UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

Predicción y modelación matemática. Características de un

punto de encuentro

TESIS INDIVIDUAL

Presentado por:

Geovany Ariel Moguel Pardío

Asesor de tesis:

M. en C. Eddie Aparicio Landa

Para obtener el título de

Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas

Mérida, Yucatán, México

Julio, 2011

Agradecimientos

Es muy grato para mi agradecer ante todo a Dios, por haberme dado la oportunidad de

compartir este logro con mis seres queridos, pero sobre todo por guiarme en este camino que

hoy da fin a un ciclo de mi vida.

Gracias a mis padres que tanta esperanza y esfuerzo pusieron en mí y que sin dudar en

ningún momento me dieron la mano para levantarme. Muchas gracias papá por forjar en mí

ese carácter fuerte y a mi mamá por darme ese aliento, cariño y valor para luchar contra

todo.

De igual forma, muchas gracias hermanos por estar ahí día con día, Jimmy con su

responsabilidad de ayudar a los demás y asimismo y Fernando siempre siendo el mejor con su

esfuerzo y dedicación.

Quiero agradecer también a mis maestros que guiaron mi interés, entusiasmo y potencial

junto con otras cualidades y actitudes. Eddie gracias por alentarme a seguir y despertar mi

interés hacia el estudio de la Matemática Educativa, fue muy grato para mi trabajar el

proyecto de tesis con usted.

Muchas gracias a mis amigos que estuvieron ahí siempre alentándome a seguir a pesar de las

adversidades, por alegrarme en los momentos difíciles y más que nada por entenderme

siempre. Elizabeth gracias por tu apoyo incondicional, por la oportunidad de ser tu amigo y

por todo lo que en nuestro camino aprendí de ti. Leslie gracias por ser una gran amiga, por

enseñarme con tu carácter a luchar por lo que uno quiere y más aún a tener una meta.

Gracias de igual forma a todas las personas que estuvieron a mi lado en este ciclo de mi vida,

en especial a la persona que en este cierre de ciclo me ha apoyado y alentado, y sé que

siempre lo hará, gracias Reina.

Índice

Introducción ............................................................................................................................. i

Capítulo 1 - Antecedentes y planteamiento del problema de estudio ........................................ 1

1.1 La ciencia y las matemáticas en el desarrollo histórico de la sociedad ....................... 1

1.2 La modelación en la matematización de los fenómenos naturales .............................. 3

1.3 La construcción de conocimiento matemático del Cálculo ......................................... 6

1.4 Tratamiento escolar de los conceptos del Cálculo y algunas implicaciones ................ 9

Capítulo 2 - Justificación y objetivo de estudio ..................................................................... 12

2.1 La predicción y modelación en el desarrollo de la ciencia ....................................... 12

2.2 La predicción y la modelación matemática .............................................................. 14

2.3 El Praediciere (La noción de predicción) ................................................................. 15

2.4 El Praediciere en situación escolar .......................................................................... 15

Capítulo 3 - Consideraciones teóricas y metodológicas ......................................................... 16

3.1 La Socioepistemología ............................................................................................ 16

3.2 Práctica Social: Predicción ...................................................................................... 17

3.3 Niveles de la noción de predicción .......................................................................... 19

Capítulo 4 - Método de estudio ............................................................................................. 20

4.1 Análisis preliminar .................................................................................................. 20

4.2 Diseño del instrumento y experimentación .............................................................. 25

Capítulo 5 - Análisis y resultados de la experimentación ....................................................... 29

5.1 Análisis de datos de la experimentación .................................................................. 29

5.2 Resultados de la experimentación ........................................................................... 62

Capítulo 6 - Conclusión y discusión ...................................................................................... 66

6.1 Conclusión .............................................................................................................. 66

6.2 Discusión ................................................................................................................ 67

Bibliografía ........................................................................................................................... 70

Anexos.................................................................................................................................. 75

i

Introducción

En el proceso de construcción de conocimiento matemático en situación escolar, se hace

necesario que los estudiantes experimenten, conjeturen, analicen datos numéricos, justifiquen

y formulen modelos que les permitan predecir cómo sucede la situación o fenómeno, para

generar entendimientos y explicaciones del mismo; y con base en ello, tomar decisiones de

naturaleza sociocultural.

El presente trabajo de investigación enmarca esta problemática, y centra su atención en

identificar la naturaleza de los procesos de modelación matemática que llevan a cabo

estudiantes de distintos niveles educativos ante actividades específicas de predicción; y a su

vez, precisar el estatus que guarda la noción de predicción, identificables en dichas

actividades, con base en la estructura por niveles de la noción de predicción (El Praediciere)

propuesto por Cantoral (2001).

La idea de predecir yace en la interacción de las personas con su entorno sociocultural, y es El

Praediciere (su noción de predicción) la que se construye socialmente a partir de las vivencias

y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales en la necesidad de predecir

(Cantoral, 2001).

Por ello, se toma como fundamento la aproximación teórica Socioepistemológica que ofrece

una forma de articular esta actividad humana con el conocimiento matemático, incorporando

el estudio de las interacciones entre la epistemología del conocimiento, su dimensión

sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización vía

la enseñanza (Cantoral y Farfán, 2002). Asimismo, en la aproximación teórica epistemológica

se buscan las bases elementales de significación para el rediseño del discurso matemático

escolar y también, investigación de corte experimental que enfatice en actividades de

“simulación y modelación”, con la intención de que los estudiantes construyan conocimiento a

través de la resignificaciones que se reproducen en dichas actividades (Camacho, 2006).

Este documento presenta en el primer capítulo la descripción y justificación de los tipos de

problemas, sus relaciones y las ideas relacionadas con la posibilidad de predecir, calcular y la

naturaleza de los problemas (variacionales) que se plantearon en los siglos VXII y XVIII.

ii

Asimismo, se plantean algunos aspectos relacionados con la modelación como un proceso de

matematización de la naturaleza (construcción de modelos matemáticos) y las aportaciones

que vislumbran algunas investigaciones en Matemática Educativa de la construcción de

conocimiento matemático.

En el segundo capítulo se justifican elementos esenciales para el desarrollo de prácticas

escolares más acordes a necesidades cotidianas y reales, como el modelar o predecir el entorno

natural. De igual forma, se discute sobre como la predicción y la modelación pudiera ser una

forma de estudiar y explicar la construcción de conocimiento matemático.

Las consideraciones teóricas y metodológicas se justifican en el tercer capítulo. En este se

plantea el marco teórico, y de igual forma se describen los niveles que determinan el status

que guarda la noción de predicción, propuestos por Cantoral (2001).

En el cuarto capítulo se presentan los análisis preliminares, el diseño y la experimentación del

instrumento. En este capítulo, se presenta una descripción del instrumento aplicado en los

niveles educativos básico, medio y superior, así como los supuestos que encamaran su

aplicación.

El análisis de datos de la experimentación y los resultados obtenidos, se presentan en el

capítulo cinco. En este capítulo, se muestran las respuestas y explicaciones escritas por los

estudiantes de cada nivel educativo, y asimismo, se presentan las anotaciones realizadas por el

observador y los resultados obtenidos.

Por último, en el sexto capítulo se presenta la conclusión y discusión que ofrece la

investigación, los cuales exhiben características esenciales para rediseño del discurso

matemático escolar, particularmente, del cálculo y el análisis.

1

Capítulo 1

Antecedentes y planteamiento del problema de estudio

1.1 La ciencia y las matemáticas en el desarrollo histórico de la sociedad

La ciencia al igual que las matemáticas forman parte específica de la conciencia social, siendo

de esta manera más que un resultado de intercambio de conocimiento, teorías y métodos

(Wussing, 1998). A su vez, es importante rescatar que a lo largo de la historia se identifica una

estrecha relación entre la ciencia y las matemáticas, siendo esta última la que ha impulsado el

desarrollo de una sociedad científica y tecnológica (Marcolini y Perales, 2005). Asimismo,

ambas se han convertido, por ello, en participes de importantes decisiones políticas,

económicas y sociales, apoyadas en el desarrollo de investigaciones sólidamente

fundamentadas y con objetivos claros (Wussing, 1998).

Por supuesto, esta visión de la ciencia y las matemáticas permite notar su función

conformadora en las sociedades, esto es, que de modo directo y múltiple han influido en el

progreso social, en cuanto a la producción, la economía, el profesionalismo, la educación, la

formación ideológica y el desarrollo tecnológico. Al mismo tiempo, en una reflexión

epistemológica de la ciencia y las matemáticas, se ve reflejado su impacto sociocultural en las

investigaciones desarrolladas en diferentes áreas de conocimiento como la física, la

astronomía, la ingeniería y la mecánica, por mencionar algunas.

Este hecho actuó objetivamente como una importante necesidad social, la cual se orienta hacia

la búsqueda de la comprensión del sistema que regula los fenómenos en la naturaleza. Así, por

ejemplo, la influencia de los astros en la vida terrestre y el destino individual fueron aspectos

claves en el estudio de las estrellas, el movimiento planetario y del universo; los viajes

marítimos, la fabricación de barcos, el diseño de canales y la construcción de puertos y presas,

motivaron el entendimiento de la dinámica de los fluidos; la artillería por su parte, planteó

cuestiones de balística, esto es, el estudio de las fuerzas, trayectorias y rotaciones de los

disparos; al igual en la música se discutieron las causas que regulan la armonía producida en el

sonido en los instrumentos de cuerda, permitiendo de esta forma el análisis de las relaciones

armónicas, el movimiento de las cuerdas y sus oscilaciones.

2

Por consiguiente, estas ideas de estudiar los fenómenos en la naturaleza, estaban presentes en

los diversos trabajos que se discutieron desde los siglos dieciséis hasta principios del siglo

diecinueve. Es así que se realizaron diversos estudios en torno al movimiento de proyectiles,

cabe destacar las investigaciones del científico Galileo (1564-1642), quien prescindió algunos

de sus trabajos en “revelar la forma de la trayectoria seguida por los graves al caer después de

rodar a través de un plano inclinado” (Naylor, 1974, citado en Álvarez y Posadas, 2003).

Por otra parte, en la fenomenología del movimiento del universo, los estudios de Newton

(1643-1727) plantearon la búsqueda de la causa que provoca este movimiento, proponiendo el

problema que consiste en determinar “cuál debía ser la curva descrita por un planeta sometido

a la acción de una fuerza atractiva dirigida hacia el Sol, y cuya magnitud fuera inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia entre ambos” (Torroja, 1998).

En el estudio de las relaciones armónicas se enfatizaron los problemas que hondaron en

determinar el movimiento de una cuerda tensa y encontrar el tiempo de vibración propuestos

por Taylor (Guzmán, 1983). De igual manera, Bernoulli planteó el problema que consiste en

determinar “la oscilación de una cuerda homogénea flexible pesada suspendida de un

extremo” (Luzin, 2003).

Del mismo modo, se puede encontrar en los trabajos de Euler (1707-1783) sobre la dinámica

de fluidos, un planteamiento equivalente que consiste en “determinar las ecuaciones del flujo,

sea este comprensible o incomprensible” (Cantoral, 1990). Y también, este tipo de problemas

se reconocen en las investigaciones realizadas por Fourier al problema de determinar “la

relación que guarda la acción del calor con el sistema del mundo” (Cantoral, 2001).

Así, se reconoce que las situaciones o fenómenos antes mencionados forman parte de un

escenario sociocultural específico, que exigían de su comprensión, estableciendo de esta forma

el reconocimiento de la necesidad de explicar su evolución mediante el descubrimiento de

leyes que regulen el comportamiento de éstas (Cantoral, 2001), al mismo tiempo, resultó

natural la consideración de estudiar los fenómenos en la naturaleza, en particular, los de

variación continua, permitiendo con su entendimiento el desarrollo de avances científicos y

tecnológicos, y a su vez de la construcción de conocimiento matemático.

3

1.2 La modelación en la matematización de los fenómenos naturales

Los estudios que se realizaron en torno al entendimiento de la variación en fenómenos de la

naturaleza, planteó la necesidad esencial de explicar su comportamiento, lo que implica

conocer sus elementos y funcionalidad; reconociendo el cómo sucede, para así controlar de

algún modo las condiciones en que se producirá tal fenómeno y predecir bajo qué condiciones

se podrían producirse acontecimientos futuros.

Evidentemente, este propósito que busca “modelar”, “anticipar” y “predecir” los fenómenos

en la naturaleza con el respaldo matemático, surge como una necesidad del funcionamiento del

tejido social y está dirigida en dar cientificidad a tal tratamiento, pues modelar el mundo real,

construir modelos válidos y procesos reales, constituyen el objeto de estudio en la

construcción de conocimiento científico (Hestenes, 1992, citado en Gutiérrez, 2002).

Por ello, se buscan “modelos” que incorporen el reconocimiento de una serie de relaciones

funcionales que serán construidas mediante la observación de una serie de experiencias

elementales, con las cuales se obtiene una colección de datos que permitirán explicar y

predecir el fenómeno estudiado a partir de su análisis (Cantoral, 2001), esto es, la

matematización de los fenómenos en la naturaleza.

Este proceso de matematización descansa en las propias producciones científicas que se

desarrollaron en las diferentes esferas del conocimiento, como se mencionó anteriormente.

Galileo estudió el movimiento de proyectiles y demostró “que el movimiento del proyectil

podía considerarse, en el caso de elevación nula, como resultado de la composición de dos

movimientos independientes, que no interfieren entre sí: un movimiento horizontal uniforme

y un movimiento vertical uniformemente acelerado” (Sorge, Ramírez y Otero, 2007), que

describe en su trayectoria una línea curva parabólica. A continuación, se presenta los detalles

esenciales del folio 152r, en donde Galileo busca la relación entre espacios y las velocidades.

4

Asimismo, en la resolución que presentó Newton sobre el estudio del movimiento del

universo, se menciona que la curva que describe ese movimiento tiene una trayectoria elíptica,

y en su exposición literaria se presenta que “el movimiento real del planeta se descompone en

un par de movimientos simples, ambos rectilíneos, uno inercial sobre la trayectoria tangente a

la trayectoria elíptica y otro de caída libre desde la posición imaginariamente inercial”

(Cantoral, 2001), proponiendo en su resolución un “modelo” que determina la fuerza que

ejerce un objeto con masa sobre otro con masa (Torroja, 1998).

Respecto a la matematización del fenómeno de la cuerda vibrante, Taylor obtuvo la “ecuación

diferencial” de la cuerda, con la cual estableció que el movimiento de un punto arbitrario es el

de un péndulo simple, determinando su tiempo de vibración y su periodo (Guzmán, 1983). Por

su parte, Bernoulli obtiene la resolución al problema de las vibraciones de una cuerda flexible

pesada en la forma:

( ⁄ )

es la abscisa de un punto de la cuerda, es la desviación de la posición de equilibrio, y

, donde a se determina por la condición , donde

es la longitud de la cuerda (Luzin, 2003, p. 417).

[Suponer que] AB es a AD como AD es a AC. Sea

BE el grado de velocidad en B [y] CF el grado de

velocidad en C. [Si] AB es a AD como BE es a CF,

[entonces] AD es a AC como BE es a CF. Se sigue

que los cuadrados [de estas últimas cantidades] son

iguales entre sí y que AD es a AC como BE

es a CF. Y siendo esta misma razón [similar a la

primera], entonces BD es a CF como AB es

a AC.

Ilustración 1. Detalles esenciales del folio 152r, en donde Galileo busca la

relación entre espacios y las velocidades.

5

En el estudio de la dinámica de los fluidos, Euler constituye un sistema de ecuaciones que

“describen los movimiento de fluidos ideales incomprensibles de densidad constante ,

sometidos a la fuerza gravitatoria caracterizada por la aceleración ” (Liñán, 2009).

(

)

(

)

(

)

También se reconoce en la investigación que realiza Fourier al problema de la conducción del

calor en un cuerpo sólido, la resolución a través de la “ecuación”

(

)

que describe la distribución del calor o variaciones de la temperatura en una región conforme

transcurre el tiempo (Cantoral, 2001).

