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Manual de
Probabilidades
Garcia Soria Alvaro
2
1.- Estadística:
La estadística es una ciencia que estudia la
recolección, análisis e interpretación de datos,
ya sea para ayudar en la toma de decisiones o
para explicar condiciones regulares o
irregulares de algún fenómeno o estudio
aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o
condicional. Sin embargo estadística es más
que eso, en otras palabras es el vehículo que
permite llevar a cabo el proceso relacionado
con la investigación científica.
Estadística
Métodos
Y
Técnicas
Recolecta
Ordena
Clasifica
Grafica
Interpreta
Analiza
Infiere
3
Clases de Estadística
Estadística Descriptiva:Se dedica a los métodos
de recolección, descripción, visualización y
resumen de datos originados a partir de los
fenómenos de estudio. Los datos pueden ser
resumidos numérica o gráficamente.
Estadística Inferencial: Se dedica a la
generación de los modelos, inferencias y
predicciones asociadas a los fenómenos en
cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de
las observaciones. Se usa para modelar
patrones en los datos y extraer inferencias
acerca de la población bajo estudio.
Estadística
Descriptiva
Estadística
Inferencial
Estadística
General Teoría De
Probabilidades
4
Población:
Una población se precisa como un conjunto
finito o infinito de personas u objetos que
presentan características comunes.
Muestra:
Se llama muestra a una parte de la población a
estudiar qué sirve para representarla.
Población Diana:
Es el grupo de personas a la que va proyectado
dicho estudio, la clasificación característica de
los mismos, lo cual lo hace modelo de estudio
para el proyecto establecido.
5
Variables:
6
Organización de los Datos:
1- Datos Brutos
2- Datos Ordenados(Arreglo de Datos)
3- Distribución de Frecuencias
Datos Cualitativos Ejemplo: Tipos de Películas
X1=Comedia
X2=Policial
X3=Acción
X4=Policial
X5=Terror
X6=Comedia
X7=Acción
X8=Terror
X9=Terror
X10=Comedia
X3=Acción
X7=Acción
X1=Comedia
X6=Comedia
X10=Comedia
X2=Policial
X4=Policial
X5=Terror
X8=Terror
X9=Terror
Datos
Brutos
Arreglos de
Datos
7
Tabla Nº1
Pref. de tipo de películas
TipoPeli Cant %
Acción 2 20
Comedia 3 30
Policial 2 20
Terror 3 30
Fuente: Elab. Propia
Grafico Nº1
Fuente: Elab. Propia
Pictogramas
Pref. de tipo de películas
Accion
Comedia
Policial
Terror
8
Ejemplo: Tipos de Gaseosas
X1=Inka Cola
X2=Sprite
X3=Coca Cola
X4=Kola Real
X5=Coca Cola
X6=Inka Cola
X7=Sprite
X8=Inka Cola
X9=Coca Cola
X10=Inka Cola
X11=Kola Real
X12=Inka Cola
X13=Coca Cola
X14=Sprite
X15=Guaraná
X3=Coca Cola
X5=Coca Cola
X9=Coca Cola
X13=Coca Cola
X15=Guaraná
X1=Inka Cola
X6=Inka Cola
X8=Inka Cola
X10=Inka Cola
X12=Inka Cola
X4=Kola Real
X11=Kola Real
X2= Sprite
X7=Sprite
X14=Sprite
Datos
Brutos
Arreglos de
Datos
9
Tabla Nº2
Tipo de Gaseosa
Gaseosa Cant %
CocaCola 4 27
Guaraná 1 7
InkaKola 5 33
KolaReal 2 13
Sprite 3 20
Fuente: Elab. Propia
Grafico Nº2
Fuente: Elab. Propia
Pictogramas
Tipo de Gaseosa
CocaCola
Guaraná
IncaKola
KolaReal
Sprite
10
Datos Cuantitativos Discretos:
Clase (xi)
Los diferentes tipos de datos
Frecuencia absoluta(fi)
Las veces que se repite cada clase
Frecuencia Absoluta Acumulada(Fi)
Suma sucesiva de las fi
Frecuencia Relativa(hi)
El tanto por uno de la fi
Frecuencia Relativa Acumulada(Hi)
Suma sucesiva de hi
11
Ejemplo: Se ha encuestado a 20 alumnos de la
universidad para saber cuántos hermanos
tienen y se ha obtenido las siguientes
repuestas.
