UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS AREA DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA 1 SECCIONES C+ y D Inga. Alba Maritza Guerrero Spinola de López

UNIDAD 3 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA UNIDIMENSIONAL

Una función que asigna a un número real, cada uno de los valores posibles que pueden ocurrir dentro de un espacio muestral, asociado a un experimento.

Es importante señalar que no toda función que se conciba puede considerarse como una variable aleatoria ya que esta como mínimo debe asociar a cada valor posible una probabilidad bien definida y que cumpla con los axiomas básicos de probabilidad.

i) 0 P(yi) 1

ii) p(Yi) = 1

VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL: Se definen cuando interesa observar únicamente una característica del espacio muestral y se asigna a cada elemento de este, una función que asocia un numero real.

VARIABLA ALEATORIA BIDIMENSIONAL Se definen cuando el interés es observar dos características del mismo espacio muestral y se le asigna a cada elemento de este dos funciones que le hacen corresponder una pareja de números reales.

VARIABLE ALEATORIA N-DIMENSIONAL Se denominan variables aleatorias n dimensionales al conjunto de X1,X2,X3...Xn donde cada Xi es una función que asigna a cada uno de los elementos del espacio muestral un numero real y se presenta cuando está interesado en estudiar n características del mismo simultáneamente.

RECORRIDO DE LA VARIABLE ALEATORIA Al conjunto de valores posibles de la variable aleatoria se le conoce como RECORRIDO DE LA VARIABLE, y dependiendo de este, es decir si es finito, infinito numerable o infinito las variables aleatorias se dividen en:

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Es discreta si el recorrido es finito o infinito numerable, representa datos contados ej. Numero de defectuosos, número de accidentes, número de hijos entre otros. Se representa a través de una tabla

X f(X)

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una función de probabilidad, función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad. De la variable aleatoria discreta X, si para cada resultado posible X,

1. f(x) 0

2. f(x) = 1 3. P(X=x) = f(x)

DISTRIBUCION ACUMULADA F(x) La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a Xo, representa la PROBABILIDAD ACUMULADA a Xo, F(X = xo), definida para cualquier valor de xo entre el intervalo [a,b]

X f(X) F(x)

ESPERANZA MATEMÁTICA E(X) Se conoce también como valor esperado, es un promedio ponderado de los posibles valores de X, teniendo como medida de ponderación sus probabilidades de ocurrencia Para una variable aleatoria discreta X que puede tomar los valores X1. X2...Xn la esperanza se define como: E(X) = X1 P (X = x1 ) + ..... Xn P (X = Xn) = ∑n X i P (X = xi) ,i = 1

ó igualmente si P(X = xi) = f(xi),

∑n Xi * f(x) = ∑ x * f(x) ,i = 1

Cuando las probabilidades son iguales tenemos que E(x) = x1 +x2+ x3+ ……Xn n

Conocida como media aritmética o simplemente media =

= E(x)

La media o esperanza de X da un valor típico o promedio de los valores de X y por esta razón se llama medida de centralización PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA

1. Si x es una constante C entonces E(x) = C 2. El valor esperado de X multiplicado por la constante C, E(CX) es

igual al valor esperado de X multiplicado por la constante, E(x) * C 3. Si X , Y son variables aleatorias, entonces

E(X + Y ) = E(x) + E(y) 4. Si X, Y son variables aleatorias independientes, entonces

E(XY) = E(X)*E(Y) 5. El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de

una variable aleatoria X es: E[g(x) + h(x)] = E(g(x)+ h(x))

VARIANZA La varianza de una variable aleatoria X, es una medida de dispersión de la distribución de probabilidades, mide el grado de concentración de los valores X y es el promedio ponderado o esperanza de las desviaciones cuadradas de cada uno de los valores posibles de X en relación a E(x)

Var (X) = 2x = E [ (X - )2] = ∑ (X - )2 f(x) Si X es discreta

La varianza es un número no negativo. A la raíz cuadrada positiva se le llama desviación típica y está dada por: Desviación típica

x = Var (x) Una fórmula alternativa que se utiliza para calcular la varianza es:

2 = E(X2) - 2

PROPIEDADES DE LA VARIANZA 1. Si X es una constante C, entonces Var(X) = 0 2. Si C es una constante entonces Var (cX) = C2 Var (x)

3. Cuando = E(X)

2 = E [ (X - )2] = E(X2) - 2 = E(X2) – [E(X)] 2

4. Si X,Y son independientes Var (X+Y) = Var(X) + Var (Y)

5. La cantidad E[(X – a) 2 ] es mínima cuando a = = E(x).

NOTAS IMPORTANTES: RESPECTO DE LA ESPERANZA MATEMATICA 1. El valor esperado de una variable aleatoria es su valor promedio

teórico. Se denota por E(x) y puede calcularse a partir del conocimiento de la distribución de probabilidad de X.