En estos problemas se advierte el planteamiento de un objetivo, el estudiar un cierto fenómeno

de naturaleza variacional para describir su evolución, es decir, un fenómeno de naturaleza

variacional-predictiva, sea caída libre o movimiento uniforme y uniformemente acelerado de

los cuerpos, fuerza de atracción entre cuerpos, variaciones de la temperatura en los cuerpos

sólidos, dinámica de los fluidos, vibraciones de un sistema, entre otros; para luego plantear en

su resolución un sistema de relaciones de dependencia entre las variables y la cuantificación

de los parámetros asociados al fenómeno estudiado, es decir, un modelo matemático.

Ecuación de continuidad

6

1.3 La construcción de conocimiento matemático del Cálculo

La matematización de los fenómenos de naturaleza variacional-predictiva posibilitó el pasaje

de un esquema pre-científico del saber, al paradigma propio de la ciencia moderna, en la cual

se vislumbra la evolución del conocimiento científico y tecnológico; y el desarrollo de los

fundamentos de la matemática, en particular, la matemática de la variación y el cambio. Y es

en este momento histórico que se precisa el reconocimiento de la construcción de “objetos

matemáticos” en las producciones originales de los científicos.

El hecho de modelar estos fenómenos, incorporando una serie de relaciones de dependencia

entre las variables involucradas, planteó cuestiones en torno al concepto función, generando

nociones como por ejemplo, la función como curva, como expresión analítica, como

representación gráfica, como serie de potencias infinitas y serie de senos y cosenos.

Asimismo, el comportamiento continuo, discontinuo y repetitivo de las funciones que

modelaban estos fenómenos hizo evidente el estudio de la continuidad puntual (Aparicio y

Cantoral, 2006), las funciones por partes (Yam y Aparicio, 2009) y lo periódico en las

funciones trigonométricas (Buendía, 2004).

También se desarrollaron simultáneamente ideas simbólicas para representar la variación y el

cambio en diferentes contextos, tales como los métodos geométricos, métodos numéricos y los

métodos analíticos. Sin duda, esto posibilitó la evolución de las herramientas y estrategias para

la modelización de la naturaleza, permitiendo resolver los problemas que se planteaban en esa

época, como el cálculo de longitudes de curvas, áreas bajo curvas, la determinación de rectas

tangentes a curvas dadas o la cuadratura y curvatura de ciertos objetos geométricos; así como

el estudio de la velocidad y máximos y mínimos como procesos de variación (Cantoral, 2003).

Además, se reconoce el ingenio y el avance de las ideas que surgieron para el tratamiento de

los problemas de la dinámica en particular y de la variación de las magnitudes variables en

general, por ejemplo, los procesos infinitos se reconocen en los procesos infinitesimales en el

cálculo de Leibniz, quien parte de considerar los problemas de esa época con una visión

geométrico-euclidiana, concibiendo el continuo geométrico formado por segmentos

infinitesimales y la recta tangente como aquella que une dos puntos infinitamente próximos.

Al mismo tiempo, la idea de Leibniz a cerca de los infinitesimales, fue la de aceptar tales

7

cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes, pensándolas como entes ideales,

del estilo de los números imaginarios que debían ser gobernados por las mismas leyes que los

números ordinarios (Ruiz y Martínez, 2005).

Por su parte, Newton (1642-1717) con su concepto fundamental del cálculo, el de fluxión,

parte de una visión cinemática del análisis, y afirma en su De quadratura curvarum:

“No considero las magnitudes matemáticas como formadas por partes de

todo lo pequeñas que se quieran, sino como descritas por un movimiento

continuo. Las líneas son descritas y engendradas, no por yuxtaposición de

sus partes, sino por el movimiento continuo de sus puntos; las superficies,

por movimiento de líneas; los sólidos, por movimiento de superficies; los

ángulos, por la rotación de sus lados; los tiempos, por un flujo continuo; y

así sucesivamente” (Ortega y Sierra, 1998, p. 89).

De ahí determinó que las cantidades variables a cuerpos en movimiento, son cantidades que

van fluyendo (fluentes), según la velocidad de variación con la que cada una crece (fluxiones),

las que a su vez varían (fluxión de las fluxiones) y así sucesivamente. Asimismo, establece la

teoría de las llamadas “razones primera y última”, refiriéndose a la razón primera de los

incrementos nacientes (nociones infinitesimales) o la razón última de incrementos

evanescentes (límites) (Ortega y Sierra, 1998).

Una aplicación concreta de las ideas de Newton se vislumbra en la síntesis newtoniana, que

involucra el estudio del movimiento del universo mencionado en el apartado anterior, en la

cual “unifica en una sola teoría las primeras leyes matemáticas que describen el movimiento

celeste de Kepler, con las leyes del movimiento terrestre elaboradas por Galileo, auxiliándose

para ello de las nociones de infinitesimales y de límites (primeras y últimas razones)”

(Cantoral y Farfán, 2004).

A su vez, las ideas de Newton a cerca del cálculo de fluxiones, permitió la predicción de los

fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, generando modelos que atendían la evolución

de un sistema que regula el comportamiento del fenómeno. Es así, por ejemplo, que para

ciertas situaciones en las que se necesita conocer el valor que tomará una magnitud con el

8

paso del tiempo, la que a su vez depende de una magnitud que fluye incesantemente, se

precisará el valor que tomará antes de que transcurra el tiempo, antes de que transite de un

estado a otro, reconociendo los valores de B y de P en un momento dado, de la forma en la que

P y B cambian, de la forma en la que cambian sus cambios, y así sucesivamente. De modo que

el objetivo central de estudio, es identificar cómo será , una vez conocido el inicio de P,

el cambio que sufre P, el cambio del cambio de P, etc.

En estas situaciones se precisa de la “predicción” de los fenómenos en la naturaleza, es decir,

la posibilidad de anunciar, anticipar y determinar el estado final del fenómeno estudiado. Este

hecho, evocó un programa de matematización emergente de aquella época, con el que se

buscaba “modelar”, anticipar, “predecir” fenómenos naturales con el respaldo matemático, el

objeto matemático “Binomio de Newton” (Cantoral y Farfán, 1998).

Como es evidente, la necesidad de explicar la evolución de los fenómenos de naturaleza

variacional-predictiva, generó la construcción de herramientas matemáticas adecuadas para

calcular y predecir, tal es el caso de los programas de matematización: Leibniziano y el

Newtoniano, los cuales representan las primeras nociones del concepto función derivada. A su

vez, al presentar la resolución a estos problemas, se reconoce que el problema de las

cuadraturas y el de las rectificaciones eran problemas inversos, generalizando la idea de que la

derivación y la integración eran procesos inversos; obteniendo lo que hoy día conocemos

como Teorema Fundamental del Cálculo.

Asimismo, la resolución de estos problemas, sean mecánicos, geométricos o de otra índole que

dieron origen a los conceptos de derivada e integral, no requerían necesariamente de encontrar

una primitiva o una derivada, sino en determinar una función desconocida a partir de la

relación que guarda con sus variaciones y sus cambios, es decir, determinar las soluciones de

una ecuación diferencial. Es por ello que Euler en el tratamiento analítico de los problemas de

la Mecánica, presenta como objeto fundamental del cálculo el estudio de las funciones y las

operaciones realizadas sobre ellas, convirtiendo el Cálculo en una rama más amplia de las

Matemáticas denominada Análisis (Sanz, 2009; Bombal, 2009).

9

1.4 Tratamiento escolar de los conceptos del Cálculo y algunas implicaciones

Las producciones científicas así entendidas, han planteado procesos de modelación

matemática asociados a situaciones que precisan de la predicción de los fenómenos de flujo

continuo, en la necesidad de saber cómo será su estado con el paso del tiempo. A su vez, los

avances científicos y tecnológicos que se desarrollaron en torno a estas producciones en

distintas épocas y culturas, las han reconocido como objetos para su estudio y difusión, ya que

permitieron resolver problemas de las matemáticas, de las ciencias naturales, sociales y

humanas. Por ello, en un esfuerzo por ser objetos de enseñanza, se han hecho aportes que han

permitido los cambios y el refinamiento necesario para introducirlos como “objetos

matemáticos” (puro, aplicado y a enseñar) al sistema educativo, en formas organizadas con

nombres tales como Cálculo, Ecuaciones Diferenciales y Análisis Matemático. Por ejemplo en

los cursos de Cálculo se identifica el estudio de los conceptos función, límite, derivada,

integral, el Teorema Fundamental de Cálculo, el Binomio de Newton, etc.

La incorporación de estos objetos matemáticos al discurso matemático escolar, obliga a

otorgar un tratamiento que reduce el conocimiento matemático y su significado estrictamente

formal, a objetos matemáticos concretos, hechos e inmutables, es decir, se les exhibe como un

resultado de naturaleza teórica (propia de la Matemática), que requiere de principios, axiomas,

conjunto de postulados, definiciones y reglas de inferencia deductiva, las cuales son necesarias

y suficientes para su demostración (Martínez, 2001). Así por ejemplo, el objeto matemático

límite de una función se presenta como:

Por ello, Azcárate hace énfasis en que “el carácter de los programas vigentes, así como la

propia estructura de estudios, ha inducido una enseñanza de las matemáticas en la que se ha

descuidado su papel como instrumento de conocimiento” (Azcárate, citado en Marcolini,

Perales, 2005), planteando en el ámbito escolar, prácticas tradicionales que inician desde la

organización de la estructura curricular en las escuelas, así como en la cultura de la enseñanza,

en cuya producción y reproducción participan activamente profesores, estudiantes y

administradores (Cuba, 1984, citado en Gregg, 1995). Esta práctica resulta ser una instrucción

en la que el discurso matemático escolar es propiamente formal y descontextualizado, basado

10

en la memorización de conceptos que plantea el profesor; resolución de problemas

descontextualizados; la aplicación de procedimientos y algoritmos para una única solución del

problema; y la reproducción de procedimientos en varios ejercicios similares para la

validación del conocimiento adquirido (Gómez, 1991). Por ello, tradicionalmente los cursos de

Cálculo y Análisis se conforman por un repertorio de procedimientos y algoritmos

provenientes esencialmente del Álgebra y de la Geometría Analítica; donde por ejemplo, el

estudio del concepto función se introduce de una manera muy simplista, presentándose como

un procedimiento que se aplica a unos ciertos objetos llamados números; que posteriormente,

deviene a ser objeto al ser operado bajo otro proceso como la diferenciación, la integración o

como parte de un conjunto de soluciones en las ecuaciones diferenciales (Cantoral y Farfán,

1998).

Ante esta tendencia en la enseñanza del Cálculo y el Análisis, se puede reconocer las

dificultades de diferente naturaleza en el aprendizaje del conocimiento matemático,

principalmente, el soslaye del “significado” de tales objetos. Se puede mencionar, las

discusiones que surgen para superar los modos de pensamiento numérico y algebraico previas

al estudio del Cálculo y el Análisis, puesto que estos incorporan nuevas ideas como la

variación y el cambio, y el tratamiento a través de procesos infinitos, lo que Cantoral y Farfán

(1998) denominan pensamiento y lenguaje variacional.

Por otra parte, la adquisición del conocimiento matemático a través de la enseñanza

tradicionalista, limita la “funcionalidad” de este conocimiento en situaciones cotidianas, esto

se hace evidente en numerosos estudios en los últimos años, los cuales muestran que las

personas utilizan procesos diferentes para estas situaciones (Torbay, 1999), en general

alejados de los que se aprenden en la escuela. Esto permite enfatizar la falta de transferencia

de conocimiento por parte de los estudiantes a escenarios escolarizados y no escolarizados,

haciéndose carente en ellos la competencia cognitiva general y, en concreto, la posibilidad de

llevar a cabo razonamientos lógicos formales asociados al pensamiento científico. Una clara

evidencia se puede encontrar en un estudio realizado por Acosta y Castro (2006), en la que

estudiantes de secundaria y primeros semestres universitarios no fueron capaces de

argumentar hacia donde gira la tierra.

11

De esta forma se concluye que los tipos de razonamientos que favorecen en los estudiantes el

poder experimentar, explorar, observar, conjeturar, justificar y argumentar para obtener una

solución a un problema planteado, no se propician en la formación escolar, identificándose de

esta forma lo señalado por Cajas (2001):

“la mayoría de los miembros de nuestras sociedades, entienden muy poco

acerca de la naturaleza de la ciencia y la tecnología… En lo que respecta a

tecnología (como parte del desarrollo de la ciencia), esto no es ninguna

sorpresa, pues en ningún momento en su trayectoria escolar nuestros

estudiantes reciben una educación explícita en tecnología. En los programas

escolares muy pocas veces se estudia la interacción entre la ciencia,

tecnología y sociedad…” (Cajas, 2001, p.243).

En definitiva, el tema de importancia en las sociedades contemporáneas, el cual ha sido

considerado desde hace décadas, es el proceso de la culturización científica-tecnológica de sus

miembros. Algunas investigaciones (Gil, 1998; Silvio, 1998; Cajas, 2000) confirman el bajo

nivel de alfabetización científica y tecnológica en los miembros de nuestra sociedad, con lo

que se reconoce la necesidad de implementar modificaciones educativas apoyadas en la

postura clásica positivista1, particularmente, en el discurso matemático escolar (Cantoral y

Farfán, 2003).

1 Postura concerniente a la determinación del qué enseñar, no del cómo enseñar (Marcolini y Perales, 2005)

12

Capítulo 2

Justificación y objetivo de estudio

2.1 La predicción y modelación en el desarrollo de la ciencia

El hombre siempre ha tratado de entender el mundo sobre la base de su inteligencia

imperfecta, construyendo un mundo artificial que le permita alcanzar una reconstrucción

conceptual, esto es, un creciente cuerpo de ideas llamado "ciencia" (Bunge, 1968). La ciencia

como actividad (investigación), pertenece a la vida social, en cuanto se le aplica a la mejora de

nuestro medio, a la invención y manufactura de bienes (tecnología) y al desarrollo de sí

misma.

Esta actividad que se genera en el quehacer científico durante la construcción de

conocimiento, plantea realizar observaciones y experimentos de los fenómenos naturales, para

determinar si el mundo de nuestras hipótesis corresponde al mundo real. Por ejemplo, se

construyen datos empíricos, llevando registros metódicamente por períodos razonables de

tiempo, de los cuales se deriva información empírica; para finalmente crear y defender un

modelo exacto de los fenómenos observados (Slater, 1994, citado por Gutiérrez, 2002).

Con ello, se reconoce que la tarea de la ciencia, en su parte teórica es la explicación, en el

sentido de que no se conforma con describir cómo es el mundo sino que intenta dar cuenta de

las razones por las cuales las situaciones o fenómenos se comportan del modo en qué lo hacen,

esto a través de un modelo que represente la realidad observable; y en su parte práctica es la

predicción, puesto que todas las situaciones o fenómenos requieren de principios que sean

predictivos de los efectos particulares que ocurrían si efectuamos ciertos cambios específicos

en un sistema dado (Popper, 1983, citado Verdugo, 2005; Gutiérrez, 2002). Esto es, se trata de

dos aspectos diferentes y la misma actividad, tal como menciona Cantoral (2001):

“[…] con el reconocimiento de la necesidad de explicar mediante el

descubrimiento de leyes que regulan el comportamiento de los fenómenos; se

buscan modelos que predigan el desarrollo ulterior de lo observable.” (p. 58).

13

Asimismo, entre las actividades que se desarrollan en el quehacer científico, se reconoce

conceptos tales como:

Predecir (DEO2, RAE

3): Anunciar por revelación, ciencia o conjetura, algo que ha de

suceder.

Predecir (DLE4): Conjeturar, suponer, admitir por hipótesis, significar, representar,

demostrar, indicar.

Modelo (RAE): Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o

de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para

facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.

Modelo (DEO): Reproducción ideal y concreta de un objeto o de un fenómeno con

fines de estudio y experimentación.

Modelo (Ríos, 1995): Es un objeto, concepto o conjunto de relaciones, que se utiliza

para representar y estudiar de forma simple y comprensible una porción de la realidad

empírica.