X1=3
X2=1
X3=0
X4=1
X5=0
X6=2
X7=4
X8=2
X9=3
X10=1
X11=3
X12=2
X13=3
X14=4
X15=1
X16=0
X17=1
X18=3
X19=2
X20=0
Procedimiento:
1º Calcular Rango
R=DM-dm
R=4-0
R=4
2ºR+1=Clase
3º Confeccionar Distribucion de Frecuencias
12
Tabla Nº3
Numero de hermanos de alumnos UPA
Xi fi F i hi H i
0 4 4 0.20 0.20
1 5 9 0.25 0.45
2 4 13 0.20 0.65
3 5 18 0.25 0.90
4 2 20 0.10 1.00 Fuente: Elab. Propia
Representación Grafica
Fuente: Elab. Propia
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
fi
fi
13
Fuente: Elab. Propia
Fuente: Elab. Propia
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
Fi
Fi
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4
hi
hi
14
Fuente: Elab. Propia
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 1 2 3 4 5
Hi
Hi
15
Continuas:
1. ¿Los datos son Enteros?
Si Pasar a 2º
No
d=numero de decimales
2. Calcular Rango
R=DM-dm
3. ¿ R>9 ?
Si Ir a 4º
No Hacer el procedimiento
de variable discreta
4. Calcular k (Numero de Intervalos)
5. Calcular m (Amplitud del Intervalo)
6. Calcular R’
7. Calcular Exceso
E=Par
Pasar a 2º
16
E=Impar
8. Hacer D,F,V,C
Ejemplo:Se ha desarrollado una encuesta a 30
alumnos de la UPA para saber la talla y su peso.
X1=1.70 - 55
X2=1.68 - 68
X3=1.49 - 56
X4=1.82 - 86
X5=1.66 - 58
X6=1.75 - 72
X7=1.63 - 59
X8=1.73 - 77
X9=1.48 - 51
X10=1.66 - 57
X11=1.63 - 57
X12=1.70 - 70
X13=1.68 - 71
X14=1.77 - 68
X15=1.65 - 70
X16=1.73 - 68
X17=1.67 - 52
X18=1.73 - 64
X19=1.69 - 65
X20=1.55 - 60
X21=1.61 - 58
X22=1.57 - 73
X23=1.60 - 59
X24=1.72 - 65
X25=1.70 - 75
X26=1.49 - 52
X27=1.67 - 70
X28=1.73 - 68
X29=1.77 - 70
X30=1.48 - 52
Talla
1. ¿Los datos son Enteros?
No
17
2. R=DM-dm
3. R>9?
Si
4. Calcular k
5. Calcular m
6. Calcular R’
7. Calcular Exceso
8.
18
Talla de alumnos UPA
[Li - Ls> Xi Tarta fi F i hi H i
1,47 - 1,53 1,50 llll 4 4 0,13 0,13
1,53 - 1,59 1,56 ll 2 6 0,07 0,20
1,59 - 1,65 1,62 llll 4 10 0,13 0,33
1,65 - 1,71 1,68 lllllllllll 11 21 0,37 0,70
1,71 - 1,77 1,74 llllll 6 27 0,20 0,90
1,77 - 1,83 1,80 lll 3 30 0,10 1,00
Fuente: Elab. Propia
f2 = 2 Hay 2 alumnos que tiene su talla entre
1.53 y 1.58
F4=21 Hay 21 alumnos que tienen su talla
entre 1.47 y 1.70
h3=0.13 El 13% de alumnos tienen su talla
entre 1.59 y 1.64
H5=0.90 El 90% de alumnos tienen su talla
entre 1.71 y 1.76
19
Representación Grafica
Fuente: Elab. Propia
Fuente: Elab. Propia
0
2
4
6
8
10
12 Talla de alumnos UPA
fi
f i
0
5
10
15
20
25
30
35
1,47 1,500 1,560 1,620 1,680 1,740 1,800
Talla de alumnos UPA
Fi
20
Fuente: Elab. Propia
Fuente: Elab. Propia
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4 Talla de alumnos UPA
hi
h i
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,47 1,500 1,560 1,620 1,680 1,740 1,800
Talla de alumnos UPA
H i
21
Peso
1. ¿Los datos son Enteros?
