unidad1-NUMEROS RACIONALES

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4 1 NÚMEROS RACIONALES EJERCICIOS PROPUESTOS Arquímedes nació en el año 287 a. C. en Siracusa (Sicilia). ¿Cuántos años han transcurrido desde su na- cimiento? 2008 (287) 2295 años ¿De qué número es 6 la tercera parte? ¿Y la sexta? Si x es el número buscado, entonces 3 x 6, luego x 18. Y 6 x 6, luego x 36 Sergio recorre en bicicleta los 7 9 del trayecto de una prueba deportiva. Si aún le faltan 18 kilómetros, ¿cuántos kilómetros tiene la carrera? Si ha recorrido 7 9 del trayecto, le quedan por recorrer 2 9 , que corresponden a 18 km. Por tanto, 1 9 del trayecto es 1 2 8 km 9 km Luego los 9 9 equivalen a: 9 9 81 km. Medida del trayecto: 81 km En un centro de acogida de animales se recogen perros y gatos callejeros. Los perros representan 1 7 5 del total. Si el número de animales es de 120, ¿cuántos perros y gatos hay? Número de perros: 1 7 5 120 7 1 1 5 120 7 8 56 Número de gatos: 120 56 64 Una urbanización en la costa recicla 65000 metros cúbicos de agua para el riego de sus calles y jardi- nes. Si esta cantidad representa los 1 7 0 del total, ¿cuántos metros cúbicos quedan sin reciclar? 1 1 0 de las toneladas recicladas es: 65 000 10 6500. Toneladas sin reciclar, 1 3 0 3 6500 19 500 m 3 . El agua, al helarse, aumenta aproximadamente 1 1 0 su volumen y, por eso, el hielo flota en el agua. Si se tiene un metro cúbico de agua, ¿cuánto aumenta su volumen? 1 metro cúbico 1000 dm 3 Volumen de un dm 3 de agua helada: 10 1 1 0 1 1 1 0 Volumen de un m 3 de agua helada: 1 1 1 0 1000 dm 3 1100 dm 3 Por tanto, aumenta 100 dm 3 . Amplifica la fracción 1 7 1 a una que tenga por numerador 77 y a otra con denominador 99. a) Se amplifica multiplicando por 11: 1 7 1 1 7 2 7 1 b) Se amplifica multiplicando por 9: 1 7 1 6 9 3 9 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1

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Page 1: unidad1-NUMEROS RACIONALES

4

1 NÚMEROS RACIONALES

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

Arquímedes nació en el año 287 a. C. en Siracusa (Sicilia). ¿Cuántos años han transcurrido desde su na-cimiento?

2008 � (�287) � 2295 años

¿De qué número es 6 la tercera parte?

¿Y la sexta?

Si x es el número buscado, entonces �3x

� � 6, luego x � 18.

Y �6x

� � 6, luego x � 36

Sergio recorre en bicicleta los —79

— del trayecto de una prueba deportiva. Si aún le faltan 18 kilómetros,

¿cuántos kilómetros tiene la carrera?

Si ha recorrido �79

� del trayecto, le quedan por recorrer �29

�, que corresponden a 18 km.

Por tanto, �19

� del trayecto es �128� km � 9 km

Luego los �99

� equivalen a: 9 � 9 � 81 km.

Medida del trayecto: 81 km

En un centro de acogida de animales se recogen perros y gatos callejeros. Los perros representan —175— del

total. Si el número de animales es de 120, ¿cuántos perros y gatos hay?

Número de perros: �175� � 120 � 7 � �

115� � 120 � 7 � 8 � 56

Número de gatos: 120 � 56 � 64

Una urbanización en la costa recicla 65000 metros cúbicos de agua para el riego de sus calles y jardi-

nes. Si esta cantidad representa los —170— del total, ¿cuántos metros cúbicos quedan sin reciclar?

�110� de las toneladas recicladas es: 65 000 � 10 � 6500.

Toneladas sin reciclar, �130� � 3 � 6500 � 19 500 m3.

El agua, al helarse, aumenta aproximadamente —110— su volumen y, por eso, el hielo flota en el agua.

Si se tiene un metro cúbico de agua, ¿cuánto aumenta su volumen?

1 metro cúbico � 1000 dm3

Volumen de un dm3 de agua helada: 10 � �110� � �

1110�

Volumen de un m3 de agua helada: �1110� � 1000 dm3 � 1100 dm3

Por tanto, aumenta 100 dm3.

Amplifica la fracción —171— a una que tenga por numerador 77 y a otra con denominador 99.

a) Se amplifica multiplicando por 11: �171� � �

17271

b) Se amplifica multiplicando por 9: �171� � �

6939�

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

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Page 2: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes.

a) —35

— y —1220— b) —4

5— y —

180— c) —

270— y —

14000

— d) —164— y —2

419—

a) 3 � 20 � 5 � 12 ⇒ No son equivalentes.

b) 4 � 10 � 5 � 8 ⇒ Sí son equivalentes.

c) 7 � 100 � 20 � 40 ⇒ No son equivalentes.

d) 6 � 49 � 14 � 21 ⇒ Sí son equivalentes.

Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones.

a) —297900

— b) —125205

— c) —28400

— d) —37620

— e) —131913

— f) —13995

a) m.c.d.(270, 990) � 90 ⇒ �297900

� � �131� d) m.c.d.(72, 360) � 72 ⇒ �

37620

� � �15

b) m.c.d.(150, 225) � 75 ⇒ �125205

� � �23

� e) m.c.d.(111, 393) � 3 ⇒ �131913

� � �13371

c) m.c.d.(80, 240) � 80 ⇒ �28400

� � �13

� f) m.c.d.(39, 195) � 39 ⇒ �13995

� � �15

Indica si son correctas las siguientes desigualdades.

a) —1142— � —1

160— � —2

104— b) �—1

158— � �—3

339— � �—4

554—

Se calcula el m.c.m. para conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador y poder comparar los numeradores.

a) La desigualdad no es correcta porque m.c.m.(12, 10, 14) � 420.

�11

42� � �

44

92

00

� �1160� � �

647220

� �2104� � �

640200

� ⇒ �1142� � �

2104� � �

1160�

b) La desigualdad no es correcta porque m.c.m.(18, 39, 54) � 702.

��1185

� � ��750825

� ��3393

� � ��750924

� ��5445

� � ��750825

� ⇒ ��3393

� � ��1185

� � ��5445

Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: —43

—, —52

—, �—35

—, —45

—, �—160—, �—2

3—

Para ordenar las fracciones se transforman a otras con igual denominador entre ellas.

�43

� � �43

00� �

52

� � �7350� ��

35

� � ��3108

� �45

� � �2340� ��

160� � �

�3108

� ��23

� � ��3200

Ordenación: ��23

� � ��160� � ��

35

� � �45

� � �43

� � �52

Escribe tres fracciones, si existen, comprendidas entre:

—25

— y —35

¿Existen tantas fracciones como queramos? ¿Por qué?