De este modo, se justifican elementos esenciales para el desarrollo de prácticas escolares más

acordes a necesidades cotidianas y reales, los cuales posibilitan que los estudiantes construyan

sus conocimientos matemáticos como herramienta para realizar su actividad, y al mismo

tiempo, establezcan versiones del fenómeno que las constituyan como parte de su

conocimiento científico (Arrieta, 2003). Se enfatiza con esto, el estudio del entorno natural

con el objeto de predecir cómo sucede una situación o fenómeno y generar a través de un

modelo, un mundo artificial que represente de forma objetiva la realidad observable, a fin de

generar entendimientos y explicaciones del mismo; y con base en ello, tomar decisiones de

naturaleza sociocultural.

2 DEO. Diccionario Enciclopédico Océano. 3 RAE. Real Academia Española 22ª Edición.

4 DEL. Diccionario Larousse Escolar.

14

2.2 La predicción y la modelación matemática

La matemática en tanto ciencia deductiva de una estructura abstracta y “formal”, incorpora a

la modelación matemática como herramienta para realizar la precisa reconstrucción de las

complejas relaciones que se encuentran en cada una de las situaciones o fenómenos que se

necesitan explicar y predecir.

Cantoral (2001) menciona que en la idea de “predicción”, se reconoce al estudio de los

fenómenos en la naturaleza como el asunto de mayor importancia, puesto que plantea el

problema de determinar aquellas magnitudes que describan con exactitud, el aspecto del

fenómeno en un estado dado, a fin de encontrar la ecuación que constituya una descripción de

las leyes que gobiernan los cambios de dichas magnitudes, y plantear con su resolución, un

“modelo” que describa satisfactoriamente el fenómeno estudiado. Por ejemplo, el objeto

matemático Binomio de Newton, es un programa emergente del siglo XVI y XVII que

buscaba anticipar el cómo suceden algunos fenómenos en la naturaleza, particularmente los de

flujo continuo, y plantea su resolución a través de la cuantificación de los cambios, de los

cambios de los cambios y así sucesivamente (Cantoral y Farfán, 1998).

Por otra parte, la modelación matemática es entendida como el “proceso” de describir en

términos matemáticos, un fenómeno real, lo que permite generar la construcción de

conocimiento matemático y la evaluación e interpretación de este en la situación real,

explicando el cómo sucede y prediciendo bajo qué condiciones se producirían acontecimientos

futuros.

Por tanto, se enfatiza que la construcción de conocimiento matemático se realiza en plena

interacción de las personas con situaciones del mundo real, y que esta construcción no está

tanto en la predicción y la modelación como expresiones matemáticas de una situación

fenomenológica, sino en los procesos que subyacen en las actividades humanas, las tareas,

acciones y habilidades que las personas (estudiantes) llevan a cabo, al plantearles una

necesidad sociocultural de saber cómo será su estado (del fenómeno) con el paso del tiempo.

15

2.3 El Praediciere (La noción de predicción)

La idea de predecir yace en la interacción de las personas con su entorno sociocultural, y es El

Praediciere (su noción de predicción) la que se construye socialmente a partir de las vivencias

y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales en la necesidad de predecir

(Cantoral, 2001).

Es así que la noción de predicción ha mostrado ser una idea motriz en el desarrollo de los

conceptos del cálculo, además de ser esta idea, la que se relaciona con el estudio de la

variación, pues para predecir un estado futuro correspondiente a un sistema dado, es necesario

cuantificar y analizar los cambios de sus causas y efectos (estudiar la variación).

2.4 El Praediciere en situación escolar

En el proceso de construcción de conocimiento matemático en situación escolar, se hace

necesario que los estudiantes experimenten, conjeturen, analicen datos numéricos, justifiquen

y formulen modelos que les permitan predecir cómo sucede la situación o fenómeno, para

generar entendimientos y explicaciones del mismo; y con base en ello, tomar decisiones de

naturaleza sociocultural.

Bajo la hipótesis de que la formulación de modelos matemáticos es una actividad asociada a la

necesidad de predecir una situación o fenómeno (en esencia de naturaleza variacional), la

pregunta de investigación que guía el presente estudio es la siguiente, ¿qué niveles de

predicción son identificables en un proceso de modelación matemática llevado a cabo por

estudiantes de distintos niveles educativos en situaciones variacionales específicas?

Los objetivos de la investigación son los siguientes:

1. Identificar la naturaleza de los procesos de modelación matemática que llevan a cabo

estudiantes de distintos niveles educativos ante actividades específicas de predicción.

2. Precisar el estatus que guarda la noción de predicción, identificables en dichas

actividades, con base en la estructura por niveles de la noción de predicción (El

Praediciere) propuesto por Cantoral (2001).

16

Capítulo 3

Consideraciones teóricas y metodológicas

3.1 La Socioepistemología

El conocimiento matemático se construye y reconstruye en el contexto mismo en que las

personas llevan a cabo determinadas prácticas con carácter intencional. El acercamiento

socioepistemológico ofrece una forma de articular esta actividad humana con el conocimiento

matemático, incorporando el estudio de las interacciones entre la epistemología del

conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos

de institucionalización vía la enseñanza (Cantoral y Farfán, 2003); y centrar la atención no en

los conceptos matemáticos sino en las actividades humanas que generan este conocimiento, la

práctica social.

Es así como lo socioepistemológico debe significar el reflejo de cualquier actividad humana

haciendo matemáticas, enfatizando de igual manera lo señalado por Cordero (2001):

“[…] el funcionamiento mental que atañe a una aproximación sociocultural

a la mente debe estar en correspondencia con la modelación y el uso de la

matemática, es decir, con el lenguaje de herramientas que resulta de la

actividad humana.” (p. 111).

Por ello, en la aproximación socioepistemológica se buscan las bases elementales de

significación para el rediseño del discurso matemático escolar y también, investigación de

corte experimental que enfatice en actividades de “simulación y modelación”, con la intención

de que los estudiantes construyan conocimiento a través de la resignificaciones que se

reproducen en dichas actividades (Camacho, 2006), esto es, estudiar los fenómenos, los

problemas, las circunstancias, los procesos y las herramientas asociadas a dicha construcción

de conocimiento, pues “el conocimiento se produce no sólo porque hay una interacción de las

personas con el mundo físico, sino porque esa interacción se da en el marco de un contexto

social con un sentido cultural […]” (Gómez, 1991, p. 20).

17

De esta forma, la aproximación teórica pone énfasis en las “prácticas sociales”, las cuales son

entendidas como normativas de la actividad humana, es decir, como un conjunto de

“acciones” voluntarias que, intencionalmente desarrolla el individuo para construir

conocimiento (Arrieta, Buendía, Ferrari, Martínez y Suárez, 2003).

Asimismo, Godino y Batanero (1994) citado en Camacho (2006), mencionan como “práctica”,

a toda acción o manifestación que lleva a cabo un sujeto para resolver problemas, comunicar

una solución a otros sujetos, así como validar y generalizar la solución a otros contextos y

problemas, por ejemplo, la mención de objetos matemáticos; el reconocimiento de ciertos

objetos en el contexto; el discurso; la relación establecida entre objetos y procesos

matemáticos; y la exploración, indagación, síntesis y justificación de contenidos matemáticos

(Planas e Iranzo, 2009).

3.2 Práctica Social: Predicción

Las personas siempre han participado en el mundo construyendo sus conocimientos, sus

realidades y sus herramientas, en una necesidad del funcionamiento del tejido social y al

interactuar intencionalmente con el entorno. Y es así, como la imposibilidad de controlar el

tiempo a voluntad, obliga a los grupos sociales a predecir, a anticipar los eventos con cierta

racionalidad (Cantoral, Molina y Sánchez, 2005), reconociendo en la naturaleza del problema,

aquello que siendo intrínseco, nos permitirá garantizar con certeza lo que sucederá.

Estudios más centrados en identificar el proceso de construcción de conocimiento matemático

en las producciones originales de los científicos de otros siglos, se hace evidente la práctica de

predicción, como la práctica social que norma el quehacer de los científicos y tecnólogos de la

época (Cantoral y Farfán, 1998). Por ejemplo, en el estudio de las situaciones y problemas

planteados en la Teoría de Calor de Fourier, en la Ley de Gravitación Universal de Newton y

el problema de la cuerda vibrante de la cual se generó la ecuación de onda estudiada por

D'Alembert, Euler, Bernoulli y Lagrange, se identifican procesos de modelación matemática

propia de las ciencias experimentales, en los cuales se tienen la intención de precisar el

comportamiento de lo que fluye, fuese el calor, flujo del agua, el movimiento o los flujos

eléctricos.

18

De este modo, se puede reconocer que en ciertas situaciones, se necesita conocer el estado

final en la que se encontrará un fenómeno a partir de un estado inicial o viceversa, esto es,

adelantarse a los acontecimientos, revelar lo que habrá de suceder, sin embargo, el problema

queda resuelto solo hasta que se precise “la predicción” y de la forma en que la conjetura sea

válida (Cantoral, 2001).

Con ello, se establece como predicción al anuncio por ciencia o conjetura, de algo que ha de

suceder; la práctica de predicción, aquello que regula y norma dicha actividad humana; y la

noción de predicción, son las ideas primitivas que permite predecir y anteceden a dicha

actividad y práctica. Es así, como la noción de predicción se construye socialmente a partir de

las vivencias y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales en la

necesidad de predecir. Por ejemplo, ¿cómo una persona decide que la diferencia o en su caso

la razón entre estados, ayuda a predecir comportamientos y modelar?

Modelo diferencia (diferencia entre estados)

En este modelo se presentan estados, que establecen la medida de una cierta magnitud

asociada a un cierto objeto en un instante de tiempo; comparaciones que expresan la

diferencia entre dos estados; y variaciones, que constituyen el cambio de un estado con

el paso del tiempo.

Modelo razón (razón entre estados)

En este modelo se presenta de igual forma estados; comparaciones que expresan la

razón entre estados; y una escala de variación, que representa la relación entre el

estado inicial y el estado final.

Estos modelos son dispositivos medidores que permiten obtener información de los cambios

entre los estados. De ahí, es donde yace la noción de predicción, que precisa el estudio de la

cuantificación de las formas variables en la naturaleza, es decir, la cuantificación de los

cambios en las variables involucradas en el fenómeno, en una necesidad planteada que indaga

en el comportamiento del estado vecino sobre la base de datos que aporta el estado hecho

(Cantoral, 1990).

𝐸𝑓 𝐸𝑖

𝐸𝑓𝐸𝑖

19

3.3 Niveles de la noción de predicción

La noción de predicción se sitúa en la actividad misma de predecir y en su práctica, de las

cuales, se retoman elementos esenciales que determinan el estatus que guarda dicha noción,

reconociendo así, tres niveles propuestos por Cantoral (2001) en los que tal noción se expresa

o significa. Estos niveles se retoman para el análisis de resultado con el objeto de determinar

el estatus de nivel de predicción que vive en situación escolar.

El primer nivel se le denomina esquema, este deviene en su forma elemental, y se manifiesta

en la representación inmediata de lo observado y referido solo a aquello que se observa. En

este nivel, se considera un estudio del fenómeno de carácter informal, en el que se realizan

análisis de tipo cualitativo, que se expresan y significan con un lenguaje natural. A su vez, en

este estudio no se establece un modelo analítico o numérico; sin embargo, se perciben

patrones de regularidad en el comportamiento del fenómeno, los cuales “se pueden” asociar a

un modelo gráfico-visual.

Un segundo nivel de significación denominado modelo, se encuentra sobre la base interior,

acrecentando el estudio de corte cualitativo y cuantitativo, asociado a los pseudo-momentos de

formalización. A su vez, se identifica la estructuración de modelos numéricos y gráficos, como

son una colección finita de registros en tablas (para la interpolación y extrapolación), así como

las representaciones gráfico-visuales. En este nivel, se construyen dispositivos cuantificadores

que permiten el estudio de patrones de regularidad en el comportamiento del fenómeno, los

cuales permiten una descripción detallada del comportamiento del sistema.

En el tercer y último contexto, se revela la presencia de un marco teórico que se exterioriza en

la medida en que los resultados anteriores encuentren un marco racional de organización (no

se incluyen nuevos resultados matemáticos sino más bien nuevas presentaciones de las viejas

ideas). Este nivel se le denomina teoría, el cual establece momentos de formalismo

matemático, y en consecuencia análisis estructurados de tipo cualitativo y cuantitativo. Con

esto, se reformulan los modelos anteriores, obteniendo con ello conceptos claves que se

concretan en modelos teóricos-analíticos. Y de igual forma, se significan los dispositivos

cuantificadores como instrumentos para el estudio de la “cuantificación” de las formas

variables en la naturaleza.

20

Capítulo 4

Método de estudio

Como se mencionó en el capítulo anterior, la aproximación Socioepistemológica se toma

como base para el sustento teórico del instrumento, adecuando el diseño y su estructura, a las

prácticas sociales que se identifican en la construcción de conocimiento matemático, en

particular, conocimiento del Cálculo y el Análisis, donde es “la práctica de predicción” la que

se reconoce como tal. Asimismo, se toman los principios que marca la ingeniería didáctica

para el diseño y validación del instrumento, retomando en este método los siguientes análisis.

4.1 Análisis preliminar

Este análisis comprende un estudio en tres dimensiones: epistemológico, didáctico y

cognitivo; en torno a la actividad de predicción y su práctica, en particular, de las actividades

que suscitan la noción de predicción y de las funciones (derivadas) usadas para cuantificar la

variación de las formas variables en la naturaleza.

El estudio de dimensión epistemológica se sostiene en las investigaciones realizadas por los

científicos de otras épocas en la necesidad de predecir, algunas de éstas se presentan a detalle

en el primer capítulo. En síntesis, se identifica como objeto de estudio la cuantificación de la

variación en la naturaleza, en la necesidad de predecir cómo será su estado (del fenómeno) con

el paso del tiempo, por ejemplo, en el estudio de Newton (Ley de la gravitación universal),

Cantoral (2001) menciona que “en ese contexto resultó natural la consideración de estudiar a

las variables en conjunción con su velocidad de variación, y así también, el estudio de los

estados vecinos a la luz de los estados de hechos” (Cantoral, 2001).

El estudio de dimensión didáctica se llevó a cabo analizando algunos libros de texto que tienen

uso frecuente en las escuelas, y que se utilizan como material de apoyo para maestros y

alumnos en los diferentes niveles educativos: básico, medio y superior. El objeto de este

análisis es vislumbrar cómo se suscita la actividad misma de predecir en situación escolar y

con ello, identificar las funciones (derivadas) generadas en torno a esta noción. A continuación

se presentan algunas actividades.

21

Las gráficas de la derecha muestran las relaciones entre la distancia recorrida y la cantidad

de gasolina que consume cada automóvil; analízalas y contesta las siguientes preguntas.

Nivel Básico - Block y García (2008). Fractal 1. Matemáticas (p. 195).

a) ¿Qué automóvil tiene mayor

rendimiento de gasolina?

b) ¿Cómo lo sabes?

c) ¿Qué significa en este caso que la

gráfica este más “inclinada”?

d) Estas dos relaciones son de

proporcionalidad.

Da al menos una prueba de ello.

e) Escribe los datos que faltan en las tablas

y escribe las reglas de correspondencia.

Representa la distancia recorrida con la

letra d y la cantidad de gasolina

consumida con la letra c.

Automóvil A

Gasolina (l) Distancia (Km)

1

2

5

10

15

20

Automóvil B

Gasolina (l) Distancia (Km)

1

2

5

10

15

20

22

Nivel superior - Stewart (2001). pág.64

Una infección viral se propaga en cierta población de manera tal que

personas contraen el virus en semanas. ¿A qué velocidad se propaga el contagio al final

de 4 semanas?

La población de California fue en y en . Suponga que

la población crece en forma exponencial.

a) Encuentre una función que modele la población años después de 1950

b) Determine el tiempo requerido para que se duplique la población

c) Use la información para predecir la población de California en el año 2000.

Un isótopo del sodio, 24

Na, tiene una vida media de 15 horas. Una muestra de este isótopo

tiene una masa de 2 g.

a) Encuentra la cantidad que queda después de 60 horas.

b) Halle cuánto queda después de horas.

c) Estime la cantidad que queda después de 4 días.

d) Use una gráfica para estimar el tiempo requerido para que la masa se reduzca a

g.

