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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA ACADEMIA DE TOPOGRAFÍA RECURSOS DIDÁCTICOS DE Topografía I y Prácticas Martín Zúñiga Gutierrez Febrero 2013
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA ACADEMIA DE TOPOGRAFÍA
RECURSOS DIDÁCTICOS DE
Topografía I y Prácticas
Martín Zúñiga Gutierrez
Febrero 2013
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Introducción
Este recurso didáctico fue elaborado con el propósito de apoyar a los estudiantes que cursan la unidad de
aprendizaje de Topografía I y Prácticas del Programa Educativo de Ingeniero Topógrafo y Geomático,
que se oferta en esta unidad académica de ingeniería dependiente de la Universidad Autónoma de
Guerrero, esperando con esto una motivación adicional en el desarrollo de las competencias para la
solución de los problemas que resuelve Topografía en proyección horizontal.
El egresado de Ingeniero Topógrafo y Geomático, requiere de la ubicación del espacio sobre y bajo la
superficie terrestre, necesita conocer la teoría y aplicación de las competencias en la realización y
ejecución de los diferentes levantamientos y trazos topográficos. Este profesionista debe conocer,
comprender y aplicar los métodos de levantamiento topográfico para la obtención del dato espacial en
proyección horizontal, desde las mediciones con cinta hasta los diferentes métodos de levantamientos con
tránsito y cinta, así como en el uso y manejo de equipo de vanguardia, esperando con esto una motivación
adicional en su formación, generando así los principios para enfrentar como estudiante y profesionista
integro el uso de la nueva tecnología topográfica, estimulando asimismo el trabajo cooperativo y la
creatividad, con responsabilidad y respeto al medio ambiente.
En ningún momento se pretende que este recurso sea un trabajo terminado, ya que el propósito
fundamental es mejorarlo con las aportaciones y críticas tanto de los profesores como de los estudiantes,
logrando tal vez en un momento de mi trabajo como profesor, la culminación en una obra literaria de
envergadura en el estudio y aplicación de la Ingeniería Topográfica.
Ing. Martín Zúñiga Gutierrez
Profesor
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MISIÓN Y VISIÓN de la Unidad Académica de Ingeniería Misión Formación integral de profesionales de la Ingeniería, en las áreas de Topografía y Geomática, Civil, Construcción, Computación y su fortalecimiento con la investigación y Posgrado; altamente competitivos, con visión humanista y compromiso social, capaces de incidir en el desarrollo regional y nacional de manera sustentable, fomentando su actualización permanente. Visión La Unidad Académica de Ingeniería mantiene el liderazgo académico en el estado de Guerrero, ofertando programas educativos acreditados y actualización continua, mediante procesos administrativos y de servicios certificados, con personal competente y comprometido en la formación integral de profesionistas, y en la generación de investigación a través de sus órganos colegiados que contribuyen al desarrollo sustentable local, regional y nacional.
MISIÓN Y VISIÓN del Programa Educativo Misión Formar Ingenieros Topógrafos y Geomáticos con alto nivel de calidad académica en lo relacionado a la Topografía, Geodesia, Cartografía, Fotogrametría, Percepción Remota y su integración en la generación de Sistemas de Información Geográfica, en espacios adecuados y equipados, con profesores habilitados en el proceso de enseñanza aprendizaje; con una participación amplia, visión humanista y compromiso social; actualizándose y capacitándose permanente, dentro del marco normativo vigente, en la solución de los problemas del aprovechamiento del suelo y recursos naturales, promoviendo el desarrollo local, regional y nacional. Visión Ser un Programa Educativo con un trabajo docente de calidad en sus Academias, de tal manera que el proceso Enseñanza-Aprendizaje alcance el desarrollo que garantice; mejorar el ingreso, permanencia y egreso de los estudiantes. Los Cuerpos Académicos convertidos en verdaderos baluartes de líneas de generación y aplicación del conocimiento de la Topografía y Geomática, fortaleciendo el trabajo Docente-Investigativo, reflejándose al mismo tiempo en la mejora continua del plan y programa de estudio. Teniendo una Unidad Académica Innovadora, creativa en la búsqueda de la opción tecnológica para la juventud guerrerense, resolviendo la problemática social en el área de la Topografía y Geomática, con un espíritu de servicio comunitario encontrando la penetración y vinculación con el sector productivo, de tal manera que tenga impacto y pertinencia en el desarrollo tecnológico de la región, logrando lo anterior con la educación sistemática y continua de su plan y programa de estudio que garantice egresados de calidad, con los conocimientos necesarios y suficientes, habilidades y aptitudes que los conviertan en lideres con sentido empresarial, profesional, docente y de investigación con amplia responsabilidad, honestidad y ética profesional.
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Identificación de la unidad de aprendizaje
NOMBRE DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: Topografía I y Prácticas
Clave de la Unidad de
Aprendizaje
Colegio(s) Ciencias y tecnología Unidad Académica De Ingeniería Programa educativo Ingeniero Topógrafo y Geomático Área de conocimiento de la Unidad
de Aprendizaje dentro del Programa
Educativo Topografía
Modalidad Presencial Semipresencial A distancia
Etapa de Formación EFI EFP-NFBAD
EFP-NFPE EIyV
Periodo Anual Semestral
Trimestral
Bimestral
Tipo(s) Obligatoria Optativa Electiva
Unidad(es) de aprendizaje
antecedente(s) Geometría Analítica, Dibujo Técnico y Electrónico, Manejo de las Tecnologías de la Información y Comunicación.
Competencias previas
recomendables
Aplica conocimientos básicos de Geometría Analítica y de dibujo técnico y electrónico para la representación del dato espacial
Utiliza la calculadora científica y hojas de cálculo Organiza, planifica y trabaja colaborativamente Respeta el medio ambiente Compromete su proceso formativo
NÚMERO DE CREDITOS: 10
Número de horas
Hrs. de trabajo del estudiante bajo la
conducción del académico
Hrs. trabajo del estudiante de forma independiente
Total de horas
POR SEMANA
HT=3
HP=4 3 10
POR SEMESTRE
48 64 48 160
Competencia de la unidad de aprendizaje: Realiza mediciones, cálculos y trazos topográficos para la ubicación de puntos sobre la superficie terrestre en proyección horizontal, así como su representación en papel (plano topográfico) distinguiendo sus elementos geométricos, magnitudes e instrumentos utilizados; que le sean útiles para un mejor desempeño profesional; estimulando asimismo el trabajo cooperativo y la creatividad, con responsabilidad y respeto al medio ambiente.
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Conocimientos Habilidades Actitudes y Valores
Maneja los conceptos topográficos para levantamientos en proyección horizontal.
Maneja los conceptos topográficos para levantamientos en proyección horizontal.
Responsabilidad en el uso y manejo del equipo topográfico
Respeta, colabora y muestra disposición para el trabajo en equipo
Cuida el medio ambiente
Actúa de forma positiva frente a las innovaciones sociales y tecnológicas
Tiene hábito de estudio y metodología de trabajo
Conoce el uso de la cinta en el trazo, medición y levantamiento de líneas y polígonos
Describe la brújula topográfica para la toma de direcciones
Diferencia el uso y aplicación del tránsito o teodolito, estación total y el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) en la obtención del dato espacial en proyección horizontal.
Utiliza los diferentes instrumentos de medición en la obtención del dato espacial para levantamientos topográficos en proyección horizontal.
Conoce la diferente metodología para la medición, cálculos y trazos topográficos, sobre la superficie terrestre en proyección horizontal.
Realiza levantamientos y cálculos topográficos, así como el dibujo del plano respectivo.
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Topografía I y Prácticas
Conceptos topográficos para levantamientos en proyección horizontal
Competencia: Maneja los conceptos topográficos para levantamientos en proyección horizontal.
Generalidades
La Topografía terrestre, estudia mediante la aplicación de varias ciencias, la extensión y forma del
terreno, a este aspecto se le denomina Planimetría; así como a la medida y conformación de los
accidentes de dicho terreno, a esto se le denomina Altimetría.
La teoría de la Topografía se basa esencialmente en la geometría plana, geometría analítica y del espacio,
trigonometría rectilínea y esférica, además de otros conocimientos matemáticos.
Con estas bases el trabajo de un Ingeniero Topógrafo se divide en cinco actividades principales:
Selección del método de levantamiento, del instrumental y de la ubicación más probable de
los vértices,
Colocación de señales para deslindar o marcar linderos, guiar trabajos de medición,
Adquisición de datos, realización de mediciones y registros de datos de campo,
Cálculos topográficos con datos de campo para determinar la ubicación de vértices para la
obtención de superficies y/o volúmenes,
Dibujo o representación de las medidas para obtener un plano, mapa o grafico de forma
tradicional, ayudándose con métodos modernos computarizados.
Definiciones
La palabra Topografía proviene del griego:
Topos = lugar
Graphos = descripción
Por lo tanto la podemos definir como:
La rama de la Ingeniería que estudia los procedimientos de campo, cálculo y dibujo necesario para
representar de una porción terrestre y a una escala conveniente, los detalles planimétricos y
altimétricos que servirán de base a los anteproyectos, proyectos y presupuestos en las diversas obras
Topografía
Elemental superior
Planimetría Altimetría
Plani-Altimetría
Orientación Altimetría
Triangulación
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de construcción y la de levantamientos; así como para el control de todas y cada una de sus etapas
durante su desarrollo constructivo.
Definición (Montes de Oca, Miguel)
Es la ciencia que estudia el conjunto de procedimientos para determinar las posiciones de los puntos
sobre la superficie de la tierra, por medio de medidas según los tres elementos del espacio. Estos
elementos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una dirección y una elevación.
Definición técnica:
Puede definirse como el arte o tecnología de hacer mediciones de las posiciones relativas de accidentes
naturales y obras hechas por el hombre sobre la superficie la superficie de la Tierra, así como la
representación gráfica o numérica de esta información.
La Topografía y su aplicación
Considerada como una de las actividades de mayor relevancia en la realización de cualquier proyecto, la
Topografía ocupa un lugar preponderante dentro de la ingeniería que desarrollamos.
La Topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo que la hace sumamente necesaria. Sin su
conocimiento no podría el ingeniero por si solo proyectar ninguna obra. Sin un buen plano no podría
proyectar debidamente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de secciones
transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, canales, carreteras, etc. Tampoco podría señalar
una pendiente determinada como se requiere en un alcantarillado.
Cabe señalar que la aplicación fundamental de los que estudian esta especialidad, es la de ejecutar los
distintos levantamientos topográficos de terrenos en general, para realizar en ellos los proyectos que
requiera la sociedad en el área de la ingeniería civil; todo esto acorde a los cambios tecnológicos y de
vanguardia en la Ingeniería Topográfica, Geodésica y Geomática.
Actividades fundamentales de la topografía
Las actividades fundamentales de la Topografía son: Trazo y Levantamiento.
Trazo
Es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el replanteo sobre el terreno, de las
condiciones establecidas en un plano.
Levantamiento
Es el conjunto de operaciones necesarias en el campo, y cálculos en el gabinete, mediante la aplicación de
los distintos métodos topográficos, para determinar en el terreno las posiciones de puntos, alturas y
detalles de él, para posteriormente llevarlos gráficamente a un plano, mediante una escala convenida.
Levantamientos topográficos
Existen muchos tipos de levantamiento, siendo cada uno tan especializado que alguna persona con amplia
experiencia en diferentes áreas de la misma difícilmente las abarcaría en su totalidad. Sin embargo el
profesionista dedicado a la topografía debe tener conocimientos de las distintas áreas del conocimiento de
esta profesión, como son: Astronomía de Posición, Geodesia y Cartografía, ya que todas ellas están
estrechamente relacionadas en la práctica moderna.
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Para su estudio los dividimos en:
Planimetría:
Comprende el estudio de los diversos procedimientos que tienen como finalidad la representación en
proyección horizontal, de la posición relativa de los puntos de la superficie terrestre. Esta se realiza en
areas pequeñas de tal manera que se ignora la curvatura de la tierra.
Puede demostrarse que un arco de 18.5 kilómetros de longitud sobre la superficie de la Tierra es
aproximadamente 1.5 centímetros más largo que la distancia plana o la cuerda entre sus extremos.
Altimetría:
Estudia los procedimientos que proporcionan en proyección vertical, la posición relativa de los puntos de
la superficie de la tierra.