2. En el contexto estadístico, el valor promedio de X se llama su valor medio o media, así pues son intercambiables los términos valor promedio, valor medio o media y valor esperado.

3. El valor medio de X se denota con la letra griega mu (). Asi pues

los símbolos E(x) y son intercambiables.

4. La media o valor esperado de X es una medición de la localización del centro de los valores de X. Por tal razón se le llama parámetro de

“localización” a . RESPECTO DE LA VARIANZA: 1. La varianza es un parámetro que mide la variabilidad de los valores

respecto a la media. Se denota con el símbolo 2 o Var(X) 2. La distribución cuya varianza es pequeña , los datos se ubican muy

cerca del valor promedio . La distribución con varianza grande, gran

cantidad de los datos están distantes del valor promedio . RESPECTO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR

1. La desviación estándar de X se denota con . 2. La desviación estándar de X se define como la raíz cuadrada no

negativa de su varianza. 3. Que la desviación estándar sea grande, implica que la variable aleatoria

X es más bien inconstante y hasta cierto punto difícil de predecir. Mientras que una desviación estándar pequeña indica constancia y estabilidad.

4. La desviación estándar siempre se expresa en unidades físicas de medición que corresponden a los datos originales. La varianza suele estar desprovista de unidades.

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA CON NOMBRE PROPIO Generalmente una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta o continua se representa por una formula, tabla o gráfica, que proporciona la probabilidad con que cada valor o intervalo del recorrido de la variable puede ocurrir. Para el caso de las variables aleatorias discretas las funciones de distribución de probabilidad más comunes son:

1. Distribución uniforme discreta Es la más simple de todas las distribuciones, en ella la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad idéntica. Si la variable aleatoria X toma los valores X1, X2, X3, ....Xk con idénticas probabilidades , entonces la distribución uniforme discreta está dada por

F(x;k) = 1/k x = x1, x2, x3,.....xk La distribución uniforme depende del parámetro k. La media y la varianza de la distribución uniforme discreta f(x;k) son

= (∑ Xi)/k

2 = (∑ (Xi - )

2 /k

2. Distribución binomial

Una distribución binomial asociada con un experimento es aquella que tiene las siguientes características:

a) El experimento consta de n pruebas idénticas b) Cada prueba tiene dos resultados posibles. Uno llamado éxito

y el otro fracaso c) La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p,

y permanece constante de prueba en prueba. La probabilidad de fracaso es q = 1 – p

d) Las pruebas son independientes e) La variable aleatoria X en estudio, es el número de éxitos

observado en las n pruebas Se define una distribución de probabilidad binomial como: P(x) = nCx px q n-x

X = 0,1,2,3..... n

Con valor esperado E(x) = = np

Varianza Var(x) = 2 = npq

3. Distribución de Pascal Una distribución de Pascal asociada con un experimento es aquella que tiene las siguientes características:

a) El experimento consta de n pruebas idénticas b) Cada prueba tiene dos resultados posibles. Uno llamado éxito

y el otro fracaso c) La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p,

y permanece constante de prueba en prueba. La probabilidad de fracaso es q = 1 – p

d) Las pruebas son independientes

e) La variable aleatoria X en estudio, consiste en obtener el último éxito r en la e-nesima prueba, dado que en las n-1 pruebas anteriores ocurrieron los r-1 éxitos.

Se define una distribución de probabilidad de Pascal como:

P ( r ) =( n –1 )pr q n-r n = r, r+1,........