Observa el proceso: �25

� � �2500� � �

3500� � �

35

Entre las fracciones centrales podemos escribir 9 fracciones de denominador 50. Fracciones intermedias:

�25

� � �2500� � �

2510� � �

2520� � �

2530� � … � �

3500� � �

35

Hay infinitas fracciones.

1.12

1.11

1.10

1.9

1.8

5

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 5

Page 3: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Utiliza el teorema de Tales para representar en una recta estos números racionales.

a) —52

— b) �—73

— c) —56

— d) �—25

a) �52

� � 2 � �12

b) ��73

� � �2 � �12

c) �56

d) ��25

Escribe el número representado en cada figura.

a) El número representado es �35

� .

b) El número representado es 1 � �23

� � �53

� .

Calcula y simplifica el resultado:

a) —35

— : —23

— � —45

— � —43

— � —13

— � —34

— : —37

— b) �—23

— � —72

— � —56

— � —14

—� : ��—43

— � —23

— � —16

—�a) �

35

� � �23

� � �45

� � �43

� � �13

� � �34

� � �37

� � �190� � �

1165� � �

13

� � �2112� � � �

�6905

� � ��1129

b) ��23

� � �72

� � �56

� � �14

�� � ���43

� � �23

� � �16

�� � � � � ���8 �64 � 1�� � �

8224� � ��

�65�� � �

�419229

� � ��4110�

Calcula y simplifica el resultado:

a) —38

— � �—53

— � —12

—� � —141— � �—3

4— � —1

5—� b) —5

9— � ��—3

4— � —1

2—� � —1

30— � �—1

2— � —1

5—�

2

a) �38

� � ��53

� � �12

�� � �141� � ��

34

� � �15

�� � �38

� � �10

6� 3� � �

141� � �

152�0

4� � �

2418� � �

24240

� � �1155

26�40

528� � �

2662470

� � �280890

b) �59

� � ���34

� � �12

�� � �130� � ��

12

� � �15

��2

� �59

� � �14

� � �130� � ��

130��

2

� �59

� � �14

� � �130� � �

100 �14850

� 54� � �

119890

Escribe cada número fraccionario en forma decimal. Indica qué tipo de número decimal es cada uno y,si existen, la parte entera, el anteperíodo y el período.

a) —140— b) —1

237— c) —1

161— d) —1

69—

a) �140� � 2,5 tiene una expresión decimal exacta.

b) �12

37� � 0,48148w tiene una expresión decimal periódica mixta con período � 148 y anteperíodo � 48.

c) �11

61� � 1,45v tiene una expresión decimal periódica pura con parte entera � 1 y período � 45.

d) �169� � 3,16v tiene una expresión decimal periódica mixta con período � 6 y anteperíodo � 1.

1.17

1.16

16 � 84 � 20 � 6���

24

54 � 64 � 20 � 105���

60

1.15

0 21 0 1

r r

1.14

1.13

6

0 1

–52

2 3

–3 –1

––73

–2

–1 0

––25

0 1

–56

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Page 4: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Indica, sin hacer la división, el tipo de expresión decimal de las siguientes fracciones.

a) —167— b) —1

271— c) —2

194— d) —7

570—

a) Denominador: 6 � 2 � 3 c) Denominador: 14 � 2 � 7

Fracción mixta, ya que tiene los factores 2 y 3 Fracción mixta, ya que tiene los factores 2 y 7.

b) Denominador: 21 � 3 � 7 d) Denominador: 50 � 2 � 5 � 5

Fracción periódica pura, ya que tiene los factores 3 y 7. Fracción exacta, ya que tiene los factores 2 y 5.

Escribe en forma fraccionaria estos números.

a) 2,222… c) �7,1 e) 0,66 g) 0,155…

b) 10,555… d) 6,2525… f) 2,15 h) 0,3333…

a) 2,222… � �290� c) �7,1 � ��

7110� e) 0,66 � �

23

� g) 0,155… � �475�

b) 10,555… � �995� d) 6,2525… � �

69199

� f) 2,15 � �211050

� h) 0,3333… � �13

Suma los números decimales 0,3333… y 0,5555…, pasando previamente a fracciones. ¿Se obtiene el mis-mo resultado?

0,3333… � 0,5555… � �39

� � �59

� � �89

� � 0,8888…

Observa que es también la suma de los dos números decimales.

R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S

Carlos ha vuelto a ir de compras. Ahora ha gastado dos quintas partes de su dinero en fruta, los tresséptimos de lo que le quedó, en yogures, y 18 euros en leche, gastando todo su dinero. ¿Cuánto gastóen total?

Carlos gastó en leche cuatro séptimas partes de lo que tenía después de comprar fruta. Si esa cantidad fueron 18 euros, tras

comprar fruta le quedaron 18 � ��47

�� � 31,50 euros. Como en fruta gastó dos quintos de su dinero, esa cantidad es igual a los

tres quintos del dinero con el que salió de casa. Por tanto, Carlos gastó en total 31,50 � ��35

�� � 52,50 euros.

Los amigos de Carlos salieron a pasear. Después de una hora, la sexta parte del grupo decidió regresar,y los tres quintos de los que quedaban pararon para hacer un descanso. Los otros cuatro amigos si-guieron andando hasta llegar a su destino. ¿Cuántos formaban el grupo?

Los cuatro amigos son las dos quintas partes de los que no dieron la vuelta. Por tanto, entre estos cuatro y los que pararon adescansar eran 10 personas. Como esa cantidad correspondía a las cinco sextas partes del grupo, inicialmente salieron a pasear12 personas.

A C T I V I D A D E S

E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E

Números fraccionarios. Números racionales

Escribe la fracción que corresponde a estas expresiones:

a) Alba ha resuelto bien 4 de los 5 ejercicios del examen.

b) El 15% de los habitantes de una ciudad son inmigrantes.

c) La octava parte de los 96 participantes de un maratón no terminó la prueba.

d) En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo.

a) �45

� b) �11050

� c) �986� d) �

180�

1.23

1.22

1.21

1.20

1.19

1.18

7

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 7

Page 5: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Calcula el valor de x para que sean equivalentes las siguientes fracciones:

a) —2x6— y —

183— b) —4

524— y —7

x— c) —

5x0— y —2

x—

a) �2x6� � �

183� ⇔ 13x � 8 � 26 ⇔ x � 16

b) �45

24� � �

7x

� ⇔ 42x � 7 � 54 ⇔ x � 9

c) �5x0� � �

2x

� ⇔ x 2 � 2 � 50 ⇔ x � 10

Halla, mediante amplificación, cuatro fracciones equivalentes a cada una de las dadas.

a) —189— b) —1

320— c) —1

161— d) —

185—

a) �189� � �

31

86� � �

52

74� � �

7362� � �

9450� c) �

1161� � �

3222� � �

4383� � �

6444� � �

8505�

b) �13

20� � �

26

40� � �

39

60� � �

19260

� � �16500

� d) �185� � �

1360� � �

2445� � �

3620� � �

4705�

Simplifica las siguientes fracciones.