Planimetría y altimetría simultáneas:
Estudia los procedimientos que proporcionan en proyección horizontal y vertical simultáneamente la
posición relativa de los puntos de la superficie de la Tierra.
De manera sintética, los levantamientos topográficos se clasifican en:
Planimetría o control horizontal
Altimetría o control vertical
Planimetría y altimetría simultáneas
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Deflexiones
Conservación de azimut
Interiores
Medida directa
de ángulos Exteriores
Planimétricos
a) Levantamientos con cinta
Diferencial
a) Nivelación directa o topográfica De Perfil
Barométrica
b) Nivelación indirecta Trigonométrica
Secciones transversales
c) Configuración Estadia
b) Levantamientos con brújula y cinta: Rumbo y distancia
c) Levantamientos con tránsito
y cinta
Polígonos con lados de liga
Prolongación de alineamientos
Coordenadas
Radiaciones
Triangulación
Diagonales
d) Levantamientos con tránsito y estadia
Altimétricos
e) Levantamientos con Estación Total: EDM
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Según su propósito se clasifican en:
Topografía Plana (Topografía elemental)
En esta rama, el plano de referencia para el trabajo de campo y los cálculos, es una superficie
plana.
Topografía geodésica o geodesia
Consiste en la determinación de longitudes y acimutes de líneas largas que requieren la
consideración del tamaño y forma de la Tierra.
Fotogrametría
Son levantamientos por medio de la fotografía aérea, a través de cámaras instaladas en aviones o
satélites. Los mapas y datos obtenidos se basan en los principios de la fotografía o la detección
remota.
Levantamientos de control
Consisten en establecer una red de señalamientos (horizontal y vertical), que sirven de marco de
referencia para otros levantamientos. Generalmente se usan procedimientos geodésicos.
Levantamientos orográficos de configuración
Estos levantamientos sirven para elaborar planos o mapas que muestran la ubicación de los
accidentes orográficos naturales, los construidos por el hombre y las elevaciones de puntos del
terreno.
Levantamientos hidrográficos
Es la representación gráfica de líneas litorales y el relieve del fondo de los lagos, ríos, embalses y
otras grandes masas de agua. A la combinación de levantamientos orográficos e hidrográficos se
le llama Topografía Orohidrográfica.
Levantamientos de vías terrestres.
Son los levantamientos para carreteras, vías férreas, sistemas de conducción, líneas de
conducción, líneas de transmisión, canales y demás obras de gran extensión lineal.
Agrimensura
Esta rama, estudia los procedimientos para establecer la delimitación de los predios, sus vértices,
linderos, colindancias y áreas. En términos generales la medición y división de superficies de
terrenos.
La práctica de la topografía
La práctica de la Topografía es compleja. Los conocimientos teóricos no hacen de alguien un buen
especialista en trabajos topográficos, a menos que tenga los principios básicos de teoría y práctica. La
importancia de la etapa de prácticas nunca debe ser exagerada y comprende:
Trabajo de campo
Se entiende por trabajo de campo, a todas las operaciones de medidas y anotaciones, resultados
de la aplicación de los distintos levantamientos topográficos.
Trabajo de gabinete
Es la ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con
objeto de obtener los elementos necesarios para el dibujo y construcción del plano.
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El profesionista actual de la Topografía, debe utilizar el equipo moderno para ser competitivo.
La realización de las mediciones es la tarea principal de un profesional de la topografía.
Instrumentales: Se deben a la imperfección o ajuste defectuoso de los instrumentos.
Personales: Se producen por la falta de habilidad del personal que realiza las mediciones.
Naturales: Se deben a las variaciones de los fenómenos de la naturaleza; la temperatura,
la humedad, el viento, etc.
Orígenes
de los
errores
Sistemáticos: Son los que en, para condiciones de trabajo fijas en el campo, son
constantes y del mismo signo y por lo tanto son acumulativos: aparatos
mal graduados, error por temperatura, catenaria, etc.
Accidentales: Son los que se cometen indiferentemente en un sentido o en otro, y por
lo tanto es igualmente probable que tenga signo positivo o negativo: lecturas
de graduaciones, apreciación de fracciones, etc.
Se dividen en
Unidades de medidas utilizadas en topografía
Los procedimientos topográficos implican mediciones:
Lineales: Distancias horizontales, inclinadas y verticales o alturas, se usa el sistema métrico decimal;
teniendo como unidad el metro,
1 decímetro (dm) = 0.1 metro (m)
1 centímetro (cm) = 0.01 m
1 milímetro (mm) = 0.001 m
Angulares: Medidas angulares, rumbos, azimutes y deflexiones; generalmente se usa el sistema
sexagesimal,
1 grado (°) = 60 minutos (‘)
1 minuto (‘) = 60 segundos (“)
De área: Medidas de superficies y las unidades son,
1 hectárea = 100 áreas = 10000 m2
1 área = 100 m2
1 centiárea = 1 m
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Errores y equivocaciones
No se puede medir exactamente ninguna magnitud por perfectos que sean los procedimientos y aparatos
que se empleen; cada medida que se haga estará siempre afectada por un error.
Una de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas que estén correctas dentro de
ciertos límites de error, fijados por la naturaleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que
conozca las fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades observadas, y este
familiarizado con el procedimiento necesario para mantener la precisión requerida.
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Equivocación:
Esta es causada por la inexperiencia y falta de atención de quién realiza las mediciones, se pueden
eliminar haciendo revisiones cuidadosas. Los casos más comunes de equivocación son: leer o escuchar un
número por otro y anotar un registro equivocado.
Exactitud y precisión:
Los términos exactitud y precisión se utilizan constantemente en Topografía.
La exactitud se refiere al grado de perfección que se obtiene en las mediciones; nos acercamos al
valor verdadero de la magnitud.
La precisión, es el grado de refinamiento con el que se mide una determinada cantidad; es la
cercanía de una medición a otra. Es la relación entre el error de la medición y la distancia
medida, y se reduce a una fracción cuyo numerador es igual a la unidad.
Registros de campo:
Tal vez ninguna otra fase de la Topografía sea tan importante como el registro adecuado de los datos de
campo. No importa cuánto cuidado se tenga en la realización de mediciones en el campo si este esfuerzo
será desperdiciado por no realizar un registro claro y legible del trabajo ejecutado.
El registro de los datos es una parte tan importante de la Topografía que generalmente este trabajo lo
desempeña la persona más capacitada de la brigada (por ejemplo, el jefe de la misma).
Las libretas de campo que comúnmente se utilizan son de pasta dura por la ventaja de que no se pierden
las hojas y, además, por su gran durabilidad son capaces de soportar el uso rudo y las malas condiciones
climáticas.
Para la recolección exitosa de las anotaciones en campo, se tiene que considerar:
Precisión: anotar en forma correcta los datos medidos.
Legibilidad: las anotaciones que sean ilegibles no tienen valor alguno.
Integridad: todas las mediciones deberán anotarse en el momento de realizar la observación;
nunca se “inflen” las notas para mejorar los cierres.
Claridad: que las anotaciones no estén amontonadas o haya omisiones en los detalles.
Arreglo: uso de libretas de campo apropiadas para el levantamiento de que se trate, esto ayudará a
la legitimidad, precisión e integridad de las anotaciones en la libreta de campo.
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Registro de campo
Levantamiento_________________________________Levantó_______________________________
Método______________________Lugar_________________________Fecha___________Brig.._________
Libreta de tránsito
Croquis y anotaciones Anotaciones numéricas
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En Topografía, se entiende por distancia entre dos puntos, la distancia horizontal.
Uso y manejo de instrumentos topográficos
Competencia: Utiliza los diferentes instrumentos de medición en la obtención del dato espacial
para levantamientos topográficos en proyección horizontal.
Instrumentos topográficos
Cintas métricas y accesorios (plomada y baliza)
Nivel de mano
Clisímetro
Brújula
Planímetro
Tránsitos
Teodolitos (de micrómetro óptico y electrónico)
Estación total (electrónica y robóticas)
Cinta
La cinta es el instrumento principal de medición que se utiliza en los
principios básicos del estudio de la Topografía como ciencia, arte o
tecnología. Nos permite conocer la distancia entre dos puntos.
Las cintas que se usan en la actualidad para medir están hechas de diferentes
materiales, longitudes y pesos. Las comúnmente utilizadas en Ingeniería son
las cintas de acero. (Metálicas)
En el proceso de medida, las cintas son sometidas a diferentes tensiones y temperaturas, por lo que
dependiendo del material con el que han sido construidas, su tamaño original variará. Por esta razón, las
cintas vienen calibradas de fábrica para que a una temperatura, tensión y condiciones de apoyo dadas, su
longitud sea igual a la longitud nominal.
Plomada
Instrumento con forma de cono, construido generalmente en bronce, con un peso que
varía entre 225 y 500 gr, que al dejarse colgar libremente de la cuerda sigue la
dirección de la vertical del lugar, por lo que con su auxilio podemos proyectar el
punto de terreno sobre la cinta métrica.
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Balizas
Son tubos de madera o aluminio, con un diámetro de 2.5 cm y una longitud que
varía de 2 a 3 m. Las balizas vienen pintados con franjas alternas rojas y blancas de
unos 30 cm y en su parte final poseen una punta de acero.
La baliza se usa como instrumento auxiliar en la medida de distancias, localizando
puntos y trazando alineaciones.
Nivel de mano
Consiste en un tubo de aproximadamente 15 cm., sin lentes, con
un pequeño nivel cuya burbuja puede verse por el interior del
tubo mediante un espejo o prisma que ocupa la mitad del tubo.
Por la otra mitad se ve al exterior para dirigir la visual mediante
un alambre que atraviesa el tubo.
Es un instrumento de medición utilizado para dirigir visuales horizontales, sosteniéndolo en la mano.
Clisímetro
Es un instrumento semejante al nivel de mano, pero con el nivel movible para
poder marcar en un círculo graduado el ángulo o la pendiente que se necesite,
y así al centrar la burbuja la visual tendrá la pendiente marcada. La altura se
mide sobre una regla graduada (estadal).
Con el clisímetro se pueden determinar desniveles, horizontalizar la cinta,
medir ángulos verticales y pendientes, calcular alturas y lanzar visuales con
una pendiente dada.
Brújula
La brújula es un instrumento topográfico que sirve para determinar direcciones con relación a la
meridiana magnética. Generalmente son aparatos de mano; pueden apoyarse en tripié, bastón o en una
vara cualquiera.
Las partes principales de la Brújula son:
1. La caja que lleva un circulo graduado de 0º a 360º en el sentido del movimiento de las manecillas
del reloj, ó de 0º a 90º en ambas direcciones de N y S y, generalmente, los puntos E y W
invertidos debido al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja.
2. Un nivel circular que se usa para mantener el círculo graduado en un plano horizontal, cuando se
toman direcciones con la brújula.
3. Pínulas, ocular y objetivo, son los elementos que sirven para dirigir la visual y están colocados
en línea con los puntos cardinales N y S de la caja de la brújula.
4. Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote colocado en el centro del
círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso para contrarrestar la atracción magnética en el
sentido vertical.
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Su aplicación es frecuente en diversas ramas de la ingeniería. Se emplea en reconocimientos preliminares
para el trazado de carreteras, levantamientos topográficos, elaboración de mapas geológicos, etc.
Planímetro
Es un instrumento manual que permite calcular superficies de polígonos irregulares, limitados con curvas
y rectas, y a veces sin forma muy precisa, en donde la geometría analítica no es de gran apoyo.
Las partes más importantes de un planímetro son la punta trazadora, el brazo ancla con contrapeso y
poste, el disco y tambor graduados.
Para la obtención de superficies, se coloca la aguja o punta trazadora en un punto del dibujo, ajustando
en cero la lectura inicial. A continuación se recorre cuidadosamente el perímetro de la figura en el
sentido horario hasta que la punta regresa al punto inicial mostrando el valor del área para la superficie
medida.
Brújula tipo Brunton
Nivel circular
Aguja imantada
Pínulas
Caja
Ocular
Punta trazadora
Brazo
Planímetro digital
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Tránsito
El Tránsito es tal vez el instrumento topográfico más universal en la práctica de la Topografía. Aunque en
los últimos años, ha tomado gran auge el uso de las estaciones totales; siendo hasta el momento un equipo
caro y su uso se puede establecer para ciertas condiciones de medición. El Tránsito (Teodolito) son
fundamentalmente equivalentes y pueden desempeñar básicamente las mismas funciones.
