eopitulc 5Probqbilidcrd,DistribucionesProbcbilsticctsy Expectqtivq

El objetivo de este captulo es presentar brevemente alguna informacin acerca detos conceptos sencil[os empleados de manera considerable en los clculos estadstiposible llevar a Qabo con ms facilidad la estimacin de probabilidades en algunosmas muy complicados si se emplean los conceptos de permutacin y combinacin.temas seguramente le resultarn muy conocidos a la gran mayora de losobstante ello, a fin de presentarles un panorama completo de la estadstica, destacaalgunos aspectos relativos 4 las permutaciones y a las combinaciones.

PERMUTACIONES

La cantidad de permutaciones que pueden tener elementos es el nmero denes que tales elementos pueden tener. Podramos considerar todos los elementos ao bien, r (siendo r

.54 PROBABILIDAD,DISTRIBUCIONESPROBABILISTICASYEXPECTATIVA

Ejemplo. A un producto se le codifica asignndole tres letras y dos nmeros (las primeideben ir antes que los nmeros). Slo se podrn emplea las letras I y I y los dgitos I alCuntosnmerosdediferentecdigoesposibleobtener?

En el caso de las letras:

cada una puede presentarse como A o B,es decir, de 2 maneras

En consecuencia,

" 3 letras pueden ordenarse en 2 x 2 x 2 : 8 formas

En el caso de los nmeros:

cada uno puede aparecer como I o 2 o... o 6, es decir, en 6 formas

De esta suerte,

2 nmeros se peden ordenar en 6 x 6 : 36 maneras

As pues, el total de "nmeros" codificados es 8 x 36 : 233.

considrese ahora la permutacin de n elementos tomados todos al mismo ticuando los z elgmentos estn formados de r similares, 12 similares,..., r similares,modo que rt ! rz + "'+ rk: rr. Por lo tanto, el nmero de permutaciones es

P- ' !-

r r l r2! " ' !

Ejenplo, cuntos dibujos diferentes (en una sola fila) se pueden hacer con 3 ma(o etiquetas) amarillos, 2 rojos y 7 verdes?

Mediante la ecuacin (5-3)n:3I2+7:12

l ) lP: 3r xf t j t :7920

COMBTNACIONES

La cantidad de combinaciones de elementos diferentes es el nmero de seleccionestintas fomadas cada una por r elementos, sin tomar en consideracin el orden ocin de tales elementos en el grupo. Esta omisin del orden distingue laslas permutaciones.

COMBINACIONES

La razn por la que r elementos pueden ordenarse en ! formas consiste en que:

el primer lugar puede ocuparse en r formas,el segundo puede serlo en r - I modos,el tercero puede serlo en r - 2 formas.

el lt imo puede ser ocupado en I manera,

de modo que r lugares pueden ser ocupados en r(r - r)(r - 2)... I = r! formas.As, el nmero de combinaciones de elementos a partir de n elementos, que se representapor

oC,; o bien,

es r! veces menor que el nmero de permutaciones. De ah que

^ ,P, n!

n- ' :T=(n-r) ! r l (54)

Por la simetra se deduce que

f)

,Cr: nCn-,

El empleo de esta identidad puede ahorrar tiempo al lrevar a cabo ros clculos.Ejemplo. De cuntas maneras puede seleccionarse un equiipo de 9 personas a partir deun grupo de 12?

(5-5)

. Evidentemente ste es un problema de seleccin y no de ordenacin, dado que no setoma en cuenta la asignacin de posiciones. En consecu'encia, se utiliza ia ecuacin (5-4),

enlacualn=12!r :9.

"c':#ti =#u:9*#:r,!futplo^. F" un grupo de 5 hombres y 4 mujeres, de cuntas maneras.es posibre serec-rnar a 3 hombres y a 2 mujeres?f. Se pueden elegir 3 hombres de S en 5C3 formas.o. tss posible seleccionar 2 mujeres de 4 en aC2 maneras.

56 .PROBABILIDAD, DISTRIBUCIONESPROBABIITSTICASYEXPECTATM

Mediante el principio fundamental de las selecciones, es posible llevar a cabo(b) en

.C1 x oC, formas. De suerte que el nmero de posibles selecciones es

5x4 4x7 \ 't " ; - : f f i

Ejemplo. De un conjunto de 6 hombres y 5 mujeres, cuntos comits de 8 miempueden formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 3 muieres?

Las condiciones del caso se satisfacen si el comit consta de

5 hombres y 3 mujeres seleccionados en u C, x , C, formas4 hombres y 4 mujeres elegidos en 6Co x , Co formas3 hombres y 5 mujeres seleccionados en 6 C3 x , C, formas

Por tanto, el nmero de comits posibles es:

uCt x rCs* 6Ca x 5C4+ 6C3x sCs : 155

A menudo se da el caso de que un problema comprende tanto una seleccin comoordenacin, alguna de las cuales (o ambas) presentan ciertas l imitaciones. Unmiento seguro consiste en gonsi{erar en primer lugar las selecciones (combinaciposteriormente, las ordenaciones (permutaciones).

