UNIDAD V TEORIA DE LAS...

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TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

1.- Introducción

Hasta ahora, se ha desarrollado una estadística descriptiva, es decir eltratamiento de datos consistió en una descripción a través de tablas, grá-ficas y medidas resumidas (de posición y de dispersión). Por ejemplo, unnegocio posee 100 cuentas por cobrar. Un auditor toma una muestra de15 cuentas y obtiene la media y el desvío típico de los montos. El análisisse limita a la muestra, sin hacer ningún tipo de generalización hacia lapoblación o sea a las 100 cuentas.

Si el auditor en base a los montos por cobrar de la muestra deseaestimar la media de montos de las 100 cuentas deberá utilizar métodos ytécnicas de la inferencia estadística. Toda conclusión a la que llegue elauditor respecto a las 100 cuentas estará basado en una generalizaciónque es mucho más amplia que la conclusión que obtiene de las 15 cuen-tas; pero esa generalización no es totalmente válida, el auditor debe deter-minar “la probabilidad” de que sea verdadera. La inferencia estadísticaayuda a la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre, éstaincluye afirmaciones y generalizaciones sobre la “probabilidad de su vali-dez”. En conclusión, la teoría de las probabilidades es la base de la esta-dística inferencial (1).

El desarrollo de las teorías de las probabilidades se debe a la atenciónprestada a los juegos de azar en el siglo XVII en Francia e Inglaterra (2).

2.- Conceptos básicos

Las probabilidades existen porque hay fenómenos aleatorios. Un fe-nómeno es aleatorio cuando su ocurrencia está determinada por factoresfortuitos o por el azar. En cambio, en los fenómenos deterministas hayseguridad de la ocurrencia o no de un hecho.

UNIDAD V

1. Levin, Richard, Estadística para Administradores. Prentice Hall.2. Chao, Lincoln, Estadística para las Ciencias Administrativas, Mc. Graw Hill.

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El resultado de la tirada de una moneda o de un dado es un ejemploclásico de un fenómeno aleatorio ya que situaciones aleatorias determina-rán si ocurre cara o sello en la moneda o, los números 1, 2, ..., 6 en eldado. También son ejemplos de fenómenos aleatorios el número de acci-dentes de tránsito en una ruta, el resultado de un partido de fútbol o elnúmero de defectuosos de un producto en un proceso productivo.

2.1.- Evento aleatorio - Espacio muestral - Experimento

a) Evento aleatorio: es uno o varios de los resultados posibles que seobtienen al hacer algo, es decir son los resultados conseguidos através de un experimento.

b) Experimento: es un proceso, operación o actividad que producen unevento.

c) Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posiblesde un experimento. El espacio muestral es un conjunto universal.

Ejemplo:

Considérese los posibles resultados al arrojar un dado:

- Espacio muestral (U) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Todos los posibles resultados (las 6 caras del dado)

- Experimento: arrojar el dado

- Eventos o Resultados posibles: cada cara del dado.

2.2.- Eventos aleatorios simples y compuestos

Un experimento puede implicar muchos y hasta un número infinito deresultados. Ya sea dijo que un resultado de un experimento constituye unevento aleatorio o suceso aleatorio. Los eventos pueden ser simples ocompuestos.

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a) Un evento aleatorio simple es el resultado de un solo ensayo enparticular.

Supóngase el experimento de tirar dos monedas para determinar laocurrencia del número de caras (c) o sellos (s). El espacio muestrales:

U = {CC; CS; SC; SS},

o sea hay 4 resultados posibles. Cada uno de estos resultados es unevento simple.

b) Un evento compuesto contiene dos o más eventos simples.

En el ejemplo anterior, los resultados de obtener por lo menos unacara son CC; CS; SC. Esto es un evento compuesto que es un sub-conjunto del espacio muestral porque está formado por 3 eventossimples distintos para un mismo resultado.

Cada uno de los eventos simples constituye un punto muestral. En elejemplo desarrollado hay 4 puntos muestrales:

CC CS SC SS

166

Actividad Nº 24

1) Un encuestador entrevista a 4 personas para conocer si está deacuerdo (S) o no (N) con la reelección presidencial.

a) ¿Cuántos posibles resultados hay?

b) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?

2) En un establecimiento secundario, se proyecta crear el nivel superiorno universitario. Se estudian 3 posibles orientaciones: carreras deformación docente (D), carreras de formación técnica (T) y/o carrerasde formación artística (A). Observar el diagrama e indicar la zona ozonas de los siguientes posibles eventos.

a) que se implementen únicamente carreras técnicas,

b) que no se implementen ninguna de las 3 orientaciones,

c) que no se implementen ni carreras técnicas ni artísticas,

d) que no se implementen carreras docentes,

e) que se implementen las 3 orientaciones.

D T

5 2 61

3 4 8

7 A

3) En el experimento de arrojar un dado, se sabe que el espacio muestrales U = {1,2,3,4,5 y 6}. Indicar si los siguientes eventos son simples ocompuestos.

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a) El evento de obtener un cuatro.b) El evento de obtener un número par.c) El evento de obtener un número mayor que 3.d) El evento de obtener un número menor que 2.

168

3.- Los tres enfoques de la Probabilidad

Los conceptos de probabilidad están relacionados con los 3 enfoquesdiferentes: el clásico, el de frecuencia relativa y el subjetivo.

3.1.- Probabilidad clásica

La probabilidad clásica, llamada también “teórica” o “matemática”, deque un evento ocurra se define como:

Número de resultados favorablesP (E) = (1)

Número de resultados posibles

Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que en un mazo de naipes dela baraja española se obtenga una sota?

4 1P (E) = = = 0,1

40 10

- El evento (E) es obtener una sota.- El número de resultados posibles es 40 que es la totalidad de naipes

en la baraja española.- El número de resultados favorables es 4 ya que en la baraja hay 4

sotas.

Otro ejemplo: Un cliente de una relojería desea comprar un desperta-dor. Tiene la posibilidad de elegir entre 300 relojes marca A, 12 marca B y8 marca C. ¿Cuál es la probabilidad de que compre un reloj marca C?

8P (C) = = 0,16

50

Obsérvese que en este enfoque todos los posibles resultados se cono-cen de antemano, por eso la probabilidad clásica se denomina “probabili-

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dad a priori”. El espacio muestral está constituido: por resultadosequiprobables puesto que cada resultado tiene la misma probabilidad deocurrencia. Sin embargo, no en todos los problemas se pueden indicar deantemano las probabilidades de los experimentos, por ejemplo, la proba-bilidad de que una persona viva hasta los 70 años, la probabilidad de quelas ventas de una empresa aumenten en los próximos tres meses, proba-bilidad de ocurrencia de un accidente de tránsito, etc. En estos casos sonútiles los otros dos enfoques.

3.2.- Frecuencia relativa de ocurrencia

Este enfoque tiene su origen en Inglaterra durante la década de 1800cuando los estadísticos intentaban encontrar un fundamento teórico paracalcular el riesgo de las pérdidas en los seguros de vida y comerciales,comenzaron definiendo las probabilidades de los datos estadísticos refe-ridos a nacimientos y muertes(3).

El enfoque de la frecuencia relativa define la probabilidad de dos mane-ras:

a)Frecuencia relativa observada de un evento en un gran númerode ensayos. Se determinan las frecuencias de que algo ha sucedido en elpasado y mediante esta cifra se puede estimar la probabilidad de quenuevamente ocurrirá en el futuro. Se requiere de la observación y recopi-lación de datos y no está implícita ninguna suposición de igualdad deprobabilidades, por ello este enfoque también se denomina “probabilidadempírica”. Por lo tanto, de acuerdo a este enfoque, la probabilidad de queocurra el evento (E) es:

Número de observaciones de E n (E)P (E) = = (2)

Tamaño de la muestra n

n (E) = frecuencia n(E)/n = frecuencia relativa

Ejemplo: Una muestra aleatoria de empresas industriales con un totalde 10.000 empleados registró 300 accidentes de trabajo en un período de

3. Levin, Richard op. cit

170

12 meses. ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia de accidentes de trabajodurante este año?

300P (E) = = 0,03

10.000

Este valor de probabilidad está calculado sobre una muestra, por eso esuna estimación del valor verdadero. Además, se hace la suposición de quelos parámetros de seguridad industrial no han variado con respecto alperíodo anterior en que se tomó la muestra.

b) La proporción de las veces que un evento ocurre en el largoplazo cuando las condiciones son estables. Esta segunda caracterís-tica de la probabilidad de frecuencia relativa indica que a más ensayo haymayor exactitud. Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una monedacorrecta. La probabilidad de que ocurra cara o sello es 0,50 (1/2). Si searroja 50 veces, la probabilidad de cara esta lejos de 0,5. Al aumentar elnúmero de lanzamientos, hay una mayor estabilidad y mayor probabilidadde acercarse a 0,50.

En resumen, si un experimento se realiza n veces con f éxitos, se supo-ne que la frecuencia relativa f/n tiende a un límite cuando n aumenta.Entonces, la probabilidad de éxito es:

n/flimn

La probabilidad no está dada por este límite, lo que puede hacerse esestimarla a partir de una muestra grande.

3.3.- Probabilidad subjetiva

Los dos enfoques anteriores dan como resultados valores de probabili-dad objetivos porque indican la proporción o porcentaje de ocurrencia delevento a largo plazo. En cambio, el enfoque subjetivista, la probabilidad deun evento es el grado de confianza que tiene una persona de que eseevento ocurra en base a la evidencia disponible, es un juicio personal. Un

171

enfoque personalista es apropiado cuando hay probabilidad de que el eventoocurra (o no) una única vez o muy pocas veces.

Muchas decisiones administrativas para problemas particulares requie-ren de probabilidades subjetivas ya que no existen situaciones idénticasanteriores como referencias; de esta manera debe contar con toda lainformación sobre el tema a efectos de tomar una decisión acertada.

El siguiente ejemplo ilustra muy bien este enfoque. Un juez debe decidirsi permite o no la instalación de una planta de energías nuclear en unazona donde existe una falla geológica. Puede preguntarse cuál será laprobabilidad de que ocurra un grave accidente nuclear en ese lugar. Elhecho de que no haya frecuencia relativa de evidencia de accidentes an-teriores en el lugar no lo exime de tomar la decisión. Deberá recopilar todala información posible y actuar con gran sabiduría para determinar la pro-babilidad o no de un accidente nuclear (4).

4. Levin, Richard, op. cit.

172

Actividad Nº 25

1) Para cada uno de los siguientes casos, indicar cuál de los 3 enfoqueses el más apropiado (clásico, de frecuencia relativa o subjetiva) es elmás apropiado para determinar el valor de probabilidad.

a) La probabilidad de que Ud. efectúe un viaje a Europa este año.b) La probabilidad de que aparezca un número par al tirar un dado.c) La probabilidad de anotar un gol en un partido de fútbol.d) La probabilidad de que un producto elegido al azar de un pedido

grande resulte defectuoso.e) La probabilidad de que salga el 0 en la ruleta.

2) Elabore ejemplos de determinación de probabilidad con los tresenfoques aplicados a problemas de la Administración o Economía.

173

4.- Axiomas de Probabilidad

Un axioma o postulado es una declaración que se acepta sin prueba. Engeneral, el valor de probabilidad de un evento está entre 0 y 1.

0 < P (E) < 1

De aquí se desprende que:

a) P (E) > 0: La probabilidad de cualquier evento debe ser siempre unvalor positivo. Cuando la probabilidad es cero, significa que el eventono ocurrirá.

b) P (E) < 1: Significa que la probabilidad de un evento nunca puede sermayor que 1.

c) P (U) = 1: Significa que hay certeza que el evento ocurrirá. U indica elespacio muestral que incluye todos los resultados posibles.

P (E) + P (E’) = 1

P (E) probabilidad de que ocurra el evento E.

P (E’) probabilidad de que no ocurra el evento E

por lo tanto,

P (E) = 1 - P (E’) y P (E’) = 1 - P (E)

complemento de complemento de E E’

P (E) + P (E’) = 1

o P (E u E’) = U (conjunto universal)

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5.- Reglas de Probabilidad

5.1.- Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes.Reglas de la adición

a) Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes cuando la probabilidadde A excluye la probabilidad de ocurrencia de B y viceversa. Esto significaque ocurre A o B pero no ambos. Por lo tanto:

P (A o B) = P (A) + P (B)o P (A u B) = P (A) + P (B) (3)

Esta regla se denomina regla especial de la adición. Como A y B notienen elementos en común, entonces A B = 0.

Ejemplos: Determinar la probabilidad de obtener una sota en un rey enlas 40 cartas de la baraja española.

P (S) = probabilidad de sota P (R) = probabilidad de rey.

P (S o R) = P (S u R) = P (S) + P (R)

408

404

404

P (S o R) = 51

= 0,02

Utilizando el diagrama de Venn

S R P (S) + P (R) = 0,20

10,0404

10,0404

P (otra carta) = 1 - P (S u R)

= 1 - 0,20 = 0,800,80

175

* La regla de la adición se puede aplicar para tres o más eventos.

b) Eventos no excluyentes

Dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes cuando es posibleque ocurran ambos. Por ejemplo si se desea determinar la probabilidad deobtener una sota o una carta de copa. Los eventos sota y copa puedenocurrir simultáneamente ya que se puede obtener una sota de copa. En-tonces sota y copa son eventos no excluyentes. La fórmula (3) debe mo-dificarse para evitar un conteo doble, deberá reducirse la posibilidad deocurrencia de sota y copa. Entonces:

P (A o B) = P (A) + P (B) - P (A y B)o P (A u B) = P (A) + P (B) - P (A n B) (4)

Esta es la regla general de la adición. Pueden ocurrir A o B o ambos.Recordar que si son mutuamente excluyentes (A n B) = Æ

Ejemplo: P (S) = probabilidad de sotaP (C) = probabilidad de copa

P (S o C) = P (S) + P (C) - P (S y C)

4013

401

4010

404

S Clos eventos se intersectan

S parcialmente y C

Otros ejemplos:

- En un negocio de 40 empleados hay 8 cajeros, 20 vendedores, 7administrativos y 5 empleados de maestranzas. 5 cajeros, 14 vendedores,4 administrativos y 2 son empleados de maestranzas son varones.

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Sean C = Cajero, A = Administrativo, V = vendedores, M = empleadode maestranza, H = hombre, F = mujer.

Se elige un empleado al azar. Determinar:

a)la probabilidad de que sea vendedor o administrativo.b)la probabilidad de que no sea vendedor.c) la probabilidad de que sea cajero o mujer,d)la probabilidad de que sea empleado de maestranza o varón.

a)P (V o A) = P (V) + P (A)

)sexcluyenteeventos(675,04027

407

4020

b)P (V’) = P (C) + P (A) + P (M)

)sexcluyenteeventos(50,04020

405

407

408

o bien:

50,04020

1)'V(P

c)P (C o F) = P (C) + P (F) - P (C y F)

)sexcluyentenoeventos(50,04020

403

4015

408

)Cop(P

d)P (M o H) = P (M) + P (H) - P (M y H)

)sexcluyentenoeventos(70,04028

402

4025

405

)HyM(P

- La probabilidad de que una persona invierta en acciones de la compa-ñía A es 0,20 y en acciones de la compañía B 0,30 y en ambas A y B, 0,10.Cuál es la probabilidad de que:

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a)Invierta en A o en B o en ambas.b)Invierta en A o en B pero no en ambas.c)No invierta en ninguna de las dos.