Sus partes principales son:
Telescopio
Limbos
Brújula
Niveles tubulares
Movimientos
Alidada
Tornillos niveladores
Base
Tripié
General. Fija todo el aparato
Particular. Lecturas horizontales
Horizontal
Vertical
vernier
Objetivo
Ocular
Retícula
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Tornillo tangencial
del movimiento
vertical
Telescopio
Tornillo de enfoque
Nivel del círculo
horizontal
Ocular
Tornillo del
movimiento
particular
Tornillos
niveladores
Objetivo
Brújula
Nivel del anteojo
Eje de alturas
Tornillo tangencial del
movimiento particular
Eje azimutal
(o vertical)
Línea de
colimación
Círculo vertical
Tornillo del movimiento
vertical
Tránsito de vernier
De forma general se describen cada una de sus partes:
Telescopio. Sirve para precisar la línea visual formando la línea de colimación que une los centros del
objetivo y de la retícula. Sus partes esenciales son: objetivo, ocular, retícula y tubo telescópico.
Objetivo: En su forma más simple está compuesto por las lentes que definen un sistema
convergente; una exterior biconvexo, de crown glass y otra interior planocóncava o
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Ocular Retícula Objetivo
Observador Objetivo
Objeto
Ocular
Tornillos de
calavera Hilo vertical
Hilo horizontal Hilos estadimétricos
cóncavoconvexa, de flint glass (cristal). El objetivo hace que la imagen del objeto visto se forme
en el plano de la retícula.
Ocular: Hace las veces de un microscopio, ampliando la imagen formada sobre el plano de la
retícula y se compone de dos lentes planoconvexas.
Retícula: Es generalmente un disco de vidrio con tres hilos horizontales, paralelos entre si y
equidistantes; y de un hilo vertical que corta por en medio a los tres anteriores. Generalmente son
hilos de tela de araña o de platino, también se usan rayados finamente sobre un vidrio. La retícula
se mantiene en su debida posición por medio de cuatro tornillos de calaveras que permiten mover
vertical u horizontalmente, o puede hacerse girar un ángulo pequeño alrededor del eje del anteojo.
Tubo telescópico. Es el armazón en el que están colocados el objetivo, el ocular y la retícula.
Para observar un objeto por medio de un telescopio es necesario enfocar primero la imagen de los
hilos de la retícula por medio del tornillo de enfoque del ocular, y después, por medio del tornillo
de enfoque del objetivo, se enfoca la imagen producida por el objetivo en el plano de la retícula.
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Línea de colimación
Porta ocular Hilos de la
retícula Objetivo
Línea de colimación
Eje azimutal (o vertical)
Eje de alturas (u horizontal)
Limbo horizontal. Es un círculo horizontal graduado que gira alrededor del eje azimutal y con la ayuda
de la alidada que se encuentra sobre él, proporciona el ángulo horizontal entre dos visuales. Tiene dos
vernieres diametralmente opuestos y situados en las partes descubiertas de la base de la alidada. Tiene un
tornillo de presión del movimiento general para movimientos grandes, y otro llamado tangencial del
movimiento general para movimientos finos; este último solo funciona cuando el primero esta apretado.
Eje azimutal. Es el eje de simetría vertical del Tránsito (Teodolito), alrededor del cual gira todo el
instrumento y da el azimut de la línea que proporciona la visual dirigida por el telescopio.
Eje de alturas. Es en eje horizontal que está situado en la parte superior de la alidada y sostiene el
telescopio que describe un plano vertical cuando gira a su alrededor, definiendo una vuelta completa
llamada “vuelta de campana”.
Limbo vertical. Es un círculo vertical graduado que gira junto con el telescopio y sirve para medir
ángulos verticales. Su vernier se encuentra situado en uno de los apoyos del eje de alturas. Tiene un
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90º
Nivel Tornillos niveladores
tornillo de presión para movimientos grandes, y otro llamado tangencial para movimientos finos; este
último solo funciona cuando el primero esta apretado.
Alidada. Es todo lo que se encuentra arriba del limbo horizontal. Sirve para dirigir visuales y contiene
vernieres, tornillos de presión, tornillos tangenciales y brújula.
Niveles. En la base de la alidada, existen generalmente dos niveles ubicados perpendicularmente uno del
otro para el centrado horizontal del Tránsito y otro nivel fijo paralelamente al telescopio que sirve para
usar el Transito como nivel.
Tornillos niveladores. Todo el Tránsito descansa sobre tres apoyos llamados tornillos niveladores y éstos,
sobre una base que se enrosca a la cabeza del tripié que sirve para colocar el Transito o Teodolito en
estación y a una altura conveniente para trabajar.
Base. La parte inferior de la base se asemeja a un anillo, donde por medio de un tornillo de sujeción del
tripié se fija el Tránsito y que en el proceso del centrado del mismo, se puede aflojar para afinarlo sin
tener que mover el tripié. El extremo inferior del eje vertical termina en un gancho que sirve para colgar la
plomada que define el punto o la estación.
Brújula. Se encuentra en la base y en el centro de la alidada. Tiene un tornillo para despegar la aguja del
pivote cuando se hace uso de ella. Algunos Tránsitos traen un tornillo para ajustar el limbo graduado de la
brújula y también para ponerle declinación magnética cuando se requiere operar con rumbos
astronómicos.
Tripié. Es un accesorio que tiene la particularidad de soportar un equipo de medición como un tránsito,
teodolito o estación total, su manejo es sencillo, pues consta de tres patas que pueden ser de madera o de
aluminio, las que son regulables para así poder tener un mejor manejo para subir o bajar las patas que se
encuentran fijas en el terreno. El plato consta de un tornillo el cual fija el equipo que se va a utilizar para
hacer las mediciones.
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Centrado y nivelado
Esta actividad se realiza:
1. Se coloca el aparato a la altura necesaria, pero sobre la referencia (trompo, varilla, etc.),
2. En caso de que la plomada no marque exactamente el centro de la referencia, levántese
completamente y muévase lo necesario, todo esto observando que la plataforma del aparato este
aproximadamente horizontal,
3. Con el movimiento de las patas del tripié se hace llegar la punta de la plomada al centro de
referencia; logrando el centrado preciso, aflojando el tornillo de sujeción del aparato, moviéndolo
en la dirección que se requiera,
4. Terminado lo anterior, se procede a la nivelación del mismo,
5. En instrumentos de tres tornillos niveladores; se coloca el nivel paralelo a dos tornillos de ellos,
6. Se hace que la burbuja llegue al centro girando los tornillos niveladores de manera simultánea; el
movimiento del pulgar izquierdo indica el desplazamiento de la burbuja,
7. Gire el telescopio un cuarto de vuelta, o sea 90º, centre la burbuja utilizando el tercer tornillo,
8. Repítase la operación anterior (tres), hasta que las burbujas queden centradas en cualquier
posición; logrando con esto la nivelación del aparato.
Usos del tránsito
Debido a la gran variedad de usos que se le dan, él Tránsito es el aparato universal para la Topografía.
Se emplea para:
a) Medir ángulos horizontales y verticales
b) Trazar ángulos horizontales y verticales
c) Medir distancias
d) Determinar diferencias de elevación
e) Medir direcciones
f) Trazar y prolongar líneas
Teoría del vernier. Tránsito de vernier
La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos graduados se hace con vernier para
aumentar la aproximación que tienen las graduaciones. Para medir los ángulos horizontales, los Tránsitos,
en su mayoría están provistos de dos vernieres a 180º uno del otro, y que se mueven junto con el anteojo.
Definición
El vernier es una pequeña placa dividida independientemente del limbo y en contacto con él y que tiene
por objeto apreciar fracciones del menor espacio en que está dividido el limbo.
La aproximación de la lectura del vernier se obtiene mediante la relación:
vernier del divisiones de Número
limbo del división menor la de Valorvernier del ónAproximaci
O sea,
n
da
18
Limbo = 98º 30’
Vernier = 12’
Total = 98º 42’
Limbo
Vernier 30
100
90 10
30 20 10 20
2’50” 2’40”
Ejemplo
Graduación del
limbo
Divisiones del
vernier
Aproximación del
aparato
30’ 30 01’
20’ 40 30’’
Lectura del vernier
Para obtener el valor de la lectura, léase primero sobre el limbo, en la dirección de la graduación, los
números enteros que se encuentran antes de llegar al cero del vernier. Enseguida, léase el valor de la
fracción sobre el vernier, contando el número de divisiones que haya desde el cero hasta que se encuentre
la coincidencia de una división del vernier con una división del limbo. Las dos lecturas, tanto la del
limbo como la del vernier deben hacerse en la misma dirección y deben sumarse para obtener el valor
total.
Teodolito (de micrómetro óptico y electrónico)
Estos instrumentos constan básicamente de un visor o microscopio que tienen un sistema óptico
situado dentro de él. Generalmente hay un ocular para lectura, adyacente al ocular del anteojo o
situado en uno de los soportes de éste. Algunos instrumentos tienen micrómetros ópticos para la lectura
fraccionaria de intervalos en los círculos horizontal y vertical; se leen directamente en recuadros definidos
para cada uno, y las fracciones se obtienen girando la perilla del micrómetro, centrando la marca de
referencia para los grados, logrando así la lectura del ángulo.
19
Estación Total 610 Sokkia Estación Motorizada Sokkia
Teodolito electrónico
Es la versión del teodolito óptico, con la
incorporación de electrónica para hacer las lecturas
del círculo vertical y horizontal, desplegando los
ángulos en una pantalla, eliminando errores de
apreciación. Son de uso muy sencillo y alta precisión.
Estos instrumentos constan generalmente de:
Nivel esférico. Caja cilíndrica tapada por un casquete esférico. Cuanto menor sea el radio de curvatura
menos sensible serán; sirven para obtener de forma rápida el plano horizontal. Estos niveles tienen en el
centro un círculo, hay que colocar la burbuja dentro del círculo para hallar un plano horizontal bastante
aproximado. Tienen menor precisión que los niveles tubulares, su precisión está en 1´ como máximo,
aunque lo normal es 10´ o 12´.
Plomada óptica. Es la que llevan hoy en día los teodolitos, por el ocular vemos el suelo y así ponemos el
aparato en la misma vertical que el punto buscado.
Estación total (electrónica y motorizada)
Se conoce con este nombre, al instrumento que integra en un sólo equipo las funciones realizadas por el
teodolito electrónico, un medidor electrónico de distancias y un microprocesador para realizar los
cálculos que sean necesarios para determinar las coordenadas rectangulares de los puntos del terreno.
Entre las operaciones que realiza una Estación Total, puede mencionarse: obtención de promedios de
mediciones múltiples angulares y de distancias, corrección electrónica de distancias por constantes de
prisma, presión atmosférica y temperatura, correcciones por curvatura y refracción terrestre, reducción de
la distancia inclinada a sus componentes horizontal y vertical así como el cálculo de coordenadas de los
puntos levantados.
El manejo y control de las funciones de la Estación Total se realiza por medio de la pantalla y del teclado,
las funciones principales se ejecutan pulsando una tecla, como la introducción de caracteres
alfanuméricos, medir una distancia.
20
El modo de operar una Estación Total es similar al de un teodolito electrónico, se comienza haciendo
estación en el punto topográfico y luego se procede a la nivelación del aparato. Para iniciar las mediciones
es necesario orientar la Estación Total previamente, para lo cual se requiere hacer estación en un punto de
coordenadas conocidas o supuestas y conocer un azimut de referencia, el cual se introduce mediante el
teclado. Para la medición de distancias el distanciómetro electrónico incorporado a la Estación Total
calcula la distancia de manera indirecta en base al tiempo que tarda la onda electromagnética en viajar de
un extremo a otro de una línea y regresar.
La Estación Total, equipo que se ha popularizado desde finales del siglo XX e inicio del XXI, evita las
incidencias negativas del factor humano durante la medición y cálculo, con un incremento sustancial de la
eficiencia y de la eficacia en las operaciones de campo; puede decirse entonces que la Estación Total
constituye el instrumento universal moderno en la práctica de la Topografía, que puede ser utilizada
para cualquier tipo de levantamiento topográfico de una manera rápida y precisa y el vaciado de datos de
campo libre de error.