a) —3405— b) —2

385— c) —1

25000

— d) —336000

a) �34

05� � �

23

� b) �2385� � �

45

� c) �125000

� � �34

� d) �336000

� � �65

Escribe, para cada apartado, cinco fracciones que representen el mismo número racional dado.

a) —157— b) —2

352— c) —6

705— d) —2

148—

a) �157� � �

31

40� � �

51

15� � �

6280� � �

8255� � �

13002

� c) �6705� � �

112500

� � �128205

� � �234000

� � �330705

� � �346500

b) �23

52� � �

56

04� � �

79

54� � �

110208

� � �112650

� � �115902

� d) �2148� � �

4386� � �

7524� � �

9762� � �

19200

� � �114048

Fracciones y decimales

Indica cuáles de los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción. Justifica turespuesta.

a) 3,14 c) 82,7777…

b) 8,010010001… d) 4,08939393…

Todos menos el del apartado b, porque no tiene período.

Sin hallar su expresión decimal, indica si los siguientes números son exactos, periódicos puros o perió-dicos mixtos. Justifica tu respuesta.

a) —1530— b) —3

257— c) —

1825— d) —9

472—

a) Exacto, porque el denominador sólo tiene los factores 2 y 5.

b) Periódico puro, porque el denominador no tiene los factores 2 y 5.

c) Exacto, porque el denominador sólo tiene el factor 2.

d) Periódico mixto, porque el denominador tiene los factores 2 y 3.

1.29

1.28

1.27

1.26

1.25

1.24

8

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 8

Page 6: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones y di de qué tipo son (exactas, periódicas puras operiódicas mixtas).

a) —4189— b) —2

356— c) —5

604— d) —7

90—

a) �41

89� � 2,52631489473684210�������. Periódica pura c) �

5604� � 0,78125. Exacta

b) �23

56� � 0,594v. Periódica mixta. d) �

790� � 7,7v. Periódica pura

Calcula la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales.

a) 0,36w c) 3,985 e) 18,45 g) 10,55v

b) 2,983v d) 1,2 f) 8,0359w h) 5,34v

a) 0,36w � �39

69� � �

141� e) 18,45 � �

1180405

b) 2,9833v � �2983

90�0

298� � �

2960805

� � �16709

� f) 8,0359w � �80 35

9990

�0

803� � �

129487859

c) 18,45 � �1180405

� � �32609

� g) 10,5v � �105

9� 10� � �

995�

d) 8,0359w � �80 35

9990

�0

803� � �

799950506

� � �129487859

� h) 5,344v � �534

9�0

53� � �

49801

Ordenación, comparación y representación de números racionales

Estudia si son correctas las siguientes relaciones de orden.

a) —85

— > —65

— b) —176— < —4

9— c) —

131— > —

151— d) —

290— > —4

6—

a) Sí, porque a igual denominador es mayor la fracción con mayor numerador.

b) �176� � �

16434

� y �49

� � �16444

�16434

� � �16444

� ⇒ �176� � �

49

� . Es correcta.

c) No es correcta porque a igual denominador, es menor la fracción de menor numerador.

d) �290� � �

26

70� y �

46

� � �4600�

�26

70� � �

46

00� ⇒ �

290� � �

46

� . No es correcta.

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

a) —1396—, —3

326—, —

386—, —2

346—, —

376— b) —4

237—, —4

138—, —4

339—, —4

53—, —4

430— c) —1

85—, —2

9—, —1

5—, —

145—, —

160—

a) �376� � �

386� � �

13

96� � �

2346� � �

3326�

b) �44

30� � �

43

39� � �

42

37� � �

4138� � �

453�

c) �185� � �

63

76

50

�; �29

� � �38600

�; �15

� � �37620

�; �145� � �

39660

�; �160� � �

231660

�37620

� � �38600

� � �39660

� � �231660

� � �637650

� ⇒ �15

� � �29

� � �145� � �

160� � �

185�

1.33

1.32

1.31

1.30

9

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 9

Page 7: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Compara estas fracciones:

a) —�12

9— y —243— b) —�

256— y —�

1152— c) —�

2180— y —�

1160— d) —�

185— y —�

326—

a) ��12

9� � �

243� c) �

�2180

� � ��1160

b) ��25

6� � ��

17

85�; �

�1152

� � ��6705� d) �

�18

5� � �

�28

880

�; ��32

6� � �

�28

584

��17

85� � ��

67

05� ⇒ �

�25

6� � �

�1152

� ��28

880

� � ��28

584

��18

5� � �

�32

6�

Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara las fracciones.

a) 1,318 y —2285— b) —1

97— y 2,5v c) —

178— y 0,16w d) 5,36 y —1

2101—

a) 1,318 � �11

30

10

80

� � �655090

�; �2285� � �

556000

� c) 0,16w � �1969� � �

172982

�; �178� � �

679932

�65

50

90

� � �22

85� ⇒ 1,318 y �

2285� �

679932

� � �172982

� ⇒ �178� � 0,16w

b) 2,5v � �25

9� 2� � �

293� d) 5,36 � �

513060

�; �12101

� � �515050

�197� � �

293� ⇒ �

197� � 2,5v �

513060

� � �515050

� ⇒ 5,36 � �12101

Descompón las fracciones en suma de un entero más una fracción propia (el valor de una fracción pro-pia es siempre menor que la unidad) e indica entre qué dos valores enteros quedarían representadas so-bre la recta.

a) —289— b) —�

413— c) —3

57— d) �—1

31—

a) �289� � 3 � �

58

� b) ��

413� � 3 � �

14

� c) �357� � 7 � �

25

� d) ��131� � �3 � �

23

Representa en la recta numérica:

a) —27

— b) —35

— c) �—49

— d) �—83

— e) —161—

a)

b)

c)

d) ��38� � �2 � �

23

e) �161� � 1 � �

56

10 2

116–

––83

–3 0–1–2

––49

–1 0

0 1

–35

0 1

–27

1.37

1.36

1.35

1.34

10

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 10

Page 8: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.

a) —�2190—, —

289—, �—1

239—, —2

249—, —

3279

b) —189—, —�

1129—, —

196—, �—1

59—, —�

1189—

c) —�32—, —

145—, —

285—, —

190—, —�

67—

d) —�

112—, —�

85—, —

196—, �—1

4—, —

1356

a) �22

49� � �

289� � �

�2190

� � ��1239� � �

�3279

b) �189� � �

�1189

� � ��1129

� � ��19

6� � ��

159�

c) ��32� � �

�115000

�; �145� � �

14500

�; �285� � �

14580

�; �190� � �

113550

�; ��67� � �

�115805

�11

35

50

� � �14580

� � �14500

� � ��115000

� � ��115805

�190� � �

285� � �

145� � �

�32� � �

�67�

d) ��

112� � ��

11424

�; ��85� � ��

113454

�; �196� � �

18414

�; ��14

� � ��13464

�; ��1356

� � ��16404

�18414

� � ��11424

� � ��13464

� � ��16404

� � ��113454

�196� � �

�112� � ��

14

� � ��1356

� � ��85�

Operaciones con números racionales

Realiza las siguientes sumas y restas.

