Razonamientos espontáneos asociados a la...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

Razonamientos espontáneos asociados a la Modelación Matemática no lineal. Un análisis clínico

Presentado por:

KENNY DE JESÚS COYOC TORO

Asesor:

M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa

Para obtener el título de:

LICENCIADO EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

Modalidad: Tesis individual

Mérida, Yucatán, México

Julio 2007

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a mi asesor de tesis, M. en C. Eddie de Jesús Aparicio Landa, por

creer en mí, por su confianza, por valorar mis ideas, por su paciencia y respeto

y por sus consejos.

Gracias a mis padres, Romer y Madeleine, por su inmenso apoyo y amor, por la

educación y valores que me han inculcado durante toda mi vida y por toda la

confianza que han depositado en mí. A mi hermanita Shirley, por su apoyo,

para que yo termine la licenciatura.

Gracias a Neida, mi abuela, por ofrecerme su apoyo en todo momento.

A Eleazar, mi amor eterno, por su apoyo inmenso e incondicional, por su amor,

comprensión y compañía.

A mis compañeros de licenciatura: Mayra, Cristy, Karla, Erika, Eduardo,

Adriano, Jorge, Jesús, Rocío y Tere, por caminar juntos en esta gran

experiencia en un ambiente de compañerismo y respeto.

A todos mis profesores de licenciatura, por hacer de mí una persona preparada

y confiar en mí.

ÍNDICE

PRELIMINARES……………………………………………………………….......... i

CAPÍTULO 1

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y OBJETIVO DE INVESTIGACIÓN…………………………………………………………….

1

1.1. LA MODELACIÓN MATEMÁTICA………………………………… 2

1.2. LA MODELACIÓN MATEMÁTICA EN EL ÁMBITO ESCOLAR.. 3

1.3. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN……………………………….. 5

1.4. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN…………………………….. 10

CAPÍTULO 2

MARCO TEÓRICO DE REFERENCIA……………………………………. 11

2.1. REVISIÓN LITERARIA……………………………………………… 12

2.2. CONSIDERACIONES COGNOSCITIVAS………………………. 18

2.3. PROPUESTAS DIDÁCTICAS……………………………………. 19

2.4. SOBRE LO EPISTEMOLÓGICO………………………………… 21

2.5. LA DIDÁCTICA Y LA INVESTIGACIÓN………………………… 24

2.6. CONSIDERACIONES.............................................................. 25

CAPÍTULO 3

MÉTODO DE INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS……………………………. 27

3.1. INGENIERÍA DIDÁCTICA……………………………………….. 28

3.2. LA SECUENCIA DIDÁCTICA…………………………………... 31

3.3. ANÁLISIS A PRIORI……………………………………………. 32

3.4. EXPERIMENTACIÓN…………………………………………… 34

3.5. ANÁLISIS A POSTERIORI…………………………………….. 35

3.5.1. EQUIPO 1, FASE I………………………………………… 35

3.5.2. EQUIPO 2, FASE I………………………………………… 47

3.5.3. EQUIPO 1, FASE II………………………………………… 54

3.5.4. EQUIPO 2, FASE II………………………………………… 61

CAPÍTULO 4

RESULTADOS Y CONCLUSIONES……………………………………. 74

4.1. ANÁLISIS A PRIORI VS ANÁLISIS APOSTERIORI…………. 75

4.1.1. FASE I………………………………………………………. 75

4.1.2. FASE II……………………………………………………… 77

4.2. RESULTADOS…………………………………………………… 81

4.3. CONCLUSIONES……………………………………………….. 84

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………. 87

ANEXO 1. LA SECUENCIA…………………………………………….. 90

ANEXO 2. HOJAS DE TRABAJO……………………………………… 95

PRELIMINARES

Este trabajo de investigación refiere a los razonamientos espontáneos que

emplean algunos estudiantes universitarios al momento de confrontarse a

actividades que involucran situaciones de modelación matemática.

Actualmente la modelación matemática está siendo fuertemente difundida como

método de enseñanza, se piensa que mejora en los estudiantes la capacidad de

leer, interpretar, formular y solucionar situaciones-problema (Salett, Hein, 2004).

Por ello, buscamos llevar a los estudiantes al manejo de nociones de variación e

interrelación de dos magnitudes que involucren el concepto de función y se

favorezca el desarrollo de habilidades como la modelación, importante para

adquirir las herramientas matemáticas necesarias para su formación integral y

matemática.

Sin embargo, se ha documentado en la literatura, el privilegio de argumentos de

corte algebraico que forman a los conceptos matemáticos como objetos

elaborados y ya prefijados, alejados totalmente de argumentos situacionales

(Buendía, 2006), pensando que esto llevará a mejorar el aprovechamiento de los

estudiantes. En consecuencia, hay estudiantes con problemas referentes a la

modelación matemática. En particular, los estudiantes asocian modelos lineales a

situaciones que involucran modelos no necesariamente lineales.

La modelación matemática es un tema con muy diversas e importantes

aplicaciones, tal como se hace notar en las aportaciones y trabajos que muchos

investigadores han realizado (Arrieta, 2003, Farfán, 1987, Mochón, 2000) y

también en las múltiples perspectivas desde las que esta actividad ha sido

observada.

En esta investigación tuvimos como objetivo, realizar un estudio sistemático de

corte clínico, apoyados en la Ingeniería Didáctica como metodología para la

búsqueda de evidencia confiable sobre los razonamientos que emplean

estudiantes al momento de modelar matemáticamente.

i

En el capítulo uno damos un breve panorama de la concepción de modelación

matemática a nivel preparatoria, se definen algunos términos que utilizamos

durante el desarrollo de esta investigación, describimos el problema de nuestro

estudio y presentamos los objetivos que se persiguieron en este trabajo.

En el capítulo dos ofrecemos un marco de referencia para situar al problema que

nos referimos. Mencionamos algunas investigaciones realizadas de corte

epistemológico y cognitivo, y aquéllas que proporcionan propuestas de

aprendizaje.

En el capítulo tres, proporcionamos un breve panorama de lo que es la Ingeniería

Didáctica, describimos la secuencia didáctica seguida en este trabajo, el análisis a

priori, la experimentación y el análisis a posteriori desarrollado en esta

investigación.

Finalmente, en el capítulo cuatro proporcionamos la confrontación del análisis a

priori con el análisis a posteriori, algunos resultados y conclusiones relacionadas

con la obtención de evidencia empírica sobre el pensamiento de tipo lineal en los

estudiantes entrevistados y algunas consideraciones que favorecen al modelado

de tipo no lineal.

ii

CAPÍTULO 3

MÉTODO DE INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS

Capítulo 3: Método de Investigación y Análisis

3.1. INGENIERÍA DIDÁCTICA

En esta investigación pretendimos mostrar que los modelos de tipo exponencial

presentan más problemáticas a nivel cognoscitivo que los modelos de tipo lineal o

periódico. Nuestra idea básica es que los modelos exponenciales y periódicos

requieren formas de pensamiento y habilidades más complejas y específicas que

los modelos lineales. Así, pretendimos responder lo siguiente: ante una situación

o fenómeno de tipo exponencial ¿qué formas de pensamiento y habilidades son

las que movilizan los alumnos?, ¿qué tipo de mecanismos didácticos y/o

cognitivos podrían hacerse presentes al momento de modelar matemáticamente?

Para responder lo anterior nos centramos en dos aspectos:

1) Dar evidencia de que los estudiantes atribuyen modelos lineales a

fenómenos cuyo comportamiento no es lineal. Esto puede deberse a que

los modelos lineales son más fáciles de captar o de resolver.

2) Hacer que los estudiantes confronten sus ideas y modelos que ellos

proponen acerca del comportamiento de una situación con otros modelos.

El fin es analizar las acciones de los estudiantes al momento de modelar.

Para realizar lo anterior recurrimos a la Ingeniería Didáctica como metodología de

investigación.

La noción de ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas por la

escuela francesa a comienzos de los años ochenta. Según Artigue (Artigue, 1995)

“se denomina Ingeniería Didáctica a una forma de trabajo didáctico semejante al

trabajo de un ingeniero quien, para realizar un proyecto determinado se basa en

los conocimientos científicos de su dominio y acepta someterse a un control de

tipo científico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar

con objetos mucho más complejos que los depurados por la ciencia y, por lo

tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los medios disponibles,

problemas de los que la ciencia no puede hacerse cargo”. Es importante hacer

- 28 -


notar que el término de ingeniería didáctica puede utilizarse bajo dos aspectos:

como metodología de investigación y como producción de situaciones de

enseñanza-aprendizaje. Para efectos de este trabajo de investigación, tomamos

el primer aspecto de la Ingeniería Didáctica.

En la metodología de la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1998 p. 38) se distinguen

cuatro fases:

• La fase de Análisis Preliminar.

En una investigación de ingeniería didáctica, la fase de concepción se basa no

sólo en un cuadro teórico didáctico general y en los conocimientos didácticos

previamente adquiridos en el campo de estudio, sino en un determinado número

de análisis preliminares. Los más frecuentes tocan:

• El análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la

enseñanza.

• El análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos.

• El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y

obstáculos que determinan su evolución.

• El análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización

didáctica efectiva.

Todo lo anterior se realiza teniendo en cuenta los objetivos específicos de la

investigación.

• La fase de la Concepción y el Análisis a priori de las actividades y tareas.

En esta fase se consideran las elecciones de las variables didácticas y se realiza

un análisis de restricciones que le permiten al investigador controlar los por

menores que se presenten. Estas son las variables de comando que él percibe

como pertinentes con relación al problema estudiado. Así, el investigador debe

- 29 -


formularse una serie de supuestos al respecto, es decir, el análisis a priori está

basado en un conjunto de hipótesis.

La validación de estas hipótesis está, en principio, indirectamente en juego en la

confrontación que se lleva a cabo en la cuarta fase entre el análisis a priori y el

análisis a posteriori.

En esta fase:

• Se analiza qué podría ser lo que está en juego en esta situación para un

estudiante en función de las posibilidades de acción, de selección, de

decisión, de control y de validación de las que él dispone, una vez puesta

en práctica en un funcionamiento casi aislado del profesor.

• Se preveen los campos de comportamientos posibles y se trata de

demostrar cómo el análisis realizado permite controlar su significado y

asegurar, en particular, que los comportamientos esperados, si intervienen,

sean resultado de la puesta en práctica del conocimiento contemplado por

el aprendizaje.

• La fase de Experimentación.

En esta fase ha de llevarse a cabo la puesta en escena y la implementación de la

ingeniería elaborada.

• La fase de Análisis a posteriori y evaluación.

En esta fase se contempla la recolección de los datos recogidos en el proceso de

experimentación, de las observaciones realizadas de las secuencias de estudio,

así como de las producciones de los estudiantes., es decir, se basa en el conjunto

de datos recogidos a lo largo de la experimentación.

En la confrontación de los dos análisis, el a priori y el a posteriori, se fundamenta

en esencia la validación de las hipótesis formuladas en la investigación.

- 30 -


3.2. LA SECUENCIA DIDÁCTICA

En nuestro estudio manejamos la idea de una elaboración y aplicación de 1)

Actividades que supusieran al modelo matemático lineal (función lineal) como el

privilegiado por los alumnos al momento de solicitarles modelar situaciones y 2)

Actividades en las que proporcionamos mecanismos que favorezcan la

modelación de tipo exponencial, para cubrir los dos aspectos en los que nos

centramos. Así que decidimos hacer el estudio en dos fases.

Estas dos fases fueron diseñadas siguiendo a la Ingeniería Didáctica como

metodología didáctica. De acuerdo al análisis epistemológico que se mencionó en

el capítulo dos, diseñamos ciertas actividades como una especie de situaciones

(que nosotros llamaremos situaciones-problema) en vez de “problemas tipo”1, es

decir, pretendimos que los alumnos se confrontaran con una situación, (para

analizarla) y no con una tarea, entendiendo por ésta a los problemas tipo.

En la primera fase (llamada Fase I), incluimos tres actividades para cubrir el primer

tipo de actividades.

En la segunda fase incluimos cuatro actividades. Las tres primeras eran la

similitud de las tres primeras, respectivamente, de la fase 1. En éstas se pretendía

que los estudiantes se percataran que el modelo de tipo exponencial, era el que

mejor representaba a las situaciones tratadas, cubriendo así el segundo tipo de

actividades.

Por último, la cuarta actividad la diseñamos con el fin de buscar evidencia sobre la

posibilidad de los estudiantes para modelar exponencialmente.

En resumen, el cuerpo de las actividades estuvo compuesto por siete actividades.

Las tres primeras actividades (Fase I) iban destinadas al estudio de los

razonamientos que los estudiantes tienen asociados a la modelación matemática

no lineal; las cuatro restantes (Fase II), al estudio de la asimilación, por parte de

1 Problemas tipo: aquellos problemas que los alumnos resuelven mediante algoritmos para adquirir ciertas destrezas sobre cierto conocimiento matemático.

- 31 -


los estudiantes, de ciertos mecanismos, en problemas que involucran modelado,

que los ayuden a alcanzar un razonamiento no lineal, es decir de tipo exponencial.

De ahí que nos dimos a la tarea de incluir algunos mecanismos o elementos en

las actividades de la fase II que, supusimos, favorecerían a que los estudiantes

logren hacer razonamientos acerca de la variación no lineal y puedan proponer al

modelo exponencial como el mejor que modela la situación plantada.

3.3. ANÁLISIS A PRIORI

La idea básica que manejamos en

este estudio es la elaboración y

aplicación de actividades (Fase I)

que supusieran al modelo

matemático lineal (función lineal)

como el elegido por los alumnos

para modelar la situación en

cuestión y otras actividades (Fase

II) en las que supusimos ciertos

mecanismos tendientes a

favorecer la modelación de tipo

exponencial.

La primera fase fue con el fin de

mostrar que los estudiantes

tienden a representar un

fenómeno a través de un modelo

de tipo lineal, aunque no sea este el caso.

Estudio de modelos de tipo exponencial contra modelos de tipo lineal.

Detectar mecanismos que favorezcan o no a la modelación exponencial

Actividades y tareas sobre modelos exponenciales

Actividades y tareas donde mecanismos y ver si contribuyen a la modelación de tipo exponencial.

Modelo lineal VS modelo exponencial

Figura 3.1 Ingeniería didáctica en tres fases.

Pretendimos reconocer las competencias y las dificultades que desarrollan los

estudiantes para modelar un fenómeno de tipo exponencial y mostrar que los

estudiantes recurren a modelos de tipo lineal en situaciones de tipo exponencial.

Para ello recurrimos a la observación de los razonamientos espontáneos

- 32 -


asociados a la variación por parte de los estudiantes. También nos basamos en el

empleo de variables como una fórmula, una gráfica o una tabla y el discurso

verbal.

La segunda fase incluyó en las actividades, ciertos mecanismos cognoscitivos,

didácticos, que a nuestro entender podrían favorecer el pensamiento matemático

en la modelación de tipo exponencial por parte de los estudiantes, es decir, que

los estudiantes pudieran darse cuenta de que un modelo de tipo exponencial

constituye un mejor modelo de la situación en curso.

De las primeras tres actividades de la Fase I, se esperaba que:

• Los estudiantes hicieran uso del manejo de ecuaciones, funciones, tablas,

gráficas, relaciones o razonamientos sobre variación de tipo lineal.

• Los estudiantes emplearan formas discursivas y gestuales al momento de

tratar de modelar la situación presentada en la respectiva actividad como

apoyo a sus entendimientos.

• Los modelos lineales constituirían el tipo de solución espontáneo que los

estudiantes propondrían como la respuesta a la actividad.

En las otras cuatro actividades de la Fase II, se esperaba que:

• Los estudiantes comparan sus razonamientos hechos en la fase 1 con

algunas consideraciones hechas en la fase 2.

• Los estudiantes vislumbraran y percibieran que las actividades de la fase 2

se modelaban con modelos no lineales, es decir de tipo exponencial.

• Los estudiantes notaran y utilizaran algunos factores o mecanismos

propuestos por nosotros para poder modelar “exponencialmente (no lineal)”

la situación planteada en las actividades (mecanismos que favorecieran el

modelado de tipo exponencial).