A B

0,10 0,10 0,10

0,60

a)P (A o B) = P (A) + P (B) - P (A y B)= 0,20 + 0,30 - 0,10 = 0,50 (sucesos no excluyentes)

b)P (A o B) = P (A o B) - P (A y B)= 0,40 - 0,10 = 0,30 (sucesos excluyentes)

c)P (ni A ni B) = 1 - 0,40 = 0,60

178

Actividad Nº 26

1) El Sr. Gómez tiene una suma de dinero y piensa gastar el mismo entres cosas: en una computadora (C), en vacaciones (V) o en unavideo grabadora (G). Las probabilidades de los tres eventos sonrespectivamente 0,28; 0,20 y 0,35.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gaste el dinero en una deestas 3 cosas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que gaste el dinero en otra cosadistinta (hacer un diagrama de Venn).

2) En una caja hay 30 artículos marca X, 15 marca Y, 35 marca Z. Entrelos artículos X hay 10 defectuosos, entre los artículos Y hay 5defectuosos y entre los de marca Z hay 8 defectuosos. Sea P (D) =defectuoso y P (D’) = bueno.

Si se selecciona al azar un producto, cuál es la probabilidad de que:

a) Sea defectuosob) Sea Y o Z.c) Sea X o defectuoso o ambosd) Sea Z o bueno o ambos

3) Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda en unasemana cero, uno, dos, tres, cuatro o cinco y más automóviles son:0,05; 0,10; 0,18; 0,25; 0,20 y 0,22 respectivamente. Cuál es laprobabilidad de que venda en una semana.

a) dos o más automóviles;b) tres o menos automóviles.

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5.2.- Eventos independientes y dependientes.Reglas de la multiplicación

a) Eventos independientes

Dos eventos A y B son independientes cuando la ocurrencia de A noafecta a la probabilidad de que ocurra B y viceversa.

Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de A y B es igualal producto de sus probabilidades respectivas.

P (A y B) = P (A) P (B) (5) Regla especial de la multiplicación. o P (A n B) = P (A) P (B)

P (A B) indica que tanto A como B ocurren, por lo tanto la intersecciónes una probabilidad conjunta.

Ejemplo: se arroja una moneda dos veces, cuál es la probabilidad deque en cada tirada aparezca cara.

Se sabe que 50,021

)S(P;50,021

)C(P

Sea C1

= evento de cara en la primera tirada.

C2

= evento de cara en la segunda tirada.

La probabilidad conjunta es:

P (C1 n C

2) = P (C

1) P (C

2)

= (0,50) (0,50)= 0,25

Las probabilidades conjuntas se pueden mostrar a través de un diagra-ma de árbol. Considérese el lanzamiento de una moneda.

180

1 lanzamiento 2 lanzamiento Probabilidades conjuntas

125,0

)C(P)S(P50,0)C(P

25,0)S(P)S(P50,0)S(P

50,0)S(P

50,0)S(P25,0)S(P)C(P

25,0)C(P)C(P50,0)C(P

50,0)C(P

212

212

1

2

21

212

1

La probabilidad de cara, P (C) = 0,50 y la probabilidad de sello, P (S) =0,50. Cada una de estas probabilidades es una probabilidad marginal oincondicional, es decir la simple probabilidad de que ocurre un evento. Porlo tanto, la probabilidad conjunta en condiciones de independencia esta-dística es el producto de las probabilidades marginales.

Otro ejemplo: Considérese en una baraja española, la probabilidad deque se obtengan una sota y luego un rey teniendo en cuenta que despuésde sacar la primera carta se la repone. Por lo tanto:

P (S n R) = P (S) . P (R)

01,0100

1404

404

Obsérvese que la P (R) es la misma que P(S) porque al haber reposi-ción no está condicionada por la ocurrencia de S.

b) Eventos dependientes

Dos eventos A y B son dependientes cuando la ocurrencia de A afectala probabilidad de ocurrencia de B y viceversa.

Si A y B son eventos dependientes, la probabilidad de que ocurran A yB es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B con la condiciónde que haya ocurrido A.

P (A n B) = P (A) . P (B/A) (6)

181

P (B/A) denota la probabilidad condicional de B dado que ocurre A.

La ecuación (6) se denomina regla general de la multiplicación. Es gene-ral porque se aplica tanto a eventos dependientes como independientes.Si los eventos son independientes P (B/A) = P (B).

De la fórmula (6) se obtiene la probabilidad condicional P (B/A):

P (B/A) = )A(P)BA(P

(7)

Ejemplo: Considérese el mismo ejemplo anterior de obtener una sota yluego un rey en una baraja española, pero en este caso al sacar la primeracarta no se la repone. Por lo tanto.

P (S o R) = P (S) . P (R / S)

0103,0390

41560

16394

404

En este caso la P (R) si está condicionada por P (S) debido a que nohubo reposición. Al sacar la primera carta P(S) = 4/40, al sacar la segundaquedan 39, por lo tanto P(R/S) = 4/39.

Probabilidades conjuntas utilizando tablas de contingencias

Para determinar las probabilidades conjuntas también se pueden utilizaruna tabla de contingencia.

En la asignatura Contabilidad de la carrera de Contador Público de laUniversidad Norte se analiza el rendimiento de los alumnos de 1º añoconsiderando si provienen de colegios secundarios con carreras comer-ciales o de otras carreras.

Sea: B = rendimiento bueno B’= rendimiento pobreC = provienen de colegios de carreras comerciales.C = provienen de colegios con otras carreras.

Se muestran las probabilidades conjuntas en la siguiente tabla:

182

CARRERA

Rendimiento C C’ Total

B 0,08 0,12 0,20

B’ 0,32 0,48 0,80

Total 0,40 0,60 1,00

- En cada celda se anotan las probabilidades conjuntas P(B n C); P(B’n C); P (B n C’); P (B’ n C).

- El total de cada fila y de cada columna son las probabilidades marginalesP (C) = 0,60; P (C’) = 0,40; P (B)= 0,20; P (B’) = 0,80.

A través de esta tabla se puede determinar si los eventos rendimiento ycarrera son independientes o no. En este caso son independientes ya quecada probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidadesmarginales. Esto indica que el rendimiento no tiene nada que ver con lacarrera secundaria.

Se puede demostrar de la siguiente manera:

P (B) = 0,20

P (B n C) 0,08P (B/C) = = = 0,20

P (C) 0,40

P (B/C) = P (B)

Supóngase que se analiza la misma situación en la Universidad Sur. Seconfeccional la siguiente tabla de contingencia o de probabilidades conjun-tas:

183

CARRERA

Rendimiento C C’ Total

B 0,15 0,05 0,20

B’ 0,25 0,55 0,80

Total 0,40 0,60 1,00

En este caso, los eventos son dependientes, es decir que el rendimientosi depende de la carrera. Las probabilidades conjuntas no son iguales alproducto de las probabilidades marginales.

Esta situación de dependencia se puede comprobar de la siguientemanera:

P (B) = 0,20

P (B C) 0,15P (B/C) = = = 0,375

P (C) 0,40

P (B/C) P (B)

Los ejemplos anteriores sirvieron para analizar la dependencia o inde-pendencia de los eventos. En el siguiente ejemplo se verá como se confec-ciona una tabla de contingencia.

Se presentan 100 postulantes, 40 mujeres (M) y 60 varones (V) para unexamen de admisión a distintos cargos en una empresa. De las mujeresaprobaron (A) el 90%, mientras que el 20% de los varones desaprobaron(D) el examen.

P (M) = 0,40 P (V) = 0,60

P (A/M) = 0,90 P (A/V) = 0,80

P (D/M) = 0,10 P (D/V) = 0,20

184

Primero se confeccionará un diagrama de árbol:

P(A/M) = 0,90 P(M) . P(A/M) = 0,40 (0,90) = 0,36

P(D/M) = 0,10 P(M) . P(D/M) = 0,40 (0,10) = 0,04

P(A/V) = 0,80 P(V) . P(V/A) = 0,60 (0,80) = 0,48

0,12P(D/V) = 0,20 P(V) . P(D/V) = 0,60 (0,20)=

1,00

Ahora se construirá una tabla:

ResultadoA D Total

Sexo

M 0,36 0,04 0,40

V 0,48 0,12 0,60

Total 0,84 0,16 1,00

Determinar

a)P (A) b) P (V n D) C) P (V/A) d) P (A/V)

e)Si sexo y calificación son independientes.

a)P (A) = 0,84 b) P (V n D) = 0,12

P (V n A) 0,48c)P (V/A) = = = 0,57

P (A) 0,84

P (A n V) 0,48d)P (A/V) = = = 0,80

P (V) 0,60

Pro

babi

lidad

es C

onju

ntas

P(V) = 0,60

P(M) = 0,40

185

P (M n A) 0,36e)P (M) = 0,40 P (M/A) = = = 0,43

P (A) 0,84

P (M/A) = P (M)no son independientes.

186

Actividad Nº 27

1) Una bolsa contiene 30 tarjetas: 8 blancas, 10 rojas, 12 azules. Seextraen dos tarjetas sin reemplazos, ¿Cuál es la probabilidad deextraer?

a) ¿Dos tarjetas azules una después de la otra?b) ¿Una blanca y una roja después?c) ¿Dos del mismo color?

2) Resolver el ejercicio anterior con reposición de tarjetas.

3) Dos divisiones de productos distintos de una empresa son Alfa yBeta. Se estima que la probabilidad de que productos Alfa tenga unmargen de utilidad del 10% este año es 0,30; la probabilidad de queBeta tenga un margen de utilidad del 10% es 0,20 y la probabilidad deque ambos productos tengan un margen de utilidad del 10% es 0,06:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos productos tengan la utilidaddel 10%?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Beta tenga el margen de utilidaddel 10% dado que Alfa alcanza ese criterio de ganancia?

c) Aplicar una prueba apropiada para determinar si el logro deutilidades de ambos productos es estadísticamente independiente.

4) Un profesor de estadística sabe por experiencia anterior que un alumnoque estudia regularmente la asignatura tiene una probabilidad deaprobar del 0,80, mientras que el alumno que no lo hace regularmentetiene una probabilidad del 0,20 de aprobar. El docente sabe que el60% de los estudiantes estudian regularmente. Si un estudianteaprueba la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiadoregularmente? Sea A = aprobó, R= Estudia regularmente.

5) La siguiente tabla de probabilidad conjunta muestra las reaccionesde los votantes ante un nuevo decreto presidencial:

187

R E A C C I Ó N

AFILIACION A FAVOR NEUTRAL EN CONTRA TOTAL (F) (N) (C)

P.J.(J) 0,30 0,05 0,05 0,40UCR (R) 0,125 0,075 0,15 0,35OTROS (O) 0,125 0,025 0,10 0,25

TOTAL 0,55 0,15 0,30 1,00

I) Con referencia a la tabla determinar las siguientes probabilidades:a) de que el votante esté en contra,b) de que el votante sea afiliado del P.J. y esté en contra,c) de que el votante sea afiliado a otros partidos políticos.d) de que el votante esté a favor del decreto dado que pertenece a

la U.C.R.e) de que el votante sea del P.J. o de la U.C.R.f) de que el votante sea de la U.C.R. o sea neutral.

II) ¿Son afiliación y reacción eventos independientes?

188

6.- Reglas de conteo

En el enfoque clásico para determinar la probabilidad se requiere delnúmero total de posibles resultados. En problemas sencillos es posiblecontar todos los posibles resultados, pero en otros se necesita del uso delos métodos de combinatoria (permutaciones, variaciones y combinacio-nes).

6.1.- Regla de la multiplicación

Esta regla puede considerarse bajo dos situaciones:

a)Si se realizan un cierto número (n) de operaciones o actos, y cadaoperación o acto puede realizarse en el mismo número de formas (k), elnúmero total de posibles resultados para n operaciones o actos:

(k) . (k) ... (k) = kn

Ejemplo: se lanzan 4 monedas para determinar cuántas caras salen.Hay 4 actos y cada uno tiene dos posibles resultados (formas): cara osello. Entonces, el total de posibles resultados para los 3 actos es:

kn = 24 = 16 posibles resultados

Listando los resultados se tiene:

C C C C S C C C S S C S S C S C

C C C S C C S S S C S S C S C S 16

C C S C S S S S C S S S C S S C Resultados

C S C C S S S C S S C C S C C S

b)Si hay n actos u operaciones que pueden realizarse en k1, k2, .... kn

formas, respectivamente, el número total de posibles resultados diferen-tes para los n actos u operaciones es:

189

(k1) . (k

2) .... (k

n)

Ejemplo: Un menú consta de 3 comidas, 2 tipos de bebidas y 2 tipos depostres. ¿De cuántas formas posibles puede seleccionarse dicho menú?

(3) (2) (2) = 12 formas posibles

Diagrama de árbol

Comidas Bebidas Postres Resultados

P1

C1 B

1 P

1

B1

P2

C1 B

1 P

2

C1

P1

C1 B

2 P

1

B2

P2

C1 B

2 P

2

P1

C2 B

1 P

1

B1

P2

C2 B

1 P

2

C2

P1

C2 B

1 P

1

B2

P2

C2 B

2 P

2

P1

C3 B

1 P

1

B1

P2

C3 B

1 P

2

C3

P1

C3 B

2 P

1

B2

P2

C3 B

2P2

6.2.- Permutaciones

Una permutación es un arreglo ordenado de todos los n elementos deun conjunto.

190

nP

n = n (n-1) (n-2) (n-3) ... (3) (2) (1)

nP

n = n! (8)

n! factorial de n

Si n = 0, 0! = 1

Ejemplo: Encontrar el número total de permutaciones del conjunto deletras a b c tomadas todas a la vez.

3P

3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 permutaciones

abc bac cabacb bca cba

6.3.- Variaciones

Una variación es una forma especial de permutación. Se refiere a unarreglo ordenado de r elementos tomados de conjunto de n elementos. Esun arreglo de una parte de los elementos.

El número total de posibles variaciones es:

!rn!n

Vrn

(9)

Ejemplo: Encontrar el número total de variaciones del conjunto de le-tras abc tomadas de dos a la vez:

n = 3 r = 2

61

1x2x3!23

!3V

23

o 3V

2= 3 x 2 = 6

6 formas posibles. Obsérvese queab ac bc como aquí interesa el orden, abba ca cb no es lo mismo que ba-

191

Otro ejemplo: En un concurso hay 3 premios (primero, segundo y ter-cero) para 10 participantes. ¿De cuántas formas pueden obtenerse los 3premios?

n = 10 r = 3. Hay 10 formas de obtener el primer premio, 9 de obtenerel segundo y 8 el tercero. Por lo tanto:

10V

3 = (10) (9) (8) = 720 formas posibles

o bien 720!7

)!7()8()9()10(!310

!10V

310

6.4.- Combinaciones

Una combinación es un arreglo de r elementos tomados de un conjuntode n elementos sin importar el orden.

El número total de posibles combinaciones es:

!rn!r!n

Crn

(10)

Ejemplo: Encontrar el número total de combinaciones del conjunto deletras abc tomadas de a dos a la vez.

n = 3 r = 2

3)1()2(

)1()2()3(!!23!2

!3C

33

ab - ac - bc 3 formas posibles

Obsérvese que como aquí no interesa el orden ab = ba

Otro ejemplo: Entre 15 personas, se desea formar una comisión de 5miembros. ¿De cuántas maneras posibles puede formarse dicha comisión?