a) —54

— � —38

— � —160— � —1

21— d) —

370— � —

425— � —8

5— � 4

b) —1196— � �—1

3— � —4

9—� � —8

3— e) —

254— � �2 � —1

4— � —3

9—�

c) —172— � —

118— � �—3

4— � —5

9—� f) �—1

30— � —8

9—� � —9

6— � —1

43—

a) �54

� � �38

� � �160� � �

121� � �

3204� � �

294� � �

4204� � �

12342

� � ��12243

b) �11

96� � ��

13

� � �49

�� � �83

� � �1196� � ��

39

� � �49

�� � �83

� � �1196� � �

19

� � �83

� � �117414

� � �11464

� � �318444

� � ��119474

c) �71

32� � �

118� � ��

34

� � �59

�� � �172� � �

118� � ��

2376� � �

2306�� � �

172� � �

118� � �

376� � �

2316� � �

326� � �

376� � �

1326� � �

13

d) �370� � �

425� � �

85

� � 4 � �2910� � �

940� � �

19404

� � �39600

� � ��19901

e) �254� � �2 � �

14

� � �39

�� � �254� � ��

7326� � �

396� � �

1326�� � �

254� � �

7356� � �

1752� � �

17520

� � ��17325

� � ��185�

f) ��130� � �

89

�� � �96

� � �143� � ��

390� � �

89

�� � �96

� � �143� � �

292� � �

96

� � �143� � �

8386� � �

5346� � �

13167

� � �13561

1.39

1.38

11

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 11

Page 9: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a) —96

— � —54

— � �—�3154—� c) —�

96— : —4

3— : ��—

182—�

b) —�83— � ��—

125—� � ��—1

90—� d) —2

7— : ��—2

61—� : —4

9—

a) �96

� � �54

� � ���3154

�� � ��96

��

54

��

1345

� � ��32

b) ��83� � ���

125�� � ���

190�� � ��

38

��

215

��109

� � ��118�

c) ��96� � �

43

� � ���182�� � �

�3168

� � ���182�� � �

221868

� � �34

d) �27

� � ���261�� � �

49

� � ��14

172

� � �49

� � ��150888

� � ��499�

Calcula las siguientes potencias.

a) �—35

—�4

c) �—�59—�

0

e) ��—23

—�5

b) �—76

—�3

d) ��—89

—�2

f) ��—12

—�1

a) ��35

��4

� �35

4

4� � �68215

� c) ���59��

0

� 1 e) ���23

��5

� ��23

5

5� � ��23423

b) ��76

��3

� �76

3

3� � �324136

� d) ���89

��2

� �89

2

2� � �6841� f) ���

12

��1

� �12

Expresa los números decimales en forma fraccionaria y después realiza las operaciones indicadas.

a) 0,45 � 1,2 � —65

b) 18,4 � —14

— � 2,58v

c) —79

— � 0,33v � 1,29w

d) 3,18w � 1,15v � —29

a) 0,45 � 1,2 � �65

� � �14050

� � �1120� � �

65

� � �14050

� � �112000

� � �112000

� � �14050

� � �290�

b) 18,4 � �14

� � 2,58v � �11804

� � �14

� � �258

9�0

25� � �

11804

� � �14

� � �29303

� � �3138102

� � �14850

� � �416860

� � �3178303

c) �79

� � 0,3v � 1,29w � �79

� � �39

� � �129

99� 1� � �

79

� � �39

� � �19298

� � �7979� � �

3939� � �

19298

� � �19792

d) 3,18w � 1,15v � �29

� � �318

99� 3� � �

1159�0

11� � �

29

� � �39195

� � �19004

� � �29

� � �3919500

� � �1919404

� � �292900

� � �899930

1.42

1.41

1.40

12

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 12

Page 10: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Operaciones combinadas

Halla el resultado de las siguientes operaciones con números racionales.

a) —47

— � —67

— � —83

— � —54

— : �—�23—� c) —2

3— : —1

2— � —

182— � —9

3— : (�5)

b) —16

— � —26

— � �—45

—�2

� —35

— � —12

— d) 2 � 3 : —56

— � —141— � �—�

27—�

3

a) �47

� � �67

� � �83

� � �54

� � ���32

�� � �47

� � �4281� � �

1102� � �

4884� � �

18942

� � �7804� � ��

18347

b) �16

� � �26

� � ��45

��2

� �35

� � �12

� � �16

� � �26

� � �1265� � �

130� � �

16

� � �13520

� � �130� � �

12550

� � �13520

� � �14550

� � �11520

� � �225�

c) �23

� � �12

� � �182� � �

93

� � (�5) � �43

� � �7326� � (�5) � �

43

� � �25

� � �2105� � �

165� � �

2165�

d) 2 � 3 � �56

� � �141� � ��

�27��

3

� 2 � �158� � �

141� � �

3483

� � 2 � �158� � �

373723

� � �3126

00

� � �517660

� � �18

168065� � ��

1916

1021�

Realiza las siguientes operaciones.

a) —79

— � —19

— � �—23

— � —64

— : —37

—�b) �3 � —1

2—�

3

: �—151— � —4

5— � —3

4—�

c) 4 � 2 � �—89

— � —23

— � —45

—� : —72

d) —140— � �1 � —3

4— � �—2

5— � —3

2— � —6

5—��

e) �8 � —125—�

2

: �—34

— � �—98

— � 2� � —176—�

a) �79

� � �19

���23

� � �64

� � �37

�� � �79

� � �19

���23

� � �4122�� � �

79

� � �19

���182� � �

4122�� � �

79

� � �19

����3142�� � �

79

� � �13048

� �

� �18048

� � �13048

� � �111088

� � �5594�

b) �3 � �12

��3

� ��151� � �

45

� � �34

�� � ��52

��3

� ��151� � �

35

�� � �1285

� � �85

� � �61265

c) 4 � 2 � ��89

� � �23

� � �45

�� � �72

� � 4 � 2 � ��89

� � �185�� � �

72

� � 4 � 2 � ��4405� � �

2445�� � �

72

� � 4 � 2 � �1465� � �

72

� �

� 4 � �34

25� � �

72

� � 4 � �36145

� � �1321650

� � �36145

� � �1331254

d) �140� � �1 � �

34

� � ��25

� � �32

� � �65

��� � �140� � �1 � �

34

� � ��25

� � �1180��� � �

140� � �1 � �

34

� � ���1140��� � �

140� � �1 � �

4420�� �

� �140� � ���

420�� � ��

4800� � ��

510�

e) �8 � �125��

2

� ��34

� � ��98

� � 2� � �176�� � ��

12

��2

� ��34

� � ���78

�� � �176�� � �

18

� � ���23

12� � �

176�� � �

18

� � ���2312� � �

1342�� �

� �18

� � ���33

52�� � ��

13420

� � ��385�

1.44

1.43

13

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 13

Page 11: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Expresa los números decimales en forma de fracción y luego haz los cálculos.