Nivel medio - Stewart, Redlin y Watson. (2001). pág. 380

Nivel medio - Quijano y Navarrete (2004). pág. 92

23

Con la evidencia establecida se puede observar que los ejercicios presentados en cada nivel

educativo tienen la intención implícita de “predecir” un estado final, pero a su vez, soslayan la

misma actividad. Se reconoce en el nivel medio y superior una estructura similar, al presentar

un problema en el que se establece un modelo analítico o en su caso, el comportamiento del

fenómeno, resultando ser así un problema en la que el estudiante determine la resolución con

solo sustituir el valor necesario o recurrir a un modelo estudiado previamente, por ejemplo, en

el primer problema del nivel medio, se plantea la relación de la velocidad de propagación del

virus respecto al tiempo.

En el caso del nivel básico, es importante destacar que se reconocen planteamientos

subsecuentes que guían al estudiante a realizar ciertos procesos de modelación matemática,

como son: el estudio gráfico-visual del fenómeno, la recolección de estados iniciales (a través

del tránsito entre registros de representación), y la determinación de una regla de

correspondencia (modelo teórico-analítico). Esto vislumbra algunos elementos significativos

que permiten a los estudiantes estudiar el fenómeno (modelos gráficos y numéricos), analizar

la variación y plantear una resolución. Aunque por otra parte, se sigue una estructura rígida de

proceder, reduciendo la oportunidad de que los estudiantes planteen sus propias ideas

(hipótesis), identifiquen las variables en conjunción, analicen la variación y generen sus

propias estrategias para cuantificar la variación; y plantear con ello, sus resultados y

conclusiones a cerca del fenómeno.

Por último, el estudio de dimensión cognitiva enfatiza el análisis retomando algunos

resultados de las investigaciones realizadas por Gómez (1991), Cantoral (1993), Cantoral y

Farfán (1998) y Ester (2003). Estos centran su atención en aspectos significativos para el

estudio del Cálculo, como son: las competencias cognitivas, los estilos de pensamiento, la

visualización (en ambientes computacionales), las estrategias en la resolución de problemas y

la interacción entre el sujeto y el contexto sociocultural organizado.

En estas investigaciones, se reconoce que a diferencia de la matemática escolar previa al

Cálculo, en estos se incorporan nuevas ideas como el cambio y la variación, la cuantificación

de las formas variables, la variación instantánea y los procesos infinitos (Cantoral y Farfán,

1998). En este sentido se pone de manifiesto el aspecto constructivo del conocimiento y el

hecho de que los estudiantes desarrollen ideas propias de carácter intuitivo, esto es, se

24

requieren de nuevos símbolos, estrategias y concepciones. Ello, sustenta retomar elementos

significativos del estudio realizado por Gómez (1991), en el que se menciona que las personas

poseen competencias cognitivas potentes de manera precoz y universal; que el conocimiento

se construye a través de la interacción entre el sujeto y las situaciones (contextos

socioculturalmente organizados); y que las mismas personas que no parecen poseer una

determinada habilidad en un contexto pueden ser capaces de demostrarla en otro.

Esto, se suma a la importancia de la visualización en la enseñanza, aprendizaje y construcción

de conocimiento matemático, con el uso de ambientes computacionales que favorecen un

abordaje más experimental en el aprendizaje matemático, que permiten a los estudiantes

formular, verificar o rechazar y reformular hipótesis, identificar patrones de comportamiento,

anticipar resultados y combinar esto con los registros de representación gráfico, numérico y

analítico (Borba, 1995a; Capuzzo Dolcetta et al., 1988, citado en Ester, 2003).

A su vez, en estas investigaciones se reconoce la presencia de diferentes estilos cognitivos en

el pensamiento de los que aprenden, esto es, hay quienes tienden a reconocer un resultado a

través de la visualización, mientras que otros utilizan argumentos numéricos y aún más,

quienes se apoyan de estos estilos para transitar de un registro a otro y con ello, llevar un

problema planteado a un contexto, resolverlo en éste y regresarlo al primero para interpretar su

solución (Cantoral, 1993); por ejemplo, predecir el tiempo en que tardará una vela en

derretirse por completo, un estudiante puede analizar el problema visualizando el fenómeno;

otro puede representar el fenómeno en una gráfica; o en su caso puede llevar registros del

fenómeno en periodos de tiempo determinando.

En concreto, se identifica que aprender matemáticas es construir instrumentos propios de

conocimiento matemático, posibilitando en los estudiantes el desarrollo de los propios estilos

cognitivos, la visualización a través de ambientes computacionales, el razonamiento bajo

hipótesis, estrategias en la resolución de problemas (como la estimación numérica, la

representación gráfico-visual, etc.) y los métodos e ideas del cálculo en la modelación

matemática (Cantoral, 1993).

25

4.2 Diseño del instrumento y experimentación

Del análisis preliminar realizado en torno a la noción de predicción y de funciones (derivadas),

se dispuso de tres actividades de naturaleza predictiva en el que se sigue un tratamiento

gráfico, numérico y visual de situaciones de variación y cambio. Las actividades se aplicaron a

tres estudiantes de cada nivel educativo: básico, medio y superior; dos hombres y una mujer o

viceversa, en periodos de tiempo definidos para cada actividad. En el caso del nivel medio, se

recurrieron a estudiantes que habían tomado por lo menos un curso básico de cálculo, y para el

nivel superior a estudiantes de los primeros semestres de la Facultad de Matemáticas de la

Universidad Autónoma de Yucatán.

En este instrumento se tuvo la finalidad de recabar los datos necesarios para identificar la

naturaleza de los procesos de modelación matemática que llevan a cabo estudiantes de

distintos niveles educativos ante actividades específicas; y precisar el status que guarda la

noción de predicción, identificables en dichas actividades, con base en la estructura por

niveles de la noción de predicción (El Praediciere) propuesto por Cantoral (2001).

Actividad 1 - Tratamiento gráfico-visual (15 minutos)

En la primera actividad se plantó la situación del derretimiento de velas que tienen diferente

forma, elaboradas con el mismo material y puestas a prueba bajo las mismas condiciones

ambientales. Esta situación se simula en un ambiente computacional (The Geometer's

Sketchpad), el cual se construyó a través de las funciones que modelan el derretimiento de

cada una de estas velas. La simulación representa el fenómeno de derretimiento en un periodo

de tiempo determinado, pero antes de que se consuma la vela por completo.

Ilustración 2. Las 5 velas A, B, C, D y E antes de

iniciar la simulación de derretimiento.

26

En esta actividad se planteó a los estudiantes un estudio de la situación de variación y cambio

con un tratamiento gráfico-visual, el cual tiene como objeto determinar cuál de las siguientes

gráficas representa el derretimiento de las velas en la simulación.

Ello, supone que los estudiantes visualicen la situación y el fenómeno, para así plantear sus

hipótesis que guiarán el estudio. Se conjetura que los estudiantes realicen un análisis visual y

gráfico del comportamiento del fenómeno, con la expectativa de que ellos analicen la

variación y el cambio de manera cualitativa. Asimismo, se espera que los estudiantes

determinen las variables significativas del fenómeno y establezcan una relación entre las

variables en conjunción.

Gráfica 3

Grafica 1 Grafica 2

Grafica 3 Grafica 4

Grafica 5

27

Actividad 2 - Tratamiento numérico (20 minutos)

En esta actividad, la situación es el derretimiento de “otras” velas de diferente forma,

elaboradas con el mismo material y puestas a prueba bajo las mismas condiciones ambientales.

En este caso, el fenómeno a estudiar se representa a través de tablas que muestran los registros

del derretimiento de estas velas en periodos de tiempo diferentes y antes de que se consuman

por completo. Estos registros se toman de las funciones modeladas por el derretimiento de

cada una de ellas.

En esta actividad, se pretendía que el estudiante realizara un estudio de la situación de

variación y cambio con un tratamiento numérico, con el objeto de determinar qué par de velas

tardará más tiempo en consumirse por completo, las velas A y B o velas C y D. Si las velas A

y C se encienden al mismo tiempo, y al derretirse por completo la vela A se enciende la vela

B; y al derretirse por completo la vela C se enciende la vela D.

Se conjetura que los estudiantes analicen las tablas con los registros numéricos, de tal forma

que se identifique la situación y el fenómeno, para así plantear sus hipótesis que guiarán el

estudio. De igual manera, se espera que los estudiantes analicen el comportamiento de cada

una de las velas, cuantificando la variación y cambio de cada una de estas. Asimismo, se

supone que los estudiantes generen dispositivos cuantificadores de variación y cambio, que no

solo utilizarán para la cuantificación de los estados de hechos, sino que les permitirá el estudio

de los estados vecinos, es decir, la predicción buscada.

28

Actividad 3 - Tratamiento numérico-visual (20 minutos)

En la última actividad, se presentó la simulación del derretimiento de una vela con forma

esférica en un periodo de tiempo determinado, antes de que se consuma por completo. En esta

simulación se indicaba la medida de la altura y el tiempo en que se iba consumiendo la vela,

las cuales se toman de los datos obtenidos de la función que modela este fenómeno.

En esta actividad se pretendía que el estudiante realizara el estudio de la situación de variación

y cambio con un tratamiento numérico-visual, con el objeto de estimar el tiempo que tardará la

vela en consumirse por completo.

Ello, plantea la suposición de que los estudiantes visualicen la situación y el fenómeno a

estudiar, para así establecer sus conjeturas que guiarán el estudio. De igual manera, se espera

que los estudiantes construyan tablas de registros numéricos, una representación gráfica o

ambas, para el estudio del fenómeno. Igualmente, se tiene la expectativa de que los estudiantes

analicen el comportamiento del fenómeno a través de los diferentes registros de

representación, de tal forma que se generen dispositivos cuantificadores de variación y

cambio, que permitirán estimar es tiempo que tardará la vela en consumirse por completo.

Ilustración 3. Vela con forma esférica antes de iniciar la simulación

de derretimiento.

29

Capítulo 5

Análisis y resultados de la experimentación

5.1 Análisis de datos de la experimentación

Los argumentos presentados a continuación, corresponden a la transcripción fiel de las

respuestas y explicaciones dadas por los estudiantes en las hojas de trabajo y del dialogo

recabado a través de la videograbación.

Para identificar la participación de cada uno de los estudiantes de los diferentes niveles, se

utilizará el siguiente código “E#_Nivel”, el cual hace referencia al número asignado al

estudiante y el nivel educativo, por ejemplo, E2_Sec hace referencia al estudiante dos de

secundaria, y de igual manera E1_Pre y E3_Uni se referirá al estudiante uno de preparatoria y

al estudiante tres de universidad, respectivamente.

Actividad 1

Determinar la gráfica que modele el derretimiento de cada una de las velas de diferente forma,

visualizando mediante una simulación el derretimiento de cada una.

Momento cero Momento uno

Momento dos Momento tres

Ilustración 4. Momentos del derretimiento de las 5 velas A, B, C, D y E.

30

Las siguientes gráficas representan el derretimiento de las velas de la simulación, conforme va

transcurriendo el tiempo.

Gráfica 1 Gráfica 2

Gráfica 3 Gráfica 4

Gráfica 5

Gráfica 3.

Gráfica 3

31

Respuesta y explicación escrita - Nivel básico

Vela E1_Sec E2_Sec E3_Sec

A

Gráfica 4.

(1 corrección)

Por el ángulo que forma la

gráfica.

Gráfica 4.

(1 corrección)

La forma en que esta vela

se calienta, va haciendo

que se vaya derritiendo y

su forma delgada lo hace

más rápido.

Gráfica 4.

(1 corrección)

Por las dos formas de la

vela “A”, en la primera

parte es más rápida, pero al

llegar a las 2da parte, el

derretimiento es más lento.

B

Gráfica 2.

(1 corrección)

Porque su forma es recta y

está angosta y esto haría

que se derrita más rápido.

Gráfica 2.

(1 corrección)

La forma es igual y hace

que no siga una

aceleración en alguna

parte.

Gráfica 2.

(1 corrección)

Al ser de una misma forma

la vela “B”, tiene una

velocidad de derretimiento

igual todo el tiempo.

C

Gráfica 3.

(1 corrección)

Porque se derretiría en

menor tiempo por su

forma.

Gráfica 3.

Cada vez va cambiando su

forma, está siendo más

delgada y hace que vaya

tardando menos en

derretirse.

Gráfica 3.

Era la más lenta de todas

en cuestión derretimiento.

D

Gráfica 5.

(1 corrección)

Porque tarda menos tiempo

en derretirse que la vela E.

Gráfica 5.

(1 corrección)

Está constituido por dos

partes gruesas y el centro

delgado, lo que hace que

después de un tiempo su

centro acelera el

calentamiento.

Gráfica 5.

Se derretía a una velocidad

mayor que la vela “C”.

E

Gráfica 1.

(2 correcciones)

Porque la vela E es recta y

es gorda y se derretiría en

menor tiempo que la B.

Gráfica 1.

(2 correcciones)

Su forma es igual en su

estructura y como es

gruesa su derretimiento es

lento.

Gráfica 1.

(1 corrección)

Por ser una sola forma,

pero al ser gruesa, su

velocidad se ve mermada.

32

Argumentos acerca de sus respuestas

Vel

a A

I: ¿Qué me puedes comentar de tus respuestas?

E3_Sec: Pues, la vela A se derretía más rápido que las demás y se derrite más que

todas.

I: Entonces la vela A ¿qué gráfica le corresponde?

E3_Sec: La gráfica 2, porque es la que más abarca altura, en medición de la altura en el

tiempo.

I: ¿Tu qué consideraste?

E2_Sec: Gráfica 2.

I: Para la A, la dos ¿por qué?

E2_Sec: Por el tiempo, pues por acá fue disminuyendo, mientras el tiempo se va.

I: ¿Y tú?

E1_Sec: Yo puse la vela A, la gráfica 3.

I: La gráfica tres, ¿por qué sería la gráfica 3?

E1_Sec: Por el tiempo.

E1_Sec: O sea, que se derretía en más tiempo, ¡no! en menor tiempo.

Anotaciones del observador

En esta actividad, los estudiantes reconocen el fenómeno a estudiar, en este caso, el

derretimiento de las velas de diferente forma, elaboradas con el mismo material y puestas a

prueba bajo las mismas condiciones ambientales. Al iniciar la simulación, cada uno de los

estudiantes visualiza y analiza detenidamente este fenómeno, para identificar la situación que

se presenta, esto es, que las velas se consumen solo en un periodo de tiempo determinado.

Con ello, se establece la hipótesis que guía el problema de estudio, esto es, el estudio del todo

a través de sus partes. Para luego, identificar las variables involucradas, como son el

calentamiento de la vela, la altura, la forma, el grosor y el tiempo de derretimiento; y así,

reconocer las variables significativas, discriminando las que son constantes (primer nivel de

Constantificación).

33

A su vez, los estudiantes registran de manera implícita la altura de las velas, el tiempo que

transcurre y la cantidad de material que se consume, principalmente de las velas que se

consume en mayor y menor cantidad. Después de recolectar esta información, los estudiantes

visualizan las gráficas que modelan el derretimiento de las velas (relación entre la altura -

variables significativas - tiempo), para luego analizar el comportamiento local del fenómeno;

estudiar las sucesivas variaciones de las variables como son la rapidez, la velocidad y la

aceleración; y asignar a alguna de estas variaciones el estado constante o cuasi-constante

(segundo nivel de Constantificación).

Posteriormente, se plantea la resolución al problema con base en la hipótesis planteada y las

condiciones iniciales, esto es, predecir la evolución del sistema y así, formular la ley que

gobierna el fenómeno estudiado, lo cual, permite identificar las gráficas que modelan el

derretimiento de cada una de las velas.

Argumentos acerca de sus respuestas

Vel

a D

I: Entonces, a la vela D ¿qué gráfica le corresponde?

E3_Sec: La 5, porque es la que va representando, por el principio va normal, después

va en medio, aquí más lentamente y después más, más rápida y después allá otra vez

lenta (señalando las partes en la gráfica).

I: ¿Tú con cuál te quedaste entonces?

E2_Sec: La gráfica 5

I: ¿Qué consideraste?

E2_Sec: Empecé a verlo por su forma.

I: ¿Y tú?

E1_Sec: Sí, igual así.