003.3!515!5

!15C

515

192

El número total de combinaciones posibles de un conjunto de n elemen-tos tomados todos a la vez es igual a 1.

nC

n = 1

6.5.- Aplicación de permutaciones y combinaciones paradeterminar probabilidades

Sea el siguiente problema:

Una caja contiene 15 tarjetas, 6 rojas y 9 verdes. Se sacan 4 tarjetasaleatoriamente. Determinar la probabilidad de que:

a)Sean 4 rojas o 4 verdes.b)Sean 2 rojas y 2 verdes.

1) Se deben calcular el número total de posibles resultados(combinaciones) de sacar 4 tarjetas entre las 15.

365.1!11!4

!15C

415

2) A continuación se resuelven los puntos a y b.

a) El número de combinación de 4 rojas tomadas de las 6 tarjetasrojas es:

15!2!4

!6C

46

El número de combinaciones de 4 tarjetas verdes tomadas de las9 verdes es:

126!5!4

!9C

49

Por regla de la adición, el número total de combinaciones de 4rojas o 4 verdes es:

6C

4+

9C

4= 15 + 126 = 141

193

La probabilidad de sacar 4 rojas y 4 verdes es:

103,0365.1

141C

CC)V4oR4(R

415

4946

b) El número de combinaciones de 2 rojas entre 6 tarjetas de esecolor es:

15!4!2

!6C

26

El número de combinaciones de 2 verdes entre 9 tarjetas de esecolor es:

36!7!2

!9C

29

Por regla de la multiplicación, el número total de combinacionesde 2 rojas y 2 verdes es:

-6C

2 .

9C

2 = 15 . (36) = 540

La probabilidad de sacar 2 rojas y 2 verdes es:

396,0365.1

540C

CC)V2yR2(P

415

2926

194

Actividad Nº 28

1) Una prueba consiste en 10 preguntas de verdadero/falso. ¿De cuántasformas posibles puede resolverse la prueba?

2) Un contratista de construcción ofrece casas con cinco distintos tiposde ambientes, tres tipos de techos y dos tipos de pisos. ¿De cuántasmaneras puede elegir un comprador una casa?

3) El presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de una determinadaasociación, se elegirán de entre 10 candidatos. Determinar el númerode maneras distintas que esos puestos pueden ocuparse.

4) Un profesor recomienda doce textos en la bibliografía de su materia.Siete de los libros son de autores nacionales y el resto de autoresextranjeros: Si el profesor indica a los alumnos la lectura de 3 libros:

a) ¿De cuántas formas posibles pueden seleccionar 3libros de autores nacionales o 3 de autores extranjeros;

b) ¿de cuántas formas pueden seleccionar 2 libros de autoresnacionales y 1 de autor extranjero.

5) Una compañía tiene dos puestos disponibles y los asignará eligiendoal azar 2 personas de una lista de 2 mujeres y 2 hombres, todos elloscon una larga trayectoria dentro de la compañía.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una mujer seaseleccionada?

b) Cuál es la probabilidad de que ninguna de las mujeres seaseleccionada?

195

7.- Teorema de Bayes

La regla de Thomas Bayes (1702-1761) es una técnica para calcularprobabilidades condicionales. La importancia de Bayes radica en el uso deprobabilidades subjetivas para tomar decisiones en condiciones de incer-tidumbre. Su interés se centró en el desarrollo de un método para encon-trar la probabilidad de una causa específica cuando se observa un efectoparticular. El evento B ha ocurrido, cuál es la probabilidad de que la causasea A1 o A2.

Sea la siguiente ecuación:

P (A1) . P(B/A

1) = P (B) P (A

1/B)

)B(P

)/B(P)(P)B/(P AAA 11

1 (11)

Si hay n eventos mutuamente excluyentes A1 A

2,...A

n que pueden cau-

sar el evento B (efecto), entonces B puede ser determinado por una de lascausas, la probabilidad de que el evento B ocurra es:

P(B)= P [(A1 n B) U P (A

2 n B) U....U + P (A

n n B

n)]

Como los eventos son mutuamente excluyentes, entonces (Ai n B) y (A

j

n B) son también mutuamente excluyentes. Por regla especial de la adi-ción.

P(B)= P (A1 n B) + P (A

2 n B) +...+ P (A

n n B)

Por regla general de la multiplicación:

P(B)= P (A1) P (B/A

1) + P (A

2) P (B\A

2) +...+ P (A

n) P (B/A

n)

Sustituyendo en (11)

P (A1) . P(B/A

1)

(12) P(A1/B) =

P(A1).P(B/A

1)+P(A

2)P(B/A

2) +...+ P(A

n).P(B/A

n

196

)B(P

)Bn(P)B/(P AA 1

1 (13) igual a la fórmula (7)

En resumen: Conociendo P(B/A1) puede calcularse P(A

1/B).

Ejemplo: Los productos de un negocio son comprados a 3 proveedoresX, Y, Z. El 50% de los artículos se compran en X, el 30% a Y y 20% a Z. Sesabe que X se retrasa en los pedidos el 3% de las veces, Y, el 5% de lasveces, y Z el 2%. Se recibe un pedido retrasado, cuál es la probabilidad deque sea del proveedor Y?

R = retraso P (R/X) = 0,03 P(R/Y) = 0,05 P (R/Z)= 0,02

P (Y) . P (R/Y) P (RnY)P(Y/R)= =

P (X). P(R/X) + P(Y) P(R/Y) + P(Z) P(R/Z) P (R)

0,50 (0,05) 0,025 = =

0,30 (0,03) + 0,50 (0,05) + 0,20 (0,02) 0,038

P(Y/R) = 0,658

Con el uso de las tablas de probabilidades conjuntas se simplifica elcálculo de probabilidades condicionales para el teorema de Bayes.

Se constituye la tabla para el ejemplo anterior:

R = retraso R’= sin retraso

Proveedor R R’ Total

X 0,009 0,291 0,30

Y 0,025 0,475 0,50

Z 0,004 0,196 0,20

Total 0,038 0,962 1,00

197

P(Y n R) 0,025P(Y/R) = = = 0,658

P (R) 0,38

El teorema de Bayes es, en un sentido, lo que se espera que haga elmédico al diagnosticar un paciente. El médico conoce los síntomas decada enfermedad P(B/A

i) y la frecuencia relativa de cada enfermedad P

(Ai). Lo que el médico observa en el paciente es un síntoma y debe deter-

minar (diagnosticar) la probabilidad de que ese paciente tenga una enfer-medad particular, dado ese síntoma P(A

i/B) (5).

5. Mills, Richard, Estadística para Economía y Administración. Ed. Mc Graw-Hill.

198

Actividad Nº 29

1) Una vendedora a domicilio sabe por experiencia que de todas lasvisitas realizadas el 15% dieron como resultado grandes ventas (G),el 30% pequeñas ventas (S) y el 55% no fueron ventas (N). De aquellosque hicieron grandes compras, el 75% viven en zona céntrica (C); delos que realizaron pequeñas compras, el 50% vive en zona céntricay el 30% que no realizó compras vive en esa zona.

Si la siguientes visita se realiza en la zona céntrica, ¿Cuál es laprobabilidad de una gran venta? ¿Una venta pequeña?, ¿Ningunaventa?

2) Hay 3 cajas iguales (I, II, III) que contienen alhajas de oro. La caja Icontiene un anillo, la II un reloj y dos pulseras y la III un anillo, dospulseras y dos relojes. Se selecciona al azar una caja y extrae unaalhaja. Si la alhaja es un reloj, cuál es la probabilidad de que provengade la caja I? ¿De la caja II? ¿De la caja III?

199

Ejercicios de Repaso

1) Una compañía telefónica está considerada la conveniencia de distribuirlos fondos de una campaña promocional tendiente a incrementar lasllamadas a larga distancia en una provincia. La siguiente tabla contienelos mercados en los que, en opinión de la empresa, vale la penacentrar las promociones:

Segmentos del mercado Costo de la Campaña

A $ 350.000B $ 550.000C $ 250.000D $ 200.000E $ 250.000

Se cuenta con $800.000 para destinarlos a esas campañas:

a) Preparar una lista mutuamente excluyente de los eventos posiblesde la decisión referente a los gastos.

b) Suponer que la compañía decidió destinar la totalidad de los$800.000. Cambia esto la respuesta de (b)? Fundamentar.

2) De 100 postulantes que se presentaron a una empresa, 40 teníanexperiencia anterior (E) y 30 profesionales (F). Sin embargo, 20 delos solicitantes reunían ambos requisitos y ya han sido incluidos enlos conteos anteriores.

a) Elaborar un diagrama de Venn que describa esta población.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido al azar tengaexperiencias previa o sea profesional?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante tenga experienciaprevia o sea profesional pero no ambas cosas?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido al azar seaprofesional, dado que tiene experiencia anterior?

200

3) Un canillita ofrece 3 diarios: Tribuno, Nación y Clarín. Posee 10ejemplares del diario Tribuno, 7 del diario Nación y 4 del diario Clarín.Un comprador adquiere 3 ejemplares, ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) los 3 sean de distintos diarios?b) los 3 sean del mismo diario?

4) Los empleados de una universidad fueron clasificados de acuerdo asu edad y ocupación. Los resultados se dan en el siguiente cuadro:

X W Y Z

EdadOcupación 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 y más

Administrativo 2 24 16 17

Docentes 1 40 36 28

Personal deApoyo 16 20 14 2

Considerando que se selecciona un empleado al azar, obtener laprobabilidad de que el elegido:

a) Sea administrativo o tenga 51 años o más.b) No sea docente.c) Sea docente dado que tiene entre 41 y 50 años.

5) Un hombre de 40 años contrata un seguro diferido a 20 años. Sumujer tiene la misma edad. Se sabe que la probabilidad de que unhombre de 40 años sobreviva 20 años es 0,80 y la probabilidad deque una mujer de 40 años sobreviva 20 años es 0,90. ¿Cuál es laprobabilidad de que por lo menos uno esté vivo para que cobre elseguro?

6) Un gerente bancario estudia la relación entre la condición de empleoal momento de un préstamo y el hecho de que si después del préstamose vuelve o no moroso. Elige al azar 100 cuentas, y obtiene lossiguientes resultados:

201

Condición Condición de empleodel TotalPréstamo Con empleo (E) Sin empleo (E’)

Moroso (M) 10 8 18No moroso (M’) 60 22 82

Total 70 30 100

a) Confeccionar una tabla de probabilidades conjuntas.b) Obtener las siguientes probabilidades indicando el significado de

cada una:

i) P (M) iv) P (M’ o E’)ii) P (M’ y E’) v) Son condición de préstamos yiii) P (M / E) condición de empleo independiente.

7) De un grupo de 20 personas, 10 hablan francés (F), 8 hablan inglés(I) de los cuales 3 también hablan francés y 5 no hablan ninguno deestos idiomas. Se selecciona un individuo al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés?b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés?c) ¿Cuál es la probabilidad de que no hable ninguno de estos idiomas?d) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés e inglés?e) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés sabiendo que habla

inglés?f) ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés sabiendo francés?g) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés o inglés o ambas?

8) Sean los siguientes eventos:

A1:la familia tiene auto.

A2:la familia no tiene auto.

B1:el ingreso familiar es menor que $4.000.

B2:el ingreso familiar está entre $4.000 y $8.000.

B3:el ingreso familiar es mayor que $8.000 y en la población bajoestudio se tiene:

202

P (A1) = 0,70 P (B

2) = 0,45 P (B

3) = 0,08

P (A1 / B

2) = 0,85 P (A

1 / B

3) = 0,90

Hallar: a) P (B3 y A

1) b) P (A

1 o B

3)

c) P (B2 / A

1) d) P (A

1 /B

2)

9) Para contribuir a la selección de empleados idóneos para el desempeñode un puesto determinado, el departamento de personal toma unaprueba de aptitud a todos los solicitantes. A fin de determinar laefectividad de la prueba, se contrastó con una muestra de solicitantesque reprobaron y se los puso a prueba durante un lapso de tiempocorto. Se encontró que del 30% que pasaron la prueba sólo el 80%fueron satisfactorios y de aquellos que no pasaron la prueba, el 10%fueron satisfactorios.

a) Determinar la probabilidad de que un solicitante sea satisfactoriopara este puesto.

b) Determinar la probabilidad de que un solicitante sea satisfactoriohabiendo sido reprobado.

10) Indicar si los siguientes enunciados son correctos o incorrectos (C o I).

a) ( ) El resultado de un experimento se llama actividad.b) ( ) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces

P (A B) ) =c) ( ) La probabilidad clásica supone que todos los resultados

posibles de un experimento tienen igual probabilidad depresentarse.

d) ( ) Si A y B son estadísticamente dependientes, entoncesP (A y B) = P (A) . P (B).

e) El teorema de Bayes es la fórmula de la probabilidad condicionalen condiciones de dependencia estadística.

203

Respuestas a los ejercicios de la Unidad V

Puntos 1 y 2

1) a) 16 SSSS, SSSN, SSNS, SNSS, NSSS, SSNN, SNNS, SNSN

b) (U) = NSNS, NNSS, NSSN, NNNS, NNSN, NSNN, SNNN, NNNN

2)a) 6 b) 8 c) 5 y 8 d) 4 - 6 - 7 y 8 e) 1

3)a) Simple; b) Compuesto; c) Compuesto; d) Compuesto.

Punto 3

1) a) Subjetiva; b) Clásica; c) Frecuencia relativa;

d) Frecuencia relativa; e) Clásica.

Puntos 4 y 5.1

1) C V G a) P (C o V o G) = 0,83

0,28 0,20 0,35 b) P (otra cosa distinta)= =0,17 o bien 1-0,83= 0,17

0,17

2)a) P (D) = 23/30b) P (Y o Z) = 5/8c) P (X o D) = 43/80 (eventos no excluyentes)d) P (Z o D’) = 13/16 (eventos no excluyentes)

3) a) P (2 o más) = 0,85 b) P (3 o menos) = 0,33

204

Punto 5.2

1) a) P (A1 n A

2) = 22/145 = 0,152

b) P (B1 n R

2) = 8/87 = 0,092

c) P (A1 n B

2) u P (R

1 n R

2) u P (A

1 n A

2) = 0,32

2)a) 0,16 ; b) 0,09 ; c) 0,34

3)a) P (Alfa y Beta) = 0,06

0,06b) P (Beta/Alfa) = = 0,20

0,30

c) ¿P (Beta) = P (Beta/Alfa)?

P (Beta) = 0,20P (Beta/Alfa) = 0,20son independientes

P (R n A) 0,484)P (R/A) = = = 0,86

P (A) 0,56

5)I) a) P (C) = 0,30 b) P (J y C) = 0,05

c) P (O) = 0,25 d) P (F/R) = 0,36

e) P (J o R) = 0,75 f) P (R o N) = 0,425

II) O son independientes

Punto 6

1) kn = (2)10 = 1024

2) (5) (3) (2) = 30

205

3) 10

V4 = 5040

4) a) 7C

3 +

5C

3 = 45 ; b)

7C

2 .

5C

1 = 26.