, r –1

Con valor esperado E(x) = = r/p

Varianza Var(x) = 2

= rq/p2

4. Distribución geométrica Una distribución geométrica asociada con un experimento es aquella que tiene las siguientes características:

a) El experimento consta de n pruebas idénticas b) Cada prueba tiene dos resultados posibles. Uno llamado éxito

y el otro fracaso c) La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p,

y permanece constante de prueba en prueba. La probabilidad de fracaso es q = 1 – p

d) Las pruebas son independientes e) La variable aleatoria X en estudio, es el número de prueba en

la cual puede ocurrir el primer éxito Se define una distribución de probabilidad geométrica como:

P(x) = p q n-1

X = 1,2,3..... n

Con valor esperado E(x) = = 1/p

Varianza Var(x) = 2

= q/ p2

5. Distribución de poisson a) El experimento consiste en contar el numero x de veces que ocurre un evento en particular durante una unidad de tiempo, área, volumen, peso, distancia, entre otros. b) La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada es la misma para todas las unidades. c) El número de eventos que ocurren en una unidad dada, es independiente del número de los que ocurren otras unidades

P(x) = αx e-α x = 0,1,2,3..... n

X!

Al parámetro α se le conoce como la intensidad de la distribución y representa

el número esperado de éxitos por unidad de tiempo o por unidad de espacio. La variable aleatoria X en estudio es el total de éxitos que se obtienen por unidad de tiempo o espacio.

Con valor esperado E(x) = np = α

Varianza Var(x) = α

Ejemplos de sucesos de poisson

número de llamadas telefónicas que recibe una persona por unidad de tiempo(ejemplo cada hora, cada día)

número de clientes que visitan una tienda o restaurante cada cierto tiempo

el número de accidentes de tránsito que suceden en un ocurren en cierta intersección cada mes.

El número de goles que anotan en cada partido de futbol durante el tiempo reglamentario (casi todas las contingencias que ocurren en un partido de futbol: goles, tiros de esquina, saques de banda, jugadores amonestados , expulsados, entre otros, son sucesos de poisson)

6. Distribución hipergeométrica Características:

a) El experimento consiste el extraer al azar y sin reemplazo n elementos de un conjunto de N elementos, r de los cuales son éxito y (N-r) son fracasos.

b) El tamaño de la muestra n es grande en comparación con el número de N elementos de la población, es decir n/N > 0.05

c) La variable aleatoria hipergeométrica x es el número de éxitos en la muestra de n elementos.

Suponiendo que se tiene un lote de N artículos de los cuales r son defectuosos y (N-r) no son defectuosos. Supongamos que se escogen n artículos al azar, (n

N) sin sustitución. Y la variable aleatoria X en estudio es el número de defectuosos encontrados en los n extraídos, entonces:

P(x) = ( r ) ( N-r )

K n-k x= 0,1,2,……r

( N )

n

Con valor esperado E(x) = = np

Varianza Var(x) = 2 = npq N-n

N-1 Si N →∞ la distribución hipergeométrica se aproxima a la distribución binomial

7. Distribución multinomial

Consideremos un experimento E , su espacio muestral S , y una partición de S en K sucesos mutuamente excluyentes A i.... Ak. Consideremos n repeticiones independientes de E . Sea Pi = P(Ai) y Pi permanece constante durante todas las repeticiones. Se define Xi como el número de veces que Ai ocurre en las n repeticiones de E. Se define la distribución multinomial como : P (X1 = n1, X2 = n2, ..... Xk = nk) = n! . P1n……pnk

,n1! n2! . .nk! tal que ∑ ni = n i

Con valor esperado E(xi) = = npi

Varianza Var(xi) = 2 = npi (1-pi) i = 1,2,3,.....k

TEOREMA DE TCHEBYSHEV Si una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayor parte de los valores se agruparan alrededor de la media. Por lo tanto la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor. El matemático Ruso P.L. Chebyshev descubrió que la fracción del área entre dos valores simétricos cualesquiera alrededor de la media está relacionada con la desviación estándar. La Desigualdad de Chebyshev da una información útil acerca del comportamiento de la variable aleatoria, asignando una cota inferior (superior) para asociar una probabilidad de que el valor de la variable esté dentro de un intervalo señalado.