Anotaciones del observador

En un primer momento, la mayoría de los alumnos identifican que la Gráfica 2 es la que

modela el derretimiento de la vela A, debido a que discriminan la forma de la vela. En este

caso el investigador interviene al cuestionarles cómo influye la forma de la vela en su

derretimiento, obteniendo de esta manera argumentos que llevaron a los estudiantes a obtener

una resolución adecuada a la situación.

34

Respuesta y explicación escrita - Nivel medio

Vela E1_Pre E2_Pre E3_Pre

A

Gráfica 4.

Comienza a derretirse de

forma rápida, pero al llegar

a la altura

aproximadamente de 7 cm

comienza a disminuir un

poco la velocidad de

derretimiento ya que

aumenta el grosor de la

vela.

Gráfica 4.

Esta gráfica representa

claramente el derretimiento

de la vela ya que fue la que

más se derritió, pero

también influyó la forma

en la representación

gráfica.

Gráfica 4.

(1 corrección)

Porque es la que derritió

más rápido constantemente

y se derretía más rápido

porque la superficie de sus

lados no era uniforme.

B

Gráfica 2.

Como es de una forma de

rectángulo y su grosor

aumenta un poco,

representa un derretimiento

de forma lineal, ya que

maneja tiempos constantes.

Gráfica 2.

Fue la que representa un

derretimiento uniforme en

la vela, pues como había

mencionado antes, influye

la forma, por lo tanto, no

hay cambio en la gráfica,

es muy directa su

representación.

Gráfica 2.

(1 corrección)

Porque era la segunda en

derretirse más rápido pero

no era constante. Se

derretía así porque sus

lados si eran uniformes.

C

Gráfica 3.

(2 correcciones)

Debido a su grosor al

comienzo, es la que más

tarda en consumirse.

Gráfica 3.

(1 corrección)

De igual manera insisto en

la forma, pero según la

simulación tarda más que

las otras dos, pero aun así y

en el mismo tiempo se

derritió más que la „D‟ y su

representación es más

directa.

Gráfica 3.

Porque es la que más

resistió y se derretía más

lento. Se derretía de esta

manera porque la parte

superior era más ancha.

35

D

Gráfica 5.

(1 corrección)

Debido a su uniformidad

gruesa al inicio y delgada

al final, se derrite a la

mitad.

Gráfica 5.

He concluido que la forma

influye demasiado, ya que

el tiempo es el mismo, pero

lo que se derrite no, ésta se

atrasa un poco ya que

empezó desde lo más

grueso lo cual retrasó su

derretimiento tal y como lo

muestra la gráfica.

Gráfica 5.

Porque es la segunda que

se derretía más lento pero

no era constante. Se

derretía más rápido que la

vela “C” porque el grosor

disminuía más rápido.

E

Gráfica 1.

Al igual que la vela “B”,

posee las mismas

características pero a

diferencia de ésta, es que

su grosor aumenta un poco

haciendo que la vela tarde

en consumirse, pero

siguiendo una misma

trayectoria.

Gráfica 1.

(1 corrección)

He mencionado el grosor y

sí así es, pero los cambios

en cada gráfica representan

el cambio de grosor que

ocurre al derretirse. Y sí,

ésta es la que muestra más

ese cambio como

identifiqué en cada una.

Gráfica 1.

Porque se derretía,

normalmente era constante

y se quedó a la mitad, su

forma era regular y más

ancha.

Ilustración 5. Estudiantes de nivel medio

resolviendo la primera actividad.

36

Argumentos acerca de sus respuestas

Vel

a A

I: ¿Qué gráficas le corresponde a cada una de las velas?

E3_Pre: La A, la gráfica número 2.

I: ¿Por qué consideraste que es la gráfica número 2?

E3_Pre: Porque es la que se derretía más rápido y era constante, porque su superficie

no era regular, la de arriba era más delgada, más pequeña.

E2_Pre: La A con 4

I: ¿La A con 4? ¿Por qué es diferente a la de ella?

E2_Pre: Porque pues, yo primero comparé las dos gráficas, la 2 y la 4 que eran las que

resultaban en el mismo tiempo, lo mismo en la altura, pero yo siento que influye más la

forma, porque al ser más grueso obviamente va tardar más tiempo en derretirse.

Entonces, el cambio que muestra la gráfica es muy pequeña, pero sí lo muestra, le

corresponde la A ya que la B es más directo.

E1_Pre: La gráfica puse igual la 4, como de todas, fue la que más se empezó a derretir

rápido, fue en el menor tiempo, ya después hace el cambio cuando su grosor aumenta.

I: ¿Qué consideras?

E3_Pre: Como dicen ellos en la parte de arriba es más delgada y se derrite más rápido,

cuando llega a la base es más ancha, entonces ya no es constante sino cambia, el tiempo

en el que derrite, eso.

Ilustración 6. Estudiante de nivel medio explicando cómo

influye la forma de la vela en el tiempo de derretimiento.

37

Anotaciones del observador

Al igual que los estudiantes de nivel básico, los estudiantes de nivel medio visualizan y

analizan detenidamente la simulación del derretimiento de cada una de las velas, identificando

la situación que se presenta; y de igual manera, plantean la hipótesis que guía el problema de

estudio (el estudio del todo a través de sus partes). Identifican más variables que los

estudiantes de nivel básico, como son la forma de la vela, el grosor, la superficie, sus lados, la

resistencia, la altura y el tiempo de derretimiento, reconociendo las variables significativas del

fenómeno y discriminando las que son constantes (primer nivel de Constantificación).

Asimismo, registran de manera implícita la altura de las velas, el tiempo que transcurre y la

cantidad de material que se consume en este fenómeno, para luego, contrastar los datos

iniciales con los modelos gráficos propuestos (altura – tiempo – variables significativas), en

los cuales se analiza el comportamiento local del fenómeno. Con ello, los estudiantes analizan

las sucesivas variaciones de las variables como son la rapidez, la velocidad, la aceleración en

que se consume la vela, los cambios de grosor o los cambios en la estructura de la vela; y

asignan a alguna de estas variaciones el estado constante o cuasi-constante (segundo nivel de

Constantificación).

De igual manera, los estudiantes del nivel medio plantean la resolución al problema con base

en la hipótesis planteada y las condiciones iniciales, prediciendo la evolución del sistema; y

con ello, formular la ley que gobierna el fenómeno estudiado.

En un primer momento, al presentar la resolución de cada participante, el E3_Pre determina

que la Gráfica 2 es la que modela el derretimiento de la vela A, debido a que establece que la

primera variación (rapidez) se da de manera constante. Luego, los demás participantes

presentan su resolución y determinan que la Gráfica 4 es la que modela el derretimiento de la

vela A, ellos establecen que la primera variación (rapidez, primer cambio) varía al modificarse

la forma de la vela. Estos argumentos permiten que el E3_Pre corrobore si el modelo gráfico

establecido era el adecuado para la situación.

38

Argumentos acerca de sus respuestas

Vel

a C

E1_Pre: Para la vela C puse la gráfica 5, como su grosor va de mayor a menor tamaño,

pues su tiempo iba ser el equivalente y lo comparé entre la 3 y fue la que más avanzó

porque su grosor va disminuyendo.

I: ¿Tú que consideraste?

E3_Pre: Yo había puesto la 3 porque, pues como es la que es más ancha, entonces va

tardar más tiempo en derretirse, pero como va cambiando el grosor entonces se va

acelerando más la forma en que se derrite.

I: ¿Entonces cómo quedaron, todos con la tres?

E1_Pre: No, yo la 5 puse.

I: Y ustedes dos con la 3 quedaron. A ver, la 5 y la 3 son muy parecidas las gráficas ¿en

qué difieren cada una?

E1_Pre: Pues yo, todas se consumen en el mismo tiempo nada más que no todas en el

mismo tamaño, bueno eso da entender aquí, por ejemplo, creo que en los 45 (min.) se

consumen pero no todos llegan a derretirse a un cierto tamaño.

I: La misma altura.

E1_Pre: Ajá la misma altura, y pues la que se derritió más entre esas, creo que es la 3.

Anotaciones del observador

Posteriormente, se establece un debate al precisar el modelo que representa el derretimiento

de la vela C, el E1_Pre y el E3_Pre identifican y establecen adecuadamente las variables

significativas en el fenómeno, así como las sucesivas variaciones de las variables (rapidez,

velocidad, aceleración). También, analizan estas variaciones y reconocen la evolución que

representa el modelo, pero en el caso contrario del E1_Pre, no analiza adecuadamente las

variaciones, es decir, la cantidad de material que se derrite en un tiempo determinado,

generando una contradicción en sus argumentos. Esto se rectifica al momento de mirar

nuevamente la simulación, recabar los datos iniciales adecuados y contrastar los argumentos

establecidos anteriormente.

39

Respuesta y explicación escrita - Nivel superior

Vela E1_Uni E2_Uni E3_Uni

A

Gráfica 4.

Por el tiempo en que se

derrite la vela

Gráfica 4.

La parte delgada de la vela

tiene el mismo grosor y

parece derretirse

uniformemente a una

velocidad considerable.

Luego, al llegar a la parte

donde la vela cambia de

grosor, a una mayor, la

velocidad a la que la altura

disminuye es mucho

menor.

Gráfica 4.

(1 corrección)

Observo que tiene como un

movimiento constante, es

decir, se va derritiendo

como que periódicamente,

siguiendo un patrón y

como que llegando a su

final, dado que su grosor es

mayor, su derretimiento es

con más tiempo.

B

Gráfica 2.

Por la forma que tiene la

vela y el tiempo en que se

derrite.

Gráfica 2.

Es la vela más delgada y

tiene longitud

constantemente

disminuyendo. La altura

baja en un nivel más rápido

que en las demás velas.

Gráfica 2.

(1 corrección)

Notar que su estructura es

uniforme y en comparación

a la gráfica E, su

derretimiento será más

rápido

C

Gráfica 3.

Porque al principio su

derretimiento es lento

además de la forma que

posee la vela.

Gráfica 3.

Se puede apreciar que la

parte más alta de la vela es

también la más ancha, por

lo que el derretimiento es

más lento. Conforme más

tiempo pasa, el grosor de la

parte más elevada va

disminuyendo y la vela se

derrite a mayor velocidad.

Gráfica 3.

Es una vela que dado que

su parte más alta por decir

es más gruesa, casi no se

va derritiendo.

40

D

Gráfica 5.

Debido a la forma que

posee la vela al principio

se.

Gráfica 5.

Vemos que el grosor de la

vela en la parte más alta es

mayor, por lo que la

velocidad a la que ésta se

derrite aumenta conforme

pasa el tiempo, aunque al

llegar al punto medio de la

vela, la velocidad

disminuye nuevamente.

Esto se refleja en el cambio

de las alturas. La gráfica es

5.

Gráfica 5.

(1 corrección)

Notemos que por la

estructura que tiene la vela,

su parte media es un poco

más delgada por lo que

tenderá

E

Gráfica 1.

Por la forma de la vela.

Gráfica 1.

Esta es otra vela con grosor

constante, así que la

velocidad en que se derrite,

también es constante,

aunque más lento que para

la vela B. Es fácil ver que

su gráfica debe ser una

recta, pero una ya le fue

asignada a B, por lo que la

única restante debe ser la

de E (1).

Gráfica 1.

(1 corrección)

Dado a que la B es más

delgada, esta se va

derritiendo cada vez menos

que la B.

Ilustración 7. Estudiantes de nivel superior

resolviendo la primera actividad.

41

Argumentos acerca de sus respuestas

Vel

a A

E3_Uni: La primera vela, puse que es la gráfica 4, porque como que primeramente

observamos que su derretimiento va ser constante, cada minuto que tenga va ser como

que el mismo derretimiento, cada minuto que vaya pasando y su altura va ir

disminuyendo. Pero va llegar un momento ya casi en su parte final que su derretimiento

va ser más lento ya que la parte de abajo es más gruesa.

E2_Uni: Lo mismo que la parte de arriba, la vela es más delgada y por lo tanto se

derrite más rápido y ¿cómo se llama? En la parte de abajo es más gruesa y se va derretir

de manera más lenta. Pero como las dos son del mismo grosor en esas partes, pues la

velocidad a la que se derriten va ser constante.

E1_Uni: Tomé en cuenta la forma de la vela, ¡que exacto! al principio como que está

más delgada y luego como que ya engrosa, entonces, va a tardar al principio menos

tiempo en derretirse y luego ya más tiempo.

Anotaciones del observador

Los estudiantes de nivel superior identifican de igual forma en esta actividad, la situación y

fenómeno a estudiar. Al iniciar la simulación, ellos visualizan y analizan detenidamente el

derretimiento de cada una de las velas, para luego, establecer la hipótesis que guía el problema

de estudio. Después, ellos identifican las variables involucradas en el fenómeno, como son la

forma, el grosor, la altura, la longitud, estructura de la vela y el tiempo de derretimiento,

reconociendo cuales son las variables significativas del fenómeno y discriminando las que son

constantes (primer nivel de Constantificación).

Posteriormente, los estudiantes registran de manera implícita los datos iniciales (la altura, el

tiempo y la cantidad de material que se consume), para luego, visualizar cada uno de los

modelos gráficos (altura - tiempo – variables significativas), identificar la relación que se

establece en el modelo y analizar el comportamiento local del fenómeno. En este análisis se

estudian las sucesivas variaciones como la rapidez, la velocidad y aceleración en que se

consume la vela o los cambios en la estructura de la vela; y se asignan a alguna de estas

variaciones, el estado constante o cuasi-constante (segundo nivel de Constantificación).

42

Luego, los estudiantes plantean su resolución con base en la hipótesis y las condiciones

iniciales, prediciendo así la evolución del fenómeno, y estableciendo la ley que regula el

fenómeno.

Argumentos acerca de sus respuestas

Vel

a B

E1_Uni: En la B, yo puse la gráfica 2, igual por la forma que tiene la vela, digamos que

está toda pareja y pues por el tiempo en que se derrite.

E2_Uni: Pues tomé en cuenta lo mismo, la vela es la más delgada de todas, entonces la

velocidad a la que se derrite debe ser la más rápida, y la más rápida y constante pues es

la 2.

E3_Uni: Yo acá bueno, aquí entendí lo mismo pero creo que me revolví con las

gráficas, de hecho entre mis errores estaba entre la 1 y la 2; pero bueno, me decidí por

la 1, pues vi que es una vela uniforme en toda su estructura, porque tiene el mismo

grosor y su derretimiento va ser el mismo en cada minuto.

E2_Uni: La vela E es más gruesa que la vela B, entonces la velocidad a la que va

disminuyendo es menor y en el mismo tiempo la vela, la vela B debe estar a una altura

mucho menor que la vela E.

E3_Uni: Faltó considerar el grosor que tenía, porque va ir un poco, su derretimiento de

la última va ser menor que la segunda.

Anotaciones del observador

Los estudiantes del nivel superior plantearon de manera más sólida su resolución y

explicación. Aun así, se presenta una inconsistencia en una de las resoluciones, puesto que los

E1_Uni y E2_Uni determinan que la Gráfica 2 es la que modela el derretimiento de la vela B

y el E3_Uni que la Gráfica 1 es la que modela ese derretimiento, esto después de argumentar

el conflicto que tuvieron algunos. En los argumentos establecidos, los E1_Uni y E2_Uni

analizan las variaciones de las variables, esto es, la cantidad de material que se consumen en

intervalos de tiempo regulares, discerniendo cómo evoluciona el fenómeno en las velas 2 y 5.

Estos argumentos permiten que el E3_Uni reconsidere el modelo gráfico establecido para la

situación.

43

Actividad 2

Determinar cuáles dos velas tardarán más en consumirse, según los registros numéricos de

derretimiento de cada vela.

Vela A Vela B

0 16.4 0 16.5

9.4 15.05 9.3 13.29

17.5 13.23 16.4 10.81

29.8 9.73 30.9 6.91

42.8 5.77 44.8 5.52

56.7 2.13 55 4.5

59.3 2.50 60.8 1.35

Vela C Vela D

0 15.7 0 17.0

6.5 14.66 6.3 14.96

9.3 14.21 17.5 11.62

29.8 10.93 30.9 8.13

45 8.5 42.8 5.48

53.6 7.12 56.7 2.92

59.3 2.50 60.8 1.35

Si las velas A y C se encienden al mismo tiempo, y al derretirse por completo la vela A se

enciende la vela B; y al derretirse por completo la vela C se enciende la vela D, ¿qué par de

velas tardará más en consumirse por completo?