5) 61

C

C)b

31

62

C

CC)a6C

24

22

24

2212

24

Punto 7

1) C C’ Total

G 0,1125 0,0375 0,15

S 0,15 0,15 0,30

N 0,165 0,385 0,55

Total 0,4275 0,5725 1,00

P (G/C) = 0,26 P (S/C) = 0,35 P (N/C) = 0,39

2) a) P (I/R) = 0 b) P (II/R) = 0,45 c) P (III/R) = 0,55

206


1) a) Hay 17 subconjuntos que pueden abarcarse con el presupuesto AB C D E

A,C - A,D - A,E - B,C - B,D - B,E - C,D-C,E - D,E - A,C,D - A,D,E - C,D,E-

b) Los únicos subconjuntos donde se gasta todo el presupuesto sonB,C - A,C,D - B,E - A,C,E.

2) a)

E F b) P (E o F) = 0,50

20 20 10 c) P (E o F) = 0,30

50 d) P (F \ E) = 0,50

3) a) 280/1330 = 0,21 b) 159/1330 = 0,12.

4) a) P (A o Z) = 0,41; b) P (A o S) = 0,51; c)P (D/Y) = 0,24

5) 0,98

6) a) E E’ Total

M 0,10 0,08 0,18

M’ 0,60 0,22 0,82

Total 0,70 0.30 1,00

b) i) Prob. de moroso = 0,18ii) Prob. de no moroso y sin empleo = 0,22iii) Prob. de moroso dado que tiene empleo = 0,14iv)Prob. de no moroso o sin empleo = 0,90v) No son independientes.

207

7) I F

5 3 7

5

a)P (F) = 0,5b)P (I) = 0,4c)P (I’ n F’) = 0,25d)P (F n I) = 0,15e)P (F / I) = 0,375f) P (I / F) = 0,30g)P (F o I) = 0,75

8)B

1B

2B

3Total

a) 0,072A

10,2455 0,3825 0,072 0,70

b) 0,708A

20,2245 0,0675 0,008 0,30

c) 0,546Total 0,47 0,45 0,08 1,00

d) 0,85

9)a)Satisf. (S)0,80 0,24

Aprobaron (A) 0,30 0,06

No satisf. (S’)0,20Satisf. (S)0,10 0,07

Reprobaron (R) 0,70 0,63

No Satisf. (S’)0,90 1,00

b)P (S) = 0,31 c) P (S / R) = 0,10

10) a) I b) C c) C d) I e) C

209

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

1.- Distribución probabilística

1.1.- Concepto de Función (6)

Se define una función como una asociación especial entre un elemento(x) de un conjunto y un elemento (y) de otro conjunto, donde cada elemen-to x se relaciona con uno y sólo uno de los elementos y.

x e y consideran un par ordenado (x,y). Por ejemplo, un par ordenado(5,3) que se muestra en el siguiente gráfico. El primer elemento del par serepresenta en el eje horizontal y el otro en el eje vertical.

y

543 (5.3)21

1 2 3 4 5 x

Cada par ordenado está representado por un punto en el plano. Los dosconjuntos de elementos representan a todos los posibles valores que x ey pueden tomar; cualquier regla que defina una relación entre ellos seráuna ecuación. Considérese y = x + 2; y es una función de x. Al asignar unvalor a x le corresponde uno y solo un valor de y; por ej.: x=6; y=8.

Se utiliza f para designar función y la notación funcional es f(x) (valor def en x). La ecuación x+2 puede expresarse como f(x) = x+2 o sea y = f(x).

1.2.- Variable aleatoria

Las letras x e y se consideran “variables”. El valor de variable y seobtiene cuando se sustituye el valor de la variable x en la función. Enton-ces x es la variable independiente e "y" la variable dependiente.

UNIDAD VI

6. Chao, Lincoln, op. cit.

210

La mayoría de las funciones en estadística son funciones probabilísticas.A cada evento aleatorio se le asigna un número y dicho número es “elvalor de la variable aleatoria”.

Si los valores que toma un símbolo tal como x están asociadoscon los eventos aleatorios de un experimento, y depender deocurrencias aleatorias, a ese símbolo se le denomina“variablealeatoria”.

Por ejemplo, sea X el número de caras al arrojar 2 monedas:

Espacio muestral Valor de la variable aleatoria (X)

SS 0 (ninguna cara)CS 1 (una cara)SC 1 (una cara)CC 2 (dos caras)

1.3.- Función probabilística

Una función probabilística es una regla que asigna una fracciónprobabilística a cada uno de los valores de la variable aleatoria.

La función probabilística para el número de caras al lanzar 3 monedases la siguiente:

Espacio muestral X P (X) probabilidad

SS 0 1/4

CS1 2/4

SC

CC 2 1/4

1,0

211

P(x)

2/4

1/4

0 1 2 x

1.4.- Distribución probabilística

Las funciones probabilísticas también se denominan “distribucionesprobabilísticas”, ya que la probabilidad total (1 o 100%) se distribuye entretodos los posibles valores de la variable aleatoria.

Una distribución probabilística es una distribución de probabili-dades donde cada fracción probabilística está asociada con unode los posibles valores diferentes de la variable aleatoria.

De acuerdo a la naturaleza de la variable aleatoria, las distribucionesprobabilísticas pueden ser discretas o continuas (ver módulo 1).

La distribución probabilística es una distribución de frecuencias relativasa largo plazo. La distribución probabilística es una distribución teórica mien-tras que la distribución de frecuencias relativas es una distribución empí-rica.

212

Actividad Nº 30

1) Cuatro tarjetas marcadas con los números 1 - 2 - 3 y 4 se colocan enuna caja y se mezclan. Sea X la variable aleatoria que indica el númerode la tarjeta que se extrae con reemplazo. Obtener la distribuciónprobabilística de X.

2) Un vendedor ofrece dos modelos de video grabadoras R y S. Lapreferencia de ambos modelos es la misma: el 50% de los posiblescompradores prefieren R y el otro 50% prefieren S. Hay en existencia3 videos de cada modelo y supóngase que en un sólo día se venden3 videos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un cierto día se vendan 3videos del mismo modelo?

b) Definir la variable aleatoria de este experimento.c) Definir los eventos simples y sus valores correspondientes de la

variable aleatoria.d) ¿Cuál es la distribución probabilística de X?

213

2.- Valor esperado

La media a largo plazo de una variable aleatoria x se denomina valoresperado y se simboliza E(X).

Para una variable aleatoria discreta el valor esperado es igual a la sumade los distintos valores multiplicados por sus probabilidades correspon-dientes:

nE (X) = X

i P (X

i) (14)

i=1

xi P (x

i) = x

1 P(x

2) + x

2 P(x

2) + ... + X

n P(x

n)

El valor esperado llamado también esperanza matemática de una varia-ble aleatoria es un promedio ponderado, donde las probabilidades corres-pondientes son utilizadas como ponderación.

Ejemplo: En el ejemplo del lanzamiento de las 2 monedas, el valoresperado de X es:

141

242

141

0)X(E

El valor esperado 1 es un promedio a largo plazo, esto significa que amedida que el número de tiradas se acerque al infinito, el promedio de lastiradas estarán cercano a 1.

Otro ejemplo: un inversor tiene un millón de pesos para una inversión.X indica la cantidad de dinero con la que terminará.

X (millones) P (X)

1 0,22 0,33 0,24 0,25 0,1

1,0

214

¿Cuál es la ganancia esperada de este inversor?

E(X) = xi P (x

i)

E(X) = 1 (0,2) + 2 (0,3) + 3 (0,2) + 4 (0,2) + 5 (0,1) E(X) = 2,7 millones.

Ganancia esperada = 2,7 - 1= 1,7 millones

3.- Media y varianza de la población

3.1.- Media de la población

Ya se estudió en el módulo 3 que la media de una población ( m ) seobtiene de la siguiente manera:

xi

= (15) N

Esta fórmula se empleará cuando la población sea finita. Si la poblaciónes infinita, la fórmula anterior no puede utilizarse para el cálculo de lamedia poblacional. En este caso la manera de trabajar las poblacionesinfinitas es conociendo los valores probabilísticos de cada valor de la mis-ma, por lo tanto estas poblaciones se manejan como distribucionesprobabilísticas. La media de una población infinita se obtiene calculando lamedia de la distribución probabilística.

En resumen: Cualquier distribución probabilística, continua o discreta,se denomina distribución de la población.

Ejemplo: Se marcan 4 números (1 - 2 - 3 y 4) en un conjunto de tarjetas.El 30% de las tarjetas están marcadas con 1; el 20% con 2; el 10% con 3y el 40% con 4. Las tarjetas se mezclan en una bolsa, se saca una y seanota su número. Luego se la repone, antes de sacar la siguiente y asísucesivamente. ¿Cuál es la media de x? (Obsérvese que la población esinfinita debido a que hay reposición de las tarjetas).

x : 1 - 2 - 3 - 4 DistribuciónP (x): 0,30 0,20 0,10 0,40 probabilística

215

La media de X es el valor esperado E (X)

= E(X) = 1 (0,30) + 2 (0,20) + 3 (0,10) + 4 (0,40)

E(X) = 2,6

Se calcula de esta manera debido a que cada número tiene distintaprobabilidad de salir.

En caso de que cada número tuviera la misma probabilidad de salir (1/4) la media sería:

5,24

104

4321

3.2.- Varianza de la población

Si la población es finita, la varianza se calcula de la siguiente manera:

N

( 22 )XI (16)

Y el desvío típicoN

( 2)XI (17)

Para una población infinita, es necesario utilizar la distribuciónprobabilística para obtener la varianza. La notación “promedio de” es re-emplazado por el signo de “valor esperado” para expresar la varianza dela población, porque el valor esperado es el promedio a largo plazo de lavariable. Por lo tanto:

s 2 = E (x - )2

(X - )2 = X2 - 2 X + 2

Entonces E (x - )2 = E (X2 - 2 X + 2) =

= E (X2) - E (2 X) + E ( 2)

216

Como 2 y son constantes, el valor esperado del producto de unaconstante por una variable es igual a la constante multiplicada por el valoresperado de la variable o sea: E (2 X) = 2 E(X). Además E ( 2) = 2.

Por lo tanto:

E (X - )2 = E (X2) - 2 E (X) + 2

= E (X2) - 2 + 2

= E (X2) - 2 2 + 2

En consecuencia 2 = E (X2) - 2 = x2 P (X) - 2

Ejemplo: Obtener la varianza de x correspondiente al problema de lastarjetas:

x P(x) x2 x2 P (x)1 0,30 1 0,302 0,20 4 0,803 0,10 9 0,904 0,40 16 6,40

8,40

Recordar que = E (X) = 2,6entonces:

2 = X2 P (x) - 2

2 = 8,40 - (2,6)2

2 = 1,64

y el desvío típico es = 28,165,1

217

Actividad Nº 31

1) Una empresa está evaluando dos proyectos de inversión cuyos valoresactuales netos y tasas de retornos son iguales. No obstante, se sabeque un proyecto es más conveniente que otro desde el punto de vistadel riesgo que está relacionado con la dispersión relativa (a mayordispersión, mayor riesgo). Las siguientes cantidades, expresadas enmoneda constante, corresponden a los flujos de fondos anuales delos dos proyectos con sus respectivas probabilidades de ocurrencia.Decidir qué proyecto es más conveniente.

Proyecto 1 Proyecto 2

Flujos Prob. Flujos Prob.

$ 1.200 0,05 $ 1.700 0,10$ 2.800 0,15 $ 1.200 0,15$ 1.000 0,25 $ 3.100 0,18$ 3.000 0,35 $ 1.500 0,30$ 2.000 0,20 $ 2.500 0,27

2) Se ha determinado que las ventas de una revista en quioscos tiene lasiguiente distribución probabilística:

Número de revistas (x) 100 - 150 - 200 - 250 - 300 - 350

P (x) 0,05 - 0,10 - 0,25 - 0,30 - 0,20 - 0,10

Calcular el valor esperado y las varianza de las ventas de la revista.

218

4.- Distribuciones de probabilidades discretas

4.1- Distribución binominal

La distribución binominal es una distribución discreta de probabilidadque es útil en la aplicación para la toma de decisiones. El proceso deinterés describe datos resultantes de un experimento denominado proce-so de Bernoulli. El proceso de Bernoulli es un proceso de muestreo en lassiguientes características:

a) Hay solamente dos posibles resultados que son mutuamenteexcluyentes en cada ensayo u observación: éxito y fracaso (ocurrenciao no).

b) Los ensayos son estadísticamente independientes.c) La probabilidad de éxito (p), permanece constante de un ensayo a

otro, esto significa que el proceso es estacionaria.

Para determinar la probabilidad de un evento se requiere:

1) el número de éxitos u ocurrencias (x),2) el número de ensayos u observaciones (n),3) la probabilidad de éxito en cada ensayo (p)

La fórmula que se aplica es:

P ( x ÷ n÷ p) = nC

xpx qn-x (18)

q = 1-p

La obtención de la fórmula (18) se puede demostrar con el siguienteejemplo del número de caras (x) en el lanzamiento de 3 monedas:

219

181

2p2CCC

CSC83

21

23p32CCS

SCC

CSS83

221

3p31SCS

SSC81

20SSS

)x(PticaprobabilísónDistribucixsultadosRe

1

1p1

1p1

1p1

33

22

2

33

Cara Sello

p = (éxito)= 1/2 (1-p) o q (fracaso) = 1/2

Para X = 0 hay solamente un posible resultado

P (X = 0) = P (SSS)= (1-p) (1-p) (1-p) = (1-p)3 = 1/8

Para X = 1 hay 3 posibles resultados

P (SSC) = (1-p) (1-p) . p = (1-p)2 . p

P (SCS) = (1-p) (p) (1-p) = (1-p)2 . p

P (CSS) = p (1-p) (1-p) = (1-p)2 . p

Como hay 3 posibles resultados

P (X = 1) = 3 (p) (1-p)2 = 3/8

y lo mismo para P (X = 2) y P (x = 3).

220

El total de posibles resultados para cada valor de x para una muestra de3 elementos no es otra cosa que una combinación de x elementos entre3 elementos.

Entonces:X Combinaciones

03C

0 = 1

13C

1 = 3

23C

2 = 3

33C

3 = 1

Por lo tanto si tenemos:

P (x=2 ÷ n=3 ÷ p=1/2) = 3

C2

(1/2)2 (1/2) = 3/8

P (x ÷ n÷ p) = nCx px qn-x

La distribución binomial de este ejemplo se puede graficar de la siguien-te manera:

P (X)

818283

0 1 2 3 x

Ejemplo: La selección argentina de fútbol jugará 10 partidos duranteuna gira. Se sabe que en la región donde se realizarán los partidos el 20%de los días son lluviosos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 partidos sejueguen bajo la lluvia?

221

x = 3 n = 10 p = 0,20 q = 0,80

P (x =3 ô n =10 ô p = 0 , 2 0 ) = 10

C3

(0,20)3 (0,80)7

10! P (x = 3) = (0,20)3 (0,80)7 = 0,20133

3! 7!

Uso de las tablas

El cálculo de las probabilidades con la fórmula de la binomial resultatediosa sobre todo cuando n es grande. Esto se simplifica utilizando lastablas de la distribución binomial (Tablas 1 y 2 del Anexo). La tabla 1corresponde a las distribuciones de probabilidades individuales y la 2 a ladistribución de probabilidades acumuladas.

