formación para cambiar la práctica, pero antes de

esto, es necesario programas que promuevan que promuevan el cambio de concepciones, de

tal forma, que se orienten hacia una concepción en la que se abarquen de forma amplia y

precisa, los elementos y características de los conceptos matemáticos a enseñar. En el caso de

la ecuación lineal, consideramos se requiere un cambio hacia la concepción Funcional, ya que

esta logra una articulación entre los diferentes registros de representación de la ecuación

lineal, y se considera el uso variables, el cual es un elemento esencial para el aprendizaje del

álgebra, además, consideramos que es la concepción que parece relacionarse con la tendencia

investigativa.

En estos cursos de actualización, consideramos se debe tener en cuenta las distintas

concepciones que pudieran tenerse sobre los conceptos matemáticos, ya que así se tendrá

referencia sobre la concepción de los profesores al iniciar el curso, y la concepción que se

pretende alcanzar con el mismo. Con lo dicho anteriormente, no se sugiere el establecimiento

de una jerarquía de concepciones, sino del establecimiento de un marco de referencia para

llevar a cabo el cambio de concepciones.

135

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138

ANEXO 1

Encuesta

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

Cuestionario

Responda las siguientes preguntas relacionadas al tema de ecuaciones lineales,

eligiendo la opción con la que este más de acuerdo.. Si ninguna de las opciones le

satisface, o considera que hace falta alguna, escriba la respuesta que considere

pertinente

1.- ¿Qué es una ecuación?

Es una expresión algebraica en la que hay valores desconocidos

Una igualdad con una incógnita

Es la expresión que resulta de igualar una función con un valor específico.

Es la condición que cumplen los puntos que pertenecen a un lugar geométrico.

2.- ¿Qué papel juega el signo “=” en la ecuación?

Separa las operaciones que se deben realizar del resultado que se debe obtener.

Indica que las expresiones que se encuentran a ambos lados de este signo son iguales y

que esta igualdad debe permanecer inalterable.

Indica la condición que debe cumplir una función.

Indica la condición que cumplen los puntos pertenecientes a un lugar geométrico.

3.- ¿Qué representan las literales en una ecuación?

Son incógnitas cuyo valor debe ser hallado

Representan los valores que pueden ser evaluados en la ecuación

Representa todos los valores que pueden ser evaluados en una función.

Son el conjunto de puntos que pertenecen a un lugar geométrico

4.- ¿Qué significado tiene la raíz de una ecuación lineal?

El valor de la incógnita

Es el número que al sustituirlo en la ecuación hace que la igualdad sea

verdadera

Son los ceros de la función.

Es el valor de la abscisa para el cual la ordenada es cero

5.- ¿Qué significa resolver una ecuación lineal?

Despejar la incógnita para hallar su valor

Encontrar los valores que mantienen la igualdad entre los miembros de la

ecuación

Encontrar los ceros de una función lineal.

Hallar el punto en que una recta corta al eje X

6.- ¿Cuándo dos ecuaciones lineales tienen la misma solución?

Cuando al resolverlas tienen el mismo resultado

Cuando al realizar operaciones en la primera ecuación, se llega a la misma

expresión de la otra ecuación

Cuando las ecuaciones tienen las mismas raíces.

Cuando dos rectas se intersecan en el mismo punto

139

ANEXO 2

Cuestionario

SECCIÓN II

Resuelva los siguientes ejercicios y conteste las preguntas.

1) Un auto A inicia en el principio de una carretera y avanza a una velocidad

constante de 60 Km/h. Media hora después, un auto B parte del mismo punto

hacia la misma dirección con una velocidad de 90 Km/h.

A) ¿Cuánto tiempo tardara el segundo auto en alcanzar al

primero?________________________________________

B) ¿Si la carretera mide 45Km, cuánto tiempo tardará cada vehículo en

recorrer la carretera? _________________________________

C) La siguiente gráfica muestra las distancias recorridas por los

vehículos en cada unidad de tiempo.

¿Incluiría la gráfica en el planteamiento del problema?, ¿Por qué?

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

____________________________________________

Automóvil A

Automóvil B

140

2) Carla planea ir de vacaciones con su prima Kate durante una semana, por lo que

pide prestados $195 para comprar una podadora de césped, con el fin de ganar

dinero para el viaje cortando el césped de los vecinos. Ella decide cobrar $11.50

por cada trabajo.

A) Haga una tabla que muestre sus ganancias para 1, 10, 15, 20 y 30

trabajos.

Número

de

trabajos

Ganancias

1

10

15

20

30

B) ¿Cuántos trabajos debe hacer con el fin de cubrir su

deuda?_________________________________________

C) Escriba una regla que explique cómo obtener la ganancia de Carla en

función del número de trabajos que realice. Ganancia

=______________________________________

D) ¿Cuántos trabajos tiene que hacer Carla con el fin de ganarse al

menos $500 pesos para su viaje de

vacaciones?_____________________________________

E) ¿Considera que la elaboración de la tabla ayuda a resolver el

problema?, ¿Por qué?

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

____________________________________________

141

3) Una persona le preguntó a Juan por la edad de su hermano, y el contesto que

dentro de 16 años, su hermano tendrá cinco veces la edad que tiene ahora.

¿Cuántos años tiene el hermano de Juan?

4) De los tres problemas presentados anteriormente, ¿Cuál considera es el más

apropiado para presentarlo a sus estudiantes?, ¿Por qué?

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

__________

142

ANEXO 3

Entrevista Semiestructurada

1) ¿En qué se basó para responder las preguntas de la encuesta?

2) Al responder las preguntas de la encuesta, ¿usted consideró una ecuación lineal

con una incógnita, o con dos?, ¿por qué?

3) De habérsele permitido escoger más de una opción, ¿lo habría hecho?, ¿Qué

opciones hubiera elegido y por qué?

4) ¿Cuál considera es la característica más representativa de la ecuación lineal?

5) En el Ítem 1 usted menciona que quizás si incluiría la gráfica en el planteamiento

del problema, ¿Utilizó la gráfica para resolverlo?

6) En el Ítem 2, ¿Utilizó la tabla para resolver el problema?

7) En el ítem 4 menciona que uno de los ítems presentados en el cuestionario es el

más adecuado para presentar a sus estudiantes, ¿Es este tipo de ejercicio el que

habitualmente utiliza en la enseñanza de la ecuación lineal?

8) Describa una clase típica en la que introduzca el concepto de ecuación.

9) En la enseñanza del concepto ecuación lineal, ¿en qué aspectos se centra?

10) Para la enseñanza de la ecuación lineal, ¿qué representaciones de este concepto

utiliza?

11) ¿Cómo utiliza los ejercicios y ejemplos en clase?

12) ¿Con que propósito utiliza los ejercicios?

13) ¿Qué criterios emplea para elegir los ejercicios?

14) ¿Qué debe ser capaz de hacer el alumno para decir que aprendió ecuaciones

lineales?