- 33 -


3.4. EXPERIMENTACIÓN

Para la realización e implementación de la fase de diseño experimental de la

Ingeniería Didáctica, se pensó en interactuar con estudiantes universitarios,

elegimos a estudiantes (3 mujeres y 4 hombres) de la licenciatura en Actuaría, en

Enseñanza de las Matemáticas y en Matemáticas del segundo semestre de la

Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán. El requisito

básico fue tener un cierto conocimiento acerca de funciones y modelación

matemática, visto en la preparatoria y su primer año de estudios superiores.

En el desarrollo de la experimentación hicimos uso de un espacio equipado

(laboratorio de didáctica) con clima, mesas de trabajo, sillas, grabadoras

reporteras, hojas de trabajo. Se contó con la observación sistemática del

investigador y un adjunto para el registro de las acciones.

Se formaron dos equipos de tres y cuatro estudiantes, cada uno de los cuales

tenía al menos una mujer y un hombre.

A continuación describimos la manera en que se llevó a acabo la fase de

experimentación sugerida por la ingeniería didáctica:

1. Las actividades fueron presentadas en hojas separadas, cada una. Esta

fase de experimentación fue llevada a cabo en tres momentos.

2. El primer momento fue destinado para aplicar la Fase I (tres actividades).

Se les proporcionó a los dos equipos la actividad uno y tuvieron 20 minutos

como máximo para que lo resolvieran. Se siguió el mismo procedimiento

para las actividades dos y tres.

3. El segundo momento fue destinado para que los estudiantes tuvieran un

receso de 20 minutos para que tomaran un refrigerio.

4. Finalmente en el tercer momento se aplicó la Fase II (cuatro actividades),

siguiendo el mismo procedimiento que en la Fase 1

- 34 -


El primer y el tercer momento fue grabado con ayuda de las grabadoras reporteras

y se hicieron observaciones clínicas en ello. Las observaciones clínicas son un

método utilizado para estudiar el comportamiento de un grupo, con la

característica de que lo que se observa viene de determinar categorías de

observación, que se determinan de observaciones preliminares.

3.5. ANÁLISIS A POSTERIORI

Para una mejor recolección e interpretación de las observaciones y comentarios

en la etapa experimental, nos valimos del empleo de códigos para las anotaciones

que hicimos durante la observación clínica y durante las transcripciones:

• Por ejemplo, HA se refiere al alumno Alejandro y ME se refiere a la alumna

Elizabeth. H: Hombre; M: Mujer.

• El uso de tres puntos entre corchetes […] que aparecen en medio de un

enunciado, denotan que en un diálogo no fue posible escuchar con claridad

los comentarios de los estudiantes.

• El uso de llaves ({ ) denotan interrupciones o diálogos simultáneos de

estudiantes.

A continuación describimos lo ocurrido durante la aplicación de las actividades.

3.5.1. EQUIPO 1, FASE I

Actividad 1

HA tiene la iniciativa, lee las instrucciones de la actividad 1.

ML: “¡Ah! Está buena”

Refiriéndose a que la actividad está muy interesante.

ML: “Primero comenzamos con 500 bacterias”

- 35 -


HA: “O sea ¿Es t de cero?”

< M: “Ajá” >

ML: “En la hora cero tenía 500, en la hora 12 tenía mil”

Anotan los datos con notación de fórmula para una función f.

Gesticuló con sus manos la figura de un pozo para referir las dos cantidades.

Hay una relación entre la notación, la función y lo gestual, pues para esa

notación que escribieron saben que para 0 la función f dará como resultado el

valor 500, así como para 12 horas. Además, esto tratan de comunicarlo con

un ademán con las manos como la figura de un pozo.

MS se mostraba como poco pensante.

HA: “Solamente aumentó la mitad, no el doble en doce horas”

< M: “Ajá” >

ML: “Y crece a una razón proporcional a su magnitud que es de 500 en doce

horas. ¡No!, porque crece a una razón proporcional a su magnitud, o sea,

dependiendo del tamaño que tenga es como va a crecer, ahorita en las doce

horas ya tiene mil, entonces va a crecer más en ese tiempo, o sea, no sé, tal

vez en 24 horas ya haya 10,000 o algo así”

HA: “Exacto”

ML: “No son 1500 sino 2000 o algo así”

Discuten sobre la frase “crece a una razón proporcional a su magnitud” se

dan cuenta de que en un primer momento hay 500 y en 12 horas hay 1000,

- 36 -


entonces discuten de que en 24 horas será como 2000, porque es

proporcional a la magnitud, es decir, ellos consideran que el valor que se

busca depende de la magnitud anterior, esto es, “dependiendo del tamaño

que tenga es como va a crecer”.

HA: “Sí, porque sino crecería de manera constante” (12:23)

Analizan el hecho de que aumentó 500 y si no fuese proporcional a su

magnitud, sería 1500 en 24 horas. Porque sería constante. Logran darse

cuenta de que si fuera constante aumentaría o crecería lo mismo cada 12

horas.

ML: “Ajá”

HA: “Dependiendo de su magnitud, como tenía 500 en 12 horas creció el doble,

entonces en otras doce horas tal vez sea 2000 mil, en otras 12hr va a ser

4,000”

ML está de acuerdo, pues mientras HA habla, ella lo repite y dice que ella

también lo ve así.

ML: “¿Y quién lo está preguntando? ¡Ah! Una ecuación matemática”

Se preguntan porqué tienen que hacer ese análisis y se dan cuenta de que

están hallando una ecuación matemática. O sea, para hallar un modelo se

debe hacer un análisis de la situación.

HA: “Entonces ¿cuánto crece cada hora? Yo pienso, no sé, sería igual a 500 […]

un número que multiplicado por doce me dé el valor de la colonia”

ML: “1000 dividido entre 12, entonces […] ¿sería entre 12? 500 - 1000

Todos dijeron, ajá!

- 37 -


Hallan el crecimiento de bacterias por hora. Pues piensa en un modelo en

que se proporcione la hora y se de el crecimiento de bacterias en ese número

de horas tomando en cuenta las primeras 500 bacterias.

La razón a la que crece cada hora la hallaron dividiendo las diferencias del

tamaño de la colona entre las diferencias de horas, respectivas (pendiente).

Escribiendo en su mano con los dedos dos cantidades para realizar una

división.

HA: “Seria mejor 125/3 de x”

Encontrando así una función donde es constante. 0t

< ML: "Será??, no creo!! Evalúa algunos valores, cuánto da con 24?" >

< ML: "¡Aah!, el valor que teníamos al principio" >

Evalúan el valor y se dan cuenta que les da 1500. Al principio habían hecho

unos razonamientos acerca de que en 24 horas no sería 1500 sino 2000 o

10,000 pues no es constante. Sin embargo, no se dieron cuenta de que la

respuesta que obtuvieron era incorrecta.

HA: “¡Toda la función para que dé esto!”

< ML: “Estaba fácil” >

Lo dicen como que se esforzaron demasiado para que al final sea una

función sencilla que pudieron haberla hallado desde el principio.

HA: “Es que al final de cuentas para t de 12, nos da 1000 […], si está bien, porque

si dijera una razón inversamente proporcional a su magnitud sería algo entre

lo que crece”

HA: “Si fuese directamente proporcional sería una línea”

ML: “Ajá, y si sube uno sube el otro”

- 38 -


Todos se preguntan si está bien la ecuación buscada y evalúan también con

el valor 9.

Su respuesta fue la siguiente ecuación:

Hubo un integrante que no estaba de acuerdo pero terminó convencido. Para 0 da

500, para 12 da 1000, para 24 dio 1500, y como ya habían hablado de esos

valores, se olvidaron de sus razonamientos hechos al principio, concluyendo que

la fórmula estaba bien y por último evaluaron 9 y les dio 750.

Dijeron que estaba bien porque es directamente proporcional, es decir, que

conforme aumenta uno, el otro también aumenta. Se dieron cuenta de que no es

inversamente proporcional.

Cuando dicen la frase: “está bien, porque si fuera inversamente proporcional…”,

aquí hay evidencia de que toman en cuenta las diferentes situaciones que se

podrían dar, llegando así a las restricciones de la resolución del problema.

Duración de la resolución (7 minutos, 12:20 pm -12:27 pm)

Actividad 2

ML: “Es lo mismo que la anterior” (leyó las instrucciones) depende de la velocidad

de consumo, ¿mientras más rápido vaya más gasta o cómo está?”

Los estudiantes dicen que es lo mismo que la actividad anterior, pues se dan

dos pares de datos y se pide hallar una ecuación matemática.

MS "Mientras más rápido vaya, menos gasolina gasta"

HA: “Entonces es inversamente proporcional [...] entonces la función que estamos

buscando es inversamente proporcional porque mientras una aumenta la otra

disminuye. Entonces tiene que ser un cociente” […]

- 39 -


Gesticula con las manos la idea de un cociente para referir lo inversamente

proporcional, la mano izquierda arriba y la mano derecha abajo.

De acuerdo a los datos que proporciona el problema, los analizan y

empiezan a hacer razonamientos acerca de que mientras más rápido vaya,

menos gasolina gasta, esto da pie a que pronuncien de que se trata de que

el consumo de gasolina y la velocidad de recorrido son inversamente

proporcionales.

Logran hacer una relación entre el comportamiento de las variables y el

concepto matemático de “inversamente proporcional”.

Logran hacer una relación entre el concepto matemático y un cociente. Sin

embargo, no se hace evidente si los alumnos comprenden que el cociente es

constante y que por ello mientras aumenta uno, el otro disminuye.

HA dibuja un plano coordenado XY y unos puntos en la hoja, pero lo hace de

manera errónea, entonces todos discuten acerca de cómo debe ir la gráfica.

ML: “No, el 100 (refiriéndose a los 100 km) no porque es una constante, como que

eso no es muy importante”

Al graficar los dos pares de datos que proporciona el problema, entran en

conflicto pues entra en juego una tercera variable, que es la distancia de 100

km. Dibujan un plano coordenado XY y discuten sobre las tres variables: la

distancia de 100 km, la velocidad de recorrido y el consumo de gasolina.

- 40 -


Llegan a la conclusión de que la distancia de 100 km, no debe incluirse en la

gráfica, pues es una constante que no es muy importante.

Cuando dibujan el plano y los dos pares de datos uno dice que necesitan una

pendiente.

ML: “Es como una pendiente acá la que necesitamos”

MS hace un gesto de inseguridad y se muestra demasiado pensante.

Hallan unas equivalencias. Uno de ellos pide que se halle el consumo de

gasolina por metro, pero en realidad lo que quiere es el consumo de gasolina

por km.

Este consumo de gasolina por metro lo hallan dividiendo el consumo de

gasolina entre la velocidad en que recorre los 100 km. Por ejemplo: HA dice

que se divida 7.2 entre 60 y 5.7 entre 90. ML hace unos cálculos en la

calculadora.

HA escribe los resultados de los cálculos que hizo ML, luego MS hace más

cálculos, e indica a HA el cambio en las proporciones (en la hoja escriben que

para los litros es un medio y para las velocidades).

HA: “La distancia aumenta ½ […] y la velocidad aumenta la mitad de lo que tenía

antes”

- 41 -


Indica con la mano el aumento de la velocidad y la disminución de la

gasolina, ML escribe la idea y MS contribuye a la idea de ML y discuten sobre

esto.

HA: “Lo que es directamente proporcional, o sea lo que está aumentando“

ML: “Va disminuyendo, pero ¿será que siempre cuando aumente se va a ir

disminuyendo en el otro?”

HA trata de explicar la idea de ML y MS, pero no se da a entender, entonces

ML interviene para aclarar la idea.

HA: “x es el consumo original y le voy a quitar la mitad de lo que está aumentando”

[…]

Analizan que 90 es la velocidad de recorrido anterior mas la mitad de esa

velocidad.

Para representar esto con una notación escriben lo siguiente.

ML: “Ajá, pero cómo lo escribo […]”

HA escribe en la hoja

y ML sigue con dudas, encierra X en un círculo pero luego escribe que no es

un error.

HA explica la idea:

- 42 -


Y luego alguien dice que es para el consumo de 90 km/h. Pero esta formula

es para las velocidades, entonces escriben la siguiente ecuación.

ML y MS están de acuerdo diciendo que sí pero piden que se pruebe y ML

hace los cálculos, llegan a un error, pasan a la hoja 2.

HA hace cálculos y se preocupa por el tiempo.

MS dice que no se puede porque es NISSAN y bromea pidiendo otro carro y

ML se pregunta si tiene algo que ver la marca del coche…

MS dice que va a dormir, escribe en la hoja 2 que en 100 km 60km – 7.2 lt.

HA escribe en la hoja 1, al final de ella: 0.12 lt – 0.18 lt – 0.60 lt, luego escribe

en la hoja 2 una fórmula pero la encierra por ser un error.

Su modelo es el siguiente para el consumo de gasolina.:

Pero incluye en la razón en vez de la razón entre el consumo.

ML y MS resuelven con la función buscada anteriormente el inciso b y se

dirigen a ella como la “función chafa”…

- 43 -


HA escribe en la hoja 1 un cociente.

Con ésta ecuación hallan el consumo de gasolina cuando recorre la distancia

de 100km a 70km/h. ML escribe y subraya su respuesta en la hoja 2.

No lograron concretar una ecuación en la que todos estuvieran conformes.

Escribieron uno, pero es uno lineal.

Duración de la resolución: 12:28 pm -12:48 pm

Actividad 3

HA lee las instrucciones. Dibuja una vela indicando los 30 cm alguien dice

que ninguna de las tablas empieza en 30.

HA: “Hay que ver ¿cuál tabla es la que va adecuada?” […]

ML: “Dependiendo de qué vela sea"

HA: “Si es de buena marca”

MS: “No”

Se dan cuenta de que ninguna de las tablas empieza en 30 cm. Hacen

razonamientos acerca de la marca de la vela y la mecha, se preguntan si eso

influye en los resultados. Aquí se da evidencia de que empiezan a considerar

todas las variables de la situación.

ML: “Es que sí, está diciendo que en 13 minutos se derritió 2 cm”

MS: “¿Quién lo dice, dónde está?”

ML: “Es que la vela es de 30 cm y en 13 minutos ya mide 28 cm”

- 44 -


HA: “Entonces los primeros 13 minutos ¿quiere decir que…?”

ML: “¿… que va a ser constante? […]”

MS: “Cuando prendemos una vela ¿cuándo se derrite más rápido, ¿cuando la

acabas de prender o cuando ya se está gastando?”

Se pregunta qué vela será e indica con la mano la disminución con el dedo

índice y el pulgar y la mano cerrada un movimiento hacia abajo.

Analizan las tablas y se dan cuenta de que en 13 min, ya se derritió 2 cm.

Hacen una interpretación de la tabla. Pero se preguntan qué ocurrió en esos

13 minutos, si tal vez fue constante el derretimiento de la vela.

ML: “¿Puedo sacar una vela? (Risas, se pregunta cosas como la siguiente)

“cuando prendo una vela ¿cómo se derrite? ¿Más rápido o más lento?

(silencio corto). Creo que se derrite más rápido cuando la acabas de prender

¿no?”

HA: “Sí, porque la mecha está larga”

MS: “No tiene nada que ver”

Refiriéndose a la mecha.

ML: “¡¡Claro que sí tiene que ver!! […]”

Indica que debe ser la tabla 1 ó 3 sin dar razones, después de unos

segundos indica la tabla 3 como la respuesta y dice lo siguiente.

ML: “Debe ser ésta porque no puede ser que se derrita de manera constante”

MS: “Si es constante, va a ir bajando lo mismo”

ML y MS hacen cálculos en la calculadora de las imágenes de la tabla 3, los

escribieron en la hoja, entonces ML dijo “no es constante”.

- 45 -


HA: “¿Sabes por qué no? Porque toda la cera que se va acumulando, mientras

más va pasando, más lento se derrite, entonces hay que buscar uno que

conforme vaya bajando se vaya haciendo más lento […]”

Sugiere ver la tabla 2

Consensúan de que el derretimiento de la vela al principio se derrite más

rápido, entonces buscan una tabla en que las diferencias entre las alturas se

vaya haciendo más chica. Hicieron razonamientos del comportamiento del

derretimiento de la vela de acuerdo a sus experiencias previas.