Para cada tamaño de la muestra se consignan los valores de probabili-dades para cada número de éxitos (x) que se ubican en la columna y lasprobabilidades de éxito (p) que se ubican en la fila. El valor de probabilidadestá en la intersección de x y p.

Sean los siguientes ejercicios utilizando el mismo ejemplo:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 partidos se jueguen en la lluvia?

P (x = 5 n =10 p = 0,20) = 0,02642 según tabla 1

b) Calcular la probabilidad de que no más de dos partidos se jueguen enla lluvia, o sea:

P (x<2 n =10 p=0,20) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)

= 0,10737 + 0,26844 + 0,30199

= 0,6778 según tabla 1

222

En lugar de sumar las probabilidades individuales, se puede utilizar latabla 2 que contiene las probabilidades acumuladas:

P (x<2 n=10 p=0,20) = 0,6778 según tabla 2

c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 4 partidos se jueguen enla lluvia?

P (x<4 n=10 p=0,20) = 0,96721 según tabla 2

d) Determinar la probabilidad de que 3 o más partidos se jueguen en lalluvia, o sea:

P (x > 3 n=10 p=0,20)

Usando la tabla 2 obtenemos la probabilidad de que hasta 2 partidosse jueguen bajo la lluvia.

P (x< 2 n=10 p=0,20) = 0,6778

por lo tanto P (x > 3) = 1 - P (x < 2)

= 1 - 0,6778 = 0,3222

Media y desviación típica en la distribución binomial

La distribución binomial tiene un valor esperado o medio ( m ) y unadesviación típica ( s ).

n = número de ensayosm = n p p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracaso

s = qpn 1 - p.

Ejemplo: Se sabe que el 10% de los productos fabricados por unacompañía son defectuosos.

223

Se toma una muestra aleatoria de 25 artículos, ¿cuál es el númeroesperado de defectuosos (promedio de largo plazo)? ¿Cuál es la desvia-ción típica?

= 25 (0,20) = 5 artículos

= 2480,020,025

224

Actividad Nº 32

1) En un barrio de la ciudad de Salta el 40% de las familias no tieneteléfono. Se toma una muestra de 15 familias. Determinar laprobabilidad de que:

a) 7 familias no tengan teléfono.b) Ninguna familia tengan teléfono.c) A lo sumo 5 familias no tenga teléfono.d) Por lo menos 8 familias no tengan teléfono.e) No más de 3 familias sí tenga teléfono.f) Entre 8 y 10 familias tengan teléfono.

2) En una empresa nueva sólo el 35% de los empleados tiene el legajocompleto. Si en un control se revisan 15 legajos, calcular y .

225

4.2.- Distribución de Poisson

Esta distribución se llama así por el francés Siméon Dennis Poisson(1781-1840) quien desarrolló esta distribución.

Puede utilizarse la distribución de Poisson para determinar la probabili-dad de que ocurra un número de eventos, en un continuo de tiempo oespacio.

El proceso de Poisson es similar al proceso de Bernoulli, pero los even-tos no ocurren en ensayos fijos, sino en un continuo (por ejemplo, en unintervalo de tiempo), como ser la distribución de llamadas telefónicas queestán en un conmutador, la demanda de servicios de asistencia médica,etc. Estos casos pueden ser descriptos por una variable discreta. El nú-mero de pacientes que llega a una guardia médica en un intervalo detiempo será 0, 1, 2, 3 o algún número entero.

El proceso de Poisson, como el de Bernoulli es estacionario y los even-tos son independientes.

Para determinar la probabilidad de un evento en un proceso de Poissonsólo se requiere el número promedio a largo plazo de eventos para elintervalo de tiempo o dimensión específica. La media se representa por laletra griega (lamda). La fórmula para el cálculo de probabilidad de Xocurrencias en la distribución de Poisson es:

P (x ) = !Xe

x

(19)

donde:

X: número de éxitos (u ocurrencias)l: número medio de ocurrencias por intervalo de tiempoe: constante 2,7183 base del sistema de logaritmos naturales.

Ejemplo: En un banco de la ciudad de Salta, en promedio cinco perso-nas utilizan un cajero automático cada hora. ¿Cuál es la probabilidad deque en una hora elegida aleatoriamente, 2 personas utilicen el cajero au-tomático?

226

(5)2 (2,7183)-5

P (X=2 ôl = 5) = = 0,0842 2!

Uso de tablas

En forma alternativa, y para facilitar los cálculos, se puede utilizar latabla de probabilidades de Poisson (Tabla 3). En las filas se consignan losvalores de l y en las columnas el número de ocurrencias (x). La intersec-ción de l y X indica el valor de probabilidad buscada.

Ejemplo: Considerando el ejercicio anterior, cuál es la probabilidad deque:

a) ¿una persona utilice el cajero?b) ¿no más de dos personas utilicen el cajero?

Utilizando la tabla 3

a) P (x = 1 = 5) = 0,0337

b) P (x < 2 = 5) = P (x = 0) + P (x =1) + P (x =2)= 0,0067 + 0,0337 + 0,0842= 0,1246

Aproximación de la distribución de Poisson a la distribuciónbinomial

Si el número de ensayos (n) en el proceso de Bernoulli, es grande, loscálculos se vuelven tediosos. La distribución de Poisson puede usarsecomo aproximación de la binomial si se cumplen dos requisitos:

1) n grande2) p pequeño

Una regla para una buena aproximación es trabajar con un n > 30 y n p< 5.

227

Ejemplo: un informe indica que en el 10% de las empresas industrialesse producen graves accidentes de trabajo. Si se toma una muestra de 30empresas, ¿cuál es la probabilidad de que en 5 de ellas hayan ocurridograves accidentes de trabajo?

-Utilizando la binomial

P (x = 5 n = 30 p = 0,10) = 0,10230

-Utilizando Poisson

= np = 30 (0,10) = 3

P (x = 5 = 3) = 0,1008

La diferencia entre los dos valores es de 0,0015 por lo que la aproxima-ción es buena.

Así como define la media de la distribución de Poisson, la desviación

típica de esta distribución es

228

Actividad Nº 33

1) Una tienda recibe 4,2 reclamos de clientes por semana. Determinarla probabilidad de que en una semana elegida al azar:

a) Ningún cliente haga un reclamo.b) No menos de 5 clientes hagan reclamos.c) No más de 1 cliente haga un reclamo.

2) El 2% de operarios de una fábrica padecen de problemas en la vista.En 100 operarios elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que alo sumo 5 tengan problemas en la vista?

229

4.3.- Distribución hipergeométrica

Cuando el muestreo es sin reemplazo para cada uno de los elementostomados de una población, no es aplicable el proceso de Bernoulli, ya quehay un cambio sistemático en la probabilidad de éxito mientras se extraenelementos de la población.

En este caso, la distribución discreta de probabilidad apropiada es ladistribución hipergeométrica.

Para la determinación de las probabilidades hipergeométricas se re-quiere conocer:

X: número designado de éxitosN: número de elementos de la poblaciónT: número total de éxitos en la poblaciónn: número de elementos de la muestra

Luego aplicar la siguiente fórmula:

N - T T

Cn - x

Cx

P (x) = N

(20)C

n

Ejemplo: Una biblioteca posee 10 textos de Estadística, de los cuales 6son de autores extranjeros. Si se eligen al azar 5 textos, ¿cuál es la proba-bilidad de que 2 de ellos sean de autores extranjeros?

X = 2 T = 6N = 10 n = 5

10 - 6 6 4 6 4! 6!

C5 - 2

C2

C3 C

2 3! 1! 2! 4!

P (x = 2) = 10

= 10

=C

5 C

5 10! 5! 5!

(4) (15) = = 0,24

252

230

Debe observarse que la distribución hipergeométrica es una aplicacióndel análisis combinatorio desarrollado en el punto 6.4. Se resolverá elejercicio (a) que se utilizó como ejemplo en esa oportunidad utilizando lafórmula (20).

Tarjetas rojas Tarjetas verdes

X = 4 X = 4N = 15 N = 15T = 6 T = 9n = 4 n = 4

15 - 6 6 15 -9 9

C4 - 4

C4

C4 - 4

C4

P (4 rojas o 4 verdes) = 15

+ 15

C4

C4

9 6 6 9

C0

C4

C0 C

4

= 15

+ 15

C4

C4

15 126 141= + = 1365 1365 1365

= 0,103

231

Actividad Nº 34

1) Un producto industrial se embarca en lotes de 20 unidades. Parareducir el número de unidades defectuosas enviados a los clientes,se implementó un programa de inspección que consiste en tomaruna muestra de 5 unidades de cada lote y rechazar el lote si seobserva más de un artículo defectuoso. Si un lote contiene 4 artículosdefectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado?

2) En el departamento de ventas de una compañía hay 15 empleadosde los cuales 10 tienen legajo incompleto. Si se controla una muestrade 5 legajos, determinar la probabilidad de que 3 estén incompletos.

232

5.- Distribución de probabilidades continuas

5.1. Distribución Normal

5.1.1. Naturaleza e Importancia

La variable aleatoria normal es de naturaleza continua ya que su espa-cio muestral consiste en un número infinito de valores reales y la variablepuede asumir cualquier valor de una gama de ellos.

La distribución normal es la más conocida y la más usada de las distri-buciones teóricas. Muchas variables aleatorias parecen seguir un patrónde distribución que es semejante a la distribución normal, como ser peso,estatura y otras relacionadas con la producción de procesos físicos (di-mensiones y rendimientos). Si bien no todas las poblaciones se distribu-yen normalmente, muchas distribuciones pueden aproximarse a la normala medida que aumenta el tamaño de la muestra.

5.1.2.- Características

Puede describirse a la distribución normal como una curva regular enforma acampanada que está definida por la media y por la desviaciónestándar de la variable aleatoria x. Es simétrica alrededor de su media; laaltura y la dispersión están dadas por la desviación estándar.

Matemáticamente puede describirse de la siguiente manera:

Figura A

233

e2

2\x211)x(P (21)

para - < x < +

x = valor de la variable aleatoria continua.= la media o valor esperado de x= desviación estándar de x= constante 3,1416...

e = base de los logaritmos naturales 2,718.

De acuerdo a lo expuesto, se resumen a continuación las característi-cas de la distribución normal.

1') Como la curva normal presenta una distribución probabilística deuna variable continua es imposible referirse a algún punto en particularsobre la curva como probabilidad de x. Para determinar probabilidades, sedeben establecer intervalos, como por ejemplo, el intervalo entre a y bindica el área sombreada bajo la curva que proporciona la probabilidad deque la variable aleatoria tome cualquier valor entre a y b. El área totalbajo la curva es igual a 1. La ecuación (20) se define como una funciónprobabilística de densidad. El término “densidad” es obtenido de la física,donde la palabra se usa para designar “probabilidad”.

2') La curva normal tiene forma de campana. El componente exponencialda la forma general de la curva.

3') La curva tiene un solo pico (por lo tanto es unimodal) y es simétricacon respecto a su media ( ).

4') Una curva normal está definida por tres constantes ( y 2) y dosparámetros, la y de x.

a bFigura B

234

5') Como x es una variable continua, puede asumir cualquier valor realentre - y + . La curva normal no toca el eje de las x. Cuando, x aumentao disminuye apartándose de la media, la curva es asintótica al eje x.

5.1.3.- Regla de la Normal

Ya se dijo que el área bajo la curva normal es igual a 1, cualquiera seael valor de y el valor de . Esto significa que los valores bajo la curva sonvalores de probabilidades.

Si los valores de una población se distribuyen normalmente puede apli-carse la denomina “regla de la normal” que se enuncia a continuación.

1') Aproximadamente el 68% de los valores de una población se en-cuentran dentro de 1 desviación estándar respecto de la media, o sea

m + 1 s = 68% de los casos.

2') Aproximadamente el 95,5% de los valores de una población se en-cuentran dentro de 2 desviaciones estándar respecto de la media, o sea:

m + 2 s = 95,5% de los casos

3') Aproximadamente el 99,7% de los valores de una población (casi el100%) se encuentran dentro de 3 desviaciones estándar respecto de lamedia, o sea:

m + 3 s = 99,7% de los casos

16 % del área16 % del área 68 % del área

Figura C

1 1

2,25 % del área2,25 % del área 95,5 % del área

Figura D

235

Ejemplo: La distribución de los salarios de los vendedores de una tien-da es normal con m =$300 y s =$10. El negocio cuenta con 80 vende-dores.

Aplicando la regla de la normal, se tiene.

1') + 1 o 300 + 10 = 68% de los casos

290 < < 310

Aproximadamente 54 vendedores (0,68.80) tienen un salario entre 190por 310 pesos.

2') + 2 o 300 + 2 (10) = 95,5% de los casos

280 < < 320

Aproximadamente 76 vendedores (0,955 x 80) tienen un salario entre280 y 320 pesos.

3') + 3 o 300 + 3 (10) = 97,7% de los casos

270 < < 330

Aproximadamente 78 vendedores (0,977 x 80) tienen un salario entre270 y 330 pesos.

15 % del área15 % del área

99,7 % del área

Figura 3

236

5.1.4.- Importancia de los parámetros

Los dos parámetros, media ( ) y desviación típica ( ) determinan laforma y ubicación de la curva normal. Si las distribuciones tienen la mismamedia pero con diferentes desviaciones típicas, las curvas tienen el mis-mo centro. Cuando es pequeña la curva tiende a ser leptocúrtica (altoapuntamiento). Si es más grande la curva tiende a ser más achatada (Verfigura F).

Cuando las distribuciones tienen la misma desviación típica, pero conmedias distintas, las formas de las curvas son iguales, pero la curva semueve a lo largo del eje de las x.

5.1.5.- Distribución normal estándar

Para calcular probabilidades dentro de un intervalo es necesario cono-cer la distribución probabilística. Como hay tantas variables normales noes práctico desarrollar una distribución probabilística distinta para cadauna. Este problema se soluciona debido a que existe una distribuciónprobabilística aplicable a cada una de las posibles variables normales quese denomina “distribución normal estándar”. Esta distribuciónprobabilística de la variable normal estándar Z, se define como:

x - mZ = (22)

s

Figura F

=3

=5

= 10 Figura G

=5=5

= 10 = 18

237

donde:

x = valor de la variable aleatoria de interés.= media de la distribución de la variable aleatoria.= desviación típica de la distribución.

Z = es la diferencia entre el valor observado de X y su media, expresadaen términos de su desviación típica. El valor de Z es igual al númerode desviaciones típicas de x respecto de la media.

Considérese el ejemplo de la distribución de salarios con = 300 y =10. ¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor seleccionado al azartenga un salario mayor o igual que $320?

x = 320. Aplicando la ecuación (2) se transforma x en Z.

320 - 300 Z = = 2

10

Cambiando la pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que el salario de unvendedor seleccionado aleatoriamente sea mayor o igual que 2 desviacio-nes típicas a partir de su media?

Como Z se expresa la desviación del valor observado de X a partir de lamedia, el control de la distribución de Z no representa ninguna desviación,la media de Z es igual a cero (0). Como Z está expresada en unidades dedesviaciones típicas, la desviación típica de Z es igual a 1. La distribuciónse define completamente por la media 0 y el desvío típico 1. Hay una ysolamente una distribución probabilística para la variable estándar Z.