La Estación Total es utilizada tanto en levantamientos planimétricos como altimétricos,
independientemente del tamaño del proyecto. Los levantamientos realizados con este instrumento son
rápidos y precisos, el vaciado de los datos de campo está libre de error, el cálculo se hace a través del
software y el dibujo es asistido por computadora, lo cual garantiza una presentación final, el plano
topográfico, en un formato claro, pulcro y que cumple con las especificaciones técnicas requeridas.
Equipo GPS (Sistema de Posicionamiento Global)
El Sistema de Posicionamiento Global, mejor conocido como GPS (Global
Positioning System) es un sistema de navegación basado en una red de 24
satélites denominada NAVSTAR, siendo el acrónimo en inglés de
NAVigation System for Time And Ranging, traducido como Sistema de
Posicionamiento Global, situados en una órbita geoestacionaria a unos 20.200
Km de la Tierra, y unos receptores GPS, que permiten determinar nuestra
posición en cualquier lugar del planeta, de día o de noche y bajo cualquier
condición meteorológica. Al no haber comunicación directa entre el usuario y
los satélites, el GPS puede dar servicio a un número ilimitado de usuarios.
El Sistema de Posicionamiento Global consta de tres divisiones:
espacio, control y usuario. La división espacio incluye la red de 24
satélites denominada NAVSTAR y los cohetes Delta que lanzan los
satélites desde Cabo Cañaveral, en Florida, Estados Unidos. Los
satélites GPS se desplazan en órbitas geoestacionarias a 20.200 Km.
de altitud, invirtiendo 12 horas en cada una de las órbitas. Éstas tienen
una inclinación de 55° para asegurar la cobertura de las regiones
polares. La energía la proporcionan células solares, por lo que los
satélites se orientan continuamente dirigiendo los paneles solares
hacia el Sol y las antenas hacia la Tierra. Cada satélite cuenta con
cuatro relojes atómicos.
La división control incluye la estación de control principal en la base de las Fuerzas Aéreas Falcon, en
Colorado Springs, Estados Unidos, y las estaciones de observación situadas en Falcon AFB, Hawai, en la
isla de Ascensión en el Atlántico, en Diego García en el océano Índico, y en la isla Kwajalein en el
Pacífico sur. Las divisiones de control utilizan las medidas recogidas en las estaciones de observación para
predecir el comportamiento de las órbitas y relojes de cada satélite. Los datos de predicción se conectan a
los satélites para transmitirlos a los usuarios. La división control también se asegura que las órbitas de los
satélites GPS permanezcan entre los límites y de que los relojes no se alejen demasiado del
comportamiento nominal.
21
La división usuario es un término en principio asociado a los receptores militares. Los GPS militares
utilizan equipos integrados en armas de fuego, armamento pesado, artillería, helicópteros, buques,
submarinos, carros de combate, vehículos de uso múltiple y los equipos individuales para soldados.
Además de las actividades básicas de navegación, su aplicación en el campo militar incluye designaciones
de destino, apoyo aéreo, municiones `terminales' y puntos de reunión de tropas. La lanzadera espacial está
dotada de un Sistema de Posicionamiento Global.
Está constituido por los instrumentos utilizados para recepcionar y
procesar la señal emitida por los satélites.
Estos instrumentos están integrados esencialmente por una antena y un
receptor. Un equipo complementario es usado, en ocasiones, para
transferir datos entre receptores.
La antena está conectada por cable al receptor o en otros casos forman
una sola unidad. Las coordenadas que se calculan corresponden al
centro radioeléctrico de la antena.
El receptor consta de un mínimo de 4 canales (generalmente 10 ó 12)
que permiten recepcionar y procesar simultáneamente la señal de cada
satélite.
Posee además un oscilador de cuarzo que permite generar la frecuencia de referencia para realizar la
observación.
Un microprocesador interno con el software correspondiente calcula las coordenadas de la antena y la
velocidad y acimut si el aparato está en movimiento.
Posee además una memoria para almacenar observaciones. La capacidad de esta memoria varía de
acuerdo al tipo de receptor, pudiendo llegar a almacenar información durante varias decenas de horas.
Todo equipo adiciona una unidad de alimentación eléctrica que deberá brindar al receptor la autonomía
necesaria.
Los equipos están en continuo desarrollo y su evolución es comparable a la experimentada en informática
durante las últimas décadas para los ordenadores personales.
El GPS es un sistema que tiene como objetivo la determinación de las coordenadas espaciales de puntos
respecto de un sistema de referencia mundial. Los puntos pueden estar ubicados en cualquier lugar del
planeta, pueden permanecer estáticos o en movimiento y las observaciones pueden realizarse en cualquier
momento del día.
22
Para la obtención de coordenadas el sistema se basa en la determinación simultánea de las distancias a
cuatro satélites (como mínimo) de coordenadas conocidas. Estas distancias se obtienen a partir de las
señales emitidas por los satélites, las que son recibidas por receptores especialmente diseñados. Las
coordenadas de los satélites son provistas al receptor por el sistema.
Desde el punto de vista geodésico-topográfico, el Sistema GPS responde a dos requerimientos básicos:
Planteo directo o levantamiento: se tiene en el terreno un punto materializado, un pilar con placa y
marca, un mojón, etc. Se piden sus coordenadas en un sistema de referencia prefijado.
Planteo inverso o replanteo: se dan las coordenadas de un punto en un sistema de referencia
determinado y se pide la localización de dicho punto, que, de no estarlo ya, será materializado en
el terreno.
23
A B
Baliza
l1 l4 l3 l2 ln
Dist. AB
Levantamientos topográficos en proyección horizontal
Competencia: Realiza levantamientos y cálculos topográficos, así como el dibujo del plano
respectivo.
Levantamientos y trazos con cinta
Medida de distancias
La medición de la distancia entre dos puntos constituye una operación común en todos los trabajos de
topografía. El método y los instrumentos seleccionados en la medición de distancias dependerán de la
importancia y precisión requeridas.
Distancia Topográfica
Todos los levantamientos topográficos son representados a escala sobre el plano horizontal, por lo que
cuando se mide una distancia entre dos puntos sobre la superficie terrestre, ésta debe ser en proyección
horizontal.
La medida de distancia entre dos puntos puede hacerse en forma:
Directa: con cinta
Indirecta: con telémetros (Taquimetría)
Medición de distancias con cinta
La medición de una línea horizontal con cinta se basa en aplicar directamente la longitud conocida de un
elemento lineal graduado sobre la línea cierto número de veces.
En el proceso de medición se introducen una serie de errores tanto sistemáticos como aleatorios que son
inevitables, pero que podemos corregir o reducir al mínimo mediante el empleo de técnicas y equipos
adecuados.
Otro tipo de errores, no predecibles en magnitud y por lo tanto difíciles de detectar y corregir, son los
errores groseros, los cuales se cometen generalmente por distracción o falta de concentración en el trabajo.
Medida de distancias en terreno horizontal
Se pone la cinta paralela al terreno, al aire; que no toque o se apoye en el suelo, se marcan los tramos,
previamente alineados clavando estacas o trompos (pedazos de varilla, 25 a 30 cm).
24
Baliza
A B
Plomada
Dist. AB
l4
l3
l2
l1
l7
l6
l5
ln
l9 l8
n4321AB l llll Dist.
La tensión recomendada en la medición con cinta metálica es de 4 Kg. fuerza por cada 20 m de longitud,
aproximadamente (se trata de minimizar el error por catenaria).
Medida de distancias en terreno inclinado
Generalmente se mide por tramos, poniendo la cinta horizontal a ojo u en su defecto utilizar nivel de
mano.
Errores y tolerancias
Sistemáticos:
Longitud incorrecta de la cinta,
Catenaria,
Alineamiento incorrecto,
Inclinación de la cinta,
Variaciones por temperatura,
Variaciones en la tensión.
Accidentales
De índice o de ubicación de la plomada (la vertical no está sobre la referencia),
Variaciones en la tensión,
Apreciación de fracciones al leer las graduaciones.
Errores Groseros
Confundir marcas en el terreno,
Error de lectura,
25
Trazo de perpendiculares
Trazo de paralelas
Trazo de alineamientos
Determinación de distancias: Puntos visibles e inaccesibles
Trazo de ángulos
D
A
A N
B
B
C
M
3 0
7
12
3m
4m 5m
Proporción: 222 (3n) (4n) (5n)
90º 90º
Error de anotación,
Errores aritméticos al sumar distancias parciales.
Tolerancias en medida de distancias con cinta:
Distancia medida en los dos sentidos; ida y vuelta:
l
2L2eT
Donde:
T: tolerancia, en metros,
e : error cometido en una puesta de cinta, en metros,
L: promedio de medidas, en metros,
l: longitud de la cinta empleada, en metros.
Condiciones de las medidas e (metros)
Precisas en terreno plano y correcciones 0.015
Terreno plano, cinta comparada 0.02
De 2a clase terreno abrupto 0.03
Terreno muy quebrado 0.05
Trazos y problemas que se resuelven con cinta
Trazo de perpendiculares:
a) Levantar una perpendicular en cualquier punto sobre una linea.
b) Desde un punto exterior a un alineamiento bajar una perpendicular a este.
26
90º
M M N N
D
A A B B
C C D
P
90º
M
P
N
b
a’
a
b’ c’
c
Q
90º
90º
90º
90º
Baliza
M N
A
A
B
B
C
C
D
D
Trazo de paralelas:
Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN.
Trazo de alineamientos:
Puntos invisibles uno del otro.
McK cc'
MbK bb'
MaK Ma MQ
NQ aa' :deduce se
KMQ
NQ
Mc
cc'
Mb
bb'
Ma
aa'
:proporción la de Así,
27
Linea base
C A A C
B B
M
α α
α2
1
α
α2
1 sen 2AC BC
; 2AC
BC
2AC
2BM
AC
BM α
21sen
α tan AC BC
Determinación de distancias:
Puntos inaccesibles pero visibles.
Salvando un obstáculo.
Trazo de ángulos:
Por el triángulo rectángulo.
Por el método de la cuerda.
Levantamientos con cinta
Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente plano, descubierto y accesible.
Generalmente los levantamientos en TOPOGRAFÍA se realizan trazando polígonos en el terreno.
90º
A A
B
B
P
P
Q
90º
Construcción
PQ
APAQ AB
PQ
AQ
AP
AB
:semejantes triángulos Por
22 (BP) (AP) AB
:rectángulo triángulo Del
28
Métodos de levantamientos con cinta
Triángulos:
Radiaciones
Diagonales
Lados de liga Coordenadas
Prolongación de
alineamientos
En Topografía se da el nombre de poligonal a un polígono o a una línea quebrada de n lados; o como una
sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos. Las longitudes y direcciones de dichas
líneas, se determinan a partir de mediciones en el campo.
Poligonal cerrada. Aquella cuyos extremos inicial y final coinciden; es decir, es un polígono.
Poligonal abierta. Línea quebrada de n lados o aquella poligonal cuyos extremos no coinciden.
Métodos
Los métodos que generalmente se aplican son:
Triangulación:
Dividiendo en triángulos, desde uno o más vértices el polígono de base, trazando sus diagonales.
Desde un punto interior trazar sus radiaciones a los vértices del polígono de base.
Lados de liga:
Aquí se miden los lados del polígono de base y, además, las líneas que ligan dos puntos
pertenecientes a lados contiguos y la cuerda que los une.
radiaciones
diagonales
A A
P
B B
C C
D D
E E
29
Polígono envolvente
C
B A
D
Lados prolongados
(Se miden)
4
3 2
1 6
5
Prolongación de alineamientos:
Sobre un polígono de base que puede ser un rectángulo envolvente, se miden las distancias de los
alineamientos del perímetro prolongado a ojo.
Coordenadas:
Permite fijar cada vértice del polígono de base independientemente de los demás, proyectándolos
sobre dos ejes rectangulares convenientemente elegidos.
D
C
B A
F
E
H G
Lados de liga
Cuerda
B
A C
α
c
a
a
2a
c sen ang. 2 α
30
Eje de proyección
3
2
1
4
5
Y1
O X
Y
X4 X3 X2 X1 X5
Y5
Y2
Y4
Y3
A + B + C = 180°
Cálculos, correcciones y dibujo
Cálculos
Ángulos interiores del polígono de base: Se obtienen cada uno de los ángulos del triángulo.