Ellos dijeron que “conforme vaya bajando se vaya haciendo más lento”. Se

refiere con “más lento” al derretimiento de la vela.

HA escribe unos cálculos de la tabla 1 en la hoja 1, mientras que ML y MS

hacen sus cálculos de la tabla 3 y 2, respectivamente en la hoja 2.

HA: “Ésta no es, va aumentando conforme la primera (columna) está aumentando.

¡Ve cómo está cambiando! Está aumentando su velocidad, la razón está

aumentando” (refiriéndose a la tabla1)

Camban las variables (tiempo y altura) del problema por las variables de

tiempo y velocidad de derretimiento de la vela.

MS indica que la respuesta es la tabla 3, aunque analiza también la tabla 2

indicando que no es la respuesta porque ésta es constante.

Su respuesta fue la siguiente:

- 46 -


Bromean diciendo “demuéstralo, calcula su límite”

Lograron percibir que el derretimiento de la vela no era lineal.

Duración de la resolución: 12:49 pm - 12:58 pm.

3.5.2. EQUIPO 2, FASE I

Actividad 1

HE: “Es una recta”.

Leen las instrucciones, casi inmediatamente piensan en una recta.

ME: “¿Tú crees?” […]

HE: “En 0 vale 500 ¿no?”

ME: “Ajá” […]

HJ: “Entre 0 a 12, es esto ¿no?, el doble” […]

HW: “En 0 vale 500 y cuando vale 12 vale1000”

HJ: “Ajá”

Dibujan el plano XY, sólo dibujan dos puntos y sin dibujar

alguna gráfica o unir puntos, no indican las unidades de trabajo (lo suponen

explícitamente). Sin embargo, casi inmediatamente piensan en una recta.

)500,0( )1000,12(

HE: “Con éstas cosas raras se puede formar una pendiente”

¡Sí!

¡Ajá!

¡Y ya!

- 47 -


Hallan la pendiente de la recta que pasa por los puntos que dibujaron en el

plano XY mediante la fórmula de pendiente que se enseña en la preparatoria.

Tratan de acordarse exactamente de ella.

HW escribe pero se confunde al intentar buscar y escribir la formula de la

pendiente. HJ escribe la ecuación general de la recta mientras ME le dice

cómo se debe escribir, con la mano cerrada y los dedos pulgar e indica en

forma de letra “c” indica la pendiente. HW llega al valor de la pendiente.

Todos discuten sobre la pendiente y están de acuerdo.

HW: “¡Y ya!”

Luego de hallar la pendiente la sustituyen junto con un par de datos en la

fórmula de la ecuación general de la recta. Todos están de acuerdo. Cuando

intentan hallar la ecuación que buscan tienen un error.

< H: “¿ x ?” >

< H: “¡No! Ésta es ” >

ME: “Ésta no es

y

x ”

< H:"No, es y ” >

Risas

HE: “¿A ver qué es? Es (dicta lo siguiente)”

- 48 -


< H: “Y ya” >

ven los dos puntos en el plano dibujado, se dedican a hallar la

ecuación de la recta que pasa por esos puntos y se olvidan del problema. No

e con dos puntos que proporcione el problema ya se podría dar

por hecho que el modelo es uno lineal.

:28 pm.

Activ

Cuando

hay una relación entre el marco verbal o de la situación con el marco

algebraico.

Parecería qu

Duración de la resolución: 12:21 pm -12

idad 2

Leen la instrucción pero no buscan como atacar el problema. Al principio se

ven muy pensantes.

HE y

e de la velocidad”

a 7.2 a 90 gasta 5.7, más velocidad menos consumo”

s para 60 el valor, luego para 70, para 80 y vemos las diferencias

entre ellos” […]

ME: “Es una recta”

HW: “El consumo depend

< H: “Menos velocidad menos consumo” >

< “¡¡Noo!!” >

HE: “A 60 está

ME: “Ajá, sí”

HJ: “Ponemo

- 49 -


HE lo escribe en la hoja, pero tiene un error, al escribir 100km/h, en vez de

90km/h.

ienen algunos problemas con la interpretación del problema pues hay tres

conceptos involucrados, entonces H con los dedos pulgar e índice

HE: “¿

la mano abierta, la mueve como dando brincos en el aire para

decir que la velocidad varía.

ME: “O sea, creo que lo que hay que buscar es el consumo. ¿Cuánto se consume

cada km?, ajá” […]

HE: “Pero como es inversamente proporcional”

pues no buscan cómo atacar el

problema.

agarrar la hoja y dibujar un

plano coordenado XY, dibuja los

dibujar un segmento.

T

W

separados y la mano cerrada señala los 100 km y diciendo que es sólo la

distancia que recorre (la distancia de 100 km es una constante).

Cómo, la distancia es 100km y la velocidad es 60 y 90km/h?”

ME: “Sí, ajá” […]

Señala con

Todos se muestran como desesperados

ME decide

puntos )2.7,60( y )7.5,90( y une los

dos puntos casi sin pensarlo para

- 50 -


Entonces todos ponen cara de felicidad y de que ME ya solucionó el problema

pues es parecido a la actividad anterior, en donde sólo sería hallar la

HE

HJ aconseja utilizar 3/2 en vez de 1.5 pero no lo hacen.

HJ y M dicen que está bien lo que hace, haciendo un movimiento con la

W

J reafir ano y con el dedo

a, desplazándolo

derecha para reafirmar todo hecho y

pendiente y la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos.

HW halla la pendiente y multiplica tanto al numerador como al denominador

por 100.

dice que es una pendiente negativa.

HE llega hace unos cálculos para hallar la ecuación de la recta que buscan y

E

cabeza de afirmación. Luego H termina de hallar la ecuación que buscan,

todos discuten sobre el procedimiento unos segundos.

H ma lo que dice con la mano levantada cierra la m

índice dibuja en el aire un segmento inclinado en línea rect

de arriba a abajo de izquierda a

discutido. Luego HE evalúa 70km/h en la ecuación que hallaron y les da como

resultado 6.7litros.

- 51 -


< ¡Y ya! >

Se alegran de haber encontrado la ecuación y el valor pedido en sus caras.

ué?”

HJ: “L

e menos”

indica y recalca que al resultado la falta especificar las unidades

en las que se está trabajando (litros). ME lo apunta pero todos hacen caras

de menos y también lo expresan


HW: “6.7 ¿q

itros”

HW: “Pon algo”

ME: “Es lo d

Al final HW

de que no es importante esto, que es lo

verbalmente.

Cuando ven los dos puntos dibujados en el plano, hallan la ecuación de la

recta y no relacionan su procedimiento con el problema.

Actividad 3

Leen las instrucciones. ME utiliza la calculadora para hallar las diferencias

entre los valores consecutivos de las alturas de la tabla 1.

< H: “Ésta no puede ser, ésta sí” (refiriéndose a las tablas 3 y 2 respectivamente)>

HE: “E

alturas de la tabla 1 y con la mano entre abierta señala (dando como

a abajo) que hay un cambio

HJ: “Después de 13 minutos, ¿le quedan 28 o ya se consumió 28?”

ntre ésta y ésta” (refiriéndose a las tablas 1 y 2)

Mientras, ME decide analizar, con ayuda de la calculadora, las diferencias de

pequeños brincos en el aire de forma vertical haci

entre esos valores.

- 52 -


ME: “

Refiriéndose a que la columna de la derecha de la tabla son las alturas a las

la tabla 2)

ME: “

HE: “Porque la diferencia entre éstas es constante”

Al darse cuenta de que hay una tabla donde las diferencias son constantes,

a que la respuesta es esa tabla. Todos están de acuerdo

excepto H .

H cierra la mano y con el dedo índice dibuja en el aire un segmento

J.

HJ: “¿

HW: “

HJ: “¿No puede variar?”

HW: “Sí puede, pero es otra cosa”

HJ: “¿Alguien sabe explicar por qué?”

Risas

ME: “O sea, se deshace y luego al mismo tiempo, pues (risas)”

ME con los dedos pulgar e índice y la mano cerrada indica un cachito de vela

o que eso se gasta en un momento y luego da un pequeño brinquito

con la mano de manera vertical hacia abajo para indicar otro cachito de vela

Es la altura de la vela”

que está la vela. Todos analizan las instrucciones.

HE: “Es ésta” (refiriéndose a

¿Ésta, cómo?”

enseguida indic

J

W

inclinado en línea recta, desplazándolo de arriba a abajo de izquierda a

derecha para señalar el movimiento que sigue el derretimiento de la vela,

tratando de explicarle a H

Tiene que ser constante?”

Sí porque…” […]

diciend

- 53 -


gastada en otro instante (risas por los otros integrantes por lo obvio de lo que

dicen). Pues piensan que a cada minuto (intervalo de tiempo igual) se derrite

la misma longitud de vela.

Es una recta”

stá bien”

HW: “

HJ: “E

uelves a apagar y la prendes, o sea, […]”

asolina o algo así […] cuando dices razón […] luego por demostrar

os es constante dicen que esa es la respuesta

arle

con la mano que el derretimiento de la vela es constante pero no terminan de

3.5.3

Activ

ME: “Es como si la v

HW: “Le echas g

que la tabla 2… (bromea)”

< H: “Somos buenos” >

Cuando ven que la tabla d

correcta. Todos están de acuerdo, excepto uno, así que tratan de explic

explicarlo, pues se ríen como burla, pues según ellos es algo obvio. No

analizan lo que han vivido en su vida cotidiana, sólo suponen que el

derretimiento es constante.


. EQUIPO 1, FASE II

idad 1

ML sugiere sólo evaluar en las funciones de los incisos.

que hay que considerar todo lo de arriba del dibujo (refiriéndose a la

se interpreta de la siguiente forma: que en el tiempo se consideren los

MS: “O la dos o la cuatro” […]

HA dice

figura). Se ponen a analizar la figura del problema y visualizan que la figura

i

puntos de la fila i correspondiente más los puntos de las filas anteriores.

- 54 -


Suma todos los puntos y verifica si se cumple en la función del inciso (iv).

Así llegan a que la respuesta es la ecuación:

HA escribe la solución en la hoja.

No se percatan de que la función exponencial es la que mejor modela la

situación y de que la actividad 1 de la Fase 1 se modelaba de manera similar.

No se dieron cuenta del comportamiento exponencial de la situación, sólo

Activ

evaluaron en la función.


idad 2

HA: “ Vieron que no era una recta […] porque como el

idad, en la ecuación tenía que

estar involucrado un cociente, por lo tanto, un cociente no te va a dar una

]

H indica que el inciso (b) es la respuesta. Da la explicación de porqué la

No es la mejor ¡¡Jajaja!!

consumo de la gasolina era inverso a la veloc

recta” […

La risa de alegría o como de ironía, se debió a que su repuesta en la

actividad 2 de la Fase I era la correcta. Los demás integrantes también ríen

siguiendo el festejo de su compañero y están de acuerdo con él.

A

gráfica del inciso (a) no es la que mejor representa a la situación, los demás

están de acuerdo y MS escribe la respuesta en la hoja.

- 55 -



Actividad 3

ML: “

mero se derretía rapidito y luego más lento”

ta y conforme va aumentando la razón va

disminuyendo, o sea, se va haciendo más pequeña”

Se refiere a que las diferencias entre las imágenes iban disminuyendo.

con la actividad 3. Dicen

que primero se derretía “rapidito” y luego más lento. El término “rapidito” lo

Analizan las gráficas y dicen que la gráfica de la recta no es, porque el

MS: “La gráfica del inciso (a) disminuye rápido al principio" […]

HA: “ ó, ya

no se va a seguir consumiendo”. (Refiriéndose al inciso (e), pues parecería

Era lento y luego rápido ¿no?

MS: “¡No!, Pri

HA: “La razón al principio era al

Siguen con sus razonamientos hechos en la Fase 1

emplearon para decir que se derrite muy rápido. Ellos lo relacionaron con que

las diferencias entre las alturas (que ellos llamaron razón) van disminuyendo

conforme pasa el tiempo. Dicen que al principio es alta y luego va

disminuyendo, es decir se va haciendo más pequeña.

ML indica que la gráfica del inciso (d) no es la respuesta porque no baja

constante y la gráfica del inciso (b) no es la respuesta (descarta opciones).

comportamiento de ésta es constante y que en el inciso (e), su

comportamiento desciende rápido.

HA indica que la gráfica e empieza en 29 y que desciende rápido y que la

gráfica del inciso (c) desciende lento.

Te estoy diciendo que después de determinado tiempo como que ya baj

que no toca al eje X).

- 56 -


anera global, pero no la analizan de

manera puntual, eso hace que tengan interpretaciones incorrectas.

ML: “Como que es asíntota aquí ¿verdad?, como que se va acercando allá y

No terminan la oración pues se entienden entre ellos, entonces MS escribe la

Su respuesta fue la siguiente:

que propusieron.

Duración de la resolución: 1:30 pm 1:33 pm.

Predicen datos, ven la gráfica de m

¡¡Aahh!!”

solución.

e)

c)

f

Sin embargo su repuesta no coincide con la gráfica

-

- 57 -


Actividad 4

ML escribe la fórmula xxxf 2.0)( −= en la hoja 1. Discuten sobre la función

t de 95 menos el .20x sino lo que quedó […]”.

cuenta de que ese modelo no es adecuado, pues sólo evalúan el precio para

e

discuten.

HA: “

y dice que no está bien.

S

Este comentario surge por el comportamiento repetitivo que perciben.

tienen y les da 156000, ML lo escribe.

unción, indican el

que hallaron. Pero también se da cuenta de lo siguiente:

M: “En 10 años no sería

Porque para el año cero si se cumple que cuesta 195,000. Pero se dan

hallar el siguiente valor del precio, y luego para hallar el otro valor tiene que

evaluar el valor que tienen para hallarlo. Pero no escriben los datos qu

¡¡Noo!! Porque lo que quedó no es x, lo que quedó es y. Es como el contador

en programación, ¿no crees? Automáticamente toma el valor”

Dice que no, en voz alta, reafirmando lo que dijo su compañera, pues analiza

la función

M : “Es algo así como una recursiva”

Evalúan 195000 en la función que

xEn esta f como el precio, pero no

ML: “Está bien […], velo,

ónde está??” […]

consideran el año (el

tiempo).

x es 195000, f de x, ¡sí está bien!, ¡¡No!! Pero y el tiempo

d

- 58 -


Hace una expresión como de sorpresa pues se da cuenta de que no incluyen

al tiempo. HA dice que en la fórmula debe de indicarse el tiempo y que

cero al momento en que el coche cuesta 195,000. Tiene

MS: “f(x) sería 195,000 menos .20x […]

el precio anterior y no toman en

cuenta el tiempo. Se dan cuenta de que necesitan una ecuación en la que

sté involucrado el (a) de la actividad se pide hallar

el precio del coche en tres años y evaluar ese tiempo para

ho año, entonces MS incluye una t en la función que

ML: “

HA: “Es inverso, porque mientras se va aumentando el año, el precio va

año va aumentando el precio” (Silencio).

variables involucradas están relacionadas de manera

inversamente proporcional y que por eso no es lineal el comportamiento de la

depreciación del coche.

195000)0( =f .

Indica como el año

una notación para el primer valor, indicando que evaluando en la función f el

año cero debe dar el precio de 195,000.

Indica la solución con t.

ML: “¡Noo!”

En la fórmula que hallaron sólo evalúan

e tiempo, pues en el inciso

no tienen cómo

hallar el precio de dic

tienen.

Cuando t es cero, es 195000, cuando t vale 1 es (silencio corto) ¡¡Ah no!! […]”

Evalúan 1 en la segunda función y se dan cuenta de que no les da el valor

que debe ser.

disminuyendo, no puede ser una lineal, lineal es conforme va aumentando el

Dice que las

- 59 -


MS propone la fórmula txf 2.0195000)( −= y dice “cuando t vale cero es

195000 y cuando t vale uno aquí debería involucrar lo que me quedaba

anteriormente […]”, no se dan cuenta de en vez de x es t, pero esto no les

los dos incisos de la actividad)” […].

como respuesta a

ML: “¿Y por qué no graficas

coordenado XY y algunos puntos y ven que se forma una

a

es una curva.

ML mo natural.