a) 0,42 � 3,1 � 10,88v � 1,52w c) 19,85v � 13,2 � 4,5 � 8,16w

b) 7,16 � (1,17v � 3,8 � 7,22v) d) 2,84 � 5,1v � (0,503w � 4,96w)

a) 0,42 � 3,1 � 10,8v � 1,52w � �14020

� � �3110� � �

1089� 10� � �

15299

� 1� � �

11300020

� � �998� � �

19591

� �

� �19298080908

� � �1

90978

000000

� � �1959

100000

� � ��99394000002

� � ��14697500001

b) 7,16 � (1,17v � 3,8 � 7,2v) � �711060

� � ��179� 1� � �

3180� � �

729� 7�� � �

711060

� � ��196� � �

3180� � �

695�� � �

711060

� � ��196� � �

241700

�� �

� �71

10

60

� � ��19600

� � �22

92030�� � �

711060

� � �22

93090� � �

6940404

� � �22

9309000

� � ��21

9704056

� � ��54

223564�

c) 19,85v � 13,2 � 4,5 � 8,16w � �1985

9�0

198� � �

11302

� � �4150� � �

81699

� 8� � �

179807

� � �5190400

� � �89098

� �

� �19

9690

5070

� � �58

9890

0060

� � �890980000

� � ��31

9090

6090

� � ��31

990069�

d) 2,84 � 5,1v � (0,503w � 4,96w) � �218040

� � �51

9� 5� � ��

590939

� � �496

99� 4�� � �

218040

� � �496� � ��

590939

� � �49992

�� �

� �13

900064� � ��150593839� � �

5140

691829

�� � �13

900064� � �

4190

097899

� � �1 306

1401958

995010

144� � �

41

900978

990000

� � �210069589900404

� � �5217644772651

C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E

Al representar en la recta dos fracciones equivalentes, ¿cuántos puntos se dibujan sobre ella?

Como conclusión al resultado anterior, y teniendo en cuenta que un número racional es un conjunto deinfinitas fracciones equivalentes entre sí, ¿cuántos puntos de la recta se necesitan para representar unnúmero racional?

Al representar en la recta dos fracciones equivalentes, solo se dibuja un punto sobre ella.

Para representar un número racional, solo es necesario un punto de la recta.

Para decir la hora que es cuando han pasado 15 minutos de la hora en punto se utiliza un valor frac-cionario. Por ejemplo, se dice “las ocho y cuarto” en lugar de “las 8 y 15”. Explica si es correcta la frac-ción utilizada.

Sí, porque 15 minutos de una hora equivalen a la fracción �1650� � �

14

� .

Escribe:

a) Un número racional que no sea entero. c) Un número entero que no sea racional.

b) Un número racional que sea entero. d) Un número decimal que no sea racional.

a) �87

� c) Es imposible: todos los números enteros son racionales.

b) �346� d) 1,320332033320…

Explica, utilizando ejemplos, si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad.

b) Un número racional es una fracción.

c) Cualquier número decimal se puede expresar en forma fraccionaria.

d) Los números enteros también son racionales.

a) Falso: �95

� representa una cantidad mayor que 1.

1.49

1.48

1.47

1.46

1.45

14

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 14

Page 12: unidad1-NUMEROS RACIONALES

b) Falso: los números racionales también son enteros. Por ejemplo, �198�.

c) Falso: los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no se pueden expresar en forma fraccionaria. Porejemplo, 0,12349873412…

d) Verdadero.

¿En qué son iguales los números 3,1414 y 3,1414…? ¿Qué los diferencia?

Son números racionales y, por tanto, se pueden expresar en forma de fracción.

El primero es exacto, tiene una cantidad finita de cifras decimales, y el segundo es periódico puro, 3,14w.

Al operar con números racionales, ¿se obtiene siempre otro número racional? En caso contrario, pon unejemplo.

Sí, porque al operar con números racionales o se obtiene una fracción o un entero que son números racionales.

Utiliza ejemplos para estudiar si el resultado de la multiplicación o la división de dos fracciones es dis-tinto si se realiza en la forma habitual o reduciendo previamente las fracciones a denominador común.¿Qué conclusión obtienes?

�69

� � �83

� � �42

87� � �

196� . Es el resultado de la multiplicación sin reducirlas a denominador común.

�69

� � �83

� � �69

� � �294� � �

18414

� � �196� . Es el resultado reduciéndolas previamente a denominador común.

�176� � �

13

� � �21

16� . Es el resultado de la división sin reducirlas a denominador común.

�176� � �

13

� � �24

18� � �

1468� � �

1706088

� � �6438� � �

2116� . Es el resultado de la división reduciéndolas a denominador común.

El resultado es el mismo, pero al reducirlas a denominador común, el numerador y el denominador de las fracciones son núme-ros más grandes que hay que simplificar, y el ejercicio resulta más laborioso.

P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R

En un grupo de 3.o de ESO de 28 alumnos hay 7 chicas. De entre los chicos, la octava parte no ha naci-do en España. ¿Qué fracción del total representan?

Hay 28 � 7 � 21 chicos.

�18

� de �22

18� � �

332� de los chicos no han nacido en España.

Javier ha cortado —13

— de una baguette para hacer un bocadillo y con los —34

— del resto ha preparado unas

rebanadas. Ha sobrado un trozo de 4 centímetros. ¿Cuánto medía la baguette?

1 � �13

� � �23

� de la barra quedan después de hacer el bocadillo.

�34

� � �23

� � �12

� utiliza para las rebanadas.

Queda: 1 � �13

� � �12

� � �66

� � �26

� � �36

� � �16

� , que equivale a 4 cm.

Por tanto, la medida de la baguette era de: 6 � 4 � 24 cm

1.54

1.53

1.52

1.51

1.50

15

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 15

Page 13: unidad1-NUMEROS RACIONALES

En un pueblo hay dos centros escolares de Secundaria, uno de ellos de reciente construcción.

La elección de la asignatura de Matemáticas de los alumnos de 4.o de ESO en cada uno de ellos es laque se observa en el cuadro siguiente.

¿En cuál de los centros, el número de alumnos que ha elegido la opción A respecto del total de alum-nos matriculados en 4.o de ESO es mayor?

En el instituto antiguo: �112800

� � �1128� � �

46

� es la fracción de alumnos matriculados en la opción A.

En el instituto nuevo: �19200

� � �192� � �

34

Hay que comparar las fracciones obtenidas.