Comprobación angular:
Superficie del polígono de apoyo: triángulo
Donde:
a, b, c: lados del triángulo,
p: semiperímetro; 2
cbap
Finalmente los ángulos y la superficie del polígono, se obtendrán sumando los valores de cada uno de los
triángulos trazados.
c-pp
b-pa-pC
2
1 tan
b-pp
c-pa-pB
2
1 tan
a-pp
c-pb-pA
2
1 tan
c)-b)(p-a)(p-p(pS
31
Correcciones
Estas se realizan determinado los errores, tolerancias y precisión.
Errores
Error angular
Para levantamientos con cinta, este error se justifica con la comprobación angular de cada
triángulo, obteniendo posteriormente los ángulos interiores del polígono, aplicando la condición
geométrica,
2)-(n180 interiores angs.
Siendo:
n: número de lados del polígono
Error lineal
En levantamientos con cinta e igualmente utilizando brújula, este se determina gráficamente y de la
misma manera se corrige.
Tolerancias
Se entiende por tolerancia el error máximo admisible en las mediciones topográficas.
Tolerancia angular
Independientemente del procedimiento topográfico utilizado, la tolerancia angular se determina;
naTA
Siendo:
TA = tolerancia angular, en minutos de arco,
a: aproximación del aparato, en minutos de arco,
n: número de vértices de la poligonal.
Para levantamientos con cinta; la aproximación se considera: a = 01° aproximadamente. Para corregir un
trabajo, se debe de cumplir;
EA < TA
Caso contrario, se tendrán que repetir las mediciones.
Tolerancia lineal
Prácticamente se determina;
Terreno Tolerancia lineal
Plano
1000
LLT
Accidentado
500
LTL
Donde:
TL: tolerancia lineal, en metros
L: perímetro de la poligonal, en metros
Si el error de cierre no rebasa la tolerancia establecida, se procede a compensar el error gráficamente.
32
Los límites en la percepción visual y las escalas.
Por convenio, se admite que la vista humana normal puede percibir sobre el papel magnitudes de hasta
41 de milímetro, con un error en dicha percepción menor o igual a
51 de milímetro. (Agudeza visual)
Es muy importante tener esto en cuenta en la práctica, pues dependiendo de la escala a la que estemos
trabajando, deberemos adaptar los trabajos de campo a la misma.
Por ejemplo: si estamos trabajando a escala 50000
1 , los 0.2 mm. del plano (5
1 de mm) de error
inevitable, estarían representados en el terreno por 10 mts. Esto quiere decir que la determinación en
campo de distancias con mayor precisión de 10 mts. es de todo inútil, pues no lo podremos percibir
correctamente en el plano.
Como es usual en muchos proyectos de ingeniería, trabajamos a escala 1000
1 , tendremos que lo 0.2 mm.
del plano corresponden a 20 cm. en el terreno, debiendo adaptar las medidas tomadas en campo a esta
última magnitud.
Está claro, por tanto, que debe evitarse un excesivo nivel de detalle en los trabajos de campo, ya que
luego no tendrán una representación en el plano final.
Precisión o error relativo
Esta se calcula dividiendo el error de cierre por el perímetro del polígono;
L
EP L
Donde:
P: Precisión
EL: Error de cierre
ΣL: Perímetro de la poligonal
La precisión generalmente se representa:
Dibujo y construcción del plano
Escala:
La escala de un plano es la relación fija que todas las distancias en el plano guardan con las distancias
correspondientes en el terreno.
Escala numérica
Una unidad de longitud en el plano representa un número determinado de las mismas unidades de longitud
en el terreno, como:
500:1 250,:1 ó etc. ,1000
1 ,
500
1 ,
250
1
Escala gráfica
Es una línea subdividida en distancias del plano que corresponden a unidades de longitud en el terreno.
La fórmula general de la escala es;
Esto indica que habrá una unidad de error por cada cierto número de
unidades de medidas LE
L
1P
33
Ejemplo:
1. Determinar la longitud en el terreno de una línea medida en el plano, de 23 mm a una escala
1:50,000.
2. Se mide un área a escala 1:100 resultando 250 cm2. ¿Cuál es el área real?
CANCHA DE
FUTBOL
OFICINAS
DEL PRI
BASQUET BALLCANCHAS
DEPORTIVAS DE
CROQUIS DE LOCALIZACIÓN
N
UNIDAD
DEPORTIVA
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO
ING. TOPÓGRAFO GEODESTA
CON TRÁNSITO Y CINTA
YURIDIA CRISTELL BASILIO BELLO
ING. MARTIN ZUÑIGA GUTIERREZ
CHILPANCINGO, GRO. A 18 DICIEMBRE DEL 2004
ESCALA: 1:250
LEVANTAMIENTO:
LEVANTÓ:
REVISÓ:
PROGRAMA
EDUCATIVO:
BRIGADA 3
AV. J. F. RUIZ MASSIEU
M
1
L
l
En la cual:
L: longitud medida en el terreno,
l: longitud en el plano,
M: denominador o modulo de la escala.
Construcción del plano
Dibujo topográfico: La poligonal de apoyo y del terreno; así como los detalles más importantes, tanto
naturales como los realizados por la mano del hombre,
Orientación: Esta se ubica de preferencia en la parte superior derecha del plano,
Croquis de localización: Debe de representar la información geográfica tal que sea muy sencillo su
ubicación desde cualquier perspectiva,
Cuadro de construcción: Los elementos numéricos necesarios como resultado de la aplicación de
cualquier procedimiento topográfico: Distancias, direcciones, coordenadas, superficies, etc.
Simbología topográfica: La representación simboliza de los detalles plasmados en el plano
topográfico,
Cuadro de referencia: Información general del trabajo topográfico realizado: Empresa, Logotipo,
Tipo de levantamiento, Nombre del responsable de quien ejecuto el trabajo, escala, ubicación, fecha,
etc.
Prácticas en cada caso
34
Ejemplo
Resolver el siguiente triángulo:
a = 29.290 m
b = 59.855 m
c = 54.840 m
Solución:
P= 71.992
P – a= 42.702
P – b= 12.137
P – c= 17.152
Ángulo A:
'1029)2602.0(tan2
2602.02024.3074
1738.208
)702.42(992.71
)152.17)(137.12(
2
1tan
1
AA
A
Ángulo B:
'5784)9156.0(tan2
9156.07669.873
4247.732
)137.12(992.71
)152.17)(702.42(
2
1tan
1
BB
B
Ángulo C:
'5365)2602.0(tan2
6479.08068.1234
2742.518
)152.17(992.71
)137.12)(702.42(
2
1tan
1
CC
C
Superficie: 2980.799)152.17)(137.12)(702.42(992.71 mSS
Comprobación: A+B+C=180°, 29°10’ + 84°57’ + 65°53’ = 180°
Ej.
Resolver los siguientes triángulos:
a) a = 76.34 m
b = 107.58 m
c = 115.44 m
b) a = 32.60 m
b = 61.50 m
c = 83.44 m
Fórmulas:
c-pp
b-pa-pC
2
1 tan
b-pp
c-pa-pB
2
1 tan
a-pp
c-pb-pA
2
1 tan
2
cbap
c)-(p b) - (p a)-p(pS
A
B
C
b
ca
35
Meridiana
Astronómica
PN
PS
A
O
Ecuador
Chilpancingo tiene una declinación de 07º 43’.8 E, aproximadamente.
Levantamientos con brújula y cinta
La orientación topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar a las líneas de un plano la misma
dirección que guardan sus homólogas en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el
ángulo horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene una dirección fija.
Comúnmente se emplean como líneas de referencia la meridiana astronómica o la meridiana magnética.
Definiciones
Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto. Es el círculo máximo que pasa por ese punto y
por los polos terrestres.
Plano meridiano magnético. Es el plano vertical en que se coloca una aguja imanada y orientada bajo la
acción única del campo magnético terrestre.
Meridiana astronómica o verdadera. Es la dirección norte-sur dada por la intersección del plano
meridiano astronómico con el horizonte. Se determina a partir de observaciones al Sol o a las Estrellas
(Polar).
Meridiana magnética. Es la línea paralela a las líneas magnéticas de fuerza de la Tierra; su dirección es la
que toma una aguja magnética suspendida libremente. Esta se emplea como una línea de referencia en los
levantamientos topográficos tradicionales, los diversos instrumentos topográficos de medición angular
suelen llevar todos una brújula.
Declinación magnética. Es el ángulo que se forma entre la meridiana astronómica y la magnética.
En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo norte de la aguja de la brújula
apunta al Este de la meridiana astronómica o verdadera. Esta cambia de valor de un lugar a otro, ya que
está sujeta a ciertas variaciones de tiempo y de lugar.
36
N.A. (Norte
Astronómico)
NM. (Norte Magnético)
: Declinación
Magnética
A
En la actualidad, el polo norte magnético está ubicado aproximadamente a 1000 millas al Sur del Polo
Norte astronómico en el Ártico canadiense, cerca de la isla Ellef Rinanes. Se mueve hacia el norte a razón
de 15 kilómetros por año.
N
N
A
B AzAB
AzAB
C
AZIMUT DIRECTO
AZIMUT INVERSO
Ángulos y direcciones
La dirección de una línea se puede definir por el rumbo o por el azimut. Ambos pueden ser magnéticos o
astronómicos. Los datos astronómicos se consideran invariables, y también se les llama verdaderos.
Azimut y rumbo de una línea
Azimut de una línea: Es el ángulo que forma una línea con la dirección Norte-Sur, medido de 0º a 360º a
partir del Norte, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj.
37
RUMBO INVERSO
NW 61º 40’
RUMBO DIRECTO
SE 61º 40’
N
N
S
S
E
E
W
W
A
B
E
D
C
61º 40’ 61º 40’
37º 43’
52º 27’
39º 57’
Tomando la línea AB, su azimut directo es el que se toma en el origen de la línea, o sea, en A visando B.
El azimut inverso es el que se toma en el extremo final de la línea, en B visando A.
Entre ambos azimutes, directo e inverso, existe una diferencia de 180º;
Azimut inverso = Azimut directo + 180º
Rumbo de una línea: Es el ángulo horizontal que dicha línea forma con el eje Norte-Sur, su valor está
comprendido entre 0º y 90º; a partir del Norte o a partir del Sur, hacia el Este o hacia el Oeste.
Tomando la línea AB, su rumbo directo es el que se toma estacionado en A y visando B.
El rumbo inverso es el que se toma en sentido opuesto, o sea de B a A.
Conversión de azimutes a rumbos y viceversa
Con frecuencia hay necesidad de convertir los azimutes a rumbos y viceversa. Para facilitar esta
conversión, estableceremos la relación entre azimut y rumbo en cada uno de los cuatro cuadrantes.
38
Rbo.
Az
A
B
N
E
Rbo. = Az
Az = Rbo.
Rbo. = Rumbo
Az = Azimut
Rbo. = Az – 180º
Az = 180º + Rbo.
B
A
Rbo.
Az
W
N
S
S
N
E
A
z
Rbo.
Rbo. = 180º - Az
Az = 180º - Rbo.
B
A
Az.
1ER. Cuadrante;
2DO. Cuadrante;
3ER. Cuadrante;
39
Rbo. = 360º - Az
Az = 360º - Rbo.
Rbo.
Az
B
A W
N
C A L L E
Poligonal de apoyo
5 4 3
2
1
Poligonal del terreno
E D
C B
A
8 7
6
4TO. Cuadrante;
Levantamientos con brújula y cinta
Usos de la brújula
Se emplea para levantamientos secundarios, reconocimientos, trabajos preliminares, para tomar
radiaciones en trabajos de configuración, para polígonos apoyados en otros levantamientos más precisos,
etc.
No debe emplearse la brújula en zonas donde quede sujeta a atracciones locales, tales como: poblaciones,
líneas de transmisiones eléctricas, estructuras de acero, etc.
Levantamiento de una poligonal con brújula y cinta
El procedimiento consiste en recorrer el perímetro de la poligonal, tomando los datos necesarios para la
elaboración y construcción del plano.