HA e va a ser cero, […] la derivada va

ser cero en un determinado tiempo” (Silencio)

uiere decir que va a llegar un momento en que se vuelva recto hacia la

erecha.

dificulta continuar.

ML hace cálculos en la calculadora y dice “podemos calcular esto sin tener la

ecuación (refiriéndose a

MS escribe el valor 99840 l inciso (a).

2 puntos por ahí? […]”

HA dibuja un plano

curva y dice “va a llegar un momento en que toque a X” (mientras ML

empieza a hacer como una sucesión a1, a2) y se da cuenta de que la gráfic

al ver la gráfica dice que podría ser un logarit

: “Va a llegar un momento en que la pendient

a

Q

d

- 60 -


MS: “Es el valor del coche menos el 20% de lo que te cuesta, eso que te dé va a

ser el valor del coche en ese momento, entonces es el precio del coche

menos el 20% de lo que le está costando […]” (silencio)

más la gráfica, diciendo que si se proporciona dos puntos que sí

queda una recta y luego dice “si consideramos 7 […]”

HA: “

ML dice que ya no quiere seguir, mientras MS usa la calculadora.

ML explica

Es algo como de series”.

HA está pensando en la respuesta y en el modelo propuesto hasta ahora.

txxf 2.0195000)( −= . MS propone la fórmula

HA dibuja otro plano coordenado XY y dos puntos en la hoja 2.

ML con la fórmula txxf 2.0195000)( −= busca hallar el valor de t e indica que

hay un error pues en un inciso están dando la respuesta con una ecuación y

relación que

relacionarlo correctamente con la ecuación que buscan.

odelo satisfactorio que modele la depreciación del auto.

Logran hacer razonamientos de variación de tipo exponencial, se dan cuenta

3.5.4

Actividad 1

en otro con la otra.

Su lenguaje y su entendimiento son correctos con respecto a la

hay entre el precio del auto y los años respectivos, pero no logran

No logran dar un m

de que la depreciación no es constante.


. EQUIPO 2, FASE II

HJ: “¿Hay tres o dos?”

- 61 -


Refiriéndose a las bacterias en el momento uno según la figura, todos

analizan dicha figura con respecto a las condiciones que propone la actividad.

s ME le dice que en el tiempo se consideran los puntos de la fila Entonce

correspondiente más los puntos de las filas anteriores.

HJ: “Es el inciso cuatro”

HW: “Yo digo que es el inciso 2”

HE y dar)

(ii) es la solución, pues

se dan cuenta de que sí cumple con los primeros valores. Mientras HJ hace

uatro con la calculadora.

E o inciso se pueden hallar todos los valores

s

Duración de la resolución: 1:24 pm - 1:28 pm

Actividad 2

HE le dice a ME que evalúe en las fórmulas. Evalúan en todas las funciones el

tiempo para verificar el resultado en la figura.

ME: “Es ésta […]. Es la dos” (lo dice casi sin du

HW: “Si, si es”

ME: “Si, yo igual”

En un primer momento piensan lla función del inciso

cálculos en el inciso c

Luego M verifica que con el últim

y dice a todos que la respuesta correcta es el último inciso, luego HE termina

de verificar también la función del inciso (iv) y reafirma que el último inciso e

el correcto.

No hacen una relación entre la situación y la fórmula, sólo evaluaron los

datos y verificaron sus resultados con la figura. No se percataron de que la

función exponencial es la que mejor modela el crecimiento de bacterias.

Es la misma que hicimos” HE: “

- 62 -


Se da cuenta de que es la misma actividad de la Fase I, entonces todos ríen

porque piensan que va estar fácil esta actividad.

H se pregunta por qué dan las otras gráficas si lo que se pide es que se den

Todos entran en un conflicto pues sus razonamientos en la actividad 2 de la

E E E a

HE: “

H y M consensúan en que la respuesta correcta es el inciso (b).

n, los

J

razones de por qué la gráfica del inciso (a) no es.

HW hace una mueca como de que no entiende la actividad.

Fase I, no coincide con lo que ésta actividad afirma. Así que se ponen a

analizar por qué esa gráfica no es la mejor.

Hay un breve diálogo entre M y H por un momento, M dice que la gráfic

del inciso (b) no varía constantemente. Entonces HE dice lo siguiente:

Va tendiendo a un límite” (refiriéndose al inciso (b))

E E

Cuando se les presenta un segmento de gráfica de una funció

estudiantes tienden a predecir los datos que faltan y a bosquejar la gráfica.

Por ejemplo, en la gráfica del inciso (b) parece que ésta no toca al eje X y

que se prolonga indefinidamente hacia la derecha sin tocar al eje X, ellos lo

interpretan como que la gráfica va tendiendo a un límite.

HW: “

< “Ajá” >

HJ: “El inciso (c) no es” (descarta este inciso casi sin dudar, sin dar razones)

HE: “El inciso (a), ¿por qué no es?”

ue no gastarías gasolina cuando estés viajando a 200 km/h”

Va a variar la velocidad, variar la velocidad también va a variar los litros de

gasolina”

HW: “Porq

- 63 -


Con esto se refieren a la intersección del eje X con la gráfica, suponen que

en algún valor va a llegar a tocar al eje X y dan por ejemplo la velocidad de

HE: “¿Eso pongo?”

HW: “De alguna manera eso estaría pasando, sino estarías hasta ganando

gasolina”

< “Ajá” > Risas de lo imposible de la afirmación en la vida real.

HW: “Si fuera hasta 200, serían los negativos. Estarías incluso hasta ganando

gasolina”

Ahora ponen de ejemplo si antes de 200, la gráfica ya intersecó al eje X,

los

200.

entonces en 200 la gráfica estaría por debajo del eje X, interpretando a

números negativos como la ganancia de gasolina.

< “Ajá” >

tratan de interpretar la

gráfica en términos del problema.

Su repuesta fue la siguiente:

Actividad 3

No analizan la situación en sí con la gráfica sino que


timiento de la vela es el inciso

(b) sin dudarlo y todos dicen que sí por los razonamientos hechos en la

ME dice que la gráfica que representa al derre

- 64 -


actividad 3 de la fase I. Entonces tratan de recordar con exactitud lo que

habían planteado en esa actividad.

HJ

a

ocurrir. Hace razonamientos de que si hay más oxígeno consume más, pero

HW: “¡Si los factores no varían es constante! (1:34)”

ue es constante porque sino

fuese otra cosa.

HJ: “El consumo de la vela”

azonamiento de su compañero refiriéndose a que el

consumo de la vela es constante.

s gráficas para dar oportunidad de dudar

el resultado, sólo escriben como respuesta la tabla dos.

b)

: “¿Por qué el derretimiento de la vela es constante?”

HW: “Decrece, varía. Por ejemplo, si hay más oxígeno consume más” […]

Risas, porque les parece gracioso porque pareciera que esto no pudier

lo tiene a un nivel constante, pues no consideran en que esto puede alterar el

comportamiento constante del derretimiento.

En la actividad tres de la Fase I, habían dicho q

Trata de completa el r

No analizan el comportamiento de la

- 65 -



Actividad 4

HE: “Están fáciles”

La resolución de las tres actividades anteriores les llevó poco tiempo, así que

por eso dijeron lo anterior.

HJ: “No es recta. Año con año va perdiendo el 20%”

HW piensa unos momentos y luego lee el inciso (a).

ME: “Pero, por ejemplo, el primer año es 195,000”

< H: “20% del valor” >

< Ajá >

ME: “Conforme lo que te vaya quedando va a ser el 20%. No es del primero”

ME indica con los dedos pulgar e índice y la mano cerrada, tratando de

comunicarlo a los demás, que va perdiendo su valor de 20 en 20% de lo que

hay.

< H: “El 20% año por año” >

HJ: “Tiene una vida útil, su vida útil, por ejemplo”

HE: “O sea, ¿es menor el 20%?"

- 66 -


HW: “Sí”

ME: “Ajá”

HJ: “No”

HJ usa el término “vida útil” para referirse al valor del automóvil. Con los

dedos juntos y la mano abierta señala el valor del precio al principio y luego

con un movimiento como en saltos verticalmente hacia abajo dice que el valor

va disminuyendo.

HW: “Va a llegar un momento en que ya no va a costar nada”

HJ: “Pero es que mayormente tienen un precio de salvamento. Es hasta el tope

donde va a llegar”

Risas.

HE: “Pero hay que hacer una ecuación”

HE: “¡Pero eso no va a ser una recta!”

ME: “No”

HW: “Allí ya no”

Todos estuvieron de acuerdo de que las actividades anteriores se resolvían

con la ecuación de una recta, pero se dieron cuenta de que esta actividad no

era.

HJ: “Es que la depreciación yo así la entiendo. Cada año se desprecia un precio

fijo, un precio fijo, un precio fijo […]. Y tiene un valor de salvamento, cuando

llegue a ese valor de salvamento ya no se va a despreciar nada más”

Risas. HJ utiliza la expresión “un precio fijo, un precio fijo, un precio fijo” para

referirse que la cantidad de dinero que se va disminuyendo del precio es fijo.

- 67 -


HW: “También hay un método como el que tú dices” […]

HW quiere decir con esto que hay uno para la depreciación donde la cantidad

es constante y otro para la depreciación cuando cada año ese valor se

vuelve más chico.

< H: “¿En cuánto tiempo el coche sólo valdrá 52,000? […]” >

Lee el inciso (b) y dicen lo siguiente.

< H: “Hay que hacer la ecuación” […] >

Piensa que se necesita la ecuación para poder hallar el tiempo en que el

coche sólo 52,000.

HJ: “Después de un año va a valer 156,0000”

Entonces HJ empieza a hacer cálculos en la calculadora para hallar el valor

del auto después de un año.

HW dibuja un plano coordenado XY.

ME escribe la siguiente ecuación en la hoja.

ME: “Yo creo”

HE: “Sí te da”

ME: “¿Sería 0.8x?”

ME dice y escribe una fórmula de y en términos de y hace un gesto de

HJ: “Y qué va a ir variando ahí” […]

felicidad y sonríe pues siente que ya ha buscado la ecuación que se pide. HW

y HE parecen estar de acuerdo con ME.

- 68 -


Se da cuenta de no se puede sustituir el valor del año, entonces hace un

gesto de desacuerdo porque que no le ponen atención.

HW: “

ndo es 0.8x.

< H:

ME sigue analiz

ME: “ r el 20% […] y luego va valer

156,000”

HJ: “Entonces sería

0.8x va a ir variando, ¡Está faltando sumar esto ¿no?!”

HW escribe otra ecuación y dice que lo que va a ir varia

“Sí, pero cuando es 195,000” >

ando la situación con lo anterior.

O sea, empieza valiendo 195,000 y le vas a quita

y , entonces y menos 0.20 de x ”

a primera depreciación, pero

que a eso le falta aplicar la misma operación.

HJ: “Y

HJ dice que la ecuación que hizo ME es par la

a tienes el valor ¿no? ¿Ese valor es y ? Entonces te queda otra vez y , y por

ME: “

l procedimiento de repetir la misma operación.

H: “L

ejemplo y (refiriéndose al otro valor que buscan), va a valer y (el valor

anterior) menos 0.20 de y "

No entiendo”

No entiende e

a x la tienes que tomar como el valor”

ME insiste en que la ecuación que propuso ( xxy 2.−= ) está bien y vuelve a

justificar sus afirmaciones.

- 69 -


ME trata de plantear una ecuación (lineal) pero los demás se dan cuenta d

que parece ser recursiva pu

e

es tiene que aplicar la misma regla para el valor

anterior que les dio como resultado.

W: “Pero y los años varían ¿no?”

E: “Sí, porque la primera vez valía 195,000, luego éste va a ser el valor del auto”

HW se

trataba de dólares.

ME: “

< H: “No, vuélvelo a explicar” >

E E

E

HW: “Es algo asintótico. No creo que llegue a cero”

< Ajá

HE: “Dibuja unos punt para

se idea de cómo es)”

HJ lo dibuja. Mientras HW quiere sustituir 100 años en la ecuación que

propuso ME y se da cuenta de que no sirve porque no puede sustituirlo y

H

M

Hacen gestos de desconocimiento de por qué no funciona la fórmula.

acuerda de un problema de una asignatura que cursa parecido a éste que

¿Ya entendieron lo que quiero decir?”

M lo explica y H está de acuerdo.

M : “Es como lo haría en cómputo […]. Tienen algo que ver, no es lineal”

Se refiere a que la gráfica debería ser una en la que tenga una asíntota que

evite que el valor del precio no sea cero.

>

os para ver, dibuja tres, (en el plano antes dibujado,

dar

- 70 -


expresa oralmente que la ecuación no es la correcta y empieza a tratar de

escribir otra.

HJ: “V

ento recto desde el primer punto hasta el tercero,

aunque todavía no se aprecia con precisión la forma de la gráfica.

HJ toma la hoja donde están dibujados los tres puntos y dibuja más poniendo

< H: “Recu

momento en que la gráfica toque al

eje x.

HJ: “Es como una exponenc egunta si los puntos son una sumatoria

e su gráfica […]”

ME dice “es algo así” señalando con el dedo índice, sobre el plano dibujado y

los tres puntos, un movimi

al punto su respectivo valor de la ordenada.

rsiva” >

Alguien utiliza el término “recursiva” para referirse al comportamiento

repetitivo del procedimiento.

HE pregunta y se pregunta si va a ver un

ial (luego se pr ,

le vienen recuerdos de cálculo, luego une los puntos del plano y dibuja una

(a) y responder el inciso (b), aunque no tengamos la ecuación

matemática (lo dice por los puntos hallados)”

una recta, pero uno busca y dibuja

gráfica de una exponencial). Sí me acuerdo […]. Ya podemos responder el

inciso

Hacen cálculos para hallar el valor

del coche los dos primeros años.

Grafican los dos primeros puntos y

tres estudiantes sospechan que es

más puntos la forma de la curva le

hace pensar que es una

exponencial.

- 71 -


Con los datos recabados en la gráfica responden las preguntas del inciso (a)

y (b) sin tener el modelo.

HW

va a quedar (Vacila que al perder valor el auto va a llegar un momento en que

l modelo matemático, esto

: “Nos estamos fijando en el problema y no en la solución. Nos piden también

una ecuación matemática, también es parte del problema […]. Como chatarra

se vuelva chatarra) […] ¿No se les ocurre nada?”

Piensa que están perdiendo tiempo en tratar de entender el problema y que

deberían fijarse más en la solución que es hallar e

en muchas ocasiones es originado por la enseñanza algorítmica de los

problemas en matemáticas.

Parece no ocurrírseles algo al analizar la ecuación que han hallado y para

hallar el modelo pedido, H hace un gesto comW o de desesperación.

HE y ME hacen como eros tres o cuatro valores y se

an cuenta de que la imagen del primer valor es el 0.8 de valor inicial, luego

se dan cuenta que la segunda imagen es el 0.8 del valor anterior. Entonces

ME pregunta si 0x es el valor 195,000 (original), le contestan que sí. Entonces

escribe lo siguiente para escribir los datos.

una tabulación de los prim

d

HE pregunta si para la segunda imagen hay que multiplicar 0.8 por 2.

- 72 -


Estos estudiantes tres años con sus respectivos

precios, entonces se dan cuenta de que hay algo como que se repite, uno de

su tabulación la variable tiempo y dice que los años sí

tienen que ver.

ablecido y no terminan el ejercicio.

o pueden hallar un

patrón, por el aspecto recursivo de esto.

pm.

analizan los primeros

ellos se pregunta si 0.8 se multiplica por 2 (lo correcto es elevar a una

potencia ese valor).

ME no encuentra en

Termina el tiempo est

En todos sus razonamientos y ecuaciones propuestas n

Duración de la resolución: 1:35 pm - 1:55

- 73 -

CAPÍTULO 1

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Y OBJETIVO DE

INVESTIGACIÓN

Capítulo 1: Descripción del Problema y Objetivo de investigación

1.1. LA MODELACIÓN MATEMÁTICA

Actualmente en los distintos currículos que existen se pretende que las personas

tengan una formación integral, que adquieran las herramientas necesarias para

que se desarrollen y desempeñen satisfactoriamente en la sociedad y que lo que

aprendan en la escuela lo puedan aplicar a su vida cotidiana. Particularmente, con

el estudio de la matemática se pretende que las personas sean capaces de

desenvolverse en una sociedad tecnológicamente avanzada, lo cual incluye, entre

otras cosas, la capacidad de razonar lógicamente, resolver problemas no

rutinarios y comunicarse por medio de ideas fundamentadas en las matemáticas

(Salett, Hein, 2004). Esto es, se pretende que las personas tengan un aprendizaje

significativo y funcional de lo que ven en la escuela.