Sea X una variable aleatoria con E(x) = y εun número real positivo

P ( |x - | ε ) < Var(X) / ε2

P ( |x - | < ε ) 1 - Var(X) / ε2

Si ε= K P(|x - | K ) 1/k2

P( - k < X < + k) 1 - 1/ k2

Ejemplo: Una variable aleatoria X tiene una media = 8 varianza = 9 y distribución de probabilidad desconocida encuentre:

a) P(-4< X < 20)

b) P(| X-8| 6) Solucion

Aplicando la definición P( - k < X < + k) 1 - 1/ k2

= 8 k= 4 = 3

P(-4< X < 20) = P [ 8 – (4)(3) < X < 8 + (4)(3)] 1 - 1/42

= P [ 8 – (12) < X < 8 + (12)] 15/16

= P [ – 4 < X < 20] 15/16

P(| X-8| 6) = 1 - P(| X-8| < 6) = 1 – P(-6 < X < -8 < 6) = 1- P[8-(2)(3) < X < 8 + (2)(3)] <= ¼ Se ha observado que, durante un largo periodo de tiempo, el número de estudiantes que acuden al mostrador del área de estadística un día cualquiera es una variable aleatoria con media de 20 estudiantes y desviación estandar 2 estudiantes. Si no se conoce la forma de la distribución ¿Qué puede decirse de la probabilidad de que el número de estudiantes esté entre 16 y 24 para el día de mañana? Aplicando el teorema

P ( |x - | < ε ) 1 - Var(X) / ε2

P(| X – 20| < 4) 1 – 4/42

P(| X – 20| < 4) 1 - 4/16

P(| X – 20| < 4) 1 – ¼

P(| X – 20| < 4) 3/4

Se podría decir que mañana el número de estudiantes estará entre 16 y 24 con probabilidad de al menos ¾

= 20 = 2 K = 2

aplicamos P( - k < X < + k) 1 - 1/ k2

P(16< X < 24) = P [ 20 – (2)(2) < X < 20 + (2)(2)] 1 - 1/22

= P [ 20 – (4) < X < 20 + (4)] 1- 1/4

= P [ 16 < X < 24] ¾ = 0.75

PROBLEMAS PARA RESOLVER BINOMIAL

1. Se tiene un saco con 5 bolas, una blanca y cuatro rojas. Cuando se extrae una bola es reemplazada por otra igual. Cual es la probabilidad que el tres extracciones sucesivas a) se extraigan tres bolas blancas b) dos bolas blancas c) una bola blanca y d) ninguna bola blanca

2. Se asegura que el 60% de todas las instalaciones fototérmicas , los gastos de servicios se reducen al menos en una tercera parte. De acuerdo con lo anterior , ¿Cuales son las probabilidades de que se reduzcan al menos en una tercera parte en: a) cuatro de cinco instalaciones b) en al menos cuatro de cinco instalaciones

3. Si la probabilidad de que cierta columna falle ante una carga axial especifica es 0.05 Cuales son las probabilidades de que entre 16 de tales columnas a) a lo máximo dos fallen b) al menos cuatro fallen

4. Si la probabilidad de que a cualquier persona no le guste el sabor de una nueva pasta dental es 0.20 ¿Cuál es la probabilidad de que a 5 de 18 personas elegidas aleatoriamente no les guste?

5. Un fabricante de lavadoras asegura que solamente el 10% de sus lavadoras requiere reparación dentro del periodo de su garantía que es de 12 meses. Si por lo menos cinco de veinte de sus lavadoras requieren reparación durante el primer año, ¿Contribuye esto a apoyar o refutar su afirmación?

6. La probabilidad de que un estudiante que ingresa a la universidad se gradúe es 0.4. Hallar la probabilidad de que entre 5 estudiantes elegidos al azar se gradúen a) ninguno, b) uno c) al menos uno d) todos

DISTRIBUCIÓN DE PASCAL

1. Un basquetbolista encesta con probabilidad de 0.70 cada vez que tira. Calcular la probabilidad de que enceste por cuarta vez en el décimo tiro

2. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad, tenga un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta que tiene un perro

3. Un científico inocula varios ratones uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta que encuentra el segundo que contrae la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 1/6 ¿Cuál es la probabilidad de que se requieran ocho ratones?