P (x < ) = 0,50 P (x > ) = 0,50

Figura H

238

En el ejemplo anterior el valor 2 significa 2 desviaciones típicas porencima de la media o bien Z es igual a 2.

Si el área bajo la curva es igual 1 (o 100%) entonces P(X > ) = 0,50 yP (X < ) = 0,50.

Volviendo al ejemplo

320 - 300Z = = 2

10

Por regla de la normal + 2 = 0,955 (95,5%) de los valores. Comola curva normal es simétrica,

+ 2 = 0,4775 - 2 = 0,4775

(Ver figura)

Se pide la probabilidad de que un vendedor tenga un salario mayor oigual a 320, o la probabilidad de que Z > 2.

0,4775 0,4775

280 3000

320

P (300 a 320) = 0,4775

P (x ) = 0,0225

300 320

Z = 2

239

El valor de probabilidad entre 0 y Z o 0 y 2 es igual a 0,4775. Como P( > 300) = 0,5, para conocer el valor de probabilidad de x > 320 o Z > 2se debe restar 0,5 - 0,4775 = 0,0225. Esto significa que existe una proba-bilidad de 0,0225 (o del 2,25%) que un vendedor gane un salario igual omayor que 320.

5.1.6.- Cálculo de probabilidades. Uso de la tabla

El valor de probabilidad para cualquier valor de x puede obtenerse usan-do la tabla 4. La tabla proporciona los valores de probabilidad de 0 a Z.

Por ejemplo:

- Si Z = 1,50, el valor de probabilidad es 0,4332.

- Si Z = 1,56, el valor de probabilidad es 0,4406.

Las puntuaciones de Z se listan en la columna del lado izquierdo y en elrenglón superior. La columna del lado izquierdo tiene el dígito de las unida-des y décimos, mientras que en el renglón superior se halla el dígito de losdos centésimos.

Z 0,00 ... 0,06

1,5 0,4332 0,4406

Por ejemplo la probabilidad de que Z > 1,50 es 0,0668 (0,5 - 0,4332) yla probabilidad de que Z < -1,56 es 0,0594 (0,5 - 0,4406).

0,4332

0 1,5

0,0668

0,4406

0,0594

0- 1,56

240

Con el siguiente ejercicio se analizarán distintos casos para obtenervalores de probabilidades para x con la distribución normal.

La factura mensual de teléfono por casa en una zona céntrica se distri-buye normalmente con una media de $80 y una desviación típica de $6. Sise selecciona aleatoriamente una factura, determinar la probabilidad deque la misma:

a) sea de $70 y menosb) esté entre $78,50 y $82,50;c) esté entre $85 y $95;d) sea de $75 de más;e) sea igual a $90;

a)P (x < 70) x -

Z =

70 - 80Z = = -1,67

Area entre 0 y -167 = 0,4525 y comoel área entre - ¥ y 0 es 0,50.

P (x < 70) = 0,50 - 0,4525 = 0,0475

b) P (78,50 < x < 82,50)

25,06

8050,78Z

42,06

8050,82Z

Area entre 0 y -0,25 = 0,0987

Area entre 0 y 0,42 = 0,1628

P (78,50 < x < 82,50) = 0,0987 + 0,1628 = 0,2615

8070- 1,67 0

78,50

-0,25

82,50

0,42

80

0

241

c) P (85 < x < 95)85 - 80

Z = = 0,83 6

95 - 80Z = = 2,5

6

Area entre 0 y 2,5 (entre 80 y 95) = 0,4938Area entre 0 y 0,83 (entre 80 y 85) = 0,2967

P (85 < x < 95) = 0,4938 - 0,2967 = 0,1971

d) P (x > 75)

75 - 80Z = = -0,83

6

Area entre 0 y -0,83 = 0,2967Area entre 0 y + = 0,50

H

P (x > 75) = 0,2967 + 0,50 = 0,7967

e) P (x = 90)

Se estableció que como se trabaja con una distribución probabilísticacontinua es imposible determinar la probabilidad de un valor en particular,sino que deben establecerse intervalos. En el caso de P(X = 90) se deberábuscar P (89,5 < X < 90,5). Es el mismo caso de (c).

958580

0 0,83 2,5

8075

0-0,83

242

90,5 - 80Z = = 1,75

6

89,5 - 80Z = = 1,58

6

Area entre 0 y 1,75 = 0,4599Area entre 0 y 1,58 = 0,4429

P (X = 90) = 0,4599 - 0,4429 = 0,017

5.1.7.- Aproximaciones de la Normal a otras distribuciones

Una de las importancias que la distribución normal es que puede aproxi-marse a otras distribuciones.

Se estudiarán a continuación las aproximaciones de una distribucióncontinua como la normal a distribuciones discretas como la binomial yPoisson.

I) Aproximación normal a la binomial

Cuando el número de observaciones (n) es grande, puede utilizarse ladistribución probabilística normal a las probabilidades binomial. Una reglaconveniente es la que indica que las aproximaciones son aceptables cuan-do n>30 y np>5.

Al usar la normal como base de aproximación a la binomial.

= np (número promedio de éxitos u ocurrencias).

= npq (desviación estándar del número de éxitos).

Como la distribución normal es continua los valores de X deben ajustar-se mediante una corrección de continuidad, ya que un evento discretorepresenta un intervalo continuo desde un límite exacto superior.

90,589,580

243

Ejemplo: En un barrio de la ciudad de Salta el 20% de las casas noposeen gas natural. Si se investigan 30 casas de ese barrio, cuál es laprobabilidad de que 50 más no haya gas natural.

- Se utilizará primeramente la distribución binomial.

P (X>5\n=30\p=0,20) = 0,7448

- Aproximación de la normal

n = 30 np = 30 (0,20) = 6

se cumplen los dos criterios de aproximación.

= np = 6 = npq = (0,80)(0,20)30

= 2,2

Si bien se busca P (X > 5) al utilizar la corrección de continuidad P (X > 4,5).

El evento discreto 5 casas representa el intervalo continuo entre 4,5 y 5,5.

En general: Cuando P (X > Xi) se resta

y Cuando P (X < Xi) 0,5

Cuando P (X < Xi) se suma

y cuando P (X > Xi) 0,5

En el ejercicio como P (x > xi) se resta 0,5 (5 - 0,5 = 4,5).

4,5 - 6Z = = -0,68

2,2

Area entre 0 y -0,68 = 0,2518Area entre 0 y + = 0,50

P (X > 5) = 0,2518 + 0,5 = 0,7518

64,5

0-0,68

244

La diferencia entre el valor obtenido por la binomial y el obtenido por lanormal es solamente 0,007 por lo que la aproximación es buena.

II) Aproximación normal a la distribución de Poisson

Cuando la media de la distribución de Poisson es grande, puede aproxi-marse la distribución normal a probabilidad de Poisson. Una regla queindica una buena aproximación es considerar > 10.

Recordar que - y =

Ejemplo: En un banco, en promedio 10 personas utilizan el cajero auto-mático cada hora. Determinar la probabilidad de que no más de 5 perso-nas utilicen el cajero en una hora seleccionada al azar.

- Utilizando Poisson (tabla 3)

P (x < 5 \ =10) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3) + + p (X=4) + P (X = 0,5)

= 0 + 0,0005 + 0,0023 + 0,0076 + 0,0189 +

+ 0,0378 = 0,0671

- Utilizando la Normal

m = = 10 se cumple el criterio de aproximación P(x < 5), al aplicar lacorrección de continuidad P (x>5,5), se suma 0,5 debido a que P(X < x

1).

= 20 = 10 = 3,16

42,116,3

105,5Z

Area entre 0 y -1,42 = 0,4222

P (X < 5,5) = 0,5 - 0,4222 =0,0778

La diferencia entre los valores de probabilidad calculados con ambasdistribuciones es muy pequeña, lo que indica una aproximación aceptable.

105,5

- 1,42 0

245

Actividad Nº 35

1) Las exportaciones de productos agrícolas de nuestro país sedistribuyen normalmente con un promedio de 8.000 millones de dólaresanuales y un desvío típico de 1.000 millones.

Hallar:

a) P (X > 10.000)

b) P (X < 7.000)

c) P (X = 6.000)

d) P (9.000 < X < 11.000)

e) P (6.000 < X < 8.500)

f) P (X > 9.000 o X < 8.000)

2) El 20% de los clientes de un negocio son morosos. Si se toma unamuestra de 60 clientes, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 5sean morosos?

3) Un conmutador recibe en promedio 12 llamadas por minuto. Hallar laprobabilidad de que lleguen por lo menos 6 llamadas en un minuto.

246

5.2. Distribución exponencial

El modelo de probabilidad exponencial tiene su origen en el proceso dePoisson. Una probabilidad de Poisson se relaciona con la probabilidad deocurrencia de un número específico de éxitos en una unidad especificadafinita, donde el número de éxitos es la variable aleatoria. Al invertir lospapeles de una variable de Poisson y su unidad especificada finita, setiene un modelo de probabilidad exponencial. Una variable "exponencial" xes el intervalor de tiempo, o espacio requerido para obtener un númeroespecífico de éxitos (7).

En su libro, Kazmier establece que si se presentan eventos en el contex-to de un proceso Poisson, la longitud de tiempo o el espacio entre eventossucesivos tiene una "distribución exponencial de probabilidad". Al ser eltiempo y el espacio son continuos, una medición de este tipo es una varia-ble aleatoria continua. Para cualquier variable continua, no se pregunta,por ejemplo, ¿"cuál es la probabilidad de que la primera solicitud de servi-cio llegue exactamente en un minuto?, sino que se debe determinar unintervalo dentro del cual debe ocurrir el evento; por lo tanto la preguntasería "¿cuál es la probabilidad de que la primera solicitud de servicio llegueen un minuto?". La distribución exponencial se aplica cuando interesa eltiempo (o espacio) hasta la ocurrencia del primer evento, o el tiempo entredos eventos sucesivos, o bien el tiempo que transcurre hasta que sepresenta el primer evento, después de cualquier punto en el tiempo elegi-do al azar (8).

La probabilidad exponencial de que ocurra el primer evento dentro delintervalo designado de tiempo o espacio es:

P (t < t) = 1 - e - (23)

La probabilidad exponencial de que el primer evento no ocurra dentrodel intervalo designado de tiempo o espacio es:

P (T > t) = e - (24)

representa el número promedio de ocurrencias para el intervalo de interés.

7. Chou, Ya Lun "Análisis Estadístico" Ed. Mc Graw-Hill8. Kazmier, Leonard "Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía" Serie Sahaon "Ed.

Mc. Graw-Hill"

247

Ejemplo 1

Una empresa mayorista recibe 8 pedidos de compra por hora es prome-dio. Determinar la probabilidad de que se reciba el primer pedido dentro deun lapso de quince minutos.

Promedio por hora = 8 = Promedio por quince minutos: 2

P (T < 15') = 1 - e -2

= 1 - 0,13534

= 0,8647

Los valores de e-l se pueden obtener de la tabla V.

Ejemplo 2:

Considerando el ejemplo anterior, ¿cuál es la probabilidad de que elprimer pedido no llegue durante la primera hora.

= 8 por hora

P(T>8) = e-8

= 0,00034

El valor esperado de una distribución exponencial es E(T) = 1/ y lavarianza en V(T) = 1/ 2.

248

ACTIVIDAD INTEGRADORA

En promedio, 6 personas utilizan un cajero bancario automático cadahora. Determinar la probabilidad de que:

a) Cuando menos pasen 10 minutos entre las llegadas de dos clientes.

b) Después de que salga un cliente, no llegue otro cuando menos 20minutos.

c) De que llegue un segundo cliente antes de que pase un minuto despuésde que el primer cliente comienza su transacción bancaria?

249


1) Una empresa dedicada a la investigación de mercados efectúa unaencuesta postal sabiendo que la probabilidad de contestar es de 0,20.

Si se enviaron 20 cartas, hallar la probabilidad de:

a) 8 respuestas,b) no más de 3 respuestas,c) por lo menos 16 sin respuestas.

2) La DGI ha clausurado en promedio 6,4 negocios por mes. Encontrarla probabilidad de que:

a) Ningún negocio sea clausurado durante una semana.b) Entre 3 y 5 negocios sean clausurados durante un mes.

3) La compañía “Click” fábrica encendedores de cigarrillos. Uncomponente importante de este producto es una pequeña rueda deacero dentada que gira y crea la chispa para el encendido. Estarueda de acero está fabricada con un acero comprado por la compañía"Click". La característica más importante del acero es su dureza. Eldepartamento de ingeniería industrial ha especificado que los lingotesde acero deben tener una dureza de cuando menos 425 UnidadesBrinell (UB). Es también conveniente que el material sea uniforme.Se ha decidido comprar todo este material a un solo proveedor, yaque ello implica ahorro en costos. La lista de posibles proveedores seredujo a dos firmas A y B.

a) La dureza media de los lingotes producidos por A es de 510,2 UB,mientras que la dureza media de los lingotes de B es 492,8 Ub.¿Es la calidad de B inferior a la de A? Explicar la respuesta,aclarando cuál es la interpretación del término “calidad”.

b) La dureza de los lingotes producidos por cada proveedor está distribuidanormalmente. La desviación típica de la dureza de los lingotes de A es53,9 UB y la desviación típica de la dureza de los lingotes de B es 31,4Ub. ¿Qué forma presenta mayor uniformidad? Explicar.

c) ¿Cuál es la proporción de lingotes con 425 o más UB producidaspor cada proveedor?

250

d) Sobre la base de la información anterior, ¿qué firma seleccionaríaUd? Fundamentar la respuesta.

e) ¿Qué otros factores además de la calidad, consideraría al hacerla selección del proveedor?

4) La duración de las pilas fabricadas por la compañía “Luxor” estánormalmente distribuida con = 795 minutos y =37 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pila dura entre 775 y 820minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una pila dure más de 800 minutos?c) ¿Existe una probabilidad de 0,95 de que una pila dure menos de

cuántos minutos?d) El 50% de las pilas duran entre —— y ——. Usar límites simétricos

alrededor de la media.

5) La media de las puntuaciones de los exámenes de 80 postulantes esde 75 con un desvió típico de 8. La distribución es normal. Eldepartamento de personal determinó que aquellos postulantes quehayan obtenido 60 puntos o más pasarán a una entrevista. ¿Cuántosde ellos serán entrevistados?

251

Respuestas a los ejercicios de la Unidad VI

Punto 1

1) X: 1 2 3 4 P(X): 1/4 1/4 1/4 1/4 = 4/4 = 1

2) a) 0,25; b) Número de videos del mismo modelo.

c) Eventos simples RRR - RRS - RSR - SRR - SSR - SRS - RSS - SSS Valor de X 1 0 0 0 0 0 0 1

d) X= 0 1

P(X)= 6/8 2/8

Punto 2 y 3

1) CV1= 38,2% - CV

2= 33,51% - Conviene el 2.

2) E(X)= 240 2 = 4.150 = 64,4

Punto 4.1.

1) a) P(X=7) = 0,17708; b) P(X=0) = 0,00047; c) P(X 5) =0,40321d) P(X 8) = 0,21311; e) P(X 3) = 0,00193; f) P(8 X 10) = 0,56962

2) = mp= 5,25 = 1,85 (Aprox. Posson a la Binamial)

Punto 4.2.