Uno de los propósitos de que la matemática esté incorporada en los diferentes

niveles educativos es que la matemática apoye al individuo a resolver problemas

de su vida cotidiana y laboral. Un elemento que se destaca de la resolución de

problemas es la formulación del modelo matemático, razón por la cual deben estar

considerados los modelos matemáticos en todos los niveles educativos

(Camarena, 2000, citado en Martínez, Camarena, Ballet (2004)).

Para muchos autores la modelación matemática se ha considerado un arte con

“bases racionales”, que requiere del sentido común tanto como de las

matemáticas, desde este punto de vista, el modelo de algún fenómeno es una

herramienta usada para transformarlo, es algo utilizado en sustitución de lo

modelado, donde la manipulación del modelo permite entender y predecir el

comportamiento del fenómeno, así como validar hipótesis y elaborar estrategias

para la intervención (Arrieta, 2003, citado por Morales, Farfán, 2004).

La modelación matemática es un tema con muy diversas e importantes

aplicaciones, tal como se hace notar en las aportaciones y trabajos que muchos

investigadores han realizado (Arrieta, 2003, Farfán, 1987, Mochón, 2000) y

también en las múltiples perspectivas desde las que esta actividad ha sido

observada.

- 2 -


La modelación matemática está siendo fuertemente difundida en muchos países

como un método de enseñanza, pues además de ayudar a los alumnos a

aprender matemáticas mediante la aplicación de las mismas en otras áreas del

conocimiento, también ayuda a mejorar la capacidad para leer, interpretar,

formular y solucionar situaciones problema (Salett, Hein, 2004).

En los programas de matemáticas que se rigen bajo esta concepción, se pretende

dotar al alumno de herramientas e instrumentos necesarios para que puedan

modelar y analizar una gran cantidad de situaciones en todos los campos del

conocimiento. El concepto de función y las nociones asociadas a éste,

representan un aspecto importante para lograr tales objetivos en la formación de

los estudiantes en el planteamiento y resolución de problemas que impliquen

modelado. Se pretende presentar a los estudiantes problemas y actividades en las

que entienda los conceptos matemáticos, en particular el de función real de

variable real. Como resultado de esto, se supone que ante algún problema al que

nos enfrentemos en nuestra vida diaria, podemos disponer de esos conocimientos

para resolver o predecir el fenómeno del problema mediante un modelo

matemático.

1.2. MODELACIÓN MATEMÁTICA EN EL ÁMBITO ESCOLAR

Uno de los objetivos de la educación, como ya se mencionó anteriormente, es que

las personas tengan una formación integral, que adquieran las herramientas

necesarias para que se desarrollen y desempeñen satisfactoriamente en la

sociedad, es por ello que se han hecho reformas educativas para lograr dichos

objetivos.

En las universidades de antaño, en el mejor de los casos, era donde los

estudiantes adquirían esas herramientas necesarias, entre las cuales estaba el

modelado de fenómenos matemáticamente, o sino cuando ya entraban al campo

laboral. Es por ello que la asignatura de Precálculo se ha incorporado al cuerpo de

contenidos obligatorios de la mayoría de las preparatorias, teniendo en general el

objetivo de que el estudiante resuelva problemas o situaciones que conlleven el

- 3 -


manejo de las nociones de variación e interrelación de dos magnitudes de su

entorno, mediante el desarrollo de técnicas y métodos algebraicos y geométricos,

que impliquen el concepto matemático de función en un ambiente escolar de

tolerancia y respeto, que favorezca el desarrollo de habilidades de exploración,

modelación y obtención de resultados.

Se busca llevar a los estudiantes al manejo de nociones de variación e

interrelación de dos magnitudes que impliquen el concepto de función y que como

resultado de este estudio se favorezca el desarrollo de habilidades como la

modelación, importante para adquirir las herramientas matemáticas necesarias

para su formación integral y matemática.

Sin embargo, ese anhelado objetivo aún no ha llegado! Los estudiantes de las

instituciones del nivel medio superior cuando se hayan fuera del ámbito escolar

parecen olvidarse de lo que han aprendido en la escuela; es más, cuando pasan al

siguiente año escolar ya no recuerdan muchas cosas de lo que vieron el año

anterior. Los alumnos que concluyen la asignatura de Precálculo tienen

deficiencias en lo que respecta a situaciones que involucran modelado y las

nociones implicadas, además de su poca capacidad de razonar lógicamente y de

resolver problemas no lineales.

En experiencias personales de asesorías y de voz de otros colegas, hemos

escuchado y observado que los estudiantes no parecen razonar por medio de la

lógica matemática, sino en logaritmos y nemotécnicas.

Es decir, se han privilegiado argumentos de corte algebraico que forman a los

conceptos matemáticos como objetos elaborados y ya prefijados, alejados

totalmente de argumentos situacionales (Buendía, 2006), pensando que esto

llevará a mejorar el aprovechamiento de los estudiantes.

O simplemente, porque los profesores por falta de tiempo para abarcar todo el

programa o por sus experiencias como estudiantes no lo enseñan de la forma más

apropiada a los fines de producción de aprendizajes significativos y duraderos.

- 4 -


Lo anterior trae como consecuencia que los alumnos adquieran conocimientos

algoritmizados, prefijados y aislados, sin ninguna relación. Por ejemplo, la mayoría

de los profesores enseñan la función lineal, el dominio, rango, ecuación, gráfica, la

pendiente, razón de cambio de una función lineal o a lo más de una función

cuadrática, la función polinomial (de grado tres, cuatro), función raíz cuadrada, etc.

Si nos damos cuenta muestran razón de cambio en la función lineal y, en

ocasiones de la cuadrática, pero no muestran la razón de cambio de los otros tipos

de funciones como la de las polinomiales de grado mayor a dos, las racionales, las

trigonométricas, etc. Parece que la función lineal es la única que tiene razón de

cambio. Este concepto de razón de cambio es importante para la resolución de

problemas que impliquen modelado.

Investigaciones (Torres, 2004) y un análisis preliminar que llevamos a cabo, han

dado cuenta de que estudiantes, ante un problema de modelado, tienden a

representar la situación por medio de rectas (función lineal), teniendo como

finalidad otro hecho distinto al de encontrar evidencia de que los estudiantes

piensan en modelos lineales cuando no lo son. Esto suponemos que es debido a

la forma de enseñanza o de la capacidad cognitiva de los estudiantes. Más

adelante se hará un análisis de corte epistemológico, didáctico y cognitivo.

1.3. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Se mencionó anteriormente que la modelación de un fenómeno es un instrumento

indispensable en el desempeño de los estudiantes y de toda persona, estudiar la

dependencia de magnitudes variables que intervienen en cualquier fenómeno. En

los programas se muestra el concepto de función y diferentes tipos de funciones:

constante, lineal, polinomial (cuadrática, cúbica, de grado mayor a 3), racional,

valor absoluto, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, para dotar al

estudiante de las herramientas necesarias para modelar cualquier tipo de

fenómeno.

Se espera que los estudiantes ante un problema (fenómeno o situación) de

modelación analicen la situación obteniendo datos, seleccionando sus variables,

- 5 -


haciendo conjeturas e interpretando su análisis y hagan predicciones para poder

decidir el tipo de modelo que represente el fenómeno como se muestra en la figura

1. Empero los alumnos parecen no analizar y reconocer el tipo de situación

problema al que se enfrentan, pues en muchas ocasiones sostenemos esta idea,

tienden a recurrir a la modelación lineal aun cuando la situación sea de otro tipo,

por ejemplo, exponencial o periódica. Enseguida presentaremos lo que

entenderemos por modelos lineales, modelos exponenciales y modelos periódicos.

Figura 1.1 Etapas de la resolución de problemas que implican modelado

Para fines de nuestro estudio, caracterizamos a los modelos matemáticos según el

tipo de función que les corresponden:

• Modelos lineales: son aquellas funciones que varían a razón constante. Por

ejemplo: las funciones constantes, las funciones lineales.

• Modelos exponenciales: son aquellas funciones que no varían a razón

constante, es decir, su razón de cambio no viene dado por una cantidad

constante. Por ejemplo: las funciones polinomiales (cuadrática, cúbica,

cuártica, etc.), las funciones racionales, las funciones exponenciales, las

funciones logarítmicas.

- 6 -


• Modelos periódicos: son aquellas funciones que tienen un patrón que se

repite, en un mismo período de tiempo. Por ejemplo: las funciones

trigonométricas.

lineales. • Exponenciales:

• Lineales: las funciones constantes, las funciones

las funciones polinomiales (cuadrática, cúbica, cuártica, etc.), las funciones racionales y raíces cuadradas no lineales, las funciones exponenciales, las funciones logarítmicas, etc.

• Periódicos: las funciones trigonométricas.

Cuadro 1. Tipos de modelos y funciones asociadas

Modelos

Nuestra atención va a estar centrada entre el primer y el segundo tipo de modelos.

Analizaremos las concepciones que tienen los estudiantes al modelar un

fenómeno o una situación, en consecuencia analizaremos las ideas que tienen los

alumnos sobre las nociones matemáticas de variación y cambio para modelar un

fenómeno. La noción de cambio y variación la tomamos como se mencionan en

(Cantoral, Molina, Sánchez, 2005): “la noción de cambio denota la modificación de

estado, de apariencia, de comportamiento o de condición de un cuerpo, de un

sistema o de un objeto; mientras que la variación la estamos entendiendo como

una cuantificación del cambio, es decir, estudiar la variación de un sistema o

cuerpo significa ejercer nuestro entendimiento para conocer cómo y cuánto

cambia el sistema o cuerpo dado”.

Sobre las acciones de los estudiantes nos preguntamos cuestiones como las

siguientes: Ante una situación de cambio, ¿el estudiante reconoce las variables

involucradas?, ¿se da cuenta de que puede controlar unas variables y otras no?,

¿utiliza un conocimiento o pensamiento variacional, es decir, identifica qué es lo

que cambia y cómo cambia?, ¿identifica cuánto cambió eso que cambia?,

- 7 -


¿identifica cómo varía eso que cambió? En síntesis, ¿identifica el tipo de modelo

matemático asociado a situaciones de variación y cambio?

Para dar respuesta a las preguntas planteadas nos apoyaremos en las

representaciones de las funciones, una fórmula, gráfica, una tabla de valores en

donde se involucre a la variación, pues suponemos que estas representaciones

nos pueden dar idea de los tipos de modelos presentes en sus razonamientos

espontáneos.

Caracterización de formas que pueden representar a las funciones:

1. Reglas. La variable y es función de la variable x cuando se utilice una

regla para que cada valor de x produzca un único valor correspondiente a

. y

2. Fórmula. Ciertas funciones están dadas en una fórmula en la que se

involucra a la letra. Cuando x se sustituye por un número dado, la fórmula

produce otro número, el valor de la función para el valor dado a la variable

x .

3. Gráficas. Una función es una gráfica en el plano cartesiano tal que cada

recta vertical ax = corta a la curva de la función )(xfy = en a lo más un

punto (a, b). Cuando esto ocurre el número es el valor de la variable

dependiente y el valor de la independiente es . Se enfatiza el aspecto

geométrico de la representación de las funciones por sus gráficas.

b

a

4. Tabla de valores: Una función también puede expresarse mediante una

tabla que contenga sus valores, en los que una columna contenga los

valores de la variable independiente x y en otra, pero en el mismo renglón,

los valores correspondientes de la variable dependiente . y

5. Variación: variación de magnitudes interrelacionadas de modo que a cada

valor de una de ellas, corresponde un único valor de la otra. Cuando

- 8 -


cambia la variable independiente ocurre un cambio en la variable

dependiente.

Con este trabajo pretendemos identificar si cuando se le presenta un problema o

situación de variación continua y cambio a un estudiante, él piensa en una función

para su modelado, es decir, nos preguntamos cuestiones como la siguiente: ¿Los

alumnos pueden reconocer los elementos o las variables necesarios para saber

qué tipo de función es y así poder modelarlo? ¿Pueden reconocer el tipo de

modelo que entra en juego?

En una experiencia previa nos percatamos que los estudiantes tienden a modelar

con una función lineal situaciones que no poseen tales características. Al principio

de este capítulo se comentó que los alumnos tiende a recurrir a lo más fácil de

modelar, recurriendo al algoritmo más sencillo o a uno ya conocido.

En este sentido nos interesó identificar y explicar el tipo de dificultades en los

alumnos tanto cognitiva como didácticamente en el proceso de modelación

matemática. Analizaremos modelos de tipo exponencial versus los lineales para

dar cuenta de qué mecanismos favorecen u obstaculizan esta habilidad de

modelar matemáticamente un fenómeno de tipo exponencial.

Nuestra sospecha es que los modelos exponenciales y periódicos requieren

formas de pensamiento y habilidades más complejas y específicas que los

modelos lineales. Otro punto importante en este estudio es poder responder lo

siguiente: ante una situación de tipo exponencial ¿qué formas de pensamiento y

habilidades son las que tendrían que movilizar los alumnos para que puedan

pensar en un modelo exponencial?, ¿cuáles son los mecanismos didácticos y

cognitivos que deben hacerse presentes a la hora de hacer modelación

matemática?

Nuestro supuesto es que los modelos de tipo exponencial tienen más

problemáticas, en cuanto a lo cognitivo, que los modelos de tipo lineal o periódico.

- 9 -


1.4. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN

Nuestra investigación presentará una propuesta de estudio basada en la

Ingeniería Didáctica, para analizar si los alumnos pueden reconocer una función

lineal o una función de tipo exponencial como modelo matemático para

representar un fenómeno.

Así que nuestros objetivos son los siguientes:

• Realizar un estudio sistemático de corte clínico que nos permita generar

entendimiento confiable de las ideas que tienen los estudiantes cuando se

encuentran frente a un problema que implique modelado de tipo de

exponencial.

• Recabar información que nos permita validar o refutar la idea de que los

estudiantes asocian un pensamiento lineal a situaciones que implican

modelos de tipo exponencial.

• Describir factores que puedan ayudar a los estudiantes a alcanzar un

razonamiento no lineal, de tipo exponencial.

• Aportar algunas ideas didácticas que favorezcan la resolución de problemas

que impliquen modelos de tipo exponencial.

- 10 -

CAPÍTULO 2

MARCO TEÓRICO DE REFERENCIA

Capítulo 2: Marco Teórico de Referencia

En este capítulo daremos un breve panorama, en primer lugar, sobre la

modelación matemática en el ámbito escolar, y en segundo lugar, describiremos

algunos resultados de investigaciones sobre las dificultades que presentan

estudiantes en torno a la modelación matemática.

2.1. REVISIÓN LITERARIA

Se considera que con la inclusión de la asignatura de Precálculo en las

preparatorias se pondrían las bases para lograr que el estudiante resuelva

problemas o situaciones que conlleven el manejo de las nociones de variación e

interrelación de dos magnitudes de su entorno, mediante el desarrollo de técnicas

y métodos algebraicos y geométricos, que impliquen el concepto matemático de

función, que favorezca el desarrollo de habilidades de exploración, modelación y

obtención de resultados, pues son conocimientos que toda persona debe saber o

por lo menos tener nociones para que pueda desenvolver ante cualquier situación

de su vida diaria.

Por ejemplo, en el programa de la asignatura Matemáticas IV (Precálculo) del

Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán, Cobay se menciona en la parte de

Fundamentación del programa:

“La asignatura de Matemáticas IV introduce al alumno al estudio de las funciones.