�46

� � �12

64� ; �

34

� � �1284� ⇒ �

1284� � �

1264� ⇒ �

34

� � �46

Se han matriculado más alumnos en el instituto nuevo que en el antiguo.

Se está probando un nuevo tratamiento para una determinada enfermedad en 320 personas y se hacomprobado que en 15 de ellas produce un intenso dolor de cabeza. Aunque los efectos secundarios de-berían ser nulos, este tratamiento se aceptará como válido si el porcentaje de personas en el que se ma-nifiestan es inferior a un 0,01%.

Con los datos experimentales anteriores, ¿el tratamiento será aceptado o rechazado?

Produce dolor de cabeza en �31250

�, que equivale a un porcentaje del 0,0487%.

Como ese porcentaje es superior al válido para que sea aceptado, el tratamiento será rechazado.

El consumo de un televisor encendido es de 45 vatios a la hora. Si se apaga con el mando a distancia,su consumo se reduce a 15.

Si a lo largo de un día, el televisor está encendido durante cuatro horas y se apaga con el mando:

a) ¿Qué gasto total de energía se produce?

b) ¿Qué cantidad se podría ahorrar desconectando el aparato de la corriente?

c) ¿Qué fracción y qué porcentaje de ahorro se produciría en ese caso?

a) 4 � 45 � 20 � 15 � 400 W se gastan en un día.

b) 20 � 15 � 300 W se podrían ahorrar.

c) La fracción: �34

00

00

� � �34

El porcentaje: 75%

En un invernadero se han sembrado 500 plantas de tomates, 400 de pimientos y 350 de calabacines.

Se sabe que se pierden por término medio 1 de cada 60 plantas de tomates, 2 de cada 25 de pimientosy 6 de cada 11 de calabacines.

a) ¿Cuál de las tres plantas es más resistente?

b) ¿Cuántas de cada clase se espera que crezcan?

c) Si en este invernadero se han conseguido 490 plantas de tomates, 320 de pimientos y 318 de cala-bacines, ¿en cuál de ellas se ha dado un aumento de producción superior a la media? ¿En qué por-centaje ha aumentado?

a) Hay que comparar las fracciones �610�, �

225� y �

161�.

�610� � �

353

500� ; �

225� � �

3236040

� ; �161� � �

13830000

� �353500� � �

3236040

� � �13830000

� ⇒ �610� � �

225� � �

161�

Se pierden menos plantas de tomates. Por tanto, son las más resistentes.

1.58

1.57

1.56

1.55

16

Matemáticas A Matemáticas B

Instituto antiguo 120 60

Institutonuevo 90 30

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 16

Page 14: unidad1-NUMEROS RACIONALES

b) �56

90� � 500 � 491,67 � 491 plantas de tomates

�22

35� � 400 � 368 de pimientos

�151� � 350 � 159,09 � 159 de calabacines

c) En los calabacines.

El número de plantas que ha aumentado la producción es: 359 � 159 � 200.

Se ha producido un aumento del 100%.

De los habitantes de una población, la cuarta parte son personas mayores de 60 años; las —35

— partes del

resto tienen entre 25 y 60 años, y de los que quedan, solo la sexta parte son niños menores de 8 años.

a) ¿Qué fracción de la población tiene entre 8 y 25 años?

b) ¿Qué porcentaje de la población representan los mayores de 60 años?

c) Si el total de habitantes es 8640, ¿cuántos pertenecen al mayor grupo poblacional?

a) 1 � �14

� � �35

� � �1 � �34

�� � �16

� � 1 � �14

� � �290� � �

16

� � �6600� � �

1650� � �

2670� � �

1600� � �

680� � �

125� es la fracción de población

que tiene entre 8 y 25 años.

b) �14

� � 100 � 25%

c) �14

� � 8640 � 2160 son mayores de 60 años.

�35

� � 8640 � 5184 tienen entre 25 y 60 años.

�125� � 8640 � 3456 tienen entre 8 y 25 años.

�18

� � 8640 � 1080 son niños menores de 8 años.

El mayor grupo poblacional es el de las personas entre 25 y 60 años.

R E F U E R Z O

Números fraccionarios. Números racionales

Dadas las siguientes fracciones, ¿cuáles de ellas son equivalentes a —1284—?

a) —19200

— b) —34

— c) —7928— d) —6

9— e) —

192—

a) �12

84� � �

19200

� ⇔ 18 � 120 � 24 � 90 ⇔ 2160 � 2160. Es equivalente.

b) �12

84� � �

34

� ⇔ 18 � 4 � 24 � 3 ⇔ 72 � 72. Es equivalente.

c) �12

84� � �

79

28� ⇔ 18 � 98 � 24 � 72 ⇔ 1764 � 1728. No es equivalente.

d) �12

84� � �

69

� ⇔ 18 � 9 � 24 � 6 ⇔ 162 � 144. No es equivalente.

e) �12

84� � �

192� ⇔ 18 � 12 � 24 � 9 ⇔ 216 � 216. Es equivalente.

1.60

1.59

17

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 17

Page 15: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificación.

a) —152— b) —1

138— c) —9

4—

a) �152� � �

12

04� � �

13

56� � �

2408� b) �

1138� � �

2366� � �

3594� � �

5722� c) �

94

� � �188� � �

2172� � �

3166�

Calcula la fracción irreducible de:

a) —248900

— b) —6432— c) —3

16305

a) �24

89

00

� � �24

89� � �

47

� b) �6432� � �

96

� � �32

� c) �316306

� � �7227� � �

83

Indica cuáles de los siguientes números son racionales.

a) 82,45364635… b) �6 c) 2,1919…

Los números de los apartados b y c, porque el primero de ellos es entero y el segundo es decimal periódico puro, y los dos sepueden expresar en forma de fracción.

Fracciones y decimales

Calcula el valor decimal de las siguientes fracciones indicando, cuando existan, el período y el antepe-ríodo.

a) —295— b) —1

87— c) —2

183— d) —1

265—

a) �295� � 2,77v. Período: 7 c) �

2183� � 2,153846w. Período: 153846

b) �187� � 2,125 d) �

1265� � 0,64

Sin realizar la división, indica el tipo de expresión decimal al que equivale cada fracción.

a) —3270— b) —3

375— c) —1

227— d) —4

684—

a) Exacto, porque los factores del denominador son 2 y 5.

b) Periódico mixto, porque los factores del denominador son 5 y 7.

c) Periódico puro, porque el denominador no tiene ni el factor 2 ni el 5.

d) Exacto, porque el denominador sólo tiene el factor 2.