Si
2. R=DM-dm
3. R>9?
Si
4. Calcular k
5. Calcular m
6. Calcular R’
7. Calcular Exceso
22
Peso de alumnos UPA
[Li - Ls> Xi Tarta fi F i hi H i
51 - 57 54 llllll 6 6 0,20 0,20
57 - 63 60 lllllll 7 13 0,23 0,43
63 - 69 66 llllll 6 19 0,20 0,63
69 - 75 72 llllllll 8 27 0,27 0,90
75 - 81 78 ll 2 29 0,07 0,97
81 - 87 84 l 1 30 0,03 1,00
Fuente: Elab. Propia
Representación Grafica
Fuente: Elab. Propia
0
2
4
6
8
10
51 54 60 66 72 78 84 87
Peso de alumnos UPA
fi
f i
23
Fuente: Elab. Propia
Fuente: Elab. Propia
0
5
10
15
20
25
30
35
51 54 60 66 72 78 84
Peso de alumnos UPA
Fi
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
51 54 60 66 72 78 84 87
Peso de alumnos UPA
hi
h i
24
Fuente: Elab. Propia
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
51 54 60 66 72 78 84
Peso de alumnos UPA
Hi
25
Media Aritmética (Promedio) ( )
La media aritmética es un promedio estándar
que a menudo se denomina "promedio".
Datos No Agrupados (Pocos Datos)
Datos Agrupados (muchos Datos)
26
Ejemplo Nº1:
Edad de 4 alumnos
José = 19
Carlos= 21
Manuel= 18
Miguel= 21
¿Cual es la edad promedio?
X1=19
X2=21
X3=18
X4=21
27
Ejemplo Nº2:
Edad
Xi Fi Fi x Xi
18 9 162
19 5 95
20 6 120
21 15 315
22 5 110 n=40
[Li - Ls> Xi fi u u x fi
15-20 17,5 7 -2 -14
20-25 22,5 16 -1 -16
25-30 27,5 22 0 -30 35
30-35 32,5 17 1 17
35-40 37,5 9 2 18
28
Mediana (Me)
Es el valor que ocupa el lugar central de todos
los datos cuando éstos están ordenados de
menor a mayor.
Datos No Agrupados:
Procedimiento:
A. Ordenar de mayor a menor o viceversa
B. ¿Numero de datos es impar?
a. Si Ubicar el dato Medio
El datop es la Mediana = Me = Xp
Ejemplo:
3 – 11 – 7 – 2 – 5 – 6 – 3
2 - 3– 3 – 5 – 6 – 7 – 11
Me=Xp
Me=X4
Me=5
29
b. No
Ejemplo:
1.70 – 1.62 – 1.35 – 1.84 – 1.62 – 1.71
Agrupando de mayor a menor
1.84 – 1.71 – 1.70 – 1.62 – 1.62 – 1.35
P=3.5
30
Datos No Agrupados:
Discretos:
Utilizar Fi
Si
Ejemplo 1:
Xi fi F i
0 4 4
1 3 7
2 6 13
3 2 15
31
Ejemplo 2:
Xi fi F i
0 1 1
1 4 5
2 2 7
3 5 12
4 2 14
32
Continuos:
[Li-Ls> fi F i
1,40 - 1,50 5 5
1,50 - 1,60 7 12
1,60 - 1,70 12 24
1,70 - 1,80 10 34
1,80 - 1,90 6 40
33
Moda (Mo):
Es el fenómeno o dato que mas veces se repite.
A. Datos Cualitativos
E.C. Cant
S 14
C 12
V 18
D 3
Color Cant
Azul 14
Crema 15
Rojo 18
Verde 13
B. Datos Cuantitativos
a. Discretos
Xi fi
0 5
1 7
2 3
3 7
4 2
No es coherente
calcular. No en
este cuadro
Bimodal
34
b. Continuos
[Li - Ls> fi
1,40 - 1,50 5
1,50 - 1,60 7 j-1
1,60 - 1,70 9 j
1,70 - 1,80 6 j+1
1,80 - 1,90 3
35
Ejercicio:
Kilos
[Li - Ls> fi F i
45-50 15 15 j1-1
50-55 18 33 j1
55-60 13 46 j1+1
60-65 16 62 j2-1
65-70 18 80 j2
70-75 11 91 j2+1
36
Cuantiles (C)
Los cuantiles son valores de la distribución que
la dividen en partes iguales, es decir, en
intervalos, que comprenden el mismo número
de valores. Los más usados son:
Cuartiles :
Ejemplo:
[Li - Ls> fi F i
45-50 15 15
50-55 18 33
55-60 13 46
60-65 16 62
65-70 18 80
70-75 11 91
37
Deciles :
Ejemplo:
[Li - Ls> fi F i
45-50 15 15
50-55 18 33
55-60 13 46
60-65 16 62
65-70 18 80
70-75 11 91
38
Percentiles :
Ejemplo:
[Li - Ls> fi F i
45-50 15 15
50-55 18 33
55-60 13 46
60-65 16 62
65-70 18 80
70-75 11 91
39
Estadígrafos de Dispersión:
Desviación Media
Ejemplo:
12 – 3 – 7 – 13 – 4
1º Calcular
Xi Xi - xi
3 3 - 7.8 -4,8
4 4 - 7.8 -3,8
7 7 - 7.8 -0,8
12 12 - 7.8 4,2
13 13 - 7.8 5,2
40
Desviación Estándar( )
Xi Xi - xi (Xi-x) ²
3 -4,8 23,04
4 -3,8 14,44
7 -0,8 0,64
12 4,2 17,64
13 5,2 27,04
82,80
41
Muestra
xi fi u u fi Xi-x (Xi-x)² (Xi-x)² fi
4 10 -2 -20 -1,85 3,42 34,2
5 15 -1 -15 -0,85 0,72 10,8
6 16 0 (-35)(26) 0,15 0,02 0,32
7 12 1 12 1,15 1,32 15,84
8 7 2 14 2,15 4,62 32,64
-9 93,80
Varianza
42
Probabilidades
Posibilidad
Mide Porcentualmente
Elementos
Ensayo o experimento
Resultado
Evento
Clásica
Resultado
Evento Probabilida
d
Espacio
Muestral
Todas las
posibilidades
de tener exito
43
Ejemplo: Experimento tirar un dado.