1) a) 0,0150; b) 0,4101; c) 0,078

2) 0,9834

252

Punto 5

1) a) 0,0228; b) 0,1587; c) 0,0005; d) 0,1574;e) 0,6687f) 0,6587

2) P(X 5,5)= 0,0179 (Aprox. Normal a la Binomial)

3) P(X 5,5)= 0,9686 (Aprox. Normal a Posson)

253


1) a) 0,02216; b) 0,41145; c) 0,62965

2) a) 0,2019 b) 0,3375

3) a) No, porque ambos cumplen las especificaciones.b) Bc) A= 0,9429 B= 0,9846d) B cumple con todas las condicionese) precio, condiciones de pago, etc.

4) a) 0,4572; b) 0,4443;

c) 855,9 minutos, d) Entre 770 y 820 minutos.

5) 78 postulantes.

255

APÉNDICES

257

Apéndice 1

Distribución Probabilisticas Binomiales

Las anotaciones en la tabla son valores de qp xnxn

x

260

Apéndice 2

Probabilidades acumuladas para distribuciones binomiales

x

0k

knkn

kqp)x(CP

263

Apéndice 3

Probabilidades Poisson

267

Apéndice 4

268

Apéndice 5

Valores de e-

l

269

Err

ores

mu

estr

ales

y n

o m

ues

tral

es

Dia

gra

ma

de

Co

nte

nid

o -

Un

idad

VII

Dis

trib

ució

nen

el m

uestr

eo

Dis

trib

ució

n m

ues

tral

de m

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Teor

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Mue

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les

Dis

trib

ució

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tral

de p

ropo

rcio

nes

Imp

ort

anci

a d

e la

mue

stra

271

DISTRIBUCION EN EL MUESTREO (1)

1. Introducción

Luego de haber estudiado la teoría de las probabilidades como base dela inferencia estadística, se desarrollará la distribución en el muestreo quees un tema fundamental para entender el proceso de inferencia estadísti-ca.

Se analizarán los puntos básicos para el estudio de la “Estimación” y el“Test de Hipótesis”.

2. Importancia de la muestra

En la unidad I (módulo 1) se expusieron algunas características impor-tantes de una muestra. Se hizo referencia a la necesidad de que unamuestra debe ser representativa para que pueda ser usada con fines derealizar inferencias acerca de la población.

Los métodos para seleccionar muestras son muchos, dependiendo delobjetivo del estudio, del tiempo, del dinero y de la naturaleza de los ele-mentos individuales de la población. En este módulo no se desarrollaráeste tema, sino que el mismo será investigado por el alumno a través dela guía propuesta en las actividades de pág. 17. No obstante, se hará ladiferencia entre “muestras probabilísticas” y “muestras no probabilísticas”.

Una muestra “probabilística” es aquella en la que los sujetos de la mues-tra se eligen sobre la base de probabilidades conocidas. En cambio, unamuestra “no probabilística” está basada en los puntos de vista subjetivosde una persona que utiliza su conocimiento y su opinión para identificar loselementos de la población que serán incluidos en una muestra, por ello sedenomina también “muestreo de juicio”.

Las muestras probabilísticas son preferidas porque la selección de loselementos es objetiva y el error muestral puede ser medido en términos

UNIDAD VII

1 Shao, Stephen: "Estadística para Economía y Administración de Empresas", Herrero Hnos.

272

de probabilidad. Si bien una muestra de juicio es fácil de obtenerla y sucosto es bajo, no permite medir el error muestral.

Recuérdese que los valores que describen características de la mues-tra se denominan “estadígrafos” y los valores que describen característi-cas de una población se denominan “parámetros”. Los símbolos a utilizarson:

Medida Muestra Población(Estadígrafo) (Parámetro)

Media xDesviación típica sProporción p pNúmeros de elementos n N

3. Error muestral

La diferencia entre el resultado obtenido de una muestra y el resultadoel cual deberíamos haber obtenido de la población se llama “error muestral”.El error muestral es medido por el error estándar del estadígrafo, en tér-minos de probabilidad, bajo la curva normal (ver punto 5). Esta medidaindica “la precisión” de la estimación de la población basada en una mues-tra. Mientras más pequeño sea el error muestral, mayor precisión hay enla estimación.

Debe hacerse notar que hay errores que se cometen en las encuestas,en las tabulaciones de datos, en los cálculos, etc. que no son debidos a lamuestra por eso se denominan errores “no muestrales”.

4. Distribución en el muestreo

Cuando el tamaño de la muestra (n) es más pequeño que el tamaño dela población (N), pueden extraerse dos o más muestras de la misma po-blación. De cada muestra, puede ser calculado un estadígrafo. Una distri-bución del estadígrafo obtenida de las muestras se denomina “distribuciónen el muestreo del estadígrafo”. Por ejemplo, de una población de tamaño

273

3, con los elementos A, B y C, es posible extraer 3 muestras de tamaño 2(sin reposición). Si se calcula la media de cada muestra, habrá 3 mediasmuestrales. Estas 3 medidas forman una distribución que se denomina“distribución de medias muestrales” o “distribución muestral de medias”.

5. Error estándar

La desviación estándar de una distribución muestral de un estadígrafo,se denomina “error estándar del estadígrafo”. Por ejemplo, la desviacióntípica de la distribución muestral de medias se denomina “error estándarde la media”.

La “desviación estándar” se refiere a los valores originales, mientras queel “error estándar” se refiere a valores calculados. Los estadígrafos sonvalores calculados a partir de una muestra.

6. Distribución muestral de medias

Tómese como ejemplo, esta población finital pequeña compuesta porlos jornales de 4 trabajadores de una empresa industrial.

Trabajador A B C D

Jornal ($) 2 5 6 3

La media es 4$416Nxi

La desviación típica es 58,1$N

)x( 2

A continuación se obtendrá todas las muestras posibles de tamaño 2 yse calculará la media para cada una (El muestreo es sin reposición).

6!2!2

!4CC

24rn combinaciones posibles

274

Muestras Jornales Medias muestrales

A - B 2 - 5 3,5 A - C 2 - 6 4,0 A - D 2 - 3 2,5 B - C 5 - 6 5,5 B - D 5 - 3 4,0 C - D 6 - 3 4,5

24,0

El total de las 6 medias muestrales es 24, por lo tanto, la media de lasmedias muestrales es:

4$624X

Esta media es igual a la media de la población.

Las medias muestrales pueden presentarse en la siguiente distribución:

Medias Muestrales (X) Número de medias muestrales (f)

2,5 13,5 14,0 24,5 15,5 1

6

La media de esta distribución puede calcularse:

4$6

24X

El desvío típico de la distribución muestral de medias (Simbolizado por

x) se puede obtener por la fórmula:

91,083,046

110x

n

fxx

222

x ;

275

El desvío típico obtenido es el “error estándar de la media”, que en lapráctica se calcula por:

nx (1)

Si la población es finita, se agrega el factor de corrección, o sea:

1NnN

nx (2)

En el ejemplo = 1,58 ; N = 4 ; n= 2

91,01424

2

58,1x

En resumen:

La distribución de las medias obtenidas de todas la muestras posibles,se denomina distribución muestral de medias. La media de esta distribu-ción es igual a la media poblacional y la desviación típica es igual al errorestándar de la media. El error estándar disminuye a medida que aumentael tamaño de la muestra.

7. Distribución muestral de proporciones

La distribución en el muestreo de la proporción es un conjunto de pro-porciones de todas las muestras posibles del mismo tamaño, extraídas deuna población.

Hay 4 empleados en una empresa, A, B, C y D. Los empleados A y B sonprofesionales universitarios; C y D son no profesionales. Supóngase los 4empleados como una población.

Desígnese con el valor 1 a un profesional y con 0 a un no profesional.

276

Empleado X La proporción de los profesionales es

A 1

B 1 50,042

p Parámetro y el desvío típico:

C 0D 0

2 50,0)50,0(50,0q.p

Se obtendrán todas las muestras posibles (sin reposición) de tamaño 3y se calculará la proporción de profesionales.

Muestra Proporción muestralABC 2/3 = 0,67ABD 2/3 = 0,67ACD 1/3 = 0,33BCD 1/3 = 0,33

2,00

La media de las proporciones muestrales es:

50,0400,2

p ==== igual a la proporción

de la población.

El error estándar de la proporción obtenida por la fórmula 22 (Módulo 3) es:

p = 0,17

El cálculo del error estándar de la proporción se simplifica por:

(3) 1NnN

nq.p

onq.p

pp (4)

para poblacionesfinitas

17,01434

3)50,0(50,0

p

277

8. Teorema del límite central

Como resulta impracticable obtener todas las medias muestrales la dis-tribución normal se utiliza para aproximar las probabilidades de las mediasmuestrales en un a distribución muestral. La normalidad de la distribuciónmuestral de medias queda establecida en el “teorema del límite central”cuyo enunciado dice:

- Si una población es bastante grande y está normalmente distribuida,la distribución de las medias muestrales también será normal.

- Si una población no está normalmente distribuida, la distribuciónmuestral de medias se aproximará a una distribución normal si eltamaño es suficientemente grande.

La distribución normal de las medias muestrales tiene una media igual aE(X) y el error estándar x. Si se desconocen los valores de y x, puedenestimarse a partir de X y S. El erro estándar estimado a partir de S, seobtiene por:

n

SS (5)

Ejemplo:

La media de las cuentas a cobrar de 1.500 clientes en una tienda es de$250 y una desviación típica de $45. ¿Cuál es la probabilidad de seleccio-nar una muestra aleatoria de 100 cuentas con una media de $260 y más?

n

xxZ

x (6)

22,25,4

10

10045

250260Z

Area entre 0 y 2,22 = 0,4860,50 - 0,4868 = 0,0132P (X ³ $ 260) = 0,0132

250 260

278

Cuando N es grande y el tamaño de la muestra n, es pequeña, el factorde corrección

1NnN

se aproxima a 1, por lo tanto puede obviarse y utilizar sólo

nq.p

on px

según corresponda para el cálculo del error estándar.

279

Actividad Nº 36

1) Contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuáles son las principales características de una muestra?b) ¿Qué diferencia hay entre un parámetro y un estadígrafo?c) ¿Qué diferencia hay entre error muestral y erro no muestral?d) ¿A qué se denomina distribución en el muestreo?e) ¿Qué mide el error estándar? ¿Cómo se obtiene este error?f) ¿Por qué es importante el teorema del límite central?

2) Las pólizas vendidas por 5 vendedores de seguros durante un períododado son:

Vendedor A B C D EPólizas Vendidas 2 3 4 5 1

I) Considerar los 5 vendedores como una población.a) Obtener la media aritmética y la desviación típica.

II) Elegir todas las muestras posibles de tamaño 2 (sin reposición).a) Obtener las medias de todas las muestras posibles.b) Construir un a distribución muestral de medias.c) Obtener la media de la distribución muestral y el error estándar

de la media.

3) Con los datos de la población del ejercicio (2), elegir todas las muestrasposibles de tamaño 3 (sin reposición) y realizar las mismas actividadesconsignadas en el punto II.

4) La duración promedio de 2.000 baterías producidas por una compañíaes de 38 meses y una desviación típica es de 8 meses. ¿Cuál es laprobabilidad de seleccionar una muestra al azar de 50 baterías conuna duración de por lo menos 35 meses?

5) De 50.000 familias en una ciudad, el 30% no tiene televisión porcable. Determinar la probabilidad de seleccionar una muestra aleatoriade 500 familias con una proporción de 33% o más.

280

6) Consultar la bibliografía consignada en el programa y desarrollar lasiguiente guía de estudio sobre el tema Métodos de Muestreo.

a) Efectúe una lectura global sobre el tema de referencia.b) Lea atentamente el tema "Muestras Probabilísticas".

b.1. Conteste: a qué se denomina "muestra probabilística".b.2. Cuáles son los 4 tipos de muestras probabilísticas?

c) Lea el tema "Muestreo Simple al Azar".c.1. Explique el procedimiento de este tipo de muestreo.c.2. Supóngase que los 70 alumnos de una carrera reciben núme-

ros de identificación del 01 al 70. Se desea entrevistar a 10 deellos eligiéndolos aleatoriamente. Utilizando la tabla de núme-ros aleatorios, cuáles serán los seleccionados? (Ver Anexo I)

c.3. ¿Cuáles son las principales ventajas y desventajas de estetipo de muestreo?

d. Lea el tema sobre "Muestreo sistemático"d.1. Explique el procedimiento de este tipo de muestreo.d.2. ¿Cómo seleccionaría la muestra del punto c.2. por este mé-

todo?d.3. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas del muestreo siste-

mático?e. Lea el tema "Muestreo Estratificado".

e.1. Explique en qué consiste este diseño de muestra.e.2. Supóngase que de un total de 1.000 empleados de una gran

compañía, se desea obtener una muestra de 100 para unainvestigación. El número total de empleados se distribuyesegún su instrucción.

Instrucción Nº de Trabajadores

Primaria 50Secundaria 500Superior No Univ. 150Superior Univ. 300

1.000

a) ¿Cómo seleccionaría la muestra estratificada proporcional?b) ¿Cómo seleccionaría la muestra estratificada no proporcional?c) ¿Cuál de las dos es más apropiada?

281

e.3. Señale ventajas y desventajas de este diseño de muestra.f. Lea el tema "Muestreo por Conglomerados"

f.1. ¿En qué consiste este tipo de muestreo?f.2. ¿Qué diferencias hay con el muestreo estratificado?f.3. Determine ventajas y desventajas.

g. Lea el tema "Muestras no Probabilísticas".g.1. A qué se denomina "muestras no probabilísticas?g.2. Explique cuál es la diferencia con las muestras probabilísticas?g.3. Señale, en general, ventajas y desventajas.

282

Respuestas a los ejercicios de la Unidad VII

1) Consultar el marco teórico del módulo y de la bibliografía.

2) I) = 3 = 1,41

II) a) 10 muestras

b) Media 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Nº de muestras 1 1 2 2 2 1 1 = 10

c) Media: 3 pólizas Error estándar de la media = 0,87

3)a) 10 muestras

b) Media 2,0 2,33 2,67 3,0 3,33 3,67 4,0 Nº de muestras 1 1 2 2 2 1 1 = 10

c) Media: 3 pólizas Error estándar de la media = 0,58

4) P (X ³ 35 meses) = 0,9960

5) P (X ³ 0,33) = 0,0668

283

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VIII

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285

TEORÍA CLÁSICA DE LA ESTIMACIÓN

1. Introducción

Por lo general, los parámetros de la población son desconocidos y sehace necesario estimarlos a partir de valores muestrales (estadígrafos).El empresario recurre a las estimaciones por cuanto sus decisiones sebasan en una información incompleta y con una gran incertidumbre. Laestimación, una de las bases de la inferencia estadística, permitirá la ge-neralización respecto de las características de la población a partir de lainformación de las muestras.

2. Estimador y Estimación

- Un estimador es un estadígrafo con el cual se estima un parámetropoblacional. La media muestral (X), por ejemplo, puede ser un estimadorpara la media población (m).

- Estimación es un valor específico observado de un estadígrafo.Supóngase que se toma una muestra de focos y se prueban paradeterminar la duración media que es X = 4.000 hs. Si nos servimos deeste valor específico para estimar la duración media de todos los focos,el valor 4.000 hs. será una estimación.

3. Tipos de Estimaciones

Una estimación de un parámetro puede ser expresada de dos maneras:“por punto” y “por intervalo”.