Halla la fracción a la que equivalen las siguientes expresiones decimales.

a) 12,160v b) 8,49v c) 30,805 d) 17,89v

a) 12,160 � �12 16

9099

� 12� � �

1299

1948� c) 30,805 � �

310080005

� � �6210601

b) 8,49� � �849

9�0

84� � �

79605

� � �11583

� � �127� d) 17,89v � �

178999

� 17� � �

179792

Comparación, ordenación y representación de números racionales

Compara los siguientes números racionales.

a) —98

— y —94

— b) �—430— y —

516— c) —1

267— y —

287— d) —1

231— y —1

469—

a) �98

� � �94

� b) ��430� � �

516� c) �

1267� � �

287� d) �

1231� � �

19417

� y �1469� � �

14487

�19417

� � �14487

� ⇒ �1231� � �

1469�

1.67

1.66

1.65

1.64

1.63

1.62

1.61

18

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 18

Page 16: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Ordena de forma creciente los siguientes números racionales.

a) —259—, —

2396

—, —2195—, �—2

493— b) —1

485—, —�

453—, —�

4152—, —

475— c) —

196—, —

172—, —�

85—, �—1

316—

a) ��2396

� � ��24

93� � �

2195� � �

259�

b) ��45

3� � �

�4152

� � �475� � �

1485�

c) �196� � �

18414

� , �172� � �

18444

� , ��85� � �

�14

940

� , ��1316� � ��

14444

� ⇒ ��14444

� � ��14

940

� � �18414

� � �18444

��13

16� � �

�85� � �

196� � �

172�

Representa en la recta numérica los números: —�52—, —

190—, �—1

85—, —7

3— .

Operaciones con números racionales

Calcula las siguientes potencias.

a) �—19

—�2

b) ��—58

—�3

c) �—�43—�

4

d) �—67

—��2

a) ��19

��2

� �811� b) ���

58

��3

� ��152454

� c) ���43��

4

� �28516

� d) ��67

���2

� ��76

��2

� �4396�

Opera y simplifica.

a) �—158— � �1 � —3

4— � —

265—� c) —7

8— � —1

8— � —3

2— � —5

3— e) —7

2— � �—4

6— � —1

3— : —5

9—�

b) —1110— � ��—

165— � —9

5—� � —1

4—� d) 1 � —5

6— : �2 � —7

9—� f) —8

3— � —5

3— : �—�

41— � 1�

a) ��158� � �1 � �

34

� � �265�� � ��

158� � ��

110000

� � �17050

� � �12040

�� � ��158� � �

14090

� � ��316000

� � �14090

� � ��410090

b) �11

10� � ���

165� � �

95

�� � �14

�� � �1110� � ���

165� � �

2175�� � �

14

�� � �1110� � ���

2115� � �

14

�� � �1110� � ���

75

� � �14

�� �

� �11

10� � ���

22

80� � �

250�� � �

1110� � �

3230� � �

2220� � �

3230� � �

5250� � �

141�

c) �78

� � �18

� � �32

� � �53

� � �78

� � �136� � �

53

� � �4428� � �

498� � �

8408� � ��

2498�

d) 1 � �56

� � �2 � �79

�� � 1 � �56

� � ��198� � �

79

�� � 1 � �56

� � �191� � 1 � �

4656� � �

6666� � �

4656� � �

2616� � �

171�

e) �72

� � ��46

� � �13

� � �59

�� � �72

� � ��46

� � �195�� � �

72

� � ��23

� � �35

�� � �72

� � ��1105� � �

195�� � �

72

� � �115� � �

13005

� � �320� � �

13003

f) �83

� � �53

� � ���41� � 1� � �

83

� � �53

� � ���54

�� � �83

� � �2105� � �

6105� � 4

1.71

1.70

0 1 2 3

–73

1

–910

0

0–1–2

––158

–1 0

––25

1.69

1.68

19

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 19

Page 17: unidad1-NUMEROS RACIONALES

A M P L I A C I Ó N

Representa en la recta real los siguientes números, expresando previamente los decimales en forma frac-cionaria, y luego ordénalos de menor a mayor.

—157—, 3,16v, �2,35v, �—2

90—

Expresa como una única potencia:

a) �—78

—�4

� ���—78

—�3

�2

: —87

— b) ��—94

—��2

� �—49

—���6

: ��—49

—��5

c) �—�32—�

�4

: ��—32

—�6

� �—23

—��1

a) ��78

��4

� ����78

��3

�2

� �87

� � ��78

��4

� ��78

��6

� ��78

���1

� ��78

��11

b) ���94

���2

� ��49

����6

� ���49

���5

� ���49

��2

� �49

���6

� ����49

���5

� � ��49

���18

� ����49

���5

� � ���49

���13

c) ���32��

�4

� ���32

��6

� ��23

���1

� � ��32

��4

� ���32

��6

� ��23

��� � ��32

��4

� ��32

��7

� ��32

���3

Realiza las siguientes operaciones con números racionales y simplifica el resultado.

a) �—23

— � 1��3

� —85

— � —46

— � —16

— : ��—�27—�

2

� —14

— � �2 � —95

—��b) �—5

4— � —1

3— � �—2

6—�

�2

� : ��—32

— � 2�3

� —112— � —9

2—�

c) �—161— � —3

4— � 2�

2

: —13

— � �—35

— � —112—�

a) ��23

� � 1��3

� �85

� � �46

� � �16

� � ����27��

2

� �14

� � �2 � �95

��� � ���13

���3

� �3320� � �

16

� � ��449� � �

14

� � �15

�� �

� ��217� � �

33

20� � �

16

� � ��449� � �

210�� � ��

217� � �

3320� � �

16

� � �22406

� � ��217� � �

1165� � �

3569� � ��

5250355

� � �55950345

� � �575535� �

� �55

65

23

45

b) ��54

� � �13

� � ��26

���2

� � ���32

� � 2�3

� �112� � �

92

�� � ��54

� � �13

� � �346�� � ����

12

��3

� �294�� � ��

54

� � �217�� � ���

18

� � �294�� �

� ��13510

�8

4�� � ���

32�4

9�� � �

113018

� � ���12

�� � ��113018

c) ��161� � �

34

� � 2�2

� �13

� � ��35

� � �112�� � ��

161� � �

32

��2

� �13

� � �36

6�0

5� � ��11

6� 6��

2

� �13

� � �2690� � �

2356� � �

13

� � �2690� �

� �23

56� � �

13

� � �2690� � �

7356� � �

2690� � �

317850

� � �18870

� � �218880

� � �85

1.74

1.73

–3 0–1–2

––2090 1 3 42

3,16

–3 0–1–2–2,35

0 1 3 4

–175

2

1.72

20

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 20

Page 18: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Las fracciones —9x

—, —3x6— y —2

y5— representan el mismo número racional. Calcula x e y, y la fracción irreduci-

ble que lo representa.

Han de ser equivalentes: �9x

� � �3x6� ⇔ x 2 � 9 � 36 ⇔ x � 12

�192� � �

2y5� ⇔ 9y � 12 � 25 ⇔ y � �

1030

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

El tiempo libre

Eugenia quiere saber cuánto tiempo diario debe reservar para sus aficiones. Para ello, ha fijado los si-guientes criterios y prioridades:

1.o La tercera parte del tiempo la quiere dedicar a escuchar música.

2.o Las dos quintas partes del tiempo libre que le quede desea emplearlas en entrenarse en natación.

