Una caracterización de la cultura didáctica al interior...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

Una caracterización de la cultura didáctica al interior del aula de cálculo. Factor reflexivo del quehacer docente en los estilos de aprendizaje

Presentado por:

Erika García Torres

Asesor:

M.C. Eddie Aparicio Landa

Para obtener el título de:

Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas

Modalidad: Tesis Individual

Mérida, Yucatán, México

Mayo 2006

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1 La reprobación escolar 1

1.2 Problemática al interior de la Facultad de Matemáticas 3

1.3 El problema de investigación 7

1.3.1 Objetivos planteados 12

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 14

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS

3.1 Teoría de Situaciones Didácticas 24

3.1.1 Situación didáctica 27

3.1.2 Acerca de la noción de contrato didáctico 30

3.1.2.1 Regulaciones y temporalidad del contrato didáctico 32

3.2 Enfoque metodológico 34

3.2.1 Etnografía 35

3.2.2 Diseño e implementación de la investigación 37

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CAPÍTULO 4. DESCRIPCIÓN DE LA INFORMACIÓN

4.1 Profesores 45

4.1.1 Profesor A 45

4.1.1.1 Características personales 45

4.1.1.2 Inicio del curso 45

4.1.1.3 Motivación inicial 50

4.1.1.4 Costumbre didáctica del profesor 52

4.1.1.4. a) Estructura de la clase 52

4.1.1.4. b) Estrategias de enseñanza empleadas

por el profesor 54

4.1.1.4. c) Intencionalidad didáctica del profesor 67

4.1.1.5 Motivación en el aula 96

4.1.2 Profesor B 98

4.1.2.1 Características personales 98

4.1.2.2 Inicio del curso 98

4.1.2.3 Costumbre didáctica del profesor 101

4.1.2.3. a) Estructura de la clase 101

4.1.2.3. b) Estrategias de enseñanza empleadas

por el profesor 109

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4.2 Interacciones en el aula 113

4.2.1 Interacciones en el grupo A 113

4.2.1.1 Reglas que determinan la interacción profesor-alumno 113

4.2.1.2 Interacción profesor-alumno:

Mediación del contrato didáctico 115

4.2.2 Interacciones en el grupo B 122

4.3 Alumnos 125

4.3.1 Alumnos del grupo A 125

4.3.1.1 Características y comportamientos de los alumnos 125

4.3.1.2 Características y comportamientos de los alumnos

desde la perspectiva del profesor 143

4.3.2 Alumnos del grupo B 145

4.3.2.1 Características y comportamientos de los alumnos 145


desde la perspectiva del profesor 153

CAPÍTULO 5. EL PAPEL DEL CONTENIDO MATEMÁTICO EN EL AULA

5.1 Características del contenido matemático en el grupo A 160

5.1.1 El papel de la demostración en matemáticas 160

5.1.2 Forma de presentar los contenidos 164

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5.2 Características del contenido matemático en el grupo B 176

5.2.1 El papel de la demostración en matemáticas 176

5.2.2 Forma de presentar los contenidos 181

5.3 Convenios entre los profesores A y B relacionados con

el contenido del curso 204

5.4 Dificultades de los alumnos en función del contenido matemático 212

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y REFLEXIONES FINALES 221

BIBLIOGRAFÍA 227

ANEXO 1 231

ANEXO 2 232

ANEXO 3 234

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INTRODUCCIÓN

Se presenta una investigación que refiere a las interacciones que se producen al

interior de las aulas entre profesor y alumnos universitarios, al momento de

desarrollar las clases de cálculo.

El cálculo ocupa un lugar primordial en el nivel superior. Sus vínculos con la

matemática elemental y su papel en matemáticas y ciencia lo hacen un conjunto

de conocimientos con valor teórico y empírico indispensable en la educación tanto

de las ciencias exactas como de las humanidades; sin embargo, es uno de los

factores causales de la deserción estudiantil en instituciones públicas y privadas.

Diversas investigaciones (Artigue, 1995) han afrontado la problemática asociada a

la enseñanza y aprendizaje del cálculo, aunque no han logrado pernear como se

esperaría al seno de lo didáctico.

En nuestra opinión, no basta estudiar las respuestas que proporciona un alumno

ante una tarea matemática para conocer las causas de su desempeño y por ende,

de su nivel de aprendizaje o conocimiento, sino se precisa de un tratamiento

diferente. Se considera necesario penetrar al aula, el cual es el sitio de estudio y

unidad de análisis, para percibir de manera holística la vida cotidiana de la misma,

y entender cómo se genera conocimiento matemático en ella.

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La investigación persiguió como objetivo realizar un estudio sistemático y de corte

descriptivo que generara conocimiento confiable de lo que ocurría al interior de las

aulas de ciencias matemáticas en la Facultad de Matemáticas, describir las

interacciones entre el profesor, el alumno y el saber, y caracterizar la costumbre

didáctica del profesor.

Utilizamos el enfoque etnográfico de la metodología cualitativa. El término

etnografía significa literalmente “descripción del modo de vida de una raza o grupo

de individuos” (Woods, 1986). Por medio de la observación no participante y de la

realización de entrevistas, se documentó un tiempo prolongado lo que ocurría en

las clases de cálculo de dos grupos de estudiantes.

A continuación proporcionamos un breve panorama sobre el contenido de los

capítulos presentados:

El capítulo 1 proporciona elementos que permiten situar el problema de

investigación al interior de la Facultad de Matemáticas, haciendo énfasis en la

forma de tratar dicha problemática y los objetivos que se persiguen en la

investigación.

En el capítulo 2 se ofrece un panorama de la importancia del enfoque etnográfico

en la metodología cualitativa de la investigación. Además se mencionan algunas

investigaciones realizadas atendiendo algunos aspectos de los elementos del

- 6 -

sistema didáctico (profesor-alumno-saber), una vez considerados como unidad

mínima de análisis.

El capítulo 3 presenta elementos de carácter teórico que ha desarrollado la

escuela francesa en Didáctica de las Matemáticas, con el objetivo de que el lector

conozca y se familiarice con nociones que más adelante se emplearán para

describir las interacciones del sistema didáctico. También se describen los

elementos metodológicos, concernientes al diseño e implementación de la

investigación. Se precisará qué se entiende por un estudio etnográfico y sus

principales características.

El capítulo 4 muestra la información recabada del trabajo etnográfico realizado al

interior de las aulas de ciencias matemáticas. Se caracterizó el contexto de las

clases de cálculo, es decir, las características de los profesores, de los alumnos y

de sus interacciones en función del saber matemático. Se identificó la noción de

contrato didáctico como un regulador de la manera en que se negociaban

significados a fin de llegar a conformar un significado compartido, además de que

se determinó la costumbre didáctica del profesor. La información se organizó en

categorías, en las que se describen las acciones realizadas en los grupos de

estudio.

En el capítulo 5 se hace una caracterización del contenido matemático en el aula.

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Finalmente, el capítulo 6 muestra algunas conclusiones y reflexiones relacionadas

con la obtención de evidencia empírica de cómo la dinámica escolar juega un

papel decisivo en los tipos de aprendizajes de las ideas del cálculo.

- 8 -

CAPÍTULO 1

PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1 La reprobación escolar

Una de las preocupaciones de las instituciones de educación superior ha sido

mejorar los indicadores de rezago, reprobación escolar y eficiencia terminal. Si

bien dichos indicadores reflejan en cierta medida la calidad educativa de alguna

institución, muchas personas pueden coincidir en que no son los más importantes,

y que otras dimensiones deben atenderse con prioridad (Martínez, 2002). Sin

embargo, dado que de la calidad educativa de una institución dependen los

recursos que se le destinen, es coherente pensar que los indicadores de rezago,

reprobación y eficiencia terminal no son despreciables.

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De acuerdo con los reportes de la Organización para la Cooperación y el

Desarrollo Económicos (OCDE), la baja calidad educativa ha colocado a México

entre las naciones con más pobre rendimiento escolar.

El fenómeno de la reprobación es la manifestación de que un estudiante tiene bajo

rendimiento escolar, es decir, una asimilación deficiente de los conocimientos

adquiridos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, en función de los parámetros

mínimos establecidos por una institución para aprobar un curso.

La reprobación es un síntoma de que algo está mal, y a su vez incide en los

índices de rezago y en la eficiencia terminal, es decir, en el hecho de que una

proporción elevada de quienes inician un programa de estudios en una institución

de educación superior no lo terminen. Datos ofrecidos por Díaz de Cosío (1998)

citado en Martínez (2002), señalan que a nivel nacional, en promedio, de cada 100

alumnos que comienzan una carrera de nivel licenciatura 60 terminan las materias

en un plazo de cinco años, y solamente 20 de éstos obtienen el grado, lo que

significaría una eficiencia con titulación de solamente 20%.

Como se puede advertir, estas cifras son por demás alarmantes y sugieren que la

problemática de la reprobación escolar precise de un tratamiento urgente y

adecuado. Este fenómeno es factible de disminuirlo, lo cual contribuiría a que los

índices de rezago y eficiencia terminal mejoren. En otras palabras, si se logra

reducir la reprobación, se estarán poniendo las bases firmes para mermar el

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fracaso o rezago escolar, e incrementar la calidad de las escuelas. Pero, ¿por qué

reprueban los estudiantes?

Algunas instituciones realizan ejercicios para indagar entre los profesores o

estudiantes las causas de la reprobación, sintetizando esa información en

esquemas y tablas que utilizan como base para poner en marcha acciones

remédiales al respecto. Adicionalmente basan estas acciones en la intuición,

experiencia o creencias personales que se tengan al respecto. Pese a ello, en

muchas ocasiones los resultados obtenidos de dichas prácticas o acciones

remédiales no han sido los deseados o tan efectivos como se podrían esperar.

El hecho es que hasta el momento no hay evidencia alguna de que dichas

acciones y esfuerzos tengan como base un estudio formal en donde se analice la

evidencia empírica sobre los factores que inciden en el problema. Es así que

deviene importante el analizar de manera sistemática y a través de un estudio

formal los factores que causan reprobación entre los estudiantes.

1.2 Problemática al interior de la Facultad de Matemáticas

En la Facultad de Matemáticas (FMAT) de la Universidad Autónoma de Yucatán,

se han presentado problemas de permanencia (reprobación y rezago) y eficiencia

terminal en las diversas licenciaturas que ofrece. Las denominadas ciencias

matemáticas conformadas por las licenciaturas de Matemáticas, Enseñanza de las

Matemáticas y Actuaría; y las denominadas ciencias computacionales que

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incluyen las licenciaturas en ciencias de la computación, ingeniería en

computación e ingeniería en software. Estimaciones de la FMAT, indican que el

tránsito del primer al segundo año se encuentra entre 60% y 70% de los

estudiantes. Una referencia notable es que este problema se ha acentuado

principalmente en los primeros semestres de estudio y con mayor énfasis en el

área de cálculo y álgebra.

El cálculo ocupa un lugar primordial en el nivel superior. Sus vínculos con la

matemática elemental y su papel en matemáticas y ciencia lo hacen un conjunto

de conocimientos con valor teórico y empírico indispensable en la educación tanto

de las ciencias exactas como de las humanidades; sin embargo, es uno de los

factores causales de la deserción estudiantil en instituciones públicas y privadas.

Asimismo, el cálculo es un tema que se encuentra en un nivel avanzado dentro de

la jerarquía de los conocimientos en matemáticas. Se halla entre la matemática

elemental (aritmética, geometría, álgebra), propia de los ciclos básicos y medio

superior del sistema educativo mexicano, y los temas de matemáticas avanzadas

(análisis, ecuaciones diferenciales, variable compleja), característicos del nivel

superior (Cantoral, Reséndiz, 2004; Marcolini, Perales, 2005).

Aunque el énfasis y profundidad se establece según la licenciatura o ingeniería,

casi cualquier currículum universitario contiene, al menos un curso de cálculo. En

el área de ciencias matemáticas en su primer semestre de estudios, se destinan 8

horas a la semana a un curso de Cálculo I en el que se estudian algunos temas de

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cálculo diferencial y otros tantos de cálculo integral. Adicionalmente se contemplan

2 cursos también del área de cálculo, siendo estos Cálculo II y Cálculo III.

Al interior de la FMAT se han llevado a cabo ejercicios de diversa índole para

discutir y afrontar la problemática de la reprobación escolar. Concerniente a la

reprobación en el área de cálculo, se puede mencionar que ha sido centro de

atención y discusión por parte de algunos profesores de la institución.

Por ejemplo, un ejercicio realizado por el cuerpo de ecuaciones diferenciales y

análisis de la FMAT en el año 2003, en el que se dieron a la tarea de discutir los

elevados índices de reprobación en la asignatura de Cálculo I en el área de

ciencias matemáticas, dio como resultado una lista de temas, que a juicio de

quines participaron en dicho ejercicio, son en los que se presentan problemas de

aprendizaje, a saber: las demostraciones de las propiedades de los números

reales y el axioma del supremo; la formalización épsilon–delta del concepto de

límite; la comprensión del comportamiento de los limites aparentemente

indeterminados como 0/0, ∞−∞ , etc.; el concepto de continuidad uniforme; el

manejo formal de las demostraciones de los resultados teóricos de continuidad y

derivación; los ejercicios que no son de naturaleza operativa o rutinaria sino de

tipo demostrativo; la redacción de sus ideas en la solución de sus ejercicios; los

ejercicios de aplicación de la derivada sobre problemas de máximos y mínimos y

el planteamiento de los problemas que involucran aplicaciones físicas de la

derivada, por mencionar algunos.

Indudablemente, dicho listado se puede considerar como un caso más de tantos

que han sido ampliamente investigados y reportados en la literatura. Por ejemplo,

estudios sobre las concepciones que tienen los estudiantes preuniversitarios y

universitarios sobre el concepto de límite (Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1985,

1987; Mayela y Andonegui, 2002; Bezuidenhout, 2001; Przenioslo, 2004); o

estudios sobre el caso de la de la continuidad puntual (Hitt, 1994; Azcárate y

Delgado, 1996; Ferraro, 2000; Sierra et al, 2000; Aparicio, 2002, 2003).

Asimismo, como resultado de este ejercicio surgieron algunas acciones

encaminadas a mermar los índices de reprobación, como lo son la entrega de

folletos de hábitos de estudio, la realización de cursos propedéuticos, la

implementación de talleres de cálculo, la discusión colegiada de los exámenes,

seguimiento personalizado del aprovechamiento de los alumnos, entre otras.

Sin embargo, no hay evidencia alguna de que dichas acciones y esfuerzos tengan

como base un estudio formal en donde se analice la evidencia empírica sobre los

factores que inciden el problema. Más bien, se puede considerar que estos

esfuerzos se sustentan en creencias basadas en la experiencia o en concepciones

personales que se tengan. En este sentido, la FMAT no ha realizado estudios que

reporten una investigación formal que identifique aquellos factores que influyen en

el rezago y reprobación del cálculo.

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Se advierte entonces, dada la necesidad de formar profesionistas, y vislumbrando

que el área de cálculo constituye un índice de reprobación y rezago que repercute

para tales fines, dirigir esfuerzos en el diagnóstico y la solución de ese problema.

1.3 El problema de investigación

Se ha precisado como nuestro objeto principal de estudio la problemática de la

enseñanza de las matemáticas en el nivel superior, y en virtud de que el cálculo

infinitesimal ocupa un lugar privilegiado en este nivel, y atendiendo a la

problemática de reprobación en el área de cálculo al interior de la FMAT,

presentamos una investigación que atiende la problemática de rezago y

reprobación en el área de cálculo.

Se dice comúnmente que el cálculo es la matemática del cambio y la variación. Se

puede considerar que es una herramienta matemática que sirve para describir

fenómenos de un mundo cambiante, o de otra forma, se puede considerar que el

cálculo estudia el carácter estable del cambio.

Llevar el cálculo a un contexto escolar, a un aula en el que un profesor debe

enseñarlo a sus alumnos, y más aún si éstos se encuentran en contacto por

primera vez con esta rama de las matemáticas, genera problemas de enseñanza y

aprendizaje, que a la larga pueden verse reflejados en problemas de reprobación.

Como se puede advertir, el desarrollo de habilidades y destrezas entre los

estudiantes precisa de procesos temporalmente prolongados a juzgar por los

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tiempos didácticos habituales. Supone por ejemplo, del dominio de la matemática

básica y de los procesos del pensamiento asociados, pero exige simultáneamente

de diversas rupturas con estilos de pensamiento prevariacional, como el caso del

pensamiento algebraico ampliamente documentado (Cantoral, Farfán, 2000).

El estudio de las problemáticas asociadas a la enseñanza y aprendizaje del

cálculo se han discutido y afrontado desde distintas perspectivas que van desde

los análisis de los problemas que giran entorno a un concepto particular (Demana,

Dolores, Sánchez, Alanís, Azcárate, Dubinsky, Cantoral, 2000; Aparicio, Bloch,

2003; Przenioslo, 2004) a fin de lograr cierto grado de entendimiento, hasta las

reflexiones sobre las reformas al currículo matemático (Dubinsky, 1992; Hitt, 1998;

Artigue, 2000).

Una revisión documental de las investigaciones sobre pensamiento matemático

avanzado exhibe la existencia de una gran cantidad de estudios que muestran las

profundas dificultades de aprendizaje por parte de los alumnos cuando se quiere

que ideas del análisis matemático sean adquiridas en una primera enseñanza

(Artigue, 1998) citada en Cantoral (2000).

Artigue (1995), refiere algunos problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos

asociados a la enseñanza de los principios del cálculo y considera que las

dificultades de acceso al cálculo son de diversa índole, por tanto, las reagrupa en

tres grandes tipos de dificultades:

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• Aquellas asociadas con la complejidad de los objetos básicos del cálculo

(números reales, sucesiones, funciones) y al hecho de que estos objetos se

conceptualizan plenamente cuando se inicia una enseñanza del cálculo que

va a contribuir de forma fuerte a tal conceptualización.

• Aquellas asociadas a la conceptualización y a la formalización de la noción

de límite, centro del campo del cálculo.

• Aquellas vinculadas con las rupturas necesarias con relación a los modos

de pensamiento puramente algebraicos, muy familiares, y a las

especificidades del trabajo técnico en el cálculo.

Pese a que estas investigaciones afrontan las problemáticas asociadas a la

enseñanza y aprendizaje del cálculo, y proveen de información relevante a la

comunidad, no han logrado pernear como se esperaría al seno de lo didáctico. No

se reconoce un vínculo estrecho entre las diversas investigaciones y una

modificación del discurso matemático escolar. Es limitada la incidencia de estas

investigaciones en el trabajo cotidiano de los profesores, los cuales buscan

soluciones a los problemas inminentes de su quehacer cotidiano. Por ende, la

problemática de la reprobación en cálculo sigue prevaleciendo en las instituciones

de educación superior, incluida la FMAT.

Generalmente se intentan establecer acciones remédiales para disminuir los

índices de reprobación. Es común observar que en un curso de cálculo se les

enseña a los estudiantes a realizar un serie de procedimientos y algoritmos, por

ejemplo, graficar y evaluar una función, calcular derivadas, e incluso se muestran

aplicaciones de ciertos conceptos. El énfasis se centra en desarrollar habilidades

algebraicas propias de ser evaluadas, convirtiendo la enseñanza en una práctica

algorítmica y algebraica del cálculo, pensando que esto llevará a mejorar el

aprovechamiento de los estudiantes.

Si bien puede ser que este enfoque de enseñanza logre disminuir los índices de

reprobación, se corre el riesgo de que los estudiantes no comprendan las ideas,

conceptos y métodos fundamentales del cálculo infinitesimal.

Artigue (1991) citada en Reséndiz (2004), reporta que los estudiantes tienen un

dominio razonable de algoritmia algebraica, en términos de calcular la derivada

como mínimo para las funciones simples, pero dan un significado mínimo a los

símbolos usados, por ejemplo dy/dx.

Se pueden mencionar tantas acciones remédiales como instituciones que las

realizan, lo que se reitera es el hecho de la poca evidencia empírica en las que se

basan dichas acciones.

Con esta investigación se intenta obtener un conocimiento confiable que atienda

esta problemática, desde dentro del escenario en que se produce la problemática

y aprendizaje del cálculo. La investigación no se limitó a estudiar las respuestas

que proporciona un alumno ante una tarea matemática para conocer las causas

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de su desempeño, sino que se ha vislumbrado la necesidad de documentar de

manera sistemática y en tiempos prolongados, cómo se comunica y negocia el

significado de conceptos y procesos en la clase de cálculo.

Se pretendió mirar con precisión lo que ocurre cuando un estudiante se pone en

contacto con las ideas del cálculo, posiblemente por primera vez, al seno del

contexto escolar en que está inmerso.

Es así que se hubo de considerar que existe un escenario privilegiado que no se

puede dejar de mirar. Un escenario donde se construyen los significados

matemáticos propios del cálculo y donde se manifiestan los problemas de

enseñanza-aprendizaje: El aula.

Tomando dicho escenario como punto de partida, se intentó estudiar la

cotidianeidad de la clase de cálculo, la manera en que se establecen las

relaciones entre el profesor, los alumnos y el saber; la manera en que se negocian

significados entre el profesor y el alumno con el fin de llegar a un significado

compartido, aceptado por todos los miembros de la clase. Nos parece que

describiendo y caracterizando este escenario se puede entender cómo se genera

el conocimiento matemático, y por ende, identificar desde el interior del aula

aquellos factores que puedan incidir en la reprobación del cálculo.

Este estudio a su vez forma parte del proyecto “Un estudio sobre factores que

obstaculizan la permanencia, logro educativo y eficiencia terminal en las áreas de

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matemáticas del nivel superior: El caso de la Facultad de Matemáticas de la

Universidad Autónoma de Yucatán”, el cual busca atender el problema de

reprobación, rezago y deserción en la Facultad de Matemáticas-UADY,

particularmente, en el área de cálculo.

Dicho proyecto plantea analizar las causas y factores que inciden negativamente

en los indicadores de eficiencia terminal, deserción y logro educativo al interior de

la FMAT, centrando su atención en aquellos conceptos matemáticos que en

principio pudieran estar afectando directamente.

El aporte de la investigación que presentamos a dicho proyecto estará dado en la

medida en que proporcionemos información confiable de lo que ocurre en las

aulas de las licenciaturas en ciencias matemáticas en torno a la construcción de

significados matemáticos propios del cálculo, es decir, se busca responder: ¿qué

contenidos de cálculo se enseñan en las aulas de ciencias matemáticas?, ¿cómo

se enseñan?, ¿qué acciones realizan los profesores en su quehacer cotidiano?,

¿qué características tienen los alumnos?, ¿cómo interactúa el profesor con los

alumnos?, ¿cómo vive el saber en esas aulas?

1.3.1 Objetivos planteados

Dada la naturaleza de las preguntas antes planteadas, se hace necesario recurrir

a técnicas y métodos de la investigación cualitativa de tal manera que sea posible

percibir de manera holística la vida cotidiana del aula, y entender cómo se genera

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conocimiento matemático en ella. En esta dirección, nos planteamos como

objetivos:

• Realizar un estudio sistemático y de corte descriptivo que nos permita

generar conocimiento confiable de lo que ocurre al interior de las aulas de

ciencias matemáticas.

• Describir el contexto escolar en el que se lleva a cabo la construcción de

significados y aprendizajes matemáticos.

• Describir y analizar las interacciones entre el profesor, el alumno y el saber.

• Proporcionar una clasificación de factores que inciden o puedan incidir en la

reprobación del cálculo.

Para ver alcanzados los objetivos nos valimos del enfoque etnográfico de

investigación cualitativa. El término etnografía deriva de la antropología y significa

literalmente “descripción del modo de vida de una raza o grupo de individuos”. Se

interesa por lo que la gente hace, cómo se comporta, cómo interactúa (Woods,

1986). Este tipo de acercamiento al problema de investigación permite representar

e interpretar aquella cultura que existe en el aula de ciencias matemáticas, tal y

como es vista por los participantes de dicha cultura. Se pretende hacer un reflejo

del contexto del aula, acercarnos a ella y entender desde dentro, qué factores

pueden estar incidiendo en la reprobación escolar.

CAPÍTULO 2

ANTECEDENTES

Los enfoques que se han utilizado para abordar la problemática del fenómeno de

reprobación y rezago escolar han sido en su mayoría, estudios que intentan

obtener un diagnóstico de los índices de reprobación y atribuirles posibles causas.

Proporcionan como resultados tablas o diagramas que permiten valorar la

incidencia de ciertos factores como posibles causas de reprobación: factores

económicos, familiares, hábitos de estudio, antecedentes académicos, género,

conocimientos previos, por mencionar algunos. En otros casos (Meléndez, 1992),

se reportan estudios en los que se intenta establecer si existe o no relación entre

la reprobación y la deserción escolar, para ello se utilizan pruebas estadísticas que

arrojen el grado de correlación entre ambas variables.

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La investigación cualitativa abarca una variedad de enfoques. Entre los más

comunes está la etnografía, entendida como el estudio de un grupo o pueblo. La

etnografía constituye un método de investigación útil en la identificación, análisis y

solución de múltiples problemas de educación (Nolla, 1997). Surge en la década

de los 70 en países como Gran Bretaña, Estados Unidos y Australia, en los que se

comienza a aplicar diseños cualitativos que profundizan más en los aspectos del

contexto en que se dan los fenómenos, a diferencia de lo que se hacía con las

investigaciones de corte cuantitativo.

En Estados Unidos se conoce la etnografía tradicional desde 1920 hasta 1960, y

era utilizada por antropólogos para detallar minuciosamente todos los procesos de

un pueblo, para lo cual se adentraban a dicho pueblo durante un tiempo

prologando en el que recopilaban datos. La etnografía tradicional permitió elaborar

los “estudios de carácter nacional” entre los que se destacan los estudios de la

cultura japonesa, la cultura mexicana y la cultura puertorriqueña (Montero-

Sieburth, 1993). Para los años 60, la etnografía se vio fuertemente vinculada con

estudios de escuelas llevados a cabo por sociólogos y sociolingüistas, y más tarde

por antropólogos y educadores. Se dieron a conocer etnografías de grupos

enajenados, de gente pobre, de grupos étnicos y raciales ignorados por la

sociedad. En los años 70 se dio a conocer la llamada “nueva etnografía” que

argumentaba que la gente construye su mundo por la experiencia en la forma en

que hablan acerca de ello. Esta nueva etnografía comprendió la etnociencia, la

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etnometodología, la etnografía holística e integrada y la etnografía de la

comunicación.

Con estos estilos etnográficos se comenzó a incursionar en investigaciones

educativas, con el objetivo de proporcionar mayor claridad a los diferentes

fenómenos que se presentaban en la escuela y en el proceso de enseñanza-

aprendizaje.

La microetnografía y la etnogafía de la comunicación y el discurso, se dieron a

conocer a través de los estudios de muchos investigadores, entre ellos, Courtney,

Cazden, Frederick Erickson, y la unidad de análisis de dichos estudios consistió en

la interacción en el aula, la cual se vio como una cultura propia, con un contexto

social y organizacional, con reglas de comportamiento explícitas e implícitas que

podían llegar a comprenderse por medio de la investigación.

Se conformó una corriente norteamericana de investigación cualitativa, que era

básicamente descriptiva.

En Gran Bretaña se produjeron algunos de los estudios etnográficos más notables

en las épocas de los años 20 hasta los 60. Los conflictos de las clases sociales y

su problemática se dieron a conocer a través de estos estudios. El aula se

presentó como un sitio lleno de conflictos en el cual el maestro compite con el

estudiante para controlar y dominar o legitimizar ciertos comportamientos.

- 24 -

La investigación cualitativa de Gran Bretaña estuvo marcada por un ímpetu social,

económico y cultural. En contraste con la investigación norteamericana que era

básicamente descriptiva, en Gran Bretaña, la investigación tenía como propósito el

crear conciencia. Era una investigación concretamente ocupada por cuestiones de

clase social, de roles de sexo femenino y masculino, de situaciones y reflexiones

hechas por los mismos participantes. Esta investigación estuvo estrechamente

vinculada a la comprensión del conocimiento y el proceso de investigación en sí.

En ambos países se incursionaron en estilos etnográficos con el objetivo de

proporcionar mayor claridad a los diferentes fenómenos que se presentan “en la

escuela”. Se comenzaron a analizar las relaciones escuela-maestro-alumno-

sociedad, para conocer a fondo los diferentes problemas que se presentan como

producto de la interacción entre ellos.

Esta tendencia de investigar en educación de forma cualitativa tuvo grandes

obstáculos, por causa de la fuerte tradición en esos países por la investigación

positivista y la fuerte influencia del conductismo para estudiar al hombre y sus

reacciones en la sociedad, con lo que pretenden hacer ciencia social según los

modelos de las ciencias exactas.

Las respuestas a esta tendencia encontraron su fundamentación en el

propositivismo, esencialmente en la teoría crítica social, que se opuso al

positivismo, argumentando la falta de análisis y reflexión sobre las circunstancias

sociales en las que se producían y obtenían los datos. Este “paradigma

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alternativo” no acepta la separación de los individuos del contexto, en el cual se

realzan sus vidas y por tanto sus comportamientos, ni tampoco acepta ignorar el

propio punto de vista de los sujetos investigados, de sus interpretaciones, de las

condiciones que deciden sus conductas y de los resultados, como ellos los

perciben (Nolla, 1997).

En los países latinoamericanos, la regionalización y la descentralización de los

años 80, permite que la investigación participativa se vaya integrando más al

campo de la educación comunitaria y de acción social con fines educativos.

El mejoramiento cualitativo de la educación se torna en un lema para muchos de

los países latinoamericanos. La investigación cualitativa es vista en centros

universitarios y en sedes educacionales, como un vehículo hacia ese

mejoramiento cualitativo. Como se entiende que el fin de la investigación

cualitativa es utilizar los resultados de la investigación para la acción, es decir,

para transformar la realidad, esto conlleva la generación de autogestión. La

investigación cualitativa es vista en los países latinoamericanos no sólo como

descripción o identificación de los problemas educativos, sino como la generación

de alternativas y de promoción de formas de participación social para transformar

dichos problemas (Montero-Sieburth,1993).

De manera reciente se encuentran estudios etnográficos al interior del aula que

centran su atención en elementos específicos de acuerdo a la problemática que

abordan (Candela, 1999; Parra, 2005; Espinoza, 2000; Reséndiz, 2004); y

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también, de manera general, que intentan caracterizar la clase de matemáticas

(Olfos, 2001).

Las investigaciones que centran su atención en elementos específicos de un aula

si bien observan la cotidianeidad del contexto, tienen un objeto de estudio bien

definido. Por ejemplo, Reséndiz (2004) pretende localizar y analizar las maneras

como se introduce y desarrolla la noción de variación en situación de enseñanza

en el nivel superior. Su objetivo es comprender las ramas de relaciones entre el

profesor, los alumnos y el contenido curricular, y centra su atención en el discurso

a través del papel que desempeña la explicación, cuando un profesor pretende

hacer ver entre sus estudiantes la idea de variación.

Parra (2005) estudia las relaciones existentes entre las creencias de un grupo de

estudiantes de prácticas profesionales (pasantes) de Educación Matemática y las

de los actores más próximos presentes en su proceso de formación. Se propone

identificar las creencias de los pasantes y su evolución a lo largo de las prácticas.

Utilizando el enfoque etnográfico pone particular atención a la manera en que

modifican las acciones los pasantes en relación a la influencia que puedan tener

en ellos los actores del contexto.

En la investigación de Olfos (2001) se realiza un estudio en el nivel intermedio con

el propósito de abstraer un modelo de la clase de matemáticas, y se recurre a

realizar descripciones de cómo se percibe el contexto. No centra la atención en

un aspecto particular del aula si no que se describe de manera global lo que

- 27 -

ocurre con el profesor, los estudiantes y sus interacciones. Se parte del supuesto

de que es recomendable alcanzar una comprensión del funcionamiento de la clase

en condiciones no experimentales para orientar la innovación curricular en el

sistema escolar chileno. Lo que se obtiene es un modelo global de la clase, que

resultó tener su eje central en cómo la clase es llevada adelante por la subjetividad

del maestro.