- Una estimación puntual es un número único que se utiliza para estimarel parámetro. Si en el ejemplo anterior se afirma que la duración mediade los focos es de 4.000 hs., se está haciendo una estimación puntual.Este tipo de estimación es insuficiente ya que hay un acierto o unaequivocación. Si la estimación de 4.000 hs. es equivocada, no se conoceel grado de error y no hay seguridad de la confiabilidad de la estimación.

UNIDAD VIII

286

Si el margen es de solamente de 50 hs., 4.000 hs. puede ser unabuena estimación, pero si el error es de 500 hs., se rechazará comoestimación. Esta estimación debe incluir una estimación del error (2).

- “La estimación por intervalos” es una gama o recorrida de valoresdentro del cual se puede esperar que esté el parámetro. Si la estimaciónde la duración de los focos se expresa como entre 3.950 hs. y 4.050hs., es una estimación por intervalo. Este tipo de estimación indica elerror por el grado de su intervalo y por la probabilidad de que elverdadero parámetro se encuentre dentro de él.

4. Propiedades de un buen estimador

La calidad de un estadígrafo como estimador se puede evaluar de acuerdoa los siguientes criterios:

a) Insesgabilidad. Se dice que un estadígrafo es un estimador insesgadode la población si el valor esperado de su distribución muestral esigual al parámetro poblacional.

X es un estimador insesgado de , ya que E(X) = p es un estimador insesgado de P, ya que E(p) = P

b) Consistente. Debido al error de muestreo, un estimador,generalmente, no es idéntico al parámetro a estimar. Un estimadores consistente si al aumentar el tamaño de la muestra, se logra unaseguridad casi absoluta de que el valor del estadígrafo se acercamucho más al valor del parámetro de la población.

c) Eficiencia. La eficiencia hace referencia al tamaño del error estándardel estadígrafo. Un estimador es más eficiente que otro si el primerotiene un error estándar menor. Un estimador con esta propiedadtiene mayor probabilidad de lograr una estimación más cercana alparámetro poblacional.

d) Suficiencia. Un estimador es suficiente si utiliza la información de lamuestra, de modo tal que ningún otro estimador proporcione másinformación de esta muestra referente al parámetro de la población.

2. Levin, Richard, "Estadística para Administración". Ed. Prentice-Hall.

287

5. Estimaciones puntuales

La media muestral es el mejor estimador de . Cumple con todas laspropiedades mencionadas en el punto anterior. Si la muestra es grande sudistribución muestral puede aproximarse a una distribución normal. Alconocer la distribución muestral de X se puede realizar una estimaciónbasada en la muestra.

Recordar que la X se obtiene con la fórmula ya conocida:

n

xx i

En cuanto a la varianza, se utilizó la siguiente fórmula al estudiar lasmedidas de dispersión (unidad IV).

nxx

22s

Pero al utilizar S2 como estimador de 2, la fórmula anterior se vuelve:

1nxx

22s (7)

Al usar n-1, se obtiene un estimador insesgado de s. Si se hubieratrabajado sólo con n, el valor tendría algún sesgo.

Ejemplo: Una compañía desea conocer el número de pólizas vendidasdurante por los vendedores. Obtiene los siguientes datos durante unasemana con una muestra de 20 vendedores.

1 2 2 3 3 3 4 4 5 55 6 6 7 8 8 9 10 10 10

9,226,8S26,8S6,520111

x 2

288

Actividad Nº 37

Ejercicios - Puntos 1 al 5

1) Contestar las siguientes preguntas:

a) Diferenciar entre “estimador” y “estimación”.b) Explicar la ventaja que tiene una estimación por intervalo sobre el

estimación puntual.

2) Indicar si los siguientes enunciados son correctos (C) o incorrectos(I).

a) ____Se dice que un estimador es eficiente del parámetropoblacional, con un tamaño creciente de la muestra, se tiene casila certidumbre de que el valor del estadístico se acerca más alparámetro poblacional.

b) ____El intervalo es una gama de valores que se usan para estimarla forma de la distribución de una población.

c) ____Cuando se elige un estimador del parámetro poblacional, lapropiedad más importante para evaluar su calidad es lainsesgabilidad.

3) El propietario de una sala de espectáculos está considerando laposibilidad de ampliar su capacidad y necesita conocer el númeropromedio de personas que asisten a los distintos espectáculos y lavariación de dicho número. La asistencia a 9 espectáculosseleccionados, aleatoriamente (en miles) fue:

13,0 8,5 14 20,5 7,6 12,5 20,6 14,2 10,2

Obtener las estimaciones puntuales de la media y la varianza de lapoblación.

289

6. Estimación por intervalo

6.1 Introducción

Ya se definió en el punto 3 que la estimación por intervalo indica ungrado de error. Si se estima la duración media de los focos fabricados poruna compañía, se puede seleccionar una muestra de 300 unidades através de un control de calidad cuya X = 4.000 hs. Se sabe que la desvia-ción típica de la población es de 1.500 hs.

Si se utiliza X para estimar , se hace necesario un dato sobre laincertidumbre que acompaña a esta estimación, o sea establecer un inter-valo donde posiblemente se encuentre la media poblacional desconocida.Por lo expresado, se necesita obtener “el error estándar de la media”.

Por el teorema del límite central, la distribución muestral de medias seaproxima a una distribución normal. Recuérdese que la dispersión de ladistribución muestral se mide a través del error estándar. Como n = 300 esuna muestra bastante grande, se puede aplicar el teorema de referencia.

El error estándar de la media es:

.hs6,86300

1500

nx

Ese resultado es el error estándar que acompaña a la estimación. Esdecir, la duración media verdadera de todos los focos puede estar en elintervalo entre 3.913,4 y 4.086,6. No obstante, falta determinar la proba-bilidad de que la verdadera duración de los focos se halle en el intervalo.

Por regla de la normal (Unidad VII) hay una probabilidad de 0,683 de quela media de una muestra de tamaño 300 se encuentre dentro de un errorestándar positivo y negativo de . En otras palabras el 68,3% de todas lasmedias muestrales se encuentra a un error estándar positivo o negativode m . En el ejemplo de la duración de focos, hay una confianza del 68,3%de que la duración se encuentre en el intervalo 3.913,4 o 4.086,6 (4.000± 1 ). Análogamente:

- 3.826,9 a 4.173,2 hs. con el 95,5% de confianza (4.000 ± 2 ).

- 3.740,2 a 4.259,8 hs. con el 99,7% de confianza (4.000 ± 3 ).

290

6.2 Nivel e Intervalo de Confianza

- La probabilidad asociada a una estimación por intervalo se denominanivel de confianza. Por ejemplo 80%; 90%; 95%; 99% y otros. El nivel deconfianza se expresa como 1 - .

- El intervalo de confianza es la estimación, es decir el recorrido den-tro del cual se espera que se encuentre el parámetro. Como estamostrabajando con una distribución normal estándar, la diferencia entre elvalor de x y su media, expresada en términos de su desviación típica estádada por z. El valor de z es igual al número de desviaciones típicas. Por lotanto, los intervalos de confianza se expresan como:

x + zsx límite superior de intervalo de confianza

x - zsx límite inferior de intervalo de confianza

Si se estima la duración media de los focos con 90%(*) el intervalo deconfianza es:

4000 + 1,64 (86,6) = 3.858 a 4.142

(*) Para 1 - a = 90%, z = 1,64 (ver la tabla)

Una proporción 1 - a del área bajo la curva normal estándar queda entre-z a /2 y z a /2.

Si 1 - = 90% = 0,10 y / 2 = 0,05.

Interpretación

La estimación obtenida anteriormente no significa que haya una proba-bilidad de 0,90 de que la duración media de todos los focos se encuentredentro del intervalo establecido, sino que debe interpretarse así:

x x

291

“Si se seleccionan muchas muestras aleatorias de tamaño 300 y secalcula el intervalo de confianza de todas esas muestras, en el 90% deellas, la media de la población se encuentra dentro de ese intervalo”.

Valores de z para los coeficientes de confianza más utilizados:

1 - 50% 68,27% 90% 95% 95,45% 99% 99,73%

z 0,6745 1,00 1,645 1,96 2,00 2,58 3,00

6.3 Cálculo de Estimaciones por intervalos para muestras grandes

6.3.1 Estimación de una media poblacional

Si se conoce el desvío estándar de la población, el error estándar secalcula como:

nx

x

por lo tanto el intervalo de confianza para estimar m se obtiene de lasiguiente manera:

xx .2/zx2/zx (8)

Si el desvío estándar de la población se desconoce, se utiliza el desvíoestándar de la muestra, S para estimar .

De acuerdo a lo estudiado en el punto 5 de la unidad, se estima por:

nS

)xx( 2

En este caso, el error estándar de la media se obtiene:

n

SSx (9)

siendo los límites de confianza x + Sx

292

Ejemplo: El Dpto. de Personal de una empresa está interesada en es-timar el número promedio de días que los empleados faltaron por razonesparticulares. Un análisis de los legajos de 49 trabajadores elegidos al azardio una media de 12 días. Si el desvío estándar poblacional es de 2,5 días,determinar el intervalo de confianza del 95% para el verdadero promedio.

x ± z12 ± 1,96 (2,5 / 49)12 ± 1,96 (0,36)

11,3 12,7

Determinación del tamaño de la muestra para la estimación

En la distribución normal

± z x = ± E y E = z

E = es el error muestral o sea la diferencia entre x y

En el problema anterior E = 1,96 (0,36) = 0,7

E.z

nyn

.zE

E.z

n2

(10)

donde:

E: error muestral máxima que se acepta.z: se establece mediante el nivel de confianza.

: desvío estándar de la población que si se desconoce se puede estimarpor .

Ejemplo: Supóngase que el Jefe de Personal desea estimar la media deinasistencia utilizado la misma desviación típica y con el mismo nivel deconfianza pero acepta como error máximo 0,5. El tamaño de la muestraque deberá elegir es:

293

9604,96)5,0(

)5,2(.)96,1(n

2

22

trabajadores

6.3.2 Estimación de la proporción de la población

Para construir un intervalo de confianza para estimar la proporciónpoblacional se debe utilizar la distribución binomial. Como los cálculos deprobabilidades binomiales son complejos, se puede aproximar por mediode una distribución normal que puede servir para aproximar la distribuciónmuestral. Para aproximarse debe cumplir que:

q.p.nynpdonde,5npy30n

La proporción de éxitos en la muestra se expresa por p. Como np esigual al número medio de éxitos, se divide np entre n para obtener sólo aproporción p. La media de la distribución muestral de proporciones es:

p = p

Análogamente, se modifica la desviación típica dividiendo q.p.n entren para convertir número de éxitos en proporción de éxitos. La desviaciónestándar de la proporción de éxitos se representa por:

nq.p

p error estándar de la proporción

Si se desconoce la proporción de la población:

nq.p

Sp (11)

Por lo tanto el intervalo de confianza para estimar la proporción de lapoblación p es;

pp 2/zpp.2/zp (12)

Si se desconoce la proporción de la población:

pS2/zp

294

Ejemplo: Otro problema del jefe del personal es estimar la verdaderaproporción de legajos de los empleados que están incompletos. Elige unamuestra de 50 legajos y encuentra 14 incompletos. Determinar el intervalode confianza del 99% para p.

28,05014

p

pS.2/zp

50)72,0(28,0

.58,228,0

44,0p12,0

Determinación del tamaño de la muestra para estimar la proporción dela población

zE

nq.p

onq.p

.zzE p

donde:

2

2

z

Enq.p

2

2

E

q.p.zn (13)

Ejemplo: Supóngase que para la estimación del ejercicio anterior, eljefe desea un error no mayor de 0,10. El tamaño de la muestra será:

2,134)10,0(

)72,0(.)28,0(.)58,2(n

2

2

legajos134n

295

6.3.3 Estimación de la diferencia entre dos medias

Si dos medias muestrales x1 y x

2 son independientes, el procedimiento

para construir el intervalo de confianza para (delta), verdadera entre lasdos medias poblaciones 1 y 2 es similar a los anteriores.

2D .2/zD.2/zD (13)

Siendo D = x1 - x

2

D error estándar de la diferencia de medias

2

22

1

21

D nn (15)

se puede estimar a partir de S2 cuando se desconoce la varianza de lapoblación.

Ejemplo: se desde estimar la verdadera diferencia de medias en laduración de dos marcas de baterías. Se obtiene los siguientes datos.

Marca A Marca BTamaño de la muestra n

1 = 100 n

2 = 100

Media muestral x1 = 38 meses x

2 = 35 meses

Varianza poblacional 12 = 36 meses 1

2 = 25 meses

Obtener el intervalo de confianza del 95% para , verdadera diferenciade las dos medias:

33538Dnn

2/zD2

22

1

21

10025

10036

96,13

)78,0(96,13

meses5,45,1

296

Actividad Nº 38

Ejercicios del punto 6

1. Una fábrica de golosinas desea estimar el peso medio de los paquetesde caramelos envasados automáticamente por una máquina. De laproducción de un día se sacó una muestra de 120 paquetes y seobtuvo una media de 855 gramos y un desvío típico de 47 gramos.Estimar m con un nivel de confianza de 99%.

2. La oficina de Extensión Universitaria de una Universidad desea estimarla proporción de ingresantes que estudiarán carreras humanistas.Selecciona aleatoriamente una muestra 80 fichas de inscripción yencontró que 12 ingresantes estudiarán dichas carreras. Estimar pcon un nivel de confianza de 95%.

3. Un examen estándar se aplica a un grupo de estudiantes de nivelsuperior universitario y a un grupo de estudiantes de nivel superior nouniversitario. Se obtienen los siguientes docentes:

Sup. Univ. Sup. No Univ.Muestra n

1 = 72 n

2 = 36

Puntuación media x1 = 84 x

2 = 80

Varianza 12 = 40 1

2 = 64

Determinar el intervalo de confianza del 90% para la verdaderadiferencia de medias entre las puntuaciones medias de ambos gruposde estudiantes.

4. Supóngase que es la estimación de ejercicio 1, se pretende que elerror de la estimación no sea mayor a 3 gramos. ¿Cuál debe ser eltamaño de la muestra para dicha estimación?

5. Si en el ejercicio 2, se desea un error máximo de 2,5%, ¿cuál debeser el tamaño de la muestra para la estimación?

6. Se realiza un estudio sobre el ingreso de los operarios de una grancompañía metalúrgica. Una muestra de 100 operarios dio comoresultado ingreso medio de $520 y una desviación típica de $30. De

297

esos 100 trabajadores, se encontró que 20, tenían un ingreso menora $350.

a) Estimar con el 95% de confianza, la verdadera media de ingresode todos los operarios.

b) Estimar con el 95% de confianza, la verdadera proporción deoperarios con ingresos menores de $350.

298

Respuestas a los ejercicios de la Unidad VIII

Puntos 1 al 5

1) Consultar el marco teórico del módulo.

2) a) I ; b) I ; c) I

3) = 13,5 = 4,6

Punto 6

1) 843,9 866,1

2) 0,07 p 0,23

3) 1,49 6,51

4) n = 16,34

5) n = 784

6) a. 514,12 525,88

b. 0,12 p 0,28

299

TE

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DE

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SP

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trib

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Diagrama de Contenidos - Unidad IX

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UNIDAD V TEORIA DE LAS...

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