Trabajo de campo
Comprende las operaciones siguientes:
40
1. Reconocimiento del terreno,
2. Materialización de los vértices de la poligonal y del terreno,
3. Dibujo del croquis, como resultado del recorrido del levantamiento,
4. Recorrido del perímetro del polígono de base y de la poligonal del terreno, tomando los rumbos
(azimutes) directo (hacia delante) e inverso (hacia atrás) de los lados y tomando sus distancias
medidas con cinta,
5. Levantamientos de detalles.
Los datos resultados del levantamiento, se anotan en forma clara y ordenada, en el siguiente formato
como registro de campo:
Registro de campo
Levantamiento:_______________________________ Levantó:______________________________
Lugar:______________________________ Fecha._______________ Aparato__________________
EST. P.V. Dist.(m) Rumbos
Croquis y Notas Ida Vuelta Directos Inversos
Cálculos y correcciones
Trabajo de gabinete
El procedimiento usual es:
a) Con los Rumbos tomados hacia atrás y hacia adelante (inverso y directo) en cada vértice o
estación, se obtienen los Rumbos observados,
b) A partir de estos, se calculan los ángulos interiores, por diferencia de rumbos, en cada vértice. Al
calcular los ángulos interiores de cualquier polígono levantado con brújula y cinta, se debe
verificar;
2-n180 interiores ángulos
Si existe alguna diferencia, esta no deberá exceder la tolerancia angular;
naTA
Donde:
TA = Tolerancia angular en minutos
a = aproximación del aparato, que en el uso de la brújula es ± 30’
n = número de vértices de la poligonal
Si:
EA > TA ; las operaciones de campo se repiten,
Donde:
EA: error angular
41
Corrección angular: El error angular EA, generalmente se reparte entre todos los ángulos medidos; o sea:
n
EA , procurando cumplir con la condición geométrica establecida, según el polígono; corrigiendo así los
ángulos interiores,
c) Se escoge un rumbo base que se supone correcto. Este puede ser el de un lado cuyos rumbos
directo e inverso hayan coincidido mejor,
d) A partir del rumbo base, con los ángulos interiores calculados, se calculan nuevos rumbos para
todos los lados del polígono, que serán los rumbos calculados.
Error de cierre lineal
Como a pesar de todas las precauciones tomadas en el terreno y en la elaboración del dibujo,
generalmente, el extremo final del polígono de base no coincide con el origen, la distancia gráfica entre
dichos puntos es el error de cierre que no deberá ser mayor que la tolerancia lineal.
La tolerancia lineal, TL se calcula:
Terreno Tolerancia lineal
Plano
1000
LTL
Accidentado
500
LTL
Donde:
L = perímetro de la poligonal, en metros.
Si el error lineal no rebasa la tolerancia establecida, se compensará el error gráficamente.
La precisión o error relativo en un levantamiento se calcula dividiendo el error de cierre por el perímetro
del polígono,
Donde:
Error lineal, EL
C
B
A
E
D
A’
L
E P L
42
P = precisión o error relativo,
EL = error lineal,
ƩL = perímetro de la poligonal,
Generalmente, la precisión se representa;
“Lo que nos indica que habrá una unidad de error por cada cierto número de medidas”.
La precisión o error relativo en los levantamientos con brújula y cinta se define;
Terreno Precisión
Plano
1000
LTL
Accidentado
500
LTL
Compensación lineal
Determinado el error de cierre y si este se encuentra dentro de la tolerancia establecida, la poligonal se
corrige en forma gráfica de la manera siguiente:
a) Se calculan las correcciones considerando que los errores son proporcionales a las longitudes de
los lados de la poligonal.
El error unitario o error por metro ""e , se calcula:
L)( E L
E L
ee
Donde:
EL : Error lineal
L : Perímetro de la poligonal
Calculando ""e , las correcciones se obtienen:
C1 = e L1
C2 = e (L1 + L2)
C3 = e ( L1 + L2 + L3)
C4 = e ( L1 + L2 + L3 + L4)
C0’ = e ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5) : C0’ = e ( L ) Se concluye que: C0’ = E
b) Por los vértices de la poligonal se trazan paralelas al error de cierre, en sentido contrario al error.
LE
L
1P
43
c) Luego, sobre estas paralelas se miden las correcciones respectivas para cada vértice: para el
vértice 1, C1, para el vértice 2, C2, para el vértice 3, C3, y así sucesivamente hasta el último
vértice.
d) Por último uniendo estos puntos tendremos la poligonal compensada.
Ejemplo.
Con los datos de campo de la práctica respectiva, calcular:
a) Los ángulos interiores del polígono a partir de los rumbos observados,
b) El error angular (EA),
c) La tolerancia angular (TA),
d) La corrección angular (C),
e) Los ángulos interiores corregidos,
f) Los rumbos, a partir del rumbo base y los ángulos interiores corregidos.
Registro de campo
Levantamiento con brújula y cinta.
Levantó:___________________________ Lugar:__________________ Fecha:___________
EST. P.V. Dist.
(mts.)
R u m b o s Croquis y Notas
Directos Inversos
A B 37.00 N 45° 00’ E S 45° 30’ W
B C 40.50 N 37° 00’ W S 37° 00’ E
C D 36.50 S 70° 30’ W N 70° 00’ E
D E 37.45 S 02° 00’ E N 02° 00’ W
E A 35.00 S 75° 00’ E N 75° 30’ W
Prácticas en cada caso
Error de
cierre
L3
L2
L1
L5
L4
2’
1’
0’ 0
1
2
3
3’
4’ 4
Poligonal sin
compensar
Poligonal
compensada
44
Punto de
control
C B
A
Ángulos
E
D
Lados de la
poligonal Estación de
la poligonal
N
P
Ángulos
P2
P1
D C
B
A
E
N
Levantamientos con tránsito y cinta
Los levantamientos con Tránsito y cinta, consisten en el trazo de poligonales, que es la operación de
establecer las estaciones de ésta y de hacer las mediciones necesarias, es uno de los procedimientos
fundamentales y más utilizados en la práctica para determinar la ubicación relativa entre puntos en el
terreno.
Las poligonales son figuras geométricas compuestas por una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes
y direcciones se determinan a partir de mediciones en el campo. Básicamente existen dos tipos de
poligonales, la cerrada y la abierta; nuestro análisis se enfocara en ellas, previamente efectuadas todas las
correcciones y ajustes respectivos.
Hay dos tipos básicos de poligonales:
La cerrada. Las líneas regresan al punto de partida, formándose así un polígono geométrica y
analíticamente cerrado. Son de aplicación extensa en levantamientos topográficos.
La abierta. Las líneas terminan en otra estación, que puede tener una exactitud de posición igual o mayor
que la del punto de partida. Son geométricamente abiertas, pero analíticamente cerradas. Se usan
generalmente en los levantamientos de vías terrestres.
45
El establecimiento de estas poligonales consiste en: Medir ángulos, direcciones y distancias.
Medida directa de ángulos
Consiste en medir en todos los vértices de la poligonal los ángulos que forman los dos lados que
concurren al vértice de observación (Estación). Este método se emplea preferentemente en el
levantamiento de poligonales cerradas, ya que podemos medir ángulos interiores o exteriores.
Ángulos interiores
Consiste simplemente en medir todos los ángulos interiores de la poligonal. Se emplea en el trazo de
poligonales cerradas.
Es conveniente medir todos los ángulos interiores en el mismo sentido, en el sentido del movimiento de
las manecillas del reloj o a la derecha, porque así se reducen los errores de lectura, registro y trazo.
Condición geométrica
Al tomar ángulos interiores, el recorrido del trazo de la poligonal, se realiza en sentido contrario del
movimiento de las manecillas del reloj.
En el campo, al terminar el levantamiento se determina el error angular comparando la suma de los
ángulos observados con la suma que, para la poligonal levantada, da la condición geométrica.
2n180º(C geométrica ndiciónC geom )o
El error angular, Eang:
2n180ºobs.angs.angE
La tolerancia angular, TA, se calcula:
naTA
Donde:
a: aproximación del aparato
n: número de vértices de la poligonal
F
Ángulos
Interiores
recorrido
AzAB
D
C
B
A
E N
46
F
Ángulos
Exteriores AzAB
Recorrido
D
C
B
A
E
N
Ejemplo
Registro de un levantamiento con tránsito y cinta, midiendo ángulos horizontales internos.
EST. P.V. Dist. Ángulo R.M.O.
A B 52.146 135°59’ N 58° 41’ E
B C 50.159 91° 08’
C D 51.153 112° 18’
D E 55.431 116° 48’
E A 50.435 83° 47’
Ángulos exteriores
En este, a diferencia del anterior, es que se toman los ángulos exteriores, es decir, los ángulos de afuera de
una poligonal.
Para este caso, el recorrido de la poligonal, se realiza en el sentido del movimiento de las manecillas del
reloj, midiendo así los ángulos a la derecha.
Condición geométrica. Esta se obtiene:
2) (n180ºgeométrica Condición
El error angular, EA:
2n180ºobs.angs.AE
La tolerancia angular, TA, se obtiene de la misma manera que el caso anterior:
naTA
47
4
3
2
1
DI
DD
Si el error angular es menor o igual que la tolerancia, el levantamiento se realizó correctamente; en
caso contrario se repite el trabajo de campo.
Ejemplo
Registro de un levantamiento con tránsito y cinta, midiendo ángulos horizontales externos.
EST. P.V. Dist. Ángulo R.M.O.
A B 50.435 224° 01’ N 77° 18’ W
B C 55.431 276° 13’
C D 51.153 243° 12’
D E 50.159 247° 43’
E A 52.146 268° 53’
Método de deflexiones
Ángulo de deflexión
Se denomina ángulo de deflexión, el ángulo que se forma de un lado de la poligonal con la prolongación
del lado anterior. Estos ángulos se consideran positivos o negativos según se midan a la derecha (DD) o a
la izquierda (DI) de la prolongación.
Este método se usa generalmente en el trazo de poligonales abiertas como las empleadas en el trazo de una
vía de comunicación.
En las poligonales abiertas, los errores angulares se pueden determinar haciendo observaciones
astronómicas a intervalos; o comparando con puntos de control establecidos con equipo GPS (Sistema de
Posicionamiento Global), tomando en cuenta la convergencia de meridianos para distancias largas.
48
b
d c
e
D5
a
g
h
f
D i
C
B
A
D4
E
D3
D2 D1
AzAB
Línea de
control
B
A
D
C
D
F
E
D D
N
I
P
En poligonales cerradas, la suma algebraica de ángulos de deflexión es constante e igual a 360º. Es decir,
la condición geométrica del cierre angular de la poligonal se expresa:
360º(-) sDeflexione -)( sDeflexione
Método de conservación de azimutes
Este método, como su nombre lo indica, consiste en conservar el azimut de un lado leído en una estación,
para partir de él en las lecturas que se ejecuten en la siguiente estación. Está basado tal que, sí en una
estación cualquiera se orienta el instrumento y se visa la estación siguiente, la lectura de limbo horizontal
dará directamente el AZIMUT de la línea que une las dos estaciones.
360º D : 180º 5 180º3 D
i ba D DD
180º5 i ba D DD
180º iD
180º fhD
180º ecD
180º bD
180º gdaD
:tambien
180º 3 i ba
180º ihg
180º fed
180ºcba
:luego
sDeflexione :D ,D ,D
Poligonal :ABCDE
:figura la de
180º3
521
521
5
4
3
2
1
521
D
49
N
F
N N
N
N
C
B
A
E
D
AzEF
AzAB
AzBC
AzCD
AzDE
AzAB
A
N
E
D
C
B
F N
N
N
N
N
AzFA
AzEF
AzDE
AzCD
AzBC
Este método es aplicable a cualquier tipo de poligonales.
Comprobación del cierre angular
La diferencia entre el azimut de partida y el azimut de llegada es el error de cierre angular del polígono
que debe sujetarse a la tolerancia angular:
naAT
50
AzAB
N
N
N
D
C
B
A
AzCD
AzBC
AzAB
AzBC
180º
Ángulo
horizontal
180º
Cálculos y correcciones
Terminado el trabajo de campo, se procede a ordenar los datos tomados y efectuar los cálculos que con
ellos se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir el plano. Todos estos
elementos se anotan en una hoja de papel con rayado especial llamada planilla de cálculo. Todo lo
anterior se denomina trabajo de gabinete.
Corrección o compensación angular de una poligonal cerrada
Si EA<TA, entonces se procede a distribuir él EA, dicha corrección se puede efectuar:
a) Distribuyendo el error por partes iguales en cada uno de los ángulos medidos;
angular correcciónC : Cn
EAA
A
b) Distribuir el error en los ángulos comprendidos entre lados más pequeños;
c) Aplicar la corrección a cada cierto número de ángulos;
estación de número :n' ; E
nn'
A
La corrección angular se aplica con signo contrario al error angular.