Investigaciones en esta dirección que atiendan la problemática de reprobación en

nuestro país en el nivel superior aún no se han realizado. Consideramos que es

pertinente poner de manifiesto la manera en que vive un saber en un aula, ya que

esto permitiría explicar muchas de las disfunciones del sistema de enseñanza, que

se traduce entre otras cosas, en el bajo rendimiento de los estudiantes.

Bajo esta perspectiva etnográfica en la que el aula es la principal unidad de

análisis, se trata de analizar la actividad del profesor, las acciones de los

estudiantes, las interacciones entre profesor, alumno y saber, entre otras cosas;

considerando cada uno de esos elementos como componente de un sistema

didáctico.

El siguiente esquema (figura 1) ejemplifica esta relación ternaria que plantea

Chevallard:

- 28 -

Alumno

Saber

Profesor

Figura 1. Sistema didáctico.

Una característica del sistema didáctico es que los sujetos y sus acciones no se

estudian de manera aislada, sino en interacción con los otros sujetos, mediante las

reacciones que sus acciones pueden producir en esos otros. El sistema didáctico

debe considerarse en la situación efectiva en la que se encuentra ubicado:

situación escolar, pues los sujetos en interacción (profesor y alumnos) son sujetos

situados en un contexto (la institución escolar) que determina expectativas,

códigos y comportamientos específicos.

En este sistema, el profesor se considera como el portador del saber que habrá de

escenificarse en el aula, y se trata de analizar la forma en que el profesor

desarrolla el contenido matemático, las actividades que realiza como componente

del sistema didáctico y no un estudio de su problemática particular como persona.

En ese sentido, Espinoza (2000) estudia los instrumentos de actuación del

profesor, tanto los conceptuales como los materiales, en su tarea de organización

y gestión del aprendizaje de sus alumnos, para poner en marcha el proceso de

- 29 -

estudio de los límites en jóvenes de entre 15 y 16 años de edad. Se interesa en

los aspectos más naturalizados de las técnicas docentes, es decir, aquellos gestos

y estrategias que el profesor realiza de manera totalmente espontánea y natural,

como si no necesitara para ello un conocimiento elaborado. La investigación se

aborda desde un enfoque etnográfico y además de analizar al profesor, se

identifican algunas características del objeto límite, tanto del cómo vive dentro de

la institución de los saberes matemáticos, como cuando es transformado para ser

enseñado.

También como componente del sistema didáctico varias investigaciones se han

centrado en los alumnos. En (Falsetti, Rodríguez, 2005) se explora el desempeño

de los estudiantes y su percepción del aprendizaje en matemáticas con relación a

las interacciones que surgen en el aula, utilizando rasgos del enfoque etnográfico

e instrumentos como encuestas y entrevistas. Se caracterizaron los

comportamientos de los alumnos frente a diferentes actividades propuestas.

Estos dos actores del contexto –profesor y alumno- así como sus interacciones, se

tornan importantes de caracterizar en nuestro estudio. Se considera las aulas de

ciencias matemáticas como el contexto en que describimos todo lo ocurrido, y

finalmente desde ahí, planteamos factores que pueden incidir en la reprobación de

cálculo.

- 30 -

CAPÍTULO 3

ELEMENTOS TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS

En la primera sección de este capítulo (3.1) se presentan elementos de carácter

teórico que ha desarrollado la escuela francesa en Didáctica de las Matemáticas,

con el objetivo de que el lector conozca y se familiarice con nociones que más

adelante emplearemos para describir las interacciones del sistema didáctico de las

aulas de ciencias matemáticas en las que se ubica este estudio.

La segunda sección (3.2) está orientada a describir los elementos metodológicos,

concernientes al diseño e implementación de la investigación. Se precisará qué se

entiende por un estudio etnográfico y sus principales características.

- 31 -

3.1 Teoría de situaciones didácticas

La teoría de situaciones didácticas es una teoría sistémica desarrollada por la

escuela francesa de Didáctica de las Matemáticas, que busca atender los

fenómenos didácticos asociados a la matemática. El calificativo sistémico va en el

sentido de que el funcionamiento global de un hecho didáctico no puede ser

explicado por el estudio separado de cada uno de los componentes del sistema

didáctico.

De acuerdo con esta escuela de pensamiento, el proyecto de la escuela tiene

como cuestión central la comunicación de saberes. Así, según sus postulados, lo

que ahí se establece es una relación entre el profesor y los alumnos alrededor de

un cierto objeto de saber. El esquema saber-profesor-alumno (S-P-A) presentado

en el capítulo 2 resume esta relación.

En Francia, el interés por el estudio sistemático de los procesos de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas se inicia en los años sesenta, pero los primeros

trabajos relevantes en didáctica aparecieron en los inicios de la década siguiente.

Brousseau (1986) inició la didáctica de las matemáticas como campo científico con

un doble interés:

1. Analizar los procesos a que da lugar la comunicación del saber matemático

escolar.

2. Indagar las mejores condiciones de su realización.

- 32 -

Así pues, desde sus inicios, la investigación en este dominio abordó tanto los

comportamientos cognitivos de los alumnos, como los tipos de situaciones que se

ponen en marcha para enseñarlos, y los fenómenos a los cuales la comunicación

del saber da lugar.

Los trabajos de Piaget tienen influencia en la teoría de situaciones. Con su teoría

de la equilibración, Piaget presentó una teoría coherente de la evolución del

conocimiento: "el conocimiento pasaría de un estado a otro de equilibrio a través

de un desequilibrio de transición, en el curso del cual las relaciones consideradas

por el sujeto en el estado anterior estarían en contradicción, ya sea por la

consideración de relaciones nuevas o por la tentativa, nueva también, de

coordinarlas. Esta fase de conflicto sería superada durante una fase de

reorganización y de coordinación que llevaría a un nuevo estado de equilibrio”.

Esta idea, de que el alumno aprende al adaptarse a un medio que es factor de

contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la

sociedad humana, sería central en la teoría de situaciones.

No obstante, tal idea resultaría insuficiente, pues para la perspectiva

brousseauniana un medio sin intenciones didácticas es manifiestamente

insuficiente para inducir en el alumno todos los conocimientos culturales que se

desea que adquiera. Brousseau considera que el aprendizaje “natural" de la

propuesta piagetana corría el riesgo de liberar de toda responsabilidad didáctica al

profesor. Él reconoce que la educación deberá provocar en el alumno las

- 33 -

http://www.monografias.com/trabajos16/teoria-sintetica-darwin/teoria-sintetica-darwin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/tomadecisiones/tomadecisiones.shtml


http://www.monografias.com/trabajos4/confyneg/confyneg.shtml


http://www.monografias.com/trabajos/tomadecisiones/tomadecisiones.shtml

adaptaciones deseadas mediante una selección cuidadosa de los problemas y

situaciones que se le propongan. Por ello, lo que se pone en análisis no es la

situación ante la que se coloca al sujeto piagetano, sino la situación didáctica.

La situación didáctica es un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o

implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que

comprende eventualmente instrumentos y objetos) y un sistema educativo

(representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos

se apropien de un saber constituido o en vías de constitución (Brousseau,

1982) citado en Ávila (2001).

De este modo, es el profesor quien pone en contacto al alumno con el medio y, al

hacerlo, devuelve a los niños la responsabilidad de su aprendizaje. La devolución

consiste en provocar la interacción del alumno con el medio en situación a-

didáctica, situación en la que desaparece la voluntad explícita de enseñar. Para

que esto se logre, en principio, la situación planteada deberá obligar a producir un

cierto conocimiento a manera de estrategia de resolución. Pero, advierte

Brousseau, considerar que el medio es la fuente de la aceptación de la

responsabilidad es insuficiente; aceptar la interacción con la situación y las reglas

de la interacción no es posible sino por la mediación de un contrato didáctico

portador de derechos y obligaciones para maestro y alumnos. En virtud de lo

anterior, esta última noción forma parte esencial de la teoría de situaciones

- 34 -

didácticas y es precisamente la que hace explícita la ubicación del sistema saber-

profesor-alumno (S-P-A) en el contexto escolar.

3.1.1 Situación didáctica

Para Brousseau una situación es una situación-problema que necesita una

adaptación, una respuesta del alumno. En particular, si la necesidad de esta

respuesta ha sido el objeto de una consigna precisa, si el alumno tiene un

proyecto, un objetivo declarado, tendremos una "situación-problema estricta" (o

formal), e incluso un "problema" si el medio es reducido a un enunciado y si

ninguna restricción material, debido a ciertos aspectos físicos de la situación, ni a

ninguna condición psicológica o social que modifica la interpretación. Una

situación didáctica es una situación en la que se manifiesta directa o

indirectamente una voluntad de enseñar. En general, se puede distinguir, en una

situación didáctica, al menos una situación-problema y un contrato didáctico.

Como puede verse, la situación es portadora de condiciones que implican una

adaptación del sujeto. Pero sólo su carácter didáctico obliga a que la adaptación

(el aprendizaje) se produzca. En ello media el contrato didáctico. Así pues, la

situación didáctica está constituida por una situación-problema (que vincula al

alumno con el saber en tanto sujeto epistémico) y un contrato didáctico (que lo

vincula con la intención de enseñanza en tanto sujeto didáctico). Esta sería una

diferencia con la postura piagetana.

- 35 -

Se presenta a continuación un diagrama (figura 2) que ejemplifica una situación

didáctica. En un primer momento (M1) el profesor (P1) prepara una clase

considerando al alumno (A1). En este momento, P1 piensa en el aprendizaje con

el que va a poner en contacto a A1 en el aula e imagina un segundo momento

(M2) que representa la situación real, es decir, el momento de la clase. El

momento de la clase (M2) es una situación de enseñanza. El profesor es el mismo

aunque en un momento diferente, hay una interacción entre él y el alumno (A2), se

establecen las relaciones y condiciones de la interacción, y media en ello el

contrato didáctico. A2 piensa que P2 le va a solicitar acciones adicionales, con lo

que se está transitando a un tercer momento (M3). Es decir, P2 cede a A2 la

responsabilidad de su aprendizaje ubicándolo en un tercer momento (M3), en el

que A2 está en una situación de aprendizaje (situación a-didáctica). Para que A2

se sitúe en este momento debe aceptar la responsabilidad del aprendizaje: la

devolución. La situación didáctica viene siendo la articulación de los momentos.

M1

P1

A1 A2

Situación de enseñanza M2

P2

Situación de aprendizaje

M3

A3

Figura 2. Situación didáctica.

- 36 -

- 37 -

De esta manera, la situación debe ser tal que predisponga al alumno a la

aceptación del problema planteado (devolución) y debe permitir precisar las

relaciones que pueden tener los comportamientos o las producciones “libres” del

alumno con el saber cultural o científico y con el proyecto didáctico. Importa que

en las relaciones que se establecen entre el profesor y el estudiante en situación

de enseñanza y aprendizaje, se establezca una devolución, y el profesor mismo,

se comprometa a los efectos resultantes (Aparicio, 2003).

En una situación didáctica se pueden distinguir cuatro etapas:

• ULas situaciones de acción U, en ella se genera una interacción entre los

alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que

hagan falta para organizar su actividad de resolución de problemas

planteado.

• ULas situaciones de formulación U, cuyo objetivo es la comunicación en

informaciones entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que

utilizan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que

deben comunicar.

• ULas situaciones de validación U, en las que se trata de convencer a uno o

varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen, en este

caso, los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus

- 38 -

afirmaciones. No basta la comprobación empírica de que lo que dicen es

cierto; hay que explicar que necesariamente debe ser así.

• ULas situaciones de institucionalización U, destinadas a establecer

convenciones sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de

alumnos de una clase asuma la significación socialmente establecida de un

saber que ha sido elaborado por ellos en situaciones de acción, de

formulación y de validación.

Dentro de cada una de estas situaciones, hay un componente a-didáctico, esto es,

un espacio y tiempo donde la gestión de la situación cae enteramente en los

alumnos.

3.1.2 Acerca de la noción de contrato didáctico

Entre el profesor y el alumno se establece, aunque no llega a decirse, un conjunto

de relaciones que Brousseau llama contrato didáctico.

El contrato didáctico se postula como el conjunto de comportamientos (específicos

de los conocimientos enseñados) del profesor que son esperados por el alumno y

el conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el profesor. Se

establece una relación que determina - explícitamente en una pequeña parte, pero

sobre todo implícitamente - lo que cada participante, el profesor y el alumno, tiene

responsabilidad de hacer y de lo cual será, de una u otra manera, responsable

frente al otro. Este sistema de obligaciones recíprocas se parece a un contrato,

aunque lo que interesa de ese contrato es la parte específica del contenido,

aspecto que lo distingue del contrato pedagógico.

Como ejemplo de contrato didáctico se tiene un problema que se suministró por

las escuelas de Francia: "En un barco hay 26 ovejas y 10 cabras ¿Cuál es la edad

del Capitán?" De 97 estudiantes, entre 6 y 12 años, 67 respondieron la edad del

Capitán realizando operaciones con los números del enunciado. Frente a un

problema planteado por el profesor, los niños respondieron haciendo lo que creían

que él esperaba de ellos. Se suponía que la propuesta, si la daba el profesor,

debía tener algún sentido.

La formulación de contrato inaugura la idea de un sujeto didáctico no reductible al

social o epistémico y pone de relieve que el análisis del funcionamiento cognitivo

del alumno no se puede llevar a cabo sin tener en cuenta la situación escolar

(Ávila, 2001).

Esta noción permite pensar en un sujeto situado y esclarece la diferencia entre un

niño y un alumno, porque es en virtud del contrato didáctico que el niño, al

ingresar a la escuela se convierte en alumno y ahí sus conductas y su actuación

toman una apariencia particular derivada de la situación. Las dos lógicas que

entran en juego cuando el contrato didáctico se establece, han sido puestas de

relieve por Chevallard, quien afirma:

- 39 -

El contrato didáctico regula las relaciones que maestro y alumnos mantienen

con el saber, establece derechos y obligaciones de unos y otros en relación

con cada contenido escolar. En tal sentido, lo que se sabe sobre el sujeto

cognoscente no siempre es aplicable de forma directa a las acciones o

respuestas del alumno, ya que en muchos casos éstas son sólo explicables

recurriendo a las pautas del contrato didáctico (Chevallard, 1982) citado en

Ávila (2001).

De lo anterior, en una situación escolar, la tarea del alumno consiste en

proporcionar respuestas según la lógica del contrato didáctico que, para funcionar,

necesita la desactivación de la lógica en tanto sujeto epistémico.

3.1.2.1 Regulaciones y temporalidad del contrato didáctico

El contrato didáctico es constitutivo de una situación específica y depende del

contenido del saber en juego, es decir, el contrato didáctico es perecedero y como

señala Brousseau, a cada situación didáctica corresponde un problema y un

contrato.

Tanto por la evolución natural de la progresión didáctica, como por las

necesidades de regulación del sistema, entre un profesor y sus alumnos tiene

lugar una sucesión de contratos. El contrato termina cuando el aprendizaje; motivo

de la interacción, se ha logrado, sin embargo, no resulta fácil especificar la

temporalidad del mismo.

- 40 -

Por una parte, para el análisis de los fenómenos didácticos que permanecen en el

tiempo, la noción de contrato es limitada. Resultan necesarias otras categorías

que den cuenta de tales hechos en el caso específico de las matemáticas (Ávila,

2001).

Una aproximación a la cuestión de lo temporal en la clase de matemáticas la

proporciona Balacheff, quien señala que lo permanente en las clases, las reglas

de interacción social que se dan alrededor del saber matemático y la distribución

de responsabilidades que perduran en un cierto grupo escolar a pesar de los

cambios contractuales locales, puede conceptualizarse mediante la noción de

costumbre.

Balacheff (1988) considera que el concepto de costumbre es mucho más

adecuado para dar cuenta del modo de regulación del funcionamiento social de la

clase. En su perspectiva, la costumbre es producto de la práctica en la clase y del

saber enseñado en ella. En cambio, el contrato didáctico se negocia para una

tarea particular que exige definir localmente, de una manera nueva, las reglas del

funcionamiento social de la clase. La costumbre pasa sobre la negociación del

contrato didáctico, principalmente, delimitando lo que es negociable de lo que no

lo es.

Esta perspectiva al centrarse en lo social más que en la especificidad del objeto de

saber, no contradice las afirmaciones de Brousseau, ya que de acuerdo con él, en

el desarrollo de una situación didáctica, el alumno interpreta la situación que se le

- 41 -

presenta, las preguntas que le son planteadas, las informaciones que le son

proporcionadas, las restricciones que le son impuestas, en función de lo que el

maestro reproduce, conscientemente o no, de manera repetitiva en su práctica de

enseñanza.

Es decir, el contrato didáctico se elabora sobre la base de la repetición de

conductas específicas del maestro (lo que el maestro reproduce, conscientemente

o no, de manera repetitiva, en su práctica de enseñanza) y permite,

recíprocamente, al alumno decodificar la actividad didáctica. La costumbre, en

cambio, delimita y autoriza los contratos posibles. De esta manera, la noción de

costumbre contribuye a delimitar el ámbito y la temporalidad de los fenómenos que

son explicables mediante la noción de contrato.

Balacheff asigna un carácter complementario a ambos conceptos: El modelo de

contrato y el de costumbre (juntos) proporcionan un cuadro para describir y

explicar el carácter dinámico de las interacciones sociales en la clase en su

relación con el saber y su estabilidad, su permanencia, indispensable en el

funcionamiento del sistema didáctico.

3.2 Enfoque metodológico

Como se ha mencionado, en este estudio se pretende caracterizar la actividad del

profesor, las acciones de los estudiantes, las interacciones entre profesor, alumno

- 42 -

y saber, considerando cada uno de esos elementos como componente de un

sistema didáctico.

Se consideró necesario penetrar al aula, sitio de estudio y unidad de análisis. El

enfoque metodológico que nos permite percibir y describir de manera holística la

cotidianeidad en las aulas de ciencias matemáticas, es el enfoque etnográfico.

3.2.1 Etnografía

El término etnografía deriva de la antropología y significa literalmente “descripción

del modo de vida de una raza o grupo de individuos”. Se interesa por lo que la

gente hace, cómo se comporta, cómo interactúa (Woods, 1986). Se propone

descubrir sus creencias, valores, perspectivas, motivaciones y el modo en que

todo eso se desarrolla o cambia con el tiempo de una situación a otra. Todo desde

el interior de un grupo y desde dentro de las perspectivas de los miembros del

mismo. Lo que cuenta son sus significados e interpretaciones. Esto quiere decir,

que el etnógrafo tiene que aprender el lenguaje del grupo y sus costumbres con

todos sus matices.

Cada grupo construye sus propias realidades culturales netamente distintivas, y

para comprenderlo se ha de penetrar en sus fronteras y observarlo desde el

interior, lo cual resulta un tanto difícil de acuerdo con nuestra propia distancia

cultural respecto del grupo que se quiere estudiar.

- 43 -

En cualquier caso, eso significará una permanencia relativamente prolongada al

seno del grupo, primero para romper las fronteras y ser aceptado, y después para

aprender la cultura, gran parte de la cual distará mucho de estar sistemáticamente

enunciada por el grupo.

Woods precisa, no se trata pues de un cuadro común. Una fotografía sólo da

detalles de la superficie. El etnógrafo se interesa por lo que hay detrás, por el

punto de vista del sujeto y la perspectiva con que éste ve a los demás. A partir de

esto, el etnógrafo puede percibir en las explicaciones, o en las conductas

observadas, pautas susceptibles de sugerir ciertas interpretaciones. De tal suerte

que la realidad social aparece como formada por diferentes capas. El etnógrafo

tiende a representar la realidad estudiada, con todas sus diversas capas de

significado social en su plena riqueza.

El enfoque arroja resultados novedosos, imposibles de obtener de ninguna otra

manera. Muestra capas de significación que permanecen ocultas a la observación

superficial y que a menudo son diferentes de lo que se supone que son. El

enfoque etnográfico implica penetrar las culturas grupales y las perspectivas y

realidades ajenas.

En este enfoque, el investigador es el principal instrumento de investigación,

puesto que tendrá que realizar una actividad sistemática de observación

prolongada, elaborar notas, hacer entrevistas, analizar los datos e interpretarlos.

No se vale de instrumentos que modifiquen el entorno, simplemente se dedica a

- 44 -

interpretar lo que observa. El investigador debe describir la vida cotidiana en el

escenario del trabajo, así como tratar de identificar el significado de las acciones

desde los puntos de vista de los propios actores.

La investigación etnográfica requiere de tiempo, de agudeza en la observación y

análisis de lo que se comprende, de perfeccionar las técnicas de observación y de

entrevistas, de revisar un sinnúmero de veces para descubrir la esencia (Nolla,

2005).

Los resultados en una investigación etnográfica se deducen de los análisis

posteriores a cada observación o entrevista y de la comparación o triangulación

entre uno y otro análisis, o entre análisis y datos.

3.2.2 Diseño e implementación de la investigación

La etnografía deviene útil para percibir íntegramente el acto de enseñanza, pues

presupone una estancia y una observación detallada en el ambiente natural de la

enseñanza, lo cual permite al investigador adentrarse en la cultura de las aulas y

luego describirla.

Por la naturaleza de los objetivos perseguidos, se ha utilizado el enfoque

etnográfico de investigación para percibir el acto de enseñanza en plenitud, de tal

manera que nuestra investigación se instala dentro de las aulas de ciencias

matemáticas.

- 45 -

- 46 -

El enfoque etnográfico nos permite representar e interpretar aquella cultura que

existe en el aula de ciencias matemáticas, tal y como es vista por los participantes

de dicha cultura, para hacer un reflejo del contexto del aula, y entender desde

dentro, qué factores pueden estar incidiendo en la reprobación escolar, o más aún,

en la generación de aprendizajes “duraderos o no”.

La información se recabó desde dentro y se analizó desde la perspectiva de los

participantes, es decir, se interpretaron los elementos que hicieron que los actores

se comportaran de una manera y no de otra y la forma en que respondían ante el

contexto y la cultura misma del grupo ante la tarea de construir conocimiento.

• Negociación del acceso al grupo

Para acceder al sitio de estudio, se eligieron 2 grupos de primer semestre del área

de ciencias matemáticas que se disponían a cursar la asignatura de Cálculo I, que

en lo sucesivo llamaremos “grupo A” y “grupo B”. Se platicó previamente con los

profesores de ambos grupos –“profesor A” y “profesor B”, respectivamente-

quienes accedieron voluntariamente a participar en la investigación. Asimismo, se

acordó que el primer día de clase se les informaría a los alumnos de nuestra

presencia en el aula, indicándoles que nuestra posición era de observadores y que

se iban a videograbar las clases.

Entrar al aula implicó olvidarse de prejuicios y opiniones al respecto del problema

de investigación para poder adquirir los criterios, actitudes y comportamientos de

los participantes.

Se utilizó como técnica de observación la observación no participante, que

consiste en observar las cosas tal y como suceden; con la menor interferencia

posible. En este caso, solo se observan las situaciones de interés como suceden,

naturalmente, con la menor interferencia posible, siendo el investigador

teóricamente ajeno a esos procesos, aunque parte de la escena. Este tipo de

observación permitió un distanciamiento necesario con vistas a la evaluación

científica del material descubierto y planteado.

Se trató de ocupar un lugar en el salón que careciera de notoriedad, para

perturbar lo menos posible la acción con nuestra presencia. Se eligió como

posición una de las esquinas del aula (figura 3), en la que nos situamos y se

colocó la cámara de video.

Acceso

Cámara de video

Alumno

Pizarrón

Aula

Figura 3. Ubicación en el aula.

- 47 -

- 48 -

• Registro de la información

UCámara de video

Puesto que es físicamente imposible observar y registrarlo todo, se utilizó una

cámara de video para registrar el contenido de las clases. El uso de las

grabaciones en video como documentos de análisis sistemático de una realidad se

está utilizando ampliamente (Montero-Sieburth, 1993). La cámara se utilizó

básicamente para documentar a detalle lo que ocurría diariamente en las clases.

UNotas de campo U

Las notas de campo son apuntes realizados durante el día para refrescar la

memoria acerca de lo que se ha visto y se desea registrar. El objetivo principal de

las notas de campo fue llevar un registro lo más completo y fidedigno posible de

las observaciones del día, puesto que toda la investigación depende del vigor y la

exactitud de ese material. Las notas de campo se conformaron con la trascripción

de las videograbaciones de las clases, las cuales tenían una duración de 1 hora

20 minutos.

Las notas de campo se registraron al final de cada día, en un formato como el que

se muestra a continuación (figura 4).

Clave Tema visto Información

Clave: Grupo-fecha-hora de la clase

(Ejemplo: GA-0109-H1 se refiere a grupo A, día 1 del mes 9, primera clase)

Figura 4. Formato de las notas de campo.

Asimismo, se utilizó una notación especial para la trascripción de las

videograbaciones (ver anexo 1).

Entrevistas

Aunque la observación constituye el corazón de la etnografía, también se pueden

realizar entrevistas a los participantes del grupo. A menudo es éste el único modo

de descubrir las visiones de las distintas personas y de recoger información sobre

determinados acontecimientos. Con una entrevista se trata de conocer las

experiencias de los demás, de empalizar y volverse como ellos, compartir con

ellos, hablar como ellos y parecerse a ellos.

Se produce un vínculo muy fuerte cuando las entrevistas van acompañadas de

observación. Ambos métodos combinados permiten una participación más plena

(Woods, 1986).

- 49 -

Las entrevistas que se realizaron en la investigación fueron estructuradas

previamente con una orientación definida y se llevaron a cabo al finalizar la

observación no participante en las aulas. Se efectuaron entrevistas en las

siguientes modalidades:

- Entrevistas a los profesores de ambos grupos (ver anexo 2).

- Entrevistas individuales a alumnos de ambos grupos (ver anexo 3).

- Entrevistas grupales a alumnos de ambos grupos (ver anexo 3).

Los alumnos entrevistados accedieron a participar en esta fase de la investigación

de manera voluntaria y en todos los casos, las conversaciones se registraron por

medio de una grabadora de voz, para posteriormente realizar un registro escrito

de cada una de ellas, de acuerdo a la siguiente clave:

Número de entrevista (E1, E2, ...) - grupo al que pertenecía (GA-GB) - entrevista

individual (I), grupal (GP) o del profesor (P).

Por ejemplo: E5 – GB – GP , indica que es la entrevista número 5 del grupo B y

que es una entrevista grupal.

Además se establecieron claves de los nombres de los alumnos participantes

para preservar el anonimato, que consisten en la primera letra de su nombre y a

continuación un subíndice que indica su género, “h” para alumno, “m” para

alumna.

- 50 -

- 51 -

Por ejemplo: PBh Bse refiere a que el alumno entrevistado se llama Pedro.

En los dos grupos se realizaron 7 entrevistas: 4 entrevistas individuales a

alumnos, 2 entrevistas grupales (grupos de 3 alumnos) y una entrevista al

profesor.

• Permanencia en las aulas

- Del grupo A se registraron 63 sesiones con duración de 1:20 min cada una.

Este tiempo de permanencia fue equivalente al 70% del curso de Cálculo I.

- Del grupo B se registraron 54 sesiones con duración de 1:20 min cada una.

Este tiempo de permanencia también fue equivalente al 70% del curso de

Cálculo I.

Se puede decir que el tiempo de permanencia fue tal que permitió conocer a fondo

el contexto y la cultura establecida en esas aulas, y que se reunió la información

suficiente para analizar, interpretar y describir lo ocurrido en el escenario.

CAPÍTULO 4

DESCRIPCIÓN DE LA INFORMACIÓN

Este capítulo muestra la información recabada del trabajo etnográfico realizado al

interior de las aulas de ciencias matemáticas. Se intenta hacer un reflejo de lo que

ocurrió en las aulas para que el lector se forme una perspectiva propia de lo

acontecido. Se organizó la información en categorías, en las que se describen las

acciones realizadas en los grupos de estudio. Se presentan extractos de las notas

de campo, fragmentos de las entrevistas, ilustraciones y fotografías que

complementan las descripciones de las categorías.

Consideramos al triángulo didáctico -profesor, alumno y conocimiento matemático-

en juego como unidad mínima de análisis. Se describen a lo largo del capítulo el

comportamiento de los profesores, de los alumnos y sus interacciones. Se recurrió

- 52 -

al contrato didáctico para describir las interacciones en función de un conocimiento

matemático, y la caracterización del contenido en el aula se realizará en el capítulo

siguiente.

4.1 Profesores

Este apartado tiene como objetivo describir el comportamiento y la costumbre

didáctica de los profesores de los grupos A y B. Se presenta una caracterización

de su costumbre didáctica, realizando para ello una clasificación de sus acciones

observadas durante el trabajo etnográfico.

4.1.1 Profesor A

4.1.1.1 Características personales

El profesor A (PA) estudió la licenciatura en matemáticas en la Facultad de

Matemáticas de la UADY y su maestría y doctorado las realizó en el extranjero. Su

experiencia como profesor en la FMAT es de 9 años. En el área de cálculo,

impartió en una ocasión el curso de Cálculo 3, y esta fue la primera vez que

impartió la asignatura de Cálculo I.

4.1.1.2 Inicio del curso

En la primera sesión, el PA realizó una introducción al curso de Cálculo. Inició con

una exposición de los conceptos de Cálculo I que se iban a abordar en el curso.

Mencionó los conceptos de función, límite, continuidad, derivada e integral y para

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cada uno de ellos proporcionó una idea intuitiva, con la intención de que los

alumnos tuvieran un panorama general del curso, lo cual se ilustra con los

extractos 1,2 y 3.

Extracto 1: GA-0109-H1

PA: ¿Alguien recuerda qué es una función? No exactamente con detalle, pero

¿qué es una función? / (...) o ¿alguien puede darme un ejemplo de función?

Am: 2xy = .

PA: Si alguien no se acuerda bien de esto vamos a ver más adelante qué

significa y cómo vamos a representarlo.

PA: ¿Qué era una función?

Am: Como la transformación que sufre un número.

[…]

PA pregunta a los alumnos otras definiciones de función.

PA: Una función es una asociación. A una cantidad se le asocia otra cantidad,

esto es en términos de números. ■


PA: ¿Qué nos va a interesar en cálculo? Estudiar esas gráficas / ¿Qué

conceptos nos van a interesar? / Varios / Límites por ejemplo. Los límites van a

ser intuitivamente qué pasa con la gráfica cuando nos aproximamos, luego

vamos a formalizar esa idea. Vamos a dar definición, ejemplos. La idea de

límite es qué pasa cuando nos acercamos a un número, qué le pasa a la gráfica

de la función o al comportamiento de la función.

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El profesor señala con movimientos de las manos (indicados con las flecha en la figura

5), mientras menciona lo anterior.

■


PA: ¿Qué era la derivada?

Am: La pendiente de una recta tangente.

PA: La pendiente de una recta tangente / ¿Por qué? / Porque nos van a

interesar los cambios de esa función, a ver fíjense, ¿dónde cambia más rápido

la función, aquí (señalando el punto 1, figura 5) o aquí (señalando el punto 2 figura

5)?

PA: Si graficamos, cambiamos más rápido aquí (indicando punto 1), que aquí

(indicando punto 2). Aquí (punto 2) como que se va / Aunque no tengamos

Figura 5

punto 1

punto 2 punto 3

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definido el concepto, hay una idea cierta gráfica, eso lo vamos a formalizar más

adelante.

El profesor pregunta por el cambio en los puntos 2 y 3 de la figura 5.

PA: ¿En dónde creen que es más grande?

Am: Cambia de signo.

PA: Como que no hay mucho cambio, parece igual pero, ¿cuál es la

diferencia?, que aquí (indicando punto 3) estamos yendo hacia abajo, está

disminuyendo, y aquí (indicando punto 2) está aumentando, estamos yendo,…

entonces también van a haber cambios con sentido aquí. Cambio positivo (y

coloca un símbolo de “+” junto al punto 2) y cambio negativo (y coloca un símbolo

de “ –” junto al punto 3)

A continuación PA dibuja una función constante (figura 6).

PA: ¿Qué pasa con el cambio acá?

Am: No hay.

PA: No hay (afirmando), todo está así.