La importancia teórica de la noción de función reside en que posibilita analizar

problemas de variación de magnitudes interrelacionadas de modo que a cada

valor de una de ellas, corresponde un único valor de la otra. Para ello se utilizan

diversas formas de representación que van, desde simples diagramas y tablas, a

gráficas en sistemas coordenados y expresiones algebraicas…

La delimitación de la noción de función constituyó desde el punto de vista histórico

un importante avance en el desarrollo de los conocimientos matemáticos y en sus

aplicaciones. Aunque ya desde la antigüedad se sabía de la interdependencia de

diversos fenómenos, no fue sino hasta la creación del método analítico por

Descartes que pudo iniciarse el estudio de las magnitudes variables y su

- 12 -


dependencia, que condujo a la solución de diversos problemas de mecánica y del

movimiento de los cuerpos celestes. A pesar de estos logros hubieron de pasar

todavía más de cien años para que en el siglo XVIII, Dirichlet pudiera clarificar el

concepto de función, precisando el sentido matemático que actualmente se

confiere a esta relación…

Desde el punto de vista práctico, la noción de función es esencial para el estudio

de la dependencia de las magnitudes variables que intervienen en cualquier

fenómeno, proporcionando al estudiante un instrumento útil para modelar y

analizar gran cantidad de situaciones en todos los campos del conocimiento. Así,

el estudio de las funciones, en el cuarto semestre del Plan de estudios de

bachillerato, posibilita no sólo que el estudiante concluya el componente de

formación básica consolidando y ampliando sus conocimientos [...] sino también,

permitirá que aplique dichos conocimientos en la modelación de fenómenos en la

signatura de Física II que se imparte en el mismo semestre y, más allá, constituirá

una base importante en los semestres subsecuentes…”

Con esto se quiere dejar en claro que la noción y el concepto de función es un

instrumento útil para el estudiante en la modelación y análisis de cualquier

situación en cualquier campo del conocimiento, del mismo modo se hace mención

explícita de que las funciones se representan de distintas formas. Se ofrece un

breve panorama sobre la evolución del concepto a lo largo de la historia, se da

cuenta de que en un principio se utilizaba para resolver problemas de mecánica y

relacionado con los cuerpos celestes. Por ello, su relación con la asignatura de

Física y con otras de semestres posteriores.

Prácticamente cualquier programa de Precálculo incluye los temas de función

lineal, función polinomial (cuadrática, cúbica, de grado mayor a tres), función

racional, función exponencial y logarítmica; y las funciones raíz cuadrada, función

valor absoluto. De las primeras funciones se muestra la pendiente (sólo para la

función lineal y en algunos casos para la cuadrática), el dominio, el rango, la

expresión algebraica y la gráfica. En el apartado de funciones lineales, los

estudiantes estudian las características y la gráfica de esta función, cómo

- 13 -


resolverlas1 y, si el tiempo lo permite, problemas cuya solución requieren de algún

modelado con una función lineal.

En libros de texto se muestra una pequeña explicación de la razón de cambio

constante (pendiente) de la recta, mediante tablas. Algunos maestros no utilizan ni

muestran esta explicación a los alumnos y éstos no utilizan la noción matemática

de razón de cambio en los problemas “aplicativos” de la vida cotidiana que

propone el maestro, pues como esa unidad es referente a funciones lineales, los

alumnos saben que el modelo que representa ese problema es una función lineal,

así que en la mayoría de los casos se limitan a determinar dicha función.

Figura 2.1. Nota de curso sobre función lineal.

1 Entendiendo por resolver que los alumnos hallen la ecuación de la recta, dados ciertos elementos.

- 14 -


La figura 2.1 muestra los apuntes de un estudiante de bachillerato sobre el tema

de funciones lineales. Nótese que con solo emplear la fórmula de la función, halla

la pendiente, el dominio, rango, intersecciones con el eje y. Sin analizar a

profundidad el comportamiento de dicha función. Como dato adicional,

mencionamos que este alumno es todo lo que tiene con respecto a la función

lineal.

Figura 2.2. Nota de un estudiante sobre función polinomial

- 15 -


La figura 2.2 muestra las notas de otro estudiante en donde se percibe que no se

analiza el comportamiento de la función polinomial estudiada, sólo con la gráfica

se aprecia que el comportamiento es distinto al lineal, no se hace un análisis más

fino del comportamiento.

El siguiente ejercicio constituye un ejemplo de los ejercicios que se les presentan

a los alumnos para “aplicar” los conocimientos aprendidos en el apartado de

funciones lineales:

En un territorio donde la temperatura ambiental al nivel del mar es de 30°C;

para alturas entre 0 y 8000 metros existe una relación lineal entre la

temperatura ambiental y la altitud dada por la función:

T(h) 0.03h 30= − +

Donde T está expresada en grados centígrados y h en metros.

a) Trace en un plano la gráfica de esta función lineal.

b) Calcular la temperatura del aire a una altitud de 3000 m.

c) Calcular la altitud a la cual la temperatura es de 20 °C.

En este ejercicio, de entrada se menciona que el modelo de la situación es lineal.

Se presenta el modelo matemático que representa a esta situación. De esta

manera, la actuación del alumno sólo es la de realizar las operaciones o cálculos

con los datos pedidos con el modelo dado. Otro tipo de ejercicios de tipo lineal que

se presentan es cuando no se proporciona la fórmula, sin embargo, sí se

menciona que el modelo es lineal, entonces el alumno sólo halla la fórmula de la

función.

En las notas de algunos estudiantes, miramos que se presentan situaciones (de

“la vida real”) para que el alumno aplique los conocimientos aprendidos pero, en la

mayoría de las veces, no se le da la oportunidad de que por él mismo analice la

situación y “descubra” el modelo matemático que describe el fenómeno o la

situación.

- 16 -


Lo anterior trae consigo algunas consecuencias cognitivas y didácticas. Por

ejemplo, cuando el alumno entiende a las funciones como procedimientos no se

favorece un significado del concepto de función como una herramienta para

modelar un problema o situación. El análisis de los comportamientos (de tipo

lineal, de tipo exponencial o de tipo periódico) asociados a una situación se ve

inhibido. Ante determinada situación que requiere ser modelada para su

interpretación y análisis, algunos estudiantes omiten una discusión fina para

mostrar o demostrar que el modelo matemático pedido es de tipo lineal,

exponencial o periódico. En el mayor de los casos, nosotros sostenemos, que

mayormente el modelo que ha de ofrecer el o los estudiantes es lineal, aun

cuando los modelos que más se aproximan a la descripción de situaciones reales

son los no lineales.

Ante las dificultades que presentan los estudiantes en situaciones que implican

modelado, recientes investigaciones han abordado esta problemática a través de

tres enfoques:

• Aspecto cognitivo: Abordando las dificultades y los tipos de obstáculos que

enfrentan los estudiantes con respecto a la modelación matemática y las

nociones que ésta implica, noción de variación o de función (Díaz, 2005).

• Aspecto didáctico: Diseñando propuestas de enseñanza, aprendizaje que

permitan significar o resignificar la modelación matemática en la escuela

(Hernández y Arrieta, 2005; Arrieta2, 2006; Torres, 2004; Buendía, 2006).

• Aspecto epistemológico: Proporcionando un panorama o un estudio del

origen y evolución del concepto en cuestión – modelación matemática,

función – (Farfán y García, 2005; Farfán y Morales, 2004).

2 Resúmenes de la X Escuela de Invierno en Matemática Educativa. Red Cimates.

- 17 -


2.2. CONSIDERACIONES COGNOSCITIVAS

Muchos alumnos tienen dificultades para comprender el comportamiento de

fenómenos y el modelado de los mismos o razonan de manera equivocada con

respecto al comportamiento de dichos fenómenos, esto se debe tanto a la

capacidad cognitiva de los alumnos (Díaz, 2005) como a la forma de enseñanza

(Buendía, 2006). Por ello, recientes investigaciones han abordado las dificultades

y los tipos de obstáculos que enfrentan los estudiantes con respecto a la

modelación matemática y las nociones que ésta implica, de variación o de función.

Por ejemplo, estudiando los modos de pensar de los estudiantes y las ideas que

tienen acerca de la variación de un fenómeno o situación.

En numerosas situaciones-problema, que se les presenta a los estudiantes,

involucran fenómenos que implican al tiempo como la variable independiente, así

que en Díaz (2005) se analizan los modos de pensar, sobre la variación y el

tiempo, en los estudiantes y se analiza las facetas congruentes y contradictorias

de las representaciones cotidianas de variación y aquéllas de las matemáticas,

que favorecen u obstaculizan los aprendizajes. En tal estudio sitúan al alumno a

experimentar para que construya conocimiento, que diga lo que piensa y cree

antes de la formalización de los conceptos. Al respecto se reporta que el tiempo

es subjetivo para los estudiantes y encontraron dificultades en los alumnos para

expresar variaciones en una gráfica distancia-tiempo (también reportado en

Carrasco, 2005), originado por la dimensión lineal del desplazamiento.

Los estudiantes regularmente asocian al objeto matemático estudiado su

definición, poco centran la atención en el hecho de que el objeto3 matemático al

que atañe no es una mera definición sino que es algo más que eso (Duval, 1999;

Chevallard, 1998). El objeto se constituye en distintos contextos de

representación4. La articulación y vinculación de estos contextos son necesarias

3 Por ejemplo: cuando se define o caracteriza un concepto formalmente en matemáticas, digamos el teorema de Pitágoras, ¿a qué objeto se refiere dicha definición o caracterización? 4 Por ejemplo: la función cuadrática puede representarse como un polinomio de grado dos, una gráfica, una cónica, etc. Estas distintas formas de presentar la función cuadrática son las distintas representaciones en que puede mostrarse.

- 18 -


para el entendimiento del concepto, pero no suficientes. Por ejemplo, para el caso

del concepto de función, el alumno debe reconocerlo como definición, relación de

conjuntos, tabla de valores, fórmula, gráfica, representación icónica, entre otros;

y, vincular y transitar entre una y otra, pero además, deberá darle una

funcionalidad al concepto dentro y fuera de escenarios escolares (Carrasco, E.,

2004).

En López, Alanís y Pérez (2005) se menciona que la deficiente habilidad de

transferencia desde y hacia el registro Geométrico para resolver problemas de

libros, laboratorios o exámenes, se refleja en la dificultad de traducir, mediante el

lenguaje científico y coloquial, el registro numérico, el registro algebraico y el

registro geométrico, provocando un aprendizaje defectuoso que obstaculiza el

aprendizaje significativo.

2.3. PROPUESTAS DIDÁCTICAS

El diseño de secuencias de actividades didácticas o propuestas de enseñanza,

aprendizaje, orientadas hacia una resignificación de los conceptos matemáticos,

buscan dar un tratamiento a los conceptos de tal suerte que el alumno tenga que

significar o resignificar su conocimiento, para ello se recurre a diversos

paradigmas didácticos y de investigación. Por ejemplo, se recurre a la idea de

abstraer de ciertas prácticas de referencia una forma de llevar al alumno a la

interacción entre una situación, su modelo y su representación para dar

significado al o los objetos matemáticos asociados a la modelación matemática.

Adicionalmente, se promueve el uso de la tecnología en tareas específicas y

controladas.

En Arrieta (2006) se estudian las prácticas sociales de diferentes comunidades,

particularmente las prácticas de modelación, las interacciones durante su ejercicio

y las herramientas matemáticas que construyen y utilizan. En este sentido,

estudian las prácticas de modelación que médicos, ingenieros bioquímicos y otros

profesionistas realizan en el ejercicio de su profesión. El interés por el estudio de

las prácticas de modelación de diversas comunidades es motivada por el intento

- 19 -


de construir diseños de aprendizaje basados en estas prácticas y con

posibilidades de incorporarlas al aula de matemáticas.

En el trabajo de Torres (2004), se estudió la relación entre los tipos de

representación verbal-gráfico-simulación en un ambiente específico. Su hipótesis

fue que “La tecnología genera un nuevo uso de las gráficas”. Se diseñó una

actividad en la cual se quería que los estudiantes graficaran y modelaran la

situación. Sin embargo sólo se alcanzó a graficar sin llegar a la modelación.

Los resultados que obtuvieron fueron los siguientes: que todos los equipos

pudieron identificar sin problema en las gráficas los intervalos de cambios de

velocidad, así como también lograron establecer las relaciones que existían entre

las gráficas de la posición y velocidad como los intervalos donde la velocidad es

constante, cuando se hace cero, cuando es positiva y cuando es negativa; con

respecto a la representación verbal y representación gráfica en general los

estudiantes pudieron establecer los diferentes tiempos y posiciones que establece

el problema, emplearon como variables en el eje horizontal al tiempo y en el eje

vertical a la distancia, algunos estudiantes intentaron hacer cálculos de

velocidades utilizando la fórmula correspondiente.

En esta investigación concluyeron que la tecnología permite tener una visión

global y local, tanto cualitativa como cuantitativa de la gráfica, en la que los

estudiantes pueden explorar y dar explicaciones de lo que sucede con la situación,

por lo que sería necesario plantear problemas de situaciones reales en las que los

estudiantes puedan transitar con facilidad entre las diferentes representaciones:

simulación, verbal, tabular, gráfica y algebraica antes y después de usar la

tecnología y generen conocimientos matemáticos integradores.

En Hernández y Arrieta (2005) se manejó la tesis de que los estudiantes

construyen lo exponencial en una situación específica de modelación, como

herramienta al modelar el enfriamiento de un material, se menciona que en el

ejercicio de las prácticas sociales de modelación los actores construyen

herramientas que han de constituirse en su conocimiento, de lo exponencial, y

- 20 -


que éstas modifican las prácticas. En la puesta en escena de la secuencia

diseñada, los actores construyen modelos y con ellos realizan predicciones,

articulando los diferentes modelos con el fenómeno. Ponen énfasis en cómo es

que lo exponencial se construye al ejercer la práctica de modelación.

En Buendía (2006) se propone una epistemología para el aspecto periódico de las

funciones, abordando el fenómeno didáctico que surge de la poca coherencia

entre la existencia y la aplicabilidad de una definición y lo que se interpreta en

ambientes escolares. Se señala que este fenómeno se origina de privilegiar

argumentos de corte analítico y ya elaborado. Se han observado dificultades para

entender lo periódico y lo difícil que resulta entender o dar sentido a las

definiciones de las funciones periódicas, además de que los estudiantes

relacionan las funciones periódicas con cualquier gráfica de forma senoidal, no se

considera la definición de lo periódico. En tal investigación se concluye que los

estudiantes conciben a la gráfica como una repetición de un “patrón” pero sin

relación con los ejes coordenados. Dan como una propuesta para futuros diseños

didácticos, el diferenciar entre fenómenos repetitivos y fenómenos periódicos, así

como la búsqueda de identificación y uso de una unidad de análisis relacionada

con los ejes coordenados.

En Zaldívar (2006) se presenta una propuesta de reorganización de los

programas o cursos de cálculo, que también podríamos considerar para los

cursos de precálculo en donde se ven problemas que implican modelado. Este

autor sugiere que la reorganización debe buscar establecer un balance entre lo

Conceptual y Operacional de suerte que se encamina hacia lo Formal, pues si se

logra que el alumno transite por lo menos en dos registros de representación, los

estudiantes estarán más cerca de aprender el concepto en cuestión.

2.4. SOBRE LO EPISTEMOLÓGICO

En el propio programa de la asignatura de Precálculo mencionado al principio de

este capítulo, se señala que la historia del concepto de función nos puede mostrar

cómo abordar la modelación de un fenómeno o de una situación o qué

- 21 -


dificultades tuvieron las generaciones de ese entonces para modelar fenómenos.

En general, la epistemología nos puede mostrar cuáles fueron las bondades y las

dificultades del objeto de estudio al que nos refiramos.

Morales y Farfán comentan al respecto:

“La experiencia como profesores nos provee de la certeza de que el

discurso matemático escolar se compone en su mayoría de las notas

y de los libros de texto que se recomiende usar para apoyar las

actividades y cubrir el programa. Sin embargo en este saber no

están incorporados los significados primarios, ya que se ignoran las

etapas, objetivos, momentos y contextos por los que ha transitado el

conocimiento desde su construcción original. Es por ello que un

estudio de corte epistemológico podría proveer de argumentos

olvidados por la enseñanza tradicional, de forma tal que a través de

este tipo de estudios sea posible dar enfoques diferentes o

alternativos a los conceptos estudiados en el nivel superior”

(Morales, Farfán, 2004, pp. 244).