Cálculo de azimutes y rumbos de los lados de la poligonal
Poligonales cerradas. Ángulos internos o externos
Después de ajustar los ángulos, procedemos al cálculo de azimutes y rumbos. Esto obliga a conocer la
dirección de por lo menos de una línea de la poligonal.
El cálculo de azimutes se realiza:
51
Estableciendo la regla:
“El azimut de un lado cualquiera de una poligonal se obtiene sumando al azimut inverso del lado anterior
el ángulo horizontal tomado en la estación que es origen del lado cuyo azimut se busca”.
Ejemplo
Con los datos de la figura, calcular el azimut de la línea BC.
Sol.
Teniendo los azimutes, el cálculo de rumbos se realiza transformando los azimutes a rumbo, como se
definió anteriormente. Esto es:
. Rbo. = N Az E . Rbo. = S Az – 180º W
. Rbo. = S 180º - Az E V. Rbo. = N 360º - Az W
Método práctico para el cálculo de rumbos
Para este caso se necesita tener el ángulo horizontal a la derecha y consiste:
a) Si el rumbo de partida es NE o SW y H el ángulo horizontal, entonces:
H + Rbo. = C
b) Si el rumbo de partida es NW o SE,
H – Rbo. = C
21' 259º Az
360º -
21' 619º
35' 88º
180º
46' 350º
B 180º Az Az
BC
ABBC
350º 46’
AzBC B
C
A
N
N
88º 35’
C Az Az
B Az Az
:donde
Az 180º Az
Az 180º Az
:luego
C 180º Az Az
B 180º Az Az
:figura la de
BC
AB
BC
AB
INVCD
INVBC
INVBC
INVAB
BCCD
ABBC
52
N
B
A
C
D
AzBC
AzAB
AzCD = AzBC + DD
AzBC = AzAB - DI
DD (+)
DI (-)
N
N
AzCD
c) El origen de la cantidad C, se toma:
A partir de S sí el Rbo. es NE o NW
A partir de N sí el Rbo. es SE o SW
Resumiendo:
Ejemplo
Calcular los rumbos tomando en cuenta los siguientes ángulos:
ES. Áng. Horizontal Corrección Áng. Ajustado R.M.C
A 100º 44’ 12’’ 100º 44’ 12’’ N 26º 10’ 00’’
B 101º 35’ 12’’ 101º 35’ 12’’
C 89º 05’ 12’’ 89º 05’ 12’’
D 17º 11’ 12’’ 17º 11’ 12’’
E 231º 24’ 12’’ 231º 24’ 12’’
SUMAS 539º 59’ 60’’ 540º 00’ 00’’
Cálculo de azimutes o rumbos de una poligonal. Método de deflexiones.
En una poligonal levantada por el método de deflexiones, el cálculo de azimutes se realiza:
“El azimut de un lado se obtiene sumando algebraicamente la deflexión al azimut del lado anterior”. Si
la deflexión es negativa y mayor que el Azimut se le agregan a éste 360º para que la resta resulte positiva.
Cuadrante Operación numérica Origen de
C
NE
SW
H + Rbo. = C
S
N
NW
SE
H – Rbo. = C
S
N
N
C
N
S S
C
53
N
A
N
N
N
RboAB
RboBC
RboAB
RboAB
RboAB
RboBC
B
A
B
C
C
ABBC Rbo180º- Rbo
ABBC Rbo Rbo
Cálculo de rumbos en función del rumbo inicial y ángulos de deflexión.
Ahora, si se tiene el rumbo de un lado y las deflexiones, se pueden obtener los RUMBOS de los
siguientes lados, aplicando las reglas:
Si el lado de la poligonal está en el cuadrante NE o SW se suma al rumbo del lado la deflexión
derecha y se resta la deflexión izquierda; y si el lado está en el cuadrante SE o NW se suma al
rumbo del lado la deflexión izquierda y se resta la deflexión derecha.
Cuando la suma del rumbo y la deflexión exceda de 90º, se toma el suplemento y se cambia la
letra N por S y viceversa; y si al tomar la diferencia entre un rumbo y la deflexión, ésta resulta
negativa, se cambia la E por W, y viceversa.
Ejemplo
Con los datos del siguiente registro de campo, calcular:
a) Error angular
b) Tolerancia angular
c) Corrección angular
d) Azimutes
e) Rumbos
54
Registro de campo
Prácticas en cada caso
EST. P.V. Distancias Hor. R.M.O. Croquis
0 1 31.96 101º 02’
A 23.60 243º 00’
1 2 49.96 92º 30’
B 20.46 236º 05’ S 09º 37’ W
2 3 47.72 101º 55’
C 18.90 206º 16’
3 0 62.93 64º 33’
O 23.20 213º 02’
1
C a l l e
D C
B A
2
3
0
55
Cálculo y ajuste de poligonales
Los ángulos o las direcciones medidas de una poligonal cerrada pueden comprobarse fácilmente antes de
dejar el campo. Las medidas lineales, especialmente las determinadas con cinta, aún cuando se repitan,
tienen mayores probabilidades de error y deben verificarse mediante el cálculo, que generalmente se hace
en gabinete para determinar si la poligonal compensa la precisión exigida. Si se han satisfecho las
especificaciones, se ajusta luego la poligonal para lograr un “cierre perfecto”, es decir, la congruencia
geométrica entre los ángulos y las longitudes; de lo contrario, tienen que repetirse las mediciones en el
campo hasta lograr los resultados adecuados.
Regla de la brújula
Existen varios métodos para repartir el error de cierre lineal y hacer que el polígono cierre perfectamente.
Uno de los procedimientos o métodos más empleado es la regla de la brújula o de Bowditch, y está
basado en:
1. En que los errores en el levantamiento son accidentales y varían con la raíz cuadrada de la
longitud de los lados directamente por lo que se corrige proporcionalmente a las longitudes de los
lados.
2. Que los errores angulares tienen efecto semejante a los de las longitudes.
De lo anterior se tiene:
L
Ek donde l .k c ó l .
L
E
L
l .Ec ,
L
l
E
c xx
xxx
x
x
Y,
L
Ek donde l .k c ó l .
L
E
L
l .Ec ,
L
l
E
c y
y
yy
yy
y
En la cual:
)(Perímetro lados los de longitudes las de Suma :L
lado un de longitud:l
S-N eje el en esproyeccion de cierre de Error:E
W-E eje el en esproyeccion de cierre de Error :E
S-N eje el sobre lado un de proyección la a corrección:c
W-E eje el sobre lado un de proyección la a corrección:c
y
x
y
x
Regla del tránsito
Esta regla considera:
1. Accidentales los errores de levantamiento por poligonales.
2. La precisión de las distancias son inferiores a la medida de los ángulos.
En esta regla, los errores de cierre de las proyecciones se reparten proporcionalmente a las proyecciones
de cada lado, esto es:
x
xxxx
x
x
x
xxx
x
x
x
x
P
EK donde P Kc ó P
P
E
P
PE c ,
P
P
E
c
y,
56
EL: Error lineal
X
Y
N
E
A
B
A’
E
D
C
G
F
EX
EY
EL
y
y
yyyy
y
y
yy
yy
y
y
y
P
EK donde P Kc ó P
P
E
P
PE c ,
P
P
E
c
En la cual:
S-N eje el sobre esproyeccion de Suma :P
W-E eje el sobre esproyeccion de Suma :P
S-N eje el sobre lado un de Proyección :P
W-E eje el sobre lado un de Proyección :P
S-N eje el en esproyeccion de cierre de Error:E
W-E eje el en esproyeccion de cierre de Error :E
S-N eje el sobre lado un de proyección la a corrección:c
W-E eje el sobre lado un de proyección la a corrección:c
y
x
y
x
y
x
y
x
Planilla de cálculo
Es un cuadro especial en la que se ordenan los cálculos en forma de tabla, elementos que nos van a
permitir la construcción del dibujo de la poligonal y de los detalles del área levantada. Como por ejemplo,
ajuste de los ángulos, rumbos o azimutes, cálculo de proyecciones, ajuste lineal, cálculo de coordenadas;
por enumerar solamente algunos elementos que en ella se realizan.
Ajuste de poligonales
En el caso de una poligonal cerrada el error lineal de cierre debe distribuirse entre todo el polígono para
cerrar la figura, aún cuando al trazar la poligonal a la escala convenida el error de cierre sea insignificante.
57
RboAB
X
Y
PX
N
PY
A
B
l
Proyección X
Proyección Y
Cálculo de proyecciones de los lados del polígono
Después de ajustar los ángulos y calcular los rumbos, se procede a verificar el cierre lineal de la poligonal
calculando las proyecciones X y Y de cada lado.
Las proyecciones de un lado del polígono, las definen los catetos de un triángulo rectángulo, es decir, el
que se forma por una vertical que parte de la estación hasta encontrar a la horizontal que parte del punto
visado.
Rbo cos l P , l
PRbo. cos
Rbo sen l P , l
PRbo. sen
:figura la de ría,trigonomet por
y
y
xx
Determinación de los errores Ex y Ey.
Una vez calculadas las proyecciones de los lados del, polígono, se suman las proyecciones E, W, N y S.
De tal forma que los errores en X y Y se obtienen:
SNy
WEx
PPE
PPE
Error de cierre lineal, EL.
Debido a los pequeños errores al medir los ángulos y las distancias, y al reconstruir la poligonal partiendo
de la primera estación A, no se llega nuevamente a ella sino a la estación A’. Esta diferencia es lo que
llamamos error lineal, y se obtiene:
58
X
EL
A
A’
EX
EY
Y
22yxL EEE
Pitágoras; de Teorema el por
Tolerancia lineal, TL.
La tolerancia en el cierre lineal de un polígono levantado con tránsito y cinta, se calcula aplicando:
Donde:
P: perímetro de la poligonal, en metros.
En la práctica, pueden emplearse:
Orden Tolerancias
PRECISO
PRIMERO
SEGUNDO
TERCERO 1000
PT
3000PT
5000PT
10000PT
L
L
L
L
Precisión relativa, P.
La precisión o error relativo se expresa como la fracción
Orden del levantamiento Tolerancias
PRECISO
PRIMERO
SEGUNDO
TERCERO 5) 0.000 40P 000 P(0.000T
2) 0.000 18P 000 P(0.000T
08) 0.000 045P 000 P(0.000T
02) 0.000 011P 000 P(0.000T
L
L
L
L
59
l
l
E
L
1P bién, o
L
EP
Donde:
L: perímetro de la poligonal
El: Error lineal
Compensación lineal del polígono
Sí
Ll TE
se procede a la compensación lineal del polígono.
Independientemente de la Regla de ajuste lineal que se utilice, la comprobación de las correcciones
calculadas deben cumplir la condición:
yy
xx
EC
EC
El signo de las correcciones será tal que:
Se sume a las proyecciones cuya suma es menor y se reste a las proyecciones cuya suma es mayor, esto
es para equilibrarlas y lograr que:
SN
WE
PP
PP
Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono
Las coordenadas de los vértices de la poligonal se calculan sumando algebraicamente las proyecciones de
cada lado a las coordenadas de la estación anterior.
Basta que a un vértice se le asignen sus coordenadas para que queden fijados los ejes, y a partir de esas
coordenadas se calculan las de los demás, sumando o restando las proyecciones de los lados que ligan
consecutivamente los vértices. Se procura que todo el polígono quede en el primer cuadrante, logrando
esto con la asignación de coordenadas de tal manera que todas resulten positivas.
Por medio de coordenadas se pueden dibujar polígonos, obtener superficies y resolver problemas que se
presentan en Topografía.
En cuanto al dibujo al dibujo por coordenadas, es el método más conveniente, pues cada punto se fija en
su posición, independientemente de los demás, y en el caso de algún error en el dibujo de un punto, no se
afectan los otros, como sucede si se dibuja a basándose en los ángulos y distancias.
Cálculo de rumbos en función de las coordenadas
Conocidas las coordenadas de dos puntos, se pude determinar su rumbo, realizando:
60
Abscisas
SW
Ordenadas
SE
NW NE
Rbo.
N
Y
X
A
B (XB, YB)
(XA, YA)
(XB – XA)
(YB – YA)
E
AB
AB
YY
XXRbo. tan
ria,trigonomet por
Las siglas del rumbo se definen en función de los valores que resulten de la diferencia de las abscisas y
ordenadas, es decir, los signos definirán el cuadrante del Rumbo.