PA realiza el movimiento de recorrer la recta ubicada entre los ejes coordenados con la

mano y produce un sonido como shiiiiiiiiiiiiii.

PA: No cambia para nada / Aquí ya estamos introduciendo ideas que después

vamos a llamar derivadas, razones de cambio y vamos a ver aplicaciones. ■

Figura 6

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Durante su discurso, PA trató de incorporar datos relativos al desarrollo del

Cálculo haciendo comentarios de cómo surgió el cálculo, a quién se le atribuía,

etc.; y también comentarios de qué eran y cómo se utilizaban las matemáticas.

Veamos los extractos 4 y 5.


PA: Eso del cálculo, ¿para qué lo vamos a estudiar? / En general, ¿qué hacen

las matemáticas? / ¿De dónde surgieron? ¿Por qué se usan las matemáticas?

(…)

PA: La geometría por ejemplo, ¿de dónde dicen qué surgió? ¿Por qué surgió la

geometría?

Am: Para construir cosas.

PA: Más específicamente lo que querían era medir ciertos terrenos, tuvieron

que idear métodos para hacer esas mediciones hasta que se formalizaron como

ideas geométricas y después continuaron desarrollándose. Tenían un problema

específico y en general eso es lo que hacen las matemáticas, resolver

problemas. ■


PA: ¿Qué utilidad tienen las matemáticas? ¿Alguna idea? (…)

El profesor hizo una analogía con el ajedrez para decir que las matemáticas desarrollan

ciertas capacidades intelectuales.

PA: La mente se vuelve más ágil. ■

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Además, PA les dijo a los estudiantes que iba a partir del supuesto de que no

habían llevado Cálculo, debido a que no era una asignatura obligatoria en el

bachillerato.

4.1.1.3 Motivación inicial

El profesor intenta al inicio del curso motivar a los alumnos a estudiar, emitiendo

recomendaciones de cómo hacerlo.


PA: Lo que queremos es que ustedes desde el principio empiecen bien. Para

estudiar matemáticas debe ser algo constante, no lo olviden, y lo estamos

diciendo desde el primer día. Porque al estudiar matemáticas van a ir

apareciendo conceptos nuevos que se tienen que entender claramente. Se van

a entender, a aclarar practicando constantemente. Repasando lo que se ve en

clase, haciendo ejercicios para madurar las ideas. Empiecen a estudiar desde

ahora, repasar media hora. Poco a poco tienen que ir aumentando, no lo

olviden, desde ahora, en todas sus materias. ■

El profesor también a manera de motivación les platica de dos casos extremos

que él ha visto. Por un lado les menciona el caso de estudiantes que han

destacado en eventos académicos de matemáticas y de los que se espera que

destaquen, pero ocurre lo contrario.

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PA: No basta con la capacidad, hay que ejercitarla.

PA comenta a propósito de esos alumnos lo siguiente:

PA: No le dedican el tiempo suficiente, no terminan la carrera. ■

El profesor luego les platica del caso opuesto en el que hay alumnos que

empiezan y que sienten que están deficientes y se sienten en desventaja, pero

luego se recuperan.


PA: Hemos visto que hay estudiantes que les va mal el primer semestre, pero

luego se recuperan, están estudiando poco a poco, constantemente / (…)

PA: Hay posibilidades aún si sienten deficiencias. Antes de que lleguen esas

deficiencias deben estar preparándose a lo largo del semestre.

PA: ¿Cómo pueden prepararse?, pues estar atentos a la clase, recurrir a sus

maestros, tutores, a la sociedad de alumnos y consejo, pero el trabajo más

fuerte lo van a tener que hacer ustedes. ■

Esta primera sesión fue de presentación del curso. El profesor desde este

momento les proporcionó un panorama general de lo que iba a ser el curso y en

cierta medida les advirtió la forma en que tenían que actuar para lograr aprobar

satisfactoriamente el curso, cuando les habló de la constancia para estudiar

matemáticas.

Asimismo, dejó ver su preocupación de que los estudiantes aprobaran el curso,

incluyendo para ello en su discurso elementos de motivación, pudiendo ser estos

significativos o no para el estudiante.

4.1.1.4 Costumbre didáctica del profesor

Para que se perciba de manera integral la costumbre didáctica del profesor,

describimos varios elementos que de manera conjunta describen la costumbre

didáctica del profesor observada a lo largo del curso. Estos elementos son: la

estructura de la clase, las estrategias de enseñanza que utilizó el profesor y la

intencionalidad didáctica que manifestó. Finalmente, presentamos los aspectos

que utilizó el profesor para propiciar una motivación en los alumnos hacia el curso.

De este modo, se describe el comportamiento del profesor como componente del

sistema didáctico.

4.1.1.4. a) Estructura de la clase

La clase básicamente tuvo 3 etapas:

Etapa 1: Apertura. En esta etapa el profesor llega al salón de clase,

generalmente no saluda a los alumnos y comienza la sesión de tres formas

distintas, pudiendo darse combinación entre ellas:

1) Realizando un recordatorio de la clase pasada.

2) Dictando un párrafo de introducción a la clase.

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3) Enunciando lo que van a ver en la sesión.


PA: Lo que se quiere hacer en esta unidad es introducir los números reales, ver

algunas propiedades y ver cómo se fueron construyendo. Posiblemente lo que

se vea sea un repaso. ■


PA entra al salón y escribe en la pizarra: Los números reales. Posteriormente les dice a

los alumnos que escriban lo que a continuación les va a dictar.

PA: Hasta ahora hemos definido los números racionales y con ellos podemos

efectuar las 4 operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división). Sin

embargo, para poder estudiar algunos conceptos en este curso de cálculo, será

necesario definir un conjunto más grande de números, el cual llamaremos el

conjunto de los números reales.

Luego PA realiza un recordatorio de cómo se definían los números racionales y dice

que fueron los últimos números que vieron. ■

Esta etapa es la más breve, y da paso a la siguiente etapa de la clase que es la de

mayor duración.

Etapa 2: Instruccional. En la etapa instruccional PA expone los contenidos,

muestra ejemplos, pone ejercicios y realiza una retroalimentación de los mismos.

En esta etapa, PA incorporó estrategias de enseñanza constantes durante todo el

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periodo de observación, que debido a su repetición se consideraron que

conformaban parte de su costumbre. Además, se observó una intencionalidad

didáctica en la forma de presentar los contenidos, con pocas variantes durante

todo el tiempo de observación. Las estrategias de enseñanza y la intencionalidad

didáctica observadas en el profesor, se abordarán más adelante.

Etapa 3: Cierre. Es el término de la clase. Esta etapa consistía en concluir los

temas, terminar con la retroalimentación de los ejercicios, o anunciar los temas

que se verían la siguiente sesión.


PA escribe la definición formal de límite en la pizarra:

Decimos que ( ) Lxflimcx

=→

si dado cualquier valor de 0>ε , existe 0>δ tal

que ( ) ε<− Lxf siempre que δ<−< cx0 .

PA: Para verificar que se cumple la definición anterior, a ver ¿cómo

empezaríamos? Empezamos por dar un valor de ε , ¿y después?, debemos

encontrara el valor de δ adecuado que satisface la última parte.

PA: Para mañana que se aprendan la definición de memoria. ■

4.1.1.4. b) Estrategias de enseñanza empleadas por el profesor

Las estrategias de enseñanza que comúnmente empleaba el profesor durante la

etapa instruccional, y que conformaron parte de su costumbre didáctica las

clasificamos como:

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Estrategia de enseñanza tipo 1. Empleo de interrogatorio

El profesor incorporó de manera constante a su discurso cotidiano la técnica de

realizar preguntas durante la exposición y desarrollo de los contenidos. En

ocasiones las preguntas las respondía él mismo y continuaba con su discurso

expositivo; y en otras, las utilizaba para obtener respuesta de los estudiantes.

A continuación describimos con detalle estas acciones.

o UEmpleo de interrogatorio auxiliar en el discurso expositivo del

profesor.U En esta práctica el profesor utilizó las preguntas como un

elemento cotidiano en su explicación, y consideramos que tenían la

intencionalidad de que los estudiantes fueran reflexionando sobre lo

que él estaba realizando. El profesor era quien respondía las

preguntas que formulaba, y no esperaba respuesta de los alumnos.

Utilizaba preguntas como: ¿Qué habíamos dicho? ¿A qué queríamos

llegar? ¿Qué pasaría si? ¿Qué creen que pase si? ¿Qué se les

ocurres que podamos hacer si? .A continuación él mismo

proporcionaba las respuestas.


PA: ¿Cómo podemos representar una función? Podemos

representarla por medio de símbolos y se llaman fórmulas. ■

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PA: ¿Qué era el dominio de una función? Es el conjunto de todos

los valores x donde está definida la imagen ( )xf . ¿Cuál sería un

ejemplo sencillo? Sería ( ) xxf = . ¿Cuál es la gráfica de esa

función? ¿Por dónde pasa? ¿Cuál es la inclinación de su

pendiente?

A continuación PA va respondiendo cada una de las preguntas. ■

o UPreguntas dirigidas a los estudiantes para las cuales esperaba

respuesta. U También durante su explicación, el profesor realizaba

preguntas y esperaba que algún alumno contestara. Utilizaba frases

como: “A ver, ¿A qué era igual esto?” “¿Recuerdan qué significa

esto?” “¿Qué quería decir esto?”. En este momento, cuando el

profesor esperaba que algún alumno de manera voluntaria

respondiera, los estudiantes solían hablar en voz baja (se

escuchaban murmullos), algunos perdían contacto visual con el

profesor y ocasionalmente alguno proporcionaba la respuesta en voz

alta. El profesor, en caso de que no hubiera voluntarios, contestaba

la pregunta él mismo o la dirigía a algún alumno en particular,

señalándolo por su nombre.

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Estrategia de enseñanza tipo 2. Empleo de explicaciones

Esta estrategia también era utilizada en la fase instruccional. Consistía en que

PA después de resolver un ejercicio o de escribir alguna definición, les pedía a

los alumnos que redactaran con sus propias palabras las explicaciones de

cómo o porqué se había realizado algún procedimiento, o que escribieran su

interpretación de las definiciones que se mencionaban. Para ello, el profesor

les proporcionaba un tiempo, que al principio del curso era de un minuto o

minuto y medio, pero que después conforme transcurrió el curso se hizo más

corto, llegando a ser de apenas algunos segundos. Como parte también de

esta estrategia, el profesor les comentaba a los alumnos que era importante

que después compararan lo que habían escrito, con lo que escribían sus

compañeros.


PA: ¿Cuáles eran los pasos para obtener la gráfica?

Am: Tabular puntos.

PA: ¿Pero esos puntos cómo se conforman? / Sustituyendo, obteniendo parejas

y graficando suficientes puntos y trazar la gráfica. ¿Pueden escribir estos pasos

en sus libretas?

PA les dice que él no va a estar dictando, para que de esa forma ellos participen y al

final cada uno tenga diversos apuntes.

- 66 -

PA: Ojalá comparen entre ustedes lo que escribieron para que entre ustedes

vayan aclarando sus ideas.

PA también les dice que la intención es que comparen con lo que está en los libros. ■


PA: Las partes que redacten sería útil que las comparen entre ustedes. Si

tienen algo distinto que discutan para que vean de qué forma puede ser, sin

olvidar que pueden redactar cosas diferentes pero que sean correctas. ■


PA: Antes de ver unos ejemplos, vamos a describir qué nos dice la regla de la

cadena / ¿Cómo quedaría la descripción de la regla de la cadena? / Podemos

hacerlo de varias formas, una sería, voy a mencionar una descripción, sería: La

derivada de la composición es el producto de la derivadas, esa es una forma,

pero quizá haya otras que sean más claras, ¿como cual? / (...) La derivada de

una función evaluada en otra función, es, ¿es qué? / También podemos decir,

es el producto de las derivadas, pero a lo mejor no es muy claro,

independientemente de la descripción, nosotros ya tenemos aquí exactamente

cómo queda (señalando la igualdad de la regla de la cadena).

PA: La descripción era una ayuda para entender mejor lo que nos piden hacer /

¿Cómo describirían, o si ustedes tienen a alguien que les diga, tengo esta

fórmula, qué es lo que tengo que hacer? ¿Cómo le explicarían? ¿Qué le dirían?

/ Le pueden decir, para derivar una función evaluada en otra función, tienes que

hacer esto, ¿pero qué significa? ¿Cómo lo dirían? / (...) En la preparatoria como

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dicen a veces, es la derivada de la función que está afuera evaluada en lo que

está adentro, por la derivada de lo que está adentro. Como en nuestro ejemplo.

PA comenta cómo decir el ejemplo que era derivar la función

( )3234 10825 +−++ xxxx .

PA: Bueno, entonces ¿cómo describirían esta regla de la cadena? A ver,

¿pueden ustedes escribir su propia descripción?

PA les proporciona un tiempo para realizarlo. ■

Estrategia de enseñanza tipo 3. Retroalimentación de los ejercicios

Siguiendo en la etapa instruccional, el profesor después de exponer los

contenidos, y de mostrar una serie de ejemplos, planteaba varios ejercicios.

Para indicar a los alumnos que resolvieran los ejercicios utiliza frases tales

como: ¿Pueden resolverlo? ¿Cuánto da?, a ver que lo intenten, resuélvanlo y

ahorita lo checamos. A partir de aquí proporcionaba un tiempo para que los

estudiantes trabajaran en la solución de los mismos, que en ocasiones era

mínimo a juzgar por el número o complejidad de los reactivos. Asimismo,

durante el transcurso de este tiempo Uintervenía constantemente emitiendo

recomendaciones de cómo resolverlosU.


PA: Vamos a hacer un ejemplo más, que va a ser muy importante también (y

escribe xx

limx 0→

).

- 68 -

PA: Para este ejemplo no debe ser difícil hacer la tabla, lo importante es la

respuesta.

PA: ¿Pueden calcularlo?

PA proporciona un tiempo y luego interviene.

PA: ¿Que vamos a hacer? Vamos a tomar una valor de x , tomamos su valor

absoluto y lo dividimos entre x .

Sigue el tiempo y PA vuelve a intervenir

PA: Deben poder hacer las tablas rápidamente. ■


PA escribe en el pizarrón

Calcule ( ) ( )1817 −+− gf

( ) ( )[ ]18171

−+−−→

gflimx

.

PA: ¿Qué nos piden arriba? (refiriéndose a la expresión 1) ¿Y abajo? (refiriéndose

a la expresión 2) ¿Y qué relación tienen? / En cada caso, ¿cuál es el punto

central? ¿Cuál es el punto donde nos interesa el comportamiento?

Los alumnos responden que en -1

PA: En -1, pero aquí nos interesa cuanto vale la función (indicando la expresión

1), y aquí (indicando la expresión 1), ¿qué pasa cuando nos aproximamos? Estos

dos valores pueden ser distintos o pueden ser iguales (refiriéndose a los

resultados de los cálculos de las expresiones 1 y 2).

PA: A ver y ¿cuánto valen? ¿Pueden calcularlos?

PA proporciona un tiempo para que los estudiantes realicen lo que ha pedido.

(Expresión 1)

(Expresión 2)

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PA: ¿Cuál es el resultado? ¿Ya lo encontró alguien?

Ah: 7.5

PA: A ver, ¿cuánto les da? ■

El profesor vigilaba que todos los alumnos estuvieran realizando los ejercicios. En

una ocasión, PA le pidió a un estudiante que pasara a la pizarra a resolver un

ejercicio que consistía en graficar una función, éste pasó a la pizarra a petición del

profesor pero no pudo resolver el ejercicio. PA trató de ayudarlo pero luego le

llamó la atención diciéndole que cuando se les pedía que trabajaran debían

hacerlo. Se observó como PA señaló a dicho estudiante pues se percató de que

no estaba resolviendo el ejercicio como él lo indicó.

Siguiendo con esta dinámica, el profesor pedía voluntarios para que pasaran a la

pizarra a resolver los ejercicios. Si no había voluntarios él indicaba a algún (unos)

estudiante(s) que pasara(n) a la pizarra a resolverlos. Generalmente ponía tres

ejercicios, e indicaba a un alumno de la primera fila que resolviera el primer

ejercicio; indicaba a un alumno de la segunda fila que resolviera el segundo

ejercicio; y a un alumno de la tercera fila que resolviera el tercer ejercicio. (Los

alumnos estaban dispuestos en tres filas en el salón). El número de ejercicios

podía también ser múltiplo de tres, y en su caso, distribuía el número de ejercicios

entre tres, para que a cada fila de estudiantes les correspondiera pasar al pizarrón

a resolver la misma cantidad de ejercicios.

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El profesor, mientras los estudiantes resolvían los ejercicios en la pizarra,

observaba atento lo que cada uno de ellos hacía, y les pedía a los demás alumnos

que hicieran lo mismo, que compararan con lo que estaban haciendo sus

compañeros. Después de que terminaban de resolver en la pizarra los ejercicios,

si las respuestas eran correctas, el profesor lo confirmaba, y en el caso de que las

respuestas fueran incorrectas, el profesor indicaba cuál era el error o preguntaba a

los demás estudiantes donde estaba el error.

Estrategia de enseñanza tipo 4. Repetición de ideas

En esta estrategia el profesor repetía de diferentes formas una misma idea o

enunciados. Por ejemplo, mientras se manifestaba la estrategia de enseñanza

tipo 1 y el profesor empleaba el interrogatorio como auxiliar en su discurso,

repetía constantemente preguntas que en esencia significaban lo mismo, para

luego responderlas él mismo. O también podía mencionar la definición de un

concepto de diversas formas, o recordaba algún aspecto que a su juicio

consideraba importante una y otra vez.


PA pide a los estudiantes que señalen en la recta real los números mayores que 2.

PA: Primero graficamos la línea. (Grafica la línea en la pizarra).

PA: ¿Dónde quedarían los números mayores que 2? ¿A la derecha, ¿El 2 lo

vamos a incluir?

Los alumnos responden casi a coro que no.

PA: Porque queremos mayores que 2, ningún número es mayor que sí mismo.

¿Cuál sería el primer número más grande que 2?

Unos alumnos responden el 2.1 y otros responden el 2.01.

PA: ¿Hay otro número mayor?

Algunos alumnos responden que el 2 punto cero, cero, cero, cero, (refiriéndose

al 2.000000.....1).

PA: Y así sucesivamente nunca vamos a terminar, siempre va a haber uno que

está más pequeño, que está más pegado al 2, es decir, que podemos

acercarnos mucho, todo lo que se quiera al 2, sin llegar al 2. Esto lo vamos a

escribir de esta forma (figura 7).

PA: No vamos a llegar al 2, pero son todos estos (indicando del 2 a la derecha:

figura 8).

PA: ¿Cuál fue la pregunta que hicimos al empezar a escribir estos números? /

Preguntamos, ¿cuál es el primer número mayor que 2? ¿Cuál es el primer

número mayor que 2? ¿De qué otra forma podemos hacer esa pregunta?

Am: Después del 2 qué número sigue.

PA: ¿Otra forma?

Am: Un número más grande que 2.

PA: ¿Eso sería equivalente?

2

Figura 7

2Figura 8

- 71 -

- 72 -

Los alumnos casi a coro responden que no.

PA: No, porque nosotros queremos saber en dónde empezamos a partir del 2,

con qué empezamos. Lo importante es el primer número con que empezamos.

¿Cuál es la respuesta? / No hay número. Siempre hay un espacio y podemos

tomar otro y podemos tomar otro más pequeño y continuamos y continuamos y

nunca vamos a encontrar el primero, entonces no hay primer número.

PA: ¿Por qué? / Porque hay una infinidad de números cercanos a 2 y mayores

que él. ■

Más allá de considerarla una estrategia de enseñanza, en la que la intención

del profesor posiblemente era fijar cierto aprendizaje en los alumnos, o reiterar

ideas importantes para que no las olvidaran, este comportamiento se observó

como parte de la personalidad del profesor, pues se manifestó durante todo el

curso, y parecía ser no controlada por el mismo.

Los alumnos se dieron cuenta de esto y en las entrevistas mencionaron lo

siguiente:

E1-GA-GP

SBhB: De que a veces hace la misma pregunta.

ABmB: Hace las preguntas, la pregunta así, la pregunta así, o sea...

CBmB: Muchas formas.

ABmB: 10 formas, y después, o sea resúmelo todo y después lo vuelve a resumir y

después, o sea como que mucho de una cosa.

Entrevistador: Y eso, ¿lo consideran positivo o negativo?

Am: Como negativo, es demasiado de una forma.

Sh: De las dos partes.

E1-GA-GP

Entrevistador: He notado que el profesor frecuentemente realiza muchas

preguntas cuando está explicando un tema, ¿le sugerirían al profesor que

continuara con esa técnica en el futuro?

Am: Sí, pero no exageradamente.

Cm: Si, pero que no repita la misma pregunta de diferentes formas. O sea puede

ser una o dos, pero ya.

Entrevistador: ¿Y esas preguntas cómo les sirven a ustedes?

Sh: En parte te ayuda a recordar.

E6-GA-I

Rh: Lo que no me gusta por decir son preguntas que hace, esto y de otra forma

y siempre es lo mismo, lo mismo, me fastidia, al principio, después ya no tanto.

Entrevistador: ¿Le sugerirías que continúe con esa técnica de hacer preguntas

en el futuro?

Rh: Eso no.

E2-GA-I

Entrevistador: He notado que a veces el profesor realiza preguntas mientras

está explicando un tema, ¿le sugerirías que continuara con esa técnica en el

futuro?

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Mm: Sí.

Entrevistador: A ti, ¿cómo te han ayudado?

Mm: Por ejemplo si hace una pregunta antes de terminar el tema es para saber

si lo estas entendiendo, si no vuelve a empezar o te especifica en qué, o sea

que es lo que no entiendes.

E3-GA-I

Rh: Es muy buena esa técnica.

Entrevistador: ¿Por qué?

Rh: Porque motivas al alumno a desarrollar su propio este...

Entrevistador: ¿A ti te motiva?

Rh: A mí me motiva, el maestro cuando hace las preguntas, o sea motiva al

alumno, o sea a mí me motiva a entender mejor el problema, o sea que yo

razone lo que está sucediendo, no nada más sea, me digan, siento que si las

matemáticas le dices al alumno hagan esto, hagan esto, hagan esto, cuando

vean esta factorización van a aplicar esta función, cuando vean esto van a

aplicar esta derivada, se me hace que no llegas a entender bien las

matemáticas, solamente eres una máquina, o sea yo siento eso, en cambio con

esas preguntas, sí dices, ¿por qué pasará? ¿Por qué pasará? y una vez que

entiendas qué sucede cuando se deriva, qué sucede cuando se integra, no sé

qué sucede en ciertas funciones, pues ya una vez que lo comprendas es más

fácil, o sea aplicarlo a lo mejor a problemas.

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En las entrevistas se observa que hay alumnos que consideran buena esta técnica

y dicen que les ha servido, pero también hay a quienes les parecen excesivas las

preguntas.

4.1.1.4. c) Intencionalidad didáctica observada en el profesor

En esta sección vamos a presentar un aspecto que se observó en el profesor y

que en nuestra opinión parte de su costumbre didáctica: la intencionalidad

didáctica en la forma de presentar los contenidos.

Nos referimos a intencionalidad didáctica como la forma en que el profesor

presenta los contenidos, manifestando una clase bien planificada y organizada y

en la que todos los elementos que la conforman tienen una intención y una razón

de ser, que intentan provocar cierto aprendizaje en el alumno.

Se observó cómo el profesor planificaba cada una de sus clases, elegía la manera

de presentar los contenidos, los ejemplos que mostraba y los ejercicios que

planteaba. Se mostraba conciente de lo que les iba a pedir a los alumnos que

realizaran, y del tiempo destinado para cada acción durante la clase. Trató

siempre de no salirse de su plan de acción, ajustando el tiempo si era necesario.

Al preguntar al profesor, cómo preparaba sus clases comentó lo siguiente:

E7-GA-P

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PA: Pues el curso pues primero cuando me lo asignaron pues le di un vistazo

general, por cierto yo solicité dar este curso y ya lo conocía a grandes rasgos,

cuando ya me dijeron que lo iba a dar pues ya tenía el temario, revisé algo de

bibliografía, adicionalmente por un trabajo que estoy haciendo del proyecto

fondos mixtos, que me toca revisar bibliografía de cálculo, entonces eso

complementó la preparación de las clases, entonces al principio del semestre

pues la preparación fue un conocimiento general del curso y después conforme

vamos avanzando pues voy preparando con una semana de anticipación el

material, pero prepararlo par mí no es tanto tener exactamente que voy a decir

durante toda la clase sino conocer el material y ponerme a pensar qué tipo de

ejemplos les voy a dar o ponerme en el lugar de ellos, qué conocen bien, qué

dudas pueden surgir y basado en eso pues escoger algo que yo les pueda

mostrar.

El profesor se comportó como una autoridad didáctica en el salón de clase, es

decir, inducía los caminos que el estudiante tenía que seguir para alcanzar cierto

aprendizaje, siendo este aspecto manifestación de la intencionalidad didáctica.

Otro aspecto en el que se manifestó su autoridad didáctica y por ende su

intencionalidad didáctica fue que trató siempre de inducir respuestas correctas y

de evitar el error. No daba oportunidad a que una respuesta incorrecta se

analizara a profundidad, y era muy frecuente que proporcionara demasiadas

indicaciones o advertencias a los estudiantes para evitar caer en errores, incluso

- 76 -

- 77 -

antes de que los cometieran. Utilizaba para ello frases como: cuidado con esto, no

vayan a hacer esto, un error muy común es este, etc.

Además, era muy renuente a aceptar respuestas diferentes a las que él tenía

contempladas, para no salirse de su plan de acción, previamente planificado.

A continuación vamos a presentar extractos que evidencían lo que se acaba de

mencionar.


Nos situamos en una clase en la que PA quería introducir el concepto de función

inyectiva, suprayectiva y biyectiva. Escribe en la pizarra el título pero no completo,

coloca: funciones______________. Dice que luego van a completar el título.

PA dibuja la graficas de las funciones xy = (figura 9) y 2xy = (figura 10).

xy =2xy =

Figura 9 Figura 10

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PA: Estas funciones son distintas, ¿cuáles serían las características principales

que las hacen distintas?

Am: Una es una línea recta y la otra una parábola.

Am: En una (refiriéndose a xy = ) hay imágenes negativas y en la otra

(refiriéndose a 2xy = ) solo positivas.

PA: Ajá, ¿que más? ¿Qué otra característica las hace distintas?

Ah: El rango.

PA: ¿Qué va a ser el rango? (…) Las imágenes que puede tener.

PA dice cuál es el rango de xy = y de 2xy = .

PA: A ver, ¿algo más?

PA dibuja la gráfica del valor absoluto xy = (figura 11).

PA: Ahora, el valor absoluto tiene algo común con esta (señalando figura 10) pero

distinta de xy = , ¿qué es? Igual vemos que son positivos, ¿algo más? (…). El

rango es nada más de cero a infinito. Queremos encontrar una característica

más que nos va a servir (…)

xy =

Figura 11

- 79 -

PA: Vamos a ver, aquí (señalando el eje y figura 11) si tomamos el 2, ¿cuántos

puntos en el eje x tienen ese valor? ¿Cuántos puntos en el eje x tienen la

imagen 2? ¿O cuáles van a ser?

Am: El 2.

PA: El 2 tiene como imagen 2 y el -2 tiene como imagen 2, también tiene

imagen 2. Aquí estos puntos se van a la misma imagen. Aquí también

(señalando figura 10).

A continuación repite los mismos argumentos para la imagen 3 en la función 2xy = .

PA: ¿Aquí sucede lo mismo (señalando figura 9)?

Los alumnos contestan que no.

PA: Pues no, todos se van a una sola imagen. ■

Al considerar a las dos funciones, la lineal y la cuadrática el profesor quiere que

los estudiantes observen aquella diferencia entre ellas que caracteriza a las

funciones inyectivas. Con lo que planeó consideraba que “naturalmente” los

estudiantes mencionarán dicha diferencia. Como esto no surgió de manera natural

o espontánea, entonces modificó su discurso (pero no la intencionalidad); vio la

necesidad de dibujar la gráfica del valor absoluto y volver a realizar la misma

pregunta, tratando de inducir al estudiante a la respuesta deseada por él. El

profesor establece los caminos que el alumno habría de seguir para llegar a las

respuestas deseadas.

El profesor tiene idea de lo que desea, pero no “logra” meter al alumno a la

situación. Podemos cuestionarnos a manera de reflexión ¿es natural o no que un

- 80 -

estudiante al ver esos ejemplos note esa diferencia? Es posible que para algunos

alumnos si lo sea, pero para otros no, y vemos que en esta situación no ocurrió.

Miremos cómo el profesor tiene preparado un plan de acción para introducir este

tema y en el momento en que no se sigue el rumbo esperado, trata con mayor

insistencia de inducirlo, no cambiando de estrategia.

En el extracto 21 se evidencia el comportamiento del profesor a propósito de las

respuestas que espera de los estudiantes.


Nos situamos en una clase de composición de funciones. PA como ejercicio pide a los

estudiantes que proporcionen una función ( )xf tal que al componerla con cualquier

otra función no dé x .

Am: ( ) xxxf += 2 .

PA realiza el siguiente cálculo atendiendo la respuesta de Am:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xxgxgfxgfxgf ≠+== 2o

PA dice que eso posiblemente si se cumpla o no.

PA: ¿Podemos ver que es distinto de x ? (…) Ese candidato no lo hemos

descartado, pero ¿habrá otra función más sencilla? (…)

Am: 1

PA realiza el cálculo ( )( ) ( )( ) xxgfxgf ≠== 1

PA: Esa sí cumple lo que pedíamos, este es un buen ejemplo y cuando yo les

pedía algo sencillo, en eso estaba pensando, en las constantes. ■

- 81 -

Se observa que la primera respuesta que recibe el profesor, no es la que

esperaba y no brinda oportunidad de analizar con un poco más de detalle

porqué ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xxgxgfxgfxgf ≠+== 2o . No cambió su intencionalidad,

vuelve a preguntar hasta que alguien proporcionó la respuesta que esperaba.

En el extracto 22 se observa el comportamiento del profesor cuando trata de

evitar el error.


El profesor inicia escribiendo en la pizarra lo siguiente:

La función valor absoluto

Para cada número real x definimos su valor absoluto como:

⎩⎨⎧

<−≥

=0

0xsi,x

xsi,xx

PA: Quizá la confusión más común cuando vemos esta función por primera vez,

¿cuál es? ¿Qué pensaban en esta parte? ¿Qué confusión puede haber? /

Pensaban que esto tenía que ser negativo porque hay un menos, (señalando

x− de la definición). ¿Por qué no es negativo este número a pesar de que

tiene un signo menos? [...]

PA: Porque esto es cuando x es negativo y al multiplicarlo por menos, es

positivo. Esto que dijimos vamos a escribirlo. ¿Por qué en la última parte x− no

es negativo?

PA les indica que escriban esa justificación en su cuaderno. ■

- 82 -

En este extracto se observó como el profesor se anticipó y advirtió a los

estudiantes de la posible confusión con la definición incluso antes de que pudiera

aparecer. Se presentan los extractos 23, 24 y 25 en los que se puede observar

esta misma intención del profesor.


PA: Encontramos un ejemplo donde no se puede evaluar, no se vayan a

confundir, muchos quieren encontrar límites evaluando nada más, no es

suficiente. ■


PA les dicta esta nota a los alumnos:

PA: Cuando calculamos límites ya sea cuando ±∞→x o cx → es común

cometer el siguiente error. Al obtener un cociente de la forma 00

ó ∞∞

ó ∞0

, etc;

o multiplicaciones por ∞ , muchas veces se afirma que el límite es infinito o está

indefinido, pero esto no siempre es válido, lo más que podemos afirmar es que

el método utilizado no nos da suficiente información como muestran los

siguientes ejemplos. ■


Es una sesión en la que los alumnos van a utilizar la regla de la cadena para resolver

derivadas.