3.o La mitad de lo que le falte piensa destinarla a navegar por internet.

4.o Por último, lo que le reste desea aprovecharlo en la lectura, que, por otra parte, piensa que debe serexactamente una hora.

a) Calcula el tiempo total que debe dedicar a las actividades indicadas.

b) Halla el tiempo empleado en cada actividad.

c) ¿Qué parte del tiempo libre aprovechará para la lectura?

Se pueden representar las actividades en diferentes zonas de un rectángulo:

Los tres últimos rectángulos pequeños se corresponden con una hora.

Por tanto, cada rectángulo representa 20 minutos.

a) 20 � 15 � 300 minutos � 5 horas

b) Música: 100 minutosNatación: 80 minutosInternet: 60 minutos

c) Dedica a la lectura: �135� � �

15

� de su tiempo libre.

Situación de números racionales

a) Indica, mediante fracciones irreducibles, los valoresde A, B y C.

b) Mediante una fracción irreducible, indica un númeroracional que esté entre A y B.

c) Indica el número racional que se encuentra exacta-mente a medio camino entre los números A y 1.

d) ¿Es B el valor correspondiente al punto intermedioentre A y C?

a) A � �39

� � �13

� B � �79

� C � �192� � �

43

b) Por ejemplo, �49

c) � � �23

d) � � �56

� � �79

B no es el punto intermedio entre A y C.

�53

��2

�13

� � �43

��

2

�43

��2

1 � �13

��

2

1.77

1.76

1.75

21

0

r

A 1B C

MÚSICA

NATACIÓN

INTERNET LECTURA

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 21

Page 19: unidad1-NUMEROS RACIONALES

A U T O E V A L U A C I Ó N

Para cada apartado, calcula cinco fracciones que representen el mismo número racional dado.

a) —7450— b) —5

664— c) —1

35204

— d) —641205

a) �74

50� � �

185� � �

3106� � �

4254� � �

6408� � �

18500

� c) �135204

� � �17652

� � �2554� � �

15008

� � �120106

� � �360408

b) �56

64� � �

23

82� � �

1146� � �

74

� � �2112� � �

3250� d) �

641205

� � �18252

� � �214740

� � �326565

� � �438480

� � �1825200

Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.

a) —3175—, —

373—, —�

1367—, —3

87—

b) �—1243—, —

293—, —�

2133—, —1

263—

c) —280—, —

136—, —�

85—, —�

1102—

a) ��37

3� � �

�1367

� � �3175� � �

387�

b) ��12

43� � �

�2133

� � �293� � �

1263�

c) �280� � �

38

20�; �

136� � �

860�; �

�85� � �

�8500

�; ��1102

� � ��8806

��8806

� � ��8500

� � �860� � �

3820� ⇒ �

�1102

� � ��85� � �

136� � �

280�

Indica, sin hallarlo, el tipo de número decimal al que equivalen las siguientes fracciones.

a) —3254— b) —

215— c) —1

257— d) —

470—

a) Periódico mixto porque el denominador tiene el factor 3 además del 2.

b) Exacto porque el denominador sólo tiene el factor 5.

c) Periódico puro porque el denominador sólo tiene el factor 3.

d) Exacto porque el denominador tiene los factores 2 y 5.

Halla la fracción irreducible a la que equivalen los números decimales siguientes.

a) 5,72 b) 8,340v c) 16,09v

a) 5,72 � �51

70

20

� � �12453

b) 8,340v � �834

9099

� 8� � �

8939392

c) 16,09v � �1609

9�0

160� � �

149409

� � �11601

Halla el resultado de las siguientes potencias.

a) �—34

—�5

b) �—�76—�

2

c) ��—98

—�3

d) �—45

—��4

a) ��34

��5

� �1204234

� b) ���76��

2

� �3469� c) ���

98

��3

� ��752192

� d) ��45

���4

� ��54

��4

� �622556

1.A5

1.A4

1.A3

1.A2

1.A1

22

113902_SOL_U01 1/9/08 13:08 Página 22

Page 20: unidad1-NUMEROS RACIONALES

Opera y simplifica.

a) —1479— � —

419— � —5

2— � 1

b) —125— � �1 � �—3

2— � —7

5— � —2

5—��

c) —1136— � —

116— � �1 � —3

2—�

2

d) �—54

—��2

: �—13

— � —34

—� � �—12

— � 1�e) �—1

4— � —1

2—�

2

� —43

— � ��—74

—�f) —5

9— � —1

8— � �—7

2— � —1

3— : —2

5—�

g) —43

— � ��—13

—�2

� —56

— � �2 � —32

— : —19

—�

a) �14

79� � �

419� � �

52

� � 1 � �1479� � �

958� � 1 � �

3948� � �

958� � �

9988� � �

19287

b) �125� � �1 � ��

32

� � �75

� � �25

��� � �125� � �1 � ��

2110� � �

25

��� � �125� � �1 � ��

2110� � �

140��� � �

125� � �1 � �

1170�� �

� �125� � ���

170�� � �

340� � �

2310� � �

2350� � �

56

c) �11

36� � �

116� � �1 � �

32

��2

� �136� � �

116� � �

245� � �

136� � �

2654� � �

1624� � �

2654� � ��

1634�

d) ��54

���2

� ��13

� � �34

�� � ��12

� � 1� � �1265� � ���

152�� � ���

12

�� � �1265� � �

254� � �

318245

e) ��14

� � �12

��2

� �43

� � ���74

�� � ���14

��2

� �73

� � �116� � �

73

� � �14185

f) �59

� � �18

� � ��72

� � �13

� � �25

�� � �59

� � �18

� � ��72

� � �56

�� � �59

� � �18

� � �166� � �

59

� � �13

� � �29

g) �43

� � ���13

��2

� �56

� � �2 � �32

� � �19

�� � �43

� � �19

� � �56

� � �2 � �227�� � �

43

� � �19

� � �56

� � ���223�� � �

43

� � �19

� � �11125

� �

� �43

86� � �

346� � �

33465

� � �33967

M A T E T I E M P O S

Acercarse a un número

Elige dos números de dos y tres cifras decimales respectivamente. Multiplica, en tu calculadora, el primero deellos por un número, de tal forma, que el resultado se aproxime al segundo. Si no lo consigues, no borres elresultado y vuelve a intentarlo partiendo ahora de ese nuevo número.

Solución:

La actividad tiene por finalidad trabajar el concepto de multiplicación por números mayores y menores que uno. El primer obstáculoque se presenta es que quieren borrar el resultado porque se pasaron del número, y es difícil que comprendan que existe un número(menor que uno) que con la multiplicación se obtiene un valor menor. Otro concepto importante es que al multiplicar por 1,1, el nú-mero se incrementa un 10%, y si, por el contrario, se multiplica por 0,9, el número disminuye un 10%. Se puede ampliar la actividadacercándose a un número con la división.

1.A6

23

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