4. Se lanza un dado hasta que aparezca el numero 6, qué probabilidad hay que el segundo éxito ocurra en el sexto lanzamiento

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

1. Se lanza un dado hasta que aparece por primera vez el número 6. Qué probabilidad hay de que tengamos necesidad de lanzarlo 6 veces. Determinar la esperanza y la varianza

2. Si la probabilidad de que un ladrón sea atrapado en un robo cualesquiera es 0.20, ¿Cuál es la probabilidad de que lo capturen por primera vez en su cuarto robo?

3. Un tirador experto da en el blanco el 95% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo?

POISSON

1. Suponga que el futbolista guatemalteco Carlos Ruiz anota un promedio de 1.2 goles por partido jugado. Determine la probabilidad de que en un partido cualquiera Ruiz anote:

2. Si un banco recibe en promedio seis cheque falsos al día. ¿cuáles son las probabilidades de que reciba: a) cuatro cheques falsos en un día cualquiera b) 10 cheques falsos en dos días consecutivos cualesquiera?

3. Al inspeccionar la aplicación de estaño por un proceso electrolítico continuo, se descubren en promedio 0.2 imperfecciones por minuto. Calcúlese la probabilidad de descubrir a) una imperfección en tres minutos b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos c) a lo sumo una imperfección en 15 minutos.

4. Los empleados de cierta oficina llegan al reloj marcador a una tasa media de 1.5 por minuto. Calcúlese la probabilidad de que a) a lo más cuatro lleguen en un minuto cualesquiera b) a lo menos tres lleguen durante un intervalo de dos minutos c) a los mas 15 lleguen durante un intervalo de 6 minutos.

HIPERGEOMETRICA

1. Un cargamento de 20 grabadoras contiene cinco defectuosas. Si 10 de ellas son aleatoriamente escogidas para revisión, cuál es la probabilidad de que dos estén defectuosas?

2. Entre 300 empleados de una compañía, 240 están sindicalizados

mientras que los otros no. Si se escogen 8 por sorteo para integrar un comité que administre el fondo de pensiones, calcúlese la probabilidad de que cinco estén sindicalizados mientras que los otros no.

3. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 acumuladores de cada lote de 24 que están listos para ser embarcados. Si un lote contiene seis acumuladores con pequeños defectos ¿Cuáles son los probabilidades de que la muestra del inspector contenga a) ninguna de las baterias con defectos b) solamente una de las baterias defectuosas c) al menos dos de las baterias con defectos leves.

MULTINOMIAL

1. Las probabilidades de que una lámpara de cierto tipo de proyector de acetatos dure menos de cuarenta horas de uso continuo, entre 40 y 80 horas de uso continuo, o más de 80 horas de uso ininterrumpido son 0.30, 0.50 y 0.20 respectivamente. Calcule la probabilidad de que entre 8 lámparas dos duren menos de 40 horas, cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure más de 80 horas.

2. Las probabilidades de que al conducir en cierta ciudad un modelo especifico de auto importado se obtenga un promedio menos de 22 millas por galón, entre 22 y 25 millas por galón o más de 25 millas por galón son respectivamente, 0.40, 0.40 y 0.20, calcúlese la probabilidad de que entre 12 de tales autos ya probados cuatro den en promedio menos de 22 millas por galón, seis entre 22 y 25 millas por galón y 2 mas de 25millas por galón.

3. Las probabilidades de que en la declaración del impuesto sobre la renta se llene correctamente el respectivo formulario, que contenga un error que favorezca al declarante, que lleve un error que favorezca al fisco o que contenga ambos tipos de errores son, respectivamente, 0.60,0.20, 0.10 y 0.10. Calcúlese la probabilidad de que entre 10 de tales declaraciones de impuestos aleatoriamente escogidas para una auditoria, cinco estén correctas, tres contengan un error que favorezcan al declarante, una lleve un error que favorezca al fisco y una contenga ambos tipos de errores.

HOJA DE TRABAJO 1. La producción diaria de 850 partes manufacturadas contiene 50 que no

cumplen con los requerimientos del cliente. Del lote se escogen tres partes al azar, sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X el número de partes de la muestra que no cumplen con los requerimientos.