- 83 -

PA: Lo recomendable cuando están empezando a usar ese método, es escribir

las derivadas cada vez que aparecen, es decir, indicarlas y después calcularlas

aparte para no ir calculando todo al mismo tiempo. Más adelante cuando tengan

suficiente práctica, pues a lo mejor ya no tienen que hacer esos pasos, pero en

cualquier momento si ustedes tienen duda, quizás sea más claro para ustedes

escribirlo de esta forma, para poder identificar algún posible error, entonces por

ahorita vamos a tratar de escribirlo paso a paso.

Posteriormente en la misma sesión les pide que se formen en parejas y resuelvan 5

derivadas. También les indica que entregarán al final las hojas con sus respuestas.

PA: Si se van a dividir las derivadas, es importante que antes de que entreguen,

entre ustedes revisen lo que hicieron, que revisen qué hizo su compañero, para

que no haya ningún error. ■

Los alumnos ante esta acción del profesor comentaron lo siguiente en las

entrevistas:

E1-GA-GP

Entrevistador: También he observado que a veces el profesor les advierte sobre

posibles errores que pueden cometer cuando trabajan con un concepto, ¿esto

los ha ayudado en algún sentido?

CBmB: Sí

Entrevistador: ¿En qué sentido?

CBmB: De que de repente, ahhh si es cierto yo hubiera hecho ese error, no

recuerdo en cual fue que eso se me hubiera ocurrido hacer, y dije no, eso es un

error, entonces ya no lo cometes. En el momento de la clase te das cuenta, y

aparte ya no lo vuelves a hacer.

Sh: Sí.

E3-GA-I

Entrevistador: También he observado que el profesor a veces les advierte sobre

posibles errores que pueden cometer cuando trabajan con un tema o con un

concepto, ¿esas advertencias te han servido en algún sentido?

Rh: Sí, si me han servido porque además que te ayudan a no cometer errores

para los exámenes o para tus problemas, y no tener malas calificaciones, y que

no salga mal el ejercicio, te ayuda para que veas o estés pendiente de todo lo

que puede suceder en algún problema, son como pequeñas notas, como que

ojo ten cuidado con esto, o sea cuando vez un problema analízalo bien y ten

cuidado con esto, yo creo que sí ayuda, no sabría cómo explicártelo pero sí

ayuda, yo creo que sí ayuda el hecho de que el maestro diga para ciertos tipos

de problema tengan cuidado porque tienen que analizar bien esta parte por tal

cosa.

E4-GA-I

Entrevistador: A veces el profesor les advierte de posibles errores que pueden

cometer en algún concepto o en algún tema, ¿esto te ha ayudado en algún

sentido?

Mh: Ahorita sí, bastante porque es como, es una advertencia la que nos da, no

hagan esto, porque si hacen esto les va a ir mal, o sea las cosas no son tan

sencillas como parecen, o sea las advertencias de que no hagan esto porque

está mal.

- 84 -

- 85 -

E5-GA-GP

NBmB: En algunos de los errores que él dice yo los cometí en la prepa y algunas

veces no me corrigieron y eso es doloroso porque aprendiste con el error,

cuando te dicen esto es un error tu dices, ¿por qué? Y te explicas el porqué.

A continuación, en el extracto 26 se muestra la manera en que el profesor tiene

preparado un plan de acción en la manera de presentar los contenidos y en cierta

medida la impone.


PA escribe en la pizarra.

Supongamos que ( )xf y ( )xg son funciones dadas, la composición está dada

por ( )( ) ( )( )xgfxgf =o .

PA: Primero vamos a evaluar g en la x , el resultado que nos dé lo evaluamos

en la f .

PA: Hasta ahora ¿hay alguna pregunta?

(...)

PA: Pues si no hay una pregunta está muy mal, porque debería haber una

pregunta, ¿cuál debe ser una pregunta que debe surgir con esto?

PA: Una pregunta que creo que es muy natural que debe surgir es, ¿y si

evaluamos al revés? ¿Qué pasa? ¿Qué podemos preguntarnos si evaluamos al

revés? ¿Será lo mismo? Entonces vamos a escribir esa pregunta. ■

Los alumnos comentan al respecto en las entrevistas:

- 86 -

E1-GA-GP

SBhB: Pero a veces te hace una pregunta y tu te quedas así..., jamás se me

hubiera ocurrido preguntar eso.

Entrevistador: ¿Como por ejemplo? ¿Porqué dices eso de jamás se me hubiera

ocurrido preguntar eso?

ABmB: Si porque por ejemplo a veces dice...

SBhB: A veces termina un ejercicio y dice ¿hay alguna pregunta?

CBmB: Sí, suele que se hagan una pregunta.

SBhB: Y ya luego la hace, jamás se me hubiera ocurrido eso.

ABmB: Sí.

En los extractos 27 y 28 se muestran situaciones en las que el profesor introduce

dos temas diferentes. Son extractos más largos y se pretende que con lo que se

ha mencionado hasta el momento, se observe la costumbre didáctica del profesor

de manera integral.


Una sesión previa PA había enunciado la definición de valor absoluto y resuelto dos

ejemplos utilizando una interpretación gráfica. El ejemplo 1 era encontrar x tal que

3=x , y el ejemplo 2, encontrar x tal que 28 =−x .

PA: Regresemos al ejemplo 1.

Les dice que ahora van a encontrar la solución usando la definición de valor absoluto y

dice que la tienen que recordar y la escribe en la pizarra. A continuación inicia con la

solución del ejemplo 1, escribiendo en la pizarra:

- 87 -

Caso1. 0≥x .

PA: El x cuando 0≥x , ¿a qué es igual?

PA escribe a continuación en la pizarra:

Se cumple por la definición del valor absoluto que xx = , por lo tanto nuestro

problema 3=x se transforma en 3=x .

PA les pide a los alumnos que escriban el caso 2, tratando de seguir pasos similares al

caso 1. PA proporciona un tiempo para ello. Sin embargo, interviene y escribe en la

pizarra

Caso 2. 0<x . Por definición xx −= .

A continuación PA platica lo que tienen que escribir y les pide que lo escriban.

PA: Al final que escriban explícitamente la solución.

PA proporciona un tiempo muy breve y a continuación escribe en la pizarra:

Los números que satisfacen 3=x son 3=x y 3−=x .

PA: Ahora vamos a resolver el número 2 (refiriéndose al ejemplo 2), de forma

similar a como resolvimos el 1. Recuerden, ¿porqué se tuvieron que tomar dos

casos?, porque los casos se heredan de la definición de valor absoluto / ¿Qué

casos tomo ahora? ¿Será que hay que tomar ( y escribe en la pizarra)

Caso 1: 0≥x

Caso 2: 0<x ?

PA: ¿Será que nos sirvan? Ahora, ¿qué casos necesitamos? (y escribe a

continuación)

Caso 1: 08 ≥−x

- 88 -

Caso 2: 08 <−x

PA: ¿Pueden escribir la respuesta?

Am: ¿Es cero o es 2?

(...)

PA: ¿qué caso debemos tomar ¿ 08 ≥−x ó 28 ≥−x ?

Algunos alumnos contestan que el cero.

PA: ¿Por qué?

(...)

PA dice que similarmente ocurre con el ejemplo 1.

PA: Los casos que definen al valor absoluto son 0≥x y 0<x . ¿Qué caso nos

servirían más? Este (a manera de afirmación y señalando 08 ≥−x ), porque

dependiendo de esto vamos a saber que el valor absoluto es el mismo o menos

el mismo.

El profesor dice que el valor absoluto de lo que sea es eso mayor o igual que cero, ó eso

menor que cero.

PA siente la necesidad de intervenir, resolviendo o redactando los 2 casos. Escribe:

Caso 1: 08 ≥−x

Por definición 88 −=− xx , nuestro problema 28 =−x se transforma en

28 =−x , 10=x

Caso 2: 08 <−x

PA: ¿Pueden escribir el caso 2?

PA les da un tiempo para resolverlo, pero luego interviene nuevamente y él proporciona

la solución, escribiendo:

- 89 -

Por definición 888 +−=−−=− x)x(x .

PA dice que a veces se comete el error de poner 8−− x . Sigue escribiendo:

Nuestro problema 28 =−x se transforma en 28 =+− x , 6=x .

PA: En estos 2 ejemplos rescribimos prácticamente lo mismo. No es con el

objetivo de que se aprendan un procedimiento. El objetivo de esta repetición o

justificación es que se han hecho estudios y se ha notado que las matemáticas

se aprenden como se aprende un lenguaje, hay etapas. Ustedes cuando

aprendieron inglés por ejemplo, ¿cómo aprendieron? Estaban repitiendo,

repitiendo pero eso no quiere decir que no entiendan lo que están diciendo,

después de que lo aprendieron fueron entendiendo lo que hicieron y después

hay otra etapa donde si ya sabes inglés se puede estudiar la gramática del

lenguaje. Aquí es algo similar, vamos repitiendo sin que eso quiera decir que no

estamos entendiendo lo que se está haciendo. Ya después de que se aprenda

podemos ir analizando cada uno de los detalles que hay. ¿Por qué les digo

esto? Para que no se aprendan nada más el método y después quieran

repetirlo nada más, sin darse cuenta de lo que están haciendo.

A continuación PA les pide resolver el ejemplo 3: Resuelva 1510 <−x .

PA: Vamos a escribir la solución gráfica, hay que dar la explicación, ¿cómo

llegamos a esa solución? Y vamos a dar la solución utilizando la definición, aquí

van a aparecer 2 casos.

PA les dice que como son tres partes, un alumno de la primera fila va a dar la solución

gráfica; uno de la segunda fila el caso 1; y uno de la tercera fila el caso 2).

- 90 -

PA interviene escribiendo algunas posibles soluciones que mencionan los estudiantes en

voz alta mientras están resolviendo el ejercicio; no le dicen la respuesta directamente a

PA, pero como las mencionan en voz alta, PA las retoma y escribe: 5, 15.

PA: ¿Alguien obtuvo algo distinto?

Otros alumnos dicen ( )105, , ( )1510, , ( )155, .

PA: Estas son solo propuestas, luego lo vamos a checar.

Terminado el tiempo pide un voluntario de la primera fila, una estudiante pasa a la

pizarra y escribe:

⎩⎨⎧

<−−−≥−−

=−0101001010

10xsi)x(xsix

x

Caso 1. Si

15105

5101010

<+<

<−⇒−=−

xxx)x(x

Otra alumna escribe el caso 2:

Por definición )x(x 1010 −−=−

Nuestro problema 1510 <−x se transforma en 5510 >⇒<+− xx

PA le pregunta qué caso es y la alumna escribe 010 <−x .

Un estudiante da la solución gráfica (figura 12).

PA interviene diciendo que falta la explicación. PA escribe entonces en la pizarra, junto

al dibujo que hizo el estudiante:

) 15

( 5

Figura 12

- 91 -

Nuestro problema es equivalente a encontrar x tal que su distancia al 10 es

menor que 5.

PA aclara que el 5 y el 15 no se incluyen, ya que sus distancias al 10 son exactamente 5.

PA: Vemos en la gráfica que los números cuya distancia al 10 es menor que

están dados por ( )155, .

PA dice que el caso 1 y 2 son correctos, pero que le van a agregar algunos detalles. PA

siente la necesidad de intervenir y volver a hacer lo que hicieron las alumnas, y lo

realiza nuevamente en la pizarra. PA añade para ambos casos:

Conclusión caso 1. Si 0≥x , entonces 15<x .

Conclusión caso 2. Si 0<x , entonces 15>x . ■


PA inicia escribiendo esta definición en la pizarra (ver figura 13)

Figura 13

- 92 -

PA: Para poder darle algunas interpretaciones a este límite, primero nos

fijaremos en el cociente que ahí aparece es decir ( ) ( )

hafhaf −+

. Primero

veamos una interpretación gráfica o geométrica a partir de la función ( )xf .

Entonces PA dibuja la gráfica de ( )xf , señala el punto a , el punto ha + , coloca h ,

( )af , ( )haf + , y coloca ( ) ( )afhaf −+ (ver figuras 14, 15 y 16).

Figura 14

- 93 -

PA: ¿Qué va a medir el cociente ( ) ( )

hafhaf −+

?

(...)

PA: ¿Cuál es el ángulo recto en la figura?

[...]

PA coloca en la gráfica que ya tiene el ángulo recto, forma un triángulo rectángulo y

coloca las etiquetas A, B, C (ver figura 17).

Figura 15

Figura 16

- 94 -

PA: ¿Qué mide el cociente ( ) ( )

hafhaf −+

?

PA recapitula que tiene un triángulo rectángulo con lados ( ) ( )afhaf −+ y h .

PA: ¿Qué es ese cociente del triángulo ABC?

Los alumnos responden que la tangente (ver figura 18).

Figura 17

Figura 18

PA: ¿La tangente de qué?

Am: Del ángulo A.

PA dice que hay qué especificar el ángulo y lo coloca en la gráfica (ver figura 19).

Figura 19

PA luego escribe (ver figura 20).

Figura 20

- 95 -

- 96 -

PA coloca el ángulo θ en el eje x , por ser correspondientes entre dos paralelas (ver

figura 21).

PA: ¿Con qué pregunta iniciamos? ¿Qué queríamos saber? / Queríamos saber

gráficamente, geométricamente qué nos pide este cociente, y ya llegamos a

algo como esto.

Después PA escribe (ver figura 22).

Figura 21

Figura 22

PA: El cociente mide la tangente ¿de qué ángulo? Terminen de escribir esto.

Luego él completa lo que falta (ver figura 23).

Figura 23

PA: Resulta que esto tenía un nombre ¿se acuerdan? La pendiente, ¿de qué

recta?

Y escribe en la pizarra (ver figura 24).

Figura 24

- 97 -

PA: Entonces ya entendimos qué es el cociente sin tomar el límite, ahora viene

una pregunta importante. Y escribe en el pizarrón (ver figura 25).

Figura 25

PA: ¿Qué va a suceder?

PA regresa a la ilustración (figura 26) y dice que ese dibujo lo hicieron para esa ,

pero así como lo hicieron para esa h lo pueden hacer para cualquiera.

h

PA: ¿Qué tal si tomamos una h más pequeña? ¿Qué iba a pasar? ¿Qué

podemos hacer para modificar todo este dibujo?

(...)

- 98 -

- 99 -

PA: Pues es tomar este punto (señalando punto B figura 26). Fíjense si movemos

este punto acá (realiza un movimiento con la mano simulando que desliza B sobre la

curva) se va moviendo el rectángulo. Nos acercamos más y vamos a tener otro

triángulo rectángulo, nos acercamos más y otro triángulo rectángulo, y así cada

vez, por muy pequeño que sea h siempre va a haber un triángulo rectángulo, si

ya queda muy cercano acá (señalando el punto A) y va a suceder, tomamos una

ampliación, entonces aunque sea muy pequeño siempre podemos trazar ese

triángulo, y ¿qué va a pasar con el límite cuando 0→h ? ¿Qué creen que va a

pasar con esta línea? Vamos a obtener líneas deslizando B, pero este

(señalando el punto A) queda fijo, al final ¿qué vamos a obtener?

Am: La tangente.

PA: Pues vamos a obtener la tangente de A.

PA dibuja la tangente de A (ver figura 27).

PA: ¿Esa línea corta a la curva en un solo punto? / Puede cortarla en más de

un punto, pero lo que importa es cómo se obtuvo.

Figura 26

- 100 -

PA: Si h se acerca, el punto B se acerca al punto A a lo largo de la curva de

( )xf y la línea que pasa por los puntos A y B irá cambiando hasta llegar a otra

línea a la que llamaremos la línea tangente a la gráfica de ( )xf en el punto

( )( )af,a .

PA va dibujando gráficas conforme va diciendo lo anterior (ver figuras 28, 29, 30).

Figura 27

Figura 28

Figura 29

Figura 30

PA escribe (ver figura 31).

- 101 -

- 102 -

PA: ¿Qué mide este cociente sin el límite? La pendiente que pasa por A y B.

Ahora ¿qué pasa cuando tomamos ( ) ( )

hafhaf

limh

−+→0

? / ¿Qué pasa con el

punto B? / Se va acercando a A, entonces si tomamos el límite nos mide la

pendiente de la línea que une A con B, el límite ¿qué nos va a medir? / La

pendiente del límite de esas líneas, y ¿qué límite va a ser? / Esta línea que es

la recta tangente (afirmando).

PA escribe a continuación (ver figuras 32, 33, 34, 35).

Figura 31

Figura 32

Figura 33

Figura 34

- 103 -

- 104 -

■

Con los aspectos relacionados con el profesor que se han presentado hasta el

momento, el lector se puede formar un panorama de la manera en que se

presentaban los contenidos, y la dinámica que se establecía en el aula.

4.1.1.5 Motivación en el aula

En este apartado se muestran los recursos que utilizó el profesor para “motivar” a

los alumnos a estudiar y/o prepararse para aprobar satisfactoriamente el curso.

Estos recursos fueron exclusivamente argumentativos. Se identificaron tanto al

inicio del curso como en momentos posteriores, en el discurso del profesor.


PA les dice a los alumnos que van a seguir avanzando, y que repasen desde ahora.

PA: Repasen conceptos, lean sus notas, consulten otros libros.

Figura 35

- 105 -

PA dice que no es muy complicado lo que se está viendo, pero sí es mucho. Les dice que

todavía están a tiempo de empezar. ■


PA les informa a los alumnos que hay 5 puntos extra para los que entreguen un resumen

del primer parcial.

PA: Había pensado que sea solo 1, pero como he revisado algunos trabajos de

ustedes y hay trabajos que están muy bien hechos, pues entonces

posiblemente 2 o hasta 3, siempre y cuando vea que son trabajos distintos.

En la misma clase, PA dice que hay varias operaciones algebraicas que espera que las

hayan podido hacer, pero que si alguien no lo ha hecho les dice que necesitan hacer

algunos ejercicios adicionales de álgebra. Dice que lo pasen a ver para decirles que

tipos de ejercicios pueden hacer, y que no lo dejen pasar. ■


PA les pregunta a los alumnos si ya empezaron a estudiar para el examen.

PA: Empiecen a estudiar desde ahora porque en la prepa me imagino que

estudiaban 2 días antes, pero aquí en la facultad eso no funciona, es constante,

no es una carrera de 100 m, es un maratón.

PA: Ya deberían de haber empezado. ■


Esta sesión el profesor realiza un repaso un día antes del primer examen parcial.

PA: Me imagino que para hoy todos habrán terminado de estudiar. Traten de

estudiar de acuerdo al tiempo que le dedicamos en clase. Fíjense en qué tema

vimos más ejemplos. Lo que queremos es ver que estén trabajando, si están

trabajando entonces sí van a tener una oportunidad de aprobar bien esta

materia.

4.1.2 Profesor B 4.1.2.1 Características personales

El profesor B (PB) estudió la licenciatura en matemáticas en la Facultad de

Matemáticas de la UADY, inició una especialización en docencia pero no pudo

concluirla, y cursó estudios de maestría, sin embargo no obtuvo el título por

cuestiones administrativas. Lleva 24 años ejerciendo la docencia en la FMAT, en

los que ha impartido varios cursos de cálculo. El curso de Cálculo I lo viene

impartiendo desde hace 21 años.

4.1.2.2 Inicio del curso

En la primera sesión, PB realizó una introducción al curso de Cálculo. Inició con

una plática de motivación al curso plateando lo que estudiaba el cálculo

diferencial.

Extracto 33: GB-0209-H2

PB: Antes de entrar a desarrollar los contenidos quiero iniciar con una plática de

motivación al curso. / ¿Qué estudia el cálculo? ¿Alguien tiene una idea?

(...)

- 106 -

PB: A grandes rasgos el cálculo se ocupa de estudiar los cambios que tienen,

que ocurren en una gráfica. La manera cuantitativa de estudiar los cambios en

una gráfica.

PB: Esto de las gráficas hoy en día es muy importante, hoy día dondequiera

encuentras una gráfica, periódicos, revistas, libros, en el noticiero te presentan

gráficas. Las gráficas son un instrumento sencillo de ayuda visual para

transmitir información y estudiar cambios. Podemos decir que los actores

principales, estelares de las películas son las gráficas.

PB muestra ejemplos de cómo las gráficas proporcionan información útil para tomar

decisiones.

PB: Las gráficas describen situaciones de cambio, abres el periódico y te

encuentras un diagrama como este.

PB dibuja en la pizarra la siguiente figura (figura 36).

tiempo

500

30

200 100

$

15 5

Figura 36

PB: La gráfica nos relaciona dinero y tiempo, puede ser la propaganda de un

banco, inversión en el tiempo / ¿Qué nos mostraría esta gráfica?

(...)

- 107 -

- 108 -

PB: Estamos transmitiendo que la inversión es creciente en esta institución y

uno dice sí me conviene, no me conviene, ya puedes tomar una decisión con

base en esta información / La idea es que los objetos nos transmiten

información que es muy importante para tomar cierta decisión.

PB muestra otros ejemplos similares.

PB: Esto es lo que estamos estudiando, de estas gráficas cómo van cambiando.

La naturaleza del cambio es importante y en cálculo queremos cuantificarlo.

PB resume lo que estudia el cálculo a través de un diagrama (figura 37).

PB: Resumiendo con nuestra pregunta de qué estudia el cálculo, yo acostumbro

describirlo con un diagrama, ustedes pueden inventar otro / Cuando tomas la

gráfica y estudias la inclinación de la gráfica para ver el cambio y a todo esto

para resolver este estudio le agregas la idea de límite y aquí ese contenido que

se forma es el cálculo. Es el estudio del cambio usando las gráficas, la

inclinación, pero no solo con álgebra nada más, sino con la idea de límite,

mientras no agreguemos la idea de límite es precálculo. ■

Estudio del cambio

Idea de límite

Inclinación de la gráfica

La derivada

Cálculo

Figura 37

- 109 -

4.1.2.3 Costumbre didáctica del profesor

La costumbre didáctica del profesor la vamos a caracterizar mediante la forma en

que estructuró sus clases. Se observaron varias etapas bien definidas, que podían

darse en una misma clase, o en varias.

4.1.2.3. a) Estructura de la clase

Etapa 1: Apertura. El profesor inicia la clase con un recordatorio de la clase

pasada al que le dedica un tiempo promedio de 5 minutos, y después menciona

las actividades que se realizarán durante la clase.


PB: ¿Qué es lo que hemos visto hasta ahora? / Se vieron los números reales,

que son un conjunto con cierta estructura algebraica con propiedades, también

hay un orden, se pueden comparar dos números cualesquiera, hay una métrica

y finalmente es completo / Todo esto es la riqueza del conjunto / Esto

caracteriza a los reales, por eso podemos hacer cálculos ahí. No podemos

hacer una teoría de cálculo en los racionales.

(...)

PB: Vamos a estudiar los objetos que son los actores importantes del cálculo.

Nos interesa ver cómo varían las cantidades estudiando las funciones. ■

Etapa 2: Instruccional. En esta etapa el profesor utiliza una Uestrategia expositiva U

para presentar los contenidos. Emplea para ello un retroproyector de acetatos en

el que proyecta láminas que contienen definiciones, teoremas, gráficas o

ejemplos. Proporciona un tiempo para que los alumnos lo copien y posteriormente

inicia la explicación de lo que contiene, pudiendo apoyarse en la pizarra para

escribir y hacer anotaciones. El profesor lleva un guión en el que se apoya en

ocasiones y una carpeta exclusiva para los acetatos.

En esta etapa el discurso es prolongado y en ocasiones repetitivo, es decir,

explica una misma idea varias veces. Se detiene cuando considera que los

estudiantes ya han entendido y utiliza frases como: ¿Si está claro? ¿Alguna

pregunta?

Después de estas preguntas en ocasiones retoma nuevamente la explicación.

Terminado el tiempo de explicación, realiza algunos ejemplos en el pizarrón de

cómo se aplica el concepto que se acabó de presentar. Si el tiempo de la clase se

termina antes de que pueda mostrar los ejemplos continúa la siguiente sesión.

Muestra entre 2 y 3 ejemplos por concepto.


PB les dice a los alumnos que van a ver la composición de funciones, que van a usar

para hablar de la función inversa.

PB muestra el siguiente acetato (figura 38).

- 110 -

- 111 -

PB lee el acetato y va explicando verbalmente lo que significa y dice que hay que

combinar los modelos, ya que puede ser que quizá sea más barato tener plancton y

averiguar qué pasa con las lobinas.

PB: Hay que sustituir la ( )PV .

PB escribe en la pizarra:

( )150

3P450PL ++=

PB: Esa operación se va a llamar la composición de 2 funciones. Lo único que

hice es hacer una sustitución, tomar una y sustituirla en la otra, así

olímpicamente, y como estamos viendo, eso tiene su significado.

Figura 38

PB: ¿Cómo se vería esto con grafiquitas? Es algo así como que vayas a una

maquinita, metes tu moneda y te dé un café capuchino y lleves tu capuchino a

otra máquina, lo metes y te saca un pastel capuchino.

Los alumnos se ríen mientras PB dice lo anterior.

PB: Tomaste el resultado de una maquinita, lo llevaste a otra maquinita.

PB pone un acetato y va explicando lo del café capuchino en el mismo (figuras 39-42).

Figura 39

Figura 40

- 112 -

Figura 41

Figura 42

PB: Bueno esa es la operación, es así de sencilla.

PB pone la definición en un acetato de la composición de funciones (figura 43).

- 113 -

- 114 -

PB escribe lo siguiente en la pizarra:

Sean ( ) xxf −= 1 , ( ) 21 xxg −= . Hallar ( )( ) ( )( )xgfxgf =o .

PB: Vamos a tomar la de la derecha y esa función es la que vamos a evaluar en

la de la izquierda.

PB: Por definición hay que calcular primero g . Luego se evalúa en f .

PB escribe:

( )( ) ( )( ) ( ) 22 111 xxfxgfxgf −−=−==o .

PB: Ahora que hagan la composición siguiente ( )( ) ( )( )xfgxfg =o .

PB realiza la composición en la pizarra:

( )( ) ( )( ) ( ) xxxfgxfg =−−== 11o

PB: La composición no es conmutativa, no es lo mismo gf o que fg o . / Esa

operación se estudia con mucho detalle en álgebra superior y el dominio es un

poco complicado de hallar, ya que no es la intersección de los dominios, porque

Figura 43

- 115 -

pudiera ser que hay un punto que está en la intersección pero que no sea un

punto de la composición, no solo necesito que esté en el dominio de g , sino

también que ( )xg viva en el rango / Los puntos del rango de g deben estar en

el dominio de f .

PB dibuja el siguiente diagrama (figura 44):

PB: Puede que un punto de la intersección no caiga en el dominio de f .

Necesito que los puntos amarillos (en la figura 44: ), se transformen en

puntos azules (en la figura 44: ). O sea que ( )xg debe caer en el dominio

de f . / Van a ser los puntos amarillos que al aplicarles g , ( )xg cae en el

dominio de f .


( ){ }fggf DxgDxD ∈∈=o ■

g(x)

DBg B

DBf B

g f

Figura 44

Etapa 3: Acción. En esta etapa el profesor le solicita a los alumnos que resuelvan

un ejercicio que él escribe en la pizarra y proporciona un tiempo para que ellos

trabajen. Menciona que ahora es la parte operativa y hay que practicar. Durante

ese tiempo, él camina entre los alumnos, suele acercarse a alguno de ellos y

preguntarle cómo va, o puede acudir con aquellos que le soliciten que les resuelva

alguna duda. Además les indica que pueden trabajar por parejas si así lo desean.

Esta etapa tiene una duración variable, y es el profesor quien determina hasta que

momento terminará, de acuerdo al ejercicio que plantea. En promedio, se puede

decir que la duración de esta etapa es de entre 10 a 40 minutos (figura 45).

Figura 45

Etapa 4: Cierre. En esta etapa el profesor proporciona una retroalimentación en la

pizarra del ejercicio que les pidió a los alumnos que resolviera en la etapa de

acción. Si en algún momento se equivoca, los alumnos se lo hacían saber y el

profesor corregía lo que está haciendo.

- 116 -

Cuando el profesor realiza explicaciones, los estudiantes pueden hacer preguntas

de algo que no van entendiendo. Se observa que tienen confianza en preguntar en

el momento que sea.

Algunas clases fueron de manera completamente expositiva, es decir, que no se

dio la etapa 3, pero otras, eran casi exclusivas para resolver ejercicios, es decir, se

observaba solamente la etapa 3.

4.1.2.3. b) Estrategias de enseñanza empleadas por el profesor

La estrategia de enseñanza que comúnmente utilizó el profesor era la estrategia

expositiva. Incorporaba a su discurso preguntas, pero sin la intención de que los

alumnos las respondieran, más bien tenían la función de apoyo en su discurso,

para provocar una reflexión de lo que decía. Planteaba una pregunta y la

respondía para continuar con el discurso. Las explicaciones eran claras y en

ocasiones eran excesivas.

Los alumnos comentan acerca de la forma de enseñar del profesor, lo siguiente:

E1-GB-I

Cm: Va muy lento pero seguro.

Entrevistador: ¿Lento en qué sentido?

Cm: De que detalla, es que hay maestros que no detallan, como que las dejan al

aire, entonces ya no las entiendo, y yo siento que a mí se me complica un poco

entender, cuando me lo hacen así, entonces el profesor hace que yo, como

- 117 -

detalla mucho, cada detallito así como que dices, lo explica, hace que eso lo

entienda mejor, por eso digo que va lento porque detalla mucho, porque de un

ejercicio o de un tema va a detallar o sea todos los casos posibles.

E2-GB-I

Ch: Enseña bastante bien, o sea es muy entendible, sin embrago se traba un

poquito, como que le da un poquito de vueltas a un mismo asunto, de ahí en

fuera muy buena su clase, me gusta mucho cuando lleva este…, es el primer

maestro que me da que utiliza proyector y yo creí que si iba a enseñar de esa

forma, no iba a poder aprender igual que con todos los maestros, porque te

ayuda con dibujos y todo ello y yo creí que no iba a se una buena idea, sin

embrago ya me di cuenta que si. Es paciente, te enseña paso por paso, si

tienes un error no te dice qué error sino te dice mas o menos como donde esta

tu error para que sepas la respuesta.

Entrevistador: ¿Qué opinión tienes sobre el ritmo de las clases?

Ch: Pues está bastante acelerado, está un poco avanzado, si sé los temas pero

como te digo vengo de una escuela un poquito diferente entonces como que sí

va un poco rápido, entonces yo me he atrasado un poco.

E5-GB-GP

Entrevistador: ¿Qué opinan de la forma de enseñar de su profesor?

Ah: Es buena.

Yh: Es buena.

Ah: Es buena, pero lo único malo de él es que repite mucho lo que ya dijo, o sea

te dice una cosa y te lo anda repitiendo a cada rato, a cada rato, y hay

- 118 -

momentos en que ya, como que sientes que ya lo sabes y no es necesario que

lo esté repitiendo.

Yh: Es muy redundante.

Ah: Ajá, o sea nosotros lo que necesitamos es avanzar y hacer ejercicios, en

lugar de que lo esté repitiendo mejor que ponga ejercicios. Eso es lo que

comentamos entre nosotros.

Yh: Pero a veces eso es bueno porque por ejemplo, o sea si un maestro da la

clase como para que la persona que menos, por ejemplo que menos capacidad

tenga lo entienda, entonces si lo da de esa forma, los que tienen un poco más

de retentiva y más memoria pues lo van a captar mejor, esa es otra parte, no

sé. Quizá nosotros nos aburrimos pero quizá sí hay otras personas que

necesiten que se lo estén repitiendo algunas veces, y esa es una parte como

que igual o sea aunque para algunos cuantos es desagradable para los otros

no, y en general al grupo le va bien.

Km: Como que hay unos temas en los que debería ir más rápido, como que no

son muy importantes, o sea sí son importantes pero es algo que queda ya

demostrado, ya visto, que debería ir un poquito más rápido.

Ah: Ajá.

Yh: En cambio yo digo que está bien, pues no sé a mi me gusta que vaya

pausado y todo eso, yo digo que está bien.

E3-GB-I

Entrevistador: ¿Qué opinas de la forma de enseñar de tu profesor?

- 119 -

Gh: Para mí, yo sí me siento muy satisfecho porque yo no llevé para nada

cálculo, para mí todo lo que el maestro me enseña es algo nuevo y siento que

como así nos ha enseñado he aprendido bastante.