Ilustración 8. Estudiantes de nivel básico

resolviendo la segunda actividad.

44

Respuesta y explicación escrita - Nivel básico

E1_Sec Par de velas A y B

Porque la C se apagaría más rápido que la A, pues su medida es menor.

E2_Sec Par de velas A y B

Por las alturas.

E3_Sec

Par de velas A y B

Porque al medir al mismo tiempo la A y C, la A tiene menor altura, pero al medir A

a los 42.8 tiene 5.77 mientras que al medir C a los 45 tiene 8.5.

Al medir B con D al minuto 30.9, D tiene más altura, pero en 12 minutos, A baja 3

cm, y B en 14 baja 1 cm.

Argumentos acerca de sus respuestas

E3_S

ec

I: ¿Qué tomaste en cuenta?

E3_Sec: Yo tomé aquí, si cargas con el mismo tiempo la A con la C (en el min. 29.8), la

A tiene menor altura. Y después de esto, acá la vela A en 42.8 minutos tiene 5.77 y acá

la C a comparación tiene solo 8, en el transcurso de los tres minutos, del lapso de 42.8

para C pienso que se derrite más vela de la C, ¡no! de la A.

I: ¿Y en el caso de la vela B?

E3_Sec: Pues aquí, al checarlo en 30.9 tiene menor altura la B; y al buscar aquí a 42

tiene menor altura la D, pero en el lapso de los 12 minutos se derrite más la D.

I: Entonces, entre la vela A y la vela C ¿cuál se consume más rápido?

E3_Sec: La A.

I: ¿Y entre la vela C y la D?

E3_Sec: La vela D.

I: Y aun así considerando ese comportamiento que tienen la velas A y B, entonces son

las que tardarían más tiempo en consumirse.

E3_Sec: Sí.

45

Anotaciones del observador

Los estudiantes de nivel básico reconocen en esta actividad la situación y fenómeno a estudiar,

en este caso, qué par de velas tardará más tiempo en consumirse, al determinar el tiempo de

derretimiento de cada una. Para esto, primeramente los estudiantes analizan los registros

numéricos de derretimiento de cada una de las velas e identifican como variables la altura y el

tiempo.

Luego, en particular, el E3_Sec analiza y cuantificar la variación y el cambio por intervalos de

tiempo, para la vela A, a través del modelo:

Finalmente, se puede observar en la explicación y los argumentos presentados por el E3_Sec,

que el dispositivo cuantificador de variación y cambio permite el estudio de la variación de

las variables y necesariamente se aplica para el análisis de un intervalo próximo al instante que

se necesita predecir, y así, determinar qué vela tardará más tiempo en consumirse por

completo y plantear la resolución a la situación.

𝐸𝑓 𝐸𝑖 Diferencia entre estados

Intervalos de tiempo Diferencia en alturas

Ilustración 9. Análisis y cuantificación de las variables del E3_Sec.

Ilustración 10. Estudiante de nivel

básico analizando las tablas de

registros numéricos.

46

Argumentos acerca de sus respuestas

E1_S

ec

I: ¿Cuál es el par de velas que tarda más en consumirse por completo?

E1_Sec: La A y la B.

E1_Sec: Porque la C tiene menor altura que A y se apagaría en menos tiempo.

I: ¿Qué otra cosa tomaste en cuenta?

E1_Sec: Solo eso.

E2_S

ec

I: ¿Qué par de velas consideras tarda más tiempo en consumirse?

E2_Sec: Dice que par. Entonces, se tiene que terminar de acabar el tiempo, cuando

termine ésta, es menor. La A y D terminan en el mismo tiempo.

I: ¿Terminan al mismo tiempo? Pero ¿qué consideraste?

E2_Sec : Si, en 56.7

I: Ya te diste cuenta ¿qué altura tiene en ese tiempo?, ¿ya se consumió por completo?

E2_Sec: Sí, así lo pensé.

I: Entonces ¿cuál fue tu respuesta?

E2_Sec: A - B.

Anotaciones del observador

La explicación y los argumentos presentados por los estudiantes E1_Sec y E2_Sec, dan

evidencia de la falta de análisis en la evolución del fenómeno. Por ello, determinan su

resolución solo a partir de la colección de datos iniciales, en este caso, las velas con más altura

y las velas que registran más tiempo de consumo.

Ilustración 11. Estudiante de nivel básico

explicando su resolución en la segunda actividad.

47

Respuesta y explicación escrita - Nivel medio

E1_Pre

De acuerdo a la tabla, las velas “C” y “D” son las que más tardarán. Ya que la

primera vela “C”, aunque se ha consumido en el menor tiempo aún le faltan

por consumirse y si un centímetro lo consumió en 8 minutos, aprox. tarda

más de en consumirse esos .

Y de acuerdo a su par, la vela “D” representa uno de los mayores tiempos y

comparándola con “A”, la vela “D” es a la que más le faltó.

E2_Pre

La A y B, porque al sumar las alturas y las juntara como si fueran una, son la pareja

de velas que quedaría en todo caso, con una diferencia en la altura. No tomo en

cuenta los datos de tiempo porque solo son esos datos, que no influyen en la

aceleración del consumo de la vela, solo influye la altura como hemos visto antes y

esto aunque sea por muy pequeña la diferencia los va a retrasar.

E3_Pre Yo creo que el primer grupo A y B tardarán más en derretirse que el segundo grupo

(C y D), porque aunque la C es más lenta, la vela D se consume muy rápido.

Argumentos acerca de sus respuestas

E1_P

re

E1_Pre: Bueno, yo puse la vela C y D, porque me di cuenta de la última altura de la C,

cambió de 8.5 a 7.12, aproximadamente como 1 cm bajó en 8 minutos, pero le faltaba

7.2, entonces me puse a imaginar, esos 7.2 se iban a consumir en, iba a disminuir un

centímetro, ¡el tiempo iba a aumentar!

E1_Pre: Ya la vela D tiene el mismo tiempo que la vela A, en consumirse, nada más

que a ésta le faltaba poco (vela A) y a esta la faltaba más (vela D), en cuanto a su altura.

E1_Pre: La vela C y D, puse que tardará más en consumirse, porque el tiempo de la A

lo tiene el mismo que la D, pero ésta tiene más altura.

48

E3_P

re

E3_Pre: Yo puse que el grupo A y B tarda más en derretirse que el segundo grupo.

La vela A se empieza a derretir más rápido, menos en el final que ya no, porque tarda

más en derretirse; y esta, la vela B pues no es tanta la diferencia entre los intervalos

de tiempo, o sea que ni va muy rápido ni va muy lento; en cambio la vela C empezó a

derretirse lento pero ya después empezó a derretirse rápido; y ya en la vela D si se

derretía más rápido, entonces es por lo que el grupo A y B tardará más en derretirse

que C y D.

Anotaciones del observador

Los estudiantes de nivel medio, también reconocen la situación y fenómeno a estudiar.

Primeramente, los estudiantes analizan los registros numéricos de derretimiento de cada una

de las velas e identifican como variables la altura y el tiempo.

Luego, los estudiantes E1_Pre y E3_Pre analizan y cuantificar la variación y el cambio por

intervalos de tiempo, a través del modelo:

𝐸𝑓 𝐸𝑖 Diferencia entre estados

Diferencia en alturas

Ilustración 12. Análisis y cuantificación de las variables del E1_Pre.

Diferencia en alturas

Ilustración 13. Análisis y cuantificación de las variables del E3_Pre.

49

Se puede observar en las explicaciones y los argumentos presentados por los estudiantes

E1_Pre y E3_pre, que el dispositivo cuantificador de variación y cambio propuesto permite el

estudio de la variación de las variables, en el caso del E3_Pre, hasta el de la segunda

variación. A su vez, se puede reconocer cómo este dispositivo se aplica para el análisis de los

intervalos de tiempo en cada vela y para el estudio de un intervalo próximo al instante que se

necesita predecir, y así, determinar el tiempo que tardará cada vela en consumirse por

completo.

Argumentos acerca de sus respuestas

E2_P

re

E2_Pre: Lo intenté todo, pero pues se me hizo difícil y al final solo terminé tomando

en cuenta la altura. Sumé las alturas, bueno las parejas, la A con la B y la C con la D,

y había una diferencia de .2, luego sume los tiempos que me daban al final de la tabla

y también había diferencia; entonces yo imaginé como si las dos fueron uno solo,

entonces ese .2 aunque sea muy pequeño pero atrasa, en consumirse, ¡digo se atrasa!

Anotaciones del observador

La explicación y los argumentos presentados por el estudiante E2_Pre, dan evidencia de la

falta de análisis en la evolución del fenómeno. Por ello, determinan su resolución solo a partir

de la colección de datos iniciales, en este caso, la suma de las alturas de las velas y el tiempo

de consumo.

Ilustración 14. Estudiantes de nivel medio analizando las

tablas de registros numéricos.

50

Respuesta y explicación escrita - Nivel superior

E1_Uni

Si en el tiempo en que están iguales la vela A y la vela C

pero al final A disminuye más lento.

Se derrite primero el par de velas A y B. Tardará más en consumirse C y D.

E2_Uni

La vela A es más rápida derritiéndose que la C.

Notemos que en los últimos lapsos de tiempo, la velocidad con la que se derrite

la vela A es mucho mayor a la de la vela C. La diferencia mínima que podría

haber en las distancias de las velas es de , aunque los

tiempo en los que tomamos estas distancias no sean iguales.

Se enciende la vela B antes que la D y notemos que a los la vela B

presenta un derretimiento más acelerado que la vela D. La velocidad en los

últimos lapsos de tiempo parece ser muy distinta, pero considerando la ventaja de

tiempo que tiene la vela A sobre la C, y la diferencia de distancias, concluimos

que la vela B se apagará antes que la D.

A y B se apagarán primero que C y D.

E3_Uni

Es de observarse que tanto la vela A como la D, como que tienen el mismo

comportamiento.

Dado que el derretimiento de A es casi el mismo patrón que el de D y C, tarda

más en derretirse que B. El par de velas que tardarán más en consumirse por

completo será C y D.

Ilustración 15. Colección de datos del E1_Uni.

51

Argumentos acerca de sus respuestas

E1_U

ni

E1_Uni: Yo me di cuenta, de que aquí, en la tabla presentaba dos tiempos que eran

iguales, al comparar la A con la C, pero en esos tiempos la vela C estaba más alta.

Entonces, lo mismo hice con la otra, había dos tiempos iguales y vi que la vela D estaba

más alta en el tiempo . Y luego ya me fijé en el comportamiento final de A y el

comportamiento final de B ¡digo de C!; y con base en eso, yo puse que se derrite

primero, o sea, que tardará más en derretirse la C y D.

E2_U

ni

E2_Uni: Pues fue lo mismo, me fijé en los mismos tiempos que ella y al final me di

cuenta de que la velocidad en que la vela A se consume, es mucho más grande que la

velocidad a la que se consume la vela D, era casi el doble. Acá después, me fije igual

que acá (vela B y D) había dos tiempos que eran igual, y que ya para este tiempo (vela

A) y este (vela D), la distancia entre las dos velas era como de 5 cm; y ya acá (vela B y

vela C), la distancia entre estas dos velas era como de dos punto y algo. Entonces quiere

decir, que esta vela (vela B) se empezó a quemar antes, porque esta (vela A) terminó

antes, pues aunque esta (vela D) se consuma un poquito más rápido al final, esa ventaja

que tenía, pues lo compensa.

I: Entonces ¿Cuál es, el par de velas que tarda más tiempo en consumirse?

E2_Uni: La C y la D.

E3_U

ni

E3_Uni: Igual llegué a lo mismo, se apagarán de último C y D. Yo me fijé, bueno vi

que los valores que tiene A y D son casi los mismos, igual me fijé en los valores que

tenían casi iguales los A y B, ¡A y C! perdón; y B y D. Entonces, ya que llegué a que la

gráfica que tiene A y la que tiene D, eran casi parecidas, entonces nada más chequé

cómo eran, cómo iban cambiando la vela B y la vela C. Y llegué a que la vela B, era la

que se iba a consumir primero que la vela C, pero como la vela A es la que se prendió

primero, entonces como dijo Lalo, lo compensa; se derrite primero la vela C; y llegué a

que la vela C y D son las que tardan más.

52

Anotaciones del observador

Los estudiantes de nivel superior, reconocen la situación y fenómeno a estudiar.

Primeramente, analizan los registros numéricos de derretimiento de cada una de las velas,

identificando como variables significativas, la altura y el tiempo, en el caso del E3_Uni, se

puede reconocer que admite también como variable significativa, la forma de la vela.

En seguida, los estudiantes analizan y cuantificar la variación y el cambio por intervalos de

tiempo, a través del modelo:

𝐸𝑓 𝐸𝑖 Diferencia entre estados

Δ𝑥Δ𝑦⁄ Razón de cambio

Razón

de cambio

Ilustración 17. Análisis y cuantificación de las variables del E2_Uni.

Diferencia en

alturas

Intervalos de

tiempo

Ilustración 16. Análisis y cuantificación de las variables del E1_Uni.

53

En las justificaciones y los argumentos presentados por los estudiantes de nivel superior, se

puede observar, que el dispositivo cuantificador permite el estudio de la variación de las

variables, en este caso, hasta el de la segunda variación. Se puede reconocer también, que este

dispositivo se aplica para el análisis de los intervalos de tiempo en cada vela y para el estudio

del comportamiento final del fenómeno, lo cual, permite determinar qué vela tardará más

tiempo en consumirse por completo y plantear la resolución al problema. De igual manera, se

vislumbra el objeto matemático “la razón de cambio”, que se utiliza como dispositivo

cuantificador.

Diferencia en alturas

Diferencia en tiempos

Ilustración 18. Análisis y cuantificación de las variables del E3_Uni.

Ilustración 19. Estudiantes de nivel superior analizando las tablas de

registros numéricos.

54

Actividad 3

Estimar el tiempo que tardará la vela en consumirse por completo, al visualizar la simulación

del derretimiento de una vela, en la que se indica la medida de su altura y el tiempo en que se

va consumiendo.

Ilustración 21. Imagen de la simulación del derretimiento de

la vela con forma esférica.

Momento cero Momento uno

Momento dos Momento tres

Ilustración 20. Momentos del derretimiento de la vela con forma esférica.

55

Respuesta y explicación escrita - Nivel básico

E1_Sec

Tiempo Inicial = 0 Estatura Inicial = 15.933

“ “

R= 69.84 min

porque en 34.92 min solo se consume la mitad.

E2_Sec

Cuando llega a 35 minutos es la mitad y se reinicia, entonces al llegar a los 70

minutos se termina.

E3_Sec

78 minutos porque en 35 minutos baja 7.600

Argumentos acerca de sus respuestas

E3_S

ec

E3_Sec: Pues, según muestra esto, en 35 minutos baja 7.6 cm.

E3_Sec: Lo que hice fue restarle esos 7.6 a los 15 y me dio 8.333; se lo volví a restar al

menor, 8.333 minutos y me dio .083; y de ahí calculé cuánto baja.

I: ¿Un aproximado?

E3_Sec: Si

I: ¿Cuándo llega acá, cuantos minutos me dijiste?

E3_Sec: 35

I: ¿Y tiene un altura de?

E3_Sec: 8.333 cm

𝑚𝑖𝑛× 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛

𝑚𝑖𝑛

𝑚𝑖𝑛

𝑚𝑖𝑛

56

E2_S

ec

E2_Sec: Cuando llega a los 35 minutos está a la mitad, entonces lo multiplique por dos

y me da 70.

I: ¿Por qué estas tomando en cuenta que la otra mitad tardaría el mismo tiempo?

E2_Sec: Por la forma.

E1_S

ec

I: ¿Qué pusiste?

E1_Sec: Lo mismo

Anotaciones del observador

Los estudiantes reconocen el fenómeno a estudiar, esto es, el derretimiento de una vela de

forma esférica, para estimar el tiempo que tardará en consumirse por completo. Al iniciar la

simulación, cada uno de los estudiantes visualiza y analiza detenidamente este fenómeno para

identificar la situación que se presenta, la vela se consume poco “después” de la mitad.