Cálculo de ángulos horizontales
Estos se obtienen de acuerdo a la geometría de la poligonal del terreno, en función de los Rumbos
Magnéticos Calculados (R.M.C), siempre y cuando se tengan las coordenadas de los puntos que definen
dicha poligonal.
61
Rbo.AB
N
N
N
C
B
A
F E
Rbo.FA
Ejemplo
El valor del ángulo A en la figura, se obtiene:
A = 180º - (RboAB + RboAF)
Distancia de un lado en función de sus coordenadas
Esta se calcula aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:
22ABABAB YYXXd
Ejemplo
Realizar los cálculos de la práctica respectiva. Planilla topográfica.
Prácticas en cada caso
62
Superficie = lectura x el factor de escala
Cálculo y medición de áreas
El área de cualquier figura generada por la aplicación de cualquier método de levantamiento topográfico
es su superficie.
Esta generalmente se representa en hectáreas (ha),
1 ha. = 10,000 m2
Su representación es: 00 ------------ 00 ---------- 00
Hectáreas -------áreas-----centiáreas
Métodos gráficos
Para aplicar estos métodos es necesario el plano de la figura para tomar los datos con ayuda de la escala.
Se requiere además de una construcción del plano ejecutada con el mayor esmero, una escala bastante
grande para medir con suficiente precisión las líneas necesarias, ya que las superficies se obtienen por
medio del producto de las distancias y cualquier error que haya en éstas tiene mucha influencia en los
resultados.
Ejemplo
Si un dibujo se realizó a una escala 1:500, ¿cuantos metros cuadrados representa en el terreno un
milímetro cuadrado?
Métodos mecánicos
Las superficies se pueden determinar mecánicamente, con planímetro mecánico o electrónico. Los
planímetros mecánicos, son instrumentos por medio de los cuales se va siguiendo con una punta trazadora
el perímetro del polígono dado, transmitiéndose este movimiento a un tambor graduado, en el cual se lee
el número de revoluciones recorridas, siendo este número proporcional a la superficie. En los electrónicos,
la superficie se obtiene de manera directa en la unidad requerida.
El planímetro
Es un instrumento que permite calcular superficies de polígonos irregulares, limitados con curvas y rectas,
y a veces sin forma muy precisa, en donde la geometría analítica no es de gran apoyo.
El procedimiento, consiste en seguir el contorno de la figura sobre el papel con una punta delineadora o
trazadora, aunque hoy en moda el uso de los CADs nos facilita de manera electrónica el cálculo y
medición de cualquier tipo de superficies, sean regulares e irregulares.
Para la obtención de superficies, se coloca la aguja o punta trazadora en un punto del dibujo, ajustando
en cero la lectura inicial. A continuación se recorre cuidadosamente el perímetro de la figura hasta que
la punta regresa al punto inicial, tomándose la lectura final.
63
D
C
B
A
E
Y
5
4
3
2
1
5’
1’
4’
3’
2’
d
c
b
a
X
e
Métodos analíticos
La superficie se determina analíticamente:
Por triangulación del polígono
Por coordenadas
Por medio de las dobles distancias meridianas
Por la regla de los trapecios
Por la regla de Simpson
Por coordenadas
El procedimiento consiste esencialmente en encontrar las superficies de los trapecios formados al
proyectar los lados del polígono sobre un par de ejes coordenados.
La superficie del polígono, resulta:
aAeE-bBaA-dDeEcCdDbBcC S
Siendo figuras de trapecios, donde su área es igual a:
h2
bBA T
Luego, la superficie del polígono, tomando en cuenta las coordenadas de cada punto y considerando los
trapecios respectivos, se tiene:
AEAE
BAAB
DEED
CDDC
BCCB
YY2
XXYY
2
XX
YY2
XXYY
2
XXYY
2
XXS
64
DECDBCABEAAEEDDCCBBA
EAAEBAABDEEDCDDCBCCB
AAEAAEEEBAAABBABDEEE
DDEDCDDDCCDCBCCCBBCB
YXYXYXYXYXYXYXYXYXYX2
1S
:ordenando
YXYXYXYXYXYXYXYXYXYX2
1S
YXYXYXYXYXYXYXYXYXYX
YXYXYXYXYXYXYXYXYXYX
2
1S
A este resultado se llega con mayor facilidad tabulando en forma ordenada las coordenadas de los vértices
del polígono, repitiendo al final las del primero. Realizando los productos cruzados se obtienen los
mismos productos de la fórmula.
Donde:
PROD.PROD.2
1S
Por doble distancias meridianas
La superficie por este método se obtiene en función de las proyecciones de los lados y se toma como
meridiano de referencia el que pase por algún vértice del polígono, generalmente el vértice que se
encuentre más hacia el oeste, (W).
EST. Coordenadas Productos cruzados
X Y (+) (-)
A XA YA XBYA
B XB YB XAYB XCYB
C XC YC XBYC XDYC
D XD YD XCYD XEYD
E XE YE XDYE XAYE
XA YA XEYA
PROD. PROD.
65
d’
D
C
B
A
E
c
e
d
b
e’ b’
N
Distancia meridiana (d.m.) de un punto es la longitud de la perpendicular bajada del punto al meridiano
de referencia.
Ejemplo
La distancia meridiana de B es Bb.
La doble distancia meridiana (d.d.m.) de un lado es la suma de las distancias meridianas de sus
extremos.
Ejemplo
La doble distancia meridiana del lado BC es Bb+Cc.
Así, la superficie del trapecio BCbc, es:
-(1)---------------bc CcBb2S ,bc CcBb2
1S
Ahora, de la figura, la doble distancia meridiana de AB es simplemente la proyección del lado AB sobre
el eje de las X, pues la distancia meridiana de A es nula, luego:
ABXBbAB d.d.m.
La doble distancia meridiana de BC es;
Cb'cb'Bb Cc BbBC d.d.m.
66
Pero:
BC
AB
x Xlas de eje el sobre BC lado del proyecciónCb'
x Xlas de eje el sobre AB lado del proyeccióncb'
AB d.d.m.Bb
Donde:
La doble distancia meridiana de CD es;
CD
BC
xCd'
xCb'
d.d.m.BCBbCccb'Cc
cual, la en
Cd'-Cb' cb'Ccd'b'cb'Cc DdCc CD d.d.m.
Entonces:
CDBC xxBC d.d.m.CD d.d.m.
La doble distancia meridiana de DE es;
DE
CD
xe'd'
xCd'
d.d.m.CDCcDd
cual, la en
e'd'Cd'CcDd EeDd DE d.d.m.
Luego:
DECD xxCD d.d.m.DE d.d.m.
Por último, la doble distancia meridiana EA es:
EAXEeEA d.d.m.
Luego de (1) y relacionando las d.d.m. para dicho polígono se llega a la siguiente regla:
“La superficie de un polígono se obtiene multiplicando la proyección de las Ys de cada lado del polígono
por la doble distancia meridiana correspondiente. Luego se suman algebraicamente estos productos y el
resultado se divide por dos. El signo de cada producto está definido por la proyección.”
BCAB xxAB d.d.m.BC d.d.m.
67
Aplicaciones
Ejemplo de aplicación de un levantamiento con Tránsito y Cinta. Planilla de cálculo.
Levantamiento con tránsito y cinta.
Registro de campo
La planilla resuelta se presenta en el anexo I.
Levantamiento con tránsito y cinta.
Levantó:_____________________________________________Lugar:__________________
Fecha:___________
EST. P.V. Dist. Ángulos
I.E.D R.M.O. Croquis y Notas
A B 203.75 57° 18'
1 23.39 229° 50'
B C 181.00 14° 07'
3 51.58 137° 36'
2 48.80 234° 12'
C A 52.35 108° 34´ N 58º 43’ W
4 48.95 200° 26'
68
Cálculo de rumbos, distancias y ángulo horizontal de la poligonal del terreno:
Para esto se ordenan las coordenadas de los puntos de la poligonal del terreno, y se aplican las fórmulas:
22ABABAB YYXXd , para las distancias
AB
AB
YY
XXRbo. tan
, para los rumbos
Superficie del terreno.
Con las coordenadas de los puntos que definen la poligonal del terreno, se calcula dicho valor:
EST. Coordenadas
Distancias R.M.C. Angulo
interior Y X
1 523.109 496.388 258.123 SW 06º 43’ 52” 89º40’43”
2 266.765 466.133 74.971 SE 84º 06’ 12” 89º 09’ 56”
3 259.063 540.707 256.608 NE 06º 53’ 36” 90º 59’ 48”
4 513.816 571.505 75.670 NW 82º 56’ 51” 90º 09’ 33”
360º 00’ 00”
EST. Coordenadas (+) (-)
Y X
1 523.109 496.388 132,418.94
2 266.765 466.133 243,838.37 120,757.81
3 259.063 540.707 144,241.70 277,818.50
4 513.816 571.505 148,055.80 298,959.41
1 523.109 496.388 255,052.10
(SUMAS) 791,187.97 829,954.66
½ DIF. 19,383.345 m2
SUP. 1-93-83.345 Htas.
69
Cuadro de construcción
Finalmente se resume esta información con los datos numéricos necesarios para la elaboración del dibujo
y la construcción del PLANO TOPOGRÁFICO.
Cuadro de construcción
Prácticas en cada caso
EST P.V. Distancias R.M.C Ángulo
interior
Coordenadas
Y X
1 2 258.123 SW 06º 43’ 52” 89º40’43” 523.109 496.388
2 3 74.971 SE 84º 06’ 12” 89º 09’ 56” 266.765 466.133
3 4 256.608 NE 06º 53’ 36” 90º 59’ 48” 259.063 540.707
4 1 75.670 NW 82º 56’ 51” 90º 09’ 33” 513.816 571.505
360º 00’ 00”
70
Recursos de aprendizaje:
Básica
García Márquez; Fernando. 2003. Curso básico de Topografía. Editorial Pax México.
Montes de Oca, Miguel. Topografía. 2003. Editorial Alfaomega.
Alcántara García, Dante. 2007. Topografía y sus aplicaciones. Primera reimpresión 2011. Grupo
Editorial Patria, S. A. de C. V.
McCormac, Jack. 2004. Topografía. Editorial Limusa Wiley.
Zúñiga Gutiérrez Martín. Apuntes del curso. Unidad Académica de Ingeniería. UAG
Complementaria
Wolf, Paul R./Ghilani, Charles D. 2009. Topografía. Editorial Alfaomega, 11ª. Edición.
A. Bannister-S. Raymond. 1987. Técnicas Modernas en Topografía. Representaciones y Servicios
de Ingeniería, S. A. México.
Huerta, E.; Mangiaterra, A.; Noguera, G. GPS, Posicionamiento Global. UNR Editora - 1a. ed.
Universidad Nacional de Rosario, 2005.
www.leica-geosystems.com
www.sokkia.com
www.trimble.com
www.magellan.com
71
Anexo I.
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA
PLANILLA DE CÁLCULO
Levantamiento Tránsito y cinta Levantó_______________________________Calculó_____________________________Fecha Mayo/13
EST. P.V. Dist. Ángulos
I.E.D C
Ángulo
Hor.
Correg.
Azimut R.M.C.
Proyecciones sin corregir Proyecciones corregidas Coordenadas
EST. N C S E C W N S E W Y X
A B 203.75 57° 18' 57° 18' 178° 35’ S01°25'E 0.031+
203.688 5.037 -0.042 203.719 4.995 500.000 500.000 A
1 23.39 229° 50' 351° 07’ N08°53'W 23.109 3.612 523.109 496.388 1
B C 181.00 14° 07' 14° 07' 12° 42’ N12°42'E 176.572 -0.028 39.791
-0.038 176.544 39.755 296.281 504.995 B
3 51.58 137° 36' 136° 11’ S43°49'E 37.218 35.712 259.063 540.707 3
2 48.80 234° 12' 232° 47’ S52°47'W 29.516 38.862 266.765 466.133 2
C A 52.35 108° 34´ 01´ 108° 35´ 301° 17’ N58°43'W 27.183 -0.008 0.011
+ 44.739 27.175 44.750 472.825 544.749 C
4 48.95 200° 26' 33° 08’ N33°08'E 40.991 26.756 513.816 571.505 4
Sumas 359°60´ 203.755 0.067 203.688 44.830 0.091 44.739 203.719 203.719 44.750 44.750 500.000 500.000
72