Entrevistador: ¿Qué opinión tienes sobre el ritmo de las clases?

Gh: Pues yo la siento bien, siento que estamos yendo a un buen paso, ni

estamos muy atrasados ni estamos muy adelantados, siento que el maestro

tiene bien medido su tiempo.

E6-GB-GP


Nm,Sh,Ih,Gh: Muy buena.

Nm: Excelente

Sh: Sí a mí me gusta.

Gh: Como que cuando entra a clases hace como un recordatorio de lo que

vimos la clase pasada y pues sí ya me acordé y va yendo paso por paso.

Nm: Nada más, hay unos que ya vieron cálculo y creen saber mucho y se

aburren y siempre dicen ayyyy ay viene el maestro de cálculo y se están

durmiendo en el salón.

Sh: Yo veo que va muy lento.

Nm: Los que ya vieron cálculo lo ven lento.

Sh: Yo lo veo lento.

Nm: En cambio los que no han visto cálculo, como Ih, Gh y yo.

Sh: Yo siento que va muy lento y fastidia.

Nm: Vemos que de un tema, un procedimiento nada más pone 3 ejemplos, 2

ejemplos y ya vamos a otro tema, vamos a otro tema, vamos a otro tema.

- 120 -

4.2 Interacciones en el aula

En el apartado anterior (4.1) en el que nos centramos exclusivamente en el

comportamiento de los profesores, consideramos que se pudo observar cómo en

la dinámica que se establece en el aula, existe una interacción entre el profesor y

los alumnos que determinan lo que cada uno tiene que hacer. Sus acciones

forman parte de una situación y están condicionadas de manera explícita o

implícita. En lo sucesivo, para continuar con la descripción del escenario en que

nos ubicamos, consideraremos a los componentes de ese sistema didáctico no de

manera aislada, sino en interacción unos con otros.

4.2.1 Interacciones en el grupo A

4.2.1.1 Reglas que determinan la interacción profesor-alumno

Se puede decir que las reglas de interacción profesor-alumno fueron establecidas

por el profesor. Se observó en su costumbre didáctica, y en particular con el

empleo de la estrategia de enseñanza tipo 1, que el diálogo entre ellos fue

condicionado por las preguntas que el profesor realizaba. Implícitamente

estableció las reglas de participación de los alumnos. Ellos se mostraron

consientes del rol que jugaban en esta dinámica y se limitaron a cumplirlo, es

decir, realizaron lo que el profesor esperaba de ellos, como por ejemplo emitir

respuestas a sus preguntas, y realizar los ejercicios cuando se les indicaba. Si

- 121 -

hubo alumnos que iniciaban la interacción realizando alguna pregunta al profesor,

pero esto ocurrió en muy pocas ocasiones.

Los comportamientos durante la interacción eran rígidos, formales. No hubo

oportunidad de diálogos informales. El profesor se limitó a interactuar con los

alumnos en función del contenido matemático. No entabló comunicación con ellos

fuera del ámbito académico.

E1-GA-GP

Am: Para mí o sea es bueno (refiriéndose a la forma de enseñar del profesor),

pero es muy, como que le falta chispa, o sea como que en cierto momento te

llega así como a ashhh otra vez cálculo, así porque el maestro no le echa así

como que algo, algo de rollo para entretenernos y para que nos guste la

materia, o sea no es que no me guste, pero llega un momento así como que

igual, igual, igual, no hay un momento de risa o de algo así, o así, porque tanto

tiempo de estar así, dale duro y dale, pues sí llega a cansar.

E3-GA-I

Rh: Sí podría mejorar un poquito, a lo mejor un poquito más rápida la clase y un

poquito más de interacción con los alumnos pero de manera personal, o sea, a

veces yo siento que cuando un maestro llega con un alumno, llega con una

confianza y le platica experiencias, tanto profesionales como sociales y genera

un ambiente de relación con los alumnos, como de joven, o sea el alumno se

motiva más, porque dice el maestro sí es buena onda y además sabe, entonces

lo respetas como persona y lo respetas tanto como profesionista, o sea, como

- 122 -

maestro y a lo mejor eso sí, o sea, el maestro es muy respetuoso, es muy

derecho y todo eso y es bueno, pero a lo mejor eso, involucrarte con los

alumnos, platicar con ellos o hacer comentarios o algo así como que entran en

confianza más los alumnos y pudiera ser que se preste más atención a su

materia, o sea la clase de cálculo no es aburrida, pero pudiera ser un poquito

más divertida, más interactiva.

E5-GA-GP

Nm: Que se ría más el maestro.

Fm: Es muy serio, tenso, como que le da nervios estar frente a nosotros.

Jm: Yo siento que muy tenso.

Nm: Yo creo que como sabe mucho tiene miedo de no enseñar bien, porque no

sé en mi caso yo sé de personas que saben mucho pero no pueden explicarlo.

Se observó que el profesor intentó propiciar una interacción entre los alumnos, al

emplear la estrategia de enseñanza tipo 2, cuando les pedía que compararan

entre ellos sus explicaciones; o en la estrategia de enseñanza tipo 3 cuando les

pedía que compararan los resultados de un ejercicio. Sin embargo, se observó

que este tipo de interacción no se dio en gran medida.

4.2.1.2 Interacción profesor-alumno: Mediación del contrato didáctico

Para describir y analizar las interacciones del sistema didáctico. La interacción

profesor-alumno en función de los conocimientos matemáticos para establecer

- 123 -

significados compartidos, lo haremos utilizando la noción de contrato didáctico,

ampliamente explicado en la Teoría de Situaciones Didácticas.

La costumbre didáctica del profesor evidenció que la responsabilidad del

aprendizaje recayó casi por completo en su persona.

Los alumnos regularmente se encontraron en una situación de enseñanza y no en

una de aprendizaje. Al principio del curso, específicamente durante las primeras 2

semanas, aceptaron la devolución de la responsabilidad del aprendizaje al

momento en que efectuaban o ejecutaban las indicaciones del profesor, por

ejemplo, la mayoría respondía a las preguntas que formulaba. Se iniciaba una

etapa de acción en la que manipulaban ciertos objetos, formulaban entre ellos (PA

intentaban que compararan respuestas con el compañero más cercano) y

finalmente la validación era efectuaba por PA, o en su caso, algún alumno con

intervención de PA. Sin embargo, conforme pasó el tiempo, las reglas implícitas

entre PA y los estudiantes se empezaron a establecer:

Por una parte PA modificó sus acciones, intervenía constantemente,

proporcionaba menos tiempo para que los estudiantes estuvieran en una etapa de

acción y esto ocasionó que ellos dejaran de tomar la responsabilidad del

aprendizaje, puesto que sabían que PA intervendría.

Se establecieron las reglas implícitas del contrato didáctico entre profesor y

alumnos:

- 124 -

1. En una situación en la que el profesor intenta introducir, formalizar o

ejemplificar un concepto, tendiendo un camino planeado para ello, si los

alumnos perciben que PA no aprueba las respuestas que proporcionan ante

sus preguntas y sigue realizando más, es que todavía no llegan a un

consenso o no cumplen con lo planeado por el profesor, no han llegado a la

respuesta correcta, o a establecer o ejemplificar el concepto (Ver extracto

20).

2. El profesor no cambia su intencionalidad, realiza preguntas hasta que

alguien diga la respuesta correcta.

3. El alumno sabe que el profesor va a intervenir y hacer que surjan las

respuestas correctas, por lo que puede tomar la posición de no involucrarse

demasiado en la situación.

4. El profesor espera que el alumno proporcione las respuesta que él espera,

pero está conciente que tiene que provocarlas para poder cumplir con su

plan de acción.

A continuación, se pretende indicar a lo largo del extracto aquellas reglas del

contrato didáctico, y aparecerán como “comentario del observador”.


PA: ¿Alguien recuerda qué es una función? No exactamente con detalle, pero

¿qué es una función? / (...) O ¿alguien puede darme un ejemplo de función?

- 125 -

- 126 -

Es una sesión en la que PA muestra la derivada en biología poblacional, como un

ejemplo de la derivada como razón de cambio instantánea.

PA Definió ( )tP como el tamaño de la población de los habitantes de la ciudad de

Mérida en el tiempo t a partir de 1990, donde t se mide en días. Realiza una gráfica

tratando de representar ( )tP .

PA: Ya tenemos esto, pero estamos considerando derivadas, entonces la

pregunta que nos vamos a hacer, ¿cuál sería la primera pregunta? / ¿Cuál

creen que sería? / Pues como antes, nos preguntábamos ¿qué mide la

derivada? Ahora queremos preguntarnos, ¿qué mide la derivada de ( )tP ?

PA: ¿Qué mide la derivada? ¿Qué creen que va a medir? /

UComentario del observador: U Los alumnos esperan que el profesor continúe con

la exposición del tema, pues no intervienen demasiado. El profesor al no

obtener respuestas sigue tomando la responsabilidad de la situación.

PA: Si nos estamos preguntando por la derivada, nos estamos preguntando por

este límite.

PA escribe en la pizarra:

( ) ( )h

aPhaPlimh

−+→0

PA: ¿Y qué hemos hecho antes, cuando le damos una interpretación a este

límite? (...)

PA: ¿Qué hemos hecho antes? (...)

- 127 -

UComentario del observador U: Aquí PA espera que los estudiantes respondan a

esa pregunta para poder continuar con lo que tiene planeado, pero esto no

ocurre.

PA: A ver que revisen en los 2 casos anteriores, la interpretación de la

pendiente y la velocidad, ¿qué fue lo primero que hicimos para responder esta

pregunta? ¿Qué consideramos antes? ¿Qué?

Los alumnos responden el cociente.

UComentario del observador: U Los alumnos al responder esto posiblemente

recuerden las situaciones anteriores y el proceso que PA realizó en ellas, lo

que les da una idea de lo que hará a continuación. Los estudiantes esperan que

el profesor realice todo el procedimiento.

PA: El cociente que aparece en el límite, entonces vamos a considerar ese

cociente. Ese cociente ¿qué mide?

(...)

PA: Vamos a darle algunos valores para identificarlo.


Antes de interpretar la derivada consideremos el cociente ( ) ( )

haPhaP −+

,

PA: ¿dónde quedaba la h ? ¿Y lo de arriba? (refiriéndose al numerador del

cociente) ¿Qué es lo de arriba? / Vamos a dar unos ejemplos para aclarar ideas.

0 a a+h

- 128 -

a=1998

h=40 semanas

PA: Entonces ¿qué es ( )haP + , ( )aP , ( ) ( )aPhaP −+ ? / ¿Qué va a ser

( )haP + ?

UComentario del observador: U Al no proporcionar respuestas los alumnos esperan

que el profesor siga realizando el procedimiento, están concientes que aún no

llegan a la respuesta que espera PA.

PA: Estas 2 de aquí son poblaciones (señalando ( )haP + y ( )aP ).

PA dice ( )haP + es la población de 1998 + 40 semanas y ( )aP la población de 1998.

PA: ¿Si lo restamos que da?

[...]

El profesor entre lo que pronuncian los alumnos en voz muy baja, distingue que dicen

algo de cambios, entonces el dice:

PA: Exacto, qué tanto cambió la población en ese intervalo.


( ) ( )aPhaP −+ = cambio de la población entre 1998 + 40 semanas y 1998.

PA: ¿ h cuanto va a ser? Aquí estamos dando el valor de h .

PA: ¿Qué va a ser este cociente? ¿Qué va a medir este cociente?

(...)

Ah: Un promedio.

PA: Un promedio, ¿qué tipo de promedio?

(...)

- 129 -

UComentario del observador: U Al emitir una respuesta un alumno en voz alta, el

profesor la retoma para seguir con el interrogatorio, sin embargo, no se

establece una continuidad en el diálogo, los alumnos siguieron sin emitir

respuestas, esperando que el profesor continúe y termine con el procedimiento.

PA dice que lo de arriba es el cambio de 40 semanas y que si se divide en 40 semanas

dice que es el promedio del cambio de la población por día.

PA: Finalmente, ¿qué mide ese límite ( ) ( )

haPhaP

limh

−+→0

?

PA: ¿Cómo podemos llamarle a ese cambio? Vamos a ver, el cociente nos da

el cambio promedio por día durante un periodo de h días, pero si cada vez

tomamos menos y menos días, entonces este límite, ¿que nos va a dar? Si solo

el cociente nos da el promedio a lo largo de un periodo de tiempo y aquí

estamos haciendo que ese periodo h vaya disminuyendo cada vez más,

entonces, ¿qué nos va a dar? / (...) El cambio de la población solo en un punto

instantáneo.

PA: Finalmente la derivada( ) ( )

haPhaP

limh

−+→0

mide, ¿qué mide? / (...) El

cambio instantáneo de la población, ¿en qué tiempo? En el tiempo .at = ■

Un aspecto interesante que se observó en las entrevistas, es que los alumnos

externaron que decidían participar solo si estaban seguros de que sus respuestas

fueran correctas. Esto forma parte del contrato didáctico, pues están concientes de

que el profesor solo acepta respuestas correctas.

E1-GA-GP

Entrevistador: ¿Cómo definirían su participación en clase?

Am: Cuando participo es porque lo sé.

Sh: Dependiendo de cómo vengas, la información que tengas.

Am: Ajá, cuanto sepas del tema.

Sh: Y Si entendiste la clase pasada, ya sí puedes participar.

Cm: Ya te gusta participar.

E2-GA-I

Entrevistador: ¿Cómo definirías tu participación en clase?

Mm: Muy poca. Pues que cada vez que pregunta, rara vez doy respuesta.

Entrevistador: ¿Qué razones hacen que participes o no lo hagas en clase?

M: Que participe, que estoy segura de lo que voy a decir, o cuando tengo una

duda participo en clase. Participo si estoy segura de mis respuestas o tengo

alguna dudad.

4.2.2 Interacciones en el grupo B

La interacción profesor – alumno se dio en las siguientes situaciones:

1. En la etapa de acción, cuando los alumnos se encontraban resolviendo

algún ejercicio y el profesor caminaba entre ellos, se podían dar dos

situaciones.

- 130 -

a) Que el profesor se acercara a algún alumno y le preguntara cómo

iba, el alumno respondía al profesor, le mostraba lo que había hecho;

si ya había terminado el ejercicio el profesor decía si estaba correcto

o incorrecto, y en este caso le explicaba porqué; si no había

terminado de resolverlo; lo asesoraba acerca de qué camino debía

seguir si es que no tenía idea o iba desarrollándolo incorrectamente.

E1-GB-I

Cm: Cuando veo que pasa, pues como que trato que, normalmente

cuando se acerca muy a mí y le pregunto algo, a lo mejor si se

quedara sentado no haría nada.

E6-GB-GP

Gh: Yo he notado que en el salón para que participes, porque hay

gente que sí lo sabe pero como que tiene pena de participar, entonces

como que el maestro se tiene que dirigir a ti para que participes,

porque así por tu cuenta que alces tu mano y participes casi no se da,

el maestro mas bien tiene que guiar eso.

Ih: Cómo van, cómo van, te dice.

Nm: Ajá, para checar qué estamos haciendo porque todos nos

quedamos callados, a todos, la mayoría, la gran mayoría nos da pena,

pararse así en público como que no.

- 131 -

b) Que los alumnos llamaran al profesor para que se acercara a ellos y

hacerle algunas preguntas. Le solicitaban que les dijera si iban bien

en lo que estaban haciendo.

E3-GB-I

Gm: Participo porque tengo alguna duda, preguntar al maestro, si yo

tengo una idea expresarla, si está bien la idea pues está chido, pero si

no para que el maestro me corrija, como él lo explicó, para que yo

pueda entender mejor.

2. Durante la etapa instruccional, cuando el profesor utilizaba preguntas como

apoyo de su discurso, los alumnos podían contestar a coro, sabían que el

profesor no esperaba que alguien en específico respondiera a las

preguntas, pero se dio ese caso.

Los comportamientos durante la interacción podían ser informales. Había diálogo

de asuntos ajenos a la materia. En ocasiones el profesor utilizaba analogías que

provocan risas entre los estudiantes. Se permitían las risas, un poco de ruido,

aunque en momentos el profesor trata de limitarlo cuando era excesivo.

E3-GB-I

Gm: Yo me imaginaba que matemáticas puros chavos así estudiando,

cuando entré me di cuenta que estaba equivocado, hay tiempo para

todo, para divertirse y para estudiar y veo que en la clase de cálculo

- 132 -

pasa eso, o sea que el maestro da tiempo para estudiar y da tiempo

para hacer un poco de relajo.

La interacción del profesor – alumno en función de un saber matemático estuvo

condicionada por el profesor. Él tuvo la responsabilidad de plantear todo el

contenido matemático y no se observaron interacciones de negociación de

significados. Los alumnos aceptaban lo que el profesor les presentaba y se

limitaban a realizar preguntas solo en caso de dudas.

4.3 Alumnos

4.3.1 Alumnos del grupo A


Los estudiantes eran pasivos y se observó poca interacción entre ellos.

E1-GA-GP

Entrevistador: Supongan que le tienen que describir a alguien cómo es el

ambiente de su salón de clase, ¿qué le dirían?

Am: Muy flojo.

Cm: Muy apagado.

Entrevistador: ¿A qué te refieres con apagado?

Cm: A que estamos tomando clase y así como, o sea no está activa la clase.

Am: Dinámica, ni nada.

- 133 -

Cm: No al ambiente, o sea al estar recibiendo la clase uno no está, a ver cómo

va, aquí, aquí qué pasó con esto, qué resultado te dio, nada más estás así

como apagado y haciendo lo que el maestro dice, o sea cada quien su rollo.

Al inicio respondían favorablemente ante las estrategias de enseñanza del

profesor, pero conforme fue pasando el tiempo, cuando se acostumbraron a la

dinámica del aula, fueron perdiendo un poco de interés sobre todo a contestar las

preguntas que realizaba el profesor.

Cuando PA hacía las preguntas, la mayoría trataba de evadirlas simplemente

perdiendo contacto visual con el profesor, se miraban entre ellos, a sus apuntes, al

suelo, etc. Este era un comportamiento constante. Parecía como si se sintieran

intimidados de que en cualquier momento serían señalados para pasar al pizarrón

o contestar una pregunta, sin sentir la motivación para ello. Si hubo alumnos que

preguntaban dudas, pero en muy pocas ocasiones y regularmente fueron los

mismos.

Observemos esta situación en el siguiente extracto.


PA pide dar la gráfica de una función que sea

a) inyectiva pero no suprayectiva.

b) suprayectiva pero no inyectiva.

- 134 -

- 135 -

PA proporciona un tiempo, pero antes indica a los alumnos lo que les piden en cada

caso. Dice que en inciso a) a cada imagen una x , pero que no cubra todos los reales.

Para el b) les dice que lo piensen ellos y que lo terminen.

Una alumna pasa a la pizarra y grafica para a) ( )x1xf = .

PA: ¿Alguien tiene el inciso b?

(...)

Los alumnos evaden a PA, miran hacia abajo, a sus libretas.

Después el profesor pregunta a un alumno:

PA: ¿Ya lo tienes?

Ah: Sí pero no sé si está bien.

PA: No importa pasa a hacerlo.

El alumno pasa y grafica la función ( ) ( )xtanxf = ■

En general, algunas características que se observaron en el comportamiento de

los alumnos fueron:

Los estudiantes se mantenían en silencio, dialogaban a los más con uno ó

dos compañeros cercanos y en voz baja (figuras 46 y 47).

Figura 46

Figura 47

E3-GA-I

Rh: Mi comportamiento en la clase de cálculo la mayoría de las veces es..., sí

me volteo y platico pero por ejemplo eso a mí se me hace, lo siento mal, pero la

mayoría de las veces sí pongo atención.

- 136 -

- 137 -

No se distraían y trataban de seguir la clase, posiblemente porque se

sentían observados por el profesor (figuras 48 y 49).

Figura 48

Figura 49

- 138 -

E5-GA-GP

NBmB: Porque yo a veces como sé que va a preguntar el maestro, pongo atención

no vaya a ser que diga mi nombre y ay no sé, me siento mal cuando no puedo

contestar.

E6-GA-I

RBhB: Mi comportamiento es estar atendiendo, mis compañeros no sé porque no

me fijo, pero me imagino que igual porque el maestro como que te obliga a

poner atención porque sino te llama la atención, te dice bueno que pongan

atención.

Se observó un respeto de los alumnos hacia el profesor.

Se comportaron según las reglas establecidas por el profesor.

Se mostraron concientes de lo que el profesor esperaba de ellos.

No propiciaron diálogo con el profesor.

Se observó la formación de varios subgrupos, pero ninguno de ellos alteró

el orden o el rumbo “predeterminado de la clase”.

En algunos alumnos se observó fatiga, sueño y/o aburrimiento.

Se observó que los alumnos sí realizaban los ejercicios que indicaba el

profesor. Los alumnos sabían que el profesor esperaba que trabajaran y así

lo hacían o simulaban hacerlo (figura 50). Esto pudo ser condicionado

cuando en una ocasión PA le pidió a un estudiante que pasara a la pizarra

a resolver un ejercicio que consistía en graficar una función, éste pasó a

petición del profesor pero no pudo resolverlo. PA trató de ayudarlo pero

luego le llamó la atención diciéndole que cuando se les pedía que

trabajaran debían hacerlo.

Figura 50

E1-GA-GP

Sh: Y muchas veces les pide participar a los que están conversando, a los que

están medio distraídos y así.

Entrevistador: ¿Y consideran qué eso es bueno o es malo?

Sh: Es bueno.

Cm: Es bueno, porque te callas.

Se puede contrastar este comportamiento con la perspectiva del profesor.

- 139 -

- 140 -

E7-GA-P

Entrevistador: ¿Cuáles considera que son sus fortalezas como docente?

PA: Pues en lo que es el salón de clases yo diría que son 2. Por un lado

en el curso que estoy dando siento que el material que tengo que

enseñar lo conozco muy bien, porque es una materia básica y eso quiere

decir que yo la he trabajado desde que empecé a estudiar matemáticas

ya hace muchos años, entonces pues por un lado el conocimiento de la

materia y por otro yo creo que logro hacer que trabajen los estudiantes,

en gran parte de mis clases ellos están trabajando y yo pues nada más

pues los estoy observando que ellos trabajen, claro para eso pues hay

un proceso, ¿no? yo les tengo que explicar, los tengo que ir guiando,

pero llega un momento en el que el trabajo ellos lo están haciendo y los

dejo, que ellos estén realizando los detalles y yo creo que eso si es una

fortaleza, hacer que ellos estén trabajando en lo que se está explicando

en ese momento.

En el caso de las preguntas que realizaba el profesor, los alumnos

contestaban simultáneamente sin la intención de emitir una respuesta

articulada en voz alta. Cuando el profesor indica a un estudiante que diera

la respuesta y éste comienza a responder, podía suceder que al dar la

primera palabra el profesor interviniera e iba guiando su respuesta.

Generalmente no había voluntarios que contestaran a las preguntas. En

estas situaciones mediaba el contrato didáctico. Se observó que los

- 141 -

estudiantes no sentían tanta motivación para contestar en voz alta,

posiblemente por pensar que su respuesta no era la que esperaba el

profesor.

Ante la acción del profesor de intervenir constantemente mientras los

alumnos resolvían algún ejercicio, a algunos les pareció incómodo, pero

otros consideraron que sí les ayudaba. Veamos tanto la situación de

intervenir constantemente en el extracto que sigue, como las opiniones de

los alumnos al respecto en las entrevistas.


Se encuentran en una clase en la que requieren resolver el sistema: 22

11

ybax

ybax

=+

=+

PA: ¿Qué valores conocemos?

Los alumnos responden: 1x , 1y .

PA: Sí, porque son los datos y son las coordenadas.

El profesor escribe en la pizarra

¿Qué valores necesitamos encontrar? a, b

PA dice que tienen un sistema de ecuaciones de 2x2 y les pide que lo resuelvan. PA da

un tiempo, pero interviene:

PA: Haber, a y b ¿en términos de que valores van a estar? Es claro que en

este caso no van a aparecer respuestas como 3x = .

Continúa el tiempo de resolución pero nuevamente interviene.

- 142 -

PA: Hay varios métodos para resolver el sistema, suma y resta, sustitución, por

determinantes, y cualquiera que conozcan que lo utilicen para dar la respuesta.

Los estudiantes siguen trabajando, y PA interviene otra vez.

PA: La a les debe quedar como un cociente / La b les debe quedar el mismo

cociente y otros términos más.

PA: ¿Alguien ya encontró a? ■

E1-GA-GP

Am: A mi no me gusta que me interrumpan cuando estoy haciendo un ejercicio,

o sea quiero terminarlo y después hacerlo.

Cm: Y después ver si está bien.

Entrevistador: ABmB cuando estás resolviéndolo y el profesor te interrumpe, ¿te

disgusta?

ABmB: A mi me molesta, sí, no me gusta.

ABmB: Hace 2 clases que no me salía una derivada, no me salía, y él se puso a

hacerlo, y yo, no me sale, no me sale, y no me salió, pero estaba yo clavada

pero quería yo hacerlo por mi misma, entonces no le presté atención.

E5-GA-GP

Entrevistador: También he observado que a veces el profesor interviene

constantemente mientras están resolviendo un ejercicio como para darles

sugerencias de cómo solucionarlo, ¿consideran que les han sido útiles esas

sugerencias?

Fm: Sí, pero yo a veces quisiera que se tardara un poquito más en dar las

sugerencias porque ya sé como resolver el problema pero o sea, …

Jm: No deja pensarlo.

Fm: Ajá, no deja que pensemos bien. Que dé el problema y espere un rato, así

como que si ve que no lo podemos hacer pues que de la sugerencia.

E3-GA-I

Entrevistador: También he notado que a veces el profesor interviene

constantemente mientras están solucionando un ejercicio, como para darles

sugerencias de cómo solucionarlo, esas sugerencias ¿consideras que te han

sido útiles?

Rh: Claro, de repente vez un problema y estás rompiéndote la cabeza por dónde

empezar y yo creo que es bueno ayudar a cierto alumno, pero fíjate, esas

sugerencias sirven y complementan de hecho las preguntas, porque hay veces

que sí de repente no sabes por dónde empezar, y el maestro sugiere, empieza

por acá y empiezas a recordar las preguntas que te hacía el maestro, ¿por qué

sucede esto? Y entonces cada vez que tú te cuestionas eso creas una crítica, o

sea análisis y un entendimiento del problema bien y cuando te da el maestro a

veces una sugerencia de cómo resolver el problema, ya como entendiste bien,

o sea yo creo que se complementa tanto que el maestro te pregunte como que

te de sugerencias, porque ya sabes más o menos por dónde atacar, o sea ya te

dio una pista, pero que no te de todo el ejercicio.

E4-GA-I

- 143 -

- 144 -

MBhB: Esas sugerencias sí, porque no sabemos ni por donde atacar el problema,

empezamos y ¿por dónde?, algunas sugerencias de que llegamos a la mitad de

un problema y me he acercado a preguntarle cosas y él nomás explica lo

mínimo, lo menos que pueda para que tú le sigas, o sea las sugerencias que da

sí las he tomado en cuenta, pero una de las cosas que desde el principio dije es

que a veces no se puede resolver el problema y el maestro, ¿maestro será que

lo pueda resolver? y él no te lo resuelve.

Hubo situaciones en las que los alumnos platicaban entre ellos cuando sus

compañeros pasaban a la pizarra a resolver ejercicios, o mientras el

profesor explicaba. Ante esto, el profesor limitó estas conductas.

Observemos los siguientes extractos (39, 40, 41).


En esta sesión PA les llamó la atención a dos alumnas que estaban platicando, no se

puede precisar si hablaban del tema o de otra cosa, pero el profesor les llamó la

atención y dijo que debían estar atentas a la clase. ■


Es una clase en la que el profesor les pedió a los alumnos que graficaran la derivada, a

partir de la gráfica de una función.

Los estudiantes por un momento estaban haciendo ruido, se escuchaban risas, no se

puede precisar las razones por la que lo estaban haciendo, pero PA se quedó callado y

dijo

- 145 -

PA: ¿Está curiosa la gráfica o qué?

Los estudiantes se callaron y PA prosiguió con la clase. ■


El profesor está en una clase donde explica o muestra algunas funciones que no tienen

derivada.

De repente hay muchas risas.

PA: A ver, vamos a continuar.

A partir de ahí cuando se presentaba esa situación, esa era la frase que utilizaba PA

para reestablecer el orden en el salón. ■

Los alumnos al respecto comentan en las entrevistas lo siguiente:

E1-GA-GP

SBhB: También a veces somos participativos.

ABmB: Pero cuando no queremos, no queremos.

SBhB: A veces sí, echamos relajo y sí nos pasamos de echar relajo.

Entrevistador: ¿Cómo creen que influya el profesor en su comportamiento?

SBhB: De que muchas veces te aburre.

CBmB: Y tú buscas la manera de estar despierto, de estar activo.

SBhB: Con tal de que no te vean dormir.

CBmB: Ajá.

Sh: Buscas platicar con el de a lado, o te pones a hacer cosas en tu libreta hasta

que te calla.

Am: Hasta que te callen, te regañen y vuelvas a tu silla.

E4-GA-I

Mh: Ya hasta tienes miedo de sacar tu celular porque te va a regañar el profesor

así de simple. Yo vengo de la prepa 1, tu podías estar en clase y podías estar

hablando por celular y al profesor le daba igual, yo me imaginé que iba a ser

igual aquí hasta más liberal, de que podía llegar y estar hablando por celular o

platicar, pero veo que al profesor no le gusta que se haga eso, a este profesor

trato de llevarlo como que su clase, es su hora de clase y hay que hacer lo que

él diga.

E2-GA-I

Mm: Al hablar, al estar explicando y los otros están conversando, si el maestro

no regaña o no dice, jóvenes… llama la atención, entonces todo el tiempo se lo

van a hacer así, y hay personas que no pueden concentrarse con tanto ruido o

no escuchan al maestro porque otros están conversando.

Entrevistador: ¿Ese es tu caso?

Mm: Sí, algunas veces me distrae el ruido y no me gusta que estén

conversando, claro.

E4-GA-I

Mh: Por lo que veo es que muchos no le prestan importancia a la clase que le

deben de dar, porque están conversando entre ellos, están platicando, y no le

prestan la atención que deberían dar a la clase porque hay quienes sí se ven

- 146 -

- 147 -

que sí lo saben, pero si no le ponen atención, ya están perjudicando a otros,

porque ellos están hablando, hablando, hablando y aunque después ves que

ellos no saben nada están conversando en clase. Pues yo trato si me molestan,

yo trato de ignorarlos, que no me afecte, no puedo hacer que cambien, pero a

mí me queda prestar atención lo más que pueda de la clase sin tratar de

molestar a los demás.

El comportamiento de los alumnos se observó monótono durante todo el

curso, solamente en una ocasión se mostró una variante ante el

comportamiento del profesor (ver extracto 42).


PA: Supongan que es el próximo jueves, preparan sus hotcakes y cómo van a

venir a la clase de cálculo se preguntan, será que pueda cortar con el cuchillo en

2 partes iguales (ver figura 51), que esta mitad (refiriéndose a la parte de hotcakes

del lado derecho del cuchillo) sea igual a esta? (refiriéndose a la parte de hotcakes del

lado izquierdo del cuchillo).

cuchillo

Hot cakes

Figura 51

- 148 -

PA: ¿Será que se pueda que de la misma cortada quede la misma cantidad de

hotcake de un lado que de otro?

PA: La solución es con el Teorema del Valor Medio.

PA: La respuesta es que sí se puede. El que quiera hacerlo lo escribe. ■

Los alumnos tenían cara de sorprendidos, pues el profesor nunca había

proporcionado ejemplos o problemas relacionados con su vida cotidiana. Hasta los

alumnos que se mostraban con fatiga, cambiaron su semblante. Se puede decir

que el profesor realizó una variación del estímulo con la que captó la atención de

todos y modificó el ambiente de la clase. Sin embargo, fue una situación aislada.

Los alumnos consideraban que la forma de enseñar de su profesor era

buena. Opinaron en las entrevistas lo siguiente:

E1-GA-GP


ABmB: Para mí son muy claras su manera de explicar, explica bien.