Seguidamente, ellos identifican las variables significativas, como son la altura, la forma y el

tiempo de derretimiento, para así, establecer la hipótesis que guía el problema de estudio.

Posteriormente, los estudiantes van registrando determinados datos iniciales, los cuales

analizan para generar un modelo, plantear las condiciones iniciales y por último, determinar la

resolución al problema. También, se reconoce en estos registros, la relación funcional que se

establece entre la medida de la altura y el tiempo que transcurre.

A su vez, se pueden identificar las herramientas y estrategias que utilizan para predecir el

tiempo que tardará la vela en consumirse por completo, por ejemplo, el E3_Sec registra que la

vela se consume hasta llegar a en , y establece que altura de la vela bajará

cada (velocidad constante). Los estudiantes E2_Sec y E1_Sec, reconocen que

la forma esférica de la vela permite la obtención de los datos iniciales para predecir el tiempo

que tardará la vela en derretirse por completo, puesto que el tiempo que tarda la vela en

derretirse hasta la mitad, va ser el mismo que tardará en derretirse la otra mitad.

57

Respuesta y explicación escrita - Nivel medio

E1_Pre

Ya que al dividir la altura total entre , me fue arrojando medias horas.

E2_Pre

Creo que tardaría y algo en derretirse, ya que según el video, poquito más

de la ⁄ hora, ya se gastó por décimas menos de la mitad.

E3_Pre

Primero, la vela comenzó a consumirse muy rápido, pero después bajó la

intensidad de la velocidad. En mi opinión, la velocidad es importante a tomar, ya

que no es constante, sería la última, entre el intervalo del minuto al , pues

su velocidad estima que es de por minuto, así que, sí divido las

restantes entre los , me daría que la vela se consumiría por completo entre

unos minutos más.

Argumentos acerca de sus respuestas

E1

_P

re

E1_Pre: Pues, dividí la cantidad de la altura entre tres y creo que me dio cinco punto y

algo, y lo fui restando y me daba . Luego, intenté encontrar esa altura y me dio

un tiempo aproximado de , entonces lo redondeé a , y si eso hizo en eso, iba

ser el doble seguir restándole, sería .

E2_P

re

E2_Pre: Vi que a los , que es donde acababa el video y volvía a empezar, había

consumido , un poquito menos de la mitad. Entonces, multipliqué ese tiempo por

dos, y me daba que a los ya iba transcurrir . Entonces, estime más o

menos que entre los y la hora se iba acabar la vela.

I: ¿Por qué lo multiplicaste por ?

E2_Pre: Porque ya tenía los datos de la mitad y solo me faltaba la otra mitad.

58

E3_P

re

E3_Pre: Unos minutos más.

E3_Pre: Empecé a tomar exactamente de minuto en minuto al principio y al final, al

principio como que es muy drástico, como que baja más rápido la velocidad y ya al

final no, como que las distancias son más cortas.

E3_Pre: Yo tomé las distancias entre el minuto y , y aproximadamente sería de

por minuto la distancia que hay, entonces si me queda nada más los , lo

dividí entre eso y me quedo .

Anotaciones del observador

Los estudiantes de nivel medio, también reconocen el fenómeno a estudiar. Ellos, visualizan y

analizan detenidamente el fenómeno simulado, para así, identificar la situación que se

presenta, en este caso, la vela solo se consume poco “antes” de la mitad, caso contrario que en

los estudiantes de nivel básico. Se identifica de igual manera las mismas variables

significativas, la altura, la forma y el tiempo de derretimiento; para así, establecer la hipótesis

que guía el problema de estudio.

Luego, los estudiantes realizan una recolección de datos iniciales, es decir, registran la medida

de la altura de la vela en determinado tiempo. En estos registros numéricos, se identifica la

relación funcional entre la posición de la vela en el espacio (altura), el tiempo y las variables

significativas.

E1_Pre E2_Pre E3_Pre

59

Posteriormente, se formula un dispositivo cuantificador para realizar el estudio del

comportamiento local, particularmente, el análisis local de un intervalo próximo al instante

que se requiere predecir.

Asimismo, se realiza el estudio de la primera variación de las variables (velocidad), para luego

establecer las condiciones iniciales del fenómeno y predecir el tiempo que tardará la vela en

consumirse por completo.

Se puede identificar las herramientas y estrategias que utilizan para predecir, por ejemplo, el

estudiante E3_Pre, estudia en comportamiento local del fenómeno en un intervalo próximo al

instante que necesita predecir a través del dispositivo propuesto, para así, determinar cómo

evolucionará el fenómeno después de ese intervalo. Es así, como establece que la vela se

derretirá a velocidad constante a partir del último instante que analizó y así estimar el tiempo

que tardará la vela en consumirse por completo.

En el caso de los estudiantes E1_Pre y E2_Pre, recolectan los datos iniciales, esto es, la altura

en un tiempo determinado y establecen que la vela se derretirá en un mismo intervalo de

tiempo, una determinada altura (velocidad constante), estimando de esta forma el tiempo que

tardará la vela en consumirse.

𝐸𝑓 𝐸𝑖 Diferencia entre estados

Ilustración 22. Estudiantes de nivel medio

cuantificando la variación de las variables.

60

Respuesta y explicación escrita - Nivel superior

E1_Uni

Tenemos que la vela mide 15.933. A los han pasado 29.17 aprox.

o 29.58. A los casi 9, han pasado aprox. , que es

casi de la vela. Ahora por la forma esférica de la vela de 0 a tardará

casi lo mismo que de 10 a 15.

de esto aprox.

El tiempo es aproximadamente

E2_Uni

Notemos que la vela tarda en consumirse desde a Dado

que la forma de la vela es esférica, este tiempo es el mismo que tardará en

consumirse la parte de la vela de a . Solamente debemos hacer una

estimación del tiempo en que se consumirán los que le quedan a la

vela.

Analicemos algunos intervalos de tiempo cercanos al centro.

Consideremos la razón de cambio.

es un aproximado de la velocidad en el lapso .

Hallemos

Por lo tanto, el tiempo sería

𝑣

𝑣

61

Anotaciones del observador

Los estudiantes de nivel superior, también reconocen el fenómeno a estudiar. Ellos, visualizan

y analizan detenidamente el fenómeno, identificando la situación, en este caso, se presentó la

misma situación que en el nivel medio. También, los estudiantes de nivel superior identifican

las variables significativas: la altura, la forma y el tiempo de derretimiento; para luego,

establecer la hipótesis.

De igual forma, los estudiantes realizan una recolección de datos iniciales, registrando la

medida de la altura y el tiempo que transcurre. En estos registros numéricos se identifica la

relación funcional entre la posición de la vela en el espacio (altura), el tiempo y las variables

significativas.

E1_Uni E2_Uni E3_Uni

Registros parciales

De igual forma, se formula un dispositivo cuantificador para realizar el estudio del

comportamiento local, particularmente, en un intervalo próximo al instante que se requiere

predecir.

Estos dispositivos permiten el estudio de la primera y segunda variación de las variables: la

velocidad y la aceleración; para luego, establecer las condiciones iniciales del fenómeno y

predecir el tiempo que tardará la vela en consumirse por completo.

𝐸𝑓 𝐸𝑖 Diferencia entre estados

𝐸𝑓𝐸𝑖

Razón entre estados

62

Es importante resaltar las herramientas y estrategias que utilizan para predecir, se reconoce

como el E2_Uni, analiza la situación y plantea la hipótesis de estudio. Posteriormente, realiza

una recolección de datos iniciales, para luego, estudiar el comportamiento global y local del

fenómeno. Se puede observar que se realiza el análisis de la primera variación a través de la

diferencia entre estados y la segunda variación con la razón entre estados.

En el caso del E1_Uni, se reconoce el análisis de la situación y la hipótesis de estudio que se

establece. Luego, se puede observar que se realiza una recolección parcial de datos iniciales

para analizar el comportamiento local de fenómeno y establecer las condiciones iniciales. El

E3_Uni realiza el análisis de la situación, establece la hipótesis de estudio, recolecta los datos

iniciales, pero al final, no encuentra cómo estudiar el comportamiento del fenómeno y

predecir.

5.2 Resultados de la experimentación

Una importante necesidad social, la cual se orienta hacia la búsqueda de la comprensión del

sistema que regula los fenómenos en la naturaleza, reconoce que en ciertas situaciones o

fenómenos que se manifiestan en nuestro entorno se hace necesario saber cómo será su estado

con el paso del tiempo.

Predicción y modelación matemática en situación escolar

Se vislumbra en los resultados obtenidos, que la noción de predicción se sitúa como una idea

primitiva que lleva consigo a realizar el estudio de las situaciones y fenómenos de naturaleza

variacional-predictiva, la cual establece para este análisis que las primeras informaciones

(estados iniciales o primitivos) permiten predecir la evolución del fenómeno, es decir, las

ideas de estudiar al todo a través de conocer a la parte (la hipótesis), pues el valor global de la

variación está impreso en un valor particular de la magnitud que fluye (Cantoral, 2001).

También, se puede observar cómo esta noción permite reconocer que de la gran cantidad de

variables vinculadas con el fenómeno, solo un subconjunto de ellas serán consideradas

variables y al resto, se les asumirá constantes, pues la ausencia de su variación no se considera

contribuya en la predicción buscada, esto es lo que Cantoral (2001) denomina, primer nivel de

Constantificación.

63

La noción de predicción retoma el hecho de que estas situaciones y fenómenos estudiados, son

susceptibles a observación mediante una serie de experiencias elementales, para así,

encaminar a la obtención de una colección finita de datos iniciales (estados iniciales) para la

interpolación y extrapolación, y que a su vez incorporan en una serie de relaciones

funcionales: posición en el espacio, tiempo y variables significativas; que serán construidas y

modeladas (formulación del modelo).

A su vez, esta noción evoca el estudio del comportamiento local, puntual o instantáneo del

fenómeno, para así, “construir estrategias” que permitan el estudio de la variación y el cambio

de las variables y con ello, asignar el estado constante o cuasi-constante, a alguna de las

sucesivas variaciones de las variables (condiciones iniciales), ya sea porque se considera

constantes en todo su dominio de definición o porque se le considere constante en cierto

estado transitorio, esto es un segundo nivel de Constantificación (Cantoral, 2001).

En ese sentido, se puede reconocer como los estudiantes analizan la evolución de un sistema

(el derretimiento de velas de diferente forma), cuantificando los cambios y la rapidez de esos

cambios, a través de los diferentes tratamientos (gráfico – numérico - visual); y cómo al

hacerles corresponder con sus propias ideas, herramientas y estrategias, se favorece la

predicción y la modelación matemática.

Estructura seguida en la modelación de situaciones o fenómenos de naturaleza variacional-predictiva.

64

Dispositivos cuantificadores de variación y cambio

En el estudio de la cuantificación de la variación en la naturaleza, en la necesidad de predecir

cómo será su estado (del fenómeno) con el paso del tiempo, se considera preciso estudiar a las

variables en conjunción, y de la misma forma, el diseño de dispositivos tanto teóricos como

empíricos para concebir, explicar, medir y modelar el flujo de la naturaleza de la variación

continua e instantánea. Con este propósito se reconoce en los estudiantes la construcción de

dispositivos cuantificadores de variación y cambio:

Modelo diferencia (diferencia entre estados)

En este modelo se presentan estados, que establecen la medida de una cierta magnitud

asociada a un cierto objeto en un instante de tiempo; comparaciones que expresan la

diferencia entre dos estados; y variaciones, que constituyen el cambio de un estado con

el paso del tiempo.

Modelo razón (razón entre estados)

Este modelo presenta de igual forma estados; comparaciones que expresan la razón

entre estados; y una escala de variación, que representa la relación entre el estado

inicial y el estado final.

Estos dispositivos yacen precisamente en la noción de predicción (ideas primitivas) presente

en los estudiantes y se exteriorizan de algún modo al realizar acciones que precisen la

predicción de situaciones o fenómenos de naturaleza variacional-predictiva, esto se reconoce

de igual forma en estudio realizado por López (2010).

Asimismo, los dispositivos generados en torno a esta noción, se reconocen como las primeras

aproximaciones de la función derivada, pero cabe rescatar que para consolidar estas

aproximaciones, faltaría reformular estos dispositivos para un análisis puntual o instantáneo de

las variaciones de las variables.

𝐸𝑓 𝐸𝑖

𝐸𝑓𝐸𝑖

65

La noción de predicción en situación escolar

Asimismo, de los resultados obtenidos se determina el status que guarda la noción de

predicción en situación escolar en los diferentes niveles educativos. En el nivel básico, la

noción de predicción se significa en el nivel de esquema, pues se reconoce en los estudiantes

un estudio de corte informal, que se expresa con un lenguaje natural. A su vez, los estudiantes

de este nivel educativo perciben patrones de regularidad, lo que conlleva a realizar análisis de

tipo cualitativo del fenómeno.

En el nivel medio y superior, la noción de predicción se significa en el nivel de modelo, ya

que se vislumbra un estudio de corte más formal, lo que llamamos pseudo-momentos de

formalización, y aún con este tipo de estudio se reconocen análisis de tipo cualitativo y

cuantitativo, que se expresan igualmente con un lenguaje natural. A diferencia de los

estudiantes de nivel básico, los estudiantes de nivel medio y superior en su estudio de la

percepción de patrones de regularidad, incorporan modelos gráficos y numéricos, y a su vez el

diseñando de dispositivos cuantificadores de variación y cambio.

66

Capítulo 6

Conclusión y discusión

6.1 Conclusión

El presente estudio centró su atención en identificar la naturaleza de los procesos de

modelación matemática que llevan a cabo los estudiantes de distintos niveles educativos

(básico, medio y superior), ante actividades específicas de predicción; y a vez, precisar el

estatus que guarda la noción de predicción, identificable en dichas actividades.

Es así, como este estudio enmarcó características que se reconocen como un punto de

encuentro entre la predicción y modelación matemática, y en ello, se establece que la

construcción de conocimiento matemático se realiza en plena interacción de las personas con

situaciones del mundo real, y que esta construcción no está tanto en la predicción y la

modelación como expresiones matemáticas de una situación fenomenológica, sino en los

procesos que subyacen en las actividades humanas, las tareas, acciones y habilidades que las

personas (estudiantes) llevan a cabo.

Estos procesos que intervienen en la predicción y modelación matemática, se suscitan al

plantear una necesidad sociocultural de saber cómo será su estado (del fenómeno) con el paso

del tiempo, y posibilitan el pasaje de los estudiantes a construir sus herramientas y estrategias

para realizar su actividad, y al mismo tiempo, establecer versiones del fenómeno, generar

entendimientos y explicaciones del mismo; y con base en ello, tomar decisiones de naturaleza

sociocultural.

De ahí, es donde se reconoce que la noción de predicción se construye socialmente a partir de

las vivencias y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales en la

necesidad de predecir (Cantoral, 2001), resultando ser la idea primitiva que se relaciona con el

estudio de la variación, pues para predecir un estado futuro correspondiente a un sistema dado,

es necesario cuantificar y analizar los cambios de sus causas y efectos (estudiar la variación),

esto es, generar dispositivos cuantificadores que yacen precisamente en la noción de

predicción (ideas primitivas) presente en los estudiantes y se exteriorizan de algún modo al

67

realizar acciones que precisen la predicción y la modelación matemática de situaciones o

fenómenos de naturaleza variacional-predictiva.

En concreto, se puede reconocer a la noción de predicción no solo como aquello que permite a

los estudiantes predecir, sino como aquello que hace que se prediga como se predice, esto es,

en la noción de predicción subyacen las ideas, estrategias, estilos de pensamiento y los

conocimientos matemáticos que se involucran en la predicción y modelación matemática, con

el objeto de entender nuestro entorno y al plantear la necesidad socio-cultural de saber cómo

será el estado del fenómeno con el paso del tiempo.

6.2 Discusión

Es importante referir algunos elementos significativos para el rediseño del discurso

matemático escolar, particularmente, del cálculo y el análisis. Para ello, se discuten algunos

elementos significativos en el diseño del instrumento y también algunas de las acciones

realizadas por los estudiantes para el estudio de la variación en la naturaleza.