En (Medina, Rumbo, Arrieta, 2005) se plantea que el ejercicio de una práctica, en

particular la de modelación, adquiere sus particularidades y su sentido acordes al

lugar donde se ubica el ejercicio ya sea en ingeniería, medio ambiente, bibliotecas

públicas, y del área donde se sitúa, electrónica, economía, biología, etc. Su

trabajo está en la dirección de aportar elementos para un análisis epistemológico

de las prácticas de modelación, que redundaría en el fortalecimiento de la línea

de investigación que intenta aclarar la relación entre el ejercicio de las prácticas

sociales y la construcción social del conocimiento.

En Morales, Farfán (2004) se buscan las habilidades intrínsecas al documento

escrito por Fourier: El entendimiento del fenómeno físico que se está modelando,

esto es, percibir claramente por medio de la inteligencia o los sentidos su

significado, la capacidad de ordenar de una forma clara y precisa datos u

observaciones respecto de algún fenómeno, la comprobación o invalidación de

- 22 -


una hipótesis, la predicción del comportamiento de los procesos con base en las

observaciones y los resultados arrojados, así como la capacidad de abstracción,

entendiendo por esta, la capacidad de extraer o considerar las cualidades

esenciales de un suceso.

En Farfán, García (2005) se menciona que ya desde la antigüedad se sabía de la

interdependencia de diversos fenómenos pero no fue sino hasta la creación del

modelo analítico por Descartes (renunciar a las concepciones griegas de número y

magnitud y lograr fusionarlas) que pudo iniciarse el estudio de las magnitudes

variables y su dependencia, que condujo a la solución de diversos problemas de

mecánica y del movimiento de los cuerpos celestes y que según Youschevitch

(1976), es aquí donde por primera vez, y de una forma completamente clara, se

sostiene la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir una

dependencia entre dos cantidades, de manera que permite el cálculo de los

valores de una de ellas correspondiente a los valores dados de la otra (Ruiz,

1998).

(…) “quien reestructuró el cálculo leibniziano y lo convirtió en un cuerpo

organizado fue Leonhard Euler, figura central de la matemática del siglo XVIII”

(Farfán, 1997).

Producto de lo anterior, es el impresionante desarrollo del análisis, “pasando de

una herramienta para la resolución de problemas en mecánica como quizás

Newton lo contempló, a una disciplina con sus propios problemas, cada vez más

inmersa en ella misma y en sus propios principios” (Ruiz, 1998).

El siglo XIX se encuentra caracterizado por diversas generalizaciones observadas

en los trabajos de Cauchy, (1827), Lobachevsky, (1834), Dirichlet, (1837),

Riemann, (1858), al emplear al objeto matemático función como la médula del

Análisis recién tratado por Euler.

Esto produce una gran formalidad al concepto por parte de Cauchy, quien intenta

contener toda “la sustancia” de éste en definiciones abstractas, las que después

- 23 -


perdieron de vista las relaciones geométricas y las nociones de curva que guarda

en sí mismo este objeto y que en el pasado fueron las que le dieron vida.

El siglo XX, es el que corresponde al uso pleno y a la exploración minuciosa del

concepto basado formalmente en la noción general de función introducida por

Dirichlet.

En libros clásicos de matemáticas de nuestros tiempos, es observable cómo se

intenta favorecer más la relación que guarda este concepto con el intento por

describir fenómenos naturales, de tal manera que “en la actualidad se prefiere

considerar el concepto de función como aplicación” (Dieudonné, 1989, p.187).

Es evidente que la noción primitiva de función era mucho más intuitiva; la actual

tiene un alto grado de formalización que la hace mucho más abstracta.

O como Freudenthal (1983, p.497) diría; “aunque esta definición está construida

de una manera lógicamente formalizada, sin embargo, se ha oscurecido su

esencial significado como acción de asignación de variables, ha perdido su

carácter dinámico para transformarse en algo puramente estático”.

La Historia de la ciencia muestra la íntima relación entre la física y la matemática y

cómo en nuestros días esta relación, en el ambiente escolar, se ha ido perdiendo.

2.5. LA DIDÁCTICA Y LA INVESTIGACIÓN

El reconocimiento y la utilización de los resultados que arrojan las investigaciones

son una fuente confiable y primordial tanto para las nuevas investigaciones como

para las propuestas de enseñanza, aprendizaje, pues ayudan a enfocar esfuerzos

hacia las dificultades que presentan los alumnos y las estrategias de enseñanza

propuestas.

El desarrollo de la didáctica en diversas áreas, como en los conceptos de

variación y de modelación matemática, no deben estar desligados de las prácticas

docentes, pues las investigaciones dotan de información y de resultados

importantes en relación con diversas problemáticas y fenómenos del sistema

- 24 -


didáctico. Las investigaciones nos pueden dar un panorama epistemológico,

cognitivo y didáctico acerca del concepto implicado (Zaldívar, 2006).

2.6. CONSIDERACIONES

Los estudiantes, ante una situación o problema que demande una modelación

matemática o simplemente el empleo de funciones para su representación,

interpretación, análisis y solución, sostenemos este premisa, tienden al empleo de

modelos lineales o al ajuste de los datos para modelar el fenómeno linealmente,

motivados por patrones contextuales (escolares o no, propios de la situación o no)

ignorando el empleo de modelos más eficaces y acordes al tipo de situación o

problema. Diversas investigaciones han dado evidencia de los problemas que

tienen los estudiantes ante problemas de variación, de la relación que tienen los

estudiantes de los registros gráfico-analítico-verbal, de las bondades que da la

tecnología al usarlo como medio para modelar fenómenos y donde se muestran

facetas tanto congruentes como contradictorias de las representaciones

cotidianas de variación y aquellas de las matemáticas, que favorecen u

obstaculizan los aprendizajes tendientes a la formación de un pensamiento

variacional en los estudiantes (de gráficas de rectas y de modelos lineales).

Nosotros pretendemos explorar las ideas y razonamientos espontáneos presentes

en los estudiantes al momento de discurrir sobre situaciones, fenómenos o

problemas que demandan modelarse tanto linealmente como exponencial.

Consideramos que los fenómenos presentes en la naturaleza o realidad, son

mayormente de tipo exponencial, sin embargo, también consideramos que se

requiere de formas de pensamiento más complejas, de razonamientos más

sofisticados y de una confrontación entre un análisis global y local de la situación

específica de estudio tanto cualitativa como cuantitativamente.

En este sentido, nos propusimos recabar evidencia sobre los mecanismos que

favorecen el desarrollo de habilidades en el modelado de un fenómeno de tipo

exponencial para su posterior consideración en propuestas ya sean

instruccionales, de aprendizaje o de investigación orientadas a subsanar ciertas

- 25 -


carencias cognitivas y didácticas que surgen a la hora de modelar

matemáticamente un fenómeno de tipo exponencial tanto en el ámbito escolar

como fuera de él.

- 26 -

CAPÍTULO 4

RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Capítulo 4: Resultados y Conclusiones

4.1. ANÁLISIS A PRIORI VS ANÁLISIS A POSTERIORI

4.1.1. FASE I

De la Fase I, se esperaba que:

• Los estudiantes hicieran uso de ecuaciones, funciones, tablas, gráficas,

relaciones en sus razonamientos sobre variación de tipo lineal.

• Los estudiantes emplearan formas discursivas y gestuales al momento de

tratar de modelar la situación presentada en la respectiva actividad como

apoyo a sus entendimientos.

• Los modelos lineales constituirían el tipo de solución espontáneo que los

estudiantes propondrían como la respuesta a ciertas actividades.

En la actividad uno, los razonamientos de los estudiantes del equipo uno, fueron

correctos con respecto al comportamiento del crecimiento de bacterias. Ellos

analizaron la situación y se dieron cuenta de que su crecimiento no era constante

sino que era “proporcional a su magnitud”. Utilizaron recursos gestuales para

comunicar sus entendimientos y para personalizar1 el conocimiento matemático

presente en la situación.

Sin embargo, sus respuestas fue un modelo lineal, es decir, una función lineal que

seguía un crecimiento constante, contrario a sus razonamientos hechos por ellos

durante el desarrollo de la actividad.

Los estudiantes del equipo dos, por el contrario, dedujeron, de los datos

proporcionados en la actividad, que el modelo que representaba la situación de

esta actividad era un modelo lineal, sin analizar otras variables y opciones, como

los modelos de tipo exponencial, que pudieran representar mejor la situación.

1 Entendiendo por personalizar a la forma de apropiación del problema enfrentado, es decir, decodificar el mensaje recibido y volverlo a codificar en sus propias palabras para poder acceder al significado del concepto.

- 75 -


Pudimos notar que cierto número de estudiantes propone un modelo lineal a

situaciones de tipo no lineal.

En la actividad dos, los estudiantes de los dos equipos mostraron que el modelo

que representa la situación es uno de tipo lineal y durante el desarrollo de la

actividad utilizaron el término inversamente proporcional para referirse al

comportamiento entre las variables, el consumo de gasolina y la velocidad de

recorrido de un automóvil.

Los estudiantes del equipo uno trataron de hallar el consumo de gasolina por

kilómetro, aunque tuvieron algunos errores al intentarlo, dando por evidente el

comportamiento constante entre las variables involucradas, propio del modelo

lineal. Es decir, el consumo de gasolina por kilómetro, lo hallaron dividiendo el

consumo entre la velocidad de recorrido. Con esto se tiene un consumo igual de

gasolina por cada kilómetro.

Por su parte, los estudiantes del equipo dos, se basaron en el bosquejo de los dos

pares de datos, que proporcionaba la actividad, en un plano coordenado XY. Para

ellos fue suficiente bosquejar los dos puntos y visualizar que por éstos pasa una

recta, para concluir que el modelo que representaba a la situación es uno de tipo

lineal.

En la actividad tres, los estudiantes del equipo uno, hacen uso de sus experiencias

previas para analizar la situación planteada en la actividad. Se dan cuenta de que

el derretimiento de la vela no es constante, sino que al principio se derrite más

rápido y luego más lento, entre las causas asociadas se encuentran, el tipo de

mecha, calidad de la vela y a la cera acumulada. Por ello, buscan una tabla en la

que las diferencias entre las alturas vayan disminuyendo conforme pasara el

tiempo. Estos estudiantes dieron evidencia de que proponen un modelo de tipo no

lineal a la situación, pues analizan las variables externas que pudieran influir en el

derretimiento de la vela.

- 76 -


Mientras que los estudiantes del equipo dos analizaron las diferencias entre las

alturas de cada tabla. Cuando notaron que la tabla dos seguía un comportamiento

constante, concluyeron que esa era la respuesta correcta a la actividad, pues

según ellos ese es el comportamiento que sigue el derretimiento de una vela al

encenderla.

En resumen, se pudo observar en la Fase I: 1) Estudiantes que consideraron otras

variables “ocultas”, es decir, intrínsecas a la situación, que pudieran afectar el

comportamiento de las variables de la situación y 2) Estudiantes que afirmaron

que el comportamiento que sigue la situación es lineal. Sin embargo, todos los

estudiantes propusieron como modelo matemático a uno de tipo lineal, ya sea por

medio de una fórmula (en donde intervinieron dos variables, una en función de la

otra), de una ecuación (ecuación de una línea recta), la tabulación de valores (en

donde los incrementos entre las variables involucradas eran constantes) o por

medio de razonamientos sobre variación hechos durante la actividad.

Sólo los integrantes de un equipo, pudieron proponer en una actividad, un modelo

de tipo no lineal que representara la situación.

Los tres puntos mencionados al principio de este capítulo, que se esperaban

corroborar con estas actividades, fueron validadas mediante la aplicación y

desarrollo de estas.

4.1.2. FASE II

En la Fase II, se esperaba que:

• Los estudiantes comparan sus razonamientos hechos en la Fase I con

algunas consideraciones que pudieran efectuar en la Fase II.

• Los estudiantes vislumbraran y percibieran que las actividades de la Fase II

se modelaban con modelos no lineales, de tipo exponencial.

- 77 -


• Los estudiantes notaran y utilizaran algunos factores o mecanismos

propuestos por nosotros para poder modelar “exponencialmente” la

situación planteada en las actividades (mecanismos que favorecieran el

modelado de tipo exponencial).

En la actividad 1, los estudiantes de los dos equipos evaluaron en las cuatro

fórmulas que se proponían en la actividad como las posibles soluciones, para

hallar la que cumpliera con las condiciones presentadas en la figura de la

actividad. Verificaron que la función es la cumplía con las

condiciones. Sin embargo, no hubo una asimilación o apropiación por parte de los

estudiantes del siguiente razonamiento: la función exponencial es la que mejor

representaba la situación, esto es algo de lo que se esperaba provocar.

12)( 1 −= −xxf

Los estudiantes no notaron que su respuesta a la actividad uno de la Fase I era un

modelo como el elegido en esta actividad, pues se trataba de situaciones

parecidas.

En la actividad dos, los estudiantes del equipo uno se percataron de que sus

razonamientos hechos en la actividad dos de la Fase I, sí eran correctos, pues lo

comprobaron con esta actividad. Así que su justificación, de por qué la gráfica de

una línea recta no representaba mejor la situación, se basó en los razonamientos

hechos en la Fase I, donde afirmaban que el comportamiento inversamente

proporcional entre las variables de la situación no representaba una recta

(razonamiento no siempre correcto).

Por el contrario, los estudiantes del equipo dos se vieron un poco sorprendidos, ya

que ellos habían propuesto a la ecuación de una recta como el modelo solución.

Sin embargo, analizaron las gráficas de los incisos (a), (b) y (c) para eliminar

opciones. De la gráfica del inciso (a) sostuvieron que no puede ser la respuesta

porque llegaría un momento en que no se consumiría gasolina (intersección de la

gráfica con el eje X) incluso se llegaría hasta a ganar gasolina (interpretación de

las imágenes negativas). Propusieron a la gráfica del inciso (b) como la respuesta

- 78 -


correcta, porque pareciera haber una asíntota horizontal en el valor 5.7, que

evitará el no consumo de gasolina y la ganancia de gasolina.

(b)

En la actividad tres, los estudiantes del equipo uno utilizaron los mismos hechos

en la actividad tres de la Fase I para concluir que la gráfica que modela mejor el

comportamiento del derretimiento de la vela fuera una distinta a una línea recta,

pues según ellos, al principio se derrite rápido y luego se va derritiendo

lentamente. Así que estos estudiantes propusieron a la gráfica del inciso (c).

c)

Los estudiantes del equipo dos, también utilizaron sus razonamientos hechos en la

Fase I para concluir que la gráfica de una línea recta era la que modelaba el

derretimiento de la vela. Pues según ellos, el derretimiento de una vela es el

mismo en cada minuto, es decir, decrece los mismos centímetros cada minuto.

En la actividad cuatro, todos los estudiantes visualizaron que la situación no se

modelaba con uno de tipo lineal; sin embargo, la primera fórmula que hallaron

para modelar la situación era una función lineal.

- 79 -


Equipo 2 Equipo 1

Se dieron cuenta de que este modelo no era del todo correcto o completo, pues

para hallar el precio del coche para el siguiente año, se tenía que evaluar en el

precio anterior.

Así que surgieron ideas como las siguientes: “Es una recursiva”, “es una

sucesión”, “es como el contador en programación”, “es una serie”. Los estudiantes

de los dos equipos graficaron varios puntos y pudieron notar que el

comportamiento no era una línea recta. Así que surgieron ideas como: “Es una

exponencial” o “es un logaritmo natural”. Respondieron los incisos (a) y (b) con los

datos obtenidos sin hallar el modelo.

Los estudiantes trataron de analizar las parejas de datos que hallaron y llegaron a

ideas como la siguiente:

Equipo 2 Equipo 1

Ningún equipo logró dar en concreto un modelo que representara la situación.

En resumen, en las actividades dos y tres, los estudiantes reconocieron que éstas

eran parecidas a las actividades de la Fase I. Los estudiantes del equipo uno

confirmaron sus sospechas, mientras que el equipo dos, se vio un poco

sorprendido en la actividad dos, pues ellos habían propuesto a la recta como

- 80 -


modelo de la situación. Cambiaron su respuesta de la recta por una curva

(errónea, empero modelo de tipo exponencial) y en la actividad 3, siguió con sus

razonamientos de la Fase I. Las actividades 2, 3 y 4, favorecieron a que los

estudiantes pudieran acceder a un pensamiento más complejo, es decir,

modelación de situaciones que se representan por medio de modelos de tipo

exponencial.