CBmB: Explica muy bien todas las partes.

ABmB: Ajá, que de repente quiere explicarlo bien, se pasa de no, sé, es la parte

negativa.

ABmB: Son bastante claras las explicaciones.

E2-GA-I

Entrevistador: ¿Y cómo miras la forma de enseñar de tu profesor?

Mm: Bien. Va de lo particular a lo general, te explica de dónde viene, o sea de

donde sale esto, poco a poquito. A mí me ha ayudado mucho porque yo no vi

derivadas ni nada en la prepa y con eso le entiendo muy bien.

E3-GA-I

Entrevistador: ¿Y que opinas de la forma de enseñar de tu profesor?

Rh: Es muy buena también, porque va lento, pero explica muchos detalles sobre

todos los temas y eso a veces es bueno porque de repente un maestro explica

cosas que da por que los alumnos lo conocen, da por hecho que los alumnos ya

entienden bien y explica un tema nuevo y a veces todos los alumnos no, porque

hay alumnos como estamos mezclados, que no llevaron la especialidad de

matemáticas, entonces hay algunos alumnos que sí no vieron cálculo o no

vieron álgebra, entonces el maestro de cálculo se enfoca mucho en esos

detalles, no va directamente, se hace así, sino que sí, hace preguntas,

desarrolla mucho el cuestionamiento, el entendimiento más bien, o sea no es

metódico, no es se hace así, así, así y así porque así debe ser sino que porqué

sucede, fíjate en esto, o sea, eso es bastante bueno.

E5-GA-GP

Fm: Lo deja todo perfectamente claro y explica las cosas así en un orden que se

le entiende, lo único es que a veces redunda en algunas cosas, o sea vuelve a

tocarlas.

Jm: A que el maestro es muy bueno, muy bueno explicando, nos dice en lo que

nos podemos equivocar y cuando te dicen eso pues ya sabes y no lo haces,

cosas así.

- 149 -

E4-GA-I

Entrevistador: ¿Que opinas de la forma de enseñar de tu profesor?

Mh: Bueno, en parte tiene sus pros y sus contras, porque el maestro veo que el

maestro trata de explicarlo lo más, como si fuéramos niños, es esto y esto y

esto, pero a la vez hay unos que, lo hará por algunas personas que no lo

entienden, la derivada sale así y sale así porque tiene que salir, pero el maestro

lo explica todo por partes, desde el principio hasta el final, por eso digo que

tienes sus pros y sus contras porque a la vez puede estar algunos que se

pueden estar aburriendo en el salón y otros que si le están atendiendo porque

no saben nada de eso. Pero malo negativo que veo en ese maestro, veo que le

preguntas algo y no te lo responde, maestro tengo una duda de esto, pues trata

de, lo mínimo que él te puede decir, explicar, ¿por qué? Porque tú lo termines,

pero a veces no podemos y no puedo y nomás quiero que me termine de, que

me resuelva el problema porque de plano ya vi que no lo pude resolver,

maestro tengo una duda, ¿será que me pueda resolver esto? Él trata de

explicarte lo menos que se pueda hasta que tú lo termines, pero cuando no se

puede no se puede.

Con respecto a la última situación que menciona el alumno, el profesor está

conciente de esto y menciona en la entrevista lo siguiente:

E7-GA-P

Entrevistador: ¿Cuáles considera que son sus debilidades como docente?

PA: Creo que en algunas partes sí soy muy exigente con los alumnos y eso

hace que a veces no vengan a consultar, por ejemplo esto en el sentido de que

- 150 -

si un alumno no fue a clase y después viene él a consultarme lo primero que yo

le digo es que era su responsabilidad ir a clase y si él viene a que yo le vuelva a

explicar el mismo tema que ya expliqué en clase él está haciendo que yo

trabaje doble y yo no le voy a pedir a él que trabaje doble, entonces lo primero

que yo le digo es que, que él averigüe por su parte con sus compañeros qué se

hizo y después si tiene dudas puede venir a consultarme, y también a veces

cuando vienen a consultarme yo siempre les digo, qué ya hicieron, entonces en

ese sentido si soy muy exigente y muchos alumnos quieren que uno les

explique todo desde lo muy básico para que, bueno yo lo interpreto pensando

que ellos quieren hacer un esfuerzo muy pequeño, yo sí les exijo mucho y eso

hace que algunos alumnos no se acerquen mucho a consultar, entonces yo

creo que eso sería una debilidad, interactúo muy poco con los alumnos.

4.3.1.2 Características y comportamientos de los alumnos desde la

perspectiva del profesor

En la entrevista el profesor comentó lo siguiente con respecto a los alumnos:

E7-GA-P

Entrevistador: ¿Cómo describiría a su grupo?

PA: Pues yo creo que el grupo en general si es trabajador, pero quizás un

poquito inmaduro, la mayoría siento que tiene buenas bases y cuando está

cercano el examen pues si, sí se preparan, pero lo que es su comportamiento

en clase siento que sí deja mucho que desear.

- 151 -

Entrevistador: Cuando menciona que son inmaduros, ¿a qué se refiere?

PA: En el sentido de cierto comportamiento que ellos, que algunos tienen que

tal vez no sea el adecuado en el momento de clase por mencionar algo nada

más que pues si ya la clase empezó y si alguien va a llegar tarde, entonces si

va a entrar por lo menos que haga lo menos posible para interrumpir la clase,

eso es lo que yo creo se esperaría de una persona madura, pero eso no

siempre sucede a menos que uno se los haga notar, ¿no? Cuando uno ya se

los hace notar, vas a llegar tarde pues no interrumpas las clases, entonces ya

así ellos lo piensan y reaccionan en forma adecuada, pero si uno no se los hace

notar, ellos continúan con ese comportamiento y así algunos otros, como a

veces conversar más de la cuenta, principalmente por cosas como esas.

Entrevistador: Ese grupo en particular, ¿modificó en algo su forma de enseñar?

PA: En enseñar quizás no, de tratar a los alumnos creo que sí porque yo nunca

había dado en un primer semestre, yo había dado a partir del tercer semestre y

sí tengo la impresión de que los alumnos llegan con cierta inmadurez aquí a la

facultad como ya he mencionado y entonces al toparme con ese tipo de

reacciones pues a mí me sorprendió y lo primero que evité pues era tratarlos

como si fueran personas inmaduras, yo no les iba a decir bueno, si te pones a

conversar te saco del salón porque yo creo que no es la forma adecuada como

se debe tratar a un persona madura, ¿no? Entonces en lo que si cambié fue en

mi forma de tratar a los estudiantes, pero mi enseñanza quizás no, yo trato mas

o menos de seguir algo, un método o un, algo que a mí me ha resultado que

también traté de repetir aquí en cálculo 1.

- 152 -

- 153 -

4.3.2 Alumnos del grupo B 4.3.2.1 Características y comportamientos de los alumnos

Durante la etapa instruccional los alumnos platican entre ellos y en

ocasiones con volumen alto. El profesor constantemente tenía que pedirles

que hicieran silencio, con la frase: A ver, ya comenzó la clase, hagan

silencio. Generalmente interactuaban 2 o 3 alumnos.

E1-GB-I

ABhB: Normalmente atendemos, pero sí ha habido un día como que de

plano, como que todos nos ponemos de acuerdo, y se empiezan a reír

y todos dicen que somos unos necios.

E6-GB-GP

SBhB: Eso sí hay mucho escándalo, nos llevamos tan bien que no

hacemos silencio y luego está explicando el maestro y no nos

callamos, pues sí nos llevamos bastante bien.

El comportamiento de los alumnos durante la etapa instruccional fue pasivo.

Puesto que era prolongado el tiempo de explicación del profesor, varios se

mostraban con aburrimiento, fatiga o sueño. Trataban de poner atención

pero en ocasiones se distraían (figura 52).

- 154 -

Esto se puede relacionar con lo que expresaron los estudiantes de la forma

de enseñar del profesor, pues se observaron 2 tipos de opiniones con

respecto al ritmo de las clases:

1. Aquellos alumnos que ya habían llevado algún curso de cálculo

consideraron lento el ritmo de las clases.

2. Los alumnos que nunca habían llevado un curso de cálculo

consideraron adecuado el ritmo de las clases, o incluso acelerado.

Durante la explicación del profesor, en que su discurso podía ser excesivo,

pocos alumnos tomaban nota de lo que decía. Copiaban el contenido del

acetato y las anotaciones que realizaba en la pizarra exclusivamente (figura

53).

Figura 52

- 155 -

En la etapa de acción, los alumnos dialogaban entre ellos, incluso

motivados por el profesor, quien decía que no era examen y que podían

trabajar entre dos. Los alumnos que terminaban primero de resolver los

ejercicios se ponían a platicar, reír, etc. También durante esa etapa, los

alumnos se levantan de sus lugares sin importar que el profesor estuviera

en el salón. Generalmente los alumnos de adelante tenían un

comportamiento más tranquilo. Cuando el profesor se detenía con algún

alumno, los demás se sentían en confianza y platicaban en un tono más

alto (figuras 54-58).

Figura 53

Figura 54

Figura 55

Figura 56

- 156 -

- 157 -

Los alumnos tenían confianza de llamar al profesor para que éste se

dirigiera hacia sus lugares a resolver sus dudas. Se observó que el profesor

intentó generar este ambiente.

Figura 57

Figura 58

E5-GB-GP

Ah: Te acercas a preguntarle y te lo explica, sino lo entiendes te lo

explica con otras palabras, el caso es que vea que tú ya lo entendiste.

E4-GB-I

Jh: Él trata de ayudarte, no te hace de menos, la forma de que te trata

es buena.

E7-GB-P

Entrevistador: ¿Cuáles considera que son sus fortalezas como

docente?

PB: Creo que mi principal fortaleza es el entusiasmo, o sea a mí me

apasiona ver a los muchachos que estén aprendiendo, o sea que sé

que les gusta, que esto que estoy enseñando les gusta y a mí me

agrada facilitarles que ellos puedan avanzar, que ellos puedan

aprender y eventualmente seguir adelante, ¿no? Creo que eso es lo

que a mí me anima a que disfrute mucho cálculo, porque hay

profesores que me dicen oye porqué no dejas ese curso, pásate a otro

curso, pero no sé, como que yo siento que me gusta mucho, cada

curso trato de buscar algo que me falló o algo que pude mejorar y digo

no pues ahora lo quiero hacer así, quiero cambiar este ejemplo con

este porque creo que así lo van a entender mejor o sea trato de, me

gusta, me gusta este que el muchacho aprenda y creo que esa es mi

fortaleza como profesor, porque no me desanima el hecho de que

tenga que enseñar el mismo curso, cambio a veces de libro, me gusta

- 158 -

- 159 -

aprender de otros profesores que están dando la clase, a veces me

comentan oye hice esto y lo trato de experimentar y pues yo lo

considero una fortaleza, que me apasiona esto de que el muchacho

aprenda a través de algo que ya aprendí a través de los años, o sea

tomar otra materia y empezar a darla también me gustaría, pero siento

que mi aportación sería menor, aunque ahorita me está pasando con

los análisis, porque análisis los enseñé, luego hace mucho tiempo que

ya no me los dieron y últimamente me los están volviendo a dar, pero

me pasa lo mismo, con que luego me apasiono con que ellos aprendan

lo mejor posible y que como ya te había comentado, me gusta no hacer

lo mismo siempre, no sé ir actualizando, ir mejorando, cambiando,

probando cosas, básicamente esa creo que es la fortaleza más

grande, porque de estudios de docencia tengo hecho algunas cosas,

yo empecé a estudiar la especialización en docencia, estudié algunos

cursos pero por cuestiones laborales estaban muy complicados mis

horarios, no pude terminarla, pero si tengo bastante de la teoría esta,

bueno de lo que se usaba en aquel entonces que la empecé a

estudiar, pero yo considero que más que eso es el entusiasmo y las

ganas que tengo por esta profesión.

Los alumnos no se mostraron presionados o intimidados de que el profesor

los fuera a pasar a la pizarra o les pidiera la respuesta de un ejercicio

inmediatamente.

- 160 -

E3-GB-I

GBhB: Como que el maestro hace que el alumno participe en su clase, o

sea él motiva al alumno a participar, o sea no solo hace explica y ya

estuvo, o sea motiva al alumno a que participe en clase.

Los alumnos expresaron en las entrevistas cómo consideraban su

comportamiento en la clase.

E2-GB-I

CBhB: Mi comportamiento en la clase de cálculo a veces es de apatía,

porque, porque a veces ves un tema y como que no le ves importancia

y luego me doy cuenta que no es así, es cuando estoy medio mal,

también hay veces que pongo atención, o sea si estoy platicando con

una migo discutiendo algún tema por ejemplo que lo estoy haciendo

adelante con F BhB creo que lo has visto, siempre estamos discutiendo

algún tema, o sabes que ayúdame con esto. Hay quienes nomás están

pajareando que no les importa la clase, hay personas que pone un

problema el maestro y están haciendo otro.

E6-GB-GP

GBhB: Yo por ejemplo, yo en las clases de cálculo sí trato de atender

pues por lo mismo que no vi cálculo, pero si por ejemplo sí tengo un

compañero que se sienta a mi lado que él ya vio cálculo y entonces él

me empieza a hablar y todo y me distrae y yo le hago caso a él y

después pierdo la atención con el maestro y pues ya perdí la clase

porque ya, porque ya no vi lo primero, entonces pierdo la intención de

la clase.

E5-GB-GP

Yh: Pues yo soy, trato de participar, aclarar mis dudas, acercarme al

maestro y sabe que maestro tengo esto, si estoy mal que me corrija,

mi comportamiento o sea yo siempre participo mucho porque no sé,

me gusta participar, y porque igual quiero aprender, entonces para mí

es una forma de aprender, es como retroalimentación.

4.3.2.2 Características y comportamientos de los alumnos desde la

perspectiva del profesor

En la entrevista el profesor comentó lo siguiente con respecto a los alumnos:

E7-GB-P

Entrevistador: ¿Cómo describiría a su grupo?

PB: Pues me parece un grupo trabajador, responsable, quizá le falta un poquito

de participación, pero sí estaba trabajando y han estado cumpliendo, en

términos generales me parece un buen grupo, se puede trabajar con él, quizá un

poquito más de dinamismo e iniciativa de participar o este, tanto a nivel de

equipo como personal, quizá nada más eso como que un poquito pasivo.

- 161 -

Entrevistador: ¿Este grupo que le tocó, modificó en algo su forma de enseñar?

PB: Sí, sí, sí, porque como yo veía que no estaban participando igual que en el

otro salón que tengo que es la misma materia, el otro salón es muchísimo más

participativo, entonces trataba yo de buscar por ejemplo hacía algunas hojitas,

les decía esto es lo que van a hacer, que lo lean, que lean las instrucciones y

que las hagan, ¿no? Sin que yo tenga que decir nada y eso me sirvió porque yo

veía que a veces no entendían, aunque ahí estaba la instrucción no sabían qué

hacer, me tenían que preguntar, bueno maestro que voy a hacer acá, entonces

ya pude saber que cosas no estaban entendiendo y lo hice en varias cositas,

hice algunas actividades donde yo no daba, no decía nada, solo aquí está la

hoja resuelvan esto y saquen sus conclusiones, fue una de las cosas que

experimenté porque noté que les falta, como grupo les falta, hay algunos que sí

son muy activos pero como grupo les falta un poquito de participación y eran

actividades que en el otro grupo no las hice, no se me hizo necesario hacerlas

porque el grupo de por sí ya participaba más, básicamente es eso porque hasta

las tareas eran las mismas, no hubo cambio específico para el grupo, o sea ese

grupo si te presta mucha atención pero si le falta un poquito cuando le pones el

ejercicio de que, de la iniciativa, de que bueno yo quiero hacerlo sin que me

digas nada, chécame si esto ya está bien, yo pasaba a la silla y veía que no ha

hecho nada pero no me pregunta nada, y le decía qué hiciste acá, en cambio el

otro grupo no, había gente que decía yo lo hago en el pizarrón, yo lo hago a ver

si está bien y nada más por ese aspecto fue que hice algunas cositas diferentes

que no hice en el otro grupo por ejemplo.

- 162 -

Lo último que comenta el profesor, fue una variante de las etapas de la clase. El

profesor repartía unas hojas a los alumnos en las que estaba impresa alguna

actividad que tenían que realizar para introducir alguna idea. Proporcionaba un

tiempo para que la resolvieran y luego realizaba una retroalimentación pidiendo la

participación de los alumnos. Con lo que menciona, se observa que su intención

fue que los alumnos fueran un poco más participativos. El extracto 43 muestra un

ejemplo de esta situación.


PB: Retrocedemos al concepto de derivada, pero vamos a cambiar de enfoque.


CONCEPTO FÍSICO DE LA DERIVADA

PB: Físicamente la derivada es la herramienta que utilizamos para medir el

cambio de cantidades, esa es la idea, medir el cambio. / ¿Porqué me interesa

medir el cambio? Pues porque vivimos inmersos en el cambio, ¿no? Todo

cambia, yo la semana pasada quise ir al cine a ver una película que se llamaba

“buscando pareja”, y ya no estaba, ya había cambiado la cartelera y a veces

vas a hacer un trámite y ya cambió el horario, cerraban a las 8 y no cerraban a

las 7. Tenemos que ajustarnos a los cambios / Entonces todo cambia, la

temperatura, el horario, hace menos frío, la semana pasada había más frío / De

hecho cambiamos nosotros, no somos las mismas personas que éramos hace 3

años.

(...)

- 163 -

PB: Por ejemplo, vas a pagar tu inscripción, el año pasado eran $ 500 y ahora

son $ 550. ¿Cómo mides el cambio allá? / Sería una resta, es una manera

intuitiva de medir el cambio, valor final menos valor inicial, de alguna manera

me mide el cambio, especialmente cuando voy a hacer comparaciones. Por

ejemplo si yo digo que en mi negocio gané $ 5000, luego viene otra persona y

me dice fíjate que en mi negocio ya gané $ 20 000, pero esos cinco mil y veinte

mil no son comparables, no sé en cuanto tiempo él ganó sus veinte mil pesos. A

lo mejor yo esos cinco mil los gané en 3 días y él los veinte mil los ganó en 10

años, entonces no puedo así nada más.

(...)

PB: Necesitamos inventar un nuevo concepto que se llama la razón de cambio.

Ese va a ser el objetivo de este ejercicio. Vamos a hacer una actividad en la

cual vamos a ver que la medida para comparar, tenemos que hacer un pequeño

ajuste, y después de ahí sacamos el problema que tenía Newton y cómo lo

resuelve él, queriendo medir el cambio de un concepto físico que es el

desplazamiento, cómo cambia el desplazamiento cuando cambia el tiempo, él

llega a un límite que vamos a ver que coincide con el límite de Leibniz, es decir,

si le llamáramos al límite que acabamos de ver la derivada de Leibniz con este

proceso del estudio del cambio vamos a llegar a otro límite que le podemos

llamar la derivada de Newton y vamos a ver que la derivada de Leibniz y la

derivada de Newton es la misma. Pero primero vamos a trabajar un poquito el

concepto de medida de cambio.

PB reparte unos papelitos a los estudiantes (figura 59). Les dice que no es examen, que

lo pueden hacer entre dos.

- 164 -

Figura 59

El contenido de los papelitos es el siguiente:

El cambio es algo que está presente en nuestra vida cotidiana: la temperatura

del exterior, la población de una ciudad, el precio de una acción, la velocidad de

una pelota de béisbol, son ejemplos de cantidades que están cambiando. La

siguiente actividad enfoca la cuestión de ¿cómo medimos el cambio?, para lo

cual se necesita el concepto de “rapidez de cambio”.

Los altos niveles del contaminante industrial denominado bifenilpoliclorado

(PCB) en el ambiente afectan las aves. La siguiente tabla muestra un registro

obtenido por un grupo de científicos, de cómo la concentración de PCB en los

huevecillos de ciertas aves afecta el grosor de los mismos.

Concentración

en PCB (ppm) 87 147 204 289 356 452

Grosor (mm) 0.44 0.39 0.28 0.23 0.22 0.14

a) ¿Cuál es el cambio del grosor de los cascarones, en las primeras tres

observaciones?

- 165 -

- 166 -

b) ¿Cuál es el cambio del grosor de la tercera a la última observación?

Los científicos se interesan en conocer cuándo el grosor varía más

rápidamente, ¿durante las primeras dos observaciones, o de la tercera

a la última?

c) Nos dicen las respuestas obtenidas en a) y b), ¿cuándo estuvo

variando más rápido el grosor de los huevecillos?

Para contestar a la pregunta qué hacen los científicos, se requiere el

concepto de “rapidez de cambio”, el cual lo único que hace es comparar

por cociente los cambios ocurridos en el grosor y la concentración en este

caso, o sea:

Rapidez de cambio (promedio) = Cambio de grosor/cambio de nivel de

concentración PCB.

d) Calcula la “rapidez de cambio” entre la primera y la tercera

observación.

e) Calcula la “rapidez de cambio” entre la tercera y la última observación.

f) ¿Cuánto estuvo variando más rápido el grosor de los huevecillos? ■

El profesor comentó durante la entrevista, al preguntarle de las debilidades que

consideraba tenía como docente, un aspecto relacionado con los alumnos.

Mencionó cómo observa que han cambiando a lo largo de los años que lleva

dando clase.

E7-GB-P

Entrevistador: ¿Cuáles considera que son sus debilidades como docente?

PB: Pues son muchas, son muchas debilidades, creo que la primera es pues

que ya tengo muchos años y observo ahora la gente es diferente, la gente

ahora como que ya se, ya no quiere explicaciones, como que quiere no sé,

técnicas más dinámicas o no sé cómo decirle, o sea como que ya le cueste a la

gente ahora más trabajo sentarse a escuchar una explicación, como que ahora

la juventud no sé si por las maquinitas o la televisión que ya todo es interactivo

quizá ya vengan predispuestos a esa situación, ¿no? Y antes no, de hecho

hasta la biblioteca era muy difícil conseguir información, ahora hay información

por todos lados y pienso que a lo mejor me estoy quedando atrás en ese

aspecto, como que tengo que poner un poco más de cuidado en eso, hay que

buscar formas de que el alumno investigue, el alumno lea y la manera de,

porque eso lo puede hacer, lo que no sé es cómo recuperar, cómo sé si leyó,

cómo validar si entendió lo que yo quería que entienda siendo que no se lo

expliqué, que lo mandé a investigar, el diseño de las tareas que me van a medir

ese aprendizaje desde otro punto de vista, creo que ahí estoy, ahí estoy, me

estoy quedando atrás, ya después de 20 años el desenvolvimiento de los

muchachos pues es diferente, sí los noto diferentes, esa es una primera

debilidad.

- 167 -

CAPÍTULO 5

EL PAPEL DEL CONTENIDO MATEMÁTICO EN EL AULA

En este capítulo se persigue caracterizar el contenido matemático en ambos

grupos. Se busca proporcionar las características de las explicaciones,

significados que le atribuyen a los objetos matemáticos, ejemplos o validaciones

utilizadas por los profesores.

5.1 Características del contenido matemático en el grupo A

5.1.1 El papel de la demostración en matemáticas

El profesor utilizó la demostración como un recurso argumentativo para justificar

enunciados. No les pedía a los alumnos explícitamente que realizaran

demostraciones, sino que aparecían como argumentaciones lógicas deductivas en

- 168 -

- 169 -

el discurso cotidiano para justificar ciertas propiedades. Aunque en cierto

momento el profesor habló de lo que era una demostración y la utilidad que tenía.

En los siguientes extractos se puede observar cómo aparece una demostración en

el discurso del profesor y el significado que le atribuye.


El profesor escribe en la pizarra lo siguiente: 6. Si n es un entero positivo, entonces

( )[ ] ( )n

cxn

cxxflimxflim⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

→→ (Ver figura 60).

PA: ¿Por qué es cierta esa igualdad? Vamos a justificarla con las propiedades

anteriores. ¿Cuál de las propiedades anteriores puede ayudarnos a esa

igualdad?

Am: El producto.

Figura 60

- 170 -

PA: El producto de funciones, ¿por qué? / ¿Qué es la potencia n-ésima? Es

multiplicar consigo misma n veces.


¿Por qué es válida la propiedad anterior?

Por la propiedad del producto, ya que

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xfxfxfxflimxflimcx

n

cxL⋅⋅=

→→

y esto es igual por la propiedad 4 a:

( ) ( ) ( ) ( )xflimxflimxflimxflimcxcxcxcx →→→→

⋅⋅ L

( )n

cxxflim⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

→

(Ver figura 61)

n veces

n veces

Figura 61

- 171 -

PA: ¿Y qué es lo que hicimos en esta última parte? Estamos diciendo porque es

válida esta igualdad; o sea estamos justificando porque esto es igual a esto, lo

que más adelante van a llamarle la prueba de porqué eso es cierto.

Eso parecerá algo muy sencillo, pero yo si les pediría que cuando terminen de

estudiar acá y el que vaya a dar clases lo tengas presente, porque muchos

cuando dan clases, se centran en las pruebas y creen que estar dando pruebas

y evaluando pruebas, es la forma de aprender matemáticas, porque piensan

que las pruebas son valiosas por sí mismas, sino porque explican algo,

justifican algo y esa es la importancia de las pruebas. Esto, no le pusimos aquí

prueba, demostración, pero está justificando porqué esto es cierto, entonces es

una prueba, pero lo vamos dejar de esta forma. ■


Al justificar si ( )xg es continua en c y ( )xf es continua en ( )cg , entonces

( )( )xgf o es continua en c .

PA: ¿Qué es lo que quisimos hacer aquí? Quisimos justificar o explicar porque

esto era cierto. Eso en realidad es hacer una demostración, es explicar porqué

algo es válido, pero aquí nada más estamos poniendo las ideas de porque eso

es cierto, para que nosotros podamos decir que es una demostración, tenemos

que escribir esas ideas en forma concatenada y lógicamente, entonces eso nos

faltaría: la redacción de la prueba y si quisiéramos redactar la prueba, ¿cómo

empezaríamos? ¿Que creen? / Primero aunque parezca trivial es identificar

- 172 -

claramente que es lo que tenemos que demostrar y también tenemos que

identificar cuál es la información que nos dan.

PA escribe en el pizarrón:

Hipótesis (Información inicial, suposiciones)

Tesis (Conclusión, lo que se quiere demostrar)

PA hace una analogía con los diagramas de árbol (de entrada y salida) que los alumnos

ven en computación.

Datos de entrada – Proceso – Salida

Dice que los datos de entrada sería la hipótesis y la salida la tesis. ■

5.1.2 Forma de presentar los contenidos

Se observó que el profesor trató de presentar los contenidos de manera

inductiva, partiendo de ideas intuitivas hasta llegar a las definiciones de los

conceptos. En este camino de las ideas intuitivas hasta las definiciones,

utilizó las estrategias de enseñanzas mencionadas en el capítulo anterior.

Además trató con mucha reserva la formalidad de los conceptos.

Ilustraremos en un ejemplo lo que se que acaba de mencionar. Son

extractos en los que se muestra cómo hizo aparecer la idea de límite entre

los estudiantes.


PA escribe lo siguiente en la pizarra:

Límites

- 173 -

Consideremos la siguiente función ( ) xxxg += 2 y tomemos valores de x cada

vez más cercanos a 2, como se muestra en la siguiente tabla.

PA: Vamos a llenar la siguiente tabla (Figura 62).

x ( )xf

1 2

1.5 3.75

1.7 4.59

1.9

1.99

1.999

PA: ¿Pueden hallar los valores de f ?

PA: Para el 1 ¿cuál es el valor de f ?

Am: 2 (PA lo escribe)

PA: Para el 1.5, al 1.7, ¿qué le corresponde? Antes de seguir vamos a fijarnos,

estamos tomando valores cada vez más cercanos al 2, pero no hemos tomado

el 2, lo que queremos ver es qué pasa cuando 2→x no solo con valores

menores sino también con valores mayores también (y hace una tabla análoga a

la anterior pero con 2.1, 2.2, 2.3, 2.4).


¿Qué comportamiento notamos en la función ( )xf cuando x se aproxima a 2?

Figura 62

- 174 -

PA: Y esta es la pregunta principal de límites / ¿Cuál es la respuesta? / ¿Qué

notamos? / Fíjense que estamos diciendo aproximamos a 2, no necesariamente

con valores menores, es por ambos lados.


Los valores de ( )xf se aproximan a 6.

PA: Esto generalmente lo vamos a escribir de esta forma.

PA escribe en la pizarra.

xx +2 tiende a 6 cuando x tiende a 2 y lo escribimos como 62

2=+

→)xx(lim

x.

PA: Lo importante es entender qué nos indica un tipo de comportamiento.


En general daremos la siguiente definición de límites.

PA: Los que han llevado cálculo ¿alguna vez vieron la definición de límite?

¿Qué tipo de definición era si le pueden dar un calificativo, espantosa, fea, rara,

confusa o cómo era? ¿Alguien recuerda?

Am: Era con muchos símbolos.

PA: ¿Qué tipo de símbolos aparecían?

Am: épsilon, delta.

PA: ¿Y cómo era para manejar esta definición? ¿O para entender esta

definición? / ¿Entendieron esa definición desde el principio?

(...)

PA: A lo mejor habían entendido una parte y pues eso es un problema cuando

se está aprendiendo cálculo porque límite es uno de los primeros conceptos

que se tienen que estudiar, pero la definición es muy complicada, entonces eso

- 175 -

daba problemas porque si desde un principio no estaba muy clara, ¿cómo se

podía avanzar? Entonces hay una definición épsilon-delta que de hecho es la

definición de límite pero nosotros la vamos a ver más descriptiva.

Entonces PA escribe en la pizarra:

Definición provisional. Escribimos ( ) Lxflimcx

=→

y decimos “El límite de ( )xf

cuando x tiende a c ” si podemos acercar los valores de ( )xf a L tanto como

sea necesario tomando x suficientemente cerca de c , pero no igual a c .

PA: Esta definición es un tanto descriptiva. ■


En esta sesión PA presenta la definición formal de límite (figuras 63-68).

Figura 63

Figura 64

Figura 65

- 176 -

- 177 -

■

Figura 66

Figura 67

Figura 68

- 178 -


PA les dice a los alumnos que si queremos mostrar que se cumple esto (la def. formal de

límite), debemos dar un valor de 0>ε , debemos encontrar el correspondiente valor de

0>δ que satisfaga si δ<−< cx0 , entonces ( ) ε<− Lxf . PA muestra el

siguiente ejemplo:

Use la definición de límite para demostrar que se cumple 2054

=→

xlimx

.

PA: ¿Cómo debemos empezar?

Figura 69

Figura 70

- 179 -

Y escribe en la pizarra:

Dado 0>ε . Necesitamos encontrar 0>δ que cumpla

PA: ¿Qué debe cumplir? / Si δ<−< 40 x , entonces ε<− 205x .

PA dicta lo siguiente a los alumnos:

No olvidemos que delta depende de épsilon.

PA: Veamos con cuidado la desigualdad a la que queremos llegar.

Entonces PA manipula ε<− 205x , y lo deja de la forma 5

4 ε<−x .

PA: ¿Qué queremos? / Queremos encontrar delta en términos de épsilon.


Si δ<−< 40 x , entonces 5

4 ε<−x .

PA: Entonces ¿cuál va a ser el valor de delta que si se cumple δ<−< 40 x

se cumple5

4 ε<−x ?

PA: Esa. Y escribe:

5εδ = , va a ser la adecuada.

PA recapitula lo que hicieron para encontrar el valor de delta.

Luego pone otro ejemplo =−→

)x(limx

573

PA: ¿Pueden hacerlo, ¿cual sería la delta adecuada? ■

- 180 -

E7-GA-P

Entrevistador: De los contenidos de cálculo 1, ¿en qué temas considera que se

deba poner atención y cuál serían las razones?