Un tratamiento gráfico- visual y numérico-visual

Como se menciona en diversos estudios, el tránsito entre los registros de representación

favorece la apropiación de conocimiento matemático. Y aun cuando el instrumento empleado

para recabar los datos, favorece la posibilidad de trabajar (no necesariamente transitar) en

distintos escenarios de representación, se pudo observar que los alumnos trabajan en dichos

escenarios de representación, tal es el caso del numérico-visual o el grafico-visual, empero en

ningún momento se distingue la habilidad para transitar de un escenario a otro. Esto se puede

notar en la Actividad 3 que, a pesar de presentar registros numéricos, en ninguno de los tres

niveles se realizó una representación gráfico-visual por parte de los participantes.

Se expresan en un lenguaje natural y gesticulan

Como se puede observar en el estudio, parte del contexto de significación se expresa en un

lenguaje natural, lo que permite a los alumnos establecer sus propias ideas, argumentar y

validar las hipótesis planteadas, definir en su propio lenguaje sus resultados y conclusiones, y

apropiarse del conocimiento en forma cultural. Esto, unificado al hecho de que no solo es la

68

forma verbal la que aporta todo esto, sino también, la gesticulación que se emplea para

ejemplificar o explicar lo que se piensa, permitiendo representar cierto comportamiento de la

situación (Torres, 2010).

En el marco anterior, la gesticulación entendida en el sentido de Aparicio y Cantoral (2006,

2007), viene a constituirse como un recurso cultural que permite y precede a la modelación

matemática. En efecto, las posturas corporales, lo visual, las expresiones faciales y el uso de

ademanes, favorecen el que las personas puedan anticipar (razonadamente) sus actos

matemáticos como el generar modelos matemáticos elementales o producir explicaciones

lógicas matemáticas ante situaciones específicas de predicción (por ser este el caso que nos

ocupa), donde la libertad para conducirse en la búsqueda de soluciones no está sujeta a

aspectos de temporalidad didáctica de contenido ni al uso “obligado” de conceptos explícitos

de enseñanza.

La visualización en ambientes computacionales

La visualización fue un elemento esencial para el diseño de las actividades, ya que como se

menciona en el capítulo 4, esto favoreció un abordaje más experimental en el aprendizaje

matemático, permitiendo en los estudiantes formular, verificar o rechazar y reformular

hipótesis, identificar patrones de comportamiento, anticipar resultados y combinar esto con los

Nivel básico Nivel medio Nivel superior

Ilustración 23. Estudiantes de diferentes niveles educativos expresando sus conclusiones

con un lenguaje natural y gesticulando.

69

registros de representación: gráfico, numérico y analítico (Borba, 1995a; Capuzzo Dolcetta et

al., 1988, citado en Ester, 2003). Por ello, se diseñó un ambiente computacional que simula el

derretimiento de velas con diferente forma, con el objeto de potencializar los estilos cognitivos

en el pensamiento de los que aprenden. Veamos algunos argumentos presentados por los

alumnos en la Actividad 3.

Niv

el b

ási

co

E3_Sec: Pues, según muestra esto, en 35 minutos baja 7.6 cm. Lo que hice fue restarle

esos 7.6 a los 15 y me dio 8.333; se lo volví a restar al menor, 8.333 minutos y me dio

.083; y de ahí calculé cuanto baja.

Niv

el m

edio

E2_Pre: Vi que a los , que es donde acababa el video y volvía a empezar, había

consumido , un poquito menos de la mitad. Entonces, multipliqué ese tiempo por

dos, y me daba que a los ya iba transcurrir . Entonces, estime más o

menos que entre los y la hora se iba acabar la vela.

Niv

el s

up

erio

r

E2_Uni: Notemos que la vela tarda en consumirse desde a

Dado que la forma de la vela es esférica, este tiempo es el mismo que tardará en

consumirse la parte de la vela de a . Solamente debemos hacer una

estimación del tiempo en que se consumirán los que le quedan a la vela.

La visualización en tanto proceso cognitivo que se hace acompañar de la componente visual

de las situaciones (fenómenos simulados mediante computadora), es una actividad presente en

los niveles de predicción. En efecto, en los episodios antes descritos se muestra como la

visualización permite mediar entre los pensamientos (o razonamientos espontáneos de las

personas) y la situación que se desea entender o modelar. Este tipo de actos consideramos, se

favorece en mayor medida con el trabajo de simulación mediante el uso de la computadora.

70

Bibliografía

Acosta, A. y Castro, C. (2006). ¿Hacia donde rota la terra? Evidencia del desinterés por el

conocimiento científico. Revista de la Sociedad Colombiana de Física, 38 (2), 657-660.

Álvarez, J. y Posadas, Y. (2003). La obra de Galileo y la confrontación del experimento en la

física. Revista Mexicana de Física, 49 (1), 61-73.

Aparicio, E. y Cantoral, R. (2007). La formazione della nozione di continuità puntuale presso

gli studenti dell'università. Un approccio socioepistemologico. La Matematica e la sua

Didattica. Pitagora Editrice Bologna, Italie. 21, n. 2. 163 - 196.

Aparicio, E. y Cantoral, R. (2006). Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de

continuidad puntual. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 9

(1), pp. 7-30.

Arrieta, J. (2003). Las prácticas de modelación como proceso de matematización en el aula.

Tesis de doctorado no publicada. México: Cinvestav IPN.

Barrio, J. (2004). La calidad educativa y la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la

enseñanza secundaria. Revista Complutense de Educación, 15 (2), 621-646.

Bombal, F. (2009). El análisis infinitesimal en Euler. En: La Obra de Euler, Tricentenario del

Nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783). Instituto de España, Madrid, pp. 209-228.

Buendía, G. (2004). Una epistemología del aspecto periódico de las funciones en un marco de

prácticas sociales. Tesis de Doctorado no publicada, Cinvestav, México.

Bunge, M. (1968). La ciencia, su método y filosofía. Buenos Aires: Siglo XX.

Cajas, F. (2001). Alfabetización científica y tecnológica: La transposición didáctica del

conocimiento tecnológico. Enseñanza de las ciencias, 19(2), 246-254.

Camacho, A. (2006). Socioepistemología y práctica sociales. Educación Matemática, 18(1),

133-160.

71

Cantoral, R. (1990). El pensamiento físico en los siglos XVIII y XIX y su relevancia para una

didáctica del análisis. Cuadernos de Investigación. Núm. 13, Año 4, Parte 2, 1 – 6. PNFAPM

– SEP, México.

Cantoral, R. (1993). Hacia una didáctica del cálculo basada en la cognición. Memorias de la

séptima Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e

Investigación en Matemática Educativa, 1, 397 – 410. Panamá, Panamá: Universidad de

Panamá.

Cantoral, R. (1995). Acerca de las contribuciones actuales de una didáctica de antaño: El caso

de la Serie de Taylor. Mathesis. Universidad Nacional Autónoma de México, México. 11 (1),

55 – 101.

Cantoral, R. (2001). Introducción: los contextos de significación. En Grepe, N. Matemática

Educativa. Un estudio de la formación social de la analiticidad. (pp. xvii-xix) México, D.F.,

México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Cantoral, R. (2003). La aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática

educativa: una mirada emergente. [CD-ROM] XI Conferencia Interamericana de Educación

Matemática. Tema: Educación Matemática & Desafíos y Perspectivas. Blumenau, Brazil:

Universidade Regional de Blumenau.

Cantoral, R. y Farfán, R. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al

análisis. Épsilon 42, 353-369.

Cantoral, R. y Farfán, R. (2003). Matemática Educativa: Una visión de su evolución. Revista

Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 6 (1), 27-40.

Cantoral, R. y Farfán, R. (2004). Desarrollo conceptual del cálculo. México: Thomson

Learning International.

Cantoral, R.; Molina, G. y Sánchez, M. (2005). Socioepistemología de la Predicción. Acta

Latinoamericana de Matemática Educativa, 18, 163-168.

72

Cordero, F. (1998). El entendimiento de algunas categorías del conocimiento del Cálculo y

Análisis: el caso del comportamiento tendencial de las funciones. Revista Latinoamericana de

Investigación en Matemática Educativa, 1 (1), 57-74.

Cordero, F. (2001). La distinción entre construcciones del cálculo. Una epistemología a través

de la actividad humana. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,

4 (2), 103-128.

Cordero, F. (2005). El rol de algunas categorías del conocimiento matemático en educación

superior. Una Socioepistemología de la integral. Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa, 8 (3), 265-286.

Ester, M. (2003). Pensamiento matemático, cálculo diferencial y computadoras. Educación

Matemática, 15 (1), 99-122.

Gil, D. (1998). El papel de la educación ante las transformaciones científico-tecnológicas.

Revista Iberoamericana de Educación, 18, 69-90.

Gómez, C. (1991). Cognición, contexto y enseñanza de las matemáticas. Comunicación,

Lenguaje y Educación, 11-12, 11-26.

Gorbea, S. (1998). Modelación matemática de la actividad bibliotecaria: una revisión.

Investigación Bibliotecología, 12 (24), 5-23.

Gregg, J. (1995). The tensions and contradictions of the school mathematics tradition. Journal

for Research in Mathematics Education, 26 (5), 442-446.

Greiner, W., Neise, L. y Stöcker, H. (s.f.). Desarrollo histórico de la teoría del calor.

Recuperado el 03 de diciembre de 2009, de:

www.fis.cinvestav.mx/~jmendez/JMMA/historia%20calor.pdf

Gutiérrez, M. (2002). El aprendizaje de la ciencia y de la información científica en la

educación superior. Anales de documentación, 5, 197-212.

Guzmán, M. (1983). Impactos del análisis armónico. Llull, 5, 27-63

73

Guzmán, M. (2007). Enseñanza de las ciencias y la matemática. Revista Iberoamericana de

Educación, 42, 19-58.

Liñán, A. (2009). Las ecuaciones de Euler de la mecánica de fluidos. In: La obra de Euler:

tricentenario del nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783). Instituto de España, Madrid, pp.

151-177.

López, J. (2010). Análisis de recursos y herramientas matemáticas empleadas por estudiantes

en actividades predictivas. Tesis de licenciatura no publicada, Universidad Autónoma de

Yucatán, Mérida, Yucatán, México.

Luzin, N. (2003). Función. La Gaceta de la RSME, 6 (2), 413-436.

Martínez, A. (2001). La demostración en matemática. Una aproximación epistemológica y

didáctica. Servicio de publicaciones. Universidad de Córdoba. 29-43.

Montiel, G. (2005). Estudio socioepistemológico de la función trigonométrica. Tesis de

Doctorado no publicada. CICATA del IPN, México.

Ortega, T. y Sierra, M. (1998). El concepto de derivada: Algunas indicaciones para su

enseñanza. Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado, 32, 87-115.

Planas, N. e Iranzo, N. (2009). Consideraciones metodológicas para la interpretación de

procesos de interacción en el aula de matemáticas. Revista Latinoamericana de Investigación

en Matemática Educativa, 12 (2), 179-213.

Ruiz, M. y Martínez, F. (2005). Infinitésimos. Ficciones útiles para el cálculo de tangentes y

cuadraturas. Recuperado el 14 de julio de 2010, de: http://163.10.1.179/Infinitesimos.pdf

Sanz, J. (2009). El método de Euler de integración numérica. En: La Obra de Euler,

Tricentenario del Nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783). Instituto de España, Madrid,

pp. 105-114.

Silvio, L. (1998). Ciencia, tecnología y sociedad: el estado de la cuestión en América Latina.

Revista Iberoamericana de Educación, 18, 13-40.

74

Sorge, W., Ramírez, F. y Otero, C. (2007). La composición de movimientos en la obra de

Galileo Galilei. Revista Universidad Católica de Oriente, 24, 87-97.

Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. (4). México D.F.,

México: Ed. Thomson Learning.

Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2001). Precálculo. (3). México: Thomson Learning

Torbay, A. (1999). El nivel de conocimiento de los alumnos al finalizar 8º EGB/1º Ciclo de la

ESO: un acercamiento constructivista. Universidad de La Laguna. Departamento de

Psicología Educativa, Evolutiva y Psicobiología, La Laguna, España.

Torres, L. (2010). La noción de predicción matemática. Un estudio de construcción de

discurso. Tesis de licenciatura no publicada, Universidad Autónoma de Yucatán, Mérida,

Yucatán, México.

Torroja, J. (1998). La gravitación universal y sus consecuencias. En Historia de la Matemática

en los siglos XVII y XVII. Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Madrid,

España.

Trejo, J., Quijano, M. y Ávila, E. (2004). Precálculo. Mérida, Yucatán, México: Editorial

McGraw Hill.

Verdugo, C. (2005). Popper y la explicación científica. Revista de Filosofía, 30(1), 49-61.

Wussing, H. (1998). Lecciones de historia de las matemáticas. Español (1ª ed.). Madrid,

España: Siglo XXI de España Editores. S.A.

Yam, E. y Aparicio, E. (2009). Función definida por partes. Un análisis histórico-didáctico

referente a su tratamiento escolar. Tesis de Licenciatura publicada, Facultad de Matemáticas,

Universidad Autónoma de Yucatán.

75

Anexos

Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad de Matemáticas

Instrumento

Nombre de la escuela: ______________________________________________________

Grupo/Semestre: __________ Edad: _______ Genero: ___________ Fecha: ___________

Correo: __________________ Hora de inicio: __________ Hora de término: __________

Este instrumento pretende recabar datos para un proyecto de tesis, los datos que se registren

serán confidenciales, y de antemano se te agradece tu apoyo en este proyecto.

Indicaciones

A continuación se presenta una serie de actividades, lee cuidadosamente lo que se te

pide en cada caso y anota tus procedimientos y respuestas en las hojas de trabajo, de

preferencia usa bolígrafo y no taches tus intentos y respuestas fallidas, solo enciérralas.

Por ejemplo, evita tachar o rayar de la siguiente forma , solo encierra el

procedimiento o respuesta incorrecta .

76

Actividad 1

En el archivo Actividad1.gsp se presenta la simulación del derretimiento de velas de diferente

forma, elaboradas con el mismo material y puestas a prueba bajo las mismas condiciones

ambientales. Analiza la simulación y responde lo que se te pide. No olvides anotar tus

respuestas y procedimientos en la hoja de trabajo.

Las siguientes gráficas representan el derretimiento de las velas de la simulación, conforme va

transcurriendo el tiempo.

Grafica 1 Grafica 2

Grafica 3 Grafica 4

Grafica 5

77

En la siguiente tabla indica el número de la gráfica que modele el derretimiento de cada vela.

Si es posible justifica tu respuesta.

Hoja de trabajo 1

Vela Gráfica Justificación

A

B

C

D

E

78

Actividad 2

En las siguientes tablas se muestran los registros del derretimiento de otros tipos de velas.

Analiza los datos y responde lo siguiente. No olvides anotar tus respuestas y procedimientos

en la hoja de trabajo.

Vela A Vela B

0 16.4 0 16.5

9.4 15.05 9.3 13.29

17.5 13.23 16.4 10.81

29.8 9.73 30.9 6.91

42.8 5.77 44.8 5.52

56.7 2.13 55 4.5

59.3 2.50 60.8 1.35

Vela C Vela D

0 15.7 0 17.0

6.5 14.66 6.3 14.96

9.3 14.21 17.5 11.62

29.8 10.93 30.9 8.13

45 8.5 42.8 5.48

53.6 7.12 56.7 2.92

59.3 2.50 60.8 1.35

Si las velas A y C se encienden al mismo tiempo, y al derretirse por completo la vela A se

enciende la vela B; y al derretirse por completo la vela C se enciende la vela D, ¿qué par de

velas tardará más en consumirse por completo? Si es posible justifica tu respuesta.

79

Actividad 3

En el archivo Actividad3.gsp se presenta la simulación del derretimiento de una vela, en la que

se indica la medida de su altura y el tiempo en que se va consumiendo. Oprime “Iniciar” para

activar la simulación y pausarla. Analízala y realiza lo siguiente. No olvides anotar tus

respuestas y procedimientos en la hoja de trabajo. (Nota: El botón “Reiniciar” es para empezar

de nuevo la simulación).

Estima el tiempo que tardará la vela en consumirse por completo.