Evento : 3
Frecuencia Relativa
xi fi hi
1 1 (1/6)
2 1 (1/6)
3 1 (1/6)
4 1 (1/6)
5 1 (1/6)
6 1 (1/6)
xi P(xi=x)
1 0,17
2 0,17
3 0,17
4 0,17
5 0,17
6 0,17
Ejemplo: Se tira 2 dados ¿Cuál es la
probabilidad?
a) E = impar
b) E = <3
c) E = 12
Da 1 2 3 4 5 6
1 1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 , 6
2 2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6
3 3 , 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , 5 3 , 6
4 4 , 1 4 , 2 4 , 3 4 , 4 4 , 5 4 , 6
5 5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5 5 , 6
6 6 , 1 6 , 2 6 , 3 6 , 4 6 , 5 6 , 6
44
xi fi hi
2 1 2,8
3 2 5,6
4 3 8,3
5 4 11,1
6 5 13,9
7 6 16,7
8 5 13,9
9 4 11,1
10 3 8,3
11 2 5,6
12 1 2,8
45
Distribución de Probabilidad
xi P(xi=x)
1 0,10
2 0,15
3 0,07
4 0,35
5 0,25
6 0,18
Función de Probabilidad
xi P(xi<=x)
0 0,10
1 0,25
2 0,32
3 0,67
4 0,92
5 1,00
46
xi fi hi
2 1 0,028
3 2 0,056
4 3 0,083
5 4 0,111
6 5 0,139
7 6 0,167
8 5 0,139
9 4 0,111
10 3 0,083
11 2 0,056
12 1 0,028
xi P(xi=x)
2 0,028
3 0,056
4 0,083
5 0,111
6 0,139
7 0,167
8 0,139
9 0,111
10 0,083
11 0,056
12 0,028
47
xi P(xi<=x)
2 0,028
3 0,056
4 0,083
5 0,111
6 0,139
7 0,167
8 0,139
9 0,111
10 0,083
11 0,056
12 0,028
48
Distribución de Probabilidad Discreta Distribución Binomial
Existen dos resultados
p Éxito
q Fracaso
Se puede realizar muchos ensayos.
Ejemplo: Se tiro una moneda al aire 40 veces.
Cuál es la probabilidad de 3 oportunidades
obtenga cara.
Ejemplo2: En el examen final de estadística se
han planteado 10 preguntas para responder si
es Falso o Verdadero, si el alumno no ha
estudiado para el examen tiene la probabilidad
de responder cada pregunta 0.2. Cuál es la
probabilidad de que apruebe el curso.
49
Distribución de Probabilidad Continua
Características
Simétrico Área bajo la curva=1
Estandarización o Tipificación
x
z
0.5 0.5
a u
z
50
Ejemplo: Una casa comercial vende promedio
mensual de 2500 computadoras con una
desviación 400. a) Que probabilidad se tiene de vender 2000 o
menos computadoras.
b) Que probabilidad se tiene de vender más de
2800 computadoras.
c) Que probabilidad se tiene de vender entre
2000 y 2400 computadoras.
a)
Graficar
2500 2000
51
b)
-1.25
2800 2500
52
c)
0.75
2000 2400 2500
53
-1.25 -0.25
0.25 1.25
54