PA: Por lo general los contenidos yo creo que como están ahorita pueden ser

adecuados y más que los contenidos yo creo que los enfoques son los que hay

que considerar principalmente, porque por mencionar un tema del curso: límites

por ejemplo, pues límites se puede ver desde un primer curso de cálculo como

estamos haciendo ahorita hasta cursos muy avanzados de matemáticas y ¿cuál

es la diferencia aunque sea el mismo tema? La diferencia es el enfoque y la

profundidad y la madurez que se espera del estudiante, y yo creo que como

están planteados los temarios, hay algunas partes donde dice el alumno

manejará formalmente y rigurosamente y redactará claramente ciertas

propiedades de límites, ahí yo siento que está mal adecuados porque, está mal

situado porque en un primer curso de cálculo sí se puede cubrir el tema de

límites pero no de la forma como está expresado en el temario, entonces más

que contenidos yo diría que habría que poner atención a las formas y a las, a

las formas como se cubren cada tema.

Los ejemplos que muestra el profesor son aplicación directa de los

conceptos o propiedades que se acaban de enunciar.

Los ejercicios que resuelven los alumnos son similares a los ejemplos que

muestra el profesor.

- 181 -

El tipo de ejercicios son de tipo algebraico, en el que tienen que realizar

cálculos o aplicar algoritmos.

El profesor involucra el dominio gráfico en algunos ejercicios.

Extracto 49: GA-3009-H1.

PA: Realicen el siguiente ejercicio.


Grafique una función que cumpla las siguientes propiedades.

a) ( ) 10 =f

b) ( ) 21 =f

c) ( ) +∞=−→

xflimx 1

d) ( ) 01

=+→

xflimx

e) ( ) −∞=−→

xflimx 2

f) ( ) +∞=+→

xflimx 2

g) ( ) 21 =f

h) ( ) 3=+∞→

xflimx

■

Extracto 50: GA-2710-H2.

PA: Realicen el siguiente ejercicio.


- 182 -

A partir de la gráfica de ( )xf obtenga la de ( )xf ' . (Figura 70).

■

El profesor al parecer tuvo la intención de articular los registros de

representación gráfico, numérico, analítico y verbal, al momento de

presentar los contenidos matemáticos.


PA les dicta a los alumnos:

Muchos conceptos en cálculo y de otras áreas de las matemáticas se pueden

representar o estudiar en 4 formas que pueden complementarse entre ellas:

Gráficamente, por medio de tablas o numéricamente, analíticamente y

verbalmente.

PA les pregunta para cada una de esas 4 categorías que mencionó, que identifiquen

dónde es que las han utilizado en el curso. Da un tiempo y luego pide las respuestas a

los alumnos.

Figura 70

- 183 -

PA: ¿Gráficamente? / Graficando cosas, en límites, en continuidad. En las

gráficas hay algo que puede quedar claro, pero no nos quedamos solo ahí.

PA: ¿Por medio de tablas o numéricamente? / A veces tomamos un valor y

encontramos sus imágenes. Las usamos en límites, cuando se grafican

funciones, a mí me parece que es muy útil.

PA: ¿Analíticamente? / Por propiedades o algebraicamente.

PA: ¿Verbalmente? / Descripción o redacción de conceptos y propiedades.

PA: Ustedes que están estudiando pueden usar estos 4 aspectos para un

tema, y no porque se les vaya a preguntar así en el examen, les comento

esto porque a veces vemos algo gráficamente y entendemos una parte, lo

vemos por medio de tablas y podemos entender otra parte del concepto y ya

se complementó, si además vamos a la parte analítica podemos entender

otra y después si tratamos de describir lo que sucedió, algo más va a quedar

claro. Esos aspectos se complementan, tanto al momento de estar

estudiando como al momento de estar explicando y de hecho yo en clase he

tratado de cubrir esos 4 aspectos. ■

E7-GA-P

Entrevistador: ¿Considera que en este curso utilizó alguna técnica de

enseñanza?

PA: Pues alguna técnica dentro de lo que ahora se está considerando en

matemáticas, pues quizás yo considero que sí. Hay algunos estudios que han

propuesto que ciertos términos en matemáticas se cubran en distintas formas

¿no? Y de hecho en clase explícitamente mencioné el aspecto algebraico, la

parte por medio de tablas, la parte verbal y la parte formal, en cálculo esto se

presta muy bien para la mayoría de los conceptos que se estudian y esto

pues es una, no sé si sea quizás una técnica o una corriente que hay de

enseñanza ahorita en cálculo y por otro lado también pues no sé si sea

completamente constructivismo pero pues he tratado de que los conceptos,

ellos vayan, surgiendo de ellos, he tratado de evitar al máximo el que llegar y

decirles esto es el concepto se define de esta forma y estas son sus

propiedades, he querido que las observaciones y las cosas importantes

surjan de ellos, pero pues habría que ver que resultados hay.

5.2 Características del contenido matemático en el grupo B

5.2.1 El papel de la demostración en matemáticas

Al inicio del curso el profesor les mencionó a los alumnos que en cálculo y en

todas sus materias van a hacer demostraciones, y que el enfoque de este curso

será un poco más formal.

Veamos los siguientes extractos:


PB inicia la sesión con un recordatorio de la clase anterior.

PB: Tenemos que familiarizarnos con las funciones y familiarizarnos con los

números, porque ahí trabajan las funciones, por eso nuestra primera unidad se

llama así.

- 184 -

PB escribe en la pizarra: Unidad I. Los números.

PB: Los números todos los hemos trabajado desde primaria, como que no es

raro que empecemos con esta unidad, nada más quizá el enfoque va a ser un

poco diferente, aquí vamos a poner un poco más de notación, de formalismo del

manejo de algunas propiedades, la idea de número que vamos a manejar es de

un ente matemático abstracto, pero ya sabemos qué son los números / Vamos

a hacer algunas actividades.

PB les pide a los alumnos que discutan ¿que fue primero, el huevo o la gallina? Los

alumnos se ríen.

Ah: Del huevo porque la evolución dice que todos los seres vivos venimos de

una sola célula, entonces de allá puede venir una gallina.

PB: ¿Pero tú como lo argumentas?

Otro alumno proporciona una respuesta parecida a la del primer alumno.

PB: La respuesta que dieron / decían / para argumentar a evolución, la

evolución, esta sería una respuesta partiendo de la evolución.

PB realiza un dibujo en la pizarra (figura 71).

Huevo Gallina

Figura 71

……………

- 185 -

- 186 -

PB: Como este es un proceso que no puedo llevar hasta ∞ (refiriéndose al

dibujo de la figura 71) tengo que partir de algo, tengo que tomar un punto de

partida que puede ser mi teoría de la evolución o puede ser la teología / ¿Esto

porqué lo mencionamos? Porque en matemáticas, al menos el enfoque que

vamos a ver en este curso lleva mucha demostración, tenemos que hacer

demostraciones y en una demostración cuando defines un concepto tiene que

estar apoyada en otra que sea verdadera, pero esta a su vez también, entonces

tendríamos un ciclo, no puedo probarlo todo, necesitamos un punto de partida,

bueno yo voy a empezar con esto que no voy a probar como punto de partida. A

partir de aquí todo se puede deducir a partir de una forma lógica y de

razonamiento progresivo / ¿Cuál es nuestro punto de partida aquí en cálculo?

Pues los números, suponemos que conocemos los números, estos son los

bloques con los que voy a hacer el edificio. No vamos a definir qué es un

número. ■


PB: Ahora reflexionemos un poco que 2 es irracional. Vamos a ver la prueba

clásica de que 2 es irracional.

PB menciona que el número sí existe en la recta numérica, pero que no es un número

racional.

PB: Un número racional es cuando lo puedo poner en ese formato (refiriéndose

a los números de la forma qp siendo p , q enteros y 0≠q ) / Un número

irracional no se puede poner en ese formato / Lo novedoso de esta prueba es

- 187 -

que manejamos un método que no se ve en la prepa, el método por

contradicción.


Método por contradicción.

Paso 1: Suponer que lo que se desea demostrar es falso.

Paso 2: Hallar una contradicción.

Paso 3. Concluir el resultado deseado.

PB: Funciona de la siguiente manera / Suponer que aquello que deseas

demostrar no es cierto y con eso comenzamos a encadenar razonamientos y el

siguiente paso es utilizando propiedades verdaderas llegar a una contradicción.

Si logras llegar a la contradicción ya terminaste.

PB comenta que en el paso 2 depende mucho de la chispa del estudiante.

PB: Noten ustedes que el resultado no se obtiene como una cadena de

razonamientos, ese es otro método el que vieron en la prepa.

PB dice que ese método que vieron en la prepa consistía en una serie de pasos en el que

el último era el que se quería demostrar.

PB: Aquí el resultado se desprende del hecho de que llegaste a encontrar una

contradicción, así funciona el método / De momento aquí en cálculo vamos a

considerar el método como una receta porque en álgebra superior ahí se ve ese

método, cuál es el argumento lógico que hace que esto en verdad sea un

método de demostración / Sin embargo es muy importante, en todas las

materias van a estar haciendo demostraciones.

PB en la sesión siguiente realiza la prueba por contradicción de que 2 es

irracional. ■

- 188 -

El profesor realizó la demostración de que 2 es irracional en la tercera sesión, y

posteriormente les pidió a los alumnos a manera de ejercicio que realizaran algunas

demostraciones en el tema de orden de los números reales (extracto 54-56).


PB pone el siguiente ejercicio:

Ejercicio:

1. Probar que 1>0. Use el método de contradicción e interprete la hipótesis de

contradicción usando el postulado 2.

2. Use el postulado 1 para el producto y encuentre una contradicción.

3. Concluya el resultado. ■


PB coloca un acetato con el siguiente contenido:

Reglas para manejar desigualdades

1. Si ba > y cb > entonces ca >

2. Si ba > y 0>c entonces bcac >

3. Si ba > y 0<c entonces bcac <

PB: A manera de recordación que escojan una propiedad y la demuestren. ■


PB pone el siguiente ejercicio:

Ejercicio: Probar que 221, ≥+∈∀ + aRa .

- 189 -

Hint:

1. Use el método de “análisis previo”.

2. Maneje algebraicamente hasta obtener algo cierto.

3. Escriba la prueba final. ■

A partir de ahí el profesor no pidió a los alumnos hacer demostraciones como

ejercicios, pero sí hizo uso de ella para demostrar algunas propiedades de límites,

por ejemplo.

Es decir, a pesar de que profesor les advierte a los alumnos que van a estar

haciendo demostraciones, el uso de ésta en la clase de cálculo no tuvo un papel

central, más bien el profesor les pedía realizar ejercicios “operativos”, como él los

llamaba.


PB: Ahora es álgebra, ejercicios operativos / Hay que practicarlo, es

operatividad, es agarrar la soltura para hacer esas cosas / La definición me

sirve para ilustrar el concepto, pero operativamente no es práctica, excepto en

casos sencillos. ■

5.2.2 Forma de presentar los contenidos

Se observó que el profesor también trató de presentar los contenidos de

manera inductiva, partiendo de ideas intuitivas hasta llegar a las

definiciones de los conceptos.

- 190 -


PB: Vamos a entenderlo primero intuitivamente para que después lo definamos

formalmente / Primero entendemos el concepto y luego damos su definición

rigurosa / ■

Ilustraremos en un ejemplo lo que se acaba de mencionar. De manera similar al

profesor A, se mostrará cómo hizo aparecer la idea de límite entre los estudiantes.


PB: La derivada e integral son límites, por eso es importante comprender

profundamente ese concepto. Se va a estudiar (y escribe en la pizarra):

CONCEPTO

PB: Tal vez al final del curso se vea la definición formal. Esa parte es árida,

porque hay que introducirlo con símbolos / Todo lo que se va a hacer se puede

trabajar con la idea intuitiva de límite. La definición se utiliza para demostrar

esas propiedades. No se va a definir la palabra límite, sino un comportamiento /

PB pide ejemplos de límite en el lenguaje habitual.

(…)

PB: Me estás llevando al límite de mi paciencia / Entiendo que se está cercando

al final.

PB coloca el siguiente acetato:

LÍMITES

Lenguaje cotidiano: “Me estás llevando al límite de mi paciencia”

Geométricamente, tablas, cálculos

FORMALIZARLO con δε −

- 191 -

¿Cuál es el significado de: una función que tiende hacia un límite?

PB comenta que el significado de que una función tienda hacia un límite va a ser con

ideas intuitivas y con un enfoque geométrico.

PB: Vamos a cambiar la forma en que observamos una gráfica / Pensamos la

curva como un conjunto de puntos estáticos en el plano / Ahora vamos a pensar

a la curva como la trayectoria de un objeto que se mueve, un punto que se

mueva para dibujar la gráfica.

PB realiza un dibujo (figura 72)

PB: Noten que en ese movimiento se genera un movimiento en el dominio

(Indica ).

PB escribe:

( )xf ?

PB: Así vamos a tratar de leer las gráficas. Eso queremos distinguir en el

comportamiento. Para poder hablar del concepto de límite entonces nos vamos

a fijar en qué sucede con la función cuando estudiamos los puntos cercanos o

vecinos de un punto que nos interesa.

PB muestra el siguiente acetato:

PB: Se trata de describir el comportamiento de una función, en las vecindades

de un punto.

Figura 72

- 192 -

PB: Estudiar que pasa con la función cuando tomo puntos cercanos del punto a

/ De ahí surge la idea de límite / Podrían decirme ¿y por qué no evalúas el

punto a y ves que está sucediendo en el punto a? / Si te interesa el punto a,

evalúas y ve que pasa. Lo que pasa es que muchas veces ese punto no se

puede avaluar, por eso precisamente quiero estudiar qué pasa cerca, porque

ese punto puede que no esté en el dominio. Nunca voy a evaluar en el punto a,

el chiste del límite es evaluar en las vecindades del punto.

PB plantea la función x

senxy = y como punto de interés del comportamiento el cero.

En clases anteriores los alumnos habían conocido la gráfica de la función. PB nota que

el cero nos se puede evaluar, dice que queda indeterminado, pero que cualquier número

diferente sí se puede evaluar y se va viendo qué pasa.

PB: Ese comportamiento vamos a tratar de describir y ese va a hacer el

concepto de límite.

PB dice que puntos cercanos pueden ser a la derecha o a la izquierda. Les pide a los

alumnos que calculen valores de la función cerca del cero a la derecha y a la izquierda.

Proporciona un tiempo para ello y después realiza una tabla con valores que le van

proporcionando los alumnos (figura 74).

f

a Rango de f

?????

Figura 73

- 193 -

x ( )xf

-0.1

-0.01

-0.001

0.1

0.01

0.001

PB: ¿Qué es lo que está pasando? / Esta cantidad (refiriéndose a ( )xf ) se va

acercando a 1 / ¿Creen que llegue al valor de 1?

Algunos alumnos responden que sí y otros que no.

PB: En la calculadora sí, lo redondea, esta función tiende a 1 pero nunca llega a

ser 1, como que en el cero tendría que ser 1, pero no lo puedo evaluar / ¿Qué

pasaría si fuera 1?

Ah: No habría límite.

(…)

PB escribe:

xsenxx

senx

=

=1

PB: Esto quiere decir que las gráficas se intersectan, pero eso no es cierto.

PB coloca el siguiente acetato:

Figura 74

- 194 -

PB: Si lo vemos como algo que se está moviendo, la imagen de x está

tendiendo a 1 / Metiendo el cero a la maquinita ( )xf llegaría a 1, pero no

puedo meter el cero / f tiende al límite 1 cuando x tiende a cero, tanto como

yo quiera.

PB dice que esta forma es con tablas para ver el comportamiento y dice que hay

funciones que no tienen límite.

PB: Buen comportamiento es que tenga límite.

PB dice que otra manera de verlo es geométricamente. Coloca el acetato con la gráfica

xsenx

y va indicando el comportamiento cerca del cero.

PB: Este fenómeno ocupó la mente de muchos matemáticos durante siglos. La

idea de límite se formaliza con Cauchy, matemático francés en 1800 y esto

empezó con Newton en 1500.

PB menciona que ahora van a tratar de generalizar.

PB: Una función f ; un punto a , un límite L , para hacerlo en abstracto y

vamos a tratar de decir el mismo comportamiento.

PB coloca el siguiente acetato (figura 75).

0.9983

0.99983

0.9999993

1

( ) 1→xf

- 195 -

PB: Si L es el límite, quiero este intervalo (indicando el intervalo alrededor de

( )xf , figura 75), entonces tomo puntos cercanos a a (figura 76).

PB: Escogiendo bien la x puedes conseguir la cercanía que te interesa. Puedo

conseguir que la imagen me quede aquí (indicando el intervalo alrededor de

( )xf , figura 75), pero ¿cómo lo hago?/ Tengo que tomar la x cercana a a / Si

L es el límite vas a poder hacerlo, a lo mejor la vecindad es muy pequeña. Si lo

Figura 75

Figura 76

- 196 -

tomas dentro de estas x ’s (indicando el intervalo alrededor de a , figura 76),

llegan cerca de L , si lo tomas fuera quizás ya no / Hay que controlar la x a

cierta cercanía para que se obtenga / Bueno, vamos a hacer una definición con

esas ideas, qué significa ( ) Lxflimax

=→

, ¿cómo lo escribiríamos con palabras?

■


PB pide a los alumnos que digan con palabras la definición de límite que obtuvieron la

clase anterior. PB repite nuevamente las ideas que ya había comentado.

PB: Si existe límite, puedes encontrar ( )xf cercanos a L , tomando valores de

x convenientes. La cercanía que yo quiero debe ser una adecuada en x .

PB pide a los alumnos que escriban con sus propias palabras lo que ha mencionado de

la idea de límite. Un alumno participa y repite lo que ya había dicho PB. Entonces PB

escribe en la pizarra:

1. f se acerca a L arbitrariamente (tanto como se quiera).

2. Tomando a x suficientemente cercano de a .

3. Nos interesan puntos cercanos de a pero distinto de a .

4. La condición 1 se cumple al tomar valores cercanos al punto a en

ambos sentidos.

PB dice que estas son las 4 ideas principales que tienen que aparecer en la definición de

límite. Les pide que escriban una definición en un párrafo con estas 4 ideas. Luego PB

coloca el siguiente acetato (figura 77):

- 197 -

PB vuelve a realizar un discurso explicando cada una de las ideas de la definición y

dice que más adelante van a formalizar la idea de límite, que va a ser como traducir ese

párrafo pero a otro idioma, traducir a matemáticas formales, a símbolos formales y

menciona que con esta definición provisional van a hacer algunos ejercicios. ■


PB dice que con la definición provisional ya le dieron un significado a ( ) Lxflimax

=→

.

PB: Pero cuando hablan de cálculo riguroso para hacer las demostraciones

necesito definiciones formales / Vamos a hacer un ejercicio como de traducción

de un idioma a otro, en el que esa definición la van a escribir con notación

matemática hasta llegar a la definición formal.

Coloca el siguiente acetato (figura 78)

Figura 77

- 198 -

PB: La vecindad mide cercanía. Hay que medir con un radio tan cercano como

lo deseamos, que es lo bastante cerca, el término formal es la vecindad. Aquí le

vamos a llamar ε al radio de lo de aquí (indicando el intervalo alrededor de

( )xf , figura 78) y δ al de aquí (indicando el intervalo alrededor de a , figura 78)

/ Las cercanías las vamos a medir con un radio de una vecindad. Cada una de

estas ideas las vamos a ir transcribiendo, como si fuera del español al inglés.

PB dice que lo van a hacer en dos etapas (figura 79).

Figura 78

Figura 79

PB: Con esta traducción van a desaparecer las frases “tanto como se desee” y

l y hay que traducirla, cómo decimos eso con símbolos,

B: Esto lo vas a traducir como una ve gura 81).

“demasiado cercano”.

PB: Tomen la idea azu

usando la definición de vecindad y notación de conjuntos (figura 80).

P cindad (fi

l

Figura 80

Figura 81

- 199 -

Idea azu

- 200 -

PB: Yo puedo tomar la ε que yo quiera, solo que no sea negativa ni cero.

PB les pide que traduzcan la idea 2 (figura 82).

PB: Lo que queremos decir es que la x la tengo que tomar en ese seg

más abajo ni más arriba. Le llamo δ al radio (figura 83).

Figura 82

2

Figura 83

Idea

mento, ni

- 201 -

PB: Falta un detalle en la idea 2, “lo bastante cerca” / Eso ya no depende de

nosotros, depende de la gráfica (figura 84).

PB: No puedo poner dada δ , porque no es cualquier δ / No la damos nosotros,

depende de la función. La δ que va a aparecer acá depende de lo que haga la

gráfica. Las x deben de quedar dentro de la banda / La δ depende del ancho

de la banda y lo que haga la función, más bien es alguna δ .

PB escribe “para alguna 0>δ ” en la figura 83.

PB: Sin llegar a ser igual, ¿cómo se traduce la idea 3?

Ah: ax ≠ .

PB: Muy bien, pero como queremos trabajar con vecindades, (PB escribe la

traducción de la idea 3, ver figura 85).

Figura 84

Figura 85

PB: Es una vecindad agujerada.

PB dice que en la idea 4 (figura 86) no hay nada que escribir porque se está tomando la

vecindad.

4

PB les pide a los alumnos que escriban un párrafo con la definición inter

límite. PB luego coloca el siguiente acetato (figura 87):

Figura 86

- 202 -

Idea

media de

Figura 87

PB: Observen que hay más simbología, notación de conjuntos, pero todavía hay

palabras / Esta definición tiene la ventaja de que todavía es bastante gráfica. No

se aleja mucho de la definición intuitiva / Otra ventaja es que en cálculo 3 sirve

para generalizar en cálculo vectorial / Una desventaja desde el punto de vista

del rigor matemático es que tiene muchas palabras, porque las palabras pueden

ser ambiguas, entonces hay que ponerle símbolos matemáticos.

PB coloca el siguiente acetato (figura 88):

- 203 -

- 204 -

PB: Tú das la banda naranja, y se encuentra la banda verde. Lo que te da la

definición de límite es que siempre lo puedes hacer, encontrar δ , si L es el

límite / Haces más angosta la naranja, pero vuelves a proyectar y encuentras δ

(figuras 88, 89 y 90).

Figura 88

Figura 89

Banda naranja

Banda verde

-

PB: Es importante esa definición, pero luego van a dar la definición formal de

lógica matemática. ■


En esta clase PB va a traducir a un lenguaje con rigor la definición de límite. Para ello reparte a

los alumnos unas hojas en las que venían las instrucciones de cómo hacerlo a manera de actividad

y les pide que la resuelvan. Después de un tiempo PB fue haciendo la traducción de cada idea

(figuras 91, 92, 93).

Figura 90

1
205 -Figura 9

Figura 92

Figura 93

PB: Fíjense cómo queda la manera de escribir formalmente, ya no hay

palabras, todo es simbolismo formal, cuantificadores, implicaciones lógicas,

desigualdades, valor absoluto / pero esta simbología está traduciendo las ideas,

algunas ideas / Esta es la definición de Cauchy / Noten ustedes de la definición,

qué lejos está esto de la idea intuitiva, la idea intuitiva de las 4 ideas / Supongan

- 206 -

- 207 -

que la primera clase de límites les pongo esta definición, esto no te dice nada,

pero cuando comprendes, la idea ya es más fácil, cada elemento acá

(refiriéndose a la definición formal) tiene un significado / Algo importante de la

definición es que no puedes cambiar de lugar las cosas.

(…)

PB: Tenemos que aprender esta definición de memoria / No puedes cambiar

nada u olvidar una parte / especialmente para los matemáticos esa definición la

tienen que saber como su propio nombre. ■


PB inicia la sesión con un recordatorio de la definición formal de límite. Después

muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Usando la definición, probar ( ) 9152

=−→

xlimx

PB: Operativamente es sencillo, pero tenemos que utilizar la definición.

Tenemos que demostrar que para todo ε , el ejercicio consiste en encontrar esa

δ , como existe hay que mostrarla, hay que construir esta δ que va a funcionar

en esta implicación.

PB comienza la prueba:

UDem. U Sea 0>ε , tomamos ( ) 105915 −=−−=−=∆ xxLxf

PB: Hay que probar el consecuente (figura 94).

- 208 -

PB: Lo que tengo que hacer es dominar el tamaño con esta ε / Aunque esta δ

no la conocemos, es la que estamos buscando, no sabemos quien es, pero

debe cumplir eso ( δ<−< 20 x ), esta 2−x sí está dominado por δ / Lo que

podemos hacer es utilizarlo y despejar δ / Bueno, esas son las piezas del

rompecabezas / El chiste de cada ejercicio es

relacionar ( ) 105915 −=−−=−=∆ xxLxf con δ<−< 20 x / ¿Cómo

relaciono estos dos? / No se parece nada 105 −x con δ<− 2x .

PB factoriza el 5 de la expresión 105 −x , quedando 25 −x .

PB: Ya puedo empezar a dominar, puedo sustituir δ (en esta expresión:

( ) 25105915 −=−=−−=−=∆ xxxLxf ), pero es más grande, entonces

¿qué va a pasar con esa igualdad? (escribe ∆< δ5 ) / es un producto que tiene

un factor más grande por lo tanto es mayor que 25 −x / ¿Qué logramos?

Figura 94

- 209 -

Que ∆< δ5 , pero yo quería que fuera menor que ε / Como yo δ la puedo

escoger de tal manera que sea menor que ε , elegimos εδ <5 (figura 95).

PB: Nos falta quien es la δ / Aquí hay 2 cosas importantes, una es la más difícil,

que es, cómo relacionar la expresión de la ∆ con la expresión δ<− ax . Lo

hicimos con una factorización, pero no siempre es así / Después, el otro punto

importante es la elección de esta δ / En este caso se puedo hacer eso

(refiriéndose al proceso que realizó) porque el valor de la δ no está dado,

entonces vamos a elegirlo de manera que esto (∆< δ5 ) sea menor que ε / Ya

nada más falta decir quien es la δ / Entonces, ¿quién es la δ ? / La despejamos

de ahí y 5εδ < / O sea que cualquier número que sea menor que

5ε

me

funciona como la δ que estamos buscando / Doy el valor de ε y 5εδ = / ¿Qué

significa eso? Quiere decir que la δ depende de la ε , podemos hacer una

tablita acá (figura 96).

Figura 95

- 210 -

ε δ

1/2 1/10

1/10 1/50

PB: Y luego cambias la ε y ajustas la δ , pero la δ según como lo hicimos

hacen funcionar la definición / Para cada ε va a haber una δ apropiada / El

chiste de esta prueba es que se cumple el consecuente ( ) Lxf − , pero tengo

que mostrar quien es la δ / Lo que es un poco árido es que no son igualdades,

manejo desigualdades (…)

PB: La moraleja es que utilizar la definición para probar un límite es complicado.

Es un proceso mucho más árido / Con los teoremas operativos es muy fácil / La

idea es que no podemos estar calculando límites con la definición, por eso se

hacen los teoremas, para no tener que usar la definición / La definición lo que

nos da es una especie de sustento formal, solo voy a requerirla para demostrar

cosas. ■

Se observó que la característica de los ejercicios es que eran aplicación

directa de los conceptos o propiedades que se acaban de enunciar,

proporcionándoles en muchas ocasiones sugerencias de cómo

solucionarlos.

Figura 96

- 211 -

Los ejercicios que resuelven los alumnos son similares a los ejemplos que

muestra el profesor.

El tipo de ejercicios son de tipo algebraico, en el que tienen que realizar

cálculos o aplicar algoritmos.

Figura 97

Figura 98

- 212 -

El profesor involucra el dominio gráfico en algunos ejercicios (figuras 99 y

100)

5.3 Convenios entre los profesores A y B relacionados con el

contenido del curso

Figura 99

Figura 100

Se observaron varios aspectos comunes entre los 2 profesores. En la primera

n ambos realizaron unasesió introducción al curso de cálculo; se observaron

características comunes en los ejercicios que ambos proporcionaban a los

alumnos y el examen de los grupos de ciencias matemáticas se realizó de manera

colegiada, es decir, fue el mismo para todos los grupos. Los profesores

manifestaron esta situación en las entrevistas.

PB: Bueno, siento que es empezar a hacer algunos cambios, es la primera vez

abajamos así, nos reuníamos, nos reuníamos los profesores, somos 3 los

nos reunimos y hacíamos una

E7-GB-P

Entrevistador: ¿Cómo preparó este curso?

que tr

profesores que damos esta asignatura,

planeación, una planeación de por ejemplo por semanas, qué debemos cubrir

esta semana, teniendo en cuenta los cambios que vamos a poner y hacia a

dónde queremos llegar de manera mínima ¿no? Pero una vez planeado el

material a cubrir, pues ya cada quien de acuerdo a su creatividad y a su

iniciativa desarrollaba las clases, entonces yo básicamente lo que hice ahorita es

un ajuste, un ajuste de lo que tenía porque como ya no manejábamos, o sea la

idea de este primer curso de cálculo ya no fue una introducción al análisis que

era antes la idea del curso, ahora no, ahora es un primer curso de cálculo, se

quiere que tenga las nociones, aprenda las técnicas, empezar a modificar, tuve

que modificar varias de las tareas, de los ejercicios que hacíamos en clase

porque ya teníamos otra meta, o sea no era la misma meta general, aunque me

- 213 -

sirvieron varios de los ejemplos que tenía pero tuve que buscar otros para no

salirme del nuevo margen que nos estábamos poniendo, y básicamente eso fue

lo nuevo en la preparación, que nos fijamos otra meta, era otra meta sobre el

curso, aunque pensaba que después vamos a ir dosificando el material que

ahorita no se ha visto para que al final de los tres cursos de cálculo queden más

o menos igual los muchachos, esperamos que salgan igual que como estaban

antes, pero eso lo estamos trabajando ¿no? O sea no está listo ahorita que

empecemos el segundo semestre vamos a empezar a redistribuir lo que no se

cubrió, quizá hay que hacer que otros temas se pasen a cálculo 3, pero al final sí

debemos de tener el mismo objetivo cubierto, o sea el objetivo final del bloque

de cálculo no se debe de modificar, queremos alcanzar lo mismo pero un

poquito más lento.

B-P

Entrevistador: Con

E7-G

respecto al examen colegiado, ¿por qué lo realizaron de esa

?

curso, pues se quería que la evaluación no salga para algunos grupos

forma

PB: Bueno la idea era que como se supone que se está dando el mismo temario,

el mismo

más difícil y para algunos grupos más fácil, sino que todos fueran evaluados con

los mismos problemas, porque inclusive podría haber sido de manera colegiada

pero no al mismo tiempo, o sea no se hace un examen único, se hacen 2, 3

exámenes y cuando tú quieras aplicar tu examen lo aplicas, pero está hecho

colegiadamente, pero en esta ocasión lo que queríamos era que todos tuvieran

el mismo examen, o sea que se presentara al mismo tiempo para que no hubiera

diferencia, porque así pasa, haces dos exámenes y uno sale más fácil que el

- 214 -

otro, entonces esta vez no queríamos que afecte esa variable, queríamos tratar

de eliminar esa variable, que a lo mejor este examen fue un poquito más difícil,

porque igual es la primera vez que lo estamos haciendo, tal vez más adelante en

el siguiente año, siempre siga siendo colegiado pero no de manera única,

porque nos está dando trabajo ajustar que todos presenten al mismo tiempo,

básicamente esa era la idea, que se eliminara la variable de diferencia de

dificultad en los problemas que el muchacho está presentando, para que los

resultados que estamos esperando no se vean afectados por esa variable.

A-P

Entrevistador: Con respecto al examen que esta vez fue de manera coleg

E7-G

iada,

ué lo realizaron de esa forma?

mos las calificaciones de los alumnos que

¿por q

PA: Principalmente para que entre nosotros los maestros tengamos otro tipo de

retroalimentación, porque a veces tene

creo que es un tipo de retroalimentación, pero muchas veces lo tomamos como

un resultado, es lo que el alumno obtuvo, no tanto como algo que nosotros

podamos interpretar para modificar nuestros cursos o nuestros exámenes,

entonces si ya es como retroalimentación entre nosotros mismos los maestros,

pues es algo que siento que puede tener más peso para todos, no solamente

para mí sino para los otros maestros que estén dando el curso, y la

retroalimentación a veces era como algo de pues un tema en particular, un

maestro no le dedicó cierto tiempo o no le dedicó mucho tiempo como otros

entonces da sus razones de porqué y los demás maestros consideran ah bueno

pues a lo mejor le dedicamos de más o a lo mejor ese maestro debió dedicar

más tiempo, surge este tipo de discusiones que ya después los demás maestros

- 215 -

seguirán considerando, pero yo siento que principalmente es por la

retroalimentación que se puede tener entre los maestros y que no sea nada más

la clase y nadie más sepa qué sucede en la clase y que por lo tanto no se tenga

ninguna observación adicional de lo que cada maestro está haciendo en el

curso.