Construya la distribución de probabilidad de la variable X

Cuántas partes se esperan no cumplan con los requerimientos

Calcule F(x)

2. Se supone que la cobertura de una prueba en el proceso de verificación de un semiconductor tiene una eficacia del 80%. (Esto es la probabilidad de que un chip defectuoso no pase la prueba es de 0.8). Se someten a prueba tres chip. Suponga que la falla en cada chip es independiente de las que aparezcan en otras pruebas. Sea la variable aleatoria X el número de chips defectuosos que no pasan la prueba.

Construya la distribución de probabilidad de la variable X

Cuántos chips se esperan se encuentren defectuosos

Calcule la desviación estándar

3. Un fabricante de bebidas lácteas bajas en calorías desea comparar el sabor de una nueva fórmula (B) con el de la fórmula convencional (A). Cuatro catadores reciben tres vasos en orden aleatorio, dos de ellos contienen la formula (A) y el otro la (B). A cada catador se le pide que indique cual vaso contenía la bebida que más le agradó. Suponga que las dos preparaciones tienen la misma presentación. Si Y es la variable aleatoria que representa el número de catadores que indican su preferencia por la nueva formula

a) construya la distribución de probabilidad para Y b) Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres de los cuatro

catadores prefieran la nueva formula c) Encuentre el valor esperado de Y

4. Dado que ya se ha lanzado una moneda normal diez veces, y se han

obtenido cero caras. ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que lanzar al menos dos veces más para obtener la primera cara?

5. Existe cuatro tipos distintos de sangre humana denotados por O, A, B y AB.

Suponiendo que estos tipos ocurren con frecuencia siguiente: 0.45, 0.40, 0.10, 0.05, respectivamente. Si veinte personas son elegidas aleatoriamente, cual es la probabilidad que:

a) Todas las 20 personas tengan el mismo tipo b) Nueve tengan del tipo O, ocho del tipo A, dos del tipo B, y una del tipo B

6. El número de errores tipográficos cometidos por una mecanógrafa, tiene

una media de cuatro errores por página. Si una página tiene más de cuatro errores, la mecanógrafa tendrá que repetir la página entera. ¿Cuál es la probabilidad de que no se tenga que repetir una página?

7. Las probabilidades de que un examen de Estadistica 1 sea resuelto

correctamente, que sea resuelto en una tercera parte correctamente, que sea resuelto pero incorrectamente y que no sea resuelto son 0.35, 0.20, 0.40 y 0.05. Calculese la probabilidad de que entre 15 estudiantes elegidos al azar, uno haya resuelto el examen correctamente, 3 lo hayan resuelto en una tercera parte correctamente, 7 lo resolvieron incorrectamente y 4 no lo hayan resuelto

8. Un estudio reciente de una asociación de vigilantes de camiones reveló que 60% de los conductores usan el cinturón de seguridad. Se seleccionó una muestra de 10 conductores en una carretera. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) exactamente 7 llevarán fijo su cinturón b) como mínimo 7 tuvieron esa precaución

9. En la inspección de aeronaves comerciales se informa que no existen

grietas detectables en las alas o que sean decisivas. Los antecedentes de una flota determinada muestra que 70% de las aeronaves que se inspeccionan no tienen grietas en las alas, 25% tienen grietas detectables y 5% tienen grietas decisivas. Calcule la probabilidad de que en los cinco aviones que se inspeccionan a) uno tenga grieta decisiva, dos tengan grietas detectables y dos no

tengan grietas b) se observe por lo menos una grieta decisiva

10. La probabilidad de encontrar cierto medicamento en una farmacia es de

0.20. Calcule la probabilidad de que una persona que requiere de ese medicamento:

a) tenga que recorrer tres farmacias para hallarlo b) se vea obligada a recorrer por lo menos tres farmacias para

encontrarlo

11. La gerencia de recursos humanos de un periódico sabe que al acudir a cierta escuela a reclutar editores tendrá éxito con una probabilidad de 0.15. Determine la probabilidad de que: a) la primera contratación ocurra en la quinta entrevista b) la cuarta contratación ocurra en la décima entrevista c) de 15 personas que se entrevistaron ninguna sea contratada

12. Cierta clase de lámina de metal, tiene en promedio cinco defectos por cada 10 metros cuadrados ¿Cuál es la probabilidad de que una lámina de metal de 15 metros cuadrados

a) tenga al menos seis defectos b) no tenga ningún c) como máximo tenga dos defectos