4.2. RESULTADOS

El diseño de las actividades como situaciones-problema propició que los

estudiantes analizaran, discutieran y consensuaran acerca de las condiciones y

respuesta de la actividad.

Pudimos observar un razonamiento de tipo lineal en los estudiantes. Por ejemplo:

durante la resolución de las actividades uno y dos de la Fase I, los integrantes del

equipo uno hicieron unos razonamientos de tipo no lineal; sin embargo, cuando

trataron de hallar, por ejemplo, el consumo de gasolina por kilómetro, se pudo

apreciar el razonamiento de tipo lineal, es decir, notamos que, cuando hallaron

ese consumo por kilómetro, buscan el consumo igual (constante) por cada

kilómetro.

Por su parte, los estudiantes del equipo dos, en la actividad uno, pensaron en una

recta por los datos que se proporcionaban en la actividad: “en un principio la

colonia tiene 500 bacterias y en doce horas ya hay 1000”. No pensaron en el

comportamiento que sigue un crecimiento de una población, sino se basaron sólo

en los datos y en el plano que dibujaron, pues dibujaron dos puntos y dibujaron

una línea recta que pase por esos dos puntos. Además, los integrantes de este

equipo no relacionaron su procedimiento con la situación, sólo aplicaron un

procedimiento aprendido en la preparatoria (el de hallar la ecuación de una recta),

tratando de acordarse de dicha fórmula de la preparatoria para poder seguir su

procedimiento.

- 81 -


Ningún estudiante visualizó el comportamiento de tipo exponencial en la situación

planteada en la actividad uno de la Fase II, sólo evaluaron en las funciones dadas.

Lo que sí propició la figura, fue que entraran en conflicto, esto por las condiciones

de la misma situación.

También, se pudo observar que los estudiantes del equipo uno tienen un

deficiente significado del término inversamente proporcional, pues atribuyen a ese

término un cociente y afirman ese cociente no representa una línea recta.

Hubo evidencia de la relación entre una notación, un conocimiento matemático y

los aspectos gesticulativos de los estudiantes. Por ejemplo, el equipo dos, al

referirse a la ecuación de una línea recta como el modelo respuesta, hicieron uso

de ademanes y movimientos con las manos, así como un razonamiento

variacional de tipo lineal (variación constante), algunas veces sin darse cuenta; al

igual de una asociación de los datos de la situación con una notación propia de la

recta.

Pudimos observar durante el desarrollo y el análisis de las actividades, que los

estudiantes hicieron uso de algunos recursos gestuales (particularmente

ademanes) lo cual les permitió establecer relaciones de su conocimiento

matemático con la situación planteada y establecer una comunicación de sus

entendimientos a los otros miembros del grupo.

Se dieron cuenta de que para hallar un modelo para la situación, primero hay que

hacer un análisis de la situación de los datos que se proporcionan. Todos los

- 82 -


estudiantes identificaron ciertas variables y constantes (por ejemplo, la distancia

recorrida de 100 km en la actividad dos de la Fase I) y las que están implícitas (por

ejemplo, la marca de una vela o un automóvil, el tipo de mecha, la cantidad de

cera acumulada) en la situación que pudieran afectar su comportamiento.

Visualizan varios casos en las situaciones; por ejemplo, en la actividad uno de la

Fase I, el equipo uno, explica que el modelo que buscaron es correcto, porque si

la actividad dijera que el comportamiento es inversamente proporcional sería otro

caso y también lo explican. Aquí pudimos observar que los estudiantes visualizan

otros casos que podrían suceder.

La inclusión de frases o palabras que describieran la situación, como por ejemplo:

“el crecimiento de una colonia de bacterias crece a una razón proporcional a su

magnitud”, “al principio es de 500 bacterias y después de doce horas es de

1000”, “el consumo de gasolina de un auto NISSAN”, “si recorre una distancia de

100 km a una velocidad de 60 Km/h utiliza 7.2 lt.” favorecieron el análisis de la

situación

El concepto “depreciación” en la actividad cuatro de la Fase II, favoreció a que los

estudiantes se dieran cuenta del comportamiento no lineal de la situación y

propició que utilizaran términos como los siguientes para referirse al

comportamiento de la situación: “Es una recursiva”, “es una sucesión”, “es como el

contador en programación”, “es una serie”. El equipo dos llegó a un paso en el que

parece poner en sucesión los datos del problema después de analizarlos, como se

muestra en la siguiente figura. Sin embargo no lograron extraer y concretar una

fórmula o ecuación que modelara la situación, debido a que no hubo un análisis

más profundo y detallado de este paso.

- 83 -


En la actividad tres de la Fase I, las tablas permitieron que los estudiantes hicieran

una interpretación de los valores que faltaban. Por ejemplo, cuando mencionaron

que en 13 minutos ya se había consumido dos centímetros de vela.

Pudimos observar una visualización global y no puntual de las gráficas en los

estudiantes; por ejemplo, en la actividad tres de la Fase I, dio pie a que tuvieran,

los integrantes del equipo uno, una incorrecta interpretación de ella y de la

continuación de la dicha gráfica. Los integrantes del equipo dos por ejemplo

afirmaron que el comportamiento de la siguiente gráfica, al principio es lento y al

final es rápido.

4.3. CONCLUSIONES

En este trabajo de investigación nos centramos en el razonamiento espontáneo

que los estudiantes realizan acerca de la modelación matemática de situaciones

específicas. La idea básica que se siguió para el diseño de las secuencias de

actividades, estuvo relacionado con el hecho de que los modelos exponenciales y

periódicos requieren formas de pensamiento y habilidades más complejas y

específicas que los modelos lineales.

Nuestra experiencia empírica, guiada bajo la metodología de la Ingeniería

Didáctica, nos permite afirmar que los resultados proporcionan información

significativa sobre la modelación de tipo lineal en los estudiantes ante situaciones

que involucran modelación de tipo exponencial; así como el aporte de

- 84 -


situaciones-problema y consideraciones, tanto cognoscitivas como didácticas, que

favorecen la modelación de tipo exponencial.

La incorporación de actividades con consideraciones tales como:

• Inclusión de frases que sugieren un análisis matemático no trivial de ciertas

situaciones fenomenológicas.

• Uso de figuras, gráficas y tablas numéricas, que favorezcan el análisis de la

situación y la modelación matemática.

• El empleo de términos matemáticos que propicien el análisis de la situación

de manera no lineal.

• La discusión en equipos de actividades interrelacionadas. Esta interrelación

debe darse con el suficiente énfasis.

favorecen el reconocimiento de un modelado de tipo no lineal.

Notamos que los estudiantes bajo ciertas condiciones tienden a pensar en

modelos lineales, notamos que este tipo de pensamiento es inducido por

conocimientos previos en combinación con la estructura o presentación de los

datos cuantitativos/cualitativos que se ofrecen. Aquellos estudiantes, que en

general lograron pensar en modelos no lineales en donde la situación o actividad

así lo demandaba, miramos que tampoco fueron capaces de ofrecer una

expresión o modelo matemático explícito que la describiera.

Por tanto, concluimos que se hace necesario ubicar a un estudiante en un

escenario en donde tenga la suficiente libertad (tanto en sus razonamientos como

en los tiempos) de emplear sus experiencias previas, de desarrollar análisis

contextuales y de cotidianidad; emplear recursos como lo gestual, de tal suerte

que no se vea restringido al cumplimiento de un contrato pedagógico en donde el

saber escolar pareciera estar “condicionado”. El promover y desarrollar este tipo

de escenarios consideramos, va a permitir que se desarrolle entre los estudiantes,

- 85 -


un pensamiento de tipo variacional no lineal que puede ser la base en la

generación de modelos matemáticos de tipo exponencial, en situaciones donde

así se requiera.

Desde nuestra perspectiva, sostenemos que la modelación matemática no debe

presentarse como un mero procedimiento a seguir, debe dársele un tratamiento

más de contexto, en donde el análisis y los razonamientos espontáneos tengan la

suficiente cabida en tanto evocación de conceptos previos y experiencias ya

elaboradas.

- 86 -

Bibliografía

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• Zaldívar, R. (2006). Un estudio sobre elementos para el diseño de

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- 89 -

Anexos

ANEXO 1. LA SECUENCIA

FASE I

Actividad 1 Determinen una ecuación matemática que modele el crecimiento de una colonia

de bacterias cuya cantidad al principio es de 500 bacterias y se observa que crece

a una razón proporcional a su magnitud, de manera que después de 12 horas la

cantidad de bacterias en dicha colonia es de 1000.

Actividad 2 El consumo de gasolina de un automóvil NISSAN, por cada , depende de la

velocidad a la que hace su recorrido.

km100

a) Establezcan una ecuación matemática que modele el consumo de gasolina

de dicho auto, el cual si recorre a una velocidad de km100 hkm60 utiliza

y si lo hace a lt2.7 hkm90 requiere de . lt7.5

b) Si recorre una distancia de a una velocidad de km100 hkm70 ¿Cuánto de

gasolina habrá consumido?

Actividad 3 Supongan que una persona tiene una vela de de altura y decide encenderla

después de colocarla verticalmente sobre una base, tal

como se muestra en la figura A. Justo a los 13 minutos

después de haber encendido dicha vela, la persona

decide hacer un registro del tiempo de derretimiento.

cm30

Figura A

¿Cuál de las siguientes 3 tablas que se les muestran,

consideran fue la elaborada por esa persona? Si les es

posible ofrezcan una razón de su elección.

- 90 -

Anexos

x : tiempo (min)

)(1 xf : altura (cm)

x : tiempo (min)


x : tiempo (min)


13 28.31 13 28.49 13 28.3114 28.04 14 28.22 14 27.2615 27.75 15 27.95 15 26.2216 27.44 16 27.68 16 25.2117 27.11 17 27.41 17 24.2218 26.76 18 27.14 18 23.2419 26.39 19 26.87 19 22.2920 26 20 26.6 20 21.3521 25.59 21 26.33 21 20.4422 25.16 22 26.06 22 19.5523 24.71 23 25.79 23 18.6724 24.24 24 25.52 24 17.82

ActividaEn una

como mu

reproduc

inicio ha

reproduc

a)es

Tabla 1

d 1 población de bacterias, se

estra la figura 1. Esta colo

tora reproduce dos bacteri

y una bacteria reproductora

toras y así sucesivamente

Subrayen la ecuación mata colonia.

Tabla 2

FASE II

sigue una razón de crecim

nia tiene la característica de

as reproductoras en su perío

, en un momento después y

(como muestra la figura 1).

0

1t t

Inicio

Figura 1

temática que mejor modele

- 91 -

Tabla 3

iento de la forma

que cada bacteria

do de vida. En un

a hay 3 bacterias

3t

2t

4t

el crecimiento de

Anexos

i. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

910234)( tsentf π

ii. 1)( 2 ++= tttf

iii. 12)( += ttf

iv. 12)( 1 −= +ttf

Actividad 2

Expliquen y justifiquen ampliamente por qué la gráfica del inciso (a) no es la que

mejor representa la situación de la actividad 2 de la Fase I.

f

f

f

(b)

f

(a)

(c) (d)

- 92 -

Anexos

Actividad 3

De las siguientes gráficas, seleccionen la que mejor represente el comportamiento del derretimiento de la vela mencionado la actividad 3 de la Fase I. Escriban las razones de su elección.

f f

f f

d)c)

b)a)

f

e)

- 93 -

Anexos

Actividad 4

Determinen una ecuación matemática que modele la depreciación de un coche

que cuesta $195,000. La depreciación de un coche quiere decir que va perdiendo

su valor en un 20% cada año.

a) Estimen el valor del coche para dentro de tres años.

b) ¿En cuánto tiempo el coche sólo valdrá $52,000?

- 94 -

Anexos

ANEXO 2. HOJAS DE TRABAJO

Fase I

Equipo No.:_______

Hora de inicio:______________ Hora Final:______________

Indicaciones: Discutan la actividad en equipo y resuelvan de manera unificada.

Usen tinta azul y roja. No borren sus intentos fallidos, sólo enciérrenlos en

círculos.

Actividad 1 Determinen una ecuación matemática que modele el crecimiento de una colonia

de bacterias cuya cantidad al principio es de 500 bacterias y se observa que crece

a una razón proporcional a su magnitud, de manera que después de 12 horas la

cantidad de bacterias en dicha colonia es de 1000.

- 95 -

Anexos

Fase I

Equipo No.:_______




círculos.

Actividad 2 El consumo de gasolina de un automóvil NISSAN, por cada , depende de la

velocidad a la que hace su recorrido.

km100

a) Establezcan una ecuación matemática que modele el consumo de

gasolina de dicho auto, el cual si recorre a una velocidad de km100

hkm60 utiliza y si lo hace a lt2.7 h

km90 requiere de . lt7.5

b) Si recorre una distancia de a una velocidad de km100 hkm70

¿Cuánto de gasolina habrá consumido?

- 96 -

Anexos

Fase I

Equipo No.:_______




círculos.

Actividad 3 Supongan que una persona tiene una vela de de altura y decide encenderla

después de colocarla verticalmente sobre una base, tal como se muestra en la

figura A. Justo a los 13 minutos después de haber encendido dicha vela, la

persona decide hacer un registro del tiempo de derretimiento.

cm30

¿Cuál de las siguientes 3 tablas que se les muestran, consideran fue la elaborada

por esa persona? Si les es posible ofrezcan una razón de su elección.

x : tiempo (min)


x : tiempo (min)


x : tiempo (min)


13 28.31 13 28.49 13 28.3114 28.04 14 28.22 14 27.2615 27.75 15 27.95 15 26.2216 27.44 16 27.68 16 25.2117 27.11 17 27.41 17 24.2218 26.76 18 27.14 18 23.2419 26.39 19 26.87 19 22.2920 26 20 26.6 20 21.3521 25.59 21 26.33 21 20.4422 25.16 22 26.06 22 19.5523 24.71 23 25.79 23 18.6724 24.24 24 25.52 24 17.82

Figura A
Tabla 1 Tabla 2
- 97 -

Tabla 3

Anexos

Fase II

Equipo No.:_______




círculos.

Actividad 1 En una población de bacterias, se sigue una razón de crecimiento de la forma

como muestra la figura 1. Esta colonia tiene la característica de que cada bacteria

reproductora reproduce dos bacterias reproductoras en su período de vida. En un

inicio hay una bacteria reproductora, en un momento después ya hay 3 bacterias

reproductoras y así sucesivamente (como muestra la figura 1).

3t

2t

1t

4t

0t

Inicio

a) Subrayen la ecuación matemática que mejor modele el crecimiento de esta colonia.

Figura 1

v. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

910234)( tsentf π

vi. 1)( 2 ++= tttf

vii. 12)( += ttf

viii. 12)( 1 −= +ttf

- 98 -

Anexos

Fase II

Equipo No.:_______




círculos.

Actividad 2

Expliquen y justifiquen ampliamente por qué la gráfica del inciso (a) no es la que

mejor representa la situación de la actividad 2 de la Fase I.

f

f

f

(b)

f

(a)

(c) (d)

- 99 -

Anexos

Fase II

Equipo No.:_______


Indicaciones: Discutan la actividad en equipo y resuelvan de manera unificada. Usen tinta azul y roja. No borren sus intentos fallidos, sólo enciérrenlos en círculos.

Actividad 3

De las siguientes gráficas, seleccionen la que mejor represente el comportamiento del derretimiento de la vela mencionado la actividad 3 de la Fase I. Escriban las razones de su elección.

f f

f f

d) c)

b)a)

f

e)

- 100 -

Anexos

Fase II

Equipo No.:_______




círculos.

Actividad 4

Determinen una ecuación matemática que modele la depreciación de un coche

que cuesta $195,000. La depreciación de un coche quiere decir que va perdiendo

su valor en un 20% cada año.

c) Estimen el valor del coche para dentro de tres años.

¿En cuánto tiempo el coche sólo valdrá $52,000?

- 101 -

Razonamientos espontáneos asociados a la...

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