Se percibe una buena intención por parte de los profesores de realizar un curso

ensado en los alumnos, considerar sus antecedentes previos y realizar una

deben poner

tención los profesores opinaron lo siguiente:

Entrevistador: De los contenidos de cálculo I, ¿en qué temas cree que se deba

atención y cuáles serían las razones?

cálculo se trabajaran los temas

p

retroalimentación para beneficio tanto de ellos como de los alumnos.

Respecto a los contenidos de la asignatura y a los temas en que se

a

E7-GB-P

poner

PB: Bueno, el contenido de cálculo ahorita se modificó en cuanto al orden de los

temas, se quiso que este primer curso de

prácticos y más sencillos y la parte difícil o que creemos que era difícil por la

experiencia pasada se dejara hasta para el segundo curso. Por ejemplo,

omitimos la parte de supremos que eso en el programa aparece y se había

estado cubriendo en primer semestre, pero esta vez la cambiamos, se va a ver

hasta segundo semestre cuando se empiece a ver la integral, pero siguiendo

- 216 -

con este ajuste entonces, los temas que ahorita sentí que dieron más problema

de todas formas fueron los que tienen que ver con conceptos, por ejemplo el

concepto de límite, aunque todo lo manejamos a nivel intuitivo, la definición

someramente la mencionamos ahorita, de todas formas sentí que les cuesta

trabajo entender los conceptos, creo que esa es la problemática a vencer ¿no?

El manejo de los conceptos, y lo mismo pasó con la derivada, la derivada pues si

están derivando bien, pero cuando entramos por ejemplo a los problemas de

razón de cambio pues tienden a perder la noción, a interpretar la derivada, el

concepto como razón de cambio, o sea hacían bien la operación, pero si se les

plantea el problema te volvían a preguntar, qué me pides acá, no identificaban

correctamente, creo que el énfasis ahora debe ser en la parte conceptual y en

los ejercicios que tienen que ver con hacer demostraciones, como que se

bloquean, desde que oyen que es un ejercicio que les diga demuestra tal cosa,

aunque la demostración sea de hacer cuentas, hago la cuenta de aquí hago la

cuenta de aquí y comparo si son iguales, desde que escuchen que es una

demostración como que ya no lo intentan, entonces trabajar un poquito más para

que ellos pierdan el miedo a las demostraciones y enfatizar un poquito los

conceptos, porque lo que es la parte operativa si se está trabajando bien, si se

está respondiendo bien, en el examen lo están haciendo bien, considerando que

ya quitamos esos temas que de por sí daba mucho trabajo entenderlo para todo

mundo.

A-P E7-G

- 217 -

Entrevistador: De los contenidos de cálculo 1, ¿en qué temas considera que se

como están ahorita pueden ser

Se percibe una buena intención por parte de los profesores de realizar un curso

cantidad de

contenido, sin embargo coinciden en que en este curso se trató de mostrar un

enfoque no formal, considerando las condiciones de los alumnos.

deba poner atención y cuál serían las razones?

PA: Por lo general los contenidos yo creo que

adecuados y más que los contenidos yo creo que los enfoques son los que hay

que considerar principalmente, porque por mencionar un tema del curso: límites

por ejemplo, pues límites se puede ver desde un primer curso de cálculo como

estamos haciendo ahorita hasta cursos muy avanzados de matemáticas y ¿cuál

es la diferencia aunque sea el mismo tema? La diferencia es el enfoque y la

profundidad y la madurez que se espera del estudiante, y yo creo que como

están planteados los temarios, hay algunas partes donde dice el alumno

manejará formalmente y rigurosamente y redactará claramente ciertas

propiedades de límites, ahí yo siento que está mal adecuados porque, está mal

situado porque en un primer curso de cálculo sí se puede cubrir el tema de

límites pero no de la forma como está expresado en el temario, entonces más

que contenidos yo diría que habría que poner atención a las formas y a las, a las

formas como se cubren cada tema.

pensado en los alumnos, considerar sus antecedentes previos y realizar una

retroalimentación para beneficio tanto de ellos como de los alumnos.

Los profesores tienen opiniones diferentes con respecto a la

- 218 -

E7-GA-P

Entrevistador: En cuanto a la cantidad de contenido de este curso, ¿la considera

adecuada, excesiva o alguna otra?

PA: Creo que eso sería como una de las preguntas anteriores de los contenidos,

porque aunque por mencionar el

E7-G

n poco excesiva, aunque también el tiempo destinado a este curso es del

que sacar unos temas que están ahí, el tema de los ejercicios de la

el contenido yo creo que puede estar bien, incluso puede ser menos o puede ser

más, lo que haría la diferencia es el enfoque

mismo tema, límites, si solamente nos centramos en límites uno puede dedicarle

un semestre o más de un semestre para estudiar solamente límites, pero la

diferencia sería el enfoque, o la forma de cubrir eso, al decir enfoque me refiero

principalmente a ubicar este curso, ubicarlo en el sentido de que es un curso

introductorio para alumnos que están en el primer semestre y que varios de ellos

por primera vez llevan cálculo, entonces yo creo que eso es lo principal más que

los contenidos.

B-P

Entrevistador: En cuanto a la cantidad de contenido, ¿la considera adecuada,

excesiva?

PB: U

doble de los demás pero aún así considero que está un poco excesivo, y a

veces hay

integral aunque solamente geométricas, pero no creo que las podamos ver

todas, si acaso área vamos a poder ver y nos está faltando todavía a estas

alturas del curso las aplicaciones de problemas de máximos y mínimos y

razones de cambio relacionadas, son tres temas en el poco tiempo que ya nos

queda, tres temas grandes, entonces las aplicaciones de la integral yo creo que

- 219 -

- 220 -

vamos a tener que pasarlas hasta el segundo semestre, creo que es ambicioso

el plan y no es la primera vez que lo veo, desde antes se notaba que era

bastante, bastante el contenido, claro que es tiempo doble, pero cuesta trabajo

que los muchachos asimilen, o sea abarcas varios temas en una semana, o sea

tú como profesor, pero ves que les cuesta asimilar todo ese material en tan poco

tiempo entonces pues si da trabajo cubrirlo, siento que otra vez no vamos a

terminar, sí creo que es ambicioso, como que ahí vamos en el cuerpo académico

que revisar.

5.4 Dificultades de los alumnos en función del contenido matemático

Finalmente, en este apartado intentaremos plasmar la percepción de los alumnos

en cuanto a los contenidos, y la manera en que estudian y aprenden cálculo. En

general, mencionaron que no son muchas las dificultades que tienen, que en su

mayoría son errores algebraicos y que aprenden con la práctica a través de la

resolución de ejercicios. Además, también en su mayoría dijeron que estudian de

sus libretas y de los ejercicios de taller de cálculo.

E1-GA-GP

ABmB: Bueno, para mí, el primer parcial con eso tuve, o sea saque menos

calificación por cositas que no es de práctica sino de que se te va un signo.

E3-GA-I

RBhB: Lo que sí me cuesta trabajo de cálculo es cuando te dan ciertos valores, o

sea, por ejemplo te dicen ( ) 32 =′f , ( ) 54 =f , ( ) 16 =f , haz la gráfica, que te

- 221 -

dan los valores y en base a esos valores me dan la gráfica, o sea me piden la

gráfica perdón, a mí eso sí me cuesta mucho trabajo. Pero de esa forma, o sea,

si me das la ecuación y si me dices, saca el dominio, el contradominio, haz los

máximos y mínimos, sí puedo, no me cuesta trabajo, cuando me dan los valores,

cuando me dice, ( ) 23 =′f , o ( ) 54 =′f , ( ) 86 =f , y ya tienes las imágenes y te

piden gráfica, ese tema sí me cuesta trabajo, o sea, y realmente no sé porqué,

porque a veces me cuesta trabajo imaginarme cómo será la gráfica, qué

trayectoria tiene, me cuesta trabajo.

E2-GB-I

CBhB: Las derivadas como están muy tediosas y a veces por ejemplo, ahí es

álgebra, la tienes que utilizar, te cuesta trabajo porque es mucha talacha, pero

de ahí en fuera no.

E1-GA-GP

SBhB: A mí, o sea lo que es la descripción, te puedo hacer las operaciones y todo,

pero ya cuando me dicen describe, no.

E2-GA-I

MBmB: No tanto, porque del maestro, se completa con el libro y no. Como te digo, el

maestro es muy detallista y eso también nos ayuda mucho.

E1-GB-I

CBmB: Mi álgebra me falla mucho, entonces cuando, por ejemplo en el parcial

pasado que eran límites, esa vez como que no sabía, es que límites de plano

desde que estaba en la prepa no, no, nunca lo aprendí bien, entonces como que

me resultó muy difícil eso. Es que yo no puedo ver eso de que hay que la

imagen y no se qué y que este límite como que tiende a no se qué, se me

confunde, se me confunde, mis dominios, o sea sí sé que es mi dominio y todo

eso, pero se me confunde de que si estás tendiendo a la derecha o hacia la

izquierda, o sea, obvio que sé mi derecha y mi izquierda, pero que si tiende a

infinito de este lado o lo que se hace más complicado es hacer una gráfica, que

me den la función y que yo haga la gráfica, eso se me hace muy complicado,

entonces sentía como que yo lloraba porque no le entendía y me explicaban y yo

así como que se me olvidaba y otra vez y así no entiendo.

A-GP

Entrevistador: ¿Cómo aprenden?

A

E1-G

a cometer.

iendo más ejercicios, lo que es práctica.

ya, entonces yo no lo sé aplicar.

debes hacer pero no estás seguro, no vas

E1-G

lican, cómo se hace, siempre

an.

E6-G

Rh: Más que nada el álgebra, por ejemplo factorizar en algún problema.

m: Haciendo ejercicios. Aplicándolo.

Cm: Y cometiendo errores para que después no los vuelvas

Sh: Hac

Am: Si solo me enseñan la regla, y

Cm: Ajá. Igual tenga en teoría lo que

con la seguridad de aplicarlo y te puede salir mal.

A-GP

Fm: No, es que con ese maestro todo queda demasiado claro.

Nm: Y si no queda claro, con los ejercicios del taller al menos no puedo hacer

algo de taller leo el Stewart que ha veces te lo exp

lo explic

A-I

- 222 -

E2-G

ictado, que no está en la pizarra y como que es algo esencial. A

s viendo cómo hacen los demás sus ejercicios, les pregunto porque lo

4-GA-I

vistador: ¿Cómo estudias cálculo?

do, practicando, practicando porque así ya sé

quito de todo.

E5-G

E3-G

é hago para estudiar cálculo? Casi en todas las materias lo que hago es

plos y cuando se marcan los ejercicios

repente muchos alumnos

breta y esto de dónde, porqué, en cambio si vas entendiendo al maestro

que va diciendo lo entiendes y anotas ciertas cositas, o sea lo que

A-I

Mm: Observando mucho en clases, porque a veces dice un detallito el maestro

que no ha d

vece

sacan de allá a mis compañeros.

E

Entre

Mh: Con ejercicios, con práctica, porque me pasó en la prepa digo lo entendí,

cálculo, pero leía de mi libreta y ya lo sé, pero después a la hora del examen no,

digamos que no era suficiente lo que veíamos en clase lo mismo que salía en el

examen, ahorita ya estoy practican

un po

A-GP

Entrevistador: ¿Cómo estudian cálculo?

Jm: Con los ejercicios del taller y leyendo los apuntes.

Nm: Un día antes basta por los ejercicios de taller, si los haces a conciencia ya la

hiciste.

A-I

Rh: ¿Qu

atender a los maestros y copiar los ejem

resolverlos, yo creo que es la mejor forma porque de

que no atienden o copian la libreta, pero no escriben nada, o sea luego llegas,

lees la li

y lo

- 223 -

entendiste, pones un resumen de lo que explicó el maestro; es mejor, yo estudio

cálculo de mi libreta, o sea de mis apuntes, el maestro explica, de lo que

entiendo hago un resumen, igual, pongo varias notas que va diciendo ojo, ojo,

salió de acá, esta operación se hizo por tal razón y al final a la hora del examen

solo le doy una revisada a la libreta, porque ya los ejercicios que se fueron

marcando constantemente, de hecho el taller es muy bueno, el taller de cálculo

es muy bueno, porque ya así la carga no es tanta para un día, o sea, si tú no

obligas a veces al alumno a estudiar constantemente los problemas; los alumnos

por si solos o sea, se ha generado esa costumbre, creo que no lo hacen,

algunos, puede ser que no, puede ser que sí, puede ser que algunos alumnos sí

estudien diario, que hagan problemas de cálculo diario, puede ser que no, puede

ser que un día antes del examen se pongan a estudiar y por lo mismo que el

contenido de cálculo es mucho y es muy extenso, pues se puede llegar a

reprobar los exámenes, o sea no, en un día no puedes estudiar todo lo que viste

en dos meses, es muy difícil, es mucha información.

A-I

Entrevistador: ¿Cómo estudias cálculo?

Rh: Pues agarro el libro y me pongo a hacer ejercicios del Leithol más que nada,

del tema que vemos o sino el maestro nos marcó unas investigaciones, pero

siempre hago ejercicios; me pongo a practicar.

E6-G

e alguien está interesado en saber la forma en que tú

has logrado aprender cálculo hasta el momento, ¿qué dirías?

Entrevistador: Supón qu

- 224 -

Rh: Más que nada resolviendo los ejercicios, es la práctica, y entender las

fórmulas y todo. La clase más que nada sirve como para entenderlo, así; qué es

una derivada exactamente, porque en la prepa te enseñas a resolver derivadas

E1-G

orque vino el huracán, y solo el fin de semana

iamos y un día nos quedamos nada más a estudiar cálculo, pero como ya

nas antes, por otro examen, y nos

pero no, no sabíamos qué era la derivada, entonces ya con la clase pues ya

sabes qué es la derivada.

B-I


Cm: Pues en que iba a presentar el primero nos quedábamos diario a estudiar en

la biblioteca, de cuando salíamos de clases, hasta no sé, bueno aunque cálculo

no estudiamos mucho p

estud

nos veníamos quedando desde sema

marcaban tarea de taller de cálculo, pues como que así practicábamos porque lo

hacíamos en la biblioteca y un día antes de presentar cálculo nos quedamos

desde que salí a las 2; hasta que nos sacaron de la biblioteca. Nos juntamos

todos, juntamos mesas y todos y pues empezamos a estudiar cada quien y hay

cosas que por ejemplo, yo cuando empecé a estudiar empecé a hacer un

ejemplo de cada tipo de ejercicio, pero cuando ya había llegado, no creo que a

la mitad como que todo mundo ya había terminado y yo por estar haciendo un

ejemplo de cada ejercicio ya me había llevado creo que toda la tarde, entonces

solo empecé a repasar, o sea ver, y cosas que por ejemplo veía y no le

entendía, le preguntaba a alguien oye y esto y me lo explicaba, y si esa persona

no lo sabía, o sea como que entre todos nos vamos diciendo, ay no sé esto a ver

explícamelo, o ¿ya hiciste este? Y comparamos, no pues yo lo hice así, no pues

- 225 -

yo lo hice y a mi me dio esto, no pero a mi me dio tal cosa, y así y lo que no

sabemos pues ah explícamelo y pues ya, te lo explican y tú le explicas a otros

que ah yo tampoco lo sé y ya se lo explicas y como que así repasas porque en

que lo explicas, en que lo estás explicando a alguien, como que se te va

quedando.

B-I


C

E2-G

d a mí me encantaría que todo esto fuera práctica y dejar un poco más la

a, porque yo entré a la facultad de matemáticas creyendo que íbamos a

a a ser así, pero no creí que íbamos a

n de cambio en la curva, porqué

h: Pues como casi no tengo tiempo pues nada más leo un poquito mi libreta,

hago los ejercicios que me ponen en el taller de cálculo y ya, es todo lo que

hago.

E2-GB-I

Entrevistador: ¿Cómo aprendes cálculo?

Ch: Entre más práctica tengas para resolver ejercicios más fácil vas a hacer los

que te pongan posteriormente aunque tengan más nivel de complejidad. En

realida

teorí

hacer todo el santo día ejercicios y todo ib

ver demostraciones, que íbamos a ver así algo más teórico, aunque muchos

digan que no estamos viendo cosas teóricas.

Entrevistador: ¿Y tú le encuentras sentido a estar viendo esas cosas teóricas?

César: Yo no les encontraba sentido hasta que, muchos dicen a voy derivar tal

cosa, pero porqué derivas, porqué integras, cuál es la razón de la integración,

cuál es la razón de la derivación y es dónde entra la teoría, donde ah bueno

estoy derivando porque estoy viendo la razó

- 226 -

cambia y tu ahhhhhhhh ya entendí porque se deriva, y ¿porqué se integra? A no

E4-G

E5-G

vistador: ¿Cómo estudian cálculo?

icios de taller.

me gusta eso de leer, leer matemáticas no le entiendo, necesito que me

r.

interesado en saber la forma en cómo han

.

maestro te va a decir, si quieres

ibros, o sea buscar muchos enfoques porque

nalítica comparo la forma de redactar de los

ea a veces es diferente, en un libro puedes encontrar algo, en otro

pues es para resolver esta derivación, es la inversa, ¿no? y así. Para eso sirven

las demostraciones para ver para qué te sirven las cosas ¿no? Yo sé que

cualquier número multiplicado por cero es cero, pero porque?

B-I

Entrevistador: ¿Cómo aprendes cálculo?

Jh: Tienes que practicar muchos ejercicios. He aprendido con ejercicios sino no

aprendes nada.

B-GP

Entre

Yh: Yo solo atiendo y ya.

Ah: Yo atiendo, participo, leo un poco y luego me siento a hacer mis ejercicios.

Yh: Con los ejerc

Km: No

des el ejercicio para buscar allá qué hace

Yo: Supongan que alguien está

aprendido cálculo ¿que le dirían?

Áh: Que haga muchos ejercicios

Yh: Eso sí.

Áh: Bastantes ejercicios, porque cualquier

aprender algo de matemáticas hay que hacer puro ejercicio.

Yh: Ejercicios y leyendo muchos l

un libro a veces en geometría a

autores, o s

- 227 -

libro encuentras otra cosa, entonces lo complementas y ya entiendes el

concepto, o sea lo mismo en cálculo de la prepa muchos libros consultaba, igual

E6-G

o y empieza a practicar.

ue entender primero los conceptos.

plicaciones te dicen haz esto, esto y esto y tú

ste examen, te ponían cualquier cosa,

ezado ya sabes como va, pero no

hacía ejercicios.

B-GP

Entrevistador: Supongan que alguien está interesado en saber cómo han

aprendido cálculo, ¿qué le dirían?

Sh: Lee y practica.

Nm: Agarra un libr

Ih: Hay q

Gh: Yo digo que agarras un libro y practicas.

Nm: No, pero si por ejemplo en las a

no entiendes.

Ih: Claro porque eso pasó por ejemplo en e

tu sabes resolverlo; una vez que hayas emp

sabes exactamente lo que te piden.

- 228 -

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES Y REFLEXIONES FINALES

Con esta investigación no pretendemos remediar de manera inmediata el estado

de reprobación de los alumn mo se deben de hacer las

cosas, cómo desarrollar los cursos de cálculo, o más aun, evidenciar si un

profesor “ prender

y mostrar evidencia de cómo la dinámica escolar puede resultar un factor que

os, tampoco indicar có

enseña bien” o no en el aula. Intentamos algo más sencillo, com

influye en el tipo de aprendizaje de los alumnos. En este sentido, el conocimiento

no es producto solamente de una actividad mental sino se genera y adquiere

significación en virtud de una dinámica de aula.

- 229 -

Creemos que el entendimiento del desempeño de los alumnos no puede reducirse

a una dimensión cognitiva, más bien, debe analizarse desde una posición de

relación con una actividad matemática situada.

Al observar la cotidianeidad de las clases de cálculo, la relación profesor-alumno-

saber, resultó central. Las aulas constituyeron espacios donde se produjeron las

acciones entre este y el alumno, y

en el aula, y las reglas de comportamiento

condiciones del aprendizaje. Observamos el establecimiento de una “cultura” al

interior de las mismas, y que a juzgar por los datos obtenidos, son el producto de

la costumbre didáctica del profesor, de las inter

de las reglas del contrato didáctico. Una cultura que estableció en cierta medida,

cómo tenían que ser las clases y el tipo de rol que cada participante debía de

jugar. Es decir, se logra percibir cierto condicionamiento y determinación en lo que

cada quien habría o tendría que hacer.

Por ejemplo, notemos cómo ambos profesores determinaban lo que explicaban, la

manera de hacerlo, su intencionalidad y los medios utilizados. Con la evidencia

presentada a lo largo de este trabajo, se muestra que los profesores en gran

medida y aunque en forma distinta, establecieron las condiciones para tener éxito

en la asignatura, establecieron un clima

de los alumnos.

El comportamiento de los alumnos se modeló en el aula. Tuvieron que

comportarse de un modo y no de otro en función de la cultura establecida. El nivel

de logros de aprendizaje, sus actitudes, creencias, conocimientos, destrezas y

- 230 -

habilidades dependió en gran medida de ella. Notoriamente, los alumnos se

limitaron a realizar lo que las condiciones, la cultura y las reglas implícitas

establecieron.

del tipo de significación atribuida a los objetos matemáticos. La

responsabilidad del aprendizaje recayó en los profesores. Los alumnos no

accedieron directamente al conocimiento, al saber; si no que lo hicieron solo para

satisfacer las cláusulas de un contrato y solo mediante un puente relacional,

mediación del maestro.

te, al escaso interés del estudiante por intervenir y aceptar

la responsabilidad de su aprendizaje. Los alumnos pocas veces negociaron el

significado de un concepto con el fin de llegar a significados compartidos. Los

profesores tuvieron la libertad de establecer prioridades y procedimientos en la

clase, y a partir de su experiencia determinar que era válido y meritorio.

Podemos considerar que los alumnos, a pesar de las interacciones con el profesor

en función de un objeto matemático, no fueron responsables de su propio

aprendizaje, es decir, esta relación se dio bajo la autoridad didáctica de los

profesores, delegándoles el establecimiento de una manera de aprender y de

hacerse cargo

Visiblemente, las interacciones profesor-alumno no produjeron cambios

sustanciales en la intencionalidad didáctica o en las explicaciones del discurso

matemático de los profesores. Las clases se manifestaron como una serie de

lecciones con guiones establecidos (y específicos) no susceptibles de cambio.

Esto debido por una par

- 231 -

Se observó que en los cursos de ambos profesores, hubo un intento de

tratamiento semántico a los conceptos. Si bien se involucraron argumentos

herramentales de carácter visual y enfoques numéricos, consideramos que la

enseñanza sobrevaloró los aspectos analíticos y los procedimientos algorítmicos.

La enseñanza de la matemática se deja ver como un proceso de cristalización de

habilidades fluidas. Al parecer, la enseñanza de algoritmos resulta favorecedora

del control disciplinario de los alumnos.

El tipo de cultura establecida en el aula permite ver que las clases se desarrollaron

en función de la dinámica y del “tratamiento didáctico” de los contenidos y no en

función de lo que se espera que los alumnos aprendan de las ideas variacionales

del contrato didáctico.

ra.

En general, los profesores dan muestra de una buena intención por desarrollar los

cursos en función de la enseñanza.

del cálculo infinitesimal. Es decir, las clases se centraron más en función de un

saber escolar que satisface las reglas

Desde esta perspectiva, bien se podría problematizar el tipo de enseñanza que

desarrollaron ambos profesores a partir del análisis detallado de sus creencias y

concepciones. Es decir, en nuestra apreciación el tipo de enseñanza obedece al

entendimiento que ellos tienen de lo que los alumnos deben poder hacer para

cumplir con su estatus de alumno, y tener éxito en la asignatu

- 232 -

- 233 -

Reiteramos que esta investigación no busca verificar si un alumno alcanzó ciertos

aprendizajes o en su caso porqué no lo hizo; nuestra aportación dentro del terreno

práctico, radica en aportar evidencia empírica de cómo la enseñanza tiene un

carácter sociocultural en el nivel universitario, y que el aprendizaje no es asunto

exclusivo de la cognición.

Así, los asuntos de éxito o fracaso que puedan tener los alumnos, no es

condicionado por factores meramente externos al proceso de enseñanza sino

constitutivos de éste.

En este sentido, a manera de reflexión, presentamos algunos aspectos que se

pueden considerar factores de reprobación que emergen al interior del aula como

fruto de la cultura que se logra establecer. Tales factores en efecto, pueden

propiciar la adquisición de aprendizajes temporales y no trasladables a otros

tiempos o contextos:

• Las interacciones del sistema didáctico determina estilos de aprendizaje

que pueden provocar fracasos en los alumnos en el mismo o en otros

contextos.

• La costumbre didáctica del profesor determina lo que los alumnos

aprenden y lo que dejan de aprender. Por ejemplo, si un alumno cree que

su rol en la clase debe ser pasivo, posiblemente no perciba aprendizaje

cuando trabaja en grupo o al responder preguntas del profesor.

- 234 -

• El rol del alumno de solo satisfacer las reglas establecidas en la cultura del

aula, sin responsabilizarse por su aprendizaje real y concientemente.

Finalmente, con la evidencia presentada a lo largo de la tesis, se advierte que el

aula es un espacio común para el entendimiento mutuo y para cierta negociación

de conocimiento.

Este tipo de estudio es necesario como punto de partida para mejorar la

enseñanza del cálculo en su contexto real. Más que decir cómo debe ser la

enseñanza, se pretendió vislumbrar el quehacer de aula de los profesores, pues

son ellos los que organizan, presentan e interactúan y ponen en contacto a los

alumnos con las ideas del cálculo.

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- 238 -

- 239 -

ANEXO 1

NOTACIÓN ESPECIAL UTILIZADA EN LAS TRASCRIPCIONES

PA Profesor A

PB Profesor B

(...) Silencio

[...] Indica ruido de fondo y no distinguible lo que se habla

■ Indica término de un extracto

/ Pausa menor a 5 segundos

Las líneas entre diálogos que se encuentran en cursivas forman parte de la

narración del extracto.

ANEXO 2

ENTREVISTA PROFESORES

stimado maestro, agradezco el apoyo y las facilidades brindadas para la

alización de mi trabajo. Le realizaré una serie de preguntas para complementar

s datos obtenidos hasta el momento. Por favor, siéntase en la libertad de

xpresar o mencionar todo aquello que juzgue necesario y pertinente. Si alguna

regunta no se logra entender, favor de indicármelo y con gusto intentare

detallarla. Si le parece, damos inicio

1. ¿Cómo describiría a su grupo?

s?

7. ¿Usted cómo considera que aprendió cálculo?

8. ¿Cómo ha determinado el aprendizaje de sus estudiantes?

9. De los contenidos de Cálculo I, ¿en qué tema se debe poner atención y

cuáles serían las razones

10. El contenido del curso, le parece adecuado, excesivo…

11. ¿Qué libros de texto ha utilizado en su curso de cálculo? [Por qué]

E

re

lo

e

p

a la sesión.

2. Este grupo que le tocó, ¿modificó en algo su forma de enseñar?

3. ¿Considera que en este curso utilizó alguna técnica de enseñaza?

4. ¿Cómo preparó su curso? Es decir, podría explicarme cuáles fueron los

elementos que consideró al momento de preparar dicho curso.

5. ¿Cuáles considera que son sus fortalezas como docente?

6. ¿Cuáles considera que son sus debilidade

- 240 -

12. ¿Cuál es su formación profesional?

13. ¿Qué tiempo lleva ejerciendo la docencia en esta facultad?(fuera de ella)

tad? (fuera de ella)

a en el salón de

16. ísticas comunes entre usted y el otro profesor,

lar de lo que es el

omunes

tre ustedes?

?

14. ¿Cuántas veces ha impartido calculo en la facul

15. ¿Considera que tuvo algún efecto la presencia de la cámar

clases?

Observé algunas caracter

como por ejemplo la forma de introducir el curso al hab

cálculo y mencionar algunas aplicaciones, ¿estas características c

son casuales, o hay un consenso en

17. Con respecto al examen colegiado, ¿por qué lo realizaron de esa forma

[¿Lo habían hecho antes? ¿Fue iniciativa de alguien?]

- 241 -

ANEXO 3

GUÍA DE LA ENTREVISTA PARA EL ESTUDIANTE

sta entrevista es para complementar la investigación que estoy realizando. Te

aré unas preguntas relacionadas con el desarrollo del curso de cálculo. Por favor,

uiero que te sientas con la confianza de responder y expresar lo que desees. Ten

seguridad de que tus respuestas y comentarios serán confidenciales. ¿Deseas

xternar algo antes de iniciar la sesión?

1. Supón que le tienes que describir a alguien cómo es el ambiente en tu

salón de clases, ¿Qué le dirías? [Lo que tu entiendas por eso, lo que tú

percibas, cómo miras a tus compañeros, a tu profesor, todo lo que está ahí,

4.

ñeros en la clase de cálculo, y del porqué es así, ¿qué le

E

h

q

la

e

¿qué dirías?]

2. ¿Qué opinas de la forma de enseñar de tu profesor? [¿Qué aspectos de tu

profesor te llaman la atención? ¿Qué características positivas le ves a tu

profesor cuando da la clase? ¿Qué características negativas le ves a tu

profesor cuando da la clase?]

3. ¿Cómo definirías tu participación en clase? [Coméntame las razones que te

mueven a participar o no hacerlo en la clase].

Supón que alguien te pide que le expreses cómo es tu comportamiento y el

de tus compa

dirías? [¿Cómo influye el profesor en tu comportamiento? ¿Cómo influyen

tus compañeros en tu comportamiento?]

- 242 -

5.

6. dónde ubicarías la asignatura de cálculo en

8.

9. aprendizaje que has tenido en los

11.

12. frecuentemente el profesor realiza preguntas mientras está

alumnos del grupo A

¿Qué opinión tienes sobre el ritmo de las clases?

En orden de interés para ti, ¿en

comparación con el resto de tus asignaturas (primer lugar, segundo,

tercero, etc.)?

7. ¿Por qué crees estudias cálculo? [¿Cuál es la finalidad o la razón por la que

se estudia cálculo en tu carrera?]

¿Tu cómo estudias cálculo? [¿Qué haces? ¿Cómo lo haces?]

Háblame sobre el tipo de dificultades de

temas de cálculo.

10. ¿Cómo valoras la cantidad de contenido del curso?

¿Cuál es tu libro favorito para estudiar cálculo? [¿Por qué?]

He notado que

explicando un tema. ¿Le sugerirías al profesor continúe con esa técnica en

el futuro? Pregunta exclusiva para .

la resolución

iles esas sugerencias? Pregunta exclusiva para alumnos

13. He observado que el profesor interviene constantemente en

de un ejercicio para darles sugerencias de cómo solucionarlo, ¿consideras

que te han sido út

del grupo A.

14. He observado también que el profesor les advierte sobre posibles errores

que pueden cometer cuando trabajan con un concepto, ¿esto te ha

ayudado en algún sentido? Pregunta exclusiva para alumnos del grupo A.

- 243 -

15. Supón que alguien está interesado en saber la forma en cómo has logrado

aprender cálculo, ¿qué le dirías al respecto? [¿Hay algo que llame tu

atención cuando estudias cálculo? Si tuvieras que mencionarle a alguien los

factores que condiciona tu aprendizaje de la asignatura, ¿qué le dirías?]

Datos

A) ¿En qué carrera estás inscrito?

C)

D)

ota: ¿Tienes algún comentario, observación o pregunta que desees hacerme?

generales:

B) De no haber podido estudiar esta carrera, ¿cuál otra hubieras elegido?

¿El tiempo que duró la sesión te pareció adecuado?

¿Algunas preguntas te parecieron que estuvieron demás?

N

- 244 -

Una caracterización de la cultura didáctica al interior...

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