Ejemplo. Cuntas alineaciones es posible formar al escoger un equipo de hockeypuesto de 4jugadores veteranos y 2 novatos a partir de 8 veteanos y 7 novatos, siellos pueden jugar en cualquier posicin?

4 veteranos pueden seleccionarse en sCa formas2 novatos pueden seleccionarse en 7C2 formas

De ah que un equipo se pueda seleccionar de6Co x tCrmodos. Cualquier grupohombres se puede disponer en 6! formas. De este modo, el nmero total de posibles alc iones es aC+ x t C, x 6l : I 058 ,100.

Ejemplo. Supngase que en el ltimo ejemplo, cualquier equipo seleccionado tenaincluir un cierto jugador veterano para que juegue como centro, y un novato, comodameta. Cuntas alineaciones son posibles?

cuando un cierto jugador veterano siempre es incluido en el equipo, el problema ren encontrar el nmero de combinaciones de 3 veteranos provenientes de los 7 restaen lo referente a los novatos, hallar el nmero de combinaciones de I hovato tomadolos 6 restantes. Bn consecuencia.

3 veteranos pueden seleccionarse en 7C3 formasI novato puede seleccionarse en 6Cr formas

De ah que se pueda seleccionar un equipo en 7 C. x u C, formas.

COMBINACIONES 57

o que las posiciones de guardameta y centro ya han sido asignadas, las cuatro posi-restantes de cualquier equipo se pueden ocupar de 4! maneras. As pues, el nmero

de alineaciones posibles es 7 C3 x 6Cr x 4l: fr4f..

importante observar gue ,C, es el coeficiente del (r + l)-simo trmino en la expresinial@ + b)', cuYo desarrollo es

(a + b) ' : an + nan- lb4$a- 2b2 + " '

. T

n(n- l ) " ' (n-r+ l ) o;n_rbt +. . .+ bn

1,

I puede expresarse adecuadamente como:

(a+ b)" : a" I nctan-tb + ncra'-2b2 + " ' r nC,a'- 'b ' + " '+ b,n

(5-6)

(a+b)": lnC,an-,b,=O

ndo que def in imos ,Co: l .

(s-7)

empfeo de los coehcientes binomiales se analiza una vez ms en el Capitulo 7.

PROBABILIDAD

el Captulo I se estudi la relacin entre la estadstica y la probabilidad. Se destacpara tratar problemas estadsticos se calculan los parmetros de una distribucin air de datos muestrales, en tanto que en el caso de problemas de probabil idad, se cono-los parmetros del modelo matemtico del sistema, y se deduce el comportamiento de

del mismo o muestras. En consecuencia, en general, los dos planteamientos son in-entre s.

ocurrencia de cierto evento se denotar como xito y u no ocurrencia como fracaso.consideran todas las posibles (o imaginables) ordenaciones o ensayos, y tambin las

nes correspondientes al xito, entonces larazn de estas ltimas a las primerasla probabilidad de xitos. Todas las consideradas deben ser mutuamente excluyen-

c igualmente probables, y como se do antes, exhaustivas. De haber n ordenaciones po-y de presentarse xito en p casos, la probabilidad de xitos es p/n, en tanto que la de

es I - (pln). Por tanto, la probabilidad se expresa como un nmero no mayorl. Un valor de unidad denota una certeza de tener xito. v un valor de cero sisnifica la

il idad de que se presente el xito.trminos estrictos, cabra distinguir dos tipos de probabilidad. En el primero, la pro-

de un evento se establece slo mediante la definicin del sistema, por ejemplo, lailidad de obtener un nmero deterrninado de puntos al tirar un dado es de {. Esta esprobabilidad a prior. En muchos otros casos, se trabaja con una probabilidad

l-p-l-o!-uiliiad dE o-surr-eucia. dg ciertos eventos mutuamenre excluyentes es laa+-rl9-p-l-o!-?p-!Ltiad dE o-aurr-eucia de ciertos eventos mutuamenfe excluyentes esde las probabilidades de eventos separados. Se dice que los eventos son-mutexcluyentes si slo uno de ellos puede ocurrir en determinado momento (pordado al caer, muestra un I o un 6, pero no ambos).

Por ejemplo, al tirar un dado, la probabilidad de obtener un 3 o un 6 es igual a la detener 3 ms la de que resulte 6, es decir, es igual a

+*:'-gabedestacar que la suma de las probabilidades de todosloseventos posibles siemprepor ejemplo, la probabilidad de no obtener un 3 o un 6 es t, de ah que la suma de lasbabilidades de que se presenteg todos los resultados poribl"r es '! + $: t.

Demostracin de la regh de la adicn se tienen n casos igualmente posibles, de rque el evento I ocurre en r de ellos, y el evento g se presenta en s. Como la ocurrenciano coincide con la de B (pues son mutuamente excluyentes), no hay superposicin ent(r + s) casos; es decir, el evento A o B slo ocurre en (r +

") c"sos. De manera 600, y p(x):0, donde